İTME VE MOMENTUM
advertisement
7. BÖLÜM İTME VE MOMENTUM Cisme etki keden kuvvetin büyüklüğü, MODEL SORU - 1 DEKİ SORULARIN ÇÖZÜMLERİ F.3 = 30 I V 45° m CEVAP A . 45° V II 3. 45° . ➞ P1 = 1,6 kg.m/s I. engelde momentum değişiminin büyüklüğü, D P I = Ps – P i Pi=mV 45° I. ➞ en . l 45° 2 .mV olur. 45° Pi=mV . Ps=mV . II. engel DPII = 2.mV olur. PI ve PII taraf tarafa oranlanacak olursa, DPI 2 .mV 2 olur. = = 2.mV 2 DPII = 24 kg.m/s olur. Ps=18kg.m/s Yönü ise doğuya doğru- –Pi=24kg.m/s da hızı 6 m/s ve güneye doğru olduğundan, P Ps=18kg.m/s = 18 kg.m/s olur. Yönü ise güneye doğrudur. Cismin momentum değişimi, ∆P = ∆P = Ps – Pi Ps + (– Pi) olur. = (24)2 CEVAP E Cisim esnek çarpışma yaptığına göre çarptığı hızla engelden eşit açıyla yansır. II engeline dik geldiğinden kendi üzerinden geri döner. I 60° V . 30° I. engelde momentum değişiminin büyüklüğü, DPI = Ps – Pi DPI = m 60° 60° 3 mV olur. II Pi=mV 60° Ps=mV II. engelde momentum değişiminin büyüklüğü, DPII = Ps – Pi Pi=mV . Ps=mV . II. engel DPII = 2mV olur. PI ve PII taraf tarafa oranlanırsa, Büyüklüğü ise, ∆P2 F = 32 2 N olur. l Pi=24kg.m/s = 3.8 = 3.6 İtme, momentum değişimine eşit olduğundan düzlemin topa uyguladığı ortalama kuvvet, F . ∆t = ∆ P 1 = 1, 6 2 F. 20 4. Pi = m.Vi Ps = m.Vs yatay düzlem CEVAP B Cismin ilk momentumu, dur. Kuvvet uygulandığın- ➞ P2 = 1,6 kg.m/s Ps=mV II. engelde momentum değişiminin büyüklüğü, DPII = Ps – Pi 2. 45° 45° ΔP= 1,6v2 kg.m/s ge ge DPI = F = 10N olur. en Cisim esnek çarpışma yaptığına göre, çarptığı hızla engelden eşit açıyla yansır. II engeline dik geldiğinden üzerinden geri döner. I. 1. F.∆t = ∆P + (18)2 ∆P2 = 900 ∆P = 30 kg.m/s olur. DPI 3 mV 3 = = olur. 2mV 2 DPII CEVAP C KUVVET VE HAREKET 121 5. m = 2 kg MODEL SORU - 2 DEKİ SORULARIN ÇÖZÜMLERİ F=8N 20m/s –x yatay düzlem +x 1. İtme momentum değişimine eşit olduğundan, F . ∆t = m . ∆ V F . ∆t = m . ( V2 – V1) Serbest düşmede ismin aldığı yol h, 3h, 5h ... olduğunda bu yolları alma süreleri eşit olur. tKL = tLM = t olur. Cismin L deki hızı V ise yere çarptığında hızı 2V olur. –8 . 3 = 2 . (V2 – 20) K h P1 V 3h t Cismin L ve M deki momentumları, –12 = V2 – 20 V2 = 8 m/s; +x yönünde olur. P1 = m.V Cisim 3 saniye sonunda hızı ile düzgün doğrusal hareket yapar. Bu durumda cismin hızı bundan sonra sabit olacağından 4 saniye sonra hızı yine 8 m/s olur. P2 2V yatay yer P2 = m.2V olur. Bu eşitlikleri oranlanırsa, P1 mV 1 olur. = = P2 2mV 2 CEVAP B 2. 6. t L CEVAP B L m 3 kg DP Vo Ps=18kg.m/s Pi=24kg.m/s –Pilk 53° 2m K yatay 37° 53° 37° 4h Pson yatay düzlem yatay düzlem Cismin ilk ve son momentumlarının büyüklükleri, Pilk = 3.8 = 2.4 = 24 kg.m/s Pson = 3.6 = 2.3 = 18 kg.m/s Cisme uygulanan itme, düşeydeki momentum değişimine eşittir. Bu durumda zeminin cisme uyguladığı kuvvet, itme = DP F.Dt = Pilk.sin53° + Pson.sin37° h Vo fiekil-I V 2V fiekil-II Hava sürtünmeleri önemsiz olduğuna göre, cisimlerin yere düşme süreleri kütleye ve yatay hıza bağlı değildir. 1 g.t2K 2 1 4h = g.t2L 2 h= eşitlikleri taraf tarafa oranlanırsa, F.0,03 = 24.0,8 + 18.0,6 2 t t h 1 = K & K= 4h t 2 tL 2 L F.0,03 = 19,2 + 10,8 F.0,03 = 30 tK = t & tL = 2t olur. F = 1000 N olur. CEVAP E Üzerlerine uygulanan itmeler, IK = FK.tK = 2m.g.t IL = FL.tL = m.g.2t olur. IK ve IL taraf tarafa oranlanırsa, I K 2mgt = = 1 olur. I L 2mgt 122 KUVVET VE HAREKET CEVAP C 3. m 5. Vo •O K t 4 VL 4 t L V VM Vo t 2V x 4 VK Vo x P x • K Vo yatay yer L yatay yer M Cisimlerin yatay momentumları değişmez. 3V Cisimlerin kütleleri, I. yol: mK = mL = mM = m olsun. Cismin yatay hızı sabit olduğundan her aralığı t Cisimlerin uçuş süreleri, sürede alır. Cismin düşeydeki hızı V = g.t olduğun- tK = 3t ise, dan düşeydeki hızları doğru orantılı olur. tL = 3t, Cismin O dan L noktasına geldiğinde, tM = 2t olur. DP1 = m.(2V – 0) = 2mV Cisimlerin uçuş süreleri boyunca momentum değişimleri, Cisim O dan P noktasına geldiğinde, DPK = mg.3t = 3m.g.t, DP2 = m.(3V – 0) = 3mV olur. DPL = mg.3t = 3m.g.t, DP1 ve DP2 taraf tarafa oranlanırsa, DPM = mg.2t = 2m.gt olur. DP1 2mV 2 olur. = = DP2 3mV 3 Buna göre, DPK = DPL > DPM olur. CEVAP A II. yol: Vx 6. TP1 mg.2t 2 = = olur. TP2 mg.3t 3 Voy Vo hmax CEVAP C 53° V ox yatay düzlem Vo Cismin ilk hızının yatay ve düşey bileşenleri 4. Vox = Vo.cos53° = 100.0,6 = 60 m/s Cismin 2 ve 4 saniye sonraki hızları, V1 = Vo – gt1 V1 = 30 – 10.2 = 10 m/s Voy = Vo.sin53° = 100.0,8 = 80 m/s olur. düfley (+) V2 V2 = Vo – g t2 = 30 – 10.4 = –10 m/s olur. Vo=30m/s (–) 2kg yatay yer Momentum değişimi, 4 4 I. yargı yanlıştır. hmax yüksekliğinde cismin yalnız yatay hızı olacağından hızı minimum olacağından momentumu da minimum olur. Pmin = m.Vx = 2.60 = 120 kg.m/s olur. II. yargı doğrudur. ∆P = m.∆V 4 Cismin üzerine yerçekim kuvveti etki ettiğinden yatay momentum korunur. Düşey momentum korunmaz. Cismin uçuş süresi, 2Voy 2.80 = = 16 s tu = 9 10 olur. Bu sürede cismin üzerine uygulanan itme, 4 = m.(V2 – V1) = 2(–10 – 10) = 2.(–20) I = F.Dt = mg.tu = 2.10.16 = 320 N.s olur. = –40 kg m/s olur. CEVAP D III. yargı yanlıştır. CEVAP B KUVVET VE HAREKET 123 MODEL SORU - 3 TEKİ SORULARIN ÇÖZÜMLERİ 1. 3. V(m/s) 8 Fnet (N) 3 Vson=2 +6 0 0 4 2 5 5 t(s) 10 15 t(s) –8 –4 Vilk=–8 Cisme (0-15) saniye aralığında verilen itme, F.Dt = m.DV = m(Vson – Vilk) F.Dt = 2.[2 – (–8)] = 2.10 = 20 N.s olur. Kuvvet-zaman grafiğinde doğrunun altındaki alan itmeyi verir. Σ F . ∆t = 3 . 2 – 2 . 4 = –2 N.s olur. İtme, momentum değişimine eşit olduğundan, cismin 5. saniyede sonundaki hızı, Σ F . ∆t = ∆ P Σ F . ∆t = m . ( V2 – V1) CEVAP D 4. F(N) 8 –2 = 2 . (V2 – 6) 40 –1 = V2 – 6 V2 = 5 m/s olur. 0 Cismin kinetik enerjisi, Ek = 2 = 10 –5(t – 10) t t(s) –5 2 1 . m . V2 2 Cismin ilk hızı 5 m/s ve son hızı sıfırdır. İtme, momentum değişimine eşit olduğundan, Σ F . ∆t = m . ( Vson – Vilk) 2 1 .2.5 2 = 25 J olur. CEVAP C 40 – 5 . (t – 10) = 2 . (0 – 5) 40 – 5t + 50 = –10 5t = 100 t = 20 s olur. CEVAP C 2. 5. V(m/s) Vilk=6 a(m/s2) 4 10 0 2 5 7 t(s) Vson=– 4 5 = 2 . (–4 – 6) Cismin hızındaki değişme, ∆V = 10 + 20 – 5 = 25 m/s olur. Cismin son hızı, CEVAP A V2 = Vo + ∆V = 5 + 25 = 30 m/s olur. 124 KUVVET VE HAREKET 10 –2 Cismin (0-7) saniye aralığındaki momentum değişimi, ∆ P = m . ( Vson – Vilk) = –20 kg.m/s olur. 0 20 15 –5 20 t(s) P2 = m . V2 • Kuvvet-zaman grafifiğinde doğrunun altındaki alan itmeye eşittir. • • 3t 2t • zaman •t 0 • • 3t zaman 2t –P• Konum-zaman grafiğinde doğrunun eğimi hareketlinin hızını verir. Kütle sabit olduğundan P = m.V eşitliğinde görüldüğü gibi hız-zaman grafiği ile momentum-zaman grafiğini aynı gibi düşünebiliriz. 3F• 2F• K F• L Cismin 0-3t zaman aralığında momentum-zaman grafiği şekildeki gibi olur. CEVAP A • 0 t zaman 9. 3F + F ) .t DP 2 K = 2F.t DPL 2 ivme 4 PK – 0 = 2 PL – 0 net kuvvet a• 0• PK = 2 olur. PL a• • I II • III • zaman 0• I • II • III • zaman Momentum-zaman grafiğini hız-zaman grafiği gibi düşünebiliriz. Hız-zaman grafiğinde doğrunun eğimi ivmeyi verir. İvme-zaman grafiğini kuvvetzaman grafiği gibi düşünürsek, cisme etkiyen net kuvvetin zamanla değişim grafiği şekildeki gibidir. CEVAP C momentum Buna göre, cisme etkiyen net kuvvet, 2P• P• 0 •t –V• CEVAP E kuvvet İtme = momentum değişimi olduğundan, 7. P• 0 = 60 kg.m/s olur. ( momentum V• = 2 . 30 6. hız 8. 20. saniye sonunda cismin momentumu, I II III Artıyor Sabit Azalıyor CEVAP B •t • 2t • 3t zaman Momentum-zaman grafiğinin eğimi kuvveti verir. 0-t zaman aralığında grafiğin eğimi sabittir. Cisme etkiyen net kuvvet sabit olup, cisme hareket yönüne zıt yönde etki etmektedir. I. yargı yanlıştır. t-2t zaman aralığında grafiğin eğimi sabittir. Cisme etkiyen net kuvvet sabit olup, cisme hareket 10. hız 3V • 3P • 2V • 2P • V• P• 0 yönünde etki etmektedir. II. yargı yanlıştır. 2t-3t zaman aralığında grafiğin eğimi sıfır olduğundan, cisme etki eden net kuvvet sıfırdır. III. yargı doğrudur. CEVAP C momentum • t • 2t • 3t zaman 0 • t • 2t • 3t zaman Kuvvet-zaman grafiğini ivme-zaman gibi düşünebiliriz. Hız-zaman grafiği şekildeki gibidir. Kütle sabit olduğundan hız-zaman grafiğini momentum-zaman grafiği gibi düşünürsek, cismin momentumzaman grafiği şekildeki gibi olur. CEVAP C KUVVET VE HAREKET 125 MODEL SORU - 4 TEKİ SORULARIN ÇÖZÜMLERİ 1. MODEL SORU - 5 DEKİ SORULARIN ÇÖZÜMLERİ 1. kuvvet VL VK =3V 3br 4br O F• Fx/2 • • 0 x Fx • Fx/2 2x • mL mK konum 3x VK VL O Kinetik enerji ile momentum arasındaki ilişki 2 Ek = P dir. 2m Vagonlar t saniyede O noktasında çarpıştığından K 3 br, L 4 br yol almıştır. Bu durumda K nin hızı 3V ise L nin hızı 4V dir. Vagonlar 2t saniye sonra t=0 anındaki noktalarında bulunduklarına göre, aynı hızlarla geri dönerler. Bu olayın olabilmesi vagonların çarpışmadan önceki momentumlarının büyüklüklerinin eşit ve zıt olmasıyla mümkündür. |PK| = |PL| Cismin x konumundaki momentumu, 2 P1 F.x = 2 2m P21 = F.x.m ........ (1) Cismin 3x konumundaki momentumu, 2 P2 F.x F.x = + F.x + 2 2 2m mK.VK = mL.VL mK.3V = mL.4V mK 4 = olur. 3 mL 2 P2 = 2F.x 2m P22 = 4F.x.m ........ (2) (1) ve (2) eşitlikleri taraf tarafa oranlanırsa 2 P1 2 P2 2. –x K +x L 3V V F.x.m = 4F.x.m P1 1 = olur. P2 2 CEVAP D m m Merkezi ve esnek çarpışmalarda cisimlerin kütleleri eşit ve hareket yönleri zıt ise, cisimler çarpıştıktan sonra çarpışmadan önceki hızlarını değiştirerek geri dönerler. CEVAP C 2. Grafiğe bakıldığında, Ek = 1 J iken P = 1 N.s veya K L –x; 3V +x; V CEVAP B Ek = 4 J iken P = 2 N.s olduğu görülür. Bu verileri formülde yerlerine yazacak olursak, Ek = 3. P 2m 3kg 2 1= (1) 1 kg bulunur. &m= 2m 2 Cismin enerjisi 9J iken momentumu, Ek = 9= 2 P 2m P 2. 2 1 2 & P = 3 kg.m/s olur. Cismin üzerine uygulanan itme, F.∆t = ΔP = Ps – Pi =3 – 0 = 3 N.s olur. CEVAP C 126 –x K 2 KUVVET VE HAREKET yatay düzlem 4m/s +x L VL=0 1kg Cisimlerin kütle merkezlerinin hızları, mK.VK + mL.VL = (mK + mL).Vort 3.4 + 1.0 = 4.Vort Vort = 3 m/s olur. Çarpışmadan sonra K ve L nin hızları, VKı = 2Vort – VK = 2.3 – 4 = 2 m/s; +x yönünde olur. ı VL = 2Vort – VL = 2.3 – 0 = 6 m/s; +x yönünde olur. yatay düzlem CEVAP C 4. VX =5V VY =4V K O 5br mX 4br ı VY =2V 3br mX 2br mY Momentumun korunumundan, ı ı PX + PY = PX + PY mX.VX – mY.VY = –mX.VXı + mY.VYı 8mX = 6mY mX 3 = olur. 4 mY +x 5V fiekil-I ı V K=2V ı K L O • V L=5V yatay düzlem 5m Çarpışmadan sonra cisimler t sürede K cismi 2 m, L cismi 5 m yol aldıklarına göre, VKı = 2V ve VLı = 5V olur. mK.5V – mL.3V = mK.(–2V) + mL.5V mX.5V – mY.4V = –mX.3V + mY.2V –x yatay düzlem 6m Çarpışmada momentum korunacağından, Pilk = Pson mK.VK + mL.VL = mK.VKı + mL.VLı VXı = 3V ve VYı = 2V olur. K 10m Çarpışmadan önce K ve L cisimleri 2t sürede K cisim 10 m, L cismi 6 m yol aldıklarına göre, VK = 5V dersek VL = 3V olur. L Vagonlar O noktasında çarpıştıktan t süre içerisinde X vagonu 3 br, Y vagonu ise 2 br yol almışlar. Bu durumda, 5. • fiekil-II ı VX =3V L O 2m VX = 5V & VY = 4V olur. O VL=3V VK=5V mY Vagonlar O noktasında çarpıştıklarına göre, X vagonu 5 br, Y vagonu 4 br yol alırlar. K 6. K L 5mK – 3mL = –2mK + 5mL 7mK = 8mL CEVAP B mK 8 = olur. 7 mL CEVAP D L V 3m m yatay düzlem Momentumun korunumundan, mK.VK + mL.VL = (mK + mL).Vort 3m.5V + m.V = (3m + m).Vort 16V = 4Vort Vort = 4V olur. K cisminin hızı, VKı = 2Vort – VK = 2.4V – 5V = 8V – 5V = 3V; +x yönünde olur. L cisminin hızı, VLı = 2.Vort – VL = 2.4V – V = 8V – V = 7V; +x yönünde olur. CEVAP E KUVVET VE HAREKET 127 MODEL SORU - 6 DAKİ SORULARIN ÇÖZÜMLERİ 4. VX=3V K 1. K L ➞ 3V VL=0 yatay düzlem 4 VX = 3V & VY = 5V dir. 4 Çarpıştıktan sonra ortak vagon 2 br yol aldığına mK.3V + mL.0 = (mK + mL).V göre Vort = 2V olur. 3mK = mK + mL 2mK = mL mK 1 = olur. mL 2 K 2. mY X vagonu 3 br, Y vagonu 5 br yol almıştır. mK.VK + mL.VL = (mK + mL).Vort –x 5br Vagonlar t saniyede O noktasında çarpıştığından Momentumun korunumundan, 4 L P 3br mX mL mK VY =5V 2br O Momentumun konumundan, R Pi = R Ps mX.VX + mY.VY = (mX + mY).Vort CEVAP B +x L 6m/s 4kg mX.3V – mY.5V = (mX + mY).2V 3mX – 5mY = 2mX + 2mY VL=? mX = 7mY mX = 7 olur. mY yatay düzlem 1kg CEVAP D Momentumun korunumundan, 4 4 4 mK.VK + mL.VL = (mK + mL).Vort 5. –x 4.6 + 1.VL = 5.4 24 + VL = 20 m1=40g V =200m/s 1 +x Vb=0 mb=950g V2=1000m/s m2=10g VL = –4 m/s; –x yönünde olur. tahta blok CEVAP C yatay düzlem Momentumun korunumundan, 3. –x 4 +x 2V 4 4 0,04.200 – 0,01.1000 + 0,95.0 = 1.Vort VL = 0 m 4 m1V1 + m2V2 + mb.Vb = (m1 + m2 + mb).Vort L K m yatay düzlem 8 – 10 = Vort Vort = –2 m/s; Momentumun korunumundan cisimlerin ortak hız–x yönünde olur. ları, mK . VK + mL . VL = (mK + mL) . Vort CEVAP C m . 2V + m . 0 = 2m . Vort 6. Vort = V olur. Her iki durumda cisimlerin kinetik enerjileri, 1 1 = . m . (2V)2 = 4 . . m . V2 = 4E ΣEk 2 2 önce 1 1 ΣEk = . 2m . V2 = 2 . . m . V2 = 2E 2 2 sonra olur. Isıya dönüşen enerji, Eısı = ΣEk sonra Momentumun korunumundan, R Pönce = R Psonra mç . Vç = (mç + Vt) . Vort önce tahta blok 0,1.90 = (0,1 + 0,8).Vort 9 = 0,9.Vort Vort = 10 m/s olur. – ΣEk . ip 90m/s çivi = 2E – 4E Cisimlerin birlikte çıkabileceği yükseklik, = – 2E olur. 2 K cisminin kinetik enerjisinin % 50 si ısıya dönüşmüştür. 128 KUVVET VE HAREKET CEVAP C h max = V o (10) 2 = = 5 m olur. 2.g 2.10 CEVAP B 7. mK K VK=3V VL=2V O • 3br 9. mL tavan . L 2br yatay fiekil-I Vort=V • fiekil-II L K O h . Vort yatay 3br düfley Cisimler sabit hızla hareket ettiklerinden çarpışmadan önce t anında K 3 br, L 2 br yol aldıklarından VK = 3V ise VL = 2V olur. Momentumun korunumundan, 4 4 4 mMVM + ms.Vs = (mM + ms).Vort 0,01.200 + 0,99.0 = 1.Vort Cisimler çarpışmadan 3t sonra sürede 3 br yol aldıklarına göre Vort = V olur. Vort = 2 m/s olur. Enerjinin korunumundan, 1 (mM + ms).V2ort = (mM + ms).g.h 2 1 2 .2 = 10.h 2 2 = 10.h & h = 0,2 m = 20 cm olur. Çarpışmada momentum korunacağından, RPönce = RPsonra mK.VK + mL.VL = (mK + mL).Vort mK.3V – mL.2V = (mK+ mL).V CEVAP B 3mK – 2mL = mK + mL 10. 2mK = 3mL mK 3 = olur. 2 mL 1kg K VK.cos60° 60° VK=20m/s CEVAP C 4kg VA =5m/s 60° 8. V.cos37° 20g 37° –x V 37° yatay yatay yol Momentumun korunumundan, mK . VK .cos60° + mA . VA = (mK + mA) . Vort blok 980g K +x k=0,2 1 . 20 . cos60° + 4 . 5 = 5 . Vort 1 + 20 = 5Vort 1 . 20 . 2 30 = 5Vort yatay düzlem L 4m Kinetik enerji sürtünmeye dönüşeceğinden, 1 . (mm + mb) . V 2ort = k . (mm + mb) . g . x 2 1 . V 2ort = 0,2 . 10 . 4 2 V 2ort = 16 Vort = 6 m/s; +x yönünde olur. CEVAP C T 11. Vo=100m/s m Vort = 4 m/s olur. Momentumun korunumundan, mm . V + mb . Vb = (mm + mb) . Vort hmak O yatay düzlem yatay düzlem xmak Yatay momentum korunacağından, 4 0,02 . V . cos37° + 0,98 . 0 = 1 . 4 4m 37° V ox 4 ΣPönce = ΣPsonra 0,02 . V . 0,8 = 4 m.Vo.cos37° = (m + 4m).Vort 4 V= 0, 016 m.100.0,8 = 5m.Vort V = 250 m/s olur. CEVAP E 80 = 5Vort Vort = 16 m/s olur. CEVAP C KUVVET VE HAREKET 129 12. m K MODEL SORU - 7 DEKİ SORULARIN ÇÖZÜMLERİ L 3m 1. 80m K m P m VK VL (–) numundan, 45m L 3m Momentumun koruı PL = 15 = yatay düzlem ı (+) ı PL=15m/s ı mL.V L ı 5.V L ı . PK=9kg.m/s 37° PK=12kg.m/s V L = 3 m/s olur. K ve L cisimlerin P cisminin çarpana kadar geçen CEVAP C süreleri, hK = 1 2 gt 2 K 80 = 2 1 .10.t K 2 16 = 2 tK hL = 1 2 gt 2 L 45 = 2 1 .10.t L 2 2. K L 5m/s & t K = 4s 37° 53° 5kg 10kg L VL› I. yol: 2 9 = t L & t L = 3s olur. Çarpışmadan önce cisimlerin momentumları, Px = 5.10 = 50 kg.m/s Py = 0 VK ve VL hızlarının büyüklükleri, VK = g.tK = 10.4 = 40 m/s Çarpışmadan sonra cisimlerin momentumları, VL = g.tL = 10.3 = 30 m/s olur. ı Pxı = mK.VKx + mL.VLx Cisimler çarpıştıklarında ortak hareket ettiklerine ı ı = 10.VK.cos37° + 5.VL.cos53° göre, R Pönce = R Psonra mK. VK + mL. VL + mP. VP = (mK + mL+mP). Vort ı = 10.VK.0,8 + 5.VL.0,6 ı ı = 8.VK+ 3.VL ı ı Pyı = mK.VKy – mL.V Ly m.40 + 3m.(–30) + m.0 = (m + 3m + m).Vort ı ı = 10.VK.sin37° – 5.V L.sin53° – 50m = 5m.Vort ı ı = 10.VK.0,6 – 5.V L.0,8 Vort = –10 m/s olur. ı ı = 6.VK – 4.V L Bu durumda cisimler çarpıştıktan sonra (–) yönde hareket ederler. Cisimler çarpıştıktan sonra h kadar Momentumun korunumundan, yükseğe çıkabilsinler. Enerjinin korunumundan, ı Py = P y Eönce = Esonra ı ı ' 0 = 6.V K – 4.V L⇒ V L = 1 m .V2 = mtop.g.h 2 top ort 1 .102 = 10.h 2 ı 3 ' V olur. 2 K Px = P x ı ı 50 = 8V K + 3V L ı 50 = 10.h ⇒ h = 5 m olur. CEVAP A V L değerini yerine yazarsak, K cismin hızı, › 3 › 50 = 8.V K + 3. V K 2 50 = › 25 › V & V K = 4 m/s olur. 2 K Çarpışmadan sonra L cisminin hızı, ı ı 2VL= 3.VK ı ı 2VL= 3.4 ⇒ VL = 6 m/s olur. 130 VK› K KUVVET VE HAREKET Çarpışmadan sonraki momentumlar, II. yol: ı Momentumun korunumundan, ı ı ı PL = mL.VL ı = 5 . VK . cos53° + 10 . VL . cos53° ı 30 = 5.VL ı ı ı PK=40kg.m/s ı = 5VK . 0,6 + 10VL . 0,6 PL=30kg.m/s ı ı VL = 6 m/s olur. ı = 3VK + 6VL 53° 37° ı ı ı = 5 . VK . sin53° – 10 . VL . sin53° CEVAP D ı ı = 5 . VK . 0,8 – 10 . VL . 0,8 ı y yönündeki momentum korunacağından, ı Py = Py ı ı ı ı 0 = 4 . VK – 8 . VL ⇒ VK = 2VL olur. sonra ı ı 0 = Py – Py L K x yönündeki momentum korunacağından, ı ı Py = Py L ı Px = Px K › › m L . V L . sin30° = m K . V K . sin60° › 4 . VL . ı › ı + = (PLı )2 + 400 1600 = PLı PLı 2 (20)2 › PS =40 PL = mL . VL= 10 . 1 = 10 kg.m/s ı ı PL = mL . VL= 10 . PL =25kg.m/s 4. K VK› –PL =10kg.m/s . 10kg • O VL› Momentum korunacağından cisimlerin çarpışmadan önceki momentumları, Px = mK . VK + mL . VL = 5 . 4 + 10 . 1 = 30 kg.m/s Py = 0 olur. PL =25kg.m/s 5kg.m/s 53° 53° L PLx =15kg.m/s 53° PLy =20kg.m/s L 1m/s 5 = 25 kg.m/s olur. 2 53° mL.VLı 4m/s 5 m/s olur. 2 PL =10kg.m/s › PK = 2 0 CEVAP E 5kg ı Momentumları ise, 20v3 = 4.VLı = VLı = 5v3 m/s olur. K ı ı = 20v3 kg.m/s = ı 5 = 2VL ⇒ VL = 30° 60° L cisminin hızı, PLı ı VK = 2VL › PL + 400 V 'K 2 30 = 6VK ⇒ VK = 5 m/s olur. L cisminin çarpışmadan sonraki hızı, II. Yol: Aradaki açı 90° olduğundan, = ı 30 = 3VK + 6. V L = 5 3 m/s olur. (40)2 ı 30 = 3VK + 6VL 1 3 = 2 . 10 . 2 2 (PLı )2 ı = 4VK – 8VL olur. 3. I. Yol: Momentumun korunumundan, Σ Py = Σ Py önce ı Py = mK . VKy – mL . VLy PK=50kg.m/s (Psı )2 ı Px = mK . VKx + mL . VLx 20kg.m/s P T PL = P 'L – PL T PL = P 'L + (– P 'L) ∆P nin büyüklüğü, (∆P)2 = (5)2 + (20)2 ∆P = 5c17 kg.m/s olur. CEVAP E KUVVET VE HAREKET 131 MODEL SORU - 8 DEKİ SORULARIN ÇÖZÜMLERİ 1. 4. 2mV 5m 4 O mV mV Cisimler O noktasında çarpışıp birbirlerine kenetlendikten sonra, şekilde görüldüğü gibi sistem 4 yolunu izler. CEVAP D Momentumun korunumundan, cisimler O noktasında çarpışıp birbirleriyle kenetlendikten sonra, şekilde görüldüğü gibi sistem 4 yolunu izler. y 5. CEVAP D mV mV V2 = 2 ➞ V1 x O ➞ V2 2 V olur. m2 Momentumun korunumundan, • O 4m P1 m .V = 1 1 P2 m 2 . V2 2V m1 . V 1 = 2 m2 . 2 V 2m Cisimler O noktasında çarpışıp birbirlerine kenetlendikten sonra, şekilde görüldüğü gibi sistem 2 yolunu izler. CEVAP B m1 = 1 olur. m2 CEVAP C 6. 3. m1 2 br V1 = V 2 2mV V m Cisimlerin çarpışmadan önce momentumları ve hızları, P1 = 1 br P2 = m V 4 2 2mV 4m • O 2. • mK kuzey PL 2 2V P 4 P3=9kg.m/s 4 O• 4 |P1+P2|=15kg.m/s 53° bat› 37° O do¤u 4 P1=10kg.m/s 2V 4 PK mL P2=12kg.m/s Momentumun korunumundan, PK m .V = K K PL m L .VL güney Momentumun korunumundan, 4 4 4 m .2 2 V 1 = K 2 mL . 2 V 4 |P1| – |P2 + P3| = (m1 + m2 + m3).Vort 10 – 15 = 5.Vort Vort = –1 m/s; batı yönünde hareket eder. CEVAP B 132 KUVVET VE HAREKET 2m K 1 = 2 mL mK 1 = olur. mL 4 CEVAP A Pı1y = 4.Vı1.sin37° MODEL SORU - 9 DAKİ SORULARIN ÇÖZÜMLERİ 1. Durmakta olan bir cisim iç patlama geçirdiğinden x yönündeki momentum Pı2 = 6Vı2 ⇒ Pı2x = 6Vı2 cos53° m2=4kg m3 = 6.Vı2 . 0,6 α korunacağından, Px = = 2,4Vı1 6 kg kütleli parçacığın momentumu, V2=4m/s V1=2m/s m1=6kg ilk momentumu sıfırdır. = 4.0,6.Vı1 ı Px = 3,6 Vı2 10m/s Pı2y = 6.Vı2.sin53° 0 = m1 .V1 + m3 .V3 .cosα = 6Vı2 . 0,8 0 = 6.(–2) + m3 .10.cosα = 4,8Vı2 Momentumun x bileşeninin korunumundan, 12 = m3 .10.cosα ..... Pöx = Pı1x + Pı2x y yönündeki momentum korunacağından, 50 = 3,2 Vı1 + 3,6Vı2 ... ı Py = P y Momentumun y bileşeninin korunumundan, 0 = m2 .V2 + m3 .V3 .sinα Pöy = Pı1y + Pı2y 0 = 4.4 + m3 .(–10).sinα 0 = 2,4Vı1 – 4,8Vı2 16 = m3 .10.sinα ..... 2,4Vı1 = 4,8Vı2 ve denklemlerini oranlarsak, Vı1 = 2Vı2... 12 m 3 .10. cos a 4 = & tan a = & a = 53° olur. 16 m 3 .10. sin a 3 Bu eşitliği nolu denklemde kullanırsak, 50 = 3,2. (2Vı2) + 3,6Vı2 50 = (6,4 + 3,6).Vı2 ⇒ Vı2 = 5 m/s olur. Bu değeri denklem de yerine yazarsak, 12 = m2 .10.cos53° Bulduğumuz bu sonucu nolu denklemde kullanırsak, 12 = m2 .10.0,6 ⇒ m2 = 2 kg olur. Vı1 = 2Vı2 = 2.5 = 10 m/s olur. Cismin kütlesi, m = m1 + m2 + m3 = 6 + 4 + 2 = 12 kg olur. II. yol: CEVAP A Momentumun korunumundan, ı ı P 1 = m1.V1 2. V1 ı 40 = 4.V1 4 kg ı 5m/s P2=30kg.m/s ı V1 = 10 m/s olur. 10 kg ı P1=40kg.m/s 53° 37° P=50kg.m/s 37° 53° O CEVAP E 6 kg 3. V2 5V I. yol: Patlamadan önceki momentum, Pö = 10.5 = 50 kg.m/s dir. O ••• 4 ➞ V ➞ V Patlama olduktan sonra kütlesi 4 kg olan parçacığın momentumu Pı1 = 4.Vı1 ⇒ Pı1x = 4Vı1.cos37° = 4.0,8Vı1 = 3,2Vı1 Momentumun korunumundan, üçüncü parça şekilde görüldüğü gibi 4 numaralı yolu izler. CEVAP D KUVVET VE HAREKET 133 4. m=3kg m2=2kg V2x=60m/s 6. m1=1kg V1=120m/s V1=10m/s V=30m/s ÖNCE m=4kg V2y=45m/s x1 Vox = Vo.cos37° = 30 m/s P = m.Vx = 4.40 = 160 kg.m/s olur. m2 kütlesinin hızı, Parçalardan her birinin momentumu, 2 V 2 = V 2x + V 2y 2 V 2 = (60) + (45) P1= 2.V1 2 = – 20 kg.m/s 2 V 2 = 5625 V2 = 75 m/s olur. 5. CEVAP E V1=9m/s 160 = –20 + 2.V2 ⇒ V2 = 90 m/s olur. x2 = V2.t = 90.3 = 270 m m1=1kg • O Momentum korunacağından, Σ P = P1 + P2 II. parçacığın atış uzaklığı, kuzey m = 4 kg V=5m/s P2 = 2.V2 olur. = 2. (–10) = 3600 + 2025 Bize II. parçacığın cismin ilk atıldığı noktaya olan 53° 37° do¤u m2=2kg V2=6m/s güney Yatay momentumun korunumundan, RPxönce = RPxsonra mV = m1.V1.cos53° + m2.V2.cos37° + m3.V3x 4.5 = 1.9.0,6 + 2.6.0,8 + 1V3x 20 = 5,4 + 9,6 + V3x V3x = 5 m/s olur. RPyönce = RPysonra 0 = m1.V1.sin53° – m2.V2.sin37° + m3.V3y 0 = 1.9.0,8 – 2.6.0,6 + 1V3y 0 = 7,2 – 7,2 + V3y V3y = 0 olur. Buna göre, 3. parça doğu yönünde 5 m/s hızla hareket eder. CEVAP A KUVVET VE HAREKET = 40 m/s Cismin momentumu, V2y = 45 m/s olur. 134 = 50.0,6 Cisim patladığında sadece yatay hız vardır. 90 = 2V2y bat› = 50.0,8 Vy = Voy – g.t = 30 – 10.3 = 0 olur. 3.30 = m2V2y 2 Voy = V.sin37° 3s sonra cisim iç patlama geçirdiğinden düşey hız, Düşey momentumun korunumundan, Σ Py önce = Σ Py sonra 2 yatay yer x2 Cismin yatay ve düşey ilk hızları, 0 = m1V1 – m2V2x 120.1 = 2. V2x V2x = 60 m/s olur. 2 V2 Vo=50m/s 37° Vox=40m/s SONRA Yatay momentumun korunumundan, Σ PX önce = Σ PX sonra 2 V2 Voy=30m/s α=53° V2=75m/s 2kg 2kg uzaklığı sorulduğuna göre, x = x1 + x2 = 40.3 + 270 = 120 + 270 = 390 m olur. CEVAP E MODEL SORU - 10 DAKİ SORULARIN ÇÖZÜMLERİ 1. I. yol: 1. Momentumun korunumundan, RPönce = RPsonra ı ı 0 = mM. V M .cos60° + mt. V t ı 1 –500 . V tx = 10.300. 2 ı V tx = –3 m/s olur. Roketin hızındaki değişme eşitliğinden, TV = – › V – Vo = – MODEL SORU - 11 DEKİ SORULARIN ÇÖZÜMLERİ Tm .V g m 300 . (–2000) (1500 – 300) › V – 200 = 500 CEVAP A › V = 700 m/s olur. II. yol: Gazın yere göre hızı, Vgaz = Vson – Vilk = 2000 – 200 2. Momentumun korunumundan avcının hızı, = 1800 m/s olur. 4 4 ΣPönce = ΣPsonra Momentumun korunumundan, R Pönce = R Psonra ı ı 0 = mM.V M + (mA + mt) V ort ı 0 = 0,02.450 + (70 + 5)V ort m.Vı = (m – matılan).Vı – mgaz.Vgaz 1500.200 = (1500 – 300).Vı – 300.1800 ı –9 = 75V ort ı 300000 = 1200.Vı – 540000 V ort = 0,12 m/s olur. 840000 = 1200Vı ⇒ Vı = 700 m/s olur. CEVAP B CEVAP C 2. I. yol: Roketin hızındaki değişme eşitliğinden, TV = – › V – Vo = › V – 200 = Tm .V g m Tm .Vg m 400 .1000 (2000 – 400) › V – 200 = 250 › V = 450 m/s olur. II. yol: Gazın yere göre hızı, Vgaz = 1000 – 200 = 800 m/s olur. Momentumun korunumundan, 4 4 RPönce = RPsonra M.Vo = (M – matılan).Vı – matılan.Vgaz ı 2000.200 = (2000 – 400).V – 400.800 ı 400.000 = 1600V – 320.000 720.000 = 1600 V ı ı V = 450 m/s olur. CEVAP B KUVVET VE HAREKET 135 TEST 1 İTME VE MOMENTUM ÇÖZÜMLER 1. 3. 2m PX=mV m 4 P2=20kg.m/s ı PY=2mV X kuzey Y 4 PX=mV bat› ı PY=2mV • 37° . O DP=12kg.m/s do¤u 4 P1=16kg.m/s . yatay düzlem güney X ve Y nin ilk momentumları, İtme, momentum değişimine eşit olduğundan, cisme etkiyen F kuvveti, PX = m.V 4 PY = 2m.V F.1 = 12 X ve Y nin son momentumları PXı PYı 4 F.Δt = ΔP F = 12N; kuzey yönünde olur. = m.V CEVAP A = 2m.V olur. Momentum değişimlerinin büyüklükleri, DPX = 2 mV DPY = 4mV olur. DPX ve DPY taraf tarafa oranlanırsa, DPX 2 mV 2 1 = = = olur. 4mV 4 DPY 2 2 2. 4. CEVAP A F(N) Momentumun korunumundan, P = P1 + P2 + P3 ise, P3 = P – P1 – P2 olur. P3 P –P2 –P1 P3 vektörü, P3 = P + (– P1) + (– P2) 10 20 İşlemi yapıldığında ΙΙ vektörü olduğu görülür. 40 4 8 12 CEVAP B t(s) –20 –5 Kuvvet-zaman grafiğinde doğrunun altındaki alan itme = momentum değişimini vereceğinden, RF.Dt = 40 N.s olur. RF.Dt = DP DP = 40 kg.m/s olur. Cismin 12 saniye sonundaki hızı, DP = m.(V2 – V1) KUVVET VE HAREKET 4 2 2V 4 3m V O• •• 4 2V V Şekilde görüldüğü gibi, üçüncü parça 2 2 V hızıyla 3 yolunu izler. 20 = V2 – 4 136 3 4 40 = 2.(V2 – 4) V2 = 24 m/s olur. 5. CEVAP C CEVAP C 6. –x K 8. +x L 6V 4m m (–x) V yatay düzlem 4 PY = 3.(–2) = – 6 kg.m/s 4 PZ = 4.(–10) = – 40 kg.m/s olur. 4m.6V + mV = 5m.Vort Çarpışmadan önceki toplam momentumu, Σ Pilk = PX + PY + PZ 25V = 5Vort & Vort = 5V olur. Çarpışmadan sonra K ve L nin hızları, 4 = 10 – 6 – 40 4 = 2Vort – VK = – 36 kg.m/s olur. = 2.5V – 6V Kütleler ortak hareket ettiğinden, Σ Pilk = Σ Pson = 4V; +x yönünde olur. 4ı 4 –36 = (2 + 3 + 4).Vort 4 VL = 2Vort – VL –36 = 9.Vort ⇒ Vort = – 4m/s olur. = 2.5V – V Cisimler çarpışmadan sonra –x yönünde 4m/s hızla = 9V; +x yönünde olur. hareket eder. CEVAP E 7. Z 4kg PX = 2.5 = 10 kg.m/s mK.VK + mL.VL = (mK + mL)Vort 4ı VK 10m/s Cisimlerin çarpışmadan önceki momentumları Momentumun korunumundan, 4 (+x) Y 2m/s 3kg X 5m/s 2kg CEVAP D 4kg Pi Ps 4m/s 3m/s 9. 53° VK=0 VL=0 K L 37° M 2V yatay düzlem P Cisimlerin kütleleri eşit ise hızlarını birbirlerine aktarırlar. Çarpışmadan sonra bilyelerin hareketi şekildeki gibi olur. Ps –Pi CEVAP D Cismin momentumları, Pi = 4.4 = 16 kg.m/s Ps = 4.3 = 12 kg.m/s ∆ P = Ps – Pi = Ps + (– Pi) ∆P nin büyüklüğü, (∆P)2 = (16)2 + (12)2 10. Momentumun korunumundan, Σ Pilk = Σ Pson ∆P2 = 400 ⇒ ∆P = 20 kg.m/s ı 0 = m.4 + 2m V Kuvvetin büyüklüğü, 2m kütleli parçacık –x yönünde 2 m/s hızla hareket F.∆t = ∆P eder. F.0,2 = 20 F = 100 N olur. ı ⇒ V = –2 m/s olur. CEVAP A CEVAP E KUVVET VE HAREKET 137 11. 12. mY=4kg yatay düzlem Y • K m T K • 10m m L mg L Vo=30m/s mg h=80m T X m =4kg X a Vx=30m/s GX=40N VK=40m/s Sistemin ivmesi, GX 40 40 2 a= = = = 5 m/s olur. mX + mY 4 + 4 8 yatay düzlem Vy=40m/s VL=50m/s Cisimlerin yere düşme süreleri, h= 1 2 gt 2 80 = 5.t2 İpte oluşan T gerilme kuvveti, 16 = t2 & t = 4s olur. T = mY.a = 4.5 = 30 N olur. K cisminin yere çarpma hızı, Y cisminin K den L ye gelme süresi, | KL | = VK = g.t = 10.4 = 40 m/s 1 2 a.t 2 L nin yere çarpma hızı, 2 1 10 = .5.t & t = 2 saniye olur. 2 Vx = Vo = 30 m/s Vy = g.t = 10.4 = 40 m/s X cismine etki eden net kuvvet, V2L = V2x +V2y Fnet = mx.g – T = 4.10 – 20 V2L = 302 + 402 = 20 N VL = 50 m/s olur. Cisimler üzerlerine uygulanan itmeler, X cismine uygulanan itme, İtme = Fnet.t = 20.2 = 40 N.s olur. CEVAP C IK = FK.Dt = mg.4 = 4mg IL = FL.Dt = mg.4 = 4mg olur. IK ve IL taraf tarafa oranlanırsa, I K 4mg = = 1 olur. I L 4mg Yere çarptıklarında momentumların büyüklükleri, PK = mK.VK = m.40 = 40 m PL = mL.VL = m.50 = 50 m eşitlikleri taraf tarafa oranlanırsa, PK 40 m 4 olur. = = PL 50 m 5 138 KUVVET VE HAREKET CEVAP B TEST 2 1. –x K İTME VE MOMENTUM ÇÖZÜMLER 3. +x L 4V mK mL 25V m VL=0 K 4m yatay düzlem 37° Momentumun korunumundan, mK.VK + mL.VL = (mK + mL).Vort 2V –x yatay yol +x ı K cismi atıldıktan sonra arabanın hızı V olsun. mK.4V + mL.0 = (mK + mL).V K cisminin yere göre yatay hızı, 4mK = mK + mL ı ı V xK = V + 25V.cos37° 3mK = mL mK 1 = olur. mL 3 ı = V + 25V.0,8 ı = V + 20V olur. CEVAP B Yatay momentumun korunumundan, 4 4 4ı 4ı ı ı mA.VA + mK.VK = mA.VA + mKVxK 4m.2V + m.2V = 4m.V + m.(V + 20V) ı ı 10mV = 4mV + mV + 20mV ı –10mV = 5mV ı ı –10V = 5V ⇒ V = –2V olur. Araba –x yönünde 2V hızıyla gider. CEVAP C 2. a(m/s2) 4. VLy 2• L 37° 8m/s 0 VL • • 4 –1• • 8 • 12 K 4kg t(s) VK =5m/s VL =0 L 2kg K –4m/s DV = 8 – 4 = 4 m/s olur. VKx 53° VKy VK çarp›flmadan sonra çarp›flmadan önce İvme-zaman grafiğinde doğrunun altındaki alan hızdaki değişmeyi verir. VLx 37° 53° I. yol: Momentumun x bileşeninin korunumundan, ı ı PKx + PLx = P Kx + P Lx ı ı 4.5 + 2.0 = 4.V K.cos53° + 2.V L.cos37° Cismin son hızı, ı ı P2 = m.V2 20 = 4.V K.0,6 + 2.V L.0,8 60 = 5.V2 20 = 2,4 V K + 1,6 V L..... ı V2 = 12 m/s olur. ı Momentumun y bileşeninin korunumundan, ı ı PKy + PLy = P Ky + P Ly Cismin t = 0 anındaki hızı, DV = V2 – V1 ı ı 0 + 0 = – 4.V K.sin53° + 2.V L.sin37° 4 = 12 – V1 ı ı 0 = – 4.V K.0,8 + 2.V L.0,6 V1 = 8 m/s olur. ı CEVAP D ı 0 = – 3,2 V K + 1,2 V L 3,2VıK = 1,2VıL⇒ VıL = 8 ı V olur. 3 K KUVVET VE HAREKET 139 Bu değeri denklem de yerine yazarsak, 8 20 = 2, 4V 'K + 1, 6. V 'K 3 20 = 7. Patlamanın olduğu an cismin › V2=30m/s hızı, = 10 m/s olur. h Patlamanın olduğu yükseklik, Momentumun korunumundan, ı ı PK = mK.V K h = Vo .t – ı PK=12kg.m/s ı PK=20kg.m/s Momentumun korunumundan, Σ Pilk = Σ Pson ı ı m. V = m1. V 1 + m2. V 2 CEVAP B 5. yatay yer = 120 m olur. 53° 37° ı V K = 3 m/s olur. 50m/s 6kg 1 2 g.t 2 2 1 = 50.4 – .10 (4) 2 ı PL=16kg.m/s 12 = 4.V K V1=0 4kg 2kg = 50 – 10.4 II. yol: › › Vs = Vo – g.t 20V 'K & V 'K = 3 m/s olur. 3 h ➞ ➞ VL VK ı 6.10 = 4.0 + 2.V 2 ı ➞ ı 60 = 2V 2 ⇒ V 2 = 30 m/s olur. VM 2 kg kütleli ismin patlamadan sonra çıkabileceği yükseklik, K L yatay yer M 2 h' = Cisimlerin yatay momentumları değişmez. Cisimlerin uçuş süreleri: V '2 (30) 2 = = 45 m olur. 2g 2.10 2kg lık cismin yerden maksimum yüksekliği, tK = 3t ise ı hmax = h + h tL = 3t = 120 + 45 = 165 m olur. tM = 2t olur. CEVAP E Cisimlerin kütleleri, mK = mL = mM = m dir. İtme, momentum değişimine eşittir. Cisimlere etki eden kuvvetler F = mg ye eşit olduğundan momentum değişimleri, ΔPK = mg3t = 3mgt 8. L K K ΔPL = mg3t = 3mgt 4m/s O 53° • 6kg ΔPM = mg2t = 2mgt olur. V Buna göre, L 4kg ΔPK = ΔPL > ΔPM olur. CEVAP A 6. Yatay eksendeki momentum korunduğundan, Pilkx = Psonx mK .VK = (mK + mL).Vort.cos53° mV 2mV 4m • O 2mV 6.4 = (6 + 4).Vort.0,6 4 24 = 6.Vort ⇒ Vort = 4 m/s olur. mV Düşey eksendeki momentum korunduğundan, 2mV Pilky = Psony mL .VL = (mK + mL).Vort.sin53° Momentumun korunumundan, cisimler O noktasında çarpışıp birbirleriyle kenetlendikten sonra, şekilde görüldüğü gibi 4 yolunu izler. CEVAP D 140 KUVVET VE HAREKET 4.V = (6 + 4).Vort.0,8 4.V = 10.4.0,8 V = 8 m/s olur. CEVAP C 9. 11. net kuvvet a(m/s2) 2• F• 10 •t 0 • •3t 2t 5 zaman –F I II •5 0 Buna göre, cisme etkiyen net kuvvet, II III Sabit Azalıyor Artıyor t(s) İvme-zaman grafiğinde doğrunun altındaki alan hızdaki değişmeye eşit olduğundan, ΔV = 10 m/s olur. Cisme etkiyen net kuvvetin zamanla değişim grafiği şekildeki gibi olur. I • 15 10 –5 –1• III • Cismin son hızı, V2 = V1 + ΔV = 5 + 10 = 15 m/s olur. 15. saniye sonunda cismin momentumu, CEVAP A P2 = m.V2 = 4.15 = 60 kg.m/s olur. CEVAP E 10. –x 12. +x Vx L K 5m/s 6 kg Vo VL = 0 yatay düzlem 4 kg 4kg Vo=40m/s 37° V ox yatay düzlem Çarpışmadan sonra L cisminin hızı, ' VL = Cismin yatay ve düşey ilk hızları, 2m K .V mK + mL K = 2.6 .5 6+4 = 60 10 Vox = Vo.cos37° = 40.0,8 = 32 m/s Voy = Vo.sin37° = 40.0,6 = 24 m/s olur. Cismin yatay hızı sabittir. Momentum değişimi düşey hızdaki değişimle orantılıdır. Aynı zamanda itme momentum değişimine eşittir. = 6 m/s, +x yönünde olur. L cisminin çarpışmadan sonra kinetik enerjisi, › EK = › EL hmax › 2 2 1 1 m . (V K) = . 6 . 1 = 3 J olur. 2 K 2 › 2 2 1 1 = m L . (V L) = . 4 . 6 = 2 . 36 = 72 J olur. 2 2 I = F.Dt = mg.Dt = 4.10.2 = 80 N.s olur. I. yargı doğrudur. Cismin uçuş süresi, 2Voy 2.24 = = 4, 8 s olur. tu = g 10 CEVAP E Uçuş süresince cisme uygulanan itmenin büyüklüğü, I = F.tu = mg.tu = 4.10.4,8 = 192 N.s olur. II. yargı yanlıştır. Cismin minimum momentumu, maksimum yüksekliktedir. Pmin = m.Vmin = 4.32 = 128 kg.m/s olur. III. yargı doğrudur. CEVAP D KUVVET VE HAREKET 141 Adı ve Soyadı : ..................................... Sınıfı : ..................................... Numara : ..................................... Aldığı Not : ..................................... 1. kuzey Bölüm Yazılı Soruları (İtme ve Momentum) b) Cisim K noktasından P2=20kg.m/s N noktasına geldiğinde, ∆ PKN = PN – PK = PN + (– PK) olur. DP=16kg.m/s V1=6m/s batı O• m=2kg ÇÖZÜMLER . 53° do¤u PK PKN PN ∆PKN nın büyüklüğü, P1=12kg.m/s –PK O ∆PKN = v2 .mV itme = ∆PKN = v2 .mV olur. güney c) Cisim K noktasın- İtme momentum değişimine eşit olduğundan, F.Dt = DP PK –PK O dan P noktasına 60° geldiğinde, ∆ PKP = PP – PK = PP+(– PK) olur. F.1 = 16 F = 16 N; kuzey yönünde olur. PKP PP ∆PKP nin büyüklüğü, ∆PKP = v3 .mV İtme = ∆PKP = v3 .mV olur. d) Cisim K noktasından R 2. Cis me V uy gu la nan şimine eşittir. Cismin her noktada momentumlarının büyüklüğü, K L itme momentum deği60° PK –PR noktasına geldiğinde, ∆ PKR = PR – PK = PR + (– PK) olur. PKR ∆PKR nin büyüklüğü, r ∆PKR = 2.mV N O 30° İtme = ∆PKR = 2.mV olur. 3. P K R K |PK| = |PL| = |PN| = |PP| = |PR| = m.V olur. a) Cisim K noktasından L noktasına geldiğinde, ∆ PKL = PL – PK = PL + (– PK) olur. ∆PKL nin büyüklüğü, ∆PKL = m.V İtme = ∆PKL = m.V olur. 142 KUVVET VE HAREKET PK PL 60° L 5m/s 2kg 5kg α O –PK O 60° 6m/s L 60° PKL VL› =15m/s a) Momentumun, x bileşeninin korunumundan, ı Px = P x ı 5.6 + 2.5 = 5.V K.cosα + 0 ı 40 = 5.V K.cosα 8= ı V K.cosα.....' VK› 5. y bileşeninin korunumundan, Py = 0+0= 6= a) Cisme verilen itme, İtme = F.∆t ı Py K = 10.20 ı 5.V K.sinα – 2.15 ı V K.sinα .....( olur. yatay düzlem = 200 N.s olur. ( ve ' numaralı denklemler taraf tarafa oranla- IFI=10N b) Cisme uygulanan itme, momentum değişimine nırsa, eşittir. › V K . sin a › V K . cos a = tan a = 6 3 = 8 4 3 4 İtme = ∆P = 200 N.s olur. c) Cismin kütlesi, & a = 37° olur. ∆P = m.∆V 200 = m.40 ⇒ m = 5kg olur. b) α = 37° değeri denklem ' de yerine yazarsak, ı 8 = V K.cos37° ı d) ı F . ∆t = m . ( V2 – V1) 10 . 10 = 5 . (V2 – 0) 8 = V K.0,8 ⇒V K = 10 m/s olur. V2 = 20 m/s olur. 4. F(N) 6• 6. 4kg 4• Pi • 2 4 • • 6 • 8 Ps 30m/s 40m/s t(s) 60° 30° yatay düzlem P –4• a) F-t grafiğinde doğrunun altındaki alan momentum değişimini verir. 4 saniyede momentum –Pi Ps değişimi, ∆P = 2.6 Cismin momentumları, Ps – Pi = 12 Pi = m.Vi = 4.40 = 160 kg.m/s m.Vs – m.Vi = 12 Ps = m.Vs = 4.30 = 120 kg.m/s olur. 2.Vs – 2.4 = 12 2.Vs = 20 ⇒ Vs = 10 m/s olur. b) 2-4 saniyeler arasında alan sıfır olduğundan, itme = ∆P = 0 olur. c) 8 saniyedeki momentum değişimi, ∆P = 2.6 – 2.4 + 2.4 2 ∆P = 12 – 8 + 4 ∆P = 8 kgm/s m.Vs – m.Vi = 8 2.Vs – 2.4 = 8 ⇒ Vs = 8 m/s olur. Momentum değişimi, ∆ P = Ps – Pi = Ps + (– Pi) olur. ∆P nin büyüklüğü, (∆P)2 = (Ps)2 + (–Pi)2 (∆P)2 = (120)2 + (160)2 ∆P = 200 N.s olur. İtme momentum değişimine eşit olduğundan, İtme = ∆P = 200 N.s olur. KUVVET VE HAREKET 143 7. PK=3m.2V=6mV –x K 10. PL=2m.3V=6mV +x 2V L 3V 37° 2kg Vox . 3m yatay düzlem 2m Merkezi ve esnek çarpışmalarda cisimlerin momentumları eşit ve zıt yönlü ise, cisimler çarpıştıktan sonra aynı büyüklükteki hızlarını alarak geri dönerler. Buna göre, 80m . yatay yer Cismin yatay ve düşey ilk hızları, Vox = 50.cos37° = 50.0,8 = 40 m/s K L –x; 2V Voy = 50.sin37° = 50.0,6 = 30 m/s olur. +x, 3V olur. Cismin yere düşme süresi, 1 h = Voyt – g.t2 2 –80 = 30.t – 8. –x V3 3kg 8kg 5m/s (t–8).(t+2) = 0 t = – 2 çözüm olamaz. V=0 Momentumun korunumundan 3. parçacığın hızı, Σ Pilk = Σ Pson 8.5 = m1. V1 + m2. V2 + m3. V3 40 = 1.(–8) + 4.0 + 3.V3 48 = 3V3 ⇒ V3 = 16 m/s olur. 9. VX K 53° 2kg 25m/s 8kg 53° –x 20m/s +x yatay yol Momentumun korunumundan çarpışmadan sonra arabanın hızı, mK.VK + mA.VA = (mK + mA).Vort –2.25.cos37° + 8.20 = (2 + 8).Vort –50.0,6 + 160 = 10 Vort –30 + 160 = 10 Vort 130 = 10 Vort Vort = 13 m/s, +x yönünde olur. KUVVET VE HAREKET t1 = 8s, t2 = –2s olur. 4kg 8m/s yatay düzlem 1 .10.t2 2 –80 = 30.t – 5t2 ⇒ t2 – 6t – 16 = 0 +x 1kg 144 50m/s Voy Cisim 8 saniye havada kaldığına göre, İtme = F.∆t = mg.∆t = 2.10.8 = 160 N.s olur.
