BAYES YAKLAŞIMI… Örnek öncesi

BAYES YAKLAŞIMI…
Kesikli Olaylar için Bayes Kuralı
Anakütlenin üç kategoriye göre sınıflandırıldığı varsayılsın.
İlk grup sağlıklı olanlar, ikinci grup astımı olanlar ve
üçüncü grupta tüberküloz (TB) hastası olanlar olsun. Bu
anakütlede %90 bireyin sağlıklı, %9’unun astım ve %1’in
de tüberküloz hastası olduğu bilinsin. Rastsal seçilen bir
birey için aşağıdaki olaylar tanımlanabilir:
A1: Bireyin sağlıklı olması olayı
P  A1   0.90
A2: Bireyin astımı olması olayı
P  A2   0.09
A3: Bireyin tüberküloz hastası olma olayı
(A.1)
P  A3   0.01
…BAYES YAKLAŞIMI…
Seçilen birey tüberküloz hastası olup olmadığını anlamak
için röntgen çektirsin.Sağlık araştırmalarından alınan
bilgiye göre, röntgen cihazlarının sağlıklı insan için
tüberküloz teşhisi koyma olasılığı 0.03dür. Astımı olan
bir hastaya tüberküloz teşhisi koyma olasılığı 0.2 ve
gerçekte tüberküloz hastası olan bir kişiye tüberküloz
teşhisi koyma olasılığı 0.95dir. B olayı seçilen bir kişi
için röntgen cihazıyla konan teşhisin pozitif olma olayı
olsun.
(A.2)
P  B A2   0.2 P  B A3   0.95
P  B A1   0.03
olasılıklar “şartlı olasılıklar” dır. Bireyin sağlıklı iken röntgen
cihazının TB teşhisi koyma olasılığı 0.03dür. Bu olasılıklar
birey röntgen çektirmeden önce verilmektedir. Röntgen
2
cihazına bağlı elde edilen sonuçlardır.
…BAYES YAKLAŞIMI…
P  A3  B   P  B A3  .P  A3 
=P  A 3 B  .P  B 
P  B A3  .P  A 3 
P  A3 B  
P  B
(A.3)
Örnek bilgisi
Ön bilgi
Bayes kuralı
(A.4)
Röntgen cihazından önce bireyin TB olma olasılığı P  A3   0.01
(ön bilgi)
örnek bilgisi
P  B A3   0.95
Bireyin tüberküloz hastası iken röntgen cihazının TB teşhisi
koyma olasılığı 0.95dir.(örnek bilgisi) Bu olasılık birey
röntgen çektirmeden önce verilmektedir.
Birey TB iken, röntgen çektirdikten sonra birey için TB lu
çıkma olasılığı örnek sonrası olasılıkdır.
3
…BAYES YAKLAŞIMI…
P  A3  Ön olasılıkdan örnek sonrası olasılığa geçiş (röntgen
cihazı sonrası) nasıl olacaktır.
Ön olasılıkdan
Örnek sonrası olasılığa geçiş
P  B   P  B  A1   P  B  A 2   P  B  A 3 
= P  B A1  .P  A1   P  B A 2  .P  A 2   P  B A 3 .P  A 3 
=  0.03 0.9    0.2  0.09    0.95  0.01
=0.0545
P  B A3  .P  A3   0.95  0.01
(A.5)
P  A3 B  

 0.17
P  B
0.0545
Birey TB iken, röntgen cihazının birey için TB teşhisi
koyma olasılığı 0.17dir. Olasılık 0.01’den 0.17’ye yükseldiği
için birey daha da endişe edebilir.
4
…BAYES YAKLAŞIMI…
Sürekli Dağılımlarda Bayes Kuralı (Varyansın Bilindiği
Durum)
Hanehalkı gıda harcaması örneği ile çalışılsın.
yt    et
,hakkında bilgi
harcamasıdır.
et

N 0, 2
edinmeye

(B.1)
çalışılan
ortalama
gıda
Bireyin TB olup olmaması ile değil de ’nın olası değerleri için
olasılıklar ile ilgilenilsin.
2 bilinmektedir.
5
…BAYES YAKLAŞIMI…
•Tecrübelerden veya uzmanlardan elde edilen ön bilgiler;
’nın ön bilgiye dayalı olasılık yoğunluk fonksiyonu f()
ile özetlenebilir. Bu yoğunluk fonksiyonu, örnek
alınmadan önceki düşünceleri ifade etmektedir.
f() ile ilgili farklı iki ön bilgi incelensin. İlk olarak, örnek
bilgisi nasıl ifade edilebilir?
Röntgen ile hastalığın teşhisi örneğine dönülürse
P  B Ai  olasılığı; anakütle özellikleri verildiğinde röntgen
cihazının hastalık için pozitif teşhis koyma olasılığıdır.
Burada, anakütle özellikleri  ile özetlenmektedir ve verilen
’ya göre örnek verileri için gıda harcaması olasılık
yoğunluk fonksiyonu bulunur.
6
…BAYES YAKLAŞIMI…

f  y t    2
2

1
2
2
 1
exp  2  y t    
 2

(B.2)
Fonksiyon(B.2),  verildiğinde belli bir aralıkta hanehalkı
gıda harcamasının olasılığını bulmak için kullanılabilir.
f  yt   sabitken anlamına gelir .f  yt  yerine daha çok
tercih edilmektedir.
 sabit iken bütün gözlemler için (benzerlik fonksiyonu)
olasılık yoğunluk fonksiyonu;
f  y    f  y1, y 2 ,...., y T  
= f  y1   .f  y 2   ......f  y T  

= 2
2

T
2
2
 1 T
exp  2   y t    
 2 t 1

(B.3)
7
…BAYES YAKLAŞIMI…
(B.3) eşitliğindeki ikinci satır, örneğin gözlemlerinin y1 , y 2 ,...., yT
bağımsız olduğunu ifade etmektedir.
Örnek sürecinde β sabitken f() yoğunluk fonksiyonu ile β nın
belirsizliği ifade edilmektedir. [f()] ön yoğunluk fonksiyonu
’nın rastsal olduğu olasılık yoğunluk fonksiyonu [f( /y)] de
’nın belirsizliğini ifade etmektedir. (Örnek sonrası yoğunluk
fonksiyonu)
8
…BAYES YAKLAŞIMI…
f  y  örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu nasıl elde
edilebilir?
f  y  kesikli olaylardaki P  A3 B olasılığına benzemektedir.
Röntgen cihazının TB teşhisi koyma olasılığı idi.
B örnek bilgisi ve A3 ilgilenilen bilinmeyen kısımdır (birey
TB hastası). Benzer şekilde;
(B4)
9
…BAYES YAKLAŞIMI…
f  y  i bulmak için Bayes kuralı ile sürekli olasılık
yoğunluk fonksiyonu kullanılırsa:
P  A3 B  
f  y  
P  B A 3  .P  A 3 
P  B
Y’ler gözlenen değerler olduğu
için fonksiyon değildir, sabittir.
f  y  f 
f  y
yoğunluk fonksiyonu
=f  y   f   
= x örnek bilgisi x ön bilgi
   f  y  
1
Örnek bilgisi ile ortak yoğunluk fonksiyonu
10
…BAYES YAKLAŞIMI…
Örnek alındıktan sonra f  y  fonksiyonu artık fonksiyon
değil sabit bir sayı olmaktadır.
1
   f  y   şeklinde yazılabilir. Eşitlik hesaplanırken ilk olarak f  y 
ile f    yoğunluk fonksiyonları çarpılır. Bu çarpım sonucu,
örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu f  y  ’nin şeklini verir.
 değeri, olasılık yoğunluk fonksiyonunun değerini bir yapacak
bir değer olarak seçilmelidir.  normalleştirme sabitidir.
f  y  
f  y  f 
f  y
(B4)
=f  y   f   
= x örnek bilgisi x ön bilgi
Son olasılık yoğunluk fonksiyonu; ön oyf ile benzerlik fonksiyonun
11
çarpımının bir oranıdır.
…BAYES YAKLAŞIMI…
Bilgi Verici Olmayan Ön Dağılım
Ortalama harcama  ile ilgili ön bilgiye sahip olmayalım. 
Herhangi bir  değeri ve  aralığında olabilir. Ortalama
harcama negatif olamaz ve ortalama harcamanın değeri için üst
bir sınır konulabilir. Buda kısaca  dur. Tam bilgisizliği ifade
eden bir yoğunluk fonksiyonu elde edilmek istenirse ile  ilgili
tam belirsizliği göstermek için, örneklem öncesi uniform
yoğunluk fonksiyonu kullanılmaktadır.
f   1
    
(B.5)
Ön bilgi
12
…BAYES YAKLAŞIMI…
Fonksiyon(B.2),  verildiğinde belli bir aralıkta hanehalkı
gıda harcamasının olasılığını bulmak için kullanılabiliyordu.

f  y t    2
2

1
2
 1
exp  2  y t    
 2

2
(B.2)
f  y    f  y1, y 2 ,...., y T  
= f  y1   .f  y 2   ......f  y T  

= 2
f  y  
2

T
2
(B.3)
2
 1 T
exp  2   y t    
 2 t 1

f  y  f 
f  y
=f  y   f   
= x örnek bilgisi x ön bilgi
(B.4)
…BAYES YAKLAŞIMI…
Bayes kuralını uygulamak için eşitlik (B.6) da, (B.2) ve (B5)
yerine konulursa:
f  | y   f  y |   f  
   2

2 T /2
f   1
 1 T
2
exp  2   yt    .1
 2 t 1

    

f  y    2
2

T
2
2
 1 T
exp  2   y t    
 2 t 1

(B.6)
(B.5)
(B.2)
14
…BAYES YAKLAŞIMI…
Bir sonraki adım (B.6) eşitliğini  için yoğunluk fonksiyonu
olarak yeniden yazmaktır. e’nin üzerinde yer alan ifade
aşağıdaki gibi yazabilir: örneklem ortalaması y bir eklenip bir
çıkarılırsa
T
T
  y       y  y      y 
t 1
2
t
t 1
T
2
0
t
(B.7)
T
T
   yt  y       y   2    y    yt  y 
2
t 1
T
t 1
   yt  y   T    y 
t 1
2
2
t 1
2
Gözlemlerin örnek
ortalamasından farkı sıfır
olduğu için
Bu ifade eşitlik (B.6)’da f   | y  fonksiyonunda yerine konulursa;
15
…BAYES YAKLAŞIMI…
Tekrar yazarsak;
f  | y   f  y |   f  
   2
T

2 T /2
T
 1
2
exp  2   yt    .1
 2 t 1

 y      y  y 
t 1
2
t
t 1
T
2
t
T   y 
2
(B.6)
(B.7)
Yerine koyarsak
İfadeyi
 1 T
2
2 
   2  exp  2    yt  y   T    y    ayrıştırdık

 2  t 1
(B.8)
T

T
/2
1

2
2
 T
   2 2  exp  2   yt  y   exp  2    y  
 2

 2 t 1

2 T /2
2
 T
 c1 exp  2    y  
 2

16
…BAYES YAKLAŞIMI…
c1    2
  f  y t 

2 T /2
1
 1
exp  2
 2

 yt  y  

t 1

T
2
(B.9)
1

1
2
 1
2
2
2
exp  2  y t  y  
 2



Eşitlik (B.8)’deki yoğunluk fonksiyonu ne çeşit bir yoğunluk
fonksiyonudur?
İlk olarak c1, ’a bağlı değildir.f   | y 
fonksiyonudur.
 için olasılık yoğunluk
…BAYES YAKLAŞIMI…
Bu olasılık yoğunluk fonksiyonunun şekli aşağıdadır:
2
 T
exp  2    y  
 2

Bu ifade ile tanımlanan yoğunluk fonksiyonu
ve 2/T varyanslı bir normal dağılımdır.

 2 
N  y,

T


(B.10)
y ortalamalı
(B.11)
c1 sabiti yoğunluk fonksiyonunun altındaki alanı 1’e eşit yapmak
zorunda olan bir ölçeklendirme sabitidir. Normal dağılımın
altındaki alan 1 olduğu için sabit düzenlenip (B9) da yerine
konduğunda c1   2 2 / T 1/2 olarak elde edilir
18
…BAYES YAKLAŞIMI…

f  x t   2
2

1
2
2
 1
exp  2  x t    
 2

x
N  , 
2

idi.
Benzer şekilde;
2
 T
f   y   c1 exp  2    y  
 2

c1   2 / T 
2
1/2

 2 
N  y, 
 T
19
…BAYES YAKLAŞIMI…
c1   2 / T 
2
 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu;
f   | y    2 / T 
2
1/2
2
 T
exp  2    y  
 2

1/2
(B.12)
Bu bölümün amaçlarından biri örnekten önce ve sonra bir
normal dağılımın ortalaması ile ilgili belirsizliği ifade
etmenin yolunu bulmaktır. Kısım 1 de, ortalama ( ile ilgili
belirsizlik olmasına karşın varyans (2) biliniyordu. Örnek
bilgisi mevcut olduğunda belirsizlik ile ilgili ifadenin
değiştirilmesinde ve  ile ilgili tam belirsizliğin ifade
edilmesinde bir yöntem bulunmaya çalışıldı. Kısım 1 de,
eşitlik (B.12)’da verilen f   | y  ’nin elde edilmesi ile örnek
sonrası belirsizlik ifadesini tanımlamak için sezgisel
20
yaklaşımlar kullanıldı.
…BAYES YAKLAŞIMI…
Bilgi Verici Ön Dağılım
Bir pilot araştırması şeklindeki örnek öncesi bilgisinin mevcut
olduğu Bayes kuralının uygulamasına dönülsün.  2’nin bilindiği
varsayımı burada da geçerlidir. Örnek öncesi bilgisinin
normal yoğunluk fonksiyonu:

 2 
N  y0 , 
T0 

(18)
y0
pilot çalışmadan elde edilen örnek ortalaması
T0
pilot çalışmasındaki örnek hacmidir.
y0
’a bağlı olan örnek öncesi bilgisi için aşağıdaki eşitlik ele
alınmaktadır
yt    et
(B.1)
21
…BAYES YAKLAŞIMI…
Bu yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılabilmektedir:
f     f   | y0    2 / T0 
2
1/2
2
 T0
exp  2    y0  
 2

(B.14)
Örnek öncesi (ön bilgi) yoğunluk fonksiyonundan, örnek
sonrası yoğunluk fonksiyonunu elde etmek için; (B.14)
nolu eşitlik ve eşitlik (B.3)’de verilen f  y |   örnek bilgisi,
eşitlik (B.4)’de Bayes kuralı formülü içerisinde yerine
yazılmaktadır. Bu işlem aşağıdaki gibi sonuçlanmaktadır
1/2
c1   2 2 / T 
f   | y   f   | y0 , y1    f  y |   f   
   2

2 T /2
 1
exp  2
 2
T
  yt   
t 1
2



2
 T
  2 2 / T0  exp  0 2    y0  
 2

1
 T0  T1
2


  2 / T0  T1   exp 
 
2
 2
(B.15)
1/2


2



22
…BAYES YAKLAŞIMI…
(B.15)’de elde edilen fonksiyon, örnek sonrası yoğunluk
fonksiyonudur. Kısım 3.1 de sezgisel yolla elde edilmiştir.


2 
N ,

T

T
0
1 

(B.16)
Kısım 3.1 de sezgisel yolla elde edilen argüman, temel örnekten
hareketle yapılan pilot çalışması ile elde edilen bilginin
ağırlıklandırılması için uygun bir plan yapmaya dayanmaktadır.
Eşitlik (B.15)’in de gerekli işlemler yapılarak eşitlik (B.16)’de
verilen sonuç elde edilebilir.
h 0 y0  h1y1 T0 y0  T1y1


h 0  h1
T0  T1

Örneklemin ortalaması y1 ve
ön bilgi dağılımın ortalaması
y0 nın ağırlıklı ortalamasıdır.
23
…BAYES YAKLAŞIMI…
Varyans Bilinmediği Durumda Sürekli Dağılımlar için
Bayes Kuralı:
Varyansın bilindiği durumdan çok, varyansın bilinmediği
durumlarla daha sık karşılaşılmaktadır. Bu durumda Bayes
Kuralı
’nın
bilinmeyen
ortalaması
türünden
yazılmamaktadır. Gerçekte 2 bilinmeyendir ve Bayes
kuralının ifadesine dahil edilmelidir. Bu durumda Bayes
kuralı aşağıdaki gibi yazılabilir:
f   , 2 | y  
f  y |  , 2  f   , 2 
f  y
(C.1)
  f  y |  , 2  f   , 2 
24
…BAYES YAKLAŞIMI…
f   , 2 | y  
f  y |  , 2  f   , 2 
f  y
  f  y |  , 2  f   , 2 
Örnek
sonrası
(C.2)
İlk olarak, f   ,  2  fonksiyonu;
 ve 2 için örnek öncesi olasılık yoğunluk fonksiyonunu
göstermektedir.
Örnek alınmadan önce  ve 2 ile ilgili bilginin, bu örnek
öncesi yoğunluk fonksiyonu ile elde edilebileceği
varsayılmaktadır. 2 için örnek öncesi bilginin nasıl elde
edilebileceği sorusuna yanıt aranmalıdır. 2 değerinin
hanehalkı gıda harcamalarının yer alacağı uygulanabilir
aralığı belirlediği hatırlanmalıdır.
25
…BAYES YAKLAŞIMI…
Normal dağılımdan gelen çoğu gözlem, ortalamanın 3
aralığında yer almaktadır. Böylece, normal dağılım olduğu
varsayılarak, haftalık gıda harcamalarının güven aralığı
bilgisine sahip olunursa, 2 varyans bilgisine de sahip
olunmaktadır.
f   , 2 
için örnek öncesi gösterim verildiğinde, bir sonraki
adım örnek bilgisi f  y |  ,  2  ’i ifade etmektir. Böyle bir ifade
eşitlik (9)’de yer alan ifade ile özdeş olmaktadır. Burada tek
fark 2’in önemli olduğunu belirtmek için
f y|
yerine f  y |  ,  2  ’in yazılmasıdır.
f  y |  ,
2
   2 
2 T /2
 1
exp  2
 2

 yt    

t 1

T
2
(C.3)
26
…BAYES YAKLAŞIMI…
 sabiti önceki gibi aynı anlamı taşımaktadır. Bu sabit, örnek
sonrası olasılık yoğunluk fonksiyonu altında toplam alanın
1’e eşit olmasını gerektirmektedir. (C.1) eşitliğindeki son
ifade
f   ,  2 | y  dir.
Bu fonksiyon ortak örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu
olmaktadır. Örnek alındıktan sonra  ve 2 ile ilgili bilgi
durumunu ifade etmektedir.
Eğer asıl ilgilenilen 2 yerine  ile ilgili bilgiyi tanımlamak ise,
o zaman 2’i, ortak örnek sonrası yoğunluk fonksiyonundan
çıkarmak gerekmektedir. Böylece f   | y  elde edilmektedir
27
TAHMİN VE YORUMLAMA İÇİN
BAYES YAKLAŞIMI: BAZI TEMEL TANIMLAR,
KAVRAMLAR VE UYGULAMALAR[1]
Bu bölümde ve izleyen bölümde, bilinmeyen  parametresi
hakkında belirsizliği ifade etmek ve yorumlar yapabilmek için
alternatif yaklaşımlarla ilgilenilecektir.
Bayes yaklaşımı olarak bilinen alternatif yaklaşımının önemli
özelliği parametreye ilişkin belirsizliğin ifadesinde, bilinmeyen
 parametresine ilişkin olasılık hesapları kullanılmasıdır.
Bu konu, Griffiths, W., Hill, R.C., Judge, G.G., (1993), Learning and Practicing Econometrics kitabı
Bölüm 25’ten alınmıştır.
[1]
Giriş…
Bayes yaklaşımında olasılık hesapları, sadece örnek
sonuçları için değil aynı zamanda bilinmeyen sabit
parametreler için de kullanılmaktadır
Olasılık yoğunluk fonksiyonlarının farklı türleri:
1) örnek alınmadan önce parametre hakkındaki belirsizliği
ifade etmek (örnek öncesi olasılık yoğunluk fonksiyonu),
2) belirli örnek sonuçlarının olabilirliğini tanımlamak,
3) örnek alındıktan sonra parametre hakkındaki belirsizliği
ifade etmek(örnek sonrası olasılık yoğunluk fonksiyonu)
için kullanılabilir.
29
…Giriş…
Klasik regresyon modellerinde
 hakkında yorumlama
…
yapmak için sadece örnek bilgisi kullanılır. Bu iki bölümde
kesin olmayan veya belirsiz örnek dışı bilgi ele alınacaktır.
Parametre hakkındaki belirsizlik örnek dışı bilginin olması ve
kayıplardan
herhangi
birinin
hesaba
katılmasından
kaynaklanan yanlış bir kararın alınmasına sebep olabilecektir.
Bu bölümde, tahmin ve yorumlama ele alınacaktır. Bir
ekonomik problem kapsamında aşağıdaki sorular ele
alınabilir:
1. Örnek alınmadan önce ve sonra, hipotezler veya
parametreler hakkındaki belirsizlik ifade edilebilir mi?
2. Örnek öncesi bilgi, örnek almadan veya deneylere
dayanan bilgi ile nasıl birleştirilir?
30
3. Karar sonuçlarını göz önünde tutan bir çerçeve var mıdır?
…Giriş…
Örnek toplamadan önce:
Örneğin ortalama gıda harcamasının ne olabileceği
konusunda bir bilgiye sahip olunmadığı varsayılsın.  ’nın
değeri hakkında tam anlamıyla belirsizlik olduğu söylenebilir.
y1 , y 2 ,, y 40 gibi 40 tane gözlem içeren örnek olsun.
Örnek ortalaması
y
 için nokta tahmini olsun.
Bu durumda  hakkında belirsizlik azalmıştır .
Ana kütlenin tamamı gözlenmemiş, sadece 40 gözlemden
oluşan bir örnek ele alınmıştır .
31
…Giriş…
Örnek gözlendikten sonra elde edilen bilgi, örnekten önce
sahip olunan bilgiye göre daha kesin veya daha belirgindir.
İlk soru: Örnekten önce ve sonra  hakkındaki belirsizliği
ifade edebilir miyiz? Yorum için ne kullanılmalıdır?
İkinci soru; Örnek ile sağlanan bilgiden başka bilgi var mıdır?
Örnek alınmadan önce;
Haftalık ortalama gıda harcaması hakkında tam anlamıyla
belirsizlik olmadığını ve onun değeri hakkında bir bilgiye
sahip olunduğu varsayılsın:
32
…Giriş…
Ön bilgi (apriori bilgi), daha önce alınan örneklerden elde
edilen bilgiler ve edindiğimiz deneyimlerdir.
Ön bilgi nasıl gösterilebilir? Örnek alındıktan ve  hakkında
ek bir bilgi elde ettikten sonra bilgi nasıl güncellenebilir?
Bilgi toplama süreci nasıl tanımlanıp, kullanıma hazır hale
getirilebilir? Ekonomik teori araştırmacıya bu konuda birçok
ön bilgi sağlamaktadır .
Eğer bir bilgiye sahip olmadan çalışmaya başlanırsa, örnekten
önce ve sonra ortalama harcama hakkındaki belirsizlik nasıl
ifade edilecektir?
33
Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Hanehalkı gıda harcaması verisi için istatistiksel model veya
örnekleme süreci :
yt    et .
yt

t  1,2,
,T
(1)
t.nci hanehalkı için yapılmış gıda harcaması
bilinmeyen parametre , et ise gözlemlenemeyen rastsal
değişkendir
et’nin ortalaması “0” ve varyansı 2 ile gösterilmektedir.
Herbir yt’nin çekimi diğer çekimlerden bağımsızdır ve
herhangi iki çekim arasındaki kovaryans sıfırdır (yt ve ys).
Benzer şekilde et ve es arasındaki kovaryans da sıfıra eşittir.
34
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
y  x  e
E  e  0
y ~ N ( x ,  2 I T )
veya
E ee'   2IT
e ~ N (0,  2 I T )
(2)
(3)
x tüm elemanları bire eşit olan T boyutlu bir vektördür.
x = (1, 1, ….,1)
Bayesçi yorumlamanın temelinde varyans parametresi
2’nin bilindiği varsayılmaktadır.
Örnek Sonrası Bilgi
 hakkında bir bilgiye sahip olunmadığı ve belirsizlik
içinde olunduğu varsayılsın.
40 tane rasgele hanehalkı seçerek haftalık gıda harcamaları
35
gözlensin.
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
y1 , y 2 ,, y 40 )
y  23.5945
Tablo 1 s.77 den görüldüğü gibi
y  23.5945
y
örnek ortalaması
örnek bilgisidir.
Örnek bilgisi elde edildikten sonra  hakkındaki belirsizlik
durumu olasılıkla ifade edilir:
’ nın olasılık yoğunluk fonksiyonu:
Örnek alınmadan önce örnek ortalaması y olasılık
yoğunluk fonksiyonunun bir tahmincisidir

y ~ N  , 2 / T

(4)
36
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Tablo 1: Haftalık Hanehalkı Gıda Harcamaları Örneği
9.46
10.56
14.81
21.71
22.79
18.19
22.00
18.12
23.13
19.00
19.46
17.83
32.81
22.13
23.46
16.81
21.35
14.87
33.00
25.19
17.77
22.44
22.87
26.52
21.00
37.52
21.69
27.40
30.69
19.56
30.58
41.12
15.38
17.87
25.54
39.00
20.44
30.10
20.90
48.71
37
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…

y ~ N  , 2 / T

(4)
bilgisi
ile
yoğunluk
fonksiyonu,
örnek
ortalamasının olasılığını belirli herhangi aralık içinde
tanımlamaktadır. (4)’den ( y   ) ~ N (0,  2 / T )
olduğu
bilinmektedir. Bu nedenle;
 ve 2
y 
z
~ N (0,1)
/ T
y
(5)
rastsal değişkendir
z değişkeni rastsal değişken
z veya y ’nın olasılık ifadeleri,  için hipotez testleri veya
aralık tahminleri oluşturmak için kullanılmaktadır. 
parametresi sabit olarak ele alınmıştır.
38
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
’nın olasılık yoğunluk fonksiyonunu hesaplarken (5) eşitliği
ile başlanır:
y 
(5)
z
~ N (0,1)
/ T
y 
z
 T
z
T

y 

z  T  y   
z

T
T  y  
  y
T

T
z
39
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
sabittir.
/ T
ve
, z’nin doğrusal fonksiyonudur.
y
Normal rastsal değişkenlerin doğrusal fonksiyonları, normal
rastsal değişkenlerdir.  normal dağılıma sahiptir. Ortalaması:
  y

z
T

E   y 
Ez   y
T
2
2
var(  ) 
var( z ) 
T
y 
z
~ N (0,1)
/ T
T
 ~ N ( y,  / T )
2
 nın olasılık yoğunluk
fonksiyonu
(6) 40
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Bu fonksiyon örnek alındıktan sonra
 hakkındaki
belirsizliği ifade etmek için kullanılmaktadır. Çünkü eşitlik
(6) normal olasılık yoğunluk fonksiyonudur ve aşağıdaki gibi
gösterilebilir:
 T 
f ( / y)  
2 
 2 
1/ 2
 T
2
  y  
exp 
2
 2

(7)
f (  / y ) örnek bilgisi y gözlemlendikten sonra 
hakkındaki belirsizliğin ifadesini gösterir. f ()
kullanılmaktadır.
Örnek sonrası yoğunluk
fonksiyonu
yerine
41
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Örnek Öncesi Bilginin Güncellenmesi
f (  )’nın dağılımı  hakkındaki bilgisizliği ifade etmek için
spesifikasyon seçimi ve örnek öncesi yoğunluk fonksiyonu
olarak bilinmektedir. Bu yoğunluk fonksiyonu
  ve 
aralığında uniform yoğunluk fonksiyonudur.
Thomas Bayes, f (  ) yoğunluk fonksiyonunu örnekten bilgi
sağlamak şartı ile güncellemiştir.
Güncellenen dağılım f (  / y ) fonksiyonudur ve “örnek sonrası
yoğunluk fonksiyonu” olarak isimlendirilir ve (7) eşitliğindeki
normal dağılım olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir.
42
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Örnek seçildikten sonra
y  23.5945
 2  57.6
bilindiği varsayılsın. Bu durumda dağılım
tam olarak belirlenebilir.
 / T  57.6 / 40  1.44
2
 hakkındaki bilgi aşağıdaki gibidir:
 ~ N ( y,  2 / T )
 ~ N (23.5945, 1.44)
(8)
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Ortalama Harcama İçin Olasılık İfadeleri
Yaklaşık olarak , 21$ ve 26$ değerleri arasında yer
almaktadır. Ortalama harcamanın ne kadar olduğu
hakkında herhangi bir fikre sahip olunmadığında bir
örnek alınması önem taşımaktadır.
y  23.5945
 21  23.5945
26  23.5945 
P(21    26)  P
z

1.44
1.44 

 P(2.1621  z  2.0046)
 2 / T  57.6 / 40  1.44
 0.962
Bu sonuç, haftada ortalama gıda harcamasının 21$ ve
26$ arasında olma olasılığının %96.2 olduğunu
44
göstermektedir
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
f  y 
0.
4
0.
3
0.
2
0.
1

20
22
24
26
28
Şekil 1:  örnek sonrası yoğunluk fonkisyonu
45
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Aralık Tahmini
Belirli bir olasılık değeri ile ’yı kapsayacak güven aralığı ne
olacaktır?
P(a1    a2 )  0.95
ifadesini sağlayan bir çok aralık vardır. Seçilecek aralık en
çok bilgiyi ifade etmeli ve en dar olmalıdır.
  23.5945


P  1.96 
 1.96   0.95
1.44




P 23.5945  1.96 1.44    23.5945  1.96 1.44  0.95
P(21.24    25.95)  0.95
46
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Bu sonuca göre haftalık gıda harcaması 0.95 olasılıkla
21.24$ ile 25.95$ arasında yer almaktadır.
Elde edilen bu aralık tekrarlı örneklem teorisi ile aynıdır.
Bu bölümde farklı yorumlar gösterilecektir:
Örneğin gözlendiği ve bir olasılık yoğunluk fonksiyonu
açısından  ile ilgili belirsizliğin söz konusu olduğu
durumda %95 olasılıkla ’i içeren aralık ne şekilde olacaktır?
Aralığın sınırları verilmiş ve bilinmemektedir.
Bu bölümdeki fark, sonuçların olasılık ifadesi olarak
açıklanmasıdır. Güven aralıkları ile birlikte olasılık
47
teknikleri kullanılmaktadır.
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Hipotezlerin Karşılaştırılması
CEO, kuruluştan ve yeni perakende mağaza yönetiminden,
maliyetler ve gelir ile ilgili bilgileri toplamış olsun. Eğer
ortalama gıda harcaması hafta başına 22$ ise, yeni bir
perakende mağaza açmanın faydalı olacağına karar
verecektir. Bu durumda hipotezler:
H 0 :   22
H 1 :   22
Örnek alındıktan
fonksiyonu
(9)
sonra,
 ~ N (23.5945, 1.44) olarak
örnek
her
hesaplamak için kullanılacaktır.
bir
sonrası
yoğunluk
hipotezin
olasılığını
48
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…

22  23.5945 
P( H 0 )  P(   22)  P z 

1.44


 P( z  1.3288)  0.092
PH 1   P  22  1  P  22
 0.908
Hafta başına ortalama, en az 22$ harcama olasılığı 0.908 dir.
Fark oranı
K 10
P( H 1 ) 0.908
K10 

 9.87
P( H 0 ) 0.092
(10)
H1 hipotezi, H0 hipotezine göre yaklaşık olarak 10 kat
daha fazla olasılıkla doğrudur.
49
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
İstatistiksel karar teorisi, eşitlik (10) da verilen fark oranına
bağlı olarak H0 ve H1 i seçmekle ve yanlış karar
verilmesiyle ortaya çıkan kayıplarla ilgilenmektedir. Daha
önceki konularda H0 hipotezinin kabul yada red kuralları
tanımlanmıştı. Bu kurallar örnek ortalaması
y
’nın H0
hipoteziyle uyumlu olup olmamasına bağlıdır. Bu yaklaşım
yanlış
karar
ile
ortaya
çıkan
kayıpları
açıkça
önlememektedir.
50
…Ortalama Harcamaya İlişkin Belirsizliğin İfade Edilmesi…
Kayıp Fonksiyonu:
İyi bir tahminci,
• Bir parametreyi gerçek değerine yakın olarak tahmin etmelidir.
• İyi bir tahmin edici için, tahmin hatası ortalama seviyede 0’a
yakın olmalıdır.
 Herhangi bir  parametresinin tahmini ̂ olsun.
Böyle bir tahmin ve dolayısıyla tahmin hatası yapmaktan dolayı
ortaya çıkan kaybı önlemek için bir fonksiyona ihtiyaç vardır.
 
L ˆ , 
Bu fonksiyon kayıp fonksiyonu olarak adlandırılsın.
51
Kayıp Fonksiyonu:
 
L ˆ , 
Doğal olarak,  ve ˆ arasındaki uzaklık ne kadar büyükse,
L ˆ ,  ’nın değeri de o kadar büyük olacaktır.
 
 Bir tahmincinin iyi olup olmadığını test etmek için istatistiksel
bir ölçüye gereksinim vardır.
Eldeki her farklı y örneğinden hareketle elde edilecek kayıp
fonksiyonlarının ortalaması ( ya da beklenen değeri) böyle bir
ihtiyaca cevap verebilir.
52
Kayıp Fonksiyonu:
Risk fonksiyonu, kayıp fonksiyonunun beklenen değeri
olarak tanımlanır ve aşağıdaki gibi hesaplanır
ˆ  b
olduğu durum için
2
L  , b   c   b  


2
2
E  L  , b    E c   b     L , b  f  y d   c   b  f  y d


c sabittir ve ilgilenilen duruma göre farklılık göstermektedir.
Bir istatistikçinin yukarıdaki beklenen değeri minimum
kılacak şekilde bir tahminde bulunması gerekmektedir. Bu
şekilde elde edilecek tahmin edici, literatürde ’nın bir Bayes
tahmin edicisi olarak ifade edilmektedir.
53
Kayıp Fonksiyonu:
ˆ  
olduğunda L(ˆ , )  0
olur.
Kayıp Fonksiyon Türleri:
1. Karesel Kayıp Fonksiyonu:
2
ˆ
L(, )  c   b 
2. Mutlak Kayıp Fonksiyonu:
L(ˆ , )    b
3. Sıfır – Bir Kayıp Fonksiyonu:
 0, Eğer   b  a
ˆ
L(, )  
1, Eğer   b  a
54
Nokta Tahmini …
ˆ,  ’nın bir tahmini olsun:
 ’nın aşırı tahmini: ̂  
 ’nın eksik tahmini:
̂  
durumlarında ortaya çıkar.
55
Nokta Tahmini …

’nın örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu
E  ortalamalı ’lı
var  lı
olsun.
Bu durumda en iyi nokta tahmini, kayıp fonksiyonundan
elde edilen beklenen kaybı minimum yapan tahmindir.
ˆ  E   a.var   
2
örnek sonrası ortalama
artık en iyi değildir. Çünkü
E 
eksik tahminleme, aşırı tahminlemeden daha az risklidir.
56
…Nokta Tahmini…
a = 2,
E   y  23.5945
ve
var    2 T  1.44
olsun.
Ortalama gıda harcamasının en iyi nokta tahmini
ˆ  E   a.var   
2
ˆ  23.5945  2x1.44  22.1545
2
57
…Bilgi Toplama…
Belirsizlik altındaki karar problemlerinde, geçerli olan tüm
bilgiden yararlanmalı ve bu bilgiler toplanmalıdır. Örneğin,
örnek öncesi elde edilen sonuçlar geçerli olabilir ve basitçe
ortalama harcama hakkında fikirlere sahip olunabilir.
Örneklem alınmadan önce  ile ilgili belirsizlik düzeyi veya
bilgi durumu nasıl ifade edilir?
Örneklemi gözlemledikten sonra, sahip olunan bilgi nasıl
güncellenebilir veya belirsizlik düzeyindeki azalış nasıl
tanımlanabilir? Diğer bir değişle bilgi süreci için ne uygulanır?
58
…Bilgi Toplama…
Ön Bilginin Dahil Edilmesi
İstatistiksel model
yt    et .
Gözlemleri kullanarak gıda üzerindeki ortalama harcama
hakkında bilgi edinmeye devam edilsin. Burada et lar
bağımsız
et ~ N (0,  2 )
dağılışı göstermektedir.
 2 bilinmektedir.
59
…Bilgi Toplama…
 hakkındaki örnek öncesi veya başlangıç bilgisi; örnek
öncesinden,
sahip
olunan
bilgiden
veya
uzmanların
görüşünden elde edilebilmektedir.
Bu kısımda da küçük bir örnek ile pilot çalışması yapılarak
ön bilgi elde edilmeye çalışılacaktır. (T0)
60
…Bilgi Toplama…
40 gözlem içeren örneklemden önce altı hanehalkını içeren
küçük bir pilot çalışması yapılsın.
s.87. Tablo 2
Örnek bilgisi
1 6
y 0   y t  25.475
6 t 1
1 6
ˆ   ( y t  y 0 ) 2  53.27187
5 t 1
y1  23.5945
ˆ 12  66.84738
2
0
Sıfır indisi altı haneyi,
bir indisi 40 haneyi göstermektedir.
To pilot çalışma örnek büyüklüğü ;
T1 büyük örnek büyüklüğüdür.
61
…Bilgi Toplama…
Tablo 2 pilot çalışmasındaki altı hane için haftalık gıda
harcaması
30.00
23.69
29.04
11.48
30.83
27.81
62
…Bilgi Toplama…

2
nin bilindiği varsayılsın.
İlk olarak pilot çalışmadan elde edilen bilgi (ön bilgi), örnek
sonrası yoğunluk fonksiyonu tarafından kullanılabilmektedir.
 2 
 ~ N  y0 , 
T0 

 2 / T0  57.6 / 6  9.6
 ~ N(25.475, 9.6)
İkinci olarak bir sonraki adım örneklemi büyütmektir. Yani,
bilgiyi arttırmak-güncellemek için, 40 gözlem içeren örnek
alınırsa;
40 gözlem ele alındığında,
2

/ T1  57.6 / 40  1.44
y1  23.5945
63
…Bilgi Toplama…
Ön bilgi ihmal edilirse, olasılık yoğunluk fonksiyonu ile ilgili
yeni örnek bilgisi:
 2 
 ~ N  y1 , 
T1 

 ~ N(23.5945, 1.44)
Üçüncü olarak iki bilgi nasıl birleştirilecektir.
Say.89 Şekil 4 .
64
…Bilgi Toplama…
f  y 

Şekil 4: biliniyorken iki örnekten için yoğunluk
fonksiyonları
65
…Bilgi Toplama…
Pilot çalışmadan elde edilen yoğunluk fonksiyonu, T1
f ( / y1)
gözlemli örnekten elde edilen
yoğunluk
fonksiyonuna göre daha fazla yayılmaktadır. İlave yayılma,
 hakkındaki ilave belirsizliği göstermektedir.
f ( / y0 )
dan elde edilen %95 güven aralığı
P 19.40    31.55  0.95
f ( / y1)
dan elde edilen %95 güven aralığı
P  21.24    25.95  0.95
İkinci güven aralığı daha dardır.
…Bilgi Toplama…
Yukarıdaki iki bilgi Bayes kuralı ile birleştirilebilir. Örnek
sonrası yoğunluk fonksiyonu için notasyon
f ( / y0 , y1 )
Bu fonksiyon ortalama  ve  2 varyans ile normal
dağılmaktadır.
Burada ön bilgi, örnek bilgisi ile güncellenerek örnek sonrası
yoğunluk fonksiyonu elde edilir.
67
…Bilgi Toplama…
 ~ N ( ,  )
2
2
 ve  
y0
ve y1 T0 ve T1 den hareketle nasıl hesaplanır
Örnek sonrası örnek ortalaması
y0
ve
 ,,
y1 ortalamalarına bağlıdır.
 üzerindeki bilginin güvenirlik hesaplamaları, duyarlılıkları ile
yapılabilir. Bu duyarlılık, yoğunluk fonksiyonundaki varyansın
tersidir.
68
…Bilgi Toplama…
Her bir bilgi kaynağının duyarlılığı aşağıdadır:
1
 
T0
6
h0  


 0.10417

2

57.6
 T0 
2
1
 
T1
40
h1  
 0.69444
  2 

57.6
 T1 
2
Büyük örnek daha fazla duyarlılığa sahiptir.

h0 ve h1 duyarlılıkları ile y 0 ile y1 in ağırlıklı ortalamasıdır.
h0 y0  h1 y1 T0 y0  T1 y1 6(25.475)  40(23.5945)
 


 23.8398
h0  h1
T0  T1
6  40
69
…Bilgi Toplama…
  23.8398,
almaktadır.
y0  25.475 ve
y1
y1  23.5945 arasında yer
e yakındır.

2
ele alındığında birleştirilmiş bilginin duyarlılığı h ,
basit olarak her bilgi kaynağının duyarlılığının toplamına
eşittir.
h  h0  h1  0.10417  0.69444  0.79861
 2
1
1
2
57.6
 



 1.25217
T0
T1
T0  T1 6  40
h h0  h1

2
2
1


Duyarlılık h , örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunun
varyansının tersidir. Varyans azaldıkça duyarlılık 1’e
yaklaşmaktadır.
70
…Bilgi Toplama…
Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonundan sağlanan bilgi;
 ~ N (23.8398,1.25217)
Şekil 5 (sayfa 90).Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu diğer
iki dağılımdan daha az varyansa yani yayılıma sahiptir.
Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunun, her iki örneği
birleştirerek elde edilen birleştirilmiş örnek sonuçları ile aynı
olduğu görülecektir (46 gözlemli).
71
…Bilgi Toplama…
f ( | y)
f( | y0 , y1 )
f ( | y1 )
f( | y0 )

20
y1
y0
30
35

Şekil 5: 2 biliniyorken, iki kaynaktan bilginin
birleştirilmesi
72
…Bilgi Toplama…
h0 y0  h1 y1 T0 y0  T1 y1 6(25.475)  40(23.5945)
 


 23.8398
h0  h1
T0  T1
6  40
idi. Yukarıdaki eşitlik aşağıdaki gibi yeniden yazılırsa
T0 y0  T1y1


T0  T1
 T0  T1 

2
T0
T1
t 1
s 1
 y t   ys
T0  T1
örnek hacminden elde edilen örnek sonrası yoğunluk
fonksiyonun varyansı  2 / (T0  T1 ) olacaktır.Yani
1
1
2
57.6
 



 1.25217
T
T
T0  T1 6  40
0
1
h h0  h1

2
2
1

ile aynı olacaktır.

73
…Bilgi Toplama
Bu bölümdeki amaç;
2 biliniyorken  nın normal populasyon ortalaması hakkında
bilgi edinmektir.
 için
y0 ortalamalı ve 2 T0 varyanslı örnek öncesi ya
da örnek bilgisi ile y1 ortalamalı ve 2 T1 varyanslı normal
yoğunluk fonksiyonlu örnek bilgisi varsa  için normal yoğunluk
fonksiyonu
  T0 y0  T1y1 T0  T1
2 T0  T1
ortalamalı
varyanslı olacaktır. (Şekil 5)
74
İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
İkinci
soru
grubu,
ön
bilginin
tanımlanması
ve
kullanılması ile ilgilidir:
 Ön bilgi nasıl gösterilebilir?
 Örnek alındıktan ve hakkında ek bir bilgi elde ettikten
sonra bilgi durumu nasıl güncellenebilir?
 Bilgi toplama süreci nasıl tanımlanıp, kullanıma hazır
hale getirilebilir?
75
… İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
Louisiana Fried Chicken’da (LCF) haftalık satışların 
ortalama ve 2 =4 varyans ile normal dağıldığı varsayılsın.
Haftalık satışlar: y
y ~ N ( ,   4)
2
Ön bilgi
LFC satış mağazasının haftalık satışları ile ilgilenilmektedir.
Bu nedenle, haftalık satışların ortalaması hakkında bilgi
toplasın.
Örnekleme teorisine göre, haftalık satışlara ait örnek alınır.
Böylece burada 10 gözlemli örnek alınsın. (Örnek Bilgisi)
76
…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
y'  (y1, y2 ,
, y10 )
 (4.74, 7.11, 5.31, 6.28, 6.09, 8.52, 2.78, 7.38, 5.44, 5.72)
Örneklem ortalaması nokta tahmini olarak kullanılırsa:
10
y   y t / 10  5.937
t 1
%95 güvenle aralık tahmini:
y  1.96 / T  5.937  1.96  2 / 10
(4.697, 7.177)
Haftalık satışların ortalaması (5900$); 4700$ ile
7200$ arasındadır.
77
…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
Ön Bilgi
Tavuk üzerine hazır gıda satışı yapan bir mağazada daha
önceden haftalık tavuk satışları ile ilgili bazı fikirlerin olduğu
varsayılsın. %95 olasılıkla ortalama haftalık satışların
5000$ ile 11000$ arasında olduğuna inanılmaktadır:
P(5    11)  0.95
Olası  değerleri ile ilgili subjektif ön yoğunluk fonksiyonu,
ortalama ve  2 varyansa sahip ve normal dağılım

göstermektedir.
 ~ N ( ,  2 )

78
…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
2

 ?
 ?
Normal dağılımın
yazılabilir:
özelliğini
kullanarak
aşağıdaki
eşitlik
 5      11   
  0.95
P(5    11)  P


 








    standart normal dağılımdır. N(0,1) dir.

z






P  1.96 
 1.96   0.95






5
11  
 1.96 
ve
1.96 

 8

   1.5306
ve
 2  2.3427
79
…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
LFC örneğinde ön bilgi aşağıdaki gibidir:
 ~ N  ,  
2
 N  8, 2.3427 
Slayt 79
Eğer normal dağılım  hakkındaki ön bilgiyi ifade etmek için
uygunsa, ön bilgiye dayalı yoğunluk fonksiyonu f ()
olur.
Daha önceden yapılmış pilot çalışması için ön bilgi ise
aşağıdaki gibi yazılmaktaydı:
 2 
 ~ N  y0 , 
T0 

Slayt 64
80
…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
Bu olayda pilot çalışması yoktur. Bununla beraber bir önceki
hipotetik örnekten geliyormuş gibi  ~ N  , 2 ifadesindeki
bilgi kullanılır.

  y0

2

2 
T0
Bu değerleri hesaplayabilmek için y0 ve T0 a ihtiyaç vardır.
y0    8
slayt 79
2
4

  2  2.3427
T0 T0
4
T0 
 1.7074
2.3427
Varsayılan örneklemin hacmi 1.7074 tür. Bu değer tam değer
olmayıp işlem için geçerli değildir.
81
…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
Ön Bilginin Güncellenmesi
Kısım 3’te, normal olasılık yoğunluk fonksiyonu biçiminde
ifade edilen örnek öncesi bilgi ile normal olasılık
yoğunluk
fonksiyonundan
gelen
örnek
bilgisi
birleştirildiğinde, elde edilen sonucun, ortalama ve
varyans ile birlikte normal örnek sonrası olasılık
yoğunluk fonksiyonu olduğu ifade edilmişti.
T0 y0  T1 y1
 
T0  T1
 2 
2
T0  T1
Sonuçlar;
T0  1.7074
T1  10
slayt.76-77
y0  8
y
y1  5.937
10
y
t 1
t
/ 10  5.937
2 4
82
…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
T0 y0  T1 y1
 
T0  T1
 
2
2
T0  T1
(1.7074)(8)  (10)(5.937)
 
 6.238
1.7074  10

2
4

 0.3417
1.7074  10
Haftalık ortalama satışlar için
yoğunluk fonksiyonu
 örnek sonrası olasılık
 ~ N (6.238, 0.3417)
Örnek öncesi ve sonrası olasılık yoğunluk fonksiyonları Şekil
6 dadır. Grafikler incelendiğinde örnek bilgisinin etkisi
görülmektedir. Örnek bilgisi, dağılımı sola kaydırmıştır.
83
f ()
f ( | y)
f ( | y)
f ()
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

Şekil 6:  biliniyorken  için ön ve örnek sonrası yoğunluk
fonksiyonları
84
…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
Aralık Tahmini
Örnek sonrası olasılık fonksiyonundan  ~ N (6.238, 0.3417) haftalık
ortalama satışlar için  aralık tahmini gerçekleştirilmektedir.
  6.238
0.3417
~ N (0,1)
%95 olasılıkla aralık tahmini;


  6.238
P  1.96 
 1.96   0.95
0.3417


veya
P(5.092    7.384)  0.95
85
…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
Hipotez Testi
Tek yönlü hipotez testi:
H0 :   5
Mağazayı satın almak karlı değildir.
H1 :   5
Mağazayı satın almak karlıdır.
LFC örneği kapsamında hipotez tavuk ürünleri satış
mağazasının satın alınıp alınmayacağı ile ilgili olsun. Eğer
H1 hipotezi doğru ise mağazayı satın almak karlı olacaktır. Tam
tersi ise satın almak yanlış olacaktır. Yapılacak ilk adım ilgili test
istatistiğini hesaplamaktır.
ˆ  5 5.937  5
z

 1.482
/ T
2 / 10
Bkz. Sayfa 82
86
…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
%5 anlamlılık düzeyinde kritik tablo değeri
z 0.05  1.645
z  1.482  1.645
tir.
olduğu için H0 reddedilemez. Bu nedenle satış
mağazasını satın almak karlı olmayacaktır.
Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu kullanıldığında;
 ~ N (6.238, 0.3417)
P( H 0 )  P(   5)

5  6.238 
 P z 

0.3417 

 P( z  2.12)
 0.017
P( H1 )  P(  5)  0.983
87
…İkinci Problem İçin Bayesçi Yorumlama…
H0 ın fark oranı: K 01  P( H 0 ) / P( H1 )  0.017 / 0.983  0.0173
H1 ın fark oranı:
K10  P( H1 ) / P( H 0 )  0.983 / 0.017  57.8
H1 hipotezi H0 hipotezine göre 57 kat olabilirlikle daha
doğrudur. Bu örnek iki çıkarsamaya ilişkin sonuçların nasıl
farklı olduğunu göstermektedir. Bu farklılık  için elde edilen
ön bilgiye bağlı olmaktadır.
88