Fizik 101: Ders 13 Ajanda

Fizik 101: Ders 13
Ajanda
Çok parçacıklı sistem
 Kütle Merkezi
 Lineer Momentum
 Örnekler
 Momentumun Korunumu
 1 Boyutlu İnelastik Çarpışma
 Balistik Sarkaç

Çok Parçacıklı Sistem




Şimdiye kadar basit sistemlerin (1 veya 2 parçacıklı)
hareketleri ile ilgilendik.
Gerçekçi sistemler çok daha ilginçtir!
Örneğin dönen bir disk yada biyolojik bir molekül.
Dönen disk, küçük parçacıkların bir toplamı olarak
düşünülebilir. Her bir küçük parçacığın hareketi
konumuna bağlı olacaktır.
Çok Parçacıklı Sistem: Kütle Merkezi


Çoklu parçacıklardan oluşan bir sistem için hangi
konumu sistemin pozisyonu olarak seçebiliriz?
Kütle Merkezi (ortalama pozisyon) :

Kütlesini ve konumlarını bildiğimiz noktasal N
parçacıklı bir sistem için :
N
R KM 
m r
i 1
N
i i
m
i 1
m2
m1
r1
RKM
r
y
i
r3
x
m4 r
4
2
(Burada N = 4)
m3
Çok Parçacıklı Sistem: Kütle Merkezi

3 boyutta RKM bileşenleri:
 imixi imi yi imizi 

(XKM, YKM, ZKM )  
,
,
 M

M
M


m2
m1
r
r1
y
RKM
2
r3
x
m4 r
4
(bu örnekte N = 4)
m3
Örnek:


Kütle dağılılımız şekildeki gibi olsun:
KM = ?
2m
(12,12)
m
(0,0)
m
(24,0)
Örnek:

Kütle dağılılımız şekildeki gibi olsun:
2m
(12,12)
m
(0,0)
m
(24,0)
Çok Parçacıklı Sistem: Kütle Merkezi

Kütle merkezi sistemin dengede bulunduğu
konumdur!

Denge konumunu bulursak kütle merkezini de bulmuş
oluruz.
m1
+
m2
m1
+
m2
Çok Parçacıklı Sistem: Kütle Merkezi

Elimizde sürekli bir katı madde varsa kütle merkezi
dm
y
r
 rdm   rdm
M
 dm
burada dm sonsuz küçük kütle elementidir.
Daha açık ifadesi:
x
R KM 
RKM 
 r(x, y, z) ρ(x, y, z)
dxdydz
V
 ρ(x, y, z) dxdydz
V
Çok Parçacıklı Sistem: Kütle Merkezi

Kütle merkezi cismin merkezindedir.
y
x
RKM
KM cismin kendine özgü bir özelliğidir.
KM hesabı orijin yada sistemi seçiminden
bağımsızdır.
Çok Parçacıklı Sistem: Kütle Merkezi


Yoğunluğu düzgün olan simetrik cisimlerin KMni
bulmak için sezgilerimizi kullanabiliriz:
Cismin geometrik merkeziyle aynıdır!
+
KM
+
+
+
+
+
Ders 13, Soru 1
Kütle Merkezi


(1)deki diskin KM diskin merkezi ile aynıdır.
Farzı muhal disk ortadan ikiye kesilsin ve (2)deki
şekil oluşturulsun.
 (2) için KM (1) ile karşılaştırıldığında nerdedir?
(a) yukarısında
(b) aşağısı
(c) aynı
X
KM
(1)
(2)
Ders 13, Soru 1
Kütle Merkezi

Neden?
X
X
X
KM
X
(1)
(2)
Ders 13, Soru 1
Kütle Merkezi

Şimdi KM nerdedir? Neden?
X
X
KM
(1)
(2)
Örnek: Astronot

Uzay yürüyüşündeki 2 astronot birbirlerine bir
sicimle bağlı ve durgundurlar. Birbirlerine
doğru sicimi çekerek nerede buluşurlar?
M = 1.5m
m
Örnek: Astronot
m
M = 1.5m




Başlangıçta 2side durgun, yani
VkM = 0.
KM
Dıştan bir kuvvet olmadığından
VKM değişmeyecektir, yani 0.
Hülasa KM hareketsizdir!
Astronotlar KMnde buluşur.
L
x=0
KM nerde:
Soldaki astronotun pozisyonunu x = 0 ise:
x km 
M(0)  m(L)
m(L)
2

 L
Mm
2.5m 5
x=L
Lineer Momentum:

Tanım: Tek parçacık için, momentum p :
p = mv
(v vektör olduğundan p
vektördür! ).
Yani px = mvx vs.

Newtonun 2. Yasası:
F = ma
d
( mv )
 m dv 
dt
dt

F 
Lineer momentum birimi kg m/s.
dp
dt
Lineer Momentum:

Sistemin toplam momentumu sistemin toplam kütlesi ile
sistemin KM hızının çarpımıdır!
P  M VKM

Kuvvet:

Bizim ilgimiz
dVKM
dP
M
 MA KM   m i a i  Fi,net
dt
dt
i
i
dP
dt
olduğundan toplam kuvveti bulmalıyız. i Fi ,net
Lineer Momentum:

Sadece etki eden dış kuvvetler önemlidir!
dP
  Fi,DIŞ  FNET, DIŞ
dt
i
m3
Bu aynı zamanda:
FNET, DIŞ
dP

 MA KM
dt
Newton’un 2. yasası sisteme uygulandı
m1
m2
F1,DIŞ
KM Hareketi

KM hareketi için elimizdeki denklem:
FDIŞ



dP
  MA KM
dt
Bunun birden çok anlamı vardır:
Dış kuvvetin etkisindeki dağınık bir cismin KM bir
nokta gibi davranır:
 Bunu kullanarak F ve A arasındaki bağıntıyı
kullanabiliriz.
Eğer dış kuvvet FDIŞ = 0 ise, sistemin toplam
momentumu değişmez.
 Dış kuvvet yoksa sistemin momentumu korunur.
Momentumun Korunumu
FDIŞ 


dP
0
dt
FDIŞ  0
Momentumun Korunumu fiziğin en temel kavramlarından
biridir.
Momentum vektörel büyüklük ve korunumu vektör
denklemidir.


dP
dt
Dış kuvvetin olmadığı herhangi bir yön için kullanabiliriz.
Enerjinin korunumlu olmadığı durumlarda dahi momentumun
korunumlu olduğunu göreceğiz.
Elastik ve Inelastik Çarpışma

Kinetik enerji ve momentumun korunduğu çarpışmaya elastik
çarpışma denir.
Könce = Ksonra

Aralarında yay olan 2 kutunun çarpışması yada bilardo toplarının
çarpışması vs.
vi

Kinetik enerji korunmazken momentumun korunduğu
çarpışmaya inelastik çarpışma denir. Könce  Ksonra

Çarpışan arabalar, çarpışmadan sonra cisimlerin yapıştığı çarpışmalar,
vs.
1 Boyutta İnelastik Çarpışma Örnek

Sürtünmesiz bir yüzeyde hareketsiz durmakta olan M
kütlesindeki bir bloğa bir tabancadan v hızıyla çıkan, m
kütlesinde bir mermi sıkılıyor. Mermi bloğun içine giriyor ve
V hızıyla hareket ettiriyor. m, M, ve V cinsinden :
Merminin ilk hızı v nedir?
Sistemin başlangıç enerjisi nedir?
Sistemin son enerjisi nedir?
Kinetik enerji korunumlumudur?




x
v
V
önce
sonra
Örnek...


Blok ve mermiyi bir sistem olarak ele alırız.
Mermi atıldıktan sonra, sisteme x-yönünde etki
eden bir dış kuvvet yoktur.
x yönünde momentum korunur!
x
v
V
önce
sonra
Örnek...
M  m
v 
V
 m 

Çarpışmadan önce ve sonra kinetik enerji nedir?

Önce:
EB

Sonra:


1
1 M  m 2 2 1 M  m
2
 mv  m 
 V  
  M  m V 2
2
2  m 
2 m 
EA 
EA
1
 M  m V 2
2
m 


E
M  m B
Kinetik enerji korunumlu değil! (sürtünme mermiyi durdurur)
Binaenaleyh, momentum korunmuştur!
1 Boyutta İnelastik Çarpışma Örnek
M
m
v=0
V
M+m
v=?
kaygan
(sürtünmesiz)
Örnek...
Ders 13, Soru 2
Momentumun Korunumu


Aşağıda verilen 2 sistemde özdeş 2 top
sürtünmesiz bir yüzeyde durgun halde bulunan
özdeş 2 kutuya aynı hızla çarpıyor.
İlk durumda top geri dönerken 2. durumda kutuya
yapışık kalıyor.

Hangi kutunun hızı daha fazladır?
(a)
Kutu 1
1
(b) Kutu 2
(c) aynı
2
Ders 13, Soru 2
Momentumun Korunumu




Hareket yönünde (x-yönü) dış kuvvet olmadığından
x-yönünde momentum korunur.
Her iki durumda momentum aynıdır (mv topun
momentumu).
Çarpışmadan sonra ilk durumun momentumu
negatiftir, momentum korunduğundan kutunun
momentumu pozitiftir.
İlk durumda kutunun hızı daha fazladır!
x
V1
1
2
V2
Ders 13, Soru2
Momentumun Korunumu
mvilk = MV1 - mvson
mvilk = (M+m)V2
V1 = (mvilk + mvson) / M
V2 = mvilk / (M+m)
V1 hızında pay V2 hızınınkinden büyük, paydası
küçüktür.
V1 > V2
V1
1
x
2
V2
Balistik Sarkaç
L
L
L
m v
V=0
H
M+m
M

L
V
Kütlesi m olan bir mermi L uzunluğunda ipe asılı M
kütlesinde bir kütleye v hızıyla çarpıyor ve m + M kütlesi
H kadar yükseliyor.
Verilen bir H için merminin ilk hızı v nedir?
Balistik Sarkaç

Proseste 2 basamak var:
1. m ve M kütlesi inelastik çarpışıyor. Çarpışmadan sonra M ve m
kütlesi V hızıyla beraber hareket ediyor.
2. M ve m kütlesi H kadar yükseliyor mekanik enerjinin K+U
korunumu E.
Balistik Sarkaç

Basamak 1: Momentum Korunumu
x-yönünde:

mv  ( m  M )V
m 
V  
v
m  M 
Basamak 2: K+U Enerji Korunumu
( EI  EF )
1 (m
2
 M )V 2  ( m  M ) gH
V sadeleştirilirse:
V 2  2 gH
 M
v  1   2 gH
m

Balistik Sarkaç
L
L
L
m v
H
M+m
M

L
d
Yükseklik yerine x yönündeki yerdeğiştirme d ölçülür
L
L-H
H
d
L2  d 2   L  H  2
H  L  L2  d 2
Balistik Sarkaç
L
L-H
H  L L d
2
H
2
d
 d2  d2
d2

 L  L 1  2  L  L1  2  
L
 2L  2L
 M
v  1   2 gH
m

M g

v  1  d
m L

d << L için
Kim daha hızlı fırlatır?...
d
 1
L
Özet
Çok parçacıklı sistem
Kütle Merkezi
Lineer Momentum
Örnekler
Momentumun Korunumu
1 Boyutlu İnelastik Çarpışma
Balistik Sarkaç
