bilgisayara giriş

Matematik Felsefesi
Leibniz’in Matematik Düşüncesi
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
 Bende o kadar fikir var ki, benden daha iyi
görmesini bilenler bir gün onları daha da
derinleştirecek ve benim zihin emeğime kendi
kafalarının güzelliğini katacaklardır.
 G.W. LEIBNIZ
MATEMATİK –FELSEFE İLİŞKİSİ
 Matematik olmaksızın felsefenin derinliklerine
inemeyiz, felsefe olmaksızın matematiğin
derinliklerine inemeyiz. Her ikisi olmaksızın
herhangi bir şeyin derinliğine inemeyiz/ herhangi bir
şeyi anlayamayız.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
 Ünlü bir Alman filozofu, bilim dünyasının
en önemli sistemci düşünürlerinden
biridir.
 Matematik, metafizik ve mantık alanlarında
ileri sürdüğü yeni düşünce ve görüşleriyle
tanınır.
 Leibniz, Leipzig'de doğdu, 15 yaşında
Leibzig Üniversitesi'ne girdi. Almanya'da
felsefe tarihinin kurucusu sayılan Jakob
Thomasius'tan felsefe okudu.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
 Leibniz 1672 yılında, 26 yaşında ileri modern
matematik çalışmalarına başladı. Bundan 3 yıl
sonra Isaac Newton'dan bağımsız olarak
Calculus'un temel teoremini keşfetti (Fundamental
Theorem of Calculus).
 Pek çok yıl Leibniz ve Isaac Newton taraftarları
arasında kimin Calculus'u keşfettiğine dair bir
tartışma olsa da şuan Leibniz ve Isaac Newton
Calculus'un babaları olarak kabul edilmektedir.
Leibniz’in Felsefesi
 Leibniz, duyusal verilerin zihin ya da akıl
sayesinde bilgiye dönüştüklerini belirtir.
 Duyulardan geçmemiş hiç bir şey zihinde
bulunmaz.
 Deney ile akılı birleştirmeye yönelik bir teori
kurmaya çalışmıştır.
Leibniz’in Felsefesi
 Felsefesinde Descartes'in töz kavramından
hareket eder.
 "Tözü düşündüğüm zaman var olmak için
kendinden başka hiçbir şeyin varlığına muhtaç
olmayan bir şeyi düşünüyorum. Açık söylemek
gerekirse böyle olmayan yalnız Tanrıdır.“
Leibniz’in Felsefesi
 Leibniz'in töz olarak adlandırdığı şeyler
monadlardır.
 Leibniz'e göre monadlar önceden belirlenmiş bir
düzen içinde bulunurlar. Buna önceden düzen
kuramı denir.
Characteristica Universalis
 Leibniz, siyasi veya felsefi tartışma ve araştırmaların
da matematiksel bir yöntem izlemediğinin
bilincindeydi. Leibniz’e göre, matematikçilerin de
hata yapma ihtimali vardır ama bu hataları
keşfetmeye yarayacak araçları da vardır; bu
araçlardan yoksun felsefeciler ise daha fazla hata
yapabilirler.
 Felsefede Aristocular veya Platoncular olduğu halde,
matematikte Öklitçiler veya Arşimetçiler yoktur .
Characteristica Universalis
 Leibniz’e göre, doğruluktan ziyade hislerin egemen
olduğu fikir kavgalarının son bulması için
düşüncenin matematikselleştirilmesi gerekmektedir:
Düşüncenin önemli bir kısmını biçimselleştirmek
için, matematikte karşımıza çıkan türden simgeler ve
kurallar gereklidir.
Characteristica Universalis
 Characteristica Universalis sayesinde düşüncemizin
alfabesi ortaya çıkacak, temel kavramların analizi
yapılacaktır ve bunlara dayanarak bütün her şey
hesapsal olarak kesin bir şekilde yargılanacaktır.
Böylece iki farklı görüşü savunan filozofların
çatışmalarına gerek kalmayacaktır; yan yana oturup
calculemus yani “buyrun hesaplayalım” diyerek
düşüncelerinin doğruluğunu hesaplayabileceklerdir!
Characteristica Universalis
 Bu düşünce, temel veya indirgenmez düşüncelerle
asal sayıları eşleştirmeye dayanıyordu. Yani her
temel düşünceyi nitelendiren bir sayı olacaktı:
karakteristik sayı.
 Leibniz’in Karakteristik Sayılara Örnekler başlıklı
yazısında verdiği bir örneği aktaralım. “İnsan, düşünen canlıdır” önermesindeki “düşünen” ve “canlı”
temel kavramlarına sırasıyla (13, – 5) ve (8, – 7) sayı
çiftlerini verelim, o zaman “insan” kavramını
nitelendiren yani onun karakteristiği olan sayı (13·8,
–5·7) yani (104, –35) olacaktır.
Characteristica Universalis
 Bu fikre göre, sonsuz sayıda birbirine asal sayı
olduğundan, bütün temel veya indirgenemez
kavramlara karşılık gelen bir sayı veya bir sayı çifti
veya bir sayı üçlüsü atanabilir; böylece, diğer bileşik
kavramlar asal sayıların çarpımı olarak elde edilebilir
ve bütün bir dil haritalanabilir.
İkili Sayı Sistemi
 İkili sayı sistemi Leibniz’den önce de biliniyordu,
fakat Leibniz bunu ilk defa sistematik ve olgun bir
şekilde kayda geçirmiştir. Leibniz bir mektubunda
her şeyin yokluktan yaratılması konusu ile ikili sayı
sistemi konusunu birlikte ele almıştır.
 Leibniz, yaratılış ve ikili sistem üstüne metal bir
madalya tasarlamıştır. Madalya şu ifadeleri
taşıyacaktır: Imago creationis (Yaratılışın sureti),
Omnibus ex nihilo ducendis sufficit unum (Her şeyi
yoktan türetmek için birlik yeterlidir) ve Unum est
necessarium (Bir, zorunludur).
İkili Sayı Sistemi
 Leibniz, Pisagorcu öğretiyi izleyerek, her şeyin
aslının veya özünün sayı olduğunu iddia etmiştir.
Bilindiği üzere, ikili sayı sisteminde bütün sayılar 0
ve 1 kullanılarak ifade edilebilir. 0’ı “yokluk”, 1’i ise
“Tanrı” olarak yorumlayan Leibniz, böylece, ikili sayı
sisteminin yaratılışı simgelediğini, dolayısıyla bu
sistemde her şeyin ifade edilebileceğini iddia
etmiştir. Leibniz için, her şey 0 ile 1’in karışımıdır.
Burada, Leibniz’in Yeni-Eflatuncu ve sayısal gizemci
öğretileri izlediği ifade edilmelidir; buna göre, her
şey Bir’den yani Tanrı’dan sudûr etmiştir (taşmıştır).
Leibniz & Sayılar
 Leibniz’in sayı gizemciliğinin sonu gelmez; “Tanrı
tek sayıları sever” vs. gibi birçok söz sarfeder. Bu
konuyu uzatmak istemediğimizden son bir örnekle
yetineceğiz: Leibniz, Tanrı’nın dünyayı altı günde
yaratması meselesi üzerine birçok sayısal benzetme
yaptıktan sonra, yedinci günün ikili sistemde 111 gibi
sıfırsız (“mükemmel”) bir sayı olduğunu söyler.
Ayrıca 111’in üçlemeye (teslis) işaret ettiğini ifade
eder .
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
 1671 yılında Gottfried von
Leibniz, zaman alıcı ve
rutin aritmetiksel işlemleri
kendisinin yerine yapacak
bir makine tasarlamıştır.
 Leibniz’in geliştirmiş olduğu
araç, tekrarlı toplama
işlemlerini yaparak, iki
sayının çarpımını
bulabiliyordu. Bunun
dışında çıkarma, bölme ve
karekök alma işlemlerini de
gerçekleştirebiliyordu.
Gottfried Wilhelm von
Leibniz
1671 - Step Reckoner
Derecelendirilmiş bir tekerleğin, çeşitli pozisyonları, farklı
basamaklara karşılık geliyordu. Tekerleğin gerektiği kadar
döndürülmesi ile, sonuçlar elde ediliyordu.
Leibniz’in “Step Reckoner”ı (daha sonra “Leibniz Wheel”
olarak adlandırılan ve 4 işlem yapabilen hesaplama aracı)
Modern İspat Kavramı
 Bir ispat içeriğinden değil, biçiminden dolayı
geçerlidir. Buna göre, ispat, belli özdeşliklerden
başlayarak kimi cümlelerin belli mantık kurallarına
göre sonlu sayıdaki bir dizilişidir.
 Descartes yeni bir şey elde ederken sezgiye büyük
önem atfediyordu, oysa Leibnizci bir ispat algısında
asıl olan, eldeki cümlenin “mekaniksel” bir ispatını
bulmaktır.
Analitik
 Yüklemi, özneyle özdeş olan ya da yüklemin özne
tarafından içerildiği önermelere analitik denir.
Örneğin, “bütün insanlar, canlıdır” ifadesini
söylediğimizde, Leibniz’e göre şunu kastederiz: ‘canlı
olma’ kavramı, ‘insan olma’ kavramının
içerisindedir, dolayısıyla bu önerme analitiktir.
 Leibniz’e göre tüm matematiksel doğrular analitiktir.
Leibniz için Gerçek
 Monadoloji adlı eserinde iki tür gerçekten söz eder
Leibniz:
 1) Akıl yoluyla elde edilen gerçekler, ki bunlar başka
türlü olamayacaklarından zorunlu olarak gerçektirler
ve kanıtları vardr.
 2) Olgudan kaynaklanan, yani bir anlamda tersini
düşünebileceğimiz ama sadece olgu oldukları için
doğru olan rastlantısal
(olumsal/mümkin/contingent) gerçekler.
Leibniz’in Felsefi İlkeleri
Felsefenin yedi temel ilkesi :
 Özdeşlik/karşıtlık :Eğer bir önerme doğruysa, o
zaman tersi de yanlıştır.
 Ayırt edilemeyeceklerin özdeşliği: İki farlı şeyin tüm
özellikleri ortak olamaz. Eğer x’in olan her söylem
aynı zamanda y’nin ise, x ve y özdeşlerdir; iki şeyin
farksız olduğunu varsaymak, tek bir şeyin iki ismi
olduğunu varsaymaktır.
Leibniz’in Felsefi İlkeleri
Modern mantık ve felsefede sıklıkla başvurulan
"ayırt edilemeyeceklerin özdeşliği" genellikle
Leibniz’in yasası olarak bilinir. Büyük tartışmalara ve
eleştirilere yol açmıştır, özellikle de parçacık felsefesi
ve quantum mekaniği konularında.
 Yeter neden:"Bir şeyin var olması, bir olayın
gerçekleşmesi veya bir doğrunun ortaya çıkması için
yeterli bir neden olmalıdır."
Leibniz’in Felsefi İlkeleri
 Ön-verili harmoni: "Her maddenin düzgün doğası
gösterir ki birine olan hepsine olana tekabül eder,
yalnız, birinin diğeri üzerinde doğrudan bir etkisi
olmaksızın.“ Örnek, düşen bir bardak kırılır, yerin
etkisinin bardağı parçalanmaya zorlamasından
dolayı değil de, bardağın yere düştüğünü
“bilmesi”nden dolayı.
Leibniz’in Felsefi İlkeleri
 Süreklilik yasası: "Doğada atlamalar olmaz".
 Optimizm: "Tanrı her zaman en iyisini seçer.“
 Çokluk: Leibniz özgün olan ihtimalleri, tüm
ihtimallerin dünyasından en iyisinin hayata
geçireceğine inanmıştır ve Théodicée’de bu tüm
ihtimallerin dünyasının en iyisinin tüm ihtimalleri
içerdiğini, sonsuzluk içerisindeki sonlu
deneyimlerimizin doğanın mükemmeliyetine karşı
çıkamayacağını öne sürmüştür.
Leibniz & Genel Mantık
 Leibniz bizim şu an telafuz ettiğimiz; bağlaşım,
ayrışım, olumsuzlama, özdeşlik, içinde bulunma ve
boş küme gibi temel ilkeleri ortaya attı. Leibniz’in
mantık ilkeleri ve tüm felsefesi muhtemelen ikiye
indirgenir :
 1. Tüm fikirlerimiz insan düşüncesinin alfabesini
oluşturan çok küçük sayıda basit fikirlerden oluşur.
 2. Karmaşık fikirler aritmetik çarpmaya benzer
olarak, basit düşüncelerin homojen ve simetrik
kombinasyonuyla oluşur.
Leibniz, Kısa Kısa
 Leibniz matematiği nerdeyse kendi kendine
öğrenmiştir. Bu konuda yol göstericisi ve akıl
hocasının Hollandalı fizikçi Christian Huygens
olduğunu söyleyebiliriz.
 Leibniz iki tabanında mistisizm bulmuştur: 0 yokluk,
1 ise Tanrı’ydı, dolayısıyla iki tabanı yaratılışı temsil
ediyordu.
 Matematiksel anlamda “fonksiyon” terimini ilk kez
Leibniz kullanmıştır. Leibniz’in fonksiyonlarının
kalkış kümesi bir eğriydi. Örneğin bir eğrinin bir
noktadaki eğimi Leibniz’in ele aldığı fonksiyonlardan
biriydi.
Leibniz, Kısa Kısa
 Leibniz Cramer’den 50 yıl önce determinant
kavramını kullanmıştır.
 Varlığın parçalanmayan “monad”lardan oluştuğuna
ama hareketin ve değişimin sürekli olduğuna
inanırdı.
 “Filozof olarak başladım ama teolog olarak
noktalıyorum” diyen Leibniz’in matematiksel
felsefesini anlamak isteyen herkesin yüzleşmesi
gereken en önemli mesele, Leibniz’de matematikle
felsefe, metafizik ve teoloji arasındaki ilişkilerin
içeriğidir.
Gottfried Wilhelm Leibniz
Başlıca Eserleri
 Metafizik üstüne konuşmalar
 İnsan zihni üzerine yeni denemeler
 Theodise
 Monadoloji
Leibniz Ödülü, Alman Araştırma Topluluğu'nun
Alman bilim adamlarını desteklemek amaçlı
verdiği ödüldür.
Gottfried Wilhelm Leibniz Sözleri:
 Gerçek doğru olanı algılamaktır. Felsefe göklerden





inerek, beş duyu ile kavranan konularla
ilgilenmelidir.
Sevmek, mutluluğumuzu bir başkasının mutluluğuna
bağlamaktır.
Erdem biɾ zorunluluktur şu halde erdemsizlik
mümkün değildir.
Düşünce, içimizdeki şeye yöneldiğimiz dikkattir.
Ruh, yok edilmez bir evrenin aynasıdır.
Bana mükemmel bir lisan ver, sana büyük bir millet
kurayrım.
KAYNAKLAR
 http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/PDF/05_3_91_9






6_LEIBNIZ.pdf
https://tr.wikipedia.org/wiki/Gottfried_Leibniz
http://www.yeniakademya.org/yazarkonu-49mahmud_e__duru-520leibniz_dusuncesinde_yaratici_ve_matematik.html
http://felsefekulubu.pau.edu.tr/filozoflar/88.html
http://www.sozkimin.com/a/1317-gottfried-wilhelmleibniz-kimdir-sozleri-ve-hayati.html
http://slideplayer.biz.tr/slide/2541928/
www.cihaddemirli.com/DersDokumanlari/BVBS/3.ppt
SON