10 MATEMATİK KONU ANLATIM KİTABI 2.KİTAP_Decrypted

¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
m
ı
t
a
l
n
A
u
n
o
K Kitabı
ISBN 978-605-9938-02-0
w
.
w
w
r
a
k
te
e
y
z
c
n.
o
tr
.
m
Sertifika No 19785
Ú¡¤ö¡ğ Remzi ahin AKSANKUR
¡Ŋ¨¯ Önder DORUK
£Ú¡
CEREN MATBAACILIK
İSTANBUL
910117
®
Bu kitabn tüm basm ve yayn haklar kartezyen egitim yaynlar na ait olup, tüm
haklar sakldr. Ksmen de olsa alnt yaplamaz. Metin ve sorular, kitab yaynlayan
irketin önceden izni olmakszn elektronik, mekanik, fotokopi, tarama ya da herhangi bir
kayt sistemiyle çoaltlamaz, yaynlanamaz.
Oruçreis Mah. Giyimkent Sitesi 8. Sokak A1 Blok B-95 No:64 - 65 ESENLER - STANBUL
Tel: (0212) 438 60 44 - Fax: (0212) 438 60 45
Copyright © kartezyen egitim yaynlar
®
ဣ¦¤Ú¯¡¦ğ¡¤¡¡¯ဣ¨Ćဤ
¨ဣ¤ÚIIဤĆ£Ú¤ğ¡¤¡§¯နဤ
Í¡öÍ¢¤¡¯¨¨öÍ¢¡¯ထ
¡¥¯Í¤Ú¡Ú¡ö¯ğ¦¤Ú££¤¯¯Ú¡ဖ
ÚÍÚÚ¯¦¤¤ထĞŠ¤£Ú¤ğ¦¡Ú¤Ú¡À
Íö¡£¯န¤¤Í¡ÀöÍ¢£ဖ
¦£¦¡ဣ¤¨¡¡ဤĞ¯¡¦À¤¤¯¡ÀÚĆ£¡န
¡¡Ğ¯¤¦ÚöÍ¢À¨¡£¡Ú¦¯ဖ
ĆÀ£ÚဣöÍ¢ဤÀÚ£Ú¡ထ¤¨ဖ
¡¡ÚöÍ¢£ထĆ¤¡£Ŵ¯Ú¨¡ÚĆ¡Ú¡Ś£¤¡ဖ
£¡န¤¤Í¤¤ğ¦£Ú¡ÚÚ¯ö¡ထ¤¡£
¡¡န¦¤¤¤öÍ¢¦ထ¦¡öÍ¢¡
¡¤ğÚ¡Ú¯Ú¡¤Ú¡န
¤ÚÚ¯¡¦¤Ğ¯Ć¡¤ÚÚĆထ¦ဖ
¤Ú¨¡£¡§¡Ú¨¨¡ÀÚĆ¡ÚĆ¤¡Ć¤¡န
¡¦ĆÚÍÚ¦¤ÚÚ¨¨¡£¡§¡ÚÀö¯Ğ¡
£¡öÍ¢¦§ÍÚ£Íöထ¦¡
¤£¤öÍ¢Àö¯£À¯Ú¡ÚĆ¤Ú¡န
¦ĆÚÍÚ¤£¤¡¤Ú¡¥¯Í¤Ú¡ÚÚၹၸနÚÚ
Ćှဿ£¡§£Ú¡£Ú¡ထöÍ¢£¡§£Úဖ
¤£¤Àö¯¡¦§Ć¤¡£ÀÚĆ¤Ú¡န
öÚÚÍÚÚ¯ႁနÚÚ¤¤¦¤Ú¤Ú¨¦¡§¦
¡¦¤Ú£Ğ¡Ú¤Ú¤¡¯Ú¦¤¨¤¤ဖ
¡န\¤¡ÚÚ¯ö£¤¡Í¯¤¨Ğ¯ö£¤¡¤Ú¡န
¦¤ÚÚ¯ÚöÍ¢¤¡¯öÍ¢¡¯¡¡Ú¡ဖ
ÍÚÚö¡¯¦¤¦¦¨¡¤¡ထÚ¡ÚÚ¯
¡¥¯Í¤Ú¡Ú
1. Kitap
ၹနöĞဓ¡ထ¨£ÚÚ
Sayma ..................................................................................................................................... 8 - 23
Faktöriyel ............................................................................................................................... 24 - 27
Sralama ve Seçme ................................................................................................................28 - 31
Permütasyon ......................................................................................................................... 32 - 35
Kombinasyon ........................................................................................................................ 36 - 51
Pascal Üçgeni ....................................................................................................................... 52 - 53
Binom Teoremi ...................................................................................................................... 54 - 63
Koullu Olaslk ...................................................................................................................... 64 - 75
ၺနöĞဓÚ¡¨¡ှ£¡ဿ
Fonksiyonlarn Simetrileri ve Cebirsel Özellikleri .................................................................. 76 - 93
Fonksiyonlarda Bileke lemi ............................................................................................ 94 - 101
Bir Fonksiyonun Tersi (Ters Fonksiyon) ............................................................................ 102 - 119
Fonksiyonlar le lgili Uygulamalar .................................................................................... 120 - 131
ၻနöĞဓ¤
¤¢
Nokta Analitii ................................................................................................................... 132 - 157
Doru Analitii....................................................................................................................158 - 207
ၼနöĞဓö¡¥¡¨0¡
Dörtgenler ve Özellikleri .................................................................................................... 208 - 223
Deltoid ............................................................................................................................... 224 - 227
Yamuk................................................................................................................................ 228 - 251
¡¥¯Í¤Ú¡Ú
2. Kitap
ၼနöĞဓö¡¥¡¨0¡
Paralelkenar ...................................................................................................................... 264 - 283
Ekenar Dörtgen ............................................................................................................... 284 - 297
Dikdörtgen ........................................................................................................................ 298 - 321
Kare ................................................................................................................................... 322 - 341
Deltoidde Alan................................................................................................................... 342 - 343
Yamukta Alan .................................................................................................................... 344 - 359
Paralelkenarda Alan .......................................................................................................... 360 - 375
Ekenar Dörtgende Alan ................................................................................................... 376 - 379
Dikdörtgende Alan ............................................................................................................ 380 - 385
Karede Alan....................................................................................................................... 386 - 391
Çokgenler.......................................................................................................................... 392 - 421
ၽနöĞဓI¡¨£¡
kinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler.................................................................. 422 - 445
Karmak (Complex) Saylar ............................................................................................. 446 - 461
kinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerde Kök - Katsay likileri ...........................462 - 465
Kökleri Verilen kinci Dereceden Denklemi Oluturma ......................................................466 - 467
kinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikleri ..................................................................... 468 - 501
¡¥¯Í¤Ú¡Ú
3. Kitap
ၾနöĞဓ¡
Polinom Kavram ve Polinomlarla lemler ....................................................................... 512 - 549
Polinomlarda Çarpanlara Ayrma ...................................................................................... 550 - 579
Polinom ve Rasyonel Denklemler ..................................................................................... 580 - 585
ၿနöĞဓ0¡¨¡
Çemberin Temel Elemanlar ve Çemberde Açlar ............................................................. 586 - 615
Çemberde Uzunluk ........................................................................................................... 616 - 639
Dairenin Alan .................................................................................................................... 640 - 651
ႀနöĞဓ
¤¢£¡ှ¤Ú£¡Ğ¯¡Ú¨¡ဿ
Prizmalar ........................................................................................................................... 652 - 685
Dikdörtgenler Prizmas...................................................................................................... 686 - 699
Küp .................................................................................................................................... 700 - 711
Piramitler ........................................................................................................................... 712 - 725
Silindir ............................................................................................................................... 726 - 737
Koni ................................................................................................................................... 738 - 747
Küre ................................................................................................................................... 748 - 751
¡¥¯Í¤Ú¡Ú
PARALELKENAR
Paralelkenar
Karlkl kenarlar birbirine paralel olan dörtgene “paralelkenar” denir. Paralelkenarda karlkl kenarlar birbirine paralel ve eit uzunluktadr. Karlkl açlar birbirine eit, ardk olan açlar ise bütünlerdir.
A
Yandaki ekilde verilen ABCD paralelkenarnda
D
a
180° a
a
180° a
B
[AB] // [CD]
[AD] // [BC]
|AB|=|CD|
|AD|=|BC|
m(ëA)=m(ëC)
m(ëB)=m(ëD)
m(ëB)=m(ëD)= ise m(ëA)=m(ëC)=180° – dr.
C
çözüm
kavrama sorusu
A
Paralelkenarda karlkl köelerin açlarnn ölçüleri eittir.
D
a
Buna göre,
m(AéBC)=m(AéDC) ise
74°= dr.
Cevap: 74°
74°
B
C
ABCD paralelkenar, m(AéBC)=74° olduuna göre,
m(AéDC)= kaç derecedir, bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
56°
D
56°
124°
124°
B
C
B
C
ABCD paralelkenar, m(AéDC)=56° olduuna göre,
Paralelkenarda ardk köelerdeki açlar birbirinin bütünleridir.
m(BéAD)+m(BéCD) toplamnn deeri kaçtr, bulunuz.
Buna göre, m(BéAD)=180° – m(AéDC)=180° – 56°=124°
m(BéCD)=180° – m(AéDC)=180° – 56°=124°
m(BéAD)+m(BéCD)=124°+124°=248° dir.
Cevap: 248°
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
D
x+50°
m(AéBC)=x alrsak
m(BéAD)=x+50° olur.
AéBC ve BéAD bütünler
açlar ise
x
B
C
B
C
x+x+50°=180°
2x=130°
ABCD paralelkenar, m(BéAD)=m(AéBC)+50° olduuna göre,
x=65°
m(AéBC) kaç derecedir, bulunuz.
m(AéBC)=x=65° dir.
Cevap: 65°
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
264
¤¤¦¤Ú¤Ú
Paralelkenar
Test / 1
soru 1
soru 5
Paralelkenar ile ilgili aada verilen bilgilerden hangisi veya
hangileri dorudur?
A
D
ABCD paralelkenar
m(AéBC)=x+14°
I. Karlkl kenarlar birbirine paraleldir.
m(BéCD)=2x+16°
II. Karlkl kenarlarnn uzunluklar birbirine eittir.
olduuna göre,
III. Karlkl aclarnn ölçüleri toplam 180° dir.
m(BéAC) kaç derecedir?
2x+16°
x+14°
B
C
IV. Ardk olan aclarnn ölçüleri birbirine eittir.
A) 102
A) I, II
B) III, IV
B) 108
C) 110
D) 116
E) 120
C) I, II, IV
D) II, III, IV
E) I, II, III, IV
soru 2
A
soru 6
D
A
D
112°
ABCD paralelkenar
ABCD paralelkenar
m(BéAD)=112°
m(AéBC)=m(BéCD)+56°
olduuna göre,
A) 56
B) 68
C
C) 94
soru 3
D) 100
E) 112
A
D
B
m(AéDC) kaç derecedir?
A) 120
B) 118
C) 110
soru 7
C
D) 106
A
E) 98
D
ABCD paralelkenar
ABCD paralelkenar
m(AéBC)=47°
m(AéDC)=2m(BéCD)+24°
47°
olduuna göre,
www.kartezyen.com.tr
olduuna göre,
B
m(BéCD) kaç derecedir?
B
olduuna göre,
C
m(AéBC) – m(BéAC)
m(BéCD) kaç derecedir?
B
C
fark kaç derecedir?
A) 140
B) 133
C) 120
D) 94
E) 47
A) 48
soru 4
A
D
2x 20°
ABCD paralelkenar
C) 72
soru 8
D) 76
E) 84
A
D
ABCD paralelkenar
m(AéBC)=x+15°
m(BéAD) – m(AéBC)=44°
x+15°
m(AéDC)=2x – 20°
B) 57
B
olduuna göre,
C
olduuna göre,
m(AéDC) kaç derecedir?
B
C
m(AéBC) kaç derecedir?
A) 58
A) 30
B) 40
C) 50
D) 60
B) 60
C) 62
D) 64
E) 68
E) 70
265
1–A
2–E
3–B
4–C
5–D
6–B
7–D
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡¡
Test 1 Àö¯ĞĞ¯န
Paralelkenar
Paralelkenarda pek çok aç sorusunda karlkl kenarlarn paralelliini kullanmanz gerekecektir. Doruda aç konusunda görülen karlkl
iki paralel doru parças arasnda kalan iç ters açlar ve kar durumlu açlar hatrlayacak olursanz, bu tür sorular rahatça çözebilirsiniz.
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
70°
D
70°
70°
E
B
C
E
B
C
ABCD paralelkenar, m(DéAE)=70° olduuna göre,
[AD] // [BE] olduuna göre, DéAE ve AéEB iç ters açlardr.
m(AéEB) kaç derecedir, bulunuz.
m(DéAE)=m(AéEB)=70° olur.
Cevap: 70°
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
D
56°
124°
124°
E
B
C
E
B
C
ABCD paralelkenar, m(BéED)=124° olduuna göre,
[AD] // [BE] olduuna göre,
m(AéDE) kaç derecedir, bulunuz.
m(AéDE)=180° – m(BéED) {Kar durumlu açlar}
m(AéDE)=180° – 124°=56°
Cevap: 56°
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
D
37°
53°
E
B
53°
E
C
53°
B
ABCD paralelkenar, [DE] [AB], m(BéCD)=53° olduuna göre,
Paralelkenarda karlkl açlarn eitliinden
m(AéDE) kaç derecedir, bulunuz.
m(BéAD)=m(BéCD)=53° dir.
C
AED dik üçgeninde iç açlar toplam 180° ise
m(BéAD)+m(AéED)+m(AéDE)=180°
53°+90°+m(AéDE)=180°
m(AéDE)=180° – 90° – 53°=37° dir.
Cevap: 37°
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
266
¤¤¦¤Ú¤Ú
Paralelkenar
Test / 2
soru 1
A
soru 5
D
A
D
E
ABCD paralelkenar
[EF] [CD]
B
C
E
F
olduuna göre,
m(BéEF) kaç derecedir?
B
C
ABCD paralelkenar , [AE] [CD], olduuna göre,
A) 45
m(BéAE) kaç derecedir?
A) 60
B) 75
soru 2
C) 90
D) 100
B) 60
C) 75
D) 90
E) 100
E) 120
A
soru 6
D
A
D
104°
ABCD paralelkenar
ABCD paralelkenar
m(DéEC)=84°
m(BéAD)=104°
olduuna göre,
B) 56
C) 70
soru 3
D) 84
A
olduuna göre,
C
E) 96
E
D
www.kartezyen.com.tr
A) 42
E
B
E
m(BéED)=116°
84°
m(AéDE) kaç derecedir?
116°
B
C
m(EéBC) kaç derecedir?
A) 12
B) 16
C) 20
D) 24
A
soru 7
E) 28
E
D
105°
ABCD paralelkenar
ABCD paralelkenar
m(AéEF)=105°
[CE] açortay
olduuna göre,
m(AéBC)=70°
m(EéFB) kaç derecedir?
F
B
70°
olduuna göre,
C
B
C
m(DéEC) kaç derecedir?
A) 105
B) 100
C) 95
D) 90
E) 75
A) 35
soru 4
A
B) 45
soru 8
D
ABCD paralelkenar
m(BéED)=m(AéDE)+40°
m(AéBC)=112°
olduuna göre,
m(AéED)=36°
B
E
C
D) 60
A
ABCD paralelkenar
m(DéEC) kaç derecedir?
C) 55
E) 70
D
36°
E
112°
olduuna göre,
B
C
m(DéAE) kaç derecedir?
A) 20
B) 40
C) 60
D) 70
E) 80
A) 32
B) 34
C) 36
D) 38
E) 40
267
1–C
2–D
3–E
4–D
5–D
6–A
7–C
8–A
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡¡
Test 2 Àö¯ĞĞ¯န
Paralelkenar
çözüm
kavrama sorusu
E
E
44°
A
A
D
44°
D
44°
B
C
B
C
ABCD paralelkenar, m(AéBE)=44° olduuna göre,
[AB] // [CE] olduuna göre, AéBE ve BéEC iç ters açlardr.
m(BéEC) kaç derecedir, bulunuz.
Buna göre, m(AéBE)=m(BéEC)=44°
Cevap: 44°
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
a
D
a
E
E
b
B
C
b
B
C
ABCD paralelkenar, [AE] ve [BE] açortay olduuna göre,
m(BéAE)=m(DéAE)=, m(AéBE)=m(CéBE)= olsun.
m(AéEB) kaç derecedir, bulunuz.
BéAD ve AéBC bütünler açlar olduundan
m(BéAD)+m(AéBC)=2+2=180° ise +=90°
ABE üçgeninde iç açlar toplamndan
m(Aé
EB)++=180° ise
90°
m(AéEB)=180° – 90°=90° dir.
Cevap: 90°
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
72°
72°
B
E
C
D
72°
B
E
C
ABCD paralelkenar, |AE|=|CD|, m(AéEB)=72° olduuna göre,
|AB|=|CD| ve |AE|=|CD| ise |AB|=|AE| dir ve
m(AéBE) kaç derecedir, bulunuz.
ABE ikizkenar üçgen olur.
ABE ikizkenar üçgen ise m(AéBE)=m(AéEB)=72° dir.
Cevap: 72°
Uyarı
Paralelkenarda bazen ikizkenar üçgenler gizlenir. Bunun skça rastland durumlardan biriside yukardaki kavrama sorusunda gördüünüz gibidir. Herhangibir uzunluk paralelkenarn bir kenarna eit uzunlukta veriliyorsa sizin yapmanz gereken ey bunlara eit
olan dier kenarda iaretlemektir. Bu ekilde gizlenmi olan ikizkenar üçgeni bulabilirsiniz.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
268
¤¤¦¤Ú¤Ú
Paralelkenar
Test / 3
soru 1
A
soru 5
D
A
ABCD paralelkenar
m(AéED)=38°
m(BéAE) kaç derecedir?
C) 38
soru 2
m(AéEB) kaç derecedir?
D) 44
A
E) 56
A) 37
B) 43
C) 45
D) 47
soru 6
D
E) 56
A
D
ABCD paralelkenar
ABCD paralelkenar
|AE|=|BC|
[DE] açortay
m(BéCD)=66°
66°
B
B) 64
C) 60
D) 57
E) 52
A
soru 3
D
olduuna göre,
54°
m(AéDE) kaç derecedir?
E
A) 29
B) 36
C) 40
soru 7
D) 54
E) 68
A
D
ABCD paralelkenar
ABCD paralelkenar
|AE|=|CD|
[AE], [DE] açortay
E
olduuna göre,
m(AéED) kaç derecedir?
www.kartezyen.com.tr
E
m(AéED) kaç derecedir?
C
B
m(AéED)=54°
C
olduuna göre,
A) 66
C
ABCD paralelkenar, |EB|=|DC|, m(BéCD)=43° olduuna göre,
E
B) 24
43°
B
38°
A) 19
D
C
B
olduuna göre,
E
m(BéCD)=116°
B
116°
olduuna göre,
C
E
B
C
m(BéAE) kaç derecedir?
A) 45
B) 75
C) 90
D) 120
E) 135
A) 52
soru 4
A
D
C) 60
soru 8
E
D) 64
E) 66
A
D
ABCD paralelkenar
ABCD paralelkenar
E
[DE] açortay
[DE] [CE]
|AD|=|EC|
m(BéAD)=m(AéDC)+56°
76°
m(AéBC)=76°
B) 56
B
B
olduuna göre,
C
C
m(BéCE) kaç derecedir?
olduuna göre,
m(BéCE) kaç derecedir?
A) 50
A) 76
B) 66
C) 58
D) 52
B) 54
C) 56
D) 60
E) 62
E) 38
269
1–C
2–D
3–C
4–D
5–B
6–D
7–A
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡¡
Test 3 Àö¯ĞĞ¯န
Paralelkenar
çözüm
kavrama sorusu
A
D
D |AE|=|BC| ve |BC|=|AD| ise
A
57°
57°
66°
|AE|=|AD| dir.
AED ikizkenar üçgen ise
m(AéED)=m(AéDE)=57° dir.
B
E C
B
57°
AED üçgeninde
E C
iç açlar toplamndan
m(EéAD)+m(AéED)+m(AéDE)=180°
ABCD paralelkenar, |AE|=|BC|, m(AéDE)=57° olduuna göre,
m(EéAD)+57°+57°=180°
m(EéAD) kaç derecedir, bulunuz.
m(EéAD)=180° – 57° – 57°=66°
Cevap: 66°
çözüm
kavrama sorusu
A
K
F
E
D
a
2b
a
B
a
A
C
B
a
K
Fb E
b
D
C
ABCD paralelkenar, C, D, E dorusal, [BF], [DF] açortay
m(AéBF)=m(CéBF)= ve m(AéDF)=m(FéDE)= olsun.
olduuna göre, m(KéFD) kaç derecedir, bulunuz.
m(CéBK)=m(AéKB)= {ç ters açlar}
m(BéAD)=m(AéDE)=2 {ç ters açlar}
ABK üçgeninde iç açlar toplamndan
++2=180° ise 2+2=180° +=90°
KFD üçgeninde iç açlar toplamndan
m(KéFD)++=180°
90°
m(KéFD)=180° – 90°=90° dir.
Cevap: 90°
A
Bir paralelkenarda köegenler birbirini ortalar.
D
Yandaki ekilde verilen ABCD paralelkenarnda
[AC] ve [BD] köegen ise |AE|=|CE| ve |BE|=|DE| dir.
E
B
C
çözüm
kavrama sorusu
A
D
ABCD paralelkenar
A
D
|DE|=|BF| ise
[AC], [BD] köegen
|DE|=|BF|
E
F
¦¨¡¡£
C
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
BEF ikizkenar üçgen ise
65°
olduuna göre,
B
|BE|=|BF| dir.
E
m(BéEF)=65°
65°
|DE|=|BE| ve
m(BéFE)=m(BéEF)=65° dir.
65°
B
m(BéFE) kaç derecedir, bulunuz.
270
F
C
Cevap: 65°
¤¤¦¤Ú¤Ú
Paralelkenar
Test / 4
soru 1
A
E
soru 5
D
A
E
D
54°
ABCD paralelkenar
ABCD paralelkenar
|AD|=|CE|
[AC], [BD] köegen
m(BéCE)=36°
B
olduuna göre,
K
|BK|=|DE|
36°
C
B
m(DéEK)=54°
C
olduuna göre,
m(EéBC) kaç derecedir?
m(EéKD) kaç derecedir?
A) 54
B) 60
C) 62
D) 66
E) 72
A) 27
A
soru 2
20°
ABCD paralelkenar
D) 66
E) 72
A
34°
ABCD paralelkenar
D
E
[AC], [BD] köegen
|AE|=|BC|
|DE|=|BK|
m(EéAD)=42°
E
B
m(EéDC)=20°
C
C) 95
soru 3
K
C
olduuna göre, m(BéKE) kaç derecedir?
D) 97
E) 99
A
D
ABCD paralelkenar
www.kartezyen.com.tr
B) 93
B
m(AéDB)=34°
olduuna göre, m(BéCD) kaç derecedir?
A) 91
C) 54
soru 6
D
42°
B) 36
A) 62
B) 66
C) 71
soru 7
D) 73
A
E) 75
K
D
50°
E
[BE], [DE] açortay
olduuna göre,
B
m(BéED) kaç derecedir?
F
A) 75
B) 90
C) 95
C
E
B
ABCD paralelkenar, [AC], [BD] köegen, |EK|=|CE|
D) 100
E) 105
m(AéKE)=50° olduuna göre, m(AéEK) kaç derecedir?
A) 40
soru 4
E
A
K
D
ABCD paralelkenar
B) 50
soru 8
C) 60
D) 70
E) 80
D
A
ABCD paralelkenar
E
[AC], [BD] köegen
C, D, K dorusal
124°
|DE|=|BK|
[BE] açortay
110°
m(BéED)=90°
B
m(BéCD)=110°
B) 70
C) 65
K
B
m(EéKC)=124°
C
C
olduuna göre,
m(AéDB) kaç derecedir?
olduuna göre, m(KéDE) kaç derecedir?
A) 75
C
D) 60
E) 55
A) 56
B) 60
C) 64
D) 68
E) 72
271
1–E
2–A
3–B
4–E
5–C
6–D
7–E
8–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡¡
Test 3 Àö¯ĞĞ¯န
Paralelkenar
çözüm
kavrama sorusu
A
3x+5
Paralelkenarn karlkl kenarlarnn uzunluklar eit olacana
göre,
D
|AD|=|BC| ise 3x+5=5x – 13
5+13=5x – 3x
18=2x
B
5x 13
C
9=x
Cevap: 9
ABCD paralelkenar, |AD|=3x+5 cm, |BC|=5x – 13 cm
olduuna göre, x kaçtr, bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
A
12
D
A
5
12
D
5
B
C
5
B
ABCD paralelkenar, |AB|=5 cm, |AD|=12 cm olduuna göre,
12
C
Paralelkenarn karlkl kenarlarnn uzunluklar eit olacana
göre,
paralelkenarn çevresi kaç cm dir, bulunuz.
|AB|=|CD|=5 cm ve |AD|=|BC|=12 cm dir.
Paralelkenarn çevresi tüm kenarlarnn toplamna eittir.
Buna göre, Çevre(ABCD)=|AB|+|BC|+|CD|+|AD|
=5+12+5+12=34 cm dir.
Cevap: 34
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
9
9
B
5
E
D
C
B
9
5
C
E
ABCD paralelkenar, [EA] [AD], |BE|=5 cm, |CD|=9 cm
Paralelkenarda karlkl kenarlarn uzunluklar eit olduundan
olduuna göre, |AE| kaç cm dir, bulunuz.
|AB|=|CD|=9 cm dir.
[AD] // [BC] ise m(EéAD)=m(BéEA)=90° dir. {ç ters açlar}
ABE dik üçgeninde Pisagor bantsndan
|AE|2+|BE|2=|AB|2 |AE|2+52=92
|AE|2=92 – 52=56 |AE|=ò56=2ò14 cm
Cevap: 2ò14
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
272
¤¤¦¤Ú¤Ú
Paralelkenar
Test / 5
soru 1
A
ABCD paralelkenar
D
x+7
|AB|=x+7 cm
|CD|=2x – 7 cm
2x+5
A
ABCD paralelkenar
2x 7
x+3
|AB|=x+3 cm
soru 5
D
2x 5
|CD|=2x – 5 cm
B
olduuna göre, x kaçtr?
C
B
|AD|=2x+5 cm
C
olduuna göre,
A) 5
B) 7
C) 10
D) 11
E) 13
Çevre(ABCD) kaç cm dir?
A) 48
soru 2
5x+2
A
ABCD paralelkenar
|AB|=3x – 5 cm
D) 72
E) 96
A
D
ABCD paralelkenar
3x 5
2x+3
|AD|=|AB|+7
B
|CD|
C
|BC|
2
B
C
olduuna göre,
|BC| kaç cm dir?
B) 28
C) 30
soru 3
D) 36
E) 42
A
D
www.kartezyen.com.tr
olduuna göre,
A) 24
C) 64
soru 6
D
|CD|=2x+3 cm
|AD|=5x+2 cm
B) 52
Çevre(ABCD) kaç cm dir?
A) 44
B) 42
C) 40
soru 7
D) 38
E) 36
A
ABCD paralelkenar
ABCD paralelkenar
|AD|=|AB|+7
[AB] [AE]
D
9
E
|BC|=12 cm
|AB|=2|CD| – 4
B
olduuna göre,
C
12
B
|AE|=9 cm
C
olduuna göre,
|BC| kaç cm dir?
|DE| kaç cm dir?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
A) 6ñ2
soru 4
A
D
B) 5ñ6
soru 8
A
D) 3ñ7
E
E) 3ñ5
D
8
ABCD paralelkenar
7
|BC|=11 cm
B
|CD|=7 cm
11
B
olduuna göre,
B) 24
C
ABCD paralelkenar, [EC] [BC], |AB|=8 cm olduuna göre,
C
|EC|=|ED| kaç cm dir?
Çevre(ABCD) kaç cm dir?
A) 18
C) 4ñ3
C) 32
D) 36
E) 42
A) 3
B) 4
C) 4ñ2
D) 5
E) 3ñ3
273
1–C
2–E
3–A
4–D
5–E
6–B
7–D
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡¡
Test 4 Àö¯ĞĞ¯န
Paralelkenar
A
Paralelkenarda ardk iki köeye ait açortaylar birbirleri ile dik
kesiirler.
D
E
Yandaki ekilde verilen ABCD paralelkenarn inceleyelim.
m(AéBE)=m(EéBC)= ve m(BéCE)=m(DéCE)= olsun.
B
a
a
b
b
m(AéBC)+m(BéCD)=180° ise 2+2=180° +=90° dir.
C
++m(BéEC)=180° ise m(BéEC)=90° dir.
90°
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
6
E
D
a
a
6
E
3ñ5
3
b
B
C
3
b
B
C
ABCD paralelkenar, [AE], [BE] açortay, |AE|=6 cm
m(BéAE)=m(EéAD)= ve m(AéBE)=m(EéBC)= olsun.
|BE|=3 cm olduuna göre, |AB| kaç cm dir, bulunuz.
m(BéAD)+m(AéBC)=180° ise 2+2=180° +=90° dir.
ABE üçgeninde iç açlar toplamndan
m(AéEB)++=180° ise m(AéEB)=90°
AEB dik üçgeninde Pisagor bantsndan
| AB| | AE|2 |BE|2 62 32 3 5 cm dir.
Cevap: 3ñ5
çözüm
kavrama sorusu
A
K
6
E
4
F
A
D
a
B
a
2b
C
B
K
a
E F
6 4
b
D
a b
C
ABCD paralelkenar, C, D, F dorusal, [BE], [DE] açortay
m(AéBE)=m(EéBC)= ve m(AéDE)=m(EéDF)= olsun.
|DE|=4 cm, |KE|=6 cm olduuna göre,
m(BéAD)=m(AéDF)=2 {ç ters açlar}
|DK| kaç cm dir, bulunuz.
m(EéBC)=m(AéKB)= {ç ters açlar}
ABK üçgeninde iç açlar toplamndan
m(BéAK)+m(AéBK)+m(AéKB)=180° ise
2++=180° +=90° dir.
EKD üçgeninde iç açlar toplamndan
m(Ké
ED)++=180° ise m(KéED)=180° – 90°=90°
90°
KED dik üçgeninde Pisagor bantsndan
|KD| |DE|2 |KE|2 42 62 2 13 cm dir.
Cevap: 2ò13
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
274
¤¤¦¤Ú¤Ú
Paralelkenar
Test / 6
soru 1
A
soru 5
D
8
ABCD paralelkenar
[AE], [DE] açortay
4
|CE|=4 cm
B
|DE|=8 cm
E
[AB] // [KF]
C
B
|DC|=7 cm
olduuna göre,
|KE|=2 cm
|DC| kaç cm dir?
olduuna göre, |AD| kaç cm dir?
A) 5
B) 4ñ2
soru 2
C) 4ñ5
D) 6ñ2
E) 10
A
A) 10
E
C) 14
C
D) 20
E) 23
A
D
6
ABCD paralelkenar
9
E
[AE], [BE] açortay
www.kartezyen.com.tr
soru 3
D
11
B
|EF|=5 cm
olduuna göre, |BC| kaç cm dir?
A) 10
B) 12
C
C) 14
D) 16
E) 18
soru 7
A
K
5
F
E
3
D
ABCD paralelkenar
C, D, E dorusal
|DC|=9 cm
[BF], [DF] açortay
B
|AE|=6 cm
C
|KF|=5 cm
B
olduuna göre,
|DF|=3 cm
|BE| kaç cm dir?
olduuna göre, |DK| kaç cm dir?
B) 3ñ5
C) 3ñ6
soru 4
D) 6
E) 7
A
ABCD paralelkenar
K
[AE], [BE] açortay
D
7
A) ñ6
B) 4
C
C) 3ñ2
soru 8
E) ò34
D) 6
A
D
ABCD paralelkenar
E
D, C, E dorusal
[AF], [CF] açortay
[AD] // [KE]
B
|KE|=7 cm
C
|CF|=6 cm
|AB| kaç cm dir?
olduuna göre, |KC| kaç cm dir?
B) 9
C) 11
D) 13
E) 14
A) 2ò13
K
B
|KF|=9 cm
olduuna göre,
A) 7
E
5
|BC| kaç cm dir?
C) 18
E) 18
F
|DC|=11 cm
A) 2ñ5
D) 16
A
olduuna göre,
B) 16
C
[AB] // [EF]
B
|DE|=9 cm
A) 15
2
K
[BF], [CF] açortay
[AE], [DE] açortay
|AE|=12 cm
D
7
ABCD paralelkenar
9
12
B) 12
soru 6
D
ABCD paralelkenar
F
ABCD paralelkenar
E
[DE], [CE] açortay
A
B) 3ñ7
C) 6ñ5
D) 3ò13
C
9
F6
E
E) 5ñ6
275
1–C
2–A
3–B
4–E
5–A
6–B
7–E
8–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡¡
Test 5 Àö¯ĞĞ¯န
Paralelkenar
Paralelkenarda bir köeden açortay çizildiinde ikizkenar üçgen oluur. Bununla ilgili olarak aada verdiimiz kavrama sorularn dikkatle inceleyiniz.
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
5
D
5
E
B
C
E
5
B
C
ABCD paralelkenar, [AE] açortay, |AB|=5 cm olduuna göre,
m(EéAD)=m(BéEA) {ç ters açlar}
|BE| kaç cm dir, bulunuz.
ABE üçgeninde m(BéAE)=m(BéEA) ise ABE ikizkenar üçgendir.
|BA|=|BE|=5 cm
Cevap: 5
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
D
x+3
B 3 E
F
x+3
B 3 E
C
x
F 3 C
ABCD paralelkenar, [AF], [DE] açortay, |BE|=3 cm
|EF|=x cm alalm.
olduuna göre, |FC| kaç cm dir, bulunuz.
m(DéAF)=m(BéFA) {ç ters açlar} ise m(BéAF)=m(BéFA) dr.
ABF ikizkenar üçgen olur ve |BA|=|BF|=x+3 cm
[AB] ve [BC] paralelkenarn karlkl kenarlar olduundan
|AB|=|DC| dir ve |DC|=x+3 cm olur.
m(AéDE)=m(DéEC) ise {ç ters açlar} m(EéDC)=m(DéEC) dir.
CDE ikizkenar üçgen olur ve |CE|=|DC|=x+3 cm
|CE|=|EF|+|FC| ise x+3=x+|FC| 3=|FC|
Cevap: 3
çözüm
kavrama sorusu
A
9
D
A
C
B
9
D
C
B
E
E
ABCD paralelkenar, [AE] açortay, |AD|=9 cm olduuna göre,
[AB] // [DE] ise m(BéAE)=m(AéED) {ç ters açlar}
|DE| kaç cm dir, bulunuz.
m(DéAE)=m(DéEA) ise DAE ikizkenar üçgendir.
|AD|=|DE|=9 cm olur.
Cevap: 9
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
276
¤¤¦¤Ú¤Ú
Paralelkenar
Test / 7
soru 1
A
soru 5
D
A
ABCD paralelkenar
ABCD paralelkenar
[DE] açortay
[AE] açortay
|CE|=7 cm
|AD|=16 cm
B
olduuna göre,
E
7
C
A) 3
C
|DE| kaç cm dir?
B) 5
C) 7
soru 2
D) 10
E) 14
A
A) 32
E
B) 20
C) 18
soru 6
D
D
B
olduuna göre,
|DC| kaç cm dir?
16
D) 16
E) 8
A
D
ABCD paralelkenar
ABCD paralelkenar
2x3
[AE] açortay
9
A, B, E dorusal
[DE] açortay
|BE|=x+5 cm
B
|CD|=2x – 3 cm
x+5
E
C
B
|DC|=9 cm
C
3
olduuna göre,
|BE|=3 cm
|AB| kaç cm dir?
olduuna göre,
E
B) 10
C) 13
soru 3
D) 15
E) 18
A
D
ABCD paralelkenar
www.kartezyen.com.tr
|AD| kaç cm dir?
A) 7
A) 16
B) 12
soru 7
|BE|=6 cm
[AE], [DF] açortay
F
C
B
|FC|=9 cm
D
C
F
4
|CE|=4 cm
|FC| kaç cm dir?
E
olduuna göre,
A) 3
B) 6
C) 9
D) 10
E) 12
paralelkenarn çevresi kaç cm dir?
A) 44
soru 4
A
B) 42
ABCD paralelkenar
[AF], [DE] açortay
[AF], [DE] açortay
|BE|=x+7 cm
|BF|=13 cm
B x+7 E
F 2x5 C
olduuna göre, x kaçtr?
olduuna göre,
B) 9
C) 10
D) 11
E) 36
D
B
4
|BE|=4 cm
F
C
E
Çevre(ABCD) kaç cm dir?
A) 8
D) 38
A
ABCD paralelkenar
|FC|=2x – 5 cm
C) 40
soru 8
D
E) 6
ABCD paralelkenar
D, C, E dorusal
B 6 E
D) 9
A
[AF], [DE] açortay
olduuna göre,
C) 10
E) 12
A) 48
B) 52
C) 56
D) 60
E) 64
277
1–C
2–C
3–B
4–E
5–D
6–B
7–A
8–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡¡
Test 5 Àö¯ĞĞ¯န
Paralelkenar
Pek çok paralelkenar sorusunda, paralelkenarn karlkl açlarnn eit olmas veya karlkl kenarlarnn paralel olmasndan ötürü benzerlik sorular ile karlaabiliriz. imdi de sras ile karnza çkabilecek olan benzerlik sorularn incelemeye çalalm. lk olarak paralelkenarda karlkl açlarn eitliinin kullanld benzerlik sorular ile balayalm.
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
q
8
9
D
q
b
8
9
a
a
B
E
6
C
a
b
F
a
E
6
B
C
F
ABCD paralelkenar, m(AéEB)=m(AéFD)=, |AB|=9 cm
Paralelkenarn karlkl açlar eit olacana göre
|BE|=6 cm, |DF|=8 cm olduuna göre, |AD| kaç cm dir,
m(AéBE)=m(AéDF)= olsun. Dikkat ederseniz.
bulunuz.
m(BéAE)=m(DéAF)=180° – (+) dr.
180° – += diyelim.
Buna göre, üç açlarda eit olduundan ABE ve ADF benzer
üçgenlerdir.
Uyarı
| AB|
| AD|
AÿBE AÿDF ise
ki açs eit olan üçgenlerin benzer üçgenler olduklarn hatrlaynz.
|BE|
9
6
ise
|DF |
| AD| 8
açsnn
açsnn
karsndaki karsndaki |AD|=12 cm
kenarlar
kenarlar
Cevap: 12
çözüm
kavrama sorusu
D
F
A
F
A
a
D Paralelkenarn karlkl açlar
8
b
a
q
eit olacana göre
m(AéBE)=m(FéDC)= olsun.
b
a
B
8
E
C
B
q
a
8
E
C
ABCD paralelkenar, m(AéEB)=m(CéFD)=, |BE|=8 cm
m(BéAE)=m(DéCF)=180° – (+) ise
olduuna göre, |DF| kaç cm dir, bulunuz.
m(BéAE)=m(DéCF)= diyelim
ABE ve CDF üçgenlerinin açlar eit olduuna göre, benzer üçgenlerdir.
|BE|
| AB|
AÿBE CÿDF ise
|DF |
|CD|
açsnn
açsnn
karsndaki karsndaki
kenarlar
kenarlar
|AB|=|CD| olduundan
Buna göre,
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
278
| AB|
1 dir.
|CD|
|BE| | AB|
8
ise
1 |DF|=8 cm dir.
|DF | |CD|
|DF |
Cevap: 8
¤¤¦¤Ú¤Ú
Paralelkenar
Test / 8
soru 1
A
soru 5
D
ABCD paralelkenar
|BE|=2 cm
|DF|=3 cm
E
2
B
| AB|
oran kaçtr?
olduuna göre,
| AD|
C
D
ABCD paralelkenar
3
m(AéEB)=m(AéFD)
A
6
m(AéEC)=m(AéFC)
|BE|=3 cm
F
B 3 E
|CF|=2 cm
C
2
F
|DF|=6 cm
olduuna göre, |EC| kaç cm dir?
1
A)
3
1
B)
2
2
C)
3
soru 2
3
D)
2
A
F
3
E)
5
E
A) 5
C) 11
D) 12
soru 6
D
ABCD paralelkenar
E) 13
A 4 F
D
6
ABCD paralelkenar
8
6
m(BéFC)=m(DéEC)
E
m(BéEC)+m(BéFD)=180°
|BF|=6 cm
6
|AF|=4 cm
|DC|=8 cm
B
B
|DE|=|CE|=6 cm
C
olduuna göre,
C
B) 24
soru 3
C) 36
D) 48
A
E) 64
D
6
ABCD paralelkenar
10
m(BéAF)=m(DéAE)
www.kartezyen.com.tr
olduuna göre, |BC| kaç cm dir?
|BC|.|DE| ifadesinin deeri kaçtr?
A) 12
B) 8
A) 12
B) 14
C) 16
soru 7
D) 18
E) 20
E
A
D
ABCD paralelkenar
m(AéFB)=m(CéED)
E
|BF|=7 cm
|DE|=6 cm
|BF|=4 cm
B 4
F
C
olduuna göre,
B
7
F
C
|DE| kaç cm dir?
|AB|=10 cm
olduuna göre, |AD| kaç cm dir?
A) 5
A) 10
B) 12
soru 4
C) 15
D) 18
A
ABCD paralelkenar
soru 8
D
4
E) 9
A
x+3
E
D
m(BéED)=m(BéFD)
5
|AE|=x+3 cm
F 3 C
B
|BE|=5 cm
olduuna göre,
olduuna göre, |AD| kaç cm dir?
|AE| kaç cm dir?
C) 15
D) 18
E) 21
A) 9
F
B
|FC|=2x – 6 cm
|FC|=3 cm
B) 12
D) 8
ABCD paralelkenar
|AE|=4 cm
A) 9
C) 7
E) 20
E
m(AéED)=m(DéFC)
B) 6
B) 10
C) 11
D) 12
2x6
C
E) 13
279
1–C
2–D
3–C
4–B
5–E
6–D
7–C
8–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡¡
Test 6 Àö¯ĞĞ¯န
Paralelkenar
D
A
D
A
F
E
B
C
B
C
Paralelkenarda köegen üzerine dikmeler indirildiinde oluan tüm üçgenler eittir.
Paralelkenarda köegen paralelkenar birbirine e iki üçgene
ayrr. Yukardaki ekilde ABD ve CDB e üçgenlerdir.
AÿBE CÿDF AÿED CÿFB ise
AÿBD CÿDB
|AE|=|CF| ve |BE|=|DF| dir.
çözüm
kavrama sorusu
D
A
A
a
90°a
7
7
F
F
E
7
E
B
C
B
D
90°a
a
C
ABCD paralelkenar, [AE] [BD], [CF] [BD], |AE|=7 cm
AéDE ve DéBC iç ters açlar olduundan eittir.
olduuna göre, |CF| kaç cm dir, bulunuz.
m(AéDE)=m(DéBC)= olsun.
AED ve BCF üçgeninde iç açlar toplam 180° ise
m(EéAD)=m(BéCF)=180° – 90° – =90° – olur.
Tüm açlar eit ve |AD|=|BC| olduundan AED ve CFB e üçgenlerdir.
AÿED CÿFB ise |AE|=|CF|=7 cm
Cevap: 7
çözüm
kavrama sorusu
D
A
A
90
E
E
°
9
3
D
a
a
a
C
B
3
F
9
a
9
°
F
90
B
3
C
ABCD paralelkenar, [AF] [BD], [CE] [BD], |BF|=3 cm
AéBD ve BéDC iç ters açlar olduundan eittir.
|CE|=9 cm olduuna göre, |AB| kaç cm dir, bulunuz.
m(AéBD)=m(BéDC)= diyelim.
ABF ve CDE üçgenlerinde iç açlar toplamndan
m(BéAF)=m(DéCE)=180° – 90° – =90° – olur.
Tüm açlar eit ve |AB|=|CD| olduundan ABF ve CDE e üçgenlerdir.
AÿBF CÿDE ise |AF|=|CE|=9 cm ve |BF|=|DE|=3 cm dir.
ABF üçgeninde Pisagor bantsndan
| AB| | AF |2 |BF |2 92 32 3 10 cm dir.
Cevap: 3ò10
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
280
¤¤¦¤Ú¤Ú
Paralelkenar
Test / 9
soru 1
soru 5
D
A
F
ABCD paralelkenar
[AE] [BD]
E
[DE] [AC]
C
B
|AE|=5 cm
C
|CE|=2x – 3 cm
|DF|=7 cm
olduuna göre, x kaçtr?
olduuna göre, |AB| kaç cm dir?
A) 3
B) 5
C) 6
soru 2
D) 8
2x+7
[AE] [BD]
E
[CF] [BD]
F
C) 4ñ5
|EF|=|EC|=3 cm
C
B
C
olduuna göre, |BC| kaç cm dir?
soru 3
D) 19
E) 17
D
A
x+1
ABCD paralelkenar
[AE] [BD]
E
[CF] [BD]
x+3
|AE|=x+1 cm
F
www.kartezyen.com.tr
olduuna göre, |AE| kaç cm dir?
C) 21
A) 3ñ7
B) 5ñ3
soru 7
B
F
9
B
|DE| kaç cm dir?
soru 4
D) 7
A
F
ABCD paralelkenar
E) 8
2
E
|BF|=9 cm
|BE|=x+3 cm olduuna göre, |DF| kaç cm dir?
C) 6
A) 15
B) 12
x+7
m(AéFB)=m(DéEC)
C
|CE|=x+7 cm
B
|AF|=3x – 5 cm
olduuna göre, |AF| kaç cm dir?
C) 5ñ3
D) 3ò13
F
E
olduuna göre, |DC| kaç cm dir?
B) 7ñ2
D
ABCD paralelkenar
|DF|=2 cm
A) ò17
E) 6
3x5
E
B
D) 9
A
[BD] köegen
|AE|=2|BE|+4
C
C) 11
soru 8
D
[AE] [BD]
[CF] [BD]
D
m(AéFB)=m(DéEC)
C
E) 4ñ7
ABCD paralelkenar
olduuna göre,
B) 5
D) 6ñ2
A
|CF|=2x – 2 cm
A) 4
C) 3ò10
[AC] köegen
2x 2
3
F
[CE] [BD]
6
E
3
|ED|=6 cm
B) 23
D
[AF] [BD]
3x 2
E) 7ñ2
A
|CF|=3x – 2 cm
A) 25
D) 3ñ7
ABCD paralelkenar
B
|AE|=2x+7 cm
B) 6ñ3
soru 6
D
A
ABCD paralelkenar
A) ò74
E) 10
F
E
[CF] [BD]
B
7
5
ABCD paralelkenar
[BF] [AC]
|AF|=x+5 cm
D
A
E) 2ò17
A) 10
B) 13
C) 15
C
D) 16
E) 18
281
1–D
2–A
3–C
4–E
5–A
6–C
7–D
8–B
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡¡
Test 7 Àö¯ĞĞ¯န
Paralelkenar
Birçok benzerlik sorusunda paralelkenarn karlkl kenarlarnn paralel olmas durumundan faydalanrz. Size bir hatrlatma yapalm.
A
[AD] ve [BC] birbirine paralel ise ekilde iç ters açlar oluacandan
D
m(CéAD)=m(BéCA) {ç ters açlar}
E
m(AéDB)=m(DéBC) {ç ters açlar}
m(AéED)=m(BéEC) {Ters açlar}
Tüm açlar eit olduundan AED ve CEB benzer üçgenlerdir.
B
| AE| | AD| |ED|
olur.
|CE| |CB| |EB|
C
çözüm
kavrama sorusu
D
A
3x
A
a
b
D
|BE|=x cm alrsak
|EC|=2|BE|=2x cm ve
|AD|=|BC|=3x cm olur.
F
F
E
B
q
C
q
a b
x
B
ABCD paralelkenar, [AE] [BD]={F}, |EC|=2|BE|
|BF |
oran kaçtr, bulunuz.
olduuna göre,
|DF |
E
2x
C
m(AéDB)=m(EéBF)= {ç ters açlar}
m(DéAF)=m(BéEF)= {ç ters açlar}
m(AéFD)=m(BéFE)= {Ters açlar}
Tüm açlar eit olduuna göre, AÿFD EÿFB
|BE|
| AD|
|BF |
x |BF |
1 |BF |
ise
|DF |
3x |DF | 3 |DF |
açsnn
açsnn
karsndaki karsndaki
kenarlar
kenarlar
Cevap:
1
3
çözüm
kavrama sorusu
E
6
A
F
E
6
4
A
D
q
b
8
8
F q b
C
4
D
|AB|=|DC|=8 cm dir.
12
8
a
B
a
m(AéBF)=m(DéEF)= {ç ters açlar}
m(BéAF)=m(EéDF)= {ç ters açlar}
B
C
m(AéFB)=m(EéFD)= {Ters açlar}
Tüm açlar eit olduundan, AÿBF DÿEF
ABCD paralelkenar, [BE] [CE]={E}, |ED|=4 cm, |DC|=8 cm
| AB|
|DE|
|EF|=6 cm olduuna göre, |BF| kaç cm dir, bulunuz.
|BF |
8 |BF |
|BF |
ise 2
|BF | 12 cm
|EF |
4
6
6
açsnn
açsnn
karsndaki karsndaki
kenarlar
kenarlar
Cevap: 12
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
282
¤¤¦¤Ú¤Ú
Paralelkenar
Test / 10
soru 1
soru 5
D
A
D
A
E
ABCD paralelkenar
ABCD paralelkenar
F
[AC] [DE]={F}
|BE|=2 cm
|EC|=6 cm
olduuna göre,
B 2 E
|EF |
oran kaçtr?
|DF |
C
6
8
K
[DF] [CE]={K}
|DK|=8 cm
F
|KF|=4 cm
B
4
9
5
C
|CK|=5 cm
|DC|=9 cm
1
A)
2
2
B)
3
2
C)
5
3
D)
4
3
E)
5
olduuna göre, EFK üçgeninin çevresi kaç cm dir?
A) 14
soru 2
D
A
B) 13
3
4
B
|EC|=6 cm
|DE|
E
6
C
olduuna göre, |AF| kaç cm dir?
olduuna göre,
soru 3
D)
19
2
E)
21
2
D
A
F
ABCD paralelkenar
www.kartezyen.com.tr
|BC|=18 cm
C) 8
F
B
18
C
|DF| kaç cm dir?
A) 6
B) 8
C) 9
D) 10
soru 7
E) 11
D
A
ABCD paralelkenar
[AE] [DE]={E}
|DE|=3|CE|
E
|AF|+|BF|=24 cm
B
|DF|=2|EF|
4
F
C
|BF|=4 cm
3
|AE|+|BD|
|BE|=3 cm
E
toplam kaç cm dir?
olduuna göre, paralelkenarn çevresi kaç cm dir?
B
olduuna göre,
A) 26
D
1
|DC|
2
|EF|=3 cm
B) 7
A
[BE] [CE]={E}
F
|BE|=4 cm
E) 10
E
ABCD paralelkenar
[AE] [BD]={F}
15
2
D) 11
soru 6
ABCD paralelkenar
A)
C) 12
B) 30
C
C) 34
soru 4
D) 38
E) 42
D
A
B) 36
C) 34
soru 8
D) 32
A
E) 30
D
ABCD paralelkenar
ABCD paralelkenar
[AF] [DE]={K}
[AE] [DE]={E}
K
|BF | 4
|FC| 3
|BE|=|EF|=|FC|
B
|KE|+|KF|=9 cm
A) 38
E
F
C
B
F
C
12
olduuna göre,
|EC|=12 cm
|AF|+|DE| toplam kaç cm dir?
olduuna göre,
E
|AB| kaç cm dir?
A) 18
B) 24
C) 27
D) 30
E) 36
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
283
1–D
2–A
3–E
4–E
5–D
6–A
7–B
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡¡
Test 10 Àö¯ĞĞ¯န
EKENAR DÖRTGEN
Tüm kenarlarnn uzunluklar birbirine eit olan paralelkenara “ekenar dörtgen” denir.
A
a
180° a
D
Ekenar dörtgende karlkl açlarn ölçüleri eit, ardk açlarn ölçüleri
ise bütünlerdir.
Yandaki ekilde verilen ABCD ekenar dörtgeninde
|AB|=|BC|=|CD|=|AD|
180° a
a
B
m(ëA)=m(ëC) ve m(ëB)=m(ëD) dir.
C
Ekenar dörtgende aç sorularn çözerken genel olarak paralelkenarda örenmi olduunuz yöntemleri uygulamalsnz. Ekenar dörtgenin paralelkenardan farkl olan yönü kenarlarnn birbirine eit uzunlukta olmasdr.
çözüm
kavrama sorusu
A
Ekenar dörtgende ardk açlar bütünlerdir.
D
x
104°
Buna göre,
m(AéDC)+m(BéAD)=180°
m(AéDC)=180° – m(BéAD)
x=180° – 104°
y
B
x=76°
Ekenar dörtgende karlkl açlar birbirlerine eittir.
C
Buna göre,
m(BéCD)=m(BéAD)
ABCD ekenar dörtgen, m(BéAD)=104°, m(AéDC)=x, m(BéCD)=y
olduuna göre, y – x fark kaçtr, bulunuz.
y=104°
Buradan y – x=104° – 76°=28°
Cevap: 28
çözüm
kavrama sorusu
A
D
[AB]//[DC] olduuna göre, BéAE ve AéED iç ters açlardr.
ç ters açlarn ölçüleri birbirine eittir.
Buna göre, m(BéAE)=m(AéED)=80°
80°
E
B
Cevap: 80
C
ABCD ekenar dörtgen, m(AéED)=80° olduuna göre,
m(BéAE) kaç derecedir, bulunuz.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
284
¤¤¦¤Ú¤Ú
Eşkenar Dörtgen
Test / 1
soru 1
A
soru 5
D
A
ABCD ekenar dörtgen,
ABCD ekenar dörtgen,
m(AéDC)=66°
m(BéAD)=x,
olduuna göre,
m(AéBC)=y,
m(AéBC) kaç derecedir?
x+y=3m(BéCD)
B
D
x
66°
y
olduuna göre,
C
B
C
m(AéDC) kaç derecedir?
A) 24
B) 66
C) 94
D) 100
E) 114
A) 100
soru 2
A
B) 105
C) 110
soru 6
D
ABCD ekenar dörtgen,
m(AéBC)=106°
m(EéFC)=80°
olduuna göre,
olduuna göre,
106°
A) 44
B
B) 40
soru 3
E
D) 32
E) 28
A
D
ABCD ekenar dörtgen,
B
A) 40
B) 60
olduuna göre,
2x+15°
B
E) 100
E
D
ABCD ekenar dörtgen,
m(BéCD)=2x+15°
x
D) 90
A
m(EéFB)=65°
m(BéAD)
F
C
C) 80
soru 7
m(AéBC)=x,
olduuna göre,
80°
C
C) 36
D
m(AéEF) kaç derecedir?
www.kartezyen.com.tr
kaç derecedir?
E) 120
A
ABCD ekenar dörtgen,
m(AéDC)– m(BéCD)
D) 115
m(AéEF) kaç derecedir?
C
65°
B
F
C
kaç derecedir?
A) 65
A) 125
B) 120
C) 115
soru 4
D) 110
B) 80
C) 100
D
ABCD ekenar dörtgen,
soru 8
A
[BE] [DC]
olduuna göre,
olduuna göre,
m(AéDC)
m(AéBE) kaç derecedir?
B
B) 59
D
ABCD ekenar dörtgen,
m(BéAD)=m(AéBC)+44°
A) 57
E) 115
E) 105
A
kaç derecedir?
D) 105
E
C
C) 63
D) 68
B
E) 72
A) 90
B) 85
C) 80
C
D) 75
E) 70
285
1–B
2–D
3–A
4–D
5–E
6–C
7–E
8–A
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚĆ¡ö¡¥
Test 1 Àö¯ĞĞ¯န
Eşkenar Dörtgen
Pek çok aç sorusunda bir önceki sayfada örendiiniz aç özelliklerini ve ekenar dörtgenin kenarlarnn eit uzunlukta olma özelliini
kullanmanz gerekebilir. Bununla ilgili olarak aada verdiimiz kavrama sorularn dikkatle incelemeniz faydal olacaktr.
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
70°
D
x=55°
70°
x=55°
B
C
B
ABCD ekenar dörtgen, m(BéAD)=70° olduuna göre,
C
Ekenar dörtgenin tüm kenarlar eit uzunlukta olduuna göre,
|AB|=|AD| ve ABD ikizkenar üçgendir.
m(AéBD) kaç derecedir, bulunuz.
ABD ikizkenar üçgeninde m(AéBD)=m(AéDB)=x alalm.
ABD üçgeninde iç açlar toplam 180° dir.
70°+x+x=180° ise x=55° dir.
m(AéBD)=x=55° olur.
Cevap: 55
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
D
30°
70°
80°
80°
E
E
70°
B
70°
C
B
C
Ekenar dörtgende karlkl açlarn ölçüleri eit olduundan
ABCD ekenar dörtgen, m(AéBC)=70°, m(AéED)=80° olduuna
göre, m(DéAE) kaç derecedir, bulunuz.
m(AéBC)=m(AéDC)=70° dir.
AED üçgeninde iç açlar toplam 180° dir.
m(DéAE)+m(AéED)+m(AéDE)=180°
m(DéAE)+80°+70=180°
m(DéAE)=30° dir.
Cevap: 30
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
286
¤¤¦¤Ú¤Ú
Eşkenar Dörtgen
Test / 2
soru 1
A
soru 5
D
A
ABCD ekenar dörtgen,
ABCD ekenar dörtgen,
m(AéBC)=72°,
m(AéDC)=70°,
olduuna göre,
m(BéAE)=40°,
m(DéAC) kaç derecedir?
D
70°
40°
olduuna göre,
72°
B
m(AéEB) kaç derecedir?
C
B
A) 36
B) 48
C) 54
D) 60
A) 70
soru 2
C
E
E) 72
A
B) 68
C) 66
soru 6
D
E) 62
A
ABCD ekenar dörtgen,
ABCD ekenar dörtgen,
m(AéCD)=44°
m(AéDC)=104°,
olduuna göre,
m(FéEC)=40°,
m(AéBC) kaç derecedir?
D) 64
D
104°
F
olduuna göre,
44°
m(EéFC) kaç derecedir?
A) 92
B) 98
C
C) 100
soru 3
D) 105
E) 107
A
D
24°
ABCD ekenar dörtgen,
m(AéBC)=76°,
www.kartezyen.com.tr
B
A) 74
B) 68
olduuna göre,
C) 56
soru 4
E
D) 54
A
111°
B
C
E
A) 112
B) 58
D
m(BéED) kaç derecedir?
B
B) 120
C
C) 126
D) 130
D
E
soru 8
A
ABCD ekenar dörtgen,
m(AéBE)=,
m(BéAD)=116°,
m(EéBC)=2,
m(EéCD)=24°,
E
116°
F
kaçtr?
B
x
24°
m(AéFC)=x,
105°
36°
B
m(DéEC)=y,
C
D
y
m(BéCF)=36°,
m(BéCD)=105°
a
2a
E) 134
E) 52
ABCD ekenar dörtgen,
olduuna göre,
E) 56
m(BéCD)=111°,
olduuna göre,
A) 60
D) 60
ABCD ekenar dörtgen,
m(EéDC)=2m(AéDE),
76°
C
A
m(EéDC)=24°,
m(AéDE) kaç derecedir?
C) 64
soru 7
40°
E
B
C
olduuna göre, x+y toplam kaçtr?
A) 25
B) 30
C) 35
D) 40
E) 45
A) 192
B) 184
C) 176
D) 168
E) 152
287
1–C
2–A
3–E
4–A
5–A
6–C
7–E
8–A
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚĆ¡ö¡¥
Test 1 Àö¯ĞĞ¯န
Eşkenar Dörtgen
Ekenar dörtgen sorularnda, herhangi bir uzunluk ekenar dörtgenin bir kenarna eit uzunlukta verilirse, ekilde gizli bir ikizkenar üçgen
olabilir.
Bu tür durumlarda birbirine eit uzunluktaki tüm kenarlar iaretleyecek olursanz ikizkenar üçgenleri tespit edebilirsiniz.
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
D
66°
B
66°
66°
E
E
C
B
ABCD ekenar dörtgen, |AE|=|BC|, m(AéED)=66° olduuna
göre, m(AéDE) kaç derecedir, bulunuz.
C
|AE|=|BC| ve |AD|=|BC| ise |AD|=|AE| dir.
AED ikizkenar üçgen ise taban açlar eittir.
m(AéED)=m(AéDE)=66° dir.
Cevap: 66
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
D
50°
80°
20°
20°
70°
B
50°
70°
E
C
E
B
ABCD ekenar dörtgen, |AE|=|BC|, m(AéBC)=70°,
C
m(EéDC)=20° olduuna göre,
Ekenar dörtgenin tüm kenarlar eit uzunlukta ve |AE|=|BC|
olduuna göre, |AB|=|BC|=|CD|=|AD|=|AE| dir.
m(EéAD) kaç derecedir, bulunuz.
ABE ve AED ikizkenar üçgen olur.
Ekenar dörtgende karlkl açlarn ölçüleri eit olduuna göre,
m(AéBC)=m(AéDC)=70°
m(AéDE)=m(AéDC) – m(EéDC)
=70° – 20°=50°
AED ikizkenar üçgen ise taban açlar eittir.
m(AéED)=m(AéDE)=50°
AED üçgeninde iç açlar toplam 180° ise
m(EéAD)+m(AéED)+m(AéDE)=180°
m(EéAD)+50°+50°=180°
m(EéAD)=80°
Cevap: 80
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
288
¤¤¦¤Ú¤Ú
Eşkenar Dörtgen
Test / 3
soru 1
A
soru 5
D
74°
ABCD ekenar dörtgen,
A
|DE|=|BC|,
m(BéAE)=74°
m(AéED)=54°,
E
olduuna göre,
m(EéDC)=32°
m(EéAD)
54°
olduuna göre,
B
kaç derecedir?
A) 32
C
B) 34
soru 2
C) 36
D
ABCD ekenar dörtgen,
68°
E) 40
A) 78
B) 76
E
C
D) 72
E) 70
B
m(BéCD) kaç derecedir?
D) 38
A
C) 74
soru 6
A
D
ABCD ekenar dörtgen,
|DE|=|BC|,
|AB|=|DF|,
m(EéDC)=68°
m(DéEC)=50°
olduuna göre,
olduuna göre,
E
m(DéAF) kaç derecedir?
B
B) 110
C
C) 108
soru 3
D) 106
E) 104
A
D
110°
ABCD ekenar dörtgen,
E
|EC|=|DC|,
www.kartezyen.com.tr
m(AéBC) kaç derecedir?
A) 50
B) 55
soru 7
C) 60
F
50°
C
D) 65
E) 70
D
A
ABCD ekenar dörtgen,
|AE|=|BC|,
m(AéCB)=34°
olduuna göre,
olduuna göre,
m(EéCD) kaç derecedir?
m(AéDE) kaç derecedir?
B
B) 70
E
B
m(BéAD)=110°
A) 75
32°
ABCD ekenar dörtgen,
|AE|=|AB|,
A) 112
D
E
C
C) 65
soru 4
D) 60
34°
B
E) 55
A
D
A) 69
B) 71
C) 73
soru 8
D) 75
C
E) 77
A
D
72°
ABCD ekenar dörtgen,
ABCD ekenar dörtgen,
|AE|=|BC|,
[BD] köegen,
m(AéDC)=72°
|AD|=|BE|,
olduuna göre,
E
16°
m(BéAE) kaç derecedir?
B) 68
m(AéDC)=76°
olduuna göre,
B
A) 72
E
C
C) 56
D) 52
m(EéAD) kaç derecedir?
B
A) 38
C) 35
C
E) 50
B) 36
D) 33
E) 30
289
1–A
2–A
3–B
4–B
5–B
6–D
7–C
8–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚĆ¡ö¡¥
Test 2 Àö¯ĞĞ¯န
Eşkenar Dörtgen
çözüm
kavrama sorusu
A
Ekenar dörtgenin tüm kenarlarnn uzunluklar birbirine eittir.
D
|BC|=|CD| ise 3x – 5=x+7
3x – x=7+5
2x=12
x+7
x=6 cm
B
3x 5
Cevap: 6
C
ABCD ekenar dörtgen, |BC|=3x – 5 cm, |CD|=x+7 cm olduuna göre, x kaçtr, bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
Bir kenarnn uzunluu 7 cm olan ekenar dörtgenin çevresi
kaç cm dir, bulunuz.
Ekenar dörtgenin çevresi tüm kenar uzunluklarnn toplamdr.
Tüm kenarlarn uzunluklar 7 cm olduuna göre,
Çevre=7+7+7+7=4 . 7=28 cm
Cevap: 28
çözüm
kavrama sorusu
A
2x+5
Ekenar dörtgenin tüm kenarlar eit uzunluktadr.
D
|AD|=|CD| ise 2x+5=4x – 7
5+7=4x – 2x
12=2x
4x 7
6=x
x=6 cm
B
ise |AD|=2 . x+5=2 . 6+5=17 cm
Ekenar dörtgenin bir kenar 17 cm ise çevresi
C
Çevre(ABCD)=17+17+17+17=4 . 17=68 cm
ABCD ekenar dörtgen, |AD|=2x+5 cm, |CD|=4x – 7 cm olduuna göre, Çevre(ABCD) kaç cm dir?
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
Cevap: 68
290
¤¤¦¤Ú¤Ú
Eşkenar Dörtgen
Test / 4
soru 1
soru 5
D
A
Çevresi 24 cm olan ekenar dörtgenin, bir kenar kaç cm dir?
ABCD ekenar dörtgen,
|BC|=17 – x cm,
x+3
|CD|=x+3 cm
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
E) 12
olduuna göre,
|AB| kaç cm dir?
B
A) 5
B) 7
17 x
C) 8
soru 2
C
D) 10
E) 12
soru 6
D
A
ABCD ekenar dörtgen,
Bir kenar x+3 cm olan ekenar dörtgenin çevresi A cm, bir
kenar x – 1 cm olan ekenar dörtgenin çevresi B cm olduuna
göre, A – B fark kaçtr?
|AB|=3x – 4 cm,
3x 4
|CD|=2x+7 cm
2x+7
olduuna göre,
A) 4
|AD|+|BC|
A) 58
B) 54
soru 3
B
C) 12
D) 16
E) 20
C
C) 50
D) 46
E) 44
D
A
|CD|=9 cm
olduuna göre,
www.kartezyen.com.tr
toplam kaç cm dir?
B) 8
soru 7
x+3
A
D
|AD|=x+3 cm,
|CD|=y – 5 cm,
9
ABCD ekenar dörtgeninin
ABCD ekenar dörtgenin
çevresi kaç cm dir?
çevresi 36 cm
y5
olduuna göre,
B
A) 40
B) 36
C) 32
C
D) 27
x+y toplam kaçtr?
B
A) 20
C) 16
C
E) 24
soru 4
B) 18
soru 8
Bir kenar 14 cm olan ekenar dörtgenin çevresi kaç cm dir?
D) 14
E) 12
x5
A
D
ABCD ekenar dörtgen,
|AD|=x – 5 cm,
A) 44
B) 48
C) 52
D) 56
E) 60
y+4
|CD|=y+4 cm
olduuna göre,
x – y fark kaçtr?
B
A) 9
B) 8
C) 7
C
D) 6
E) 5
291
1–D
2–A
3–B
4–D
5–C
6–D
7–A
8–A
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚĆ¡ö¡¥
Test 3 Àö¯ĞĞ¯န
Eşkenar Dörtgen
A
D
Ekenar dörtgende köegenler açortaydr.
Yani ABCD ekenar dörtgeninde [AC] ve [BD] köegen ise
m(BéAC)=m(DéAC)=m(BéCA)=m(DéCA)
E
m(AéBD)=m(CéBD)=m(AéDB)=m(CéDB)
Ekenar dörtgende açortaylar birbirine diktir.
Yani [AC] [BD] dir.
B
Ekenar dörtgende köegenler birbirini ortalar.
C
Yani |AE|=|CE| ve |BE|=|DE| dir.
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
D
7
4
E
E
7
B
C
4
B
C
ABCD ekenar dörtgen, |AC|=8 cm, |BD|=14 cm olduuna
Ekenar dörtgende köegenler birbirini dik ortalayacana göre,
göre, |AE|+|BE| toplam kaç cm dir, bulunuz.
|BE| |DE| |BD| 14
7 cm
2
2
| AC| 8
| AE| |CE| 4 cm
2
2
| AE| |BE| 7 4 11 cm dir.
Cevap: 11
çözüm
kavrama sorusu
A
A
D
D
E
4
B
E
6
6
4
C
B
2ò13
C
Ekenar dörtgende köegenler dik kesieceinden m(BéEC)=90°
dir.
ABCD ekenar dörtgen, [AC], [BD] köegen, |BE|=4 cm,
|CE|=6 cm olduuna göre, |BC| kaç cm dir, bulunuz.
EBC dik üçgeninde Pisagor Bantsndan
|BC| |BE|2 |CE|2 42 62
2 13 cm
Cevap: 2ò13
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
292
¤¤¦¤Ú¤Ú
Eşkenar Dörtgen
soru 1
Test / 5
A
soru 5
D
ABCD ekenar dörtgen,
A
D
ABCD ekenar dörtgen,
E
|BE|=7 cm,
|AC|=16 cm,
|CE|=9 cm
E
|BD|=12 cm
olduuna göre,
olduuna göre,
9
7
|AC|+|BD| toplam kaç cm dir?
|BC| kaç cm dir?
B
A) 32
B) 34
C
C) 36
soru 2
D) 38
B
E) 40
A
A) 6
B) 8
soru 6
D
ABCD ekenar dörtgen,
D) 12
E) 15
A
D
ABCD ekenar dörtgen,
|AC|=18 cm,
|BD|=|AC|+8
E
|BD|=26 cm
|BC|=4ñ5 cm
olduuna göre,
olduuna göre,
|AE|+2|DE|
E
|BD| kaç cm dir?
B) 35
B
C
C) 38
soru 3
D) 40
B
E) 46
A
D
ABCD ekenar dörtgen,
|AC|=|BD| – 12
E
www.kartezyen.com.tr
toplam kaç cm dir?
A) 30
C) 10
C
A) 16
B) 14
C) 12
C
4ñ5
D) 10
E) 8
soru 7
Bir kenar 10 cm, ksa köegeninin uzunluu 12 cm olan ekenar dörtgenin uzun köegeni kaç cm dir?
olduuna göre,
A) 16
|BE| – |CE| fark kaç cm dir?
B
A) 3
B) 4
C) 24
D) 30
E) 36
C
C) 6
soru 4
B) 18
D) 9
E) 12
A
ABCD ekenar dörtgen,
D
Ksa köegeni 10 cm, uzun köegeni 14 cm olan ekenar
dörtgenin çevresi kaç cm dir?
3
[AC], [BD] köegen,
soru 8
E
|BE|=5 cm,
5
|AE|=3 cm
A) 4ò17
B) 8ñ3
C) 8ñ5
D) 4ò37
E) 4ò74
olduuna göre,
B
|DC| kaç cm dir?
A) 4
B) 3ñ2
C
D) ò34
C) 3ñ3
E) 5ñ2
293
1–A
2–B
3–C
4–D
5–C
6–A
7–A
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚĆ¡ö¡¥
Test 4 Àö¯ĞĞ¯န
Eşkenar Dörtgen
Ekenar dörtgende köegenlerin ayn zamanda açortay olduklarn ve birbirleri ile dik kesitiklerini örenmitik. Tersten düünecek olursak, köelerden çizilen açortaylarn da birbirlerine dik olacaklarn söyleyebiliriz.
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
D
E
5
B
E
5
3
a
a
b
b
C
B
3
a
a
b
b
C
ò34
ABCD ekenar dörtgen, m(AéBE)=m(EéBC)=,
Ekenar dörtgende ardk açlar bütünler olduundan
m(BéCE)=m(EéCD)=, |BE|=5 cm, |CE|=3 cm olduuna göre,
m(AéBC)+m(BéCD)=180°
|BC| kaç cm dir?
2+2=180° +=90°
EBC üçgeninde iç açlar toplam 180° dir.
m(BEC)
é
180
N
ise
m(BEC)
é
90 180
90
m(BEC)
é
90
BEC dik üçgeninde Pisagor Bantsndan
|BC| |BE|2 |CE|2 52 32 34 cm
Cevap: ò34
çözüm
kavrama sorusu
A
A
D
D
E
E
2ñ2
B
4
F
2
B
C
4
F
2
C
ABCD ekenar dörtgen, [AC], [BD] köegen, [EF] [BC],
Ekenar dörtgende köegenler dik kesiir.
|BF|=4 cm, |CF|=2 cm olduuna göre, |EF| kaç cm dir?
Buna göre, m(BéEC)=90° dir.
EBC dik üçgeninde Öklit Bantsndan
|EF|2=|BF| . |CF| ise |EF|2=4 . 2
|EF|=ó4 . 2=2ñ2 cm
Cevap: 2ñ2
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
294
¤¤¦¤Ú¤Ú
Eşkenar Dörtgen
Test / 6
soru 1
A
soru 5
D
4
ABCD ekenar dörtgen,
[DE], [CE] açortay,
D
ABCD ekenar dörtgen,
[AC], [BD] köegen,
E
|DE|=4 cm,
A
E
[EH] [BC],
|CE|=2 cm
3ñ3
|EH|=3ñ3 cm,
2
|BH|=3|CH|
olduuna göre,
B
|BC| kaç cm dir?
C
H
B
olduuna göre,
C
|DC| kaç cm dir?
A) ñ5
B) 2ñ5
C) 5
E) ò30
D) 3ñ3
A) 12
soru 2
A
E) 20
A
D
[AC], [BD] köegen,
E
Çevre(ABCD)=24 cm,
5
E
[EH] [CD],
H
|CH|=2 cm,
|AE|=4 cm
2
|DH|=5 cm
olduuna göre,
B) 2ñ2
C) 2ñ5
soru 3
C
D) 3ñ3
E) 4ñ2
A
D
ABCD ekenar dörtgen,
[AE], [BE] açortay,
E
|BE|=|AE|+2,
A) 2ñ5
B) 3ñ2
D
ABCD ekenar dörtgen,
E
[AC], [BD] köegen,
[EH] [BC],
|CH|=2|BH|
C) 5
E) ò14
D) 3ò15
A
olduuna göre,
A) 3
C) 4
soru 7
|EH|=2ñ2 cm,
B
C
|EC| kaç cm dir?
Çevre(ABCD)=4ò34 cm
|BE| kaç cm dir?
B
olduuna göre,
www.kartezyen.com.tr
B
|DE| kaç cm dir?
A) ñ5
D) 18
ABCD ekenar dörtgen,
4
[AE], [DE] açortay,
C) 16
soru 6
D
ABCD ekenar dörtgen,
B) 14
C
2ñ2
H
B
olduuna göre,
C
Çevre(ABCD) kaç cm dir?
B) 4
D) 6
E) 7
A) 26
soru 4
A
D
B) 24
soru 8
D) 20
A
3
E) 18
K
D
E noktas ABCD ekenar
ABCD ekenar dörtgen,
[BE], [CE] açortay,
dörtgeninin köegenlerinin
E
[EH] [BC],
kesim noktas
|BH|=6 cm,
|AK|=3 cm,
12
E
|AB|=12 cm
|CH|=2 cm
6
B
olduuna göre,
H 2
C
olduuna göre,
B
C
|EK| kaç cm dir?
|EH| kaç cm dir?
A) ò17
C) 22
B) 4
C) 3ñ2
D) 2ñ3
E) ñ6
A) 4ñ3
B) 2ñ6
C) 2ñ5
D) 3ñ3
E) 3ñ2
295
1–B
2–C
3–C
4–D
5–A
6–E
7–B
8–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚĆ¡ö¡¥
Test 4 Àö¯ĞĞ¯န
Eşkenar Dörtgen
Pek çok soruda ekenar dörtgenin köegenlerinin dik kesitiklerini hatrlamalsnz. Baz durumlarda ekenar dörtgenin köegenlerinden
birisi verilmiken dierini de sizin çizmeniz gerekebilir.
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
7
D
4
ò21
H
1 E
3
1 E
B
C
B
C
[AH] dikmesini çizelim.
ABCD ekenar dörtgen, [BD] köegen, [AE][AD], |BE|=1 cm,
|ED|=7 cm olduuna göre, |AE| kaç cm dir?
|BH|=|HD|=4 cm olacandan
|EH|=|BH| – |BE|=4 – 1=3 cm
AED dik üçgeninde Öklit Bantsndan
|AE|2=|EH| . |ED| ise |AE|2=3 . 7
|AE|=ò21 cm
Cevap: ò21
çözüm
kavrama sorusu
A
A
D
5
B
2
E
3
B
C
2
D
ò21
E
3
C
ABCD ekenar dörtgen, [AE][BC], |BE|=2 cm, |EC|=3 cm
|BC|=|BE|+|EC|=2+3=5 cm
olduuna göre, |AE| kaç cm dir?
Ekenar dörtgenin tüm kenarlar eit uzunluktadr.
Buna göre, |AB|=|BC|=5 cm dir.
AEB dik üçgeninde Pisagor Bantsndan
|AE|2+|BE|2=|AB|2 ise
|AE|2+22=52 |AE|2+4=25
|AE|2=21
|AE|=ò21 cm dir.
Cevap: ò21
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
296
¤¤¦¤Ú¤Ú
Eşkenar Dörtgen
Test / 7
soru 1
A
soru 5
D
[BD] köegen, [AE] [AD],
3
[AE] [CD],
6
E
|DE|=|EC|=3 cm
|BE|=2 cm, |DE|=6 cm
olduuna göre,
olduuna göre,
E
2
|AE| kaç cm dir?
|AE| kaç cm dir?
B
C
B) 2ñ3
soru 2
D
ABCD ekenar dörtgen,
ABCD ekenar dörtgen,
A) 2ñ2
A
C) 3
D) 4
A
A) 4
E) 3ñ2
B
C
B) 5
soru 6
D
3
C) 3ñ3
D) 3ñ2
A
E) 6
D
3
ABCD ekenar dörtgen,
[AC] köegen, [DE] [DC]
E
|AE|=3 cm, |EC|=7 cm
7
olduuna göre,
|DC| kaç cm dir?
B
B) 2ñ6
D) ò34
C) 2ñ7
soru 3
D
A
ABCD ekenar dörtgen,
6
ò13
[BD] köegen,
|BE|=2 cm,
|DE|=6 cm,
2
E
olduuna göre,
A) ñ2
B) ñ5
B
soru 7
[AB] [AE],
D) 18
D
4
2ñ5
E
B
C
E) 20
B) ñ2
A) 1
soru 4
C
E) ò10
D) 2ñ3
ABCD ekenar dörtgen,
olduuna göre,
C) 16
2
A
|DE| kaç cm dir?
B) 14
E
|AE|=4 cm
C
Çevre(ABCD) kaç cm dir?
A) 12
C) 2ñ2
|AB|=2ñ5 cm,
|AE|=ò13 cm
1
ABCD ekenar dörtgen, [DE] [BC], |BE|=1 cm, |EC|=2 cm
olduuna göre, |DE| kaç cm dir?
E) ò35
www.kartezyen.com.tr
A) 3ñ3
B
C
A
D
soru 8
C) 2
9
A
D) ñ5
E) 2ñ2
D
3
ABCD ekenar dörtgen,
E
A, C, E dorusal,
8
|AC|=8 cm,
|CE|=3 cm,
|BC|=2ò13 cm
B
olduuna göre,
C
2ò13
B
3
|DE| kaç cm dir?
E
A) ò85
B) 6ñ3
C) 4ñ6
D) 3ò13
E) 5ñ7
C
ABCD ekenar dörtgen, [AB] [BE], |AD|=9 cm, |DE|=3 cm
olduuna göre, |BE| kaç cm dir?
A) ñ5
B) 2ñ5
C) 3ñ3
D) 3ñ5
E) 3ñ6
297
1–B
2–E
3–E
4–A
5–C
6–B
7–C
8–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚĆ¡ö¡¥
Test 5 Àö¯ĞĞ¯န
DKDÖRTGEN
A
Karlkl kenarlar birbirine eit uzunlukta ve parelel, ardk kenarlar birbirine dik olan dörtgenlere, Dikdörtgen denir.
D
Yandaki ekilde verilen ABCD dikdörtgeninde,
|AB|=|DC| ve |AD|=|BC|
m(ëA)=m(ëB)=m(ëC)=m(ëD)=90° dir.
B
C
çözüm
kavrama sorusu
E
A
D
A
42°
E
D
48°
48°
B
C
B
C
Dikdörtgenin tüm iç açlar 90° olduuna göre, m(BéAE)=90° dir.
ABCD dikdörtgen, m(AéBE)=48° olduuna göre, m(AéEB) kaç
derecedir bulunuz.
ABE üçgeninde iç açlar toplam 180° dir.
m(BéAE)+m(AéBE)+m(AéEB)=180°
90°+48°+m(AéEB)=180°
m(AéEB)=180°–90°–48°
Cevap: 42
m(AéEB)=42°
çözüm
kavrama sorusu
A
A
D
40°
B
34°
40°
34°
E
D
B
C
50°
74°
E
56°
C
ABE dik üçgeninde iç açlar toplam 180° ise,
ABCD dikdörtgen, m(BéAE)=40°, m(EéDC)=34° olduuna göre,
m(AéED) kaç derecedir bulunuz.
m(AéBE)+m(BéAE)+m(AéEB)=180° 90°+40°+m(AéEB)=180°
m(AéEB)=180°– 90°– 40°
=50°
DEC dik üçgeninde iç açlar toplam 180°
m(EéDC)+m(DéCE)+m(DéEC)=180° 34°+90°+m(DéEC)=180°
m(DéEC)=180°– 90°– 34°=56°
B,E,C dorusal olduuna göre,
m(AéEB)+m(AéED)+m(DéEC)=180° 50°+m(AéED)+56°=180°
m(AéED) =180°– 50°– 56°
m(AéED)=74°
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
298
Cevap: 74
¤¤¦¤Ú¤Ú
Dikdörtgen
Test / 1
soru 1
A
soru 5
D
ABCD dikdörtgen,
ABCD dikdörtgen,
m(DéEC)=44°
m(AéBE)=44°
olduuna göre,
m(EéCD)=38°
m(EéDC) kaç derecedir?
B
C
E
D
44°
olduuna göre,
44°
E
A
38°
B
m(AéEB)+m(DéEC)
C
toplam kaç derecedir?
A) 22
B) 40
C) 46
D) 44
E) 52
A) 98
soru 2
A
m(EéBC)=26°
[AE][EF]
olduuna göre,
m(BéAE)=32°
A ) 116
B ) 108
soru 3
C
C ) 96
D ) 84
E ) 78
A
D
B
A) 32
C) 48
B) 36
soru 7
ABCD dikdörtgen,
m(AéFB)=58°
olduuna göre,
olduuna göre,
58°
E
soru 4
C) 66
D)70
D
F
m(EéDC)=54°
A ) 20
C ) 40
B ) 30
C
C) 80
D) 90
E)120
A
D
54°
52°
ABCD dikdörtgen,
m(AéFD)=80°
m(EéAF) kaç derecedir?
B) 75
soru 8
m(BéAF)=52°
70°
D
B
m(AéEB)=70°
B
E
E)74
80°
olduuna göre,
E) 58
m(BéEF) kaç derecedir?
A
ABCD dikdörtgen,
D) 52
F
C
F
A) 60
B) 64
C
E
A
m(AéBE)=m(DéEF)
A) 62
32°
m(EéFC) kaç derecedir?
ABCD dikdörtgen,
B
D
F
[AE] açortay,
m(AéEB) kaç derecedir?
E) 82
olduuna göre,
26°
www.kartezyen.com.tr
B
D) 84
A
ABCD dikdörtgen,
E
m(BéED) kaç derecedir?
C) 86
soru 6
D
ABCD dikdörtgen,
B) 92
K
olduuna göre,
C
E
D ) 50
E ) 60
m(EéKF) kaç derecedir?
B
A) 70
C) 84
B) 76
E
F
D) 98
C
E)106
299
1–C
2–A
3–E
4–E
5–A
6–E
7–D
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Úö¡¥
Test 1 Àö¯ĞĞ¯န
Dikdörtgen
A
D
Bir dikdörtgende köegenler birbirini iki eit parçaya böler. Yanda verilen dikdörtgen m(BéAC)=m(AéBD)=m(BéDC)=m(AéCD)
m(CéAD)=m(BëDA)=m(DëBC)=m(AëCB)
|AE|=|BE|=|CE|=|DE|
E
B
C
çözüm
kavrama sorusu
A
D
24°
A
24°
24°
D
132°
E
E
B
C
B
C
|AE|=|DE| ise AED ikizkenar üçgendir. AED ikizkenar üçgen
ABCD dikdörtgen, [AC], [BD] köegen, m(CéAD)=24° olduuna
göre, m(AéED) kaç derecedir bulunuz.
ise, m(EéAD)=m(AéDE)=24° dir.
AED üçgeninde iç açlar toplamndan
m(EéAD)+m(AéDE)+m(AéED)=180° ise,
24°+24°+m(AéED)=180°
m(AéED)=180°– 24°– 24°
m(AéED)=132°
Cevap: 132
çözüm
kavrama sorusu
A
A
D
56°
56°
B
E
D
56°
B
C
E
C
Dikdörtgende |BC|=|AD| dir. Soruda |BC|=|AE| verildiine
göre, |AD|=|AE| dir. Buna göre, AED ikizkenar üçgen olur.
ABCD dikdörtgen, |BC|=|AE|, m(AéED)=56° olduuna göre,
m(AéDE) kaç derecedir bulunuz.
|AE|=|AD| ise m(AéED)=m(AéDE)=56° dir.
Cevap: 56
Uyarı
Dikdörtgende genel olarak birbirine eit uzunluktaki kenarlar
belirlemeniz sorunun çözümü için yardmc olacaktr.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
300
¤¤¦¤Ú¤Ú
Dikdörtgen
Test / 2
soru 1
A
soru 5
D
32°
ABCD dikdörtgen,
E
A
ABCD dikdörtgen,
E
[AC][BD]={E}
|AD|=|BE|
m(DéAC)=32°
m(AéBE)=50°
olduuna göre,
olduuna göre,
m(AéEB) kaç derecedir?
B
A) 32
C) 64
B) 58
soru 2
C
D) 70
E) 96
A
50°
m(EéCB) kaç derecedir?
B
A) 40
C) 60
B) 50
soru 6
D
ABCD dikdörtgen,
C
D) 70
E
130°
m(BéEC)=130°
A
D
24°
|AE|=|BC|
m(EéDC)=24°
olduuna göre,
olduuna göre,
B
A) 25
C) 40
B) 30
soru 3
C
D) 45
A
E) 50
D
x
ABCD dikdörtgen
E
m(AéDB)=x
www.kartezyen.com.tr
m(DéBC) kaç derecedir?
m(BéAE) kaç derecedir?
B
A) 42
C) 48
B) 46
soru 7
E
D) 58
A
C
E) 66
D
26°
ABCD dikdörtgen,
|AE|=|BC|
m(BéAE)=26°
m(AéCD)=y
y
olduuna göre,
B
olduuna göre,
C
m(AéDE) kaç derecedir?
B
C
E
x+y toplam kaç derecedir?
B) 60
soru 4
C) 75
D) 90
A
E) 20
D
30°
A) 44
B) 48
|DE|=|BC|
m(AéDE)=30°
m(BéAE)=20°
olduuna göre,
olduuna göre,
B) 60
C
E
C) 75
D) 80
E) 64
D
20°
|DE|=|BC|
B
D) 58
A
ABCD dikdörtgen,
m(EéAD) kaç derecedir?
C) 52
soru 8
ABCD dikdörtgen,
A) 45
E) 80
ABCD dikdörtgen,
[AC] [BD]={E}
A) 25
D
E) 90
E
m(EéDC) kaç derecedir?
B
A) 40
C) 60
B) 50
C
D) 70
E) 80
301
1–C
2–A
3–D
4–C
5–D
6–A
7–D
8–B
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Úö¡¥
Test 1 Àö¯ĞĞ¯န
Dikdörtgen
çözüm
kavrama sorusu
A
9
A
D
9
5
5
B
B
C
D
5
9
C
Dikdörtgende karlkl kenarlarn uzunluklar eit olduuna göre,
|AB|=|DC|=5 cm, |AD|=|BC|=9 cm
ABCD dikdörtgen,|AB|=5 cm , |AD|=9 cm olduuna göre,
|BC|+|CD| toplam kaç cm dir bulunuz.
Buradan, |BC|+|CD|=9+5=14 cm
Cevap: 14
çözüm
kavrama sorusu
A
3x1
Dikdörtgende karlkl kenarlarn uzunluu birbirine eittir.
D
Buna göre, |AB|=|DC| ise x+5=2x – 3 x=8 cm
|AD|=3x –1 ise |AD|=3.8 –1=23 cm
x+5
B
2x3
Cevap: 23
C
ABCD dikdörtgen, |AB|=x+5 cm, |AD|=3x – 1 cm,
|DC|=2x – 3 cm olduuna göre, |AD| kaç cm dir bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
2x+3
x
B
C
B
ABCD dikdörtgen, |AD|=2|AB|+3, |BC|+|CD|=36 cm olduuna göre, |AD| kaç cm dir bulunuz.
D
x
2x+3
C
|AB|=x cm olsun. |AD|=2x+3 cm dir. Dikdörtgende karlkl
kenarlarn uzunluklar eit olduuna göre,
|AB|=|DC|=x cm, |AD|=|BC|=2x+3 cm dir.
Buna göre, |BC|=2x+3 ve |CD|=x deerlerini,
|BC|+|CD|=36 eitliinde yerine koyalm.
|BC|+|CD|=36 ise 2x+3+x=36
2x + x =36 – 3
3x=33
x=11
Buradan |AD|=2x+3=2.11+3=25 cm
Cevap: 25
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
302
¤¤¦¤Ú¤Ú
Dikdörtgen
Test / 3
soru 1
13
A
soru 5
D
ABCD dikdörtgen,
ABCD dikdörtgen,
|AD|=13 cm
|AB|=2|DC|– 6
7
|DC|=7 cm
|AD|=2|BC|– 11
olduuna göre,
olduuna göre,
B
|AB|+|BC|
C
dikdörtgenin tüm kenar
toplam kaç cm dir?
A
D
B
C
uzunluklarnn toplam
kaç cm dir?
A) 15
B) 18
C) 20
D) 24
E) 30
A) 17
soru 2
B) 24
C) 30
D) 32
E) 34
soru 6
Uzun kenar ile ksa kenarnn uzunluklar toplam 18 cm olan
Uzun kenar ksa kenarndan 5 cm daha fazla olan dikdörtgenin
dikdörtgenin, tüm kenar uzunluklarnn toplam kaç cm dir?
çevresi 38 cm olduuna göre, uzun kenar kaç cm dir?
A) 24
A) 12
soru 3
C) 32
D) 34
A
E) 36
D
ABCD dikdörtgen,
x+5
|AB|=x+5 cm
2x4
|DC|=2x – 4 cm
B
A) 12
C
B) 9
C) 8
D) 6
B) 11
C) 10
D) 9
E) 7
soru 7
7
11
4
olduuna göre,
x kaçtr?
www.kartezyen.com.tr
B) 30
5
E) 4
ekilde verilen dikdörtgenlerin tüm kenarlarnn uzunluklar
toplam kaç cm dir?
A) 60
soru 4
A
D
ABCD dikdörtgen,
C) 48
D) 40
E) 27
soru 8
Tüm kenarlarnn uzunluklar toplam 48 cm olan dikdörtgenin
ksa kenar 9 cm olduuna göre, uzun kenar kaç cm dir?
7
|AD|=3|DC|– 6
B) 54
|AB|=7 cm
A) 10
olduuna göre,
|BC| kaç cm dir?
B
A) 9
C) 15
B) 12
B) 12
C) 13
D) 15
E) 17
C
D) 16
E) 21
303
1–C
2–E
3–B
4–C
5–E
6–A
7–B
8–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Úö¡¥
Test 2 Àö¯ĞĞ¯န
Dikdörtgen
Bir dikdörtgenin tüm köelerinin 90° lik açlardan olutuunu daha önce örenmitik. Pek çok soruda dikdörtgenin köelerinin dik olmas
özelliini kullanmanz gerekecektir. Aadaki kavrama sorularnda bu özellikten faydalanalrak Pisagor Bantsnn kullanld kavrama
sorularn dikkatle inceleyiniz.
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
D
5ñ5
5
B
10
C
B
ABCD dikdörtgen, |BC|=10 cm, |DC|=5 cm olduuna göre,
|BD| kaç cm dir bulunuz.
5
C
10
BCD dik üçgeninde Pisagor Bantsndan
|BD| |BC|2 |DC|2 102 52 125
5 5 cm
Cevap: 5ñ5
çözüm
kavrama sorusu
A
B
4
E
D
A
6
6
C
B
D
6
2ò13
4
C
E
Dikdörtgende karlkl kenarlarn uzunluklar eit olduuna göre,
|AB|=|DC|=6 cm, ABE dik üçgeninde Pisagor Bantsndan
ABCD dikdörtgen, |BE|=4 cm, |DC|=6 cm olduuna göre,
|AE| kaç cm dir bulunuz.
| AE| | AB|2 |BE|2 62 42 52
2 13 cm
Cevap: 2ò13
çözüm
kavrama sorusu
Uzun kenar ksa kenarnn iki kat olan dikdörtgenin, köegeninin uzunluu 10 cm olduuna göre, ksa kenar kaç cm dir?
A
x
D
10
Dikdörtgenin ksa kenar
x cm ise uzun kenar 2x
cm dir.
Pisagor Bantsndan,
102 =x2+(2x)2
102 =x2+4x2
B
2x
C
100=5x2
20=x2
2ñ5=x
Buna göre, dikdörtgenin ksa kenar 2ñ5 cm dir.
Cevap: 2ñ5
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
304
¤¤¦¤Ú¤Ú
Dikdörtgen
Test / 4
soru 1
A
D
soru 5
5
|AD|=9 cm
ABCD dikdörtgen,
9
A
D
ABCD dikdörtgen,
|DC|=5 cm
|EC|=7 cm
7
|DC|=7 cm
olduuna göre,
olduuna göre,
|DE| kaç cm dir?
B
A) ò74
C) 4ñ3
B) 2ò15
soru 2
E
C
7
D) 3ñ5
E) 2ò13
E
A
3
B
|BD| kaç cm dir?
A) 5ñ6
C) ó130
B) 6ñ7
C
D) 4ñ5
E) 3ò10
soru 6
D
ABCD dikdörtgen,
Ksa kenar 8 cm, uzun kenar 12 cm olan dikdörtgenin bir
|DE|=3 cm
köegeninin uzunluu kaç cm dir?
6
|DC|=6 cm
A) 6ñ5
|BC|=12 cm
B
olduuna göre,
B) 5ñ6
C) 6ñ6
D) 4ò13
E) 8ñ6
C
12
A) 4ñ3
B) 4ñ5
C) 3ò13
soru 3
D) 3ñ6
E) 6ñ2
A
D
ABCD dikdörtgen,
3
|AD|=|BE|+5
|AB|=3 cm
olduuna göre,
|DE| kaç cm dir?
B
A) 2ò13
C) 3ñ5
B) 4ñ3
soru 4
C
E
E) ò34
D) 2ñ7
3x+2
A
D
2x2
ABCD dikdörtgen,
|AD|=3x+2 cm
|DC|=2x – 2 cm
B
|BE|=x+4 cm
x+4
E
x
C
www.kartezyen.com.tr
|BE| kaç cm dir?
soru 7
A
ABCD dikdörtgen,
1
| AB| |BC|
2
|AC|=6ñ5 cm
olduuna göre,
dikdörtgenin çevresi
kaç cm dir?
A) 36
D
6ñ5
B
B) 32
C) 30
C
D) 28
E) 24
soru 8
Çevresi ksa kenarnn 8 kat olan bir dikdörtgenin uzun kenar
12 cm olduuna göre, bir köegeninin uzunluu kaç cm dir?
A) 3ñ5
B) 3ò10
C) 4ñ5
D) 4ò10
E) 6ñ3
|EC|=x cm
olduuna göre, |AE| kaç cm dir?
A) 7ñ3
B) 10ñ2
C) 6ñ5
D) 5ñ7
E) 2ò10
305
1–A
2–C
3–E
4–E
5–C
6–D
7–A
8–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Úö¡¥
Test 2 Àö¯ĞĞ¯န
Dikdörtgen
A
Bir dikdörtgende köegenlerin uzunluklar eit olup, bu köegenler birbirlerini iki eit parçaya böler. Buna göre, yandaki ekli
incelerseniz,
D
E
|AC|=|BD| olduu gibi, |AE|=|BE|=|CE|=|DE| dir.
B
C
çözüm
kavrama sorusu
A
Dikdörtgende köegen uzunluklar birbirine eittir. Buna göre,
D
|AC|=|BD| ise x+9=2x – 7
9+7=2x – x
16=x
Cevap: 16
B
C
ABCD dikdörtgen, [AC], [BD] köegen, |AC|=x+9 cm,
|BD|=2x–7 cm olduuna göre, x kaçtr bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
D
7
7
E
E
7
B
7
C
7
B
ABCD dikdörtgen, [AC], [BD] köegen, |CE|=7 cm olduuna
göre, |AC|+|BD| toplam kaç cm dir bulunuz.
C
Dikdörtgende köegenler birbirini ortalar. Buna göre,
|AE|=|BE|=|CE|=|DE|=7 cm
|AC|=|BD|=7+7=14 cm
|AC|+|BD|=14+14=28 cm dir.
Cevap: 28
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
D
11
11
E
3
x+
E
2x
5
B
3
x+
C
B
2x
5
C
ABCD dikdörtgen, [AC], [BD] köegen
|AE|=|BE|=|CE|=|DE| olacandan, x+3=2x – 5 ise x=8 dir.
|BE|=x+3 cm, |CE|=2x – 5 cm olduuna göre,
|BE|=x+3=8+3=11 cm ise |AE|=|BE|=|CE|=|DE|=11 cm
|AC|+|BD| toplam kaç cm dir bulunuz.
|AC|=|BD|=11+11=22 cm ise, |AC|+|BD|=22+22
=44 cm
Cevap: 44
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
306
¤¤¦¤Ú¤Ú
Dikdörtgen
Test / 5
soru 1
A
soru 5
D
A
ABCD dikdörtgen,
ABCD dikdörtgen,
[AC], [BD] köegen
[AC][BD]={E}
E
|AC|=17 cm
D
E
4
2x
3
x+
|BE|=x+3 cm
|DE|=2x – 4
olduuna göre,
B
|BD| kaç cm dir?
C
B
olduuna göre,
C
|AC| kaç cm dir?
A) 12
B) 15
C) 17
D) 19
E) 21
A) 10
soru 2
A
4
E
5
3x
|BE|=3x – 5 cm
C
6
|AC|+|BD| toplam kaç cm dir?
B) 4ñ7
soru 3
C) 4ò13
D) 6ñ7
E) 9ñ5
A
D
ABCD dikdörtgen,
E
[AC], [BD] köegen
B
olduuna göre,
www.kartezyen.com.tr
B
olduuna göre,
C
|AC|+|BD| toplam kaç cm dir?
A) 26
B) 30
C) 35
soru 7
D) 52
A
E) 60
D
ABCD dikdörtgen,
E
[AC], [BD] köegen
|AC|=2x+7 cm
|DE|=2|EC|– 6
|BD|=3x – 6 cm
olduuna göre,
B
olduuna göre,
C
|AC|+|BD| toplam kaç cm dir?
B) 44
soru 4
B
|AC|+|BD| toplam
C) 48
D) 58
E) 66
A
D
A) 24
B) 22
C) 20
soru 8
E
[AC], [BD] köegen
D) 18
A
D
E
[BD] köegen
5
E) 12
8
ABCD dikdörtgen,
|BE|=5 cm
C
kaç cm dir?
ABCD dikdörtgen,
|BE|=|DE|
olduuna göre,
|AE|=8 cm
B
|AC|+|BD|
C
toplam kaç cm dir?
A) 15
D
+1
|AE|=2x+1 cm
|DC|=4 cm
A) 33
E) 30
2x
[AC], [BD] köegen
|BC|=6 cm
A) 6ñ5
D) 25
A
ABCD dikdörtgen,
E
[AC], [BD] köegen
C) 20
soru 6
D
ABCD dikdörtgen,
B) 15
B) 20
B
olduuna göre,
C
|BD| kaç cm dir?
C) 25
D) 30
E) 35
A) 10
B) 12
C) 14
D) 15
E) 16
307
1–C
2–C
3–E
4–B
5–C
6–D
7–A
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Úö¡¥
Test 3 Àö¯ĞĞ¯န
Dikdörtgen
çözüm
kavrama sorusu
E
A
3
ABCD dikdörtgen,
D
E
4
A
3
D
45°
|ED|=3 cm, |DC|=4 cm,
|BC|=7 cm
4
4
olduuna göre,
|BE| kaç cm dir bulu-
45°
nuz.
B
C
7
4
4ñ2
B
C
7
|AB|=|DC|=4 cm (Dikdörtgenin karlkl kenarlar)
|AD|=|BC|=7 cm (Dikdörtgenin karlkl kenarlar)
|AE|=|AD|–|ED|=7 – 3=4 cm
|AB|=|AE|=4 cm ise ABE ikizkenar dik üçgendir.
|BE|=|AB|ñ2 (kizkenar dik üçgen kural)
Cevap: 4ñ2
|BE|=4ñ2 cm
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
D
60°
2ñ3
30°
B
E
C
6
2ñ3
30°
B
E
ABCD dikdörtgen, m(DéEC)=30°, |EC|=6 cm
DEC 30° – 60° – 90° üçgenidir.
olduuna göre, |AB| kaç cm dir bulunuz.
|EC|=|DC|.ñ3 (30° – 60° – 90° üçgeni kural)
6=|DC|ñ3 ise |DC|
C
6
6
2 3 cm
3
Cevap: 2ñ3
|AB|=|DC| ise |AB|=2ñ3 cm
Pek çok dikdörtgen sorusunda Öklit Bantlar'n da kullanmak gerekebilir. Bununla ilgili olarak aada verdiimiz kavrama sorusunuda
lütfen dikkatle inceleyiniz.
çözüm
kavrama sorusu
E
A
D
E
A
6
9
H
9
H
4
B
D
4
C
B
C
ABCD dikdörtgen, [AH][BE], |BH|=4 cm, |EH|=9 cm
ABE dik üçgeninde m(BéAE)=90° ve
olduuna göre, |AH| kaç cm dir bulunuz.
[AH][BE] ise Öklit Bantsn uygulayabiliriz.
|AH|2=|BH|.|EH|=4.9
|AH|2=36 ise |AH|=6 cm
Cevap: 6
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
308
¤¤¦¤Ú¤Ú
Dikdörtgen
Test / 6
soru 1
3
A
E
soru 5
D
ABCD dikdörtgen,
ABCD dikdörtgen,
|AE|=3 cm
[DH]=2 cm
5
|AB|=5 cm,|BC|=9 cm
|HC|=ñ2 cm
olduuna göre,
olduuna göre,
|EC| kaç cm dir?
B
A) ò61
C) 2ò13
B) 2ò15
soru 2
C
9
D) 4ñ5
A
H
A) ñ2
ñ2
B
B) 2
C
C) 2ñ2
soru 6
D
A
3
ABCD dikdörtgen,
D
2
|EH| kaç cm dir?
E) 6ñ2
E
A
D) 3ñ2
D
F
ABCD dikdörtgen,
6
[DE] açortay,
E) 4
9
[BF][AE]
|BE|=ñ2 cm, |DE|=6 cm
|AF|=3 cm, |FE|=9 cm
olduuna göre,
B
C
E
olduuna göre,
A) 7ñ2
C) 5ñ2
B) 6ñ2
soru 3
C
E
ñ2
D) 4ñ2
E) 3ñ2
A
D
2
ABCD dikdörtgen,
E
m(BéEC)=60°
60°
8
|AE|=2 cm, |CE|=8 cm
|BE| kaç cm dir?
www.kartezyen.com.tr
|AD| kaç cm dir?
B
A) 6ñ3
C) ò30
B) 2ñ7
soru 7
|DC| kaç cm dir?
D
ABCD dikdörtgen,
2ñ5
[AE][BD]
E
B
|BE|=|ED|– 8
B
C
E) 3ñ3
A
|AE|=2ñ5 cm
olduuna göre,
D) 2ñ7
C
olduuna göre,
|BD| kaç cm dir?
A) 4
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
A) 4
soru 4
A
30°
12
D
B) 6
soru 8
ABCD dikdörtgen,
m(DéAE)=30°
[DE][AC]
E
3 C
|AE| kaç cm dir?
D) 10
E) 12
A
ABCD dikdörtgen,
|AD|=12 cm, |CE|=3 cm B
olduuna göre,
C) 8
D
3ñ3
|AE|=3ñ3 cm
E
|CE|=ñ3 cm
ñ3
B
olduuna göre,
C
|BC| kaç cm dir?
A) 6
B) 3ñ3
C) 6ñ3
D) 9
E) 9ñ3
A) 2ñ5
B) 2ñ6
C) 5
D) 6
E) 8
309
1–A
2–D
3–B
4–C
5–C
6–A
7–E
8–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Úö¡¥
Test 4 Àö¯ĞĞ¯န
Dikdörtgen
A
Dikdörtgenin bir köegenine dikmeler indirildiinde ekil üzerinde e üçgenler oluur.
D
E
Yandaki ACBD dikdörtgeninde ABF ile CDE, AFD ile CEB e üçgenler olup,
|AF|=|CE| ve |BF|=|DE| dir.
F
B
C
çözüm
kavrama sorusu
A
D
3
ABCD dikdörtgen,
A
[BE][AC], [DF][AC],
E
3
|AE|=3 cm, |DF|=8 cm
8
ABE ve CDF
e üçgenlerdir.
Dolays ile,
|AE|=|FC|=3 cm,
D
E
8
olduuna göre,
8
|BE|+|FC| toplam
F
B
C
kaç cm dir bulunuz.
F
|DF|=|BE|=8 cm
|BE|+|FC|=8+3=11
cm dir.
3
B
C
Cevap: 11
çözüm
kavrama sorusu
A
D
ABCD dikdörtgen,
A
[AE][BD], [CF][BD],
F
|EF|=6 cm
6
4
B
C
AEF dik üçgeninde
4
olduuna göre,
E
|AE|=|CF|=4 cm dir.
F
6
|CF|=4 cm
4
ABE ve CDF
e üçgenler olduundan,
D
2ò13
Pisagor Bantsndan,
E
|AF| kaç cm dir bulunuz.
|AF|2=|AE|2+|EF|2
B
C
|AF|2=42+62=52
|AF|=ò52=2ò13 cm
Cevap: 2ò13
çözüm
kavrama sorusu
D ABCD dikdörtgen,
A
A
[DE][AC]
1
|DE|=3 cm
3
E
3
C
E
ò73
olduuna göre,
1
3
8
|EC|=1 cm
B
D
F
|BE| kaç cm dir bulunuz.
1
B
C
m(AéDC)=90° ve [DE][AC] ise, DAC üçgeninde Öklit Bantsndan |DE|2=|AE|.|EC| ise 32=|AE|.1 |AE|=9 cm
[BF][AC] olacak ekilde [BF] çizelim.
ABF ve CDE e üçgenlerdir.
|CE|=|AF|=1 cm, |DE|=|BF|=3 cm olur.
|FE|=|AE|–|AF|=9 – 1=8 cm olur.
BFE dik üçgeninde Pisagor Bantsndan,
|BE| |BF |2 |FE|2 32 8 2 73 cm
Cevap: ò73
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
310
¤¤¦¤Ú¤Ú
Dikdörtgen
Test / 7
soru 1
A
soru 5
D
F
ABCD dikdörtgen,
7
[AE][BD],[CF][BD]
|BE|=3 cm,|CF|=5 cm
5
E
|AE|=7 cm, |EF|=5 cm
5
E
3
olduuna göre,
D
F
ABCD dikdörtgen,
[AE][BD],[CF][BD]
olduuna göre,
B
|AE|+|DF|
A
C
B
|CE| kaç cm dir?
C
toplam kaçtr?
A) 4ñ5
A) 8
B) 9
C) 10
soru 2
D) 11
soru 6
D
F
x+3
|CF|=2x – 5 cm
B
A) 3
C) 8
C
D) 9
E) 12
A
D
ABCD dikdörtgen,
E
[BE][AC],[DF][AC]
|CF|=3x – 4 cm
A) 2ñ3
B) 3ñ2
C
C) 5
soru 7
C) 18
D) 21
E) 27
A
F
D
2
A
2
E
8
B
olduuna göre,
A) 2ò13
B) 5ñ3
C) 5ñ2
soru 8
D) 4ñ3
[DE][AC]
E
D
E
1
olduuna göre,
B
C
D) 2ò10
E) 3ñ7
3
|DE|=3 cm, |EC|=1 cm
C) ò38
C
A
|AE|=6 cm, |DF|=2 cm
B) 6
D
ABCD dikdörtgen,
[AE][BD],[CF][BD]
A) 4ñ2
E) 3
ABCD dikdörtgen,
6
|AB| kaç cm dir?
D) 2ò13
|AE| kaç cm dir?
olduuna göre, |BE| kaç cm dir?
olduuna göre,
C
|BE|=8 cm
B
ABCD dikdörtgen,
B
|DF| kaç cm dir?
|DE|=2 cm
F
soru 4
F
[CE][BD]
|AE|=2x+5 cm
B) 12
6
E
olduuna göre,
www.kartezyen.com.tr
olduuna göre, x kaçtr?
A) 10
D
|EB|=|EF|, |DE|=6 cm
2x 5
E
|DF|=3x cm
E) 7ñ2
[BE][AC],[DF][AC]
|AE|=x+3 cm
soru 3
D) 6ñ3
A
ABCD dikdörtgen,
[AE][BD],[CF][BD]
B) 5
C) 5ñ2
E) 12
A
ABCD dikdörtgen,
B) ò74
E) ò42
|BE| kaç cm dir?
B
A) 4ñ3
C) 6ñ3
B) 5ñ5
D) ò70
C
E) ò73
311
1–A
2–C
3–E
4–D
5–B
6–B
7–A
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Úö¡¥
Test 4 Àö¯ĞĞ¯န
Dikdörtgen
Baz durumlarda dikdörtgende benzerlik sorular ile de karlaabilirsiniz. Bu tür benzerlik sorularnn nasl çözülecei ile alakal olarak,
aada verdiimiz kavrama sorularn dikkatle inceleyiniz.
çözüm
kavrama sorusu
A
D
2x
A
D
|BE|=|CE|=x cm dersek,
|AD|=2x cm olur.
m(AéDB)=m(DéBE)
(iç ters açlar)
F
B
F
(ters açlar)
C
E
m(AéFD)=m(BéFE)
B
ABCD dikdörtgen, [AE][BD]=F, |BE|=|CE| olduuna göre,
x
E
C
x
m(AéEB)=m(EéAD) (iç ters açlar)
|BF |
oran kaçtr bulunuz.
|DF |
Tüm açlar eit olduundan, AFD ve EFB benzer üçgenlerdir.
Buna göre,
|BF | |BE| x
1
|DF | | AD| 2x 2
Cevap:
1
2
çözüm
kavrama sorusu
A
A
D
4
E
F
9
F
m(BéAF)=m(DéCF)
4
(iç ters açlar)
E
m(AéBF)=m(FéEC)
(iç ters açlar)
5
5
B
D
B
C
C
m(AéFB)=m(EéFC)
(ters açlar)
ABCD dikdörtgen, [AC][BE]={F}, |DE|=4 cm, |CE|=5 cm
|AB|=|CD|=5+4=9 cm dir:
| AF |
olduuna göre,
oran kaçtr bulunuz.
|CF |
Tüm açlar eit olduundan ABF ve CEF benzer üçgenlerdir.
A¿BF ~ C¿EF ise,
| AF | | AB| 9
tir.
|CF | |CE| 5
Cevap:
9
5
çözüm
kavrama sorusu
E
A
6
A
D
7x
E
6
D
m(EéAF)=m(BéCF)
(iç ters açlar)
m(AéEF)=m(CéBF)
F
F
(iç ters açlar)
m(AéFE)=m(BéFC)
B
B
C
ABCD dikdörtgen, [AC][BE]={F}, |EF | 7 , |ED|=6 cm
|BF | 10
olduuna göre,|BC| kaç cm dir bulunuz.
C
10x
(ters açlar)
Tüm açlar eit olduuna göre, AFE ve CFB benzer üçgenlerdir.
| AE| |EF | 7
|BC| |BF | 10
Buna göre, |AE|=7x cm dersek
A¿FE ~ C¿FB ise,
|BC|=10x cm dir.
|BC|=|AD| olduundan 10x=7x+6
3x=6
x=2 cm
|BC|=10x=10.3=30 cm dir.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
312
Cevap: 30
¤¤¦¤Ú¤Ú
Dikdörtgen
Test / 8
soru 1
A
soru 5
D
ABCD dikdörtgen,
ABCD dikdörtgen,
[AC][DE]={F}
[AC][BE]={F}
F
|BE|=2 cm, |EC|=3 cm
olduuna göre,
|CF |
oran kaçtr?
| AF |
A)
2
3
B)
3
2
soru 2
F
C)
2
E
C
3
2
5
D)
3
5
E)
E
2
7
olduuna göre,
|BF| kaç cm dir?
B
A) 16
C) 20
B) 18
soru 6
D
ABCD dikdörtgen,
[AE][BD]={F}
F
|AE|=2|ED|
2|DF|=3|BF|
olduuna göre,
|EF |
oran kaçtr?
|BF |
|EC|=6 cm
B
C
2
E)
5
D
ABCD dikdörtgen,
7
F
B)
2
7
soru 4
B
C)
5
7
D)
7
5
E
C) 16
soru 7
C
6
D) 18
E
A
E) 20
F
D
K
ABCD dikdörtgen,
|EC|=24 cm
E)
7
9
olduuna göre,
|KC| kaç cm dir?
B
A) 20
C) 16
B) 18
soru 8
C
D) 14
E) 12
A
D
E
ABCD dikdörtgen,
[AF][BE]={K}
2|CF|=5|AF|
K
F
|DE|=|EF|=|CF|
|AE|=10 cm
|AF|=x cm
B
olduuna göre,
|BE| kaç cm dir?
A) 10
B) 14
|AE|=|EF|=|DF|
F
E
A) 12
2
D
10
[AC][DE]={F}
B
E
C
A
ABCD dikdörtgen,
D
[BF][CE]={K}
|DE|=7 cm, |EC|=2 cm
2
5
E) 24
F
olduuna göre,
www.kartezyen.com.tr
3
D)
5
[AE][BD]={F}
A)
D) 22
|AD| kaç cm dir?
2
C)
3
A
olduuna göre,
|DF |
oran kaçtr?
|BF |
C
A
ABCD dikdörtgen,
soru 3
12
|EF|=12 cm
B
A
1
B)
2
D
|AE|=3|DE|
[AC][BE]={F}
1
A)
3
E
A
C
B
olduuna göre,
C
|AK|nin x türünden ifadesi aadakilerden hangisidir?
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
A)
2x
3
B)
3x
4
C)
2x
5
D)
3x
7
E)
5x
7
313
1–D
2–C
3–E
4–B
5–A
6–D
7–B
8–B
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Úö¡¥
Test 5 Àö¯ĞĞ¯န
Dikdörtgen
Dikdörtgende benzerlik sorular sadece bir önceki sayfada gördüklerinizle snrl deildir. Bununla ilgili olarak aada verdiimiz kavrama
sorusunu dikkatle inceleyiniz.
çözüm
kavrama sorusu
A
A
D
D
a
21
21
F
F
b 8
B
14
E
12
b
B
C
a
14
E
C
12
m(BéAE)= ve m(BéEA)= diyelim,
ABCD dikdörtgen, [AE][EF], |AB|=21 cm, |BE|=14 cm,
|EC|=12 cm olduuna göre, |CF| kaç cm dir bulunuz.
ABE üçgeninde iç açlar toplamndan
++m(AéBE)=180° ise +=90°=180°
+=90°
B,E,C dorusal olduuna göre,
m(BéEA)+(AéEF)+m(FéEC)=180°
+90°+m(FéEC)=180°
m(FéEC)=90°–= olur.
ABE ve ECF üçgenlerinin tüm açlar eit olduundan, benzer
üçgenlerdir.
A¿BE ~ E¿CF ise,
|AB|
|BE|
21
14
|EC|
|CF|
12
|CF|
N
N
açýsýnýn
karþýsýndaki
kenarlar
açýsýnýn
karþýsýndaki
kenarlar
|CF| 8 cm
çözüm
kavrama sorusu
A
Cevap: 8
E
7
D
A
7
F
a
E
b
7
D
b
F
a
B
C
B
C
m(AéFE)= ve m(AéEF)= dersek,
ABCD dikdörtgen, [FE][CE], |EF|=|EC|, |DE|=7 cm olduuna göre, |AF| kaç cm dir?
AFE üçgeninde iç açlar toplamndan
++90°=180° ise +=90°
A,E,D dorusal ise
+90°+m(DéEC)=180° m(DéEC)=90°– m(DéEC)= dir.
DEC üçgeninde iç açlar toplamndan
+90°+m(DéCE)=180° ise m(DéCE)=90°– = dr.
Tüm iç açlarnn ölçüleri ve hipotenüs uzunluklar eit olduuna
göre, AFE ve DEC e üçgenlerdir.
A¿FE D¿EC ise, |AF|=|DE|=7 cm dir.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
314
Cevap: 7
¤¤¦¤Ú¤Ú
Dikdörtgen
Test / 9
soru 1
8
A
E
6
D
soru 5
F
[EB][EF]
ABCD dikdörtgen,
A
E
D
5
ABCD dikdörtgen,
12
[EB][EF]
|AB|=12 cm, |AE|=8 cm
|EB|=|EF|, |DF|=5 cm
|DE|=6 cm
olduuna göre,
B
olduuna göre,
C
F
B
|AE| kaç cm dir?
C
|DF| kaç cm dir?
A) 3
A) 4
B) 5
C) 6
soru 2
D) 7
C) 5
soru 6
D
ABCD dikdörtgen,
A
E
|AF|=|EF|, |FC|=7 cm
|AF|+|DE|=35 cm
olduuna göre,
C
|AF| kaç cm dir?
B) 7
C) 10
soru 3
D) 14
E) 16
A
D
3
ABCD dikdörtgen,
F
6
m(AéEF)=90°
B
|DC| kaç cm dir?
www.kartezyen.com.tr
B
olduuna göre,
A) 8
B) 7
F
C) 6
soru 7
A
C
7
D) 5
E) 4
E
D
ABCD dikdörtgen,
7
[EB][EF]
F
4
|EB|=|EF|
|BE|=2 cm
|DF|=3 cm
B
2
C
E
|DF|=7 cm, |CF|=4 cm
|AB|=6 cm
olduuna göre,
olduuna göre, |AD| kaç cm dir?
|AD| kaç cm dir?
B) 14
soru 4
C) 13
D) 12
E) 11
E
A
D
A) 18
soru 8
E) 14
D
3
a
m(BéAE)=, m(EéFC)=
20
D) 15
A
m(AéEF)=m(EéCD)
F
C
C) 16
ABCD dikdörtgen,
4|EF|=5|EC|
B
B) 17
ABCD dikdörtgen,
F
b
+=90°
15
|AE|=|EF|
|DC|=20 cm
B
olduuna göre,
C
B
|DF|=3 cm
18
E
C
|FC|=15 cm, |EC|=18 cm olduuna göre, |AD| kaç cm dir?
|AE| kaç cm dir?
A) 12
D
m(AéFB)=m(FéEC)
2|DC|=5|AE|
A) 15
E) 7
ABCD dikdörtgen,
F
m(CéEF)=90°
A) 5
D) 6
E) 8
E
A
B) 4
B) 16
C) 20
D) 25
E) 30
A) 28
B) 30
C) 33
D) 36
E) 39
315
1–A
2–C
3–E
4–D
5–C
6–B
7–A
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Úö¡¥
Test 5 Àö¯ĞĞ¯န
Dikdörtgen
Herhangi bir dikdörtgenin iç bölgesinde, d bölgesinde veya üzerinde alnan bir noktann karlkl köelere olan uzaklklarnn kareleri
toplam birbirine eittir. Bu söylediimiz ifadeyi tam olarak anlayabilmeniz için aadaki ekilleri veriyoruz. ekilleri dikkatle inceleyecek
olursanz söylediimiz kural daha rahat anlayabilirsiniz.
Nokta Dikdörtgenin
Ýç Bölgesinde
A
D
A
C
B
Nokta Dikdörtgenin
Dýþ Bölgesinde
Nokta Dikdörtgenin Üzerinde
D
A
C
B
P
D
P
B
|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2
C
|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2
P
|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2
imdi de, yukarda verdiimiz bantlarn kullanld kavrama sorularn inceleyelim.
çözüm
kavrama sorusu
Yukarda 1.ekil üzerinde verilen bantdan,
D ABCD dikdörtgen,
A
9
7
P
6
B
C
|PA|=7 cm
|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2 ise
|PC|=6 cm
72+ 62=|PB|2+92
|PD|=9 cm
49+36=|PB|2+81
olduuna göre,
85– 81=|PB|2
Cevap: 2
2=|PB|
|PB| kaç cm dir bulunuz.
kavrama sorusu
çözüm
P
A
ABCD dikdörtgen,
|PD|=x cm dersek, |PB|=3|PD|=3x cm dir.
|PA|2+|PC|2=150 cm2
Yukarda 2.ekil üzerinde gösterilen bantdan,
D |PB|=3|PD|
|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2
olduuna göre,
150=(3x)2+x2
|PD| kaç cm dir bulunuz.
150=9x2+x2
150=10x2
15=x2
B
ò15=x
C
Buna göre, |PD|=x=ò15 cm dir.
çözüm
kavrama sorusu
A
D
10
ABCD dikdörtgen,
|PB|=|PD|=x cm diyelim,
|PA|=10 cm
Yukarda 3.ekil üzerinde gösterilen bantdan,
|PC|=6 cm
|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2
102+62=x2+x2
olduuna göre,
136=2x2
|PB|=|PD|
B
P
6
C
68=x2
kaç cm dir bulunuz.
2ò17=x
Buna göre, |PB|=|PD|=x=2ò17 cm
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
Cevap: ò15
316
Cevap: 2ò17
¤¤¦¤Ú¤Ú
Dikdörtgen
Test / 10
soru 1
A
soru 5
D
ABCD dikdörtgen,
ABCD dikdörtgen,
|PA|2+|PC|2=24 cm2
|KA|=9 cm
P
olduuna göre,
A
D
B
C
|KC|=7 cm
|PB|2+|PD|2
|KD|=10 cm
ifadesinin deeri kaçtr?
B
C
A) 12
C) 20
olduuna göre,
|KB| kaç cm dir?
B) 18
D) 24
A) 7ñ2
soru 2
A
E
|PB|=10 cm
|DE|=|BE|+2
|PA|=12 cm
olduuna göre,
|PC|=4 cm
A) 4
C) 8
B) 6
soru 3
C
D) 10
E) 12
A
D
8
ABCD dikdörtgen,
E
D
P
4
B
C
|PD| kaç cm dir?
A) 2ò15
B) 4ñ5
soru 7
C) 5ñ3
A
D
8
|BE|=4 cm, |DE|=8 cm
12
olduuna göre,
|CE|=6 cm
|BE|=|DE|
olduuna göre,
B
kaç cm dir?
B) 9ñ5
C
C) 6ñ7
soru 4
D) 5ñ7
E) 4ñ5
B
|AE| kaç cm dir?
A) 2ò13
B) 2ò11
soru 8
P
9
A
ABCD dikdörtgen,
D
4
C) 4ñ5
|PB|=11 cm
|DE|=3 cm
olduuna göre,
olduuna göre,
|PC|2 –|PD|2
|EC| kaç cm dir?
B
A) 2ñ3
C) 3ñ2
B) 40
B
D) 20
D) 7ñ3
B) 2ñ5
C
E) 5ñ6
D
3
E
11
C
C) 30
6
10
ABCD dikdörtgen,
|AE|=10 cm, |BE|=11 cm
ifadesinin deeri kaçtr?
E
A
|PA|=9 cm
A) 50
E) ò66
D) 8
ABCD dikdörtgen,
|AE|=8 cm,|CE|=12 cm
A) 2ò26
E) 5ñ7
A
olduuna göre,
www.kartezyen.com.tr
B
D) 2ò17
ABCD dikdörtgen,
|AE|2+|CE|2=164 cm2
|BE| kaç cm dir?
C) ò30
B) 6ñ3
soru 6
D
ABCD dikdörtgen,
K
E) 28
C
D) ò30
E) 4ñ2
E) 10
317
1–D
2–C
3–A
4–B
5–C
6–A
7–B
8–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Úö¡¥
Test 6 Àö¯ĞĞ¯န
Dikdörtgen
Dikdörtgenin Çevresi: Bir dikdörtgenin çevresi tüm kenarlarnn uzunluklarnn toplamdr. Bununla ilgili olarak aada verdiimiz kavrama sorularn lütfen dikkatle inceleyiniz.
çözüm
kavrama sorusu
6
A
D
Dkdörtgenin karlkl kenarlarnn uzunluklar eit olduuna
göre, |AB|=|CD|=4 cm, |AD|=|BC|=6 cm dir.
ABCD dikdörtgen,
|AD|=6 cm,
Dikdörtgenin çevresi tüm kenarlarnn uzunluklarnn toplamna
eit olduuna göre,
|CD|=4 cm
4
olduuna göre,
Çevre(ABCD)=|AB|+|BC|+|CD|+|AD|
Çevre(ABCD)
=4+6+4+6
kaç cm dir bulunuz.
B
C
çözüm
kavrama sorusu
A
D
|AB|=x+7 cm,
Dkdörtgenin karlkl kenarlarnn uzunluklar eit olduuna
göre, |AB|=|CD| ise x+7=2x – 5
|CD|=2x – 5 cm,
7+5=2x – x
|BC|=2x+3
x+7
B
2x 5
2x+3
Cevap: 20
=20 cm
12=x
olduuna göre,
C
ABCD dikdörtgeninin
x=12 cm ise dikdörtgenin kenarlarnn uzunluklarn bulalm.
çevresi kaç cm dir bulunuz.
|AB|=x+7=12+7=19 cm
|BC|=2x+3=2.12+3=27
|AB|=|DC|=19 cm ve |AD|=|BC|=27 cm
Dkdörtgenin Çevresi
Çevre(ABCD)=|AB|+|BC|+|CD|+|AD|
=19+27+19+27
Cevap: 92
=92 cm
çözüm
kavrama sorusu
A
D ABCD dikdörtgeninin
çevresi 26 cm
A
x+4
D
|AD|=|AB|+4
x
olduuna göre,
x
|AB| kaç cm dir bulunuz.
B
C
B
x+4
C
|AB|=x cm alrsak |AD|=|AB|+4
=x+4 cm olur.
Dikdörtgenin karlkl kenarlar eit uzunlukta olduuna göre,
|AB|=|DC|=x cm, |AD|=|BC|=x+4 cm
Çevre(ABCD)=26 cm ise,
|AB|+|BC|+|CD|+|AD|=26 cm
x+x+4+x+x+4=26
9
cm
4x+8=26 ise x=
2
9
cm dir.
|AB|=x=
2
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
318
Cevap: 9
2
¤¤¦¤Ú¤Ú
Dikdörtgen
Test / 11
soru 1
8
A
soru 5
D
A
D
Çevre(ABCD) kaç cm dir?
B
C
A) 44
C) 40
|AD|=8 cm
ABCD dikdörtgen,
|DC|=5 cm
|AB|=2|DC|– 7
5
olduuna göre,
|AD|=|AB|+6
ABCD dikdörtgeninin
olduuna göre,
çevresi kaç cm dir?
B
A) 13
C) 20
B) 18
C
D) 26
E) 44
soru 2
B) 42
D) 38
E) 36
soru 6
Ksa kenar 7 cm, uzun kenar 15 cm olan dikdörtgenin çevresi kaç cm dir?
Uzun kenar ksa kenarndan 7 cm fazla olan dikdörtgenin çevresi 62 cm olduuna göre, bu dikdörtgenin ksa kenar kaç
cm dir?
A) 30
B) 34
C) 38
D) 42
E) 44
A) 10
www.kartezyen.com.tr
soru 3
8
4
9
6
B) 12
C) 14
soru 7
D)16
E)18
A
D
|AD| kaç cm dir?
B
C
A) 8
C) 12
ABCD dikdörtgen,
|AD|=2|DC|– 6
Çevre(ABCD)=42 cm
olduuna göre,
B) 10
D)13
E)15
Yukardaki ekilde verilen dikdörtgenlerin çevreleri toplam
kaç cm dir?
A) 27
B) 30
soru 4
C) 35
D) 46
E) 54
A
2x+5
D
ABCD dikdörtgen,
|AB|=x+7 cm
x+7
soru 8
A
D
E
K
B
C F
G
2x1
|DC|=2x –1 cm
|AD|=2x+5 cm
B
olduuna göre,
C
ABCD ve EFGK dikdörtgenlerinin çevreleri toplam 94 cm dir.
Çevre(ABCD) kaç cm dir?
A) 72
B) 68
C) 64
D) 60
E) 56
|EF|=|AB|+4, |EK|=|AD|+9 olduuna göre, EFGK dikdörtgeninin çevresi kaç cm dir?
A) 60
B) 58
C) 54
D) 50
E) 48
319
1–D
2–E
3–E
4–A
5–C
6–B
7–E
8–A
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Úö¡¥
Test 6 Àö¯ĞĞ¯န
Dikdörtgen
çözüm
kavrama sorusu
A
D
10
A
2
D
2
10
B
C
10
B 2 2 2 2 2 C
Küçük dikdörtgenlerin ksa kenarlar 2 cm olduuna göre,
ABCD dikdörtgeni birbirine e 6 tane dikdörtgenin ekildeki gibi
birletirilmesi ile elde edilmitir. E dikdörtgenlerden her birisinin ksa kenarnn uzunluu 2 cm olduuna göre, Çevre(ABCD)
kaç cm dir bulunuz.
|BC|=2+2+2+2+2=10 cm dir.
|BC|=10 cm ve |BC|=|AD|=10 cm
Buradan, |AB|=|DC|=10+2=12 cm Buna göre,
Çevre(ABCD)=|AB|+|BC|+|CD|+|AD|
Cevap: 44
=12+10+12+10=44 cm
çözüm
kavrama sorusu
A
4
E
9
D
ABCD dikdörtgen,
A
4
E
[FB][FC]
3
F
9
[EH][BC] olacak ekilde
D
[FH] çizelim.
3
F
[FE][AD]
|AE|=|BH|=4 cm,
9
|AE|=4 cm, |DE|=9 cm
9
|DE|=|CH|=9 cm dir.
6
|EF|=3 cm
FBC dik üçgeninde
Öklit Bantsndan,
olduuna göre,
B
B
C
Çevre(ABCD) kaç cm dir, bulunuz.
4
H
ise |FH|2=4.9
C
9
|FH|2=|BH|.|CH|
|FH|=6 cm
|EH|=|EF|+|FH|=3+6=9 cm dir.
|AB|=|DC|=|EH|=9 cm dir.
Çevre(ABCD)=|AB|+|BC|+|CD|+|AD|
Cevap: 44
=9+13+9+13 =44 cm
çözüm
kavrama sorusu
N
A
D
ABCD dikdörtgen,
A
[AB]//[GF]//[KL]//]MN]
L
G
E
B
M
K
|EF|
|GK|
L
[AD]//[LM]//[GK]//[EF]
8
|DC|=8 cm
G
E
olduuna göre,
15
C
N
|ND|
D
=|MN|
M
=|KL|
K
|BC|=15 cm
F
|LM|
=|FG|
F
=|BE|
B
15
B ile D köeleri arasndaki krk çizgilerin uzunluklar toplam
ekli dikkatle incelerseniz,
kaç cm dir bulunuz.
|DC|=|BE|+|FG|+|KL|+|MN|=8 cm
C
|AD|=|EF|+|GK|+|LM|+|ND|=15 cm
Buna göre, B ile D köeleri arasndaki krk çizgilerin toplam;
|AD|+|DC|=15+8=23 cm dir.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
320
Cevap: 23
¤¤¦¤Ú¤Ú
Dikdörtgen
Test / 12
soru 1
A
soru 5
D
ABCD dikdörtgeni birbirine e
ABCD dikdörtgen,
4 tane dikdörtgenin ekildeki
gibi birletirilmesi ile elde edilmitir. E dikdörtgenlerden her
birisinin ksa kenar 4 cm oldu-
[AE]//[FG]//[KL]
una göre, Çevre(ABCD) kaç
cm dir?
A) 56
B) 54
soru 2
E
A
D
F
14
G
K
[EF]//[GK]//[CL]
L
|AB|=14 cm
B
B
|BC|=27 cm
C
C
27
olduuna göre, A ve C köeleri arasnda çizilen krk çizgilerin uzunluklar toplam kaç cm dir?
C) 52
D) 50
E) 48
A
A) 40
B) 41
C) 46
soru 6
D
A
ABCD dikdörtgeni bir-
ABCD dikdörtgen,
birine e 4 tane dikdörtgenin
ekildeki
gibi bir araya getirilmesi ile olumutur.
Küçük dikdörtgenlerin
[EB][EC]
|AE|=5 cm, |ED|=15 cm
D) 52
5
E
E) 69
15
B
D
C
olduuna göre,
B
C
|DC| kaç cm dir?
Çevre(ABCD) kaç cm dir?
A) 58
B) 56
soru 3
C) 54
D) 50
E) 48
A
D
ABCD dikdörtgeni birbirine e 8 dikdörtgenin ekildeki gibi bir
www.kartezyen.com.tr
ksa kenarlar 3 cm , uzun kenarlar 15 cm olduuna göre,
A) 2ñ2
soru 7
ABCD dikdörtgen,
D) 6
8
D
ñ2
B
C
|DC| kaç cm dir?
B) 3ñ2
C) 4ñ2
D) 5ñ2
E) 6ñ2
E) 5
E
A
D
ABCD ve AFGE dikdörtgen,
olduuna göre,
E
F
olduuna göre,
A) 2ñ2
Çevre(ABCD)=48 cm
4
A
E) 5ñ5
|EF|=ñ2 cm, |AE|=4 cm
C) 7
soru 4
D) 5ñ3
|ED|=8 cm
B
C
Çevre(ABCD)=40 cm
olduuna göre, e dikdörtgenlerden birisinin uzun kenar kaç
cm dir?
B) 8
C) 3ñ5
[EF][AD], [FB][FC]
araya getirilmesi ile
elde edilmitir.
A) 9
B) 3ñ3
soru 8
A
D
ABCD dikdörtgen,
F
[AE][ED], [EF][BC]
G
|EF|=2 cm, |BF|=3 cm
|BF|+|FG|+|GE|+|ED|
E
|FC|=12 cm
toplam kaç cm dir?
B
A) 12
C) 20
C
B
olduuna göre,
3
2
F
12
C
Çevre(ABCD) kaç cm dir?
B) 18
D) 22
E) 24
A) 46
B) 48
C) 50
D) 52
E) 54
321
1–A
2–C
3–D
4–E
5–B
6–D
7–D
8–A
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Úö¡¥
Test 6 Àö¯ĞĞ¯န
KARE
A
D
Karlkl kenarlar birbirine eit uzunlukta ve paralel, ardk kenarlar birbirine dik olan dörtgenlere “kare” denir.
Yandaki ekilde verilen ABCD karesinde
|AB|=|BC|=|CD|=|AD|
m(ëA)=m(ëB)=m(ëC)=m(ëD)=90° dir.
C
B
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
ABCD kare,
D
m(EéBC)=24°
E
olduuna göre,
E
m(BéEC) kaç derecedir
66°
bulunuz.
B
24°
C
B
24°
C
Karenin tüm iç açlar 90° olduuna göre,
m(BéCE)=90° dir.
BEC üçgeninde iç açlar toplam 180° dir.
m(EéBC)+m(BéCE)+m(BéEC)=180°
24°+90°+m(BéEC)=180° m(BéEC)=66°
Cevap: 66
çözüm
kavrama sorusu
A
30°
D
A
D
30°
60°
E
48°
E
72°
B
18°
C
B
18°
C
ADE ve BEC üçgeninde iç açlar toplamndan,
ABCD kare, m(EéAD)=30°, m(EéBC)=18° olduuna göre,
m(EéAD)+m(AéDE)+m(AéED)=180°
m(AéEB) kaç derecedir bulunuz.
30°+90°+m(AéED)=180° m(AéED)=60°
m(EéBC)+m(BéCE)+m(BéEC)=180°
18°+90°+m(BéEC)=180° m(BéCE)=72°
DEC dorusal olduuna göre,
m(AéED)+m(AéEB) +m(BéEC)=180°
60°+m(AéEB) +72° =180° m(AéEB) =48°
Cevap: 48
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
322
¤¤¦¤Ú¤Ú
Kare
Test / 1
soru 1
A
soru 5
D
ABCD kare,
ABCD kare,
m(AéBE)=68° olduuna göre,
m(EéAD)=26°
E
m(EéBC) kaç derecedir?
A
D
26°
E
m(EéBC)=35°
olduuna göre,
68°
m(AéEB) kaç derecedir?
B
A) 12
B) 22
soru 2
C) 32
A
B
C
D) 34
A) 67
E) 44
C) 61
soru 6
D
40°
B) 63
35°
C
D) 59
A
D
36°
ABCD kare,
ABCD kare,
m(EéDF)=36°
m(DéAE)=40°
E
olduuna göre,
E
m(DéFC)=66°
olduuna göre,
m(AéEC) kaç derecedir?
B) 110
soru 3
C
C) 120
D) 125
E) 130
A
D
ABCD kare,
www.kartezyen.com.tr
m(AéED) kaç derecedir?
B
A) 100
E) 55
B
A) 60
B) 56
F
C) 50
soru 7
66°
C
D) 48
E) 44
A
D
ABCD kare,
67°
m(AéDE)=2m(EéDC)+9°
m(AéEC)=115°
olduuna göre,
m(AéFD)=67°
m(BéED) kaç derecedir?
olduuna göre,
F
m(EéAF) kaç derecedir?
B
A) 106
B) 112
soru 4
C
E
C)117
D) 119
E) 121
E
A
D
x
A) 38
ABCD kare,
ABCD kare,
[DF] açortay
y
olduuna göre,
F
C) 42
B) 65
D) 75
C
E) 46
D
m(BéED)=140°
B
C
C) 70
D) 44
A
m(DéFC) kaç derecedir?
B
E
olduuna göre,
x – y fark kaçtr?
A) 60
B) 40
soru 8
m(AéBE)=m(EéBF) =m(FéBC)
m(BéED)=x, m(BéFC)=y
115°
B
E) 80
A) 50
B) 55
C) 60
140°
F
E
D) 65
C
E) 70
323
1–B
2–E
3–C
4–A
5–C
6–A
7–C
8–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡
Test 1 Àö¯ĞĞ¯န
Kare
A
45°
45°
45°
Karenin köegenleri birbirini dik ortalar ve karenin iç ksmnda 4
tane e ikizkenar dik üçgen oluur.
D
45°
Yandaki ekli inceleyecek olursanz,
E
B
AEB, BEC, DEC ve AED ikizkenar dik üçgenlerini görebilirsiniz.
45°
45°
45°
45°
C
kavrama sorusu
çözüm
A
D
x
x+5°
ABCD kare,
Karede köegen ayn zamanda açortaydr. Buna göre,
[AC] köegen,
m(BéAC)=45° dir.
m(EéAC)=x
m(BéAC)=x+5°+x=45° 2x+5°=45°
2x=40°
m(BéAE)=x+5°
olduuna göre,
x=20°
Cevap: 20
x kaçtr bulunuz.
B
C
E
çözüm
kavrama sorusu
A
D
24°
ABCD kare,
A
24°
[BD] köegen,
45°
45°
m(DéAE)=24°
E
69°
olduuna göre,
[BD] köegen olduuna göre,
D
m(AéDB)=m(BéDC)=45° dir.
AEB açs AED üçgeninin
E
d açsdr.
m(AéEB) kaç derecedir
bulunuz.
B
Üçgende bir d açnn ölçüsü,
kendisine komu olmayan
B
C
iki iç açnn toplamna eit olacana göre,
C
m(AéEB)=m(EéAD)+m(AéDE)
m(AéEB)=24°+45°=69°
Cevap: 69
çözüm
kavrama sorusu
A
D
E
D [BD] köegen olduuna göre,
A
ABCD kare,
[AC],[BD] köegen,
m(AéBD)=m(EéBF)=45°
m(BéEF)=26°
EFC, EBF üçgeninin d açsdr. Üçgende bir d açnn
ölçüsü kendisine komu olmayan iç açlarn toplamna
eit olacana göre,
E
olduuna göre,
m(EéFC) kaç derecedir
26°
B
F
26°
bulunuz.
C
B
45°
45°
F
71°
C
m(EéFC)=m(EéBF)+m(BéEF)
m(EéFC)=45°+26°
=71°
Cevap: 71
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
324
¤¤¦¤Ú¤Ú
Kare
Test / 2
soru 1
A
soru 5
D
y6°
A
ABCD kare,
ABCD kare,
[BD] köegen
[AC],[BD] köegen
m(AéBD)=x+10°
olduuna göre,
m(BéDC)=y – 6°
m(BEC) kaç derecedir?
olduuna göre,
x+y toplam kaçtr?
A) 52
B) 86
soru 2
B
x+10°
C) 90
B
A) 70
E) 38
E
A
E
C
D) 94
B) 80
C) 90
soru 6
D
ABCD kare,
[AC] köegen
[AC],[BD] köegen
[CE] açortay
m(EéKC)=30°
olduuna göre,
olduuna göre,
m(DéEC) kaç derecedir?
m(DéEK) kaç derecedir?
B) 65
soru 3
C) 60
D) 57,5
E) 45
A
D
E
ABCD kare,
A) 75
olduuna göre,
olduuna göre,
B) 120
soru 4
C) 125
D) 110
D) 60
D
m(KéEC) kaç derecedir?
D
E) 55
E
74°
B
C
E) 105
A
C) 65
C
ABCD kare,
m(BéKE)=74°
A) 115
E
A
m(BéCE)=65°
65°
D
30°
soru 7
[AC],[BD] köegen
B
E) 110
K
B) 70
[BD] köegen
m(DéEC) kaç derecedir?
D) 100
B
www.kartezyen.com.tr
A) 67,5
C
C
A
ABCD kare,
B
D
A) 24
B) 27
C) 29
soru 8
C
K
D) 33
E) 35
A
D
20°
ABCD kare,
ABCD kare,
[BD] köegen
[AC],[BD] köegen
m(EéDC)=20°
|BK|=|DE|
E
m(EéBC)=24°
olduuna göre,
m(BéED) kaç derecedir?
B
olduuna göre,
m(BéEK) kaç derecedir?
24°
B
C
A) 52,5
A) 120
B) 124
C) 128
E
D) 130
B) 57,5
C) 60
K
D) 67,5
C
E) 75
E) 134
325
1–B
2–A
3–D
4–E
5–C
6–A
7–C
8–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡
Test 1 Àö¯ĞĞ¯န
Kare
Kare sorularnn pek çounda birbirine eit olarak verilen uzunluklarla karlarsnz. Böyle durumlarda özellikle birbirine eit uzunluktaki
kenarlar iaretleyecek olursanz, ekilde gizlenmi olan ikizkenar üçgen veya üçgenleri kefedebilirsiniz.
çözüm
kavrama sorusu
A
D
50°
ABCD kare,
A
50°
|DE|=|BC|
m(EéDC)=50°
D Karenin tüm kenarlarnn uzunluklar birbirine eittir. Bu kenarlar iaretleyecek olursak
gizlenmi olan DEC ikizkenar
olduuna göre,
E
E
m(DéEC) kaç derecedir
üçgenini tespit edebiliriz.
65°
DEC ikizkenar üçgeninde
bulunuz.
65°
B
B
C
C
m(DéEC)=m(DéCE) ve üçgende
iç açlar toplam 180° ise,
m(DéEC)+m(DéCE)+50°=180°
m(DéEC)+m(DéCE)=180°–50°=130° ise,
m(DéEC)=m(DéCE)=65° dir.
Uyarı
Cevap: 65
Kare sorularnda herhangi bir uzunluk, karenin kenarlarndan birisine eit uzunlukta verilecek olursa, karenin dier
kenarlarnn uzunluklarna dikkat etmelisiniz. Soruda tespit
etmeniz gereken ikizkenar üçgen vardr.
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
E
D
E
35°
20°
B
20°
C
B
35°
C
ABCD kare, |CD|=|CE|, m(DéCE)=20° olduuna göre,
Karenin tüm kenar uzunluklar birbirine eit ve |CD|=|CE| ise,
m(BéEC) kaç derecedir bulunuz.
|AB|=|BC|=|CD|=|AD|=|CE| ve,
BCE ikizkenar üçgendir.
m(BéCD)=90° ise
m(BéCE)=90°+20°=110°
BCE ikizkenar üçgen ise,
m(CéBE)=m(BéEC)=x diyelim,
BCE üçgeninde iç açlar toplam 180° ise,
m(CéBE)+m(BéCE)+m(BéEC)=180°
x+110°+x=180°
2x=180°–110°
2x=70°
x=35°
m(BéEC)=x=35° dir.
Cevap: 35
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
326
¤¤¦¤Ú¤Ú
Kare
Test / 3
soru 1
A
soru 5
D
ABCD kare,
A
24°
ABCD kare,
E
|BE|=|CD|
|DE|=|BC|
m(EéBC)=40° olduuna göre,
m(EéDC)=24°
m(BéEC) kaç derecedir?
olduuna göre,
B) 65
C) 60
soru 2
m(EéAD) kaç derecedir?
40°
B
A) 70
C
D) 55
B
E) 50
A
A) 37
D) 34
A
E) 33
D
64°
|BE|=|DC|
E
m(EéBC)=36° olduuna göre,
m(DéAE)=64°
olduuna göre,
m(EéAD) kaç derecedir?
C) 22
soru 3
D) 20
E) 18
A
D
ABCD kare,
C
E
A) 24
B) 26
C) 28
soru 7
D) 30
E) 32
A
D
B
C
ABCD kare,
|DE|=|BC|
|AD|=|EC|
olduuna göre,
m(DéCE)=128°
olduuna göre,
m(AéEC) kaç derecedir?
E
m(AéDE) kaç derecedir?
B
B) 125
B
C
www.kartezyen.com.tr
B) 24
m(AéEB) kaç derecedir?
36°
B
C
C) 130
D) 135
E
E) 140
A) 48
soru 4
A
D
56°
ABCD kare,
B) 52
soru 8
C) 56
D) 60
A
E) 64
D
ABCD kare,
|DE|=|BC|
[BD] köegen
m(AéED)=32°
|AE|=|DC|
E
m(BéAE)=56° olduuna göre,
C
B
C) 22
D) 24
32°
m(AéFD) kaç derecedir?
B
A) 58
B) 20
F
olduuna göre,
m(BéDE) kaç derecedir?
A) 18
C) 35
E
ABCD kare,
|AE|=|BC|
A) 120
B) 36
C
soru 6
D
ABCD kare,
A) 26
D
B) 60
E
C
C) 62
D) 64
E) 66
E) 28
327
1–A
2–E
3–D
4–E
5–E
6–B
7–E
8–A
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡
Test 2 Àö¯ĞĞ¯န
Kare
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
D
22,5°
E
E
C
B
ABCD kare, [AC] köegen, |AC|=|BE| olduuna göre,
45°
45°
B
22,5°
C
[BD] köegenini çizelim.
m(BéED) kaç derecedir bulunuz.
|BD|=|AC| ve |BE|=|AC| olduundan, |BD|=|BE| dir.
|BD|=|BE| ise m(BéED) = m(BéDE)=x
m(AéBE)=90° ve [BD] köegen olduundan, m(DéBC)=45° dir.
BED üçgeninde iç açlar toplamndan,
m(EéBD)+m(BéED)+m(BéDE)=180°
90°+45°+x+x=180°
2x=45°
x=22,5°
m(BéED)=x=22,5° dir.
Cevap: 22,5
çözüm
kavrama sorusu
A
24°
A
D
24°
66°
D
24°
E
K
B
E
F
B
C
K
F
ABCD kare, [AF][DE], m(AéDE)=24° olduuna göre,
KAD dik üçgeninde iç açlar toplam 180° dir.
m(BéAF) kaç derecedir bulunuz.
m(KéAD)+m(AéKD)+m(AéDE)=180°
C
m(KéAD)+90°+24°=180°
m(KéAD)=66°
m(BéAF)+m(KéAD)=m(EéAD)
m(BéAF)+66°=90°
m(BéAF)=90° – 66°
m(BéAF)=24°
Cevap: 24
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
328
¤¤¦¤Ú¤Ú
Kare
Test / 4
soru 1
A
soru 5
D
ABCD kare,
[BF][CE]
|CE|=|BD|
m(BéCE)=56°
olduuna göre,
m(AéEB)
B
F
olduuna göre,
E
C
m(AéEC) kaç derecedir?
kaç derecedir?
B) 32,5
C) 33
D) 25
soru 2
C
E) 22,5
B) 124
C) 118
soru 6
E
E) 104
E,A,B dorusal
[AF] [DE]={K}
D
18°
K
ABCD kare,
[BD] köegen
D) 114
A
ABCD kare,
E
80°
m(AéDE)=18°
A
|AE|=|BD|
D
m(DéKF)=80° olduuna göre,
olduuna göre,
m(BéAF) kaç derecedir?
B
B
B) 22,5
soru 3
C
C) 30
D) 32,5
E) 37,5
A
D
www.kartezyen.com.tr
m(EéCD) kaç derecedir?
A) 44
B) 40
ABCD kare,
[BF] [CE]={K}
F
|AC|=|BE|
olduuna göre,
soru 4
D) 65
E)75
A
D
24°
B
E
C)60
F
m(DéEC) kaç derecedir?
C
m(BéED) kaç derecedir?
B) 55
D
94° K
olduuna göre,
B
E) 26
E
m(BéKE)=94° m(CéBF)=24°
15°
m(EéBC)=15°
D) 28
A
[AC] köegen
C
F
C) 36
soru 7
ABCD kare,
A) 45
56°
B
A) 128
A) 20
D
ABCD kare,
[BD] köegen
A) 35
E
A
A) 47
B) 56
C) 66
soru 8
C
D) 70
E) 78
A
D
68°
ABCD kare,
ABCD kare,
E
[AF][DE]
K
[AF] [DE]={K}
m(AéFB)=70°
m(DéKF)=74° m(BéAF)=68°
olduuna göre,
olduuna göre,
m(AéDE) kaç derecedir?
B
A) 20
B) 30
m(AéDE) kaç derecedir?
70°
C
F
C) 40
D) 50
E) 60
F
E
B
A) 35
B) 48
74°
C) 52
C
D) 56
E) 60
329
1–E
2–B
3–C
4–A
5–B
6–D
7–D
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡
Test 4 Àö¯ĞĞ¯န
Kare
Karenin Çevresi: Bir karenin çevresi dört kenarnn uzunluklarnn toplamna eittir. Bununla ilgili olarak aada verilen örnekleri dikkatle
inceleyiniz.
çözüm
kavrama sorusu
Bir kenarnn uzunluu 7 cm olan karenin çevresi kaç cm dir,
bulunuz.
A
7
D
Karenin tüm kenarlar,
7 cm olduuna göre,
Çevre(ABCD)=7+7+7+7
7
B
=4.7=28 cm dir.
7
7
C
Cevap: 28
çözüm
kavrama sorusu
2x3
A
D
x+5
ABCD kare,
A
13
D
Karenin tüm kenarlar ,
|AD|=2x – 3 cm
eit uzunlukta olacana göre,
|CD|=x+5 cm
|AD|=|CD| ise 2x – 3=x+5
olduuna göre,
2x – x=5+3
13
karenin çevresi kaç
cm dir bulunuz.
x=8 cm
|CD|=x+5 ise,
|CD|=8+5=13 cm
B
B
C
C
Çevre(ABCD)=4.13=52 cm
Cevap: 52
çözüm
kavrama sorusu
A
D
ABCD kare,
A
6
|AB|=2.|BC|– 6
D Karenin bir kenar x cm olsun,
|AB|=|BC|=x cm dir.
olduuna göre,
|AB|=2 |BC|– 6 ise,
Çevre(ABCD)
6
kaç cm dir bulunuz.
6
x=2x – 6
6=x
Karenin bir kenar x=6 cm ise,
Çevre(ABCD)= 4.6=24 cm dir.
B
C
B
6
C
Cevap: 24
çözüm
kavrama sorusu
Bir kenar 3x+7 cm olan karenin çevresi 64 cm olduuna göre,
x kaçtr bulunuz.
64
16 cm dir.
4
Karenin bir kenar 3x+7 verildiine göre,
Karenin çevresi 64 cm ise, bir kenar
3x+7=16 ise
3x=16 – 7
3x=9
x=3 cm
Cevap: 3
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
330
¤¤¦¤Ú¤Ú
Kare
Test / 5
soru 1
soru 5
Bir kenar 15 cm olan bir karenin çevresi kaç cm dir?
A
D
B
C
ABCD kare,
|AB|=2|BC|– 9
A) 30
B) 45
C) 60
D) 75
E) 90
olduuna göre,
Çevre(ABCD) kaç cm dir?
A) 36
soru 2
A
B) 40
C) 44
soru 6
D
ABCD kare,
ABCD kare,
|CD|=14 cm
|AB|=|AD|+|CD|–12
14
olduuna göre,
D) 48
E) 52
A
D
B
C
olduuna göre,
Çevre(ABCD) kaç cm dir?
Çevre(ABCD)
kaç cm dir?
A) 14
B) 28
C
C) 42
D) 56
E) 70
A
x+9
D
soru 3
|AD|=x+9 cm
www.kartezyen.com.tr
B
A) 36
B) 44
C) 48
D) 56
E) 64
soru 7
Çevresi 84 cm olan karenin bir kenar kaç cm dir?
|BC|=2x – 2 cm
A) 16
olduuna göre,
B) 18
C) 20
D) 21
E) 24
ABCD karesinin çevresi
kaç cm dir?
B
A) 80
B) 76
soru 4
C) 72
D) 60
A
E) 56
D
|CD|=2x+7 cm
|BC|=5x – 8 cm
olduuna göre,
karenin çevresi
kaç cm dir?
soru 8
A
D
B
C
ABCD karesinin çevresi,
48 cm olduuna göre,
2x+7
2|AD|+|BC| ifadesinin
deeri kaçtr?
B
A) 60
C
2x2
B) 68
5x8
C) 72
D) 84
C
E) 96
A) 12
B) 24
C) 36
D) 40
E) 46
331
1–C
2–D
3–A
4 –B
5–A
6–C
7–D
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡
Test 3 Àö¯ĞĞ¯န
Kare
Karenin köeleri dik aç olduundan dolay, pek çok kare sorusunda Pisagor Bants veya Özel üçgen sorular ile karlamanz mümkün. Bu tür durumlarla ilgili, aada verdiimiz kavrama sorularn dikkatle inceleyiniz.
çözüm
kavrama sorusu
A
D
ABCD kare,
A
D |AB|=|BE|+|EC|=3+2=5
cm dir. |AB|=3+2=5 cm dir.
|BE|=3 cm
ABE dik üçgeninde
|EC|=2 cm
olduuna göre,
Pisagor Bantsndan
5
ò34
|AE| kaç cm dir bulunuz.
B
3
E
2
B
C
AE 3
E
2
2
AB BE C
2
52 32 34 cm dir.
Cevap: ò34
çözüm
kavrama sorusu
A
D
ABCD kare,
2x
A
D
olduuna göre,
3 5
E
|DE|=|EC|=x cm dersek,
|AD|=|DC|=2x cm olur.
|AE|=3ñ5 cm
x
3 5
|DE|=|EC|
ADE dik üçgeninde,
Pisagor Bantsndan
E
kaç cm dir bulunuz.
x
|AE|2=|AD|2+|DE|2 ise,
(3ñ5)2=(2x)2+x2
45=4x2+x2
B
C
B
C
45=5x2 ise x=3 cm
|DE|=|EC|=x=3 cm dir.
Cevap: 3
çözüm
kavrama sorusu
A
D
ABCD kare,
A
D
|AE|=5 cm
|EC|=1 cm
olduuna göre,
5
x+1
5
|BE| kaç cm dir
bulunuz.
B
E
1
B
C
x
E
1
C
|BE|=x cm diyelim,
Karenin tüm kenarlar eit uzunlukta olacana göre,
|AB|=|BC|=|BE|+|EC|=x+1 cm,
ABE dik üçgeninde Pisagor Bantsndan
|AE|2=|AB|2+|BE|2 ise,
52=(x+1)2+x2
25=(x+1)2+x2 ise x=3 cm dir.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
332
Cevap: 3
¤¤¦¤Ú¤Ú
Kare
Test / 6
soru 1
A
ABCD kare,
olduuna göre,
|BE|=2 |AE|
B) 2ò10
soru 2
A
karenin çevresi kaç cm dir?
C
C) 2ò15
D)3ñ2
3
B
E) 3ñ3
E
A) 24
B) 28
soru 6
D
olduuna göre,
|CE| kaç cm dir?
|EC| kaç cm dir?
A)4ñ2
B) 3ñ5
C) 2ò13
soru 3
A
ABCD kare,
2
|AE|=2 cm |AD|=6 cm
E
D) 2ò15
E) ò65
6
D
B
A) 2
E) 40
D
34
olduuna göre,
www.kartezyen.com.tr
ABCD kare,
|BE|=2 cm |DE|=ò34 cm
C
D) 36
A
ABCD kare,
7
C
C) 32
|AE|=3 cm |BC|=7 cm
B
3 10
E
olduuna göre,
1
B
D
|DE|=3ò10 cm
E
|AE| kaç cm dir?
A
ABCD kare,
2
|DE|=2 cm |CE|=1 cm
A) ò13
soru 5
D
B) 3
C) 4
soru 7
2
C
E
D) 5
A
E) 6
D
ABCD karesinin çevresi,
24 cm
olduuna göre,
|DE|=|EC|+2
|CE| kaç cm dir?
olduuna göre,
E
|AE| kaç cm dir?
B
A) 3ñ2
B) 2ò13
soru 4
C) 4ñ3
D) 5ñ2
E) 3ñ6
A
D
ABCD kare,
A) 2ñ3
B) 4ñ2
C) 2ò13
soru 8
C
D) 4ñ3
A
E) 3ñ5
D
ABCD karesinin çevresi,
32 cm
|BE|=|CE|
2 10
|DE|=2ò10 cm
|AE|=|DC|– 3
E
olduuna göre,
olduuna göre,
|DE| kaç cm dir?
|AD| kaç cm dir?
A) 5
B
C
B) 3ñ2
B
E
C
C) 2ñ5
D) 2ñ2
E) 4ñ2
B
A) 3ñ7
B) 5ñ3
C) 4ñ6
C
D) 3ò10
E) ò89
333
1–A
2–E
3–B
4–E
5–D
6–B
7–C
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡
Test 3 Àö¯ĞĞ¯န
Kare
çözüm
kavrama sorusu
A
D
6
A
4
4
D
2 13
6
E
E
2
2
B
2
C
F
B
2 13
2
C
4
F
ABCD kare,
Karenin bir kenarnn uzunluu, |AB|=4+2=6 cm
|BE|=|BF|=2 cm
|AE|=4 cm olduuna göre,
Buna göre, |AD|=|DC|=6 cm ve |FC|=4 cm dir.
|DE|+|DF| toplam kaç cm dir bulunuz.
AED ve CDF dik üçgenlerinde Pisagor Bantsn uygularsak,
|DE| | AD|2 | AE|2 62 42 2 13 cm
|DF | |DC|2 |CF |2 62 42 2 13 cm
|DE| |DF | 2 13 2 13 4 13 cm
Cevap: 4ò13
çözüm
kavrama sorusu
A
A
D
D
E
E
8
8
B
30°
C
B
ABCD kare, m(EéBC)=30°, |BE|=8 cm olduuna göre,
30°
4 3
60°
4
C
BEC 30° – 60° – 90° üçgenidir.
karenin çevresi kaç cm dir bulunuz.
|CE|
|BE| 8
4 cm (30° – 60° – 90° üçgeni kural)
2
2
|BC|=|CE|.ñ3=4ñ3 cm (30° – 60° – 90° üçgeni kural)
Karenin bir kenar |BC|=4ñ3 cm ise,
Çevre(ABCD)=4.4ñ3=16ñ3 cm dir.
Cevap: 16ñ3
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
334
¤¤¦¤Ú¤Ú
Kare
Test / 7
soru 1
A
ABCD kare,
|CF|=|CE|
soru 5
2
ABCD kare,
24 cm olduuna göre,
|DE| kaç cm dir?
B
B) 2ò13
B
C
E
C) 3ñ2
soru 2
D) 4ñ2
A) 4ñ3
E) 4ñ3
A
B) 3ñ6
ABCD kare,
m(BéED)=120°
E
E
olduuna göre,
C
D) 2ñ3
E) 2ñ2
D
120°
AE
oran kaçtr?
BC
olduuna göre,
|AF|+|DE|
F
B) 2ñ5
C) 2ñ7
D) 4ñ5
soru 3
5
A
E) 4ñ6
E
B
C
2
3
D
ABCD kare
|AE|=5 cm, |DE|=3 cm
olduuna göre,
|BE|2 –|CE|2
farknn deeri kaçtr?
www.kartezyen.com.tr
B
toplam kaç cm dir?
A)
1
2
B)
1
2
C)
soru 7
C
1
3
E)
A
2
3
D
ABCD kare,
m(FéEC)=30°
|BE|=1 cm, |EF|=2ñ3 cm
C
C) 16
soru 4
A
D) 25
E) 34
D
30°
ABCD kare,
5
m(EéAD)=30°
|DE|=5 cm
olduuna göre,
B 1 E
kaç cm dir?
A) 8
B) 12
C) 16
soru 8
A
30°
C
D) 20
E) 24
1 E
D
3
ABCD kare,
m(EéFC)=120°
E
F
2 3
olduuna göre,
B
B) 15
3
2
D)
Çevre(ABCD)
A) 8
60°
A
ABCD kare,
|CF|=2 cm
E
C) 4ñ2
soru 6
D
|AE|=|BE|=|BF|
A) 6
D
karenin çevresi
F
olduuna göre,
|AE|+|AF|
toplam kaç cm dir?
A
m(DéEC)=60°
3
|DF|=2 cm, |AB|=3 cm
A) ò13
D
120°
|AE|=1 cm, |DF|=ñ3 cm
F
olduuna göre,
karenin çevresi kaç cm dir?
|CF| kaç cm dir?
B
A)18
B) 20
C) 20ñ2
C
D) 20ñ3
B
E) 24ñ3
A) 2
B) ñ3
C) 2ñ3
C
D) 4 –ñ3
E) 3 –ñ3
335
1–B
2–D
3–C
4–D
5–A
6–C
7–C
8–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡
Test 4 Àö¯ĞĞ¯န
Kare
çözüm
kavrama sorusu
A
4
D
4
A
4
B
C
B
45°
45°
D
4 2
45°
45°
C
[BD] köegeni, ABCD karesini iki e ikizkenar dik üçgen olarak
ayrr.
ABCD kare, [BD] köegen, |AD|=4 cm olduuna göre,
|BD| kaç cm dir bulunuz.
ABD ikizkenar dik üçgen olduuna göre,
|BD|=|AD|ñ2=4ñ2 cm (ikizkenar dik üçgen kural)
Cevap: 4ñ2
çözüm
kavrama sorusu
A
A
D
10
B
D
45°
45°
10
5ñ2
45°
45°
B
C
5ñ2
ABCD kare, [AC] köegen, |AC|=10 cm olduuna göre,
ABC ve ACD ikizkenar dik üçgendir.
|BC| kaç cm dir bulunuz.
ABC ikizkenar dik üçgeninden,
| AB||BC|
C
| AC| 10
5 2 cm dir.
2
2
Cevap: 5ñ2
çözüm
kavrama sorusu
Çevresi 24 cm olan karenin,
Karenin çevresi 24 cm ise bir kenarnn uzunluu
bir köegeninin uzunluu kaç cm dir bulunuz.
24
6 cm dir.
4
Bir kenar 6 cm olan karenin köegen uzunluu 6ñ2 cm dir.
Cevap: 6ñ2
çözüm
kavrama sorusu
Bir köegeni 2 cm olan karenin, çevresi kaç cm dir bulunuz.
Bir köegeni 2 cm olan karenin, bir kenarnn uzunluu
2
2
2 cm dir.
Bir kenar ñ2 cm olan karenin çevresi 4ñ2 cm dir.
Cevap: 4ñ2
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
336
¤¤¦¤Ú¤Ú
Kare
Test / 8
soru 1
A
soru 5
D
ABCD kare,
ABCD kare,
[BD] köegen
|AC|+|BD|=5 cm
4
|AB|=4 cm
karenin çevresi
|BD| kaç cm dir?
kaç cm dir?
B
B) 2ñ3
D
B
C
olduuna göre,
olduuna göre,
A) 2ñ2
A
C
C) 4ñ3
D) 4ñ2
A) 3ñ6
E) 8
soru 2
B) 4ñ5
C) 4ñ2
D) 5ñ2
E) 2ò10
soru 6
Bir kenarnn uzunluu 2ñ5 cm olan karenin, bir köegeninin
Çevresi 16 cm olan karenin, bir köegeninin uzunluu kaç cm
uzunluu kaç cm dir?
dir?
B) 3ñ2
soru 3
C) 4ñ5
D) 2ò10
E) 2ò15
3 2
A
D
ABCD kare,
|AD|=3ñ2 cm
A) 8ñ2
www.kartezyen.com.tr
A) 2ñ3
B) 8
C) 4ñ3
D) 4ñ2
E) 4
soru 7
Bir kenar a cm olan karenin, köegenlerinin uzunluklar toplam kaç cm dir?
olduuna göre,
A) ñ2a
|AC|+|BD|
B) 2ñ2a
C) 3a
D) 4a
E) 4ñ2a
toplam kaç cm dir?
B
A) 12
B) 10
C
C) 6ñ2
soru 4
D) 4ñ6
E) 8ñ2
A
D
ABCD kare,
|BD|=2ñ6 cm
soru 8
Bir köegeninin uzunluu x cm olan karenin çevresi y cm dir.
x
Buna göre,
oran kaçtr?
y
2 6
olduuna göre,
|AB| kaç cm dir?
B
A) 2ñ2
B) 2ñ3
C
C) 3ñ2
D) 3ñ3
A)
1
3 2
B)
2
4
C)
1
2
D)
1
4
E)
1
2 2
E) 4
337
1–D
2–D
3–A
4–B
5–D
6–D
7–B
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡
Test 4 Àö¯ĞĞ¯န
Kare
çözüm
kavrama sorusu
A
D
ABCD kare,
A
[AE][BD]
|AE|=3 cm
3
3ñ2
45°
45°
D
45°
[AE][BD] ise AED ve AEB
3
3
ikizkenar dik üçgendir.
olduuna göre,
E
AEB ve AED ikizkenar dik üçgen olduuna göre,
E
|AD| kaç cm dir bulunuz.
3
|AE|=|ED|=|BE|=3 cm ve
45°
B
C
[BD] köegeni karenin köelerinde 45° lik açlar oluturur.
B
C
|AD|=|AE|ñ2=3ñ2 cm dir.
D
[AH][BD] olacak
Cevap: 3ñ2
çözüm
kavrama sorusu
A
D
ABCD kare,
A
[BD] köegen,
2
|BE|=4 cm, |DE|=2 cm
E
2
3
olduuna göre,
H
|AE| kaç cm dir bulunuz.
4
B
ekilde [AH] çizelim.
ò10
1
ABH ve ADH
E
ikizkenar dik üçgendir.
|AH|=|BH|=|DH| dir.
3
C
B
C
|BD|
3 cm , |HE|=|DH|–|ED|=3 – 2=1 cm
2
AHE dik üçgeninde Pisagor Bantsndan,
| AH||DH|
| AE| | AH|2 |EH|2 32 12 10 cm
Cevap: ò10
çözüm
kavrama sorusu
A
D
ABCD kare,
A
D
[BD] köegen,
6
|BD|=12 cm,
|DE|=3|BE|
3ñ 5
olduuna göre,
E
B
6
H
3
|AE| kaç cm dir bulunuz.
E
3
C
B
C
|BE|=x cm olsun, |DE|=3|BE|=3x cm
|BD|=|BE|+|DE|=x+3x=12 ise x=3 cm
|BE|=x=3 cm |DE|=3x=9 cm dir.
[AH] dikmesini çizelim. |AH|=|BH|=|DH|=6 cm olacandan,
|DH|=6 cm ve |EH|=3 cm dir.
AEH dik üçgeninde Pisagor Bantsndan,
| AE| | AH|2 |EH|2 36 9
3 5 cm
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
338
Cevap:3ñ5
¤¤¦¤Ú¤Ú
Kare
Test / 9
soru 1
A
soru 5
D
A
ABCD kare,
ABCD kare,
[CE][BD]
[AC] köegen,
E
|CE|=5 cm
5
olduuna göre,
|BD| kaç cm dir?
A) 5ñ2
B) 5ñ3
C
C) 10
D) 10ñ2
A) 4
B) 4ñ3
C) 5
D) 3ñ2
C
E) 6
D
soru 2
soru 6
2 3
A
D
5
ABCD kare,
|AE|=2ñ3 cm
olduuna göre,
E
ABCD kare,
E
1
|AE|=5 cm |DE|=1 cm
olduuna göre,
|AC|+|BD|
toplam kaç cm dir?
|BD| kaç cm dir?
B) 6ñ3
soru 3
C
C) 8
D) 8ñ3
E) 9ñ3
A
D
ABCD kare,
[AC],[BD] köegen,
E
14
|DC|=14 cm
www.kartezyen.com.tr
B
B
A) 7
B)8
soru 4
C) 5ñ2
D) 4ñ2
E) 7
A
D
ABCD kare,
D
|BC|=4ñ2 cm
E
B
|BE| kaç cm dir?
A) 2ñ2
B) 3ñ2
C) 3ñ6
soru 8
D) 2ñ5
|BE|=2 cm |ED|=6 cm
olduuna göre,
D
E
|DC|=6 cm olduuna göre,
|CE| kaç cm dir?
2
B
B) 2ñ3
6
|BE|=|DE|+2ñ2
E
|AE| kaç cm dir?
C
C) 2ñ5
D) 3ñ2
E) 3ñ5
A
[BD] köegen,
6
C
4 2
ABCD kare,
[BD] köegen,
E) 5ñ3
ABCD kare,
olduuna göre,
B) 7ñ2
D) 10
[AC] köegen,
|BE| kaç cm dir?
C
C
A
|AE|=3|CE|
B
C) 5ñ2
soru 7
olduuna göre,
A) ñ5
1
B
E) 10ñ3
A
A) 4ñ3
E
|DE| kaç cm dir?
B
A) 14
7
|AE|=7 cm |CE|=1 cm
olduuna göre,
D
E) 2ñ6
B
A) 2ñ5
B) 2ò10
C) 2ñ7
C
D) 3ñ5
E) 3ò10
339
1–C
2–D
3–B
4–C
5–C
6–B
7–D
8–A
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡
Test 5 Àö¯ĞĞ¯န
Kare
çözüm
kavrama sorusu
A
D
ABCD kare,
A
[EH] dikmesini çizelim.
D
[AC] [BD]={E},
EBC ikizkenar
|BF|=2 cm
E
dik üçgen olduundan
E
|FC|=6 cm
olduuna göre,
|EF|kaç cm dir bulunuz.
B
2
F
B
2
|FH|=|BH|–|BF|=4 – 2=2 cm
4
2ñ5
C
6
|BH|=|HC|=|EH|=4 cm dir.
F2 H
EHF dik üçgeninde
Pisagor Bantsndan,
C
4
|EF | |FH|2 |EH|2 22 4 2 2 5
Cevap: 2ñ5
çözüm
kavrama sorusu
A
A
D
D
2
2
4
H
2
B
2ñ5
B
C
C
2
2
E
E
[DH] dikmesini çizelim. |AH|=|DH|=|HC|=2 cm olur.
ABCD kare, A, C, E dorusal, |AC|=4 cm, |CE|=2 cm olduuna göre, |DE| kaç cm dir bulunuz.
DHE dik üçgeninde Pisagor Bantsndan,
|DE| |DH|2 |HE|2 22 4 2
Cevap: 2ñ5
2 5 cm
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
4
45°
2ò10
4
D
4ñ5
2ò10
E
E
45°
B
C
B
ABCD kare, [AE][CE], |AE|=4 cm, |CE|=8 cm olduuna
göre, karenin bir kenar kaç cm dir, bulunuz.
C
[AC] köegenini çizelim. AEC dik üçgeninde Pisagor Bantsndan, | AC| | AE|2 |CE|2 42 82 4 5 cm
[AC] karenin köegeni olduuna göre,
DAC ikizkenar dik üçgen olur.
|DA ||DC|
| AC|
2
4 5
2 10 cm (kizkenar dik üçgen kural)
2
Karenin bir kenar 2ò10 cm dir.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
340
Cevap: 2ò10
¤¤¦¤Ú¤Ú
Kare
Test / 10
soru 1
A
soru 5
D
E
|BD|=4|DE|
|BF|=3 cm |FC|=1 cm
|AE|=2ò13 cm
olduuna göre,
olduuna göre,
|EF| kaç cm dir?
B
A) ñ2
B) ñ3
soru 2
3
F
D) ñ5
C) 2
|BE| kaç cm dir?
C
1
A) 4
A
B) 6
3
F
D) 10
E) 12
A
D
ABCD kare,
[BE][DE]
E
|DF|=3 cm |CF|=5 cm
|BE|=6 cm |DE|=8 cm
5
olduuna göre,
olduuna göre,
karenin bir kenar kaç cm dir?
B
B) 2ñ5
soru 3
C
C)ò19
E) ò17
D) 3ñ2
12
A
D
K noktas ABCD karesinin,
köegenlerinin kesiim
A) 4
B) 4ñ2
C) 5
ABCD kare,
karenin çevresi kaç cm dir?
soru 4
C
E
C) 3ñ3
D) 5ñ2
D) 3ñ5
E) 9
A
D
ABCD kare,
E
A
D
B
C
A) 8ñ5
B) 8ñ3
C) 4ñ5
soru 8
D)4ñ3
A
E) 4ñ2
D
45°
ABCD kare,
E, B, D dorusal,
E) 10
|AE|=2 cm |EC|=6 cm
olduuna göre,
B) 2ñ5
E
2
olduuna göre,
B
C
6
soru 7
|AD|=12 cm |EC|=3|BE|
|KE| kaç cm dir?
B
[EA][EC]
K
noktasdr.
www.kartezyen.com.tr
|EF| kaç cm dir?
A) 2ñ3
C
C) 8
soru 6
D
[AC] [BD]={E}
B
E) 2ñ2
ABCD kare,
A) ò21
D
ABCD kare,
B,D,E dorusal
ABCD kare,
[AC] [BD]={E}
E
2 13
A
m(EéDC)=45°
6
|EB|=2 cm |BD|=6 cm
6
E
|BC|=6ñ2 cm |DE|=6 cm
olduuna göre,
olduuna göre,
C
B
|AE| kaç cm dir?
B
|BE| kaç cm dir?
C
6 2
2
E
A) 12ñ2
A) 2ò13
B) ò34
C) 4ñ6
D) 3ñ5
B) 12
C) 8ñ5
D) 6ñ6
E) 6ñ5
E) 2ñ5
341
1–D
2–E
3–D
4–B
5–D
6–D
7–A
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡
Test 5 Àö¯ĞĞ¯န
DELTODDE ALAN
çözüm
kavrama sorusu
A
A
F
F
E
B
E
6
D
15
C
B
ABC üçgen, AEDF deltoid, |AE|=|AF|, |BD|=6 cm
| AB|
oran kaçtr, bulunuz.
|DC|=15 cm olduuna göre,
| AC|
6
D
15
C
[AD] yi çizelim. AEDF deltoid olduundan [AD] açortaydr.
ABC üçgeninde, üçgende iç açortay bantsndan
| AB| |BD|
| AB| 6 2
ise
olur.
| AC| |DC|
| AC| 15 5
2
5
çözüm
kavrama sorusu
ABCD deltoid
A
Deltoidin köegenleri dik kesieceinden
A
[AC] [BD] dir.
|AC|=12 cm
B
Cevap:
E
|BD|=5 cm
D
E
B
D
Köegenleri dik kesien dörtgenlerin
olduuna göre,
alan köegenleri çarpmnn yarsdr.
Alan(ABCD) kaç cm2 dir, bulunuz.
Buna göre,
C
C
Alan(ABCD)=
1
.|AC|.|BD|
2
Alan(ABCD)=
1
.12.5=30 cm2
2
Cevap: 30
çözüm
kavrama sorusu
A
A
16
7
16
7
B
D
B
D
7
C
16
C
ABCD deltoid, [AB] [AD], |AB|=7 cm, |AD|=16 cm
ABCD deltoid olduuna göre, m(BéAD)=m(BéCD)=90°
2
olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm dir, bulunuz.
|AB|=|BC|=7 cm, |AD|=|DC|=16 cm
[BD] köegenini çizelim.
Alan(ABCD)=Alan(ABD)+Alan(CBD)
1
1
| AB| | AD| |BC| |CD|
2
2
1
1
7 16 7 16
2
2
=56+56
=112 cm2
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
342
Cevap: 112
¤¤¦¤Ú¤Ú
Deltoidde Alan
Test / 1
soru 1
soru 5
A
F
D
ABC üçgen
Köegenlerinin uzunluklar 4 cm ve 7 cm olan deltoidin alan
kaç cm2 dir?
ADEF deltoid
|DE|=|EF|
A) 10
|BE|=6 cm
B
6
8
E
B) 12
C) 14
D) 18
E) 28
C
|EC|=8 cm
|AB|=9 cm olduuna göre, |AC| kaç cm dir?
A) 9
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
soru 2
A
D
soru 6
F
ABC üçgen
[BC] [CD]
|AD|=|AF|
|AB|=5 cm
B
E
5
ABCD deltoid
ADEF deltoid
3|BE|=5|EC|
A
olduuna göre, |AC| kaç cm dir?
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
C) 9
D) 11
soru 3
E) 12
A
ABCD deltoid
B
|AC|=15 cm
D
www.kartezyen.com.tr
olduuna göre,
B) 8
A) 30
D
BéAD ve BéCD bütünler açlar
olduuna göre,
16
16
C
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
C
E) 55
A) 130
B) 136
C) 140
D) 144
soru 8
A
E) 156
A
ABCD deltoid
ABCD deltoid
|AC|.|BD|=24 cm2
B
D
[AC], [BD] köegen
B
m(BéCD)=90°
olduuna göre,
|BE|=2 cm
B) 12
C) 15
D) 18
2
D
E
|AC|=8 cm
C
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 10
9
B
ABCD deltoid
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
D) 60
E) 60
A
|BC|=|CD|=16 cm
soru 4
D) 50
9
|AB|=|AD|=9 cm
C) 65
C) 45
soru 7
olduuna göre,
B) 70
C
B) 40
|BD|=8 cm
A) 75
D
|BD|=13 cm
C
|AB|=15 cm
A) 6
13
B
E) 24
C
olduuna göre,
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 40
B) 45
C) 50
D) 55
E) 60
343
1–B
2–C
3–D
4–B
5–C
6–E
7–D
8–A
YAMUKTA ALAN
A
D
Bir yamuun alan, bu yamuun yükseklii ile orta taban uzunluunun çarpmna eittir.
Yandaki ekilde verilen yamuun alan
h
B
| AD| |BC|
Alan(ABCD)=h 2
H
dir.
C
çözüm
kavrama sorusu
A
E
[EF] yamuun yüksekliidir.
D
Yamuun orta taban uzunluu
| AD| |BC| 18
9 cm dir.
2
2
| AD| |BC|
Alan(ABCD) h 7 9 63 cm2
2
7
B
F
C
Cevap: 63
ABCD yamuk, [EF] [BC], |EF|=7 cm, |AD|+|BC|=18 cm
olduuna göre, yamuun alan kaç cm2 dir, bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
A E
[EF] yamuun yüksekliidir.
D
| AD| |BC|
ise
2
| AD| |BC|
120 8 2
2
120 | AD| |BC| dir.
8
Alan(ABCD) h 8
B
F
C
30=|AD|+|BC| dir.
ABCD yamuk, [EF] [BC], |EF|=8 cm, Alan(ABCD)=120 cm2
Cevap: 30
olduuna göre, |AD|+|BC| toplam kaç cm dir, bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
A
4
D
A
4
8
B
6
E
D
2ñ7
6
C
6
B
ABCD yamuk, [DE] [BC], |BE|=|EC|=6 cm, |AD|=4 cm
E
8
6
C
[DE] yamuun yüksekliidir.
2
|DC|=8 cm olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm dir, bulunuz.
DEC dik üçgeninde Pisagor Bantsndan
|DE|2+62=82 |DE|2=82 – 62 |DE|2=28
|DE|=ò28=2ñ7 cm
|BC|=|BE|+|EC|=6+6=12 cm dir.
| AD| |BC|
2
4 12
2 7
2 7 8 16 7 cm2
2
Cevap: 16ñ7
Alan(ABCD) h ¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
344
¤¤¦¤Ú¤Ú
Yamukta Alan
Test / 1
soru 1
A E
soru 5
D
Alan 44 cm2 yükseklii 4 cm olan yamuun alt ve üst taban
uzunluklarnn toplam kaç cm dir?
ABCD yamuk
[EF] [BC]
8
|AD|+|BC|=24 cm
A) 11
|EF|=8 cm
B
olduuna göre,
F
B) 13
C) 17
D) 18
E) 22
C
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 96
B) 90
C) 84
D) 62
E) 48
soru 2
soru 6
Yükseklii 12 cm orta taban uzunluu 20 cm olan yamuun
alan kaç cm2 dir?
A
D
ABCD yamuk
[DE] [BC]
|AD|+|BC|=20 cm
A) 240
B) 200
C) 180
D) 160
E) 120
Alan(ABCD)=50 cm2
B
E
C
soru 3
A
E
www.kartezyen.com.tr
olduuna göre,
D
ABCD yamuk
[EF] [BC]
A) 5
B) 7
C) 8
D) 10
soru 7
E) 12
A
ABCD yamuk
10
[AE] [BC]
9
4
D
6
|AB|=10 cm
|EF|=9 cm
B
|AD|=4 cm
|AD|=6 cm
B
|BC|=14 cm
F
C
B) 90
C) 105
soru 4
D) 120
A
E
5
C
|AE|=6 cm
|EC|=5 cm olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 75
|DE| kaç cm dir?
E) 135
A) 43
B) 51
C) 63
soru 8
D
ABCD yamuk
ABCD yamuk
|AD|+|BC|=8x cm
[DE] [BC]
yamuun yükseklii 2x cm,
|AD|=3 cm
alan 64 cm2
D) 86
A
3
E) 102
D
2ò10
|BE|=6 cm
olduuna göre, x kaçtr?
B
C
|EC|=2 cm
B
6
E 2 C
|DC|=2ò10 cm olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 2
B) 3
C) 2ñ2
D) 4
E) 4ñ2
A) 22
B) 33
C) 44
D) 66
E) 88
345
1–A
2–A
3–B
4–C
5–E
6–A
7–B
8–B
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¦¤
Test 1 Àö¯ĞĞ¯န
Yamukta Alan
çözüm
kavrama sorusu
A
3
D
A
3
D
45°
4ñ2
B
4ñ2
45°
11
C
B
ABCD yamuk, m(AéBC)=45°, |AD|=3 cm, |AB|=4ñ2 cm
45°
4
4
7
E
C
Öncelikle yamuun yüksekliini bulmalyz.
Bunun için [AE] [BC] olacak ekilde [AE] yüksekliini çizelim.
2
|BC|=11 cm olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm dir, bulunuz.
AEB ikizkenar dik üçgen olduundan
| AB| 4 2
4 cm dir.
2
2
| AD| |BC|
3 11
Alan(ABCD) | AE| 4
28 cm2
2
2
| AE|
Cevap: 28
çözüm
kavrama sorusu
A
3
D
A
3
D
60°
8
B
11
4
30°
C
B
8
30°
E
C
[AE] [BC] olacak ekilde [AE] yüksekliini çizelim.
ABCD yamuk, m(AéCB)=30°, |AD|=3 cm, |AC|=8 cm
2
AEC 30° – 60° – 90° üçgeni olur.
| AC| 8
| AE|
4 cm {30° – 60° – 90° üçgeni kuralndan}
2
2
|BC|=11 cm olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm dir, bulunuz.
| AD| |BC|
3 11
Alan(ABCD) | AE| 4
28 cm2
2
2
Cevap: 28
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
346
¤¤¦¤Ú¤Ú
Yamukta Alan
Test / 2
soru 1
A
ABCD yamuk
soru 5
D
3
A
D
ABCD yamuk
6
BDC ikizkenar dik üçgen
m(AéBC)=45°
|AD|=3 cm
|AB|=6 cm
|AD|+|BC|=12 cm
B
olduuna göre,
45°
|BC|=8 cm
C
B) 9ñ2
C
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 6ñ2
8
B
olduuna göre,
C) 12ñ2
soru 2
D) 18ñ2
A
4
A) 20
E) 24ñ2
B) 22
C) 24
soru 6
D
D) 26
2
A
E) 28
D
135°
ABCD yamuk
ABCD yamuk
8
3ñ2
m(DéBC)=45°
m(AéDC)=135°
|BD|=3ñ2 cm
|AD|=4 cm
B
|DC|=8 cm
12
C
|BC|=8 cm
B
45°
8
C
|AD|=2 cm
|BC|=12 cm olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 6ñ2
B) 24ñ2
C) 32ñ2
soru 3
D) 36ñ2
A
4
E) 44ñ2
D
150°
6
B
10
www.kartezyen.com.tr
olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 24
B) 21
C) 18
soru 7
A
D) 15
3
D
4ñ3
C
ABCD yamuk, m(BéAD)=150°, |AB|=6 cm, |AD|=4 cm
30°
11
B
|BC|=10 cm olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
E) 12
C
ABCD yamuk, m(AéCB)=30°, |AD|=3 cm, |AC|=4ñ3 cm
|BC|=11 cm olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 18
B) 21
C) 24
D) 27
E) 36
A) 18
soru 4
A
B) 16ñ2
soru 8
D
ABCD yamuk
ABCD yamuk
m(AéBC)=60°
m(EéFB)=60°
olduuna göre,
60°
B
C
E
E) 14ñ3
D
6
60°
|AF|=6 cm
B
olduuna göre,
F
C
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
|AB| kaç cm dir?
A) 4
A
D) 16ñ3
|AD|+|BC|=20 cm
|AD|+|BC|=20 cm
Alan(ABCD)=30ñ3 cm2
C) 14ñ2
B) 4ñ3
C) 6
D) 7
E) 6ñ3
A) 30ñ3
B) 27ñ3
C) 30ñ2
D) 20ñ2
E) 24
347
1–D
2–C
3–B
4–C
5–B
6–D
7–E
8–A
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¦¤
Test 1 Àö¯ĞĞ¯န
Yamukta Alan
A
E
Yükseklikleri ayn olan iki üçgende, bu üçgenlerin alanlarnn
orannn tabanlarnn oranna eit olduunu hatrlaynz.
D
Buna benzer ekilde yandaki ABCD yamuunun yükseklii h ise
| AD|
h
Alan(ABD)
2 | AD| dir.
Alan(BCD) h |BC| |BC|
2
h
B
F
C
çözüm
kavrama sorusu
A
3
D
A
3
D
3S
11S
B
11
C
B
ABCD yamuk, |AD|=3 cm, |BC|=11 cm olduuna göre,
Alan(ABD)
oran kaçtr, bulunuz.
Alan(BCD)
11
C
ekildeki tüm üçgenlerin yükseklii yamuun yüksekliine eit
olduundan alanlar tabanlar ile orantldr.
|AD|=3 cm ise Alan(ABD)=3S
|BC|=11 cm ise Alan(BCD)=11S
Alan(ABD) 3S
3
Alan(BCD) 11S 11
Cevap:
3
11
çözüm
kavrama sorusu
A
4
D
A
4
D
4S
7S
3S
B
3
E
7
C
B
ABCD yamuk, |AD|=4 cm, |BE|=3 cm, |EC|=7 cm
Alan(ABE)+ Alan(DEC)
oran kaçtr,
olduuna göre,
Alan(AED)
bulunuz.
3
E
7
C
ekildeki tüm üçgenlerin yükseklii yamuun yüksekliine eit
olduundan alanlar tabanlar ile orantldr.
Buna göre,
|AD|=4 cm ise Alan(AED)=4S
|BE|=3 cm ise Alan(ABE)=3S
|EC|=7 cm ise Alan(DEC)=7S
Alan(ABE) Alan(DEC) 3S 7S 10S 5
Alan(AED)
4S
4S 2
Cevap:
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
348
¤¤¦¤Ú¤Ú
5
2
Yamukta Alan
Test / 3
soru 1
A
4
soru 5
D
ABCD yamuk
ABCD yamuk
|AD|=4 cm
|AD|=4 cm
|BC|=9 cm
|BE|=7 cm
olduuna göre,
B
Alan(ABC)
oran kaçtr?
Alan(ADC)
A)
3
2
B)
9
A
|EC|=6 cm
C
D
7
B
olduuna göre,
4
E
6
C
Alan(AED)
oran kaçtr?
Alan(ABE) Alan(DEC)
2
3
C)
4
9
soru 2
9
4
D)
A
E)
3
5
A) 2
B) 3
soru 6
D
C) 4
A
5
D) 5
E) 6
D
ABCD yamuk
Alan(ABD) 2
Alan(BCD) 3
|BC|=18 cm
B
olduuna göre,
18
B
C
|AD| kaç cm dir?
B) 14
C) 12
soru 3
D) 10
A
E) 8
C
12
D
Alan(AED)=10 cm2 olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 42
B) 44
C) 48
soru 7
ABCD yamuk
ABCD yamuk
| AD| 4
|BC| 9
|AD|=3x cm
D) 50
3x
A
E) 52
D
|BE|=2x cm
Alan(ABCD)=39 cm2
B
olduuna göre,
|EC|=5x cm
C
B
Alan(ABE)=14 cm2
Alan(BCD) kaç cm2 dir?
A) 27
E
ABCD yamuk, |AD|=5 cm, |BE|=9 cm, |EC|=12 cm
www.kartezyen.com.tr
A) 16
9
2x
E
C
5x
olduuna göre, Alan(AECD) kaç cm2 dir?
B) 24
C) 21
D) 18
soru 4
A
E) 12
A) 44
B) 49
C) 56
D) 62
soru 8
D
A
E) 68
5x
D
ABCD yamuk
ABCD yamuk
|AD|=5x cm
|BC|=4|AD|
2
|EC|=4x cm
Alan(ABC)=36 cm
olduuna göre,
2
Alan(ACD) kaç cm dir?
B
C
|BE|=7x cm
B
Alan(ABCD)=64 cm2
7x
E
4x
C
olduuna göre, Alan(AED) kaç cm2 dir?
A) 6
B) 9
C) 10
D) 12
E) 15
A) 12
B) 16
C) 20
D) 24
E) 28
349
1–D
2–C
3–A
4–B
5–C
6–E
7–C
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¦¤
Test 3 Àö¯ĞĞ¯န
Yamukta Alan
çözüm
kavrama sorusu
A 2 E
D
3
A 2 E
2S
3S
F
3
G
4
6
C
B
ekilde verilen ABCD yamuuna göre, Alan(AEF)+ Alan(EDG)
Alan(ABCD)
oran kaçtr, bulunuz.
3
6S
4S
3S
B
D
3
F
G
4
6
C
ekildeki her üçgenin yükseklii eit olduuna göre, alanlar tabanlar ile orantldr.
|AE|=2 cm ise Alan(AEF)=2S
|ED|=3 cm ise Alan(EDG)=3S
|BF|=3 cm ise Alan(ABF)=3S
ekilde verilen yamuun yükseklii h ise
|FG|=4 cm ise Alan(EFG)=4S
h2
h3
h3
, Alan(EDG) , Alan(ABF) 2
2
2
h4
h6
Alan(EFG) , Alan(DGC) 2
2
Alan(AEF) |GC|=6 cm ise Alan(DGC)=6S
Buna göre, Alan(ABCD)=2S+3S+3S+4S+6S=18S dir.
Alan(AEF) Alan(EDG) 2S 3S
5S
5
Alan(ABCD)
18S
18S 18
olduuna dikkat ediniz.
Cevap:
5
18
çözüm
kavrama sorusu
A
4
E 3 D
A
4
[AF] ve [DF] yi çizelim.
E 3 D
ekildeki tüm üçgenlerin
3S
4S
yükseklikleri eit olduun9S
7S
dan alanlar tabanlar ile
orantldr.
B
7
F
9
C
B
Alan(ABFE)
ekilde verilen ABCD yamuuna göre,
Alan(DEFC)
oran kaçtr, bulunuz.
7
F
9
C
|AE|=4 cm ise Alan(AEF)=4S
|ED|=3 cm ise Alan(DEF)=3S
|BF|=7 cm ise Alan(ABF)=7S
|FC|=9 cm ise Alan(DFC)=9S
Alan(ABFE)=Alan(AEF)+Alan(ABF)=4S+7S=11S
Alan(DEFC)=Alan(DEF)+Alan(DFC)=3S+9S=12S
Alan(ABFE) 11S 11
11
Buna göre,
Cevap:
Alan(DEFC) 12S 12
12
çözüm
kavrama sorusu
A
5
D
A
5
ABC dik üçgeninde
D
Pisagor Bantsndan
6
8
8
6
5S
|BC|2=|AB|2+|AC|2 ise
10S
|BC|2=62+82=100
|BC|=ó100=10 cm
B
C
B
ABCD yamuk, [AB] [AC], |AB|=6 cm, |AC|=8 cm
C
10
|AD|=5 cm ise Alan(ACD)=5S,
|BC|=10 cm ise Alan(ABC)=10S
2
|AD|=5 cm olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm dir, bulunuz.
1
.6.8=24 cm2 dir.
2
Alan(ABC)=10S=24 cm2 ise Alan(ADC)=5S=12 cm2 dir.
ABC dik üçgeninin alan Alan(ABC)=
Alan(ABCD)=Alan(ABC)+Alan(ADC)=24+12=36 cm2
Cevap: 36
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
350
¤¤¦¤Ú¤Ú
Yamukta Alan
Test / 4
soru 1
A
soru 5
E 2 D
4
A
ABCD yamuk
ABCD yamuk
|AE|=4 cm
|AE|=6 cm
|ED|=2 cm
|ED|=8 cm
|BF|=3 cm
B
|FG|=5 cm
F
3
G
5
6
|BF|=12 cm
C
kaçtr?
1
B)
3
2
C)
3
4
D)
5
soru 2
A1E
B) 108
ABCD yamuk
[DB] [DC]
|ED|=3 cm
|DB|=12 cm
6
2
|GC|=6 cm, Alan(ABCD)=64 cm olduuna göre,
taral bölgelerin alanlar toplam kaç cm2 dir?
A) 8
B) 10
C) 12
soru 3
A
D) 14
3
E
E) 16
D
3
ABCD yamuk
| AD|
Alan(DEF)=6 cm
F
9
C
B) 48
D
C) 54
D) 62
E
12
|CE|=12 cm
B
C
|BC|=2|AD|
olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 39
A) 64
C) 24
soru 4
D) 20
A
4
E) 18
B) 66
ABCD yamuk
|AE|=4 cm
[DB] [DC]
|ED|=3 cm
m(DéBC)=30°
|BF|=7 cm
|DA|=|DC|=6 cm
7
F
6
C
11
12
D
6
6
B
30°
C
Alan(ABFE)
oran kaçtr?
Alan(DEFC)
A) 36
A)
E) 84
olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
|FC|=6 cm
olduuna göre,
D) 78
A
ABCD yamuk
B
C) 72
soru 8
E 3 D
E) 68
D
olduuna göre, taral bölgelerin alanlar toplam kaç cm2 dir?
B) 26
6
A
ABCD yamuk
|AB|=8 cm
4
E) 126
C
soru 7
|BF|=4 cm
B
D) 124
B
A) 36
[CE] [AB]
2
C) 112
1
|BC| olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
3
|AE|=|ED|=3 cm
|FC|=9 cm
C
12
|DC|=6 cm
C
www.kartezyen.com.tr
|FG|=4 cm,
G
4
16
A
|AE|=1 cm
B 2 F
F
soru 6
ABCD yamuk
|BF|=2 cm
D
2
E)
5
D
3
12
8
Alan(ABFE)=54 cm2 olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 96
1
A)
2
E
|FC|=16 cm
Alan(AEF)+ Alan(DGC)
oran
Alan(ABCD)
|GC|=6 cm olduuna göre,
B
6
B)
9
11
C) 1
D)
11
9
E)
B) 27ñ3
C) 24ñ3
D) 24
E) 18
12
11
351
1–A
2–E
3–B
4–D
5–E
6–B
7–C
8–B
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¦¤
Test 2 Àö¯ĞĞ¯န
Yamukta Alan
A
Bir yamukta köegenleri çizdiinizde alanla ilgili özel durumlar
oluur. Bu özel durumla alakal sorular çözerken üçgende alan
ve üçgende benzerlik konularna ait baz özellikleri kullanmanz
gerekecektir.
D
E
Burada dikkat etmeniz gereken husus AED ve CEB üçgenlerinin
benzer olduklardr.
B
Bu durumlar anlayabilmeniz için aada verdiimiz kavrama
sorularn dikkatle inceleyiniz.
C
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
D
x
E
E
y
2x
2y
B
C
B
C
m(AéDB)=m(DéBC) {ç ters açlar}, m(DéAC)=m(AéCB) {ç ters açlar}
ABCD yamuk, [AC] ve [BD] köegen, |BC|=2|AD|
Alan(AED)=4 cm olduuna göre,
m(AéED)=m(BéEC) {ters açlar}, Tüm açlar eit olduuna göre,
a) Alan(ABE) kaç cm2 dir?
AED ve CEB üçgenleri benzerdir. AÿED CÿEB
2
| AD| | AE| |ED| 1
olduuna göre,
|BC| |EC| |EB| 2
2
b) Alan(DEC) kaç cm dir?
2
c) Alan(BEC) kaç cm dir?
|AE|=x cm ise |EC|=2x cm
|ED|=y cm ise |EB|=2y cm olur.
Uyarı
Alan(AED) y
1
4
1
Alan(AEB) 8 cm2
Alan(AEB) 2y 2
Alan(AEB) 2
Alan(AED) x
1
4
1
b)
Alan(DEC) 8 cm2
Alan(DEC) 2x 2
Alan(DEC) 2
Alan(AEB) x
1
8
1
c)
Alan(BEC) 16 cm2
Alan(BEC) 2x 2
Alan(BEC) 2
a)
Herhangi bir ABCD yamuunda [AC] ve [BD] köegen ise
daima
Alan(ABE)=Alan(DEC)
dir.
çözüm
kavrama sorusu
A
A
D
D
x
E
3y
E
1. Yol: AED ve CEB üçgenleri
yukardaki kavrama sorusunda olduu gibi benzerdirler.
y
3x
| AD| | AE| |ED| 1
|BC| |CE| |EB| 3
|AE|=x cm ise |EC|=3x cm
B
B
C
Alan(AED) y
1
4
1
ise
Alan(AEB)=12 cm2
Alan(AEB) 3y 3
Alan(AEB) 3
ABCD yamuk, |BC|=3|AD|, Alan(AED)=4 cm2 olduuna göre,
2
Alan(BEC) kaç cm dir, bulunuz.
Alan(AEB) x
1
12
1
ise
Alan(BEC)=36 cm2
Alan(BEC) 3x 3
Alan(BEC) 3
Uyarı
2. Yol: AÿED CÿEB ve bu üçgenlerin
1
1
ise Alanlar oran A.O=(B.O)2=
3
9
Alan(AED) 1
4
1
ise
Alan(BEC)=36 cm2
Alan(BEC) 9
Alan(BEC) 9
Cevap: 36
Benzerlik oran B.O=
Benzer iki üçgenin alanlarnn orannn benzerlik orannn
karesine eit olduunu hatrlaynz. Yani benzer iki üçgenin benzerlik oran B.O, alanlar oran A.O ise
A.O=(B.O)2
dir.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
C |ED|=y cm ise |EB|=3y cm
352
¤¤¦¤Ú¤Ú
Yamukta Alan
Test / 5
soru 1
A
soru 5
D
E
ABCD yamuk
A
E
ABCD yamuk
[AC] [BD]={E}
[AC] [BD]={E}
|BC|=3|AD|
| AD| 3
|BC| 7
olduuna göre,
B
aadakilerden
D
C
B
Alan(AED)=9 cm2
C
hangisi yanltr?
olduuna göre, Alan(BEC) kaç cm2 dir?
A) Alan(AED)=1 cm2 ise Alan(AEB)=3 cm2 dir.
A) 40
B) 49
C) 56
D) 62
E) 68
B) Alan(AEB)=3 cm2 ise Alan(DEC)=3 cm2 dir.
C) Alan(AED)=2 cm2 ise Alan(AEB)=6 cm2 dir.
D) Alan(AED)=3 cm2 ise Alan(DEC)=6 cm2 dir.
E) Alan(AED)=6 cm2 ise Alan(DEC)=18 cm2 dir.
soru 2
A
soru 6
D
ABCD yamuk
[AC] [BD]={E}
| AD| 2
|BC| 5
|DE| 2
|BD| 7
B
C
olduuna göre, Alan(AEB) kaç cm2 dir?
A) 6
B) 8
C) 10
soru 3
D) 12
A
E) 15
D
www.kartezyen.com.tr
[AC] [BD]={E}
Alan(AED)=6 cm2
D
E
E
ABCD yamuk
A
B
Alan(AED)=4 cm2
C
olduuna göre, Alan(BEC) kaç cm2 dir?
A) 18
B) 25
C) 35
D) 40
soru 7
A
D
E
E
ABCD yamuk
ABCD yamuk
[AC] [BD]={E}
[AC] [BD]={E}
| AD|
2
|BC|
7
|BC|
B
Alan(AED)=8 cm2
C
C) 28
soru 4
D) 30
A
E) 32
A) 15
B) 18
[AC] [BD]={E}
3|BC|=4|AD|
3|BC|=5|AD|
D
Alan(DEC)=9 cm2
Alan(AED)=12 cm2
B
C
C) 32
D) 36
B
olduuna göre,
C
Alan(BEC) kaç cm2 dir?
taral bölgelerin alanlar toplam kaç cm2 dir?
B) 28
E) 30
E
[AC] [BD]={E}
A) 16
D) 24
A
ABCD yamuk
E
olduuna göre,
C
C) 20
soru 8
D
ABCD yamuk
B
Alan(AEB)=8 cm2
olduuna göre, Alan(BEC) kaç cm dir?
olduuna göre, Alan(DEC) kaç cm dir?
B) 24
5
| AD|
2
2
2
A) 22
E) 49
E) 40
A) 30
B) 24
C) 21
D) 18
E) 15
353
1–D
2–E
3–C
4–C
5–B
6–B
7–C
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¦¤
Test 3 Àö¯ĞĞ¯န
Yamukta Alan
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
D
2x
E
2y
E
3y
B
C
ABCD yamuk, [AC] ve [BD] köegen,
3x
B
C
I. Yol: AED ve CEB üçgenleri önceki kavrama sorusunda da ol-
| AD| 2
|BC| 3
duu gibi benzerdirler.
| AD| | AE| |ED| 2
tür.
AÿED CÿEB ise
|BC| |CE| |EB| 3
Buna göre,
Alan(ABE)=12 cm2 olduuna göre, Alan(DEC) kaç cm2 dir,
bulunuz.
|AE|=2x cm ise |EC|=3x cm
|ED|=2y cm ise |EB|=3y cm dir.
Alan(ABE) 3y 3
12
3
ise
Alan(AED)=8 cm2
Alan(AED) 2y 2
Alan(AED) 2
Alan(AED) 2x 2
8
2
ise
Alan(DEC)=12 cm2
Alan(DEC) 3x 3
Alan(DEC) 3
II. Yol: Herhangi bir ABCD yamuunda [AC] ve [BD] köegen
ise daima
Alan(ABE)=Alan(DEC)
dir.
Buna göre, Alan(ABE)=Alan(DEC)=12 cm2 dir.
Cevap: 12
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
D
x
E
E
y
2x
2y
B
C
B
ABCD yamuk, [AC] [BD]={E}, |BC|=2|AD|
2
C
AED ve CEB benzer üçgenlerdir.
AÿED CÿEB ise
2
Alan(BEC)=16 cm olduuna göre, Alan(AED) kaç cm dir, bulunuz.
| AE| |DE| | AD| 1
|EC| |BE| |BC| 2
|AE|=x cm ise |EC|=2x cm dir.
|DE|=y cm ise |BE|=2y cm dir.
Alan(BEC) 2x
16
2 ise
2 Alan(AEB)=8 cm2
Alan(AEB) x
Alan(AEB)
Alan(AEB) 2y
8
2 ise
2 Alan(AED)=4 cm2
Alan(AED) y
Alan(AED)
Cevap: 4
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
354
¤¤¦¤Ú¤Ú
Yamukta Alan
Test / 6
soru 1
A
soru 5
D
ABCD yamuk
D
E
ABCD yamuk
E
[AC] [BD]={E}
A
[AC] [BD]={E}
| AD| 3
|BC| 8
3|BC|=7|AD|
Alan(AEB)=6 cm2
B
olduuna göre,
C
B
Alan(DEC)=16 cm2
C
olduuna göre,
Alan(DEC) kaç cm2 dir?
Alan(ABD) kaç cm2 dir?
A) 3
B) 6
C) 9
D) 11
E) 12
A) 18
soru 2
A
A
E) 22
D
E
[AC] [BD]={E}
[AC] [BD]={E}
|DE| 4
|BE| 7
2
olduuna göre,
B) 6
B
C
C) 7
soru 3
D) 8
A
E) 9
D
E
ABCD yamuk
| AD| 2
|BC| 5
B
Alan(BEC)=28 cm2
www.kartezyen.com.tr
Alan(DEC) kaç cm2 dir?
A) 5
D) 21
ABCD yamuk
E
Alan(AEB)=5 cm
C) 20
soru 6
D
ABCD yamuk
B) 19
C
olduuna göre, Alan(AEB) kaç cm2 dir?
A) 16
B) 17
C) 18
soru 7
D) 19
A
E) 20
D
E
ABCD yamuk
[AC] [BD]={E}
|BC|
Alan(AED)=6 cm2
olduuna göre,
B
C
taral bölgelerin
5
| AD|
3
B
Alan(BEC)=30 cm2
C
2
olduuna göre, taral bölgelerin alanlar toplam kaç cm dir?
alanlar toplam kaç cm2 dir?
A) 30
A) 15
B) 20
C) 25
soru 4
D) 30
A
| AD|
E
D) 36
A
E) 38
D
E
ABCD yamuk
[AC] [BD]={E}
1
|BC|
2
| AE| 2
|EC| 5
Alan(BEC)=8 cm2
olduuna göre,
B
C
2
Alan(DEC) kaç cm dir?
A) 2
C) 34
soru 8
D
ABCD yamuk
B) 32
E) 36
B) 4
B
Alan(BEC)=25 cm2
C
olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
C) 5
D) 6
E) 7
A) 40
B) 49
C) 52
D) 56
E) 64
355
1–B
2–A
3–D
4–B
5–E
6–A
7–D
8–B
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¦¤
Test 4 Àö¯ĞĞ¯န
Yamukta Alan
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
D
2y
E
E
2x
5x
B
C
5y
B
ABCD yamuk, [AC] [BD]={E}, Alan(AED)=4 cm
2
C
Alan(DEC)=10 cm olduuna göre, Alan(BEC) kaç cm dir,
Yükseklikleri ayn olan iki üçgenin alanlarnn oran tabanlarnn
oranna eittir.
bulunuz.
Buna göre,
2
2
|EC| Alan(DEC) 10 5
dir.
| AE| Alan(AED) 4 2
AÿED CÿEB olduuna göre,
|EC| |EB| 5
dir.
| AE| |DE| 2
|EB| Alan(BEC)
5 Alan(BEC)
Alan(BEC)=25 cm2
ise |DE| Alan(DEC)
2
10
Cevap: 25
çözüm
kavrama sorusu
A
4
D
A
E
B
ABCD yamuk, [AC] [BD]={E},
4
D
E
C
B
Alan(AED) 1
Alan(BEC) 9
C
m(CéAD)=m(AéCB), m(DéBC)=m(AéDB), m(AéED)=m(BéEC)
olduuna göre, AÿED CÿEB dir.
|AD|=4 cm olduuna göre, |BC| kaç cm dir, bulunuz.
Benzer iki üçgenin alanlarnn oran benzerlik orannn karesine
eit olduuna göre, AED ve CEB üçgenlerinin benzerlik oran
(B O)2 A O 1
1
B O tür.
9
3
| AD| 1
4
1
ise
|BC| 12 cm
|BC| 3
|BC| 3
Cevap: 12
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
356
¤¤¦¤Ú¤Ú
Yamukta Alan
Test / 7
soru 1
A
soru 5
D
E
ABCD yamuk
Alan(AED) 1
Alan(BEC) 4
B
olduuna göre,
| AE| |DE|
+
ifadesinin deeri kaçtr?
|EC| |BE|
1
2
B)
2
5
C)
3
5
C
D)
soru 2
4
5
A
1
3
E)
A)
1
3
2
3
D)
6
A
3
4
1
4
E)
D
E
Alan(AED) 4
Alan(BEC) 27
Alan(BEC)=24 cm
C
Alan(AED) kaç cm2 dir?
B) 8
C) 7
D) 6
soru 3
A
E) 5
D
E
ABCD yamuk
[AC] [BD]={E}
B
|AD|=6 cm
www.kartezyen.com.tr
B
olduuna göre,
C
olduuna göre, |BC| kaç cm dir?
A) 9
B) 9ñ3
C) 12
soru 7
D) 12ñ3
A
E) 15
D
E
ABCD yamuk
[AC] [BD]={E}
Alan(DEC)=12 cm2
Alan(AED)=9x cm2
2
Alan(BEC)=16x cm2
Alan(BEC)=18 cm
B
olduuna göre,
C
Alan(ABD) kaç cm2 dir?
B) 16
B
|AC|+|BD|=28 cm
C
olduuna göre, |EB|+|EC| toplam kaç cm dir?
C) 20
soru 4
D) 24
A
E) 26
A) 16
B) 15
C) 14
soru 8
D
E
ABCD yamuk
D) 13
A
E) 12
D
E
ABCD yamuk
[AC] [BD]={E}
[AC] [BD]={E}
2
Alan(BEC)=36 cm
Alan(ABD) Alan(DEC)=12 cm2
B
olduuna göre,
| AE| |DE|
+
oran kaçtr?
|EC| |BE|
B)
C)
[AC] [BD]={E}
2
1
3
1
2
C
ABCD yamuk
Alan(AEB)=12 cm2
A)
B)
soru 6
D
[AC] [BD]={E}
A) 12
B
olduuna göre,
| AD|
oran kaçtr?
|BC|
E
ABCD yamuk
A) 9
E
[AC] [BD]={E}
2
Alan(ABE)=15 cm2
A)
D
ABCD yamuk
[AC] [BD]={E}
Alan(AED)=6 cm
A
1
2
C)
C
3
4
D)
3
5
E)
2
3
5
Alan(DEC)
3
B
olduuna göre,
| AD|
oran kaçtr?
|BC|
A)
2
3
B)
1
3
C)
C
1
2
D)
3
4
E)
2
5
357
1–D
2–D
3–C
4–E
5–B
6–B
7–A
8–A
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¦¤
Test 5 Àö¯ĞĞ¯န
Yamukta Alan
çözüm
kavrama sorusu
A
6
ABCD yamuunun [AB] kenar bu yamuun yüksekliidir.
D
[AD] ve [BC] kenarlarda bu yamuun üst ve alt tabanlar olduuna göre,
4
Alan(ABCD) h | AD| |BC|
69
4
30 cm2
2
2
Cevap: 30
B
9
C
ABCD dik yamuk, |AD|=6 cm, |AB|=4 cm, |BC|=9 cm
olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir, bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
A
ñ3
D
A
ñ3
D
60°
8
4
30°
B
C
B
ABCD dik yamuk, m(BéCD)=30°, |AD|=ñ3 cm
8
4
ñ3
30°
H
C
4ñ3
Yamuun yükseklii verilmediine göre, önce yamuun yüksekliini bulmalyz.
|DC|=8 cm olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir, bulunuz.
[DH] yüksekliini çizelim.
DHC 30° – 60° – 90° üçgeni olduundan
|DH|
|DC| 8
4 cm
2
2
|AB|=|DH|=4 cm, |AD|=|BH|=ñ3 cm dir.
|HC|=|DH|ñ3=4ñ3 cm {30° – 60° – 90° üçgeni kural}
| AD| |BC|
Alan(ABCD) | AB| 4
2
35 3
12 3 cm2
2
Cevap: 12ñ3
çözüm
kavrama sorusu
A
4
E
6
3
ABCD, AEFD ve EBCF dik yamuklarnn alanlarn bulalm.
D
| AD| |BC|
6 12
Alan(ABCD) | AB| (6 4) 90 cm2
2
2
F
| AD| |EF |
63
Alan(AEFD) | AE| 4
18 cm2
2
2
6
B
12
|EF | |BC|
3 12
Alan(EBCF) |EB| 6
45 cm2
2
2
C
ABCD dik yamuunda ekilde verilenlere göre,
Alan(DFC)=Alan(ABCD) – Alan(AEFD) – Alan(EBCF)
Alan(DFC) kaç cm2 dir, bulunuz.
=90 – 18 – 45=27 cm2
Cevap: 27
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
358
¤¤¦¤Ú¤Ú
Yamukta Alan
Test / 8
soru 1
A
3
soru 5
D
A
4
D
120°
ABCD dik yamuk
ABCD dik yamuk
5
|AD|=3 cm
|AB|=5 cm
|AD|=4 cm
|BC|=7 cm
|DC|=8 cm
B
olduuna göre,
7
C
B
olduuna göre,
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 20
8
m(AéDC)=120°
C
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
B) 25
C) 30
D) 35
soru 2
A
E) 40
5
A) 16ñ3
B) 28
C) 36
D) 22ñ3
E) 24ñ3
soru 6
D
A
D
|AD|=5 cm
|BC|=13 cm
8
ABCD dik yamuunun
alan 30 cm2
B
olduuna göre,
13
C
11
B)
3
7
C)
2
soru 3
A
10
D)
3
E) 5
D
www.kartezyen.com.tr
15
A)
4
ABCD dik yamuunun
Alan(ABCD)=56 cm2 olduuna göre, |AD|+|BC| toplam
kaç cm dir?
A) 28
B) 14
C) 12
soru 7
A
alan 105 cm2
|AD|=4 cm
olduuna göre,
|AE|=5 cm
B
|AD|+|BC|
C
E
2
C) 20
D) 25
A
E) 30
3
D
A) 20
B) 25
F
12
C
D) 30
A
m(AéBC)=45°
|AD|=|DE|=6 cm
|AD|=3 cm
C) 27
soru 8
ABCD dik yamuk
B
7
C
E
4
|BC|=10 cm
B
olduuna göre,
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
Alan(ABE) kaç cm2 dir?
D) 26
E) 28
A) 36
D
6
olduuna göre,
C) 24
E) 33
6
|CE|=4 cm
45°
B) 22
2
B
|BE|=|EF|=2 cm
ABCD dik yamuk
A) 20
D
|BC|=12 cm olduuna göre, Alan(DFC) kaç cm dir?
soru 4
|BC|=7 cm
E) 7
2
toplam kaç cm dir?
B) 15
4
D) 10
5
[EF] [AB]
7
C
ABCD dik yamuk, m(BéCD)=30°, |DC|=8 cm,
ABCD dik yamuk
|AB|=7 cm
A) 10
30°
B
|DC| kaç cm dir?
B) 38
C) 40
10
D) 42
C
E) 44
359
1–B
2–D
3–E
4–A
5–E
6–A
7–C
8–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¦¤
Test 6 Àö¯ĞĞ¯န
PARALELKENARDA ALAN
Paralelkenarda alan bir kenar ile bu kenara ait yüksekliin çarpmna eittir.
D
A
hb
Alan(ABCD)=a.ha=b.hb
ha
b
B
C
a
Paralelkenarda yükseklik her zaman köeden veya her zaman
D
A
paralelkenarn içine doru olacak diye bir kaide yoktur. Yandaki
ekilde de gördüünüz gibi yükseklik farkl yerlerden çizilebilir.
h
h
h
B
C
çözüm
kavrama sorusu
ABCD paralelkenarnda
D
A
[DC] kenarna ait yükseklik [AE] dir.
12
Buna göre,
E
Alan(ABCD)=|DC|.|AE|=7.12=84 cm2
Cevap: 84
B
C
ABCD paralelkenar, [AE] [DC], |AE|=12 cm, |DC|=7 cm
olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir, bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
A
Paralelkenarda yükseklik bazen kenara dümeyebilir.
D
Burada da [BC] kenarna ait yükseklik, paralelkenarn dna
dümü durumdadr.
9
Buna göre,
Alan(ABCD)=|BC|.|AE|=11.9=99 cm2
E
B
11
C
Cevap: 99
ABCD paralelkenar, [AE] [EC], |AE|=9 cm, |BC|=11 cm
olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir, bulunuz.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
360
¤¤¦¤Ú¤Ú
Paralelkenarda Alan
Test / 1
soru 1
8
A
soru 5
D
ABCD paralelkenar
A
5
F
|EF|=7 cm
|AD|=8 cm
E
B
Alan(ABCD)=56 cm2
C
olduuna göre,
olduuna göre,
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
|AB| kaç cm dir?
B) 35
C) 40
soru 2
D) 45
A
E
E) 50
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
A
D
9
[DE] [BE]
2
|BC|=15 cm
|BE|.|BC|=26 cm
olduuna göre,
B
|DE|=9 cm
C
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
C) 39
D) 52
E) 65
E
A
D
ABCD paralelkenar
www.kartezyen.com.tr
B) 26
A) 95
B) 105
E
E
[EB] [ED]
F
Alan(ABCD)=154 cm2
C
olduuna göre,
olduuna göre,
|EF| kaç cm dir?
|BC| kaç cm dir?
C) 9
D) 8
soru 4
E) 7
A
D
7
ABCD paralelkenar
E
7
[AB] [AE]
D) 125
E) 135
A
D
ABCD paralelkenar
|AD|=|EB|+3
B
C) 115
soru 7
|BC|=9 cm
B) 10
C
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
[EF] [BC]
Alan(ABCD)=63 cm2
15
B
olduuna göre,
soru 3
A) 11
B) 12
B
C
C) 13
soru 8
D) 14
A
E) 15
D
ABCD paralelkenar
[AE] [EC]
|AB|=|CE| – 2
|AB|=|AE|=7 cm
olduuna göre,
B
B
Alan(ABCD)=48 cm2
C
2
E
|DC| kaç cm dir?
B) 26
C
olduuna göre,
Alan(ABCD) kaç cm dir?
A) 14
C
ABCD paralelkenar
[BE] [AD]
A) 11
B
soru 6
D
ABCD paralelkenar
A) 13
7
[EF] [CD]
|AE|=5 cm
A) 30
E
ABCD paralelkenar
[AE] [BC]
D
C) 36
D) 49
E) 63
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
361
1–C
2–B
3–E
4–D
5–A
6–E
7–D
8–B
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡¡
Test 1 Àö¯ĞĞ¯န
Paralelkenarda Alan
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
D
12
12
9
B
9
F
C
E
B
ABCD paralelkenar, [AE] [BC], [AF] [CD], |AE|=9 cm
|BC|
oran kaçtr, bulunuz.
|AF|=12 cm olduuna göre,
|CD|
F
C
E
ABCD paralelkenarnda [BC] kenarnn yükseklii [AE]
[CD] kenarnn yükseklii [AF] dir.
Buna göre,
Alan(ABCD)=|BC|.|AE|=|CD|.|AF|
Alan(ABCD)=|BC|.9=|CD|.12
|BC| 12 4
|CD| 9
3
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
8
B
4
3
D
8
C
F
B
10
C
F
10
E
E
ABCD paralelkenar, [AF] [BC], [BE] [DE], |AF|=8 cm
|BC|
oran kaçtr, bulunuz.
|BE|=10 cm olduuna göre,
|DC|
ABCD paralelkenarnda [BC] kenarnn yükseklii [AF]
[CD] kenarnn yükseklii [BE] dir.
Buna göre,
Alan(ABCD)=|BC|.|AF|=|DC|.|BE|
Alan(ABCD)=|BC|.8=|DC|.10
|BC| 10 5
|DC| 8
4
Cevap:
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
362
¤¤¦¤Ú¤Ú
5
4
Paralelkenarda Alan
Test / 2
soru 1
A
soru 5
D
12
ABCD paralelkenar
F
E
[AF] [BC]
[CE] [AB]
[AF] [DC]
|AE|=8 cm
E
B
|AF|.|BC|=96 cm2
C
B
|CE|=|AB|+4
|BC|=15 cm olduuna göre, |DC| kaç cm dir?
olduuna göre, |CE| kaç cm dir?
B) 9
C) 10
soru 2
A
D) 11
A) 8
E) 12
E
B) 9
C) 10
soru 6
D
ABCD paralelkenar
C
F
|AF|=12 cm
A) 8
D
ABCD paralelkenar
8
[AE] [BC]
A
D) 11
A
E
F
8
[BF] [DC]
2
|AD|.|BE|=48 cm
F
[CE] [BC]
[AF] [DC]
B
C
B
|BC|=12 cm
12
C
|EC|=8 cm
olduuna göre, |AB| kaç cm dir?
|DC|=9 cm olduuna göre, |AF| kaç cm dir?
C) 8
soru 3
D) 9
E) 10
A
D
5x
ABCD paralelkenar
H 3x
[AH] [DC]
[DE] [BE]
|AH|=5x cm
B
E
C
www.kartezyen.com.tr
|BF|=8 cm
B) 7
A)
32
3
B)
17
2
E) 25
12
[DE] [BE]
|BF|=15 cm
A)
soru 4
A
ABCD paralelkenar
E
9
[BF] [DF]
D
B
2
3
C
E
15
B)
F
4
3
C)
soru 8
3
4
D)
5
4
E)
A
4
5
D
ABCD paralelkenar
6
15
A, B, E dorusal
[CE] [AD]
m(AéDF)=m(DéCE)=90°
B
|AB|=9 cm
F
F
C
18
|CE|=18 cm
|CE|=6 cm
E
|BC|+|DC|=66 cm
olduuna göre, |DC| kaç cm dir?
olduuna göre, |AD| kaç cm dir?
B) 12
B
|DF|=15 cm
C
8
|BF|=8 cm
A) 10
23
2
D
[BF] [DF]
olduuna göre,
| AD|
oran kaçtr?
|DC|
D) 20
E)
ABCD paralelkenar
|DC|=15 cm olduuna göre, |BC| kaç cm dir?
C) 18
D) 11
A
|DE|=12 cm
B) 12
C) 7
soru 7
|DE|=3x cm
A) 9
D
ABCD paralelkenar
[BE] [AD]
A) 6
E) 12
C) 14
D) 16
E) 18
A) 10
B) 24
C) 28
D) 30
E) 32
363
1–C
2–A
3–E
4–B
5–E
6–A
7–D
8–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡¡
Test 1 Àö¯ĞĞ¯န
Paralelkenarda Alan
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
6
B
4
6
E
4
C
B
4
D
2ñ5
E
4
C
ABCD paralelkenar, [AE] [BC], |BE|=|EC|=4 cm
ABE dik üçgeninde Pisagor bantsndan
|AB|=6 cm olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir, bulunuz.
|AE|2+|BE|2=|AB|2 ise |AE|2+42=62 |AE|=2ñ5 cm
ABCD paralelkenarnda [BC] kenarna ait yükseklik [AE] dir.
Buna göre, Alan(ABCD)=|AE|.|BC|=2ñ5.8=16ñ5 cm2
Cevap: 16ñ5
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
D
30°
6
6
60°
B
C
11
B
60°
3
3ñ3
E
8
C
[AE] yüksekliini indirelim.
ABCD paralelkenar, m(AéBC)=60°, |AB|=6 cm, |BC|=11 cm
2
ABE 30° – 60° – 90° üçgeni olur.
olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm dir, bulunuz.
| AB| 6
3 cm {30° – 60° – 90° üçgeni kural}
2
2
|AE|=|BE|.ñ3=3ñ3 cm {30° – 60° – 90° üçgeni kural}
|BE| Paralelkenarda [BC] kenarna ait yükseklik [AE] dir.
Buna göre, Alan(ABCD)=|BC|.|AE|=11.3ñ3=33ñ3 cm2
Cevap: 33ñ3
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
364
¤¤¦¤Ú¤Ú
Paralelkenarda Alan
soru 1
Test / 3
6
A
soru 5
D
A
3ñ6
5
B
E
3
C
soru 2
C) 30
11
A
|BC|=4ñ3 cm olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
D) 33
E) 36
A) 24ñ3
B) 24
C) 18ñ3
E
6
A
9
E) 7ò11
D
9
B
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 18ñ6
B) 36ñ3
soru 7
A
C) 36
5ñ2
D) 27ñ3
E
135°
4ñ3
C
B
ABCD paralelkenar, [AE] [BC], |AE|=|BE|, |AD|=9 cm
B) 6ò11
soru 4
C) 9ñ5
D) 18ñ7
A
|DC|=4ñ3 cm olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
E) 36ñ2
A) 20
B) 20ñ2
C) 20ñ3
D) 18ñ3
D
ABCD paralelkenar
12
m(DéCB)=60°
8
m(BéFE)=60 cm
|DC|=12 cm
|EF|=8 cm
60°
B
|BC|=15 cm
C
15
olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
E) 18ñ2
A E
soru 8
D
ABCD paralelkenar
C
ABCD paralelkenar, m(AéDC)=135°, |AD|=5ñ2 cm
|CD|=8 cm olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 7ñ5
E) 27
D
8
B
C
olduuna göre,
www.kartezyen.com.tr
soru 3
D) 24ñ3
120°
|BC|=9 cm
|BE|=|EC|+1 olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
C) 22ñ6
D
|AB|=6 cm
C
ABCD paralelkenar, m(AéDE)=90°, |AD|=11 cm, |DC|=7 cm
B) 6ñ7
E) 36
ABCD paralelkenar
m(AéBC)=120°
A) 9ñ5
D) 18ñ2
A
soru 6
D
7
B
C
4ñ3
ABCD paralelkenar, m(AéBC)=45°, |AB|=3ñ6 cm
|CE|=3 cm olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
B) 27
45°
B
ABCD paralelkenar, [AE] [BC], |AD|=6 cm, |DC|=5 cm
A) 24
D
60°
B
|BC|=14 cm
FC
olduuna göre,
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 15ò13
B) 90ñ3
C) 17ò10
D) 9ò13
E) 15ñ3
A) 60ñ3
B) 56ñ3
C) 57ñ3
D) 48ñ3
E) 44ñ3
365
1–A
2–C
3–E
4–B
5–E
6–D
7–C
8–B
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡¡
Test 2 Àö¯ĞĞ¯န
Paralelkenarda Alan
A
Taban paralelkenarn bir kenar, köesi ise bu paralelkenarn
kar kenar üzerinde olan üçgenin alan paralelkenarn alannn
yarsna eittir.
D
E
Buna göre, Alan(EBC)=
B
1
Alan(ABCD)
2
C
çözüm
kavrama sorusu
ABE üçgeninin bir kenar paralel kenarnn [AB] kenardr.
D
A
Üçgenin E köesi ise paralelkenarn [DC] kenar üzerindedir.
Buna göre, üçgenin alan paralelkenarn alannn yarsna eittir.
E
B
Alan(ABE) 1
1
Alan(ABCD) 28 14 cm2
2
2
C
Cevap: 14
2
ABCD paralelkenarnn alan 28 cm olduuna göre,
Alan(ABE) kaç cm2 dir, bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
A
E
F
D
A
K
E
F
K
17
D
17
x
B
C
B
ABCD paralelkenar, [BF] [EC]={K}, Alan(BEK)=17 cm
2
C
2
Alan(BKC)=x cm olsun.
1
Alan(BEC)= Alan(ABCD)
2
2
olduuna göre, Alan(CKF) kaç cm dir, bulunuz.
1
Alan(ABCD) ise
2
Alan(BEC)=Alan(BFC)=17+x
Alan(BFC)=
Alan(BKC)=x olduuna göre,
Alan(BFC)=Alan(CKF)+Alan(BKC)
17+x=Alan(CKF)+x
17=Alan(CKF)
Cevap: 17
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
366
¤¤¦¤Ú¤Ú
Paralelkenarda Alan
Test / 4
soru 1
D
A
soru 5
A
ABCD paralelkenar
ABCD paralelkenar
Alan(ABCD)=24 cm2
Alan(BEC)=49 cm2
olduuna göre,
Alan(AEB)=32 cm2
Alan(AED) kaç cm2 dir?
E
B
olduuna göre,
C
D
E
B
C
Alan(DEC) kaç cm2 dir?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
A) 16
soru 2
C) 18
soru 6
D
A
B) 17
D) 19
A
D
E
F
ABCD paralelkenar
ABCD paralelkenar
Alan(ABCD)=30 cm
[EC] [BD]={F}
olduuna göre,
Alan(DFC)=7 cm2
2
Alan(ADC) kaç cm2 dir?
B
olduuna göre,
C
E) 20
B
C
Alan(BEF) kaç cm2 dir?
B) 12
C) 13
D) 14
soru 3
E) 15
D
A
ABCD paralelkenar
E
Alan(DEC)=14 cm2
www.kartezyen.com.tr
A) 11
A) 5
B) 6
C) 7
soru 7
D) 8
A
E
E) 9
F
D
K
ABCD paralelkenar
[CE] [BF]={K}
Alan(BEK)=12 cm2
olduuna göre,
2
Alan(ABCD) kaç cm dir?
B
olduuna göre,
C
B
C
Alan(KFC) kaç cm2 dir?
A) 20
B) 24
C) 26
D) 28
E) 32
A) 6
soru 4
A
soru 8
D
E
B) 9
C) 10
D) 12
E) 15
D
A
E
B
C
B
C
ABCD paralelkenarnn alan 38 cm olduuna göre,
ABCD paralelkenar, [AC] [BD]={E}
taral bölgelerin alanlar toplam kaç cm2 dir?
Alan(ABE)+Alan(DEC)=44 cm2 olduuna göre,
2
Alan(ABE) kaç cm2 dir?
A) 20
B) 19
C) 18
D) 17
E) 16
A) 11
B) 15
C) 18
D) 20
E) 22
367
1–A
2–E
3–D
4–B
5–B
6–C
7–D
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡¡
Test 3 Àö¯ĞĞ¯န
Paralelkenarda Alan
çözüm
kavrama sorusu
Öncelikle ABD üçgeninin alann bulalm.
D
A
ABD üçgeninde [BD] taban ise [AE] bu tabana ait yüksekliktir.
1
Alan= .Taban x Yükseklik bantsndan
2
4
E
Alan(ABD)=
B
C
1
1
|BD| | AE| .11.4=22 cm2
2
2
1
Alan(ABCD) olduuna göre,
2
Alan(ABCD)=2.Alan(ABD)=2.22=44 cm2
Alan(ABD)=
ABCD paralelkenar, [AE] [BD], |AE|=4 cm, |BD|=11 cm
olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir, bulunuz.
Cevap: 44
çözüm
kavrama sorusu
E
A
Öncelikle EBC üçgeninin alann bulalm.
D
Dik üçgende alan dik kenarlarn çarpmnn yarsna eit olaca9
8
na göre,
B
1
1
Alan(EBC)= |EB| |EC| .8.9=36 cm2
2
2
1
Alan(EBC)= Alan(ABCD) olduuna göre,
2
Alan(ABCD)=2.Alan(EBC)=2.36=72 cm2
C
ABCD paralelkenar, [EB] [EC], |EB|=8 cm, |EC|=9 cm
Cevap: 72
olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir, bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
D
A
5
5
K
B
D
A
K
E
C
B
ABCD paralelkenar, [AK] [ED], |AK|=5 cm, |ED|=12 cm
E
C
Öncelikle [AE] yi çizerek AED üçgenini oluturalm.
2
olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm dir, bulunuz.
AED üçgeninde [ED] taban, [AK] yüksekliktir.
Alan=
1
.Taban x Yükseklik bantsndan
2
Alan(AED)=
1
1
|ED| | AK | .12.5=30 cm2
2
2
1
Alan(ABCD) olduuna göre,
2
Alan(ABCD)=2.Alan(AED)=2.30=60 cm2
Alan(AED)=
Cevap: 60
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
368
¤¤¦¤Ú¤Ú
Paralelkenarda Alan
Test / 5
soru 1
soru 5
D
A
D
A
E
ABCD paralelkenar
[CE] [BD]
3
|CE|=3 cm
|BD|=10 cm
B
B
C
E
C
olduuna göre,
ABCD paralelkenar, [EA] [ED], Alan(ABCD)=54 cm2
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
olduuna göre, |EA|.|ED| çarpm kaç cm2 dir?
A) 15
B) 20
C) 25
soru 2
D) 30
E) 35
A) 27
7
ABCD paralelkenar
C) 60
A
E
|AC|=8 cm
14
|BF|=14 cm
B
|CE|=6 cm
C
B
olduuna göre,
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
C) 44
soru 3
D) 48
E) 56
D
A
3
ABCD paralelkenar
[DE] [AC]
Alan(ABCD)=24 cm2
A) 42
B) 56
C
D) 15
E
F
6
Alan(ABCD)=78 cm2
|BE| kaç cm dir?
A
D
E
ABCD paralelkenar
|AC| kaç cm dir?
soru 4
E) 114
|CF|=6 cm
B
C) 12
D) 102
A
olduuna göre,
B) 8
C) 84
soru 7
olduuna göre,
A) 4
C
[CF] [BE]
E
|DE|=3 cm
www.kartezyen.com.tr
olduuna göre,
B) 36
D
F
[BF] [CE]
|DE|=7 cm
E) 108
E
ABCD paralelkenar
[DE] [AC]
A) 28
D) 88
soru 6
D
A
B) 54
E) 16
A) 13
B
B) 14
C) 15
soru 8
D
C
A
D) 16
D
E
F
ABCD paralelkenar
8
E) 17
[BF] [CE]
Alan(ABCD)=45 cm2
B
C
10
|CE|=|BF|+4
B
ABCD paralelkenar, [EB] [EC], |EC|=8 cm, |BC|=10 cm
olduuna göre,
olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
|BF|+|CE| toplam kaçtr?
A) 24
B) 30
C) 36
D) 40
E) 48
A) 12
B) 13
C) 14
C
D) 15
E) 16
369
1–D
2–E
3–B
4–E
5–B
6–C
7–A
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡¡
Test 5 Àö¯ĞĞ¯န
Paralelkenarda Alan
Yükseklii eit olan üçgenlerin alanlarnn orannn tabanlar oranna eit olduunu üçgenlerde alan konusundan hatrlarsnz. Üçgenlerde
örendiiniz bu bilginin paralelkenarda da pek çok uygulamas ile karlaabilirsiniz. Aada yükseklii eit olan üçgenlerin alanlarnn
oranlanmas ile ilgili, paralelkenarda karlaabileceiniz durumlar içeren kavrama sorular göreceksiniz.
çözüm
kavrama sorusu
D
A
D
A
4
E
B
C
E
B
ABCD paralelkenar, |BE|=|EC|, Alan(ABE)=4 cm2
4
C
[AC] köegenini çizelim.
2
|BE|=|EC| ise Alan(ABE)=Alan(AEC)=4 cm2 dir.
olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm dir, bulunuz.
Alan(ABC)=Alan(ABE)+Alan(AEC)=4+4=8 cm2
[AC] paralelkenarn köegeni olduuna göre,
1
Alan(ABC)= Alan(ABCD) ise Alan(ABCD)=2.Alan(ABC)
2
Alan(ABCD)=2.8=16 cm2
Cevap: 16
çözüm
kavrama sorusu
A
D
E
A
5
10
B
F
C
B
ABCD paralelkenar, |BF|=2|FC|, Alan(EBF)=10 cm2
D
E
F
C
Yükseklikleri ayn olan üçgenlerin alanlarnn oran tabanlarnn
oranna eittir. Buna göre,
olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir, bulunuz.
|BF|=2|FC| ise Alan(EBF)=2Alan(EFC)
10=2Alan(EFC)
5=Alan(EFC)
Alan(EBC)=Alan(EBF)+Alan(EFC)=10+5=15 cm2
EBC üçgeninin alan paralelkenarn alannn yars olduuna
göre,
1
1
Alan(EBC)= Alan(ABCD) ise 15= Alan(ABCD)
2
2
30=Alan(ABCD)
Cevap: 30
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
370
¤¤¦¤Ú¤Ú
Paralelkenarda Alan
Test / 6
soru 1
soru 5
D
A
A
ABCD paralelkenar
ABCD paralelkenar
1
|BE| |EC|
2
|BF | 3
|FC| 4
Alan(ABE)=5 cm2
E
B
Alan(EBF)=6 cm2
C
olduuna göre,
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 30
B) 25
C) 20
soru 2
D) 18
E) 15
A) 14
E
ABCD paralelkenar
B
C) 42
soru 3
D) 48
A
E) 56
D
E
ABCD paralelkenar
D
E
A) 18
B) 16
B
soru 7
C
D) 14
E) 12
D
A
ABCD paralelkenar
E
F
Alan(FED)
oran kaçtr?
Alan(ABCD)
C
C) 25
soru 4
D) 30
A
E) 35
D
E
A)
1
5
B)
1
6
C)
|AD|=5|AE|
|BE|=4|EC|
Alan(DEC)=6 cm2
olduuna göre,
C
C
1
8
D)
1
9
E)
1
10
D
A
ABCD paralelkenar
B
B
soru 8
ABCD paralelkenar
olduuna göre,
Alan(ECD)
Alan(ABCD)
oran kaçtr?
C) 15
olduuna göre,
Alan(ABE) kaç cm2 dir?
B) 20
B F
3|DE|=2|EC|
|AE|=|DE|
Alan(ABCD)=80 cm2
olduuna göre,
www.kartezyen.com.tr
B) 40
E
B
C
Alan(ABD) kaç cm2 dir?
A) 30
B)
E) 28
Alan(DEF) kaç cm2 dir?
Alan(ABCD) kaç cm dir?
1
7
D) 24
A
olduuna göre,
C
2
A)
C) 20
|AE|=|DE|
Alan(ABCD)=48 cm2
olduuna göre,
A) 10
C
ABCD paralelkenar
|EC|=2|DE|
Alan(BEC)=14 cm2
A) 36
B) 18
soru 6
D
A
F
B
olduuna göre,
D
E
1
3
C)
2
3
D)
2
5
E)
B) 28
C) 25
D) 24
E) 18
3
5
371
1–A
2–C
3–B
4–D
5–E
6–E
7–A
8–A
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡¡
Test 5 Àö¯ĞĞ¯န
Paralelkenarda Alan
çözüm
kavrama sorusu
D
A
D
A
4
8
E
B
C
B
E
C
Alan(AED)=4 cm2 olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir,
Yükseklikleri ayn olan üçgenlerin alanlarnn oran tabanlarnn
oranna eittir. Buna göre,
bulunuz.
|BE|=2|DE| ise Alan(ABE)=2Alan(AED)=2.4=8 cm2
ABCD paralelkenar, [BD] köegen, |BE|=2|DE|
Alan(ABD)=Alan(ABE)+Alan(AED)=8+4=12 cm2
ABD üçgeninin alan paralelkenarn alannn yars kadar olduuna göre,
1
Alan(ABD)= Alan(ABCD) ise Alan(ABCD)=2Alan(ABD)
2
=2.12=24 cm2
Cevap: 24
Paralelkenarn köegeninin iki yannda kalan üçgenlerin alanlar birbirine eittir.
D
A
Yandaki ekilde verilen ABCD paralelkenarnda [BD] köegen
ise
|BE| Alan(ABE)
|BE| Alan(BEC)
ve
|DE| Alan(AED)
|DE| Alan(DEC)
E
ise
B
Alan(ABE)=Alan(BEC) ve Alan(AED)=Alan(DEC)
C
çözüm
kavrama sorusu
[BD] köegen olduuna göre,
D
A
Alan(ABE)=Alan(BEC) dir.
8
ABE üçgeninin alan dik kenarlarnn çarpmnn yars kadar ise
| AE| |BE| 8 6
24 cm2
Alan(ABE)=
2
2
E
6
B
Alan(BEC)=Alan(ABE)=24 cm2 dir.
C
Cevap: 24
ABCD paralelkenar, [AE] [BD], |AE|=8 cm, |BE|=6 cm
olduuna göre, Alan(BEC) kaç cm2 dir, bulunuz.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
372
¤¤¦¤Ú¤Ú
Paralelkenarda Alan
Test / 7
soru 1
soru 5
D
A
E
ABCD paralelkenar
ABCD paralelkenar
[BD] köegen
[AE] [BD]
Alan(AED)=14 cm2
Alan(BEC)=14 cm2
olduuna göre,
B
E
B
|BE|=|AE|+3
C
Alan(DEC) kaç cm2 dir?
D
A
C
olduuna göre,
|BE| kaç cm dir?
A) 7
B) 10
C) 12
D) 14
E) 18
A) 4
soru 2
ABCD paralelkenar
[AC] köegen
[AF] [BD]
E
Alan(AED)=18 cm
Alan(BEC)=7 cm2
B
B) 52
C) 54
soru 3
D) 56
E) 58
D
A
F
ABCD paralelkenar
[BD] köegen
E
|BE|=|DF|
Alan(ABE)=x+9 cm2
www.kartezyen.com.tr
Alan(ABCD) kaç cm dir?
A) 39
B) 36
C) 33
soru 7
B
F
ABCD paralelkenar
[CF] [BD]
4
|BE|=13 cm
C
B
olduuna göre, x kaçtr?
Alan(ABE) kaç cm2 dir?
soru 4
C)
13
2
D)
11
2
E)
9
2
E
[DE] [AC]
5
C
D) 30
E) 36
D
A
4
E
6
[DE] [DC]
B
|DE|=4 cm
C
|EC|=6 cm
olduuna göre,
olduuna göre, Alan(BEC) kaç cm2 dir?
2
Alan(BEC) kaç cm dir?
A) 22
C) 26
[AC] köegen
B
|EC|=8 cm
B) 22
C
ABCD paralelkenar
8
|DE|=5 cm
A) 18
soru 8
D
A
ABCD paralelkenar
D
E
olduuna göre,
15
2
E) 27
A
Alan(DFC)=3x – 6 cm
B)
D) 30
|CF|=4 cm
2
17
2
C
Alan(DEC) kaç cm2 dir?
2
A)
D
olduuna göre,
olduuna göre,
A) 50
E
9
F
|AF|=6 cm
C
E) 8
6
|DE|=9 cm
B
D) 7
A
ABCD paralelkenar
2
C) 6
soru 6
D
A
B) 5
B) 20
C) 18
D) 16
E) 12
A) 10
B) 12
C) 4ñ5
D) 16
E) 18
373
1–D
2–A
3–B
4–B
5–D
6–E
7–C
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡¡
Test 5 Àö¯ĞĞ¯န
Paralelkenarda Alan
Bir ksm paralelkenarda alan sorularnda üçgende benzerlik konusunda örendiiniz bilgileri kullanmanz gerekebilir. Bununla ilgili olarak
aada verdiimiz kavrama sorularn lütfen dikkatle inceleyiniz.
çözüm
kavrama sorusu
D
A
2x
A
b
8
F
E
B
C
B
a
a
16
m(DéAF)=m(BéEF)= {ç ters açlar}
F
m(AéFD)=m(BéFE)= {Ters açlar}
x
E
x
C
|BE|
| AD|
|BF |
|DF |
Tüm iç açlar eit olduundan
AFD ve EFB benzer üçgenlerdir.
ABCD paralelkenar, [AE] [BD]={F}, |BE|=|EC|
Alan(BEF)=4 cm2 olduuna göre, Alan(ADF) kaç cm2 dir,
|AD|=|BC|=2x cm dir.
m(AéDB)=m(DéBE)= {ç ters açlar}
q
q
4 b
D |BE|=|EC|=x cm ise
|EF | x
1
| AF | 2x 2
bulunuz.
açsnn
açsnn
açsnn
karsndaki karsndaki karsndaki
kenarlar
kenarlar
kenarlar
Alan(BEF) |EF |
4
1
Alan(ABF)=8 cm2
Alan(ABF) | AF | Alan(ABF) 2
Alan(ABF) |BF |
8
1
Alan(ADF)=16 cm2
Alan(ADF) |DF |
Alan(ADF) 2
Cevap: 16
çözüm
kavrama sorusu
D
A
A
3x
a
D
9S
B
E
m(AéDF)=m(DéEC)= {ç ters açlar}
F
C
B
ABCD paralelkenar, [AC] [DE]={F}, |BE|=2x cm
|EC|
| AD|
|EC|=x cm, Alan(ABCD)=24 cm2 olduuna göre,
2x
E
|CF |
| AF |
m(AéFD)=m(EéFC)= {Ters açlar}
3S
q
F
m(DéAC)=m(BéCA)= {ç ters açlar}
b
qS
b
x
a
Tüm iç açlar eit olduundan
ADF ve CEF üçgenleri benzerC dir. CÿEF AÿDF ise
|FE| x
1
|DF | 3x 3
Alan(EFC) kaç cm2 dir, bulunuz.
açsnn
açsnn
açsnn
karsndaki karsndaki karsndaki
kenarlar
kenarlar
kenarlar
Uyarı
Alan(EFC) |FE| 1
Alan(DFC) |DF | 3
Bu tür sorularda direk paralelkenarn alann kullanmak
yerine en küçük üçgenin alanna S, 2S, veya 3S gibi sorunun çözümünü kolaylatracak deerler vermeniz uygun
olacaktr.
Alan(EFC)=S alrsak Alan(DFC)=3S olur.
Alan(DFC) |FC| 1
Alan(AFD) | AF | 3
Alan(DFC)=2S ise Alan(AFD)=9S olur.
Alan(DAC)=Alan(AFD)+Alan(DFC)=9S+3S=12S
Alan(ABCD)=2.Alan(DAC)=2.12S=24S
Alan(ABCD)=24 cm2 verildiine göre, 24S=24 S=
24
=1 cm2
24
Alan(EFC)=S=1 cm2 dir.
Cevap: 1
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
374
¤¤¦¤Ú¤Ú
Paralelkenarda Alan
Test / 8
soru 1
soru 5
D
A
ABCD paralelkenar
ABCD paralelkenar
[AE] [BD]={F}
[AE] [BD]={F}
F
|EC|=2|BE|
Alan(BEF)=6 cm2
F
E
|DC|=4|EC|
E
B
2
Alan(ABF)=12 cm
C
B
olduuna göre,
olduuna göre,
Alan(ABF) kaç cm2 dir?
Alan(AFD) kaç cm2 dir?
A) 6
B) 12
C) 16
soru 2
D) 18
E) 24
A) 3
F
ABCD paralelkenar
B) 6
|ED|=3|AE|
|BE|=|EC|
Alan(ABEF)=25 cm2
C
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
soru 3
E) 9
D
A
ABCD paralelkenar
[AC] [BE]={F}
E
F
A) 60
B) 65
C) 70
soru 7
olduuna göre,
Alan(BFC)
oran kaçtr?
Alan(EFC)
D) 75
E) 80
D
A
ABCD paralelkenar
K
[AE] [BD]={K}
B) 2
B
|EC|=2x cm
C
C)
soru 4
4x
B
E
2x C
olduuna göre,
3
2
D) 3
E)
5
2
Alan(AKD)
oran kaçtr?
Alan(CDKE)
A)
11
15
B)
5
7
C)
4
5
soru 8
D
A
D)
9
11
E)
7
9
D
A
ABCD paralelkenar
ABCD paralelkenar
[AE] [BD]={F}
F
[AC] [DE]={F}
F
|EC|=3|BE|
2|EC|=3|BE|
2
Alan(AFB)=10 cm
E
B
C
Alan(DFC)=12 cm2
B
olduuna göre,
olduuna göre,
Alan(AFD) kaç cm2 dir?
Alan(ABEF) kaç cm2 dir?
A) 15
C
|BE|=4x cm
|DE|=|EC|
A) 1
www.kartezyen.com.tr
Alan(DFC) kaç cm2 dir?
D) 12
E
B
olduuna göre,
C) 15
D
F
olduuna göre,
B) 16
E) 15
ABCD paralelkenar
[AC] [DE]={F}
A) 18
D) 12
A
[BD] [CE]={F}
B
C
C) 9
soru 6
D
E
A
Alan(EFD)=12 cm2
D
A
B) 20
C) 25
D) 30
E) 35
A) 19
B) 21
C) 23
E
C
D) 24
E) 25
375
1–D
2–B
3–B
4–C
5–C
6–A
7–D
8–A
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡¡
Test 6 Àö¯ĞĞ¯န
EKENAR DÖRTGENDE ALAN
Eşkenar Dörtgende Alan
A
D
Ekenar dörtgenin alan bir kenar ve bu kenara ait yüksekliin çarpm
ile bulunur.
Yandaki ekilde verilen ABCD ekenar dörtgeninin alan
Alan(ABCD)=|AE| . |BC|
B
E
dir.
C
çözüm
kavrama sorusu
E
A
ABCD ekenar dörtgeninde [EF][BC] olduuna göre, [BC] kenarna ait yükseklik [EF] dir.
D
Alan(ABCD)=|EF| . |BC| olur.
Alan(ABCD)=|EF| . |BC|=7 . 8=56 cm2
7
Cevap: 56
F
B
C
ABCD ekenar dörtgen, [EF][BC], |EF|=7 cm, |BC|=8 cm
olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir, bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
A
ABCD ekenar dörtgende [CE][AB] olduuna göre, [AB] kenarna ait yükseklik [CE] dir.
D
Alan(ABCD)=|CE| . |AB| olur.
Alan(ABCD)=|CE| . |AB|=5ñ3 . 9=45ñ3 cm2
E
B
Cevap: 45ñ3
5ñ3
C
ABCD ekenar dörtgen, [CE][AB], |AB|=9 cm, |EC|=5ñ3 cm
olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir, bulunuz.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
376
¤¤¦¤Ú¤Ú
Eşkenar Dörtgende Alan
Test / 1
soru 1
A
soru 5
D
6
ABCD ekenar dörtgen,
|CE|=3 cm,
|CD|=8 cm
|DE|=4 cm
A) 48
E
3
B) 44
C
C) 40
soru 2
Alan(ABCD) kaç
D) 36
A
E) 32
E
A) 4ò33
B) 4ò35
C) 7ò33
D) 7ò35
E) 28
A
D
E
|BE|=2 cm,
cm2
olduuna göre,
|CE|=4 cm
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
olduuna göre,
B
x
3
C)
x
2
B) x
A
B) 2x
D
ABCD ekenar dörtgen,
4
2
B
Alan(ABCD)
C
www.kartezyen.com.tr
B)
soru 3
C
kaç cm2 dir?
A) 24
B) 5ñ3
C) 6ñ5
soru 7
D) 6ñ6
E) 8ñ5
A
D
ABCD ekenar dörtgen,
[AE] [BC],
m(AéDE)=90°,
3ñ2
|AB|=3ñ2 cm,
|AE|=7 cm
olduuna göre,
olduuna göre,
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
B) 6ñ6
soru 4
B
C
E
C) 9ñ6
D) 10ñ6
A
E) 12ñ6
5
C
C) 7
A
D) 9
E
[BE] [AD],
E
E) 11
D
x+3
[BF] [CD],
2
C
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
|BF|=2x – 2 cm
B
olduuna göre, x kaçtr?
C) 14
D) 16
E) 20
A) 1
F
2x 2
|BE|=x+3 cm,
B
olduuna göre,
B) 12
E
ABCD ekenar dörtgen,
[DE] [DC],
|DC|=5 cm
B) 5
soru 8
D
ABCD ekenar dörtgen,
|BE|=2 cm,
B
|AF| kaç cm dir?
A) 3
F
7
[AF] [CD],
2ñ3
|DE|=2ñ3 cm
A) 10
dir?
[EC] [CD]
|CE| . |AD|=x
A) 3ñ6
C
ABCD ekenar dörtgen,
[CE] [AD],
x
4
cm2
soru 6
D
ABCD ekenar dörtgen,
A)
B
olduuna göre,
olduuna göre,
dir? B
4
m(DéAE)+m(AéBC)=90°,
|AE|=6 cm,
cm2
D
ABCD ekenar dörtgen,
E
[AE] [CD],
Alan(ABCD) kaç
A
B) 2
C) 3
C
D) 4
E) 5
377
1–A
2–B
3–B
4–E
5–C
6–E
7–C
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚĆ¡ö¡¥
Test 1 Àö¯ĞĞ¯န
Eşkenar Dörtgende Alan
çözüm
kavrama sorusu
A
A
D
D
6
4
E
6
B
4
B
C
ABCD ekenar dörtgen, |AC|=8 cm, |BD|=12 cm olduuna
göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir, bulunuz.
C
Ekenar dörtgende köegenler birbirini dik ortalar.
Buna göre, [AC][BD], |AE|=|CE|=4 cm, |BE|=|DE|=6 cm
Alan(ABCD)=Alan(ABE)+Alan(BCE)+Alan(CDE)+Alan(ADE)
Uyarı
6.4 6.4 6.4 6.4
2
2
2
2
2
48 cm
Alan(ABCD) Köegenleri dik kesien dörtgenlerin alannn köegenler çarpmnn yars olduunu hatrlaynz.
II. Yol
Buna göre, ABCD ekenar dörtgeninin alann
Alan(ABCD) Ekenar dörtgenin köegenleri dik kesitiine göre,
| AC|.|BD|
bants ile bulabilirsiniz.
2
Alan(ABCD) | AC|.|BD| 8.12
2
2
48 cm2
Cevap: 48
çözüm
kavrama sorusu
A
A
D
D
30°
4
4
60°
60°
B
2ñ3
B
C
2
E
C
[AE] dikmesini çizelim.
ABCD ekenar dörtgen, m(AéBC)=60°, |AB|=4 cm olduuna
göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir, bulunuz.
ABE 30° – 60° – 90° üçgeni olur.
|BE|
| AB| 4
2 cm {30°– 60°– 90° üçgeni kural}
2
2
|AE|=|BE| . ñ3=2ñ3 cm {30°– 60°– 90° üçgeni kural}
Alan(ABCD)=|AE| . |BC|
=2ñ3 . 4=8ñ3 cm2
Cevap: 8ñ3
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
378
¤¤¦¤Ú¤Ú
Eşkenar Dörtgende Alan
Test / 2
soru 1
A
soru 5
D
A
ABCD ekenar dörtgen,
ABCD ekenar dörtgen,
|AC|=6 cm,
m(BéCD)=60°,
F
|BD|=10 cm
6
|AB|=6 cm
olduuna göre,
olduuna göre,
Alan(ABCD)
B
kaç cm2 dir?
B) 45
C) 60
D) 90
60°
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
C
A) 9
A) 30
D
B) 9ñ3
B
C
C) 18
D) 6ñ6
E) 18ñ3
E) 120
A
soru 6
D
45°
soru 2
Köegenlerinin uzunluklar 12 cm ve 14 cm olan ekenar
dörtgenin alan kaç cm2 dir?
B) 84
C) 126
soru 3
D) 168
A
D
ABCD ekenar dörtgen,
|BC|=10 cm,
12
|BD|=12 cm
A) 4ñ2
Alan(ABCD) kaç
A) 24
B) 6
B) 48
10
B
C) 72
D) 96
C
E) 8ñ2
D
150°
C
4
ABCD ekenar dörtgen, m(BéCD)=150°, |BC|=4 cm olduuna
göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
E) 120
A) 4
B) 6
C) 8
soru 8 A
soru 4
D) 8
A
B
dir?
C) 6ñ2
soru 7
olduuna göre,
cm2
C
4
ABCD ekenar dörtgen, m(AéDC)=45°, |BC|=4 cm olduuna
göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
E) 200
www.kartezyen.com.tr
A) 42
B
A
D) 10
E) 12
D
D
135°
K noktas ABCD ekenar
dörtgeninin köegenlerinin
kesim noktas,
K
5
|BK|=5 cm,
3
B
|CK|=3 cm
B
olduuna göre,
C
B) 60
C) 45
D) 30
C
ABCD ekenar dörtgen, m(AéDC)=135°, |BC|=2ñ3 cm olduuna göre, Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 75
2ñ3
E) 15
A) 4
B) 6
C) 6ñ2
D) 8
E) 12
379
1–A
2–B
3–D
4–D
5–E
6–E
7–C
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚĆ¡ö¡¥
Test 2 Àö¯ĞĞ¯န
DKDÖRTGENDE ALAN
y
A
Dikdörtgende Alan: Bir dikdörtgenin alan uzun ve ksa kenarnn uzunluklarnn çarpm ile bulunur. Yandaki ekilde verilen
D
ABCD dikdörtgeninde,
x
|AB|=|CD|=x cm
x
|AD|=|BC|=y cm ise,
Alan(ABCD)=x.y dir.
B
C
y
çözüm
kavrama sorusu
A
9
Dikdörtgenin alan uzun ve ksa kenarnn uzunluklarnn çarpmna eittir. Buna göre,
D
Dikdörtgenin Alan=9.5=45 cm2 dir.
Cevap: 45
5
B
C
Uzun kenar 9 cm, ksa kenar 5 cm olan dikdörtgenin alan, kaç
cm2 dir bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
A
x+6
D
x
|AD|=x+6 cm
Dikdörtgenin alan uzun ve ksa kenarnn uzunluklarnn çarpmna eittir. Buna göre,
|DC|=x cm
Alan(ABCD)=(x+6).x=72 cm2 ise,
ABCD dikdörtgen,
x=6 cm dir.
Alan(ABCD)=72 cm2
Cevap: 6
olduuna göre,
x kaçtr bulunuz.
B
C
çözüm
kavrama sorusu
A
D
Alan 135 cm2 olan,
A
5x
5|AB|=3|AD| ise
D
| AB| 3
| AD| 5
Buradan
ABCD dikdörtgeninde
5|AB|=3|AD|
3x
olduuna göre,
|AB|=3x cm ise
çevresi kaç cm dir,
B
C
|AD|=5x cm dir.
bulunuz.
B
C
Alan(ABCD)=|AB|.|AD|=3x.5x=135
15x2=135
x2=9
x=3 cm
Çevre(ABCD)=|AB|+|AD|+|DC|+|BC|
=3x+5x+3x+5x=16x 16.3=48 cm
Cevap: 48
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
380
¤¤¦¤Ú¤Ú
Dikdörtgende Alan
soru 1
Test / 1
6
A
soru 5
D
Alan 48 cm2 olan dikdörtgenin ksa kenar 4 cm olduuna göre,
ABCD dikdörtgen,
|AD|=6 cm
dier kenar uzunluu kaç cm dir?
4
|CD|=4 cm
A) 6
olduuna göre,
Alan(ABCD) kaç
A) 12
cm2
dir? B
B) 18
B) 8
C) 12
D) 16
E) 18
C
C) 20
D) 24
E) 26
soru 2
soru 6
Uzun kenar 14 cm, ksa kenar 6 cm olan dikdörtgenin, alan
ABCD dikdörtgen,
kaç cm2 dir?
|AD|=|AB|+3
A
D
B
C
Alan(ABCD)=54 cm2
A) 42
B) 48
C) 52
D) 66
E) 84
olduuna göre,
dikdörtgenin çevresi
soru 3
Kenarlarnn uzunluklar 4 cm ve 7 cm olan dikdörtgenin alan x,
kenarlarnn uzunluklar 5 cm ve 9 cm olan dikdörtgenin alan y
cm2 olduuna göre, y – x kaç cm2 dir?
www.kartezyen.com.tr
kaç cm dir?
A) 38
B) 36
C) 34
soru 7
D) 32
E) 30
A
D
alan kaç cm2 dir?
B
C
A) 45
C) 54
|AB|=2|DC|– 5
|AD|=|AB|+4
olduuna göre,
ABCD dikdörtgeninin
A) 12
B) 17
soru 4
C) 19
D) 20
E) 21
2x+2
A
D
soru 8
B) 50
D) 62
12
A
E) 68
D
|AB|=2x – 1 cm
|CD|=x+5 cm
2x1
x+5
7
|AD|=2x+2 cm
olduuna göre,
ABCD dikdörtgeninin
alan kaç
A) 162
cm2
B
C
dir?
B) 154
C) 142
D) 130
E) 118
B
C
|AB|=7 cm, |AD|=12 cm olmak üzere kenarlarnn uzunluklar
ABCD dikdörtgeninin kenarlarnn uzunluklarndan 2 er cm fazla
olan dikdörtgenin alan x, Alan(ABCD)=y olduuna göre, x – y
fark kaç cm2 dir?
A) 40
B) 42
C) 44
D) 46
E) 48
381
1–D
2–E
3–B
4–B
5–C
6–E
7–A
8–B
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Úö¡¥
Test 1 Àö¯ĞĞ¯န
Dikdörtgende Alan
çözüm
kavrama sorusu
A
D
Dikdörtgenin köegeni, dikdörtgeni iki e üçgene ayrr. Dolays
ile ABD ve BCD üçgenlerinin alanlar eit ve dikdörtgenin alannn yars kadardr.
1
1
Alan(ABD) Alan(ABCD) .4.7 14 cm2
2
2
Cevap: 14
ABCD dikdörtgen
[BD] köegen
|BC|=7 cm
4
|CD|=4 cm
olduuna göre,
B
C
7
Alan(ABD)
kaç cm2 dir bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
A
D
ABCD dikdörtgen,
A
7
[BD] köegen
E
|BE|=3|DE|
Alan(AED)=7
C
Alan(ABCD) kaç cm2 dir
=3.7
28
B
bulunuz.
Alan(ABE)=3 Alan(AED)
k
=21 cm2
3k
olduuna göre,
B
E
21
cm2
|BE|=3|DE| ise,
D
C
Alan(ABCD)=2.Alan(ABD)=2.28=56 cm2
Cevap: 56
çözüm
kavrama sorusu
A
E
D
ABCD dikdörtgen
E
A
D
olduuna göre,
|AB|=|DC|=x cm
|AD|=|BC|=y cm
Alan(EBC)
Alan(ABCD)
oran kaçtr bulunuz.
alalm.
x
x [EH] dikmesini çizelim.
x
|AB|=|CD|=|EH|= x cm
olur.
B
B
C
C
H
y
Alan(ABCD)=x.y cm2ve Alan(EBC) x.y
cm2 dir.
2
x.y
Alan(EBC)
1
2 olur.
Alan(ABCD) x . y 2
16
D
9
ABCD dikdörtgen,
AED üçgeninin alan, dikdörtgenin alannn yars kadardr.
|AB|=9 cm
Buna göre, Alan(ABCD)=9.16=144 cm2 ise,
|AD|=16 cm
Alan(AED) olduuna göre,
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
E
C
1
1
. Alan(ABCD) .144 72 cm2
2
2
Taral alan=Alan(ABCD) – Alan(AED)
taral bölgelerin
B
1
2
çözüm
kavrama sorusu
A
Cevap:
=144 – 72=72 cm2
alanlar toplam kaç
cm2 dir bulunuz.
Cevap: 72
382
¤¤¦¤Ú¤Ú
Dikdörtgende Alan
soru 1
Test / 2
A
soru 5
D
A
ABCD dikdörtgeninin
ABCD dikdörtgen,
alan 48 cm2
Alan(ABCD)=36 cm2
olduuna göre,
olduuna göre,
Alan(ABC)
kaç
cm2
dir?
C
B) 20
C) 24
D) 26
cm2
A
dir?
B) 14
C) 16
soru 6
D
ABCD dikdörtgen,
D)18
E) 20
9
A
D
ABCD dikdörtgen,
[AC] [BD]={E}
|AD|=9 cm
E
Alan(ABCD)=24 cm2
6
|AB|=6 cm
E
olduuna göre,
olduuna göre,
B
Alan(DEC)
C
Alan(ABE) kaç cm2 dir?
B
A) 38
C) 33
C
B) 6
C) 8
soru 3
D) 10
E) 12
A
D
E
ABCD dikdörtgen,
www.kartezyen.com.tr
dir?
A) 4
B) 36
soru 7
A
D) 30
E
E) 27
F
D
ABCD dikdörtgen,
Alan(BEC)=24 cm2
[AC] köegen
| AE|
C
E) 28
A) 12
soru 2
B
alanlar toplam
kaç
kaç
D
taral bölgelerin
B
A) 12
cm2
E
1
|EC|
4
olduuna göre,
Alan(FBC)
Alan(AED)=6 cm
B
C
olduuna göre,
B
kaç cm2 dir?
C
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
A) 24
A) 42
B) 48
C) 54
soru 4
D) 56
C) 20
D) 18
D
ABCD dikdörtgen,
soru 8
A
F
E
D
K
ABCD dikdörtgen,
|AB|=8 cm
E) 16
E) 60
E
A
B) 22
EBC ve FBC üçgen
8
Alan(CFK)=18 cm2
|AD|=13 cm
olduuna göre,
olduuna göre,
Alan(EBC) kaç
cm2
dir?
B
C
B
Alan(BEK)
C
kaç cm2 dir?
A) 40
B) 44
C) 48
D) 52
E) 56
A) 9
B) 12
C) 15
D) 17
E) 18
383
1–C
2–B
3–E
4–D
5–D
6–E
7–A
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Úö¡¥
Test 2 Àö¯ĞĞ¯န
Dikdörtgende Alan
çözüm
kavrama sorusu
E
A
D
ABCD dikdörtgen,
E
A
|FC|=2|BF|
|FC|=2|BF| ise
Alan(EBF)=5 cm2
Alan(EFC)=2Alan(EBF)
olduuna göre,
5
Alan(ABCD)
B
C
F
[EC] yi çizelim.
D
kaç cm2 dir
B
bulunuz.
=2.5=10 cm2
10
C
F
Alan(EBC)=Alan(EBF)+Alan(EFC)
=5+10=15 cm2
Alan(ABCD)=2.Alan(EBC)
=2.15=30 cm2
Cevap: 30
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
ABCD dikdörtgen,
[BD] yi çizelim.
D
|BE|=4|EC| ise
|BE|=4|EC|
15
Alan(DEC)=3 cm2
olduuna göre,
E
C
=4.3=12 cm2
12
Alan(ABCD) kaç cm2 dir
B
Alan(DBE)=4Alan(DEC)
bulunuz.
B
3
C
E
Alan(DBC)=Alan(DBE)+Alan(DEC)
=12+3=15 cm2
Alan(ABCD)=2Alan(DBC)=2.15=30 cm2
Cevap: 30
çözüm
kavrama sorusu
E
A
D
ABCD dikdörtgen,
E
A
D
|BC|=2|FG|
|BC|=2|FG| ise,
Alan(ABCD)=80
cm2
Alan(EBC)=2Alan(EFG) dir.
Alan(EFG)=x cm2 ise
olduuna göre,
Alan(EFG) kaç
B
F
G
C
[BE] ve [CE] yi çizelim.
cm2
Alan(EBC)=2x cm2 olur.
dir
bulunuz.
B
F
C
G
Alan(ABCD)=2Alan(EBC) ise
Alan(ABCD)=2.2x=4x cm2
Alan(ABCD)=80 cm2 ise 4x=80
x=20 cm2
Alan(EFG)=x=20
cm2
dir.
Cevap: 20
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
384
¤¤¦¤Ú¤Ú
Dikdörtgende Alan
soru 1
Test / 3
E
A
soru 5
D
ABCD dikdörtgen,
ABCD dikdörtgen,
|FC|=2|BF|
|AE|=3|DE|
Alan(EBF)=4 cm2
Alan(AEB)=18 cm2
olduuna göre,
Alan(ABCD) kaç
A) 12
dir? B
B) 16
C
F
C) 18
D) 20
Alan(ABCD) kaç cm2 dir? B
E) 24
A
A) 40
B) 44
ABCD dikdörtgen,
|DE|=|CE|
Alan(ABCD)=108
E) 52
D
E
Alan(ABCD)=56
olduuna göre,
D) 48
A
ABCD dikdörtgen,
cm2
C
C) 46
soru 6
D
|BC|=6|EC|
cm2
olduuna göre,
B
A) 13
C) 9
B) 6
soru 3
C
E
D) 12
E) 15
A
D
ABCD dikdörtgen,
www.kartezyen.com.tr
Alan(AEC) kaç cm2 dir?
Alan(AED) kaç cm2 dir?
B
A) 12
C) 16
B) 14
soru 7
C
D) 18
E) 20
E
A
D
ABCD dikdörtgen,
E
|AF|=3|BF|
Alan(AFE)=6 cm2
|AD|=3|FG|
Alan(EFG)=7 cm2
F
olduuna göre,
olduuna göre,
Alan(ABCD) kaç cm2 dir? B
B) 15
soru 4
C
C) 14
A
D) 13
E) 12
F
D
Alan(ABCD) kaç cm2 dir? B
A) 42
B) 40
A
ABCD dikdörtgen,
|AF|=2|DF|
|EF|=|AE|+|DF|
Alan(ABCD)=48 cm2
Alan(ABCD)=36 cm2
olduuna göre,
G
C
D) 30
E) 28
F
C) 35
soru 8
ABCD dikdörtgen,
F
E
D
olduuna göre,
Alan(EFD) kaç cm2 dir?
A) 8
D
olduuna göre,
cm2
soru 2
A) 16
E
A
B) 7
B
C
E
C) 6
D) 5
E) 4
Alan(GEF) kaç cm2 dir?
B
A) 6
C) 9
B) 8
G
D) 10
C
E) 12
385
1–E
2–C
3–A
4–A
5–D
6–B
7–A
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Úö¡¥
Test 2 Àö¯ĞĞ¯န
KAREDE ALAN
Karenin alan iki kenarnn uzunluklarnn çarpm ile bulunur. Dolays ile bir kenarnn uzunluu a cm olan karenin alan a.a=a2 dir.
çözüm
kavrama sorusu
A
Karenin bir kenar 7 cm olduuna göre,
D
Alan 7 x 7=49 cm2 dir.
7
Cevap: 49
B
C
ABCD kare, |AB|=7 cm olduuna göre,
karenin alan kaç cm2 dir bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
A
Karenin tüm kenarlar eit uzunlukta olduuna göre,
D
|BC|=|DC| dir.
|BC|=|DC| ise 2 x – 7=x+3
x=3+7
x+3
x=10 cm
Buradan |BC|= 2 x – 7=2.10 – 7=13 cm
B
2x7
Karenin bir kenar 13 cm ise,
C
alan, Alan=a2 bantsndan
Alan(ABCD)=132=169 cm2 dir.
ABCD kare, |BC|=2 x – 7 cm, |DC|=x+3 cm olduuna göre,
ABCD karesinin alan kaç
cm2
Cevap: 169
dir bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
Bir köegeninin uzunluu 12 cm olan karenin, alan kaç cm2
dir bulunuz.
6 2
A
D
12
6 2
B
45°
45°
45°
45°
C
Karenin köegeni 12 cm ise,
|BD| 12
6 2 dir.
bir kenar | AB|| AD|
2
2
Karenin alan,
Alan=a2 bantsndan,
Alan=(6ñ2)2=72 cm2 dir.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
386
Cevap: 72
¤¤¦¤Ú¤Ú
Karede Alan
Test / 1
soru 1
2 5
A
soru 5
D
Çevresi 24 cm olan karenin, alan kaç cm2 dir?
ABCD kare,
|AD|=2ñ5 cm
olduuna göre,
A) 12
B) 16
C) 24
D) 26
E) 36
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
B
A) 10
B) 15
C
C) 20
D) 25
E) 30
soru 2
soru 6
Bir kenarnn uzunluu 3ñ3 cm olan karenin, alan kaç cm2 dir?
Alan 8 cm2 olan karenin, çevresi kaç cm2 dir?
A) 27
A) 8ñ2
soru 3
C) 23
D) 21
x+2
A
E) 19
D
|AD|=x+2 cm
|CD|=2x – 4 cm
2x4
olduuna göre,
www.kartezyen.com.tr
B) 25
C) 4ñ2
D) 4
E) 2ñ2
soru 7
Bir köegeninin uzunluu ò14 cm olan karenin alan, kaç cm2
dir?
A) 14
ABCD karesinin alan
B) 8
C) ñ7
B) 2ñ7
D) 7
E) 4
kaç cm2 dir?
B
A) 36
B) 48
soru 4
C
C) 50
D) 56
E) 64
A
D
soru 8
ABCD kare,
ABCD kare
|AD|=2|DC|– 5
|AC|+|BD|=12 cm
olduuna göre,
olduuna göre,
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
B
A) 20
B) 25
C
C) 30
D) 36
E) 45
A) 18
B) 24
A
D
B
C
C) 25
D) 36
E) 48
387
1–C
2–A
3–E
4–B
5–E
6–A
7–D
8–A
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡
Test 1 Àö¯ĞĞ¯န
Karede Alan
çözüm
kavrama sorusu
A
D
8
A
D
8
B
4
E
4
C
B
ABCD kare, |BE|=|EC|=4 cm olduuna göre,
8
4
E
4
C
ABCD karesinin bir kenarnn uzunluu |BC|=4+4=8 cm dir.
taral bölgenin alan kaç cm2 dir bulunuz.
Alan=a2 bantsndan Alan(ABCD)=82=64 cm2 dir.
ABE dik üçgeninin alan, dik kenarlarnn çarpmnn yarsdr.
| AB|.|BE| 8 .4
16 cm2
2
2
Taral Bölgenin Alan=Alan(ABCD) – Alan(ABE)
Alan(ABE) = 64 – 16
=48 cm2
Cevap: 48
çözüm
kavrama sorusu
A
E
D
E
A
8
B
C
8
B
ABCD karesinin bir kenar 8 cm olduuna göre, taral bölgelerin
alanlar toplam kaç cm2 dir bulunuz.
H
D
8
C
[EH] dikmesini çizelim. |EH|=|AB|=|CD|=8 cm
EBC üçgeninde [BC] taban, [EH] bu tabana ait yüksekliktir.
Taban x Yükseklik |BC|.|EH| 8.8
32 cm2
2
2
2
Karenin alan, Alan=a2 bantsndan,
Alan(EBC) Alan(ABCD)=82=64 cm2
Taral Alan=Alan(ABCD) – Alan(EBC)
=64 – 32=32 cm2
Cevap: 32
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
388
¤¤¦¤Ú¤Ú
Karede Alan
Test / 2
soru 1
6
A
soru 5
D
A
ABCD kare,
ABCD karesinin,
|AD|=6 cm |DE|=|CE|
bir kenar 3ñ2 cm
E
olduuna göre,
olduuna göre,
Alan(AED)
taral bölgenin alan
kaç
cm2
kaç cm2 dir?
dir?
B
A) 18
B) 15
soru 2
|AE|=4 cm |BE|=2 cm
B
C
C) 12
D) 9
A) 6
E) 6
A
ABCD kare,
B) 8
A
D
olduuna göre,
toplam kaç cm2 dir?
B
B) 24
soru 3
B
C
C) 28
A
D) 30
3
E) 32
E
2
D
2
ABCD kare,
|DE|=|DF|=2 cm
F
|AE|=3 cm
A) 9
B) 12
soru 7
ABCD kare,
E
Alan(ABCD)=64 cm2
Alan(BEF) kaç cm2 dir?
soru 4
B
C
C) 17
D)
23
2
A) 4
D
ABCD kare,
ABCD kare,
|AE|=1 cm
8
F
A
taral bölgenin alan
taral bölgenin alan
B
C
C) 28
D) 32
D) 10
E) 16
E) 36
1
E
D
F
|DF|=|CF|=2 cm
olduuna göre,
B) 24
C
2
olduuna göre,
kaç cm2 dir?
C) 8
soru 8
|AE|=|DE|=|CF|
|AB|=8 cm
B) 6
F
E) 6
E
A
E) 18
D
|DE|=|CE|=|CF|
taral bölgenin alan
31
2
D) 15
A
olduuna göre,
B
C
C) 13
olduuna göre,
kaç cm2 dir?
E
taral bölgelerin alanlar
www.kartezyen.com.tr
kaç cm2 dir?
A) 20
E) 12
bir kenar 2ñ6 cm
2
B)
D) 10
C
ABCD karesinin,
4
E
Alan(BEDC)
A) 20
E
C) 9
soru 6
D
olduuna göre,
A) 20
D
2
kaç cm2 dir?
A) 4
B
B) 5
C
C) 6
D) 7
E) 8
389
1–D
2–B
3–B
4–D
5–C
6–B
7–C
8–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡
Test 2 Àö¯ĞĞ¯န
Karede Alan
çözüm
kavrama sorusu
A
DEC dik üçgeninde, Pisagor Bantsndan
D
|DC| |ED|2 |EC|2 4
42 62
2 13 cm
E
ABCD karesinin bir kenarnn uzunluu |DC|=2ò13 cm ise,
alan, Alan=a2 bantsndan
6
Alan(ABCD)=(2ò13)2=52 cm2 dir.
Cevap: 52
B
C
ABCD kare,[ED][EC],|ED|=4 cm,|EC|=6 cm olduuna göre,
Alan(ABCD) kaç cm2 dir bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
A
A
D
E
E
3
3
30°
B
D
30°
B
C
C
3 3
ABCD kare, m(BéCE)=30°, |BE|=3 cm olduuna göre,
BEC 30°– 60°– 90° üçgenidir.
Alan(ABCD) kaç cm2 dir bulunuz.
|BC|=|BE|ñ3=3ñ3 cm (30°– 60°– 90° üçgeni kural)
Karenin bir kenarnn uzunluu |BC|=3ñ3 cm ise, alan
Alan=a2 bantsndan Alan(ABCD)=(3ñ3)2=27 cm2 dir.
Cevap: 27
çözüm
kavrama sorusu
A
D
3
E
9
B
ABCD kare,
[AH] dikmesini çizelim.
[BD] köegen,
ABD ikizkenar dik üçgen
|BE|=9 cm, |DE|=3 cm
olduundan,
olduuna göre,
|AH|=|BH|=|HD|=6 cm olur.
Alan(ABE)
ABE üçgeninde taban
kaç cm2 dir bulunuz.
[BE] ve yükseklik [AH] tr.
A
D
3
E
6
3
H
6
B
C
Alan(ABE) C
Taban x Yükseklik |BE|.| AH|
2
2
9.6
27 cm2
2
Cevap: 27
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
390
¤¤¦¤Ú¤Ú
Karede Alan
Test / 3
soru 1
A
soru 5
D
A
ABCD kare,
ABCD kare,
[EB][EC]
m(EéFC)=30°
|EB|=2ñ3 cm
|BF|=2 cm, |FE|=2ñ3 cm
|EC|=3ñ2 cm
olduuna göre,
olduuna göre,
B
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
B 2
C) 30
soru 2
F
30°
C
3 2
A) 16
E
B) 25
E
2 3
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
C
2 3
A) 20
D
D) 35
B) 25
C) 32
D) 36
E) 45
E) 40
A
soru 6
D
A
D
2 3
2 5
ABCD kare,
ABCD kare,
E
[EA][EB]
E
[BD] köegen,
|EA|=2ñ5 cm, |EB|=3ñ5 cm
|BE|=4ñ3 cm
3 5
|DE|=2ñ3 cm
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
olduuna göre,
B
A) 65
B) 60
soru 3
C
C) 55
D) 50
E) 45
A
D
www.kartezyen.com.tr
olduuna göre,
A) 9
B) 12
E
|AE|= 1 cm, |CE|=7 cm
olduuna göre,
7
olduuna göre,
Alan(ABCD) kaç cm2 dir?
B
B) 28
soru 4
E
C) 32
D) 36
Alan(DEC) kaç cm2 dir?
60°
B
C
E) 40
A
D
A) 12
B) 14
m(BéED)=120°
[BD) köegen,
120°
olduuna göre,
|DC|=3ñ6 cm
|DE| kaç cm2 dir?
olduuna göre,
B) 3ñ3
C
C) 4ñ3
D) 8
E) 6ñ2
D
3 6
E
Alan(FEC) kaç cm2 dir?
A) 6
E) 28
F
|BE|=|EF|=|DF|
B
D) 21
A
ABCD kare,
E
C
C) 18
soru 8
ABCD kare,
Alan(ABCD)=36 cm2
E) 18
D
1
[AC] köegen,
A) 2ñ3
D) 16
A
m(DéEC)=60°
A) 24
C
C) 14
soru 7
ABCD kare,
4 3
B
Alan(ABE) kaç cm2 dir?
ABCD kare,
|DE|=4ñ3 cm
4 3
B) 8
B
C) 9
C
D) 12
E)18
391
1–C
2–A
3–D
4–C
5–B
6–E
7–B
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú¡
Test 2 Àö¯ĞĞ¯န
ÇOKGENLER
Çokgenler
Tanım: Ardk en az üç noktas dorusal olmayan geometrik ekillere “çokgen” denir. Bir çokgenin kenar says ile köelerinin says daima ayndr ve çokgenler kenar saylarna göre adlandrlrlar. Üç kenar olan çokgen üçgen, dört kenar olan çokgen dörtgen, be kenar
olan çokgen begen gibi. Aada verilen ekilleri incelerseniz çokgenlerin adlandrlmalarn daha iyi kavrayabilirsiniz.
A
A
A
B
A
B
F
E
B
B
C
D
C
C
E
C
D
D
Çokgenin köeleri: A, B, C
Çokgenin köeleri: A, B, C, D
Çokgenin köeleri: A, B, C, D, E Çokgenin köeleri: A, B, C, D, E, F
Çokgenin kenarlar: [AB], [AC],
[BC]
Çokgenin kenarlar: [AB], [AD],
[BC], [CD]
Çokgenin kenarlar: [AB], [AE],
[BC], [CD], [DE]
Çokgenin kenarlar: [AB], [AF],
[BC], [CD], [DE], [EF]
Üç kenar olduu için çokgenin Dört kenar olduu için çokgead ÜÇGEN
nin ad DÖRTGEN
Be kenar olduu için çokgenin
ad BEGEN
Alt kenar olduu için çokgenin
ad ALTIGEN
Dışbükey (Konveks) Çokgenler
Bir çokgenin içindeki herhangi iki noktay birletiren tüm doru
parçalar tamamen çokgenin iç bölgesinde kalyorsa bu çokgene “dbükey (konveks) çokgen” denir.
C
B
Yandaki ekillerde [AB] ve [CD] doru parçalar çokgenlerin ta-
A
mamen iç bölgesinde olduu gibi, çizilecek tüm doru parçalar
da çokgenin iç bölgesinde kaldndan ötürü, bu çokgenler dbükey (konveks) tir.
D
İçbükey (Konkav) Çokgenler
Bir çokgenin içindeki herhangi iki noktay birletiren doru parçalarndan en az bir tanesi tamamen çokgenin içinde kalmyorsa
(çokgenin kenarlar ile kesiiyorsa) bu çokgene “içbükey (konkav) çokgen” denir. Yandaki ekillerde [AB] ve [CD] doru parçalar çokgenlerin kenarlar ile kesitiklerinden ötürü, bu çokgenler
içbükey (konkav) tr. Genel olarak geometride dbükey yani konveks çokgenlerle karlaacaksnz. Dolays ile örendiiniz tüm
kurallarda dbükey (konveks) çokgenlerle alakal olacak. imdi
srasyla dbükey (konveks) çokgenlerin özelliklerini inceleyelim.
D
A
C
B
Dışbükey (Konveks) Çokgenlerin Köşe ve Kenarları
Yukarda çokgenlerin köe ve kenar saylarnn daima eit olduunu belirtmitik. Dolaysyla mesela bir yedigenin 7 köesi ve 7 kenar, bir
dokuzgenin 9 köesi ve 9 kenar vardr. Çokgenleri adlandrrken, bu çokgenin köeleri kullanlr. Bununla ilgili olarak aada verdiimiz
ekilleri ve altndaki açklamalar inceleyiniz.
A
A
F
A
A
B
B
E
B
E
D
B
ABC üçgeni
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
C
C
D
ABCDE beþgeni
C
ABCD dörtgeni
392
C
D
ABCDEF altýgeni
¤¤¦¤Ú¤Ú
Çokgenler
Test / 1
soru 1
soru 5
I. Köeleri dorusaldr.
II. Kenar saylar köe saylarndan azdr.
III. Kenar saylar ile köe saylar birbirine eittir.
Çokgenlerle alakal yukarda verilen bilgilerden hangisi veya
hangileri dorudur?
A) I
B) II
soru 2
C) III
D) I, II
A
E) II, III
F
Yukarda verilen çokgenlerden kaç tanesi dbükeydir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
D
B
soru 6
E
Aada ekli verilen çokgenlerden hangisi konkavdr?
C
A)
B)
C)
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
A
soru 3
Yandaki ekli verilen
D)
aadakilerden hangisinde
soru 7
doru verilmitir?
I)
C
A) A, B, C, D ve E
E)
E
B
çokgenin köelerinin adlar
www.kartezyen.com.tr
Yukarda ekli verilen çokgenin kaç tane köesi ve kenar
vardr?
B) (ABCDE)
D) [AC], [BD], [EC]
II)
A
A
F
D
C) [AB], [AC], [BC], [DE]
B
E
E) ABCDE
B
soru 4
A
C
D
ABCDEF altýgeni
C
ABC üçgeni
III)
Yandaki ekli verilen
A
K
B
G
C
F
çokgenin köelerinin adlar
aadakilerden hangisinde
doru verilmitir?
K
A) A, B, K
B) ABK
D) [AB], [AK], [BK]
D
E
ABCDEFGK sekizgeni
B
Yukarda verilen dbükey (konveks) çokgenlerin hangisi
veya hangilerinin isimlendirilmesi doru yaplmtr?
C) (ABK)
A) I
E) [ABK]
B) II
C) III
D) II, III
E) I, II, III
393
1–C
2–D
3–A
4–A
5–C
6–D
7–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú0¡
Test 1 Àö¯ĞĞ¯န
Çokgenler
Dışbükey (Konveks) Çokgende Köşegen
A
n
Altgenin A ve C köelerini birletiren köegen [AC] köegeni
veya [CA] köegeni olarak adlandrlr.
E
þ
kö
en
eg
ge
þe
köþegen
Yandaki ekilde ABCDEF altgenin baz köegenleri gösterilmitir.
kö
B
Bir çokgenin ardk olmayan köelerini birletiren doru parçalarna köegen denir.
F
C
Altgenin A ve D köelerini birletiren köegen [AD] köegeni
veya [DA] köegeni olarak adlandrlr.
D
Altgenin A ve E köelerini birletiren köegen [AE] köegeni
veya [EA] köegeni olarak adlandrlr.
imdi bir dbükey (konveks) çokgenin tüm köelerinin saysnn nasl bulunabileceini adm adm izleyerek örenelim. Burada özellikle
formül ezberlemeyerek meselenin mantn zihninizde oluturmak için çaba göstermelisiniz.
Önce bir dbükey (konveks) çokgenin bir köesinden kaç farkl köegen çizilebileceini görelim.
Uyarı
Herhangi bir çokgenin bir köesinden köegen çizerken
1- Köenin kendisine köegen çizilemeyeceine dikkat ediniz.
2- Köeden kendisine ardk olan köelere köegen çizilemeyeceine dikkat ediniz.
Bu durumlar açklamak için aada verdiimiz ekilleri dikkatle inceleyiniz.
A
A
D
A
B
E
B
B
C
A köþesinden A, B ve D
köþelerine köþegen çizilemez.
F
C
D
A köþesinden A, B ve E
köþelerine köþegen çizilemez.
E
C
D
A köþesinden A, B ve F
köþelerine köþegen çizilemez.
Dikkat ederseniz, tüm dbükey (konveks) çokgenler için herhangi bir köeden çizilen köegen saysnn, bu çokgenin köe saysndan
3 eksik olduunu farkedebilirsiniz. Bunun sebebi ise bir köeden bu köenin kendisine ve buna ardk olan köelere doru köegen
çizilememesidir.
Buna göre, 5 kenarl çokgenin bir köesinden çizilebilen köegen says 5 – 3=2 tanedir.
6 kenarl çokgenin bir köesinden çizilebilen köegen says 6 – 3=3 tanedir.
7 kenarl çokgenin bir köesinden çizilebilen köegen says 7 – 3=4 tanedir.
:
:
:
:
15 kenarl çokgenin bir köesinden çizilebilen köegen says 15 – 3=12 tanedir.
n kenarl çokgenin bir köesinden çizilebilen köegen says n – 3 tanedir.
Sizden genel olarak n kenarl dbükey (konveks) çokgenin bir köesinden çkan köegen saysnn n – 3 olduunu ezberlemeniz beklenir. Ancak formülü ezberlemek yerine yukarda size öretmi olduumuz mant kavramanz bu hususu tam olarak zihninizde oturtabilmeniz için faydal olacaktr.
Yinede öretmi olduumuz mant zihninizde oturtmakta zorlanacak olursanz, sol yanda verdiimiz ekilleri “GÖRSEL OLARAK” aklnza getirmelisiniz.
Gördüünüz gibi begendeki bir köeden çizilen köegen says
2, altgendeki bir köeden çizilen köegen says 3 tür. Yani daima köe saysnn 3 eksii
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
394
¤¤¦¤Ú¤Ú
Çokgenler
Test / 2
soru 1
soru 5
Aada verilen çokgenlerin hangisinin köegeni yoktur?
A)
B)
I. 21 kenarl konveks çokgenin bir köesinden çizilen köegen
says 21 – 3=18 dir.
C)
II. Bir köesinden çkan köegen says 20 olan konveks çokgenin, kenar says 20+3=23 tür.
III. 33 kenarl konveks çokgenin bir köesinden çizilen köegenlerinin says 33 – 3=30 dur.
D)
IV. 15 kenarl konveks çokgenin bir köesinden çizilen köegen
says 15 – 3=12 dir.
E)
V.
Bir köesinden çizilen köegen says 15 olan konveks çokgenin kenar says 15+3=18 dir.
Yukarda konveks (dbükey) çokgenlerle ilgili verilen ifadelerin kaç tanesi dorudur?
A) 1
A
soru 2
Yandaki sekizgen için
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
H
B
G
C
F
hangisi köegen deildir?
D
A) [AD]
B) [DH]
C) [EF]
E
D) [CF]
soru 3
A
E) [BE]
F
www.kartezyen.com.tr
aada verilenlerden
soru 6
17 kenarl konveks bir çokgenin bir köesinden çkan köegen says kaçtr?
A) 23
B) 20
C) 17
D) 14
E) 11
Yanda verilen altgen için
aadaki ifadelerden hangiB
si veya hangileri dorudur?
E
I. A köesinden; A, F, B
soru 7
köelerine doru köegen
çizilemez.
II. D köesinden; D, C, E köelerine doru köegen çizilemez.
C
D
Bir köesinden çkan köegen says 12 olan konveks (dbükey) çokgenin kenar says kaçtr?
III. E köesinden; E, D, F köelerine doru köegen çizilemez.
A) 9
A) I
B) II
C) III
D) I, II
soru 4
B) 12
C) 15
D) 18
E) 21
E) I, II, III
K
Yandaki ekilde verilen
sekizgenin bir ucu
soru 8
K köesinde olan
Bir köesinden çizilen köegen says 135 olan dbükey
(konveks) çokgenin kenar says kaçtr?
kaç tane köegeni vardr?
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
A) 129
B) 132
C) 135
D) 138
E) 141
395
1–A
2–C
3–E
4–D
5–E
6–D
7–C
8–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú0¡
Test 2 Àö¯ĞĞ¯န
Çokgenler
Dışbükey (Konveks) Çokgenin İç Açıları Toplamı
Dbükey (konveks) bir çokgenin iç açlar toplamnn nasl bulunduunu anlayabilmeniz için, öncelikle çokgenin bir köesinden çizilen
köegenlerin bu çokgeni kaç farkl üçgensel bölgeye ayrdn inceleyelim.
A
A
D
F
üç
ge
n
3.
E
n
ge
üç
C
D
Beþgende 2 köþegen
52=3 üçgensel bölge oluþturur.
4.
2. üçgen
B
1. üçgen
E
n
B
C
Dörtgende 1 köþegen
4 2=2 üçgensel bölge oluþturur.
çge
3. ü
gen
2. üçgen
2. üçgen
B
1. ü
ç
1. üçgen
A
C
D
Altýgende 3 köþegen
62=4 üçgensel bölge oluþturur.
Genel olarak tüm dbükey (konveks) çokgenlerde bir köeden çizilen köegenler kenar saysnn 2 eksii kadar üçgensel bölge oluturacaktr. Yani kenar says n olan dbükey çokgenin bir kenarndan çizilen köegenler n – 2 tane üçgensel bölge oluturur. Ancak siz n – 2
yi ezberlemek yerine öncelikle yukarda verdiimiz ekilleri inceleyip görsel hafzanza almalsnz. Gerektiinde bu ekilleri zihninizde
canlandrarak n – 2 bantsn bu ekillerden çartrabilirsiniz.
180°
180°
180°
180°
180°
180°
180°
180°
180°
Dbükey bir çokgenin iç açlar toplamn bulurken yine yukardaki ekilleri zihninizde canlandrmalisiniz. Bir üçgenin iç açlar toplamnn
180° olduunu ve çokgenin bir köesinden çizilen köegenlerin n – 2 tane üçgen oluturduunu bildiimize göre dbükey (konveks)
çokgenin iç açlar toplam (n – 2).180° dir.
Dışbükey (Konveks) Çokgenin Dış Açıları Toplamı
Dbükey (konveks) çokgenin d açlar toplam daima 360° dir.
çözüm
kavrama sorusu
15 kenarl dbükey çokgenin
a) n kenarl dbükey çokgenin iç açlar toplam (n – 2).180° ise
a) ç açlar toplam kaç derecedir,
15 kenarl dbükey çokgenin iç açlar toplam
b) D açlar toplam kaç derecedir, bulunuz.
(15 – 2).180°=2340°
Cevap: 2340°
b) Dbükey çokgenin d açlar toplam daima 360° dir.
Cevap: 360°
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
396
¤¤¦¤Ú¤Ú
Çokgenler
Test / 3
soru 1
soru 5
Aadakilerden hangisi begenin bir köesinden çizilen köegenlerin, begeni ayrd üçgensel bölgeleri göstermez?
A)
B)
ç açlar toplam 17x180° olan konveks çokgenin kenar says
kaçtr?
C)
A) 18
soru 2
14 kenarl dbükey çokgenin, bir köesinden çizilen köegenler bu çokgeni kaç farkl üçgensel bölgeye ayrr?
A) 14
B) 13
C) 12
D) 11
E) 10
soru 3
E) 22
soru 6
Bir köesinden çkan köegen says 12 olan konveks çokgenin
iç açlar toplam k.180° olduuna göre, k kaçtr?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
ç açlar toplam 22x90° olan konveks çokgenin bir köesinden çizilen köegen says kaçtr?
A) 14
B) 36
C) 37
D) 38
B) 13
C) 12
D) 11
E) 10
E) 39
soru 4
soru 8
18 kenarl konveks çokgenin iç açlar toplam kaç tane 180°
lik açya eittir?
A) 16
D) 21
soru 7
Bir köesinden çizilen köegen says 36 olan dbükey çokgenin bir köesinden çizilen köegenler bu çokgeni kaç farkl üçgensel bölgeye ayrr?
A) 35
C) 20
E)
www.kartezyen.com.tr
D)
B) 19
B) 18
C) 24
D) 28
Bir köesinden çkan köegenlerin 24 farkl üçgensel bölge
oluturduu dbükey çokgenin d açlar toplam, kaç dik
açnn ölçüleri toplamna eittir?
E) 32
A) 4
B) 12
C) 24
D) 36
E) 48
397
1–D
2–C
3–C
4–A
5–B
6–D
7–E
8–A
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú0¡
Test 4 Àö¯ĞĞ¯န
Çokgenler
Düzgün Çokgenler
a
B
a
Tüm kenarlarnn uzunluklar, tüm iç açlarnn ölçüleri ve tüm d
açlarnn ölçüleri birbirine eit olan çokgenlere düzgün çokgen
denir.
A
b
a
b
E
b
b
b
C a
Yandaki ekilde verilen düzgün çokgenin iç açlar ile, d açlar ile göstermitir.
a
D
Düzgün Çokgenin İç ve Dış Açılarının Bulunması
n kenarl düzgün çokgenin n tane d açs ve n tane iç açs vardr. Çokgenlerin d açlarnn toplamnn 360° olduunu biliyoruz.
360
360
; bir iç açsnn ölçüsü ise 180°–
dir.
Buna göre, n kenarl düzgün çokgenin bir d açsnn ölçüsü
n
n
120°
60°
72°
108°
60°
72°
108°
60°
72°
108°
120°
120°
60°
120°
120°
60°
60°
60°
108°
120°
108°
120°
72°
Eþkenar üçgende bir dýþ açýnýn
360° 360°
ölçüsü=
=
=120°
n
3
Bir iç açýnýn ölçüsü=180°120°=60°
60°
60°
72°
120°
120°
Düzgün beþgende bir dýþ açýnýn
360° 360°
ölçüsü=
=
=72°
n
5
Bir iç açýnýn ölçüsü=180°72°=108°
Düzgün altýgende bir dýþ açýnýn
360° 360°
ölçüsü=
=
=60°
n
6
Bir iç açýnýn ölçüsü=180°60°=120°
çözüm
kavrama sorusu
Düzgün sekizgenin bir iç açsnn ölçüsü kaç derecedir, bulunuz.
Öncelikle sekizgenin bir d açsnn ölçüsünü bulmal, sonrasnda iç açsn bulmalsnz.
360 360
72
Bir d açnn ölçüsü=
n
5
Bir iç açnn ölçüsü=180° – 45°=135° dir.
Cevap: 135°
çözüm
kavrama sorusu
A
F
A
120°
30°
F
30°
B
E
C
B
D
E
C
D
360 360
60
n
6
Düzgün altgenin bir iç açsnn ölçüsü=180° – 60°=120° dir.
ABCDEF düzgün altgen olduuna göre, m(AéBF) kaç derece-
Düzgün altgenin bir d açsnn ölçüsü=
dir, bulunuz.
Buna göre, m(BéAF)=120° dir. |AB|=|AF| olduundan
ABF ikizkenar üçgen ve m(AéBF)=m(AéFB) dir.
ABF üçgende iç açlar toplam 180° olduundan
m(BéAF)+m(AéFB)+m(AéBF)=180°
120°+m(AéFB)+m(AéBF)=180° ise m(AéFB)=m(AéBF)=30° dir.
Cevap: 30°
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
398
¤¤¦¤Ú¤Ú
Çokgenler
Test / 4
soru 1
soru 5
Düzgün onikigen için aada verilen bilgilerden hangisi
veya hangileri dorudur?
360
30 dir.
I. Bir d açsnn ölçüsü
12
II. Bir iç açsnn ölçüsü 180° – 30°=150° dir.
A
ABCDE düzgün begen
B
olduuna göre,
E
m(EéCD) kaç derecedir?
III. ç açlar toplam 150° . 12=1800° dir.
A) I
B) II
C) I, II
C
D) II, III
E) I, II, III
A) 24
soru 2
B) 36
C) 40
A
B) 150
C) 145
D) 138
F
olduuna göre,
B
E
E) 130
www.kartezyen.com.tr
C
soru 3
Düzgün begenin bir d açsnn ölçüsü, düzgün altgenin
bir d açsnn ölçüsünden kaç derece fazladr?
A) 24
B) 28
B) 6
C) 10
D) 12
E) 15
D) 36
soru 7
B
A
C, D, K dorusal
D
40°
olduuna göre,
A) 12
K
B) 11
E
C) 10
D) 9
soru 8
Aada verilen bilgilerden hangisi yanltr?
E) 40
C
ABCDE.... düzgün çokgen
çokgen kaç kenarldr?
soru 4
D
C) 30
m(EéDK)=40°
A) 5
E) 60
ABCDEF düzgün altgen
m(EéAF) kaç derecedir?
A) 156
D) 45
soru 6
15 kenarl düzgün çokgenin bir iç açsnn ölçüsü kaç derecedir?
D
B
E) 8
A
C
ABCDE.... düzgün çokgen
D
m(BéCD)=165°
165°
E
A) 10 kenarl düzgün çokgenin bir d açs 36° dir.
olduuna göre,
B) 15 kenarl düzgün çokgenin bir d açs 24° dir.
çokgen kaç kenarldr?
C) Bir d açs 15° olan düzgün çokgen 24 kenarldr.
D) Bir iç açs 170° olan düzgün çokgen 36 kenarldr.
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
E) 24
E) Bir iç açs 160° olan düzgün çokgen 20 kenarldr.
399
1–E
2–A
3–D
4–E
5–B
6–C
7–D
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú0¡
Test 5 Àö¯ĞĞ¯န
Çokgenler
çözüm
kavrama sorusu
A
A
36°
B
E
B
E
108°
36°
C
D
72°
C
D
360 360
72
n
5
ise bir iç açnn ölçüsü 180° – 72°=108° dir.
ABCDE düzgün begen olduuna göre, m(AéCD) kaç derecedir, bulunuz.
Düzgün begenin bir d açnn ölçüsü=
AéBC iç açs ise m(AéBC)=108° dir.
|BA|=|BC| ise m(BéAC)=m(BéCA)=36° dir.
Düzgün çokgende bir iç açnn ölçüsünü bulabilmek için önce d açsn bulduumuzu unutmaynz.
BéCD begenin iç açs ise m(BéCD)=108° dir.
m(AéCD)=m(BéCD) – m(BéCA)= 108° – 36°=72° dir.
Cevap: 72°
çözüm
kavrama sorusu
ABCDE düzgün begen
A
olduuna göre,
B
E
Düzgün begenin
A
bir iç açs 108°
36° 36°
36°
m(CéAD) kaç derecedir,
B
bulunuz.
108°
108°
E
ABC ve AED
ikizkenar üçgenler
olduuna göre,
C
D
36°
36°
C
D
m(AéCB)=m(BéAC)=m(EéAD)=m(AéDE)=36°
Uyarı
m(BéAE)=108° {Begenin iç açs} ise
m(CéAD)=108° – 36° – 36°=36° dir.
Tüm düzgün begende aç sorularnda daima ayn admlar
takip ettiimize dikkat ediniz.
Cevap: 36°
1. adm: D açlarn ölçüsü bulunur.
2. adm: ç açlarn ölçüsü bulunur.
3. adm: ekildeki ikizkenar üçgenlerden faydalanarak dier
açlar bulunur.
çözüm
kavrama sorusu
A
Düzgün begenin
A
bir iç açs 108°
36°
B
E
B
E
36°
108°
F
F
ABC ve BCD
ikizkenar üçgen
olduuna göre,
36°
C
D
C
36°
D
ABCDE düzgün begen [AC] ve [BD] köegen olduuna göre,
m(BéAC)=m(AéCB)=m(CéBD)=m(CéDB)=36°
m(BéFC) kaç derecedir, bulunuz.
BFC üçgeninde iç açlar toplamndan
m(BéFC)+m(CéBF)+m(FéCB)=180°
m(BéFC)+36°+36°=180° ise m(BéFC)=108°
Cevap: 108°
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
400
¤¤¦¤Ú¤Ú
Çokgenler
Test / 5
soru 1
A
soru 5
F
A
ABCDEF düzgün altgen
ABCDEFGK
olduuna göre,
düzgün sekizgen
B
m(AéCD) kaç derecedir?
E
olduuna göre,
m(AéBD) kaç derecedir?
C
A) 60
B) 75
C) 90
soru 2
A
A) 112,5
E) 120
B) 115
düzgün sekizgen
B
E
C) 118
olduuna göre,
m(BéDF) kaç derecedir?
soru 3
D) 60
A
F
A) 60
B) 75
[EC], [DF] köegen
düzgün sekizgen
olduuna göre,
B
E
K
C
B) 40
C) 50
soru 4
D) 55
E) 60
B) 25
ABCDEFGK
olduuna göre,
düzgün sekizgen
E
A) 45
B) 60
C) 65
C) 30
olduuna göre,
E) 75
A) 60
B) 75
C) 90
F
E
D) 35
E) 45
K
B
G
C
F
D
D
D) 70
T
D
m(KéCD) kaç derecedir?
C
G
A
ABCDEF düzgün altgen
B
K
C
soru 8
F
E) 100
B
[EG], [DF] köegen
A) 20
E
D) 90
m(DéTE) kaç derecedir?
D
A
m(BéCF) kaç derecedir?
F
C) 80
olduuna göre,
m(DéKC) kaç derecedir?
A) 30
C
A
ABCDEFGK
K
G
soru 7
ABCDEF düzgün altgen
E) 122,5
B
D
E) 70
E
D) 120
D
www.kartezyen.com.tr
C
C) 50
F
A
ABCDEFGK
B) 40
C
soru 6
F
olduuna göre,
A) 30
G
D
ABCDEF düzgün altgen
m(EéAC) kaç derecedir?
B
D
D) 105
K
D) 100
E
E) 120
401
1–C
2–D
3–E
4–B
5–A
6–D
7–E
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú0¡
Test 6 Àö¯ĞĞ¯န
Çokgenler
çözüm
kavrama sorusu
A
F
K
G
B
E
A
F
K
G
B
75°75°
E
30°
C
D
C
D
ABCDEF düzgün altgen CDGK kare olduuna göre,
[CD] hem karenin hem de düzgün altgenin ortak kenar olduu-
m(DéEG) kaç derecedir, bulunuz.
na göre, kare ve altgenin tüm kenar uzunluklar eittir.
Buna göre, DEG ikizkenar üçgendir.
Düzgün altgenin bir d açnn ölçüsü=
360
60 ise
6
Bir iç açnn ölçüsü m(CéDE)=180° – 60°=120°
Karenin iç açlar 90° olduundan m(EéDG)=120° – 90°=30°
Uyarı
DEG ikizkenar üçgen olduuna göre,
DEG üçgeninde iç açlar toplamndan
[CD] kenarnn hem karenin, hem de altgenin kenar olduuna dikkat etmelisiniz.
m(EéDG)+m(DéEG)+m(DéGE)=180°
30°+m(DéEG)+m(DéGE)=180°
m(DéEG)=m(DéGE)=75°
Cevap: 75°
çözüm
kavrama sorusu
K
A
G
B
F
C
D
K
A
G
B
T
P
C
E
135°
D
a
L
E
F
T
P
150°
L
ABCDEFGK düzgün sekizgen PTFEL.... düzgün onikigen
Düzgün sekizgenin bir d açnn ölçüsü=
olduuna göre, m(DéEL)= kaç derecedir, bulunuz.
360
45
8
Düzgün sekizgenin bir iç açnn ölçüsü=m(DéEF)=180° – 45°=135°
Düzgün onikigenin bir d açnn ölçüsü=
360
30
12
Düzgün onikigenin bir iç açnn ölçüsü=m(FéEL)=180° – 30°=150°
m(DéEL)+135°+150°=360° ise m(DéEL)=360° – 135° – 150=75°
Cevap: 75°
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
402
¤¤¦¤Ú¤Ú
Çokgenler
Test / 6
soru 1
soru 5
A
a
ABCDE düzgün begen
ekilde birer kenarlar ortak
B
BCF ekenar üçgen
E
F
olan düzgün sekizgen ve
olduuna göre,
altgen verilmitir.
m(DéFC) kaç derecedir?
Buna göre, kaç derecedir?
C
A) 66
B) 68
C) 70
D
D) 72
E) 74
A) 105
C) 115
soru 6
A
soru 2
B) 110
D) 120
E) 125
A
K
B
L
ekilde [CD]
ABCDE düzgün begen
B
AKLE kare
E
kenarlar ortak olan
K
olduuna göre,
C
düzgün ongen ve onikigen
D
verilmitir.
m(KéBC) kaç derecedir?
L
C
a
Buna göre, m(FéDE)=
D
F
E
A) 23
B) 25
C) 27
D) 30
soru 3
A
E) 35
K
N
ekilde içiçe
B
G
düzgün sekizgen ve
C
Buna göre,
F
L
m(DéCL) kaç derecedir?
D
A) 70
B) 66
C) 62
D) 60
A
B
F
ekilde [CD]
C
düzgün sekizgen ve onikigen
D
verilmitir.
Buna göre, m(DéEK)
E
K
E
kaç derecedir?
A) 35
B) 32
C) 30
D) 28
E) 54
soru 7
kenarlar ortak olan
M
begen verilmitir.
www.kartezyen.com.tr
kaç derecedir?
E) 27
A) 45
B) 50
C) 50,5
D) 52,5
E) 55
soru 8
soru 4
Birer kenarlar ortak ve iç bölgeleri ayrk olan düzgün begen ve düzgün onikigenin, ortak kenarlarna ardk olan kenarlar arasnda kalan açnn ölçüsü kaç derecedir?
a
ekilde birer kenarlar ortak olan içiçe düzgün altgen ve onikigen verilmitir.
A) 102
B) 98
C) 86
D) 54
E) 42
Buna göre, kaç derecedir?
A) 20
B) 25
C) 28
D) 30
E) 40
403
1–A
2–C
3–E
4–D
5–A
6–B
7–D
8–A
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú0¡
Test 6 Àö¯ĞĞ¯န
Çokgenler
çözüm
kavrama sorusu
B
A
B
C
156°
12°
D
D
|CB|=|CD| olduundan
A
C
m(CéBD)=m(CéDB)=12°
12°
CBD üçgeninde iç açlar
toplam 180° dir.
12°
m(BéCD)+12°+12°=180°
E
E
ise m(BéCD)=156°
ABCDE düzgün çokgen m(CéBD)=12° olduuna göre,
Düzgün çokgenin bir iç açsnn ölçüsü m(BéCD)=156° ise,
çokgenin kenar says kaçtr, bulunuz.
bir d açsnn ölçüsü 180° – 156°=24° dir. Düzgün çokgenin
360
360
15
bantsndan n kenar says n 24
Cevap: 15
çözüm
kavrama sorusu
K 120°
K 120°
C
D
C
D
E
A
F
a=30°
E
B
B
A
F
Çokgenin bir d açsnn ölçüsü olsun. Bu durumda
ABCDEF.... düzgün çokgen m(EéKB)=120° olduuna göre,
m(KéDC)=m(KéCD)= dr. {Düzgün çokgenin d açlar}
çokgenin kenar says kaçtr, bulunuz.
KDC üçgeninde iç açlar toplam 180° olduundan
m(DéKC)+m(KéDC)+m(KéCD)=180°
120°++=180° ise =30°
Düzgün çokgenin bir d açs 30° ise kenar says
360
360
12 olur.
n
bantsndan n 30
Cevap: 12
çözüm
kavrama sorusu
Düzgün çokgenin bir d açs ise bir iç açsnn ölçüsü 180°– dr.
L
m(LéFM)=m(LéCM)=m(DéEM)=m(EéDM)= {Çokgenin d açlar}
60°
m(GéFM)=m(DéEF)=m(EéDC)=m(BéCD)=180°–{Çokgenin iç açlar}
E
F
D
G
toplam 180° dir.
60° 180° 2a
B
a
K
MED üçgeninde iç açlar
L
C
A
F
ABCDEFGK düzgün çokgen m(BéLG)=60° olduuna göre,
G
çokgenin kenar says kaçtr, bulunuz.
K
aMa
E
D
180° a
180° a
m(DéME)++=180° ise
a
m(DéME)=180° – 2
C
180° a
LFMC dörtgeninde
B
A
m(CéMF)=m(FéLC)+m(LéFM)+m(LéCM)
180° – 2=60°++ ise =30°
Düzgün çokgenin bir d açs 30° ise, kenar says
360
360
n
bantsndan n 12 dir.
30
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
404
Cevap: 12
¤¤¦¤Ú¤Ú
Çokgenler
Test / 7
soru 1
B
soru 5
A
C
A
160°
F
D
E
B
D
C
K 150°
ABCD.... düzgün çokgen m(BéCD)=160° olduuna göre,
ABCDEF.... düzgün çokgen m(BéKE)=150° olduuna göre,
çokgenin kenar says kaçtr?
çokgenin kenar says kaçtr?
A) 12
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
A) 26
soru 2
C
C) 22
D) 20
soru 6
K
A
B
B) 24
A
B
ABCDE.... düzgün çokgen
18°
E) 18
m(BéKE)=9.m(CéDK)
D
C
olduuna göre,
E
K
çokgenin kenar
D
ABCDE.... düzgün çokgen C, B, K dorusal m(AéBK)=18°
olduuna göre, çokgenin kenar says kaçtr?
A) 14
B) 15
C) 16
D) 18
soru 3
E) 20
A
B
C
ABCDE.... düzgün çokgen
m(BéDC)=18°
A) 18
B) 20
C) 22
D) 24
E
A
D
B
olduuna göre,
C
çokgenin kenar
E
says kaçtr?
B) 12
soru 4
C) 14
B
A
72°
says kaçtr?
D) 18
E) 20
A) 10
K
B) 13
soru 8
C
C) 15
K
D
150°
E) 26
soru 7
m(AéKE)=72°
çokgenin kenar
A) 10
E
ABCDE.... düzgün çokgen
18°
D
olduuna göre,
www.kartezyen.com.tr
says kaçtr?
D) 18
B
E) 20
A
C
E
D
E
ABCDE.... düzgün çokgen m(AéBD)=150° olduuna göre,
çokgenin kenar says kaçtr?
ABCDE.... düzgün çokgen, çokgenin kenar says 18
A) 18
B) 17
C) 16
D) 15
E) 12
olduuna göre, m(AéKE) kaç derecedir?
A) 135
B) 120
C) 110
D) 100
E) 90
405
1–D
2–E
3–A
4–A
5–B
6–C
7–A
8–B
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú0¡
Test 7 Àö¯ĞĞ¯န
Çokgenler
Çokgenlerde Uzunluk
Bir çokgenin tüm kenarlarnn uzunluklar toplam bu çokgenin çevresini verir.
çözüm
kavrama sorusu
Bir kenarnn uzunluu 17 cm olan düzgün dokuzgenin çevresi kaç cm dir, bulunuz.
Düzgün dokuzgenin bir kenar 17 cm olduuna göre, çevresi
Çevre=17+17+17+....+17=17.9=153 cm dir.
9 tane
Cevap: 153
çözüm
kavrama sorusu
Bir d açsnn ölçüsü olan düzgün çokgenin kenar says
360
360
n
24
bantsndan n 15
Çokgenin çevresi, 24 tane kenar olduundan
Çevre=8+8+8+....+8=8.24=192 cm dir.
Bir d açsnn ölçüsü 15° olan düzgün çokgenin bir kenar 8
cm olduuna göre, bu çokgenin çevresi kaç cm dir, bulunuz.
24 tane
Cevap: 192
Çokgenlerde Simetri Ekseni
Bir cismi birbirine e iki parçaya ayran çizgiye simetri ekseni denir. Düzgün çokgenler için simetri eksenini incelediimizde unlar
görürüz.
1- Kenar says tek say olan (3, 5, 7, 9 gibi) düzgün çokgenlerin simetri eksenleri tek çeittir. Bu tür çokgenlerin simetri eksenleri herhangibir köedeki açnn açortay olup, bu köenin karsndaki kenar ise iki eit parçaya ayrr ve bu kenara diktir. Aada ekenar üçgen
ve düzgün begenin simetri eksenleri tek tek gösterilmitir. Lütfen dikkatle inceleyiniz.
A
A
A
Ekenar üçgenin üç tane farkl simetri ekseni vardr.
Tümü yandaki ekillerde gösterilmitir.
Düzgün begenin be tane farkl simetri ekseni vardr. Bunlarn tümü aadaki ekillerde ayr ayr gösterilmitir.
B
C
B
C
A
B
C
A
B
E
C
A
E
B
D
C
D
A
E
B
C
A
E
B
D
C
E
B
D
C
D
2- Kenar says çift say olan (4, 6, 8, 10 gibi) düzgün çokgenlerin simetri eksenleri iki çeittir. Bunlar ya karlkl iki köenin açortaydr
veya karlkl iki kenar iki eit parçaya bölen dikmelerdir. Bununla ilgili olarak aada verdiimiz düzgün altgen ekillerini dikkatle inceleyiniz.
A
F
B
A
F
EB
C
D
A
F
E B
C
D
A
F
E B
C
D
A
F
E B
C
D
A
F
E B
C
D
E
C
D
Düzgün altgeninde simetri eksenleri yukarda gördüünüz gibi alt tanedir. Her düzgün çokgenin kenar says kadar simetri ekseni olduuna dikkat ediniz.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
406
¤¤¦¤Ú¤Ú
Çokgenler
Test / 8
soru 1
soru 5
Bir kenarnn uzunluu 23 cm olan 15 kenarl düzgün çokge-
I. Düzgün begenin 5 farkl simetri ekseni vardr.
nin çevresi kaç cm dir?
A) 350
B) 345
II. Düzgün altgenin 6 farkl simetri ekseni vardr.
C) 280
D) 230
III. Düzgün yedigenin 7 farkl simetri ekseni vardr.
E) 224
IV. Düzgün sekizgenin 8 farkl simetri ekseni vardr.
V.
Düzgün dokuzgenin 9 farkl simetri ekseni vardr.
Yukarda verilen bilgilerden kaç tanesi dorudur?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
soru 2
soru 6
Bir d açs 12° olan düzgün çokgenin bir kenar 7 cm olduuna
göre, çevresi kaç cm dir?
Aada verilen ekillerin hangisinin 4 farkl simetri ekseni
A) 84
B) 156
C) 168
D) 184
vardr?
E) 210
A) Ekenar üçgen
B) Kare
soru 3
F
C
24°
B
9
www.kartezyen.com.tr
D) Düzgün altgen
A
D
C) Düzgün begen
E) Düzgün sekizgen
soru 7
Aada verilen düzgün çokgenlerin hangisinde simetri ekseni yanl gösterilmitir?
A)
B)
E
ABCDE.... düzgün çokgen A, B, F dorusal m(CéBF)=24°
|AB|=9 cm olduuna göre, çokgenin çevresi kaç cm dir?
A) 135
B) 230
soru 4
C) 280
C
D
D) 360
B
4
162°
Eþkenar üçgen
E) 380
Kare
C)
D)
Düzgün beþgen
A
Düzgün altýgen
E)
E
ABCDE.... düzgün çokgen, m(BéCD)=162°, |AB|=4 cm
olduuna göre, çokgenin çevresi kaç cm dir?
A) 60
B) 68
C) 72
D) 80
Düzgün sekizgen
E) 88
407
1–B
2–E
3–A
4–D
5–E
6–B
7–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú0¡
Test 7 Àö¯ĞĞ¯န
Çokgenler
Düzgün Beşgen
A
A
108°
B
108°
108°
108°
E
B
E
108°
C
D
C
Kenar says 5 olan düzgün çokgenlerdir.
H
D
Kenar says tek say olan çokgenlerin simetri eksenlerinin bir
köenin açortay olduunu ve kardaki kenar iki eit parçaya
ayrdn söylemitik. ekilde [AH] dikmesi düzgün begenin
5 farkl simetri ekseninden birisidir.
360
360
72 dir.
Bir d açsnn ölçüsü bantsndan
n
5
Bir iç açsnn ölçüsü 180° – 72°=108° dir.
çözüm
kavrama sorusu
3
A
5
L
K
B
3
[AF] [CD] ise
A
E
[AF] düzgün begenin
5
L
K
B
E
simetri eksenidir ve
m(BéAF)=m(EéAF) olur.
ALE üçgeninde
[AK] açortay ise
C
F
D
C
ABCDE düzgün begen E, K, L dorusal [AF] [CD]
F
D
ALE üçgeninde iç açortay bantsndan
|AL|=3 cm, |AE|=5 cm olduuna göre,
|KL |
oran kaçtr, bulunuz.
|KE|
| AL | |KL | 3
tir.
| AE| |KE| 5
Cevap:
3
5
Düzgün begenin kendisine has bir özellii, hangi köegenini çizerseniz çizin çokgen içinde oluan tüm üçgenler ikizkenar üçgendir.
Bununla ilgili olarak aada verdiimiz kavrama sorusunu dikkatle inceleyiniz.
çözüm
kavrama sorusu
A
ekildeki açlar yazdnzda
A
36°
4
B
E
4
B
F
72°
F
72°
C
D
C
36°
72°
tüm üçgenlerin ikizkenar
4
72°
E
36°
4
olduklarn görebilirsiniz.
AFE ikizkenar üçgeninde
|AE|=|AF| ise |AE|=4 cm
36°
D
ABCDE düzgün begen [AD] ve [CE] köegen, |AF|=4 cm
Düzgün begenin tüm kenar uzunluklar eit olduundan
olduuna göre, düzgün begenin çevresi kaç cm dir, bulunuz.
|AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|AE|=4 cm dir.
Çevre(ABCDE)=4+4+4+4+4=5.4=20 cm
Cevap: 20
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
408
¤¤¦¤Ú¤Ú
Çokgenler
Test / 9
soru 1
soru 5
A
F
ABCDE düzgün begen
[AK][EF]={G}
E
|AF|=7 cm
|AF|=|BF|
olduuna göre,
1
A)
2
1
B)
3
C
|BF| kaç cm dir?
D
K
A) 10
2
C)
3
3
D)
5
soru 2
E
C) 8
D) 7
E) 6
A
F
2
C
C)
7
5
soru 3
5
2
|AF|+|CD|
E)
7
4
ABCDE düzgün begen
[BF] [DE]
E
K
|BK|2+|AK|2=25
düzgün begenin
C
A) 18
B) 21
C) 24
soru 7
ABCDE düzgün begen
B
[AC], [AD] ve [BE] köegen
2x5
C
düzgün begenin
E
G
F
x+3
olduuna göre,
D
E) 30
A
|DG|=2x – 5 cm
çevresi kaç cm dir?
D
D) 27
|CF|=x+3 cm
F
olduuna göre,
C
toplam kaç cm dir?
A
B
F
9
olduuna göre,
D
D)
E
|CF|=9 cm
K
www.kartezyen.com.tr
|FC|=2 cm
olduuna göre,
| AG|
oran kaçtr?
|FG|
B
[AD] ve [CE] köegen
G
5
|BF|=5 cm
7
3
B) 9
D
ABCDE düzgün begen
B
B)
C
soru 6
A
[BK] [DE]
5
3
E
F
2
E)
5
ABCDE düzgün begen
A)
B
[AC] ve [BE] köegen
|CK|=|KD|
olduuna göre,
|FG|
oran kaçtr?
|FE|
7
ABCDE düzgün begen
G
B
A
D
çevresi kaç cm dir?
A) 25
B) 30
C) 15ñ3
D) 5ò17
E) 5ò34
A) 60
soru 4
F
ABCDE düzgün begen
B
E) 40
A
B
[AC], [AD] ve [BE] köegen
F
E
G
|AF|=3x – 7 cm
G
|GE|=x+9 cm
|CK|=6 cm
olduuna göre,
C
düzgün begenin
6
K
olduuna göre,
D
B) 40
C
|BF|+|AG|
D
toplam kaç cm dir?
çevresi kaç cm dir?
A) 35
D) 45
ABCDE düzgün begen
E
2|BG|=3|GK|
C) 50
soru 8
A
|AF|=|FE|
B) 55
C) 45
D) 48
E) 54
A) 42
B) 40
C) 38
D) 36
E) 34
409
1–B
2–C
3–A
4 –C
5–D
6 –A
7–B
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú0¡
Test 8 Àö¯ĞĞ¯န
Çokgenler
Düzgün Altıgen
Düzgün altgenin tüm d açlarnn 60° ve tüm iç açlarnn 120° olduunu daha önce örenmitik. Dolays ile düzgün altgende uzunluk
sorular genel olarak özel üçgen sorusudur. Aada verilen ekilleri dikkatle inceleyerek, köegenlerin çizilmesi sonucu oluan açlar
ve bunlarn nasl olutuklarn anlamaya çalmalsnz. Bunu yapacak olursanz düzgün altgen konusunu daha rahat kavrayabilirsiniz.
120°
120°
60°
30°
120
120°
60°
30°
120°
°
120°
30°
120°
60°
60°
60°
çözüm
kavrama sorusu
A
F
A
|DC|=|DE|=7 cm dir.
F
m(CéDE)=120° ve
|DC|=|DE| ise
E
B
E m(DéCE)=m(DéEC)=30°
B
30°
7ñ3
C
7
D
C
120°
30°
7
DCE 120°–30°–30°
7
üçgeni olduundan
D
|CE|=|DC|.ñ3=|DE|ñ3=7ñ3 cm dir.
ABCDEF düzgün altgen, |DC|=7 cm olduuna göre,
Cevap: 7ñ3
|CE| kaç cm dir, bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
A
F
A
B
E
4
E
G
B
m(DéFE)=m(EéDF)=30° dir.
4ñ3
0°
G
4
30°
12
4
DEF ikizkenar üçgeninden
F
30°
30°
FAE ikizkenar üçgeninden
m(FéAE)=m(FéEA)=30° dir.
Bu durumda
30°
C
D
C
D
m(EéFG)=m(FéEG)=30°
olduundan GFE
120° – 30° – 30° üçgenidir.
ABCDEF düzgün altgen, [AE] ve [DF] köegen, |FG|=4 cm
|GF|=|GE|=4 cm ve |FE|=|GF|.ñ3=|GE|ñ3=4ñ3 cm
olduuna göre, |EF| kaç cm dir, bulunuz.
Cevap: 4ñ3
çözüm
kavrama sorusu
A
F
A
F
[AC] köegenini çizelim.
ABC üçgeni
30°30°
B
E
120° – 30° – 30° üçgenidir.
14
B
E ACD üçgeni
30° – 60° – 90° üçgenidir.
30°
|CD|=7 cm ise
60°
C
D
C
7
D
|AD|=2|CD|
{30° – 60° – 90° üçgeni kural}
ABCDEF düzgün altgeninin bir kenar 7 cm olduuna göre,
|AD|=2.7=14 cm dir.
|AD| kaç cm dir, bulunuz.
Cevap: 14
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
410
¤¤¦¤Ú¤Ú
Çokgenler
Test / 10
soru 1
A
soru 5
F
5
ABCDEF düzgün altgen
|AB|=5 cm
A
ABCDEF düzgün altgen
[AC] ve [BF] köegen
E
B
olduuna göre,
|AK|=2ñ2 cm
|BF| kaç cm dir?
olduuna göre,
C
A) 5ñ2
B) 5ñ3
C) 10
soru 2
D) 12
E) 15
A) 9
B) 6ñ3
[AC] ve [BD] köegen
E
B
|AF|=9 cm
altgenin çevresi kaç cm dir?
olduuna göre,
C) 18ñ3
D) 4ñ3
D) 21
B
|AK| kaç cm dir?
D
E) 24
soru 3
Bir kenarnn uzunluu 4 cm olan düzgün altgenin en ksa
köegen uzunluu kaç cm dir?
www.kartezyen.com.tr
B) 12ñ3
C) 3ñ6
D
A
olduuna göre,
A) 18
E
9
E) 2ñ6
F
ABCDEF düzgün altgen
9
C
K
C
soru 6
F
ABCDEF düzgün altgen
B
|AB| kaç cm dir?
D
A
|AE|=9 cm
F
A) 12
E
K
C
B) 9ñ3
C) 9
D
D) 6ñ3
soru 7
A
E) 6ñ6
F
ABCDEF düzgün altgen
|DE|=5 cm
E
B
olduuna göre,
A) 4
B) 4ñ3
C) 6
D) 8
E) 6ñ3
5
|CF| kaç cm dir?
C
A) 5ñ2
soru 4
A
B) 5ñ3
soru 8
F
D) 3ñ5
A
E) 6ñ5
F
ABCDEF düzgün
ABCDEF düzgün
altgeninin çevresi 72 cm
E
B
altgeninin bir kenar 5 cm
olduuna göre,
olduuna göre,
|AC|+|BD|
|AD|+|CF|
toplam kaç cm dir?
A) 36
C) 10
D
B) 28
C
C) 18ñ3
D) 24ñ3
toplam kaç cm dir?
D
E) 24
A) 15
E
B
C
B) 20
C) 25
D
D) 30
E) 35
411
1–B
2–C
3–B
4 –D
5–E
6 –D
7–C
8–B
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú0¡
Test 9 Àö¯ĞĞ¯န
Çokgenler
çözüm
kavrama sorusu
F
A
5
E
B
|BA|=|BC|=5 cm ise
B 120°
|AC|=|BA|ñ3=|BC|ñ3
ACK dik üçgeninde pisagor
bantsndan
°
C 3
K 2D
=5ñ3 cm
E
5ñ3
30
5
ABC 120° – 30° – 30° üçgenidir.
F
30°
A
C 3
K 2D
|AK|2=|AC|2+|CK|2
|AK|2=(5ñ3)2+32=75+9=84
ABCDEF düzgün altgen, |CK|=3 cm, |KD|=2 cm
|AK|=ò84=2ò21 cm
olduuna göre, |AK| kaç cm dir, bulunuz.
Cevap: 2ò21
çözüm
kavrama sorusu
F
A
|BA|=|BC|=3 cm ise
30
3
ABC 120° – 30° – 30° üçgenidir.
F
°
A
B
E
|AC|=|BA|ñ3=|BC|ñ3
B 120° 3ñ3
=3ñ3 cm
E
{120° – 30° – 30° üçgeni kural}
30
3
3
D
2
K
°
C
ACK dik üçgeninde pisagor
C
3
D
2
K bantsndan
ABCDEF düzgün altgen [AK][CK]={K} , |CD|=3 cm
|AK|2=|AC|2+|CK|2
|DK|=2 cm olduuna göre, |AK| kaç cm dir, bulunuz.
|AK|2=(3ñ3)2+52=27+25=52
|AK|=ò52=2ò13 cm
Cevap: 2ò13
çözüm
kavrama sorusu
A
F
B
A
E
C
4
F
B
D 2 G
4ñ3
C
4
E
D 2 G
ABCDEF düzgün altgen, C, D, G dorusal |CD|=4 cm
[FD] köegenini çizelim. m(FéDG)=90° dir.
|DG|=2 cm olduuna göre, |FG| kaç cm dir, bulunuz.
EFD 120° – 30° – 30° üçgenidir.
|EF|=|ED|=|CD|=4 cm {düzgün altgenin kenarlar}
|FD|=|EF|ñ3=4ñ3 cm {120° – 30° – 30° üçgeni kural}
FDG dik üçgeninde pisagor bantsndan
|FG|2=|FD|2+|DG|2
|FG|2=(4ñ3)2+22=48+4=52
|FG|=ò52=2ò13 cm
Cevap: 2ò13
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
412
¤¤¦¤Ú¤Ú
Çokgenler
Test / 11
soru 1
A
soru 5
F
ABCDEF düzgün altgen
A
[AK][CK]={K}
E
B
|AF|=|FK|=2ñ2 cm
olduuna göre,
olduuna göre,
|FG| kaç cm dir?
C 1G
C) 7ñ3
soru 2
4
E) ò91
D) 6ñ7
A) 2ò14
C
B) 6ñ6
D
C) 5ñ6
soru 6
D) 4ñ3
A
E) 3ñ7
F
ABCDEF düzgün altgen
ABCDEF düzgün altgen
|AK|=|KF|=3 cm
B
|CD|=3 cm
E
B
olduuna göre,
|DK|=1 cm
|DK| kaç cm dir?
olduuna göre,
C) 3ò13
soru 3
|KF| kaç cm dir?
D
D) 5ñ2
A
E) 7ñ3
F
1
G
ABCDEF düzgün altgen
|FG|=1 cm
B
E
|DE|=3 cm
www.kartezyen.com.tr
C
B) 9ñ5
K
E
|CK| kaç cm dir?
D
A 3 K 3 F
A) 9ñ3
2ñ2
B
|GD|=4 cm
B) 9ñ2
F
ABCDEF düzgün altgen
|CG|=1 cm
A) 5ñ6
2ñ2
A) 3ñ6
E
3
C
B) 2ñ7
C) 2ñ5
soru 7
D1 K
E) ò14
D) 3ñ2
A
F
ABCDEF düzgün altgen
K, C, D dorusal
B
E
|KC|=2 cm
3
olduuna göre,
|CG| kaç cm dir?
C
|CD|=4 cm
olduuna göre,
D
K 2 C
4
D
|AK| kaç cm dir?
A) 3ñ3
B) 3ñ5
D) ò31
C) 4ñ2
E) 6
A) 5ñ2
soru 4
A
B) 4ñ5
C) 6ñ3
D) 2ò13
soru 8
F
ABCDEF düzgün altgen
E) 2ò15
G1 F
A
5
ABCDEF düzgün altgen
[AK][CK]={K}
B
E
|CK|=|GF|=1 cm
|CD|=4 cm
|EF|=5 cm
|DK|=2 cm
olduuna göre,
olduuna göre,
C
4
D 2 K
B
|GK| kaç cm dir?
E
C 1K
D
|AK| kaç cm dir?
A) 5ñ5
A) 8
B) 6ñ2
C) 5ñ3
D) 4ñ7
B) 5ñ3
C) 2ò21
D) 6ñ7
E) 6ñ6
E) 2ò21
413
1–E
2–C
3–D
4 –E
5–A
6 –B
7–D
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú0¡
Test 10 Àö¯ĞĞ¯န
Çokgenler
Düzgün Sekizgen
A
D
45°
45°
45°
45°
B
Düzgün sekizgen, bir karenin köelerinin belli bir düzenle kesilmesi ile oluturulur. Karenin köelerinden kesilip ayrlan parçalar
ikizkenar dik üçgen olup bu üçgenlerin hipotenüs uzunluu düzgün sekizgenin bir kenarnn uzunluuna eittir.
360
45 , bir iç açDüzgün sekizgenin bir d açsnn ölçüsü
8
snn ölçüsü 180°–45°=135° dir.
C
çözüm
kavrama sorusu
A
K 5 L
A
K 5 L
45°
45°
B
G
B
G
C
F
C
F
D
E
E
D
ABCDEFGK düzgün sekizgen, [AL] [FL], |KL|=5 cm
m(LéKG)=m(LéGK)=45° dir. {düzgün sekizgenin d açlar}
olduuna göre, |KG| kaç cm dir, bulunuz.
|KG|=|LK|ñ2=|LG|ñ2=5ñ2 cm {ikizkenar dik üçgen kural}
Cevap: 5ñ2
çözüm
kavrama sorusu
A
K
3
B
A
K
135
G
3
B
22,5°
°
G
°
F
C
D
3 135
C
E
D
22,5°
F
E
ABCDEFGK düzgün sekizgen, |AG|=3 cm olduuna göre,
m(AéKG)=m(EéFG)=135° dir. {düzgün sekizgenin iç açlar}
|AE| kaç cm dir, bulunuz.
KAG ikizkenar üçgen ise m(KéAG)=m(KéGA)=22,5°
FGE ikizkenar üçgen ise m(FéGE)=m(FéEG)=22,5°
m(KéGF)=m(KéGA)+m(AéGE)+m(FéGE)=135°
135°=22,5°+m(AéGE)+22,5° ise m(AéGE)=90° dir.
|GA|=|GE|=3 cm dir. {Her ikiside düzgün sekizgenin en ksa köegeni}
GAE ikizkenar dik üçgen olduundan
|AE|=|GA|ñ2=|GE|ñ2=3ñ2 cm dir.
Cevap: 3ñ2
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
414
¤¤¦¤Ú¤Ú
Çokgenler
Test / 12
soru 1
A
ABCDEFGK düzgün sekizgen
[GL] [DL]
soru 5
K
B
A
ABCDEFGK düzgün sekizgen
G
K
B
G
C
F
|AG|=3ñ3 cm
|EL|=2ñ3 cm
olduuna göre,
F
C
olduuna göre,
sekizgenin bir kenar
D
|CG| kaç cm dir?
E 2ñ3 L
kaç cm dir?
A) 3
A) 2ñ3
B) 2ñ6
C) 3ñ2
soru 2
D) 3ñ6
L
ABCDEFGK düzgün sekizgen
A
C) 3ñ3
D) 3ñ6
E) 6
soru 6
K
B
A
ABCDEFGK düzgün sekizgen
G
K
B
G
|GE|=7 cm
olduuna göre,
|AL| kaç cm dir?
D
B) 6
C) 6ñ2
soru 3
12
E
D) 6ñ3
L
ABCDEFGK düzgün sekizgen
E) 9
K
A
M
G
B
C, B, L ve F, G, M dorusal
7
C
|CG| kaç cm dir?
E
D
A) 7
B) 7ñ2
C) 7ñ3
soru 7
D) 9
A
ABCDEFGK düzgün sekizgen
B
F
E) 14
K
G
5
|KC|=5 cm
|DE|=4 cm
C
olduuna göre,
F
|LM| kaç cm dir?
D
B) 2+2ñ2
olduuna göre,
F
C
www.kartezyen.com.tr
|DE|=12 cm
A) 4+2ñ2
B) 3ñ2
E) 6
[KL][CL]={L}
A) 4ñ3
E
D
C) 2ñ2+4
4
A
C
|KE| kaç cm dir?
F
D
E
D) 8
soru 4
olduuna göre,
E) 4+4ñ2
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E
E) 5ñ2
soru 8
K
2ñ3
ABCDEFGK düzgün sekizgen
B
G
En ksa köegeni 5ñ2 cm olan düzgün sekizgenin, en uzun
köegeni kaç cm dir?
C
F
A) 8
|AB|=2ñ3 cm
olduuna göre,
|KE| kaç cm dir?
D
A) 2ñ3+2ñ6
B) 2ñ2+2ñ3
D) 4+2ñ2
B) 10
C) 5ñ3
D) 5ñ6
E) 3ò15
E
C) 2ñ2+2ñ6
E) 4+2ñ3
415
1–B
2–C
3–E
4 –A
5–D
6 –B
7–C
8–B
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú0¡
Test 11 Àö¯ĞĞ¯န
Çokgenler
Çokgenlerde Alan
çözüm
kavrama sorusu
A
F
A
[BH] [HD] olacak ekilde
F
[BH] ve [HC] çizelim.
BHC 30° – 60° – 90° üçgenidir.
E
B
B
E
30
°
2ñ3 4
{30° – 60° – 90° üçgeni kural}
60°
C
D
|BC|=4 cm ise
|BC|
|HC|=
=2 cm
2
H 2 C
4
D
|BH|=|HC|ñ3=2ñ3 cm
{30° – 60° – 90° üçgeni kural}
ABCDEF düzgün altgeninin bir kenar 4 cm olduuna göre,
BCD üçgeninde [CD] taban, [BH] yüksekliktir.
1
1
Alan(BCD)= |CD| |BH| .4.2ñ3=4ñ3 cm2 dir.
2
2
2
Alan(BCD) kaç cm dir, bulunuz.
Cevap: 4ñ3
çözüm
kavrama sorusu
A
F
A
ABC 120° – 30° – 30° üçgenidir.
F
E
30
B
{120° – 30° – 30° üçgeni kural}
B 120° 4ñ3
E m(BéCD)=m(BéCA)+m(AéCD)
120°=30°+m(AéCD) ise
m(AéCD)=90°
°
D
30
4
C
°
|AC|=|AB|ñ3=|BC|ñ3=4ñ3 cm
4
C
4
D
ABCDEF düzgün altgeninin bir kenar 4 cm olduuna göre,
ACD dik üçgen olduundan alan dik kenarlarnn çarpmnn ya-
Alan(ACD) kaç cm2 dir, bulunuz.
rsna eittir.
1
1
Alan(ACD)= | AC| |CD| .4ñ3.4=8ñ3 cm2 dir.
2
2
Cevap: 8ñ3
çözüm
kavrama sorusu
A
F
A
F
°
30
E
B
6ñ3
120°
30
°
B
C2 K
4
C2 K
D
ABCDEF düzgün altgen, |CK|=2 cm, |DK|=4 cm olduuna
göre, Alan(FKD) kaç cm2 dir, bulunuz.
4
6
E
6
D
|EF|=|ED|=|CD|=2+4=6 cm
EFD 120° – 30° – 30° üçgenidir.
|FD|=|EF|.ñ3=|ED|ñ3=6ñ3 cm {120° – 30° – 30° üçgeni kural}
m(EéDC)=m(EéDF)+m(FéDC) ise 120°=30°+m(FéDC)
m(FéDC)=90° dir.
FKD dik üçgen olduundan alan dik kenarlarnn çarpmnn yarsdr.
1
1
Alan(FKD)= |DK | |FD| .4.6ñ3=12ñ3 cm2 dir.
2
2
Cevap: 12ñ3
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
416
¤¤¦¤Ú¤Ú
Çokgenler
Test / 13
soru 1
A
soru 5
F
|DE|=6 cm
|AD|=8 cm
E
B
6
Alan(DEC) kaç cm2 dir?
C
B) 12
C) 15
A
C
A) 8
E) 18
B) 8ñ3
C) 12
D
D) 2ñ3
soru 6
F
A
E) 16
F
ABCDEF düzgün altgen
ABCDEF düzgün altgen
|BD|=6 cm
B
|CK|=1 cm
E
olduuna göre,
E
B
|KD|=2 cm
6
olduuna göre,
taral bölgelerin
alanlar toplam kaç cm dir?
B) 6ñ3
C
C) 9
D) 9ñ3
soru 3
Alan(FKD) kaç cm2 dir?
D
A
E) 12
F
ABCDEF düzgün altgen
www.kartezyen.com.tr
2
A) 12
B) 9
C1 K
C) 6ñ3
soru 7
2
D
D) 6
A
4
E) 3ñ3
F
ABCDEF düzgün altgen
|DE|=2 cm
B
E
olduuna göre,
|CK|=|KD|
B
E
|AF|=4 cm
2
Alan(ADF) kaç cm2 dir?
C
B) ñ3
C) 4
olduuna göre,
Alan(FCK) kaç cm2 dir?
D
D) 2ñ3
soru 4
A
E) 2
|BF|=6 cm
A) 2
B) 4
E
|DK|=4 cm
Alan(FBC) kaç cm2 dir?
olduuna göre,
F
E) 2
A) 21
E
2
K
4
Alan(ADK) kaç cm2 dir?
D
D) 6ñ3
E) 6ñ3
B
|KE|=2 cm
C) 6
D) 6
A
olduuna göre,
B) 4ñ3
C) 4ñ3
D
ABCDEF düzgün altgen
B
C
K
C
soru 8
F
6
ABCDEF düzgün altgen
A) 6
E
Alan(ABD) kaç cm2 dir?
D
D) 12ñ3
soru 2
A) 6
8
B
olduuna göre,
olduuna göre,
A) 6
F
ABCDEF düzgün altgen
ABCDEF düzgün altgen
A) 9ñ3
A
B) 15ñ3
C
C) 18
D
D) 15
E) 12ñ3
417
1–A
2–B
3–D
4–D
5–B
6–E
7–C
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú0¡
Test 12 Àö¯ĞĞ¯န
Çokgenler
Düzgün çokgenlerin merkezi ayn zamanda bu çokgenlerin iç
teet çemberlerinin ve çevrel çemberlerinin merkezidir. Yandaki
ekillerde düzgün begenin iç teet çemberi ve çevrel çemberi
verilmitir.
Herhangi bir düzgün çokgenin merkezinden köelerine çizgiler çizildiinde oluan üçgenler ikizkenardr. Düzgün altgeni ise bu hususta
dier düzgün çokgenlerden ayran bir özellii vardr. Düzgün altgenin merkezinden çizgiler çizildiinde oluan üçgenler ekenardr. Bununla ilgili olarak aada verilen ekilleri inceleyiniz.
54°
60°
45°
72°
67,5°
67,5°
60°
54°
çözüm
kavrama sorusu
A
K noktas düzgün
F
A
F
altgenin merkezi
E
|CD|=4 cm
[KH] [CD] olacak ekilde
D
E [KH] dikmesini çizelim.
4 30°30° 4
altgenin alan kaç cm2 dir,
4
K
B
olduuna göre,
C
KCD ekenar üçgendir.
|KC|=|KD|=|CD|=4 cm
[AD], [BE], [CF] köegen
K
B
60°
60°
60°
C 2 H 2 D
bulunuz.
|CH|=|HD|=2 cm dir.
ekildeki açlar yazalm.
KHD 30° – 60° – 90° üçgeni ise
|KH|=|HD|ñ3=2ñ3 cm {30° – 60° – 90° üçgeni kural}
KCD üçgeninde [CD] taban, [KH] yüksekliktir.
1
Alan= .(TabanxYükseklik) bantsndan
2
Uyarı
1
1
Alan(KCD)= |CD| |KH| .4.2ñ3=4ñ3 cm2
2
2
Bir önceki sayfada yer alan BCD üçgeni ile bu kavrama sorusundaki KCD üçgeninin alanlar eittir. Bu duruma dikkat
etmelisiniz.
Düzgün altgen KCD üçgenine e 6 tane üçgenden olutuundan, düzgün altgenin alan
6.Alan(KCD)=6.4ñ3=24ñ3 cm2 dir.
Cevap: 24ñ3
Konu Kavrama Çalışması
S
S
S
S
S
5S
S
3S
S
S
S
S
Düzgün altgenin merkezinden köelerine Ardk iki köeyi birletirdiimizde de elde Ardk olarak köeleri birletirmeye devam
çizgiler çizdiimizde alanlar eit 6 tane e- ettiimiz üçgenin alan altgenin alannn edin. Oluan küçük üçgenlerin hepsinin ala1
1
kenar üçgen oluur.
sdr.
n altgenin
s kadar olacaktr.
6
6
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
418
¤¤¦¤Ú¤Ú
Çokgenler
Test / 14
soru 1
A
soru 5
F
ABCDEF düzgün altgen
A
ABCDEF düzgün altgen
|CD|=6 cm
B
Alan(ABF)=8 cm2
E
olduuna göre,
altgenin alan kaç cm2 dir?
Alan(BCD) kaç cm2 dir?
C
B) 54ñ3
C) 66
6
C
D
D) 66ñ3
E
B
olduuna göre,
A) 54
F
E) 72
A) 12
soru 2
B) 11
C) 10
soru 6
Bir kenarnn uzunluu 2 cm olan düzgün altgenin alan kaç
cm2 dir?
D
D) 9
A
E) 8
F
ABCDEF düzgün altgen
K noktas altgenin merkezi
K
B
E
Alan(KCD)=15 cm2
A) 8
B) 6ñ3
C) 6
D) 4ñ3
E) 4
olduuna göre,
soru 3
A
www.kartezyen.com.tr
Alan(ABF) kaç cm2 dir?
F
ABCDEF düzgün altgen
|CF|=6 cm
6
B
E
A) 12
B) 15
C) 17
soru 7
Alan(AFE)=7 cm2
Alan(ACE) kaç cm2 dir?
B) 27 3
C) 15 3
soru 4
D)
A
Alan(AFE)=x cm
E
A) 7
B) 14
C) 18
D
D) 21
E) 24
E) 24 3
soru 8
F
A
F
ABCDEF düzgün altgen
ABCDEF düzgün altgen
2
F
C
D
35 3
2
E) 20
B
altgenin alan kaç cm2 dir?
27 3
2
D) 18
ABCDEF düzgün altgen
olduuna göre,
A)
D
A
olduuna göre,
C
C
B
E
K noktas altgenin merkezi
olduuna göre,
Alan(ABF)=8 cm2
altgenin alan kaç cm2 dir?
olduuna göre,
C
taral bölgenin
D
K
B
C
E
D
alan kaç cm2 dir?
A) 4x
B) 5x
C) 6x
D) 8x
E) 9x
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
E) 24
419
1–B
2–B
3–A
4–C
5–E
6–B
7–D
8–A
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú0¡
Test 13 Àö¯ĞĞ¯န
Çokgenler
çözüm
kavrama sorusu
A
B
A
E
K
C
B
E
K
D
C
K noktas düzgün begenin merkezi, Alan(KCD)=4 cm2
D
Merkezden köelere doru çizgiler çekersek birbirine e 5 tane
üçgen oluur. Bu üçgenlerin her birisinin alan eit olacandan
2
olduuna göre, begenin alan kaç cm dir, bulunuz.
Alan(ABK)=Alan(BCK)=Alan(KCD)=Alan(DEK)=Alan(AEK)=4 cm2
Alan(ABCDE)=4+4+4+4+4=5.4=20 cm2 dir.
Cevap: 20
çözüm
kavrama sorusu
K
K
A
D
B
A
D
E C
B
K noktas ABCD..... düzgün çokgeninin merkezi, |BE|=2|EC|
Yükseklikleri ayn olan iki üçgenin alanlarnn oran tabanlarnn
Alan(KEC)=3 cm olduuna göre, Alan(KBE) kaç cm dir,
oranna eittir.
bulunuz.
Buna göre
2
E C
2
|BE|=2|EC| ise Alan(KBE)=2Alan(KEC)=2.3=6 cm2 dir.
Cevap: 6
çözüm
kavrama sorusu
K
K
A
A
F
B
B
E
C
F
D
E
C
K noktas ABCDEF... düzgün çokgeninin merkezi
[KD] yi çizelim.
Alan(KBC)=7 cm2 olduuna göre, Alan(KCDE) kaç cm2 dir,
KBC, KCD ve KDE e üçgenlerdir.
bulunuz.
Buna göre,
D
Alan(KBC)=Alan(KCD)=Alan(KDE)=7 cm2 olur.
Alan(KCDE)=Alan(KCD)+Alan(KDE)=7+7=14 cm2 dir.
Cevap: 14
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
420
¤¤¦¤Ú¤Ú
Çokgenler
Test / 15
soru 1
soru 5
A
A
K noktas ABCDE düzgün
K noktas düzgün
B
begenin merkezi
E
K
begenin alan 50 cm2
B
begeninin merkezi,
E
K
|FD|=2|CF|
Alan(KCF)=4 cm2
olduuna göre,
2
taral bölgenin alan kaç cm dir?
C
olduuna göre,
D
C
D
F
Alan(KDE) kaç cm2 dir?
A) 20
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
A) 8
soru 2
A
2
Alan(PDE)=5 cm
D) 14
K
çokgen, K noktas
C
A
D
dokuzgenin merkezi,
F
B
|BE|=|EC|
olduuna göre,
2
sekizgenin alan kaç cm dir?
D
E) 16
ABCD... 9 kenarl düzgün
G
P
sekizgenin merkezi
C) 12
soru 6
K
B
P noktas düzgün
B) 10
E
C
Alan(KEC)=5 cm2
E
A) 25
B) 30
C) 35
soru 3
D) 40
E) 45
K
www.kartezyen.com.tr
olduuna göre, dokuzgenin alan kaç cm2 dir?
A) 90
B) 85
C) 75
soru 7
D
B
K noktas ABCDE düzgün
B
B) 48
|KH|.|CD|=16 cm2
C) 44
soru 4
E
K
[KH] [CD]
C
ABCD... 12 kenarl düzgün çokgen ve K noktas bu çokgenin
merkezi, Alan(KBC)=4 cm2 olduuna göre, düzgün çokgenin
alan kaç cm2 dir?
A) 60
E) 45
A
begeninin merkezi,
A
D) 65
D) 40
E) 36
olduuna göre,
C
alan kaç cm2 dir?
A) 80
B) 65
C) 50
D) 40
soru 8
K
D
H
düzgün begenin
E) 35
K
ABCD... 14 kenarl düzgün
çokgen, K noktas düzgün
A
D
B
çokgenin merkezi
E C
K noktas ABCD... düzgün çokgeninin merkezi, |BC|=4|EC|
2
2
H
A
[BH] [KC]
B
|BH|.|KC|=4 cm2
Alan(KEC)=5 cm olduuna göre, Alan(KBE) kaç cm dir?
olduuna göre, düzgün çokgenin alan kaç cm2 dir?
A) 30
A) 24
B) 25
C) 20
D) 18
E) 15
D
C
B) 28
C) 32
D) 36
E) 40
421
1–A
2–D
3–B
4 –E
5–C
6 –A
7–D
8–B
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£Ú0¡
Test 14 Àö¯ĞĞ¯န
KNC DERECEDEN BR BLNMEYENL DENKLEM VE FONKSYONLAR
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
a0 ve a, b ve c sabit saylar olmak üzere,
ax2+bx+c=0
eitliine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
2
ax +bx+c=0 eitliinde a, b ve c saylarna denklemin katsaylar (sabitleri) denir ve bilinen deerlerdir.
2
x, denklemin bilinmeyeni yani deikenidir. Denklemde bulunan x nin kuvveti denklemin derecesini belirlemektedir.
çözüm
kavrama sorusu
3x2+4x – 7=0
3 x2+ 4 x – 7 =0
denkleminde, a, b ve c katsaylarn bulunuz.
a
b
c
a=3, b=4 ve c=– 7 dir.
Cevap: a=3, b=4, c=– 7
çözüm
kavrama sorusu
n–3
5x
n–3
+6x+4=0
5x
+6x+4=0
2
denkleminin ikinci dereceden olabilmesi için x li terimin olmas
gerekir. Bu nedenle,
denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduuna
göre, n kaçtr bulunuz.
x
n–3
=x2
n – 3=2
n=5 dir.
Cevap: 5
çözüm
kavrama sorusu
I.
x2+5x+3=0
IV.
4x – 7=0
II.
x2– 3x=7
V.
x2+y2=1
I.
a=1, b=5 ve c=3
kinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. 1 1
1 0
x x2
Yukarda verilen eitliklerden hangileri ikinci dereceden bir
bilinmeyenli denklemdir?
III.
5x3+4x=0
x2+5x+3=0
VI.
II.
x2– 3x=7 ise
2
x – 3x – 7=0
a=1, b=– 3 ve c=– 7
kinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. 3
III.
5x +4x=0 denklemi üçüncü dereceden bir bilinmeyenli
denklemdir. ––
IV.
4x – 7=0 denklemi birinci dereceden bir bilinmeyenli
denklemdir. ––
V.
x2+y2=1 eitliinde x ve y bilinmeyendir. Denklem iki bilinmeyenli bir denklemdir. ––
VI.
1
1
1 0
x x2
2
(x)
(x )
(1)
2
2
x+1 – x =0 ise – x +x+1=0
a=– 1, b=1 ve c=1
kinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. Cevap: I, II, VI
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
422
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 1
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
2x2 – x+3=0
(m+2)x3+xn – 2+5=0
Yukardaki ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin a, b
ve c katsaylar aadakilerden hangisidir?
denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduuna
göre, m+n toplam kaçtr?
A) a=2
A) 1
B) a=2
C) a=2
b=– 1
b=1
b=– 1
c=– 3
c=3
c=3
D) a=– 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
E) a=3
b=2
b=–1
c=3
c=2
soru 6
Aada verilen denklemlerden hangisi ikinci dereceden bir
bilinmeyenli denklemdir?
soru 2
A) x – 3=0
2
6x – 3+x =0
2
3
C) x +x =0
B) 4x+5=2
D) x3 – x=0
E) x+x2+5=0
A) a=1
B) a=6
C) a=– 3
b=6
b=– 3
b=6
c=– 3
c=1
c=1
D) a=1
E) a=– 3
b=– 3
b=1
c=6
c=6
www.kartezyen.com.tr
Yukardaki ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin a, b
ve c katsaylar aadakilerden hangisidir?
soru 7
Aada verilen denklemlerden hangisi ikinci dereceden bir
bilinmeyenli denklem deildir?
A) 6x2+5x+3=0
D)
2
2
B) 5x +x=3
1
1 0
x
C) – x+4=x
E) 1 soru 3
1 1
0
x x2
3x3 – m+7x – 1=0
denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduuna
göre, m kaçtr?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
soru 8
2 1
0
x x2
denkleminin a, b ve c katsaylar aadakilerden hangisidir?
3
soru 4
3
2
(m – 1)x +x +2x – 1=0
denklemi ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduuna
göre, m kaçtr?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
A) a=1
B) a=1
C) a=3
b=3
b=2
b=2
c=2
E) 4
c=3
c=1
D) a=3
E) a=2
b=1
b=1
c=2
c=3
423
1–C
2–A
3–B
4–B
5–B
6–E
7–D
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 1 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
Denklemin Kökleri ve Çözüm Kümesi
çerisinde bilinmeyen bulunan eitlikler, verilen tüm deerler için doru çkyorsa bu eitlie özdelik denir. Eitlik baz deerler için doru
çkyorsa bu eitlie denklem denir. Eitliin doru çkmasn salayan bu deerlere denklemin kökleri, denklemi salayan bu deerlerin kümesine denklemin çözüm kümesi denir.
çözüm
kavrama sorusu
x2– 3x+2=0
x2– 3x+2=0 denkleminde x yerine baz deerler vererek denklemi salayp salamadklarna bakalm.
denkleminin köklerini aratrnz.
x=0 için,
(0)2 – 3.0+2=20 olduundan, x=0 denklemin bir kökü deildir.
––
x=1 için,
2
(1) – 3.1+2=1 – 3+2=– 2+2=0 olduundan, x=1 denklemin köküdür. x=2 için,
2
(2) – 3.2+2=4 – 6+2=– 2+2=0 olduundan, x=2 denklemin köküdür. x2– 3x+2=0 denkleminin kökleri, x=1 ve x=2 dir.
Cevap: 1 ve 2
Uyarı
ax2+bx+c=0 biçimindeki ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin en fazla iki farkl kökü olabilir.
çözüm
kavrama sorusu
2x2– mx – 3=0
x=3 deeri denklemin kökü olduuna göre, denklemde bu deeri yerine koyduumuzda denklem salanyor demektir.
denkleminin köklerinden biri 3 olduuna göre, m kaçtr bulunuz.
x=3 için,
2
2 . (3 ) – m . 3 – 3=0
18 – 3m – 3=0
3m=15
m=5
Cevap: m=5
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
424
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 2
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
x2– x – 6=0
x2 – x+m=0
denkleminin köklerinden biri aadakilerden hangisidir?
denkleminin köklerinden biri x=4 olduuna göre, m kaçtr?
A) – 3
A) – 20
B) – 2
C) 0
D) 1
E) 2
soru 2
B) – 18
C) – 15
D) – 12
E) – 10
soru 6
x2– 2x – 15=0
x2+nx – 10=0
denkleminin köklerinden biri aadakilerden hangisidir?
denkleminin köklerinden biri x=2 olduuna göre, n kaçtr?
A) 1
A) 1
C) 3
D) 4
E) 5
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
www.kartezyen.com.tr
B) 2
soru 3
soru 7
2
3x – 4x+1=0
2
ax – 3x – 9=0
denkleminin köklerinden biri aadakilerden hangisidir?
denkleminin köklerinden biri x=3 olduuna göre, a kaçtr?
A) – 1
A) 2
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
soru 4
C) 4
D) 5
E) 6
soru 8
2
4x +5x – 6=0
2
x +mx – n=0
denkleminin köklerinden biri aadakilerden hangisidir?
A) – 2
B) 3
B) – 1
C) 0
D) 1
denkleminin kökleri x=1 ve x=– 4 olduuna göre, m+n toplam
kaçtr?
E) 2
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
425
1–B
2–E
3–C
4–A
5–D
6–C
7–A
8–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 2 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
Çarpanlara Ayırma Yöntemi ile Denklemin Köklerinin Bulunması
kinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözmenin yani denklemin köklerini bulmann bir kaç yolu vardr. Bunlardan ilki denklemin
çarpanlarna ayrlmas metodudur. Denklemin çarpanlarna ayrlmasnn ardndan çarpanlarn her biri sfra eitlenerek kökler bulunur.
x . y=0 ise x=0 veya y=0
çözüm
kavrama sorusu
(x – 1) . (x+3)=0
x . y=0 ise x=0 veya y=0 olduundan,
denkleminin köklerini bulunuz.
(x – 1) . (x+3)=0
x – 1=0 ise x=1
x+3=0 ise x=– 3
Denklemin kökleri x=– 3 ve x=1 dir.
Cevap: – 3 ve 1
çözüm
kavrama sorusu
x2+x=0
x2+x=0 denkleminde, eitliin sol tarafn x parantezine alarak
çarpanlarna ayralm.
denkleminin köklerini bulunuz.
2
x +x=0
x .(x+1)=0
1.
2.
Çarpan Çarpan
x=0
x+1=0 ise x= – 1
Denklemin kökleri x= – 1 ve x=0 dr.
Cevap: – 1 ve 0
çözüm
kavrama sorusu
2
2
3x =x
3x =x
2
3x – x=0
denkleminin köklerini bulunuz.
x . (3x – 1)=0
x=0
1
3
1
Denklemin kökleri x=0 ve x tür.
3
3x – 1=0 ise
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
426
x
Cevap: 0 ve
¤¤¦¤Ú¤Ú
1
3
Test / 3
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
x2 – 2x=0
(x – 2) . (x+1)=0
denkleminin kökleri aadakilerden hangisidir?
A) {– 2, – 1}
B) {– 2, 0}
D) {– 1, 2}
denkleminin kökleri aadakilerden hangisidir?
C) {– 1, 1}
A) {– 2, 2}
B) {– 2, 0}
E) {– 1, 3}
D) {– 2}
soru 2
C) {0, 2}
E) {2}
soru 6
2
(x+4) . (x+3)=0
4x +x=0
denkleminin kökleri aadakilerden hangisidir?
A) {– 4, – 3}
B) {– 4, 3}
denkleminin kökleri aadakilerden hangisidir?
C) {– 3, 4}
A) 4, 0
E) {7}
soru 3
B) 0, 4
1 1
D) ,
4 4
www.kartezyen.com.tr
D) {3, 4}
C) 0,
1
4
1
E) , 0
4
soru 7
x2=6x
x . (x – 1)=0
denkleminin kökleri aadakilerden hangisidir?
A) {0, – 1}
B) {0, 1}
denkleminin kökleri aadakilerden hangisidir?
C) {– 1}
D) {– 1, 1}
A) {0}
B) {2}
C) {3}
D) {0, 6}
E) {6}
E) {0}
soru 4
soru 8
x2=– 5x
(x+2) . x=0
denkleminin kökleri aadakilerden hangisidir?
A) {2}
B) {– 2}
D) {0}
denkleminin kökleri aadakilerden hangisidir?
C) {– 2, 0}
A) {– 5, 5}
E) {– 2, 2}
B) {0, 5}
D) {0}
C) {– 5, 0}
E) {– 5}
427
1–D
2–A
3–B
4–C
5–C
6–E
7–D
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 3 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
Tam Kare ve İki Kare Farkı Yöntemi ile Denklemin Köklerinin Bulunması
kinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin çözümünde, tam kare ve iki kare fark özdeliklerinden skça faydalanlr.
Tam Kare
İki Kare Farkı
(x+y)2=x2+2xy+y2
x2– y2=(x – y) . (x+y)
(x – y)2=x2– 2xy+y2
çözüm
kavrama sorusu
(x – 1)2=4
(x – 1)2=4 ise,
denkleminin köklerini bulunuz.
(x – 1)=2 veya (x – 1)=– 2 dir.
x – 1=2 ise x=3
x – 1=– 2 ise x=– 1
Denklemin kökleri x=– 1 ve x=3 tür.
Cevap: – 1 ve 3
çözüm
kavrama sorusu
x2– 4x+4=25
x2– 4x+4=25
(x – 2)2=25
denkleminin köklerini bulunuz.
(x – 2)=5 veya (x – 2)=– 5 tir.
x – 2=5 ise x=7
x – 2=– 5 ise x=– 3
Denklemin kökleri x= – 3 ve x=7 dir.
Cevap: – 3 ve 7
çözüm
kavrama sorusu
16+x2=8x
16+x2=8x
2
x – 8x+16=0
(x – 4)2=0
denkleminin köklerini bulunuz.
x=4 tür.
Cevap: x=4
çözüm
kavrama sorusu
x2– 16=0
x2– y2=(x – y) . (x+y) olduundan,
2
x – 16=0 ise,
denkleminin köklerini bulunuz.
x2– 42=0
(x – 4) . (x+4)=0
x – 4=0 ise x=4
x+4=0 ise x=– 4
Denklemin kökleri x=– 4 ve x=4 tür.
Cevap: – 4 ve 4
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
428
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 4
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
(x – 2)2=9
– 2x=x2+1
denkleminin kökleri aadakilerden hangisidir?
A) {– 1, 5}
B) {– 1, 4}
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
C) {2, 5}
D) {3, 4}
A) {– 2}
E) {4, 6}
B) {– 1}
D) {– 1, 1}
soru 2
C) {1}
E) {0, 1}
soru 6
(x – 4)2=1
10x+25=– x2
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
denkleminin kökleri aadakilerden hangisidir?
A) {– 4, – 3}
B) {– 4, 1}
A) {– 5}
C) {– 1, 3}
soru 3
C) {0}
D) {5}
E) {10}
soru 7
x2– 2x+1=1
x2– 9=0
denkleminin kökleri aadakilerden hangisidir?
A) {– 2, 0}
B) {– 1}
E) {3, 5}
www.kartezyen.com.tr
D) {– 1, 4}
B) {0, 2}
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
C) {– 2, 2}
D) {1, 2}
A) {– 3}
B) {0}
C) {– 3, 0}
D) {0, 3}
E) {– 3, 3}
E) {2, 3}
soru 4
soru 8
x2– 6x+9=4
x2– 36=0
denkleminin kökleri aadakilerden hangisidir?
A) {– 1, – 5}
B) {– 1, 3}
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
C) {– 3, 1}
D) {1, 5}
A) {– 6, 0}
E) {3, 5}
B) {– 6, 6}
D) {– 6}
C) {0, 6}
E) {6}
429
1–A
2–E
3–B
4–D
5–B
6–A
7–E
8–B
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 4 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
çözüm
kavrama sorusu
x2+6x+8=0
x2+6x+8 ifadesini çarpanlarna ayralm.
x2+6x+8=0
denkleminin köklerini bulunuz.
x
x
4
2
(x+4) . (x+2)=0
x+4=0 ise x=– 4
x+2=0 ise x=– 2
Denklemin kökleri – 4 ve – 2
Cevap: – 4 ve – 2
çözüm
kavrama sorusu
6x2+x – 1=0
6x2+x – 1=0 ifadesini çarpanlarna ayralm.
6x2+x – 1=0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
3x
2x
–1
1
(3x – 1) . (2x+1)=0
3x – 1=0 ise
x
1
3
1
2
Denklemin çözüm kümesi,
2x+1=0 ise
x
1 1
Ç.K ,
2 3
Cevap: 1 1
,
2 3
çözüm
kavrama sorusu
2
2
x +5x= – 6
2
x +5x= – 6 ise x +5x+6=0
x2+5x+6=0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
x
x
3
2
(x+3) . (x+2)=0
x+3=0 ise x=– 3
x+2=0 ise x=– 2
Denklemin çözüm kümesi,
Cevap: {– 3, – 2}
Ç.K.={– 3, – 2}
çözüm
kavrama sorusu
x
12
1
x
x
12
1 ifadesinde payda eitleyelim.
x
x 12 1
1
x
1
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
(x)
(1)
(x)
2
x – 12=x
2
(Eitlikte paydalar eit
x – x – 12=0
olduunda payday
x
x
artk yazmayabiliriz.)
–4
3
(x – 4) . (x+3)=0
x – 4=0 ise x=4
x+3=0 ise x=– 3
Ç . K={– 3, 4}
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
430
Cevap: {– 3, 4}
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 5
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
x2– 2x – 3=0
x2– 5x=6
denkleminin kökleri aadakilerden hangisidir?
A) {1, 3}
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
B) {2, 3}
C) {2, 4}
D) {– 2, 3}
A) {– 3, – 2}
E) {– 1, 3}
B) {2, 3}
D) {– 1, 6}
soru 2
C) {1, 6}
E) {– 6, 1}
soru 6
x2– 3x – 10=0
x2– 15=2x
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
A) {– 2, 5}
A) {– 3, 5}
B) {– 5, 2}
C) {– 3, 10}
B) {– 5, 3}
E) {– 3, – 5}
D) {3, 5}
www.kartezyen.com.tr
D) {– 10, 3}
soru 3
3x2– 10x+3=0
soru 7
1
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
A) 1, 1
3
B) 3, 1
D)
1
,1
3
C)
C) {– 5, – 3}
E) {2, 15}
3 4
x x2
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
1
,3
3
E) 1, 3
A) {– 1, 3}
B) {– 3, 1}
D) {– 4, 1}
soru 4
C) {– 4, 3}
E) {– 1, 4}
soru 8
2x2– 9x – 5=0
x
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
A) 5, 2
1
B) , 5
2
C)
1
D) , 2
5
9
6
x
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
1
,5
2
1
E) , 2
5
A) {– 3, 3}
B) {– 3}
D) {0, 3}
C) {3}
E) {1, 3}
431
1–E
2–A
3–C
4–B
5–D
6–A
7–E
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 5 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
Tam Kareye Tamamlama Yöntemi
Çarpanlara ayrma yöntemi ile çözemediimiz ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri tamkareye tamamlayarak çözebiliriz.
ax2+bx+c=0 denklemini tamkareye tamamlayarak (x+m)2=n formatna dönütürüp, denklemin köklerini daha kolay bulabiliriz.
çözüm
kavrama sorusu
(x – 1)2=5
(x – 1)2=5 ise,
x – 1=ñ5 veya x – 1=– ñ5
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
x=ñ5+1 veya x=– ñ5+1
Ç . K={– ñ5+1, ñ5+1}
Cevap: {– ñ5+1, ñ5+1}
çözüm
kavrama sorusu
x2+6x+1=0
x2+6x+1 ifadesi çarpanlarna kolay ayrlan bir ifade olmadndan tam kareye tamamlama yöntemini uygulayalm.
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
2
x +6x+1=0
2
x +6x=– 1
2
x +6x+9=– 1+9
2
(x+3) =8 ise,
x+3=2ñ2 veya x+3=– 2ñ2
x=2ñ2 – 3 veya x=– 2ñ2 – 3
Ç . K={– 2ñ2 – 3, 2ñ2 – 3}
Cevap: {– 2ñ2 – 3, 2ñ2 – 3}
çözüm
kavrama sorusu
x2– 2x – 9=0
x2– 2x – 9=0
2
x – 2x=9
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
2
x – 2x+1=9+1
2
(x – 1) =10 ise,
x – 1=ò10 veya x – 1=– ò10
x=ò10+1 veya x=– ò10+1
Ç . K={– ò10+1, ò10+1}
Cevap: {– ò10+1, ò10+1}
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
432
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 6
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
(x – 3)2=2
x2+6x – 4=0
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
A) {1, 3}
C) {1 – ñ2, 1+ñ2}
B) {4, 7}
D) {3 – ñ2, 3+ñ2}
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
E) {2 – ñ3, 2+ñ3}
A) {– ò13 – 3, ò13 – 3}
B) {ò13 –3, ò13+3}
C) {1 – ò13, 1+ò13}
D) {ñ5+2, ñ5 – 2}
E) {1, ò13}
soru 2
soru 6
2
2
(x+1) =10
x +10x+20=0
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
A) {– ò10 – 1, ò10 – 1}
A) {1+ñ5, 1 – ñ5}
B) {–ñ5 – 5, ñ5 – 5}
C) {5+ñ5, 5 – ñ5}
D) {2 –ñ5, 2+ñ5}
B) {1 – ò10, 1+ò10}
E) {10}
www.kartezyen.com.tr
D) {1}
C) {1, 10}
soru 3
E) {10 –ñ5, 10+ñ5}
soru 7
x2– 4x – 2=0
x2=4x+6
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
A) {– 2 – ñ6, – 2+ñ6}
B) {2+ñ6, 2 – ñ6}
D) {– ñ2, – ñ6}
C) {ñ6 – 2, ñ6+2}
E) {ñ2, ñ6}
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
A) {–10 –ò10, – 10+ò10}
B) {ò10 – 1, ò10+1}
C) {1+ò10, 1 – ò10}
D) {ò10 – 2, ò10+2}
E) {2 –ò10, 2+ò10}
soru 4
soru 8
x2– 2x – 4=0
x2=12x – 12
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
A) {1– ñ5, 1+ñ5}
A) {3 –2ñ6, 3+2ñ6}
B) {2 – 2ñ6, 2+2ñ6}
C) {6 – 2ñ6, 6+2ñ6}
D) {– 6 – 2ñ6, – 6+2ñ6}
B) {– 1+ñ5, –1 – ñ5}
D) {ñ5+2, ñ5 – 2}
C) {ñ5 – 1, ñ5+1}
E) {2 – ñ5, 2+ñ5}
E) {2 –2ñ3, 2+2ñ3}
433
1–D
2–A
3–B
4–A
5–A
6–B
7–E
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 6 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
Denklem Köklerinin Formül Yardımıyla Bulunması
kinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin çözümünde, çarpanlarna ayrma veya tam kareye tamamlama yöntemleri dnda formülde gelitirebiliriz.
ax2+bx+c=0 biçimdeki denklemlerin çözüm formülünü yine tamkareye tamamlama yöntemi yardmyla oluturalm.
2
ax +bx+c=0 (Her taraf a saysna bölelim) (a0)
b
c
x 0
a
a
b
c
x2 x a
a
x2 2
b ¬2
b ¬2
b
c b¬
x 2 x   (Denkle minin her iki tarafýna  ni ekleye lim.)
2a ®
2a ®
a
a 2a ®
2

b ¬
c
b2
x 2a ® a 4a 2
(4 a)
2

b¬
b2 4ac
x ® 2a
4a 2

b2 4ac
b¬
x ® ¥
2a
4a 2
x1 b b2 4ac
2a
veya
x2 b b2 4ac
2a
Birbirinden farkl iki kök olabileceinden köklerin birine x1 dierine x2 denir.
çözüm
kavrama sorusu
x2– x – 4=0
x2– x – 4=0 denkleminde,
denkleminin köklerini bulunuz.
a=1, b=– 1 ve c=– 4
x1 b b2 4ac
2a
ve x 2 b b2 4ac
olduðundan
2a
( 1) ( 1)2 4.1.( 4)
( 1) ( 1)2 4.1.( 4)
ve x 2 2.1
2.1
1 17
1 17
x1 ve x 2 2
2
x1 Cevap:
1
17
2
ve
1
17
2
çözüm
kavrama sorusu
3x2+2x – 5=0
3x2+2x – 5=0 denkleminde,
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
a=3, b=2 ve c=– 5
x1 x1 b b2 4ac
2a
2 ve x 2 b b2 4ac
olduðundan
2a
2 22 4.3.( 5)
ve x 2 2.3
2 64
2 64
ve x 2 2.3
6
2 8
2 8
x1 ve x 2 6
6
5
x1 1 ve x 2 3
5
Ç.K , 1
3
22 4.3.( 5)
2.3
x1 Cevap: Ç.K = ¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
434
5
,1
3
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 7
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
x2– 2x – 1=0
x2– 6x+7=0
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
1 2 1 2 A) ,
2
2 A) {3 – ñ2, 3+ñ2}
B) {– 3 –ñ3, – 3+ñ3}
C) {– 2 – ñ2, – 2+ñ2}
D) {1 – ñ2, 1+ñ2}
C) 2 2, 2 B) 1 2
2, 1 2
D) 1 2 2, 1 2 2
E) {2 – ñ3, 2+ñ3}
1 2 2 1 2 2 E) ,
2 2
soru 2
soru 6
2
x +2x – 2=0
2
4x – 4x – 1=0
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
A) {– 1 – ñ3, – 1+ñ3}
A) 3 2, 3 C) 1 3, 1 B) {2 –ñ3, 2+ñ3}
C) {1 – ñ2, 1+ñ2}
D) {ñ2 – 1, ñ2+1}
www.kartezyen.com.tr
E) {ñ2 – ñ3, ñ2+ñ3}
soru 3
x2– 4x – 1=0
2
3
E) 1 2, 1 2
1 3 1 3 B) ,
2
2 1 2 1 2 D) ,
2 2
soru 7
4x2– 8x+1=0
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
A) {3 – ñ2, 3+ñ2}
A) 2 3, 2 C) 1 3, 1 B) {2 –ñ3, 2+ñ3}
C) {1 – ñ3, 1+ñ3}
D) {1 – ñ5, 1+ñ5}
E) {2 – ñ5, 2+ñ5}
2 3 2 3 B) ,
2 2
1 3 1 3 D) ,
2 2
3
3
1 2 1 2 E) ,
2 2
soru 4
soru 8
x2– 3x+1=0
x6
4
x
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
1 5 1 5 A) ,
2 2
3 5 3 5 C) ,
2 2
2 5 2 5 B) ,
2 2
D) 1 E) 2 5, 2 5, 1 5
5
A) 3 5, 3 5
C) 2 5, 2 5
3 5 3 5 B) ,
2
2 2 5 2 5 D) ,
2
2 E) 3 13, 3 13
435
1–B
2–A
3–E
4–C
5–A
6–D
7–B
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 7 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
Diskriminant (V)
ax2+bx+c=0 denkleminin köklerini bulmak için kullandmz, x denir ve “V” sembolü ile gösterilir.
b b2 4ac
formülünde yer alan b2– 4ac ifadesine diskriminant
2a
V=b2– 4ac
2
ax +bx+c=0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun. Bu durumda ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin köklerini bulmamza yarayan
formülümüz;
x1 b 2a
+
veya
x2 b 2a
+
çözüm
kavrama sorusu
x2– 2x – 15=0
x2– 2x – 15=0 denkleminde,
denkleminin diskriminantn bulunuz.
a=1, b=– 2 ve c=– 15
2
V=b – 4 . a . c olduundan,
2
V=(– 2) – 4 . 1 . (– 15)
V=4+60
V=64
Cevap: 64
çözüm
kavrama sorusu
2x2– x – 3=0
2x2– x – 3=0 denkleminde,
denkleminin diskriminantn bulunuz.
a=2, b=– 1 ve c=– 3
V=b2– 4 . a . c
V=(– 1)2– 4 . (2) . (– 3)
V=1+24
V=25
Cevap: 25
çözüm
kavrama sorusu
4x2– 4x+1=0
4x2– 4x+1=0 denkleminde,
denkleminin diskriminantn bulunuz.
a=4, b=– 4 ve c=1
V=b2– 4 . a . c
2
V=(– 4) – 4 . 4 . 1
V=16 – 16
V=0
Cevap: 0
çözüm
kavrama sorusu
x2+3x+4=0
x2+3x+4=0 denkleminde,
denkleminin diskriminantn bulunuz.
a=1, b=3 ve c=4
V=b2– 4 . a . c
V=(3)2– 4 . 1 . 4
V=9 – 16
V=– 7
Cevap: – 7
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
436
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 8
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
x2– 3x – 10=0
x2– 6x+9=0
denkleminin diskriminant kaçtr?
A) 36
B) 40
denkleminin diskriminant kaçtr?
C) 44
D) 49
E) 50
A) – 2
soru 2
C) 0
D) 1
E) 2
soru 6
x2– x – 20=0
4x2+12x+9=0
denkleminin diskriminant kaçtr?
B) 60
denkleminin diskriminant kaçtr?
C) 64
D) 72
E) 81
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
www.kartezyen.com.tr
A) 56
B) – 1
soru 3
soru 7
2x2– x – 1=0
x2+3x+5=0
denkleminin diskriminant kaçtr?
A) ñ3
B) 3
denkleminin diskriminant kaçtr?
C) 6
D) 7
E) 9
soru 4
A) – 11
C) – 8
D) – 6
E) – 5
D) – 22
E) – 23
soru 8
2
6x +13x+6=0
2
x +x+6=0
denkleminin diskriminant kaçtr?
A) 20
B) – 10
B) 24
denkleminin diskriminant kaçtr?
C) 25
D) 28
E) 30
A) – 16
B) – 18
C) – 20
437
1–D
2–E
3–E
4–C
5–C
6–A
7–A
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 8 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
çözüm
kavrama sorusu
x2+x – 30=0
x2+x – 30=0 denkleminde,
denkleminin köklerini diskriminant yardmyla bulunuz.
a=1, b=1 ve c=– 30
V=b2– 4 . a . c
V=12– 4 . 1 . (– 30)
V=121
xl b 2.a
+
ve
x2 b 2.a
+
olduundan,
1 121 1 11
5
2.1
2
1 121 1 11
6
x2 2.1
2
xl Cevap: – 6 ve 5
Denklemin kökleri – 6 ve 5 dir.
çözüm
kavrama sorusu
6x2– 5x+1=0
6x2– 5x+1=0 denkleminde,
denkleminin köklerini diskriminant yardmyla bulunuz.
a=6, b=– 5 ve c=1
2
V=b – 4 . a . c
V=(– 5)2– 4 . 6 . 1
V=25 – 24
V=1
xl b 2.a
+
ve
x2 b 2.a
+
olduundan,
xl ( 5) 1 6
1
2.6
12 2
x2 ( 5) 1 4
1
2.6
12 3
Denklemin kökleri
Cevap:
1
1
ve
2
3
çözüm
kavrama sorusu
1
1
1
tür.
ve
2
3
2
1
x x2
1
2
1
denkleminde payda eitleyelim,
x x2
1
2
1
12
x x2
denkleminin çözüm kümesini diskriminant yardmyla bulunuz.
(x )
(x)
(1)
2
x – 2x=1 ise x2– 2x – 1=0
2
V=(– 2) – 4 . 1 . (– 1)=8
( 2) 8 2 2 2
1 2
2.1
2
( 2) 8 2 2 2
1 2
x2 2.1
2
xl Ç.K 1 2, 1 2
Cevap: 1 ¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
438
2 , 1
¤¤¦¤Ú¤Ú
2
Test / 9
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
x2– x – 2=0
x2 denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
5x 1
0
6 6
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
A) {1, 2}
B) {– 2, 0}
C) {– 2, – 1}
D) {– 2, 1}
E) {– 1, 2}
A)
1 1
,
3 2
1
D) , 3
2
soru 2
1
1
B) , 3
2
1
C) , 2
3
E) 2, 3
soru 6
x2+5x+6=0
x2– 2x=2
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
A) {– 3, – 2}
A) 1 D) {2, 3}
C) {– 2, 3}
www.kartezyen.com.tr
B) {– 3, 2}
E) {– 5, – 6}
soru 3
C) 1 2, 1 3, 1 2
3
B) 2 1,
E) 3 1,
D) 1 3 1
2 1
3, 1 soru 7
x2– 5x – 14=0
x2– 9=2x
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
A) {– 1, 7}
A) 7 1,
B) {– 2, 7}
C) {1, 7}
D) {3, 7}
E) {5, 7}
soru 4
7 1
C) 10 1, 10 1
B) 1 E) 1 11, 1 11
7, 1 7
D) 1 10, 1 10 soru 8
2
2
5x +14x – 3=0
x – 2ñ3x+3=0
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
1
A) 3,
5
3
1
D) , 3
5
1
B) 5,
3
1
C) , 5
3
denkleminin çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
A) 1 3, 1 C) 3,
1
1
E) , 3
5
3
3
B) 3 1,
D) 3
3 1
E) 3
439
1–E
2–A
3–B
4–A
5–A
6–C
7–D
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 8 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler Kullanılarak Çözülebilen Problemler
kinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler hem matematik dersinin baka konular içinde hemde dier derslerde karmza çkabilir. Bu
tip baz örnekler aada verilmitir.
çözüm
kavrama sorusu
ki saynn toplam 8, çarpm 15 olduuna göre, bu saylar bulunuz.
ki saynn toplam 8 olduundan,
1.Sayý
2.Sayý
olsun.
x
8x
Çarpmlar 15 olduundan,
x.(8 x) 15 ise 8x x 2 15
2
x 8x 15 0
ve
3
5
x
x
(x 3).(x 5) 0
x1=3 ve x2=5 tir.
x =3 için 1.say 3 ve 2. say 5 olur.
1
Cevap: 3 ve 5
x2=5 için 1.say 5 ve 2. say 3 olur.
çözüm
kavrama sorusu
A
A
ABC üçgeninde Öklit
teoreminden,
2
|AD| =|BD| . |DC| dir.
ñ6
ñ6
6 (x 1).x
2
6 x2 x
B
D
C
B
x1
D
x
C
2
0 x x 6 ise
x
x
[AB] [AC] ve [AD] [BC], |AD|=ñ6 cm, |BD|=x – 1 cm,
3
2
(x 3)(x 2) 0
|DC|=x cm olduuna göre, |BC| kaç cm dir, bulunuz.
x=3 veya x=– 2 dir.
x=– 2 olamayaca için x=3 tür.
|BC|=x – 1+x=2x – 1
x=3 için
Cevap: 5
|BC|=2 . 3 – 1=5 cm
çözüm
kavrama sorusu
A
D
A
D
x+2
|AB|=x cm ise
|AD|=x+2 cm
x
B
C
x
x+2
B
C
Alan(ABCD) x.(x 2) 24
ABCD dikdörtgeninde |AD|=|AB|+2 dir. ABCD dikdörtgeninin
alan 24 cm2 olduuna göre, çevresinin kaç cm olduunu bulunuz.
2
x 2 2x 24 ise x 2x 24 0
4
6
x
x
(x 4).(x 6) 0
ise x 4 veya x 6
x=– 6 olamayacandan x=4 tür.
Çevre(ABCD)=2.(x+x+2)
=4x+4
x=4 için Çevre(ABCD)=4 . 4+4=20 cm
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
440
Cevap: 20
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 10
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
A
ki saynn toplam 10, çarpm 24 olduuna göre, bu saylardan
[DE]//[BC],
küçük olan kaçtr?
|DE|=1 cm,
x+1
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
1
D
|BC|=x cm,
|AD|=x+1 cm
E
x+5
|BD|=x+5 cm
olduuna göre,
B
|AB| kaç cm dir?
A) 12
soru 2
B) 13
C) 14
C
D) 15
A
soru 6
Ardk iki doal saynn çarpm 132 olduuna göre, bu saylar-
x
E) 16
D
dan büyük olan kaçtr?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
B
H
C
ABCD paralelkenar, [AH] [BC], |AH|=|BC| – 4 cm,
soru 3
www.kartezyen.com.tr
Alan(ABCD)=32 cm2 olduuna göre, |AH| kaç cm dir?
A
2
B
D
C
A) 4
B) 5
C) 6
soru 7
D) 7
E) 8
A
[AB] [AC] ve [AD] [BC], |DC|=|BD|+3 cm, |AD|=2 cm dir.
B
Buna göre, |DC| kaç cm dir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
C
[AB] [AC], |AB|=|AC|+1 cm, Alan(ABC)=6 cm2 olduuna
göre, |BC| kaç cm dir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
soru 8
A
soru 4
x+2
x
B
x+1
C
[AB] [BC], |AB|=x cm, |BC|=x+1 cm, |AC|=x+2 cm olduuna göre, |AC| kaç cm dir?
Yukarda bir kenar duvar olan dikdörtgen eklindeki bahçenin
çevresi 70 m tel kullanlarak çevrilmitir. Bahçenin alan 500 m2
olduuna göre, bahçenin uzun kenar kaç m dir?
A) 2
A) 30
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
B) 35
C) 40
D) 45
E) 50
441
1–B
2–C
3–D
4–D
5–A
6–A
7–D
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 9 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
Denklemin diskriminant, denklemin kökleri hakknda bize baz ipuçlar verir.
2
ax +bx+c=0 denkleminde;
Diskriminant pozitif ise,
+ 0
ise
x1 b 2a
+
x2 ve
b 2a
+
olacandan denklemin iki farkl kökü var demektir.
Diskriminant sfr ise,
+ 0
ise
b 0
b 0
ve
x2 2a
2a
b
b
x1 ve
x2 2a
2a
x1 x 2 dir.
x1 Bu durumda, denklemin birbirine eit iki kökü (çift katl kökü) vardr.
Diskriminant negatif ise,
+ 0
ise
x1 b 2a
+
x2 ve
b 2a
+
“òV” reel saylarda tanmsz olduundan denklemin “reel kökü” yoktur.
Diskriminant (V)
Kökler
V>0
ki farkl kök var
V=0
Çift katl kök var
V<0
Reel kök yok
çözüm
kavrama sorusu
2
III.
x2– 6x+9=0
2
IV.
x – x+4=0
I.
x +5x+4=0
II.
x – 6=0
I.
2
2
x +5x+4=0 denkleminde,
a=1, b=5 ve c=4
V=b2– 4.a.c
Yukardaki denklemlerin diskriminantn inceleyerek kökleri
hakknda yorum yapnz.
2
V=5 – 4.1.4=9
2
V>0 olduundan, x +5x+4=0 denkleminin iki farkl
kökü vardr.
II.
x2– 6=0 denkleminde,
a=1, b=0 ve c=– 6
V=b2– 4.a.c
V=02– 4.1.(– 6)=24
V>0 olduundan, x2– 6=0 denkleminin iki farkl kökü vardr.
III.
2
x – 6x+9=0 denkleminde,
a=1, b=– 6 ve c=9
2
V=b – 4.a.c
V=(– 6)2– 4.1.9
V=36 – 36=0
V=0 olduundan, x2– 6x+9=0 denkleminin birbirine eit
iki kökü vardr.
IV.
2
x – x+4=0 denkleminde,
a=1, b=– 1 ve c=4
V=b2– 4.a.c
V=(– 1)2– 4.1.4
V=1 – 16=– 15
2
V<0 olduundan, x – 6x+9=0 denkleminin reel kökü
yoktur.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
442
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 11
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
Denklem
Diskriminant (V)
1-
x2+5x+7=0
V>0
2-
2
x – 5x – 7=0
V>0
2
3-
x – 3=0
V>0
4-
x2+4=0
V<0
Aada verilen denklemlerden hangisinin diskriminant sfra eittir?
2
2
A) x +5x+10=0
2
B) x +3x+9=0
D) x 2 3x 9
0
4
C) x +2x+8=0
E) x2– x+4=0
Yukardaki tabloda verilen bilgilerden hangileri dorudur?
A) Yalnz 1
B) 1 ve 2
C) 1, 2 ve 3
D) 2 ve 3
E) 2, 3 ve 4
soru 2
soru 6
2
A) x +3x+6=0
B) x2+2x – 3=0
2
C) x2– 6x+9=0
2
D) x – 14x+49=0
E) x +9=0
soru 3
Aada verilen denklemlerden hangisinin diskriminant sfrdan küçüktür?
www.kartezyen.com.tr
Aada verilen denklemlerden hangisinin diskriminant sfrdan büyüktür?
2
A) x – x=0
B) x2– 3x=0
2
C) x2+x=0
2
D) x – 1=0
E) x +1=0
soru 7
Aada verilen denklemlerden hangisinin iki farkl kökü vardr?
Aada verilen denklemlerden hangisinin reel kökü yoktur?
A) x2+x+6=0
A) x 2 x B) x2– 5x+7=0
2
D) x – 2x+1=0
C) x2– 5x – 1=0
E) x 2 x 1
0
4
soru 4
1
0
4
C) x 2 2x 1 0
1
0
4
D) x 2 2x 4 0
B) x 2 x E) x 2 2x 4 0
soru 8
Aada verilen denklemlerden hangisinin birbirine eit (çift
katl) kökü vardr?
2
2
A) 9x – 6x+1=0
B) x – 4x+16=0
2
D) x – 16=0
Aada verilen denklemlerden hangisinin reel kökü yoktur?
A) x 2 3x
2
B) x 2 5x
C) x – 2x+2=0
D) x E) x2+25=0
1
1
x
E) x C) x 1 1
x
1
2
x
443
1–E
2–B
3–C
4–A
5–D
6–E
7–D
8–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 10 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
çözüm
kavrama sorusu
mx2+4x+2=0
mx2+4x+2=0 denkleminde,
denkleminin iki farkl reel kökü olduuna göre, m saysnn deer araln bulunuz.
a=m, b=4 ve c=2 dir.
Denklemin iki farkl reel kökü olduuna göre, V>0 olmaldr.
V=b2– 4.a.c>0
2
(4) – 4.m.2>0
16 – 8m>0
16>8m
2>m
Cevap: m<2
çözüm
kavrama sorusu
x2– mx+1=0
x2– mx+1=0 denkleminde,
denkleminin çift katl kökü olduuna göre, m saysnn alabilecei deerleri bulunuz.
a=1, b=– m ve c=1 dir.
Denklemin çift katl kökü olduuna göre, V=0 olmaldr.
V=b2– 4.a.c=0
2
(– m) – 4.1.1=0
2
m – 4=0
2
m =4
m=– 2 veya m=2 dir.
Cevap: – 2 veya 2
çözüm
kavrama sorusu
x2+6x+m=0
x2+6x+m=0 denkleminde,
denkleminin reel kökü olmadna göre, m saysnn deer araln bulunuz.
a=1, b=6 ve c=m dir.
Denklemin reel kökü olmadna göre, V<0 olmaldr.
V=b2– 4.a.c<0
62– 4.1.m<0
36 – 4m<0
36<4m
9<m
Cevap: m>9
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
444
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 12
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
mx2+2x+1=0
nx2– x+4=0
denkleminin iki farkl reel kökü olduuna göre, m saysnn deer aral aadakilerden hangisidir?
A) m<1
B) m>1
D) m>– 1
denkleminin çift katl kökü olduuna göre, n says kaçtr?
A)
C) m<– 1
1
2
B)
1
4
C)
1
8
D)
1
16
E)
1
32
E) m>0
soru 2
soru 6
x2– 4x+k=0
3x2+kx+1=0
denkleminin iki farkl reel kökü olduuna göre, k saysnn deer aral aadakilerden hangisidir?
denkleminin çift katl kökü olduuna göre, k says aadakilerden hangisi olabilir?
A) k>2
A) 2ñ3
C) k>4
www.kartezyen.com.tr
B) k<2
D) k<4
E) k>8
soru 3
mx 2 x denkleminin iki farkl reel kökü olduuna göre, n saysnn alabilecei en büyük tam say deeri kaçtr?
B) – 1
C) 0
D) 1
C) ñ2
D) 2ñ2
E) 3ñ2
soru 7
2
nx – 2ñ3x+3=0
A) – 2
B) ñ3
1
0
4
denkleminin reel kökü olmadna göre, m saysnn deer aral aadakilerden hangisidir?
E) 2
A) m>– 1
B) m<0
D) m<1
soru 4
C) m>1
E) m>2
soru 8
x2– 2x+m=0
x2– 8x+n=0
denkleminin çift katl kökü olduuna göre, m kaçtr?
denkleminin reel kökü olmadna göre, n saysnn alabilecei
en küçük tam say deeri kaçtr?
A) – 3
B) – 2
C) – 1
D) 0
E) 1
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
445
1–A
2–D
3–C
4–E
5–D
6–A
7–C
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 11 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
Karmaşık (Complex) Sayılar
kinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin çözümünde, diskriminant (V) sfrdan küçük olduunda denklemi salayan reel kök yoktur. Bunun sebebide; x b 2.a
+
denkleminde V nn karekökünün alnm olmasdr. Karesi negatif olan bir reel say olmayacandan,
denkleminde reel say olan bir kökü yoktur.
Bu tip denklemlerin çözümü (kökleri) u ana kadar bilmediiniz ve içerisinde karesi negatif olan saylarn bulunduu Karmak Saylar
kümesinin içerisindedir.
Karmak saylar gerçek (Reel) ve sanal (majiner) olmak üzere iki ksmdan oluan saylardr.
Z = a + bi
Karmak Saynn Standart Biçimi
Karmak saylar kümesinde karesi – 1 olan say “i” sembölü ile gösterilmi olup,
i = ò – 1 dir.
çözüm
kavrama sorusu
i=ò–1
i=ò–1
2
3
4
olmak üzere, i, i , i ve i saylarnn eitini bulunuz.
i2=– 1
i3=i . i2=i . (– 1)=– i
i4=i . i3=i . (– i)=– i2=– (– 1)=1
çözüm
kavrama sorusu
i=ò–1
i 5=i . i 4=i
i=ò– 1
olmak üzere, i5, i10, i27 saylarnn eitini bulunuz.
2
6
i 9=i . i 8=i
i =– 1
i =i . i =– 1
i 10=i . i 9=– 1
3
i =– i
i 7=i . i 6=– i
.
.
.
.
4
5
i 8=i . i 7=1
i =1
Yukarda görüldüü üzere, sonuçlar dörtlü gruplar halinde döngüye girmekte tekrar etmeye balamaktadr. Bu sebeple; i saysnn kuvvetini hesaplarken, kuvveti 4 e bölüp kalan i nin kuvveti
olarak alrz.

m a
b
k
5 4
4 1
ise
m
k
i =i
dýr.
5
olduðundan,
i =i
olduðundan,
i =i =1
olduðundan,
i =i =i
1

10 4
8 2
10
2
27
3
2
27 4
24 6
dir.
3
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
446
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 13
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
i=ò–1
i=ò–1
3
olmak üzere, i aadakilerden hangisine eittir?
A) – i
B) – 1
C) i
D) 1
214
olmak üzere, i
E) 2
A) 2i
soru 2
B) i
C) 1
D) – i
E) – 1
soru 6
i=ò–1
i=ò–1
5
703
olmak üzere, i aadakilerden hangisine eittir?
B) – 1
C) – i
D) i
olmak üzere, i
E) 1
A) – i
www.kartezyen.com.tr
A) – 2
soru 3
A) – 1
11
aadakilerden hangisine eittir?
B) – 1
C) 0
D) 1
E) i
soru 7
i=ò–1
olmak üzere, i
i=ò–1
71
73
olmak üzere, i +i toplam aadakilerden hangisine eittir?
aadakilerden hangisine eittir?
B) – i
C) – 2i
D) i
E) 1
A) – 1
soru 4
B) 0
C) i
D) 2i
E) 1+i
soru 8
i=ò–1
olmak üzere, i
A) 2i
aadakilerden hangisine eittir?
24
i=ò–1
2
3
4
olmak üzere, i+i +i +i toplam aadakilerden hangisine
eittir?
aadakilerden hangisine eittir?
B) i
C) 1
D) – i
E) – 1
A) – 2
B) – 1
C) 0
D) 1
E) 2
447
1–A
2–D
3–B
4–C
5–E
6–A
7–B
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 12 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
çözüm
kavrama sorusu
x2+4=0
x2+4=0
2
x =– 4
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Karesi negatif olan bir reel say olmadndan, bu denklemin reel
saylardaki çözüm kümesi dir.
2
Ancak i =– 1 olduundan denklemin karmak saylar kümesinde çözümü vardr.
2
x =– 4
2
2
x =– 1 . 4=i . 4
x=– 2i
ve
ise,
x=2i dir.
Karmak saylardaki çözüm kümesi,
Ç . K={– 2i, 2i}
Cevap: {– 2i, 2i}
çözüm
kavrama sorusu
2
2
(x – 1) . (x +25)=0
(x – 1) . (x +25)=0
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
x– 1=0
veya
x – 1=0
ise
2
x +25=0
ise,
2
x +25=0
x=1
x2=– 25 (reel saylarda çözümü yok)
ise
Reel saylar kümesi üzerindeki çözüm kümesi
Ç .K={1} dir.
Karmak saylardaki çözüm kümesi ise,
2
x +25=0
ise
x2=– 25=(– 1) . 25
2
2
x =25i
x=5i
ve
x=– 5i
Ç . K={– 5i, 5i, 1}
Cevap: {– 5i, 5i, 1}
çözüm
kavrama sorusu
ò– 4 ve ò– 9
saylarnn eitini bulunuz.
4 1 .4 i2 .4 2i
9 1 .9 i2 .9 3i
çözüm
kavrama sorusu
ò– 1 . ó– 25
1 çarpmnn sonucunu bulunuz.
25 i2 i
1 .25 i2 .25 5i
1. 25 i.5i 5i2 5
Cevap: – 5
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
448
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 14
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
x2+36=0
(x – 2) . (x2+4)=0
denkleminin reel saylardaki çözüm kümesi aadakilerden
hangisidir?
denkleminin karmak saylardaki çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
A) {– 6i}
A) {2}
B) {6i}
C) {– 6i, 6i}
E) D) {– 36i}
B) {– 2, 2}
D) {– 2i}
soru 2
C) {– 2i, 2i, 2}
E) {2, 2i}
soru 6
x2+1=0
ó– 36
ifadesinin eiti aadakilerden hangisidir?
denkleminin karmak saylardaki çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
A) – 6i
B) {1}
D) {– i, i}
E) {i}
soru 3
C) – 6
D) 6
E) 3i
soru 7
x2+16=0
ò– 4 . ò16
denkleminin karmak saylardaki çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
çarpmnn eiti aadakilerden hangisidir?
A) 8i
A) {– 4i, 4i}
B) 6i
C) { }
www.kartezyen.com.tr
A) {– 1}
B) {– 4i}
B) – 8i
C) 8
D) – 8
E) – 16
C) {2i}
D) {– 2i, 2i}
E) {– 16i}
soru 4
soru 8
– x2=49
ó– 25 . ò– 9
denkleminin karmak saylardaki çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
çarpmnn sonucu aadakilerden hangisidir?
A) – 15
A) {– 7}
B) {7}
D) {– 7, 7i}
B) – 5i
C) 3i
D) 5i
E) 15i
C) {– 7i, 7i}
E) {7i, 7}
449
1–E
2–D
3–A
4–C
5–C
6–B
7–A
8–A
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 13 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
Karmak saylar reel (gerçek) ve sanal (imajner) olmak üzere iki ksmdan oluur. Karmak saylar kümesi harfi ile gösterilir.
Z= a +b i
Reel Ksm
Sanal Ksm
Z=a+bi karmak saysnn gerçek ksm Re(z) ile gösterilir ve Re(z)=a dr. Sanal ksm m(z) ile gösterilir ve m(z)=b dir.
Z=a+ib karmak says Z(a, b) biçiminde de gösterilir. Görüldüü gibi karmak saylar, say ikililerinden olumaktadr. Karmak saylar
reel saylar gibi say dorusunda deil, analitik düzlem (karmak düzlem) üzerinde gösterilirler.
y (Sanal Eksen)
bi
Yatay eksen reel eksendir.
Dikey eksen sanal eksendir.
Z=a+bi
a
x (Reel Eksen)
çözüm
kavrama sorusu
Z1=2+3i
Z1= 2 + 3 i saysnn,
Z2=– 1+2i
Re(Z1)
Z3=5
m(Z1)
Reel ksm Re(Z1)=2 ve Sanal ksm m(Z1)=3 tür.
Z =– 2i
4
Z2= – 1 + 2 i saysnn,
olduuna göre, Z1, Z2, Z3 ve Z4 saylarnn reel ve sanal ksmlarn bulunuz.
Re(Z2)
m(Z2)
Reel ksm Re(Z2)=– 1 ve Sanal ksm m(Z2)=2 dir.
Z3= 5 + 0 i saysnn,
Re(Z3)
m(Z3)
Reel ksm Re(Z3)=5 ve Sanal ksm m(Z3)=0
Z4= 0 – 2 i saysnn,
Re(Z4)
m(Z4)
Reel ksm Re(Z )=0 ve Sanal ksm m(Z )=– 2 dir.
4
4
çözüm
kavrama sorusu
Z(2, 5)
Z=( 2 , 5 ) saysnn standart biçimde yazl
karmak saysn standart biçimde yaznz.
Reel
Sanal
Cevap: 2+5i
Z=2+5i dir.
çözüm
kavrama sorusu
Z1=1+2i ve Z2=– 3+i
y
saylarn karmak düzlemde gösteriniz.
3i
Z2= 3+i
Z1=1+2i
2i
i
3 2 1
1
i
2i
2
3
x
3i
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
450
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 15
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
Z=2 – i
Z=(1, 3)
olduuna göre, Z karmak saysnn reel ksm kaçtr?
A) – 2
B) – 1
C) 1
D) 2
karmak saysnn standart biçimde yazl aadakilerden
hangisidir?
E) 3
A) 3+i
B) 1+3i
soru 6
soru 2
4i
3i
D) i
3 2 1
E) 2
www.kartezyen.com.tr
C) 1
E) 1 – 3i
Z
2i
i
olduuna göre, Z karmak saysnn sanal ksm kaçtr?
B) – i
D) 3+3i
y (Sanal Eksen)
Z=– 1+i
A) – 1
C) 1+i
1
i
2i
2
x (Reel Eksen)
3 4
3i
Yukarda karmak düzlemde gösterilen Z says aadakilerden hangisidir?
A) – 3+4i
B) 3+3i
C) 4+4i
D) 3+4i
E) 4+3i
soru 3
Z=3+4i
olduuna göre, Re(Z) kaçtr?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
soru 7
y (Sanal Eksen)
3i
3 2 1
2i
i
1
i
2i
Z
2
x (Reel Eksen)
3
3i
soru 4
Yukarda karmak düzlemde gösterilen Z says aadakilerden hangisidir?
Z=– 2 – 5i
olduuna göre, m(Z) kaçtr?
A) – 2 – 3i
A) – 5
B) – 4
C) – 3
D) – 2
E) – 1
B) – 3 – 2i
D) – 2+3i
C) – 3+2i
E) 2 – 3i
451
1–D
2–C
3–C
4–A
5–B
6–E
7–A
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 14 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
Karmaşık Sayının Eşleniği
y (Sanal Eksen)
2i
i
3
2
O
1
3+0i 2+0i 1+0i
1
2
x (Reel Eksen)
3
i 1+0i 2+0i 3+0i
2i
Karmak düzlemdeki x (Reel Eksen) üzerinde reel saylar bulunur. Yani her reel say aslnda bir karmak (Complex) saydr. Karmak
saylar kümesi, reel saylar kümesini kapsar. ( )
Bir Z karmak saysnn x eksenine göre simetrii alndnda elde edilen yeni karmak sayya Z saysnn elenii denir ve “õZ” ile gösterilir.
y (Sanal Eksen)
b
Z=a+bi
x (Reel Eksen)
a
b
Z=a bi
(Z sayýsýnýn eþleniði)
Z karmak saysnn elenii sanal ksmnn iareti deitirilerek elde edilir. Z=a+bi ise õZ=a – bi dir.
çözüm
kavrama sorusu
Z
2 1
y (Sanal Eksen)
y (Sanal Eksen)
2i
i
2i
i
1
i
2i
Z
2
x (Reel Eksen)
Yukarda karmak düzlemde verilen Z saysnn eleniini
bulunuz.
x (Reel Eksen)
Cevap: – 1 – i
çözüm
Z =– 1+2i , Z =5 ve Z =– 4i
2
2
Z=– 1+i ve Z=– 1 – i dir.
kavrama sorusu
1
1
i
2i
2 1
Z
Z=a+bi
3
karmak saylarnn eleniklerini bulunuz.
ise
õZ=a – bi olduundan,
Z1=– 1+2i ise õZ1=– 1 – 2i dir.
Z =5
2
ise
Z3=– 4i
ise
õZ2=5 dir.
õZ3=4i dir.
çözüm
kavrama sorusu
Z=3+4i
Z=3+4i
olduuna göre, – õZ ni bulunuz.
ise
õZ=3 – 4i ve
– õZ=– 3+4i dir.
Cevap: – 3+4i
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
452
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 16
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 4
y (Sanal Eksen)
3i
Z=4
Z
2i
i
saysnn elenii aadakilerden hangisidir?
3 2 1
1
i
2i
2
x (Reel Eksen)
3
A) – 4i
Yukarda verilen Z karmak saysnn elenii aadakilerden hangisidir?
A) 2 – 2i
B) 2+2i
C) – 2+2i
D) – 2 – 2i
B) 4i
C) – 4
D) 4
E) 0
soru 5
Z=2i
E) 1 – 2i
saysnn elenii aadakilerden hangisidir?
soru 2
y (Sanal Eksen)
A) 2
B) – 2
C) 0
D) 2i
E) – 2i
3i
2i
i
1
i
2i
3i
2
x (Reel Eksen)
3
soru 6
Z=1+ñ3i
olduuna göre, – õZ aadakilerden hangisidir?
Z
Yukarda verilen Z karmak saysnn elenii aadakilerden hangisidir?
A) – 1 – 3i
B) – 1+3i
C) 1 – 3i
D) 1+3i
E) 3 – i
soru 3
www.kartezyen.com.tr
3 2 1
A) – 1 – ñ3i
C) 1 – ñ3i
B) – 1+ñ3i
E) ñ3 – i
D) 1+ñ3i
soru 7
õZ= – 2+i
Z= – 1 – 3i
karmak saysnn elenii aadakilerden hangisidir?
olduuna göre, Z karmak says aadakilerden hangisidir?
A)
A)
B)
y (Sanal Eksen)
3i
2i
i
Z
3 2 1
i
2i
3i
C)
1 2 3
x (Reel Eksen)
3 2 1
i
2i
3i
3 2 1
i
2i
3i
D)
y (Sanal Eksen)
Z
3i
2i
i
1 2 3
y (Sanal Eksen)
3i
2i
i
E)
1 2 3
x (Reel Eksen)
3 2 1
i
2i
3i
C)
Z
1 2 3
x (Reel Eksen)
3 2 1
i
2i
3i
3 2 1
i
2i
3i
1 2 3
x (Reel Eksen)
Z
1 2 3
Z
3 2 1
i
2i
3i
Z
1 2 3
x (Reel Eksen)
y (Sanal Eksen)
3 2 1
3i
2i
i
1 2 3
i
2i
3i
Z
Z
Z
3 2 1
i
2i
3i
D)
x (Reel Eksen)
E)
x (Reel Eksen)
y (Sanal Eksen)
3i
2i
i
y (Sanal Eksen)
3i
2i
i
y (Sanal Eksen)
3i
2i
i
1 2 3
3 2 1
i
2i
3i
y (Sanal Eksen)
3i
2i
i
x (Reel Eksen)
Z
B)
y (Sanal Eksen)
3i
2i
i
x (Reel Eksen)
y (Sanal Eksen)
3i
2i
i
1 2 3
x (Reel Eksen)
453
1–A
2–D
3–C
4–D
5–E
6–B
7–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 15 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
Karmaşık Sayılarda Dört İşlem
ki karmak say arasnda toplama ilemi yaplrken; reel ksm ile reel ksm toplanr, sanal ksm ile sanal ksm toplanr. Ayn ilem çkarma
içinde geçerlidir.
Z =a+bi
1
ve
Z2=x+yi olsun,
Z1+Z2=(a+bi)+(x+yi)=(a+x)+(b+y)i
Z – Z =(a+bi) – (x+yi)=(a – x)+(b – y)i
1
2
ki karmak saynn çarpm aadaki gibidir,
Z1=a+bi ve
Z =x+yi olsun,
2
Z1 . Z2=(a+bi) . (x+yi)=a.x+ayi+bxi+b.yi
2
Z . Z =ax – by+(ay+bx)i dir.
1
2
çözüm
kavrama sorusu
Z =2+4i
1
ve
Z =3+5i
Z +Z =(2+4i)+(3+5i)
2
1
olduuna göre, Z1+Z2 toplamn bulunuz.
2
=(2+3)+(4i+5i)
=5+9i
Cevap: 5+9i
çözüm
kavrama sorusu
Z1=1+3i
ve
Z2=2 – i
Z1– Z2=(1+3i) – (2 – i)
olduuna göre, Z – Z farkn bulunuz.
1
=1+3i – 2+i
2
=(1 –2)+(3i+i)
=– 1+4i
Cevap: – 1+4i
çözüm
kavrama sorusu
Z1=1+2i
ve
Z2=1+3i
Z1 . Z2=(1+2i) . (1+3i)
olduuna göre, Z1. Z2 çarpmn bulunuz.
=1 . 1+1 . 3i+2i . 1+2i . 3i
=1+3i+2i – 6
=(1 – 6)+(3i+2i)
=– 5+5i
Cevap: – 5+5i
çözüm
kavrama sorusu
Z=3+4i
Z=3+4i
olduuna göre, Z . õZ çarpmn bulunuz.
ise
õZ=3 – 4i
Z . õZ=(3+4i) . (3 – 4i)
=9 – 12i+12i – 16i2
=9+16
=25
Cevap: 25
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
454
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 17
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
Z =1+i
ve
1
Z =2+i
Z =2+3i
2
1
ve
Z =1 – i
2
olduuna göre, Z1+Z2 toplam aadakilerden hangisidir?
olduuna göre, Z1. Z2 çarpm aadakilerden hangisidir?
A) 2+3i
A) 2+i
B) 3+2i
C) 3+4i
D) 3+3i
B) 3+i
E) 4+3i
D) 1 – i
soru 2
C) 1+i
E) 3 – i
soru 6
Z =– 2+i
1
ve
Z =ñ2 – i
Z =4
2
1
ve
Z =1 – ñ2i
2
olduuna göre, Z1+Z2 toplam aadakilerden hangisidir?
olduuna göre, Z1. Z2 çarpm aadakilerden hangisidir?
A) 1+2i
A) – i
B) 2+i
C) 2+2i
D) 2 – i
soru 3
Z =4+3i
1
B) – 2i
E) 4+2i
www.kartezyen.com.tr
D) 2+4i
ve
C) – 3i
E) 2+i
soru 7
Z =5+12i
Z =1+i
2
1
ve
Z =5 – 12i
2
olduuna göre, Z1– Z2 fark aadakilerden hangisidir?
olduuna göre, Z1. Z2 çarpm aadakilerden hangisidir?
A) 4+3i
A) 100
B) 3+4i
C) 3+3i
D) 2+3i
B) 121
C) 144
D) 169
E) 189
E) 3+2i
soru 4
soru 8
Z =– 1+4i
1
ve
Z=1 – ñ3i
Z2=– 2 – i
olduuna göre, Z1– Z2 fark aadakilerden hangisidir?
olduuna göre, Z . õZ çarpm aadakilerden hangisidir?
A) 1+5i
A) 2
B) – 3+3i
D) 1 – 3i
C) – 3+5i
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
E) 1+3i
455
1–C
2–B
3–E
4–A
5–E
6–C
7–D
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 16 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
Bir karmak saynn elenii ile çarpm;
Z=a+bi
õZ=a – bi olmak üzere,
ve
2
22
2
2
Z . õZ=(a+bi) . (a – bi)=a – abi+abi – b i =a +b
2
Z . õZ=a +b
2
dir.
Karmak saylarda bölme ilemi yaplrken kesir, paydann elenii ile geniletilir. Elenii ile geniletilmesinin sebebi paydann sadece
reel say kalmasdr. Payda ksmnda karmak (sanal ksm olan) saynn bulunmas bölme ileminin bitmediini gösterir.
a bi
ileminde kesir paydann elenii c – id ile geniletilir.
c di
a bi (a bi).(c di)
elde edilir.
c di
c 2 d2
( c id)
çözüm
kavrama sorusu
1 2i (1 2i).(1 i)
1 i
12 12
1 2i
1 i
(1 i)
1 i 2i 2i2 1 2 i 2i
2
2
1 3i
2
ileminin sonucunu bulunuz.
Cevap:
2
çözüm
kavrama sorusu
2
1
1 3i
2
1
3i
3i
(1 3i)
ileminin sonucunu bulunuz.
2. 1 3i 12 3 1
2
2 . 1 4
3i 3i
2
Cevap: 1 3i
2
çözüm
kavrama sorusu
25
3 25. 3 4i 3i
2
3 4i
i
32 4 2
i
25
3
3 4i i
(3 4i)
( i)
25 . 3 4i 3i
1
25
3 4i 3i
3i
ileminin sonucunu bulunuz.
Cevap: 3+i
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
456
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 18
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
1 i
1 i
3
1
ileminin sonucu aadakilerden hangisidir?
A) – i
B) i
C) – 1
ileminin sonucu aadakilerden hangisidir?
D) 1
E) 2
A) – 2i
soru 2
1
2 3i
B)
3i
5
1 3i
5
ileminin sonucu aadakilerden hangisidir?
3i
5
C)
E)
1 3i
5
soru 3
2 3i
5
A)
www.kartezyen.com.tr
2i
5
D)
2
2 3i
5
3i
C)
E)
2
2 3i
6
3i
soru 7
1 2
i 1 i
ileminin sonucu aadakilerden hangisidir?
3 4i
5
B)
D)
3i
1 3i
B) – i
C) i
ileminin sonucu aadakilerden hangisidir?
D) 2i
E) 3i
soru 4
A) – 2i
B) – i
C) – 1
D) 1
E) i
soru 8
1
2i
1
1 i
ileminin sonucu aadakilerden hangisidir?
A)
E) 1 – ñ2i
D) 1+ñ2i
soru 6
ileminin sonucu aadakilerden hangisidir?
A)
C) ñ2i
B) – i
1 i
1 2i
A)
2i
1 i
2
B)
1 i
2
ileminin sonucu aadakilerden hangisidir?
C)
D) 1 i
2
3 i
2i
A) i
2
B)
i
2
C)
3i
2
D) 3
2
E)
3
2
E) 1 i
457
1–A
2–D
3–A
4–B
5–E
6–A
7–C
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 17 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
Diskriminant (V) negatif olduunda ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerin reel köklerinin olmayacan örenmitik. Ancak karesi negatif olabilen karmak saylar kümesi üzerinde bu tip denklemlerin çözümü yaplabilir. Bulduumuz kökler denklemin karmak
kökleridir.
çözüm
kavrama sorusu
x2+4=0
x2+4=0 denkleminde,
denkleminin karmak saylar kümesi üzerindeki çözüm kümesini bulunuz.
a=1,
b=0
ve
c=4
2
V=b – 4a.c
V=02– 4 . 1 . 4=– 16
+
16 b +
2.a
0 4i
x1 2.1
x1 2i
i2 .16 4i
x1 b +
2.a
0 4i
x2 2.1
x 2 2i
x2 ve
ve
ve
Ç . K={– 2i, 2i}
Cevap: {– 2i, 2i}
çözüm
kavrama sorusu
x2+x+3=0
x2+x+3=0 denkleminde,
denkleminin karmak saylar kümesi üzerindeki çözüm kümesini bulunuz.
a=1,
b=1
ve
c=3
2
V=b – 4a.c
V=(1)2– 4 . 1 . 3
V=1– 12=– 11
+
x1 11 b 2.a
+
i2 .11 i 11
ve
x2 b 2.a
+
1 i 11
1 i 11
ve
x2 2
2
1 i 11 1 i 11 Ç.K ,
2
2
1 i 11 1 i 11 Cevap: ,
2
2
x1 çözüm
kavrama sorusu
x2– 2x+10=0
x2– 2x+10=0 denkleminde,
denkleminin karmak saylar kümesi üzerindeki çözüm kümesini bulunuz.
a=1,
b=– 2
ve
c=10
V=(– 2)2– 4 . 1. 10
V=4 – 40
V=– 36
+
36 i2 .36 6i
( 2) 6i 2 6i
x1 1 3i
2.1
2
( 2) 6i 2 6i
x2 1 3i
2
2
Cevap: {1 – 3i, 1+3i}
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
458
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 19
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
2
2
x +1=0
denkleminin karmak saylardaki çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
x +2x+10=0
denkleminin karmak saylardaki çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
A) {– 1, 1}
A) {1 – 2i, 1+2i}
B) {– i, i}
C) {– 1}
D) {1}
E) {i}
B) {2 – i, 2+i}
D) {1 – 3i, 1+3i}
soru 2
C) {2 – 3i, 2+3i}
E) {– 1 – 3i, – 1+3i}
soru 6
x2+81=0
x2– 4x+5=0
denkleminin karmak saylardaki çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
denkleminin karmak saylardaki çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
A) {– ñ3i, ñ3i}
A) {1 – 2i, 1+2i}
B) {– 9, 9}
C) {– 9i, 9i}
E) {– 3, 3}
soru 3
2
x – 2x+2=0
denkleminin karmak saylardaki çözüm kümesi aadaki-
C) {2 – 2i, 2+2i}
E) {– 1+2i, – 1 – 2i}
soru 7
x2 x 1
0
2
denkleminin karmak saylardaki çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
lerden hangisidir?
A) {– i, i}
B) { – 2i, 2i}
D) {2 – i, 2+i}
www.kartezyen.com.tr
D) {– 3i, 3i}
B) {2+2i, 2 – 2i}
D) {1 – 2i, 1+2i}
C) {2 – i, 2+i}
E) {1 – i, 1+i}
A)
soru 4
1 i 1 i
1 2i 1 2i
2i 2i
,
B)
,
C)
,
2
2
2
2
2
2
D) 1 i, 1 i
E) 2 i, 2 i
soru 8
2
x – 2x+5=0
denkleminin karmak saylardaki çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
A) {1 – 2i, 1+2i}
B) {2 – i, 2+i}
D) {– 2i, 2i}
2
2x – 6x+5=0
denkleminin karmak saylardaki çözüm kümesi aadakilerden hangisidir?
C) {2 – 2i, 2+2i}
A)
E) {– 2, 2}
1 3i 1 3i
3i 3i
1 i 1 i
,
B)
,
C)
,
2
2
2
2
2
2
D) 1 3i, 1 3i
E) 3 i, 3 i
459
1–B
2–D
3–E
4–A
5–E
6–D
7–A
8–B
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 18 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
2
Bir önceki sayfada yaplan örneklerde gördüünüz üzere; ax +bx+c=0 denkleminde a, b ve c katsaylar reel (gerçek) saylar ve V<0
ise denklemin karmak kökleri birbirinin eleniidir.
a, b ve c reel saylar, (a0),
2
ax +bx+c=0 denkleminin diskriminant V<0 ise
x =x+yi ise x =x – yi dir.
1
2
çözüm
kavrama sorusu
i=ò–1
ve
ax2+bx+c=0 denkleminde ve a, b ve c reel say ve köklerden
biri karmak say olduundan,
a, b, c olmak üzere,
2
ax +bx+c=0
x1=1 – i ise x2=1+i dir.
denkleminde x1=1 – i olduuna göre, denklemin dier kökü x2
kaçtr bulunuz.
Cevap: 1+i
çözüm
kavrama sorusu
i=ò–1
ve
ax2+bx+c=0 denkleminde ve a, b ve c reel say ve köklerden
biri karmak say olduundan,
a, b, c olmak üzere,
2
ax +bx+c=0
x1=1 – 2i ise x2=1+2i
denkleminde x1=1 – 2i olduuna göre, denklemin kökleri toplam x1+x2 kaçtr bulunuz.
x1+x2=1 – 2i+1+2i=2
Cevap: 2
çözüm
kavrama sorusu
i=ò–1
ve
ax2+bx+c=0 denkleminde; a, b ve c reel say ve köklerden biri
karmak say olduundan,
a, b, c olmak üzere,
2
ax +bx+c=0
x1=3+i ise x2=3 – i
denkleminde x1=3+i olduuna göre, denklemin kökleri çarpm x1. x2 kaçtr bulunuz.
x1. x2=(3+i) . (3 – i)
=32+12
=10
Cevap: 10
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
460
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 20
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
i=ò–1
soru 5
a, b, c olmak üzere,
ve
i=ò–1
a, b, c olmak üzere,
ve
2
ax +bx+c=0
2
ax +bx+c=0
denkleminde x1= – i olduuna göre, denklemin dier kökü kaçtr?
denkleminde x1=– 1– i olduuna göre, denklemin dier kökü
kaçtr?
A) – i
A) – 1+i
B) – 1
C) i
D) 1
E) 2i
soru 2
i=ò–1
B) 1 – i
a, b, c olmak üzere,
ve
i=ò–1
2
ax +bx+c=0
A) – 5i
B) – 5
C) 0
D) 5
E) 5i
soru 3
a, b, c olmak üzere,
ve
denkleminde x1=i+3 olduuna göre, denklemin dier kökü
kaçtr?
www.kartezyen.com.tr
denkleminde x1=5i olduuna göre, denklemin dier kökü kaçtr?
A) i – 3
B) – i – 3
i=ò–1
E) 1+3i
a, b, c olmak üzere,
ve
ax +bx+c=0
ax +bx+c=0
denkleminde x =– 6i olduuna göre, x +x toplam kaçtr?
1
1
2
A) 0
B) 2 – i
D) 1– 3i
2
denkleminde x =2 – i olduuna göre, denklemin dier kökü
1
kaçtr?
A) – 2 – i
C) 3 – i
soru 7
2
C) 1 – 2i
D) 2+i
B) – 12i
C) 12i
D) – 6i
E) 6i
E) i – 2
soru 4
soru 8
a, b, c olmak üzere,
ve
i=ò–1
2
ax +bx+c=0
ax +bx+c=0
denkleminde x =1+ñ3i olduuna göre, x . x çarpm kaçtr?
1
1 2
A) – 10
B) – 1 – 3i
a, b, c olmak üzere,
ve
2
denkleminde x =– 1+3i olduuna göre, denklemin dier kökü
1
kaçtr?
A) – 1+3i
E) 1+2i
a, b, c olmak üzere,
ve
ax +bx+c=0
i=ò–1
D) 1– 2i
soru 6
2
i=ò–1
C) 1+i
C) 1+3i
D) 1– 3i
B) 10
C) – 10i
D) 10i
E) 0
E) 3 – i
461
1–C
2–A
3–D
4–B
5–A
6–C
7–A
8–B
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 18 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerde Kök - Katsayı İlişkileri
2
ax +bx+c=0 denkleminde V>0 ise x1 b 2a
+
x2 ve
b 2a
+
dr.
Denklemin kökleri toplam;
x1 x 2 b 2a
+ b + b + b + 2b b
2a
2a
2a
a
dr.
Denklemin kökleri çarpm;
x1 .x 2 b 2a
+ . b + b 2 + 2a
4a 2
2
b2 b2 4ac 4ac c
dr.
4a 2
4a 2 a
2
ax +bx+c=0 denkleminde V0 ise, denklemin kökleri toplamn ve çarpmn bulmak için tek tek kökleri bulmaya gerek yoktur. Yukarda
elde ettiimiz eitliklerden kökler toplamn ve çarpmn bulabiliriz.
x1 x 2 b
a
x1 .x 2 ve
c
a
çözüm
kavrama sorusu
x2+x – 7=0
ax2+bx+c=0 denkleminin kökleri toplam,
b
olduundan,
a
x2+x – 7=0 denkleminde,
denkleminin kökleri x1 ve x2 olduuna göre, x1+x2 toplamn
bulunuz.
x1 x 2 a=1,
b=1
ve
c=– 7
b
x1 x 2 a
1
1 dir.
1
Cevap: – 1
çözüm
kavrama sorusu
2
2
x – 6x+3=0
ax +bx+c=0 denkleminin kökleri çarpm,
c
olduundan,
a
2
x – 6x+3=0 denkleminde,
denkleminin kökleri x1 ve x2 olduuna göre, x1. x2 çarpmn bulunuz.
x1.x 2 a=1,
b=– 6
ve
c=3
c
x1.x 2 a
3
3 dür.
1
Cevap: 3
çözüm
kavrama sorusu
x2– 5x+2=0
x2– 5x+2=0 denkleminde,
1
1
+
toplamn
denkleminin kökleri x1 ve x2 olduuna göre,
x1 x 2
bulunuz.
a=1,
b=– 5
ve
c=2
5 b
5
a
1
c 2
x1 .x 2 2
a 1
x x2 5
1
1
1
x1 x 2
x1.x 2
2
x1 x 2 x2 x1 Cevap:
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
462
¤¤¦¤Ú¤Ú
5
2
Test / 21
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
x2– x – 3=0
x2– 2x – 6=0
denkleminin kökleri x1 ve x2 olduuna göre, x1. x2 çarpm kaçtr?
denkleminin kökleri toplam kaçtr?
A) – 3
B) – 2
C) – 1
D) 0
E) 1
A) – 6
soru 2
B) – 4
E) 6
2x2– x – 12=0
denkleminin kökleri x1 ve x2 olduuna göre, x1+x2 toplam kaçtr?
denkleminin kökleri x1 ve x2 olduuna göre, x1. x2 çarpm kaçtr?
A) C) 1
D) 4
E) 5
www.kartezyen.com.tr
B) – 2
soru 3
1
2
1
3
1
2
C) 1
D) 6
E) 12
2
x – 4x+2=0
denkleminin kökleri x1 ve x2 olduuna göre, x1+x2 toplam kaçtr?
B) B)
soru 7
2
3x +x – 1=0
A) 3
D) 2
soru 6
x2– 4x+1=0
A) – 4
C) – 2
C) 1
D)
1
3
E) 3
soru 4
x1 . x 2
ifadesinin
denkleminin kökleri, x1 ve x2 olduuna göre,
x1 x 2
sonucu kaçtr?
A) 2
B) 1
C) 1
2
D)
1
2
E) 1
soru 8
2
x +10x+2=0
2
x – 3x+2=0
denkleminin kökleri çarpm kaçtr?
denkleminin kökleri x ve x olduuna göre, x . x +x +x ile1
2
1 2
1
2
minin sonucu kaçtr?
A) – 10
B) – 2
C) 1
D) 2
E) 10
A) – 1
B) 1
C) 3
D) 4
E) 5
463
1–E
2–D
3–B
4–D
5–A
6–D
7–D
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 19 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
çözüm
kavrama sorusu
x2– mx+3=0
x2– mx+3=0 denkleminde,
denkleminin kökleri x ve x dir. x +x =5 olduuna göre, m kaç1
2
1
2
tr bulunuz.
x1 x 2 m
m
1
x +x =5 verildiinden, m=5 tir.
1
2
Cevap: 5
çözüm
kavrama sorusu
x2– 3x+n=0
x2– 3x+n=0 denkleminde,
denkleminin kökleri x ve x dir. x . x =2 olduuna göre, n kaçtr
1
2
1
x1 .x 2 2
bulunuz.
c n
n
a 1
x . x =2 verildiinden, n=2 dir.
1
2
Cevap: 2
çözüm
kavrama sorusu
x2– 5x+n=0
x2– 5x+n=0 denkleminde,
denkleminin kökleri x ve x dir. 2x – x =1 olduuna göre, n kaç1
2
1
2
x1 x 2 tr bulunuz.
5 b
5
a
1
x +x =5
1
2
2x – x =1
1
2
3x1=6
x =2
1
ve
x2=3 bulunur.
Kökler çarpm,
n
2.3
1
n 6 dýr.
x1 .x 2 Cevap: 6
çözüm
kavrama sorusu
2
2
x – mx+8=0
x – mx+8=0 denkleminde,
denkleminin kökleri x ve x dir. x ve x pozitif ve x =2x olduu1
2
1
2
1
2
na göre, m kaçtr bulunuz.
x1 .x 2 c 8
8
a 1
x =2.x verildiinden,
1
2
x . x =2x . x =8
1 2
2 2
2x 2=8
2
x 2=4
2
x =2 (x ve x pozitif olduundan)
2
1
2
x =2 . x =2 . 2=4 bulunur.
1
2
x1 x 2 ( m)
m24
1
m6
Cevap: 6
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
464
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 22
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
x2– mx+2=0
x2– 4x+n=0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x1+x2=3 olduuna göre, m kaçtr?
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. 3x1+x2=6 olduuna göre, n kaçtr?
A) – 3
A) 2
B) – 2
C) 2
D) 3
E) 5
soru 2
D) 5
E) 6
x2– x+m=0
1
olduuna göre, m
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x1 x 2 2
kaçtr?
C) 2
D) 1
E)
1
2
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x1– x2=9 olduuna göre, m kaçtr?
A) – 20
B) – 10
C) – 5
D) – 1
E) 1
www.kartezyen.com.tr
B) 3
soru 3
soru 7
2
x – 7x+m=0
2
x +mx+8=0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x1 . x2=– 6 olduuna göre, m kaçtr?
2
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. x1=x2 olduuna göre, m kaçtr?
A) – 8
A) 6
C) 4
soru 6
mx2– 2x+3=0
A) 4
B) 3
B) 4
C) 3
D) – 3
B) – 6
C) 1
D) 6
E) 8
E) – 6
soru 4
soru 8
2
x +8x+m – 2=0
2
x – mx – 16=0
denkleminin kökleri x ve x dir. x . x =10 olduuna göre, m kaç1
2
1 2
denkleminin kökleri x ve x dir. x =– x olduuna göre, m kaç1
2
1
2
tr?
tr?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
A) – 4
B) – 2
C) 0
D) 2
E) 4
465
1–D
2–A
3–E
4–C
5–B
6–A
7–B
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 20 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
Kökleri Verilen İkinci Dereceden Denklemi Oluşturma
a, b, c ve a0 olmak üzere, ax2+bx+c=0 denklemini a ya bölelim,
ax 2 bx c 0
a
a a a
b
c
x2 x 0
a
a
N
N
Kökler
Toplamý
x1 x 2 elde edilir.
Kökler
Çarpýmý
x1 . x 2
Bu durumda; kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem
T=x1+x2 ve Ç=x1 . x2 olmak üzere,
x – Tx+Ç=0
2
biçiminde oluturulabilir.
çözüm
kavrama sorusu
Kökleri – 3 ve 2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi yaznz.
x =– 3
ve
1
x =2
2
T=x1+x2=– 3+2=– 1
Ç=x1. x2=(– 3) . 2=– 6
Kökler Toplam
Kökler Çarpm
x – Tx+Ç=0 ifadesinde yerlerine yazalm.
2
Denklem,
2
x – (– 1)x+(– 6)=0
2
x +x – 6=0 dr.
Cevap: x2+x – 6=0
çözüm
kavrama sorusu
Kökleri 2 ve 5 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi yaznz.
x =2
ve
1
x =5
2
T=x1+x2=2+5=7
Ç=x1. x2=2 . 5=10
Kökler Toplam
Kökler Çarpm
2
x – Tx+Ç=0 ifadesinde yerlerine yazalm.
Denklem,
x2– 7x+10=0
Cevap: x2– 7x+10=0
çözüm
kavrama sorusu
x2– x – 12=0
x2– x – 12=0 denkleminin kökler toplam ve çarpm,
T =x1+x2=1
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Kökleri 2x1 ve 2x2 olan denklemi yaznz.
1
Ç =x1. x2=– 12 dir.
ve
1
Kökleri 2x ve 2x olan ikinci denklemin kökler toplam ve çar1
2
pm,
T =2x1+2x2=2(x1+x2)=2 . 1=2
2
T =1
1
Ç2=2x1. 2x2=4 . x1. x2=4 .(– 12)=– 48
Ç =– 12
1
Yeni denklem;
2
x
– T2x+Ç2=0
2
x – 2x+(– 48)=0
x2– 2x – 48=0 dr.
2
Cevap: x – 2x – 48=0
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
466
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 23
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
1
ve 4 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk2
lem aadakilerden hangisidir?
Kökleri (– 1) ve 2 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem aadakilerden hangisidir?
2
2
A) x – 2x+2=0
2
B) x +x+2=0
2
D) x – x – 2=0
Kökleri
C) x – x+2=0
9
x20
2
9
C) x 2 2x 0
2
A) x 2 E) x2+x – 2=0
B) x 2 9
x20
2
D) x 2 2x 9 0
E) x 2 2x 9 0
soru 2
soru 6
Kökleri 2 ve 3 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem
Kökleri 2ñ3 ve ñ3 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli
aadakilerden hangisidir?
denklem aadakilerden hangisidir?
B) x2– 5x – 6=0
D) x2+5x – 6=0
C) x2– 5x+6=0
2
E) x +5x+6=0
soru 3
Kökleri 1 ve 3 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem
aadakilerden hangisidir?
2
A) x – 3x – 4=0
B) x2+3x – 4=0
2
D) x – 4x – 3=0
2
A) x – 3ñ3+6=0
www.kartezyen.com.tr
2
A) x +6x – 5=0
C) x2+4x+3=0
2
B) x2– 3ñ3x – 6=0
D) x2+ñ3x+6=0
C) x2– ñ3x+6=0
2
E) x – 2ñ3x+6=0
soru 7
2
x – 6x+8=0
x1
x2
olan ikinve
2
2
ci dereceden bir bilinmeyenli denklem aadakilerden hangisidir?
denkleminin kökleri x ve x dir. Kökleri
1
2
E) x – 4x+3=0
2
A) x +2x+3=0
B) x2+2x – 3=0
2
D) x +3x – 2=0
soru 4
C) x2– 2x+3=0
2
E) x – 3x+2=0
soru 8
Kökleri (– 3) ve (– 5) olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli
denklem aadakilerden hangisidir?
2
A) x +8x – 15=0
B) x2+8x+15=0
2
D) x – 8x+15=0
C) x2– 8x – 15=0
x2– 4x+3=0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Kökleri 3x1 ve 3x2 olan ikinci
dereceden bir bilinmeyenli denklem aadakilerden hangisidir?
2
E) x – 8x – 8=0
A) x2– 12x+9=0
B) x2– 9x+12=0
2
D) x +12x+9=0
C) x2– 12x+27=0
E) x2– 7x+12=0
467
1–D
2–C
3–E
4–B
5–B
6–A
7–E
8–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 21 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikleri
2
ax +bx+c=0 (a ! 0, a, b ve c ) ifadesinin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olduunu biliyoruz.
2
f(x)=ax +bx+c biçimindeki fonksiyonlara da ikinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyon denir.
kinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyonlarn grafiine parabol denir.
y
Simetri
ekseni
y
Tepe
noktasý
y eksenini
kestiði nokta
x eksenini
kestiði nokta
y eksenini
kestiði nokta
x eksenini
kestiði nokta
x
x
x eksenini
kestiði nokta
x eksenini
kestiði nokta
Simetri
ekseni
Tepe
noktasý
çözüm
kavrama sorusu
y f(x)
ekilde verilen grafik paraboldur. Yani ikinci dereceden bir
bilinmeyenli bir fonksiyonun
grafiidir.
y f(x)
x
x
I. f(x)=x – 3 Birinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyon olduundan, grafik bu fonksiyona ait deildir. ––
Yukarda verilen grafik, aadaki fonksiyonlardan hangilerine ait olabilir.
II. f(x)=x2+x+7 kinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyon olduundan, grafik bu fonksiyona ait olabilir. I. f(x)=x – 3
2
II. f(x)=x +x+7
III. f(x)=3x2 – x+1 kinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyon
olduundan, grafik bu fonksiyona ait olabilir. 2
III. f(x)=3x – x+1
3
IV. f(x)=x +x+6
IV. f(x)=x3+x+6 üçüncü dereceden bir bilinmeyenli fonksiyon
olduundan, grafik bu fonksiyona ait deildir. ––
Cevap: II ve III
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=ax2+bx+c ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem
f(x)=ax2+bx+c, (a ! 0, a, b, c ) olmak üzere,
f(x) fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisi olabilir?
olduundan grafii parabol eklinde
I)
biçiminde olmaldr.
y
II)
f(x)
y
f(x)
2
III. nolu grafik, f(x)=ax +bx+c, fonksiyonunun grafii olabilir.
III)
x
veya
y
x
x
III)
y
f(x)
Cevap: III
x
f(x)
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
468
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 24
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
y
soru 5
f(x)
f(x)=(x – 3).(x – 2)
fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisi olabilir?
x
A)
B)
y
f(x)
y
f(x)
Yukarda verilen grafik, aadaki fonksiyonlardan hangisine
ait olabilir?
2
A) f(x)=x – 5x+3
B) f(x)=x3 – x+3
4
D) f(x)=x +1
x
x
C) f(x)=x.(x2 – x+1)
C)
E) f(x)=x+3
D)
y
y
f(x)
soru 2
x
y
x
f(x)
E)
x
y
f(x)
Yukarda verilen grafik, aadaki fonksiyonlardan hangisine
ait olabilir?
A) f(x)=
1
x 1
B) f(x)=3x – 2
C) f(x)=
2
x
2
3
D) f(x)=– x +3x+1
E) f(x)=x – x
soru 3
y
www.kartezyen.com.tr
f(x)
x
soru 6
f(x)=– x2+4
fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisi olabilir?
A)
B)
y
f(x)
f(x)
y
x
x
f(x)
x
Yukarda verilen grafik, aadaki fonksiyonlardan hangisine
ait olabilir?
4
3
A) f(x)=x +x
B) f(x)=x3 – 1
C)
y
C) f(x)=x2+2x+6
y
x
1
E) f(x)=
x
D) f(x)=x – 1
D)
f(x)
x
f(x)
E)
soru 4
y
f(x)
a, b, c ve d sfrdan farkl reel saylar olmak üzere, aada verilen fonksiyonlardan hangisinin grafii paraboldür?
A) f(x)=c
B) f(x)=– b
2
x
C) f(x)=ax+b
3
2
E) f(x)=ax +bx +cx+d
D) f(x)=(ax+b)
469
1–A
2–D
3–C
4–D
5–E
6–B
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 22 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
kinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyonlarn grafiinin (parabol) çiziminde parabolün kollarnn yukar yönlü veya aa yönlü olup
olmadn, f(x)=ax2+bx+c ifadesindeki “a” katsaysnn iaretine bakarak tespit ederiz.
a>0 ise parabolün kollarý yukarý yönlü
a<0 ise parabolün kollarý aþaðý yönlü
çözüm
kavrama sorusu
y
y
f(x)=ax2+bx+c
x
f(x)=ax2+bx+c
x
2
Yukarda f(x)=ax +bx+c fonksiyonunun grafii verilmitir.
2
Verilen grafiin kollar yukar doru olduundan f(x)=ax +bx+c
fonksiyonunda a>0 olmaldr.
Buna göre, a saysnn iareti hakknda yorum yapnz.
Cevap: a>0
çözüm
kavrama sorusu
y
y
x
x
f(x)=ax2+bx+c
f(x)=ax2+bx+c
2
Yukarda f(x)=ax +bx+c fonksiyonunun grafii verilmitir.
2
Verilen grafiin kollar aa doru olduundan f(x)=ax +bx+c
fonksiyonunda a<0 olmaldr.
Buna göre, a saysnn iareti hakknda yorum yapnz.
Cevap: a<0
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=(x – 1).(2 – x)
f(x)=(x – 1).(2 – x) fonksiyonunun düzenleyelim.
fonksiyonu grafii aadakilerden hangisi olabilir?
f(x)=(x1).(2x)
I)
f(x)=2x – x2 – 2+x
II)
y
y
2
f(x)=– x +3x – 2
f(x)
x
x2 li terimin katsays negatif ol-
y
x
x
f(x)
f(x)
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
470
duundan, f(x) fonksiyonu grafiinin kollar aa yönlü olmaldr. I nolu grafik f(x) fonksiyonu
grafii olabilir.
Cevap: I
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 25
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 3
f(x)=ax2+bx+c
fonksiyonunda a, b ve c reel say a>0 olduuna göre, f(x) fonksiyon grafii aadakilerden hangisi olabilir?
fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisi olabilir?
A)
A)
B)
y
f(x)=(– x+1).(x – 6)
B)
y
y
f(x)
y
f(x)
x
x
x
f(x)
f(x)
C)
C)
D)
y
x
y
y
D)
y
f(x)
f(x)
x
x
x
f(x)
E)
E)
x
f(x)
soru 2
f(x)=ax2+bx+c
fonksiyonunda a, b ve c reel say a<0 olduuna göre, f(x) fonksiyon grafii aadakilerden hangisi olabilir?
y
f(x)
x
soru 4
B)
y
f(x)
f(x)=2.(3 – x)2
fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisi olabilir?
A)
A)
y
y
www.kartezyen.com.tr
f(x)
x
B)
y
y
f(x)
x
x
C)
x
C)
D)
y
y
f(x)
f(x)
D)
y
x
y
f(x)
x
x
x
f(x)
f(x)
f(x)
E)
x
E)
y
f(x)
y
f(x)
x
x
471
1–B
2–C
3–A
4–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 22 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
Grafiklerin (Parabolün) Tepe Noktası
kinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyon grafikleri aadaki gibidir.
y
y
b
f(x)
f fonksiyonunun alabilecei
en büyük deer x=a için
x
a
a
f fonksiyonunun alabilecei
en küçük deer x=a için
x
f(a)=b deeridir.
f(a)=b deeridir.
f(x)
b
Yukardaki grafiklerde de görüldüü üzere f fonksiyonunun alabildii en büyük ve en küçük deerleri oluturan noktalara, grafiin (parabolün) tepe noktalar denir.
çözüm
kavrama sorusu
Yanda grafii verilen
y
f fonksiyonunun alabilecei
f(x)
x
en küçük deer, x=– 1 için
f(x)
en küçük deer kaçtr,
1
f(x) fonksiyonunun alabilecei
y
f(– 1)=– 3 deeridir.
1
bulunuz.
3
x
3
En küçük
deðer
Cevap: – 3
çözüm
kavrama sorusu
y
y
En büyük
deðeri
1
1
x
2
x
2
f(x)
f(x)
Yukarda grafii verilen f fonksiyonunun alabilecei en büyük ve en küçük deeri kaçtr, bulunuz.
f(x) fonksiyonunun alabilecei en büyük deer x=2 için f(2)=1
deeridir.
Grafiin kollar –" doru gittii için alabilecei en küçük deeri
söyleyemeyiz.
çözüm
kavrama sorusu
f(x)
y
1/2
3
f(x)
y
1/2
x
3
Yukarda verilen f fonksiyonu grafiinin tepe noktasn bulunuz.
x
f(x) fonksiyonunun alabilecei en küçük deer, x=3 için f(3)=
deeridir.
1
2
1
f fonksiyonu grafiin tepe noktas koordinatlar T(r,k) r=3 ve k=
2
olmak üzere, T(3,1/2) dir.
Cevap: (3,1/2)
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
472
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 26
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
y
soru 5
f(x)
y
4
2
3
x
1
5
x
2
f(x)
Yukarda grafii verilen f fonksiyonunun alabilecei en küçük deer kaçtr?
Yukarda verilen f fonksiyonu grafiinin tepe noktasnn apsisi kaçtr?
A) – 1
A) – 5
B) 0
C) 1
D) 2
soru 2
E) 3
B) – 2
C) 0
soru 6
y
y
f(x)
E) 4
f(x)
3
2
1
x
2
D) 2
2
x
Yukarda grafii verilen f fonksiyonunun alabilecei en küçük deer kaçtr?
A) – 3
B) – 2
C) – 1
soru 3
D) 0
E) 1
y
4
2
www.kartezyen.com.tr
2
Yukarda verilen f fonksiyonu grafiinin tepe noktasnn ordinat kaçtr?
A) – 2
B) 0
soru 7
C) 2
D) 3
E) 4
y
4
x
2
0
x
3
f(x)
f(x)
Yukarda grafii verilen f fonksiyonunun alabilecei en büyük deer kaçtr?
Yukarda verilen f fonksiyonu grafiinin tepe noktas aadakilerden hangisidir?
A) – 2
A) (0,3)
B) 0
C) 2
D) 4
E) 6
C) (3,4)
soru 8
y
soru 4
B) (3,3)
D) (0,4)
E) (4,3)
y
f(x)
3
3
x
3
x
9
4
f(x)
Yukarda verilen f fonksiyonu grafiinin tepe noktas aa-
Yukarda grafii verilen f fonksiyonunun alabilecei en bü-
dakilerden hangisidir?
yük deer kaçtr?
A) (3,0)
A) – 4
B) – 3
C) –1
D) 0
B) (0,– 3)
C) (– 3,3)
D) (– 9,0)
E) (0,– 9)
E) 1
473
1–A
2–E
3–D
4–D
5–B
6–A
7–C
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 23 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
a, b, c ve a ! 0 olmak üzere, f(x)=ax2+bx+c biçimindeki ikinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyonlarn grafiklerinin tepe noktas
b
T(r,k) olmak üzere, r ve k=f(r) formülleri ile bulunur.
2a
Tepe noktasnn ordinat k 4a c b2
formülü ile de bulunabilir.
4a
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=x2 – 4x+1
f(x)=x2 – 4x+1 fonksiyonunda, a=1, b=– 4 ve c=1
b
ve k=f(r) olduunTepe noktasnn koordinatlar T(r,k); r 2a
dan,
fonksiyonu grafiinin tepe noktasn bulunuz.
r
( 4)
2
2 1
k=f(2)=22 – 4 . 2+1
=4 – 8+1
=– 3
Tepe noktasnn koordinatlar T(2,– 3) tür.
Cevap: T(2,– 3)
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=2x2 – x+5
f(x)=2x2 – x+5 fonksiyonunda, a=2, b=– 1 ve c=5
fonksiyonu grafiinin tepe noktasn bulunuz.
Tepe noktas T(r,k);
r
b
(1) 1
2a
2¸2 4
1¬
1 ¬2 1
2
1
39
k f  2 ¸  5 5
4 ®
4 ®
4
16 4
8
1 39 ¬
Tepe noktasnn koordinatlar T , 
4 8 ®
1 39 ¬
Cevap: T , 
4 8 ®
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=(m – 2)x2 – mx+3
f(x)=(m – 2)x2 – mx+3 fonksiyonunda, a=m – 2, b=– m ve c=3
fonksiyonun grafiinin tepe noktasnn apsisi 2 olduuna göre,
m kaçtr, bulunuz.
r
b
( m)
2
2a
2 (m 2)
m
2
2m 4
m 4m 8
8
m
3
Cevap:
8
3
çözüm
kavrama sorusu
Parabolün tepe noktasnn ordinat k=– 5 tir.
y
f(x)
f(x)=x2 – 2mx – 4
x
r
( 2m)
m
2
2
k=f(m)=m – 2m.m – 4=– 5
2
– m – 4=– 5
2
m =1
5
m=1 veya m=– 1 dir.
Tepe noktasnn apsisi pozitif tarafta olduu için m=1 dir.
Yukarda f(x) parabolü verilmitir.
Cevap: 1
2
f(x)=x – 2mx – 4 olduuna göre, m kaçtr, bulunuz.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
474
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 27
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
2
f(x)=x – 2x – 6
f(x)=(m – 3) – 2mx+3
fonksiyonu grafiinin tepe noktasnn apsisi 2 olduuna göre, m
kaçtr?
fonksiyonu grafiinin tepe noktas aadakilerden hangisidir?
A) (– 1,– 6)
B) (1,– 6)
C) (1,– 7)
D) (2,6)
E) (2,7)
A) – 2
soru 2
B) 0
C) 2
soru 6
D) 4
y
E) 6
f(x)
2
f(x)=3x – 6x+1
fonksiyonu grafiinin tepe noktas aadakilerden hangisidir?
A) (– 2,1)
B) (– 2,2)
C) (0,1)
D) (1,– 2)
x
3
E) (1,– 1)
2
Yukarda f(x)=(m – 1)x – (m+4)x+9 parabolü verilmitir.
www.kartezyen.com.tr
Buna göre, m kaçtr?
soru 3
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
soru 7
2
f(x)=x – 4x
2
f(x)=x – mx+10
fonksiyonu grafiinin tepe noktas aadakilerden hangisidir?
fonksiyonu grafiinin tepe noktasnn ordinat 1 olduuna göre,
m aadakilerden hangisi olabilir?
A) (2,– 4)
A) 7
B) (2,– 2)
C) (2,0)
D) (– 2,0)
E) (– 2,4)
soru 4
B) 6
C) 5
soru 8
f(x)
fonksiyonu grafiinin tepe noktas aadakilerden hangisidir?
B) (0,ñ5)
E) 3
y
f(x)=5 – x2
A) (0,5)
D) 4
C) (– ñ5,0)
D) (ñ5,0)
x
2
E) (5,0)
2
Yukarda f(x)=x – mx – 1 parabolü verilmitir.
Buna göre, m kaçtr?
A) – 3
B) – 2
C) – 1
D) 0
E) 2
475
1–C
2–D
3–A
4–A
5–E
6–C
7–B
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 24 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
Fonksiyon Grafiğinin y Ekseninin Kestiği Noktaların Bulunması
y
(0,3)
(0,2)
Fonksiyon grafii çizimlerinde, grafiklerin eksenleri kestikleri
noktalar bulmamz gerekir.
(0,1)
x
Fonksiyon grafiinin y eksenini kestii noktay bulmak için x yerine sfr deerini veririz.
(0,1)
(0,2)
(0,3)
çözüm
kavrama sorusu
I)
II)
y
III)
y
2 3
x
3
g(x)
2
x
0
4
f(x) grafiinin y eksenini kestii
nokta (0, 1) noktasdr.
y
y eksenini
kestiði
nokta
h(x)
f(x)
1
I)
y
1
x
f(x)
x
2 3
4
II)
Yukarda grafikleri verilen f, g ve h fonksiyonlarnn y eksenini kestii noktalar bulunuz.
g(x) fonksiyonu grafiinin y eksenini kestii nokta (0, – 4) nok-
y
tasdr.
3
2
x
y eksenini
kestiði
nokta
4
g(x)
III)
h(x) fonksiyonu grafiinin y eksenini kestii nokta (0, 0) noktasdr.
y
0
y eksenini
kestiði
nokta
h(x)
4
x
çözüm
kavrama sorusu
2
f(x)=x – x – 8
f(x) fonksiyonu grafiinin y eksenini kestii noktay bulmak için x=0
deeri verilir.
fonksiyonu grafiinin, y eksenini kestii noktay bulunuz.
2
x=0 için y=f(0)=0 – 0 – 8
y=– 8
f fonksiyonu grafii, y eksenini (0, – 8) noktasnda keser.
Cevap: (0, – 8)
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=(x+2).(x+3)
x=0 deerini fonksiyonda yazalm
fonksiyonu grafiinin, y eksenini kestii noktann ordinatn
x=0 için y=f(0)=(0+2).(0+3) y=2.3=6
bulunuz.
f fonksiyonu grafii, y eksenini (0,6) noktasnda keser. Kestii
noktann ordinat 6 dr.
Cevap: 6
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
476
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 28
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
y
f(x)
2
2
f(x)=(x – 2) . (x+4)
fonksiyonu grafiinin y eksenini kestii nokta aadakilerden hangisidir?
x
1
A) (0,– 8)
B) (0,– 4)
C) (0,– 2)
D) (0,4)
E) (0,8)
f(x) fonksiyonu grafiinin y eksenini kestii nokta aadakilerden hangisidir?
A) (2,0)
B) (– 2,0)
C) (– 1,0)
D) (0,2)
E) (0,– 2)
soru 6
f(x)=(– x+3) . (x – 1)
fonksiyonu grafii aadakilerden hangisi olabilir?
soru 2
A)
y
4
x
3
f(x)
f(x) fonksiyonu grafiinin y eksenini kestii noktann ordinat
aadakilerden hangisidir?
A) – 3
B) – 2
C) 0
D) 2
E) 4
www.kartezyen.com.tr
2
B)
y
y
x
1
x
3
C)
D)
y
y
3
1
x
x
E)
y
3
soru 3
x
f(x)=x2+3x+2
fonksiyonu grafiinin y eksenini kestii nokta aadakilerden hangisidir?
A) (3,0)
B) (2,0)
C) (0,1)
D) (0,3)
E) (0,2)
soru 4
soru 7
f(x)=– x2+5x+10
f(x)=(x – 1)2+4
fonksiyonu grafiinin y eksenini kestii noktann ordinat
aadakilerden hangisidir?
fonksiyonu grafiinin y eksenini kestii nokta aadakilerden hangisidir?
A) – 10
A) (0,5)
B) – 5
C) 5
D) 10
E) 15
B) (0,4)
C) (0,3)
D) (0,2)
E) (0,1)
477
1–D
2–A
3–E
4–D
5–A
6–B
7–A
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 25 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
Fonksiyon Grafiğinin x Eksenini Kestiği Noktaların Bulunması
y
x ekseni üzerindeki noktalarn ordinatlar yani “y” deerleri sfrdr.
(3,0) (2,0) (1,0)
(1,0) (2,0) (3,0)
x
Dolaysyla fonksiyon grafiklerinin x eksenini kestii noktalar bulmak için fonksiyonu (y deerini) sfra eitleriz.
çözüm
kavrama sorusu
I)
II)
g(x)
y
3
III)
y
y
I)
h(x)
f(x) fonksiyonunun x eksenini
y
kestii noktalar (–2,0) ve (4,0) dr.
3
4
2
4
2
x
1
x
x
4
2
x
x eksenini x eksenini f(x)
kestiði
kestiði
nokta
nokta
f(x)
Yukarda grafikleri verilen f, g ve h fonksiyonlarnn x eksenini kestii noktalar bulunuz.
II)
g(x)
y
g(x) fonksiyonunun x eksenini
kestii nokta (–1,0) dr.
2
x
1
x eksenini
kestiði
nokta
III)
y
h(x) fonksiyonu x eksenini kesmiyor.
h(x)
4
x
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=x2 – x – 12
y=f(x)=x2 – x – 12 fonksiyonu x eksenini kestii noktalar bulmak
için, fonksiyonu sfra eitleriz. (Yani y deeri sfra eitlenir)
fonksiyonu grafiinin x eksenini kestii noktalar bulunuz.
y=x2 – x – 12=0 denkleminin kökleri grafiin x eksenini kestii
2
noktalardr. x – x – 12=0
x
–4
x
+3
(x–4).(x+3)=0 x=4 veya x=– 3
f fonksiyonu grafiinin x eksenini kestii noktalar (4,0) ve (– 3,0) dr.
Cevap: (4,0) ve (– 3,0)
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=(x – 1)2 – 4
Fonksiyonu sfra eitleyelim. (x – 1)2 – 4=0 (x – 1)2=4
x – 1=2 veya x – 1=– 2 x=3 veya x=– 1
fonksiyonu grafiinin x eksenini kestii noktalar bulunuz.
f(x) fonksiyonu grafiinin x eksenini kestii noktalar
(3, 0) ve (– 1, 0) dr.
Cevap: (3, 0) veya (–1, 0)
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
478
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 29
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 4
y
f(x)
1
1
f(x)=x2 – 10x+25
fonksiyonu grafiinin x eksenini kestii noktalar aadakilerden hangisidir?
x
3
A) (– 5,0) ve (5,0)
B) (– 5,0)
D) (–5,0) ve (10,0)
f(x) fonksiyonu grafiinin x eksenini kestii noktalar aadakilerden hangisidir?
A) (0,1) ve (0,3)
B) (1,0) ve (3,0)
D) (0,1) ve (3,0)
soru 5
C) (0,1) ve (3,0)
f(x)=(x – 5).(x+2)
E) (0,0) ve (3,0)
fonksiyonu grafiinin x eksenini kestii noktalar aadakilerden hangisidir?
A) (0,2) ve (0,5)
B) (2,0) ve (5,0)
D) (–5,0) ve (2,0)
soru 2
C) (5,0)
E) (– 10,0) ve (– 5,0)
C) (– 5,0) ve (– 2,0)
E) (– 2,0) ve (5,0)
y
soru 6
2
f(x)=3 . (x+2).(x+1)
4
x
f(x)
f(x) fonksiyonu grafiinin x eksenini kestii noktalar aadakilerden hangisidir?
A) (2,0) ve (4,0)
B) (2,0) ve (– 1,0)
D) (0,–1) ve (4,0)
C) (0,–1) ve (0,4)
E) (–1,0) ve (4,0)
www.kartezyen.com.tr
1
fonksiyonu grafiinin x eksenini kestii noktalar aadakilerden hangisidir?
A) (– 1,0) ve (2,0)
C) (– 2,0) ve (– 1,0)
E) (– 6,0) ve (– 3,0)
f(x)=(x – 2)2 – 1
fonksiyonu grafii aadakilerden hangisi olabilir?
A)
B)
y
3
soru 3
B) (– 2,0) ve (1,0)
soru 7 D) (– 3,0) ve (6,0)
1
y
1
x
3
x
f(x)=x2 – 2x – 3
fonksiyonu grafiinin x eksenini kestii noktalar aadakilerden hangisidir?
A) (– 3,0) ve (1,0)
B) (– 3,0) ve (2,0)
D) (–2,0) ve (3,0)
C)
C)
y
y
C) (–1,0) ve (3,0)
E) (–3,0) ve (– 1,0)
3
1
E)
3
x
1
3
x
y
x
1
479
1–B
2–E
3–C
4–C
5–E
6–C
7–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 25 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
2
2
f(x)=ax +bx+c fonksiyonunun x eksenini kestii noktalar bulmak için f(x) fonksiyonu sfra eitlenir. Bu durumda ax +bx+c=0 denkleminin kökleri bulunur. Özetle, f(x)=ax2+bx+c fonksiyonunun x eksenini kestii noktalar ax2+bx+c=0 denkleminin kökleridir.
2
ax +bx+c=0 denkleminin kökleri diskriminantna bal olarak
#>0 ise iki farkl kök
#=0 ise çift katl kök
#<0 ise kök yoktur.
biçiminde olduunu hatrlyoruz. Bu durumda,
2
2
f(x)=ax +bx+c fonksiyonunun grafii ax +bx+c=0 denkleminin diskriminant # ya göre,
y
y
x
x
D>0 ise parabol x eksenini iki farklý noktada keser.
y
y
x
x
D=0 ise parabol x eksenine teðettir.
y
y
x
D<0 ise parabol x eksenini kesmez.
x
kavrama sorusu
çözüm
f(x)=ax2+bx+c fonksiyonu veriliyor.
f(x)=ax2+bx+c fonksiyonunun x eksenini kestii noktalar
ax2+bx+c=0 denkleminin kökleridir.
2
ax +bx+c=0 denkleminin diskriminant #>0 olduuna göre,
f(x) fonksiyonunun grafii hakknda yorum yapnz.
2
ax +bx+c=0 denkleminin diskriminant #>0 olduundan iki
farkl kökü vardr. f fonksiyonunun grafii x eksenini iki farkl noktada keser, fonksiyonunun grafii aadaki gibidir.
y
y
x
veya
x
çözüm
kavrama sorusu
y
y
x
x
f(x)
f(x)
2
2
f(x)=ax +bx+c fonksiyonu grafiinin kollar aa yönlü olduundan a<0 dr.
Yukarda f(x)=ax +bx+c fonksiyonu grafii verilmitir.
2
Buna göre, ax +bx+c=0 denklemi hakknda yorum yapnz.
y eksenini negatif bölgede kestiinden c<0 dr.
2
x eksenine teet olduundan, #=b – 4ac=0 dr.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
480
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 30
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 3
2
f(x)=ax +bx+c fonksiyonu veriliyor.
f(x)=ax2+bx+c fonksiyonu veriliyor.
2
2
ax +bx+c=0 denkleminin diskriminant #>0 olduuna göre,
f(x) fonksiyonu grafii aadakilerden hangisi olabilir?
A)
B)
y
ax +bx+c=0 denkleminin diskriminant #=0 ve a>0 olduuna
göre, f(x) fonksiyonu grafii aadakilerden hangisi olabilir?
y
x
A)
B)
y
y
x
x
C)
D)
y
y
x
E)
C)
D)
y
x
www.kartezyen.com.tr
2
f(x)=ax +bx+c fonksiyonu veriliyor.
ax2+bx+c=0 denkleminin diskriminant #<0 olduuna göre,
f(x) fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisi olabilir?
y
x
soru 4
y
Yanda f(x)=ax2+bx+c
fonksiyonu grafii verilmitir.
x
a, b ve c katsaylar ile
B)
y
x
E)
soru 2
y
x
y
x
A)
x
y
2
ax +bx+c=0 denklemi için
f(x)
aada verilen ifadelerden
x
hangisi yanltr?
x
A) a<0
C)
D)
y
B) c>0
C) #<0
2
E) b >4ac
D) a . c<0
y
soru 5
x
x
y
f(x)
2
Yanda f(x)=ax +bx+c
fonksiyonu grafii verilmitir.
E)
x
a, b ve c katsaylar ile
y
2
ax +bx+c=0 denklemi için
aada verilen ifadelerden
x
hangisi dorudur?
A) a<0
B) c<0
C) #=0
2
D) b <4ac
E) b2>4ac
481
1–E
2–C
3–B
4–C
5–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 26 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
çözüm
kavrama sorusu
y
1
y
f(x)
3
x
1
2
Yukarda f(x)=x – mx+3 parabolü verilmitir.
f(x)
3
x
Grafiin x eksenini kestii noktalar x=1 ve x=3 deerleri,
2
x – mx+3=0 denkleminin kökleridir ve denklemi salamak durumundadr. Köklerden bir tanesini denklemde yerine koyarak
m yi bulabiliriz.
Buna göre, m kaçtr, bulunuz.
2
x=1 için 1 – m . 1+3=0
m=4
Cevap: 4
çözüm
kavrama sorusu
y
2
y
1
2
x
1
f(x)
x
f(x)
2
2
Yukarda f(x)=– x +mx+n parabolü verilmitir.
– x +mx+n=0 denkleminin kökleri x=– 2 ve x=– 1 dir.
b
olduundan,
Kökler toplam x1+x2=–
a
m
(– 2)+(– 1)=–
1
m=– 3
c
olduundan,
Kökler çarpm x1 . x2=
a
n
(– 2) . (– 1)=
1
n=– 2
Buna göre, m ve n kaçtr, bulunuz.
Cevap: m=– 3 ve n=– 2
çözüm
kavrama sorusu
y
Grafik x eksenine teettir. Yani, x2+mx+4=0 denkleminin çift
f(x)
katl kökü vardr ve #=0 dr.
2
#=b – 4a . c
2
=(m) – 4.1.4=0
x
m2 – 16=0
m=– 4 veya m=4
Denkleminin kökleri x ekseninin pozitif tarafnda olduu için
b
m
x1 x 2 0 olmal 0 ve m 0 dr.
a
1
Bu durumda, m=– 4 tür.
2
Yukarda f(x)=x +mx+4 parabolü verilmitir.
Buna göre, m kaçtr, bulunuz.
Cevap: m=– 4
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
482
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 31
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
y
soru 5
f(x)
2
y
f(x)
x
3
x
1
3
2
Yukarda f(x)=x +mx+6 parabolü verilmitir.
2
Yukarda f(x)=x +mx+n parabolü verilmitir.
Buna göre, m kaçtr?
Buna göre, m+n toplam kaçtr?
A) – 6
B) – 5
C) – 4
soru 2
D) – 3
E) – 2
A) – 1
B) 3
C) 4
soru 6
y
D) 7
E) 10
y
f(x)
x
1
2
x
5
1
f(x)
2
2
Yukarda f(x)=– x +mx+n parabolü verilmitir.
Buna göre, m kaçtr?
A) 2
B) 1
C) 0
soru 3
D) – 1
E) – 2
y
1
3
x
www.kartezyen.com.tr
Yukarda f(x)=x +x+m parabolü verilmitir.
Buna göre, m+n toplam kaçtr?
A) – 2
B) – 1
C) 0
soru 7
D) 1
E) 3
y
x
f(x)
f(x)
2
Yukarda f(x)=– x – m parabolü verilmitir.
2
Yukarda f(x)=mx +2x+3 parabolü verilmitir.
Buna göre, m kaçtr?
A) – 3
Buna göre, m kaçtr?
B) – 2
C) – 1
soru 4
D) 0
E) 1
A) – 2
B) – 1
C) 0
soru 8
y
2
y
D) 1
E) 2
f(x)
x
x
f(x)
2
Yukarda f(x)=– x +mx – 4 parabolü verilmitir.
2
Yukarda f(x)x=x +mx+9 parabolü verilmitir.
Buna göre, m kaçtr?
Buna göre, m tam saysnn alabilecei en büyük deer kaçtr?
A) 4
B) 2
C) 0
D) – 2
E) – 4
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
483
1–B
2–E
3–C
4–E
5–D
6–D
7–C
8–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 27 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
Parabolün Simetri Ekseni
Parabol simetrik bir ekildir ve simetri ekseni parabolün tepe noktasnn apsisinden geçen x=r dorusudur.
y
Tepe noktasnn apsisi r f(x)
ekseni de x x1
x2
r
x
b
olduundan, parabolün simetri
2a
b
dorusudur.
2a
x=r
çözüm
kavrama sorusu
2
2
f(x)=x – 10x+9
f(x)=ax +bx+c fonksiyonu grafiinin simetri ekseni
fonksiyonu grafiinin simetri eksenini bulunuz.
x
b
dorusudur.
2a
f(x)=x2 – 10x+9
y
olduundan
f(x)
simetri ekseni,
x
5
x
( 10)
2 1
x=5 dorusudur.
x=5 simetri doðrusu
Cevap: x=5
çözüm
kavrama sorusu
Yanda verilen f(x) parabolün
simetri ekseni x=–1 dorusudur.
y
m
1
1
x
|TB|=1 – (– 1)=2 br
y
|AT|=|TB| olmal
|AT|=– 1 – m=2
Buna göre, m kaçtr, bulunuz.
m
T
A 1
1
B
f(x)
x
m=– 3 tür.
f(x)
x= 1
x=1
Cevap: – 3
çözüm
kavrama sorusu
f(x)= – x2+mx – 12
Simetri ekseni x parabolün simetri ekseni x=2 dorusu olduuna göre, m kaçtr,
bulunuz.
x
b
dorusu
2a
m
2
2 ( 1)
m=4 bulunur.
Cevap: 4
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
484
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 32
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
y
Yanda verilen f(x) parabolün tepe noktas T(– 2,– 1)
olduuna göre, parabolün
simetri ekseni aadaki-
soru 5
f(x)
y
f(x)
Yanda verilen f(x) parabolün simetri ekseni aadakilerden hangisidir?
x
1
T
5
x
lerden hangisidir?
A) x=– 2 dorusu
B) x=– 1 dorusu
D) y=– 2 dorusu
A) x=1 dorusu
C) x=0 dorusu
E) y=– 1 dorusu
soru 2
Yanda verilen f(x) parabolün simetri ekseni aa3
C) x=3 dorusu
E) x=5 dorusu
soru 6
y
9
dakilerden hangisidir?
B) x=2 dorusu
D) x=4 dorusu
Yanda verilen f(x) parabolün simetri ekseni aa-
x
3
y
1
dakilerden hangisidir?
5
f(x)
B) x=3 dorusu
D) x=0 dorusu
C) x=– 3 dorusu
E) y=9 dorusu
soru 3
f(x)=x2 – 2x – 15
fonksiyonu grafiinin simetri ekseni aadakilerden hangisidir?
www.kartezyen.com.tr
f(x)
A) x=9 dorusu
A) x=– 2 dorusu
B) x=– 1 dorusu
D) x=1 dorusu
C) x=0 dorusu
E) x=2 dorusu
soru 7
y
Yanda verilen f(x) parabolünün simetri ekseni x=– 1
4
dorusudur.
a
Buna göre, a kaçtr?
A) x=– 1 dorusu
B) x=1 dorusu
D) x=3 dorusu
x
f(x)
C) x=2 dorusu
E) x=– 3 dorusu
x=1
A) – 2
soru 4
B) – 1
C) 0
D) 1
E) 2
soru 8
2
f(x)=4x – x – 6
2
f(x)=x – 2mx+15
fonksiyonu grafiinin simetri ekseni aadakilerden hangisidir?
A) x=
x
1
dorusu
2
D) x=
B) x=
1
dorusu
4
1
dorusu
10
E) x=
C) x=
1
dorusu
8
parabolünün simetri ekseni x=4 dorusu olduuna göre, m
kaçtr?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
1
dorusu
16
485
1–A
2–D
3–B
4–C
5–C
6–E
7–E
8–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 28 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
Parabol Çizimi
kinci dereceden bir bilinmeyenli fonksiyonlarn grafii parabolü çizmek için aadaki admlar izlenir.
2
f(x)=ax +bx+c (a, b, c reel say ve a ! 0 olmak üzere)
1. f(x)=ax2+bx+c fonksiyonunda a nn iareti incelenerek, parabolün kollarnn yönü tespit edilir.
2. x=0 deeri verilerek parabolün y eksenini kestii nokta bulunur.
3. y=0 deeri verilerek yani fonksiyon sfra eitlenerek parabolün x eksenini kestii noktalar bulunur.
b
ve k=f(r) ile parabolün tepe noktas T(r, k) bulunur.
4. r 2a
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=x2 – 3x – 4
f(x)=x2 – 3x – 4
fonksiyonunun grafiini çiziniz.
a=1, b=– 3 ve c=– 4
1. a>0 olduundan parabolün kollar yukar doru
2
2. x=0 için y=f(0)=0 – 3 . 0 – 4
y=– 4
Parabol (0, – 4) noktasnda y eksenini keser.
2
3. y=0 için x – 3x – 4=0
(x – 4).(x+1)=0
x=4 ve x=–1
Parabol x eksenini (– 1, 0) ve (4, 0) noktalarnda keser.
4.
r
b
( 3) 3
olduundan r 2a
2 1 2
y
3 ¬ 3 ¬2
3
25
k f   3 ¸ 4 2 ® 2 ®
2
4
Parabolün tepe noktas
f(x)
3/2
1
3 25 ¬
T ,  tür.
2
4®
4
x
4

25
4
T
çözüm
kavrama sorusu
2
2
f(x)=– x +4x
f(x)=– x +4x
fonksiyonunun grafiini çiziniz.
a=– 1, b=4 ve c=0
1. a<0 olduundan parabolün kollar aa doru
2
2. x=0 için y=f(0)=– 0 +4 . 0=0
Parabol y eksenini (0, 0) noktasnda keser.
3. y=0 için – x2+4x=0
–x . (x – 4)=0
x=0 ve x=4
Parabol x eksenini (0, 0) ve (4, 0) noktalarnda keser.
4.
r
y
b
4
2
olduundan r 2a
2 ( 1)
4
k=f(2)=– 22+4.2=4
T
Parabolün tepe noktas T(2,4) tür.
2
x
4
f(x)
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
486
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 33
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 3
f(x)=x2 – 2x – 3
f(x)=–x2+2x
fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisidir?
fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisidir?
A)
A)
B)
y
y
4
y
4
f(x)
1
1
x
3
1
3 2 1 1
2
y
D)
C)
x
1
3
E)
y
x
1
1
1
f(x)
3
www.kartezyen.com.tr
f(x)=x2 – 4x – 5
fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisidir?
y
A)
2
1
5
x
1
11
D)
f(x)
3 5
9
f(x)
5
A)
x

5
2
f(x)
1
y
5
2
2
x
3 1
2
C)
y

1
1
2
y
x
1
2
x
f(x)
D)
y
9
4
f(x)
y
B)
y
9
4
6
E)
f(x)=–x2+x+2
f(x)
5 3 1 1
x
x
fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisidir?
f(x)
2
soru 4
1
9
y
2
f(x)
5
y
f(x)
E)
2 1
2
5
6
C)
y
B)
f(x)
x
x
3
4
soru 2
x
2
f(x)
1
2
1
3
4
4
1
x
y
1
f(x)
2 3
D)
y
y
f(x)
11
2
2
4
y
1
1
f(x)
C)
f(x)
x
x
3
B)
f(x)
2
1
x
5
2
2
1
2
2
x
f(x)
E)
y
4
2
x
1
5
6
1
2
x
f(x)
487
1–E
2–B
3–D
4–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 29 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
2
Fonksiyon grafikleri konusunda daha önce gördüümüz gibi, f(x)=x fonksiyonu grafii üzerinde ötelemeler yaparak parabol grafiini
çizebiliriz.
y
y
f(x)=x2+c
f(x)=ax2
a>1 ise
f(x)=x2
f(x)=ax2
f(x)=x2
a<1 ise
c>0
ise
x
c<0
ise
f(x)=x2+c
x
çözüm
kavrama sorusu
2
f(x)=3x
y
y f(x)=3x2
f(x)=x2
fonksiyonu grafiini çiziniz.
y f(x)=3x2
f(x)=x2
x
x
x
x2 nin katsayýsý büyüdüðü için parabolün kollarý
y eksenine yaklaþýr.
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=
y
x2
4
y
f(x)=x2
y
f(x)=x2
f(x)=x2/4
fonksiyonu grafiini çiziniz.
x
f(x)=x2/4
x
x
x2 nin katsayýsý küçüldüðü için parabolün kollarý
y ekseninden uzaklaþýr.
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=x2+1
y
y f(x)=x2+1
2
f(x)=x
fonksiyonu grafiini çiziniz.
2
y f(x)=x +1
f(x)=x2
x
1
1
x
x
f(x)=x2 parabolü
1 birim yukarý ötelenir.
çözüm
kavrama sorusu
2
f(x)=x – 2
y
y
f(x)=x2
fonksiyonu grafiini çiziniz.
y
f(x)=x2
f(x)=x2 2
x
x
2
f(x)=x2 2
x
2
f(x)=x2 parabolü
2 birim aþaðý ötelenir.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
488
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 34
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 3
f(x)=2x2
fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisidir?
fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisidir?
A)
B)
y
y
f(x)=x2+2
A)
f(x)
x
y
x
B)
f(x)
y
2
x
2
f(x)
x
C)
f(x)
y
D)
f(x)
C)
y
D)
y
2
f(x)
f(x)
x
2
f(x)
x
E)
x
2
E)
y
y
f(x)
x
www.kartezyen.com.tr
x
2
soru 2
f(x)=x2 – 1
fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisidir?
B)
y
x
2
f(x)
A)
y
y
2
soru 4
f(x)=– x2 – 1
fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisidir?
A)
f(x)
y
B)
f(x)
y
f(x)
1
x
D)
y
C)
y
D)
y
y
f(x)
x
1
x
f(x)
x
x
1
1
E)
x
1
x
f(x)
C)
x
1
1
f(x)
y
f(x)
E)
f(x)
y
x
1
1
x
f(x)
489
1–B
2–C
3–A
4–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 30 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
2
f(x)=x fonksiyonu grafii yardmyla yine f(x+c) ve f(x–c) fonksiyonlar grafikleri ötelemeler yardmyla çizilebilir.
y
y
c>0 ise
f(x)=x2
f(x)=(x+c)2
x
y
c<0 ise
f(x)=x2
f(x)=x2
x
c birim
sola
f(x)=(x+c)2
x
c birim
saða
çözüm
kavrama sorusu
2
f(x)=(x+1)
1
y
fonksiyonu grafiini çiziniz.
2
y f(x)=(x+1)2
f(x)=x2
f(x)=x
x
3
x
1
y f(x)=(x+1)2
2
x
1
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=(x – 3)2
1
fonksiyonu grafiini çiziniz.
2
y f(x)=x2
f(x)=x2
3
y
y f(x)=(x 3)2
f(x)=(x 3)2
x
3
x
x
3
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=(x+2)2+1
1
fonksiyonu grafiini çiziniz.
y f(x)=x2
2
x
y
f(x)=(x+2)2
3
x
2
y f(x)=(x+2)2+1
2
1
x
çözüm
kavrama sorusu
2
f(x)=(x – 1) – 2
1
fonksiyonu grafiini çiziniz.
y
2
f(x)=x2
x
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
490
y f(x)=(x1)2
1
x
3
y
f(x)=(x1)2 2
1
2
x
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 35
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 3
f(x)=(x+2)2
f(x)=(x+1)2 – 1
fonksiyonu grafii aadakilerden hangisidir?
fonksiyonu grafii aadakilerden hangisidir?
A)
A)
B)
y
y
B)
y
y
2
2
C)
x
2
D)
y
2
x
C)
y
x
D)
y
1
x
1
y
x
1
x
www.kartezyen.com.tr
1
soru 2
f(x)=(x – 1)2
soru 4
f(x)=(x – 3)2+1
fonksiyonu grafii aadakilerden hangisidir?
fonksiyonu grafii aadakilerden hangisidir?
A)
A)
B)
y
1
y
x
3
1
C)
D)
y
1
x
1
E)
C)
y
x
1
y
3
1
x
D)
y
3
1
3
E)
x
y
3
x
x
y
x
y
1
B)
y
1
x
x
1
E)
y
2
y
x
2
2
E)
x
1
x
1
1
x
491
1–B
2–C
3–E
4–D
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 31 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
2
2
2
ax +bx+c biçimindeki bir ifade tam kareye tamamlama yöntemi ile (x – r) +k veya – (x – r) +k biçimine dönütürülebilir.
2
+ (x – r) +k biçimindeki ifadenin en küçük deeri x=r için k deeridir.
2
f(x)=(x – r) +k fonksiyonu grafiinin tepe noktas T(r, k) dr.
2
+ – (x – r) +k biçimindeki ifadenin en büyük deeri x=r için k deeridir.
2
f(x)=– (x – r) +k fonksiyonu grafiinin tepe noktas T(r, k) dr.
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=x2 – 2x+4
f(x)=x2 – 2x+4 ifadesinin tamkareye dönütürelim
2
f(x)=x – 2x+1+3
fonksiyonunun alabilecei en küçük deeri bulunuz.
2
f(x)=(x – 1) +3
f(x) fonksiyonu en küçük deerini x=1 için alr.
2
f(1)=(1–1) +3
f(1)=3
f(x) in en küçük deeri 3 tür.
Cevap: x=3
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=– x2 – 4x – 1
f(x)=– x2 – 4x – 1 ifadesini tamkareye dönütürelim.
2
f(x)=– x – 4x – 1– 3+3
fonksiyonu grafiinin tepe noktasn bulunuz.
f(x)=– x2 – 4x – 4+3
2
f(x)=– (x +4x+4)+3
2
f(x)=– (x+2) +3
f(x) fonksiyonu en büyük deerini x=– 2 için alr.
2
f(– 2)=– (– 2+2) +3
f(– 2)=3
f(x) in en büyük deeri 3 tür.
Tepe noktas T(– 2, 3) tür.
Cevap: T(– 2, 3)
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=(x – 3)2+1
f(x)=(x – 3)2+1 fonksiyonu en küçük deerini x=3 alr ve f(3)=1 dir.
fonksiyonu grafiini çiziniz.
Dolaysyla parabolün tepe noktasnn koordinatlar T(3,1) dir.
x=0 için f(0)=10 olduundan parabol y eksenini (0,10) noktasnda keser.
y
f(x)=(x3)2+1
10
1
3
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
492
x
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 36
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 5
2
f(x)=x +2x – 6
2
f(x)=(x – 2) +1
fonksiyonunun alabilecei en küçük deer kaçtr?
A) – 6
B) – 7
C) – 8
fonksiyonu grafii aadakilerden hangisidir?
D) – 9
E) – 10
A)
B)
y
y
5
3
1
2
C)
x
D)
y
y
5
soru 2
1
2
f(x)=x – 4x+3
B) – 1
C) 0
2
1
fonksiyonunun alabilecei en küçük deer kaçtr?
A) – 2
x
2
D) 1
x
1
2
E)
E) 2
x
y
www.kartezyen.com.tr
3
soru 3
2
f(x)=x – 6x+10
x
2
soru 6
2
f(x)=– (x+1) – 1
fonksiyonu grafii aadakilerden hangisidir?
fonksiyonu grafiinin tepe noktas T(r,k) aadakilerden
hangisidir?
A) (– 3,1)
B) (3,1)
D) (1,– 3)
A)
B)
y
y
C) (1,3)
E) (1,– 6)
1
1
C)
1
1
x
D)
y
1
1
x
y
1
x
1
x
soru 4
E)
2
f(x)=– x +10x – 20
1
fonksiyonu grafiinin tepe noktas T(r,k) aadakilerden
hangisidir?
A) (– 5,– 5)
B) (– 5,5)
D) (5,5)
y
1
2
x
C) (5,– 5)
E) (5,10)
493
1–B
2–B
3–B
4–D
5–A
6–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 31 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
f(x)=a . (x – x1) . (x – x2) biçiminde verilen fonksiyonlarda f(x)=0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Yani fonksiyon grafiinin x eksenini kestii
noktalar x ve x dir.
1
2
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=(x – 1) . (x – 2)
f(x)=(x – 1) . (x – 2)
fonksiyonunun grafiini çiziniz.
(x – 1) . (x – 2)=0
x=1 ve x=2
Grafik x eksenini (1,0) ve (2,0) noktalarnda kesmektedir.
f(x)=(x1).(x2)
f(x)=x2 – 2x – x+2
2
f(x)=x – 3x+2
a>0 olduundan parabolün kollar yukar yönlüdür.
x=0 için f(0)=2 olduundan parabol y eksenini (0,2) noktasnda
kesmektedir.
y
f(x)
2
1
x
2
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=2 . (– x – 1) . (x – 3)
f(x)=2 . (– x – 1) . (x – 3)
fonksiyonunun grafiini çiziniz.
2 . (– x – 1) . (x – 3)=0
x=– 1 ve x=3
Grafik x eksenini (– 1,0) ve (3,0) noktalarnda kesmektedir.
f(x)=2.(x1).(x3)
f(x)=– 2x2+4x+6
a<0 olduundan parabolün kollar aa yönlüdür.
x=0 için f(0)=6 olduundan parabol y eksenini (0,6) noktasnda
kesmektedir.
y
6
1
3
x
f(x)
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
494
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 37
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 3
f(x)=x . (x – 1)
f(x)=(x – 1) . (x+3)
fonksiyonu grafii aadakilerden hangisidir?
fonksiyonu grafii aadakilerden hangisidir?
A)
A)
B)
y
y
B)
y
y
3
1
1
x
x
3
x
1
3
1
x
3
f(x)
C)
f(x)
D)
y
y
x
3
y
www.kartezyen.com.tr
fonksiyonu grafii aadakilerden hangisidir?
B)
soru 4
A)
y
f(x)
x
3
f(x)=3 . (x – 2) . (x+1)
B)
y
f(x)
2
x
f(x)
x
1
2
D)
y
C)
y
2
2
D)
y
f(x)
2
f(x)
2
y
f(x)
x
x
x
1
6
f(x)
E)
y
y
x
2
3
fonksiyonu grafii aadakilerden hangisidir?
2
C)
1
1
f(x)=– x . (x – 2)
2
x
3
1
y
1
x
f(x)
x
A)
y
3
E)
E)
soru 2
3
x
1
D)
y
f(x)
f(x)
1
C)
x
1
1
2
x
2
f(x)
y
E)
y
f(x)
2
1
x
2
x
6
f(x)
495
1–D
2–B
3–A
4–E
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 32 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
Grafiği Verilen Fonksiyonun Oluşturulması
2
Daha önceki sayfalarda f(x)=a . (x – r) +k biçiminde verilen fonksiyonun tepe noktasnn T(r,k) olduunu örendik.
2
Bu sebeple, tepe noktas T(r,k) ve geçtii bir nokta bilinen parabolü oluturan fonksiyon f(x)=a . (x – r) +k ifadesiyle bulunur.
çözüm
kavrama sorusu
Grafiin tepe noktas T(3,– 1) dir.
y
f(x)
2
f(x)=a . (x – 3) – 1 yazabiliriz.
8
Grafik (0,8) noktasndan geçtiine göre,
x=0 için f(0)=8 dir.
2
x=0 için f(0)=a.(0 – 3) – 1=8
3
9a – 1=8
x
1
9a=9
a=1
Yukarda grafii verilen f(x) fonksiyonunu oluturunuz.
2
f(x)=(x – 3) – 1 dir.
Cevap: f(x)=(x – 3)2 – 1
çözüm
kavrama sorusu
Grafiin tepe noktas T(1,2) dir.
y
2
f(x)=a . (x – 1) +2 yazabiliriz.
Grafik (0,1) noktasndan geçtiine göre,
2
1
x=0 için f(0)=1 dir.
x
1
2
x=0 için f(0)=a.(0 – 1) +2=1
a+2=1
f(x)
a=– 1
2
f(x)=– (x – 1) +2 dir.
Yukarda grafii verilen f(x) fonksiyonunu oluturunuz.
2
Cevap: – (x – 1) +2
çözüm
kavrama sorusu
y
2
1
Grafiin tepe noktas T(– 1,– 2) dir.
f(x)
2
f(x)=a . (x+1) – 2 yazabiliriz.
Grafik (1,2) noktasndan geçtiine göre,
1
2
x
x=1 için f(1)=2 dir.
2
x=1 için f(1)=a.(1+1) – 2=2
4a – 2=2
4a=4
Yukarda grafii verilen f(x) fonksiyonunu oluturunuz.
a=1
2
f(x)=(x+1) – 2 dir.
2
Cevap: f(x)=(x+1) – 2
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
496
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 38
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
y
soru 4
f(x)
y
2
3
x
2
2
x
1
2
f(x)
Yukarda grafii verilen f(x) fonksiyonu aadakilerden hangisidir?
2
A) f(x)=(x+1) – 2
B) f(x)=(x+1)2 – 1
D) f(x)=(x – 2)2+1
Yukarda grafii verilen f(x) fonksiyonu aadakilerden hangisidir?
C) f(x)=(x – 2)2 – 3
E) f(x)=(x – 2)2 – 1
2
A) f(x)=– (x+2) +2
B) f(x)=– (x+2)2 – 2
2
C) f(x)=– (x – 2) +2
D) f(x)=(x+2)2+2
2
E) f(x)=(x+2) – 2
soru 2
y
soru 5
f(x)
y
f(x)
3
2
x
1
Yukarda grafii verilen f(x) fonksiyonu aadakilerden hangisidir?
2
A) f(x)=(x – 2) +1
B) f(x)=(x – 1)2 – 2
2
Yukarda grafii verilen f(x) fonksiyonu aadakilerden hangisidir?
2
A) f(x)=(x – 2) – 1
B) f(x)=(x – 2)2+1
2
y
soru 6
y
C) f(x)=(x+2)2
E) f(x)=(x – 2)2
D) f(x)=– (x – 2)
E) f(x)=(x+1) +3
f(x)
1
x
2
2
D) f(x)=(x+1) +2
soru 3
C) f(x)=(x – 1)2+2
www.kartezyen.com.tr
4
3
1
x
2
x
1
6
Yukarda grafii verilen f(x) fonksiyonu aadakilerden hangisidir?
2
A) f(x)=(x – 1) +1
B) f(x)=(x – 1)2
2
D) f(x)=(x+1) – 1
C) f(x)=(x – 1)2 – 1
E) f(x)=(x+1)2+1
f(x)
Yukarda grafii verilen f(x) fonksiyonu aadakilerden hangisidir?
2
2
A) f(x)=– (x – 3) – 1
B) f(x)=– (x – 3) +1
C) f(x)=– (x+1)2+3
D) f(x)=– (x+1)2 – 3
2
E) f(x)=– (x – 1) +3
497
1–E
2–D
3–C
4–A
5–E
6–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 33 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
2
+ Grafiinin geçtii herhangi üç nokta bilinen fonksiyonu bulmak için f(x)=ax +bx+c formu kullanlr.
çözüm
kavrama sorusu
y
f(x) fonksiyonunun grafii noktalar, (0,4), (1,0) ve (2,– 2) dir.
f(x)
2
f(x)=ax +bx+c
4
x=0 için f(0)=4,
f(0)=a . 02+b . 0+c=4
2
1
2
c=4 ve f(x)=ax +bx+4
x
x=1 için, f(1)=0,
2
2
f(1)=a . 1 +b . 1+4=0 ve a+b=– 4 (I) bulunur.
x=2 için f(2)=– 2
f(2)=a . 22+b . 2+4=– 2
Yukarda grafii verilen fonksiyonu oluturunuz.
4a+2b=– 6 (II) bulunur.
(I) ve (II) den,
a+b=– 4
4a+2b=– 6
a=1 ve b=– 5 dir.
2
a=1, b=– 5 ve c=4 olduundan, f(x)=x – 5x+4 tür.
Cevap: f(x)=x2 – 5x+4
+ Parabolün x eksenini kestii noktalar biliniyorsa f(x)=0 denkleminin kökleri biliniyor demektir. Bu durumda f(x) fonksiyonunu bulmak
için f(x)=a . (x – x1) . (x – x2) formu kullanlr.
çözüm
kavrama sorusu
f(x) fonksiyonunun geçtii noktalar, (– 2,0), (– 1,0) ve (0,2) dir.
y
x1=– 2 ve x2=– 1 olduundan,
f(x)
f(x)=a . (x – x1) . (x – x2)
2
2
1
f(x)=a . (x+2) . (x+1)
x
x=0 için f(0)=2 olduundan,
f(0)=a . (0+2) . (0+1)=2
2a=2
Yukarda grafii verilen fonksiyonu oluturunuz.
a=1
f(x)=1 . (x+2) . (x+1)
2
f(x)=x +3x+2
2
Cevap: f(x)=x +3x+2
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
498
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 39
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
y
soru 4
f(x)
5
y
f(x)
1
x
x
2
3
6
6
3
Yukarda grafii verilen f(x) fonksiyonu aadakilerden hangisidir?
2
A) f(x)=x +2x – 1
B) f(x)=x2+2x – 2
2
D) f(x)=x +2x – 3
soru 2
Yukarda grafii verilen f(x) fonksiyonu aadakilerden hangisidir?
C) f(x)=x2+2x+2
2
A) f(x)=x – 5x – 6
E) f(x)=x2 – 2x – 3
y
2
2
D) f(x)=x – 3x – 6
soru 5
f(x)
2
B) f(x)=x +5x – 6
C) f(x)=x – 4x – 6
E) f(x)=x2+3x – 6
y
f(x)
2
x
4
Yukarda grafii verilen f(x) fonksiyonu aadakilerden hangisidir?
2
A) f(x)=x – 6x+8
B) f(x)=x2 – 4x+8
2
D) f(x)=x – 6x – 8
C) f(x)=x2 – 2x+8
www.kartezyen.com.tr
8
2
4
Yukarda grafii verilen f(x) fonksiyonu aadakilerden hangisidir?
A) f(x)=x2+4x – 4
2
soru 6
y
1
2
C) f(x)=x – 2x – 4
2
E) f(x)=x +4
y
2
1
2
B) f(x)=x – 4x – 4
D) f(x)=x – 4
E) f(x)=x2 – 4x – 8
soru 3
x
2
x
x
2
4
6
f(x)
f(x)
Yukarda grafii verilen f(x) fonksiyonu aadakilerden hangisidir?
2
2
A) f(x)=– x +x – 2
B) f(x)=– x – x – 2
C) f(x)=– x2 – 2x – 2
D) f(x)=– x2+3x – 2
Yukarda grafii verilen f(x) fonksiyonu aadakilerden hangisidir?
2
A) f(x)=– x – 4x – 4
B) f(x)=– x2+4x – 4
2
D) f(x)=– x +4x
C) f(x)=– x2 – 4x
E) f(x)=– x2+4
2
E) f(x)=– x – 3x – 2
499
1–D
2–A
3–E
4–A
5–D
6–B
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 34 Àö¯ĞĞ¯န
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
çözüm
kavrama sorusu
Topun yükseklii, h(t)=– t2+2t formülü ile hesaplandndan,
2
h(t)=– t +2t=3
2
– t +2t – 3=0
(– t+1).(t – 3)=0
t=1 ve t=3 tür.
Top basketcinin elinden çktktan sonra 1. ve 3. saniyelerde 3 m
yükseklie ulamtr.
3 m yüksekliindeki potaya basket atan bir basketbolcunun
2
frlatt topun yükseklii t saniye sonra h(t)=– t +2t formülü ile
hesaplanmaktadr.
y
3
Buna göre, topun 3 m yükseklie ulamas kaçnc saniyededir, bulunuz.
1
t(Saniye)
3
h(t)
çözüm
kavrama sorusu
Kâr-Zarar (1000 TL)
4
5
8
Kâr-Zarar (1000 TL)
(Gün)
4
6
5
8
(Gün)
6
Borsada hisse senedi alm satm yapan smail’in kâr-zarar grafii yukardaki parabol grafiidir.
Kâr-zarar durumunu gösteren ikinci dereceden bir bilinmeyenli
fonksiyonu oluturalm. Grafik (4,0), (8,0) ve (5,– 6) noktalarndan geçmektedir.
smail’in hisse senedinden en çok zarar ettii gün ve miktar,
bulunuz.
f(x)=a . (x – 4) . (x – 8)
(5,– 6) noktasndan geçtiine göre, f(5)=– 6
f(5)=a . (5 – 4) . (5 – 8)=– 6
– 3a=– 6
a=2
f(x)=2 . (x – 4) . (x – 8)
2
f(x)=2x – 24x+64
smail’in en çok zarar ettii gün ve miktar parabolün tepe noktasdr.
2
f(x)=2x – 24x+64
r
b
( 24)
ise r 6
2a
22
k=f(6)=2 . 62 – 24 . 6+64
k=– 8
smail, borsadaki en çok zarar 6. günde 8000 ¨ dir.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
500
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 40
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Fonksiyonlar
soru 1
soru 4
h(t)=t2+19t
A
Yukardaki havan topundan atlan mermi ekildeki yolu izleyerek
yere dümütür.
A noktasndan suya dalan bir yunus bal ekildeki yolu izleyerek B noktasnda sudan çkmaktadr. Yunus balnn dald de2
rinlik (metre) t. saniyede h(t)=3t – 24t formülü ile bulunmaktadr.
Top mermisinin atldktan sonraki t. saniyedeki yükseklii
h(t)=– t2+19t metre olduuna göre, 4. saniyedeki yükseklii
kaç metredir?
Yunus balnn dald en derin mesafe kaç metredir?
A) 24
A) 50
B) 54
C) 56
D) 60
B
B) 28
C) 32
D) 36
E) 48
E) 64
soru 2
soru 5
Sýcaklýk(°C)
Yamaç paraütü yapan bir sporcunun atlay sonras izledii yol
yukardaki gibidir. Paraütcünün t. saniyedeki yerden yükseklii
2
h(t)=t – 12t+96 metredir.
Buna göre, paraütcünün kaçnc saniyelerde yerden yükseklii 76 metredir?
www.kartezyen.com.tr
15
1
B) 3 ve 9
Yukarda stanbul’da aralk ay içerisinde belli bir zaman dilimi
içinde yaplan scaklk ölçümlerinin grafii verilmitir.
Grafik bir parabol grafii olduuna göre, aralk aynn 10. günü
hava scakl kaç °C dir?
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
C) 4 ve 8
D) 5 ve 7
E) 6 ve 9
soru 6
soru 3
2
Yukardaki kale kapsnn ekli f(x)=– x +8x – 12,5 fonksiyonu
grafii biçiminde olduuna göre, kapnn yükseklii kaç metredir?
A) 2
Gün
10
A) 4
A) 2 ve 10
6
B) 2,8
C) 3
D) 3,5
E) 4
Yasin’in kulland serbest vuruta top ekildeki gibi parabol grafii biçiminde yol alp kalecinin üzerinden geçerek gol olmutur.
2
Topun t saniye sonraki yerden yükseklii h(t)=– t +40t (metre)
formülü ile hesaplandna göre, serbest vuru yaplan noktann kaleye uzakl kaç metredir?
A) 20
B) 30
C) 40
D) 50
E) 60
501
1–D
2–A
3–D
4–E
5–B
6–C
¡¥¯ၹၸန£ÚÚĆှဿ£¡§£ÚI¡န¡နနန¨န
Test 35 Àö¯ĞĞ¯န