1 DİFERANSİYEL GEOMETRİ Tanım 1 (Afin Uzay): A≠Φ V de K

DİFERANSİYEL GEOMETRİ
Tanım 1 (Afin Uzay): A≠Φ V de K cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. Aşağıdaki
önermeleri doğrulayan f:AXA→V fonksiyonu varsa A ya V ile birleştirilmiş afin uzay denir.
1. ∀P, Q, R ∈A için f(P,Q)+f(Q,R)=f(P,R)
2. ∀P ∈A ve ∀α ∈V için f(P,Q) = α olacak biçimde bir tek Q∈A vardır.
Tanım 2 (Afin çatı): Bir V vektör uzayı ile birleşen afin uzaylardan biri A olsun.
→
→
→
P0 , P1 , …..,Pn ∈A noktaları için P0 P1 , P0 P2 ,....., P0 Pn ∈ V vektörleri V nin bir bazı ise :
{ P0 , P1 , …..,Pn} nokta (n+1)-lisine A afin uzayının bir afin çatısı denir.
→
→
→
→
xy, yz
Λ
Tanım 3 (Açı): ∀x , y, z ∈E n için xyz açısının ölçüsü cos θ =
ifadesindeki θ ya
xy yz
denir.
Tanım 4 (Öklit metriği): d : E n XE n →→IR şeklinde tanımlanan d fonksiyonuna En de öklit
( x , y )→d ( x , y ) = xy
metriği denir.
Tanım 5 (Öklit çatısı): En de sıralı bir { P0 , P1 , …..,Pn} nokta (n+1)-lisine IRn de karşılık
→
→
→
gelen {P0 P1 , P0 P2 ,....., P0 Pn } vektör n-lisi IRn için bir ortonormal baz ise { P0 , P1 , …..,Pn}
sistemine En in bir dik çatısı veya öklit çatısı denir.
Tanım 6 (Standart öklit çatısı): En deki { E0 , E1 , …..,En} çatısına standart öklit çatı denir.
Tanım 7 (Öklit uzay): Bir reel afin uzayı A ve A ile birleşen vektör uzayıda V olsun. V de
bir iç çarpım işlemi olarak : , : VXV → IR öklit iç çarpımı tanımlanırsa A da uzaklık ve
∞
( x , y ) → x , y = ∑xiyi
i =1
açı gibi metrik kavramlar tanımlanabilir. Eğer bu şekilde bir metrik tanımlanırsa bu afin uzaya
öklit uzay denir.
Tanım 8 (Homeomorfizm): X ve Y birer topolojik uzay olsunlar. Bir f:X→Y fonksiyonu
için : 1-) f sürekli 2-) f-1 mevcut 3-) f-1 sürekli ise f fonksiyonuna homeomorfizm denir. Bu
durumda X ve Y uzaylarına homeomorf uzaylar denir.
Tanım 9 (Haussdorf uzayı): X bir topolojik uzay olsun. X in P ve Q gibi farklı iki noktası
için X de sıralı P,Q noktalarını içine alan Ap ve AQ açık alt cümleleri A P  A Q = Φ olacak
şekilde bulunabilirse X topolojik uzayına haussdorf uzayı denir.
Tanım 10 (Topolojik manifold): M topolojik bir uzay olsun. M için aşağıdaki önermeler
gerçekleniyorsa M ye n-boyutlu bir topolojik manifold denir.
1. M bir haussdorf uzaydır.
2. M nin her bir açık alt cümlesi En veya En in açık bir alt cümlesine homeomorftur.
3. M sayılabilir açık cümlelerle örtülebilir.
Tanım 11 (Diferansiyellenebilir fonksiyon):
f : U → IR
fonksiyonu için k.
( x1 ,.... x n )→f ( x ) =( f ( x1 ...., x n )
Mertebeden kısmi türevleri var ve sürekli iseler f fonksiyonuna k. Mertebeden
diferansiyellenebilir bir fonksiyon denir. f ∈C k ( U, IR ) şeklinde gösterilir.
Tanım 12 (Dış çarpım): Λ : T(V )ΘT(V) → Λ2 V * şeklinde tanımlı Λ fonksiyonuna dış
( f .g ) →fΛg = A 2 ( fΘg )
çarpım ve f Λ g alterne tensörünede f ve g nin dış çarpımı denir.
Tanım 13 (Vektörel çarpım): X : IR 3 xIR 3 → IR 3 ile tanımlanan X iç işlemine vektörel
( α ,β ) =αxβ = ψ ( αΛβ )
çarpım denir.
1
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
Tanım 14 (Eğri): I⊆IR açık alt cümle olmak üzere diferansiyellenebilir
α : I → IR
t →α ( t ) = ( α1 ( t ),....α n ( t ))
fonksiyonu verilmiş olsun. (I, α ) koordinat komşuluğu ile tanımlanan α(I) ⊂En ya En de bir
eğri denir.t ye ise α eğrisinin parametresi denir.
Tanım 15 (İnversiyon): Bir α eğrisi ve sabit bir O noktası verilmiş olsun. k belli bir reel sayı
olmak üzere α nın bir P noktasını O ya birleştiren OP vektörü üzerinde bir P’ noktası için :
→
→
OP .OP' = k 2 ise P’ noktasına P noktasının O ya göre inversi denir.
Tanım 16 (Pedal eğrisi): Bir α eğrisi ve sabit bir O noktası verilmiş olsun. O noktasından α
nın teğetlerine inilen P ayak noktalarının geometrik yerine α eğrisinin O noktasına göre
pedal eğrisi denir. O noktasına da α nın pedal noktası denir.
Tanım 17 (Parametre değişimi): En de bir M eğrisinin (I, α ) ve (J, β ) gibi iki koordinat
komşuluğu verilsin. h= α-1oβ:J→I diferansiyellenebilir fonksiyonuna M nin bir parametre
değişimi denir.
Tanım 18 (Hız vektörü): Bir M eğrisi (I, α ) koordinat komşuluğu ile En de verilsin. α :I→En
fonksiyonunun öklit koordinat fonksiyonu (α1, α2,….., αn ) olmak üzere α( t ) ∈M ve
dα dα
dα
α ' ( t ) = ( 1 , 2 ,....., n ) t
dir. Burada ( α (t),
α ’(t)) tanjant vektörü olup
dt dt
dt
( α (t), α ’(t))∈TE n (α (t )) dir. Bu tanjant vektörüne M eğrisinin t∈ I parametre değerine
karşılık gelen α( t ) noktasında (I, α ) koordinat komşuluğuna göre bir hız vektörü denir.
Tanım 19 (Bir eğrinin tanjant uzayı): α :I→En bir eğri olsun. Bu eğrinin α( t ) noktasındaki
hız vektörlerinin cümlesi bu eğrinin bu noktadaki tanjant uzayı olarak adlandırılır. TE n (α (t ))
şeklinde gösterilir.
Tanım 20 (Skaler hız fonksiyonu): Bir M⊂ En eğrisi (I, α ) koordinat komşuluğu ile
verilsin. α' : I → IR şeklinde tanımlı α' fonksiyonuna M eğrisinin (I, α ) koordinat
t → α ' ( t ) = α '( t )
komşuluğuna göre skaler hız fonksiyonu denir.
Tanım 21 (Birim hızlı eğri): Bir M eğrisi (I, α ) koordinat komşuluğu ile verilsin. ∀s ∈I için
: α' (s) = 1 ise M eğrisine (I, α ) koordinat komşuluğuna göre birim hızlı eğri denir. s ye
eğrinin yay parametresi denir.
Tanım 22 (Yay uzunluğu): M eğrisi (I, α ) koordinat komşuluğu ile verilsin. a , b ∈M olmak
üzere a dan b ye M eğrisinin yay uzunluğu diye eğrinin α (a) ve α (b) noktaları arasındaki
b
uzunluğa karşılık gelen
∫α' ( t) dt
reel sayısına denir.
a
Tanım 23 (Reguler eğri): Her noktasındaki hız vektörü sıfırdan farklı olan eğriye denir.
Tanım 24 (Vektör alanı): α :I→En M eğrisinin komşuluğu (I, α ) olsun. Bu eğrinin hız
n
özdeşzde
dα ∂
vektörü α' ( t ) olsun. α' ( t ) = ∑ i
olsun.
Π
:

T
(
M
)
→
M
,
Π
o
α
'
=
I
:
M
→ M
M
M
xi t
α '( t ) → Π ( α '( t ))= α ( t ) = m
i =1 dt ∂
şeklinde yazılabileceği açıktır. O halde α ’ , M üzerinde bir vektör alanıdır. Bu vektör alanına
M eğrisinin (I, α ) koordinat komşuluğuna göre teğet vektör alanı denir.
Tanım (25) (Serret-frenet r-ayaklı alanı): M⊂ En eğrisi (I, α ) koordinat komşuluğu ile
verilsin. Bu durumda ψ = {α (1) ,...., α ( r ) } sistemi lineer bağımsız ve ∀α ( k ) , k >r için
α ( k ) ∈Sp {ψ} olmak üzere ψ sisteminden elde edilen {V1, V2,…..,Vr } ortonormal sistemine M
eğrisinin serret-frenet r-ayaklı alamı ve m ∈M için {V1(m), V2(m),…..,Vr (m)} sistemine ise
m ∈M noktasındaki serret-frenet r-ayaklısı denir. Her bir Vi 1 ≤ i ≤ r vektörüne serretfrenet vektörü veya frenet vektörü denir.
2
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
Tanım 26 (Oskülatör hiperdüzlem): M⊂ En eğrisinin α (s) noktasındaki frenet r-ayaklısı
{V1(s), V2(s),…..,Vr (s)} olsun bu durumda α (s) seçilmiş bir nokta olmak üzere En in
Sp{V1(s), V2(s),…..,Vr (s)} vektör uzayı ile birleşen afin uzayına α (s) noktasında M eğrisinin
p. Oskülatör hiper düzlemi denir.
Tanım 27: n=3 de {T(s),N(s),B(s)} sistemi frenet 3 ayaklısıdır. Sp {T(s),N(s)} ile birleşen
α (s) deki afin alt uzayına oskülatör düzlem denir. Sp {N(s),B(s)} vektör uzayı ile birleşen
α (s) deki afin alt uzayına normal düzlem denir. Sp {T(s),B(s)} ile birleşen α (s) deki afin alt
uzaya rektafiyen düzlem denir.
Tanım 28 (Eğrilikler): M⊂En eğrisi (I, α ) koordinat komşuluğu ile verilsin. s ∈I da α (s)
noktasına karşılık gelen frenet r-ayaklısı {V1(s), V2(s),…..,Vr (s)} olsun. Buna göre :
ki :
I → IR
şeklinde tanımlı ki fonksiyonuna M eğrisinin i. Eğrilik fonksiyonu denir.
s→ k i ( s ) = V 'İ ( S),Vİ +1 ( S)
Birinci eğriliğe eğrilik , ikinci eğriliğe burulma (torsiyon) denir.
Tanım 29 (Eğrilik küresi): M⊂E3 eğrisi ile m ∈M noktasında sonsuz yakın 4 noktası ortak
olan küreye M nin m noktasındaki oskülatör küresi yada eğrilik küresi denir.
Tanım 30 (Eğilim çizgisi): M eğrisi (I, α ) koordinat komşuluğu ile verilsin. ∀s ∈I yay
parametresi için α' (s) hız vektörü bir u sbt vektörü ile bir sbt açı teşkil ediyorsa : Yani ;
Π
α ' (s), u = cos φ = sbt φ ≠
ise M eğrisine bir eğilim çizgisi ve φ ye eğilim açısı ve Sp ye
2
M eğilim çizgisinin eğilim ekseni denir.
Tanım 31 (Harmonik eğrilik): M⊂E3 eğrisi (I, α ) koordinat komşuluğu ile verilsin. ∀s ∈I
ye karşılık gelen α(s) ∈M noktasında M nin 1. ve 2. eğrilikleri sırası ile k1(s)ve k2(s) ise :
H : I → IR şeklinde tanımlı H fonksiyonuna M nin α (s) noktasındaki birinci harmonik
K ( S)
S→ H ( S) =
1
K 2 (S )
eğriliği denir.
Tanım 32 (Bertrant çifti): M,N⊂ En eğrileri sırası ile (I, α ) ve (I, β ) koordinat
komşulukları ile verilsin. α(s) ∈M ve β(s) ∈N noktalarında M ve N nin {V1(s),
V2(s),…..,Vr (s)} , {V*1(s), V*2(s),…..,V*r (s)} frenet r-ayaklıları verildiğinde ∀s ∈I için
{V2(s),V*2(s)} lineer bağımlı ise (M,N) eğri çiftine bertrant eğri çifti denir.
Tanım 33 (Teğetler göstergesi): E3 de bir α eğrisi s ∈I yay parametresi ile verilsin. α
→
eğrisinin birim teğet vektörü T olmak üzere PQ =T alındığında P noktası α eğrisini çizerken
Q noktasının birim küre yüzeyi üzerinde çizdiği eğriye α eğrisinin 1. küresel göstergesi veya
teğetler göstergesi denir. (T) ile gösterilir. α T=T olup T nin parametresine ST denir ise ST≠S
olup dST= T' ds ile ifade edilir.
Tanım 34 (Asli normaller göstergesi): E3 de α eğrisinin birim asli normal vektörü N olsun.
α eğrisi çizilirken N vektörünün uç noktaları cümlesinin birim küre yüzeyi üzerinde meydana
getirdiği eğriye α eğrisinin 2. küresel göstergesi veya asli normaller göstergesi denir. (N) ile
gösterilir.
Tanım 35 (Binormaller göstergesi): α ∈E3 bir eğri olsun. α eğrisinin bir P noktasındaki
→
ninormal vektörü B ve PR =B ve komşu iki binormal vektör arasındaki açı Δθ olmak üzere P
noktası α eğrisini çizerken R noktasının birim küre yüzeyi üzerinde çizdiği eğriye α eğrisinin
3. küresel göstergesi yada binormaller göstergesi denir.
Tanım 36 (Darboux vektörü): α bir eğri olsun. Eğri üzerindeki P noktası eğriyi çizerken
T,N,B vektörleri değişirler. Dolayısı ile küresel göstergeler meydana getirirler. Eğrinin T,N,B
üç ayaklısının her s anında bir eksen etrafında bir ani helis hareketi yaptığı kabul edilir. Bu
eksene eğrinin bir s parametresine karşılık gelen α (s) noktasındaki darboux ekseni denir. Bu
3
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
eksenin yön ve doğrultusunu veren vektör W olsun. W =k2T+k1B olup eğrinin α (s)
noktasındaki darboux vektörü adını alır.
Tanım 36 (İnvolüt-Evolüt): M,N⊂En iki eğri olsun. Bunlar sırası ile (I, α ) ve (I, β )
koordinat komşulukları ile verilsin. α (s) ve β (s) noktalarında sırası ile M ve N eğrilerinin
frenet r- ayaklıları {V1(s), V2(s),…..,Vr (s)} , V*1(s), V*2(s),…..,V*r (s)} olmak üzere
V1 (s), V2 (s) = 0 ise N eğrisine M eğrisinin involütü , M yede N nin evolütü denir.
Tanım 37 (Bir manifold üzerinde Ck sınıfından eğri): M bir diferansiyellenebilir manifold
ve α : I → M Ck sınıfından bir fonksiyon olsun. O zaman α(I) ⊂M alt cümlesine {(I, α )}
atlası ile verilmiş Ck sınıfından bir eğri denir.
Tanım 38 (Tanjant uzayı): M bir diferansiyellenebilir manifold ve P∈ M noktasındaki
tanjant vektörlerinin uzayı TM(P) olsun. TM(P) ye M nin P noktasındaki tanjant uzayı denir.
Tanım 39 (Vektör alanı): M bir diferansiyellenebilir manifold olsun. M üzerinde vektör
1:1
alanı diye : X : M →  TM (P) şeklinde tanımlanan X fonksiyonuna denir. M üzerindeki
örten
P∈M
vektör alanlarının cümlesi χ (M ) ile gösterilir.
Tanım 40 (Diferansiyel): M bir diferansiyellenebilir manifold ve M üzerindeki reel değerli
C1 sınıfından bir fonksiyon f olsun. O zaman f nin bir P noktasındaki diferansiyeli diye :
∀x P ∈TM (P) için : (df P )(x P ) = x P f = x P [f ] şeklinde tanımlı df P fonksiyonuna denir.
Tanım 41 (Fonksiyonun diferansiyeli): M üzerinde bir koordinat sistemi {x1,…..,xn } olsun.
dx i P : TM (P) → IR şeklinde tanımlanan fonksiyona xi fonksiyonunun diferansiyeli denir.
X P = dxi ( p )( x p ) = x p [ x i ]
Tanım 42 (İntegral eğrisi): En de bir hiperyüzey M olsun. M üzerinde bir
diferansiyellenebilir vektör alanı X ve bir eğride α olsun. Eğer α nın her bir parametrik değeri
için : α • ( t ) = x (α( t )) ise α eğrisine X vektör alanının M üzerinde bir integral eğrisi denir.
Tanım 43 (Diffeomorfizm): U ve V En in iki açık alt cümlesi olsun. Bir ψ:U→V fonksiyonu
için aşağıdaki önermeler doğru ise ψ ye Ck sınıfından bir diffeomorfizm ve U ve V yede k.
Dereceden diffeomorfiktirler denir.
1. ψ ∈C k (U, V)
2. ψ-1:V→U mevcut ve ψ-1 ∈Ck(V,U)
Tanım 44 (Koordinat komşuluğu-Harita): M bir n-topolojik manifold U⊂En de açık bir alt
cümle olsun. Bu durumda U bir ψ homeomorfizmi ile M nin bir W açık alt cümlesine
eşlenebilir. ψ : U ⊂E n → W ⊂M olmak üzere (ψ,W) ikilisine M de bir koordinat komşuluğu
yada harita denir.
Tanım 45 (Atlas): M bir topolojik manifold olsun. M nin bir açık örtüsüde {Wα} olsun. Wα
açık cümlelerinin α indislerinin cümleside A olsun. Bu durumda {Wα} örtüsü için {Wα }α∈A
yazılır. En de bir ψ α homeomorfizmi altında Wα ya homeomorf olan açık cümle U α olsun.
Böylece ortaya çıkan ( ψ α ,Wα), ψ α : U α → Wα haritalarının {( ψ α ,Wα)} koleksiyonuna bir
atlas denir.
Tanım 46 (Diferansiyellenebilir yapı): M bir n-topolojik manifold ve M nin bir atlası da S
olsun. S= {( ψ α ,Wα)} olsun. ∀ S atlası için Wα ile Wβ arakesitleri boştan farklı olmak üzere
∀α, β ∈A ya karşılık Φ αβ ve Φ βα fonksiyonları Ck sınıfından diferansiyellenebilir iseler S
de Ck sınıfından diferansiyellenebilir denir. S atlası M üzerinde Ck sınıfından olduğu zaman S
ye M de Ck sınıfından diferansiyellenebilir yapı denir.
4
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
Tanım 47 (Manifold): M bir n-topolojik manifold olsun. M üzerinde Ck sınıfından bir
diferansiyellenebilir yapı tanımlanabilirse M ye Ck sınıfından diferansiyellenebilir manifold
yada kısaca manifold denir.
Tanım 48 (Tanjant vektörü): V vektör uzayı ile birleşen bir afin uzay A olsun. P ∈A ve
v ∈V için (P,v) sıralı ikilisine A afin uzayının P noktasındaki bir tanjant vektörü denir.
Tanım
49
(Doğal
baz
alan
sistemi):
∀P ∈E n
için
:
∂
∂
∂
= (1,0,.....,0) P ,
= (0,1,....,0) P .....,
= (0,0,....,1) P n tane vektör seçelim.
∂
x1 P
∂
x2 P
∂
xn P
∂ ∂
∂
Bunların En deki dağılımları ile n tane vektör alanı elde edilir. {
,
,.....,
} n-lisine
∂
x1 ∂
x2
∂
xn
En deki doğal baz alan sistemi denir.
Tanım 50 (Yöne göre türev): f:En→IR diferansiyellenebilir fonksiyon ve VP ∈TE n (p) olsun.
→
→
→
Bu durumda VP = PQ olmak üzere : VP (f ) =
d
{f(P1+t(Q1-P1),…..,Pn+t(Qn-Pn)} ifadesine f
dt
→
in VP yönündeki türevi denir.
Tanım 51 (Vektör alanı yönünde türev): x ∈χ (E n ) ve f ∈C(E n , IR ) olsun. ∀P ∈E n
için : ( x (f )) = x P [f ] fonksiyonuna f in x yönündeki türevi denir.
Tanım 52 (Kovaryant türev): X, Y ∈χ (E n ) vektör alanları verilmiş olsun. ∀P ∈E n için
xp=(x1,x2,…..,xn) P ∈TE n (p) olur. Eğer : yi :En→IR koordinat fonksiyonları C∞ sınıfından ise
bu durumda y nin kovaryant türevi DXY=(xP[y1],….,xP[yn]) şeklinde tanımlanır ve DXY
şeklinde gösterilir.
Tanım 53 (Paralel vektör alanı-geodezik eğri): Eğer bir α:I→En eğrisi üzerinde y bir C∞
vektör alanı olmak üzere DTY=0 ise y vektör alanına α eğrisi üzerinde paralel vektör alanı
denir. Eğer DTT=0 ise α eğrisine geodezik eğri denir.
Tanım 54 (Lie operatörü): V bir K cismi üzerinde bir vektör uzayı olmak üzere aşağıdaki
şartları sağlayan [,]:VXV→V dönüşümüne V üzerinde bir lie operatörü denir.
1. 2-lineerdir
2. Alternedir.
3. ∀x , y, z ∈V için : [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0
lineer
Tanım 55 (Dual uzay): V IR üzerinde tanımlı bir vektör uzayı ise V*={f│f:V → IR }
cümlesine V nin dual uzayı denir.
Tanım 56 (Kotanjant uzay): TE n (p) nin cebirsel duali T *En (p) ile gösterilir ve buna En in
P ∈E n noktasındaki kotanjant uzayı denir. Bu uzayın her elemanına kotanjant vektörü denir.
Tanım 57 (1-form): T *En (p) , En in P ∈E n noktasındaki kotanjant uzayı
özdeşzde
olsun. W : E n → TEn * (P) fonksiyonu için : ΠoW = I : E n → E n olacak şekilde bir
Π : T *E n (P) → E n fonksiyonu mevcut ise W ya En de bir 1-form denir. En de 1-formların
cümlesi χ * (E n ) ile gösterilir.
Tanım 58 (d operatörü veya diferansiyel operatörü): d : C(E n , IR ) → χ * (E n ) öyle ki
f → df :
χ ( E n )→ IR
n
X → df ( x ) = X [ f ] =
∑dxidf vi
i =1
n
∀x ∈χ (E ) için : df(x)=x[f] şeklinde tanımlı d fonksiyonuna diferansiyel operatörü denir.
5
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
Tanım 59 (Gradient fonksiyonu): grad : C(E n , IR) → χ (E n ) öyle ki {x1,x2,…..,xn} En de bir
f →gradf
n
∂f d
koordinat sistemi olmak üzere gradf = ∑
şeklinde tanımlı fonksiyona En de gradient
x i dx i
i =1 ∂
fonksiyonu denir. ∇ ile gösterilir.
n
∂
n
n
Tanım 60 (Divergens fonksiyonu): div : χ (E ) → C(E , IR ) X = ∑fi
olmak üzere :
∂x i
X →div ( x )
İ =1
∂
f
div (x ) = ∑ i div (x ) = ∇, x şeklinde tanımlı div fonksiyonuna En de divergens
∂
xi
fonksiyonu denir.
Tanım 61 (Rotasyonel fonksiyon): M={1,2,3} olmak üzere M nin tek permütasyonları
3
∂
cümlesi T3 olsun.O halde burada rot : χ (E 3 ) → χ (E n ) x = ∑f i
olmak üzere :
∂x i
x →rot ( x )
i =1
∂fσ (3) ∂fσ (1)
∂
şeklinde tanımlanan fonksiyona En de rotasyonel
rot( x ) = ∑(
)
∂
x
σ
∂
x
σ
∂
x
σ
σ∈T3
(1)
(3)
( 2)
fonksiyonu denir.
Tanım 62 (Dönüşüm): F : E n → E m
∀P ∈E n şeklinde bir fonksiyon verilmiş olsun.
P→F ( P ) = ( f1 ( P ),...., f m ( P )
Buradaki f1,f2,….,fm:En→IR reel değerli fonksiyonlara f in öklit koordinat fonksiyonları denir.
F:En→Em fonksiyonu diferansiyellenebilir ise buna dönüşüm denir.
Tanım 63 (Regüler dönüşüm): F:En→Em dönüşümünün ∀P ∈E n noktasındaki (F*)p türev
dönüşümü birebir ise bu dönüşüme regüler dönüşüm denir.
Tanım 64 (Jakobiyen matris ve dönüşüm): (F*)p , F:En→Em dönüşümünün P ∈E n için
∂
∂
türev dönüşümü olsun. Sırası ile TE n (p) ve TE n (F(p)) uzaylarında Φ = {
} ve
p ,....,
∂
x1
∂
xn p
∂
∂
ψ ={
} standart bazları için (F*)p nin karşılık geldiği matris J(F,P) ile
F ( p ) ,....,
∂
y1
∂
y n F( p )
gösterilir. Bu matrise F in P noktasındaki jakobien matrisi ve bu matrise karşılık gelen
dönüşüme ise F in jakobien dönüşümü denir.
Tanım 65 (Bir eğrinin resmi): α(I) ⊂E n eğrisi α : I → E n dönüşümü yardımı ile verilsin.
f:En→Em bir dönüşüm ise β = foα : I → E m bileşke fonksiyonuda Em de bir eğri tanımlar. Bu
eğriye α(I) nın Em deki resmi denir.
Tanım
66
(Türev
dönüşümü):
F:
En → Em
P→F ( P ) = ( f1 ( P ),...., f m ( P )
∀VP ∈TEn (P) ise (F* ) P (VP ) ∈TE m (F(P)) olmak üzere
bir
dönüşüm
olsun.
Eğer
Em in t→F(P+ tv) eğrisinin t=0
noktasındaki hız vektörü olsun. F* (P) : TE n (P) → TE n (P) fonksiyonuna F in P noktasındaki
türev dönüşümü denir.
Tanım 67: k1 eğriliği eğrimizin So noktasında bir doğrudan ne kadar ayrıldığını gösterir.
Ayrıca k1→0 yaklaşırsa eğri doğruya yaklaşır. K2(0)=0 ise eğri oskülatör düzlemde yatar aksi
halde bu düzlemden uzaklaşır. O halde k2 burulması eğrinin bir düzlemden ne kadar saptığını
gösterir.
Tanım 68 (Pol noktası ve pol eğrisi): X’=AX dönüşümündeki A matrisi t zaman
parametresinin A(t+2 Π )=A(t) şeklinde bir periyodik fonksiyonu ise S*2/S2 hareketine bir
parametreli kapalı küresel hareket denir. S*2/S2 hareketinin her t anında S*2 de sbt bir P* ve
S2 de de sbt P noktası vardır. Öyle ki bu noktalara sırası ile hareketli ve sbt pol noktası denir.
6
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
α eğrisinin çizilebilmesi için gerekli olan S*2/S2 hareketi boyunca P* ve P noktalarının ait
oldukları küreler üzerindeki geometrik yerlerine sırası ile hareketli ve sbt pol eğrisi denir. P*
ve P eğrileri her t anında birbirlerine teğettir. P* ve P eğrilerinin yay uzunlukları eşittir.
¬
Tanım 69 (İnculsion-dahil etme): n-boyutlu bir M
manifoldunun bir alt manifoldu M
¬
olsun. boyM=k , k ≤m olmak üzere M deki bir koordinat sistemi M deki bir koordinat
¬
sisteminden elde edilebilir. Şöyle ki M de koordinat sistemi : {x1,x2,…xk,xk+1..,xn} ise M
deki koordinat sistemi {x1,x2,…xk,xk+1=0..,xn=0} olarak alınabilir. i :
¬
M→M
P = ( P1 ,....., Pk )→i ( p ) = ( P1 ,.., PK , 0..0 ) = P
şeklinde tanımlanan i ye dahil etme dönüşümü denir.
¬
¬
Tanım 70 (İmmersiyon-daldırma): M ve M birer C∞ manifold olsun. ve f:M→ M bir
¬
C ∞ fonksiyon olsun. Eğer f in f* jakobien matrisi ∀P ∈M için regüler ise f ye M den M ye
bir daldırma denir.
¬
Tanım 71 (Alt manifold): M ve M birer manifold ve M ⊂M olsun. O halde f(M)= M
olacak şekilde bir immersiyon mevcut ise M ne M nin daldırılmış alt manifoldu denir.
Tanım 72 (Tensör): V1XV2X….XVr→IR bütün r-lineer fonksiyonların cümlesini :
L(V1,V2,…..,Vr;IR) ile gösterelim. Bu cümle IR üzerinde bir vektör uzayıdır. Bu vektör
uzayına dual vektör uzaylarının çarpımı denir. L(V1,V2,…..,Vr;IR)= V*1XV*2X….XV*r
tensör uzayının her bir elemanına r. Dereceden tensör denir. Eğer V1=V2=….=Vr ise
V*1XV*2X….XV*r uzayına kovaryant tensör uzayı bu uzayın her elemanına da kovaryant
tensör denir. Bu uzayı kısaca Tr(V) yada ⊗r(V) ile gösterilir.
Tanım 73 (Kontravaryant tensör): Kovaryant tensör tanımında V yerine V nin duali olan
V* alınırsa (V*)* uzayı V ye izomorf olduğundan V* üzerinde s-lineer fonksiyonlar elde
ederiz. Bu uzaya kontravaryant tensör uzayı adı verilir.
Tanım 74 (Karışık tensör) Reel sayılar cismi üzerinde
tanımlı bir vektör uzayı V ve bunun
( r +s ) lineer
duali de V* olsun. L(Vr,(V*)s;IR)={f │f:Vrx(V*)s → IR} uzayına r. Dereceden kovaryant
, s. Dereceden kontravaryant tensör uzayı denir. Bu uzayın elemanlarına da (r,s) tipinden
karışık tensör denir.
Tanım 75 (Tensörel çarpım): f ∈ ⊗n(V*) , g ∈⊗m(V*) olmak üzere f ile g nin tensörel
çarpımı f⊗g ile gösterilir.
Tanım 76 (Alterneleyen operatör): A 2 : Θ 2 V* → Θ 2 V * şeklinde tanımlı A2 fonksiyonuna
f →A 2 ( f ) = ∑S( σ ) σf
σ∈S2
bir alterneyen operatör denir.
Tanım 77 (Simetrik olan tensör):
Eğer burada f ∈T2(V) ve σ ∈S2 için
σf (u 1 , u 2 ) = f (u σ (1) , u σ ( 2) ) (u 1 , u 2 ) ∈V1XV2 olmak üzere
σf = f özelliğini sağlayan
2
f ∈T (V) kovaryant tensörüne simetrik tensör denir.
Tanım 78 (Simetrileyen operatör): S P : Θ 2 V* → Θ 2 V * şeklinde tanımlanan SP
f →SP ( f ) = ∑σf
σ∈S 2
2
fonksiyonuna ⊗(V*) üzerinde bir simetrileyen operatör denir.
Tanım 78 (Riemann konneksiyon): M bir yarı-riemann manifold ve D M üzerinde bir afin
konneksiyon olsun eğer :
1. D , C ∞ sınıfındandır.
2. M nin bir A bölgesinde C∞ olan ∀X, Y, Z ∈χ (M) için D X Y - D Y X =[X,Y] dir.
7
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
3. M
nin
bir
A
bölgesinde
C∞ olan
∀X, Y, Z ∈χ (M)
ve
P ∈A
için :
XP[ Y, Z] = D X Y, Z P + Y, D X Z P dir.
Özellikleri sağlanıyorsa D konneksiyonuna M üzerinde Riemann konneksiyon DX e de X e
göre riemann anlamında kovaryant türev denir.
Tanım 79 (Hiperyüzey): En de n-boyutlu öklit uzayında (n-1)-boyutlu bir yüzey diye En de
boş olmayan bir M cümlesine denir. Bu M cümlesi :
dif .bilir
M = {X ∈U ⊂E n f : U → IR, U bir açık alt cümle} şeklindedir. n>3 ise M hiperyüzeydir.
x →f ( x ) = c
Tanım 80 (Çember): α :
I → E3
t →α ( t ) = ( r cos t ,r sin t , 0 )
çemberdir.
Tanım 81 (Parabol) α : I → E 32
t →α ( t ) = ( t ,t , 0 )
α={α│t∈I} cümlesi E3 de r yarıçaplı O merkezli
bir paraboldür. Burada I=IR dir.
x 21 x 2 2
Tanım 82 (Elips): 2 + 2 = 1 α :
I → E2
şeklinde ifade edilir. Tanım aralığı ise :
t →α ( t ) = ( a cos t ,b sin t )
a
b
I={t│ 0 ≤ t ≤ 2Π } dir.
x 21 x 2 2
Tanım 83 (Hiperbol): 2 - 2 =1 , α :
I → E2
şeklinde ifade edilir. Hiperbolün
t
→
α
(
t ) =( a sec t ,b tan t )
a
b
Π
Π
3Π
3Π
tanım aralığı I={t│ 0 ≤ t ≤
veya
≤ t≤
veya
≤ t ≤ 2Π } dir.
2
2
2
2
Tanım 84 (Doğru): α : IR → E n şeklinde parametrik ifadeye sahiptir.
t →α ( t ) = ( Pi + tVi )
Tanım 85 (Yarı-riemann manifold): M bir C ∞ manifold ve χ (M ) vektör alanlarının uzayı
olsun. Reel değerli
C ∞ fonksiyonların halkası
C ∞ (M,IR) olmak üzere:
, : χ (M )Xχ (M ) → C ∞(M, IR ) fonksiyonu :
1. 2-lineer
2. Simetrik
3. ∀X ∈χ (M) için X, Y = 0 ⇒ Y = 0 ∈χ (M ) özelliklerini sağlıyorsa M ye yarı
riemann manifold denir.
Tanım 86 (Afin konneksiyon): M bir C ∞ manifold ve χ (M ) vektör alanlarının uzayı olsun.
O halde : D : χ (M ) xχ (M ) → χ (M ) fonksiyonu için :
( X , Y )→ D ( X , Y ) = D X Y
1. D fx +gy z = fD x + gD y
∀X, Y, Z ∈χ (M) için ve ∀f , g ∈C ∞(M, IR ) için
2. D x (fy ) = fD x y + ( xf ) y ∀X, Y, Z ∈χ (M) için ve ∀f , g ∈C ∞(M, IR ) için
Özellikleri sağlanıyorsa D ye M üzerinde bir afin konneksiyon denir.
Tanım 87 (Birim normal vektör alanı): En in bir hiperyüzeyi M olsun. χ (M )⊥ in bir
ortonormal bazı {N} ise N ye birim normal vektör alanı denir.
Tanım 88 (Yönlendirme): En de bir M hiperyüzeyi üzerinde diferansiyellenebilir bir birim
normal vektör alanına M üzerinde yönlendirme denir.
Tanım 89 (Şekil operatörü): En in bir hiperyüzeyi M ve M nin birim normal vektör alanı N
olsun. En de riemann konneksiyon D olmak üzere ∀X, Y, Z ∈χ (M) için S(X)=DXN şeklinde
tanımlı S dönüşümüne M üzerinde şekil operatörü denir.
Tanım 90 (Gauss dönüşümü): En de yönlendirilmiş bir hiperyüzey M olsun.M nin
diferansiyellenebilir birim vektör alanı N olsun. η :
M → Sn¬1
dönüşümüne denir.
∂
P→ η ( P ) = N ( P ) = ∑ai
P
∂
xi
8
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/