Matematik 9

BÖLÜM 4
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
TRİGONOMETRİ
4.1. TRİGONOMETRİK BAĞINTILA
4.1.1. BİRİM ÇEMBER
Tanım : Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere trigonometrik çember veya
birim çember denir.
Trigonometrik çemberin denklemi x 2 + y 2 = 1 dir.Yani birim çember üzerindeki tüm
( x, y ) noktaları bir Ç kümesi oluşturuyorsa
Ç = {( x, y ) x, y ∈ ¡ ve x 2 + y 2 = 1}
y
B(0,1)
A(1,0)
C(1,0)
0
x
D(0,-1)
4.1.2. YÖNLÜ AÇILAR
Saat yelkovanının dönme yönünün tersini pozitif yön, saat yelkovanının
dönme yönüne de negatif yön olarak adlandıracağız.
Örnek : 30o ve –45o açılarını trigonometrik çemberde gösteriniz.
120
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
4.1.3. AÇI ÖLÇME BİRİMLERİ
Genellikle üç birim kullanılır. Bunlar, derece, radyan ve gradtır.
Derece
Bir çemberin 360 eşit parçasından her birine bir derecelik yay denir. Bir derecelik yayı
gören merkez açıya bir derecelik açı denir. Derecenin 60 da birine dakika, dakikanın
60 da birine saniye, daha küçük açılar da saniyenin ondalık kesri olarak yazılır.
10 = 60′
(bir derece 60 dakika)
1′ = 60′′
(bir dakika 60 saniye)
0
1 = 3600′′ (bir derece 3600 saniye
Radyan
Bir çemberde kendi yarıçapına eşit uzunluktaki bir yaya bir radyanlık yay denir. Bir
radyanlık yayı gören merkez açıya da bir radyanlık açı denir.
Grad
Bir çemberin 400 eşit parçasından her birine bir gradlık yay denir. Bir gradlık yayı
gören merkez açıya da bir gradlık açı denir.
Bir açının derece cinsinden değeri D , radyan cinsinden değeri R ve grad cinsinden
D
R
G bağıntısı vardır.
değeri G ise
= =
180 π 200
121
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Örnek : 75o kaç radyandır?
D
R
=
180 π
Dπ 75π 5π
R=
=
=
180 180 12
Çözüm:
Örnek :
Çözüm:
D=
180 R
π
Örnek :
R
π
=
G=
π
6
D
R
=
180 π
=
π
180 ⋅
π
6 = 180π = 300
π
6π
3.π
kaç gradtır?
4
G
200
200 R
radyan kaç derecedir?
=
3π
4 = 200 ⋅ 3π = 150
π
4π
200 ⋅
4.1.4. ESAS ÖLÇÜ
1) k ∈ ¢ , α > 360 0 ve 0 0 ≤ β < 360 0 şartıyla α = k ⋅ 360 0 + β ise β açısına α açısının
esas ölçüsü denir.
Örnek : 12560 ‘nin esas ölçüsü nedir?
Çözüm: 12560 = 3 ⋅ 3600 + 1760 = 1760
12560 ‘nin esas ölçüsü 1760 dir.
Örnek : 5200 ‘nin esas ölçüsü nedir?
122
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Çözüm: -5200 = −2 ⋅ 3600 + 2000 = 2000
5200 ‘nin esas ölçüsü 2000 dir.
2) k ∈ ¢ , α >2 π ve 0 ≤ β <2 π şartıyla α = k ⋅ 2 π + β ise β açısına α açısının esas
ölçüsü denir.
Örnek :
29π
radyanın esas ölçüsü nedir?
5
Çözüm:
29π
9π
9π 9π
= 4π +
= 2 ⋅ 2π +
=
5
5
5
5
29π
9π
radyanın esas ölçüsü
tir.
5
5
Örnek : −
7π
=?
3
Çözüm: −
7π
5π
5π 5π
= −4π +
= −2 ⋅ 2π +
=
3
3
3
3
5π
− 7π
radyanın esas ölçüsü
‘tür
3
3
4.1.5. DİK ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK ORANLAR
Dik üçgende α dar açı ise aşağıdaki trigonometrik bağıntılar vardır.
sin α =
A
AC
AB
sec α =
Hipotenüs
α
C
AB
BC
cos α =
B
123
BC
AB
cos ecα =
AB
AC
tan α =
AC
BC
tan α =
sin α
cosα
cot α =
BC
AC
tan α =
1
cot α
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
4.1.6. 30O VE 60O NİN TRİGONOMETRİK ORANLARI
B
30
a
a 3
2
o
A
ABC - bir eşkenar üçgen olsun
|AB |=| BC |=| AC |= a
AC kenarına ait yüksekliği çizelim.
o
60
a
2
D
C
2
2
2
Pisagor teoremine göre BD = AB − AD = a 2 −
Yani BD =
a 3
2
Tanıma göre,
a
AD
1
= 2 =
sin 30 0 =
AB a 2
BD
cos 30 0 =
=
AB
a 3
2 = 3
a
2
a
AD
tan 30 0 =
= 2 =
BD a 3
2
a 3
BD
cot 30 0 =
= 2 =
a
AD
2
a 3
BD
= 2 =
sin 60 0 =
AB
a
1
3
3
3
2
124
a 2 3a 2
=
4
4
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
a
AD
1
= 2=
cos 60 0 =
AB a 2
a 3
BD
tan 60 0 =
= 2 = 3
a
AD
2
a
1
AD
cot 60 0 =
= 2 =
BD a 3
3
2
4.1.7. 45O NİN TRİGONOMETRİK ORANLARI
V
ABC ikizkenar dik üçgen olsun. Pisagor teoremine göre
| AB |2 =| AC |2 + | CB |2 = 2a 2
AB = a 2
sin 45 0 =
1
AC
a
=
=
AB a 2
2
cos 450 =
1
CB
a
=
=
AB a 2
2
tan 45 0 =
AC a
= =1
CB a
cot 450 =
CB a
= =1
AC a
125
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
4.1.8. BİRİM ÇEMBERDE TRİGONOMETRİK ORANLAR
Tanıma göre sin α =
cosα =
PD y1
=
= y1
OP 1
OD x1
= = x1
OP 1
tan α =
PD y1
=
OD x1
cot α =
OD x1
=
PD y1
Diğer taraftan Pisagor teoremine göre ;
| OP |2 =| OD |2 + | PD |2
1 = x12 + y12 veya sin 2 α + cos 2 α = 1 trigonometrinin esas formülü bulunur.
Şimdi de bazı özel açıların trigonometrik oranlarını bir tablo ile gösterelim.
126
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
4.1.9. NEGATİF AÇILARIN TRİGONOMETRİK DEĞERLERİ
Çember üzerindeki B ( x1 , y1 ) ve x1 = cos α , y1 = sin α olduğundan
Tanıma göre
sin α =
BK y1
= = y1
OB 1
sin(−α ) =
cos α =
KC − y1
=
= − y1
OC
1
OK x1
=
= x1
OB 1
cos(−α ) =
OK x1
=
= x1
OC 1
127
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
sin(−α ) = − sin α
Yani
cos(−α ) = cos α
tan(−α ) =
cot(−α ) =
sin(−α ) − sin α
=
= − tan α
cos(−α ) cos α
cos(−α ) cos α
=
= − cot α
sin(−α ) − sin α
Örnek: Aşağıdakileri hesaplayınız.
1) sin(−300 ) = − sin 300 = −
1
2
1
2
0
0
3) tan(−45 ) = − tan 45 = −1
2) cos(−60 0 ) = cos 60 0 =
4) cot(−60 0 ) = − cot 60 0 = −
1
3
4.1.10. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN BÖLGEDEKİ İŞARETLERİ
Örnekler :
1) tan 2830 < 0
2) sin1900 < 0
3) cos 3000 > 0
4) cot(−1100 ) > 0
128
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
4.2. TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLER
sin 2 α+cos 2 α=1 İfadesinin önce iki tarafını sin 2 α , sonra ise cos 2 α ya bölelim.
Böylece aşağıdaki özdeşlikleri elde ederiz.
1
sin 2 α
1
1
1+
= 2
2
tan α sin α
1
tan 2 α+1=
cos 2 α
1
1
+1=
2
cot α
cos 2 α
1+cot 2 α=
Örnek : Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz.
1) 1 − cos 2 α = sin 2 α
2) sin 2 α − 1 = − cos 2 α
3) cos 2 α + (1 − sin 2 α ) = 2 cos 2 α
4) sin 2 α + 2 cos 2 α − 1 = cos 2 α
5) (1 − sin α )(1 + sin α ) = cos 2 α
6) (cos α − 1)(1 + cos α ) = − sin 2 α
7) 1 − sin 2 α − cos 2 α = 0
Örnekler:
1) sin α =
40
π
ve < α < π ise cos α , tan α ve cot α = ?
41
2
129
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Çözüm:
a 2 = 412 − 402 = 81
a=9
9
41
40
tan α = −
9
9
cot α = −
40
cos α = −
2) tan α = 1 ve π < α <
3π
ise sin α , cos α ve cotα = ?
2
Çözüm:
a2 = 1 + 1 = 2
a= 2
sin α = −
cos α = −
1
2
1
2
cot α = 1
3) cot α = 2, 2 ve 0 < α <
π
2
ise sin α , cos α ve tanα = ?
Çözüm:
22 11
=
10 5
a 2 = 25 + 121 = 146
cot α = 2, 2 =
sin α =
cos α =
5
146
11
146
5
tan α =
11
130
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
4.2.1. 900 DEN BÜYÜK AÇILARIN TRİGONOMETRİK DEĞERLERİ
ˆ =α
a) Birim çember
üzerinde AOD
pozitif yönlü açıyı düşünelim. D noktasını
çember üzerinde pozitif yönde hareket
ettirelim. Birim çember üzerinde tam bir
devir yapalım. Bu durumda 360° lik ya da
2π radyanlık bir açı elde edilmiş olur.
Elde ettiğimiz açının ölçüsü 360° + α veya 2π + α radyandır. Tam bir devir sonunda
aynı noktaya geldiğimizde elde edilen açı ile α açısının trigonometrik oranları aynıdır.
Yani :
sin(2π + α ) = sin α
cos(2π + α ) = cos α
tan(2π + α ) = tan α
cot(2π + α ) = cot α
Birim çember üzerinde dönme işlemi k ∈ ¢ kere yapılırsa sonuç değişmez.
b)
ˆ =α
AOC
ve
ˆ = 180° − α
DOC
1
ˆ =α
D1OC
1
∆
∆
OCD ve OD1C1 dik üçgen olduğu için:
CD y1
=
= y1
OC 1
CD
y
sin(180° − α ) = 1 1 = 2 = y2
OC1
1
Ama y1 = y2 olduğundan;
sin α =
131
ise
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
sin(180° − α ) = sin α
OD x1
cos α =
= = x1
OC 1
OD1 x2
cos(180° − α ) =
=
= x2
OC1
1
Ama x1 = − x2 olduğundan cos(180° − α ) = − cos α
Böylece
cot(180° − α ) =
tan(180° − α ) =
sin(180° − α )
sin α
=
= − tan α
cos(180° − α ) − cos α
cos(180° − α ) − cos α
=
= − cot α
sin(180° − α )
sin α
c) Şimdi de birim çember üzerinde B
noktasını pozitif yönde 90° hareket
ettirelim. B noktası C oktasına dönüşür
OABK
dikdörtgeni ise OPCD
ve
dikdörtgenine dönüşür ve OA = OP ve
olur.
BA OK
=
= OK
1
OB
CD OP
sin(90° + α ) =
=
= OP
1
OC
OA OA
cos α =
=
= OA
1
OB
DO DO
cos(90° + α ) =
=
= DO
1
OC
sin α =
Diğer taraftan
OK = DO ve DO = −OK
Yani
cos(90° + α ) = − sin α
OP = OA ve OP = OA
132
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
sin(90° + α ) = cos α
sin(90° + α )
cos α
tan(90° + α ) =
=
= − cot α
cos(90° + α ) − sin α
cos(90° + α ) − sin α
cot(90° + α ) =
=
= − tan α
sin(90° + α )
cos α
π
3π

mα , 2π mα şeklinde yazılabilir.  0 < α <  ve
2
2
2

açının trigonometrik oranları bir dar açı cinsinden ifade edilebilir.
Böylece her bir açı
π
+ α , π mα ,
Kural: Bir geniş açının trigonometrik oranı ile ana trigonometrik oranı eşit olarak
alınan açının oluşturduğu eşitlikte,
a) Eşitliğin sol tarafında π ’nin katları varsa trigonometrik oranının ismi sağ tarafa
π 3π
değişmeden geçer. Eğer sol tarafta ,
gibi değerler varsa trigonometrik oranın
2 2
ismi değişir: (sin α ↔ cos α ve tan α ↔ cot α )
b) Sol tarafta bulunan açının düştüğü bölge tespit edilir. Sol tarafta bulunan
trigonometrik oranın bu bölgedeki işareti sağ taraftaki trigonometrik oranın işareti
olarak alınır.
π

 + α  için:
2

π


sin  + α  = cos α
2

π

tan + α  = − cot α
2

π

cos + α  = − sin α
2

π

cot + α  = − tan α
2

(π − α ) için:
sin(π − α ) = sin α
cot(π − α ) = − cot α
cos(π − α ) = − cos α
tan(π − α ) = − tan α
(π + α ) için:
sin(π + α ) = − sin α
cos(π + α ) = − cos α
133
MATEMATİK
tan(π + α ) = tan α
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
cot(π + α ) = cot α
 3π

− α  için:

 2

 3π

sin 
− α  = − cos α
 2

3
π


− α  = cot α
tan
 2

 3π

cos
− α  = − sin α
 2

3
π


− α  = tan α
cot
 2


 3π
+ α  için:

 2

 3π

+ α  = − cos α
sin 
 2

3
π


+ α  = − cot α
tan
 2

 3π

+ α  = sin α
cos
 2

3
π


+ α  = − tan α
cot
 2

(2π − α ) için:
sin(2π − α ) = − sin α
tan(2π − α ) = − tan α
(2π + α )
cos(2π − α ) = cos α
cot(2π − α ) = − cot α
için:
sin(2π + α ) = sin α
tan(2π + α ) = tan α
cos(2π + α ) = cos α
cot(2π + α ) = cot α
Örnek: Aşağıdaki değerleri bulunuz.
1) cos
8π
=?
3
Çözüm: cos
8π
2π

= cos  2π +
3
3

2π
π
π
1


= cos  π −  = − cos = −
 = cos
3
3
3
2


2) sin(−585°) = ?
Çözüm:
sin(−585°) = − sin 585° = − sin(360° + 225°) = − sin 225° = − sin(180° + 45°) =
134
MATEMATİK
= −(− sin 45°) = sin 45° =
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
2
2

2 π
3) tan  + α  = ?
2


2 π
2
2
Çözüm: tan  + α  = (− cot α ) = cot α
2

4) cot(−570°) = ?
Çözüm:
cot(−570°) = − cot 570° = − cot(360° + 210°) = − cot 210° =
= − cot(180° + 30°) = − cot 30° = − 3
4.2.2. TOPLAM VE FARK FORMÜLLERİ
∆
∆
ABC ve APB dik üçgenler olsun.
ˆ ) = α ve m( PAB
ˆ )=β
m( BAC
ˆ ) = 90°
m( PMB
ˆ ) = 90° − α ⇒ m( PKB
ˆ ) = 90° − α
m( AKD
ˆ ) =α
Yani m( KPB
∆
BC
ACB den sin α =
⇒ BC = AB ⋅ sin α
AB
∆
PB
AB
APB den sin β =
⇒ PB = AP ⋅ sin β ve cos β =
⇒ AB = AP ⋅ cos β
AP
AP
Diğer taraftan
PD = PM + MD
MD = BC ve
∆
PM
PMB den cos α =
ve PM = PB ⋅ cos α
PB
∆
PD PM + MD PB ⋅ cos α + BC AP ⋅ sin β ⋅ cos α + AB ⋅ sin α
=
=
=
=
APD den sin(α + β ) =
AP
AP
AP
AP
135
MATEMATİK
=
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
AP ⋅ sin β ⋅ cos α + AP ⋅ cos β ⋅ sin α
= sin α ⋅ cos β + sin β ⋅ cos α
AP
Yani sin(α + β ) = sin α ⋅ cos β + sin β ⋅ cos α
β
yerine − β alınırsa
sin(α − β ) = sin α ⋅ cos(− β ) + sin(− β ) ⋅ cos α = sin α ⋅ cos β − sin β ⋅ cos α
Diğer taraftan
π

cos(α + β ) = sin  − (π + β ) 
2

 π


π

π

= sin   − α  − β  = sin  − α  ⋅ cos β − cos  − α  ⋅ sin β

2

2

 2

= cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β
Şimdi de β yerine − β alalım:
cos(α − β ) = cos α ⋅ cos(− β ) − sin α ⋅ sin(− β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β
tan(α + β ) =
sin(α + β ) sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β
=
cos(α + β ) cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β
Farz edelim ki cos α ≠ 0 ve cos β ≠ 0
Şimdi kesrin pay ve paydasını cos α ⋅ cos β çarpımına bölelim:
sin α ⋅ cos β cos α ⋅ sin β
+
tan α + tan β
cos α ⋅ cos β cos α ⋅ cos β
=
tan(α + β ) =
cos α ⋅ cos β sin α ⋅ sin β 1 − tan α ⋅ tan β
−
cos α ⋅ cos β cos α ⋅ cos β
β yerine − β alalım:
tan(α − β ) =
tan α + tan(− β )
tan α − tan β
=
1 − tan α ⋅ tan(− β ) 1 + tan α ⋅ tan β
cot(α + β ) =
cos(α + β ) cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β
=
sin(α + β ) sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β
136
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Farz edelim ki sin α ≠ 0 ve sin β ≠ 0
Şimdi kesirin pay ve paydasını sin α ⋅ sin β çarpımına bölelim:
cos α ⋅ cos β sin α ⋅ sin β
−
sin α ⋅ sin β sin α ⋅ sin β cot α ⋅ cot β − 1
cot(α + β ) =
=
sin α ⋅ cos β cos α ⋅ sin β
cot β + cot α
+
sin α ⋅ sin β sin α ⋅ sin β
Şimdi de β yerine − β alalım:
cot(α − β ) =
cot α ⋅ cot(− β ) − 1 cot α ⋅ cot β + 1
=
cot(− β ) + cot α
cot β − cot α
Yani
sin(α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β
sin(α − β ) = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β
cos(α + β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β
cos(α − β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β
tan α + tan β
1 − tan α ⋅ tan β
tan α − tan β
tan(α − β ) =
1 + tan α ⋅ tan β
cot α ⋅ cot β − 1
cot(α + β ) =
cot α + cot β
cot α ⋅ cot β + 1
cot(α − β ) =
cot β − cot α
tan(α + β ) =
Örnek: Aşağıdaki değerleri bulunuz.
1) sin 75° = ?
Çözüm:
sin 75° = sin(45° + 30°) = sin 45° ⋅ cos 30° + sin 30° ⋅ cos 45° =
=
2 3 1 2
⋅
+ ⋅
=
2 2 2 2
6+ 2
4
137
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
2) cos105° = ?
Çözüm:
cos105° = cos(60° + 45°) = cos 60° ⋅ cos 45° − sin 60° ⋅ sin 45° =
=
1 2
3 2
⋅
−
⋅
=
2 2
2 2
2− 6
4
3) Aşağıda verilen ifadelerin değerini bulunuz.
a) cos18° ⋅ cos 63° + sin18° ⋅ sin 63° = ?
Çözüm: cos18° ⋅ cos 63° + sin18° ⋅ sin 63° = cos(18° − 63°) = cos(−45°) = cos 45° =
b) cos 32° ⋅ cos 58° − sin 32° ⋅ sin 58° = ?
Çözüm:
cos 32° ⋅ cos 58° − sin 32° ⋅ sin 58° = cos(32° + 58°) = cos 90° = 0
4.2.3. YARIM AÇI FORMÜLLERİ
sin(α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β
cos(α + β ) = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β
tan α + tan β
1 − tan α ⋅ tan β
cot α ⋅ cot β − 1
cot(α + β ) =
cot α + cot β
tan(α + β ) =
olduğundan, α = β alınırsa yukarıdaki bağıntılar yerine
Yani sin(α + α ) = sin α ⋅ cos α + cos α ⋅ sin α
sin 2a = 2 ⋅ sin a ⋅ cos a
138
2
2
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
cos(α + α ) = cos α ⋅ cos α − sin α ⋅ sin α
ve sin 2 α + cos 2 α = 1 eşitliğinden
bağıntılar elde edilir.
Aynı yöntemle
cot(α + α ) =
tan(α + α ) =
tan α + tan α
1 − tan α ⋅ tan α
cot α ⋅ cot α − 1
cot α + cot α
bağıntılar elde edilir.
Örnekler :
1) cos α = −0,8 ve α ∈ III bölgeye ait ise sin 2α = ?
Çözüm:
Önce sin α yı bulalım:
6
= −0, 6 ve
10
sin 2α = 2 ⋅ sin α ⋅ cos α = 2 ⋅ (−0, 6) ⋅ (−0,8) = 0,96
sin α = −
139
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
2) Aşağıdaki ifadeleri hesaplayınız:
a) 2sin15° ⋅ cos15° = ?
2sin15° ⋅ cos15° = sin 30° =
b) 8sin
8sin
π
8
π
8
⋅ cos
⋅ cos
π
8
π
8
1
2
=?
= 4 ⋅ 2sin
π
8
⋅ cos
π
8
= 4sin
π
4
= 4⋅
2
=2 2
2
c) sin105° ⋅ cos105° = ?
1
1
sin105°⋅ cos105° = ⋅ 2sin105°⋅ cos105° = sin 210°
2
2
1
1
1  1
1
= sin(180° + 30°) = (− sin 30°) = ⋅  −  = −
2
2
2  2
4
d) cos 2 15° − sin 2 15° = ?
cos 2 15° − sin 2 15° = cos 30° =
4 cos 2
4 cos 2
π
8
π
8
− 4sin 2
− 4sin 2
π
8
3
2
=?
π
π
π
π
2

= 4  cos 2 − sin 2  = 4 cos = 4 ⋅
=2 2
8
8
8
4
2

7π
7π
− sin 2
=?
12
12
7π
7π
7π
π
π
3

cos 2
− sin 2
= cos
= cos  π +  = − cos = −
12
12
6
6
6
2

e) cos 2
140
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
4.2.4. DÖNÜŞÜM VE TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ
Eğer α = x + y ve β = x − y alınırsa
x=
α+β
2
ve y =
α−β
2
olup
sin α + sin β = sin ( x + y ) + sin ( x − y )
= sin x cos y + cos x sin y + sin x cos y − cos x sin y
= 2sin x ⋅ cos y
sin α + sin β = 2 sin
α+β
⋅ cos
2
α−β
2
Eğer β yerine − β alınırsa
α−β
α+β
⋅ cos
sin α − sin β = 2 sin
2
2
Benzer şekilde
cos α + cos β = cos( x + y ) + cos( x − y )
= cos x ⋅ cos y − sin x ⋅ sin y + cos x ⋅ cos y + sin x ⋅ sin y
= 2 cos x ⋅ cos y
cos α + cos β = 2 cos
α+β
cos α − cos β = −2 sin
2
⋅ cos
α+β
2
α−β
⋅ sin
2
α−β
2
Örnekler: Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a)
sin 12 ° + sin 20 ° = 2 sin 16 ° ⋅ cos 4°
b) sin 52 ° − sin 32 ° = 2 sin 10 ° ⋅ cos 42 °
c) cos
π
10
− cos
π
20
= −2 sin
3π
π
⋅ sin
40
40
141
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
π
π

π

d) cos + α  + cos − α  = 2 cos ⋅ cos α = 2 cos α
4
4

4

(
)
e) sin 15 ° + cos 65 ° = sin 15 ° + cos 90 ° − 25 ° = sin 15 ° + sin 25 ° = 2 sin 20 ° ⋅ cos 5 °
Şimdi de ters dönüşüm formüllerini elde edelim.
α + β 
α − β 
2 sin 
 ⋅ cos
 = sin α + sin β ve
 2 
 2 
α +β
2
= x,
α −β
2
=y
ise
α = x + y ve β = x − y
2 sin x ⋅ cos y = sin ( x + y ) + sin ( x − y )
sin x ⋅ cos y =
cos x ⋅ cos y =
[sin (x + y ) + sin (x − y )]
2
[cos(x + y ) + cos(x − y )]
2
[cos(x − y ) − cos(x + y )]
sin x ⋅ sin y =
2
bağıntıları elde edilir.
4.3. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
4.3.1. PERİYODİK FONKSİYONLAR VE PERİYOT
Tanım : f : A → B fonksiyonunda her bir x ∈ A için f ( x + T ) = f ( x ) olacak şekilde
sıfırdan farklı bir T reel sayısı varsa f fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T reel
sayısına da periyot denir
Örneğin her bir k ∈ ¢ için
sin ( x + 2πk ) = sin x
cos( x + 2πk ) = cos x
sec( x + 2πk ) = sec x
cos ec(x + 2πk ) = cos ecx
olduğu için bu fonksiyonlar periyodiktir ve periyot ise 2π dir:
Ayrıca, her bir k ∈ ¢ için
142
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
tan ( x + πk ) = tan x
cot ( x + πk ) = cot x
olduğu için bu fonksiyonlar da periyodiktir ve periyotları π dir.
Şimdi de trigonometrik fonksiyonların periyotlarını nasıl bulacağımızı ortaya
koyalım.
a) f ( x ) = sin (ax + b )
f ( x ) = cos(ax + b )
f ( x ) = sec(ax + b )
f ( x ) = cos ec(ax + b )
fonksiyonlarının periyodu T =
2π
dır.
a
b) f ( x ) = tan (ax + b )
f ( x ) = cot (ax + b )
fonksiyonlarının periyodu T =
π
a
dır.
c) m tek doğal sayı için
f ( x ) = sin m (ax + b )
f ( x ) = cos m (ax + b )
f ( x ) = sec m (ax + b )
f ( x ) = cos ec m (ax + b )
fonksiyonlarının periyodu T =
2π
dır.
a
d) m çift doğal sayı için
f ( x ) = sin m (ax + b )
f ( x ) = cos m (ax + b )
f ( x ) = sec m (ax + b )
f ( x ) = cos ec m (ax + b )
fonksiyonlarının periyodu T =
π
a
dır.
143
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
e) m ∈ ¥ sayı için
f ( x ) = tan m (ax + b )
f ( x ) = cot m (ax + b )
fonksiyonlarının periyodu T =
π
a
dır.
Örnekler :
π

1) y = 8 sin  4 x +  fonksiyonunun periyodu nedir ?
3

2π π
T=
=
4
2
π 

2) y = cot 6  3x −  fonksiyonunun periyodu nedir ?
12 

T=
π
3
tür.


3) y = 3sec  x +
π
 x −π 
 + tan 
 fonksiyonunun periyodu nedir ?
8
 3 
π
π
2π
 x −π 

3 sec x +  periyodu
= 2π ve tan
 periyodu 1 = 3π olup
8
1

 3 
3
y fonksiyonu bu iki fonksiyonun toplamından oluştuğu için periyodu
okek (2π ,3π ) = 6π dir.
Uyarı : f ( x ) , birden fazla fonksiyonun toplamından oluşuyorsa, toplamı oluşturan
fonksiyonların periyotları ayrı ayrı bulunur. Bunların okek’ i fonksiyonun
periyodunu oluşturur.
4.3.2. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
Trigonometrik çemberi göz önüne alalım. Çember üzerinde aldığımız her bir noktanın
Pα ( cos α ,sin α ) olduğunu biliyoruz.
144
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Pα noktası trigonometri çember üzerinde hareket ederse, sonsuz tane α açısı
ve ona karşılık gelen Pα ( cos α ,sin α ) noktaları ortaya çıkıyor. Böylece y = sin x ve
y = cos x fonksiyonlarını elde etmiş oluyoruz.
Her bir Pα noktası birim çember üzerinde, olduğundan
− 1 ≤ sin x ≤ 1 ve − 1 ≤ cos x ≤ 1 olur.
Tanım : f : ¡ → [ −1,1] olan y = sin x ve y = cos x fonksiyonlarına sinüs ve cosinüs
fonksiyonları denir
Şimdi trigonometrik fonksiyonları sırasıyla inceleyelim.
4.3.3. y = sinx FONKSİYONU
Bu fonksiyonun periyodu 2π dir. O halde [0,2π ] aralığında inceleme yapmak
yeterli olur. Fonksiyon için değerler tablosu oluşturup, bu tablodan yararlanarak
fonksiyonun grafiğini çizelim.
145
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Grafikten de görüleceği gibi, y = sin x fonksiyonunun grafiği orijine göre
simetrik olup tek fonksiyondur. Eğer daha geniş bir aralıkta y = sin x fonksiyonunun
grafiğini görmek istersek, mesela [− 4π ,4π ] aralığında grafik aşağıdaki gibidir.
146
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
4.3.4. y = cosx FONKSİYONU
Bu fonksiyon için de periyot 2π dir. Fonksiyona ait değerler tablosu ve grafiği
aşağıdaki gibidir.
y = cos x için [− 4π ,4π ] aralığında grafik aşağıda verilmiştir. Benzer şekilde daha
geniş aralıklar için de grafik çizilebilir. y = cos x fonksiyonu, Oy eksenine göre
simetriktir ve çift fonksiyondur.
4.3.5. y = tanx FONKSİYONU
Bu fonksiyonun periyodu π dir. O halde π uzunluğunda bir aralıkta tanjant
fonksiyonunun bütün özelliklerini gözleme imkanı vardır. Genel olarak tanjant
fonksiyonu x =
π
2
+ kπ , k ∈ Z noktalarında tanımlı olmadığı için bu değerler düşey
147
MATEMATİK
asimptottur. Özel olarak x = ±
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
π
doğruları düşey asimptotlardır. y = tan x fonksiyonu
2
ile ilgili değerler tablosu ve grafik aşağıda verilmiştir. y = tan x fonksiyonu tek
fonksiyondur ve orijine göre simetriktir.
4.3.6. y=arcsinx FONKSİYONU
 π π
y = sin x fonksiyonu − ,  aralığında
 2 2
birebir ve örtendir. O halde bu aralıkta ters
fonksiyondan bahsedilebilir. Bu da
y = arcsin x fonksiyonudur ve arksinüsx
şeklinde okunur. Böylece
y = f ( x ) = arcsin x fonksiyonu
 π π
f : [− 1,1] → − ,  şeklinde tanımlı olup
 2 2
grafiği yan taraftadır.
148
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Örnek : Aşağıda verilen değerleri bulunuz.
a) arcsin 0 = 0
b) arcsin 1 =
π
2

π
3
3
 = − arcsin
c) arcsin −
=−

2
3
 2 
 2
π
2
 = − arcsin
=
−
d) arcsin

2
4
 2 
4.3.7. y=arccosx FONKSİYONU
y = cos x fonksiyonu [0, π ] aralığında bire
bir ve örtendir. Böylece
y = f ( x ) = arccos x ters fonksiyonu
f : [− 1,1] → [0, π ] şeklinde tanımlı olup
grafiği yan tarafta verilmiştir.
Örnek : Aşağıda verilen değerleri bulunuz.
a) arccos
2 π
=
2
4
π 2π
1
 1
b) arccos −  = π − arccos = π − =
2
3
3
 2
149
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva

π 5π
3
 =π − =
c) arccos −

6
6
 2 
d) arccos 1 = 0
4.3.8. y=arctanx FONKSİYONU
 π π
y = tan x fonksiyonu x ∈  − ,  aralığında bire bir ve örten bir fonksiyondur. O
 2 2
 π π
halde y = tan x fonksiyonunun x ∈  − ,  ters fonksiyonu var ve bu da
 2 2
y = arctan x fonksiyonudur. Böylece y = f ( x ) = arctan x fonksiyonu
 π π
f : ¡ →  − ,  şeklinde tanımlı bir fonksiyon olup grafiği aşağıdaki gibidir.
 2 2
y
π
y = arctan x
2
x
0
−
π
2
Örnek: Aşağıda verilen değerleri bulunuz.
 1 
π
1
 = − arctan
=−
a) arctan −
6
3
3

b) arctan 0 = 0
150
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
4.4.TRİGONOMETRİK DENKLEMLER
4.4.1.sinx=a DENKLEMİ
Eğer a ∉ [− 1,1] sin x = a denkleminin kökü yoktur.
 π π
Eğer a ∈ [− 1,1] sin x = a denkleminin, − ,  aralığındaki kökü
 2 2
 π 3π 
 2 , 2  aralığındaki kökü de x2 = π − arcsin a dır.
Bu iki çözüm bir formül halinde yazılırsa aşağıdaki elde edilir.
Örnek : Aşağıdaki denklemleri çözünüz.
1) sin x =
2
2
2
+ π k, k ∈ ¢
2
x = ( −1) ⋅ arcsin
k
x = ( −1) ⋅
k
π
4
+πk
2) sin x = −
2
2

2
k
x = ( −1) ⋅ arcsin  −
 + π k , k ∈ ¢
2


x = ( −1)
k +1
⋅
π
4
+πk
151
x1 = arcsin a ,
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
4.4.2. cos x=a DENKLEMİ
Eğer a ∉ [− 1,1] cos x = a denkleminin kökü yoktur.
Eğer a ∉ [− 1,1] cos x = a denkleminin [− π ,0] aralığındaki kökü x1 = arccos a ve
[0, π ] aralığındaki kökü
x 2 = arccos a olur.
Bu iki çözümü bir formül şeklinde yazarsak
Örnek : Aşağıdaki denklemleri çözünüz.
1)
1) cos x =
1
2
1
x = marccos + 2π k , k ∈ ¢
2
π
x = m + 2π k
3
1
2
 1
x = marccos  −  + 2π k , k ∈ ¢
 2
1

x = m π − arccos  + 2π k
2

2) cos x = −
2)
π

x = m π −  + 2π k
3

2π
x = m + 2π k
3
152
MATEMATİK
3) cos x =
3)
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
1
3
1
x = marccos + 2π k , k ∈ ¢
3
1
3
 1
x = marccos  −  + 2π k , k ∈ ¢
 3
1

x = m π − arccos  + 2π k
3

4)
4) cos x = −
4.4.3. tan x=a DENKLEMİ
 π π
Her bir a ∈ ¡ için  − ,  aralığında tan x = a denkleminin yalnız bir kökü olup
 2 2
Örnek :Aşağıdaki denklemleri çözünüz.
1) tan x = 3
1)
x = arctan 3 + π k ; k ∈ ¢
x=
π
3
+πk
2) tan x = − 3
2)
(
)
x = arctan − 3 + π k , k ∈ ¢
x = − arctan 3 + π k
x=−
π
3
+πk
1
2
1
x = arctan + π k , k ∈ ¢
2
3) tan x =
153
MATEMATİK
4) tan x = −
4)
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
1
7
 1
x = arctan  −  + π k , k ∈ ¢
 7
1
x = − arctan + π k
7
4.4.4. cot x=a DENKLEMİ
cot x = a denklemi eğer a ≠ 0 ise tan x =
Yalnız a = 0 ise , cot x = 0 olup
1
şeklinde yazılabilir.
a
4.4.5. BAZI TRİGONOMETRİK DENKLEMLERİN ÇÖZÜMÜ
Örnek : Aşağıdaki denklemleri çözünüz.
1)
2sin 2 + sin x − 1 = 0
sin x = a, a ≤ 1
2a 2 + a − 1 = 0
a1 = −1
a2 =
1
2
sin x = − 1
x1 = −
π
2
+ 2π k , k ∈ ¢ ve
x 2 = ( − 1 ) ⋅ arcsin
k
x2 = ( − 1) ⋅
k
π
6
1
+ π k,k ∈ ¢
2
+πk
154
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
2)
5sin 2 x + 6 cos x − 6 = 0
5 ⋅ (1 − cos 2 x ) + 6 cos x − 6 = 0
5 − 5cos 2 x + 6 cos x − 6 = 0
cos x = a dersek , a ≤ 1
5a 2 − 6 a + 1 = 0
a1 = 1
1
5
cos x = 1
a2 =
x1 = 2π k , k ∈ ¢
cos x =
ve
1
5
1
x2 = marccos + 2π k , k ∈ ¢
5
3) tan x − 2 cot x + 1 = 0
Denkleminin iki tarafını da tan x ile çarpalım
tan 2 x − 2 cot x tan x + tan x = 0
tan 2 x + tan x − 2 = 0
tan x = a
a2 + a − 2 = 0
a =1
a = −2
tan x = 1
x1 = arctan1 + π k , k ∈ ¢
π
+πk
4
tan x = −2
x1 =
ve
x2 = arctan ( −2 ) + π k , k ∈ ¢
x2 = − arctan 2 + π k
155
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
4) 3 sin 2 x + sin x cos x = 2 cos 2 x
Farz edelim ki cos x ≠ 0 ve denklemin iki tarafını da cos 2 x ’e bölelim.
3sin 2 x sin x cos x 2 cos 2 x
+
=
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x
3 tan 2 x + tan x − 2 = 0
tan x = a
3a 2 + a − 2 = 0
a1 = −1
a2 =
2
3
tan x = −1
x1 = arctan ( −1) + π k , k ∈ ¢
π
+ π k ve
4
2
tan x =
3
2
x2 = arctan + π k , k ∈ ¢
3
x1 = −
BÖLÜM ALIŞTIRMALARI
1) Aşağıdaki açıları derece cinsinden ifade ediniz.
π π 3
5
9
, , π ,− π ,− π ,12π
5 9 4
9
2
2) Aşağıdaki açıları radyan cinsinden ifade ediniz.
135o, 210o,36o ,150o, 240o,300o , −120o, −225o
3) Aşağıda verilen ifadelerin değerlerini bulunuz.
a) 2 ⋅ cos 600 + 3 ⋅ cos 300
b) 5 ⋅ sin 300 − cot 450
c) 2 ⋅ sin 300 + 6 ⋅ cos 600 − 4 ⋅ tan 450
156
MATEMATİK
d)
e)
f)
g)
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
3 ⋅ tan 450 ⋅ tan 600
4 ⋅ tan 600 ⋅ sin 600
12 ⋅ sin 600 ⋅ cot 600
2 ⋅ sin 600 ⋅ cot 600
4) Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz.
a) sin α ⋅ cos α ⋅ tan α
b) sin α ⋅ cos α ⋅ cot α − 1
c) sin 2 α − tan α ⋅ cot α
d)
1 − sin 2 α
cos 2 α
e)
cos 2 α
cos 2 α − 1
f) sin 2 α + cos 2 α + tan 2 α
g) tan α ⋅ cot α + cot 2 α
h) sin α ⋅ cot α
i)
tan α ⋅ cot α
j)
1 − cos 2 α
1 − sin 2 α
5) Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz.
a) cot α −
cos α − 1
sin α
b)
1
1
sin α − 1 1 + sin α
c)
1 − cot α
tan α − 1
−
157
MATEMATİK
d)
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
sin 2 α − 1
+ tan α ⋅ cot α
cos 2 α − 1
e) tan 2 α ⋅ (sin 2 α − 1)
f) cos 2 α − (cot 2 α + 1) ⋅ sin 2 α
g) tan(−α ) ⋅ cos α + sin α
h) cos 2 α ⋅ tan 2 ( −α ) − 1
6) sin α , cos α , tan α
ve cot α ’nın işaretlerini bulunuz.
a) α =48o
b) α =200o
c) α =137o
d) α=306o
7) Aşağıdakileri hesaplayınız.
a)
sin(−300 )
b)
cos(−600 )
c)
tan(−450 )
d)
cot(−300 )
e)
cos(−900 )
f)
sin(−450 )
158
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
8) Aşağıda verilenlere göre trigonometrik oranları hesaplayınız.
a)
cos α = −0, 6 ve
b) sin α =
π
2
< α < π ise sin α , tan α ve cotα = ?
1
π
ve 0 < α < ise cosα , tan α ve cotα = ?
2
3
9) Aşağıda verilenlere göre trigonometrik oranları hesaplayınız.
3
5
8
b) cosα =
17
a) sinα =
c) tanα = −
ve
ve
π
2
<α <π
0 <α <
π
2
3
3π
ve
< α < 2π
3
2
10) Aşağıdakileri hesaplayınız.
a) sin 240°
b) cos(−210°)
c) tan(−300°)
d) sin 330°
e) cot(−225°)
f) sin 315°
g) cos120°
h) sin(−150°)
i) tan(−225°)
j) cos(−225°)
159
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
11) Aşağıdakileri hesaplayınız.
7π
6
4π
b) sin
3
 5π 
c) cos  − 
 3 
 11π 
d) sin  −

 3 
a) cos
12) Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz.
a)
cos(−α ) ⋅ cos(180° + α )
sin(−α ) ⋅ sin(90° + α )
b)
sin(π + α ) ⋅ cos(2π − α )
tan(π − α ) ⋅ cos(α − π )
c)
sin(−α ) ⋅ cot(−α )
cos(360° − α ) ⋅ tan(180° + α )
d)
sin(π + α ) ⋅ sin(α + 2π )
 3π

+α 
tan(π + α ) ⋅ cos 
 2

13) Aşağıdakileri hesaplayınız.
a) cos 75°
b) tan 75°
c) sin15°
d) cos105°
e) cos15°
f) sin 255°
g) cos 255°
160
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
h) sin105°
14) Aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz.
a) cos107° ⋅ cos17° + sin107° ⋅ sin17°
b) cos107° ⋅ cos17° + sin107° ⋅ sin17°
c) cos 36° ⋅ cos 24° − sin 36° ⋅ sin 24°
d) sin 63° ⋅ cos 27° + cos 63° ⋅ sin 27°
e) sin 51° ⋅ cos 21° − cos 51° ⋅ sin 21°
15) tan α =
4
1
ve tan β =
ise
3
4
16) α ∈ IIb ve β ∈ IIIb , sin α =
tan(α + β ) = ?
4
15
ve cos β = −
ise;
5
17
a) sin(α + β ) = ?
b) sin(α − β ) = ?
c) cos(α − β ) = ?
d) cos(α + β ) = ?
17) tan α =
3
3π
ve π < α <
2
4
a)
sin 2α =?
b)
cos 2α =?
c)
tan 2α =?
d)
cot 2α =?
ise
161
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
18) Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a) sin 40° + sin16°
b) sin 20 ° − sin 40 °
π

π

c) sin  + α  − sin  − α 
6

6

π

d) cos  − α  + cos α
3

e) cos 46 ° − cos 74 °
f) sin
π
6
− sin
π
9
g) cos15 ° + cos 45 °
h) sin
i)
2π
π
+ sin
5
5
cos 50 ° + sin 80 °
19) f ( x ) fonksiyonunun periyodunu bulunuz.
x π
a) f ( x ) = sin  − 
2 7
π

b) f ( x ) = 3 cos 4 x − 
7

c) f ( x ) = 2 tan 3 x
d) f ( x ) = cot
x
3
e) f ( x ) = 2 − cos x
f)
f ( x ) = sin x + cos x
g) f ( x ) = 3 + sin 2 x
162
MATEMATİK
h) f ( x ) =
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
1 x π
sin  − 
2 4 6
i)
f ( x ) = 3 tan 1,5 x
j)
π

f ( x ) = 4 cos 2 x − 
3

20) Aşağıda verilen denklemleri çözünüz.
a) cos x =
2
2
b) cos x =
3
2
c) sin x =
1
2
d) sin x = −
1
2
e) sin x = −
3
2
f) tan x = −
1
3
g) cot x = 3
h) tan x = 1
i)
sin x = −0,6
j)
cot x = 2,5
k) cos x = 0,3
163
MATEMATİK
l)
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
 x
2
sin  −  =
2
 3
m) tan x = −3,5
n) cos ( −2 x ) = −
3
2
x π
o) 2 cos  −  = 3
2 6
p)
x π
3 tan  +  = 3
2 3
π x
q) tan  −  = −1
 4 2
π x
r) 2 sin  −  = 3
 3 4
s) sin 3 x cos x - cos 3 x sin x =
3
2
1
t) sin 2 x cos 2 x = −
4
2
u) sin
x
4
− cos
2 x =1
4
2
v) 2 sin x − sin x − 1 = 0
2
w) 4 sin x + 11sin x − 3 = 0
2
x) 2 sin x + 3 cos x = 0
2
y) cos x + 3 sin x = 3
164
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
BÖLÜM TESTİ
1) cos 2
π
12
+ sin 2
B)
A) 0
2)
A)
π
4
<x<
2
3 7
8
3) 0 ≤ x ≤
A)
π
1
2 2
2
1
2
C)
2
2
3 7
16
C) −
olmak üzere,
B)
2
3
3
2
D)
olmak üzere, sin x − cos x =
B)
π
5π
− 1 işleminin sonucu kaçtır?
12
4 7
9
E) 1
1
olduğuna göre, sin 4 x kaçtır?
2
3 7
8
D) −
E) −
2 7
16
sin 2 x + sin x 1
= olduğuna göre, cot x kaçtır?
2 cos x + 1
3
C) 2 3 − 2 D)
E) 2 2
3
4) sin 15° + cos15° işleminin sonucu kaçtır?
A)
B)
6
3π
π
cos
8 −
8
5)
3π
π
cos
cos
8
8
6
2
C)
6
3
6
4
D)
cos
ifadesinin değeri kaçtır?
A) − 2
B) − 1
C)
1
2
D) 1
E) 2
6) sin 25° ⋅ sin 125° − cos125° ⋅ sin 65° ifadesinin değeri kaçtır?
A) −
3
2
B) −
1
2
C)
1
2
D)
1
2
165
E)
3
2
E)
6
5
MATEMATİK
3
4
7) sin 4α ⋅ sin α =
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
cos 4α ⋅ cos α = −
A) −
3
8
8) sin
3π
7π
⋅ sin
işleminin sonucu kaçtır?
8
8
B) −
3
4
2
2
A)
B)
C) −
3
2
3
olduğuna göre, cos 5α kaçtır?
4
2
4
D)
C)
9) sin 2 x ⋅ cos 2 x ⋅ cos 4 x ⋅ cos 8 x =
2
2
E)
3
3
2
5
D)
5
4
E) 1
1
denklemini sağlayan en küçük x açısı kaç
16
raydandır?
A)
π
B)
4
10) 0 ≤ x ≤
π
2
π
8
3
2
π
16
D)
π
E)
48
π
96
1 − cos 2 x
= sin x olduğuna göre, cos x kaçtır?
sin 2 x
olmak üzere,
B)
A) 1
C)
C)
2
2
D)
1
2
E) 0
sin x + sin 2 x + sin 3 x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisine eşittir?
2 cos x + 1
11)
A) 2 sin x
B) sin 2 x
C) 2 cos x
D) cos 2 x
E) tan 2 x
12) cos 40° + cos 80° + cos160° işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 0
13) x =
B)
π
12
1
2
olmak üzere,
C) 1
D) 2 sin 20°
E) 2 cos 20°
sin 7 x + sin 3 x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisine
sin 4 x ⋅ cos x
eşittir?
A)
1
2
B) 1
C) 2
D) 2 sin x
166
E) cos x
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
14)
sin 15° − sin 75°
işleminin sonucu kaçtır?
cos15° + cos 75°
A)
3
2
15) x =
B)
π
16
A) − tan x
olmak üzere,
3
3
D) −
C) 1
3
2
E) −
3
3
cos 5 x − cos 3x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
sin 5 x − sin 3x
B) tan x
C) 2
E) − 1
D) 1
16) 1520° nin esas ölçüsü kaç derecedir?
A) 50
B) 70
17) sin 20° = a olduğuna göre,
C) 80
D) 100
E) 110
sin 160° − 1
ifadesi aşağıdakilerden hangisine
sin 70° + sin 2 20°
2
eşittir?
A) a − 1
B) a + 1
C) 1 − a 2
D)
a
1− a2
E)
a −1
a
18) a = sin 130°
b = cos 310°
c = tan 230° olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) a < b < c
B) b < a < c
C) b < c < a
D) a < c < b
E) c < b < a
2
olduğuna göre, 5 ⋅ sin x − 2 ⋅ tan x kaçtır?
5
21
B)
C) 21 − 3 D) 1
E) 0
2
19) 0 < x < π ve cos x =
A)
21
1 − cos x + sin 2 x
20)
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
1 − cos x
A) 2 − cos x
B) cos x
C) 2
D) 2 + cos x
167
E) sin x + cos x
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
 3π

21) Aşağıdakilerden hangisi sin 
− x  ifadesine özdeş değildir?
 2

A) cos(π − x )

 3π
B) sin 
− x

 2

π
D) − sin  + x 

2
E) cos(− x )
22) cos
C) cos(π + x )
7π
π
+ sin ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
10
5
A) 0
B) 1
23)
sin x cos x
=
olduğuna göre, tan x + cot x kaçtır?
3
4
6
5
A)
24)
B)
C) 2
17
12
C)
D) 2 cos
25
12
D)
π
5
23
6
E) 2 sin
E)
25
6
tan x − cot x
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
sin x + cos x
A) sin x + cos x
B) cos x − sin x
D) sec x − cos ecx
E) 2
C) tan x + cot x
25) 2sin x + cos x = 2 denkleminin çözümü nedir?
x1 =
A)
2
+ 2π k , k ∈ ¢
1
x2 = 2arc tan + 2π k
3
x1 =
D)
π
π
2
+ 2π k , k ∈ ¢
1
x2 = −2arc tan + 2π k
3
x1 = −
B)
π
2
+ 2π k , k ∈ ¢
x1 = −
1
x2 = −2arc tan + 2π k
3
E) {
}
168
C)
π
2
+ 2π k , k ∈ ¢
1
x2 = 2arc tan + 2π k
3
π
5
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
26) 5sin 2 x + 3sin x ⋅ cos x − 4 = 0 denkleminin çözümü nedir?
A)
D)
x1 =
π
+ π k, k ∈ ¢
B)
4
x2 = arc tan 4 + π k
π
+ π k, k ∈ ¢
4
x2 = arc tan 4 + π k
x1 = −
x1 =
π
+ π k, k ∈ ¢
C)
4
x2 = −arc tan 4 + π k
E) {
π
+ π k, k ∈ ¢
4
x2 = −arc tan 4 + π k
x1 = −
}
26) sin 2 x − 5sin x ⋅ cos x + 6 cos 2 x = 0 denkleminin çözümü nedir?
A)
B)
C)
D)
E)
x1 = − arc tan 2 + π k , k ∈ ¢
x2 = −arc tan 3 + π k
x1 = − arc tan 2 + π k , k ∈ ¢
x2 = arc tan 3 + π k
x1 = arc tan 2 + π k , k ∈ ¢
x2 = −arc tan 3 + π k
x1 = arc tan 2 + π k , k ∈ ¢
x2 = arc tan 3 + π k
{}
27) sin 3 x ⋅ sin 5 x = sin x ⋅ sin 7 x denkleminin çözümü nedir?
A) x = −
D) {
}
πk
4
,k ∈¢
B) x =
E) x =
πk
2
πk
4
,k ∈¢
C) x = −
πk
2
,k ∈¢
169
,k ∈¢
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
28) sin x + sin 2 x + sin 3 x = 0 denkleminin çözümü nedir?
πk
x1 = m
,k ∈¢
4
A)
2π
x2 = m + 2π k
3
x1 =
πk
D)
2
x2 = m
B)
C)
4
,k ∈¢
2π
+ 2π k
3
x2 =
,k ∈¢
2
E)
2π
x2 = m + 2π k
3
5
4
A) x = m + π k , k ∈ ¢
6
D) {
2π
x2 = m + 2π k
3
x1 = m
x1 = m
2π
+ 2π k
3
π
4
πk
,k ∈¢
πk
,k ∈¢
29) cos 2 x + cos 2 x =
πk
x1 =
denkleminin çözümü nedir?
B) x =
π
6
+ π k, k ∈ ¢
C) x = −
π
6
+ π k, k ∈ ¢
π
}
E) x = m + π k , k ∈ ¢
3
30) sin x + cos x = 1 denkleminin çözümü nedir?
A) x =
π
6
+ π k, k ∈ ¢
x1 = 2π k , k ∈ ¢
D)
x2 =
π
2
+ 2π k
B) x =
E) {
π
2
+ π k, k ∈ ¢
C) x =
π
3
}
170
+ π k, k ∈ ¢