KÜRESEL TRİGONOMETRİ Yerküresel Eğrilerin Tanımı

KÜRESEL TRİGONOMETRİ1
Yerküresel Eğrilerin Tanımı
Merkezinden geçen bir düzlemle kesilen kürenin yüzeyinde büyükdaire adı verilen ve
yarıçapı kürenin yarıçapına eşit olan bir daire oluşur. Küre üzerindeki iki A ve B noktası
arasında, çapsal karşılıklı noktalar hariç, sadece bir adet büyükdaire geçirilebilir (Şekil 1). Bu
iki nokta büyükdaireyi iki yaya ayırır ve bu noktalar arasındaki en kısa mesafe kürenin
yüzeyinde yayların küçüğü tarafından belirlenir. Bir yüzey üzerinde noktaları en kısa
mesafeye göre bağlayan eğrilere yerküresel (geodetik) denir. Düzlemde doğrular tarafından
gerçeklenen bu özellik, küre yüzeyinde büyükdaireler tarafından gerçeklenir. Bir a
büyükdaire yayının uzunluğu, R küre yarıçapı ve α radyan cinsinden merkez açısını ifade
etmek üzere a = α.R ilişkisiyle belirlenir. Bir küre yüzeyindeki yaylar değerlendirilirken, ölçü
birimi olarak R küre yarıçapı alınır. Birim yarıçaplı bir dairede (R = 1 için) a = α ilişkisi
geçerlidir.
Şekil 1- Büyükdaire ve küresel A ve B noktaları
arasındaki en kısa mesafe.
Şekil 2- Küresel A-B-C açısının büyükdairelere
göre tanımı.
Küresel Açılar ve Üçgenler
Küre yüzeyinde iki büyükdaire arasındaki açı, dairelerin B kesim noktasında
büyükdairelere çizilen teğet doğruların oluşturduğu A'-B-C' açısıyla belirlenir. Bu açı aynı
zamanda O-B-A ve O-B-C düzlemleri arasındaki açıya karşı düşer (Şekil 2).
Üç adet büyükdaire, kürede çok sayıda küresel üçgenin oluşmasına neden olur. Bunların
arasında sadece tüm kenar ve açıları 180’den küçük olanları göz önünde bulunduralım. Eğer
O kürenin merkezi ise, a, b ve c kenarları ve A, B ve C açılarının her biri, OABC küre
kesitinde, küresel üçgenin karşısında yer alan üç köşe tarafından belirlenir (Şekil 3). Küresel
üçgenlerin temel özelliği A+B+C açıları toplamının, her zaman 180’den daha büyük
olmasıdır.
1
Daha geniş bilgi için: Y. Daryal, Küresel Trigonometri, İTÜ Denizcilik Yüksek Okulu, İstanbul, 1991.
Şekil 3- Küresel üçgenlerin kenar uzunlukları ve köşe açıları cinsinden tanımı.
Küresel Dik Açılı Üçgenler
Bir dik C = 90 açısı bulunan, diğer A ve B açıları a ve b dik açı kenarları karşısında ve c
hipotenüsü dik açı karşısında yer alan (Şekil 4) küresel dik üçgenler için, aşağıdaki ilişkiler
geçerlidir:
sin a = (sin c).(sin A)
sin b = (sin c).(sin B)
tan a = (sin b).(tan A)
tan b = (sin a).(tan B)
cos c = (cos a).(cos b)
tan a = (tan c).(cos B)
tan b = (tan c).(cos A)
cos B = (cos b).(sin A)
cos A = (cos a).(sin B)
cos c = (cot A).(cot B)
Şekil 4- Küresel dik üçgenlerde köşe açıları ve kenar uzunlukları.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Genel Küresel Üçgenler
A, B, C üçgen açılarını ve a, b, c bu açıların karşısına düşen küresel üçgen kenarları
olmak üzere, aşağıdaki ilişkiler yazılabilir:
sin 𝑎
sin 𝑏
sin 𝑐
= sin 𝐵 = sin 𝐶
(sinüs teoremi)
sin 𝐴
cos 𝑎 = cos 𝑏. cos 𝑐 + sin 𝑏. sin 𝑐. cos 𝐴
cos 𝐴 = − cos 𝐵. cos 𝐶 + sin 𝐵. sin 𝐶. cos 𝑎 (12 ve 13 kosinüs teoremleri)
sin 𝑎. cot 𝑏 = cot 𝐵. sin 𝐶 + cos 𝑎. cos 𝐶
sin 𝐴. cot 𝐵 = cot 𝑏. sin 𝑐 − cos 𝐴. cos 𝑐
(14 ve 15 kotanjant teoremleri)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
Eğer üçgen kenarlar toplamlarının yarısı k = (a + b + c)/2 ile ifade edilirse, iki kenar ve
arasındaki açı belli küresel üçgenler için geçerli aşağıdaki ifadeler türetilebilir:
𝐴
𝑠𝑖𝑛2 2 =
sin (𝑘−𝑏).sin (𝑘−𝑐)
𝐴
𝑐𝑜𝑠 2 2 =
𝐴
𝑡𝑎𝑛2 2 =
(16)
sin 𝑏.sin 𝑐
sin (𝑘−𝑎).sin 𝑘
(17)
sin 𝑏.sin 𝑐
sin(𝑘−𝑏).sin(𝑘−𝑐)
(18)
sin(𝑘−𝑎).sin 𝑘
Napier İlişkileri
Yukarıdaki genel küresel ifadelerinden aşağıda verilen ilişkiler türetilebilir:
tan
tan
tan
tan
𝐴+𝐵
2
𝐴−𝐵
2
𝑎+𝑏
2
𝑎− 𝑏
cos (𝑎 − 𝑏)/2
= cos (𝑎 + 𝑏)/2 . cot 𝐶/2
(19)
sin (𝑎 − 𝑏)/2
= sin (𝑎 + 𝑏)/2 . cot 𝐶/2
(20)
cos (𝐴 − 𝐵)/2
= cos (𝐴 + 𝐵)/2 . cot 𝑐/2
=
sin (𝐴 − 𝐵)/2
. cot 𝑐/2
2
sin (𝐴 + 𝐵)/2
tan (𝐴−𝐵)/2
tan (𝑎−𝑏)/2
tan (𝐴+𝐵)/2
=
tan (𝑎+𝑏)/2
(21)
(napier ilişkileri)
(22)
(tanjant teoremi)
(23)