çarpanlara ayırma

MATEMATİK’ĐM
YILLAR
ÖSS-YGS
LYS
Çarpanlara Ayırma
2002
1
-
2003
3
-
2004
6
-
2005
4
-
2006
4
2
2007
4
2
2008
1
2
2009
4
-
2010
1
3
2011
4
6
11) İki Terim Farkının Küpü:
ÇARPANLARA AYIRMA
(a−b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
BAZI ÖNEMLİ ÖZDEŞLİKLER:
1) İki Kare farkı
12) Binom Açılımı:
: a2-b2 = (a-b)(a+b)
2
2
(a + b)n ifadesinin açılımında ilk terim an
,sonrakiler an-1b,an-2b2 .....bn bu terimlerin
katsayıları Hayyam(Pascal) üçgeninden yazılır.
2
2) İki Kare Toplamı: a +b =(a+b) -2ab
: a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
3) İki Küp farkı
n=0 için
=1
n=1 için
=1 1
n=2 için
=1 2 1
n=3 için
=1 3 3 1
n=4 için
=1 4 6 4 1
n=5 için
= 1 5 10 10 5 1
...................................................
=(a-b)3+3ab(a-b)
4) İki Küp Toplamı:a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
5) a4-b4 = (a2-b2)(a2+b2)
= (a-b)(a+b)(a2+b2)
6)
nεZ + olmak üzere;
an-bn = (a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+......+bn-1)
7)
MATEMATİK’ĐM
=(a+b)3-3ab(a+b)
nεZ + ve n tek olmak üzere;
(a + b)4=a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5=a5 +5a4b +10a3b2 +10a2b3+5ab4 +b5
(a − b)n ifadesinin açılımı (a + b)n
açılımına benzer şekilde yapılır. Sonrada ilk
terimden başlamak kaydıyla + ,−, +,− diye
işaretlenir.
(a − b)4=a4 − 4a3b + 6a2b2 − 4ab3 + b4
an+bn = (a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-......+bn-1)
(a − b)5=a5 −5a4b +10a3b2 −10a2b3+5ab4 −b5
8) İki Terim Toplamının Karesi :
13) Üç Terimlinin Toplamının Karesi:
(a+b)2 = a2 +2ab + b2
(a + b + c)2=a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
= (a-b)2 + 4ab
(
)(
)
ÖZEL: x 4 + x 2 + 1 = x 2 − x + 1 x 2 + x + 1
9) İki Terim Farkının Karesi :
(a-b)2 = a2 – 2ab + b2
NOT: Derecelendirme için aşağıdaki tablo
örnek alınabilir.(küçükken bindiğiniz
tahterevalli’yi hatırlayın. Biri ineeer, biri çıkar.)
= (a+b)2 – 4ab
10) İki Terim Toplamının Küpü:
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
.
www.globalders.com
1
MATEMATİK’ĐM
Çarpanlara Ayırma
x–(y+1)²
+1)
= ( x – y – 1) ( x +y
(x–2)²–9
= (x – 2 – 3)(x – 2 +3)
= (x – 5)(x+1)
25–(x+1)²
= (5 – x – 1)(5+x+1)
= (4 – x)(6+x)
ŞİMDİ ÖĞRENDİKLERİMİZİ
UYGULAMA ZAMANI…(Çözüm kısmını
bir kağıt ile kapatıp soruları kağıda yazın
çözdükten sonra kağıdı kaldırıp kontrol
edelim.)
x–y
=
= – 5.(2a+1)
= (a² – a +2)(a² + a – 2
x²–4
= (a² – a +2)(a+2)(a –
1)
= (x – 2)(x+2)
x²–1
= (x – 1)(x+1)
x²–9
= (x – 3)(x+3)
x²–25
= (x – 5)(x+5)
x+
y
1 öæ 1
1ö
æ1
çx 4 + y 4 ÷
÷
÷
= çççx 4 - y 4 ÷
ç
÷
÷
÷
÷
è
øèç
ø
1
1
1 öæ 1
1ö
æ1
ççx 6 + y 6 ÷
÷
÷
= çççx 6 - y 6 ÷
÷
÷
÷
÷
çè
øèçç
ø
x²+y²
)
= (x+y)² – 2xy
x²+(x–1)² = (x+x – 1)² –2x(x – 1)
= (2x – 1)² –2x² +2x
a²+4
= (a+2)² – 2.a.2
= (a+2)² – 4.a
İKİ KÜP TOPLAMI-FARKI İÇİN
ALIŞTIRMA
(x–y+1)²–(x+y–3)² =
= (x–y+1–x – y+3)( x–y+1+x+y–
3)
x³–8
= x³–2³ = (x – 2)(x²+2x+4)
8x³–64
= 8(x³–8)=8(x– 2)(x²+2x+4)
= (– 2y+4)(2x – 2)
27x³–125 = (3x)³–5³ = (3x–5)(9x²+15x+25)
= – 4(y – 1)(x – 1)
x³+1
= (x+1)(x² – x +1)
x³+125
= x³+5³= (x+5)(x²– 5x + 25)
x6 − y 4
= (x 3 - y 2 )(x 3 + y 2 )
x −y
5 öæ 5
5ö
æ5
ççx 2 + y 2 ÷
÷
÷
= çççx 2 - y 2 ÷
÷
÷
÷
÷
è
øèç
ø
5
)(
İKİ KARE TOPLAMI İÇİN ALIŞTIRMA
MATEMATİK’ĐM
a − (a − 2 )
)
2
4
= (a – b +2)(a+b – 2)
= (a – 2 – a –3 )(a – 2
y
1
2
x3 − y3
a²–(b–2)²
(a–2)²–(a+3)²
+a+3)
x-
1
2
x −y
İKİ KARE FARKI İÇİN ALIŞTIRMA
(
5
8x 6 –27 = [(2x²)³–3³]=(2x²–
3)(4x 4 +6x²+9)
.
www.globalders.com
2
MATEMATİK’ĐM
Çarpanlara Ayırma
Ortak paranteze aldığımız ifade terimlerden
birinin tamamı ise bu terim yerine işaretine göre
+1 veya -1 bırakılır.
İKİ TERİM TOPLAMININ- FARKININ
KARESİ İÇİN ALIŞTIRMA
(x+1)²
= x² + 2x + 1
(x–2)²
= x² – 4x + 4
(3x–5)²
= 9x² – 30x + 25
(4x+3)²
= 16x² + 24x + 9
ÖRNEK(1)
14axy − 42axz = 14ax(y-3z)
a(x+y) − b(x+y) =(x+y)(a-b)
x2(x−y) − (x−y) = (x-y)(x²-1)
=(x-y)(x-1)(x+1)
15x5y4z3 + 5x4y3z4 − 20x5y5z5 =
=5 x4 y3 z3 (3xy+z4xy²z²)
((a+1)+b)² =(a+1)² + 2b(a+1) + b²
= a² + b² + 2a + 2b + 2ab + 1
İKİ TERİM TOPLAMININ- FARKININ
ÖRNEK(2)
(a − b)2.(c − a) + (a − c)2.(a − b)
=
KÜPÜ İÇİN ALIŞTIRMA
ÇÖZÜM:
(a-c)²=(c-a)² dir
= x 3 - 3.x 2 .2 + 3.x.22 - 23
= x 3 - 6x 2 + 12x - 8
(3x+5)³ =
(3x)3 + 3.(3x) 2 .5 + 3.(3x).52 + 53
(a − b)2.(c − a) + (c- a)2.(a − b) =
MATEMATİK’ĐM
(x–2)³
= 27x 3 + 135x 2 + 225x + 125
= (a-b)(c-a)(a-b+c-a)
= (a-b)(c-a)(c-b)
(ÖYS-81)
NOT: (a − b)2n =(b − a)2n ve
(2x–3)³ =
(2x)3 - 3.(2x)2 .3 + 3.(2x).32 - 33
(a − b)2n-1= –(b − a)2n-1
BİR DE SİZ YAPIN: Çözümleri kapatıp
kendinizi sınayın
= 8x 3 - 36x 2 + 54x - 27
(a+2b)³
= a 3 + 3.a 2 .2b + 3.a.(2b)2 + (2b)3
x5 + x4 − x3 − x2 = x4(x+1)- x²(x+1)
=x²(x+1)(x²-1)
=x²(x+1)(x+1)(x-1)
= x²(x+1)²(x-1)
= a 3 + 6a 2 b + 12ab 2 + 8b3
ÇARPANLARA AYIRMA YÖNTEMLERİ
1. ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE
ALMA:
Ortak çarpan parantezine alırken önce her
terimdeki ortak sayı çarpanını sonrada harfli
ifadelerin ortak olanlarından küçük üslü
olanlarını paranteze alırız
xy + x + y + 1 = x
=
(
(
)
y +1 + y +1
)(
y +1
)
x +1
(a + b − 1)(x − y) + (2a − b + 3)(x − y)=
=(x-y)(a+b-1+2a-b+3)
=(x-y)(3a+2)
.
www.globalders.com
3
MATEMATİK’ĐM
Çarpanlara Ayırma
2. GURUPLANDIRARAK
ÇARPANLARA
AYIRMA:
ÖRNEK(3)
a2 + bc − ab − ac = a(a-c)-b(a-c)
= (a-c)(a-b)
b2x2 + c2x2 − a2c2 − a2b2
a²(c²+b²)
−2 +1
ii) A≠1 , A=m.n , B=mq + np , C=pq
MATEMATİK’ĐM
= 2a(x+y) – b(y+x)
= (2a – b)(x+y)
2.1
x
BİR DE SİZ YAPIN:
x²–x–6
= (x – 3)(x+2)
= (x – 4)(x – 5)
x2 − 9x +20
x2 − (a–b)x − ab = (x – a)(x+b)
= (a x - 3)(a x + 1)
a 2 x − 2a x − 3
x²+2x–8
= (x+4)(x – 2)
4
= (x² – 7)(x²+3)
x –4x²–21
6
3
x − 9x + 8
= (x 3 - 8)(x 3 - 1)
=(x – 2)(x²+2x+4)(x – 1)(x²+x+1)
= mx(ym-xn)+ny(nx-ym)
= mx(ym-xn)-ny(ym-nx)
= (ym-xn)(mx-ny)
2ax–by+2ay–bx
2
= (3 + 2)(3 + 1)
xy(m2 + n2) − mn(x2 + y2) =
= xym2 + xyn2 − mnx2 - mny2
= a(x – y) – (x – y)
= (x – y)(a – 1)
9x + 3x +1 + 2 = ( 3x ) + 3.3x + 2
∧ ∧
+2 +1
=(b²+c²)(x²-a²)
=(b²+c²)(x-a)(x+a)
ax–ay–x+y
−2.1
x
= x²(b²+c²)-
BİR DE SİZ YAPIN:
x 2 − x − 2 = (x − 2)(x + 1)
∧ ∧
Ax2 + Bx + C = (mx + p)(nx + q)
mx
p
nx
q (çapraz kontrol edilir)
düz yazılır
ÖRNEK(5)
3. Ax2 + Bx + C ÜÇ TERİMLİSİNİ
ÇARPANLARINA AYIRMA:
3x 2 + 5x + 2 =(3x+2)(x+1)
3x
x
2
i) A=1 için x + Bx + C ifadesinde ;
C=m.n ve B= m + n ise;
2
1
3x+2x=5x
x 2 + Bx + C = (x + m).(x + n) olur.
∧
m+n
∧
m.n
ÖRNEK(4)
x 2 -11x + 30
∧
−5−6
∧
3x10 - 4x 5 -15
= (x − 6)(x − 5)
( −5)( −6)
3x 5
5
x5
−3
=(3x 5 +5)(x 5 -3)
−9x 5 + 5x 5 = −4x 5
x 2 − 2ax − 3a 2 = (x − 3a)(x + a)
∧
∧
−3a + a
−3a.a
.
www.globalders.com
4
MATEMATİK’ĐM
Çarpanlara Ayırma
3x + 2 x − 1 = 3
( x)
2
+2 x - 1
3 x
−1
x
1
2
x
{ − 4x + 4{ = ( x − 2 )
3 x− x =2 x
(
)(
= 3 x −1
x
)
x +1
2
16x
{ + 24x + 9{ = ( 4x + 3)
= (3x+2)(2x – 1)
=
=
= (2x+3)(x – 2)
= (5a+x)(a – x)
A
x m Bx + C
{
{ = ( Ax m C )
2
Ax
2
C
1 2
1

x − 3x + 9{ =  x − 3 
4
2

{
3
(a + b)2 + 2(a + b) + {
1 = ( a + b + 1)
1
424
3
(a+b)
2
4x
{ − 12x + 9{ = ( 2x − 3)
2
1
 }
2  .3x  = 3x
2

2
1
6
474
8
2 ( (a+b).1) = 2(a + b)
NOT:
Size tavsiyem sık kullandığımız aşağıdaki
tamkareleri sağdan sola ve soldan sağa
ezberleyin.(sol tarafı görünce sağ, sağ tarafı
görünce de sol taraf gözünüzde canlansın)
Eminim bu size soru çözümlerinde hız
kazandıracaktır.
ÖRNEK(6)
2x
3
1
x
2
2
6
474
8
2 ( AC x )
2
}
2 ( 4.3x ) = 24x
iii ) Tam Kare:
x’in azalan kuvvetlerine göre yazılmış bir üç
terimlinin baş ve son terimlerinin
kareköklerinin çarpımlarının iki katı ortadaki
terimi veriyorsa bu bir tamkaredir.
2
4x
MATEMATİK’ĐM
6x + 7 x − 3
(2 x + 3)(3 x - 1)
2x²–x–6
5a²–4ax–x²
2
}
2 ( 2x ) = 4x
BİR DE SİZ YAPIN:
6x2 + x –2
7 a 6 − 6a 3 − 16
(7a 3 + 8)(a 3 - 2)
2
2
3
}
2 ( 2.3x ) = 12x
(x − 1) 2 = x 2 − 2x + 1 ,
(x + 1) 2 = x 2 + 2x + 1
.
www.globalders.com
5
MATEMATİK’ĐM
Çarpanlara Ayırma
Bu ifade eğer x4 + 4x²+4 olsaydı bir tamkare
olurdu. O halde
(x − 2) 2 = x 2 − 4x + 4 ,
(x + 2) 2 = x 2 + 4x + 4
(x − 3) 2 = x 2 − 6x + 9 ,
(x + 3)2 = x 2 + 6x + 9
(x-5)² = x²-10x + 25 , (x+5)² =
x²+10x+25
(2x-1)² = 4x²- 4x+1 , (2x+1)² = 4x²+
4x+1
(a-b)² = a²- 2ab+b²
, (a+b)² = a²+
2ab+b²
Bu örnekleri siz biraz daha çoğaltabilirsiniz.
x 4 +44244
+ 4x²
14
3 − 4x²
x4 + 4x²+4
(x² +2)²
(x²-2x+2)(x²+2x+2) olur.
BİR DE SİZ YAPIN:
Bu tür ifadelerde Çarpanlarına ayırmak için bir
terim eklemek ve aynı terimi ifade bozulmasın
diye çıkarmak gerekir. Genellikle eklediğiniz
terim bir tam kare yaparken, bu tam kare ile
çıkardığınız terim de iki kare farkı oluşturur.
Aşağıdaki örneği inceleyiniz.
İfade eğer x4 + 10x2 + 25 olsaydı bir tam
kare olurdu. O halde ne eksik..tabi ki 9x²
eksik..e o zaman 9x²’yi bir ekleyelim bir de
çıkaralım
= (x² – x +1)(x²+x+1)
x4 + x2 + 1
4
x –3x²+9
= (x² –3x +3)(x²+3x+3)
12
6
x − 15 x + 25 =
(x 6 - 5x 3 + 5)(x 6 + 5x 3 + 5)
MATEMATİK’ĐM
x4 + x2 + 25 ifadesini çarpanlarına
ayıralım.
- (2x)² ( iki kare farkı)
(x²+2-2x)(x²+2+2x)
Son olarak ifadeyi x’in azalan kuvveti şeklinde
düzenlersek
iv ) Terim Ekleme-Çıkarma:
ÖRNEK(7)
- 4x²
v ) Tam Kareye Tamamlama:
(Terim ekleme-çıkarmanın farklı bir
versiyonu)
Ax2 + Bx + C ifadesinde ;
2
 B
A=1 ise   ifadesi eklenip
2
çıkarılır.
4
x
+ x 242444
+ 25 + 9x²
144
3 − 9x²
(x4 + 10x2 + 25 ) - 9x²
2
B
B
x + Bx +   + C −  
 23

2
144
42444
2
2
(x² +5)² - (3x)² (bu da iki kare farkı)

B
 x+ 
2

(x²+5-3x)(x²+5 -3x)
2
B
C

A≠1 ise A. x 2 + x +  şeklinde
A
A

Son olarak ifadeyi x’in azalan kuvveti şeklinde
düzenlersek
 B 
paranteze alınıp parantez içine 

 2A 
eklenip çıkarılır.
(x²-3x+5)(x²-3x+5) elde edilir.
2
x4 + 4 ifadesini çarpanlarına ayıralım
.
www.globalders.com
6
MATEMATİK’ĐM
Çarpanlara Ayırma




2
2

B
 B  C  B  
A.  x 2 + x + 
 + −

A42444
 144
 2A3
 A  2A  


2

B 


 x+

2A




Görüntü biraz karışık gibi dursa da korkmayın
sayı kullanıldığında o kadar da zor değil.
2
2
gerek olduğunu hemen görüp   = 1 işlemini
2
atlar ve daha kısa sürede soruyu çözersiniz)
2x2 + 8x + 6 = 2(x2 + 4x + 3)
= 2(x2 + 4x +4+ 3-4)
= 2[(x+2)²-1] bir adım daha
ilerleyip iki kare farkını da kullanırsak
= 2(x+2-1)(x+2+1)
= 2(x+1)(x+3) buluruz.
ÖRNEK(8)
x2 + x + 4 ifadesini tam kare yapalım
baş katsayı 1 olduğundan
BİR DE SİZ YAPIN:
x2 + Bx + C formuna göre b=1 dir.
x2 + 4x + 2
= (x+2)² – 2
2
a +6a + 3
= (a+3)² – 6
2x2 + 4x + 6
= 2(x+1)² +4
a2 – 10a +15 = (a – 5)² – 10
vi ) Sadeleştirme Ve Dört İşlem:
2
1
eklenip-çıkarılacak terim   dir
2
2
ÖRNEK(9)
2
2
1
1 
1  15

x+  +4− =x+  +
2
4 
2
4

olur.
MATEMATİK’ĐM
2
1
1
x2 + x +   + 4 −  
2
2
1442443
1
1
1
1 2
+1
+1+
+1
x
x
x
x
x
+
=
=
x+2 x+2
x+2
x+2
x+2
1
1
x+2
.
= x =
=
x+2
x
x+2 x
1
x2 + 2x + 4 ifadesini tam kare yapalım
baş katsayı 1 olduğundan
2
2
eklenip-çıkarılacak terim   = 1 dir
2
2
x
+ 244
2x +31+4-1
14
4
(x+1)² + 3 bulunur.
(a
)
− b2
a+b
a3 − b3
.
.
=
a 2 + b 2 + ab a 2 + b 2 2ab a 2 − b 2 2
2
(
(a2 -b2 )
3x2 − 6x + 15 4 ifadesini tam kare
yapalım. İlkin 3 parantezine almak gerekir.
Gerisi önceki örnekle aynı
64
4744
8
( a − b )( a + b )
a 2 + ab + b 2
(
2
3x 2 − 6x + 15 = 3(x 2 − 2x + 5)
2
=
=
(x −1) 2
= 3[(x-1)²+4] bulunur.
(Tam kare başlığında size dediğim gibi ezber
yaptıysanız ifadenin tamkare olması için 1’e
(
( a − b ) a 2 + ab + b 2
a+b
. 2
.
a14
+42ab
+3
b2
a 2 − b2 ( a 2 − b2 )
244
(a+b)
2
parantez içine   = 1 ekleyip çıkaralım
2
2
= 3(x14
−244
2x 3
+ 1 + 5-1)
4
)
( a+b ). ( a−b )
(a + b)
2
1
(a + b)
2
(a
2
− b2
)
)
bulunur.
.
www.globalders.com
7
)
MATEMATİK’ĐM
Çarpanlara Ayırma
a. b − b. a 1 − ab
+
=
a− b
ab − 1
x 3 + 8 x 2 − 2x + 4
:
=
x3 − 8 x 2 + 2x + 4
=
( a)
=
x + 2

C :

x − 2

( x + 2 ) ( x 2 − 2x + 4 )
( x − 2 ) ( x 2 + 2x + 4 )
=
x + 2x + 4
2
.
a b
b−
( b)
(
a− b
4
x+
x
GENEL ÖRNEKLER
MATEMATİK’ĐM
−3
3
6x − 3x = 3x ortayı verdiği için düz yazılır.
ab − 1
a. b − b. a
a− b
+
= 17 ⇒ x + 4 x = ?
x+
4
= 17 ⇒
x
4
− 1 = 16 − x
x
(
4- x
= 4− x
x
)(4 + x )
a 3 + a −8 − a 8 1
= ise a’nın
a −6 − a 10 + a 5 4
alabileceği değerler toplamı nedir?
= x bulunur.
Örnek ( 4)
1 − ab
ab − 1
=
ÇÖZÜM:
Pay ve paydayı en küçük üs parantezine alalım
ÇÖZÜM:
( a)
2
⇒ 4 x + x =1
elde edilir.
=2x+3-x-3
a=
)
) + ( 1 − ab ) (1 + ab )
− ( 1 − ab )
⇒
2x 2 + 3x − 9
( 2x − 3 )(x + 3)
=
= 2x + 3 −
2x − 3
2x − 3
2
ab
guruplandırırsak;
şimdi bulunan bu çarpanlar yerine yazılır.
Örnek ( 2)
(
17 yi 16+1 diye ayırıp aşağıdaki gibi
2x 2 + 3x −9 = (2x − 3)(x + 3)
2x + 3 −
+
1−
ÇÖZÜM:
2 x 2 + 3x − 9
=
2x − 3
2x + 3 −
ÇÖZÜM:
2x
x
a
= ab − 1 − ab
= −1 bulunur.
Örnek ( 3)
Örnek ( 1)
2
a− b
a− b
x − 2x + 4
2
x+2
olur.
x−2
=
2
, b=
( b)
2
ve ab =
(
ab
)
(
(
)
)
a −8 a11 + 1 − a16
a 3 + a −8 − a 8 1
1
= ⇒
=
−6
10
5
−
6
16
11
a −a +a
4
4
a 1− a + a
2
yazılabilir.
⇒
1
a 8−6
1
= 
2
2
.
www.globalders.com
8
MATEMATİK’ĐM
Çarpanlara Ayırma
Yine iki kare farkı…
2
1
1
=  
2
a
2
1
⇒ a = buradan,
2
1
1
a = − ve a = +
bulunur. Bunların toplamı
2
2
da
1 1
− = 0 olur.
2 2
⇒
(a−b−c)2−(a+b+c)2 =
=[(a−b−c)−(a+b+c)] [(a−b−c)+(a+b+c)]
=[a−b−c−a-b-c] [a−b−c+a+b+c]
=(-2b-2c)(2a)
= -2.2a(b+c)
= -4a(b+c) elde edilir.
1
x5 + x
Örnek ( 8)
x − = 6 ise
=?
x
x3
ÇÖZÜM:
Örnek ( 5)
a4 − 4a3 + 3a2 + 2a − 1 = 0 ve
a −1
a<0 ise
+a+2 = ?
a−2
Önce isteneni biraz düzenleyelim
x5 + x x5 x
1
= 3 + 3 = x 2 + 2 şimdi amaç bu
3
x
x
x
x
ifadeyi elde etmek. Bunu da verilenin
karesinden elde edeceğiz.
ÇÖZÜM:
a 2 (a − 2)2 = (a − 1)2
a(a−2) = −(a−1)
(a−1) = - a(a−2) bu ifade
soruda yerine yazılır.
a −1
− a( a − 2 )
+a+2=
+a +2
a−2
a −2
= -a +a+2
= 2 bulunur.
Örnek ( 6)
2
MATEMATİK’ĐM
(a4−4a3+4a2−a2+2a−1=0 ,
a2(a2−4a+4)=a2−2a+1
a2(a−2)2=(a−1)2
her iki tarafın karekökü alınırsa,
1
1

x − = 6 ise  x −  = 6 2
x
x

1
⇒ x 2 − 2 + 2 = 36
x
1
⇒ x 2 + 2 = 38 buluruz.
x
Örnek ( 9) a−b=3 ise a3 − b3 − 3ab(a−b) + 1
ifadesi neye eşittir?
ÇÖZÜM:
a3 − b3 = (a − b)3 +3ab(a-b) dir . bunu yerine
yazarsak
3
3
a1
b3
− 3ab(a − b) + 1
4−
24
722−682 = 40t ise t2=?
(a − b)3 +3ab( a − b )
ÇÖZÜM:
= (a{
− b)3 + 3ab ( a − b ) − 3ab ( a − b ) + 1
Sol tarafa iki kare farkı uygulanacak olursa
722 − 682 = 40t ⇒ ( 72 − 68 )( 72+68 ) = 40t
⇒ 4.140 = 40t
⇒ t = 14
⇒ t 2 = 196 bulunur.
3
= 33+1
= 28 bulunur.
Örnek ( 10)
Örnek ( 7)
(a−b−c)2−(a+b+c)2 ifadesini
çarpanlarına ayırın.
x+
1
1
= 3 ise x - ‘in pozitif
x
x
değeri nedir?
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
.
www.globalders.com
9
MATEMATİK’ĐM
Çarpanlara Ayırma
Biz bu soruda (a-b)2 = (a+b)2 - 4ab özdeşliğini
x-
kullanacağız
 1
 x-  = m 2 3 bulunur. bizden pozitif değer
 x
istendiğinden 2 3 değerini alırız.
Sonuç:





1
1
1
2
x - 2 =  x −   x +  = 8 3 olur.
x
x  {
x
{

4

2
3


2


1
1
 1 
 x-  =  x +  - 4. x .
x
x
 x  {
 3 
2
2
 1
2
 x-  = 3 − 4
x


2
 1
 x-  = 5
 x
1
x- = 5 ve buradan
x
Örnek ( 12)
 1
 x-  = m 5 bulunur.
 x
 1
 x-  ' nin pozitif değeri 5 olur.
 x
ÇÖZÜM:
(x + 3)2 − (y − 5)2
x+y−2
= 2 ise x–y=?
ÇÖZÜM:
(x + 3)2 − (y − 5)2
x+y−2
MATEMATİK’ĐM
1
1
Örnek ( 11) x + = 4 ise x 2 - 2
x
x
ifadesinin pozitif değeri nedir.
1
=2 3
x
1 
1 
1
=  x −  x +  şeklinde açılabilir
2
x
x 
x

1

burada  x +  ’nin değeri zaten belli bir de
x

1

 x −  ’yi bulduk mu tamamdır.
x

Yine (a-b)2 = (a+b)2 - 4ab özdeşliğini ihtiyaç
duyduk.
=2
( x + 3) − ( y − 5 )  ( x + 3 ) + ( y − 5 ) 
=2
x+y−2
[ x + 3 − y + 5][ x + 3 + y − 5] = 2
x+y−2
[ x − y + 8]  x + y − 2 
=2
x+y−2
x2 -
x-y+8 = 2
x-y = -6 olur.
Örnek ( 13)
(x + y )2 − 1
(x + 1)2 − y 2
=?
ÇÖZÜM:
2
( x + y ) − 1 = ( x + y − 1) ( x + y + 1 )
2
( x + 1) − y2 ( x + 1 − y ) ( x + 1 + y )
( x + y − 1) bulunur.
=
( x +1− y)
2


1
1
 1 
 x-  =  x +  - 4. x .
x
x
 x  {
 4 
2
2
 1
2
 x-  = 4 − 4
 x
Örnek ( 14) x2 − 9x + 7 = 0 ise x +
7
=?
x
2
 1
 x-  = 12 = 2 3
 x
ÇÖZÜM:
.
www.globalders.com
10
MATEMATİK’ĐM
Çarpanlara Ayırma
Her tarafı x’e bölersek
x 2 − 9x + 7
x
2
x 9x 7
− +
x
x x
7
x − 9+
x
7
x+
x
1− x − y
sade şeklini bulunuz?
=0
x=
= 9 bulunur.
( x)
2
ve y =
=
(
x− y
MATEMATİK’ĐM
)(
) (
x+ y −
x− y
)
(
=−
x− y
(
) ((
) )
x + y −1
− −1 + x + y
(
x− y
)
)
= y − x olur.
2
ÇÖZÜM:
[ (a-b)2 = (a+b)2 – 4ab] olduğunu hatırlayın
=(x+2)(x-3)
2
−3
2
2
1 
1
1

= 21
 x −  =  x +  − 4. x.
x 
x
x

Q(x) = x 2 + x - 12 =(x+4)(x-3)
x
x
1− x − y
1
1

 x −  = 21 ise x +
x
x

ifadesinin negatif değerini bulunuz.
Önce polinomları çarpanlarına ayıralım
x
x
− x+ y
Örnek ( 18)
ÇÖZÜM:
P(x) = x - x - 6
=
2
1− x − y
=
Örnek ( 16) P(x) = x2−x−6 ve Q(x) = x2
+x−12 ifadelerinin OBEB’i nedir?
2
( x) −( y)
2
x−y− x + y
3
(x ) −(y )
olduğunu öğrendik
644744
8
3


 a

a b
b
=  x a − yb  + 3 x
y

x
−
y
{ 123 
 123 
3
 5 
 5 
3
= 5 + 3.3.5
= 125 + 45
=170 elde edilir.
2
Buraya iki karefarkı uygulayalım
Küplerin farkı özdeşliğini ifadeye uygularsak
b 3
( y)
soruda yerine yazarsak
1− x − y
3
)
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
x 3a − y3b = ( x a ) − ( y b )
ifadesinin en
=0
Örnek ( 15) xa − yb = 5 ve xayb = 3 ise
x3a−y3b=?
a 3
x− y− x + y
Örnek ( 17)
0
=
x
2
1

 x +  − 4 = 21
x

4
−3
OBEB ortak bölenlerin en büyüğü olduğundan
P(x) ve Q(x) in ortak çarpanları bize OBEB’i
verecektir.
2
1

 x +  = 25
x

P(x) ve Q(x) in ortak çarpanı (x-3) olduğundan
OBEB(P(x),Q(x)) = (x-3) olur.
x+
1
=5
x
.
www.globalders.com
11
MATEMATİK’ĐM
x+
Çarpanlara Ayırma
1
1
= 5 ve x + = −5 bulunur. bizden
x
x
Örnek ( 20)
negatif değer sorulduğundan cevabımız -5 olur.
mx + ny = 21

nx + my = 15  ise x + y = ?
m + n = 6 
ÇÖZÜM:
Örnek ( 19) c−b = a+b = 6 ise a −2b +c =?
2
2
2
İlk iki denklemi alt alta toplarsak
mx + ny = 21
ÇÖZÜM:
+ nx + my = 15
1. yol
x(m+n) + y(m+n) = 36
m + n ) ( x + y ) = 36
(1
424
3
a2−2b2+c2 ifadesini iki tane iki kare farkına
benzetelim
6
x+y = 6 bulunur.
a2−2b2+c2 = a2−b2+c2 –b²
= ( a − b )( a + b ) + ( c − b )( c + b )
123 123
Örnek ( 21) x2 + y2 +2x +4y +5 = 0 ise
x+y=?
6
= 6a − 6b + 6c + 6b
= 6a+6c
= 6(a+c) ……..(1)
şimdi de (a+c)’yi bulalım
c−b = a+b = 6 ifadesinden iki ayrı denklem
bulunur ve alt alta toplanırsa
c-b = 6
a+b = 6
a+c = 12 şimdide bu değeri (1)
denkleminde yerine yazalım
MATEMATİK’ĐM
6
ÇÖZÜM:
x2 + y2 +2x +4y +5 = 0 tipindeki sorularda
her zaman tam kare ifadeleri bulmaya çalışın
2
x
+24
2x 3
+ 1 + y 2 + 4y + 4 = 0
14
14
4244
3
2
(y + 2)2
( x + 1)
(x+1)² + (y+2)² = 0
kareli iki terimin sıfır olması için ikisinin de
sıfır olması gerekir. Buradan,
6(a+c)=6.12 = 72 bulunur.
2.yol
x+1 = 0 x = -1 ve y+2 = 0 y = -2
sonuç: x+y = -1-2 = -3 elde edilir.
1.yol çözümünü incelediğinizde b’nin çözüm
esnasında yok olduğunu görürsünüz. Buradan
hareketle biz b=0 alarak denklemi çözersek
Örnek ( 22) x2+2y2−2xy−4y+4=0 ise x + y =?
ÇÖZÜM:
c−b = a+b = 6 denkleminde b=0 seçildiğinde
c-0 = a+0 = 6
c = a = 6 bulunur . şimdi bu değerleri soruda
yerine yazalım
x2+2y2−2xy−4y+4=0
x 2 − 2xy+y 2 + y 2 − 4y + 4 = 0
14243 14243
(x − y) 2
(y − 2) 2
a2−2b2+c2 =6² - 2.0² + 6² = 36+ 36 = 72
bulunur.
y-2 = 0 y = 2 ve x-y = 0 x =y=2
o halde x+y = 2+2 = 4 bulunur.
.
www.globalders.com
12
MATEMATİK’ĐM
Çarpanlara Ayırma
1 1 1
+ + = 5 ve x + y + z = 2x.y.z
x y z
1
1
1
olduğuna göre
+ 2 + 2 =?
2
Örnek ( 25)
x
y
z
Örnek ( 23)
ÇÖZÜM:
Bu soruda
(a + b + c)2=a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc)
özdeşliği kullanılacak
 1
 1 
4
a
−
1

  a 4 + 1


a −1



=
17
⇒
= 17
1
1
a 4 −1
a 4 −1
1
4
2
⇒ a + 1 = 17
1
⇒ a 4 = 16 = 24
4
4
 1
⇒  a 4  = ( 24 )
 
⇒ a = 216
MATEMATİK’ĐM
 2 xyz 
1
1 1
+ 2 + 2 + 2. 
 = 25
2
 xyz 
x
y z


1
1 1
+ + + 4 = 25
x 2 y2 z2
1
1 1
+ 2 + 2 = 21 olur.
2
x
y z
−1
= 17 ise a=?
1
2
1 1 1
2
 + +  =5
x y z
x + y + z = 2x.y.z olarak verildiğinden
−1
1
a4
ÇÖZÜM:
1 1 1
+ + = 5 her iki tarafın karesi alınırsa
x y z


1
1 1
1
1
1 

+ + + 2.
+ +
= 25
 xy xz yz 
x 2 y2 z2
 (z) ( y) (x ) 


 x+y+z
1
1 1
+ 2 + 2 + 2. 
 = 25
2
x
y z
 xyz 
1
a2
Örnek ( 26) 2x–3y=5 ise
8x 3 − 36x 2 y + 54xy 2 + 12 − 27 y3 = ?
ÇÖZÜM:
8x 3 − 36x 2 y + 54xy 2 + 12 − 27y3 ifadesi bir küp
açılımına benziyor. 2x–3y=5 ifadesinin her iki
tarafının küpünü alıp bir bakalım neye
benzeyecek
( 2x – 3y ) = 53
3
2
2
3
( 2x ) − 3. ( 2x ) . ( 3y ) + 3. ( 2x ) . ( 3y ) − ( 3y ) = 125
3
Örnek ( 24) 2.a.b ifadesinde a, 2 azalır, b de 4
azalırsa çarpım ne kadar azalır?
ÇÖZÜM:
8x 3 − 36x 2 y + 54xy 2 − 27x 3 = 125
gördüğünüz gibi sorunun çözümü verilende
gizli. şimdi soruyu bir düzenleyelim
a, 2 azalır, b de 4 azalırsa 2.a.b 2.(a-2)(b-4)
2.(a-2)(b-4)=2.(ab-4a-2b+8)=2ab-8a-4b+16
8x 3 − 36x 2 y + 54xy 2 − 27y3 + 12 = 125 + 12 = 137
14444
4244444
3
125
şimdi bunu 2.a.b ‘den çıkaralım
bulunur.
2.a.b – (2ab-8a-4b+16)= 2.a.b – 2ab+8a+4b-16
= 8a+4b-16
=4(2a+b–4) azalır.
.
www.globalders.com
13
MATEMATİK’ĐM
Örnek ( 27)
x 2 + 2mx − 16
Çarpanlara Ayırma
Örnek ( 29) x 2 − x + 2 = 0 ise x 3 ’in x
cinsinden değeri nedir?
kesri
x 2 + 2x − 8
sadeleşebilen bir kesir ise m’nin alabileceği
değerlerin çarpımı kaçtır?
ÇÖZÜM:
Bu soruda küp açılımından faydalanacağız
ÇÖZÜM:
(x-2) bir çarpan ise ;
x²+2mx-16 = (x-2).(x+b) olmalıdır.
x-2=0 yapılır ve x = 2 denklemde yerine
yazılırsa
x²+2mx-16 = (x-2).(x+b)
2²+2m.2-16 = (2-2)(2+b)
4+4m-16 = 0
4m = 12
m=3
m’nin alabileceği değerler çarpımı da 0.3=0
olur.
(x + 1)(x 2 − x + 1) = −1(x + 1)
1442443
x3 +1
x3 + 1 = −x −1
x 3 = − x − 2 bulunur.
Örnek ( 30)
MATEMATİK’ĐM
x 2 + 2mx − 16 x 2 + 2mx − 16
=
ifadesi
x 2 + 2x − 8
(x + 4)(x − 2)
sadeleşiyorsa pay’ın çarpanlarından biri ya
(x+4) veya (x-2) dir.
(x+4) bir çarpan ise ;
x²+2mx-16 = (x+4).(x+a) olmalıdır.
x+4=0 yapılır ve x = -4 denklemde yerine
yazılırsa
x²+2mx-16 = (x+4).(x+a)
4²+2m.4-16 = (-4+4)(-4+a)
16+8m -16 = 0
8m =0 m = 0
x 2 − x + 2 = 0 ⇒ x 2 − x + 1 = −1
şimdi her iki tarafı (x+1) ile çarpalım
x 2 − x + 1 = 0 ise x 63 =?
ÇÖZÜM:
x 2 − x + 1 = 0 ifadesinin her iki tarafı (x+1)
ile çarpılırsa;
( x + 1) ( x 2 − x + 1) = 0 ( x + 1)
144
42444
3
x3 +1
x3 + 1 = 0
x 3 = −1
şimdi x 63 ’e ulaşmak için x 3 = −1 denkleminin
21. kuvvetini alırız
(x )
3 21
(Bundan sonra bu tip sorularda direk çarpanı
sıfıra eşitleyip sadeleşmesi istenen denklemde
yerine yazar ve sıfıra eşitlersek işimiz daha
çabuk biter)
= ( −1)
21
x 63 = −1 bulunur.
NOT: ( ax + b ) ≥ 0 olduğundan derecesi çift
olan bir ifadenin en küçük değeri 0 (sıfır)
dır.(ax+b=0)
2n
Örnek ( 28) 999.76–1001.72=?
ÇÖZÜM:
YAZAN
İBRAHİM HALİL BABAOĞLU
999.
{ 76
{ –1001.72
{ { = a.(b + 4) − (a + 2).b
a
b+ 4
a+2
Matematik Öğretmeni
www.globalders.com
e-mail:
[email protected]
b
= ab + 4a – ab − 2b
= 4.999 - 2.72
= 3996 – 144
= 3852 olur.
.
www.globalders.com
14