Slayt 1 - yarbis - Yıldız Teknik Üniversitesi
advertisement
SAYISAL YÖNTEMLER Makina Müh. Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi SAYISAL YÖNTEMLER 5.HAFTA İÇERİĞİ Sayısal İntegrasyon SAYISAL YÖNTEMLER analitik olarak hesaplanabilir. Makina Müh. Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi Basit fonksiyonların (polinom, üstel ve trigonometrik gibi sürekli fks.lar) integrali Fakat integrali zor olan karmaşık yapıdaki fonksiyonların analitik olarak hesaplanması ya zor ya da imkansızdır. Bu gibi durumlarda yararlanılır. sayısal integralden Sayısal İntegrasyon b a Makina Müh. Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi I f ( x ) dx Sayısal integrasyon yukarda verilen herhangi bir integralin değerinin yaklaşık olarak bulunmasıdır. İntegralin sınırları olan a ve b sayıları sabit ve fonksiyon bu aralıkta sürekli ise integralin sonucu sabit bir sayıdır. SAYISAL YÖNTEMLER SAYISAL YÖNTEMLER Bu integralin değeri x=a ve x= b doğruları ile y=f(x) eğrisinin altında kalan alana eşittir. f(x) Makina Müh. Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi y 0 a b x Sayısal integrasyon verilen a-b aralığında fonksiyon n parçaya ayrılarak her bir parçanın alanının bulunması yöntemlerini içerir. Daha sonra ise toplam alan yani integralin yaklaşık değeri hesaplanır. Sayısal İntegrasyon Yöntemleri Makina Müh. Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi • Dikdörtgenler Yöntemi • Yamuk (Trapez) Yöntemi • Simpson Yöntemi • Orta Nokta Yöntemi • Gauss Yöntemi SAYISAL YÖNTEMLER Dikdörtgenler Yöntemi Makina Müh. Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi y f(x) yo 0 so s1 s2 … y1 y2 y3 … h a=xo x1 h h … x2 x3… yo= f(xo) ve yn= f(xn) so= h·yo = h· f(xo) s1= h·y1 = h· f(x1) . . . Sn-1 yn h b=xn SAYISAL YÖNTEMLER x a ve b arasını n adet çubuk ile böldüğümüzde oluşan dikdörtgenlerin alanının hesaplanması amaçlanır. Sn-1= h·yn-1 = h· f(xn-1) x n x0 h n ÖRNEK x2 1 x 2 2 dx SAYISAL YÖNTEMLER Makina Müh. Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi 8 İntegralini n= 6 için dikdörtgenler yöntemini kullanarak bulunuz. I. Basamak xn=8 ve xo=1 x2 f(x) 2 x 2 x n xo 8 1 h 1,16666 n 6 SAYISAL YÖNTEMLER Makina Müh. Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi II. Basamak k xk f(xk) 0 1 1 1 2,16666 0,6224 2 3,3333 0,4068 3 4,5 0,2928 4 5,6667 0,2247 5 6,833 0,1814 6 8 0,1515 Yamuk Yöntemi SAYISAL YÖNTEMLER Bu yöntemde integrasyon n sayıda yamuk kullanılarak hesaplanır. I h i fi y Makina Müh. Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi n 1 i 0 f(x) fi =f(xi) h hi =i. dikdörtgenin genişliği 0 xo=a xi xn=b x hi =xi+1 - xi Eğer dikdörtgenin genişliği sabit ise h=(b-a)/n = (xn-xo)/n SAYISAL YÖNTEMLER b I f ( x ) dx Makina Müh. Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi a İntegralini [a,b] aralığında n eşit parçaya ayıralım. y y=f(x) G A yo 0 C D E B F s1 s2 … … y1 y2 … … sn yn h … h h h a=xo x1 x2 … b=xn x Her bölme noktasından dikler çıkılır bu dikler ile f(x) eğrisinin kesiştiği noktalar birer doğru ile birleştirilir. Bu durumda n adet yamuk elde edilir. SAYISAL YÖNTEMLER y y=f(x) xoABx1 yamuğunun alanı Makina Müh. Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi G A S1=(1/2)·h·(yo+y1) S2=(1/2)·h·(y1+y2) … Sn=(1/2)·h·(yn-1+yn) yo 0 C D E B F s1 s2 … … y1 y2 … … sn yn h … h h h a=xo x1 x2 … b=xn x SAYISAL YÖNTEMLER Toplam Alan S=(1/2)·h·(yo+y1)+…+(1/2)·h·(yn-1+yn) Makina Müh. Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi S=S1+S2+…+Sn S=(1/2)·h·(yo+2y1+2y2+…+2yn-1+yn) S=h·((yo+yn)/2+y1+y2+…+yn-1) y o y n n 1 S h yi i 1 2 xn - xo h Δx n yo=f(xo) xo=a yn=f(xn) xn=b alarak yeniden düzenlersek f(x o ) f(x n ) n 1 S Δx f(x o kx) 2 k 1 olur Örnek SAYISAL YÖNTEMLER 1 Makina Müh. Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi 1 I 2 dx x 1 0 İntegralini n=4 için yamuk yöntemi kullanarak hesaplayınız I. Adım : xo=0 ve xn=1 II. Adım : xn xo 1 0 x 0.25 n 4 k xk f(xk) 0 0 1 1 0,25 0,94187 2 0,50 0,8 3 0,75 0,64 4 1 0,5 SAYISAL YÖNTEMLER Makina Müh. Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi III. Adım : f(x o ) f(x n ) n 1 S Δx f(x o kx) 2 k 1 1 0,5 S 0,25 0,94187 0,8 0,64 0,782794 2 Bu fks.için gerçek integral : 1 1 1 1 I 2 d x tg x |0 x 1 0 arctg1 arctg 0 0 4 0 ,785398 I S t I 0 ,7853951 0,782794 0 ,7853951 0 ,0033155 SAYISAL YÖNTEMLER ÖDEV: Makina Müh. Bölümü Yıldız Teknik Üniversitesi I e x sin 2 x d x integralinin değerini n=4 için yamuk 0 ve dikdörtgen yöntemleri ile çözünüz.
