1) Çapı 2.2 mm ve uzunluğu 10 m olan bir elektrik teli ısıl iletkenliği k

KRİTİK YALITIM YARIÇAPI ve KANATLI YÜZEYLERDEN ISI TRANSFERİ İLE İLGİLİ ÖRNEK PROBLEMLER
1) Çapı 2.2 mm ve uzunluğu 10 m olan bir elektrik teli ısıl iletkenliği k=0.15 W/m.oC ve
kalınlığı 1 mm olan plastic bir kaplamayla sıkıca sarılmıştır. Elektriksel ölçümler telden 13
A’lik bir akımın geçtiğini vet el boyunca 8 V’luk gerilim düşüşünü göstermektedir. Eğer
yalıtımlı tel h=24 W/m2.oC’lik ısı transfer katsayısı ile 𝑇∞ =30oC’deki bir ortama açık ise, sürekli
işlemde tel ve plastic kaplama arayüzeyindeki sıcaklığı bulunuz. Ayrıca, plastic kaplama
kalınlığının iki kata çıkarılması bu arayüzey sıcaklığını yükseltir mi yoksa düşürür mü?
Elektrik
Teli
𝑇∞ = 30℃
Yalıtım
ŞEKİL P1
2) 50 oC’deki 5 mm çaplı küresel bir bilye 1 mm kalınlıklı plastic (k=0.13 W/m.oC) bir yalıtımla
kaplanmıştır. Bilye 20 W/m2.oC’lik bir birleşik taşınım ve ışınım transfer katsayısı ile 15
o
C’deki bir ortama açıktır. Plastik yalıtım, bilyeden ısı transferine yardımcı mı olur yoksa engel
mi olur?
Plastik
Yalıtım
ŞEKİL P2
3) 4 mm çaplı ve uzunluğu 10 cm olan alüminyum kanat (k=237 W/m.oC) bir yüzeye monte
edilmiştir. Eğer ısı transfer katsayısı 12 W/m2.oC ise, yalıtımlı kanat ucu kabulü yerine sonsuz
uzun kanat kabulü kullanıldığı takdirde kanadın ısı transfer hızındaki hata yüzdesini bulunuz.
ŞEKİL P3
4) Kanat ucu gerçekte çevre havası sıcaklığında yani 20oC olan, düz bir yüzeye takılmış çok
uzun dikdörtgen bir kanadı göz önüne alınız. Kanadın genişliği 5.0 cm, kalınlığı 1.0 mm, ısıl
1
iletkenliği 200 W/m.K ve taban sıcaklığı 40 oC’dir. Isı transfer katsayısı 20 W/m2.K’dir.
Tabandan 5.0 cm uzaklıktaki kanat sıcaklığını ve kanadın tamamındaki ısı kayıp hızını
hesaplayınız.
5) Çapı D=1 mm ve uzunluğu L=25.4 mm bakırdan (k=400 W/m.K) yapılmış küresel soğutma
kanatları Ts1=132 oC’de tutulan bir yüzeydeki ısı transferini iyileştirmek için kullanılmaktadır.
Her bir çubuğun bir ucu bu yüzeye (x=0) diğer ucu ise Ts2=0oC’de tutulan ikinci bir yüzeye
(x=L) tutturulmuştur. Yüzeyler ve çubuklar arasında akan hava da 𝑇∞ =0 oC’dedir ve taşınım
katsayısı h=100 W/m2.K’dir.
𝜃
𝜃𝐿 ⁄𝜃𝑏 sinh(𝑚𝑥) + sinh[𝑚(𝐿 − 𝑥)]
=
𝜃𝑏
sinh⁡(𝑚𝐿)
𝑄̇ = 𝜃𝑏 √ℎ𝑝𝑘𝐴𝑐
cosh⁡(𝑚𝐿)
sinh⁡(𝑚𝐿)
(a) Kanat boyunca 𝜃(𝑥) = 𝑇(𝑥) − 𝑇∞ fonksiyonunu ifade ediniz ve x=L/2’deki sıcaklığı
hesaplayınız.
(b) Sıcak yüzeydeki her kanattan ısı transfer hızını ve kanat etkinliğini bulunuz. Kanat
kullanımı doğru mudur? Neden?
(c) Üzerinde 625 adet uniform dağılmış kanat bulunan bir duvarın 10cm × 10cm’lik
bölgesindeki toplam ısı transfer hızı nedir? Kanatlı ve kanatsız yüzeyler için aynı
taşınım katsayısını kabul ediniz.
ŞEKİL P5
6) Uzunluğu 5.3 cm, çevresi 11 cm olan metal alaşımdan (k=17 W/m.K) yapılmış bir türbin
kanadının kesit alanı 5.13 cm2’dir. Türbin kanadı 538 W/m2.K’lik bir taşınım ısı transfer
katsayısı ile 973 oC’deki yanma odası sıcak ortamına açıktır. Türbin kanadının tabanı 450 oC
sabit sıcaklıkta tutulmaktadır ve kanat ucu yalıtımlıdır. Türbin kanadına olan ısı transfer hızını
ve kanat ucundaki sıcaklığı bulunuz. Kanatta izin verilen en yüksek sıcaklık 1000 oC ise, kanat
ucunun adyabatik olma durumu için yapılan soğutma tasarımı yeterli midir?
2
Sıcak Gaz
Türbin kanadı
ŞEKİL P6
7) Dış çapı 10 cm, uzunluğu 3 m ve kalınlığı 0.4 cm olan iki tane dökme demir (k=52 W/m.K)
buhar borusu, 20 cm dış çaplı 1 cm kalınlıklı iki flanş ile birbirine bağlanmıştır. 200 oC’deki
buhar, duvarla arasında 180 W/m2.K’lik bir ısı transfer katsayısı olacak şekilde boru içinde
akmaktadır. Borunun dış yüzeyi 25 W/m2.K’lik bir ısı transfer katsayısı ile 12 oC’deki bir
ortama açıktır.
(a) Flanşları göz ardı ederek dış yüzeyin ortalama sıcaklığını bulunuz.
(b) Bu sıcaklığı flanş taban sıcaklığı olarak alıp flanşları kanat gibi düşünerek, kanat verimini
ve flanşlardan olan ısı transfer hızını bulunuz.
(c) Isı transfer açısından hangi boru uzunluğu flanş kısmına eşdeğerdir?
Thava=12oC
Buhar
ŞEKİL P7
3
8) Yüzey sıcaklığı 350 oC olan bir düzlem duvarda düzgün dikdörtgen kanatlar (k=235 W/m.K)
bulunmaktadır. Kanatlar ile 25 oC’deki ortam havası arasında taşınımısı transfer katsayısı 154
W/m2.K’dir. Uzunlukları 50 mm olan her bir kanadın taban kalınlığı 5 mm ve genişliği 100
mm’dir. Her bir kanadın verimini, ısı transfer hızını ve kanadın etkinliğini bulunuz.
Hava
ŞEKİL P8
9) Bir ısıtma sisteminde buhar, duvarları 180 oC’de tutulan 5 cm çaplı borulardan akmaktadır.
Borulara 6 cm dış çaplı ve 1 mm sabit kalınlıklı dairesel alüminyum 2024-T6 alaşım kanatlar
(k=186 W/m.oC) takılmıştır. Kanatlar arası boşluk 3 mm’dir; dolayısıyla borunun metre
uzunluğu başına 250 kanat bulunmaktadır. Isı, 𝑇∞ =25oC’deki çevre havasına 40 W/m2.oC’lik
bir ısı transfer katsayısı ile transfer edilmektedir. Eklenen kanatlardan dolayı birim uzunluk
başına borudan olan ısı transfer artışını bulunuz.
ŞEKİL P9
4
10) 100 oC’deki bir sıcak yüzey uzunluğu 3 cm olan 0.25 cm çaplı ve eksenler arası uzaklığı
0.6 cm olan alüminyum çubuk kanatlar (k=237 W/m.oC) eklenerek soğutulacaktır. Çevre
ortamın sıcaklığı 30 oC ve yüzeydeki ısı transfer katsayısı 35 W/m2.oC’dir. Plakanın 1mx1m’lik
kısmın yüzeyinden ısı transfer hızını bulunuz. Ayrıca kanatların toplam etkinliğini bulunuz.
ŞEKİL P10
5
ÇÖZÜMLER
1)
Bir elektrik teli 1 mm kalınlıklı plastic kaplamayla sıkıca kaplanmıştır. Tel ve plastic kaplama
arasındaki yüzey sıcaklığı ve plastic kaplama kalınlığının iki katına çıkarılmasının arayüzey
sıcaklığı üzerindeki etkisi sorulmaktadır.
Kabuller:
Zamanla değişim söz konusu olmadığından ısı transferi süreklidir. Silindirin merkez eksenine
göre ısıl simetri olduğundan ve eksenel doğrultuda sıcaklık değişimi olmadığından tek boyutlu
ısı transferi mevcuttur. Arayüzeydeki ısıl temas direnci ihmal edilmiştir. Malzemelerin ısıl
iletkenlikleri sabittir.
Verilenler:
Plastik kaplamanın ısıl iletkenliği, k= 0.15 W/m.oC
Telden geçen akım 13 A ve gerilim 8 V
Ortam sıcaklığı ve ısı transfer katsayısı, 𝑇∞ =30oC, ho=24 W/m2.oC
Elektrik telinin çapı, =𝐷𝑒 =2.2 mm, uzunluğu L=10 m,
Plastik kaplamanın kalınlığı, t=1 mm
Yalıtım dış çapı, 𝐷𝑜 = 𝐷𝑒 + 2 × 𝑡 = 2.2 + 2 × 1 = 4.2⁡𝑚𝑚 = 0.0042⁡𝑚
Hesaplamalar:
Sürekli şartlarda, telden olan ısı transfer hızı tel içerisinde üretilen ısıya eşittir. Dolayısyla;
𝑄̇ = 𝑊̇𝑒 = 𝑉𝐼 = 8 × 13 = 104⁡W
Bu problem için ısıl direnç ağı, plastik kaplamaya ait iletim direncinden ve dış ortamla olan
taşınım direncinden oluşur;
𝑅𝑡𝑎ş𝚤𝑛𝚤𝑚
𝑅𝑝𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑘
𝑇1
𝑇∞
Herbir ısıl direnç ve toplam direnç değerleri;
𝑅𝑡𝑎ş𝚤𝑛𝚤𝑚 =
1
1
=
= 0.3158⁡℃/W
ℎ𝑜 𝐴𝑜 (24)𝜋(0.0042)(10)
𝑅𝑝𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑘 =
ln⁡(𝑟𝑜 ⁄𝑟𝑒 )
ln⁡(2.1⁄1.1)
=
= 0.0686⁡℃/W
2𝜋𝑘𝐿
2𝜋(0.15)(10)
𝑅𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 = 𝑅𝑡𝑎ş𝚤𝑛𝚤𝑚 + 𝑅𝑝𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑘 = 0.3158 + 0.0686 = 0.3844⁡℃/W
Tel ile yalıtım arayüzey sıcaklığı;
6
𝑄̇ =
𝑇1 − 𝑇∞
= 𝑇1 = 𝑇∞ + 𝑄̇ 𝑅𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 = 30 + (104)(0.3844) = 70℃
𝑅𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚
Plastik yalıtımın kritik yarıçapı;
𝑟𝑘𝑟 =
𝑘 0.15
=
= 0.00625⁡m = 6.25⁡mm
ℎ
24
Plastik kaplamanın kalınlığını iki katına çıkarıldığında dış çap;
𝐷𝑜2 = 𝐷𝑒 + 2 × (2𝑡) = 2.2 + 2 × (2 × 1) = 6.2⁡mm
Dolayısıyla dış yarıçap 𝑟𝑜 = 3.1⁡𝑚𝑚⁡olur.⁡
Bu değer ⁡𝑟𝑘𝑟 ⁡(= 6.25)⁡değerinden küçüktür. Bu yüzden, plastik kaplamanın kalınlığını iki kat
arttırmak dış ortama olan ısı transferini arttıracaktır. (bu da toplam direncin azalacağı anlamına
gelir). Böylelikle yeni durumda arayüzey sıcaklığı azalacaktır.
2)
Küresel bir bilye 1 mm kalınlıklı plastik yalıtımla kaplanmıştır. Yalıtımın bilyeden olan ısı
transferine etkisi sorulmaktadır.
Kabuller:
Zamanla değişim söz konusu olmadığından ısı transferi süreklidir. Küre merkezine göre ısıl
simetri olduğundan ısı transferi tek boyutludur. Arayüzeydeki ısıl temas direnci ihmal
edilmiştir. Malzemelerin ısıl iletkenlikleri sabittir.
Verilenler:
Plastik yalıtımın ısıl iletkenliği, k= 0.13 W/m.oC
Dış ortam birleşik ısı transfer katsayısı, h=20 W/m2.oC
Bilye iç çapı, Di= 5mm, plastic yalıtım kalınlığı, t=1 mm
Bilye dış çapı Do=Di + 2t=5+2x1=7 mm, ro=3.5 mm
Hesaplamalar:
Küresel bilye için plastik yalıtımın kritk çapı;
𝑟𝑘𝑟 =
2𝑘 2(0.13)
=
= 0.013⁡𝑚 = 13⁡mm⁡
ℎ
20
Kürenin yalıtımlı dış yarıçap değeri kritik yalıtım yarıçapı değerinden küçük olduğu için plastik
yalıtım ısı transfer hızını arttıracaktır.
3)
Silindirik bir kanat yerleştirilen bir yüzeyden; adyabatik kanat ucu kabulü yerine sonsuz
uzunlukta bir kanat kabulü yapılması durumunda ısı transfer hızında yapılacak hata oranının
bulunması istenmektedir.
Kabuller:
7
Sürekli rejim şartları mevcuttur. Sıcaklık kanat boyunca kanat yüzey alanına dik doğrultuda
olmak üzere sadece bir yönde değişmektedir. Isı transfer katsayısı tüm kanat yüzeyinde sabit
ve üniformdur. Kanatın ısıl iletkenliği sabittir.
Verilenler:
Alüminyum kanatın ısıl iletkenliği, k=237 W/m.oC
Isı transfer katsayısı, h=12 W/m2.oC
Kanatın çapı, D=4 mm, uzunluğu, L=10 cm
Hesaplamalar:
Sonsuz uzun bir kanattan ve adyabatik uçlu bir kanattan olan ısı transfer hızları sırasıyla;
𝑄̇𝑢𝑧𝑢𝑛⁡𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 = √ℎ𝑝𝑘𝐴𝑐 (𝑇𝑏 − 𝑇∞ )
𝑄̇𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏𝑎𝑡𝑖𝑘⁡𝑢ç = √ℎ𝑝𝑘𝐴𝑐 (𝑇𝑏 − 𝑇∞ ) tanh(𝑚𝐿)
Uzun kanat kabulünde oluşan hata yüzdesi;
𝐻𝑎𝑡𝑎⁡% =
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡=
𝑄̇𝑢𝑧𝑢𝑛⁡𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 − 𝑄̇𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏𝑎𝑡𝑖𝑘⁡𝑢ç
𝑄̇𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏𝑎𝑡𝑖𝑘⁡𝑢ç
√ℎ𝑝𝑘𝐴𝑐 (𝑇𝑏 − 𝑇∞ ) − √ℎ𝑝𝑘𝐴𝑐 (𝑇𝑏 − 𝑇∞ ) tanh(𝑚𝐿)
√ℎ𝑝𝑘𝐴𝑐 (𝑇𝑏 − 𝑇∞ ) tanh(𝑚𝐿)
=
1
−1
tanh(𝑚𝐿)
burada,
ℎ𝑝
(12)(0.004𝜋)
𝑚=√
=√
= 7.116⁡𝑚−1
(237)𝜋(0.004)2 /4
𝑘𝐴𝑐
m değerini hata denkleminde yerine yazılırsa;
𝐻𝑎𝑡𝑎⁡% =
1
1
−1=
− 1 = 0.635 = %63.5
tanh(𝑚𝐿)
tanh[(7.116)(0.10)]
Görüldüğü üzere bu problem için sonsuz uzun kanat kabulü önemli ölçüde hatalı sonuca yol
açmaktadır.
4)
Çok uzun dikdörtgen kesitli bir kanat düz bir yüzeye monte edilmiştir. Kanat tabanından 5 cm
uzaklıkta kanat sıcaklığı ve kanatın tüm yzeyinden olan ısı kayıp oranı sorulmaktadır.
Kabuller:
Sürekli rejim şartları mevcuttur. Sıcaklık kanat boyunca kanat yüzey alanına dik doğrultuda
olmak üzere sadece bir yönde değişmektedir. Isı transfer katsayısı tüm kanat yüzeyinde sabit
ve üniformdur. Kanat malzemesinin ısıl iletkenliği sabittir.
Verilenler:
8
Kanatın ısıl iletkenliği, k=200 W/m.oC
Isı transfer katsayısı, h=20 W/m2.oC
Taban sıcaklığı, Tb=40oC
Kanatın genişliği, w=5 cm, kalınlığı, t=1 mm
Hesaplamalar:
Çok uzun bir kanat boyunca sıcaklık değişimi ifadesi;
𝑇 − 𝑇∞
= 𝑒 −𝑚𝑥
𝑇𝑏 − 𝑇∞
burada,
ℎ𝑝
(20)(2 × 0.05 + 2 × 0.001)
𝑚=√
=√
= 14.3⁡𝑚−1
(200)(0.05
𝑘𝐴𝑐
× 0.001)
x= 0.05 m’deki kanat sıcaklığı;
𝑇 − 𝑇∞
𝑇 − 20
= 𝑒 −𝑚𝑥 →
= 𝑒 −(14.3)(0.05) → 𝑇 = 29.8℃
𝑇𝑏 − 𝑇∞
40 − 20
Çok uzun bir kanattan olan toplam ısı transferi;
𝑄̇𝑢𝑧𝑢𝑛⁡𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 = √ℎ𝑝𝑘𝐴𝑐 (𝑇𝑏 − 𝑇∞ )
= √(20)(2 × 0.05 + 2 × 0.001)(200)(0.05 × 0.001)(40 − 20)
= 2.9⁡W⁡bulunur.
5)
Kabuller:
Sürekli rejim şartları mevcuttur. Sıcaklık kanat boyunca kanat yüzey alanına dik doğrultuda
olmak üzere sadece bir yönde değişmektedir. Isı transfer katsayısı tüm kanat yüzeyinde sabit
ve üniformdur. Kanat malzemesinin ısıl iletkenliği sabittir.
Verilenler:
Silindirik soğutma kanatları, kanatlar iki yüzey arasına yerleştirilmiştir. Sol taraftaki yüzey 0
noktası olmak üzere kanat uzunluğu yönü x- ekseni olarak alınmıştır.
Kanatın uzunluğu L=25.4 mm, çapı D=1 mm
Kanatın ısıl iletkenliği, k=400 W/m.oC
Isı transfer katsayısı, h=100 W/m2.oC
Kanatın taban sıcaklığı (Kanatın x=0’daki kısmı taban olarak alındı) Tb=Ts1=132 oC
Kanatın uç sıcaklığı (x=L’deki kanat sıcaklığı) TL=Ts2=0 oC
Ortam sıcaklığı, 𝑇∞ =0 oC
9
Hesaplamalar:
(a)
Soruda verilen kanat boyunca sıcaklık dağılımı denkleminde 𝜃𝑏 ⁡ve⁡𝜃𝐿 değerleri yerine yazılırsa;
x=0’da 𝜃𝑏 = 𝑇𝑏 − 𝑇∞ = ⁡ 𝑇𝑠1 − 𝑇∞ = 𝑇𝑠1 − 0 = 𝑇𝑠1
x=L’de 𝜃𝐿 = 𝑇𝐿 − 𝑇∞ = 𝑇𝑠2 − 𝑇∞ = 0 − 0 = 0
𝜃
𝜃𝐿 ⁄𝜃𝑏 sinh(𝑚𝑥) + sinh[𝑚(𝐿 − 𝑥)] sinh[𝑚(𝐿 − 𝑥)]
=
=
𝜃𝑏
sinh(𝑚𝐿)
sinh(𝑚𝐿)
𝜃 = 𝑇(𝑥) − 𝑇∞ = 𝜃𝑏
sinh[𝑚(𝐿 − 𝑥)]
⁡ifadesi⁡elde⁡edilir.
sinh(𝑚𝐿)
x=L/2 için;
ℎ𝑝
(100)(0.001𝜋)
𝑚=√
=√
= 31.6⁡𝑚−1
(400)𝜋(0.001)2 /4
𝑘𝐴𝑐
𝜃𝐿/2
𝐿
sinh [𝑚 (𝐿 − 2)]
𝐿
= 𝑇 ( ) − 𝑇∞ = 𝜃𝑏
2
sinh(𝑚𝐿)
𝜃𝐿⁄2 = 𝑇𝐿⁄2
𝐿
0.0254
sinh [𝑚 (𝐿 − )]
sinh [(31.6) (0.0254 −
)]
2
2
= 𝑇𝑠1
= 132 ×
= 61℃⁡
sinh(𝑚𝐿)
sinh(31.6 × 0.0254)
(b)
Tek bir kanattan olan ısı transferi soruda verilen eşitlikten;
𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 = 𝜃𝑏 √ℎ𝑝𝑘𝐴𝑐
cosh(𝑚𝐿)
sinh(𝑚𝐿)
= (132)√(100)(0.001𝜋)(400)𝜋(0.001)2 ⁄4
cosh(31.6 × 0.0254)
sinh(31.6 × 0.0254)
= 1.97⁡W⁡bulunur.
Sıcak yüzeyin kanat etkinliği;
𝜀=
𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡
1.97
=
= 190
ℎ𝐴𝑐 (𝑇𝑏 − 𝑇∞ ) (100)𝜋 (0.001)2
(132 − 0)
4
𝜀 = 190 ≫ 2⁡olduğundan⁡kanat⁡kullanımı⁡doğrudur.
(c)
n toplam kanat sayısı olmak üzere toplam ısı transfer hızı;
𝑄̇𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 = 𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 + 𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡𝑠𝚤𝑧 = ⁡𝑛𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 + (𝐴𝑡 − 𝑛𝐴𝑐 )ℎ(𝑇𝑏 − 𝑇∞ )
𝐴𝑡 = 0.1 × 0.1 = 0.01⁡𝑚2 ⁡(Kanatçık⁡yerleştirilen⁡duvarın⁡toplam⁡alanı)
10
Toplam kanat sayısı n=625
𝑄̇𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 = (625)(1.97) + [0.01 − 625 ×
𝜋(0.001)2
] (100)(132 − 0) = 1357⁡W⁡bulunur.
4
6)
Kabuller:
Sürekli rejim şartları mevcuttur. Sıcaklık kanat boyunca kanat yüzey alanına dik doğrultuda
olmak üzere sadece bir yönde değişmektedir. Isı transfer katsayısı tüm kanat yüzeyinde sabit
ve üniformdur. Kanat malzemesinin ısıl iletkenliği sabittir.
Kanat Ucu
Verilenler:
Kanatın ısıl iletkenliği k=17 W/m.oC
Kanat taban sıcaklığı 𝑇𝑏 = 450℃
Sıcak gaz akışı
𝑇∞ , ℎ
Sıcak gaz sıcaklığı 𝑇∞ = 973℃
Isı transfer katsayısı h=538 W/m2.oC
Kanat uzunluğu L=5.3 cm
Kanat çevresinin uzunluğu p=11 cm
Rotor
Kanat kesit alanı Ac=5.13 cm2
Soğutma havası
Hesaplamalar:
Adiabatik uç kabulu için, sıcak gazdan türbin kanadına olan ısı transfer hızı;
𝑄̇𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏𝑎𝑡𝑖𝑘⁡𝑢ç = √ℎ𝑝𝑘𝐴𝑐 (𝑇𝑏 − 𝑇∞ ) tanh(𝑚𝐿)
Verilenler yukarıdaki denklemde yerine yazılırsa;
(538)(0.11)
ℎ𝑝
𝑚=√
=√
= 82.4⁡m−1
(17)(0.000513)
𝑘𝐴𝑐
𝑄̇𝑎𝑑𝑖𝑎𝑏𝑎𝑡𝑖𝑘⁡𝑢ç = √(538)(0.11)(17)(0.000513)(450 − 973) tanh(82.4 × 0.053)
= −375.6⁡W⁡bulunur. (Eksi⁡işareti⁡sıcak⁡gazdan⁡kanata⁡ısı⁡transferi⁡olduğunu⁡gösterir. )
Kanat ucunun sıcaklığı;
𝑇(𝑥) − 𝑇∞ cosh⁡[𝑚(𝐿 − 𝑥)]
=
𝑇𝑏 − 𝑇∞
cosh 𝑚𝐿
x=L için sıcaklık değişimi denklemi çözülürse;
𝑇(𝐿) − 𝑇∞ cosh[𝑚(𝐿 − 𝐿)]
cosh(0)
=
=
→ 𝑇𝐿 = 960℃⁡bulunur.
𝑇𝑏 − 𝑇∞
cosh 𝑚𝐿
cosh(82.4 × 0.053)
11
Kanat boyunca en yüksek sıcaklık kanatın uç noktasında oluşur. Kanat uç noktasının
hesaplanan sıcaklık değeri kanat için verilen maksimum sıcaklık değerinden küçük olduğu için
yapılan soğutma tasarımı yeterlidir.
7)
Kabuller:
Sürekli rejim şartları mevcuttur. Sıcaklık flanşlar boyunca flanşların yüzey alanına dik
doğrultuda olmak üzere sadece bir yönde değişmektedir. Isı transfer katsayısı tüm flanş
yüzeylerinde sabit ve üniformdur. Isıl iletkenlik sabittir.
Verilenler:
Dökme demirin ısıl iletkenliği, k=52 W/m.oC
Borunun içinden akan buhar sıcaklığı, Ti =200oC, iç yüzey ısı transfer katsayısı hi=180 W/m2.oC
Borunun bulunduğu ortamın sıcaklığı, To =12oC, dış yüzey ısı transfer katsayısı ho=25 W/m2.oC
Dökme borunun iç çapı Di=9.2 cm, borunun dış çapı Dd=10 cm, borunun et kalınlığı 0.4 cm
Her bir borunun uzunluğu L=3 m, flanşın çapı Df= 20 cm
Hesaplamalar:
(a)
Flanşsız durum için ısıl direnç devresi;
Riletim
Ti
To
Isı transfer yüzey alanları;
𝐴𝑖 = 𝜋𝐷𝑖 (2𝐿) = 𝜋(0.092)(2 × 3) = 1.73⁡m2
𝐴𝑜 = 𝜋𝐷𝑜 (2𝐿) = 𝜋(0.1)(2 × 3) = 1.88⁡m2
Her bir ısıl direnç ve toplam direnç;
𝑅𝑖 =
1
1
=
= 0.0032⁡℃/W
ℎ𝑖 𝐴𝑖 (180)(1.73)
𝑅𝑖𝑙𝑒𝑡𝑖𝑚 =
𝑅𝑜 =
ln⁡(𝑟0 ⁄𝑟𝑖 ) ln⁡(0.05⁄0.046)
=
= 0.00004⁡℃/W⁡
2𝜋𝑘𝐿
2𝜋(52)(6)
1
1
=
= 0.0213⁡℃/W
ℎ𝑜 𝐴𝑜 (25)(1.88)
𝑅𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 = 𝑅𝑖 + 𝑅𝑖𝑙𝑒𝑡𝑖𝑚 + 𝑅𝑜 = 0.0032 + 0.00004 + 0.0213 = 0.02454⁡℃/W
Dış yüzeyden olan ısı transfer miktarı ve dış yüzey ortalama sıcaklığı;
12
𝑄̇ =
𝑇𝑖 − 𝑇𝑜 (200 − 12)
=
= 7661⁡W
𝑅𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚
0.02454
𝑄̇ =
𝑇2 − 𝑇𝑜
→ 𝑇2 = 𝑇𝑜 + 𝑄̇ 𝑅𝑜 = 12 + (7661)(0.0213) = 175.2⁡℃
𝑅𝑜
(b)
Kanat verimi 𝜂𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡
Flanşları dökme boruların dış yüzeylerine monte edilmiş kanatlar olarak ele alabiliriz. Kanat
verimi Şekil 3-43’ten bulunabilir.
Grafikte gerekli değerler bulunursa;
𝑡
0.02
= 0.1 +
= 0.11⁡m
2
2
𝑟2𝑐 = 𝑟2 +
𝐿𝑐 = 𝐿 +
𝑡
0.02
= 0.05 +
= 0.06⁡m
2
2
𝐴𝑝 = 𝐿𝑐 𝑡 = (0.06)(0.02) = 0.0012⁡m2
Bu iki değer kullanılarak
yukarıdaki şekilden
yaklaşık kanat verimi 0.92
olarak okundu.
𝑟2𝑐 0.11
=
= 2.2
𝑟1
0.05
1/2
𝜉=
ℎ
)
𝑘𝐴𝑝
⁄
𝐿3𝑐 2 (
⁄2
=
(0.06)3⁄2
1
25
(
)
(52)(0.0012)
= 0.294
𝜂𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 = 0.92
Kanatın toplam ısı transfer yüzey alanı;
𝐴𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 = 2𝜋(𝑟22 − 𝑟12 ) + 2𝜋𝑟2 𝑡 = 2𝜋(0.12 − 0.052 ) + 2𝜋(0.1)(0.02) = 0.0597⁡m2
Kanat verim formulü dikkate alındığında, kanatlardan (yani flanşlardan) olan ısı transferi;
𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 = 𝜂𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡,𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚 = 𝜂𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 ℎ𝐴𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 (𝑇𝑏 − 𝑇𝑜 ) = (0.92)(25)(0.0597)(175.2 − 12) = 224⁡W
13
(c)
6 metre uzunluğundaki borudan 7661 W’lık ısı kaybı olmaktadır. Dolayısıyla 1 m borudan olan
kayıp 7661/6 =1276.8 W/m olur. Flanştan olan ısı kaybı 224 W olduğuna göre, bu ısı kaybının
gerçekleştiği eşdeğer boru uzunluğu;
Eşdeğer⁡boru⁡uzunluğu =
224
= 0.175⁡m = 17.5⁡cm⁡olarak⁡bulunur.
1276.8
Dolayısıyla flanşın bir kanat gibi iş gördüğü ve ısı transferini 17.5/2=8.75 kez arttırdığı
görülmektedir.
8)
Kabuller:
Sürekli rejim şartları mevcuttur. Sıcaklık kanat boyunca kanat yüzey alanına dik doğrultuda
olmak üzere sadece bir yönde değişmektedir. Isı transfer katsayısı tüm kanat yüzeyinde sabit
ve üniformdur. Kanat malzemesinin ısıl iletkenliği sabittir.
Verilenler:
Kanatın ısıl iletkenliği k=235 W/m.oC
Kanat taban sıcaklığı Tb=350 oC
Kanat uzunluğu L=50 mm,
Kanat genişliği w=100 mm, Kanat kalınlığı t=5 mm
Ortam sıcaklığı T∞ =25 oC, ısı taşınım katsayısı h =154 W/m2.oC
Hesaplamalar:
Tablo 3.3’ten kanat verimi bulunabilir:
Düz dikdörtgen kanatlar
𝑚 = √2ℎ⁄𝑘𝑡
𝜂𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 =
𝐿𝑐 = 𝐿 + 𝑡 ⁄ 2
𝐴𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 = 2𝑤𝐿𝑐
2ℎ
2 × 154
𝑚=√ =√
= 16.2⁡m−1
𝑘𝑡
235 × 0.005
𝐿𝑐 = 𝐿 +
tanh⁡mL
𝑚𝐿𝑐
𝜂𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 =
𝑡
0.005
= 0.050 +
= 0.0525⁡m
2
2
tanh⁡𝑚𝐿 tanh⁡(16.2 × 0.050)
=
= 0.79
𝑚𝐿𝑐
16.2 × 0.0525
Görüldüğü gibi iki method kullanılarak
kanat verimi değerleri birbirine yakın
olarak bulundu.
Veya kanat verimi Şekil 3-42’den bulunabilir.
𝐿𝑐 = 𝐿 + 𝑡⁄2 = 0.05 + 0.005⁄2 = 0.0525⁡m
Aşağıdaki şekil
kullanılarak kanat
verimi yaklaşık 0.8
olarak okunur.
𝐴𝑝 = 𝐿𝑐 𝑡 = 0.0525 × 0.005 = 0.00026⁡m2
1/2
𝜉=
ℎ
)
𝑘𝐴𝑝
⁄
𝐿3𝑐 2 (
⁄2
=
(0.0525)3⁄2
1
154
(
)
(235)(0.00026)
14
= 0.604
𝜂𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 = 0.8
Kanat verimi 𝜂𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡
Kanattan olan ısı transferi hız;
Kanat toplam ısı transfer alanı;
𝐴𝑘 = 2 × 𝑤 × 𝐿 + 𝑤 × 𝑡 = 2 × 0.1 × 0.05 + 0.1 × 0.005 = 0.0105⁡m2
𝑄̇𝑘 = 𝜂𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 𝑄̇𝑘,𝑚𝑎𝑘𝑠 = 𝜂𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 ℎ𝐴𝑘 (𝑇𝑏 − 𝑇∞ ) = (0.79)(154)(0.0105)(350 − 25) = 415⁡W⁡bulunur.
Kanat etkinliği 𝜀,
𝜀=
𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡
415
=
= 16.6⁡olarak⁡bulunur.
ℎ𝐴𝑐 (𝑇𝑏 − 𝑇∞ ) (154)(0.005 × 0.1)(350 − 25)
9)
Dairesel alüminyum kanatlar bir ısıtma sisteminin borularına monte edilmiştir. Kanat eklenmesi
durumunda birim uzunluğu başına borularlardan olan ısı transferi artışının bulunması
istenmektedir.
Kabuller:
Sürekli rejim şartları mevcuttur. Bütün kanat yüzeylerinde ısı transfer katsayısı uniform ve
sabittir. Isıl iletkenlik sabittir ve ışınım etkisi ihmal edilmiştir.
Verilenler:
Kanatların ısıl iletkenliği k=186 W/m.oC
Kanat taban sıcaklığı Tb=180 oC
Ortam sıcaklığı T∞ =25 oC, ısı taşınım katsayısı h =40 W/m2.oC
Boru dış çapı, D1=5 cm
Dairesel kanatların çapı, D2=6 cm, Dairesel kanatların kalınlığı t=1 mm
Kanatlar arası mesafe s= 3 mm, dolayısıyla 1 m’deki kanat sayısı n= 250
15
Hesaplamalar:
Kanatsız durum için borunun birim metre uzunluğu başına olan ısı transferi:
Kanatsız⁡borunun⁡ısı⁡transfer⁡yüzey⁡alanı, 𝐴𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡𝑠𝚤𝑧 = 𝜋𝐷1 𝐿 = 𝜋(0.05)(1) = 0.1571⁡m2
𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡𝑠𝚤𝑧 = ℎ𝐴𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡𝑠𝚤𝑧 (𝑇𝑏 − 𝑇∞ ) = (40)(0.1571)(180 − 25) = 974⁡W⁡bulunur.
Dairesel alüminyum kanatların verimi Şekil 3-43’ten bulunabilir.
𝐿=
𝑡
0.001
= 0.03 +
= 0.0305⁡m
2
2
𝑟2𝑐 = 𝑟2 +
𝐿𝑐 = 𝐿 +
(𝐷2 − 𝐷1 ) 0.06 − 0.05
=
= 0.005⁡m
2
2
𝑡
0.001
= 0.005 +
= 0.0055⁡m
2
2
𝐴𝑝 = 𝐿𝑐 𝑡 = (0.0055)(0.001) = 0.0000055⁡m2
𝑟2𝑐 0.0305
=
= 1.22
𝑟1
0.025
1/2
𝜉=
ℎ
)
𝑘𝐴𝑝
⁄
𝐿3𝑐 2 (
1⁄2
40
= (0.0055)3⁄2 (
)
= 0.08
(186)(0.00000055)
Bu iki değer kullanılarak
aşağıdaki şekilden yaklaşık
kanat verimi 0.98 olarak
okundu.
𝜂𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 = 0.98
Borunun tek bir kanatlı kısmından olan ısı transferi;
𝐴𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 = 2𝜋(𝑟22 − 𝑟12 ) + 2𝜋𝑟2 𝑡 = 2𝜋(0.032 − 0.0252 ) + 2𝜋(0.03)(0.001) = 0.001916⁡m2
𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 = 𝜂𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡,𝑚𝑎𝑘𝑠 = 𝜂𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 ℎ𝐴𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 (𝑇𝑏 − 𝑇∞ )
= (0.98)(40)(0.001916)(180 − 25) = 11.64⁡W
16
Borunun tek bir kanatsız kısmından olan ısı transferi;
𝐴𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡𝑠𝚤𝑧⁡𝑘𝚤𝑠𝚤𝑚 = 𝜋𝐷1 𝑠 = 𝜋(0.05)(0.003) = 0.0004712⁡m2
𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡𝑠𝚤𝑧⁡𝑘𝚤𝑠𝚤𝑚 = ℎ𝐴𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡𝑠𝚤𝑧⁡𝑘𝚤𝑠𝚤𝑚 (𝑇𝑏 − 𝑇∞ ) = (40)(0.0004712)(180 − 25) = 2.92⁡W
1 metre boruda 250 adet kanat olduğuna göre, bu uzunlukta 250 adet kanatlar arası boşluk vardır.
Dolayısıyla kanatlı borunun tamamından olan (borunun kanatlı kısım+borunun kanatsız kısmı) toplam
ısı transfer oranı;
𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡,𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 = 𝑛(𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 + 𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡𝑠𝚤𝑧⁡𝑘𝚤𝑠𝚤𝑚 ) = 250(11.64 + 2.92) = 3640⁡W⁡bulunur.
Dolayısıyla dairesel alüminyum kanat eklenmesi durumunda borunun birim metre uzunluğu
başına oluşan ısı transfer artış miktarı;
𝑄̇𝑎𝑟𝑡𝚤ş = 𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡,𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 − 𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡𝑠𝚤𝑧 = 3640 − 974 = 2666⁡W⁡elde⁡edilir.
10)
Sıcak bir yüzey bir tarafına alüminyum kanatlar eklenerek soğutulacaktır. Yüzeyin 1m x1m ‘lik
kısmından olan ısı transfer hızı ve kanatların etkinliğinin bulunması istenmektedir.
Kabuller:
Sürekli rejim şartları mevcuttur. Sıcaklık kanat boyunca kanat yüzey alanına dik doğrultuda
olmak üzere sadece bir yönde değişmektedir. Kanat uçlarından olan ısı transferi ihmal
edilmiştir. Bütün kanat yüzeylerinde ısı transfer katsayısı uniform ve sabittir. Isıl iletkenlik
sabittir. Isı transfer katsayısı kanattan olan ışınım etkisini de içerir.
Verilenler:
Kanat ısıl iletkenliği k=237 W/m.oC
Kanat taban sıcaklığı Tb=100 oC
Ortam sıcaklığı T∞ =30 oC, ısı taşınım katsayısı h =35 W/m2.oC
Kanat çapı, D=0.25 cm, Kamat uzunluğu L=3 cm
Kanat eksenleri arası mesafe s= 0.6 cm
Hesaplamalar:
Dairesel kanatın çapı çok küçük olduğundan kanat uçlarından olan ısı transferi ihmal edilebilir
böylelikle adyabatik kanat ucu yaklaşımı kullanılabilir. Bu durumda dairesel kanatların verimi;
𝜂𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 =
tanh⁡mL
𝑚𝐿
Burada, 𝑚 = √
⁡𝜂𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 =
ℎ𝑝
ℎ𝜋𝐷
4ℎ
4 × 35
√
√
=√
=
=
= 15.37⁡m−1
2
𝑘𝐴𝑐
𝑘𝐷
237
×
0.0025
𝑘𝜋𝐷 /4
tanh⁡mL tanh⁡(15.37 × 0.03)
=
= 0.935⁡bulunur.
𝑚𝐿
15.37 × 0.03
17
(Kanat verimi formulünde L yerine düzeltilmiş kanat uzunluğu (Lc) kullanılarak verim
hesaplanırsa verim 0.932 olarak bulunur. Görüldüğü gibi bu değer adyabatik uç kabulü
yapılarak bulunan sonuca çok yakındır. Yapılan adyabatik uç kabulü doğrudur.)
1 m2’deki kanat sayısı, yüzeyin kanatlı ve kanatsız kısımlarının alanları ve bu yüzey
alanlarından olan ısı transferleri hesaplanırsa;
𝑛=
1
= 27777⁡(0.006 × 0.006⁡m2 𝑑e⁡bir⁡adet⁡kanat⁡göz⁡önüne⁡alınırsa)
(0.006 × 0.006)
𝐴𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡
𝜋𝐷2
𝜋(0.0025)2
= 𝑛 (𝜋𝐷𝐿 +
) = 27777 [𝜋(0.0025)(0.03) +
] = 6.68⁡m2 ⁡
4
4
𝜋𝐷2
𝜋(0.0025)2
𝐴𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡𝑠𝚤𝑧 = 𝐴𝑡 − 𝑛 (
) = 1 − 27777 (
) = 0.86⁡m2
4
4
Yüzeyin kanatlı kısmından olan ısı transferi kanat verimi ve kanattan olabilecek maksimum ısı
transfer hızı kullanılarak;
𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡𝑙𝚤 = 𝜂𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡,𝑚𝑎𝑘𝑠 = 𝜂𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 ℎ𝐴𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 (𝑇𝑏 − 𝑇∞ ) = (0.935)(35)(6.68)(100 − 30)
= 15302⁡W
𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡𝑠𝚤𝑧 = ℎ𝐴𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡𝑠𝚤𝑧 (𝑇𝑏 − 𝑇∞ ) = (35)(0.86)(100 − 30) = 2107⁡W
Yüzeyden olan toplam ısı transfer hızı;
𝑄̇𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 = 𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡𝑙𝚤 + 𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡𝑠𝚤𝑧 = 15302 + 2107 = 17409⁡W
Toplam kanat etkinliği;
Eğer yüzeye hiç kanat yerleştirilmemiş olsa idi;
𝐴𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡⁡𝑦𝑜𝑘 = 1 × 1 = 1⁡m2
𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡⁡𝑦𝑜𝑘 = ℎ𝐴𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡⁡𝑦𝑜𝑘 (𝑇𝑏 − 𝑇∞ ) = (35)(1)(100 − 30) = 2450⁡W
Dolayısıyla toplam kanat etkinliği;
𝜀𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 =
𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡 17409
= 7.11⁡bulunur.
𝑄̇𝑘𝑎𝑛𝑎𝑡⁡𝑦𝑜𝑘 2450
18