konum vektörü - muhendislik bilgileri

5
KONUM VEKTÖRÜ
M.Feridun Dengizek
Konum Vektörü
•
•
•
•
Uzayda koordinatları bilinen iki nokta arasındaki
uzaklık ve yönün tayin edilebilmesi için konum
vektörü kullanılır.
Eğer sadece bir noktanın koordinatı biliniyorsa
konum vektörü ordinat (0,0,0) noktasından bu
noktaya çizilen vektör ile ifade edilir.
Konum vektörlerinde yükseklik genellikle z
exseninde ifade edilir. (sağ el kuralına uygun)
Konum vektörlerinin birimi metre (m) dir
KONUM VEKTÖRÜ NOTASYONU
Eğer uzaydaki noktalardan biri A(x,y,z) olarak
belirlenmiş ise bu noktanın konum vektörü
rA =xA i+yA j+zA k
F 5.1
Diğer B noktasının konum vektörü
rB =xB i+yB j+zB k
A noktasından B noktasına çizilecek konum vektörü
rAB=rB-rA
rAB=(xB-xA)i + (yB -yA)j + (zB –zA)k
F 5.2
DİKKAT: Her zaman son konumdan bir önceki konum
çıkarılır
Konum Vektörü
İKİ KONUM ARASINDAKİ MESAFENİN BULUNMASI
İki konum arası mesafe dik koordinat eksenlerinde ki
bileşen farklarının kareleri toplamının kare kökü
kadardır
r  ( x B  x A ) 2  ( y B  y A ) 2  (z B  z A ) 2
F 5.3
Konum vektörünün yönü koordinat eksenlerine
olan açıları ile belirlenir
  cos 1 (
xB  xA
)
rAB
  cos 1 (
  cos 1 (
yB  yA
)
rAB
zB  zA
)
rAB
F 5.4
F 5.5
F 5.6
ÖRNEK 5.1
0 noktasından A(-4,3,6) noktasına çizilen konum vektörü
 rA =-4i+3j+6k
0 noktasından B(8.-5,13) noktasına çizilen konum vektörü
rB=(8i-5j+13k)m
A noktasından B noktasına çizilecek konum vektörü
rAB=rB-rA
rAB=(rBx-rAx)i + (rBy-rAy)j + (rBz –rAz)k
rAB=(8-(-4)i + (-5-3)j + (13-6)k
rAB=12i - 8j +7k
Konum vektörünün skalar büyüklüğü
rAB  ( x B  x A ) 2  ( y B  y A ) 2  (z B  z A ) 2
Konum vektörünün yönü
  cos 1 (
xB  xA
12
)    cos 1 (
)    50.60
rAB
18.9
  cos 1 (
yB  yA
8
)    cos 1 (
)    1150
rAB
18.9
  cos 1 (
zB  zA
7
)    cos 1 (
)    68.260
rAB
18.9
rAB  (12) 2  (8) 2  (7) 2
 rAB  18.89m
Birim Vektör
•
Birim vektör u kartezyen notasyonu ile
yazılmış konum vektörünün skalar
büyüklüğüne bölünmesi ile elde edilir.
r  xi  yj  zk
r  x 2  y2  z2
r
u
r
u
xi  yj  zk
x y z
2
2
2
F 5.7
NOT:
Vektörel bir değer skalar bir büyüklük ile çarpılır veya bölünürse sonuç yine vektörel bir değer olur.
Vektörel bir değer bir başka vektörel değer ile çarpılır veya bölünürse sonuç skalar bir büyüklük olur.
Vektörel bir değer bir başka vektörel değer ile toplanır veya çıkarılırsa sonuç yine vektörel bir değer olur.
Konumlanmış Kuvvet vektörü
•
Bir vektörün doğrultusunu belirleyen iki noktanın
koordinatları biliniyorsa önce bu doğrultu birim vektör
olarak tanımlanır.
• Sonra kuvvetin skalar büyüklüğü birim vektör ile çarpılarak
bu kuvvetin kartezyen koordinatlara göre yazılmış vektörel
değeri elde edilmiş olur
(Not: Buradaki kuvvet vektörünün skalar büyüklüğü daha
önceki dersimizde gördüğümüz A noktasında başlayıp B
noktasında biten skalar büyüklük değil)
F  F*u
 F  F*
F  F(
F 5.8
xi  yj  zk
x 2  y2  z2
F 5.9
( x B  x A )i  ( y B  y A ) j  (z A  z B )k
( x B  x A )  ( y B  y A )  (z B  z A )
2
2
2
)
F 5.10
Problem 5.2
•
•
Bir adam 30 metre yüksekteki A
noktasına bağlı ipi B noktası
doğrultusunda 70 N büyüklüğünde bir
kuvvet ile çekmektedir.
Bu kuvvetin x,y,z doğrultusundaki
bileşenleri ve koordinat eksenlerine göre
açılarını bulunuz.
F  F(
F  70(
( x B  x A )i  ( y B  y A ) j  (z A  z B )k
( x B  x A )  ( y B  y A )  (z B  z A )
2
2
(12  0)i  (8  0) j  (6  30)k
(12  0) 2  (8  0) 2  (6  30) 2
2
)
)
  cos 1 (
 F  70(
12i  8 j  24k
12 2  (8) 2  (24) 2
 F  (30i  20 j  60k) N
)
 F  70(
12i  8 j  24k
)
28
  cos 1 (
xB  xA
12
)    cos 1 ( )    64.60
rAB
28
yB  yA
8
)    cos 1 ( )    106,60
rAB
28
  cos 1 (
zB  zA
 24
)    cos 1 (
)    1490
rAB
28
Problem 5.3
•
•
Bir kapak resimdeki gibi iki halat ile
duvara asılı tutulmaktadır.
Halatlardan birinde
FAB =100N
diğerinde ise
FAC =120N kuvvet etkin oluyorsa
a) Toplam kuvvetin
bileşenlerini
b) A noktasına etki eden
toplam kuvveti bulunuz.
Önce koordinatları belirleyelim
A(0,0,4)
B(4,0,0)
C(4,2,0)
rAB  (4  0)i  (0  0) j  (0  4)k
rAC  (4  0)i  (2  0) j  (0  4)k
 rAB  4i  4k
 rAC  4i  2 j  4k
rAB  42  (4) 2  rAB  5.66
rAC  4 2  2 2 (4) 2  rAC  6
Problem 5.3 Çözümü
FAB  FAB (u AB )  FAB  FAB (
 FAB  100(
rAB
)
rAB
4i  4k
) N  FAB  (70.7i  70.7k ) N
5.66
FAC  FAC (u AC )  FAC  FAC (
 FAC  120(
rAC
)
rAC
4i  2 j  4k
) N  FAB  (80i  40 j  80k ) N
6
FT  FAB  FAC
 FT  ((70.7i  70.7k)  (80i  40 j  80k)) N
 FT  ((70.7  80)i  (0  40) j  (70.7  80k)) N
 FT  (150.7i  40 j 150.7k) N
FTx =150N
FTy= 40N
FTz=-150N
 FT  FTx2  FTy2  FTz2
 FT  150 2  40 2  (150) 2  FT  215.9 N
FARKLI DOĞRULTULARDAKİ VEKTÖRLERİN
NOKTA ÇARPIMI (DOT PRODUCT)
•
Üçüncü dersimizde bir vektörün
büyüklük oranında çarpılmasını veya
bölünmesini anlatmıştık.
•
Bu işlem sonuç olarak aynı doğrultuda
fakat farklı büyüklükte bir vektörün
oluşmasını sağlar.
•
Ancak farklı doğrultularda iki vektörün
çarpılması için (özellikle üç boyutlu
vektörlerde) kartezyen vektör sistemi NOKTASAL ÇARPIM KANUNLARI
uygulanmalıdır.
•Değişme özelliği  A*B=B*A
•
Eğer
0 0    180 0 ise
AB  A * B * cos 
F 5.11
•Çarpma özelliği
 a(A*B)=(a*A)*B=A*(a*B)
•Dağıtım özelliği A*(B+C)= (A*B)+(A*C)
KARTEZYEN VEKTÖR NOKTA ÇARPIM FORMÜLÜ
A B  (A x i  A y j  A z k ) * (B x i  B y j  Bz k )
 A B  A x B x  A y B y  A z Bz
A B  A x B x  A y B y  A z Bz F 5.12
DİKKAT: Bu çarpım ile skalar
büyüklük elde edilir.
VEKTÖR NOKTA ÇARPIMI BİRİNCİ UYGULAMA ALANI
•
•
Vektör çarpımının birinci uygulandığı durum;
İki vektörün eksenel bileşenlerinin biliniyor (kartezyen
koordinatlarının) olması durumunda aralarındaki açıyı
bulmak için kullanılır.
Vektörlerin birbiri ile çarpılması sonucunda skalar bir
büyüklük elde edilir. Bu büyüklük vektürlerin skalar
büyüklükler çarpımına bölünerek aralarındaki açı bulunur.
ÖRNEK PROBLEM 5.4:
Yandaki resimde görülen A ve B vektörleri arasındaki açıyı
bulunuz
A B  A x B x  A y B y  A z Bz
A  (4i  3 j  8k)
B  (8i  6 j  12k)
 A B  (4 * 8)  (3 * (6))  (8 *12)
 A B  32  18  96  46
A   42  32  82  9.43
AB  A * B * cos 
 cos  
B  82  (6) 2  12 2  15.62
AB
A*B
   cos 1 (
F 5.13
46
)
9.43 *15.62
   cos 1 (
AB
)
A*B
   71.80
F 5.14
VEKTÖR NOKTA ÇARPIMI İKİNCİ UYGULAMA ALANI
•
•
Uzayda birbiri ile çakışan iki vektör bir düzlemi belirler.
Eğer bu iki vektörden birisi konumlanmış kuvvet vektörü, diğeri
birim vektör ise çarpımdan çıkan sonuç
–
iki vektör arasındaki düzlemde
–
birim vektör doğrultusunda
Konumlanmış kuvvet vektörünün diğer konum vektörüne iz düşümü
(Fp) skalar bir büyüklük olarak elde edilmiş olur.
Fp  F * u
F 5.15
NOT: Konumlanmış kuvvet vektörünü vektörel değer olarak
belirten
F  F* u
F 5.8
ile yukarda F 5.15 de belirtilen bileşke vektörünü skalar değer olarak belirten
tanımlar arasındaki farka dikkat ediniz.
ÖRNEK PROBLEM 5.5
Boyutları 2X6X3 metre olan bir odanın bir köşesinden diğerine bir boru
uzanmaktadır.
Bu boruya B noktasında ve y eksenine paralel ve 300N büyüklüğünde bir
kuvvet etki etmektedir.
•
•
•
F kuvvetinin boru doğrultusundaki FAB bileşenini
FAB ye dik olan FD bileşke kuvvetini
FAB kuvvetinin normal kartezyen koordinatlardaki bileşenlerini
bulunuz
PROBLEM 5.5 ÇÖZÜMÜ
Önce AB borusu ve etki eden kuvvet doğrultusu için birim vektör bulunur.
u AB 
xi  yj  zk
x 2  y2  z2

2i  6 j  3k
2 2  6 2  32
 0.29i  0.86 j  0.43k
F kuvveti y eksenine paralel diğer eksenlere dik olduğu için birim vektörü
u F  1j
Konumlanmış F kuvvet vektörü
F  F* uF
F 5.8
F  300N * (1j)  F  (300 j) N
F kuvvet vektörünün A-B doğrultusundaki bileşenini bulmak için
konumlanmış F kuvvet vektörü AB doğrultusu birim vektörü ile çarpılır
FAB  F * u AB
F 5. 15
 FAB  (300 j) N * (0.29i  0.86 j * 0.43K)
 FAB  (300 * 0.86) N
 FAB  258N
FAB kuvvetinin normal koordinat sistemindeki bileşenlerini bulmak için FAB kuvveti borunun birim vektörü ile
çarpılır.
FAB  FAB * u AB
F 5.8
 FAB  258N * (0.29i  0.86 j * 0.43K )
 FAB  74.8i  222 j  111k
F kuvvetinin boruya dik bileşeni FD yi bulmak için pisagor teoreminden
yararlanılır.
2
F D  F 2  FAB
 FD  300 2  258 2
 FD  153N
PROBLEM 5.6
Tabanı 3x3 metre olan bir odanın y ekseni üzerindeki
kenar çizgisinden 1 metre ileride A noktasından
bir boru çıkarak x ekseni üzerinde köşeden 3
metre ileride ve z ekseni üzerinde 1 metre
aşağıda (bodrumda) B noktasına kadar
uzanmaktadır.
Bu boru B noktasına bağlı bir halat ile oda tabanından
x ekseni üzerindeki C noktasından 80 N
değerinde bir kuvvet ile çekilmektedir.
a. Boru ile halat arasındaki ϴ açısını bulunuz.
b. F kuvvetinin boru üzerindeki iz düşümünü bulunuz.
c. F kuvvetinin boruya dik olan bileşenini bulunuz
PROBLEM 5.6 ÇÖZÜMÜ
1.
2.
Önce A,B,C noktalarının koordinatları
yazılır.
A(x,y,z)  A(0,1,0)
B(x,y,z)  B(2,3,-1)
C(x,y,z)  C(2,0,0)
Sonra B den A ya borunun ve
B den C ye kuvvetin (halatın)
konum vektörleri yazılır.
rA =0i+1j+ 0k
rB =2i +3j -1k
rC = 2i + 0j + 0k
 rBA =rA -rB

rBA=(0-2)i + (1-3)j + (0-(-1))k

rBA=-2i-2j+1k
 rBC =rC -rB
 rBC=(2-2)i + (0-3)j + (0-(-1))k

rBC=-0i-3j+1k
3. Konum vektörlerinin skalar
büyüklükleri bulunur.
r  x 2  y 2  z 2  rBA  (2) 2  (2 2 )  12  rBA  3N
 rBC  (0) 2  (32 )  12  rBA  3.16 N
PROBLEM 5.6 ÇÖZÜMÜ
a. Çözümü
Boru ile halat arasındaki açı
   cos 1 (
rBA rBc
)
rBA * rBC
 rBA rBC  rBAx rBCx  rBAy rBCy  rBAz rCAz
rBA=-2i-2j+1k
rBC=-0i-3j+1k
 rBA rBC  (2 * 0)  (2 * (3))  (1*1)
   cos 1 (
   42.50
7
)  0.74
3 * 3.16
 rBA rBC  7
PROBLEM 5.6 ÇÖZÜMÜ
b. ÇÖZÜMÜ
1. Önce boru doğrultusunu ve halat doğrultuları için birim vektörler
yazılır.
xi  yj  zk
u
 u BA 
 u BC
F 5.7
x 2  y2  z2
 2i  2 j  1k
 u BA  0.67i  0.67 j  0.33k
(2) 2  (2) 2  12
 3 j  1k

 u BA  0.95 j  0.32k
(3) 2  12
2. F kuvveti halat doğrultusunda etki ettiği için halat doğrultusu birim
vektörü F kuvveti ile çarpılarak konumlanış kuvvet vektörü bulunur
F  F* u
F 5.8
 FBC  FBC * u BC
 FBC  80N * (0.95 j  0.32k)
 FBC  (75.89 j  25.3k ) N
NOT: Burada skalar bir büyüklük, vektörel bir değer ile
çarpılarak bir başka vektörel değer elde ediliyor
3. Boruya paralel etki eden FP kuvvetini bulmak için konumlanmış FBC vektörü boru doğrultusundaki birim vektör ile
çarpılarak FP skalar bir büyüklük olarak bulunur
 FP  FBC * u BA
F 5.15
 FP  (75.89 j  25.3k) N * (0.67i  0.67 j  0.33k)
 FP  ((75.89 j* (0.67 j))  (25.3k * 0.33k) N
 FP  ((75.89(0.67)  (25.3* 0.33)) N
 FP  59N
NOT: Burada bir vektörel değer bir
başka vektörel değer ile çarpılarak
skalar bir büyüklük elde ediliyor
4. Boruya dik etki eden değeri bulmak için pisagor teoreminden yararlanılabilir
2
FBC
 FP2  FD2
2
 FD  FBC
 FP2
 FD  80 2  59 2
 FD  54N