ZAMAN SKALASI ÜZERİNDE DİAMOND α GRÜSS TİPİ

G. SAĞLAR, 2013
T.C.
NİĞDE ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ZAMAN SKALASI ÜZERİNDE DİAMOND α GRÜSS TİPİ EŞİTSİZLİKLER
NİĞDE ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ
GAMZE SAĞLAR
EYLÜL 2013
T.C.
NĐĞDE ÜNĐVERSĐTESĐ
FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ
MATEMATĐK ANABĐLĐM DALI
ZAMAN SKALASI ÜZERĐNDE DĐAMOND −α GRÜSS TĐPĐ EŞĐTSĐZLĐKLER
GAMZE SAĞLAR
Yüksek Lisans Tezi
Danışman
Yrd. Doç. Dr. Adnan TUNA
Eylül 2013
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin bilimsel ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek
sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana
ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.
Gamze SAĞLAR
ÖZET
ZAMAN SKALASINDA DİAMOND α GRÜSS TİPİ EŞİTSİZLİKLER
SAĞLAR, Gamze
Niğde Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman
: Yrd. Doç. Dr. Adnan TUNA
Eylül 2013, 52 Sayfa
Bu tezde, zaman skalası analizi ile bağlantılı genel tanımlar ve teoremler, diamond–α
dinamik türevinin, diamond–α integralinin tanımı ve bunların önemli temel özellikleri,
ayrıca zaman skalası üzerinde diamond–α Grüss tipi eşitsizlikler çalışıldı. Buna ilaveten
zaman skalasının özel durumları, bu elde edilen eşitsizliklere uygulandığında ortaya
çıkan sonuçlar ve bu sonuçların literatürde olan bazı eşitsizlikler ile karşılaştırılmaları
incelendi.
Anahtar Sözcükler: Zaman Skalası, Diamond–α Dinamik Türev, Diamond–α İntegral, Diamond–α Grüss
Tipi Eşitsizlikler
iv
SUMMARY
DİAMOND α GRÜSS TYPE INEQUALITIES ON TIME SCALES
SAĞLAR,Gamze
Niğde University
Graduate School of Natural and Applied Science
Department of Mathematics
Supervisor
: Assistant Professor Dr Adnan TUNA
September 2013, 52 Pages
In this thesis we study general definitions and theorems related to time scales,
definitions and fundamental properties of diamond–α dynamic derivates, diamond–α
integration, also diamond–α Grüss type inequalities. In addition, we examine the
comparisons with some inequalities on the literature and other results applying the
obtained these inequalities for the special cases of time scales.
Keywords: Time Scales, Diamond–α Dynamic Derivates, Diamond–α Integration, Diamond–α Grüss
Type inequalities.
v
ÖN SÖZ
Ağırlık fonksiyonlu integral, yaklaşım teorisi ve spectral analiz, istatiksel analiz ve
dağılım teorileri gibi sayısız matematik probleminde kullanıldı. 1935’de Grüss bir
integral eşitsizliği geliştirdi. Ostrowski, nümerik integral, olasılık ve optimizasyon
teorisi, olasılıksal, istatistik, bilgi ve integral operatör teorilerinde güçlü uygulamalara
sahip diferensiyellenebilir fonksiyonlar ile ilgili ilginç bir integral eşitsizliği oluşturdu.
Son yıllarda birçok araştırmacı yukarıdaki iki eşitsizliğin genellemelerini ve
çalışmalarını bu konular üzerine odaklanlandırdılar (Hussain ve Qayyum, 2013).
Ayrıca araştırılan sonuçlar daha önceki ağırlıklı olmayan eşitsizlikler yerine daha çok
ağırlıklı olanlar üzerine yapılmıştır. Bu yaklaşımlar sadece sonuçlar üzerinde
genelleştirmemiş, bundan başka özel durumlar gibi bazı değişik eşitsizlikler hakkında
da bilgi verir (Hussain ve Qayyum, 2013).
Zaman skalası teorisi 1988 tarihinde Stefan Hilger tarafından sürekli ve ayrık analizi
birleştirme metodları üzerine odaklanmıştır. Zaman skalası üzerinde dinamik
denklemlerin çalışılması, diferansiyel ve fark denklemlerinden iki ayrı sonuç elde
edilmesini engeller.
Bu bağlamda bu tezde, zaman skalasının tanımı ve önemli temel özellikleri, Diamond–α
dinamik türevinin, Diamond–α integralinin tanımı ve bunların temel özellikleri, ayrıca
zaman skalası üzerinde ağırlıklı Diamond-α Grüss tipi eşitsizlikler çalışıldı. Buna ek
olarak zaman skalasının özel durumları göz önüne alınarak, elde edilen eşitsizliklere
uygulanmaları sonucunda bulunan eşitsizliklerin literatürle karşılaştırılmaları ve başka
diğer sonuçlar incelenmiştir.
Tez çalışmalarım, seminerim ve okul hayatım boyunca bana her zaman yardımcı olan
ve beni tecrübeleri ve bilgileriyle yönlendiren danışman hocam, Sayın Adnan TUNA’
ya teşekkür ederim. Ayrıca, benim bugünlere gelmemde desteklerini hiçbir zaman
esirgemeyen ve benimle birlikte sabır gösteren çok kıymetli aileme özellikle ablam
Arzu SAĞLAR’a, sevgili arkadaşlarıma minnet ve şükramlarımı sunarım.
vi
İÇİNDEKİLER
ÖZET ........................................................................................................................... iv
SUMMARY ................................................................................................................. v
ÖN SÖZ ...................................................................................................................... vi
İÇİNDEKİLER ..........................................................................................................vii
ÇİZELGELER DİZİNİ ............................................................................................. viii
ŞEKİLLER DİZİNİ ..................................................................................................... ix
SİMGE VE KISALTMALAR ...................................................................................... x
BÖLÜM I GİRİŞ .......................................................................................................... 1
BÖLÜM II ZAMAN SKALASI ................................................................................... 2
2.1 Zaman Skalasında Temel Kavramlar .................................................................... 2
2.2 Zaman Skalasında Delta Türev ............................................................................. 4
2.3 Zaman Skalasında İntegral ................................................................................. 10
2.4 Zaman Skalasında Nabla Türev .......................................................................... 12
2.5 Zaman Skalasında Nabla Anti Türevin Varlığı ................................................... 14
BÖLÜM
III
ZAMAN
SKALASI
ÜZERİNDE
DİAMOND– α
DİNAMİK
EŞİTSİZLİKLERİ ...................................................................................................... 17
3.1 Diamond– α Dinamik Türevi.............................................................................. 17
3.2 Diamond– α İntegrali ......................................................................................... 27
BÖLÜM IV ZAMAN SKALASI ÜZERİNDE DİAMOND– α GRÜSS TİPİ
EŞİTSİZLİKLERİ ...................................................................................................... 32
4.1 Ağırlıklı Diamond– α Grüss Eşitsizlikleri ........................................................... 33
4.2 Her İki Fonksiyonun Lipschitzan Şartını Sağlaması Durumu .............................. 38
4.3 f Fonksiyonun M
g Lipschitzian Şartını Sağlaması Durumu ........................ 41
BÖLÜM V SONUÇLAR ........................................................................................... 45
KAYNAKLAR .......................................................................................................... 46
ÖZ GEÇMİŞ .............................................................................................................. 52
vii
ÇİZELGELER DİZİNİ
Çizelge 2.1. Noktaların sınıflandırılması .............................................................................. 3
Çizelge 2.2. Graininess fonksiyonu ve sıçrama operatörlerinin özel halleri ...................... 8
viii
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 2.1. Noktaların gösterimi…………………………………………………………..3
ix
SİMGE VE KISALTMALAR
Simgeler
Açıklama
Reel Sayılar
Tam Sayılar
Zaman Skalası
0
Doğal Sayılar
Kompleks Sayılar
Rasyonel Sayılar
/
İrrasyonel Sayılar

İleri sıçrama operatörü

Geri sıçrama operatörü

İleri sıçrama fonksiyonu

Geri sıçrama fonksiyonu
f
Hilger (Delta) türev
f
Nabla türev
f
İleri fark operatörü
f
Geri Fark Operatörü
Crd
Sağda yoğun sürekli fonksiyonların kümesi
Cld
Solda yoğun sürekli fonksiyonların kümesi
k
Zaman Skalasından türetilmiş bir küme
k
Zaman Skalasından türetilmiş bir küme
k
k
Zaman Skalasından türetilmiş bir küme
f 
Diamond–α türev
x
BÖLÜM I
GİRİŞ
Hilbert uzay teorisi lineer operatörler, lineer olmayan analiz, kısmi diferansiyel
denklemler, yaklaşım teorisi, optimizasyon teorisi, nümerik analiz, olasılık teorisi,
istatistik ve çağdaş matematiğin diğer alanları için çok sayıda uygulamaları ile bir
merkezi rol oynar. Schwarz, Üçgen, Bessel, Gram ve yakın zamanlarda Grüss
eşitsizlikler yukarıda bahsedilen alanlarda oluşan çeşitli yaklaşım formülleri için
hataları tahmin etmek ve sınırları elde etmek için kuvvetli araçlar olarak sıklıkla
kullanıldı. Bazı Grüss tipi eşitsizlikler reel veya kompleks iç çarpım uzayında
vektörlerin ortonormal ailesi için kullanılır. Bazı Grüss tipi eşitsizlikler de ayrık Fourier
ve Mellin dönüşümleri için iç çarpım uzayları ve doğal uygulamalarında vektörlerin n
dizileri için önemlidir (Dragomir., 2003).
1988 tarihinde Stefan Hilger tarafından, sürekli ve ayrık analizi birleştirmek amacıyla
zaman skalası teorisi kurulmuştur. Zaman skalası üzerinde dinamik denklemlerin
çalışılması, diferansiyel ve fark denklemlerinden iki ayrı sonuç elde edilmesini engeller
(Bohner ve Peterson, 2001).
Tezin ikinci bölümünde zaman skalasının tanımı, zaman skalasında delta türev, delta
integral ve bunların temel özellikleri ile zaman skalasında nabla türev, nabla integralin
tanımı ve temel özellikleri incelenmiştir.
Tezin üçüncü bölümünde zaman skalasında diamond  dinamik türev ve integralin
tanımı ve özellikleri ispatlı olarak detaylı bir şekilde çalışılmıştır.
Son olarak tezin dördüncü bölümünde zaman skalası üzerinde, her iki fonksiyonun
Lipschitzian şartını sağlaması durumu, fonksiyonun M – g
Lipschitzian şartını
sağlaması durumu göz önüne alınarak elde edilen diamond–  Grüss eşitsizlikler ve
ağırlıklı diamond–  Grüss eşitsizlik olmak üzere diamond–  Grüss tipi eşitsizlikler
çalışılmıştır. Buna ilaveten zaman skalasının özel durumları, bu elde edilen eşitsizliklere
uygulandığında ortaya çıkan sonuçlar ve bu sonuçların literatürde olan bazı eşitsizlikler
ile karşılaştırılmaları incelendi.
1
BÖLÜM II
ZAMAN SKALASI
Bu bölümde ilerideki çalışmalarda temel teşkil edecek olan zaman skalasının tanımı,
delta türevi, delta integrali ve temel özellikleri ile nabla türevi, nabla integrali ve temel
özellikleri hakkında bilgi verilecektir. Zaman skalası analizi ile bağlantılı daha fazla
bilgi için (Agarwal vd., 2001; Agarwal vd., 2002; Bohner ve Peterson, 2001; Bohner ve
Peterson, 2003; Hilger, 1988; Hilger, 1990) referansları okuyuculara destek sağlayabilir.
2.1 Zaman Skalasında Temel Kavramlar
Tanım 2.1 Zaman skalası, keyfi boş olmayan kapalı bir gerçel sayılar kümesinin bir alt
kümesidir.
, ,
,
0
ile
skalasına birer örnektir. Fakat
 0,1   2,3
,
/
ve
 0,1 
0
kapalı aralıkları zaman
ve  0,1 açık aralığı birer zaman skalası
,
değildir.
Zaman skalası
olmak üzere
f   t  ile gösterilir. Eğer
ayrıca

üzerinde tanımlı bir f fonksiyonunun delta türevi

alınırsa, bu durumda f   t   f  alışılmış türevi
ise, f   t   f  t   f  t  1  f  t  ileri fark operatörü olur. Bunlardan
başka teoride daha değişik zaman skalaları alınabilir (Bohner ve Peterson, 2001).
Tanım 2.2
için  : 
bir zaman skalası olsun. t 
ileri sıçrama operatörü
  t   inf s  : s  t
ve  :

geri sıçrama operatörü
 (t )  sup s  : s  t
biçiminde tanımlanır. Bu tanımda inf   sup
ve sup   inf
(eğer
(eğer
bir max t ye sahip   t   t )
bir min t ye sahip   t   t ) olur (Bohner ve Peterson, 2001).
Tanım 2.3 Graininess fonksiyonu  :
  0,   olmak üzere   t     t   t şeklinde
tanımlanır (Bohner ve Peterson, 2001).
2
Tanım 2.4 Eğer   t   t ise, t sağdan saçılımlı,   t   t ise, t soldan saçılımlıdır.
Hem sağdan saçılımlı hem soldan saçılımlı noktalara izole nokta denir. Ayrıca,
t  sup
ve   t   t ise, t sağda yoğun, t  inf
ve   t   t ise, t solda yoğun
denir. Hem solda hem de sağda yoğun olan noktalara yoğundur denir. Noktaların
şematik gösterimi Şekil 2.1 de, noktaların sınıflandırılması ise Çizelge 2.1’ de
gösterilmiştir.
t1 soldan yoğun ve sağdan saçılımlı
t1
t2 soldan yoğun ve sağdan yoğun
t2
t3 sağdan yoğun ve soldan saçılımlı
t3
t4 soldan saçılımlı ve sağdan saçılımlı
t4
Şekil 2.1 Noktaların Gösterimi
Çizelge 2.1 Noktaların Sınıflandırılması
t sağdan saçılımlı
t   (t )
t sağdan yoğun
 (t )  t
t soldan saçılımlı
 (t )  t
t soldan yoğun
 (t )  t
t izole
 (t )  t   (t )
t yoğun
 (t )  t   (t )
  t  ve   t  , Tanım 2.2 ye göre
zaman skalasının elemanıdır.
skalasından türetilen bir
sahip
ise
k
k
 m,
kümesi; eğer
aksi
soldan saçılımlı bir m maksimumuna
taktirde
3
zaman
k

olarak
tanımlanır.
f: 
t 
bir fonksiyon olmak üzere
f : 
için
fonksiyonu
f  f   t   şeklindedir (Bohner ve Peterson, 2001).

Örnek 2.1 Zaman skalası olarak
(i) Eğer

alınırsa, t 
ve
durumları için
noktası yoğun olmak üzere ve
  t   sup s  : s  t  sup  , t   t
olarak bulunur. t 
(ii) Eğer

için  graininess fonksiyonu   t   0 dır.
olarak alınırsa t 
noktası izole nokta olmak üzere
  t   inf s  : s  t  inf t  1, t  2, t  3,...  t  1
ve
  t   sup s  : s  t  sup t  1, t  2, t  3,...  t  1
için  graininess fonksiyonu   t   1 dir.
elde edilir. t 
Yukarıda verilen iki örnekte  grainniness fonksiyonu sabittir. Zaman skalasında 
grainniness fonksiyonu analiz için önemli bir rol oynar (Bohner ve Peterson, 2001).
2.2 Zaman Skalasında Delta Türev
Tanım 2.5 f :

bir fonksiyon ve t 
k
olsun.   0 verildiğinde   0 için
t nin bir U komşuluğundaki ( yani U   t   , t     ) s U için
f   t    f  s   f   t    t   s      t   s
eşitsizliği sağlanırsa, f   t  ifadesine f fonksiyonunun delta türevi denir (Bohner ve
Peterson, 2001).
Örnek 2.2 (i)  
olmak üzere ve t 
için f :

, fonksiyonu f  t    ise
f   t   0 dır. Zaman skalasında türev tanımı kullanılırsa s 
ve    için
f   t    f  s   0   t   s       0     t   s
olur.
(ii) t 
ve s 
için f :

fonksiyonu f  t   t ise, f   t   1 dir. Gerçekten   
için
f   t    f  s   1   t   s     t   s    t   s   0     t   s
4
eşitsizliği sağlandığından f   t   1 dir (Bohner ve Peterson, 2001).
Teorem 2.1 f :

bir fonksiyon ve t 
k
olsun. Bu durumda
(i) Eğer f fonksiyonu t noktasında türevlenebilir ise, bu durumda f fonksiyonu t
noktasında süreklidir.
(ii) Eğer f fonksiyonu t noktasında sürekli ve t noktası sağdan saçılımlı ise, bu
taktirde f fonksiyonu t noktasında türevlenebilirdir ve
f  t  
f   t    f  t 
 t   t
şeklindedir.
(iii) Eğer t noktası sağdan yoğun ise, bu durumda gerek ve yeter koşul
lim
f t   f  s 
ts
s t
limiti sonlu bir değer olduğunda f fonksiyonu t noktasında türevlenebilirdir ve
f   t   lim
f t   f  s 
ts
s t
biçimindedir.
(iv) Eğer f fonksiyonu t noktasında türevlenebilir ise, böylece
f   t    f  t     t  f   t 
şeklindedir (Bohner ve Peterson, 2001).
Örnek 2.4 Zaman skalası
(i)

ve
olsun.
ve Teorem 2.1(iii) göz önüne alınırsa, t 
için, f :

tanımlı bir
fonksiyonun delta türevi
f   t   lim
f t   f  s 
s t
ts
 f  t 
şeklindedir.
(ii)

ve Teorem 2.1(ii) göz önüne alınırsa, t 
için, f :

tanımlı bir
fonksiyonun delta türevi, f  t   f  t  1  f  t  ileri fark operatörü olmak üzere
5
f   t   lim
f   t    f  t 
 t 
s t

 f  t  1  f  t 
 f  t 
biçimindedir (Bohner ve Peterson, 2001).

Teorem 2.2 f , g :
tanımlı ve t 
k
noktasında türevlenebilir fonksiyonlar
olsunlar. Bu taktirde
(i)
f g:

fonksiyonu t noktasında türevlenebilirdir ve
 f  g  t  

f  t   g  t 
olur.
(ii) Her sabit  için,  f :

fonksiyonu türevlenebilirdir ve
 f   t    f   t 

elde edilir.
(iii) fg : 
fonksiyonu türevlenebilirdir ve
 fg   t   f  t  g   t   f   t  g   t  

 f   t  g  t   f   t   g   t 
bulunur.
(iv) Eğer f  t  f   t    0 olmak üzere
1
fonksiyonu türevlenebilirdir ve
f
f  t 
1
t


   
f  t  f   t  
 f 

dir.
(v) Eğer g  t  g   t    0 olmak üzere
 f 
 
g

t  
f
fonksiyonu türevlenebilirdir ve
g
f  t  g t   f t  g  t 
g  t  g   t  
elde edilir (Bohner ve Peterson, 2001).
Tanım 2.6 f , g :

tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer
f   t  fonksiyonu türevlenebilir ise bu taktirde
6
f
k2


k k
üzerinde
fonksiyonunun ikinci türevi
f    f   :

k2

olmak üzere n yinci mertebeden türev f  :
n
kn

olarak
tanımlanır. Bu durumda  2  t      t   ve  2  t       t   olmak üzere n 
0
için  n  t   t  nh ve  n  t   t  nh biçimindedir. Ayrıca  0  t    0  t   t , f   f
0
ve
k0

dir (Bohner ve Peterson, 2001).
 h  hk : k 
Örnek 2.5 h  0 ve
 olmak üzere t 
  t   inf s  : s  t  inf t  nh : n 
için
th
biçiminde elde edilir. Benzer şekilde   t   t  h olarak bulunur. t 
noktası izole
için   t     t   t  t  h  t  h olmak üzere   t  grainniness
nokta ve t 
fonksiyonu sabittir.
t 
için f :
f  t  


tanımlı bir fonksiyonun türevi
f   t    f  t 
 t 
f t  h   f t 
h

şeklindedir (Bohner ve Peterson, 2001).
Örnek 2.6 q   ve q  q k : k 
q
durumda
t  qm 
 olmak üzere
q  q  0 olarak tanımlanır. Bu
olarak alınırsa   t   inf q n : n   m  1,    q m 1  qq m  qt ve
ise,   0   0 dır. Buradan t 
için   t   qt ,   t  
t
ve t 
q
için
 grainniness fonksiyonu,   t     t   t   q  1 t olarak elde edilir. Böylece 0 ,
sağda yoğun minimum ve
f ,g:

zaman skalası üzerinde diğer her nokta izole noktadır.
fonksiyonu olmak üzere t  \ 0 için
f  t  


f   t    f  t 
 t 
f  qt   f  t 
 q  1 t
ve
7
f   0   lim
f  0  f  s 
0s
f  s   f  0
 lim
s 0
s
s 0
elde edilir.
Aşağıdaki Çizelge 2.2 de bazı farklı zaman skalaları göz önüne alınarak hesaplanan 
grainniness fonksiyonu,  ileri sıçrama operatörü ve  geri sıçrama operatörüne
örnekler verilmiştir (Bohner ve Peterson, 2001).
Çizelge 2.2 Graniness Fonksiyonu ve Sıçrama Operatörlerinin Özel Halleri
q
 t 
 t 
 t 
0
t
t
1
t 1
t 1
 q  1 t
qt
t
q

2 t 1
2
0
Tanım 2.7 f :


t 1
2


t 1
tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f fonksiyonunun,
2
üzerinde
sağdan yoğun olan bütün noktalarda sağdan limitleri ve soldan yoğun olan bütün
noktalarda soldan limitleri varsa, bu durumda f fonksiyonuna düzenli fonksiyon denir
(Bohner ve Peterson, 2001).
Tanım 2.8 f :

tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f fonksiyonu
sağda yoğun noktalarda sürekli ve
üzerinde
üzerinde solda yoğun olan noktalarda soldan limiti
varsa, bu durumda f fonksiyonuna rd sürekli fonksiyon denir. f :

tanımlı rd
sürekli fonksiyonların kümesi
Crd  Crd 
  Crd 
,

biçiminde gösterilir.
f:

tanımlı türevlenebilir ve türevleri rd sürekli olan fonksiyonların kümesi
Crd1  Crd1 
  Crd1 
,

8
şeklinde gösterilir (Bohner ve Peterson, 2001).
Teorem 2.3 f :

tanımlı bir fonksiyon olsun. Bu taktirde
(i) Eğer f fonksiyonu sürekli ise, bu durumda f fonksiyonu rd süreklidir.
(ii) Eğer f fonksiyonu rd sürekli ise, bu durumda f fonksiyonu düzenlidir.
(iii)  ileri sıçrama operatörü rd süreklidir.
(iv) Eğer f fonksiyonu düzenli veya rd sürekli ise, bu taktirde f  fonksiyonu düzenli
veya rd süreklidir.
(v) f sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer g : 
tanımlı düzenli veya rd sürekli bir
fonksiyon ise, bu durumda f g fonksiyonu düzenli veya rd süreklidir (Bohner ve
Peterson, 2001).
Tanım 2.9 f :
sayılabilir ve

tanımlı sürekli bir fonksiyonu olsun. D 
k
ve
k
\ D bölgesi
nin sağdan saçılımlı elemanlarını içermeyen ve her bir t  D
noktasında f fonksiyonu türevlenebilir ise, bu taktirde f fonksiyonu D türevlenebilir
bölgesinde ön türevlenebilirdir denir (Bohner ve Peterson, 2001).
Teorem 2.4 Kompakt bir aralıkta her düzenli fonksiyon sınırlıdır (Bohner ve Peterson,
2001).
Teorem 2.5 f
ve g fonksiyonları
üzerinde tanımlanan reel değerli ve D
türevlenebilir bölgesinde ön türevlenebilir iki fonksiyon olmak üzere t  D için
f  t   g  t 
şartı sağlanırsa, bu durumda r  s olmak üzere r , s 
için
f  s  f r   g s  g r 
elde edilir (Bohner ve Peterson, 2001).
Teorem 2.6 (Ön anti türevin varlığı) f düzenli bir fonksiyon olsun. Böylece t  D
için D türevlenebilir bölgesinde ön türevlenebilir ve F   t   f  t  olacak biçimde bir
F fonksiyonu vardır (Bohner ve Peterson, 2001).
9
2.3 Zaman Skalasında İntegral
Tanım 2.10 f :

düzenli bir fonksiyon, f fonksiyonunun ön anti türevi F ve C
keyfi bir sabit olmak üzere f fonksiyonun belirsiz integrali
 f  t  t  F  t   C
biçiminde tanımlanır. r , s 
için Cauchy integrali
s
 f  t t  F  s   F  r 
r
şeklindedir. Eğer t 
için
k
F  t   f t 

şartı sağlanıyorsa, bu durumda F :
fonksiyonuna f :

fonksiyonunun anti
türevi denir (Bohner ve Peterson, 2001).
Teorem 2.7 Her rd sürekli fonksiyonun bir anti türevi vardır. Eğer, t0 
ve t 
için f fonksiyonunun anti türevi F fonksiyonu olmak üzere
t
F  t    f   
t0
olarak tanımlanır (Bohner ve Peterson, 2001).
Teorem 2.8 f  Crd ve t 
k
ise, bu durumda
 t 
 f       t  f  t 
t
dir (Bohner ve Peterson, 2001).
Teorem 2.9 Eğer f   t   0 ise, f fonksiyonu azalan değildir (Bohner ve Peterson,
2001).
Teorem 2.10 Eğer a, b, c 
b
(i)
a
b
b
a
a
b
  f  t  t    f t  t ,
a
(iii)
olmak üzere ve f , g  Crd ise, bu durumda
  f  t   g  t  t   f t  t   g t  t ,
b
(ii)
, 
a
b
a
a
b
 f  t  t   f  t  t ,
10
(iv)
b
c
b
a
a
c
 f  t  t   f t  t   f t  t ,
b
(v)
b
 f   t   g t  t   fg b    fg  a    f t  g t  t ,

a
a
b
(vi)

b
 f  t  g t  t   fg b    fg  a    f t  g  t   t ,

a

a
a
(vii)  f  t  t  0 ,
a
(viii) Eğer  a, b  üzerinde f  t   g  t  ise
b

a
(ix) Eğer bütün a  t  b için f  t   0 ise
b
f  t  t   g  t  t ,
a
a
 f  t  t  0 ,
a
ifadeleri geçerlidir (Bohner ve Peterson, 2001).
Teorem 2.11 a, b 
ve f  Crd olmak üzere
b

(i) Eğer
ise,

b
f  t  t   f  t  dt biçiminde bilinen Riemann anlamında
a
a
integraldir.
(ii) Eğer  a, b  kapalı aralığı sadece izole noktaları içeriyorsa
b

a
   t  f t  ,
 ta ,b 

f  t  t  
0,

 t  f t  ,
 t
b
,
a



ab
ab
ab
olur.
 h  hk : k 
(iii) Eğer
b

a
,
h  0 ise
 bh 1

f kh h,
 a  
 kh

f  t  t  
0,
 a 1
 h
  f  kh  h,
 kb
 h
ab
ab
ab
elde edilir.
11
(iv) Eğer
b

a

ise
 b 1
  f t  ,
 t  a
f  t  t  
0,
 a 1
 f  t  ,
 t b
ab
ab
ab
biçimindedir (Bohner ve Peterson, 2001).
2.4 Zaman Skalasında Nabla Türev
zaman skalasından türetilmiş bir
minimumuna sahip ise,
f:

k

kümesi, eğer
k
, sağdan saçılımlı bir m
 m şeklinde tanımlanır.
bir fonksiyon olmak üzere
t 
f: 
için
fonksiyonu
f   t   f    t   şeklinde tanımlanır (Bohner ve Peterson, 2001).
bir fonksiyon ve t 

Tanım 2.11 f :
k
olsun.   0 olacak şekilde   0
için t nin bir V komşuluğundaki (yani V   t   , t    
) s V için
f    t    f  s   f   t     t   s      t   s
eşitsizliği sağlanırsa f   t  ifadesine, f fonksiyonunun nabla türevi denir (Bohner ve
Peterson, 2001).
Teorem 2.12 f :
(i) Eğer
f

bir fonksiyon ve t 
k
olsun. Böylece
fonksiyonu t noktasında nabla türevlenebilir ise, bu durumda
f
fonksiyonu t noktasında süreklidir.
(ii)
Eğer f fonksiyonu t noktasında sürekli ve t noktası soldan saçılımlı ise, bu
taktirde f fonksiyonu t noktasında nabla türevlenebilirdir ve
f  t  
f t   f   t 
 t 
biçimindedir.
(iii) Eğer t noktası soldan yoğun ise f fonksiyonu t noktasında nabla türevlenebilirdir
ve
12
f t   f  s 
f   t   lim
ts
s t
şeklindedir.
(iv) Eğer f fonksiyonu t noktasında nabla türevlenebilir ise, bu durumda
f  (t )  f (t )   t  f   t 
dır (Bohner ve Peterson, 2001).

Örnek 2.7 Eğer
ise,
f  (t )  f (t )
alışılmış türev ve

ise,
f  (t )  f (t )  f  t   f  t  1 geri fark operatörü olarak yazılır (Bohner ve Peterson,
2001).
Teorem 2.13 f , g :

tanımlı ve t 
k
noktasında nabla türevlenebilir olsun.
Böylece
(i)
f g:
f

 g

toplam fonksiyonu da t noktasında nabla türevlenebilirdir ve
t  
f  t   g  t 
olur.
(ii) Her sabit  için,  f :

fonksiyonu da nabla türevlenebilirdir ve
 f   t    f   t 

biçimindedir.
(iii) fg : 
fonksiyonu da nabla türevlenebilirdir ve
 fg   t   f  t  g   t   f   t  g   t 

 f   t  g  t   f   t  g   t 
elde edilir.
(iv) Eğer f  t  f   t   0 ise,
1
 
 f 

t   
1
fonksiyonu da nabla türevlenebilirdir ve
f
f  t 
f t  f  t 
olur.
(v) Eğer g  t  g   t   0 ise,
f
fonksiyonu da nabla türevlenebilirdir ve
g
13
f  t  g t   f t  g  t 
f
  t  
g t  g  t 
g

şeklindedir (Bohner ve Peterson, 2001).
2.5 Zaman Skalasında Nabla Anti Türevin Varlığı
Tanım 2.12 t 
f:

için F   t   f  t  şartı sağlanırsa F :
k

fonksiyonuna
fonksiyonunun nabla anti türevi denir ve f fonksiyonunun integrali t 
için
t
 f    F  t   F  a 
a
biçimindedir (Bohner ve Peterson, 2001).

Tanım 2.13 f :
sürekli ve
bir fonksiyon olsun. Eğer
üzerinde soldan yoğun noktalarda
üzerinde sağdan yoğun noktalarda sağdan limitleri olan fonksiyona ld -
sürekli fonksiyonu denir (Bohner ve Peterson, 2001).
Teorem 2.14 Her ld -sürekli fonksiyonun, bir nabla anti türevi vardır (Bohner ve
Peterson, 2001).
Teorem 2.15 Eğer f :

ld -sürekli ve t 
k
ise, böylece
t
 f    f t  t 
 t 
dır (Bohner ve Peterson, 2001).
Teorem 2.16 Eğer a, b, c  ,  
b
(i)
b
a
a
  f  t  t    f t t ,
a
a
a
 f  t  t   f t t ,
a
b
(iv)
b
b
b
(iii)
b
  f  t   g  t t   f  t  t   g t t ,
a
(ii)
ve f , g :

a
b
c
b
a
c
f  t  t   f  t t   f  t t ,
14

ld -sürekli ise, bu taktirde
b
(v)

b
f    t   g   t  t   fg  b    fg  a    f   t g  t  t ,
a
a
b
(vi)
b
 f  t  g  t  t   fg b    fg  a    f t g   t   t ,

a

a
a
(vii)  f  t  t  0
a
ifadeleri elde edilir (Bohner ve Peterson, 2001).
Teorem 2.17 a, b 
(i)

ve f :

olsun. Bu durumda
, ld -sürekli olsun. Böylece
b
a
a
b
 f  t  t   f t  dt
Riemann integralidir.
(ii)
sadece izole noktaları içeriyorsa
b

a
  f  t   t  ,
 t a ,b

f  t  t  
0,

f  t   t  ,
 t
 b,a
ab
ab
ab
dir.
(iii)
 h , h   olarak alınırsa
b

a
 bh

f  kh  h,
 
ah
 k h

f  t  t  
0,
 a
 h
  f  kh  ,
 k  bh
h

ab
ab
ab
olur.
(iv)

b

a
olarak alınırsa
 b
  f t  ,
 t  a 1
f  t  t  
0,
 a
  f  t  ,
 t b 1
ab
ab
ab
biçimindedir (Bohner ve Peterson, 2001).
15
olmak üzere sağdaki integral
Sonuç 2.1 t 
k
k
ve f :

olsun. Bu durumda f fonksiyonunun t de delta
türevinin var olması nabla türevinin de var olduğu anlamına gelmez. Tersten
düşünüldüğünde de geçerlidir (Rogers Jr. ve Sheng, 2007).
  2, 1   0,1 zaman skalası için
İspat

1
t sin   , t  0
f t   
t 
0,
t 0

fonksiyonunu olmak üzere bu
f
fonksiyonu 0 noktasında süreklidir ve 0
noktasında sağda yoğun, soldan saçılımlıdır.
Teorem 2.1(ii)’den dolayı f , 0 noktasında nabla türevlenebilirdir. Fakat 0 noktasında
lim 
f t   f  s 
s t
ts
sonlu bir limiti yoktur. Böylece f , 0 noktasında delta türevlenebilir
değildir.
Aynı f fonksiyonunun, 0 noktasında delta türevinin varlığında, nabla türevininin de
var olduğu anlamına gelmeyeceğini göstermek için
alınabilir.
16
  1, 0  1, 2 zaman skalası
BÖLÜM III
ZAMAN SKALASINDA DİAMOND  DİNAMİK TÜREVİ VE İNTEGRALİ
Zaman skalası teorisinin gelişimi sürekli ve ayrık analitik yöntemlerin birleşmesi
üzerine odaklanmıştır. Son tartışmalar zaman skalası teori ve metotları keyfi boş
olmayan reel sayıların kapalı alt kümesinde lineer olmayan dinamik denklem
sistemlerinin modellenmesi için fark ve diferansiyel metotların integral almanın bir
yolunu sağlaması gerekliliğinden bahsetmiştir (Rogers Jr. ve Sheng, 2007).
Bu amaçla, standart  ve  türevleri içeren çeşitli dinamik türev formülünün
kullanışlılığı, (Bohner ve Peterson, 2001; Bohner ve Peterson, 2003; Davis vd., 2006;
Eloe vd., 2006) referanslarında, lineer olmayan diferansiyel denklemlerin çözümlerine
ve fonksiyonlarına yaklaşmada incelenmiştir.  ve  dinamik türevlerin lineer
kombinasyonu veya (Broyden, 1965; Srivastava, 1984) makalelerinde Broyden’in
formülü olarak tanımlanan  türevi olarak adlandırılan bir dinamik türev formülü
geleneksel türevine daha doğru bir yaklaşım sağladığı (Davis vd., 2006; Sheng, ön
baskı) da ispatlanmıştır (Rogers Jr. ve Sheng, 2007).
Tezin bu kısmında ilerideki çalışmalara temel teşkil eden standart  ve  dinamik
türevlerinden bağımsız olarak diamond–  türevin tanımı ve ilave olarak  ve 
dinamik türevleri ile bağlantılı diamond–  türevin temel özellikleri ispatlı olarak
detaylı bir şekilde incelendi. Bundan başka uygun bir diamond–  integralin tanımı ve
özellikleri de çalışılmıştır.
Zaman skalasında diamond–  dinamik türev ve diamond–  integrali, bir sonraki
bölümde yapılmış olan zaman skalası üzerinde diamond–  Grüss eşitsizliğinin ve bu
eşitsizliğin ağırlıklı versiyonu için temel bilgi oluşturduğundan dolayı burada geniş bir
biçimde sunulmuştur.
3.1 Diamond  Dinamik Türevi
Tanım 3.1
zaman skalası, f :
bir fonksiyon ve t 

k
olsun.   
verildiğinde    için t nin bir U komşuluğu (yani U   t   , t     ,   
için) s U için
17
  f   t   f  s  ts  1     f   t   f  s   ts  f  t   ts ts    ts  ts
eşitsizliği sağlanırsa. ts    t   s ve  ts    t   s olmak üzere f   t  ifadesine
k
k
üzerinde f fonksiyonunun diamond–  türevi olarak tanımlanır (Rogers Jr. ve Sheng,
2007).
Hatırlatma 3.1 Diamond–  dinamik türevin tanımında   1 alınırsa,
f   t 
diamond–  dinamik türevi, f   t  türeve ve    alınırsa, f   t  türeve indirgenir.
Diamond–  dinamik türev birçok avantajlara sahiptir.
Yukarıda tanımlanan fonksiyon iyi tanımlıdır. Gerçekten,    verildiğinde t nin U1
ve U 2 komşuluğundaki her bir 1  t  ve 2  t  değerler olmak üzere s U1 için
  f   t   f  s  ts  1     f   t   f  s   ts  1  t   ts ts    ts ts
ve s U 2 için
  f   t   f  s  ts  1     f  t   f  s   ts  2 t   ts ts    ts  ts
yazılabilir.    için     2 olsun. Bu taktirde s U  U1 U 2 için
1  t   2  t   ts ts
 1  t   ts v ts  2  t   ts v ts
   f   t   f  s   ts  1     f   t   f  s    ts  1  t   ts  ts
   f   t   f  s   ts  1     f   t   f  s    ts  2  t   ts  ts
   f   t   f  s   ts  1     f   t   f  s    ts  1  t   ts  ts
+   f   t   f  s   ts  1     f   t   f  s    ts  2  t   ts  ts
    ts  ts     ts  ts
   ts  ts
elde edilir. Böylece
1  t   2  t   
,ve   0 giderken 1  t   2  t  olur.
Dolayısıyla teorem ispatlanır (Rogers Jr. ve Sheng, 2007).
18
Teorem 3.1 0    1 olmak üzere f fonksiyonu, t 
de hem  hem de 
türevlenebilirse; bu durumda, f fonksiyonu t de  türevlenebilirdir ve
f   t    f   t   1    f   t 
biçmindedir (Rogers Jr. ve Sheng, 2007).
İspat f   t  ve f   t  türevleri mevcut olsun. Böylece    için U1 ve U 2
komşuluklarındaki s U1 için
 f   t   f  s    f   t  ts   ts
ve s U 2 için
 f   t   f  s    f   t  ts    ts
yazılır. Bu taktirde s U1 için
  f   t   f  s   ts   f   t  ts ts   ts ts
ve s U 2 için
1     f   t   f  s  ts  1    f   t  ts ts  1     ts ts
elde edilir. Böylece s U  U1 U 2 için
  f   t   f  s   ts  1     f   t   f  s   ts   f   t   1    f   t  ts ts
   f   t   f  s   ts   f   t  ts ts
 1     f   t   f  s   ts  1    f   t  ts ts
  ts ts  1     ts ts
  ts ts
bulunur. Buradan f   t  türevi vardır ve f   t    f   t   1    f   t  dır.
Sonuç 3.1 t 
noktası yoğun olmak üzere eğer f   t  varsa
f   t   f   t   f   t   f   t 
şeklindedir (Rogers Jr. ve Sheng, 2007).
19
İspat t noktası yoğun ve f   t   lim
f t  h   f t 
h 0
h
sonlu bir değeri olarak limiti
mevcut olsun. t nin yeterli küçük bir U komşuluğundaki, s, t U için h  s  t
alınırsa
f   t   lim
f t  h   f t 
h 0
 lim
s t
h
f t   f  s 
ts
f   t   f   t  dır. Teorem 2.12(iii)
olur. O zaman Teorem 2.1(iii) den dolayı
kullanılarak f   t   f   t  bulunur. Böylece Teorem 3.1 göz önüne alınırsa
f   t    f   t   1    f   t 
  f   t   1    f   t 
 f  t 
elde edilir.
Lemma 3.1 t 
saçılımlı olsun. Bu durumda f , t de süreklidir (Rogers Jr. ve Sheng,
2007).
saçılımlı olduğunda   t   0 ve   t   0 dır.
İspat t saçılımlı olsun. t 
0    min    t  ,  t  
  
olsun.
için
t
nin bir
U  t   , t    
komşuluğundaki s U için, s  t ve böylece f  t   f  s      olur.
Sonuç 3.2 t 
(i)
f

t 
saçılımlı olsun. Bu taktirde
vardır ve f   t  
(ii) f   t  vardır ve f   t  
f  t   f t 
 t   t
f
(iii) f   t  vardır ve f   t   

,
t   f t  ,
 t   t
f  t   f t 
 t   t
biçimindedir (Rogers Jr. ve Sheng, 2007).
20
 1   
f

t   f t  ,
 t   t
İspat Lemma 3.1 yardımıyla f , t de süreklidir. Böylece Teorem 2.1(ii) göz önüne
alındığında (ii) elde edilir. Teorem 2.12 (ii) kullanılarak (iii) bulunur. Bu durumda
Teorem 3.1 yardımıyla
f   t    f   t   1    f   t 

f  t   f t 
 t   t
 1   
f  t   f t 
 t   t
bulunur.
Sonuç 3.3 t  
soldan saçılımlı, sağda yoğun ve
f   t    lim
f t  h  f t 
h 0
h
olsun. Böylece
(i)
f  t   f  t   ,
(ii) f   t  
f

t   f t  ,
 t   t
(iii) f   t    f   t    1   
f

t   f t  .
 t   t
ifadeleri elde edilir (Rogers Jr. ve Sheng, 2007).
İspat   t    t  olmak üzere t nin tüm U   t   , t    komşuluğundaki s, t U
için s  t  0 dır. Böylece h  s  t alınırsa
lim
f t  h   f t 
h 0
 lim
f t   f  s 
ts
s t
h
bulunur. Teorem 2.1(iii) yardımıyla
f   t   lim
f t   f  s 
s t
ts
 f  t  
olur. f   t   türevi olduğundan ve Teorem 2.12(ii) den dolayı (ii) bulunur. Bu takdirde
Teorem 3.1 yardımıyla
f   t    f   t   1    f   t 
  f   t    1   
f  t   f t 
 t   t
bulunur.
Aşağıdaki sonuç 3.4’ün ispatı yukarıdaki ispata benzerdir.
21
Sonuç 3.4 t  
solda yoğun, sağdan saçılımlı ve
f   t    lim
f t  h   f t 
h 0
h
mevcut olsun. Bu durumda
(i)
f  t  
f  t   f t 
 t   t
,
(ii) f   t   f   t   ,
(iii) f   t   
f  t   f t 
 t   t
 1    f   t   ,
biçimindedir (Rogers Jr. ve Sheng, 2007).
bir zaman skalası ve 0    1 olmak üzere eğer f , t noktasında 
Teorem 3.2
türevlenebilir ise, f , t noktasında süreklidir (Rogers Jr. ve Sheng, 2007).
İspat f , t 
de  türevlenebilir olsun. Eğer yoğun veya saçılımlı bir nokta ise, bu
sonuçlar sırasıyla, Sonuç 3.1 ve. Sonuç 3.2 den bulunur. Burada t nin, sağda yoğun ve
soldan saçılımlı veya sağdan saçılımlı ve solda yoğun olması durumları vardır.
t sağda yoğun ve soldan saçılımlı olduğu göz önüne alınırsa,   t   t ve   t   t olur.
Şimdi    0,1 ve
 
   t   t
1     f   t   f  t   f   t      t   t   1    t   t  1

olsun. Böylece 0     1 dir. O zaman t nin bir U1 komşuluğu ve s U1 için
  f   t   f  s   ts  1     f   t   f  s   ts  f   t  ts ts
   f  t   f  s      t   t    t  s  
 1     f   t   f  t     f  t   f  s     t  s 
 f   t  t  s     t   t    t  s  
   f  t   f  s      t   t   1     f   t   f  t    t  s 
  f  t   f  s    t  s   f   t  t  s     t   t    t  s  
22
  f  t   f  s       t   t    t  s  
 1     f   t   f  t    f   t      t   t    t  s     t  s 
   ts ts
    t  s     t   t    t  s  
elde edilir. Buradan
  f  t   f  s       t   t    t  s  
 1     f   t   f  t    f   t      t   t    t  s     t  s 
    t  s     t   t    t  s  
bulunur. t soldan saçılımlı, sağda yoğun olduğundan s U1 için,   t   t  s olur.
Böylece s  U  U1   t    , t     için
 f  t   f  s       t   t 
  f  t   f  s       t   t    t  s  
 1     f   t   f  t    f   t      t   t    t  s   t  s
  t  s    t   t    t  s 
   1     f   t   f  t    f   t      t   t   1       t   t  1
elde edilir. Bu takdirde
   1     f   t   f  t    f   t      t   t   1    t   t  1

f t   f  s   
  t   t

bulunur.
Teorem 3.3
bir zaman skalası ve 0    1 olsun. Eğer f , t noktasında 
türevlenebilirse, böylece f , t noktasında hem  hem de  türevlenebilirdir (Rogers
Jr. ve Sheng, 2007).
23
İspat
bir zaman skalası ve 0    1 ,   0 ve    
1
 0 olsun. f , t 
1
noktasında  türevlenebilir olsun. Böylece Teorem 3.2 göz önüne alındığında f , t
noktasında süreklidir. Eğer t , yoğun veya saçılımlı bir nokta ise, bu sonuç sırasıyla
Sonuç 3.1 ve Sonuç 3.2 den bulunur. Buradan t nin, sağda yoğun ve soldan saçılımlı
veya sağdan saçılımlı ve solda yoğun olması durumları vardır.
t sağdan saçılımlı ve solda yoğun olsun. Böylece   t   t ve   t   t dir. Ayrıca f , t
de sürekli olduğundan, Teorem 2.1(ii) den dolayı f , t de  türevlenebilirdir .Böylece
   0 için t nin bir U1 komşuluğundaki s U1 için
  f   t   f  s  ts  1     f   t   f  s  ts  f   t  ts ts    ts ts
ve t nin bir U 2 komşuluğundaki s U 2 için
 f   t   f  s    f   t  ts    ts
yazılır.  , f   t    f   t   1     denklemindeki gibi seçilsin. O zaman t nin
U  U1 U 2 komşuluğundaki ve s U için
  f   t   f  s   ts  1     f   t   f  s  ts   f   t   1      ts ts
   f   t   f  s   f   t  ts  ts  1     f   t   f  s    ts  ts
   ts ts
elde edilir. Böylece
1     f   t   f  s    ts  ts   ts ts    f   t   f  s   f   t  ts  vts
   ts ts    ts ts
 1      ts ts
bulunur. Bu durumda
1 
 f   t   f  s     ts   
 ts   vts
1
olur. Böylece f   t    vardır. t nin sağda yoğun, soldan saçılımlı durumu benzer
şekilde ispatlanır.
24
Hatırlatma 3.2 0    1 aralığında tam eşitsizlikler yukarıdaki sonuçlar için gereklidir.
  1 durumunda  türevi  türeve indirgenir fakat Sonuç 2.1 den dolayı  türevi
olduğu anlamına gelmez. Benzer düşünceler   0 durumu içinde benzerdir (Rogers Jr.
ve Sheng, 2007).
bir zaman skalası ve f  t  ,
Tanım 3.2 (Diamond–  dinamik türev)
ve  türevlenebilir olsun. t 
üzerinde 
için f  t  fonksiyonun f   t  türevi 0    1 olmak
üzere
f  t    f  t   1    f  t 
olarak tanımlanır. Böylece f diamond–  türevlenebilir olması için gerekli yeterli
koşul f fonksiyonunun  ve  türevlenebilir olmasıdır (Davis vd., 2006).
   0,1 için bir “ağırlıklı dinamik türev” temsil ederken, diamond–  türevini   1
olarak standart  türevine veya   0 olarak standart  türevine indirgenir. Ayrıca

1
olduğunda, kombine dinamik türevler, herhangi bir ayrık zaman skalası üzerinde
2
bize merkezi bir formül önerir.
Teorem 3.4 f , g :
(i) f  g :
f
, t

, t

de diamond–  türevlenebilir olsun. Bu durumda
de diamond–  türevlenebilirdir ve
 g    t   f   t   g   t 

dir.
(ii) Herhangi bir c sabiti olmak üzere, cf :

, t
noktasında diamond– 
türevlenebilirdir ve
 cf   t    f   t 

elde edilir.
(iii) fg : 

, t
noktasında diamond–  türevlenebilirdir ve
 fg   t   f   t  g  t    f   t  g   t   1    f   t  g  t 


şeklindedir.


(iv) g  t  g  t  g  t   0 için,
1
 
g

t   
1
:
g

, t

de diamond–  türevlenebilirdir ve
1
 g   t   g  t   g  t    g  t  g  t 
g t  g t  g  t 

25
 1    g   t  g   t  
olur.
(v) g  t  g   t  g   t   0 için,
f 
 
g

t   
f
:
g
, t

de diamond–  türevlenebilirdir ve

1
f   t  g   t  g   t    f   t  g   t  g   t 

g t  g t  g t 

 1    f   t  g   t  g   t  
biçimindedir (Davis vd., 2006).
İspat
(i) Diamond–  türevinin tanımı ve Teorem 2.2(i) ve Teorem 2 13(i) göz önüne alınırsa
 f  g  t     f

 g   t   1    f  g 


t 
  f   t    g   t   1    f   t   1    g   t 
 f   t   g   t 
elde edilir.
(ii) Diamond–  türevinin tanımı, Teorem 2.2(ii) ve Teorem 2 13(ii) kullanılarak
 cf   t    c  f   t   1    cf  f   t 

  cf   t   1    cf   t 
 c  f   t   1    f   t  
 cf   t 
yazılır.
(iii) Diamond–  türevinin tanımı, Teorem 2.2(iii) ve Teorem 2 13(iii) göz önüne
alınırsa
 fg   t     fg   t   1    fg   t 



  f   t  g  t    f   t  g   t   1    f   t  g  t 
 1    f   t  g   t 
 f   t  g  t    f   t  g   t   1    f   t  g   t 
bulunur.
26
(iv) (iii) den ve ayrıca Teorem 2.2(iv) ve Teorem 2.13(iv) den faydalanılarak
1
 
g

 t   
 
g  t 
g t  g t 
g  t 
g t  g t 
 1   

g  t 
 1   
g t  g  t 
g  t 
 1   
g  t 
g t  g  t 

g t  g  t 
g  t 
g t  g  t 
 1   

g  t 
g t  g  t 
g  t 
g t  g  t 
1
 g   t   1    g   t  
g  t  g  t 

1
 g   t   1    g   t  


g t  g  t 

1
 g  t  g  t   1    g  t  g  t  
g t  g t  g  t 


1
g t  g t  g  t 

 g

t   g  t  g  t    g  t  g  t 

 1    g   t  g   t  
elde edilir. Sonuç olarak; (iii) ve (iv) den dolayı, f  t  g  t   f  t  1 g  t   gibi
yazılarak (v) bulunur.
3.2 Diamond–  İntegrali
Tanım 3.3 a, t 
ve h :

bir fonksiyon olsun. h nin  integrali t 
ve
0    1 için
t
t
t
a
a
a
 h       h    1     h  
şeklinde tanımlanır.  integral  ve  integrallerinin lineer kombinasyonudur.
Genelde t 
için

t

  f      f  t 
a

sağlanmaz (Davis vd., 2006).
27
Teorem 3.5 a, b, t 
ve c 
t
(i)
olsun. Bu taktirde
t
t
a
a
  f    g     f      g    ,
a
t
t
(ii)  cf     c  f    ,
a
a
t
a
 f      f    ,
(iii)
a
t
t
b
t
a
a
b
 f      f      f    ,
(iv)
a
(v)
 f     0 ,
a
biçimindedir (Davis vd., 2006).
İspat (i) Teorem.2.10(i) ve Teorem 2 16 (i). den faydalanılırsa
t
t
a
a
t
  f    g       f    g     1      f    g   
a
t
t
t
a
a
   f     1    f       g   
a
t
 1     g   
a
t
t
a
a
  f      g   
bulunur.
(ii) Teorem 2 .10(ii) ve Teorem 2.16(ii) göz önüne alınırsa
t
t
a
a
t
c  f      c f      c 1    f  
a
t


 c    f     1     f   
a
 a

t
t
 c  f   
a
olur.
(iii) Teorem 2 .10(iii) ve Teorem 2.16(iii) den faydalanılırsa
t

a
t
t
a
a
f       f     1     f  
28
a
a
   f     1     f  
t
t
a


     f     1     f   
t
 t

a
a
   f   
t
şeklindedir.
(iv) Teorem 2.10(iv) ve Teorem 2.16(iv) kullanılarak
t

t
t
f       f     1     f  
a
a
b
a
t
b
t
b
a
b
   f       f    1     f    1     f   
a
b
t
a
b
  f      f   
dır.
(v) Teorem 2 .10(vii) ve Teorem2.16(vii) göz önüne alınırsa
a
a
a
a
a
 f       f     1     f  
a
0
elde edilir.
Lemma 3.2 f ve g ,  a, b  üzerinde sürekli fonksiyonlar olsun. Bu durumda
(i) Eğer t   a, b  için f  t   0 ise, böylece
b
 f     0
a
dır.
(ii) Eğer t   a, b  için f  t   g  t  oluyorsa, bu takdirde
b
b
a
a
 f      g   
şeklindedir.
29
(iii) Eğer t   a, b  için f  t   0 oluyorsa, bu durumda f  t   0 olması için gerek ve
b
yeter koşul
 f     0 olmasıdır (Ferreira vd., 2008).
a
Teorem 3.6 Eğer f , a dan b ye Riemann  integrallenebilir ve Riemann 
integrallenebilir ise bu taktirde f , a dan b ye Riemann  integrallenebilirdir ve
b
b
a
a
I    f  t t  1     f  t t
biçimindedir (Malinowska ve Torres, 2008).
 a, b 
Teorem 3.7
aralığı üzerinde sınırlı bir
f
fonksiyonu Riemann

integrallenebilir olması için gerek ve yeter şart integrallerin eşit değerde olduğu
durumlarda Darboux  integrallenebilir olmasıdır.
Teorem 3.6, Teorem 3.7 ve Riemann delta (nabla) integralin özellikleri göz önüne
alınarak aşağıdaki sonuçlar yazılır.
(i) a, b 
ve a  b olsun. f :

her sabit fonksiyonu a dan b ye 
integrallenebilirdir ve
b
 f     c  b  a  .
a
(ii)
 a, b 
üzerinde
f:

her monoton fonksiyon,
f:

her
a dan
b
ye

b
ye

integrallenebilirdir.
(iii)  a, b 
üzerinde
sürekli
fonksiyon,
a
dan
integrallenebilirdir.
(iv)  a, b  üzerinde f :

sadece sonlu sayıda bir çok süreksiz noktalarda her
sınırlı fonksiyon, a dan b ye  integrallenebilirdir.
(v)
 a, b 
üzerinde
f:

her düzenli fonksiyon,
a dan
b
ye

integrallenebilirdir.
(vi)  a, b  üzerinde f :

bir sınırlı fonksiyon, a dan b ye  integrallenebilir
olsun. Bu durumda f ,  a, b  nin her  c, d  alt aralığında  integrallenebilirdir.
30
(vii) f , a dan b ye  integrallenebilir fonksiyon ise
integrallenebilirdir. Ayrıca
b
b
a
a
 f    t   f  t   t
şeklindedir (Malinowska ve Torres, 2008).
31
f
fonksiyonu da 
BÖLÜM IV
ZAMAN SKALASI ÜZERİNDE DİAMOND–  GRÜSS TİPİ EŞİTSİZLİKLER
Sidi Ammi ve Torres 2010’da aşağıdaki gibi zaman skalası üzerinde diamond–  Grüss
eşitsizlikleri kurmuştur.
olsun. x   a, b  
bir zaman skalası ve a  b olmak üzere a, b 
Teorem 4.1
için f , g  C  ,
 ,   f  x  
ve   g  x    ise
b
1
1
f  x  g  x   x 
2

ba a
b  a 
b
b
a
a
1
 f  x   x  g  x   x  4        
eşitsizliği elde edilir (Sidi Ammi ve Torres, 2010).
Dragomir, 2000 yılında Grüss tipinin bazı klasik ve yeni integral eşitsizlikleri için
aşağıdaki iki sonuçları vermiştir.
Teorem 4.2 f , g :  a, b  
olmak üzere iki Lipschitzian şartını sağlayan fonksiyonları
ve Lipschitzian sabitleri sırasıyla L1  0 , L2  0 olmak üzere f  x   f  y   L1 x  y
g  x   g  y   L2 x  y
ve
x, y   a, b 
p :  a, b    0,  
için
integrallenebilirse
b
b
b
b
a
a
a
a
 p  x  dx  p  x  f  x  g  x  dx   p  x  f  x  dx  p  x  g  x  dx
2
b
b
b
 
2
 L1 L2   p  x  dx  p  x  x dx    p  x  xdx  
 a
a
a
 
eşitsizliği bulunur (Dragomir, 2000).
32
fonksiyonu
f , g :  a, b  
Teorem 4.3
fonksiyon
olsun.
,
 a, b 
kapalı aralığı üzerinde iki integrallenebilir
f  x  f  y  M g  x  g  y 
x, y   a, b 
ve
için
p :  a, b    0,   fonksiyonu integrallenebilirse
b
b
b
b
a
a
a
a
 p  x  dx  p  x  f  x  g  x  dx   p  x  f  x  dx  p  x  g  x  dx
2
b
b
b
 
2
 M   p  x  dx  p  x  g  x  dx    p  x  g  x  dx  
 a
a
a
 
şeklindedir (Dragomir, 2000).
Sheng vd. (2006) zaman skalası üzerindeki  ve  dinamik türevlerinin lineer
kombinasyonu olarak kombine dinamik ‘diamond-alpha’ türevini çalıştı. Diamond– 
türev,   1 için standart  türevine,   0 için standart  türevine indirgenir.
Bu bölümde diamond–  dinamik türev ve diamond–  integral tanımları ve özellikleri
kullanılarak diamond–  Grüss tipi eşitsizlikler incelenmiştir. Burada özel olarak   1
alınırsa, zaman skalası üzerinde delta integral Grüss tipi eşitsizliklere,    alınırsa,
nabla integral Grüss tipi eşitsizlikler elde edilir. Bundan başka teorik sonuçları
göstermek için zaman skalasının özel durumları göz önüne alınarak örnekler
çalışılmıştır.
4.1 Ağırlıklı Diamond–  Grüss Eşitsizliği
bir zaman skalası ve a  b olmak üzere a, b 
Teorem 4.4
için   f  x    ve   g  x    olmak üzere f , g  C  ,
olsun. x   a, b  
,
p  C  ,  0,    ve
b
 p  x   x  0
ise
a
b

a
b
b
a
a
b
p  x   x  p  x  f  x  g  x   x   p  x  f  x   x  p  x  g  x   x

b

1
          p  x   x 
4
a

a
2
 4.1
eşitsizliği elde edilir (Bohner vd., 2011).
33
İspat
1
b
 p  x   x
b
 p  x  f  x  g  x   x
a
a
b
b
1
 p  x   x
 p  x   x
a
a

1
 p  x  f  x   x b
b
 p  x  g  x   x
a
a
b b
1
b

2   p  x   x 
a

2
  p  x  p  y   f  x   f  y    g  x   g  y    x y
(4.2)
a a
eşitliği yazılabilir. (Sidi Ammi ve Torres, 2010) da verilen iki boyutlu diamond– 
Cauchy-Schwartz’s eşitşizliği kullanılırsa



1
2
 b
 2 p x  x 
     

 a




b b

p
x
p
y
f
x

f
y
g
x

g
y

x

y



















a a



b b
1
b

2   p  x   x 
a

2
2
2
 x y
a a
b b
1
b

2   p  x   x 
a

  p  x  p  y   f  x   f  y 
2
  p  x  p  y   g  x   g  y 
2
 x y
a a
2


 


 
b
b
1
1


2
 b
a p  x  f  x   x   b
a p  x  f  x   x  
 p  x  x
  p  x   x
 

 a
a
 


2


 


 
b
b
1
1


2

 b
a p  x  g  x   x   b
a p  x  g  x   x  
 p  x  x
  p  x   x
 

 a
a
 

bulunur. Ayrıca
34
 4.3




b
b
1
1
2

b
a p  x  f  x   x   b
a p  x  f  x   x 
  p  x   x

a p  x   x
a

2






b
b
1
1



   b
p
x
f
x

x
p
x
f
x

x


a        b
a     


p
x

x
p
x

x










a


 a

b
1
 p  x   x
b
 p  x    f  x    f  x      x
a
a






b
b
1
1



 b
a p  x  f  x   x   b
a p  x  f  x   x   

p  x   x

   p  x   x


a

 a

 4.4 
ve benzer şekilde




b
b
1
1
2

b
a p  x  g  x   x   b
a p  x  g  x   x 
  p  x   x

a p  x   x
a

2






b
b
1
1


   b
p
x
g
x

x
p
x
g
x

x


a        b
a      


   p  x   x

a p  x   x

 a

elde edilir. (4.4) ve (4.5) eşitsizlikleri (4.3) eşitsizliğinde kullanılırsa, (4.2) ifadesi
b
 p  x  f  x  g  x   x
a
b
b

b
 p  x  f  x   x
 p  x  g  x   x
a
a
b
b
 p  x   x
 p  x   x
 p  x   x
a
a
a
35
 4.5 
1
1
1
1

2 
2

 

b
b
1
1



 b
a p  x  f  x   x   b
a p  x  f  x   x   


   p  x   x

a p  x   x

 a


2 
2




b
b
1
1



  b
a p  x  g  x   x   b
a p  x  g  x   x   


   p  x   x

a p  x   x

 a

olur.  ,  
 4.6 
için
4       
2
elemanter eşitsizliğinden yararlanılırsa
b

 b

p
x
f
x

x






    p  x  f  x   x
a
 a
      2
4   b



 b

p
x

x
p
x

x










a


 a

 4.7 
ve
b

 b

p
x
g
x

x






    p  x  g  x   x
a
 a
      2
4  b



 b

p
x

x
p
x

x










a


 a

 4.8 
eşitsizlikleri yazılır.
(4.6), (4.7) ve (4.8) ifadeleri düşünüldüğünde (4.1) eşitsizliği bulunur.
Örnek 4.1 Teorem 4.4 de,
b
zaman skalası üzerinde p  x   1 olarak alınırsa
1
1
f  x  g  x   x 
2

ba a
b  a 
b
b
a
a
1
 f  x   x  g  x   x  4        
bulunur. Teorem 4.4, Teorem 4.1 in ağırlıklı durumu için bir genişletilmesidir (Bohner
vd., 2011).
36

Örnek 4.2 Teorem 4.4 de
b

olması durumunda
b
b
b
a
a
a
p  x  dx  p  x  f  x  g  x  dx   p  x  f  x  dx  p  x  g  x  dx
a
b

1
           p  x  dx 
4
a

2
eşitsizliği elde edilir ve bu sonuç (Dragomir, 2000) tarafından elde edilen sonuç ile
aynıdır (Bohner vd., 2011).

Örnek 4.3 Örnek 4.1 de
olarak alınırsa
b
1
1
f  x  g  x  dx 
2

ba a
b  a 
b
b
a
a
1
 f  x  dx  g  x  dx  4        
elde edilir (Bohner vd., 2011).
Örnek 4.4 Teorem 4.4 de   1 ve
n 1
n 1
n 1
n 1
i m
i m
i m
i m

olduğunda
 pi  pi fi gi   pi fi  pi gi 
1
 n 1 
          pi 
4
 i m 
eşitsizliği bulunur (Bohner vd., 2011).

Örnek 4.5 Örnek 4.1 de
olarak düşünülürse
1 n 1
  fi gi  1    fi 1 gi 1 
n  m im 


n 1
1
 n  m
2
n 1
  f  1    f   g  1    g
i m
i
i 1
i
i m
i 1

1
       
4
eşitsizliği yazılır. Ayrıca bu eşitsizlikte   1 yazılırsa
n 1
n 1
1 n 1
1
1
f
g

f
g         

i i
2  i i
n  m i m
4
 n  m  i m i m
elde edilir (Bohner vd., 2011).
37
2
Örnek 4.6 Teorem 4.4 de   1 ve
q
0
olarak alınırsa
n 1
n 1
n 1
n 1
i m
i m
i m
i m
 qi p  qi   qi p  qi  f  qi  g  qi    qi p  qi  f  q i   q i p  q i  g  q i 
1
 n 1

           q i p  q i  
4
 i m

2
eşitsizliği geçerlidir (Bohner vd., 2011).
q
Örnek 4.7 Örnek 4.1 de
q 1
n
q  qm
n 1
q
i m
i
0
düşünülürse
 f  q i  g  q i   1    f  q i 1  g  q i 1  


 q 1 
 n
m 
 q q 
2
n 1
n 1
i m
i m
 qi  f  qi   1    f  qi1  qi  g  qi   1    g  qi1 

1
       
4
bulunur. Ayrıca bu eşitsizlikte   1 alındığında
q 1
n
q  qm
 q 1 
q f q  g q    n

m 
i m
 q q 
n 1
i
i
i

2
n 1
n 1
i m
i m
 qi f  qi   qi g  qi 
1
       
4
elde edilir (Bohner vd., 2011).
4.2 Her İki Fonksiyonun Lipschitzian Şartını Sağlaması Durumu
Teorem 4.5
bir zaman skalası ve a  b olmak üzere a, b 
için f , g  C  ,

ve x, y   a, b  
fonksiyonları, L1  0 , L2  0 sırasıyla iki Lipschitzian sabitleri
olmak üzere sırasıyla
f  x   f  y   L1 x  y ve g  x   g  y   L2 x  y
iki Lipschitzian dönüşümü olsunlar. Eğer p  C  ,  0,    ise
b

a
b
b
b
a
a
a
p  x   x  p  x  f  x  g  x   x   p  x  f  x   x  p  x  g  x   x
38
 4.9 
2
b
b
b
 
2
 L1 L2   p  x   x  p  x  x  x    p  x  x x  
 a
a
a
 
(4.10)
eşitsizliği elde edilir ve bu eşitsizlik kesindir (Bohner vd., 2011).
İspat Teorem 4.5 de bulunan (4.9) şartı kullanılarak x, y   a, b  
 f  x   f  y   g  x   g  y   L L  x  y 
1
için
2
2
yazılabilir. Bu eşitsizliğin her iki tarafı p  x  p  y   0 ile çarpılır ve
 a, b    a, b 
üzerinde integrallenirse
b b
  p  x  p  y   f  x   f  y    g  x   g  y   x y
a a
b b
   p  x  p  y   f  x   f  y    g  x   g  y    x y
a a
b b
 L1L2   p  x  p  y  x  y   x y
2
(4.11)
a a
eşitsizliği bulunur. Ayrıca
b b
1
p  x  p  y   f  x   f  y    g  x   g  y   x y
2 a a
b
b
b
b
a
a
a
a
  p  x   x  p  x  f  x  g  x   x   p  x  f  x   x  p  x  g  x   x
(4.12)
ve
b b
b
b
b

1
2
2
p
x
p
y
x

y

x

y

p
x

x
p
x
x

x

                 p  x  x x 


2aa
a
a
a

2
(4.13)
eşitlikleri vardır. (4.12) ve (4.13), (4.11) de kullanılırsa, (4.10) eşitsizliği elde edilir.
Ayrıca x 
için L1 , L2  0 f  x   L1 x ve g  x   L2 x olarak seçilirse f ve g
fonksiyonları L1  0 ve L2  0 Lipschitzian sabitleri için Lipschitzian şartını sağlayan
fonkiyonlardır ve herhangi bir p  C  ,  0,    fonksiyonu için (4.10) eşitliği sağlanır.
Örnek 4.8 Teorem 4.5 de
zaman skalası üzerinde p  x   1 alınırsa
39
b
b
b
1
1
1
f  x  g  x   x 
f  x   x
g  x   x


ba a
ba a
b  a a
2
 1 b
 1 b
 
2
 L1 L2 
 x  x   b  a a x x  
 b  a a

eşitsizliği yazılır (Bohner vd., 2011).

Örnek 4.9 Teorem 4.5 de
olarak göz önüne alınırsa, bu durumda Teorem 4.2
tekrar elde edilir (Bohner vd., 2011).
Örnek 4.10 Örnek 4.8’de

olarak seçilirse Dragomir, (2000) tarafından bulunan
b  a 
1
1
1
f  x  g  x  dx 
f  x  dx
g  x  dx  L1L2



ba a
ba a
ba a
12
b
b
b
eşitsizliği elde edilir (Bohner vd., 2011).
ve   1 olarak düşünülürse

Örnek 4.11 Teorem 4.5 de
 n1 n1 2  n1 2 
pi  pi fi gi   pi fi  pi gi  L1L2  pi  pii    pii  

i m
i m
i m
i m
 i m  
 i m i m
n 1
n 1
n 1
n 1
şeklinde olur (Bohner vd., 2011).
Örnek 4.12 Örnek 4.8 de

olarak seçilirse
1 n 1
  fi gi  1    fi 1 gi 1 
n  m im 

1
 n  m
n 1
n 1
i m
i m
 fi  1    fi 1    gi  1    gi 1 
2 
  n  m 2  1

 L1 L2 
  1    
12


eşitsizliği sağlanır. Bu eşitsizlikte   1 olarak alınırsa
n 1
n 1
 n  m 1
1 n 1
1
f
g

f
g  L1L2

i i
2  i i
n  m i m
12
 n  m  i m i m
2
yazılır (Bohner vd., 2011).
40
2
q
Örnek 4.13 Teorem 4.5 de
0
ve   1 olarak göz önüne alınırsa
n 1
n 1
n 1
n 1
i m
i m
i m
i m
 qi p  qi   qi p  qi  f  qi  g  qi    qi p  qi  f  q i   q i p  q i  g  q i 
2
n 1
 n1 i

 n1 2i
i
3i
i
i 
 L1L2  q p  q   q p  q     q p  q   
i m
 i m
 
 i m
eşitsizlikleri elde edilir (Bohner vd., 2011).
q
Örnek 4.14 Örnek 4.8 de
q 1
n
q  qm
n 1
q
i m
i
0
olarak düşünülürse
 f  q i  g  q i   1    f  q i 1  g  q i 1  


 q 1 
 n
m 
 q q 
2
n 1
n 1
i m
i m
 qi  f  qi   1    f  qi1  qi  g  qi   1    g  qi1 
2
 q2n  qn qm  q2m
 qn  qm 
2
2
 L1L2 


1


q



1


q











q2  q  1


 q 1 
biçimindedir. Bu eşitsizlikte   1 alınırsa
q 1
n
q  qm
 q 1 
q f q  g q    n

m 
i m
 q q 
n 1
i
i
i
2
n 1
i
i
i m
i
i
i m
 q  q  q  q 
 q  q  1  q  1
m 1
n
 L1 L2
n 1
 q f q   q g q 
n 1
2
m
2
şeklindedir (Bohner vd., 2011).
4.3 f Fonksiyonunun M  g  Lipschitzian Şartını Sağlaması Durumu
Teorem 4.6
bir zaman skalası ve a  b için a, b 
f fonksiyonu x, y   a, b  
olsun. M  0 olmak üzere
için
 4.14 
f  x  f  y  M g  x  g  y 
41
f , g C  ,
M  g  Lipschitzian şartını sağlayan fonksiyon ve

olsun. Eğer
p  C  ,  0,    ise
b

b
b
b
a
a
a
p  x   x  p  x  f  x  g  x   x   p  x  f  x   x  p  x  g  x   x
a
2
b
b
b
 
2
 M   p  x   x  p  x  g  x   x    p  x  g  x   x  
 a
a
a
 
 4.15 
eşitsizliği sağlanır (Bohner vd., 2011).
İspat Teorem de bulunan (4.14) şartı göz önüne alınırsa x, y   a, b  
 f  x   f  y   g  x   g  y   M  g  x   g  y 
için
2
yazılır. Bu eşitsizliğin her iki tarafı p  x  p  y   0 ile çarpılır ve  a, b    a, b  üzerinde
integarallenirse
1
2
b b
  p  x  p  y   f  x   f  y    g  x   g  y   x y
a a
b b
1
   p  x  p  y   f  x   f  y    g  x   g  y    x y
2aa
M

2
b b
  p  x  p  y   g  x   g  y    x y
2
a a
2
b
b
b
 
2
 M   p  x   x  p  x  g  x   x    p  x  g  x   x  
 a
a
a
 
eşitsizliği elde edilir. Bu sonuç (4.15) eşitsizliğinin ispatıdır. Ayrıca M  0 olmak
üzere f  x   Mx ve g  x   x olarak seçilirse, bu taktirde f , M  g  Lipschitzian
şartını sağlayan fonksiyondur ve p  C  ,  0,    için (4.15) eşitliği sağlanır.
Örnek 4.15 Teorem 4.6 da p  x   1 olarak alınırsa
b
b
b
1
1
1
f  x  g  x   x 
f  x   x 
g  x   x


ba a
ba a
b  a a
42
2
 1 b
 1 b
 
2
M
 g  x   x   b  a a g  x   x  
 b  a a

dır (Bohner vd., 2011).

Örnek 4.16 Teorem 4.6 da
olarak düşünülürse, bu durumda Teorem 4.3 tekrar
elde edilir (Bohner vd., 2011).

Örnek 4.17 Örnek 4.15 de
olarak göz önüne alınırsa (Dragomir, 2000)
tarafından bulunan
b
b
b
1
1
1
f  x  g  x  dx 
f  x  dx
g  x  dx


ba a
ba a
b  a a
2
 1 b
 1 b
 
2
M
 g  x  dx   b  a a g  x  dx  
 b  a a

eşitsizliği bulunur (Bohner vd., 2011).
Örnek 4.17 Teorem 4.6 da
ve   1 alınırsa

2
 n 1 n 1
 n 1
 
2
pi  pi fi gi   pi fi  pi gi  M  pi  pi gi    pi gi  

i m
i m
i m
i m
 i m
 
 i m i m
n 1
n 1
n 1
n 1
eşitsizliği elde edilir (Bohner vd., 2011).

Örnek 4.18 Örnek 4.15 de
olarak alınırsa
1 n 1
  fi gi  1    fi 1 gi 1 
n  m im 

n 1
1
 n  m
2
n 1
  f  1    f   g  1    g
i m
i 1
i
i m
i
i 1

2
 1 n1
 1 n1
 
2
2
 g İ  1    g İ 1   
M
 gi  1    gi 1   


n

m
n

m
i

m
i

m

 

biçimindedir. Ayrıca bu eşitsizlikte   1 alınırsa
n 1
n 1
 1 n1 2  1 n1 2 
1 n1
1
f i  gi  M 
gi  
gi  
 f i gi  n  m 2 


n  m i m
n

m
n

m
i m
i m

 

 i m i m

43
dır (Bohner vd., 2011).
q
Örnek 4.19 Teorem 4.6 da
0
ve   1 olarak göz önüne alınırsa
n 1
n 1
n 1
n 1
i m
i m
i m
i m
 qi p  qi   qi p  qi  f  qi  g  qi    qi p  qi  f  q i   q i p  q i  g  q i 
2
n 1
 n 1 i

 n 1 i
i
i
i
2
i
i
i 
 M  q p  q  q p  q  q  q     q p  q  g  q   
i m
 i m
 
 i m
eşitsizliği elde edilir (Bohner vd., 2011).
q
Örnek 4.20 Örnek 4.15 de
q 1
n
q  qm
n 1
q
i
i m
0
olarak seçilirse
 f  q i  g  q i   1    f  q i 1  g  q i 1  


 q 1 
 n
m 
 q q 
 q 1
M n
m
q  q
 q 1
 n
m
q q
2
n 1
n 1
i m
i m
 qi  f  qi   1    f  qi1  qi  g  qi   1    g  qi1 
n 1
q
i
im
 g 2  q i   1    g 2  q i 1  



q  g  q   1    g  q   

i m

n 1
i
2
i 1
i



eşitsizliğini vardır. Ayrıca bu eşitsizlikte   1 alınırsa
q 1
n
q  qm
 q 1 
q f q  g q    n

m 
i m
 q q 
n 1
i
i
2
i
 q 1
M n
m
 q  q
n 1
n 1
 q f q   q g q 
i
i m
i
i
i m
 q 1
q g q    n

m
i m
 q q
n 1
i
2
i
i
bulunur (Bohner vd., 2011).
44

q g q  

i m

n 1
i
i
2



BÖLÜM V
SONUÇLAR
Bu tezde öncelikli olarak temel bilgilere dayanak olarak zaman skalası tanımı, zaman
skalasında delta türev, zaman skalasında delta integral ve bunların temel özellikleri ile
zaman skalasında nabla türev, zaman skalasında nabla integralin tanımı ve temel
özellikleri, zaman skalasında diamond–α dinamik türevin ve diamond–α integralin
tanımı ve özellikleri ispatlı olarak detaylı bir şekilde çalışılmıştır.
Yukarıdaki temel bilgiler ışığında zaman skalası üzerinde, her iki fonksiyonun
Lipschitzian şartını sağlaması durumunda, fonksiyonun M – g Lipschitzian şartını
sağlaması durumunda elde edilen diamond–α Grüss eşitsizlikler ve ağırlıklı diamond–α
Grüss eşitsizlik olmak üzere diamond–α Grüss tipi eşitsizlikler çalışılmıştır.
Buna ilaveten zaman skalasının özel durumları olarak sürekli, ayrık ve quantum analiz
durumları düşünüldüğünde ve bu elde edilen sonuçlar, diamond–α Grüss tipi
eşitsizliklere
uygulandığında,
literatürde
olan
Grüss
karşılaştırılmaları ve diğer başka sonuçları incelenmiştir.
45
tipi
eşitsizlikler
ile
KAYNAKLAR
Ablowitz, M.J., Herbst, B.M. and Schober, C., On the numerical solution of the sine
Gordon equation, J.Comput. Phys., 126, 299 314, 1996.
Agarwal, R., Bohner, M. and Peterson, A., Inequalities on time scales: a survey, Math.
Inequal. Appl., 4(4), 535 557, 2001.
Agarwal, R., Bohner, M., O’Regan, D. and Peterson, A., Dynamic equations on time
scales: a survey, J. Comput. Appl. Math., 141(1/2), 1 26, 2002.
Ahlbrandt, C.D., Bohner, M. and Ridenhour, J., Hamiltonian systems on time scales,
Appl. Math. Comput., 250, 561 578, 2000.
Anderson, D., Bullock, J., Erbe, L., Peterson, A. and Tran, H., Nabla dynamic
equations, in: M. Bohner, A. Peterson (Eds), Advances in dynamic equations on time
scales, Birkhäuser, Boston and Berlin, 2003.
Atasever, N., Kaymakçalan, B., Lešaja, G. and Taş, K., Generalized diamond
dynamic opial inequalities, Advances in Difference Equations, Turkey, 2012.
Atıcı, F.M. and Guseinov, G.Sh., On Green’s functions and positive solutions for
boundary value problems on time scales, J. Comput. Appl. Math., 18, 75 99, 2002.
Bastos, N.R.O and Torres, D.F.M., Combined delta-nabla sum operator in discrete
fractional calculus, Commun. Frac. Calc., 1, 41–47, 2010.
Bohner, M. and Duman, O., Opial-Type inequalities for diamond alpha derivatives and
integrals on time scales, Differ. Equ. and Dyn. Syst., 18(1/2), 229 237, 2010.
Bohner, M., Ferreira, R.A.C. and Torres D. F. M., Integral Inequalities and their
applications to the calculus of variations on time scales, Mathematical Inequalities &
Application, 13(3), 511–522, 2010.
46
Bohner, M. and Matthews, T., The Grüss inequality on time scales, Commun. Math
Anal., 3(1), 1–8 (electronic), 2007.
Bohner, M. and Matthews, T., Ostrowski inequalities on time scales, JIPAM. J.
Inequal. Pure Appl. Math. 9,no. 1, Article 6, 8 pp, 2008.
Bohner, M.,Matthews,T. and Tuna A., Diamond alpha Grüss type inequalities on time
scales, Int. J. Dyn Syst Differ Equ.,3(1/2), 234 247, 2011.
Bohner, M. and Peterson, A., Dynamic equations on time scales, Birkhäuser Boston,
Boston, MA, 2001.
Bohner, M. and Peterson, A., First and second order linear dynamic equations on time
scales, J. Difference Eqns. Appl.,7,767 792, 2001.
Bohner, M. and Peterson, A., Advances in dynamic equations on time scales,
Birkhäuser Boston, Boston, MA, 2003.
Brito da Cruz, A.M.C., Martins, N. and Torres D. F. M., The diamond integral on time
scales, arXiv: 1306.0988v1 [math.CA], 2013.
Broyden, C.G., A class of methods for solving nonlinear simultaneous equations, Math.
Comput. 19, 577 593, 1965.
Chen, G. and Chen, Z., A functional generalization of the reverse Hölder integral
inequality on time scales, Mathematical and Computer Modelling, 54, 2939–2942,
2011.
Cheng, H. and Sheng, Q., An adaptive grid method for degenerate semilinear quenching
problems, Computers Math. Appl., 39, 57 71, 2000.
Davis, J.M., Fadag M., Henderson, J. and Sheng, Q., An exploration of combined
dynamic derivatives on time scales and their applications, Nonlinear Anal. Real World
Appl., 7(3), 395 413, 2006.
Dragomir, S.S., Some integral inequalities of Grüss type, Indian J. Pure Appl. Math.,
31(4), 397-415, 2000.
47
Dragomir, S.S, Advances in inequalities of the Schwarz, Grüss and Bessel type in inner
product spaces, Victoria University, Australia, 2003.
Eloe, P.W., Henderson, J. and Sheng, Q., Notes on crossed symmetric solutions of the
two points boundary value problems on time scales, J. Difference Eqns. Appl., 9, 29
48, 2003.
Eloe, P.W. and Hilger, S., A continuation on cross symmetric of the solutions of two
point boundary value problems, J. Dyn. Sys. Appl. 12, 99 114, 2003.
Eloe, P.W., Hilger, S. and Sheng, Q., A qualitative analysis on nonconstant graininess
of the adaptive grid via time scales, Rocky Mountain J. Math., 36, 115 133, 2006.
Eloe, P.W. and Sheng, Q., Approximating crossed symmetric solutions of nonlinear
dynamic equations via quasilinearization, Nonlinear Anal., 56, 253 272, 2004.
Ferreira, R.A.C., Sidi Ammi, M.R. and Torres, D.F.M., Diamond
integral
inequalities on time scales, arXiv: 0805.0242v1 [Math.CA], 2008.
Ferreira, R.A.C., Sidi Ammi, M.R. and Torres, D.F.M., Diamond
Jensen’s
inequality on time scales, J. Inequal Appl., Art. ID 576876, pp.13, 2008.
Henderson, J. and Thompson, H.B., Multiple symmetric positive solutions for a second
order boundary value problems, Proc. Amer. Math. Soc.,128, 2373 2379, 2009.
Hilger, S., Analysis on measure chain a unified approach to continuous and discrete
calculus, Results Math., 18, 18 56, 1990.
Hilger, S., Ein Mabkettenkalkül mit Auwendung ouf Zentrumsmannigfaltigkeiten, Ph.D
thesis, Univarsi. Würzburg, 1988.
Hilscher, R., A time scales version of a Wirtinger type inequality and applications, J.
Comput. Appl. Math, 141(1/2):219 226, 2002.
Humphries, A.R., Spurious solutions of numerical methods for initial value problems,
IMA J. Number. Anal., 13, 263 290, 1993.
48
Hussain, S. and Qayyum, A., A generalized Ostrowski Grüss type inequality for
bounded differentiable mappings and its applications, Journal of Inequalities and
Appl., 2013.
Iserles, A., Peplow, A.T. and Stuart, A.M., A unified approach to spurious solutions
introduced by time discretisation. Part I : basic theory, SIAM. J. Number. Anal. 28,
1725 1751, 1991.
Iserles, A., and Stuart, A.M., A unified approach to spurious solutions introduced by
time discretisation, Parrt II: BDF like method, IMA J. Numer. Anal., 12, 487 502,
1992.
Kaymakçalan, B. and Özkan, U. M. Basic of diamond
partial dynamic calculus on
time scales, Math. Comput. Modelling, 50(9/10), 1253 1261, 2009.
Khaliq, A. and Sheng, Q., Modified arc lenght adaptive algorithms for degenerate
reaction diffusion equations, Appl. Math. Comput., 126, 279 297, 2002.
Khaliq, A., Sheng, Q. and Voss, D., Numerical simulation of two dimensional sine
Gordon solitons via a split cosine scheme, Math. Comput. Simulations, 68, 355 373,
2005.
Liu, W. and Ngô, Q. A., An Ostrowski Grüss type inequality on time scales,
Comput. Math. Appl., 58(6), 1207-1210, 2009.
Liu, W. and Ngô, Q. A., A sharp Grüss type inequality on time scales and application
to the sharp Ostrowski Grüss inequality, Commun Math. Anal. 6(2):33-41, 2009.
Malinowska, A.B. and Torres, D.F.M., The diamond alpha Riemann integral and mean
value theorems on time scales, arXiv: 0804.4420v1 [math.CA], 2008.
Malinowska, A.B. and Torres, D.F.M., On diamond alpha Riemann integral and mean
value theorems on time scales, Dyn. Sys. Appl., 18(3/4), 469 481, 2009.
Matthews, T., Probability theory on time scales and applications to finance and
inequalities, PhD Thesis, Missouri University of Science and Technology, 1-174, 2011.
49
Messer, K., Second order self adjoint equations with
mixed derivatives, in: M.
Bohner, A. Peterson (Eds), Advances in dynamic equations on time scales, Birkhäuser,
Boston and Berlin, 2002.
Mozyrska D. and Torres, D. F. M., Diamond-alpha polynomial series on time scales,
Math.CA, 2008.
Mozyrska D. and Torres, D.F.M., Diamond alpha polynomial series on time scales,
Int. J. Math. Stat., 5(9), 92 101, 2009.
Rogers Jr., J. W. and Sheng, Qin., Notes on the diamond
dynamic derivative on time
scales, J. Math. Anal. Appl., 326(1), 228 241,2007.
Sheng, Q., A view of dynamic derivatives on time scales from approximations, J.
Difference Equ. Appl.,11, 63 82, 2005.
Sheng, Q., A second view of dynamic derivatives on time scales from approximations,
Journal of Difference Equations and Applications, Volume 11, Issue 1, 2005.
Sheng, Q., Hybrid approximations via second order combined dynamic derivates on
time scales, Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 17, 113, 2007.
Sheng, Q. Hybrid approximations via second order crossed dynamic derivates with the
derivative, Nonlinear Anal. Real World Appl., 9(2), 628 640, 2008.
Sidi Ammi, M.R. and Torres, D.F.M., Hölder’s and hardy’s two dimensional diamond
alpha inequalities on time scales, Journal Annals of the University of Craiova,
Mathematics and Computer Science Series, 2010.
Sidi Ammi, M.R. and Torres, D.F.M., Combined dynamic Grüss inequalities on time
scales, Journal of Mathematical Sciences, Volume 161, Issue 6, 792-802, 2009.
Srivastava, G.P., Broyden’s method for self consistent field convergence acceleration,
J. Phys. A, 17, L317 L321, 1984.
50
Wong, F. H., Yeh, C. C. and Yu, S. L., Anderson’s inequality on time scales, Appl.
Math. Lett., 19(9), 931 935, 2006.
51
ÖZ GEÇMİŞ
Gamze SAĞLAR, 22.09.1988 tarihinde Seyhan/Adana’ da doğdu. İlk, orta ve lise
öğretimini Adana’da tamamladı. 2006 yılında girdiği Bozok Üniversitesi Fen Edebiyat
Fakültesi Matematik Bölümü’nden Temmuz 2010’da mezun oldu ve aynı yıl Niğde
Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Bölümü’nde yüksek lisans öğrenimine
başladı. Bilim dalındaki ilgi alanı zaman skalası üzerinde diamond–α
eşitsizliklerdir.
52
dinamik