MANYETİK DİPOLÜN MANYETİK ALANI Rafet Kamer, Fizik öğretmeni

Rafet Kamer, Fizik öğretmeni – Beyhan Rıfat
Cıkılıoglu, Anadolu Lisesi, Eskişehir
Manyetik dipolün manyetik alanı
Fizikte maddenin içyapısını izah etmek için dipol etkileşmeleri çok önemlidir. Zira atom
ve moleküllerin yüklerin ya da hareketli yüklerden oluşan sistemlerde süperpozisyon sonucu
kuvvetin karesi ile ters orantılı kuvvetlerin dışında kuvvetler etki edip daha yüksek mertebeden
etkiler oluşturmaktadır. Elektrik dipolün elektrik alanının bulunması genelde daha kolaydır.
Manyetik dipolün oluşturduğu manyetik alanını bulmak ise genelde vektör potansiyel kavramı
bilmeyi gerektirir. Buna rağmen manyetik dipolün manyetik alanının temel fizik yasaları ve
kavramları kullanılarak bulunması mümkündür. Burada kullanılan yöntem ve teknikler fizik
olimpiyatı çalışmalarında tatbik edilmiştir.

Kenar uzunluğu  olan kare şeklinde bir çerçeveden
er

geçen akımın çerçeveden çok çok uzakta oluşturduğu
z


M
manyetik indüksiyon alanı bulabiliriz. Çerçevenin pm

e  manyetik dipol momenti z ekseni boyunca olsun.


Bunun için çerçevenin O merkezinden geçen ve
r4
pm
çerçevenin düzlemine dik olan z ekseni ile  açısı


r2
yapan ve r uzaklıkta bulunan bir M noktası ele alalım.

r
3 3
M noktasından geçen ve çerçevenin düzlemine


geçirilen izdüşümü çerçevenin düzleminde bulunan
2




 4
ve kenarların ortasından geçen kenara dik olan y
O
y
4
2

ekseni üzerindedir. Kare şeklindeki çerçevenin M

1
noktasındaki radyal ve teğetsel bileşenleri bulmak
1
x
için manyetik indüksiyon alanının vektörel şekli ile
çalışmalıyız. r>> uzaklıkları için çerçevenin şekli

artık önemli değildir. pm manyetik dipol momenti z ekseni boyunca olup



pm =S k =2 k

şeklindedir. Burada k , z ekseni boyunca olan birim vektörüdür.  akım teli üzerinde seçilen

küçük d uzunluğundaki bir tel parçasının r uzaklıktaki d B manyetik indüksiyon alanı BiotSavart- yasası ile
 
   dxr
0
dB =
4 r 3




şeklinde verilmektedir. Çerçevenin kenarları vektör olarak yazılabilir- 1 , 2 , 3 , 4 . Bu
vektörler için 
 

1 = - 3 ; 2 = - 4
oluşturdukları alan için
      


 
S =S k = 1 x 2 = 2 x 3 = 3 x 4 = 4 x 1 =2 k
yazabiliriz.
Çerçevenin
kenarların orta noktalarından M noktasına doğru geçirilen uzaklıklar
  

için r1 , r 2 , r 3 ve
r 4 olsun. Bu vektörler arasındaki bağlantı için
     
1 + r 2 = r 4 ; 3 + r 4 = r 2
   
 
 2 + r 3 = r1 ;  4 + r1 = r 3
  

 
r1 + r 3 2 r ; r 2 + r 4 2 r






yazabiliriz. Şekilde, 1 , 2 , 3 , 4 , r 2 ve r 4 vektörleri gösterilmiştir. Çerçevedeki tüm
kenarların orta noktalarından M noktasına doğru geçirilen uzaklıklar için
 
 
 
 
 0  1xr1 
0  2 xr 2 
0  3 xr 3 
0   4 xr 4
B1 =
; B2 =
; B3 =
; B4 =
4 r13
4 r23
4 r33
4 r43
Rafet Kamer, Fizik öğretmeni – Beyhan Rıfat
Cıkılıoglu, Anadolu Lisesi, Eskişehir
yazabiliriz. Çerçevenin geometrik O merkezi ile M noktası arasındaki uzaklık r olsun.
Çerçevenin 1. ve 3. No’lu kenarlarından M noktasına doğru geçirilen doğrularda  açısına bir
bağlılık yoktur. Dolayısıyla bu kenarlar için
r1r3r
alınılabilir. Bu iki kenarın M noktasında oluşturdukları manyetik indüksiyon alanların toplamı
 
 
 
 

 
0  1xr1 0  3 xr 3 0  1xr1 0  1xr 3
B13 = B1 + B3 =
+

=
4 r13
4 r33
4 r 3
4 r 3
  

 
 
0  1x r1  r 3
0  1x2 0  1x2 0  2  0 pm
=
=
=
=
k=
4
4 r 3
4 r 3
r3
4 r 3
4r 3


olur. Bu iki manyetik indüksiyon alanının toplamı z ekseni boyuncadır. Çerçevenin 2. ve 4.
No’lu kenarlardan M noktasına kadar olan uzaklıklarda  açısına bağlı farklılıklar meydana
gelir. Bu uzaklıklar için
r2r-
 cos 
 sin 
 cos 
 sin 
=r; r4r+
=r+
2
2
2
2
yazabiliriz. Bu iki kenarın oluşturdukları manyetik indüksiyon alanlarının toplamı
 
 
 
 



  2 xr 2 0   4 xr 4 0 
0 
2 xr 2
2 xr 4
B24 = B2 + B4 = 0
+


3
3
4 r23
4 r43
4 
4

 sin  
 sin  

r 

r 

2 
2 


 
 
 
 
2 xr 2
2 xr 4
 0
- 0

4 3  3 sin   4 3  3 sin  
r 1 
r 1 


2r 
2r 


 
 
0  2 xr 2 
3 sin   0  2 xr 4  3 sin  

1 
1 
=
4 r 3 
2r  4 r 3 
2r 
  

 
 


0  2 x r 2  r 4  3 sin   0  2 x3 0  2 x2r 3 sin 
0   2 x r 2  r 4
=
+
1


+
=

 4
4
4
r
4 r 3
2r
r3
r3


r3
 p  30  sin   
  2  3  sin   
= 0 3 k+ 0 4
 2 xr = 0 m
k+
 2 xr =
4r
4r 3
4r 4
4 r

0pm  30  sin  
0pm  30  2 sin  
0 pm 30pm sin  
=
k+
re =
k+
e =
+
e
4r 3
4r 4
4r 3
4r 3
4r 3
4r 3








olur. Toplam bileşke manyetik indüksiyon
alanı

 

3 p sin  
 p
B = B13 + B24 =2 0 m
+ 0 m 3 e
3
4r
4r



olarak bulunur. k birim vektör ve er ile e birim vektörleri
için



 
k =cos. er -sin. e ; sin. e =cos. er - k
yazabiliriz. Buradan


 20pm cos.er  sin.e
30pm sin  
20 pm cos   0pm sin  
B=
+
e
er +
e
=
4r 3
4r 3
4r 3
4r 3

ya da




 
 
0 pm 30pm
20 pm 30pm
B =2
+
cos.er  k =
+
cos.er  k =
3
3
3
3
4r
4r
4r
4r
  
  




20 pm 30 pm 30pmr cos   30 pm .r er 0 pm 30 pm .r r 0 pm
=
+
er =
=
=
4r 4
4r 4
4r 5
4r 3
4r 3
4r 3
4r 3




=
  
 
30 pm .r r 0 pm r.r

4r 5

-

   

  =  3 p .r  r  p  r.r 
4r 5
0
m
m
4 r 5



Rafet Kamer, Fizik öğretmeni – Beyhan Rıfat
Cıkılıoglu, Anadolu Lisesi, Eskişehir
olarak bulunur.
Bulunan bileşenlerin ifadelerini süperiletkenlerde gözlenen ve
süperiletken maddelerin dış manyetik indüksiyon alanında belli

B d
değere kadar manyetik indüksiyon alanını maddenin dışına
B0
itilme olayını açıklayabiliriz. Manyetik indüksiyon alanı belli
 Bdr
kritik değeri aştığında ise bu süperiletken maddeler süperilet-ken
özelliğini kaybetmektedir. Süperiletken madde içinde uygulanan
pm
dış manyetik indüksiyon alanın girememesi süper-iletken
maddenin yüzeyinde akan akımlar ile modellenilebilir. Bu
akımlar ise bir manyetik dipol oluşturmaktadır. Akan akımlar bir
manyetik dipol oluşturursa manyetik dipolün manyetik indüksiyon alanı uygulanan dış
manyetik indüksiyon alanın süperiletken küreden dışarıya itmektedir. Manyetik dipol
momentinin oluşturduğu manyetik indüksiyon alanı
B0
B0r
Bd=
 p
0 m
2
1  3cos 
3
4r
olarak verilir. Radyal ve teğetsel yönde bileşenleri küre üzerindeki bir nokta için




Bdr= 2 0p mcos ; Bdr= 0 pmsin
3
4r
3
4r
olarak yazılabilir. Dışarıdaki manyetik indüksiyon alanın bileşenleri
Br=Bcos; Br=Bsin
olur. Süperiletken topun özelliği manyetik indüksiyon alanın yüzeye normal bileşenin sıfır
olduğundan oluşan manyetik dipolün manyetik dipol momenti



3
Br=Bdr, 2 0p mcos =Bcos; B= 2 0pm ; pm= 2 r B
3
4r
3
4r

0
olarak bulunur.
Bir manyetik dipol manyetik alana belli hız ile atılırsa manyetik alandan yansıyabilir.
Yansıma şartını bulmak için gradienti olan manyetik indüksiyon alanlarda manyetik dipollere
etki eden kuvvet ve yapılan işi bulmalıyız. Etki eden kuvvet
F=pm
dB
dx
bu kuvvetin dx yolunda yaptığı iş
dA=Fdx=pmdB
tüm iş kinetik enerjiye eşit ise
A==
mv 2 B 2r 3BdB r 3B2
=
=

2

0
0
0
yansıma gerçekleşir. Buradan manyetik dipolün yansıması için şart
3 2
v 2 r B =
m 0
olarak bulunur.
2r B
 3
 4 r
0
3
3 2
2
= 3B
20
Rafet Kamer, Fizik öğretmeni – Beyhan Rıfat
Cıkılıoglu, Anadolu Lisesi, Eskişehir
Manyetik dipolün oluşturduğu alan ile çok ilginç bir değerlendirme
yapılabilir. Son verilere göre yapılan deneylerde elektronun yükü qe ve

protonun yükü qp arasındaki fark

qp  q e
qp
10-21 olarak ölçülmüştür.
r
Diğer taraftan ise dünyanın manyetik alanın doğası ile ortaya konulan
çok net bir model yoktur. Yerin manyetik indüksiyon alanı B3.10-5 T
q
deneysel olarak bilinmektedir. Elektronlar ile protonlar arasındaki
yüklerin arasında varsayılan yük farkı dünyanın manyetik alanın
açıklaması mümkün olup olmadığı irdeleyebiliriz. Bunun için dünyada
bulunan atomların atom kütlelerinin proton sayısına oranını A/Z2
kabul edebiliriz. Dünyanın yarıçapı 6378 km, kütlesi mD=6.1024 kg, bir nükleonun kütlesi
1,67.10-27, kg ve yükü e=1,6.10-19 C sayısal olarak da değerlendirme için gerekli olan bilgilerdir.
Proton ve elektronun yüklerin muhtemel farklılığından kaynaklanan dünyanın toplam yükü q
olsun. Bu yük sadece ve sadece yüklü parçacıkların yük farkından kaynaklanılabilir. Tüm
parçacık sayısı
N=
M
6.1024
=
=3,59.1051
27
m 1,67.10
proton sayısı
Np=
N
=1,796.1051
2
ve teşkil ettikleri yük farkı
q=Npq=1,796.1051.10-21.1,6.10-19=2,874.1011 C
olur. r<R yarıçapında ve dr kalınlıkta küresel bir kabuk seçelim. Bu kabukta yarıçapı rsin bir
halka seçelim. Bu halkanın hacmi
dV=2rsin.rd.dr
olur. Bu halkanın içindeki yük
dq=
qdV 2qr 2 sin drd
=
V
V
olur. Dönme sonucu seçilen halkanın oluşturduğu elektrik akım
d=
dq qr 2 sin drd
=
T
V
bu akımın oluşturduğu manyetik dipol momenti
dpm=dS=
qr 2 sin drd
q r 4 sin 3 dr d
(rsin)2=
V
V
olur. Tüm kürenin dipol momenti
R
pm= 
0


0
q r 4 sin 3 dr d qR 2
=
V
5
=
2qR2
5T
olarak bulunur. Bu manyetik dipol momentinin oluşturduğu manyetik indüksiyon alanı
B=
20 pm
4R3
=
40 q
4.5RT
=
4.107.3,14.2,874.1011
5.6378.103.24.3600
=1,3.10-7 T
olarak bulunur. Görüldüğü gibi sonuç iki mertebe olarak daha küçüktür. Verilen farkı yerin
manyetik indüksiyon alanın kaynağı olarak göstermek mümkün değildir.
Manyetik dipollerle ilgili bir çok uygulama yapılabilir. Gösterilen yöntemler eğitimde
öğrencilere belli ölçüde kolaylık ve aynı zamanda model kurma, matematiksel değerlendirme
yapmaya yöneliktir. Yine de unutulmaması gereken öğrencilerin mutlaka yüksek matematik
bilgisi sahibi olmaları gerçeğidir.