ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Figen GÜLTÜRK
İNTERPOLASYON VE KALAN TEORİSİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ADANA, 2008
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
İNTERPOLASYON VE KALAN TEORİSİ
Figen GÜLTÜRK
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Bu tez ……./……./…….
İle Kabul Edilmiştir.
Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği
İmza:………………..
İmza:………………..
İmza:………………..
Yrd.Doç.Dr.Yusuf KARAKUŞ
Prof.Dr.Doğan DÖNMEZ
Yrd.Doç.Dr.Mehmet AÇIKGÖZ
DANIŞMAN
ÜYE
ÜYE
Bu tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında Hazırlanmıştır.
Kod No:
Prof.Dr. Aziz ERTUNÇ
Enstitü Müdürü
İmza ve Mühür
Not: Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin ve şekillerin kaynak
gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki hükümlere tabidir.
ÖZ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
İNTERPOLASYON VE KALAN TEORİSİ
Figen GÜLTÜRK
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Danışman : Yrd.Doç.Dr.Yusuf KARAKUŞ
Yıl
: 2008, Sayfa: 68
Jüri : Yrd.Doç.Dr.Yusuf KARAKUŞ
Prof.Dr.Doğan DÖNMEZ
Yrd.Doç.Dr.Mehmet AÇIKGÖZ
Bu çalışmada Lagrange İnterpolasyon Polinomları ve Newton İnterpolasyon
Polinomları incelenmiştir. Ayrıca Kalan Teorisinde bazı sonuçlar elde edilmiştir.
Anahtar Kelimeler: İnterpolasyon, Kalan Teorisi, Chebyshev Polinomları, Lineer
Fonksiyoneller.
I
ABSTRACT
MSc THESIS
INTERPOLATION and REMAINDER THEORY
Figen GÜLTÜRK
DEPARTMENT of MATHEMATICS
INSTITUTE of NATURAL and APPLIED SCIENCES
UNIVERSITY of ÇUKUROVA
Supervisor : Yrd.Doç.Dr.Yusuf KARAKUŞ
Year : 2008, Sayfa: 68
Jury : Yrd.Doç.Dr.Yusuf KARAKUŞ
Assoc.Prof.Dr.Doğan DÖNMEZ
Yrd.Doç.Dr.Mehmet AÇIKGÖZ
In this thesis, Lagrange Interpolation Polynomials and Newton Interpolation
Polynomials were studied. Additionaly, some results were obtained in the Remainder
Theory.
Key Words: Interpolation, Remainder Theory, Chebyshev Polynomials, Linear
Functionals.
II
TEŞEKKÜR
Yüksek Lisans çalışmamda hiçbir özveriden kaçınmadan aydınlatıcı fikirleri
ile bu eserin meydana getirilmesini sağlayan saygıdeğer hocam, Sayın Yrd.Doç.Dr.
Yusuf KARAKUŞ ’a ve ders aşamasından yazım aşamasına kadar geçen sürede her
türlü manevi desteklerinden dolayı sevgili eşim Şeref GÜLTÜRK’e ve anneme
sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
III
İÇİNDEKİLER
SAYFA
ÖZ............ ..................................................................................................................... I
ABSTRACT.................................................................................................................II
TEŞEKKÜR............................................................................................................... III
İÇİNDEKİLER .......................................................................................................... IV
1. GİRİŞ ..................................................................................................................... 1
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER....................................................................... 2
2.1. Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümleri ................................................... 2
2.2. Türevlenebilir (Diferansiyellenebilir) Fonksiyonlar.................................... 4
2.3. Polinomlar ................................................................................................... 6
2.4. Lineer Fonksiyoneller ve Cebirsel Dual (Eşlenik) Uzaylar......................... 7
3. İNTERPOLASYON.............................................................................................. 10
3.1. Polinomlarla İnterpolasyon........................................................................ 10
3.2. Sonlu İnterpolasyonun Genel Problemi..................................................... 12
3.3. İnterpolasyon Özelliğine Sahip Olan Sistemler......................................... 14
3.4. Çözümün Tekliği ....................................................................................... 18
3.5. Lagrange İnterpolasyon Formülü .............................................................. 20
3.6. Newton Formülü........................................................................................ 25
3.7. Ardışık Farklar .......................................................................................... 35
4. KALAN TEORİSİ ................................................................................................ 40
4.1. Polinomlarla İnterpolasyon İçin Cauchy Kalanı........................................ 40
4.2. Konveks Fonksiyonlar ............................................................................... 45
4.3. En İyi Hata Tahminleri; Chebyshev Polinomları....................................... 47
4.4. Kesirli Farklar ve Ortalama Değer ............................................................ 54
4.5. Peano Teoremi ve Sonuçları ...................................................................... 59
KAYNAKLAR........................................................................................................... 67
ÖZGEÇMİŞ ............................................................................................................... 68
IV
1.GİRİŞ
Figen GÜLTÜRK
1.GİRİŞ
Bu
tezde
İnterpolasyon
Kavramı
ve
Kalan
Teorisi
incelenmiştir.
İnterpolasyon genel olarak aşağıdaki gibi tanımlanır.
I aralığında tanımlı ve sürekli bir f ( x ) fonksiyonu verilsin. I nın n+1 tane
farklı noktası x0 , x1 , x2 ,..., xn olsun. Pn , n-inci dereceden polinomlar kümesini
göstersin.
p ( xi ) = f ( xi ) ,
olacak şekilde
bir p ∈ Pn
xi ∈ I
i = 0,1,..., n
polinomu bulma işlemine interpolasyon ve p ( x )
polinomuna da xi noktalarında
f ( x ) için interpolasyon polinomu denir. xi ,
i = 0,1,..., n noktalarına ise, interpolasyon düğümleri adı verilir.
Bu çalışmada İnterpolasyonla ilgili teoremler, sonuçlar ve ilgili örnekler
verildikten sonra kalan teorisi ele alınmıştır.
Polinomlarla İnterpolasyon İçin Cauchy Kalanı, Lineer İnterpolasyon İçin
Hata ve En İyi Hata Tahminleri ile Chebyshev Polinomları konuları incelenmiş ve
örnekler sunulmuştur.
1
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Figen GÜLTÜRK
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
2.1 Lineer Denklem Sistemlerinin Çözümleri
x0 , x1 , . . . , xn n tane bilinmeyen olmak üzere,
n
∑a x
j =1
ij
j
= bi
i=1,2, … ,n
(2.1.1)
olacak şekilde n tane lineer denklemden oluşan lineer denklem sistemini gözönüne
alalım.
Teorem 2.1.1 (Cramer Kuralı) : Eğer A = aij ≠ 0 ise (2.1.1) sistemi
n
xr =
∑A b
*
ir i
i =1
r = 1,2, . . . , n
A
(2.1.2)
ile verilen tek bir çözüme sahiptir.
Teorem 2.1.2 (Alternatif Teorem) : Eğer Teorem (2.1.1) ’de bi=0
(i=1,2,…,n) ise elde edilen
n
∑a x
j =1
ij
j
=0
i=1,2,…,n
(2.1.3)
sistemine homojen denklem sistemi denir.
Bu
sistemin
trivial
olmayan
bir
çözüme
sahip
olması
için
( x1 = x2 = ... = xn = 0 ’dan başka bir çözüme sahip olması için ) ⇔ A = 0 olmasıdır.
()
Eğer belirli bir A = aij
matrisi ve bi ’lerin her seçimi için homojen
olmayan (2.1.1) sisteminin çözümleri varsa o zaman A ≠ 0 ve homojen denklem
sistemi trivial çözüme sahiptir.
Tanım 2.1.1 : X bir F cismi üzerine bir vektör uzayı olsun.
α1 x1 + α 2 x2 + ... + α n xn ; α i ∈ F , xi ∈ X
toplamı xi ’lerin bir lineer kombinasyonu olarak adlandırılır.
Tanım 2.1.2 : x1 , x2 ,..., xn ∈ X vektörleri verilsin. Eğer
α1 x1 + α 2 x2 + ... + α n xn =0
(*)
2
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Figen GÜLTÜRK
olacak biçimde hepsi birden sıfır olmayan α1 , α 2 ,..., α n sabitleri bulunabilirse o
zaman x1 , x2 ,..., xn vektörlerinin sonlu kümesi lineer bağımlıdır denir.
Buna karşılık (*) eşitliği ancak ve ancak
α1 = α 2 = ... = α n = 0
için sağlanıyorsa o zaman x1 , x2 ,..., xn vektörleri lineer bağımsızdır denir.
Tanım 2.1.3 : n ≥ 0 ve X bir vektör uzayı olsun. X ’deki her n+1 vektör
lineer bağımlı ve X ’de lineer bağımsız n tane vektör bulunabiliyorsa X ’e
n
boyutlu vektör uzayı denir. Eğer böyle bir sonlu n sayısı bulunamıyorsa X ’e
sonsuz boyutlu denir.
Tanım 2.1.4 : Her x ∈ X vektörü xi ’ lerin tek türlü lineer kombinasyonu
olarak yazılabiliyorsa x1 , x2 ,... elemanlarının kümesi X ’ in bir bazıdır denir.
Teorem 2.1.3 : X vektör uzayının sonlu boyutlu olması için ⇔ bir n ≥ 0
için n elemanlı bir baza sahip olmasıdır.
Örnek 2.1.1 ( Rn Uzayı) : X=( x1 , x2 ,..., xn )
gerçel sayı n-lilerinin
oluşturduğu n boyutlu vektör uzayına gerçel n-boyutlu kartezyen uzay denir ve
Rn ile gösterilir.
y = ( y1 , y2 ,..., yn )
Bu uzayda x = ( x1 , x2 ,..., xn ) ,
n-lisini göz önüne
alalım. Vektör toplamı ve skalerle çarpma,
x + y = ( x1 + y1 ,..., xn + yn )
α x = (α x1 ,..., α xn )
şeklindedir.
Bu uzayda e1 = (1, 0,..., 0) , e2 = (0,1,..., 0) , … , en = (0, 0,...,1) vektörleri
birim vektörlerdir ve lineer bağımsızdır. Bu vektörlerin oluşturduğu baza standart
baz denir.
Örnek 2.1.2 ( Cn Uzayı) : ( z1 , z2 ,..., zn )
kompleks
sayı
n-lilerinin
oluşturduğu n boyutlu vektör uzayına kompleks n-boyutlu kartezyen uzay denir ve
Cn ile gösterilir. Vektör toplamı, skalerle çarpma ve birim vektör Örnek 2.1.1 ’deki
gibidir.
3
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Figen GÜLTÜRK
Örnek 2.1.3 (T Fonksiyonlar Uzayı) : S ⊂ R olmak üzere tanım kümeleri bu
S kümesi olan bütün gerçel değerli fonksiyonların oluşturduğu uzay T ile gösterilir.
Bu uzayda f , g ∈T için toplama ve skalerle çarpma aşağıda olduğu gibi
tanımlanır.
( f + g)(x) = f (x) + g(x),
x∈S
(2.1.4)
(α f )( x) = α f ( x),
x∈S
(2.1.5)
Bu uzayda 0 vektörü 0(x) = 0 olan sıfır sabit fonksiyonudur. Ayrıca − f
fonksiyonu ,
(− f )(x) = − f (x),
x∈S
(2.1.6)
şeklinde tanımlanan fonksiyonu gösterir. Bu tanımlarla T bir lineer vektör uzayıdır.
Eğer S sonlu sayıda noktadan daha çoğunu içeriyorsa T sonsuz boyutludur.
2.2 Türevlenebilir (Diferansiyellenebilir) Fonksiyonlar
Tanım 2.2.1 : f (x) , I aralığında tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer
( ) ( )= f
f x − f x0
lim
x − x0
x→ x0
'
(x )
(2.2.1)
0
limiti mevcutsa f (x) ’e bir x0 ∈I noktasında türevlenebilir (diferansiyellenebilir)
denir.
Eğer x0 , I ’nın uç noktasıysa o zaman (2.2.1) ’deki limit uygun olan tek yanlı
limitle ifade edilir.
lim+
( ) ( )= f
f x − f x0
x − x0
x→ x0
Eğer
'
(x ) ,
+
0
lim−
( ) ( )= f
f x − f x0
x − x0
x→ x0
⎧x
Örnek 2.2.1 : A x = x = ⎨
⎩−x
x≥0
()
x →0
(x )
−
0
f (x) , I ’nın her noktasında türevlenebilirse o zaman
türevlenebilirdir.
lim+
'
x<0
verilsin.
A ( x ) − A (0)
x−0
= lim+
= lim+ 1 = 1 ,
x →0 x − 0
x →0
x−0
4
f (x)
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
lim−
x →0
Figen GÜLTÜRK
A ( x ) − A (0)
−x − 0
= lim−
= lim (−1) = −1
x →0
x−0
x − 0 x → 0−
()
dir. 1 ≠ −1 olduğundan A x fonksiyonu x = 0 da türeve sahip değildir. Diğer her
noktada türevlidir.
Eğer
f , I nın her noktasında türevlenebiliyorsa
özelliklere sahiptir. Örneğin ⎡⎣ a,b ⎤⎦ üzerinde
()
f' x
()
f' x
türevi çeşitli
türevinin I üzerinde sürekli
olması önemli bir özelliktir.
⎡⎣ a,b ⎤⎦ üzerinde sürekli fonksiyonların kümesi C ⎡⎣ a,b ⎤⎦ ile gösterilir.Buna
karşılık ⎡⎣ a,b ⎤⎦ üzerinde sürekli türevlere sahip fonksiyonların kümesi ise C 1 ⎡⎣ a,b ⎤⎦
ile gösterilir.
()
()
Bir f fonksiyonu verildiğinde eğer f ' x türevi sürekli ise f x ∈C 1 ⎡⎣ a,b ⎤⎦
dir. Başka bir ifade ile ;
()
()
f x ∈C 1 ⎡⎣ a,b ⎤⎦ ⇔ f ' x ⎡⎣ a,b ⎤⎦ aralığında süreklidir.
()
f (x )∈C
Tanım 2.2.2:Eğer f x , ⎡⎣ a,b ⎤⎦ üzerinde n defa türevlenebilirse ve f ( n ) ( x )
⎡⎣ a,b ⎤⎦ üzerinde sürekli ise
n
⎡⎣ a, b⎤⎦ dir.Yani ;
()
f x ∈C n ⎡⎣ a,b ⎤⎦ ⇔ f ( n ) ( x ) süreklidir.
()
Tanım 2.2.3: Eğer f x ∈C n ⎡⎣ a,b ⎤⎦ , n = 0,1, 2,...
(C 0 [ a, b ] = C [ a, b ] dir.)
Yani n sonlu değilse o zaman f , [ a, b ] üzerinde sonsuz türevlenebilir denir.
Bu uzay C ∞ ⎡⎣ a,b ⎤⎦ ile gösterilir.
()
f x ∈C ∞ ⎡⎣ a,b ⎤⎦ ⇔ f , sonsuz türevlenebilir. Örneğin
()
f x = x 2 ,−∞ < x < ∞
fonksiyonu sonsuz türevlenebilir.Gerçekten ;
()
()
f ' x = 2x, f '' x = 2,
()
f ''' x = 0 , f ıv ( x ) = f v ( x ) = ... = f ( n ) ( x ) = ... =0
dır.
Teorem 2.2.1(Genelleştirilmiş Rolle Teoremi): n≥2 olsun. f ∈C [a,b ] ve
f ( n –1) (x) fonksiyonları (a,b) ’nin her noktasında var olsun.
5
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Figen GÜLTÜRK
a ≤ x1 < . . . < xn ≤ b için f(x1) = f(x2) = . . . = f(xn) = 0 olsun. O zaman
f ( n –1) (ξ ) = 0 olacak şekilde x1 < ξ < xn koşuluna uygun bir
ξ
noktası vardır.
Teorem 2.2.2 : f (x) ∈C n +1[a,b] ve x0 ∈[a,b] olsun. O zaman her a ≤ x ≤ b
için
f ıı ( x0 )
f ( x) = f ( x0 ) + f ( x0 )( x – x0 ) +
( x – x0 ) 2 + . ..
2!
x
(n)
f ( x0 )
1
.. . +
( x – x0 ) n + ∫ f ( n +1) (t )( x – t ) n dt
n!
n ! x0
ı
dir.
2.3 Polinomlar
Tanım 2.3.1 : pn ( z ) = a0 z n + a1 z n −1 + ... + an
a0 ≠ 0
n≥0
(2.3.1)
ifadesi n -inci dereceden bir polinom belirtir. Derecesi ≤ n olan polinomlar ℘n ile
gösterilir. Polinomların katsayılarının gerçel ya da kompleks olmasına göre ayırt
edilir. ℘n bir lineer uzaydır.
Teorem 2.3.1 (Cebirin Temel Teoremi):Derecesi n ≥ 1 olan n-inci
dereceden bir polinom bir kompleks köke sahiptir.
()
Teorem 2.3.2 (Çarpanlara Ayırma Teoremi):Eğer pn z n-inci dereceden
bir polinomsa
pn ( z ) = a0 z n + a1 z n −1 + ... + an ≡ a0 ( z − z1 )( z − z2 ) ... ( z − zn )
( a0 ≠ 0 )
olacak şekilde n tane z1 , z2 ,..., zn kompleks sayısı bulunabilir.
zi değerleri farklı olmayabilir. Eğer n kompleks sayıdan r tanesi (r ≤ n)
z1 , z2 , ..., zr
farklı ise α1 + α 2 + ... + α r = n şartını sağlayan α1 , α 2 ,..., α r pozitif
tamsayılarını kullanarak
()
pn z = a0 ( z − z1 )
α1
( z − z2 )
α2
... ( z − zr )
αr
(2.3.2)
yazılabilir.
α i tek olarak belirlenir ve bu α i ’ler zi ’lerin kaç katlı olduğunu gösterir.
6
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
pn ( zi ) = pn ' ( zi ) = ... = pn (
Figen GÜLTÜRK
α i −1)
pn( i ) ≠ 0
( zi ) = 0
α
(2.3.3)
dır. Karşıt olarak bu türev koşulu (2.3.2) ’yi gerekli kılar.
()
f z ∈℘n ve f polinomu n farklı noktadan
Teorem 2.3.3(Teklik) : Eğer
daha çok noktada sıfır oluyorsa bu polinom özdeş olarak sıfırdır.
İspat: f ’nin derecesi k ve k ≤ n olsun. Teorem 2.3.2 ’den
()
f z = a0 ( z − z1 ) ... ( z − zk )
()
dır. Hipotezden f z ∗ = 0 olacak şekilde z ∗ ≠ z1 , z2 ,..., zk bulunabilir. O zaman
0 = a0 ( z ∗ − z1 ) ... ( z ∗ − zk ) öyle ki a0 = 0 dır. Böylece
()
f z ≡ 0 ’dır.
2.4 Lineer Fonksiyoneller ve Cebirsel Dual (Eşlenik) Uzaylar
Tanım 2.4.1 : X bir lineer vektör uzayı olsun. Bu uzayda kompleks ya da
()
gerçel sayılarla tanımlı bir fonksiyon L olsun. Her x ∈ X için L x tek olarak
belirlidir. Eğer her x, y ∈ X ve her gerçel (veya kompleks) α , β için
(
)
()
()
L αx + β y = αL x + βL y
ise o zaman L ’ye X üzerinde bir lineer fonksiyonel denir.
( ) fonksiyonlarıdır.
Örnek 2.4.1 : X = C ⎡⎣ a, b ⎤⎦ olsun. X ’in elemanları f x
b
( ) ∫ ()
L f =
f x dx
veya
()
b
()
L f = ∫ x 2 f x dx
a
a
birer lineer fonksiyoneldir.
Örnek 2.4.2 : X = Rn olsun. x =( x1 , x2 ,..., xn ) ve a1 ,..., an sabit sayılar
olsunlar.
()
n
L x = ∑ ai f ( xi )
i =1
bir lineer fonksiyoneldir.
Tanım 2.4.2 : X bir lineer uzay ve L1 ve L2 , X üzerinde tanımlı iki lineer
fonksiyonel olsun. L1 ve L2 ’nin toplamı ve α ile L1 ’in skaler çarpımı ,
7
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Figen GÜLTÜRK
(a )(L + L )(x )= L (x )+ L (x ), x ∈ X
(2.4.2)
(b)(α L )(x )= α L (x )
şeklinde gösterilir. (a ) ve (b) özellikleriyle tüm lineer fonksiyonellerin uzayı da bir
1
2
1
1
2
1
lineer uzaydır.
()
()
Tanım 2.4.3 : X bir lineer uzay olsun. X üzerinde a ve b kurallarının
tanımlı olduğu lineer fonksiyonellerin kümesi bir lineer uzay oluşturur ve bu uzay
X ∗ ile gösterilir. X ∗ ’a X ’in cebirsel dual (eşleniği) uzayı denir.
Örnek 2.4.3: X = C ⎡⎣ a,b ⎤⎦ , x1 , x2 ,..., xn
() ( )
ve f ∈ X için Lk f = f xk
⎡⎣ a,b ⎤⎦ aralığındaki n farklı nokta
olsun. O zaman X ∗ ’da L1 , L2 ,..., Ln ’ler lineer
bağımsızdır. Aksi takdirde hepsi birden sıfır olmayan a1 ,..., an sabitleri için
a1 L1 + a2 L2 + ... + an Ln = 0 dır. Böylece her f ∈ C ⎡⎣ a,b ⎤⎦ için
(a1 L1 + a2 L2 + ... + an Ln ) ( f ) = 0 ( f )
a1 f ( x1 ) + a2 f ( x2 ) + ... + an f ( xn ) = 0
dır. Bu imkansızdır. Eğer ak ≠ 0 ise
f
(x ) = 1 , f (x ) = 0 ,
k
i
i≠k
Buradan ak = 0 çelişkisine varılır.
Teorem 2.4.1 : Eğer X n boyutlu ise X ∗ da n boyutludur.
İspat: x1 , x2 ,..., xn X için bir baz olsun. O zaman herhangi x ∈ X için
x = a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn
tek türlü yazılır. Bu yüzden
L ( x ) = a1 L ( x1 ) + ... + an L ( xn )
dir. Herhangi x ∈ X kümesi için
L1 ( x ) = a1
L2 ( x ) = a2
(2.4.3)
#
Ln ( x ) = an
8
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Figen GÜLTÜRK
olarak tanımlayalım. L i ’ ler X üzerinde tanımlı lineer fonksiyonellerdir ve lineer
bağımsızdırlar.
β1 L1 + β 2 L2 + ... + β n Ln = 0
olsun. O zaman
β1 L1 ( x j ) + β 2 L2 ( x j ) + ... + β j L j ( x j ) + ... + β n Ln ( x j ) = 0 ( x j ) = 0
⎧1
dır. Fakat Li ( x j ) = δ ij = ⎨
⎩0
i= j
i≠ j
()
dir. Çünkü L j x j = 1 olur ve
β j L j ( x j ) = β j 1 = β j ⇒ 0 + 0 + ... + β j 1 + 0 + ... + 0 = 0 ⇒ β j = 0
dır. Böylece L1 , L2 ,..., Ln ’ler lineer bağımsızdırlar.
Böylece X ∗ uzayı en azından n boyutludur denir. Şimdi biz bunun en çok n
boyutlu olduğunu gösterelim.
n+1 fonksiyonel düşünelim. Bunlar L1 , L2 ,..., Ln +1 olsun.
⎡⎣ Li ( x1 ) , Li ( x2 ) ,..., Li ( xn ) ⎤⎦
i = 1, 2,..., n + 1
biçimindeki n+1 tane n-lileri göz önüne alalım.
Rn (veya Cn ) n boyutlu olduğundan bu n-liler lineer bağımsız olamaz.
Böylece
α1 ⎡⎣ L1 ( x1 ) ,..., L1 ( xn ) ⎤⎦ + α 2 ⎡⎣ L2 ( x1 ) ,..., L2 ( xn ) ⎤⎦ + ... + α n +1 ⎡⎣ Ln +1 ( x1 ) ,..., Ln +1 ( xn ) ⎤⎦ = 0
olacak şekilde hepsi birden sıfır olmayan α1 , α 2 ,..., α n +1 sayıları bulunabilir.
Bundan dolayı
(α1L1 + ... + α n+1Ln +1 )( xi ) = 0
i = 1, 2,..., n
için bu lineer kombinasyonlar ayrı ayrı x1 , x2 ,..., xn için yazılır ve alt alta toplanırsa
ve lineerlik özelliği de kullanılarak düzenleme sonucu
x = α1 x1 + ... + α n xn
olduğundan (α1 L1 + ... + α n +1 Ln +1 )( x ) = 0
x ∈ X ’dir.
Bu yüzden L1 ,..., Ln +1 lineer bağımlı olur ve X ∗ ’ın boyutu en fazla n olur.
Böylece X ∗ n boyutlu bir uzaydır.
9
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
3. İNTERPOLASYON
3.1. Polinomlarla İnterpolasyon
Teorem 3.1.1: n + 1 tane zo , z1 , . . . , zn (gerçel veya kompleks) farklı noktaları
ve n + 1 tane w0 , w1 , . . . ,wn (gerçel veya kompleks) değerleri verilsin. ℘n n- inci
dereceden polinomlar kümesini göstersin.
pn ( zi ) = wi
i = 0,1, 2, . . ., n
(3.1.1)
olacak şekilde bir tek pn ( z ) ∈℘n polinomu vardır.
İspat : n + 1 tane a0 , a1 , . . . , an katsayılı
pn ( z ) = a0 + a1 z + . . . + an z n
polinomunu göz önüne alalım.
(3.1.1) ’in koşullarını sağlayan n + 1 tane ai bilinmeyenlerini içeren ve n + 1
tane lineer denklemden oluşan ve kısaca
a0 + a1 zi + . . . + an zin = wi
i = 0,1, . . ., n
(3.1.2)
şeklinde gösterilen lineer denklem sistemi verilsin. Bu sistemin açık şekli;
a0 + a1 z0 + . . . + an z0n = w0
a0 + a1 z1 + . . . + an z1n = w1
a0 + a1 zn + . . . + an znn = wn
dir.
Bu
sistemin
katsayılar
determinantı
zo , z1 , . . . , zn
’den
oluşan
V (zo , z1 , . . . , zn ) şeklinde gösterilen Vandermonde determinantıdır. O halde
V ( zo , z1 , . . . , zn ) =
1 z0
1 z1
z02
z12
z0n
z1n
1 zn
zn2
znn
(3.1.3)
dir.
V ’nin değerini bulmak için aşağıdaki fonksiyonu göz önüne alalım.
10
ve
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
1
V ( z ) = V ( zo , z1 , . . . , zn –1 , z ) =
z0n
z0
1 zn –1
1 z
(3.1.4)
znn–1
zn
V (z) ∈℘n ’dir. Çünkü (3.1.4) determinantını son satıra göre açarsak:
1
z0n
z0
V ( z ) = (–1) n + 2 .1.
z02
1
z0n
+ (–1) n +3 .z.
znn–1
1 zn –1
olduğundan determinantlar bir sayı olacaktır ve sağ taraf z ’ye göre n-inci dereceden
a0 + a1z + . . . + an z n şeklinde bir polinom olur. Öte yandan zo , z1 , . . . , zn –1 sayıları için
bu fonksiyon sıfır olur. Yani bu sayılar V (z) ’nin kökleridir. Gerçekten (3.1.4)
determinantının iki satırı aynı olduğundan determinantın değeri 0 olur. Böylece
V ( zo , z1 , . . . , zn –1 , z ) = A( z – z0 )( z – z1 ) . . . ( z – zn –1 )
yazılır ve burada A yalnızca
(3.1.5)
zo , z1 , . . . , zn –1 sayılarına bağlıdır. A ’nın değerini
belirlemek için (3.1.4) ’teki determinantı son satırın minörüne göre açarsak z n ’in
katsayısının V (zo , z1 , . . . , zn –1 ) olduğunu görürüz.
V ( zo , z1 , . . . , zn –1 , z ) = V ( zo , z1 , . . . , zn –1 )( z – z0 )( z – z1 ) . . . ( z – zn –1 )
(3.1.6)
dir. z yerine zn alırsak:
V ( zo , z1 , . . . , zn –1 , zn ) = V ( zo , z1 , . . . , zn –1 )( zn – z0 )( zn – z1 ) . . . ( zn – zn –1 )
dir. n = 1 için
i = 0,1
V (zo , z1 ) =
1 z0
= z1 – z0
1 z1
dır.
n = 2 için
z0n −1
+ . . . + (–1) 2 n + 2 .z n .
1 znn–1
znn–1
zn –1
z0
i= 0,1,2 (3.1.7) ’den
⎛ 1 z0
⎜
V ( zo , z1 , z2 ) = V ( z0 , z1 )( z2 – z0 )( z2 – z1 ) ⎜ = 1 z1
⎜ 1 z
2
⎝
= (z1 – z0 )(z2 – z0 )(z2 – z1 )
11
z02
z12
z22
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
(3.1.7)
znn––11
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
⎛ i = 1, 2 ⎞
⎜⎝ j = 0,1⎟⎠
2
= ∏ (zi – z j )
i> j
dir.
n = n için (3.1.7) ’den
⎛ i = 1,. . . , n ⎞
V (z0 , . . ., zn –1 , zn ) = ∏ (zi – z j ) ⎜
⎝ j = 0, . . ., n – 1⎟⎠
i> j
n
(3.1.8)
dir.
n= k için aşağıdakini doğru kabul edelim.
k
V (z0 , . . ., zk –1 , zk ) = ∏ (zi – z j )
i> j
n= k + 1 için doğru olduğunu gösterelim.
V ( z0 , . . ., zk , zk +1 ) = V ( z0 , . . ., zk –1 , zk )( zk +1 – z0 ) . . . ( zk +1 – zk )
k
=
∏ (z
i> j
i
– z j )(zk +1 – z0 ) . . . (zk +1 – zk )
k +1
=
∏ (z
i> j
i
– zj )
bulunur.
Hipotezden z0 , z1 , . . ., zn
n + 1 tane farklı nokta olduklarından V ≠ 0 ’dır.
(Determinantın bütün satırları birbirinden farklı olduklarından V ≠ 0 ’dır.) Böylece
katsayılar determinantı 0 ’dan farklı olan (3.1.2) sistemi tek çözüme sahiptir.
3.2. Sonlu İnterpolasyonun Genel Problemi
Teorem 3.1.1 ’de n + 1 değeri esas alarak ℘n ’in elemanı olan bir polinomu
yeniden kurduk. n+1 değerle lineerliği nasıl bağdaştırabiliriz. Bunu polinomlar
dışında fonksiyonlar için de yapabilir miyiz? Bu sorular bizi aşağıdaki genel
probleme götürür.
X , n boyutlu bir vektör uzay ve L1 , L2 , . . . , Ln X üzerinde tanımlı n tane
lineer fonksiyonel olsun. w1 , w2 , . . . ,wn değerler kümesi için,
12
3.İNTERPOLASYON
Li (x) = wi
Figen GÜLTÜRK
i = 1, 2, . . . , n
(3.2.1)
olacak şekilde bir x ∈ X bulabilir miyiz? Li , X* ’da lineer bağımsızsa cevap evettir.
Yardımcı Teoremi 3.2.1: X n boyutlu bir vektör uzay olsun. Eğer
x1 , x2 , . . . , xn ’ler X ’de lineer bağımsızsa ve L1 , L2 , . . . , Ln ’ ler X* ’da lineer
bağımsızsa o zaman
Li (x j ) ≠ 0
(3.2.2)
dır.
Karşıt olarak eğer x1 , x2 , . . . , xn veya L1 , L2 , . . . , Ln gruplarından biri lineer
bağımsız ve (3.2.2) sağlanıyorsa diğer grup da lineer bağımsızdır.
Teorem 3.2.2 : X n boyutlu bir vektör uzayı olsun ve L1 , L2 , . . . , Ln X* ’ın n
tane elemanı olsun. (3.2.1) interpolasyon polinomunun keyfi w1 , w2 , . . . ,wn
değerlerine karşılık bir çözüme sahip olması için gerek ve yeter şart Li , i= 1, 2, ... , n
fonksiyonellerinin X* içinde lineer bağımsız olmasıdır. Çözüm tektir.
İspat (⇐ ): Eğer L1 , L2 , . . . , Ln ’ ler X* ’da lineer bağımsızsa ve x1 , x2 , . . . , xn ’
ler X ’de lineer bağımsızsa o zaman Yardımcı Teorem 3.2.1 ’den Li (x j ) ≠ 0 dır.
Böylece
Li (a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn ) = wi
i = 1, 2, . . . , n
veya
a1 Li (x1 ) + a2 Li (x2 ) + . . . + an Li (xn ) = wi
(3.2.3)
n
sistemi a1 , . . . ,an çözümüne sahiptir. Ve
∑a x
i i
elemanı interpolasyon probleminin
i =1
çözümüdür.
(⇒): Eğer (3.2.1) problemi keyfi wi ’ ler için bir çözüme sahipse, o zaman
(3.2.3) sistemi keyfi wi ’ ler için bir çözüme sahiptir. Teorem 2.1.2
Li (x j ) ≠ 0
olduğunu gösterir ve Yardımcı Teorem 3.2.1 ’den Li ’ler lineer bağımsızdır.
Li (x j ) determinantı genelleştirilmiş Gram determinantıdır. Bunun sıfır
olmayışı
ile
interpolasyon
probleminin
çözümünün
olması
eşdeğerdir.
Fonksiyonellerin lineer bağımsızlık özelliğini interpolasyon özelliği olarak
13
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
söyleyebiliriz.
Örnek 3.2.1: X,
[–1,1] aralığında tanımlı a0 + a2 x 2
formundaki
fonksiyonların kümesini göstersin. X ’in boyutu 2 ’dir. Çünkü bu uzay 1 ve x 2
fonksiyonlarının lineer kombinasyonlarının kümesidir. Eğer –1 ≤ x1 , x2 ≤ 1
için
L1 ( f ) = f (x1 ) ve L2 ( f ) = f (x2 ) ise lineer bağımsız 1 ve x 2 elemanları için
genelleştirilmiş gram determinantı
1 x12
= (x2 – x1 )(x2 + x1 )
1 x22
dir.
3.3. İnterpolasyon Özelliğine Sahip Olan Sistemler
Örnek 3.3.1 (Farklı Noktalarda İnterpolasyon) :
X =℘n ,
Burada zi ≠ z j ,
L0 ( f ) = f (z0 ),
L1 ( f ) = f (z1 ), . . . , Ln ( f ) = f (zn )
(i ≠ j için) dir. Ek olarak;
Taylor interpolasyonu:
X =℘n ,
L0 ( f ) = f (z0 ),
L1 ( f ) = f ı ( z0 ), . . . , Ln ( f ) = f (n) (z0 )
şeklinde tanımlanır.
Bu örnek Teorem 3.1.1 ile aynıdır. Çünkü Teorem 3.1.1 ‘‘ z0 , z1 , . . . , zn gibi
n+1 tane farklı nokta ve w0 , w1 , . . . , wn değerleri için
pn (zi ) = wi
i = 0,1, 2, . . . , n
(3.1.1)
olacak şekilde bir tek pn ( z ) ∈℘n polinomu vardır’’ ifadesine sahiptir. Öte yandan X
n boyutlu bir vektör uzayı ve L1 , L2 , . . . , Ln X üzerinde n tane lineer fonksiyonel ve
w1 , w2 , . . . ,wn değerleri olmak üzere eğer Li ’ler lineer bağımsız ise
Li (x) = wi
i = 1, 2, . . . , n
(3.2.1)
olacak şekilde bir x∈ X vardır.
Önce x ile f aynıdır. Öte yandan Örnek (3.3.1) ’de fonksiyoneller
L0 , L1 , . . . , Ln olmak üzere n+1 tanedir. X =℘n uzayını aldığımızdan ilk anlatımda
14
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
x ve f , ℘n = X ’in elemanını ifade ederler. Böylece
f ( z) = pn (z) = a0 + a1z + a2 z 2 + . . . + an z n
f ( zi ) = pn ( zi ) = a0 + a1 zi + a2 zi2 + . . . + an zin = wi
i = 0,1, 2, . . . , n
(3.1.2)
Li ( f ) = f ( zi ) = pn ( zi ) = a0 + a1 zi + a2 zi2 + . . . + an zin = wi
L0 ( f ) = f (z0 ) = pn (z0 ) = w0
L1 ( f ) = f (z1 ) = pn (z1 ) = w1
Ln ( f ) = f ( zn ) = pn ( zn ) = wn
dir.
Örnek 3.3.2 ( Hermite İnterpolasyonu) :
X = ℘N , indekslemedeki zorlukları önlemek için, fonksiyonel informasyonu L
sembolünü kullanmadan listeledik.
Eğer p ∈℘N ise, ve
p(z0 ) = 0 ,
p ı ( z0 ) = 0 , . . . , p m0 (z0 ) = 0
p(z1 ) = 0 ,
p ı ( z1 ) = 0 , . . . , p m1 (z1 ) = 0
p(zn ) = 0 ,
p ı ( zn ) = 0 , . . . , p mn ( zn ) = 0
şartları sağlanırsa ve N = m0 + m1 + . . . + mn + n olmak üzere
(3.3.1)
p ≡ 0 olduğunu
göstereceğiz. Çarpanlara ayırma teoreminden p, (3.3.1) ’in sonuncusu dışında yani
p mn ( zn ) = 0 dışında diğerlerini sağlarsa
p( z ) = A( z )( z – z0 ) m0 +1 ( z – z1 ) m1 +1 . . . ( z – zn –1 ) mn–1 +1 ( z – zn ) mn
(*)
dir.
(*) ’daki p(z ) ’ nin derecesini incelersek;
der [ p(z)] = m0 + 1 + m1 + 1 + . . . + mn –1 + 1 + mn
=
m0 + m1 + . . . + mn + n = N
dir. O halde A = A(z) sabittir.
p(z) polinomu için mn -inci mertebeden türev alındığında ve bu türevde z
yerine zn konulduğunda (3.3.1) ’in son koşulundan dolayı sonuçta
15
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
p ( mn ) ( zn ) = A(mn )!( zn – z0 ) m 0 +1 . . . ( zn – zn –1 ) mn–1 +1 = 0
olur ve ayrıca zi ≠ z j olduğundan burada A = 0 bulunur. Dolayısıyla p ≡ 0 bulunur.
Homojen interpolasyon problemi yani p ( zi ) = 0 i = 0,1,. . . , n yalnızca 0
çözümüne sahiptir. Yani katsayılar determinantı 0 ’dan farklıdır. Teorem (3.2.1)
’deki gibi homojen olmayan denklemin de tek çözümü vardır.
Örnek 3.3.3 (Trigonometrik İnterpolasyon) :
1, cos x, . . . , cos nx,sin x,sin 2 x, . . . ,sin nx ’in lineer kombinasyonu derecesi n
’den küçük olan trigonometrik polinom olarak bilinir.
Karşılık gelen lineer uzay τ n ile gösterilir. Boyutu 2n+1 ’dir.
kombinasyon τ n (x) ile gösterilirse ,
τ n ( x) = A0 + A1cosx + B1 sin x + . . . + An cos nx + Bn sin nx
ile yazılır. Tn ∈τ n dir.
X = τ n L0 ( f ) = f (x0 ) , L1 ( f ) = f (x1 ), . . . , L2 n ( f ) = f (x2 n )
–π ≤ x0 < x1 < . . . < x2 n < π
dir.
f0 (x) = 1, f1 (x) = cos x, f2 (x) = sin x, . . . , f2 n –1 (x) = cos nx, f2 n (x) = sin nx
Sistemin determinantı:
G=
L0 ( f 0 )
L0 ( f1 )
L0 ( f 2 n )
L1 ( f 0 )
L1 ( f1 )
L1 ( f 2 n )
L2 n ( f 0 ) L2 n ( f1 )
L2 n ( f 2 n )
dir.
L0 ( f0 ) = 1
L1 ( f 0 ) = f 0 ( x1 ) = 1
L2 n ( f 0 ) = f 0 ( x2 n ) = 1
16
Bu
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
L0 ( f1 ) = f1 ( x0 ) = cos x0
L1 ( f1 ) = f1 ( x1 ) = cos x1
L2 n ( f1 ) = f1 ( x2 n ) = cos x2 n
dir. Bu şekilde diğer sütunlar bulunur.
G=
1
cos x0
sin x0
cos 2 x0
sin 2 x0
cos nx0
sin nx0
1
cos x1
sin x1
cos 2 x1
sin 2 x1
cos nx1
sin nx1
1 cos x2 n
sin x2 n
cos 2 x2 n
sin 2 x2 n
cos nx2 n
sin nx2 n
(3.3.2)
G ’yi hesaplamak için elemanları kompleks forma dönüştürelim. 3. ve 5. ... (tek
sütunları ) i ile çarpıp sırasıyla 2. ve 4. ... (çift sütunlara) sütunlara ekleyelim. Bu
durumda
G=1 e
ix j
sin x j
e
2 ix j
sin 2 x j
... e
nix j
sin nx j
j = 0,1, 2,..., 2n
elde edilir.
3. ve 5. … sütunları –2i ile çarpıp onlara 2. ve 4. ... sütunlar eklenirse,
(–2i) n .G = 1 e
ix j
e
– ix j
e
2 ix j
e
–2 ix j
... e
nix j
e
– nix j
j = 0,1, 2, . . ., 2n
elde edilir.
Böylece kalanlar kendi arasında yer değiştirirse;
(–1) n ( n +1) .(–2i )n .G = e
olur. Şimdi j. satırı e
nix j
– nix j
e
–( n –1) ix j
1
e
( n –1) ix j
e
nix j
ile çarparsak j = 0,1, . . . ,2n
eni ( x0 + x1 + ... + x2 n ) .(−1) n ( n +1) .(–2i ) n .G = 1 e
ix j
e
2 ix j
e
2 nix j
olur. Son determinant Vandermonde determinantıdır. (3.1.8) ’den
2n
(
eni ( x0 + x1 + ... + x2 n ) .(−1) n ( n +1) .(–2i ) n .G = ∏ e j – eixk
j >k
bulunur. xj üzerindeki koşullardan dolayı e
ix j
17
ix
)
≠ eixk ve o halde G ≠ 0 ’dır.
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
Trigonometrik İnterpolasyonun Özel Hali :
π
X = τn ,
L2 k ( f ) =
∫
f ( x) cos kxdx,
k = 0,1, . . . , n
–π
π
L2 k –1 ( f ) =
∫
k = 1, . . . , n
f ( x) sin kxdx,
–π
dir.
3.4. Çözümün Tekliği
f1 ( x), f 2 ( x),
, f n ( x)
fonksiyonları
bir
I
aralığında
tanımlı
olsun.
x1 , . . . , xn ∈ I ve w1 , w2 . . . ,wn n farklı değer olsun.
n
∑ a f (x ) = w
i i
j
j
j=1,2, . . . , n
(3.4.1)
i =1
interpolasyon probleminin tek çözüme sahip olması için gerek ve yeter koşul
fi (x j ) ≠ 0
(3.4.2)
olmasıdır.
Tanım 3.4.1 : Bir S kümesi üzerinde tanımlı n tane fonksiyondan oluşan
f1 , f2 , . . . , fn sistemi verilsin. Eğer (3.4.2), S ’den seçilen her n farklı nokta için
sağlanırsa, o zaman bu fonksiyon sistemine S üzerinde tek çözüm denir.
Noktasal interpolasyonda çözümün tekliği tek çözüm sistemiyle ortaya
konulabilir.
f1 , f2 , . . . , fn sisteminin S üzerinde tek çözüm olması için gerek ve yeter
koşul fi ,
i = 1,2, . . . , n ’lerin lineer kombinasyonunun S ’nin farklı n noktası
için özdeş olarak sıfır olmasıdır.
Örnek 3.4.1 : 1, x 2 sistemi [0,1] üzerinde tek çözümdür. Fakat [-1,1] üzerinde
tek çözüm değildir.
Çözüm : f1 (x) = 1, f2 (x) = x 2 verilsin.
x1 , x2 ∈[0,1] = I ve farklı iki nokta yani x1 ≠ x2 için (3.4.1) ifadesi
18
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
2
∑ a f (x ) = w
i =1
i i
j
j = 1,2
j
şeklinde olur. Bunu açık yazalım.
a1 f1 (x1 ) + a2 f2 (x1 ) = w1 ⎫
⎬
a1 f1 (x2 ) + a2 f2 (x2 ) = w2 ⎭
(*)
(*) sisteminin tek çözüme sahip olması için katsayılar determinantının sıfırdan farklı
olması gerekir. Yani
fi (x j ) =
f1 (x1 )
f2 (x1 )
f1 (x2 )
f2 (x2 )
≠0
olmasıdır.
x1 ≠ x2 ve x1 , x2 ∈[0,1] için
Δ = fi ( x j ) =
1 x12
1 x22
= x22 – x12 = ( x2 – x1 )( x2 + x1 ) ≠ 0
dır. Böylece [0,1] aralığı için x1 ≠ x2 iken Δ ≠ 0 dır. Fakat eğer I = [–1,1] alınırsa bu
mümkün olmaz çünkü, x1 ve x2 = −x1 alalım. x1 ≠ x2 dir. Fakat x22 = x12 ’ dir. O
halde Δ = 0 olur. Böylece [–1,1] aralığında bu fonksiyon sistemi tek çözüm olamaz.
Örnek 3.4.2: 1, x, x 2 , . . ., x n sistemi herhangi bir [a,b] kapalı aralığı üzerinde
tek çözümdür.
Çözüm : f1 ( x) = 1,
f 2 ( x ) = x,
f 3 ( x) = x 2 , ... , f n +1 ( x) = x n verilsin.
Farklı x1 , x2 , . . . , xn , xn +1 noktaları Teorem (3.1.1) ’den
Δ = fi ( x j ) =
1
x1
x12
x1n
1
x2
x22
x2n
xn2+1
xnn+1
1 xn +1
olup, 1, x, x 2 , . . ., x n sistemi tek çözümdür.
19
= V ( x1 , x2 , . . . , xn +1 ) ≠ 0
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
3.5. Lagrange İnterpolasyon Formülü
z0 , z1 , . . . , zn
lk (z) =
farklı noktalar olsun ve n. dereceden
(z – z0 )(z – z1 ) . . . (z – zk –1 )(z – zk +1 ) . . . (z – zn )
k = 0,1, . . . , n (3.5.1)
(zk – z0 )(zk – z1 ) . . . (zk – zk −1 )(zk – zk +1 ) . . . (zk – zn )
polinomlarını göz önüne alalım ve burada
⎧0 eğer k ≠ j ise
lk ( z j ) = δ kj = ⎨
⎩1 eğer k = j ise
(3.5.2)
dir.
w0 , w1 , . . . ,wn değerleri için
n
pn ( z ) = ∑ wk lk ( z )
(3.5.3)
k =0
polinomu ℘n ’dedir. pn(z) ’nin açık şekli:
pn ( zk ) = w0l0 ( zk ) + w1l1 ( zk ) + . . . + wk lk ( zk ) + . . . + wn ln ( zk )
olduğundan
pn ( zk ) = wk
k = 0,1, . . . , n
(3.5.4)
dir.
(3.5.3) formülü Lagrange İnterpolasyon Formülü olarak adlandırılır.
(3.5.4) interpolasyon problemi tek bir çözüme sahiptir.
Bir alterne form yararlı olacaktır.
w( z ) = ( z – z0 )( z – z1 ) . . . ( z – zk –1 )( z – zk )( z – zk +1 ) . . . ( z − zn )
(3.5.5)
wı ( zk ) = ( zk – z0 )( zk – z1 ) . . . ( zk – zk –1 )( zk – zk +1 ) . . . ( zk − zn )
(3.5.6)
O zaman
dır. Böylece (3.5.1) formülü :
lk ( z ) =
w( z )
( z – zk ) wı ( zk )
(3.5.7)
olur. (3.5.3) formülü :
n
pn ( z ) = ∑ wk
k =0
w( z )
( z – zk ) wı ( zk )
olur.
20
(3.5.8)
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
lk (z) polinomları noktasal interpolasyon için temel polinom olarak
adlandırılır.
wi sayıları , zi noktalarında f(z) fonksiyonunun aldığı değerlerdir, yani
polinomu z0 , z1 , . . . , zn noktalarında f(z)
wi = f(zi.) ’dir. (3.5.8) ile verilen pn(z)
fonksiyonunun aldığı w değerlerinden oluşur.
Eğer ,
n
n
k =0
k =0
pn ( z ) = ∑ f ( zk )lk ( z ) =∑ f ( zk )
w( z )
( z – zk ) wı ( zk )
(3.5.9)
ise
pn (zk ) = f (zk )
k = 0, 1, . . . , n
(3.5.10)
dir. Burada (3.5.9) interpolasyon probleminin aldığı yeni şekil ve (3.5.10) da onun
çözümüdür.
Tanım 3.5.1 : z0 , z1 , . . . , zn noktalarında f fonksiyonu ile çakışan yani
(3.5.10)’u sağlayan ℘n sınıfının bir tek polinomunu pn( f ; z) ile göstereceğiz.
Varsayalım ki q(z) ∈℘n olsun. O zaman q n+1 tane
q( zi )
i = 0,1, . . . , n
değeriyle tek olarak belirlenir. Böylece
pn (q; z ) ≡ q ( z )
(3.5.11)
özdeşliğine sahip oluruz. Şimdi q(z) = (z – u) j alalım. j = 0,1, . . . ,n ve u bağımsız
bir değişken olsun. (3.5.9) ve (3.5.11) ’den
n
( z – u ) j = ∑ ( z k − u ) j lk ( z )
j = 0,1, . . . ,n
(3.5.12)
k =0
özdeşliğini elde ederiz.
(3.5.12) ’den j = 0 için ve j = 1, . . . , n için u = z seçilirse,
n
∑ l ( z) ≡ 1
k =0
k
n
∑ (z
k =0
– z ) lk ( z ) ≡ 0
j
k
⎫
⎪
⎪
⎬
j = 1, 2, . . ., n ⎪
⎪⎭
j=0
(3.5.13)
elde ederiz.
(3.5.13) ’deki n+1 tane özdeşlik lk (z) temel polinomları için Cauchy
bağıntıları olarak adlandırılır.
21
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
Temel polinomların önemi (3.5.2) özdeşliğinde yatar ve interpolasyon
probleminin (3.5.9) ’daki açık şekliye sonuçlanır.
Gerçekten;
n
pn ( z j ) = ∑ f ( zk )lk ( z j )
(*)
k =0
= f ( z0 )l0 ( z j ) + f ( z1 )l1 ( z j ) + . . . + f ( zn )ln ( z j )
dir. j=k=0 için;
pn (z0 ) = f (z0 ) + 0 + 0 + . . . + 0
j=k=1 için;
pn (z1 ) = 0 + f (z1 ) + 0 + 0 + . . . + 0
dır.
L0 ( f ) = f (z0 ) ,
L1 ( f ) = f (z1 ) , . . . , Ln ( f ) = f (zn )
Li (l j ) = δ ij
(3.5.14)
olarak yazılabilir.
Bu durumda li (z) polinomları ve Li fonksiyonellerine biortonormal denir.
Verilen lineer bağımsız fonksiyoneller kümesi için polinomların biortonormal
kümesini daima bulabiliriz. Gerçekten aşağıdaki teoremde Lagrange formülünün
genelleştirilmişine sahip oluruz.
Teorem 3.5.1: X, n boyutlu bir vektör uzayı olsun. L1 , L2 , . . . , Ln X* ’da n
tane lineer bağımsız fonksiyonel olsun. O zaman X ’in n tane lineer bağımsız
x1* , x2* , . . . , xn* elemanları
Li (x *j ) = δ ij
(3.5.15)
olacak şekilde tek olarak belirlenir.
Herhangi bir x∈X için,
n
x = ∑ Li ( x) xi*
(3.5.16)
i =1
dır.
w1 , w2 , . . ., wn ’lerin her seçimi için,
22
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
n
x = ∑ wi xi*
(3.5.17)
Li (x) = wi i = 1, 2, . . . , n
(3.5.18)
i =1
elemanı
interpolasyon probleminin tek çözümüdür.
İspat : x1 , x2 , . . ., xn
X ’in bazı olsunlar. Yardımcı Teorem 3.2.1 ’den
Li ( x j ) ≠ 0 ’dır. Eğer x *j = a j1 x1 + . . . + a jn xn j = 1,2, . . . , n ise determinant koşulu
(3.5.15) sisteminden a ji j = 1,2, . . . , n katsayılarının çözümünü x1* , x2* , . . . , xn* tek
olarak belirlenecek şekilde garanti eder.
Gerçekten, x *j (3.5.15) ’de yerine yazılırsa;
Li (a j1 x1 + . . . + a jn xn ) = δ ij
veya
a j1 Li (x1 ) + . . . + a jn Li (xn ) = δ ij i = 1,2, . . . , n
i = 1 için a j1 L1 ( x1 ) +a j 2 L1 ( x2 ) + . . . +a jn L1 ( xn ) = δ1 j ⎫
⎪
i = 2 için a j1 L2 ( x1 ) +a j 2 L2 ( x2 ) + . . . +a jn L2 ( xn ) = δ 2 j ⎪
⎬
⎪
i = n için a j1 Ln ( x1 ) +a j 2 Ln ( x2 ) + . . . +a jn Ln ( xn ) = δ nj ⎭⎪
(*1)
dir.
j = 1 için x1* = a11 x1 + . . . + a1n xn kombinasyonundaki a11 , . . ., a1n katsayıları
(*1) sisteminde j=1 alınarak oluşturulan sistemin çözümü olarak belirlenir. Çünkü,
L1 ( x1 )
Li ( x j ) =
L1 ( x2 )
L1 ( xn )
L2 ( x1 ) L2 ( x2 )
L2 ( xn )
Ln ( x1 ) Ln ( x2 )
Ln ( xn )
dir. (*1 ) ’den a11 L1 ( x1 ) + a12 L1 ( x2 ) + . . . + a1n L1 ( xn ) = δ11 = 1
a11 L2 ( x1 ) + a12 L2 ( x2 ) + . . . + a1n L2 ( xn ) = δ 21 = 0
a11 Ln ( x1 ) + a12 Ln ( x2 ) + . . . + a1n Ln ( xn ) = δ n1 = 0
dır.
23
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
Bu sistemin bilinmeyenleri
a11 , . . ., a1n
olup katsayılar determinantı
Li (x j ) ≠ 0 ’dır ve çözüm tek olup xi* ’ın katsayılarıdır ve xi* tek olarak belirlenir.
Benzer şekilde yani (3.5.15) sağlanacak şekilde x1* , x2* , . .. , xn* sistemi tek olarak
belirlenir.
Teorem 3.2.2 ’den dolayı interpolasyon probleminin her j için çözümü tektir
ve Yardımcı Teorem (3.2.1) ’den dolayı xi* ’ler lineer bağımsızdır.
(3.5.16) ’nın tekliği:
n
y = ∑ Li ( x) xi*
i =1
olsun. O zaman
n
L j ( y ) = ∑ Li ( x) L j ( xi* )
(*)
i =1
olur. Böylece (3.5.15) ’ten L j (y) = L j (x) j= 1,2, . . . ,n bulunur. Çünkü Li (x *j ) = δ ij
olup i ve j yer değiştirirse,
L j ( xi* ) = δ ji
olur. (*) ’dan
n
L j ( y ) = ∑ Li ( x)δ ji
i =1
= L1 ( x) δ j1 + L2 ( x) δ j 2 + . . . + L j ( x) δ jj + L j +1 ( x)δ j ( j +1) + . . . + Ln ( x) δ jn
= L j ( x)
j = 1, 2, . . . , n
bulunur. Tekrar n koşullu interpolasyondan dolayı Li tektir, y = x ’tir ve bu da
(3.5.16) ’nın tek olarak kurulabileceğini söyler. (3.5.18) benzer olarak kurulur.
(Bu teoremde ve tezin kalan kısmında yıldız işareti (*) biortonormal veya
ortonormal kümelerin elemanına sembol olarak uygulanır. Bir uzay sembolü
üzerindeki yıldız işareti conjugate (eşlenik) uzayları gösterir. (3.5.18) interpolasyon
probleminin çözümü determinant formunda verilir.)
Teorem 3.5.2 : Teorem 3.5.1 sağlansın ve x1 , . . . , xn X ’in bazı olsunlar.
Eğer w1 , . . . , wn keyfi sayılarsa,
24
3.İNTERPOLASYON
0
x=−
1 w1
G
wn
Figen GÜLTÜRK
x1
x2
xn
L1 ( x1 )
L1 ( x2 )
L1 ( xn )
Ln ( x1 ) Ln ( x2 )
Ln ( xn )
(3.5.19)
elemanı Li (x) = wi i = 1, 2, . . . , n interpolasyon problemini sağlar.
Örnek 3.5.1 (Taylor İnterpolasyonu) :
X = ℘n L0 ( f ) = f (z0 ) ,
L1 ( f ) = f ı ( z0 ) , . . . , Ln ( f ) = f ( n ) ( z0 )
z0 =0 alırsak,
X = ℘n L0 ( f ) = f (0) ,
L1 ( f ) = f ı (0) , . . . , Ln ( f ) = f (n) (0)
olur.
zn
ln (z) =
n!
n = 0, 1, . . . olsun. O zaman
z0
z2
z3
l0 (z) =
= 1 , l1 (z) = z , l2 (z) = , l3 (z) = , . . . ,
0!
2!
3!
dir.
(3.5.14) bağlantısına göre, ( Li (l j ) = δ ij )
(i )
j ( j − 1) . . .( j − (i − 1))( z j −i )(0) ⎧0, i ≠ j
⎛ zj ⎞
Li (l j ) = l (0) = ⎜ ⎟ =
=⎨
= δ ij
j!
⎩1, i = j
⎝ j ! ⎠(0)
(i )
j
bulunur.
3.6. Newton Formülü
(3.5.3) ve (3.5.17) Lagrange İnterpolasyon formülleri bazı engeller
içermektedirler. Eğer n boyutlu uzaydan, bir boyut yüksek olan uzaya geçmek
istersek x1* , x2* , . . . , xn* eski kümesiyle ilgili olmayan y1* , y2* , . . . , yn* +1 elemanlarının
tamamen yeni bir kümesini belirlemeliyiz. Newton gösterimiyle hem x1 , x2 , . . . baz
elemanlarının
hem
de
L1 , L2 , . . .
belirlenmiş
fonksiyonellerinin
lineer
kombinasyonunu alarak bu engeller ortadan kaldırılmaya çalışılır.
z0 , z1 , . . ., zn n +1 farklı nokta olsun. n+1 tane bağımsız Newton polinomu
25
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
1, ( z − z0 ) , ( z − z0 )( z – z1 ) , . . ., ( z – z0 )( z – z1 ) . . . ( z – zn −1 )
şeklindedir.
Verilen w0 , w1 , . . ., wn değerleri için ,
p(zi ) = wi
i = 0,1, . . . , n
olacak şekilde ℘n ’de bir tek p polinomu vardır.
Eğer bu eleman
p(z) = a0 + a1 (z − z0 ) + a2 (z − z0 )(z – z1 ) + . . . + an (z − z0 )(z – z1 ) . . . (z – zn −1 ) (3.6.1)
formunda temsil edilebilirse söz konusu polinom görülmüş olur.
ai sabitlerini bulmak için ardışık olarak z = z0 , z = z1 , . . . koyulur ve elde
edilen lineer denklemler çözülür. [(3.6.1) ’den ve p(zi ) = wi
i= 0,1, . . . , n
kabulünden):]
a0 = w0
a1 =
w1 − w0
z1 − z0
a2 =
1 ⎛ w2 − w0 w1 − w0 ⎞
−
⎜
⎟
z2 − z1 ⎝ z2 − z0
z1 − z0 ⎠
(3.6.2)
bulunur.
Not edelim ki z0 , . . . , zn noktalarının belirli kümesi için her ai , wi ’lerin bir
lineer kombinasyonudur. Ve üstelik a0 yalnız w0 ’a bağlıdır. a1 w0 , w1 , z0 , z1 ’e
bağlıdır ve a2 ise w0 , w1 , w2 , z0 , z1 , z2 ’ ye bağlıdır.
Tanım 3.6.1 : (3.6.2) ile ifade edilen a j sabitlerine z0 , z1 , . . . , z j ’ye göre
w0 , w1 , . . . , w j değerlerinin j-inci kesirli farkı denir ve
a j = ⎡⎣ w0 , w1 , . . . , w j ⎤⎦
(3.6.3)
şeklinde gösterilir.
(3.6.1) ’de z n ’in katsayısı an , (3.5.8) ’de z n ’in katsayısı
Bundan dolayı
26
n
wk
∑ w (z )
k =0
ı
k
’dır.
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
n
an = [ w0 , w1 , . . . , wn ] = ∑
k =0
wk
w ( zk )
ı
(3.6.4)
bulunur. Burada
w( z ) = wn ( z ) = ( z − z0 )( z − z1 )...( z − zn )
dir. (3.6.4) ’ten
a0 = w0
a1 =
w0
w1
+
z0 − z1 z1 − z0
a2 =
w0
w1
w2
+
+
(z0 – z1 )(z0 – z2 ) (z1 – z0 )(z1 – z2 ) (z2 – z0 )(z2 – z1 )
(3.6.5)
dir.
Eğer wi ’ler f fonksiyonunun zi ’deki f (zi ) = wi değerleri olarak alınırsa,
(3.6.1) ve (3.6.3) ’ü birleştirerek;
n
pn ( f ; z ) = ∑ [ f ( z0 ), f ( z1 ), . . . , f ( zk ) ] ( z – z0 )( z – z1 ) . . . ( z – zk −1 )
(3.6.6)
k =0
w−1 (z) ≡ 1
elde edilir..
Gerçekten ; (3.6.3) ’ten dolayı
ak = [ w0 , w1 ,… , wn ] = [ f ( z0 ), f ( z1 ), . . . , f ( zk ) ]
dır. w(z) = wn (z) = (z – z0 )(z − z1 ) . . . (z − zn ) olup, w−1 (z) ≡ 1 ≡ z − z–1 olmak üzere,
k
wk −1 ( z ) = ∏ ( z − zi −1 ) = ( z – z –1 )( z − z0 )( z − z1 ) . . . ( z − zk −1 )
i =0
olur. Böylece (3.6.1) ’den
n
k
n
k =0
i =0
k =0
p ( z ) = ∑ ak ∏ ( z – zi −1 ) = ∑ ak wk −1 ( z )
yazılır. Böylece (3.6.6) bulunmuş olur.
Tanım 3.6.2 : İnterpolasyon polinomunun (3.6.6) formuna bir f(z) fonksiyonu
için sonlu Newton serisi denir.
z0 , z1 , . . . , zn sabitleri için L0 , L1 , . . . , Ln lineer fonksiyonellerini (3.6.5)
27
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
şemasına uygun olarak aşağıda olduğu gibi tanımlayalım.
L0 ( f ) = f (z0 )
L1 ( f ) =
f ( z0 )
f ( z1 )
+
z0 − z1 z1 − z0
olur. Burada Lk ( f ) = ak , f (zi ) = wi
(3.6.7)
i =0,1,2, . . . ’dir.
Bu durumda (3.6.6) formülü:
n
pn ( f ; z ) = ∑ Lk ( f ) wk −1 ( z )
(3.6.8)
k =0
şeklini alır.
Eğer 0 ≤ j ≤ n − 1 ise, w j (z) ∈℘n olduğundan
w j ( z ) = pn ( w j ( z ); z ) ⇔ pn ( w j ( z ); z ) – w j ( z ) = 0
(*)
olur ve böylece
n
w j ( z ) = ∑ Lk ( w j ( z )) wk −1 ( z )
(3.6.9)
k =0
elde edilir.
Gerçekten , (3.6.6)’dan, f (z) = w j (z) olmak üzere pn ( w j ( z ); z ) ve w j (z) için
z = z0 , z1 , . . . , zn noktalarındaki değerlerine bakalım.
Önce (3.6.6) ’da f (z) = w j (z) alalım ve bunu açık yazalım.
n
pn ( w j ( z ); z ) = ∑ ⎡⎣ w j ( z0 ), w j ( z1 ), . . . , w j ( zk ) ⎤⎦ ( z – z0 )( z − z1 ) . . . ( z − zk −1 )
(**)
k =0
= ⎣⎡ w j ( z0 ) ⎦⎤ ( z − z−1 ) + ⎡⎣ w j ( z0 ), w j ( z1 ) ⎤⎦ ( z – z0 ) + ⎡⎣ w j ( z0 ), w j ( z1 ), w j ( z2 ) ⎤⎦ ( z – z0 )( z – z1 )
+ . . . + ⎡⎣ w j ( z0 ), w j ( z1 ), . . . , w j ( zn ) ⎤⎦ ( z – z0 )( z – z1 ) . . . ( z – zn −1 )
olur. Şimdi (*) ’ı gösterelim. (**) ’dan:
z = z0 için pn ( w j ( z0 ); z0 ) = ⎣⎡ w j ( z0 ) ⎦⎤ .1 + 0 + . . . + 0 = w j ( z0 )
z = z1 için pn ( w j ( z1 ); z1 ) = ⎡⎣ w j ( z0 ) ⎤⎦ .1 + ⎡⎣ w j ( z0 ), w j ( z1 ) ⎤⎦ ( z1 – z0 ) + 0 + 0 + . . . + 0
28
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
= w j (z0 ) +
w j (z1 ) − w j (z0 )
z1 – z0
(z1 – z0 )
= w j (z1 )
dir. Diğerleri de aynı şekilde gösterilir.
Bu şekilde (*) ’daki eşitlikler z = z0 , z1 , . . . , zn değerleri için n +1 farklı
noktada sağlanır. Bu n. dereceden bir polinomun n+1 defa 0 olduğunu gösterir. O
halde bu polinom 0’a özdeştir. Bundan dolayı (*) ’ın 1. eşitliğini ve (3.6.8) ’i
kullanarak da (3.6.9) ’u elde ederiz.
(3.6.9) ’da ardışık olarak j = 0,1,2, . . . alınırsa
Lk (w j −1 (z)) = δ kj
(3.6.10)
olur.
Teorem 3.6.1: X sonsuz boyutlu bir vektör uzay ve X ’in elemanlarının bir
dizisi x1 , x2 , . . . olsun. Her n için x1 ,..., xn ’ler lineer bağımsız ve X* ’daki lineer
fonksiyonellerin bir dizisi L1 , L2 ,... olsun. Her n için nxn determinantı olan
Li ( x j )
n
i , j =1
≠0
(3.6.11)
kabul edelim.
O zaman aii ≠ 0 olmak üzere aij ve bij sabitlerinin tek olarak belirlediği
L*1 = a11 L1
x1* = x1
L*2 = a21 L1 + a22 L2
x2* = b21 x1 + x2
L*3 = a31 L1 + a32 L2 + a33 L3
x3* = b31 x1 + b32 x2 + x3
(3.6.12)
şeklinde iki üçgensel bölge varsa
L*i (x *j ) = δ ij ,
i,j = 1,2, . . .
(3.6.13)
dir.
İspat : L*1 (x1* ) = 1 olduğunu göstermek istiyoruz. (3.6.12) ’nin 1. satırından
x1* = x1
olduğundan
L*1 (x1* ) = L*1 (x1 ) = a11 L1 (x1 ) = 1
olmalıdır.
Buradan
a11 = L1 (x1 )–1 ≠ 0 olur. Yani (3.6.11) ’den dolayı payda sıfır olmaz.
İspatı tümevarımla yapacağız. i,j =1,2, ..., n için (3.6.13) ’ün sağlandığını
29
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
kabul edelim.
1
a11
a21
a22
an1
an2 . . .
ann
b21
1
bn1
bn 2 . . . bn ,n −1
1
aii ≠ 0 ⇒ a11a22 . . . ann ≠ 0 ve böylece
L*i (x *j ) = δ ij
i,j =1,2, ..., n
(3.6.14)
sağlandığını kabul ediyoruz
İlk
önce
bn +1,1 , bn +1,2 , . . . , bn +1, n ,1
ve
bu
değerler
bilgisiyle
sonra
an +1,1 , an +1,2 , . . . , an +1, n +1 değerlerini an +1, n +1 ≠ 0 olmak koşuluyla bulabileceğimizi
göstereceğiz ve sonuçta
L*i ( x*j ) = δ ij ,
i,j=1,2, . . . , n+1
(3.6.15)
eşitliği sağlansın. Böylece tümevarımla istenen sonuca ulaşmış oluruz. (3.6.15) ’te
yer alan fakat (3.6.14) ’te yer almayan koşullar:
L*i (xn* +1 ) = 0
i = 1,2, . . . , n
L*n +1 (xi* ) = 0
i = 1,2, . . . , n
(3.6.16)
L*n +1 (xn* +1 ) = 1
dir.
(3.6.16) ’nın ilk eşitliğinin ortaya koyduğu n denklem aşağıdaki sistemi verir:
L*1 ( xn*+1 ) = 0 ⎫
⎪
L*2 ( xn*+1 ) = 0 ⎪
⎬
⎪
*
*
Ln ( xn +1 ) = 0 ⎪⎭
Bunun açık şekli:
(3.6.12) tablolarından sağdaki xn* +1 ’a L*i , i = 1,2, . . . , n uygulanırsa ,
L*i (xn* +1 ) = L*i (bn +1,1 x1 + bn +1,2 x2 + . . . + bn +1,n xn + xn +1 ) = 0
olur. Buradan
30
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
bn +1,1 L*1 ( x1 ) + bn +1,2 L*1 ( x2 ) + . . . + bn +1,n L*1 ( xn ) = – L*1 ( xn +1 ) ⎫
⎪
bn +1,1 L*2 ( x1 ) + bn +1,2 L*2 ( x2 ) + . . . + bn +1,n L*2 ( xn ) = – L*2 ( xn +1 ) ⎪
⎬
⎪
*
*
*
*
bn +1,1 Ln ( x1 ) + bn +1,2 Ln ( x2 ) + . . . + bn +1,n Ln ( xn ) = – Ln ( xn +1 ) ⎭⎪
(*1)
bulunur.
Bu sistemin katsayılar determinantı sıfırdan farklı ise yani
L*i ( x j )
n
≠0
i , j =1
ise, sistem tek çözüme sahiptir.
L*1 ( x1 )
L (x j ) =
*
i
=
L*1 ( x2 )
L*1 ( xn )
L*2 ( x1 ) L*2 ( x2 )
L*2 ( xn )
L*n ( x1 ) L*n ( x2 )
L*n ( xn )
a11 L1 ( x1 )
a21 L1 ( x1 ) + a22 L2 ( x1 )
a11 L1 ( x2 )
a21 L1 ( x2 ) + a22 L2 ( x2 )
an1 L1 ( x1 ) + an 2 L2 ( x1 ) + . . . + ann Ln ( x1 )
a11 L1 ( xn )
a21 L1 ( x1 ) + a22 L2 ( xn )
an1 L1 ( xn ) + an 2 L2 ( xn ) + . . . + ann Ln ( xn )
dir. Bu son determinantı çarpanlara ayırarak yazarsak,
L*i ( x j ) =
a11
0
0
0
a21
a22
0
0
an1
an 2
an 3
= a11a21 . . . ann . Li ( x j )
n
i , j =1
L1 ( x1 )
L2 ( x1 ) L2 ( x2 )
L1 ( xn )
L2 ( xn )
ann Ln ( x1 ) Ln ( x2 )
Ln ( xn )
.
L1 ( x2 )
≠0
dır. Çünkü hipotezden aii ≠ 0 i = 1,2, . . . , n ve (3.6.11) ’den
Li (x j )
n
i, j =1
≠0
dır. Böylece (3.6.16) ’nın ilk eşitliğinin olması için gereken ve yeterli olan koşul
sağlanmış olur. Böylece (*1) sisteminden bn +1,1 ,bn +1,2 , . . . ,bn +1,n katsayıları tek olarak
bulunur. (3.6.16) ’nın ikinci grubu ve son denklem dikkate alınarak L*n +1 dönüşümü
x1* ’a i = 1,2, . . . , n+1 uygulanırsa,
31
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
L*n +1 (xi* ) = 0
i = 1,2, . . . , n+1 ’den (3.6.12) kullanılırsa,
L*n +1 (xi* ) = an +1,1 L1 (xi* ) + an +1,2 L2 (xi* ) + . . . + an +1,n +1 Ln +1 (xi* ) = 0
dır.Buradan aşağıdaki sistem elde edilir.
an +1,1 L1 ( x1* ) + an +1,2 L2 ( x1* ) + . . . + an +1,n +1 Ln +1 ( x1* ) = 0 ⎫
⎪
an +1,1 L1 ( x2* ) + an +1,2 L2 ( x2* ) + . . . + an +1,n +1 Ln +1 ( x2* ) = 0 ⎪
⎪
⎬
*
*
*
an +1,1 L1 ( xn ) + an +1,2 L2 ( xn ) + . . . + an +1, n +1 Ln +1 ( xn ) = 0 ⎪⎪
an +1,1 L1 ( xn*+1 ) + an +1,2 L2 ( xn*+1 ) + . . . + an +1,n +1 Ln +1 ( xn*+1 ) = 1⎪⎭
(*2)
Bu sistemin tek çözüme sahip olması için
Li (x j )
n +1
≠0
i, j =1
olmalıdır.
L1 ( x1* )
L2 ( x1* )
Ln +1 ( x1* )
L1 ( x2* )
L2 ( x2* )
Ln +1 ( x2* )
L1 ( xn* )
L2 ( xn* )
Ln +1 ( xn* )
Li ( x*j ) =
L1 ( xn*+1 ) L2 ( xn*+1 )
*
Ln +1 ( xn+
1)
L1 ( x1 )
b21 L1 ( x1 ) + L1 ( x2 )
=
L2 ( x1 )
b21 L2 ( x1 ) + L2 ( x2 )
bn +1,1 L1 ( x1 ) + bn +1,2 L1 ( x2 ) + . . . + bn +1,n L1 ( xn ) + L1 ( xn +1 )
Ln +1 ( x1 )
b21 Ln +1 ( x1 ) + Ln +1 ( x2 )
bn +1,1 Ln +1 ( x1 ) + . . . + Ln +1 ( xn+1 )
dir. Bu determinant çarpanlara ayrılırsa;
Li ( x*j )
n +1
i , j =1
=
1
0
0
b21
1
0
bn +1,1 bn +1,2
= 1.1. . .1.
L1 ( x1 )
L2 ( x1 )
Ln +1 ( x1 )
L1 ( x2 )
L2 ( x2 )
Ln +1 ( x2 )
1 L1 ( xn +1 ) L2 ( xn +1 )
Ln +1 ( xn+1 )
.
L1 ( x1 )
L1 ( x2 )
L1 ( xn +1 )
L2 ( x1 )
L2 ( x2 )
L2 ( xn +1 )
Ln +1 ( x1 ) Ln +1 ( x2 )
Ln +1 ( xn+1 )
32
3.İNTERPOLASYON
= 1. Li (x j )
Figen GÜLTÜRK
n +1
i, j =1
= Li (x j )
n+1
i, j =1
≠0
dır.
Böylece (*1) ve (*2) sistemleri tek çözüme sahiptir.
Geriye
an +1,n +1 ≠ 0
(*3)
olduğunu göstermek kalıyor.
(*2) sisteminden an+1,n +1 ’i bilinmeyen olarak çözelim.
an+1,n +1 =
An +1
dır. Cramer Sistemi’nden çözüm bulunur.
A
L1 ( x1* )
L1 ( x2* )
L2 ( x1* )
L2 ( x2* )
0
0
L1 ( xn* )
L2 ( xn* )
0
*
n +1
*
n +1
1
An +1 =
L1 ( x ) L2 ( x )
determinantını son sütuna göre açarsak;
An +1 = 1.(–1)( n +1)+ ( n +1) =
L1 ( x1* ) L2 ( x1* )
L1 ( x2* ) L2 ( x2* )
Ln ( x1* )
Ln ( x2* )
L1 ( xn* ) L2 ( xn* )
Ln ( xn* )
dır. Şimdi bu determinantı yukarıda (n+1)x(n+1) boyutlu determinant için aynen
uygularsak;
1
An +1 = 1.
b21
0
1
0 L1 ( x1 )
0 L1 ( x2 )
.
bn ,1 bn ,2
= 1. ⎡⎣ Li ( x j )T ⎤⎦
n
i , j =1
L2 ( x1 )
L2 ( x2 )
Ln ( x1 )
Ln ( x2 )
1 L1 ( xn ) L2 ( xn )
Ln ( xn )
= Li ( x j )
n
i , j =1
dır.Böylece
33
≠0
3.İNTERPOLASYON
an+1,n +1 =
Figen GÜLTÜRK
Li (x j )
Li (x j )
n
i, j =1
n +1
≠0
i, j =1
bulunur ve ispat tamamlanır.
Sonuç 3.6.2 : X n , x ’in
x1 ,… , xn tarafından gerilmiş bir alt uzayı olsun
(yani X n , a1 x1 + … + an xn lineer kombinasyonunun kümesi olsun). Eğer x ∈ Xn ise o
zaman
n
x = ∑ L*k (x)xk*
k =1
dır.
n
İspat : Eğer y = ∑ L*k (x)xk* ve y ∈ Xn dersek o zaman (3.6.13) ’den
k =1
n
L*j (y) = ∑ L*k (x)L*j (xk ) = L*j (x)
k =1
bulunur. x1 ,..., xn ’ler lineer bağımsız olduklarından (3.6.12) ’den dolayı x1* ,..., xn*
elemanları da lineer bağımsız olurlar. Böylece (3.6.13) ve Yardımcı Teorem (3.2.1)
’in sonucu olarak L1 ,..., Ln ve böylece L*1 ,..., L*n ’lerin lineer bağımsız oldukları
görülür. (3.6.12) ’den bu durumda
L*j (y − x) = 0 , j=1,2, . . . , n
olması y – x = 0 olmasını ve böylece y = x olmasını gerektirir. İspat biter.
Bir x ∈ X elamanı için
∞
∑ L ( x) x
k =1
*
k
∗
k
serisine biortogonal açılım denir.
∞
x ∼ ∑ L*k ( x) xk ∗
(3.6.17)
k =1
yazılır.
34
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
3.7. Ardışık Farklar
Tanım 3.7.1: yo, y1, . . . değerlerinin bir dizisi verilsin. Ardışık değerlerin
farkı
Δyk = yk +1 – yk
k = 0,1, . ..
(3.7.1)
şeklinde gösterilir.
Benzer olarak daha yüksek farklar
Δ 2 yk = ( yk ) = ( yk +1 ) − yk = ( yk +2 − yk +1 ) − ( yk +1 − yk )
(3.7.2)
şeklinde tanımlanır. Genel olarak
Δ n +1 yk = (
n
yk ) =
n
yk +1 −
n
(3.7.3)
yk
yazılır. Burada Δ 0 yk = yk ’dır.
Teorem 3.7.1 : Δ 0 yk = yk
Δ1yk = yk +1 – yk
Δ 2 yk = yk +2 – 2yk +1 + yk
Δ 3 yk = yk +3 – 3yk +2 + 3yk +1 – yk
Genel olarak ;
n
⎛n⎞
Δ n yk = ∑ (–1) n – r ⎜ ⎟ yk + r ,
r =0
⎝r⎠
⎛n⎞
n!
⎜ ⎟=
⎝ r ⎠ r !(n – r )!
(3.7.4)
dir.
.
Sonuç 3.7.2 :
k= 0 için (3.7.4) ’den
n
⎛ n⎞
Δ n y0 = ∑ (–1)n–r ⎜ ⎟ yr
⎝ r⎠
r =0
(3.7.5)
elde edilir.
z0, z1, . . . noktaları aşağıdaki formda verilsin:
z0 = a, z1 = a + h, z2 = a + 2h, . . . , zn = a + nh
(3.7.6)
Bu noktalarda interpolasyon halinde kesirli farklar ardışık farklara bağlı
olarak verilebilir.
35
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
Eğer w(z) = (z – z0 )(z – z1 ) . . . (z – zn ) ise,
wı ( zk ) = ( zk – z0 )( zk – z1 ) . . . ( zk – zk –1 )( zk – zk +1 ). . . ( zk – zn )
olur.
zi – z j = (i – j)h
olduğundan
wı ( zk ) = (kh).(k – 1)h . . . (h)(– h)(–2h) . . . (–(n – k )h)
= h n k !(n – k )!(−1) n – k
elde edilir.
İnterpolasyon polinomu:
w( z )
( z – zk ) wı ( zk )
n
pn ( z ) = ∑ wk
k =0
(2.5.8)
dir.
Burada
zn
’in
katsayısı
n
wk
∑ w (z )
k =0
ı
’dır.
Bu
yüzden
k
n
wk
’dir. Bundan dolayı (3.6.4) ’ten
k =0 w ( zk )
an = [ w0 , w1 , . . . wn ] = ∑
ı
n
yk
k =0 w ( z k )
an = [ y0 , y1 , . . ., yn ] = ∑
ı
=
(–1)n– k yk
∑
n
k =0 h k!(n – k)!
=
1
n!h n
n
=
n
∑ (–1)
n– k
k =0
⎛ n⎞
⎜⎝ k ⎟⎠ yk
Δ n y0
n !h n
(3.7.8)
elde edilir.
O halde aşağıdaki teoremi ifade edebiliriz.
Teorem 3.7.3:p(z), n +1 sayıda a,a + h, . . . , a + nh noktalarında y0, y1, . . .,yn
değerlerini alan ℘n ’de bir polinom olsun .
O zaman
36
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
Δy0
Δ2 y0
( z – a) +
( z – a)( z – a – h) + ...
h
2!h2
1 n
... +
Δ y0 ( z – a)( z – a – h) ... ( z – a – (n – 1)h)
n ! hn
pn ( z) = y0 +
(3.7.9)
dır.
Eğer pn ( f ; z) a, a + h, . . . , a + nh noktalarında f ’ye interpole edilirse,
pn ( f ; z ) = f (a) +
Δf (a)
1
( z – a) +
Δ 2 f (a)( z – a)( z – a – h) + . . .
h
2 !h 2
1
... +
Δ n f (a)( z – a)( z – a – h) .. . ( z – a – (n – 1)h)
n !hn
(3.7.10)
dır. Burada ,
Δf (a) = f (a + h) – f (a)
Δ 2 f (a) = f (a + 2h) – 2 f (a + h) + f (a)
(3.7.11)
Δ 3 f (a ) = f (a + 3h) – 3 f (a + 2h) + 3 f (a + h) – f (a )
yazabiliriz.
(3.7.9) ve (3.7.10) formüllerine Newton Fark Formülleri denir.
Eğer f(x) fonksiyonu a, a + h, a + 2h, . . . , noktalarında tanımlı ise,
Δ k f (a)
(z – a)(z – a – h) . . . (z – a – (k – 1)h)
k
k =0 k!h
∞
f (x) ∼ ∑
(3.7.12)
serisine f için Newton Serisi denir.
Örnek 3.7.1 : f (x) = x n , o zaman Δf (x) = nhx n–1 + . . . Bundan dolayı ilk
fark n–1 dereceli polinomdur. Benzer şekilde
Δ n x n = n!h n ve p > n için Δ p x n = 0 ’dır.
Çözüm:
Δf (x) = f (x + h) – f (x)
= ( x + h)n – x n
= xn +
= nhx
n n –1 n(n – 1) n – 2 2 n(n – 1)(n – 2) n – 3 3
x h+
x h +
x h + . . . – xn
1
2
3!
n–1
n(n – 1)h 2 x n–2
+
+ ...
2
37
3.İNTERPOLASYON
Δ 2 f (x ) = Δ(Δf (x)) = Δnhx n–1 + Δ
Figen GÜLTÜRK
n(n – 1)h 2 x n–2
+ ...
2
= nh ⎡⎣(x + h)n–1 ⎤⎦ – nhx n–1 + . . .
= nh ⎡⎣ x n–1 + (n – 1)x n–2 h + . . .⎤⎦ – nhx n–1 + . . .
= n(n – 1)h 2 x n– 2 + . . .
dir. Bunu genelleştirelim.
Δ n f (x) = n!h n x n–n = n!h n
bulunur.
p>n için ,
Δ p x n = Δ(Δ p–1x n )
dir. p>n olduğundan , p–1 > n–1 ⇒ p –1 = n alınabilir.
O zaman
Δ p x n = Δ(Δ p –1 x n )
= Δ(Δ n x n )
= Δ(n !h n )
=0
dır.
Örnek 3.7.2 : Eğer f(x) = eax ise Δf (x) = (eah – 1)eax ’dir. İterasyonla
Δ n f (x) = (eah – 1)n eax ’dir.
Örnek 3.7.3 : Eğer f (x) ∈℘n ise, (2.7.12) serisi f(x)’e yakınsar. Örnek 3.7.1
’den dolayı seri n + 1 terimli bir toplama indirgenir ve Teorem 3.7.3 ’den dolayı
a, a + h, . . . , a + nh noktalarında f ’ye interpole olan ℘n ’in üyesidir. Teklikten
dolayı n. dereceden polinom f ile çakışır.
Çözüm : (3.7.12) serisi açık yazılırsa;
Δ k f (a)
( z – a)( z – a – h) . . . ( z – a – (k – 1)h)
∑
k
k =0 k ! h
∞
= f (a) +
Δf (a)
Δ2 f (a)
Δn f (a)
−
+
+
(z − a) +
(
z
a
)(
z
–
a
–
h
)
...
(z – a)(z – a – h) ...(z – a – (n –1)h)
2!h2
h
n!hn
38
3.İNTERPOLASYON
Figen GÜLTÜRK
f(x) = p2(x) olsun. Özel olarak f(x) = x2 olsun.
Δ 0 f (x ) = f (x) = x 2 ⇒ Δ 0 f (a) = f (a) = a 2
Δf (x ) = f (x + h) − f (x)
= (x + h)2 – x 2
= 2 hx + h 2 ⇒ Δf (a) = 2ha + h 2
= Δ 2 f (x) = Δ 2 x 2 = 2!h 2 ⇒ Δ 2 f (a) = 2!h 2 = 2.1.h 2
= Δ 3 f (x) = Δ 3 f (a) = Δ 3 x 2 = 0 ⇒ Δ 3 f (a) = 0
(p=3>2)
(3.7.12) ’den,
Δ k f (a)
(z – a)(z – a – h) . . . (z – a – (k – 1)h)
∑
k
k =0 k!h
∞
= a2 +
2ha + h 2
2.1.h 2
( z – a) +
( z – a )( z – a – h) + 0 + 0 + . . .
h
2 !h 2
= a 2 + (2a + h)(z – a) + (z – a)(z – a – h)
= a 2 + (z – a)(z + a)
= z2
sonucunu buluruz.
Yani serinin toplamı z = x için f(x) = x2 fonksiyonu olur. Kısaca (3.7.12)
serisinin kısmi toplamı (3.7.10) polinomudur.
39
4.KALAN TEORİSİ
Figen GÜLTÜRK
4. KALAN TEORİSİ
Önceki bölümlerde sonuçlar cebirsel işlemler olarak değerlendirildi ve
interpolasyon probleminin ortaya konması ile sıkı sıkıya bağımlıydılar. Fakat bu
metod yaklaşım teorisi sonuçlarına daha iyi nasıl taşınabilir? Bu sorunun cevabını
kalan teorisi içinde arayacağız.
4.1. Polinomlarla İnterpolasyon İçin Cauchy Kalanı
Teorem 4.1.1: f (x) ∈C n [a,b ] olsun ve (a, b ) ’nin her noktasında f (n+1) ( x ) ’in
var olduğunu kabul edelim.
Eğer, a ≤ x0 < x1 < . . . < xn ≤ b ise,
f ( x) – pn ( f ; x) =
( x – x0 )( x – x1 ) . . . ( x – xn ) ( n +1)
(ξ )
f
(n +1)!
(4.1.1)
dır. Burada min(x, x0, x1, . . . , xn) < ξ < max(x, x0, x1, . . . , xn) ’dir. ξ noktası x, x0,
x1, . . . , xn ve f ’ye bağımlıdır.
İspat : pn ( f ; xk ) = f (xk ) olduğundan
f ( x) – pn ( f ; x) fonksiyonu x = x0 ,
x = x1, . . . , x = xn noktalarında sıfırlanır. x sabit olsun ve x, x0, x1, . . . , xn ’den
farklı olsun.
K(x) =
f (x) – pn ( f ; x)
(x – x0 )(x – x1 ) . . . (x – xn )
(4.1.2)
olsun. t ’nin aşağıdaki fonksiyonunu göz önüne alalım.
w(t ) = f (t ) – pn ( f ; t ) – (t – x0 )(t – x1 ) . . . (t – xn ) K ( x)
(4.1.3)
w(t) fonksiyonu t = x0 , t = x1, . . . , t = xn noktalarında sıfır olur. Ek olarak (4.1.2)
’den görülür ki w(t) fonksiyonu t = x noktasında da sıfır olur.
f ( x) – pn ( f ; x) – K ( x)( x – x0 )( x – x1 ) . . . ( x – xn ) = 0
olup sol taraf w(x) ’e eşittir. Genelleştirilmiş Rolle Teoremi (2.2.1) ’den w( n +1) (t )
türevi min(x, x0, x1, . . . , xn) < ξ < max(x, x0, x1, . . . , xn) koşuluna uygun bir
40
ξ
4.KALAN TEORİSİ
Figen GÜLTÜRK
noktasında sıfır olur. Çünkü w(t) fonksiyonu x, x0, x1, . . . , xn gibi n + 2 noktada
sıfır olduğundan Genelleştirilmiş Rolle Teoremine göre w ( n+1) (t) fonksiyonu
ξ
’de
sıfır olur.
(4.1.3) ’ten
w ( n+1) (t) = f ( n +1) (t) – 0 – (n +1)!K(x)
dir.
t=
ξ
için
0 = w( n +1) (ξ ) = f ( n +1) (ξ ) – (n +1)! K ( x)
(4.1.4)
dir. Buradan
K(x)=
1
f ( n +1) (ξ )
(n +1)!
(4.1.5)
dir. Bunu (4.1.2) ’de yerine koyarsak (4.1.1) ’i elde ederiz. Eğer x=xk ise, (4.1.1) ’in
herhangi
ξ
için sağlandığı açıktır.
Sonuç 4.1.2 (Lineer İnterpolasyon İçin Hata) : f ( x) ∈ C ı [ a, b ] ve f ıı ( x) ,
(a,b) ’nin her noktasında var olsun. O zaman a ≤ x ≤ b için
x–a
⎛b–x
⎞ ( x – a)( x – b) ıı
f ( x) – ⎜
f (a) +
f (b) ⎟ =
f (ξ ),
b–a
2
⎝b–a
⎠
a <ξ <b
(4.1.6)
dir.
İspat : n = 1 ’dir. n + 1 = 2 ’dir.
f ( x ) ∈ C ı [ a, b ]
fonksiyonunun
lineer
interpolasyonunu
(polinomunu)
L( f ; x) ile gösterirsek; (4.1.1) ’den
f ( x) – L( f ; x) =
( x – a )( x – b) ıı
f (ξ )
2
yazılır.
y = L( f ; x) diyelim. (a, f (a)) ve (b, f (b)) noktalarından geçen doğru
denklemi:
y – f (a)
x−a
=
f (b) – f (a) b – a
41
4.KALAN TEORİSİ
Figen GÜLTÜRK
y = L( f ; x) = f (a) +
=
( f (b) – f (a))(x – a)
b–a
b−x
x–a
f (a) +
f (b)
b−a
b−a
dir.
Böylece son eşitlikte L( f ; x) değeri yazılırsa (4.1.6) elde edilir.
Bir çok örnekte
ξ ’nin
değeri tam olarak bilinmez ve aşağıdaki tahmin
önemli olur.
Sonuç 4.1.3 : R n ( f ; x ) = f ( x ) – p n ( f ; x )
(4.1.7)
olsun. Burada Rn ( f ; x) Cauchy kalanıdır. Eğer
f (x) ∈C n +1 [a,b ]
ise,
{
Rn ( f ; x) ≤ max f ( n +1) (t )
a ≤t ≤b
} x–x
0
x – x1 . . . x – xn
(n +1)!
(4.1.8)
dır.
İspat : Burada
ξ
’nin yeri tam olarak belli değildir. Bu durumda Teorem
4.1.1 ’e uygun ξ için
f ( n +1) (ξ ) ≤ max f ( n +1) ( t )
(*)
yazabiliriz.
(4.1.1), (4.1.7) ve (*) kullanılarak ,
Rn ( f ; x) = f (x) – pn ( f ; x)
=
( x – x0 )( x – x1 ) . . . ( x – xn ) ( n +1)
.f
(ξ )
(n +1)!
=
x – x0 x – x1 . . . x – xn
. f ( n +1) (ξ )
(n +1)!
{
≤ max f ( n +1) (t )
a ≤t ≤b
} x–x
0
x – x1 . . . x – xn
(n +1)!
elde edilir.
Örnek 4.1.1: f(x) = arcsinx fonksiyonunu göz önüne alalım. f (0,5335) ’in
42
4.KALAN TEORİSİ
Figen GÜLTÜRK
değerini elde etmek için x0 = 0,5330 ve x1 = 0,5340 değerleri arasında lineer
interpolasyonu kullanalım ve hatayı tahmin edelim.
x = 0,5335 ’dir.
1
f ı ( x) = (arcsin x)ı =
1– x
2
= (1 – x 2 ) –1/ 2
f ıı ( x) = ( (1 – x 2 ) –1/ 2 ) = x.(1 – x 2 ) –3 / 2
ı
f ııı ( x) = ( x(1 – x 2 ) –3 / 2 ) = (1+ 2 x 2 )(1 – x 2 ) –5 / 2
ı
f ııı türevi 0,533 ≤ x ≤0.534 aralığında pozitif olduğundan f ıı ( x) türev
fonksiyonu artan bir fonksiyon olup maksimum değerini x = 0,534 sayısında alır.
n = 1 için (4.1.8) formülü kullanılırsa;
R1 = f ( x) – p1 ( x) = f ( x) – L( x) ≤ f ıı (0.534) .
x – x0 x – x1
2
’den
R1 ≤
0.5335 – 0.5330 0.5335 – 0.5340
0, 534
.
2 3/2
2
(1 – (0, 534) )
0, 534
(0.0005)2
.
≤ 1, 2.10 –7
=
2 3/2
2
(1 – (0, 534) )
bulunur. Doğrudan hesaplama doğru hatanın 1,101.10–7 olduğunu gösterir.
Bu örnek aşağıdaki gerçekleri ortaya koyar. Pratik işlemlerde (4.1.8) ’deki
tahmini kullanmak için interpole edilen fonksiyonun yüksek mertebeden türevine ve
belli bir aralıkta bu türevin değeri için bir üst sınıra sahip olmak gerekir. Bu
elementer fonksiyonlar için bile oldukça zordur.
Bu zorluğun üstesinden gelmenin çeşitli yolları vardır. Bu yollar yalnızca
interpolasyon için hata tahminine değil, aynı zamanda daha yüksek mertebeden
türevler gerektiren ortalama değer hata tahminlerine de uygulanır.
İkinci olarak eğer analitik fonksiyonlarla çalışıyorsak ve kompleks düzlemde
fonksiyonun değeri için daha yüksek sınır elde edebiliyorsak türevi tahmin etmek
için aşağıdaki sonuç önemli olur.
Sonuç 4.1.4 : A( R) analitik fonksiyonlar kümesi olmak üzere, f (x) ∈A(R)
43
4.KALAN TEORİSİ
olsun. Burada R ,
Figen GÜLTÜRK
[ a, b] ’yi kapsayan bir bölgedir. C, [a,b ] ’ yi içinde bulunduran
kapalı bir eğri olsun ve L(C) = C ’nin uzunluğu , M C = max f ( z ) ,
z∈C
δ = C ' den [ a,b ] ’ ye olan en kısa uzaklık olsun.
O zaman
L(C)M C
x – x 0 x – x1 . . . x – x n
2πδ n +2
R n (f;x ) = f(x) – p n (f;x) ≤
Örnek 4.1.2 : f (x) = ⎡e x
⎣
x1 =
2
–4
1/3
(4.1.9)
olsun. [a,b ] = [–1,1] , n = 4, x0 = –1,
– 1⎤
⎦
1
–1
1
, x2 = 0 , x3 = , x4 = 1 olsun. x =
’de yapılan hatayı bu noktalarda
4
2
2
interpolasyonla tahmin ediniz.
z < 2 ’de analitiktir.
Çözüm : f (z),
f (z) = ez
2
–4
(e
=( e
–1
) =( e
z2 –4
≤
(
= (e
1/3
+1
x2 – y 2 – 4
= eRe(z
2
– 4)
1/ 3
x 2 +2 xyi + ( iy )2 – 4
)
+1
1/ 3
)
. ei 2 xy +1
1/ 3
)
+ 1)
+1
1/3
1/3
x2 – y2 – 4
dir.
(
C = |z| = p , 1 < p< 2, z = p ⇔ x + iy = p ⇔ x 2 + y 2 = p ⇔ x 2 + y 2 = p 2
M C = max f (z) = max e z
z ∈C
(
≤ ep
2
2
–4
z ∈C
–4
–1
)
.1 + 1
1/ 3
≤ 21/ 3
dir. δ = p – 1 ve p = 2 – ε yazarız.
1/ 3
L (C ) M C (2π )(2 – ε ).2
≤
2πδ n +2
2π (1 – ε )6
44
1/ 3
(
≤ ex
2
– y2 – 4
)
+1
1/ 3
)
4.KALAN TEORİSİ
Figen GÜLTÜRK
(4.1.9) eşitsizliği 0 < ε < 2 için sağlanacağından ε → 0 limit alınırsa,
1
1
1 1
1 1 1
⎛ 1⎞
R4 ⎜ f ; ⎟ ≤ 2 4 / 3 – (–1) . – (– ) – 0 –
–1
⎝ 4⎠
4
4
2 4
4 2 4
⎛ 5⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞
= 2 4 / 3 ⎜ ⎟ .⎜ ⎟ .⎜ ⎟ .⎜ ⎟ .⎜ ⎟
⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠
≈ 0.11 olur.
4.2. Konveks Fonksiyonlar
Tanım 4.2.1 : f (x),
[a,b ]
aralığında tanımlı olsun. Eğrinin iki noktasını
birleştiren herhangi bir kiriş eğer eğrinin altında değilse f bu aralıkta konvekstir.
10. x1 < x2 olsun. OC1 = OA1 + A1C1
x = OC1 = x1 + λ A1B1
(0 ≤ λ ≤ 1)
= x1 + λ (x2 – x 1 )
= λ x2 + (1 − λ )x 1
20. x2 < x1 olsun. OC1 = x2 + λ (x1 – x2 )
= λ x1 + (1 – λ )x2
AB kirişinin denklemi:
x – x1
y – f (x1 )
=
x2 – x1 f (x2 ) – f (x1 )
45
4.KALAN TEORİSİ
Figen GÜLTÜRK
y=
f (x2 ) – f (x1 )
.(x – x1 ) + f (x1 )
x2 – x1
dir.
x = λ x2 + (1 – λ )x1
C1Q = y =
=
ile bu denklem kesiştirilirse ,
f ( x2 ) – f ( x1 )
.[ λ x2 + (1 – λ ) x1 – x1 ] + f ( x1 )
x2 – x1
[ f (x2 ) – f (x1 )]λ + f (x1 )
= λ f (x2 ) + (1 – λ ) f (x1 )
C1 P = f ( x) = f ( λ x2 + (1 – λ ) x1 )
C1P ≤ C1Q ⇔ y = f(x) konvekstir ⇔ f ( λ x2 + (1 – λ ) x1 ) ≤ λ f ( x2 ) + (1 – λ ) f ( x1 )
(*)
Teorem 4.2.1. : f ıı , (a,b) ’de var olsun. O zaman f(x) ’in her kapalı alt
aralıkta konveks olması için gerek ve yeter koşul (a,b) üzerinde f ıı ( x) ≥ 0 olmasıdır.
Teorem 4.2.2 : f(x) [a,b] ’de konveks olsun. Eğer
a ≤ x0 < x0 + h < x0 + 2h ≤ b
ise
Δ 2 f (x0 ) = f (x0 + 2 h) – 2 f (x0 + h) + f (x0 ) ≥ 0
(4.2.2)
dır.
İspat : Bu eşitsizlik herhangi bir kirişin orta noktasının eğrinin üzerinde veya
yukarısında olduğunu söyler.
Gerçekten;
(4.2.2 )’den ⇒ f (x0 + h) ≤
f (x0 ) + f (x0 + 2 h)
2
Halbuki (*) konvekslik ifadesinde
x2 = x0 + 2h,
x1 = x0
λ=
1
alınırsa
2
1 ⎞ 1
1
⎛1
f ⎜ (x0 + 2 h) + x0 ⎟ ≤ f (x0 + 2 h) + f (x0 )
⎝2
2 ⎠ 2
2
46
(1)
4.KALAN TEORİSİ
f ( x0 + h) ≤
Figen GÜLTÜRK
f ( x0 + 2h) + f ( x0 )
2
(2)
bulunur. (1) ve (2) aynıdır.
4.3. En İyi Hata Tahminleri, Chebyshev Polinomları
(4.1.8) ’deki polinomlarla interpolasyon için hata tahmini iki kısma ayrılır.
Birinci kısım
interpolasyonun
max f (n +1) (x) , interpole edilen fonksiyona bağlıdır. Fakat
a ≤ x ≤b
yapılış
tarzından
bağımsızdır.İkinci
kısım
ise
1
x – x0 x – x1 . . . x – xn fonksiyondan bağımsız, fakat noktalara bağımlıdır.
(n + 1)!
(4.1.8) tahmini f ( n +1) (ξ ) yerine max f (n +1) (x) alınarak elde edilmiştir. Çoğu zaman
(4.1.8) ile önceden tahmin edilen hatadan büyük olacaktır.
Fakat konuşulduğu üzere birinci kısım kontrolümüz dışında olduğu için ikinci
kısma bakalım. İkinci kısımda daha küçük bir hata tahmini yapılabilecektir.
max ( x − x0 )( x − x1 )...( x – xn )
ifadesini düşünelim. Bu x0 , x1, . . . , xn noktalarına
a ≤ x ≤b
bağlıdır ve bizi aşağıdaki önemli ve ilginç soruya götürür. [a,b] aralığında
x0 , x1, . . . , xn noktalarını maksimumu mümkün olabildiğince küçük olacak şekilde
nasıl seçeriz? Bu problemin cevabı Chebyshev Polinomlarının sıfırları ile verilir.
De Moivre Formülü:
(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ
şeklindedir. cos θ = x olsun.
Eğer 0 ≤ θ ≤ π ise sin θ = 1 – x 2 ≥ 0
dır. O zaman
(
cos nθ + i sin nθ = x + i 1 – x 2
)
n
dir. Sağ tarafa Binom Açılımı uygulanırsa ,
(
)
(
⎛n⎞
⎛n⎞
cos nθ + i sin nθ = x n + ⎜ ⎟ x n –1 i 1 – x 2 + ⎜ ⎟ x n – 2 i 1 – x 2
⎝1⎠
⎝ 2⎠
47
)
2
⎛n⎞
+ . . . + ⎜ ⎟ in
⎝n⎠
(
1 – x2
)
n
4.KALAN TEORİSİ
Figen GÜLTÜRK
olur. Bu denklemden gerçel kısımlar eşitlenerek,
⎛n⎞
cos n(arccos x ) = cos nθ = x n + ⎜ ⎟ x n – 2 ( x 2 −1) + . .. (n=0,1,…) (4.3.1)
⎝2⎠
bulunur. Burada x = cos θ olduğu düşünülürse cos nθ , cosθ ’nın n. dereceden bir
polinomudur.
Tanım 4.3.1. : n. dereceden Chebyshev polinomu
⎛ n⎞
Tn (x) = cos(n arccos x) = x n + ⎜ ⎟ x n – 2 (x 2 − 1) + . . .
⎝ 2⎠
(n = 0,1, . . .)
(4.3.2)
ile tanımlanır.
Şimdi bir kaç Chebyshev polinomunu yazalım.
T0 (x) = 1
T1 (x) = x
T2 (x) = 2 x 2 – 1
T3 (x) = 4 x 3 – 3 x
T4 (x) = 8 x 4 – 8 x 2 + 1
T5 (x) = 16 x 5 – 20 x 3 + 5 x
T6 (x) = 32 x 6 – 48 x 4 + 18 x 2 – 1
Teorem 4.3.1 : Tn +1 (x) = 2 xTn (x) – Tn –1 (x)
n = 1,2, . . .
dir.
İspat : İspatı yapmak için
cos(n +1)θ = cos nθ cos θ – sin nθ sin θ
cos(n – 1)θ = cos nθ cos θ + sin nθ sin θ
yazalım.Bu iki eşitlik taraf tarafa toplanır ve düzenlenirse,
cos(n +1)θ = 2 cos nθ cos θ – cos(n – 1)θ
elde edilir.
cos θ = x,
cos nθ = Tn (x) olduğundan
Tn +1 (x) = 2 xTn (x) – Tn –1 (x)
elde edilir.
48
n = 1,2, . . .
(4.3.4)
4.KALAN TEORİSİ
Figen GÜLTÜRK
Sonuç 4.3.2 : Tn (x) = 2 n –1 x n + derecesi daha küçük terimler
(4.3.5)
Derecesi daha küçük terimler ifadesini kısaltarak d.d.k.t. olarak
İspat :
yazacağız.
İspatı tümevarımla yapalım.
n = 1 için
T1 ( x) = 21–1 x1 = x ,
n = 2 için
T2 ( x) = 2 x 2 + d .d .k .t.
dır.
n–2 ve n–1 için doğru kabul edelim.
Tn – 2 (x) = 2 n – 3 x n – 2 + d.d.k.t ,
Tn –1 (x) = 2 n – 2 x n –1 + d.d.k.t
dır. Şimdi (4.3.4) formülünde n yerine n–1 alınırsa,
Tn (x) = 2xTn –1(x) – Tn – 2 (x)
olur. Buradan
(
) (
Tn (x) = 2 x 2 n – 2 x n –1 + d.d .k.t – 2 n – 3 x n – 2 + d.d.k.t
)
= 2 n –1 x n + d.d.k.t
elde edilir.
Teorem 4.3.3 : Tn (x) polinomunun kökleri
xk = cos
2k – 1
π
2n
k = 1,2, . . . ,n
(4.3.6)
dir.
Tn (x) ,
–1≤x≤1 kapalı aralığında bulunan n + 1 sayıda
xkı = cos
kπ
n
k = 0,1,2, . . . ,n
(4.3.7)
xkı noktalarında ekstremum değerler alır. Bu değerler alternatif olarak (–1)k ’dır.
2k −1 ⎤
⎡
İspat : Tn ( xk ) = cos ⎢ n arccos(cos
π) ⎥
2n
⎦
⎣
= cos n
2k – 1
π⎤
⎡
π = cos ⎢(2k – 1) ⎥ = 0
2n
2⎦
⎣
dir. Öte yandan,
49
k =1,2, . . . , n
4.KALAN TEORİSİ
Tnı ( x) =
=
Figen GÜLTÜRK
–1
1 – x2
n
1 – x2
n(– sin(n arccos x))
sin(n arccos x)
(4.3.8)
ve
Tnı ( xk ) =
=
⎡
2k – 1 ⎞ ⎤
⎛
π⎟
sin ⎢ n arccos x ⎜ cos
2n ⎠ ⎥⎦
⎝
⎣
1– x
n
2
k
n
2
k
1– x
sin(2k −1)
π
≠0
2
dır. Bu yüzden xk ’lar yalnızca Tn (x) ’i sıfır yapıp, Tnı ( x) ’i sıfır yapmadığından
basit köklerdir. Yani katlı değildir. Üstelik
⎛ cos 2 k π ⎞
T ( x ) = n ⎜1 –
⎟
n ⎠
⎝
ı
n
–1 / 2
ı
k
dir. Çünkü
⎛
2 kπ ⎞
⎜⎝ 1 – cos
⎟
2⎠
sin k π = 0 k =1,2, 3, . . . ,n-1 k ≠ 0,
–1/2
=
1
kπ
1 – cos
n
ifadesi
k = 0
k≠n
ve k= n için
2
tanımsızdır.
kπ ⎞
⎛
Tn ( xkı ) = cos ⎜ n arccos(cos ) ⎟
n ⎠
⎝
Tn ( xkı ) = cos n
kπ
n
= cos kπ = (–1)k
Tn ( x0ı ) = (–1)0 =1
⎧1
Tn ( xnı ) = (–1) n = ⎨
⎩ –1
, n çift
, n tek
Böylece k = 0 için Tn ( x0ı ) = 1 ve k = n için Tn ( xnı ) = cos nπ değerleri de
birer ekstremum değer olduğundan böylece (4.3.7) sağlanmış olur.
Fakat –1≤ x ≤1 için Tn (x) = cos(n arccos x) olduğundan Tn ( x) ≤ 1 ’dir. Bu
gösterir ki xkı lar yalnızca –1≤ x ≤1 aralığında ekstremum noktalardır. Çünkü türev
50
4.KALAN TEORİSİ
Figen GÜLTÜRK
n–1. derecedendir ve n–1 kökü olur. İki tane de uç değerler eksremum olduğundan
fonksiyonun eksremum değerlerini aldığı nokta sayısı n+1 ’dir.
Tanım 4.3.2: Tn ( x) polinomunu
Tn (x) =
1
2 n –1
Tn (x)
eşitliği ile tanımlayalım.
Not edelim ki (4.3.5) ’de Tn (x) = 2 n –1 x n + d.d.k.t olarak elde edildiğinden bu
ifade yukarıdaki eşitlikte yerine yazılırsa Tn (x) = x n + d.d.k.t elde edilir.
Teorem 4.3.4 (Chebyshev) :℘n , baş katsayısı 1 olan bütün n. dereceden
polinomların kümesini göstersin. Her p ∈℘n için
max Tn ( x ) ≤ max p ( x)
−1≤ x ≤1
(*)
−1≤ x ≤1
dir.
İspat : –1 ≤ x ≤ 1 üzerinde tanım (4.3.2) ’den
Tn =
1
2 n –1
Tn
yazılır. Böylece Tn = 1 olduğundan Tn , –1≤x≤1 aralığı üzerinde
⎛ kπ ⎞
xkı = cos ⎜ ⎟
⎝ n ⎠
noktalarında maksimum değeri olan
k = 0,1,2, . . . ,n
1
2 n –1
’i n +1 defa kabul eder.
(*) ifadesinin aksine olarak;
max p ( x) ≤
−1≤ x ≤1
1
2n –1
olacak şekilde bir p ∈℘n polinomunun var olduğunu kabul edelim.
Q( x ) = Tn ( x ) – p( x )
eşitliği ile Q( x ) polinomunu tanımlayalım. Q( x) ∈℘n –1 ’dir.
Q( xkı ) = Tn ( xkı ) – p ( xkı ) =
(–1) k
– p( xkı )
n –1
2
51
k = 0,1,2, . . . ,n
4.KALAN TEORİSİ
Figen GÜLTÜRK
olur. Öte yandan p( xkı ) <
1
olduğundan Q( xkı ) değeri sırayla + ve – işaretlerini
n –1
2
alır.
Bu yüzden Q( x ) ’in farklı işaretli değerler aldığı
( x0ı , x1ı , x2ı , . . . , xnı )
gibi n + 1 nokta vardır. Böylece Q( x ) polinomu (bir eksik sayıda) n tane sıfıra sahip
olur. Oysa Q(x) ∈℘n –1 idi. O halde Q( x ) ’in özdeş olarak sıfır olması gerekir. Yani
Q( x ) ≡ 0 olmalıdır. Böylece p( x ) ≡ Tn ( x ) bulunur.
Bu ise,
1
1
= max Tn ( x) = max p( x) < n –1
n –1
−1≤
≤1
−1≤
≤1
x
x
2
2
dir. Bu bir çelişkidir. O halde (*) doğrudur.
Sonuç 4.3.5 : max x n + a1 x n –1 + . . . an ≥
−1≤ x ≤1
1
2n –1
dir.
İspat : Daha önce gördük ki,
p(x) = x n + a1x n –1 + . . . + an
olarak alınabilir.
max x n + a1 x n –1 + . . . an = max p ( x) ≥ max Tn ( x) =
−1≤ x ≤1
−1≤ x ≤1
Sonuç 4.3.6 : max a0 x + a1 x
n
a ≤ x ≤b
n –1
−1≤ x ≤1
+ . . . + an ≥ a0
52
1
2n –1
(b – a )
2n –1
n
4.KALAN TEORİSİ
Figen GÜLTÜRK
İspat:
Doğru denklemi:
y – y1
x – x1
=
y2 – y1 x2 – x1
t – (–1) x – a
=
1 – (–1) b – a
x=
b+a
(b – a )
t+
2
2
dir.
⎡ (b – a) b + a ⎤
+ . . . + an = max a0 ⎢
+ . . . + an
t+
−1≤t ≤1
2 ⎥⎦
⎣ 2
n
max aa x + a1 x
n
n –1
a ≤ x ≤b
= a0
(b – a ) n
max t n + d .d .k .t
n
−1≤t ≤1
2
≥ a0
(b – a )n 1
. n –1
2n
2
= a0
(b – a )n
2 2 n –1
elde edilir.
Tn +1(x) ’in sıfırları olan xo , x1, x2 , . . . , xn noktalarını interpolasyon noktaları
olarak alırsak,
Tn +1 (x) = (x – x0 ) . . . (x – xn ) olur. Çünkü tanım (4.3.2) ’den
Tn ( x) =
1
1
T ( x) = n –1 ⎡⎣ 2n –1 ( x – x0 )( x − x1 ) . . . ( x – xn ) ⎤⎦
n –1 n
2
2
= (x – x0 )(x – x1 ). . . (x – xn )
dir. (4.1.1) formülünden
Rn ( f ; x) =
Tn +1 ( x) ( n +1)
.f
(ξ) , –1 < ξ < 1
(n +1)!
ve (4.1.8) ’den
Rn ( f ; x) =
Tn +1 ( x) ( n +1)
( ξ)
f
(n +1)!
53
(4.3.9)
4.KALAN TEORİSİ
Figen GÜLTÜRK
=
1
Tn +1 ( x) f ( n +1) (ξ)
(n +1)!
≤
1
max Tn +1 ( x) max f ( n +1) ( x)
−1≤
−1≤ x ≤1
(n +1)! x≤1
=
1
1
. n .max f ( n +1) ( x)
(n +1)! 2 −1≤ x ≤1
-1 ≤ x ≤ 1
(4.3.10)
elde edilir.
4.4. Kesirli Farklar ve Ortalama Değer
Teorem 4.4.1 : Rn ( f ; z ) = f ( z ) – pn ( f ; z )
= [ f ( z ), f ( z0 ), . . ., f ( zn ) ] ( z – z0 )( z – z1 ) . . . ( z – zn )
(4.4.1)
dir.
İspat : Burada
[ f ( z ), f ( z0 ), . .. , f ( zn )]
kesirli farkı
[ f ( z ), f ( z0 ), . . . , f ( zn )] =
1
z
z2
1
z0
z02
...
...
...
1
zn
zn2
..
n
z
f ( z)
z
n
0
f ( z0 )
..
..
z
n
n
:
1
z
z2
1
z0
z02
...
...
1
zn
zn2
..
z
n
f ( zn ) z n +1
z
n
0
z0n +1
..
..
znn
znn +1
(4.4.2)
dir. (DAVİS, P. J., ‘Interpolation and Approximation’, Dover Publication, Inc., New
York(1975) (2.6.23) ’ten)
Burada payda D ile gösterilirse; (1. sütundan dolayı D, Pn+1 ’in elemanıdır)
Sondan önceki satırdan başlayarak her satır z ile çarpılır ve altındaki satırdan
çıkarılırsa;
54
4.KALAN TEORİSİ
1
z
1
z0
Figen GÜLTÜRK
1
zn
...
...
D=
1
z–z
= z 2 – z. z
..
z0n
zn
z
n +1
z
n +1
0
1
z0 – z
..
..
znn
z
1
1
0
z0 – z
= 0 z0 (z0 – z)
1
zn – z
z02 – z02 .z
z n +1 – z n .z
n +1
n
...
...
. . . zn2 – zn2 .z
...
n +1
n
z0 – z0 .z . . . znn +1 – znn .z
1
...
1
z1 – z
...
zn – z
z1 (z1 – z) . . . zn (zn – z)
0 z0n (z0 – z) z1n (z1 – z) . . . znn (zn – z)
1
z0
1
z1
... 1
. . . zn
z0n
z1n
. . . znn
1
z0
1
z1
... 1
. . . zn
z0n
z1n
. . . znn
= (z0 – z)(z1 – z)(z2 – z) . . . (zn – z)
= (–1)n +1 (z – z0 )(z – z1 ) . . . (z – zn )
elde edilir.
(4.4.2) ’nin payının 1. sütuna göre açılmasından,
Φ(z) = [ f (z), f (z0 ), . . . , f (zn )](z – z0 )(z – z1 ) . . . (z – zn )
bulunur. Gerçekten;
1
z
Q( z ) =
zn
f ( z)
1
z0
...
...
z0n
...
f ( z0 ) . . .
D
1
zn
znn
f ( zn )
55
(*1 )
4.KALAN TEORİSİ
(–1) n +2+1. f ( z ).
Figen GÜLTÜRK
1
z0
... 1
. . . zn
1
z0
+ (−1) n +1+1.z n
z0n . . . znn
=
1
... zn
f ( z0 )
1 ...
(−1) n +1 ( z − z0 )( z − z1 )...( z − zn )
z0
+ ...
f ( zn )
1
. . . zn
z0n . . . znn
Böylece (4.4.2) ’den Q(z) = [ f (z), f (z0 ), . . . , f (zn )] olduğundan
[ f (z), f (z0 ), . . . , f (zn )](z – z0 )(z – z1 ) . . . (z – zn )
1
1
...
(–1) n +2+1. f ( z ).
1
1
+ (–1) n +1+1 z n .
z0n . . . znn
=
...
f ( z0 ) . . .
1
...
f ( zn )
1
n +1
(–1) .
z0n . . . znn
= (–1) 2 f ( z ) + q ( z )
= f ( z ) + q( z )
(*2 )
olur. (Burada q(z) ∈℘n ’dir). Böylece
φ(z) = f (z) + q(z)
(*3 )
olur.
(*1 ) ’den φ(zi ) = 0
i = 0,1, . . . ,n olur.
(*3 ) ’den 0 = f (zi ) + q(zi )
i = 0,1, . . . ,n
bulunur. Buradan f (zi ) = –q(zi ) olur.
İnterpolasyon polinomunun tekliğinden
q ( z ) = – pn ( f ; z )
yazılır. Sonuç olarak φ(z) = f (z) – pn ( f ; z) olur ve böylece (4.4.1) elde edilir.
Sonuç 4.4.2 : f (x) ∈C [a,b ] olsun ve varsayalım ki f ( n +1) (x) (a,b) ’nin her
noktasında var olsun. Eğer a≤x0<x1< . . . <xn≤b ve x ∈[a,b] ise,
56
4.KALAN TEORİSİ
Figen GÜLTÜRK
f ( n +1) (ξ)
⎡⎣ f ( x), f ( x0 ), . . . , f ( xn ) ⎤⎦ =
(n +1) !
(4.4.3)
dır. Burada min( x, x0 , . . . , xn ) < ξ < max( x, x0 , . . . , xn ) ’dir.
İspat : Teorem 4.1.1 ’den
f ( x) – pn ( f ; x) =
( x – x0 )( x – x1 ) . . . ( x – xn ) ( n +1)
f
( ξ)
(n +1)!
eşitliği vardır.
Teorem (4.4.1) ’den
Rn ( f ; z) = f (z) – pn ( f ; z)
= [ f ( z ), f ( z0 ),. . . , f ( zn ) ] ( z – z0 )( z – z1 ) . . . ( z – zn )
Burada z = x alınarak iki formülün sağ yanları eşitlenirse (4.4.3) formülü
elde edilir.
Sonuç 4.4.3 : f (x) ∈C n +1 [a,b ] olsun. Eğer x ∈[a,b ] ise,
f ( n +1) ( x)
lim [ f ( x), f ( x0 ), . . . , f ( xn ) ] =
xi → x
(n +1)!
(i = 0,1, 2, . . . , n)
(4.4.4)
dir.
İspat : min( x, x0 , . . . , xn ) < ξ < max( x, x0 , . . . , xn ) olduğundan xi → x için
min(x, x0 , . . . , xn ) = x ve max(x, x0 , . . . , xn ) = x olur ve ξ = x
ξ = x dersek, xi → x ⇔ ξ → x
bulunur. Böylece
olacağından (4.4.3) ’ün iki yanının xi → x için
limiti alınırsa ,
lim [ f ( x), f ( x0 ), . . . , f ( xn ) ] = lim f ( n +1) (ξ) = lim
xi → x
xi → x
ξ→ x
f ( n +1) (ξ) f ( n +1) ( x)
=
(n +1)!
(n +1)!
bulunur.
Noktaların eşit aralıklı olması halinde, ardışık farklar için ortalama değer
teoremini elde ederiz.
x0 = 0,
[ f ( x0 ),
x1 = a + h, . . . . , xn = a + nh
f ( x1 ), . . . , f ( xn ) ] =
Δ n f ( x0 )
n !h n
yazılır. Bunu sonuç (4.4.2) ile birleştirirsek aşağıdaki sonucu buluruz.
57
(*)
4.KALAN TEORİSİ
Figen GÜLTÜRK
Sonuç 4.4.4: f (x) ∈C [a,b ] olsun ve varsayalım ki f ( n ) (x) (a,b) ’nin her
noktasında var olsun, O zaman
Δ n f ( x0 ) = h n f n (ξ)
x0 < ξ < xn
(4.4.5)
dır. n = 1 için bu bilinen ortalama değer teoremidir.
İspat : (4.4.3) ’te n +1 yerine n alınırsa ,
f n ( ξ)
[ f ( x0 ), f ( x1 ), . . . , f ( xn )] =
n!
olur. (*) ve bu sonuçtan;
Δ n f ( x0 ) f n (ξ)
=
n !h n
n!
Δ n f ( x0 ) = h n f ( n ) (ξ)
bulunur. Böylece (4.4.5) elde edilir. Burada n = 1 alınırsa;
Δf ( x0 ) = hf ı (ξ)
x0 < ξ < x1
Δf (x0 ) = f (x0 + h) – f (x0 )
olduğundan
f ( x0 + h) – f ( x0 )
= f ı ( ξ)
h
bulunur. Bu bilinen ortalama değer teoremidir.
Örnek 4.4.1 : Varsayalım ki f bir h aralığında sıralansın ve a ve a + h ardışık
noktaları arasındaki bir x noktasında f ’nin değerini lineer interpolasyon ile elde
etmek istiyoruz. Sonuç (4.1.2) ’den hesaplanan hata,
R1 =
( x – a)( x – a – h)
= f ıı (ξ)
2
a<ξ<a+h
(*1 )
dir. (4.4.5) ’den Δ 2 f (a ) = h 2 f ıı (ξ) dır. Eğer h yeteri kadar küçükse buradan,
f ıı (ξ) ≈
1 2
Δ f (a)
h2
(*2 )
dir. Öte yandan
max (x – a)(x – a – h) =
h2
4
olur. (*1 ) ve (*2 ) ’den
58
4.KALAN TEORİSİ
Figen GÜLTÜRK
R1 ≤
1 2 1 2
h . 2 Δ f (a )
h
8
R1 ≤
1 2
Δ f (a)
8
dır. Buradan
bulunur. Bu bize bir kural verir. Lineer interpolasyonda hata 2. farkın
1
’ini geçmez.
8
4.5. Peano Teoremi ve Sonuçları
Eğer polinomlarla interpolasyon için Cauchy Kalanı (4.1.1) dikkatle gözden
geçirilirse, f ( n +1) (ξ) kısmının önemli bir rol oynadığı görülür. Örneğin, f ∈℘n ise,
f ( n +1) ≡ 0 ’dir. Dolayısıyla Rn ( f ; x) Cauchy Kalanı özdeş olarak sıfır olur.
Belirlenmiş bir x için Rn ( f ; x) = f (x) – pn ( f ; x)
kalanına bir lineer fonksiyonel
olarak bakılabilir. Bu Rn operatörü f üzerinde bir operatör olup ℘n ’in bütün
elemanlarında sıfırlanır. Eğer bir lineer fonksiyonel bu özelliğe sahipse o zaman
f ( n +1) ’in bir basit temsiline sahip olmalıdır.
Genelliği sağlamak için C ( n +1) [a,b] fonksiyonlar sınıfını düşünelim ve bu
sınıf üzerinde aşağıdaki tipte bir lineer fonksiyonel verilmiş olsun.
b
L( f ) = ∫ ⎡⎣aa ( x) f ( x) + a1 ( x) f ı ( x) + ... + an f ( n ) ( x) ⎤⎦ dx
a
j0
j1
jn
i =1
i =1
i =1
(4.5.1)
+ ∑ bi 0 f ( xi 0 ) + ∑ bi1 f ı ( xi1 ) + ... + ∑ bin f ( n ) ( xin )
Burada ai (x) fonksiyonları [a,b] üzerinde parçalı sürekli kabul edilirler ve
xi noktaları [a,b] üzerinde bulunurlar.
Teorem 4.5.1 (Peano): ∀p ∈℘n
için
L( p) = 0
olsun. O zaman
∀f ∈C n +1[a,b] için
b
L( f ) = ∫ f ( n +1) (t ) K (t )dt
(4.5.2)
a
dir. Burada
59
4.KALAN TEORİSİ
Figen GÜLTÜRK
K (t) =
1
Lx ⎡⎣(x – t)n+ ⎤⎦
n!
(4.5.3)
(x – t)n+ = (x – t)n x≥t ise,
(x – t)n+ = 0
Lx ⎡⎣( x – t ) n+ ⎤⎦
x<t ise,
(4.5.4)
gösterimi L fonksiyonelinin x ’in bir fonksiyonu olarak
( x – t )n+ ’ye uygulandığını ifade eder.
İspat :Teorem (2.2.2)’ye göre f ( x ) ∈ C n +1[ a, b ] ve x0 ∈[a,b]
olsun. O
zaman a≤x≤b için
f ıı (x0 )
f (n) (x0 )
1
(x – x0 )2 + ... +
(x – x0 )n + ∫ f (n+1) (t)(x – t)n dt (*1 )
2!
n!
n! x0
x
f (x) = f (x0 ) + f ı (x0 )(x – x0 ) +
dir. Önce bu teoremin ispatını görelim.
1
I = ∫ f ( n +1) (t )( x – t )n+ dt
n ! x0
x
olsun. Kısmi integral uygulanırsa,
– f ( n ) ( x0 )
1
( x – x0 ) n +
f ( n ) (t )( x – t ) n –1dt
∫
(n – 1)! x0
n!
x
I=
bulunur. Bu ifadedeki son terim I1 ile gösterilir ve tekrar kısmi integral uygulanırsa,
f ( n –1) ( x0 )
1
( x – x0 )( n –1) +
f ( n –1) (t )( x – t ) n – 2 dt
∫
(n – 1)!
(n – 2)! x0
x
I1 = –
elde edilir. I1 değeri yerine yazılırsa,
f ( n ) ( x0 )
f ( n –1) ( x0 )
1
( x – x0 ) n –
( x – x0 ) n –1 +
f ( n –1) (t )( x – t ) n – 2 dt
∫
(n – 1)!
(n – 2)! x0
n!
x
I =–
bulunur. Böyle devam edilirse,
1
I n –1 = ∫ f ıı (t )( x – t )dt
1! x0
x
olur. Tekrar kısmi integrasyon uygulanırsa,
x
I n −1 = –
f ı ( x0 )
( x – x0 ) + ∫ f ı (t )dt
1!
x0
60
4.KALAN TEORİSİ
= –
Figen GÜLTÜRK
f ı ( x0 )
( x – x0 ) + f ( x) – f ( x0 )
1!
bulunur. Bu integraller ardışık olarak yerine yazılır ve düzenlenirse Teorem 2.2.1
ispat edilmiş ve (*1 ) ifadesi elde edilmiş olur . (*1 ) ’de x0 = a alınırsa,
f ( n ) (a)( x – a) n 1
+ ∫ f ( n +1) (t )( x – t ) n dt
n!
n! a
x
f ( x) = f (a) + f ı (a)( x – a) + . . . +
(*2 )
elde edilir.
(4.5.4) koşulları dikkate alındığında (*2 ) ’deki son terim yerine
1
f (n +1) (t)(x – t)dt
n! ∫a
b
yazılabilir. Gerçekten;
1
1
f (n +1) (t)(x – t)n+ dt = ∫ f (n +1) (t)(x – t)n dt
∫
n! a
n! 0
b
x
1
+ ∫ f (n +1) (t)0dt
n! x
(x ≥ t)
b
(x < t)
dir.
Şimdi L operatörü (*2 ) ’nin her iki tarafına uygulanırsa, ℘n ’in bütün
elemanları için L sıfır olduğundan,
1
L( f ) = L ∫ f (n +1) (t)(x – t)n+ dt
n! a
b
(4.5.6)
elde edilir. (Yani Lf (a) = 0 , L( x – a ) = 0, . . . , L( x – a ) n = 0 dır).
(4.5.1) ifadesi L için kabul edildiğinden hipotezin koşulları altında (4.5.6)
ifadesinde integral ile L fonksiyonelinin yerleri değiştirilebilir. Böylece
1
f (n +1) (t)Lx ⎡⎣(x – t)n+ ⎤⎦ dt
∫
n! a
b
L( f ) =
(4.5.7)
yazılır ve buradan (4.5.2) elde edilir ve ispat tamamlanmış olur.Burada K(t), L
fonksiyoneli için Peano çekirdeği olarak adlandırılır.
(4.5.6) ’dan (4.5.7) ’nin elde edilişi:
61
4.KALAN TEORİSİ
Figen GÜLTÜRK
b
1.Leibniz Kuralı : φ(t) = ∫ f (x,t)dx
fonksiyonu verilsin. Eğer u = f(x,t)
a
∂f
kısmi türevi
∂t
fonksiyonu ve ft =
B=
{(x,t ) ∈R
2
: a ≤ x ≤ b, c ≤ t ≤ d
}
bölgesinde sürekli iseler,
dφ d
∂f ( x, t )
dx
= ∫ f ( x, t )dx = ∫
dt dt a
∂t
a
b
φı (t ) =
b
(c ≤ t ≤ d)
dir. Bu formüle 1. Leibniz Kuralı denir.
(4.5.1) formülü şöyledir:
b
L( f ) = ∫ ⎡⎣a0 (x) f (x) + a1 (x) f › (x) + . . . + an (x) f (n) (x)⎤⎦ dx
a
+
j0
∑b
i =1
i0
jn
j1
f ( xi 0 ) + ∑ bi1 f ( xi1 ) + . . . + ∑ bin f ( n ) ( xin )
ı
i =1
i =1
(*1 )
şimdi Lk ve Lik fonksiyonellerini aşağıda olduğu gibi tanımlayalım.
b
Lk ( f ) = ∫ ak ( x) f ( k ) ( x)dx;
k = 0,1, . . . , n
a
jk
Lik ( f ) = ∑ bik f ( k ) ( xik )
k = 0,1, . . . , n
i =1
(*2 )
i = 1, 2, . . ., jk
(*1 ) ’den
n
n
k =0
k =0
L( f ) = ∑ Lk ( f ) + ∑ Lik ( f )
(*3 )
olduğu görülür.
(*3 ) ’de
b
f (x) = ∫ f (x,t)dt (Leibniz kuralında x ile t yer değiştirir.)
a
koyalım. (4.5.6) ’da f (x,t) = (x – t)n ’dir.
O halde
62
4.KALAN TEORİSİ
Figen GÜLTÜRK
n
⎛b
⎞
⎛b
⎞ n
⎛b
⎞
L ⎜ ∫ f (x,t)dt ⎟ = ∑ Lk ⎜ ∫ f (x,t)dt ⎟ + ∑ Lik ⎜ ∫ f (x,t)dt ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
a
k =0
k =0
a
(*4 )
a
b
⎛b
⎞ b
⎞
dk ⎛
Lk ⎜ ∫ f (x,t)dt ⎟ = ∫ ak (x) k ⎜ ∫ f (x,t)dt ⎟ dx
dx ⎝ a
⎝a
⎠ a
⎠
b
⎛ b ∂k
⎞
= ∫ ak (x) ⎜ ∫ k f (x,t)dt ⎟ dx
⎝ a ∂x
⎠
a
(I. Leibniz kuralı)
⎛ ∂k ⎞
= ∫ ∫ ak (x) ⎜ ⎟ (x,t)dtdx
⎝ ∂x ⎠
a a
b b
(i)
Lk ’nın tanımından;
b b
⎛
⎞
∂k
x
f
(x,t)
dt
=
a
(x)
L
] ∫ ⎜ ∫ k ∂x k f (x,t)dx ⎟dt
∫a ( k ) [
⎠
a⎝a
b
(ii)
dır. İntegral sınırları aynı olduğundan (i) ve (ii) nin sağ yanları eşittir.
O halde
⎛b
⎞ b
Lk ⎜ ∫ f (x,t)dt ⎟ = ∫ L(k ) x [ f (x,t)dt ]
⎝a
⎠ a
bulunur. Aynı şekilde,
b
⎛b
⎞ jk
⎞
dk ⎛
Lk ⎜ ∫ f ( x, t )dt ⎟ = ∑ bik k ⎜ ∫ f ( x, t )dt ⎟
⎝a
⎠ i =1 dx ⎝ a
⎠ x = xik
=
(i)
⎡ ∂ k f ( x, t ) ⎤
b
dt
∑
ik ∫ ⎢
∂x k ⎥⎦ x = x
i =1
a ⎣
ik
jk
b
olur. Lik ’nın tanımından
b ⎡ jk
⎤
⎡ ∂ k f ( x, t ) ⎤
=
L
x
f
(
x
,
t
)
dt
b
⎢
⎥ dt
[
]
ik ⎢
∫a (ik )
∫a ⎢∑
∂x k ⎥⎦ x = x ⎥
i =1
⎣
ik ⎦
⎣
b
(ii)
dir. (i) ve (ii) ’den
⎛b
⎞ b
Lik ⎜ ∫ f ( x, t )dt ⎟ = ∫ L(ik ) x [ f ( x, t ) ] dt
⎝a
⎠ a
bulunur. Böylece bütün terimlerde integral ile operatörler yer değiştirdi. O halde
(4.5.6) ’dan (4.5.7) ’ye geçiş doğrulanmış olur.
63
4.KALAN TEORİSİ
Figen GÜLTÜRK
Sonuç 4.5.2:
Eğer yukarıdaki hipoteze ek olarak K(t) çekirdeği [a,b]
üzerinde işaret değiştirmiyorsa o zaman her f ∈C n +1[a,b] için
L( f ) =
f ( n +1) (ξ)
L ( x n +1 ) ,
(n +1)!
a≤ξ≤b
(4.5.8)
dir.
İspat : İntegral için 1. ortalama değer teoremine göre,
b
∫
a
b
f ( x) g ( x)dx = f (ξ) ∫ g ( x)dx
(*)
a
dir. Burada f , g ∈C[a,b] , g≥0 ve a ≤ ξ ≤ b ’dir.
(4.5.2) ve (*) ’dan
b
L( f ) = f ( n +1) (ξ) ∫ K (t )dt
a≤ξ≤b
(4.5.9)
a
bulunur. f = xn+1 alınırsa,
b
L( x n +1 ) = (n +1)! ∫ K (t )dt
(4.5.10)
a
elde edilir.
(4.510) ’dan bulunan
L( x n +1 )
∫a K (t )dt = (n +1)!
b
değeri (4.5.9) ’da yerine yazılırsa (4.5.8) sonucu elde edilir.
Örnek 4.5.1 (Polinomlarla İnterpolasyon İçin Kowalewski’nin Tam
Kalanı) :
x, x0 , . . . , xn [a,b] ’de belirlenmiş olsunlar.
n
L( f ) = Rn ( f ; x) = f ( x) – ∑ f ( xk ) k ( x)
k =0
olsun. (3.5.9) ’da
n
n
k =0
k =0
pn ( x) = ∑ f ( xk ) k ( x) = ∑ f ( xk )
ve
64
w( x)
( x – xk ) wı ( xk )
4.KALAN TEORİSİ
Figen GÜLTÜRK
pn (xk ) = f (xk )
k = 0,1, . . . , n
dir. Burada pn ( x ) = p( f ; x) ’dir.
O halde (4.5.3) ’ten f (x) = (x – t)n+ alarak,
n
n ! K (t ) = Lx ( x – t ) +n = ( x – t ) n+ – ∑ ( xk – t ) n+
k =0
= ∑ ⎡⎣ ( x – t ) – ( xk – t ) ⎤⎦
k =0
n
+
( x)
(*)
n
n
+
k
k
( x)
olur. Bu son ifadede (3.5.13) ile verilen
n
∑
k
(x) ≡ 1
k =0
ifadesi kullanılmıştır.
Bu ifadeyi daha uygun bir forma koyalım. Belirlenmiş k için (4.5.4) ’ten
b
∫ ⎡⎣( x – t )
n
+
– ( xk – t )n+ ⎤⎦ f ( n+1) (t )dt
a
xk
b
⎛ x
⎞
n
n
n
( n +1)
⎡
⎤
(t )dt + ∫ ⎡0 – ( xk – t ) ⎤ f ( n+1) (t )dt + ∫ [ 0 – 0] f ( n+1) (t )dt ⎟
⎜ = ∫ ( x – t ) – ( xk – t ) f
⎦
⎣
⎦
⎜ a⎣
⎟
x
xk
⎝
⎠
=
x
x
a
xk
n
n
n
( n +1)
( n +1)
∫ ⎡⎣( x – t ) – ( xk – t ) ⎤⎦ f (t )dt + ∫ ⎡⎣( xk – t ) ⎤⎦ f (t )dt
dir. Böylece (*) eşitliğinin iki yanı f ( n +1) (t)
ile çarpılır ve integral alınarak
yukarıdaki işlemler dikkate alınırsa,
b
∫ n ! K (t ) f
a
x
=∫ f
a
( n +1)
( n +1)
⎛ n
⎞
n
n
(t )dt = ∫ f ( n +1) (t ) ⎜ ∑ ⎡( x – t )+ – ( xk – t )+ ⎤ k ( x) ⎟dt
⎣
⎦
⎝ k =0
⎠
a
b
n
⎛ n
⎞
n
n
(t ) ⎜ ∑ ⎡( x – t )+ – ( xk – t )+ ⎤ k ( x) ⎟dt + ∑
⎦
k =0
⎝ k =0 ⎣
⎠
x
( x) ∫ ( xk – t ) f ( n +1) (t )dt
n
k
xk
olur. Yukarıda kullanılan (3.5.13) yeniden kullanılırsa;
n
n
⎡( x – t )n – ( xk – t )n ⎤ k ( x) = ( x – t )n – ∑ ( xk – t )n
∑
⎣
⎦
k =0
k =0
k
( x)
yazılır. (3.5.9) eşitliğinde f (xk ) = (xk – t)n ise, f (x) = (x – t)n olduğundan
65
4.KALAN TEORİSİ
n
∑ (x
k =0
(
)
– t ) . k (x) = pn (x – t ) , x = (x – t )
n
k
Figen GÜLTÜRK
n
n
dir.
O halde yukarıdaki son toplamda 1. terim içindeki toplam sıfıra özdeş
olacağından (4.5.2) ve (4.5.3) dikkate alınarak f ∈C ( n +1) [a,b] için
b
L( f ) = ∫ f
a
( n +1)
1 n
(t ) K (t )dt = f ( x) – pn ( f ; x) = ∑
n ! k =0
dir.
66
x
k
( x) ∫ ( xk – t )n f ( n+1) (t )dt
xk
(4.5.11)
KAYNAKLAR
CHENEY, E.W.,1966. Introduction to Approximation Theory. McGraw-Hill Book
Company, New York.
DAVIS, P.J.,1975. Interpolation and Approximation. Dover Publication, Inc., New
York.
FEINERMAN, R.P., NEWMAN, D.J.,1974.Polinomial Approximation. The
Williams & Wilkins Company, Baltımore.
HAASER, N.B., SULLIVIAN,J.A., 1971. Reel Analysis. Van Nostrand Reinhold
Company, New York.
LORENTZ, G.G., 1966. Approximation of Function. United States of America.
LORENTZ, G.G., CHUI, C. K. AND SCHUMAKER, L.L., 1976. Approximation
Theory II. Academic Pres.Inc., New York.
OSTROWSKI, A.M., 1973. Solution of Equation in Euclidean and Banach Spaces.
Academic Press.Inc., New york and Londan.
RIVLIN, T.J., 1974. The Chebyshev Polynomials , John Wiley and Sons Inc.,
Printed in United States of America.
67
ÖZGEÇMİŞ
1978 yılında Adana’da doğdum.İlköğrenimimi Lütfiye Kısacık İlkokulu ’nda,
ortaöğrenimimi Adana Anadolu Lisesi ’nde tamamladım. 1996 yılında Çukurova
Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümüne girdim ve 2000 yılında
mezun oldum. Aynı yıl Adana’nın Kozan İlçesi Yüksekören Köyü İlköğretim
Okulu’nda matematik öğretmenliği görevine başladım. 2003 yılında tayinim
Adana’nın Yüreğir İlçesi ’nde bulunan Tahsilli İlköğretim Okulu’na çıktı. 2005
yılında Çukurova Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü ’nde
Yüksek Lisans yapmaya başladım. Halen Tahsilli İlköğretim Okulu ’nda görev
yapmaktayım.
68