The Fourier Series

ELM207 Analog Elektronik
Giriş
Bir Fourier serisi periyodik bir f (t) fonksiyonunun,
kosinüs ve sinüslerin sonsuz toplamı biçiminde
bir açılımdır.
a0
f (t )
2
2
T
(an cos n t bn sin n t )
n 1
Başka deyişle, herhangi bir periyodik fonksiyon
sabit bir değer, kosinüs ve sinüs
fonksiyonlarının toplamı olarak ifade edilebilir:
f (t )
a0
2
a0
2
(an cos n t bn sin n t )
n 1
(a1 cos t b1 sin t )
(a2 cos 2 t b2 sin 2 t )
(a3 cos 3 t b3 sin 3 t )

Fourier serisi hesaplamaları harmonik analiz
olarak bilinir ve keyfi bir fonksiyonun bir dizi
basit terimlere ayrılarak, ayrık terimler olarak
çözülmesi ve yeniden birleştirilip orjinal
problemin çözümü için oldukça kullanışlı bir
yoldur. Böylelikle problem istenilen ya da
pratik olan bir yaklaşıklıkta çözülebilir.
f(t)
a0
2
Periodik Fonksiyon
=
t
a1 cos t
+
b1 sin t
+
a2 cos 2 t
+
b2 sin 2 t
+
+ …
f (t )
burada
a0
2
(an cos n t bn sin n t )
n 1
2
T
a0
an
2
T
Temel frekans
2
T
T
f (t )dt
0
T
f (t ) cos n tdt
bn
0
2
T
T
f (t ) sin n tdt
0
T /2
kullanabiliriz
*integral limiti olarak
T /2
Örnek 1
Aşağıdaki dalga biçiminin Fourier serisi
gösterimini bulunuz.
Çözüm
İlk önce, fonksiyonun periyodu ve tanımı belirlenir:
T=2
f (t )
1,
0 t 1
0, 1 t
2
f (t 2)
f (t )
Sonra, a0, an ve bn katsayıları bulunur :
a0
2
T
T
2
f (t )dt
0
2
f (t )dt
20
1
2
1dt
0
0dt 1 0 1
1
b
Ya da,
a0
2
T
a
f (t )dt [a,b] aralığı boyunca grafiğin
T
f (t )dt
0
altındaki toplam alan olduğundan
2
T
[0, T ]boyunca
alan
2
(1 1) 1
2
an
2
T
2
f (t ) cos n tdt
0
1
2
1cos n tdt
0
0dt
1
sin n t
n
0
n tamsayıdır ve, sin n
sin 2
olduğundan sin
Dolayısıyla, an
0 .
sin 3
1
0
sin n
n
 0
bn
2
T
2
f (t ) sin n tdt
0
1
2
1sin n tdt
0
cos
cos 2
0dt
1
cos n t
n
1
0
1 cos n
n
cos 3
cos 5  1
cos 4
cos 6  1
Ya da cos n
Dolayısıyla, bn
( 1)
n
1 ( 1) n
n
2/n
, n tek
0
, n çift
Sonuçta,
f (t )
a0
2
1
2
1
2
(an cos n t bn sin n t )
n 1
n 1
2
1 ( 1)
n
sin t
n
sin n t
2
sin 3 t
3
2
sin 5 t 
5
Bazı faydalı tanımlar
sin( x)
sin x
cos( x) cos x
n tamsayı olduğundan,
sin n
sin 2n
0
0
cos n
cos 2n
( 1)n
1


Fourier serisi terimlerinin toplamı orjinal dalga
biçimini verir
Örnek 1’den,
f (t )

1
2
2
sin t
2
sin 3 t
3
2
sin 5 t 
5
Toplamın kare dalga vereceği gösterilebilir:
(a)
(b)
2
2
sin t
(c)
2
sin t
2
sin 3 t
3
(d)
sin t
2
sin 3 t
3
2
sin 5 t
5
2
sin t
2
sin 3 t
3
2
sin 5 t
5
2
sin 7 t
7
(e)
2
sin t
2
sin 3 t
3
2
sin 5 t
5
2
sin 7 t
7
(f)
1
2
2
sin t
2
2
sin 3 t 
sin 23 t
3
23
2
sin 9 t
9
Kare dalga
Üçgen dalga
Testere dişli dalga
Yarı çember
Örnek 2
f (t ) t ,
f (t 2)
1 t 1
f (t )
f (t)’nin grafiğini çiziniz,
3 t 3.
f (t)’nin Fourier serisini hasaplayınız.
Çözüm
T=2
2
T
Katsayıları hesaplayalım:
a0
2
T
1
f (t )dt
1
1
2
tdt
2 1
2
t
2
1
1
1 1
0
2
an
2
T
1
1
f (t ) cos n tdt
1
1
1
t sin n t
n
sin n
0
t cos n tdt
1
sin n t
dt
n
1
1
[ sin( n )]
n
cos n
n2
1
cos( n )
n2 2
cos n
cos n
cos n t
2 2
n
1
2
0
cos( x) cos x
bn
2
T
1
1
f (t ) sin n tdt
1
1
t cos n t
n
cos n
2 cos n
n
2 cos n
n
t sin n tdt
1
1
1
cos n t
dt
n
1
[ cos( n )]
n
sin n
sin n t
2 2
n
sin( n )
n2
2( 1) n
n
2
2( 1) n
n
1
1
1
Sonuçta,
f (t )
a0
2
(an cos n t bn sin n t )
n 1
2( 1) n 1
sin n t
n
n 1
2
2
sin t
sin 2 t
2
2
sin 3 t 
3
Örnek 3
v(t )
2 t , 0 t
0
, 2 t
2
4
v(t 4) v(t )
v (t) grafiğini çiziniz,
0 t 12.
v (t)‘nin Fourier serisi açılımını hesaplayınız.
Çözüm
v (t)
2
0
2
4
6
T=4
2
T
2
8
10
12
t
Katsayılar:
4
a0
2
v(t )dt
T 0
2
2
4
4
(2 t )dt
0
2
1
(2 t )dt
20
0dt
2
2
1
t
2t
2
2
2
1
0
4
an
2
2
v(t ) cos n tdt
T 0
1 (2 t ) sin n t
2
n
1
0
2
cos n t
n2 2
1 cos 2n
2 2
2n
4
1
(2 t ) cos n tdt
20
2
0
0
2
2
1 sin n t
dt
20 n
2
0
2(1 cos n )
2 2
n
n
2[1 ( 1) ]
2 2
n
4
bn
2
2
v(t ) sin n tdt
T 0
1
2
1
(2 t ) sin n tdt
20
(2 t ) cos n t
n
1
n
1 sin n t
2 n2 2
1
n
sin 2n
2 2
2n
sin 2n
2
0
2
1 cos n t
dt
20 n
2
0
1
n
sin n
2
n
0
4
0
2
Sonuçta,
v(t )
a0
2
1
2
(an cos n t bn sin n t )
n 1
n 1
2[1 ( 1) n ]
n t
cos
2 2
n
2
2
n t
sin
n
2
Simetri

Simetri fonksiyonları:
(i) çift simetri
(ii) tek simetri
Çift simetri

Herhangi f (t) fonksiyonu grafiğin düşey
eksenine göre simetrik ise çifttir, yani
f ( t)
f (t )
Çift simetri (devam)

çift fonksiyonlara örnek:
f (t ) | t |
f (t ) t 2
t
t
f (t ) cos t
t
Çift simetri (devam)

−A dan +A ya çift bir fonksiyonun integrali 0
dan +A ya integralinin iki katıdır
f e (t )
A
t
−A
+A
A
f e (t )dt
A
2 f e (t )dt
0
Tek simetri

Herhangi f (t) fonksiyonu grafiğin düşey
eksenine göre asimetrik ise tektir, yani
f ( t)
f (t )
Tek simetri (devam)

Tek fonksiyonlara örnek:
f (t ) t 3
f (t ) t
t
t
f (t ) sin t
t
Tek simetri (devam)

−A dan +A ya tek bir fonksiyonun integrali
sıfırdır
f o (t )
A
−A
+A
f o (t )dt
t
A
0
Çift ve tek fonksiyonlar
Çift ve tek fonksiyonların çarpım özellikleri:




(çift)
(tek)
(çift)
(tek)
(çift) = (çift)
(tek) = (çift)
(tek) = (tek)
(çift) = (tek)
Simetri
çift ve tek fonksiyonların özelliklerinden:

çift periyodik bir fonksiyon için;
an

4
T
T /2
f (t ) cos n tdt
bn
0
0
tek periyodik bir fonksiyon için;
T /2
4
bn
f (t ) sin n tdt
a0 an 0
T 0
Çift fonksiyon
f (t )
T
2
an
2
T
T /2
f (t ) cos n tdt
T /2
(çift)
(çift)
4
T
T
2
T /2
f (t ) cos n tdt bn
0
t
2
T
T /2
f (t ) sin n tdt
T /2
(çift)
(tek)
||
||
(çift)
(tek)
0
Tek fonksiyon
f (t )
T
2
a0
2
T
an
T
2
T /2
f (t )dt
0
bn
T /2
(tek)
2
T
t
2
T
T /2
f (t ) sin n tdt
T /2
(tek)
T /2
f (t ) cos n tdt
(tek)
0
||
T /2
(çift)
(tek)
(çift)
||
(tek)
4
T
T /2
f (t ) sin n tdt
0
Örnek 4
1 ,
f (t )
f (t 4)
t
,
1
,
f (t )
2 t
1
1 t 1
1 t
f (t)‘nin grafiğini çiziniz,
2
6 t
6.
f (t)‘nin Fourier serisi açılımını hesaplayınız
Çözüm
f (t)
1
−6
−4
−2
−1
0
T=4
2
T
2
2
4
6
t
Katsayıları hesaplayalım. f (t) tek fonksiyon
olduğundan,
a0
2
T
2
2
T
2
f (t )dt
0
2
ve
an
f (t ) cos n tdt
2
0
bn
2
T
4
4
2
4
T
f (t ) sin n tdt
2
1
2
f (t ) sin n tdt
0
2
t sin n tdt
0
t cos n t
n
1sin n tdt
1
1
0
1
cos n t
dt
n
0
cos n
n
sin n t
n2 2
cos 2n
n
sin 2n
sin n
n2 2
sin n
1
cos n t
n
cos 2n
cos n
n
0
2 cos n
n
0
2
1
Sonuçta,
f (t )
a0
2
n 1
(an cos n t bn sin n t )
n 1
2 cos n
n
n t
sin
2
( 1) n 1
n t
2
sin
n
2
n 1
Örnek 5
f (t)‘nin Fourier serisi açlımını hesaplayınız.
Çözüm
Fonksiyonu tarif edelim;
f (t )
f (t 3)
1 , 0 t 1
2 , 1 t 2
1 , 2 t 3
T=3
f (t )
T=3
ve
2
T
2
3
Katsayıları hesaplayalım.
a0
2
T
3
f (t )dt
0
2
3
1
2
1dt
0
3
2dt
1
2
(1 0) 2(2 1) (3 2)
3
1dt
2
8
3
Ya da, f (t) çift bir fonksiyon olduğundan,
a0
2
T
3
f (t )dt
0
4
T
3/ 2
f (t )dt
0
4
3
1
3/ 2
1dt
0
2dt
1
4
3
(1 0) 2
1
3
2
Veya, basitçe
a0
2
T
3
f (t )dt
0
2
T
Bir periyod boyunca
toplam alan
2
4
3
8
3
8
3
an
2
T
3
f (t ) cos n tdt
0
4
3
1
3/ 2
f (t ) cos n tdt
0
3/ 2
1 cos n tdt
0
2 cos n tdt
1
4 sin n t
3
n
1
0
4
3n
sin n
4
3n
3n
2 sin
2
2
n
4
T
2 sin n
4 2 sin n t
3
n
3n
2 sin
2
sin n
2n
sin
3
3/ 2
1
sin n
;
2
2n
sin
n
3
2
3
ve
bn
f (t) çift bir fonksiyon olduğundan.
0
Sonuçta,
f (t )
a0
2
4
3
4
3
(an cos n t bn sin n t )
n 1
2
2n
sin
n
3
n 1
2
n 1
1
2n
sin
n
3
2n t
cos
3
2n t
cos
3
Parseval Teoremi

Parserval teoremi periyodik bir sinyaldeki
ortalama gücün, sinyalin DC bileşenindeki
ortalama güç ve harmoniklerindeki ortalama
güçlerin toplamına eşit olduğunu ifade eder.
f(t)
Pdc
Pavg
a0
2
=
Pa1
t
Pb1
a1 cos t
+
+
b1 sin t
+
Pa2
Pb2
a2 cos 2 t
b2 sin 2 t
+
+ …

Sinüzoidal sinyal için (kosinüs ve sinüs),
2
Vpeak
P

2
rms
V
R
2
R
2
V
1 peak
2 R
Sadelik açısından sıklıkla, R = 1Ω, olarak
alırız,
P
1 2
Vpeak
2

Sinüzoidal sinyal için (kosinüs ve sinüs),
Pavg
Pdc
a0
2
Pavg
1 2
a0
4
Pa1
2
Pb1
1 2
a1
2
Pa2
Pb2 
1 2
b1
2
1 2
a2
2
1
(an2 bn2 )
2n1
1 2
b2 
2
Üstel Fourier serileri

Euler eşitliğinden,
e
jx
cos x
j sin x
dolayısıyla
cos x
e
jx
e
2
jx
ve
sin x
e jx e
j2
jx
Fourier serisi gösterimi aşağıdaki gibi olur;
f (t )
a0
2
a0
2
a0
2
a0
2
a0
2
(an cos n t bn sin n t )
n 1
an
e jn
t
e jn
t
an
jbn
2
an
n 1
e
jn t
jbn
2
e
e
e jn
bn
jbn
2
n 1
n 1
jn t
2
n 1
an
e
jn t
an
e jn
jbn
2
an
jn t
n 1
t
e
j2
t
e
jbn
2
e
2
jn t
jn t
jn t
e
jn t
Burada,
cn
a0
f (t )
2
n 1
jbn
cn e jn
n
jbn
2
n 1
c ne
jn t
n 1
cn e jn
t
n 1
cn e jn
n
t
1
1
cn e jn
n
t
jbn
2
c−n
t
n 1
c0
c
an
t
cn
c0
an
Dolayısıyla,
an jbn jn
e
2
c0
,
2
a0
2
c0
Diyelim ve
an
cn e jn
c0
n 1
t
cn e jn
n
t
e
jn t
Sonra, cn katsayısı,
cn
an
jbn
2
T
12
f (t ) cos n tdt
2T 0
T
1
T
0
T
1
T
T
f (t ) sin n tdt
0
0
f (t )e
j f (t ) sin n tdt
0
f (t )[cos n t
0
T
T
f (t ) cos n tdt
1
T
j 2
2T
jn t
dt
j sin n t ]dt


Çoğu durumda kompleks Fourier serileri
trigonometrik Fourier serilerinden daha kolay
elde edilir.
Özetle, kompleks ve trigonometrik Fourier
serileri arasındaki ilişki:
c0
cn
c
T
a0
2
1
T
an
jbn
f (t )dt
cn
0
1
T
2
an
n
jbn
2
Ya da c
n
cn
T
f (t )e
0
jn t
dt
Örnek 6
Aşağıdaki fonksiyonun kompleks Fourier serisini
bulunuz
f (t )
e2
1
4
2
0
t
2
4
Çözüm
T
c0
1
T
1
2
2
Dolayısıyla
T
f (t ) dt
0
2
t
e dt
0
1 t
e
2
2
0
e2 1
2
1
cn
T
1
T
f (t )e
jn t
dt
0
1
2
1
2
2
t
ee
jnt
0
(1 jn ) t
e
1 jn
e 2 (1 jn ) 1
2 (1 jn)
dolayısıyla
e
dt
j 2n
1
2
2
e
(1 jn ) t
dt
0
2
0
e2 e j 2n 1
2 (1 jn)
cos 2n
j sin 2n
e2 1
2 (1 jn)
1 0 1
2
cn
e
1
2 (1 jn) n
n 0
e
0
2
1
2
c0
Sonuçta,
2
f (t )
cn e
n
jn t
n
e
1 jnt
e
2 (1 jn)
*Not: c0 , cn de n = 0 konularak hesaplanabilirse de,
bazen bu mümkün olmayabilir. Dolayısıyla, c0‘ı tek
başına hesaplamak daha iyi olabilir.
cn kompleks bir terimdir, ve nω’ye bağlıdır.
Dolayısıyla, nω ‘ye karşılık |cn| grafiğini çizebiliriz.
cn
e
2
2
1
1 n2
Başka deyişle, (t) zaman bölgesindeki f (t) fonksiyonunu,
(nω) frekans bölgesindeki cn fonksiyonuna dönüştürdük.
Örnek 7
Örnek 1’deki fonksiyonun kompleks
Fourier serisini hesaplayınız.
Çözüm
c0
cn
1
T
T
1
T
T
1
1
1dt
20
f (t )dt
0
1
2
1
f (t )e
jn t
0
jn t
1 e
2
jn
1
0
dt
1
1e
20
j
(e
2n
jn
2
jn t
dt
0
1
1)
Fakat e
jn
cos n
Böylece, cn
j sin n
j
(e
2n
jn
cn n
Dolayısıyla, f (t )
0
j/n
, n tek
0
, n çift
c0 .
cn e
n
( 1)
1)
j
n
[( 1) 1]
2n
*Burada
cos n
n
jn t
1
2
j
n
n 0
n tek
n
e jn
t
Grafik çizimi aşağıdadır,
c0
1
2
cn
0.5
1
, n tek
n
0, n çift