11. sınıf ağırlık merkezi denge momen

Değirmendere Hacı Halit Erkut
Anadolu Lisesi
-MOMENT
-KÜTLE VE AĞIRLIK MERKEZİ
Hazırlayan : Şehriye IŞIK
MOMENT: Kuvvetin bir cismi, bir eksen veya bir nokta etrafında
döndürme etkisine moment adı verilir. Moment vektörel bir
büyüklüktür ve M ile gösterilir.
-Kuvvet dönme noktasına veya eksenine ne kadar uzaksa moment o
kadar büyüktür. Yani moment kuvvetin sabit noktaya olan uzaklığına
bağlıdır ve doğru orantılıdır.
-Moment, dönme noktasına olan uzaklığın kuvvetin dik bileşeniyle de
doğru orantılıdır.
M=F.d.sin α
denklemi ile hesaplanır.
Uygulanan F kuvveti O’dan geçen
eksene göre dik ise, moment en
büyük değerdedir.
Kuvvet eksenle α açısı yapacak şekilde ise
momentini kuvvetin dik bileşeni etkiler.
Kuvvet O noktasından geçen eksene
180 derecelik açıyla etki ederse,
çubuğu döndüremez,ancak çubuğu
itmeye çalışır. Bu nedenle momenti
sıfırdır.
Kuvvet O noktasından( Uygulama noktasından) etki ederse
çubuğu döndüremez. Momenti sıfırdır.
Kuvvet çubukla birlikte 180 derecelik
açı yaparsa çubuğu yine döndüremez,
ancak çubuğu çekmeye çalışır. Momenti
sıfırdır.
DENGE
Hareketsiz yani durmakta olan, sabit hızla
hareketli cisimlere kuvvet etki eder. Ancak
etki eden kuvvetlerin bileşkesi veya sabit
bir noktaya göre momentlerinin bileşkesi
sıfır olduğundan cisim varolan hareket
durumunu sürdürür. Bu durum aynı
zamanda dinamiğin 1. yasası olan
eylemsizlik ilkesiyle de açıklanabilir. Bu
duruma denge adı verilir. Kısaca dengede
olan bir cisim için iki şart geçerlidir:
Dengenin Şartları
•
Cisme etki eden kuvvetlerin bir noktaya göre
momentlerinin bileşkesi sıfırdır.
•
Cisme etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfırdır.
Örnekler: 1.
Çözüm:
M=F.d.sin 53=10.8.0,8=64 N.m
Örnek
Çözüm: Kuvvetlerin saat yönüne göre dönme etkileri şekildeki
gibidir. (Saat yönü + alınmıştır.) Buna göre:
M= 10.5. sin 37+5.4-10.4.sin 30
M= 10. 5. 0,6+ 5. 4- 10. 4. 0,5
M= 30+20-20=30 N.m olur.
Yanıt B’dir.
örnek
Çözüm: Sorunun çözümü
kuvvetlerin bileşkesinin sıfır
olmasıyla yapılır. Buna göre
cisme etki eden F= 20 N’luk
kuvveti dengeleyen kuvvet
ipteki T gerilmesinin yatay bileşeni olan Tx dir.
F=Tx
20= T.cos 60
20= T.0,5 T=40 N
bulunur.
Örnek
4F kuvveti 2 yönünde,Fve 3F kuvvetleri
ise 1 yönünde döndürür. Saat yönü olan 1 yönü +
seçilip O’ya göre moment alınırsa;
M= -4F.2r + 3F.2r + F.r =-F.r bulunur. Bu da 2
yönünde F.r’lik moment demektir.
Yanıt D’dir
Çözüm:
KÜTLE VE AĞIRLIK
MERKEZİ
-Bileşkenin uygulama noktası cismin ağırlık
merkezidir.
-Bileşkenin bir noktaya göre momenti
bileşenlerin aynı noktaya göre momentlerinin
toplamına eşittir.
1- Geometrik Olmayan Cisimlerin Ağırlık Merkezi
Xkm = m1 . X1 + m2 . X2 + . . .
m1 + m2 + . . .
Ykm = m1 . Y1 + m2 . y2 + . . .
m1 + m2 + . . .
Örnek:
Şekildeki sistemin ağırlık merkezinin X ve Y koordinatları
nedir ?
Çözüm :
Xkm = m1 . X1 + m2 . X2 + m3 . X3 + m4 . X4
m1 + m2 + m3 + m4
= 5. 10 + 3. 8 + 2. 0 + 4. ( - 1 ) = 70 / 14 = 5
5+3+2+4
Ykm = m1 . Y1 + m2 . Y2 + m3 . Y3 + m4 . Y4
m1 + m2 + m3 + m4
= 5. 8 + 3. 0 + 2. ( - 4 ) + 4. 6 = 56 / 14 = 4
5+3+2+4
Ağırlık merkezinin koordinatı : A ( 5 , 4 )
Not : İki cisimden oluşan bir sistemin ağırlık merkezi bu cisimlerin
ağırlık merkezlerini birleştiren doğru üzerindedir. ( Ağırlığı fazla olana
daha yakın olur. )
Not : Sıcaklığı artan cismin hacmi artar , öz kütlesi azalır , kütlesi
değişmez ve ağırlığı değişmez.
Levhalar ( Alanlı Cisimler )
İki boyutlu sistemlerde cisimler aynı maddeden yapılmış ve
kalınlıkları aynı ise ağırlık yerine alanları alınabilir. Ör : Daire levha
gibi. (Aynı maddeden yapılmamış ise öz kütleleri ile de çarpılır. )
Şekillerde bazı geometrik biçimli levhaların alanları ve kütle
merkezi verilmiştir.
Katı Cisimler ( Hacimli Cisimler , Üç Boyutlu Cisimler )
Üç boyutlu sistemlerde cisimler aynı maddeden yapılmış
ve kalınlıkları aynı ise ağırlık yerine hacimleri alınabilir.
(Aynı maddeden yapılmamış ise öz kütleleri ile de çarpılır. )
( İçleri boş ise yüzeyleri alınır. )
Parça Ekleme
Bir cisme başka bir cisim eklenirse paralel ve aynı yönlü iki kuvvetin
bileşkesinin uygulama noktası gibi düşünülerek veya ikiden fazla
paralel kuvvetin bileşkesi gibi düşünülerek moment alınıp işlem yapılır
(sistemin ağırlık merkezi ) bulunur.
Örnek :
Aynı maddeden yapılmış homojen aynı kalınlıkta kare ve daire
şeklindeki levhalardan oluşan sistemin ağırlık merkezi O1
noktasından ne kadar uzaktadır ? ( π = 3 )
Çözüm :
1. Yol : ( Paralel ve aynı yönlü iki kuvvetin bileşkesi gibi )
 147.14  196.0  2058
X

 6cm
 196  147
 343
G1 = 14. 14 = 196
G1 . X = G2 . Y
4X = 3. ( 14 – X )
G2 = π . r2 = 3. 72 = 147
196. X = 147 . ( 14 – X )
7X = 42
X = 6 cm
2. Yol : ( Moment ile )
{ Saat yönü ( – ) , tersi yönü (+ ) alalım. } ve { + y eksenindeki
kuvvetler (+) , – y yönündeki kuvvetleri de ( – ) alalım }
O1 noktasına göre moment alınırsa :
- İpe Asılı Cisimler
Bir cismi ağırlık merkezi dışındaki bir noktadan
serbestçe dönme hareketi yapacak şekilde asarsak cismin
ağırlık merkezi asılan noktadan çizilen düşey doğru
üzerindedir.
ÖRNEK: X , Y , Z metallerinin boyca genleşme
katsayılarının büyükten küçüğe doğru sıralanışı
şöyledir : X > Y > Z
X-Y , Z-X , Y-Z kürelerinden oluşan sistemler t
sıcaklığında şekildeki gibi dengededir. Şekil-1 deki
cisimlerin sıcaklıkları t kadar azaltılıp , Şekil-2 ve
Şekil-3 teki cisimlerin sıcaklıkları t kadar artırılırsa
sistemlerin ağırlık merkezleri hangi taraflara gider ?
• Çözüm :
Şekil-1 deki cisimlerin sıcaklıkları azaltıldığı
için X küresinin yarıçapı Y küresininkinden
daha çok kısalır. Şekil-1 de ağırlık merkezi
sağa doğru yer değiştirir.
Şekil-2 ve Şekil-3 teki cisimlerin sıcaklıkları
artırıldığı için genleşme kat sayısı büyük
olanın yarıçapı daha çok artar. Dolayısıyla
ağırlık merkezleri Şekil-2 de sağa doğru,
Şekil-3 te ise sola doğru yer değiştirir.
Şekil-1
Ağırlık Merkezi Sağa
Şekil-2
Şekil-3
Sağa
Sola
Bilinçli dinlediğiniz ve not aldığınız
için teşekkürler.
• Şehriye IŞIK