Test 1`in Çözümleri İtme ve Çizgisel Momentum

19
1
İtme ve Çizgisel Momentum
3.
Test 1’in Çözümleri
1.
kuzey
momentum
A
bat
doğu
45° 45°
v1 = v
m
I
II
III
m
v2 = v
zaman
0
güney
Bir cisme sabit bir kuvvet uygulanırsa cismin hızı
düzgün olarak artar.
I. bölgede hız parabolik olarak arttığına göre, uygulanan kuvvet artmaktadır.
Cismin hızındaki değişme
şekilde gösterildiği gibi
2 v dir.
v1 = v
Dv = 2v
A
II. bölgede hız düzgün olarak arttığına göre, kuvvet
sabittir.
İtme = m · ∆v olduğundan
İtme = m ·
III. bölgede hız parabolik olarak azaldığına göre,
harekete zıt yönde olan kuvvet artmaktadır.
Hız değişimi güney yönünde olduğundan itme de güneye doğrudur.
2 v olur.
Cevap B dir.
v2 = v
Nihat Bilgin Yayıncılık©
Cevap B dir.
2. Kuvvet-zaman grafiğinin altındaki alan momentum
değişimine eşittir.
4.
net kuvvet
v = 8 m/s
F
2F·t
F·t
2
m = 3 kg
3t
4t
5t
0
t
2t
–F·t
2
zaman
Cisme uygulanan itme, hareketine ters yönlü olduğundan işareti (–) alınır.
İtme = m · ∆v
İtme = m · (v2 – v1)
– 36 = 3 (v2 – 8)
v2 = –4 m/s
–F·t
–F
Ft
Ft
- Ft
D P = 2 Ft +
2
2
D P = Ft bulunur .
yer
(yatay)
Cevap A dır.
Cevap D dir.
2
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
5.
7.
T
(+)
vx
K
v0
(–)
v
hmax
h
vy
yatay
v
L
m
m1 = 3m
yer (yatay)
Cisim K dan L ye gelirken yatayda vx hızıyla düzgün doğrusal hareket yapar. Düşeyde ise mg kuvvetinin etkisinde düzgün hızlanır.
İtme = F · ∆t
İtme = mg · ∆t
dir. Cismin K dan L ye gelme süresi ∆t, h yüksekliği ile vy hızından etkilenir. Fakat vx hızından etkilenmez.
Bu nedenle itme, vx hızına bağlı değildir.
m2 = 2m
Momentumun korunumunu sisteme uygularsak;
m 1 v 1 + m 2 v 2 = ( m 1 + m 2) · v ortak
v
3m·v + 2m·v2 = ( 3m + 2m )
3
5
3 mv + 2 mv 2 = m · v
3
4
2 mv 2 = - mv
3
2
v 2 = - v bulunur .
3
Cevap C dir.
6. Şekil I deki grafiğe göre P ve R cisimlerinin çarpışmadan önceki hızları ve hareket yönleri Şekil II
deki gibidir. Cisimler t anında çarpışıp yapıştıklarında ortak hızları sıfır olmuştur.
Nihat Bilgin Yayıncılık©
Cevap A dır.
hz
4v
P
P+R
t
0
zaman
–v
R
8.
(–)
(+)
5v
2
Şekil I
2v
3
yatay
m1 = 2m
P
m2 = 3m
R
4v
v
çarpşmadan önce
Momentumun korunumundan;
m 1 v 1 + m 2 v 2 = ( m 1 + m 2) · v ort
Şekil II
Çarpışmadan sonra cisimlerin ortak hızları sıfır
olduğundan momentumları da sıfırdır. Buna göre,
cisimlerin çarpışmadan önceki momentumları eşit
ve zıt yönlü olmalıdır.
2m·
Cevap B dir.
5
2
v - 3 m v = ( 2 m + 3 m ) · v ort
2
3
3 m · v = 5 m · v ort
v ort =
3
v olur .
5
Cevap E dir.
3
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
9.
11.
P1
2m 3m
P3
m1 m3
yatay
v1=15 m/s
m2
v0=30 m/s
P2
5m
yer (yatay)
Başlangıçta cisim durduğuna
göre patlamadan sonraki
momentumların vektörel toplamı sıfır olmalıdır. Bir başka
ifadeyle;
P1
P2
P3
Düşey yukarı yönde atılan cismin tepe noktasındaki hızı sıfırdır. Bu nedenle tepe noktasında momentum sıfır olur. Patlamadan sonra da toplam momentumun sıfır olabilmesi için sağ yöndeki momentum
sol yöndeki momentuma eşit olmalıdır.
P1 + P2 + P3 = 0
dır. O hâlde III. yargı doğrudur.
m1v1 = m2v2
Hızlar ve kütleler hakkında karar veremeyiz.
2m · 15 = 3m · v2
Nihat Bilgin Yayıncılık©
Cevap C dir.
v2 = 10 m/s bulunur.
30 = g·t
t=3s
olur. Yere çarpan cisimler arasındaki uzaklık;
x1 + x2 = v1t + v2t
x1 + x2 = 15 · 3 + 10 · 3
x1 + x2 = 45 + 30 = 75 m bulunur.
Cevap A dır.
10.
A
B
yer (yatay)
m
v1 = v
12.
v0
m3 = 3m
1 · 10 · 5 = ∆P
m
∆P = 50 kg s
Cevap D dir.
m1 = m
Esnek çarpışmalarda kütleler eşitse cisimler hızlarını birbirine aktarır. Yani m2 kütleli cismin hızı v
olur ve m1 kütleli cisim durur. Bundan sonra m2 kütleli cisim m3 kütleli cisim ile esnek olmayan çarpışma yaparak, iki kütle yapışık hareket etmeye başlıyor. Buradan;
m2v2 + m3v3 = (m2 + m3) · vort
m · v + 3m · 0 = (m + 3m) · vort
mv = 4m · vort
v
vort =
bulunur.
4
Bir cisme verilen itme ile o cismin momentumundaki değişme birbirine eşittir. Eğik atış hareketinde
sadece düşey bileşende momentum değişimi vardır. Buradan;
İtme = mg · ∆t = ∆P
m2 = m
Cevap B dir.
4
13.
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
15. Patlamadan önceki momentum
patlamadan sonraki momentuma eşittir. Patlamadan sonraki
momentum vektörleri şekildeki
gibidir. Şekil incelenirse
X
Z
m1 = m
Y
m2 = m
yer (yatay)
m1 kütleli cisim m2 kütleli cisme hangi hızla çarptıysa, m2 kütleli cisim aynı hızla harekete geçer.
Böylece cisim aynı yüksekliğe yani Z noktasına
kadar çıkar ve oradan geri döner.
6mv
60°
6mv
60°
P3
P3 = 6m·v olduğu görülür.
m3v3 = 6m·v
2m·v3 = 6m·v ⇒ v3 = 3v bulunur.
Cevap D dir.
Cevap C dir.
Nihat Bilgin Yayıncılık©
16.
M
v
yatay
m2=m
M
v
m1=m
M
yatay
14.
v
yatay
m3=m
1
4
3
1 numaralı bilye 2 numara-
lı bilyeye çarpınca 4 numaralı bilye aynı hızla harekete geçer. Diğer bilyeler sabit
kalır. İşlem bu şekilde
devam eder.
2
Momentumun korumundan her üç sistemin çarpışmadan sonraki hızları eşit olmalıdır. Kinetik enerjileri potansiyel enerjiye dönüşünceye kadar takozlar
yükselir.
1
m · v 2 = m gh
2
v 2 = 2 mgh
4
3
2
1
Cevap E dir.
Takozların hızları eşit olduğundan çıkacakları yükseklikler de eşittir.
Cevap A dır.
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
3.
Test 2’nin Çözümleri
X
Y
h1
1.
su
v1 v2
h2
m 2m
yatay
3
2
1
Cisimlerin patlamadan önceki momentumları sıfır
olduğundan patlamadan sonraki momentumları
da sıfır olmalıdır. Bu nedenle cisimler patlamadan
hemen sonra v1 = 2v, v2 = v hızlarıyla hareket eder.
Cisimlerin başlangıç kinetik enerjileri;
Ek1 =
yatay
2 numaralı tıpadan akan su vagonun hareket doğrultusuna dik olduğu için vagonun hızını değiştirmez.
5
Cevap B dir.
1
m(2v)2 = 2mv2
2
1
2mv2 = mv2
2
olup, büyüklükleri farklı olduğundan X ve Y noktalarındaki potansiyel enerjileri de farklıdır.
Ek2 =
Cevap E dir.
2.
/
/
m
2m
I
h
m
II
h
III
Enerjinin korunumundan h yüksekliklerinden serbest bırakılan üç cismin de çarpışmadan önceki hızları eşit olur. Cisimlerin çarpışmadan önceki
hızları v olsun. Çarpışmadan sonraki ortak hızları
şekilde verildiği gibidir.
v
m
v
m
v
2
2m
2m
h max =
v 20
2g
v
m
v
3
2m
m
h
m
/
/
Nihat Bilgin Yayıncılık©
/
/
m
2m
2v
3
3m
3m
bağıntısıntan;
4.
3v
v
2
h1 =
v
4
h2 =
v2
9
h3 =
4v2
9
m
bulunur. Buna göre h3 > h1 > h2 olur.
Cevap D dir.
3m
Cisimler K ve L noktalarında yalnızca potansiyel enerjiye sahiptir. Bu enerjiler kinetik enerjiye
dönüştüğünde m kütleli cismin hızı, 3m kütleli cismin hızının 3 katı olur. Cisimler çarpışıp yapıştığında hızları sıfır olur. Çünkü çarpışmadan önceki toplam momentum sıfırdır. Çarpışmadan sonraki
momentum da sıfır olmak zorundadır.
Cevap A dır.
6
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
5.
m1
K
m1
m 2 = 3 bulunur.
Cevap D dir.
7.
Y
h1
h2
m2
4h
θ
L
yatay
X
K noktasındaki m1 kütleli cisim başlangıçta m1gh1
potansiyel enerjisine sahiptir. Cisim serbest bırakıldığında tüm enerjisi L noktasında kinetik enerjiye dönüşür. Bu enerjiyi kullanan ortak kütle h2 yüksekliğine kadar çıkabiliyor. h2 nin büyütülmesi için
ortak hızın artması gerekir. Bunun için de tek çare
h1 yüksekliğini artırmaktır.
5h
Z
6.
m2
K
L
Nihat Bilgin Yayıncılık©
Cevap A dır.
Cisim X noktasından Y noktasına çıkarken 3h ve h
yollarını 2t sürede alarak çıkar. Cisim Y noktasından serbest düşme yaparak h, 3h, 5h yollarını 3t
sürede alır.
Bir cisme verilen itme o cisimdeki momentum değişimine eşittir.
D P1 = F · D t 1
D P1 = mg ·2 t
D P2 = m g ·3 t
D P1
DP2
=
2
3
bulunur .
Cevap B dir.
m1
9h
h
yatay
A
Cisimlerin sahip olduğu potansiyel enerjiler kinetik
enerjiye dönüşerek yatay düzleme varırlar. Buna
göre, cisimlerin çarpışmadan önceki hızları;
v1 = v ise v2 = 3v
olur. Esnek çarpışmalarda çarpışan iki cismin ilk
momentumlarının bileşkesi sıfır ise, çarpışmadan
sonra cisimler geldikleri hızlarla geri dönerler. Bu
durumun oluşabilmesi için;
8. Hız-zaman grafiğine göre, m1 kütleli cisim v1= 3
m/s lik hızla durmakta olan m2 kütleli cisme çarpmıştır. Çarpışmadan sonra ortak kütle 1 m/s lik
hızla hareket etmiştir.
v
m2=m
3v
çarpşmadan önce
v
v2=0
m1
m1 = 3m , m2 = m olmalıdır.
m1=3m
v1=3 m/s
m2
çarpşmadan önce
m1
m2
3v
çarpşmadan sonra
P önce = P sonra
m1v1 + m2v2 = (m1+m2) · vort
3m1 = m1+m2
2m1 = m2
vort=1 m/s
m1 m2
çarpşmadan sonra
7
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
m1
1
m2 = 2
Cevap C dir.
bulunur .
Cevap D dir.
9.
11. Yerden, 2mv momentumu ile atılan
2mv
cisim, düzgün yavaşlayarak h yükmv
sekliğinden geçerken iç patlama
sonucu iki parçaya ayrılıyor.
Patlamadan
sonra
parçaların
mv
momentum vektörleri şekildeki gibidir. Yani patlamadan sonra bileşke momentum,
yukarı doğru mv kadardır. Patlamadan hemen
önceki momentum da yukarı doğru mv olmalıdır.
Cismin kütlesi 2m olduğuna göre, h yüksekliğine
v
büyüklüğündeki hızla varmış demektir.
2
v 2 = v 20 – 2 gh
v
( ) 2 = v 2 – 2 gh
2
yazabiliriz. v ile g bilindiğine göre buradan h bulunur.
1
h = vt – gt 2
2
v0
m1
a
m2
vort
x
Cismin atılış hızının yatay bileşeni ortak kütlenin
hareketini sağlar.
Momentumun korunumundan;
P önce = P sonra
m1·v0x = (m1+m2)·vort
m1·v0cosα = (m1+m2)·vort
yazabiliriz. Dikkat edilirse ortak hızın büyüklüğünü
bulmak için x uzaklığı gerekli değildir.
Cevap E dir.
Nihat Bilgin Yayıncılık©
bağıntısındaki h, g, v bilindiğine göre t bulunur.
1
Kinetik enerjiyi veren bağıntı, E k = mv 2 dir.
2
Bağıntıdaki v biliniyor ancak m, sayısal değer olarak bilinmiyor. Bu nedenle h yüksekliğindeki kinetik
enerji bulunmaz.
Cevap D dir.
12.
m1 m2
A
10.
Şekil I
P1
3m
Port
m1, m2 kütleli cisimler t süre sonra A noktasında
çarpışıyorlar. m1 kütlesi cismin A noktasına uzaklığı 3 birim, m2 kütleli cismin A noktasına uzaklığı 1
birimdir. Buna göre;
v1 = 3v, v2 = v
dir. Merkezi esnek çarpışma yapan cisimlerin kütleleri eşit ise, cisimler hızlarını birbirine aktarırlar.
Yani çarpışmadan sonra;
v1ʹ = v, v2ʹ = 3v
olur. Çarpışmadan t süre sonra m1 kütleli cisim 1
birim yol alarak K noktasından, m2 kütleli cismin ise
aynı anda 3 birim yol alarak Z den geçer.
m
2m
P2
m kütleli cismin v 1 hız vektörü ile (m+2m) ortak
kütlenin v ort hız vektörleri Şekil I de verilmiştir.
Çarpışma sonrası v ort hızının büyüklüğü 1 birim
olarak verilmiştir. Bu hızı 3m ile çarptığımızda çarpışma sonrası ortak kütlenin momentumu bulunur.
P 2 vektöründen yararlanarak 2m kütleli cismin çarpışma öncesi hız vektörünün (4) numaralı vektör
olduğunu buluruz.
m1
L
K
m2
A
Şekil II
X
Y
Z
T
8
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
Cevap C dir.
3.
1.
v
I
iskele
Test 3’ün Çözümleri
v
II
3v
53°
m2
5v
4v
2v
III
m1
v1=v
53°
Cismin hız bileşenleri şekildeki gibidir. Düşey bileşenin harekete katkısı yoktur.
Momentumun korunumundan;
P önce = P sonra
Kayık içinde hareket eden adamlar, kayıklara hareket yönüne ters yönde bir itme uygularlar. I ve III numaralı kayıktaki adamlar iskele yönünde koştuklarından kayıklar iskeleden uzaklaşır. v3 > v1 olduğundan x3 > x1 dir.
m1v1 – m2v2x = (m1 + m2)vort
4m·v – m.3v = (5m)·vort
mv = 5m·vort
vort =
1
v
5
II numaralı kayıktaki adam iskeleye ters yönde hareket ettiğinden kayık iskeleye yaklaşır.
O hâlde kayıkların iskeleden uzaklıkları arasında x3
> x1 > x2 bağıntısı vardır.
bulunur.
Yanıt B dir.
Nihat Bilgin Yayıncılık©
Cevap C dir.
F
4.
2. Yatay atış yapan bir cismin yatay eksenindeki hızı
sabit kalır. Düşey eksende ise cisim serbest düşme
yapar.
m
3m
v
v
2m
çarpşmadan önce
1v
3
çarpşmadan sonra
Yatay eksende çarpışmadan önceki ve çarpışmadan sonraki momentum vektörleri şekildeki gibidir.
Cisimler K noktasında çarpıştıklarında bir de aşağı
doğru düşey hızlarının etkisindedir. Bu nedenle
ortak kütle (2) yönünde pike atışı yapar.
Cevap A dır.
m
θ
Fx
yatay
Dx
• İtme I = F · Δt olup ∆t bilinmediğinden cisme
verilen itme bulunmaz.
• ΔEk = W = F . Δx olduğundan cismin kazandığı
kinetik enerjiyi bulabiliriz.
W
bağıntısı ile bulunur. Bağıntıdaki t
t
bilinmediğinden cisme aktarılan güç bulunmaz.
• Güç P =
Yanıt B dir.
İTME VE ÇİZGİSEL MOMENTUM
6.
X
K m
P
Y
m
L
tavan
/
R
3θ θ
X
yatay
/
Y
O
Esnek çarpışmalarda cisimlerin kütleleri eşitse çarpışma sırasında cisimler hızlarını birbirine aktarırlar.
Bu durumda X cismi L noktasına kadar yükselirken, Y cismi P noktasına kadar yükselir.
O
Eşit kütleli cisimler esnek çarpışma yaptıklarında
hızlarını birbirine aktarır. Bu durumda X cismi düşeyle i açısı, Y cismi de düşeyle 3i açısı yapacak şekilde yükselir.
Yanıt C dir.
Yanıt A dır.
Nihat Bilgin Yayıncılık©
5.
9