Slayt 1 - yarbis - Yıldız Teknik Üniversitesi

SAYISAL YÖNTEMLER
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
SAYISAL
YÖNTEMLER
9.HAFTA İÇERİĞİ
-
Doğrusal Cebirsel Denklemlerin ÇözümüSAYISAL
YÖNTEMLER
.
.
.
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
f1 (x1 , x 2 ,..., x m )  0
f 2 (x1 , x 2 ,..., x m )  0
f n (x1, x 2 ,..., x m )  0
Denklem takımını eş zamanlı
olarak sağlayan x1, x2,…xm
değerlerinin bulunması
doğrusal (lineer) cebirsel
denklemlerinin çözümü olarak
adlandırılır.
Bu denklemler: ??? b3
a11x1  a12x 2  ...  a1mx m  b1
a 21x1  a 22x 2  ...  a 2mx m  b 2
.
.
.
a n1x1  a n2x 2  ...  a nmx m  b3
şeklinde ifade edilebilirler.
Burada a’lar katsayı, b’ler
sabitler, m bilinmeyen
sayısı, n de denklem
sayısıdır.
Doğrusal Cebirsel Denklemlerin ÇözümüSAYISAL
YÖNTEMLER
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
Çözüm için gereken şart n=m
olmalıdır.
 a11 a 21 ... a1m 
a 21 a 22 ... a 2m 
Bu durumda çözüm matrisi [A], [A]   .
..
..
.. 
..
.
.
. 
boyutu n kareye eşit bir
a
a n1 ... a nm 
n1

katsayılar matrisidir. A12 ve
an2????
[B] sabitlerden oluşan boyutu (n,1) olan bir sütun
vektör
[B]T  [b1 , b 2 ,..., b n ]
[X] ise bilinmeyenlerden oluşan (n,1) bir sütun
vektördür.
[X]T  [x1 , x 2 ,..., x n ]
Doğrusal Cebirsel Denklemlerin ÇözümüSAYISAL
YÖNTEMLER
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
Bu durumda
[A]  [X]  [B]
Burada çözüm elde etmek için denklemin her iki
-1
[A]
tarafı
ile çarpılırsa;
Birim matris
olduğundan eşitlik:
[X]  [A]-1  [B]
Böylece denklem x için çözülmüş olur.
NOT: Matrislerde değişme özelliği yok.
Doğrusal Cebirsel Denklemlerin ÇözümüSAYISAL
YÖNTEMLER
Katsayılar matrisi A’nın boyutunu B matrisi ile
büyütmektir.
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
Çözüm üretmenin diğer bir yolu ise;
Bu durumda:
 a11 a 21 ... a1m
a 21 a 22 ... a 2m
[A]  
.
.
.
.
a
 n1 a n1 ... a nm
b1 
b2 
. 
b n 
elde edilir. Bu sayede; çözüm aranırken
katsayılardan oluşan bir satır ile ona karşılık gelen
sağ taraftaki sabit (b) üzerinde aynı işlemler
uygulanır.
Gauss Eleme Yöntemi
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
Eş zamanlı denklemlerin çözülmesi için kullanılan
en eski yöntemdir.
Bilinmeyenleri elemek için denklemler birleştirilir.
Eleme yönteminde öncelikle denk.ler üzerinde
işlem yapılarak bilinmeyenlerden biri elenir.
Bu işleme sırası ile 1 bilinmeyenli tek denklem
kalana kadar devam edilir.
Sonuçta tek denklem çözülerek sonuç bulunur.
Elde edilen sonuç orijinal denklemlerden birinde
geriye doğru yerine yazılarak kalan
bilinmeyenler çözülebilir.
SAYISAL
YÖNTEMLER
SAYISAL
YÖNTEMLER
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
İki bilinmeyenli bir denklem takımı için örnek
verecek olursak;
a11x1  a12x 2  b1
a 21x1  a 22x 2  b2
1. denklem -a21 ile 2. denklem ise a11 ile çarpılır.
- a 21a11x1 - a 21a12x 2  -a21b1
a11a 21x1  a11a 22x 2  a11b2
a11a 22x 2  a 21a12x 2  a11b2  a 21b1
x2 için denklem düzenlenirse;
SAYISAL
YÖNTEMLER
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
a 11b 2  a 21b1
x2 
a 11a 22  a 21a 12
daha sonra bu ifade 1. denklemde yerine
yazılırsa
a 22 b 2  a12 b1
x1 
a11a 22  a 21a12
elde edilir.
Bu temel yaklaşım daha fazla denklem içeren sistemlere
genişletilerek;
Bilinmeyenleri elemek ve geriye doğru yerine koymak için
bir plan ya da algoritma geliştirilebilir.
Bu planlardan en temeli gauss elemedir.
SAYISAL
YÖNTEMLER
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
Gauss eleme yöntemi n tane denklemden oluşan genel
sistemi çözmek için tasarlanmıştır.
a11x1  a12x 2  ...  a1mx m  b1
a 21x1  a 22x 2  ...  a 2mx m  b 2
.
.
.
a n1x1  a n2x 2  ...  a nmx m  b3
İki denklem için uygulanan
yöntemde olduğu gibi 2 aşamalıdır.
1. aşamada bilinmeyenler elenir. 2. aşamada geriye doğru
yerine konulur.
İlk denklem a21/a11 ile çarpılır
a 21
a 21
a 21
a 21x1 
a12 x 2  ... 
a1m x m 
b1
a11
a11
a11
Bu ifade diğer tüm denklemlerden çıkartılırsa
SAYISAL
YÖNTEMLER
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
Bu ifade diğer tüm denklemlerden çıkartılırsa



a 21 
a 21
a 21
 a 22 
a12 x 2  ...   a 2m 
a1m x m  b 2 
b1
a11 
a11
a11



Renkli kısımlar üslü biçimde
kullanılarak orijinal değerin
a '22 x 2  ...  a '2m x m  b'2
şeklinde yazılabilir
değiştirildiği gösterilirse
SAYISAL
YÖNTEMLER
'
'
'
a11
x1  a12
x 2  ...  a1m
x m  b1'
Bu işlemde ilk denkleme pivot
denklem denir. a11’e pivot
..
katsayı denir.
.
Yukarıdaki işlemler 2.
a 'n2x 2  ...  a 'nmx m  b 'n
bilinmeyi (x2) yok etmek için
tekrarlanır.
Bunun için 2. denk a’32 / a’22 ile çarpılır.
Diğer denklemlerden çıkartılır
Burada (’’) işareti elemanların 2
a11x1  ...  a1m x m  b1
defa
değiştirildiğini
a '22 x 2  ...  a '2m x m  b'2
göstermektedir.
''
''
a 33
x 3  ...  a 3m
x m  b 3'' Eleme işlemi (n-1). denklem
kullanılarak n . dereceden xn-1.
denklem yok edilinceye kadar
(n -1)
(n -1)
a nm x m  b n
devam edilir. Burada sistem üst
üçgen sisteme dönüşür.
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
a '22x 2
 ...  a '2mx m
 b '2
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
SAYISAL
YÖNTEMLER
Geriye doğru yerine koymada sırası ile xm
bilinmeyenden başlayarak değerler
hesaplanır ve bir önceki değiştirilmiş
denklemde yerine yazılır
Bu sonuç (n-1). Denklemde yerine yazılarak
bilinmeyenler çözülür
Denklem genelleştirirsek;
i 1
i
b
xi 

n
 aij
( i 1 )
j  i 1
i 1
ii
a
i= n-1 , n-2 , … , 1
xj
ÖRNEK
SAYISAL
YÖNTEMLER
Denklem sistemini Gauss
eleme yöntemi ile
çözünüz.
0.1x1  7 x 2  0.3x 3  19.3
0.3x1  0.2x 2  10x 3  71.4
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
3x 1  0.1x 2  0.2x 3  7.85
Pivot katsayı
Pivot denklem
Pivot denklemi 0.1/3 ile çarpıyoruz. ????
0.1x1  0.003333x 2  0.006666x 3  0.261666
İkinci denk.den çıkartıyoruz.
7.003333x 2  0.293333x 3  19.5617
1.Pivot denklemi 0.3/3 ile çarpıyoruz.
0.3x1  0.01x 2  0.02x 3  0.785
Üçüncü denk.den çıkartıyoruz.
- 0.19x 2  10.02x 3  70.615
İkinci Pivot
denklem bu oldu
işleme devam
ediyoruz
SAYISAL
YÖNTEMLER
2. pivot denklemi -0.19/7.003333 ile çarpıyoruz. ???
Üçüncü denk.den çıkartıyoruz.
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
0.19x 2  0.007958x 3  0.530707
10.01204x 3  70.084429
x3  7
Bu ifade değiştirilmiş denklemde (2. pivot) yerine
koyulursa ;
7.003333x 2  0.293333  7  19.5617
x 2  2.5
1.Pivot denklemde yerine yazarsak ;
3x1  0.1x 2  0.2x 3  7.85
3x1  0.1- 2.5  0.27  7.85
x1  3
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
Gauss Jordan Yöntemi
SAYISAL
YÖNTEMLER
Gauss eleme yönteminin bir başka şeklidir. Temel fark 1.
bilinmeyen elendiğinde sadece o satırdan sonraki
satırlarda değil tüm denklemlerde elenir. Bu sayede
eleme aşaması sonrasında üçgen matris yerine birim
matris elde edilir.
3x 1  0.1x 2  0.2x 3  7.85
0.1x1  7 x 2  0.3x 3  19.3
0.3x1  0.2x 2  10x 3  71.4
 3  0.1  0.2 7.85 
0.1

7

0
.
3

19
.
3


0.3  0.2 10
71.4 
Katsayılar matrisini
boyutu büyütülmüş
matris olarak ifade
edersek;
1. Satırı pivot seçerek 3’e
bölelim
 1  0.033333  0.066667 2.61667
7
 0.3
 19.3 
0.1
0.3
 0.2
10
71.4 
SAYISAL
YÖNTEMLER
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
 1  0.033333  0.066667 2.61667
7
 0.3
 19.3 
0.1
0.3
 0.2
10
71.4 
1  0.033333  0.066667 2.61667 
7.0003
 0.29333  19.5617
0
0
 0.19
10.02
70.6150 
1. Satırı 0.1 ile çarpıp
2.satırdan
çıkartırsak, 0.3 ile
çarpıp 3. satırdan
çıkartırsak
2.Satırı 7.0003 bölersek
1  0.033333  0.066667 2.61667 
1
 0.0418848  2.7932
0
0
 0.19
10.02
70.6150 
2.Satırı 0.033333 ile çarpıyoruz 1. satıra ekliyoruz. 0.19 ile
çarpıp 3. satıra ekliyoruz.
1 0  0.0680629 2.52356 
0 1  0.0418848  2.7932
0 0
10.012
76.0843 
SAYISAL
YÖNTEMLER
3. Satırı 10.012’ye bölüyoruz.
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
1 0  0.0680629 2.52356 
0 1  0.0418848  2.7932
0 0
10.012
76.0843 
1 0  0.0680629 2.52356 
0 1  0.0418848  2.7932
0 0
1
7.0003 
x1 x2 x3
3 
1 0 0
0 1 0  2.5001
0 0 1 7.0003 
x1 = 3
x2 = -2.5001
x3 = 7.0003
Son olarak 3. satırı 0.0680629 ile çarpıp 1.
satırdan, ve (-0.0418848)
ile çarpıp 2. satırdan
çıkartıyoruz.
x1  x 2  x 3  3
6x1  2x 2  2x 3  2
- 3x1  4x 2  x 3  1
Makina Müh. Bölümü
Yıldız Teknik Üniversitesi
ÖDEV
2x1  x 2  x 3  1
5x1  2x 2  2x 3  4
3x1  x 2  x 3  5
SAYISAL
YÖNTEMLER
Lineer denklem takımını
basit Gauss eleme
yöntemi ile çözünüz
Lineer denklem takımını
Gauss Jordon eleme
yöntemi ile çözünüz