1-)Bolum-1 (giriş + Konduksiyon)

1- GİRİŞ
Isı geçişi, doğada ve güncel yaşantımızda kullandığımız türlü cihazların
çalışmasında örneklerini gördüğümüz fiziksel bir olaydır. Yirminci yüzyıl başlarına
kadar bu konudaki bilgilerimiz son derece az ve deneysel temele dayanmakta idi. Bu
yıllarda ısı geçişi ve onunla çok yakından ilgili olan akışkanlar mekaniği bilimlerinin
durumu hiçbir teoriyle açıklanamayan deneyler ve hiçbir deneyde gözlenemeyen
teoriler bilimi şeklinde özetlenirdi. Bugün giderek gelişen analitik çözüm tekniklerine
ek olarak bilgisayarların çok hızlı gelişmesi sonucu sayısal çözüm teknikleri de
mühendislik uygulamalarında kullanılmakta ve ısı geçişi teorisi özellikle sayısal
çözümleme yöntemleriyle hızlı bir şekilde gelişmektedir. Doğal olarak deneysel
çalışmalar geçmişte olduğu gibi bugün de ısı geçişinin mühendislik uygulamalarında
çok önemli bir yer tutmaktadır. Birçok mühendislik uygulamasında; iletim, taşınım ve
ışınım ısı geçişi türleri bir arada karmaşık olarak bulunmaktadır. Öğrenmede kolaylık
sağlanması açısından ısı geçişi cinsleri önce tek tek ele alınacak sonra bazı
mühendislik uygulamaları üzerinde karmaşık ısı geçişi olayı incelenecektir. Aşağıda
ısı geçişi cinsleri kısaca tanıtılmıştır.
1.1 Isı İletimi
Bu ısı geçişi türünde, ısı bir katı yada durgun bir akışkan içinde iletilir. İletim
katılarda moleküllerin titreşimi ve serbest elektronların hareketi ile olurken
akışkanlarda meloküler difüzyon yolu ile meydana gelir. Eğer bir cisim içinde farklı
sıcaklıklar varsa termodinamiğin ikinci kanununa göre sıcaklık yada enerji dağılımı
üniform bir hale doğru gider.
Isı iletiminin temel kanunu Fourier tarafından verilmiştir. Bu kanuna göre,
iletilen ısı miktarı, ısı akış yönüne dik doğrultudaki ısı akış alanı ve ısı akışı
doğrultusundaki sıcaklık gradyanı ile doğru orantılıdır. Bu kanunla kapalı bir şekilde
ortaya çıkan orantı sabiti ısı iletim katsayısı adını alır. Isı iletimi problemlerinde
sıcaklık ve dolayısıyla ısı akışının hızı genellikle zamana bağlıdır. Bu duruma zamana
bağlı ısı iletimi diyeceğiz. Bazı durumlarda ise ele aldığımız sisteme yüksek
sıcaklıktaki bir kaynaktan giren ısı miktarı sabit olup bu ısı miktarı iletimle olduğu
gibi düşük sıcaklığa aktarılır ve bu işlem süresince sistem içindeki sıcaklıklar zamanla
değişmez. Böyle bir ısı iletimi olayına da zamandan bağımsız ısı iletimi diyeceğiz. Isı
2
iletimi bazı basit durumlar için analitik olarak çözülebilir. Ancak bu durumlar için bile
sayısal çözüm kullanmanın yararları vardır.
1.2 Isı Taşınımı
Bu tür ısı geçişinde ısı bir akışkanın hareketi yardımıyla taşınır. İçinde durgun
hava bulunan bir ortama yüzeyleri sıcak olan bir cisim konduğunda bir hava hareketi
oluştuğunu hepimiz biliriz. Bu hareket dünyamızın çekim alanında yoğunluk
farklarından doğar. Bu akışa ve buradaki ısı taşınımına doğal taşınım diyeceğiz. Eğer
bu örnekteki sıcak cisim bizim tarafımızdan yaratılmış bir hava akımı içine konmuş
olsa idi yine ısı taşınımı olacaktı. Bu durumdaki ısı taşınım olayına ise zorlanmış
taşınım diyeceğiz.
Isı taşınımı problemlerinin analitik çözümleri son derece zor ve çoğunlukla
olanaksızdır. Bu durumda deneysel çalışmalar ayrı bir önem taşır.
1.3 Isı Işınımı
Eğer farklı sıcaklıktaki iki cisim içinde mutlak vakum olan bir ortamla
birbirlerinden ayrılmış olsalar ve bu cisimlerin birbirini gören yüzeyleri dışındaki
diğer yüzeyleri adyabatik olarak yalıtılmış olsa bile zamanla bu cisimlerin sıcaklığının
birbirine eşitlendiği yani aralarında bir enerji alış verişi olduğu gözlenir. Bu ısı geçişi
türüne ısı ışınımı denir. Isı ışınımı elektromanyetik ışınım olayının bir parçasıdır.
Burada enerji atom altı parçacıkların yayınımı ile taşınır. Bu yayınım cismin sıcaklık
düzeyinin yükseltilmesi ile artar. Mutlak sıfır sıcaklığının üzerindeki her sıcaklıkta
cisimlerin ışınım yaptığı bilinmektedir.
1.4 Faz Değişimi Sırasında Isı Geçişi
Buhar kazanlarında ve kondenserlerde karşılaşılan teknik bakımdan son derece
önemli iki konu olan kaynamada ve yoğuşmada ısı geçişi, ısı taşınımı sırasında
iletimin de önemli olduğu ısı geçişi cinsleridir. Isı geçişi sırasında buhar-sıvı ve sıvıbuhar faz değişimleri de olduğundan bu ısı geçişi cinsleri çok karmaşıktır.
3
2. ISI İLETİMİ
2.1 Temel Kavramlar
Isı iletimi bir cismin parçacıklarının doğrudan teması ile yada farklı
sıcaklıktaki cisimlerin fiziksel olarak temasa getirilmeleri ile meydana gelen ısı geçişi
şeklidir. Gazlarda ısı iletimi moleküler ve atomik difüzyonla meydana gelir. Sıvılarda
ve yalıtkan katılarda elastik dalgalarla iletim olurken, metallerde serbest elektronların
difüzyonu ana unsurdur. Burada kristal kafesinin elastik titreşimleri ikinci derecede
önemlidir. Isı iletiminin analitik teorisinde cismin moleküler yapısı bir yana bırakılır
ve cisim bir sürekli ortam olarak kabul edilir. Bu yaklaşım, cisimlerin moleküllerinin
büyüklüğünün ve molekülleri arasındaki mesafelerin cisimlerin büyüklükleri yanında
ihmal edilebilir olduğu durumlarda geçerlidir.
2.1.1 Sıcaklık Alanı
Diğer ısı geçişi cinsleri gibi ısı iletimi de bir cismin içinde yada bir sistemde
sıcaklık farkları olduğunda meydana gelir. Isı iletimi sırasında cismin içindeki sıcaklık
dağılımı zamana ve konuma bağlı olarak değişir. Isı iletiminin analitik incelenmesinde
amaç, cismin içindeki sıcaklık dağılımının zamana ve konuma göre nasıl değiştiğini
aramak ve bulmaktadır; yani problem
t = t ( x,y,z, )
( 2.1 )
fonksiyonun bulunmasıdır. T sıcaklığı , x, y, z konumu ve  zamanı göstermektedir.
(2.1) eşitliği sıcaklık alanının matematiksel ifadesidir. Bu eşitlik bilindiğinde verilen
bir zaman ve konumdaki sıcaklık bulunabilir. Sıcaklık alanları zamana bağımlı ve
zamandan bağımsız (sabit rejim) sıcaklık alanları olarak ikiye ayrılabilir. (2.1) eşitliği
ile tanımlanmış olan sıcaklık alanı en genel hal olan zamana bağımlı sıcaklık alanıdır.
Bir ısı iletimi probleminde iletimin olduğu ortamın bütün noktalarının sıcaklığı
zamanla değişmiyorsa zamandan bağımsız (sabit rejimde) ısı iletimi söz konusudur.
Bu durumda,
t = t1 ( x,y,z ); t / τ = 0
dır. Yani sıcaklık sadece konuma bağlıdır.
(2.2)
4
(2.1) ve (2.2) eşitlikleri ile tanımlanan sıcaklık alanları konumu belirleyen x,y,z
koordinatlarının fonksiyonu olduğundan bunlara üç boyutlu sıcaklık alanı denir. Eğer
sıcaklık alanı sadece iki konum koordinatına bağlı ise yani ;
t = t2 (x,y,τ)
; t / z = 0
(2.3)
ise bu sıcaklık alanı, zamana bağımlı iki boyutlu bir sıcaklık alanıdır. Benzer şekilde ;
t = t3 ( x,τ )
; t / y = 0 ; t / z = 0
(2.4)
zamana bağımlı bir boyutlu sıcaklık alanını tanımlar.
t = t4 ( x )
; t / y = 0 ; t / z = 0 ; t / τ = 0 (2.5)
ile tanımlanan bir boyutlu zamandan bağımsız sıcaklık alanı matematik ifadesi en basit
olan sıcaklık alanıdır.
2.1.2 Sıcaklık Gradyanı
Bir cismin içindeki eşit sıcaklıklara sahip noktalar geometrik olarak
birleştirilirse bir eşit sıcaklık yüzeyi elde edilir. Bir cismin içindeki bir nokta aynı anda
farklı sıcaklıklarda olamayacağından eşit sıcaklık yüzeyleri birbirlerini kesmezler. Eşit
sıcaklık yüzeyleri ya tamamen cismin içinde kalırlar ya da cismin yüzeyinde son
bulurlar. Eşit sıcaklık yüzeylerinin bir düzlemle ara kesiti olan eğrilere bu düzlemdeki
eşit sıcaklık eğrileri (izoterm) denir. Bunlar da eşit sıcaklık yüzeyleri ile aynı
özellikleri gösterirler yani birbirlerini kesmezler, ya tamamıyla cismin içinde kalırlar
yada cismin yüzeyinde son bulurlar. Şekil 2.1 de sıcaklıkları t kadar farklı olan
eşsıcaklık eğrileri gösterilmiştir. Bir cismin içindeki sıcaklık sadece eşsıcaklık
yüzeylerini kesen doğrultularda değişir. Birim uzunluk başına en büyük sıcaklık farkı
eşsıcaklık yüzeyinin normali doğrultusundadır. Bu doğrultudaki sıcaklık değişimi
sıcaklık gradyanı ile gösterilir. Sıcaklık gradyanı eşsıcaklık yüzeyine normal
doğrultudadır ve artan sıcaklık yönünde pozitif işarete sahiptir.
5
n
n
x
x
t+t
t
t -t
Şekil 2.1 Eşsıcaklık eğrileri
yani ;


Grad t  n0 t / n
( 2.6 )
(2.6) eşitliğinde n0 eşsıcaklık yüzeyine normal doğrultuda ve artan sıcaklık yönündeki
birim vektör ; t / n sıcaklığın n normali boyunca türevidir. Sıcaklık gradyanının
skaler kısmı olan t / n türevi eşsıcaklık yüzeyinin değişik noktalarında değişik
değerler alabilir ve yüzeyler arası normal n uzaklığı azaldıkça büyür. Böylece bir
cismin içindeki eşsıcaklık yüzeyleri çizilerek, eşsıcaklık yüzeylerinin birbirine yakın
olduğu yerlerde sıcaklık gradyanının daha büyük değerlerde olduğu söylenebilir.
Sıcaklık gradyanı vektörünün Ox, Oy, Oz eksenleri üzerindeki izdüşümleri ;
(Grad t)x = (t / n) cos(n,x) = t / dx
(Grad t)y = (t / n) cos(n,y) = t / dy
(Grad t)z = (t / n) cos(n,z) = t / dz
dir.
( 2.7 )
6
2.2 Fourier Kanunu
Termodinamiğin 2. kanununa göre ısı geçişinin olabilmesi için cismin içindeki
sıcaklık dağılımının noktadan noktaya farklılık göstermesi gerekir; yani cismin
içindeki değişik noktalarda sıcaklık gradyanı sıfırdan farklı olmalıdır. Fourier
kanununa göre dA eşsıcaklık yüzeyinden dτ zaman aralığında geçen ısı miktarı
sıcaklık gradyanı ile doğru orantılıdır, yani ;
dQ = -nok(t/n).dA.dτ
(Joule)
(2.8)
bağıntısı yazılabilir.
Bu ifadedeki k orantı katsayısı maddenin fiziksel bir özelliği olup ısı iletim katsayısı
adını alır.
Eşsıcaklık yüzeyinin birim alanından birim zamanda geçen q = dQ / dAd
[W/m2]
ısısı ısı akısı olarak tanımlanır. Böylece Fourier kanunu
q = -nok(t/n)
[W/m2]
(2.9)
şeklinde yazılabilir. Vektörel bir büyüklük olan ısı akısının yönü sıcaklık gradyanının
yönünün tersidir. Değişik noktalarında değişik sıcaklık gradyanları olan bir eşsıcaklık
yüzeyinden birim zamanda iletilen ısı miktarı
q =  q dA = -  k(t/n)dA
[W]
(2.10)
olarak bulunur.
τ süresinde iletilen toplam ısı miktarı ise
Q =   k(t/n)dAdτ
ifadesiyle hesaplanır.
[J]
(2.11)
7
(2.7) eşitliğinden yararlanılarak x, y, z eksenleri boyunca ısı iletimi için ;
qx = -k(t/x)
qy = -k(t/y)
(2.12)
qz = -k(t/z)
yazılabilir.
2.3 Isı İletim Katsayısı
Isı iletim katsayısı maddenin fiziksel bir özelliğidir. Genel olarak sıcaklık, basınç ve
maddenin yapısına bağlıdır. Mühendislik uygulamalarında çeşitli maddelerin ısı iletim
katsayıları kaynak tablolardan seçilir. Fazla duyarlılık gerektiren durumlarda ise
deneysel olarak bulunmalıdır. Isı iletimi sırasında cisim içinde farklı noktalar farklı
sıcaklıklarda bulunduğundan ısı iletim katsayısının sıcaklığa bağlılığı ayrı bir önem
kazanır. Bu bağıntının, mühendislikte kullanılan birçok malzeme için doğrusal kabul
edilebileceği, deneysel olarak gösterilmiştir. Yani,
k = k0 [ 1 + b( t-t0 )] [ W/moK ]
(2.13)
dır.
Bu bağıntıda k0 , t0 sıcaklığındaki ısı iletim katsayısı ; b ise deneysel olarak bulunan bir
sabittir.
Gazların ısı iletim katsayıları artan sıcaklıkla artar, çok yüksek ve çok düşük basınçlar
dışında pratik olarak basınca bağlı değildir. Gazların ısı iletim katsayıları k = 0.006 0.6 W/moK değerleri arasındadır.
Sıvıların ısı iletim katsayıları su ve gliserin dışında artan sıcaklıkla azalır ve değeri
0.07 - 0.7 W/moK arasındadır.
İnşaat ve ısı yalıtım malzemelerinin ısı iletim katsayıları artan sıcaklıkla artar. Genel
olarak yoğunluğu fazla olan malzemelerin ısı iletim katsayısı büyüktür. Bundan başka
ısı iletim katsayısı malzemenin yapısına, gözenekliliğine ve nemliğine bağlıdır. Nemli
bir malzemenin ısı iletim katsayısı kuru malzeme ve suyun ısı iletim katsayılarından
daha büyük olabilir. Örneğin kuru tuğlanın ısı iletim katsayısı k = 0.35 W/m oK, suyun
k = 0.6 W/moK iken ıslak tuğlanın ısı iletim katsayısı k= 1.1 W/ moK dir.
8
Çoğu metallerin ısı iletim katsayıları artan sıcaklıkla azalır. Saf metallerin ısı iletim
katsayıları genel olarak bunların alaşımlarının ısı iletim katsayılarından çok büyüktür.
Örneğin saf bakırın ısı iletim katsayısı 396 W/moK iken içinde çok az miktarda arsenik
bulunan bakırın ısı iletim katsayısı 142 W/moK civarındadır. Saf metallerin tersine
alaşımların ısı iletim katsayıları artan sıcaklıkla artar.
2.4 Isı İletiminin Diferansiyel Denklemi
Enerjinin korunumu kanununu dV elemansel hacmindeki bir cisim için dτ
zaman aralığında yazarak ısı iletiminin diferansiyel denklemi çıkarılabilir. Bu işlemi
yaparken aşağıda sıralanan varsayımlar yapılacaktır.
a ) Cismin makroskopik parçacıklar sabittir.
b ) Cisim homojen ve izotropiktir.
c ) Sıcaklıktan dolayı cismin hacimsel değişmeleri göz önüne alınan hacmin yanında
çok küçüktür.
d ) Cismin içindeki iç ısı kaynakları homojendir.
e ) Maddenin ısı iletim katsayısı k sıcaklığın fonksiyonu olup diğer ilgili fiziksel
büyüklükler sabittir.
Enerjinin korunumu kanununa göre söz konusun elemansel hacimdeki cisme dτ zaman
aralığında iletimle giren ısı ve cisim içinde üretilen ısıların toplamı bu elemansel
cismin iç enerjisindeki değişmeye eşittir. Yani ;
dQ1 + dQ2 = dQ
[J]
(2.14)
yazılabilir. Bu ifadede dQ1 ve dQ2 sırasıyla dτ zaman aralığında cisme iletimle giren
ve cismin içinde üretilen ısılar; dQ ise yine aynı zaman aralığında cismin iç
enerjisindeki değişmedir. Şekil (2.2) deki dV (=dxdydz) elemansel hacmini göz önüne
alalım.
9
z
dQy
dQz+dz
dQx+dx
dQx
dz
dQy+dy
dx
dy
dQz
x
y
Şekil 2.2
x doğrultusunda giren ısı
dQx = qxdydzdτ
x doğrultusunda çıkan ısı
dQx+dx = qx+dxdydzdτ
x doğrultusunda giren net ısı dQx1 = dQx - dQx+dx
dQx1 = qxdydzdτ - qx+dxdydzdτ
dır. qx+dx fonksiyonunu Taylor serisine açarak
q
 2 q x dx 
 q x  x dx 
 ..........
x
x 2 2!
2
q x  dx
elde edilir. Böylece
dQx1  
q x
dxdydzd
x
olarak bulunur.
Benzer şekilde y ve z doğrultularında giren net ısı miktarları için
dQy1  
q y
y
xyz
dQzı  
q z
dxdydzd
q z
10
ifadeleri elde edilir. Böylece dV elemansel hacmine iletimle giren net ısı miktarı
 q
q
q 
dQ1   x  y  z dxdydzd
y
z 
 x
dir. Cismin içinde birim hacimde üretilen ısı qv ise dV hacminde dτ zaman aralığında
üretilen ısı miktarı
dQ2 = qvdVdτ = qvdxdydzdτ
dir. Cismin iç enerjisindeki değişme ise
t
ddxdydz

olacaktır. Böylece dQ1, dQ2 ve dQ için bulduğumuz değerler (2.14) eşitliğinde
dQ  C p
yazılırsa
q
 q
q 
t
  x  y  z   qv  C p
y
z 

 x
enerji denklemi elde edilir. Bu ifadede qx , qy ve qz yerine Fourier kanunundan
yararlanarak
q x  k t 
t
x
q y  k t 
t
y
q z  k t 
t
z
yazılabilir. Böylece aşağıdaki diferansiyel denklem elde edilir.
 
t   
t   
t 
t




k
t

k
t
 k t    qv  C p




x 
x  y 
y  z 
z 

t
k

 C p
  2 t  2 t  2 t  qv
 2  2  2  
y
z  C p
 x
(2.15)
(2.16)
11
Bu denklem ısı iletiminin diferansiyel denklemidir. Sabit ısı iletim katsayısı için bu
denklem ( 2.16 ) şeklini alır. Bu son ifade silindirik eksen takımında
t
k


C p
  2t 1 t
1  2t
 2t
 2 
 2

r r r  2 z 2
 r

q
  v
 C p
(2.17)
şeklindedir.
Bu diferansiyel denklemdeki k/Cp orantı katsayısı ısı yayınım katsayısı adını alır ve
genellikle a simgesi ile gösterilir. Birimi [m2/s] dir. Isı yayınım katsayısı maddenin
fiziksel bir özelliğidir. Isı iletim katsayısı, k, maddenin ısı iletim yeteneğini belirlerken
ısı yayınım katsayısı, a, maddenin ısıl ataletinin bir ölçütüdür. Denklemden görüldüğü
gibi sıcaklığın zamanla değişimini gösteren t/τ türevi ısı yayınım katsayısı ile
orantılıdır. Yani sıcaklığın zamanla değişim hızı maddenin ısı yayınım katsayısı
arttıkça artar. Bu çok önemli noktayı vurgulamak için bir örnek verelim. Isı yayınım
katsayıları farklı diğer her şeyi aynı iki cisim düşünelim. Cisim içindeki noktalarda
sıcaklıklar ısı yayınım katsayısı büyük olan cisimde daha çabuk eşitlenecektir.
Yukardaki denklem qv = 0 olduğunda yani cisim içinde ısı üretimi yada tüketimi
yokken
t
 2t  2t  2t
 a( 2  2  2 )

x
y
z
(2.18)
şeklini alır. Bu denkleme Fourier denklemi denir. Eğer t/τ = 0 ise ve cismin içinde
ısı üretim yada tüketimi varsa, qv  0 ise
q
 2t
 2t
 2t


 v 0
2
2
2
x
y
z
k
(2.19)
denklemi elde edilir. Bu denklem Poisson denklemidir. Bu son denklemde eğer qv = 0
ise yani cismin içinde ısı üretimi yada tüketimi yoksa üç boyutlu zamandan bağımsız
ısı iletimi elde edilir.
Bu denklem Laplace denklemidir.
 2t
 2t
 2t


0
x 2
y 2
z 2
(2.20)
12
Isı İletiminin Belirlilik Şartları
Isı iletiminin diferansiyel denklemini çözerek bir cismin içindeki sıcaklık dağılımı
bulunur. Bu denklemin çözülebilmesi için aşağıda sıralanan veriler bilinmelidir.
a - Isı iletiminin olduğu cismin yada sistemin geometrisi
b - Cismin yada sistemin fiziksel özellikleri
c - Zamana bağımlı problemlerde belirli bir başlangıç anında sistemin bütün
noktalarının sıcaklıkları, yani başlangıç şartları
d - Sistemin, bir başka deyişle çözüm bölgesinin sınırlarındaki şartlar, yani sınır
şartları
Sınır şartları aşağıda sıralanan şartlardan biri olabilir;
1 - Birinci cins sınır şartı : Isı iletiminin olduğu cismin yüzey sıcaklıklarını her an
veren bir sınır şartıdır ve
ts = ts (x,y,z,τ)
(2.21)
şeklinde ifade edilir.
2- İkinci cins sınır şartı : Cismin yüzeyinde herhangi bir an ve konumdaki ısı akısının
verilmesidir ve
qs = qs(x,y,z,)
(2.22)
olarak ifade edilir.
3- Üçüncü cins sınır şartı : Isı iletilen cismin yüzeyinin hareketli bir akışkanla temasta
olması durumudur. Böyle bir durumda akışkan sıcaklığı, tam cismin yüzeyinde cismin
yüzey sıcaklığı olan ts ye eşit olacak ve şekil (2.3) de gösterilene benzer bir sıcaklık
sınır tabakası içinde değişerek tf akışkan sıcaklığına ulaşılacaktır.
13
t
Sınır tabaka
ks
ts
kf
tf
x
Şekil 2.3 Katı – Akışkan arasında ısı geçişi
Katıdan akışkana ısı geçişi katı yüzeyine yapışık akışkan molekülleri içinde iletimle
olacağından teorik olarak katıdan akışkana geçen ısı akısı için aşağıdaki ifade
geçerlidir.
 dt f
q  k f 
 dx


s
(2.23)
Ancak pratikte cidardaki akışkan içinde sıcaklık gradyanı, (dtf/dx)s , kolayca
ölçülemez ve birçok mühendislik uygulaması için ısı akısının aşağıdaki şekilde
yazılması büyük kolaylık sağlar.
q = h (ts - tf)
(2.24)
Bu ifade Newton soğutma kanunu adını alır. Formüldeki h katsayısı fiziksel bir özellik
olmayıp hız ve akış cinsine ayrıca akışkanın özelliklerine bağlıdır. h katsayısına ısı
taşınım katsayısı adı verilir, birimi W/m2 0C dır. (2.12) ve (2.24) eşitliklerinden üçüncü
cins sınır şartı matematiksel olarak aşağıdaki gibi yazılabilir.
 dt 
 ks 
  ht s  t f
 dx  s

Üçüncü cins sınır şartı en genel olarak
k
t
 ht  t f
n

( 2.25)
14
şeklindedir. Eğer yüzeyin dış normali x ekseninin negatif yönünde ise
t
t

n
x
olur. Böylece ısı akışının yönünün azalan sıcaklık yönünde olması sağlanır.
4- Dördüncü cins sınır şartı : Farklı ısı iletim katsayılarına sahip iki katı cismin değme
yüzeylerindeki sınır şartıdır. Değme yüzeyindeki ısı akılarının eşitliğinden
 t 
 t 
k1  1   k 2  2 
 n 
 n 
olarak ifade edilir.
2.5
Zamandan Bağımsız Isı İletiminde Bazı Basit Analitik Çözümler
2.5.1 Düzlemsel Levha
Şekil (2.4) de gösterilmiş olan  kalınlığındaki homojen izotropik düzlemsel bir
levhadaki ısı iletimini inceleyelim. Levha malzemesinin ısı iletim katsayısı k olsun ve
levhanın iki yüzü t1 ve t2 sabit sıcaklıklarında tutulsun. Levhanın kalınlığı dışındaki
boyutları yani eni ve boyu çok büyükse ısı iletimi sadece x doğrultusunda olacaktır.
Problemimiz tek boyutlu Laplace denkleminin çözümüdür.
t
t1
t2
q

x
Şekil 2.4
2t/x2 = 0
sınır şartları
x =  t = t2
(2.26)
x = 0 t = t1
(2.27)
(2.26) diferansiyel denklemini iki kere integre ederek aşağıdaki çözüm bulunur.
t = c1x + c2
(2.28)
15
çözüldüğü gibi sıcaklık doğrusal olarak değişmektedir. c1 ve c2 sabitleri (2.27) şartları
(2.28) çözümünde kullanılarak bulunur.
Böylece ;
c1  
t1  t 2
;

c2  t1
ve
t  t1 
t1  t 2

x
(2.29)
olarak bulunur.
Birim yüzeyden birim zamanda iletilen ısı miktarı ise Fourier kanunundan
yararlanılarak hesaplanır.
q  k
dt
k
 kc1  (t1  t 2 )
dx

[W / m 2 ]
(2.30)
Duvarın alanı A ise τ zaman aralığında iletilen toplam ısı
Q  q A 
k

(t1  t 2 ) A
[J ]
(2.31)
Bu ifadedeki k/ çarpanı ısı iletkenliği olarak adlandırılır. Isı iletkenliğinin tersi olan
k/ ifadesi ise ısı iletim direncidir. (2.31) matematik ifadesi sözel olarak 'iki yüzeyi
farklı sıcaklılarda tutulan bir düzlemsel duvarda iletilen toplam ısı; sıcaklık farkı,
zaman ve ısı iletim katsayısı ile doğru orantılı, duvarın kalınlığı ile ters orantılıdır.'
şeklinde söylenebilir.
Paragraf (2.3) de ısı iletim katsayılarından bahsedilirken ısı iletim katsayılarının
sıcaklıkla değiştiğini söylemiştik. Şimdi yukarda çözümünü verdiğimiz örneği ele
alarak ısı iletim katsayısının sıcaklıkla değişmesi durumunda sıcaklık dağılımını
bulalım. (2.13) eşitliğinde t0=00C ise k0 00C daki ısı iletim katsayısıdır ve (2.13)
ifadesi
k =k0(1+bt)
şeklinde yazılabilir.
Fourier kanununu yazarsak ;
q  k (t )
dt
dt
 k 0 (1  bt )
dx
dx
(a)
16
Diferansiyel denklemi elde edilir. Bu diferansiyel denklemi x = 0 , x =  bölgesinden
(t1 , t2) sıcaklık aralığında değişkenlerine ayırarak integre edersek
t  t2 

t1  t 2 
q  k 0 1  b 1
2 

(b)
denklemini elde ederiz. (b) ifadesindeki
k 0 (1  b
t1  t 2
)
2
çarpanı integral ortalama ısı iletim katsayısıdır. Yani
t2
 k t dt
km 
t1
( 2.33 )
t2
 dt
t1
şeklinde tanımlanmış ortalama ısı iletim katsayısıdır. Böylece duvarın birim
yüzeyinden birim zamanda iletilen ısı miktarı
km
q 

(2.33)
t1  t 2 
eşitliği
ile
( 2.33)
hesaplanabilir.
(2.30)
eşitliği
ile
(2.33)
eşitliğinin
karşılaştırılmasından bu eşitliklerden birinin kullanılmasıyla deneysel olarak bulunan
ısı iletim katsayısının (t1 , t2) sıcaklık aralığındaki ortalama ısı iletim katsayısı olacağı
anlaşılır.
(a) diferansiyel denklemi x = 0 , x bölgesindeki t1 den t ye kadar integre edilerek
sıcaklık dağılımı aşağıdaki gibi elde edilir.
2
t
2qx 1
1


  t1  
k0b
b
b

[0 C ]
(2.34 )
17
(2.34) eşitliğinden görüldüğü gibi sıcaklık dağılımı lineer değildir. Bu dağılım b
katsayısının işaret ve değerine bağlıdır.
Katmanlı Düzlemsel Levha
2.5.2
Şekil (2.5) gösterilen ısı iletim katsayıları farklı n katmandan oluşan düzlemsel levhayı
göz önüne alalım. Katmanlar arasında mükemmel ısıl temas olsun. Dış yüzey
sıcaklıkları, herbir katmanın kalınlığı ve ısı iletim katsayısı verilmiş olsun. Herbir
katmanda geçen ısı miktarları eşittir. Şekil (2.5) göz önüne alınarak ve (2.30) eşitliği
kullanılarak herbir katmanın birim yüzeyinden birim zamanda geçen ısı miktarı için
aşağıdaki eşitlikler yazılabilir.
T
t1
q
t2
t3
q
tn
k1
t1  t2 
k2
t2
1
2
 t3 
.....................
tn+1
1 2
q
n
kn
t  tn 1 
n n
X
Şekil 2.5
( a ) eşitliklerinden herbir katmanda oluşan sıcaklık farklarını bulalım.
t1  t 2  q
t 2  t3  q
1
k1
2
k2
t n  t n 1  q
n
kn
 ______________________________
 1
n
2
t1  t n 1  q
 k  k  .......... ....... k
2
n
 1




Böylece birim yüzeyden birim zamanda geçen ısı miktarı için
q
1
k1
t1  t n1

2
k2
 ......
n
kn

t1  t n1
n
i
k
i 1
i
W / m 
2
(2.35)
(a)
18
eşitliği elde edilir.
n
i
k
i 1
ifadesi katmanlı du var ın ısıl direncini verir.
i
2.5.3 İki Akışkan Arasındaki Düzlemsel Duvarda Isı İletimi
Farklı sıcaklıkta ve hareketli iki akışkanı ayıran düzlemsel bir duvarı göz önüne
alalım. Sıcak akışkan tf1 , soğuk akışkan tf2 sıcaklığında olsun. Düzlemsel duvarın
kalınlığını  ile ısı iletim katsayısını k ile gösterelim. Duvarın sıcak ve soğuk akışkan
tarafındaki ısı taşınım katsayıları h1 ve h2 olsun ve bunların değerleri ve ayrıca
sıcaklıkları sabit olsun. Şekil (2.6) da gösterilene benzer bir sıcaklık dağılımı olacaktır.
Şimdi sıcak akışkandan soğuk akışkana duvar üzerinden iletilen ısı miktarlarını
hesaplayalım.
t
tf1
t1
t2
h1
h2
tf2

0
x
Şekil 2.6.
Sıcak akışkandan duvara geçen ısı miktarı Newton soğutma kanunu yardımıyla
hesaplanır.
q =h1(tf1 - t1)
(a)
Aynı ısı miktarı duvar içinde iletileceğinden Fourier kanunu bu bölgede geçerlidir.
q = k/(t1-t2)
(b)
19
Bu ısı olduğu gibi soğuk akışkana aktarılacaktır. Böylece Newton soğutma kanununu
soğuk akışkan tarafı için yazarız.
q =h2(tf2 - t2)
(c)
(a), (b), (c) eşitliklerinden sıcaklık farklarını yazarak taraf tarafa toplamak suretiyle
birim yüzeyden birim zamanda geçen q ısı miktarı hesaplanabilir.
1
h1
t f1  t1  q
t1  t 2  q

k
t 2  t f2  q
1
h2
 __________________
 1

1 

t f1  t f 2  q
 
k
h2 
 h1
t f1  t f 2
q
W / m2
1

1
 
h1
k
h2


......................( 2.36)
(2.36) eşitliği ;
q  K (t f1  t f 2 )
W / m 
2
....................(2.37)
şeklinde yazılabilir. Bu şekilde tanımlanmış olan


1
W / m 2 0 C ............................................(2.38)
1  1
 
h1 k h2
katsayısı ısı geçiş katsayısı adını alır. Isı geçiş katsayısının tersine ısı geçiş direnci
K
denir. Tek tabakalı homojen bir düzlemsel duvar için ısı geçiş direnci aşağıda
yazılmıştır.
R
1
1 
1

 
K
h1 k h2
m
2 0

C / W ...................................(2.39)
20
(2.39) ifadesinden görüldüğü gibi ısı geçiş direnci üç dirençten oluşmuştur. Bunları
sıralayalım :
1/h1 = R1
sıcak akışkandan cidara ısı taşınım direnci
/k = Rw
düzlemsel duvar içindeki ısı iletimiyle ilgili ısı direnci, ısı iletim direnci
1/h2 = R2
cidardan soğuk akışkana ısı taşınım direnci
Çok katmanlı bir düzlemsel duvar için ısı geçiş direnci yine yukarıda yazılan
dirençlerin toplamı olacaktır. Ancak ısı iletimi n katman içinde olacağından R w ısı
iletim direnci katman için yazılacaktır. Sonuç olarak katmanlı bir düzlemsel duvarın
ısı geçiş direnci
R
n

1
1
1

 i 
K
h1
h2
i 1 ki
(2.40)
ve ısı geçiş katsayısı
K 
1

1
1
 i 
h1
h2
i 1 k i
n
W / m
2 0
C

(2.41)
olacaktır. Böyle bir duvarın birim yüzeyinden birim zamanda geçen ısı miktarı
q
t f1  t f 2

1
1
 i 
h1
h2
i 1 k i
n
K

f1
t f 2
 W / m 
2
( 2.42)
eşitliğinden hesaplanabilir. (2.42) ifadesi tek katmanlı düzlemsel duvar için uygulanan
yöntemle de kolayca çıkarılabilir.
2.5.4 Sabit Isı Akısını Bir Akışkana İleten Düzlemsel Levha
Şekil (2.7) de gösterildiği gibi bir yüzeyinden qw = sabit ısı akısını diğer yüzeyine
değen Tf sıcaklığındaki akışkana ileten düzlemsel bir duvarı gözönüne alalım.
Problemin çözümü için düzlemsel duvarın içindeki sıcaklık dağılımı ve yüzey
21
sıcaklıkları bulunmalıdır. Aşağıdaki denklem sistemi Fourier kanunu ve Newton
soğutma kanunundan hemen yazılabilir.
t
t1
q w  t1  t 2 

q w  ht 2  t f

k
q w , k,  ve h verilmiş olsun
qw
t2
k

0
1
h
1 
t1  t f  q w (  )
h k
t2  t f  qw
tf
h
x
Şekil 2.7
bulunur. Sıcaklık dağılımı ise yüzey sıcaklıkları t1 ve t2 olarak bilinen bir düzlemsel
levha halindekinin aynıdır, yani doğrusaldır.
22
2.5.5
Silindirik Cisimlerde Isı İletimi
Şekil (2.8) de gösterilen iç çapı d1 = 2r1 , dış çapı d2 = 2r2 olan silindirik bir boruda ısı
iletimini inceleyelim. Borunun iç ve dış yüzey sıcaklıkları t1 ve t2 olsun. Isı iletiminin
diferansiyel denkleminin silindirik eksen takımında ifadesi olan (2.17) denklemi,
problemin zamandan bağımsız, eksenel simetrik
olduğu ve eksenel doğrultuda
sıcaklığın değişmediği ayrıca k, ısı iletim katsayısının sabit olduğu dikkate alınarak
Aşağıdaki gibi yazılabilir.
t
t1
t1
t2
t2
0
r
2 r1
2 r2
Şekil 2.8
d 2t
1 dt

 0
2
r dr
dr
Sınır şartları ise
(a)
r = r1
t = t1
r = r2
t = t2 dır.
Bu diferansiyel denklemi çözmek için u=dt/dr değişkenini tanımlayalım. Böylece (a)
diferansiyel denklemi aşağıdaki gibi yazılabilir.
du 1
 u0
dr r
ur  c1 dir.
Bu denklemin çözümü ise
dt
.r  c1
dr
dt c1

(b) ve
dr
r
t  c1 ln r  c 2 olarak çözüm elde edilir.
23
sınır şartlarını kullanarak
r  r1
t  t1
r  r2
t  t2
t1  c1 ln r1  c 2

t 2  c1 ln r2  c 2
Taraf tarafa çıkararak ;
t  t2
c1  1
(c )
r2
ln
r1
c 2  t1  (t1  t 2 )
t  t1  t1  t 2 
ln r1
r
ln 1
r2
olarak bulunur ve
ln r1
t  t2
 1
ln r
r1
r1
ln
ln
r2
r2


 ln r  ln r 
 daha da kısa yaparsak
t t 1 (t1  t 2 )  1
r1


 ln r

2


r
ln
r1
0
t  t1  t1  t 2 
C dır.
(2.43)
r2
ln
r1
Herhangi bir r yarıçapındaki yüzeyi A ile gösterelim.
A = 2rl dir. Fourier kanununa göre;
dt
A dır. (b) ve (c) eşitlikler inden yararlanarak
dr
c
t t
2kl(t1  t 2 )
W 
Q   k 1 A   k 1 2 .2r 
r1
d2
r
r ln
ln
r2
d1
Q  k
olarak bulunur.
Silindirik borularda ısı iletiminin şiddeti ya birim boru uzunluğu için yada birim yüzey
alanı için yazılabilir.
2k (tw1  tw2)
Q
 q 
d
d1
d1 ln 2
d1
W / m  Birim iç yüzey alanı için ısı iletimi
Q
2k (tw1  tw 2 )
 q2 
d
d 2l
d 2 ln 2
d1
W / m  Birim dış yüzey alanı için ısı iletimi
2
2
24
En çok kullanılan ve uygun kavram ise birim boru uzunluğu için ısı iletimidir.
 t  t 
Q
 q   w1 w2
1 d2

ln
2k d 1
W / m
(2.44 )
Bu tanımlardan ; ql = d1q1 = d2q2 [W/m] olacağı açıkca görülebilir.
(2.44) eşitliğinden görüleceği üzere ql
r ye bağlı değildir. Bundan yararlanarak çok
katmanlı bir borudaki ısı iletimini hesaplayabiliriz ;
q 
q 
 t w1  t w 2 
d
1
ln 2
2k 1
d1
 t w 2  t w3 
d
1
ln 3
2k 2
d2
.......... .......... ......
q 
 t wn  t wn 1 
d
1
ln n 1
2k n
dn
___________________
q
d
1
t w1  t w 2   .
ln 2
 2k 1
d1
t w 2  t w3 
q
d
1
ln 3
 2k 2
d2
.......... .......... .......... .....
tw  tw
n
n 1

q
d
1
ln n 1
 2k n
dn

q  1
d
d
d
1
1

ln 2 
ln 3  .......... ........ 
ln n 1 

  2k 1
d 1 2k 2
d2
2k n
dn 
 tw  tw
W / m
q  n
( 2.45 )
d i 1
1
ln

di
i 1 2 k i
tw  tw 
1
2

1
n 1

25
3. Cins Sınır Şartlarında Silindirik Boruda Isı İletimi
t
tf1
tw1
h1
tw2
tf2
2 r1 = d1
2r2 = d2
Verilenler : k, tf1, tf2, h1, h2, d1, d2
İstenilenler : ql = ? , tw1 = ? , tw2 = ?
Çözüm : Birim boru uzunluğundan geçen ısı miktarını üç şekilde yazalım.
26

q   h1d1 t f 1  t w1
q 
 t w1  t w 2 

d
1
ln 2
2k
d1

q   h2d 2 t w 2  t f 2

_________________
t f 1  t w1 
q
t w1  t w 2 
q 1
d
ln 2
 2k d 1
t w2  t f 2 
q
1
 h1 d1
1
 h2 d 2
___________________
q  1
d
1
1 



ln 2 
  h1 d1 2k d1 h2 d 2 
 t f1  t f 2
 W / m
q 
d2
1
1
1

ln

h1 d1 2k
d1 h2 d 2
t f1  t f 2 

K 

1

q   K  t f 1  t f 2
R 
1
K
m
0
W / m C 
o
d
1
1
1

ln 2 
h1 d1 2k
d1 h2 d 2
( 2.46 )
Toplam ısı geçirme katsayısı
 W / m
C /W

Çok katmanlı silindirik borular için aşağıdaki ifade kolayca çıkarılabilir.
q 
 t f 1  t f 2 
1

h1d1
n

i 1
d
1
1
ln i 1 
2k i
di
h2 d n 1
 W / m
(2.47 )
27
Silindirik Cisimlerde Kritik Çap
Önce homojen silindirik bir borunun d2 dış çapının değişmesinin ısı geçişini nasıl
etkileyeceğini araştıralım. Bilindiği gibi bu durumda silindirik cismin Rl ısıl direnci
R 
d2
1
1
1

ln

h1d 1
2k
d1
h2d
dir .
2
h1 , d1 , k ve h2 sabit olduğundan toplam direnç Rl sadece d2 ye bağlı olacaktır. Bu
durumda
R 1 
d
1
1
1
 sabit olacak, R w 
ln 2 büyüdükçe artacak R 2 
, d 2 büyüdükçe azalacaktı r.
h1 d 1
2k d 1
h2 d 2
Toplam ısı geçiş direncindeki değişim, Rlw ve Rl2 deki değişimler tarafından
belirlenecektir. Bunu bir grafik üzerinde görelim.
Rl
Rlt
Rlw
Rl1
d2 = d1
d2
dcr
Rl nin d2 ile değişimini bulmak için
d (R  )
1

d (d 2 )
2 kd

2
1
h2d
2
0
2
d2  dcr bölgesinde d2 arttıkça Rl azalacaktır.
d2  dcr bölgesinde d2 arttıkça R2 artacaktır.
min . d
2

2k
h2
elde edilir .
28
Bu durum özellikle çok ince çaplı boruların izolasyonunda önem kazanır.
t
kw
tf1
h1
kiz
ql
h2
tf2
0
d3
d2
d1
dcr
d3ef
d2
d3
R 
q 
d
d
1
1
1
1

ln 2 
ln 3 
 1d 1 2 kw
d 1 2 k iz
d 2  2d 3
 t
R
Isı izolasyonu yapılacak borunun izolasyon malzemesinin k değeri ve dış yüzeydeki h2
toplam ısı geçiş katsayısı bilindiğinde
dcr = 2kiz/h2 den kritik çap tayin edilebilir.
Eğer dcr borunun dış çapı olan d2 den büyük ise bu malzeme ile izolasyon yapmanın
bir anlamı yoktur.
d2  d3  dcr,iz bölgesinde izolasyon yapıldıkça ısı kaybı artacaktır ve d3 = d3ef de ancak
izolasyonsuz duruma ulaşılabilecektir. İzolasyonun efektif olabilmesi için dcr,iz  d2
olmalıdır.
Örnek : d2 = 20 mm olan çelik bir boru , kiz = 0,1 W/m 0K olan asbest ile izole
edilmek istenmektedir. h2 = 5 w/m2 0K olduğuna göre bu izolasyon yararlı
olacakmıdır?
dcr =2kiz/ h2 = 2x0.1/5 = 0.04 m = 40 mm
d2  dcr izolasyon gereksizdir.
29
2.5.6 Küresel Cisimlerde Isı İletimi
İç ve dış yarıçapları r1 ve r2 olan içi boş bir küresel cisim düşünelim. Malzemenin ısı
iletim katsayısı k olsun. İç ve dış küresel yüzeylerinin sıcaklıkları t1 ve t2 olarak sabit
olsun. Sıcaklık sadece radyal doğrultuda değişecektir. Bu durumdaki sıcaklık
dağılımını bulmak isteyelim. Fourier kanunu
Q  k
r  r1
Q
dt
dt
W 
A  k 4r 2
dr
dr
t  t w1 ; r  r2 t  t w 2
4k t w1  t w 2 
d d
2k t

 k 1 2 t
1
1
1
1



r1 r2
d1 d 2
t w1  t w 2
1
1
 )
 1
1  d1 d



 d1 d 2 
3. cins sıını şarrtları var sa
t  t w1 
Q  k1d 12 (t f 1  t1 )
Q
2k
1
1

d1 d 2
(
W 
 C
0
W 
t1  t 2  W 
Q  h2d 22 (t 2  t f 2 )
W 
_______________________
Q
 t f 1  t f 2 
1
1  1
1 
1

 


2
2k  d 1 d 2  h2 d 22
h1 d 1
1
kü 
1
1  1
1 
1

 


2
2
k
d
d
h1 d 1
h2 d 22
2 
 1

 k ü t f 1  t f 2
 W 
W / C 
0
2.5.7 Isı Geçişinin Şiddetlendirilmesi
Isı geçiş denklemini yazalım.
Q = K.A.t , W
Geometrik şartlar ve akışkan sıcaklıkları verildiğinden ısı geçişi toplam ısı geçiş
katsayısı K ya bağlıdır. Düzlemsel levha hali için
30
K 
1
1  1
 
h1 k h 2

W / m 2 0C

/k 0 (ince cidarlı büyük ısı iletim katsayılı duvar) için
K
'

1
1
1

h1
h2

h1
h2

h
h
1 1
1 2
h2
h1
Bu son bağıntılarda açıkça görüldüğü üzere toplam ısı geçirme katsayısı en küçük h
değerini geçemez.
Kanatçıklı Ve İğnecikli Yüzeylerle Isı Geçişinin Şiddetlendirilmesi
Bilindiği gibi ısı geçişi yüzey alanı ile orantılıdır. Mühendislikte ısı geçişini artırmak
amacıyla yüzeylere metal parçacıklar ilave edilerek ısı geçişi arttırılır. Bu ısı ileten
parçacıklar değişik şekillerde olabilirler ve hava soğutmalı motorlarda buhar
kazanlarına ve elektronik alanlara kadar değişik yerlerde kullanılabilirler. Bu tip
problemlerde iki şekilde karşılaşabiliriz. Verilmiş bir durum için kanatçık ve iğnecik
içindeki sıcaklık dağılımı ve iletilen sorulabilir veya maksimum ısı geçirerek bir ısı
geçiş yüzeyinin tasarımı sorulabilir. Bu 2. problem genellikle mukavemet ve maliyet
hesaplarında birlikte içerir ve çözümü çok daha zordur.
Kanatçık ve iğneciklerde ısı akış hesaplarında genellikle malzemenin ısı iletim
katsayısının sabit olduğu yüzeylerde akışkana ısı geçişinin yüzey-akışkan sıcaklık
farkı ile doğru orantılı olduğunu, yüzey boyunca h ısı taşınım katsayısın ve akışkan
sıcaklığının sabit olduğu kabul edilir. Ayrıca kanatçık kalınlığının uzunluğu yanında
çok küçük olduğu kabul edilir. Böylece tek boyutlu ısı iletimi problemi ile uğraşılmış
olur.
1- Genel Bir Boyutlu Kanatçık
Şekilde görülen herhangi bir kesitli bir boyutlu kanatçığı düşünelim. Temelden x
uzaklıkta ve x kalınlığında bir hacim elamanına giren ve çıkan ısıları düşünelim.
31
S(x)
A( x )
Qc
Qx
k
Qx+x
h
tf
x
x
S
x=0
Şekil
.
.
.
Q x  Q x  x  Q c
.
Burada Q c birim zamanda t s sıcaklığın daki s yüzeyinden t f sıcaklığın daki akışkan ta rafından t aşınan ısıdır.
.
.
Q x ve Q x  x sadece x koordinatına bağlı olduğunda Taylor serisi açılımıyla
.
d .
x 2 d 2 .
Q x  x  Qx  x (Qx ) 
(Q x )  ......
dx
2! dx 2
Böylece
.
.
.
d
x 2 d 2 .
x (Qx ) 
(Qx ) ..........  Qc  0
2
dx
2! dx
Bu tip problemlerde ya tf yi sıfır yapacak şekilde bir dönüşüm yapılır ya da t = ts – tf
şeklinde bağımlı değişken olan sıcaklık kullanılır. Biz t = ts – tf dönüşümünü kullanacağız.
Böylece
.
Qc
 h st
.
ve
Qx
 kA
dt
dx
yazılabilir.
Burada h ısı taşını katsayısı ve k ısı iletim katsayısıdır. Böylece ısı denge denklemi
x
d
dt
x 2 d 2
dt
( k
)
( kA
)  ..........  h s t
dx
dx
2! dx 2
dx
 0
Bu ifade kanatçık boyunca herhangi bir yer için doğrudur. x0 limit ise
1 d
dt
h ds1
(kA ) 
t  0 Buradan da
A dx
dx
A dx
d 2t
1 dA dt h 1 ds1
(
)
 (
)t  0
A dx dx k A dx
dx 2
Bu diferansiyel denklem bütün tek boyutlu kanatçık problemleri için geçerlidir.
32
Basit Kanatçık ve İğnecikler
Bu basit hallerde A sabittir ve S=Px dir ve genel kanatçık denklemimiz aşağıdaki basit
şekle dönüşür.
d 2t
P

t 0
2
A
dx
d 2t
 m 2t  0
2
dx
m2 
P
dersek
A
Birim genişlik
T s,0  k
d
x
y
ht
x
L
L
A(=y) = Kesit Alanı / Birim genişlik
A=d2/4
P (=z) = Çevre / Birim genişlik
P=Çevre=d
S = Px ; m2=2h/ky
S = Px ;
m2=4h/kd
Bu dif. denkleminin çözümü :
t  c1 e
mx
 c 2e
mx
dir .
c1 ve c2 sınır şartlarından bulunur.
x=0
x t
x=0
t = t0 (ts=ts,0)
de
k
dt
 ht t
dx
[k
dt s
 h 1 (t
dx
s
t
f
)
T0 = c1 + c2
x L
m[ c1e
mL
 c2e mL ] 
h l
[c1e
k
mL
 c2e mL ]
33
Böylece : c2 = T0 – C1
c1 
T0 (1  h f / mk )e mL
(e mL  e  mL )  ( h f / mk )( e mL  e  mL )
cosh m( L  x )  N sinh m( L  x )
]
cosh mL  N sinh mL
N  ht / mk
t  t0 [
( 2.48 )
Birçok pratik durumda kanatçığın ucunda taşınımla uzaklaşan ısı ihmal edilebilir. Bu
durumda ht=0 yani N = 0 dır.
T  T0
cosh m( L  x )
cosh mL
( 2.49 )
Kanatçık Verimi ve Kanatçıkta Toplam Isı Kaybı :
Eğer kanatçık ucunda ısı kaybı ihmal edilemiyorsa ancak ht h ya eşit alınabiliyorsa
son eşitlik (2.49) bu durumdada sıcaklık dağılımını bulmada kullanılabilir. Bu
durumda L kanatçık uzunluğuna ek bir uzunluk ilave edilmesi gerektiği açıktır.
Düzgün kanatçık ve iğnecik hali için bu uzunluklar (1/2 kalınlık) ve yarım çaptır.
Kanatçıkta çevreye geçen ısı kanatçık dibinden kanatçığa geçen ısıya eşittir. Yani
.
Q  kA (
dt
) x 0
dx
Böylece basitleştirilmiş halde (4.19) ifadesini kullanırsak
.
Q  mkAt0 tanh(mL )
olacaktır.
Pratikte kanatçıklar efektif ısı geçiş yüzeyini artırmak için kullanılırken ve kanatçık
performansı bir kanatçık verimi  ile ifade edilir. En çok kullanılan tanım
 = Kanatçıktan gerçekten geçen ısı miktarı / Kanatçık yüzeyi kanatçık dibi
sıcaklığında olsa idi geçecek olan ısı miktarı
34
Basit düzgün kanatçık için , kesit alan A ve birim genişlikte için toplam yüzey alanı S
ise y kalınlık olduğuna göre
m2 =2h/ky idi. Bu durumda
.
tanh mL  N
Q  k At0 m[
]
1  N tanh mL
N=1 için (N=ht/mk)
Q kanatçık uzunluğu L den bağımsızdır. Şimdi ht = h kabul
ederek N ve m tariflerinden hy/k nin 2 ye eşit olan bir optimum değeri olduğu sonucu ortaya
çıkar. Burada da eğer h<2k/y (N>1) ise kanatçık ilavesinin orijinal yüzeyden net ısı geçişini
azalttığı için ve amacına uymadığı neticesi çıkar.
Böylece şu neticeye varırız : Kanatçıklar gazlar için çok etkili sıvılar için ise az
etkilidir. Buharlaşma ve yoğunlaşmada ise zararlıdır.
Yüzeyden ısı geçiş katsayısı h nın tersini 1/h yi ısı akışına direnç olarak düşünürsek :
h azalıyor ise kanatçık yüzeyinde direnç büyüktür ve kanatçığın ısı iletim direncinin
etkisi azdır. Fakat h yükseliyor ise (yoğuşmuş vb) yüzey direnci az ve kanatçığın ilave ettiği
direnç önemli olur. Böylece kanatçık bir izolasyon olarak çalışır.
Düzgün Dairesel Kanatçık :
rt
T0 
r0
h
y
r
A=2ry
Genel denklem yazılırsa
S=2(r2-ro2)
d 2t
1 dt
2h


T 0
ky
dr 2 r dr
0. dereceden Bessel diferansiyel denklemi çözümü
T = c1 Io (pr) + c2 Ko (pr)
P2=2h/ky , c1 ,c2 sabitler.
35
Io ve Ko değiştirilmiş 1. Ve 2. Cins bessel fonksiyonları da verilmiş olsun. pr değeri
için Bessel fonksiyonları tablolarından alınır. Sınır şartları
r = ro
Ts =Ts,o veya T=To
r = rt
dTs/dr = dT/dr = 0
çözümü yazarsak
T  T0 [
I 0 ( pr ) K1 ( prt )  I1 ( prt ) K 0 ( pr )
]
I 0 ( pr0 ) K1 ( prt )  I1 ( prt ) K 0 ( pr0 )
ve kanatçığın çevreye verdiği ısı
.
Q  kA(
 I ( pr0 ) K1 ( prt )  I1 ( prt ) K1 ( pr0 ) 
dT
) r r  k 2ro yT0 P  1

dr
 I 0 ( pr0 ) K1 ( prt )  I1 ( prt ) K 0 ( pr0 ) 
0
İki Boyutlu Isı İletimi :
A – Dikdörtgen levhalarda iki boyutlu zamandan bağımsız ısı iletimi
y
T=f(x)
y = Ly
T=0
T=0
T=0
x = Lx
x
36
 2T
 2T

0
x 2
y 2
T  X ( x ).Y ( y )
1 d 2x
1 d2y

X dx 2
Y dy 2
1 d 2x
  p2
2
X dx
1 d2y
 p2
2
Y dy
d 2x
 p 2 x  0  x  c1 sin( px)  c2 cos( px)
2
dx
d2y
 p 2 y  0  y  c3 sinh( py)  c4 cosh( py)
2
dy
T  c1 sin( px)  c2 cos( px)c3 sinh( py)  c4 cosh( py)
x0
T 0
y0
T 0
x  Lx T  0
y  L y T  f ( x ) olsun.
2
T 
Lx
 nx  sinh(ny / Lx )

sin 
 L  sinh(nL / L )
n 1
y
x
 x 


B- 1boyutlu zaman bağımlı ısı iletimi
T
T= f(x) t=0 anınnda
x=0
x=L
T=0
t>0
çok ince mil
izolasyon
L2
 f ( x). sin(
0
nx
) dx
Lx
37
1 boyutlu fourier denklemi
T
 2T

t
x 2
T  X ( x )  (t )
a
k
c
1 d 2x
1 d

  p2
2
x dx
a dt
d
 ap 2  0    Ae ap t
dt
d 2x
 p 2 x  0  x  B sin( px)  C cos( px)
dt
2
T  e ap
2
t
C1 sin( px)  C2 cos( px)
Baslangıç Şartı
t0
T  f(x)
sınır şartları
x0
T0
xL T0
t0
2
T
L


i 1
n 2 
n x
n x

exp   (
) at  sin(
) f ( x ). sin(
) dx
L
L 0
L


L

38
2.6 ZAMAN – BAĞIMLI ISI İLETİMİ PROBLEMİNDE BOYUTSUZ
SAYILAR VE TABLO ÇÖZÜMLER
Zamana bağlı ısı iletimi problemlerinin çözümü zor olduğundan pratik uygulamalarda
ve mühendislikte boyutsuz sayılarla verilmiş grafik şeklindeki hazır çözümler
kullanılır. Örneğin sonsuz büyüklükteki 2L kalınlığındaki düzlemsel levhanın
herhangi bir yerinde herhangi bir zamanda sıcaklık hL , at ve x in fonksiyonudur. Bu
faktörler boyutsuz hale getirilirse sıcaklık
T f (
hL at x
, , )
k L2 L şeklinde ifade edilebilir.
Bu boyutsuz sayılardan ilkine Biot sayısı denir, Bi=hL/k , bu sayı akışkan tarafındaki
ısı iletkenliğinin katı tarafındaki ısı iletkenliğine oranı şeklinde düşünülebilir. İkinci
boyutsuz sayı Fourier sayısı olarak bilinir, Fo=at/L2 . Bu sayı boyutsuz zamanı
gösterir. Fourier sayısının küçük değerleri ısınma yada soğuma için uzun bir zamana
ihtiyaç olduğunu gösterir.
Birçok araştırıcı analitik çözümleri boyutsuz sayılara bağlı olarak grafik şeklinde
göstermişlerdir. Bunlardan en yararlı olanlarını Heisler ve Gröber
tarafından
hazırlanmış olanlardır. Gröber Fourier sayısını parametre olarak Bi ( Biot ) sayısına
karşılık cismin sıcaklık ve ısı miktarını çizmiştir. Heisler ise Biot sayısının tersini yani
1/Bi parametre olarak Fourier sayılarına karşılık sıcaklıklarını çizmiştir. Heisler
tabloları Gröber tablolarına göre daha doğru sonuçlar verir.
Dağıtılmış olan Heisler tablolarından , başlangıçta Ti sıcaklığında olan, sonsuz
büyüklükte düzlemsel bir duvar ve sonsuz uzunlukta bir silindirin sıfır derecedeki bir
akışkan içine konulması durumunda Tc eksen sıcaklıklarının değişimini vermektedir.
Tc eksen sıcaklığı bulunduktan sonra yardımcı diyagramdan herhangi bir noktadaki
sıcaklıktan hesaplanabilir. Yardımcı diyagramda sıcaklığın Tc ye oranı 1/Bi
fonksiyonu olarak verilmiştir.
Problem 1 : 0.635 cm kalınlığında bir çelik saç (=7835 kg/m3) , k=29.42 W/mK ,
cp=0.465 kj/kg0K) Başlangıçta 1093 0C sıcaklıkta iken aniden 15.6 0C sıcaklığındaki
su banyosuna daldırılmıştır. Isı taşınım katsayısı h=5680 W/m2 0K olarak tahmin
39
edilmiştir. Buna göre sacın tam ortasının sıcaklığının 338 0C a ulaşması için saç ne
kadar zaman suda kalmalıdır. Bu anda yüzey sıcaklığı kaç derecedir.
Yarı kalınlık : L =0.635/2*100 = 3.175*10-3 m
a = k/Cp = 29.42/7835*0.465 = 8.075*10-6 m2/s
1/Bi = k/hL = 29.42/5680*3.175*10-3 = 1.63
15.6 0C sıfır kabul edilirse Ti=1093 – 15.6 =1077.4 0C
338 0C
Tc=338 - 15.6 =322.4 0C
Tc/Ti = 322.4/1077.4 = 0.299
Heisler diyagramında
Fourier sayısı Fo = (at/L2)=2.4  t = 2.4L2/a
t


2.5 * 3.175 2 *10 6
 3.1 s
8.075 *156
Diğer diyagramda T/Tc =0.77
x/L = 1 için ve 1/Bi = 1.63
T =0.77*322.4+15.6 =264 0C
Örnek 2 : 0.4 m çapında uzun silindirik bir beton (=2000 kg/m3 , k=1.4 W/mK , C
=0.879 kJ/kg 0K). Başlangıçta 250 0C sıcaklıkta iken aniden 20 0C sıcaklığındaki
havaya çıkarılmıştır. Isı taşınım katsayısı h=15 W/m2K olarak tahmin edildiğine göre
10 saat sonra yüzey sıcaklığı ne olur?
Çözüm : R = 0.4/2 = 0.2 m
a= k/C = 1.4/2000*0.879*1000 = 0.797*10-6 m2/s
1/Bi = k/hR = 1.4/15*0.2 = 0.467
10 saat = 10*60*60 = 3.6*104 s
Fo 
at 0.797 *10 6 * 3.6 *10 4

 0.717
R2
0.04 2
Tablodan : Tc/Ti = 0.15
TS/Tc = 0.43
Referans = 20 0C,
Ti = 250-20 = 230 0C
Merkez sıcaklığı = 0.15*230 + 20 = 54.5 0C
Yüzey sıcaklığı = 0.43*34.5 + 20= 35.0 0C