ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİ VE ALT CEBİRLERİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ADANA 2010
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİ VE ALT CEBİRLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANA BİLİM DALI
Bu tez / /2010 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği İle Kabul
Edilmiştir.
İmza:
İmza:
İmza:
Yrd.Doç.Dr.ZeynepÖZKURT
Prof.Dr.NaimeEKİCİ Yrd.Doç.Dr.Perihan(Dinç)ARTUT
Danışman
Üye
Üye
Bu tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır.
Kod No:
Prof. Dr. İlhami YEĞİNGİL
Enstitü Müdürü
Bu Çalışma Ç.Ü. Araştırma Fonu Tarafından Desteklenmemiştir.
Not :Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin , çizelge ,şekil ve
fotoğrafların kaynak gösterilmeden kullanımı , 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunundaki
hükümlere tabidir.
ÖZ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİ VE ALT CEBİRLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Zeynep ÖZKURT
Yıl: 2010, Sayfa: 35
Jüri
: Prof. Dr. Naime EKİCİ
Yrd. Doç. Dr. Zeynep ÖZKURT
Yrd. Doç. Dr. Perihan (DİNÇ) ARTUT
Bu çalışmada öncelikle Leibniz cebirlerinin yapısı incelenerek önemli tanım,
teoremler verildi.
Bir serbest Leibniz cebiri inşa edildi ve alt cebirlerin diferansiyelle
belirlenebildiği gösterildi. Sonra iki üreteçli serbest Leibniz cebirlerinin taşınabilir
(tame) otomorfizmleri ve n-üreteçli serbest sol nilpotent Leibniz cebirlerinin
otomorfizmleri incelendi.
Anahtar Kelimeler : Serbest Leibniz cebiri, otomorfizm , taşınabilir
otomorfizmler
I
ABSTRACT
MSc THESIS
FREE LEIBNIZ ALGEBRAS AND SUBALGEBRAS
Aslıhan KARAÇİÇEK
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
INSTUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
UNIVERSTY OF ÇUKUROVA
Supervisor : Asst.Prof.Dr. Zeynep ÖZKURT
Year: 2010, Pages: 35
Jury
: Assoc.Prof. Dr. Naime EKİCİ
Asst.Prof.Dr. Zeynep ÖZKURT
Asst.Prof.Dr. Perihan (DİNÇ) ARTUT
In this thesis firstly we give definitions and basic theorems on Leibniz algebras.
Then We construct a free Leibniz algebra and prove that Leibniz algebras has the
property of differantial separability for subalgebras.
Then we establish a characterization of tame automorphisms of the free Leibniz
algebra in two variables and we interested with the automorphisms of the free left
nilpotent Leibniz algebra in n- variables.
Key Words : Free Leibniz algebra, Automorphisms ,Tame automorphisms
II
TEŞEKKÜR
Bu çalışmanın hazırlanması sırasında bilgi ve tecrübesiyle beni aydınlatan, her
aşamasında yardımlarını esirgemeyen ve değerli zamanlarını ayırarak çalışmanın
tamamlanmasını sağlayan saygıdeğer hocam Sayın Yrd.Doç.Dr. Zeynep ÖZKURT’ a
sonsuz teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca manevi desteklerinden dolayı başta eşim ve
oğluma olmak üzere tüm aileme teşekkür ederim.
III
İÇİNDEKİLER
SAYFA
ÖZ…………………………..…………………………………………………………I
ABSTRACT…………………..……………………………………………………...II
TEŞEKKÜR………………………..………………………………………………..III
İÇİNDEKİLER……………………………………………………………..……….IV
1. GİRİŞ.………………………….…...…………………………………..…….……1
2.TEMEL TANIM VE TEOREMLER…………….………………………….……..2
2.1. Leibniz Cebirlerinin Temsilleri…………………...…………………………4
2.2. Leibniz Cebirlerinin Nilpotentliği……………..……………………………6
3.SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİ……………..…………………………………..7
3.1. Temsiller…………………………………………………….……………...11
3.2. Universal Enveloping Cebir………………………….……..……………...12
3.3. Alt Cebirlerin Diferansiyelle Ayrılabilirliği………………....……………..15
4.İKİ ÜRETEÇLİ SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİNİN OTOMORFİZMLERİ...21
4.1. Basit Otomorfizmler……………………...………………………………..23
5. SERBEST SOL NİLPOTENT LEİBNİZ CEBİRLERİNİN
OTOMORFİZMLERİ……………………………………………………………30
5.1 Otomorfizmler………………………………………………………………30
KAYNAKLAR…………………………………………………………………….34
ÖZGEÇMİŞ………………………………………………………………………..35
IV
1. GİRİŞ
Aslıhan KARAÇİÇEK
1. GİRİŞ
Leibniz cebirleri 1990’ ların başlarında J. L. Loday tarafından çalışılmaya
başlandı. Her Lie cebirinin bir Leibniz cebiri olduğu ancak bir Leibniz cebirinin her
x elemanı için [x,x]=0 koşulunu sağlarsa bir Lie cebiri olacağı gösterilmiştir.
Serbest Leibniz cebirleri ise
J. L. Loday ve
T. Pirashvili (1993)
tarafından
tanımlanmıştır. Bizim bu çalışmamızda öncelikle Leibniz cebirlerinin yapısı ve
özellikleri incelenerek tanımlar ve bazı önemli teoremler verilecektir. Daha sonra
serbest Leibniz cebirleri ve alt cebirleri incelenecektir.
Tezin birinci bölümünde Leibniz cebirlerinin tanımı ve örnekleri ile
çalışmamızın kaynağını oluşturan temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir.
İkinci bölümde X bir küme , F(X) , X üzerinde serbest birleşmeli cebir ve I ,
F(X) in [a,[b,c]] – [[a,b],c] – [[a,c],b] elemanları tarafından üretilen iki yanlı ideali
olmak üzere
L( X ) = F ( X )
I
serbest Leibniz cebiri inşaa edilmiş
ve
örneklendirilmiştir. Leibniz cebirlerinin temsilleri ve evrensel enveloping cebiri
tanımlanmış ve alt cebirlerin diferansiyelle belirlenebildiği gösterilmiştir.
Üçüncü bölümde iki üreteçli serbest Leibniz cebirlerinin taşınabilir (tame) ve
taşınamaz (wild) otomorfizmleri ve basit otomorfizmler tanımlanmış ve teoremler
ile incelenmiştir.
Dördüncü bölümde ise n-üreteçli serbest sol nilpotent cebirlerinin taşınabilir
(tame) ve taşınamaz (wild) otomorfizmleri tanımlanmıştır.
1
2- TEMEL TANIM ve TEOREMLER
Aslıhan KARAÇİÇEK
2. TEMEL TANIM ve TEOREMLER
Tanım 2.1 : K bir cisim, L , [ , ] braket çarpımı ile bir K-cebir olsun. Eğer L nin
her x,y elemanı için
[ x, [y,z]] = [[x,y],z] – [[x,z],y]
olacak şekildeki Leibniz özdeşliği sağlanıyorsa L bir sağ Leibniz cebiri ve
eğer L nin her x,y elemanı için
[[ x,y ], z] = [ x,[ y,z]] – [ y,[x,z]]
özdeşliği sağlanıyorsa L bir sol Leibniz cebiridir.
Her Lie cebiri bir Leibniz cebiridir. Eğer bir Leibniz cebiri [x,x]=0
antikomutatiflik özelliğine sahipse o zaman Leibniz özdeşliği
[[ x,y ],z] + [[ y,z ],x] + [[ z,x ],y] = 0
şeklindeki Jacobi özdeşliğine indirgenebilir. Böylece Lie cebirleri , Leibniz
cebirlerinin özel bir durumudur.
Bu çalışmada sadece sağ Leibniz cebirleri göz önünde bulundurulacaktır.
Örnek 2.1 : Her Lie cebiri bir Leibniz cebiridir.
Örnek 2.2 : L bir birleşmeli cebir, P, End(L) de P 2 = P olacak şekildeki
bir dönüşüm ve
P(aP(b)) = P(a).P(b)
P(P(a).b) = P(a).P(b)
olsun.
y∈ L için P(y) yi ,
y ile gösterelim. L üzerinde
2
2- TEMEL TANIM ve TEOREMLER
Aslıhan KARAÇİÇEK
[x,y] = x y - y x olacak şekilde
bir dönüşüm tanımlayalım.
Bu durumda L nin bu dönüşümle Leibniz cebiri olduğunu gösterelim:
[x,[y,z]] = [[x,y],z] – [[x,z],y]
Leibniz eşitliği sağlanmalıdır.
[x,(y z - z y)] – [(x y - y x),z] + [(x z - z x),y] =
=x.( y z − z y ) - ( y z − z y ).x – (x y - y x). z + z .(x y - y x) + (x z - z x). y - y .(x z - z x)
=x.( y z - z y ) - ( y z - z y ).x - x y z + y x z + z x y - z y x + x z y - z x y yxz+y zx
=x y z - x z y - y z x + z y x - x y z + y x z + z x y - z y x + x z y - z x y yxz+y zx
=0
O halde [ , ] braket dönüşümü altında L bir Leibniz cebiridir. Özel olarak P birim
dönüşüm alınırsa Lie cebiri elde edilir.
Tanım 2.3: K bir cisim, L , K üzerinde bir Leibniz cebiri , H, L nin bir alt
kümesi olsun .
1. ∀ x,y ∈H ve ∀ a,b ∈K için
ax + by ∈ H
dir.
2. ∀ x,y ∈H için [x,y] ∈H ise H ye , L nin bir alt Leibniz cebiri denir.
3
2- TEMEL TANIM ve TEOREMLER
Aslıhan KARAÇİÇEK
Tanım 2.4: K bir cisim , L , K üzerinde bir Leibniz cebiri , H L nin bir alt
Leibniz cebiri olsun. ∀ x∈H , ∀ y ∈L için [ x,y ] ∈H ve [ y,x ] ∈H ise H ye L
nin iki yanlı ideali denir.
Tanım 2.5: φ : L → L bir lineer dönüşüm olsun. Her x,y ∈ L için
φ ([x,y]) = [φ (x),φ (y)]
ise φ bir Leibniz cebiri homomorfizmidir.
Tanım 2.6: L bir Leibniz cebiri ve d: L → L bir lineer dönüşüm olsun. Her
x,y ∈ L için
d([x,y]) = [ d(x),y ] + [ x,d(y) ]
ise d ye L Leibniz cebirinin bir türev dönüşümü denir.
2.1 Leibniz Cebirlerinin Temsilleri
R bir halka ve L bir Leibniz cebiri , a bir modül olsun . a ⊕ R L ( R-modül ) direk
toplamı Jacobi özdeşliğini sağlasın.
a 1 ,a 2 ,a 3 ∈a ,
x 1 ,x 2 ,x 3 ∈L olmak üzere
[[a 1 +x 1 ,a 2 + x 2 ],a 3 + x 3 ] = [a 1 + x 1 ,[ a 2 + x 2 , a 3 + x 3 ]]- [a 2 + x 2 ,[ a 1 + x 1 , a 3 + x 3 ]
d+
d−
(0)
(0)
(x)a = [x,a]
(x)a = - [a,x]
olarak tanımlansın.
4
2- TEMEL TANIM ve TEOREMLER
Tanım 2.1.1: Eğer
(0)
d+
Aslıhan KARAÇİÇEK
aşağıdaki üç aksiyomu sağlarsa L Leibniz cebirinin
bir temsilidir denir.
i) d +
ii) d −
(0)
([x,y]) = d +
(0)
([x,y]) = d +
(0)
(0)
(x). d +
(0)
(x). d −
(y) - d +
(0)
(y) - d −
(0)
(y). d +
(0)
(y). d +
(0)
(x) , x,y ∈L
(0)
(x) , x,y ∈L
Buradan sonuç olarak (ii) den
iii) d −
(0)
(y). d +
(0)
(x) = d −
(0)
(y). d −
(0)
(x) , x,y ∈L
dir.
Tanım 2.1.2: d ( 0 ) = d +
(0)
= d−
(0)
olan bir tek temsil vardır.
d ( 0 ) [x,y] = d ( 0 ) (x). d ( 0) (y) - d ( 0) (y). d ( 0) (x)
Bu temsile çift temsil diyebiliriz
Örnek 2.1.3: a = L ve
d ( 0) (x)y = [x,y]
alalım. Bu temsile adjoint temsili denir ve
ad + (x)y = [x,y]
-ad − (y)x = [x,y]
olduğundan ad + (x)y veya -ad − (y)x
şeklinde gösterilir.
5
, x,y ∈L
2- TEMEL TANIM ve TEOREMLER
Aslıhan KARAÇİÇEK
2.2 Leibniz Cebirlerinin Nilpotentliği
Bir L Leibniz cebiri verildiğinde aşağıdaki seriler tanımlanabilir
(a) L ⟨1⟩ = L , L ⟨ n +1⟩ = [L ⟨ n ⟩ ,L ] ;
(b) L [1] = L , L [ n +1] = [L [n ] , L [n ] ] ;
(c) L 1 = L , L n +1 = [L 1 , L n ] + [L 2 ,L n−1 ] + ………+ [L n−1 , L 2 ] + [L n , L 1 ] .
Tanım 2.2.1:
a) Bir L Leibniz cebiri eğer bir s∈N için L ⟨ s ⟩ = 0 oluyorsa sağ nilpotent olarak
isimlendirilir.
b) Bir m∈N için L [m ] = 0 oluyorsa L çözülebilirdir. Bu tamsayıların en küçüğüne
çözülebilirlik indeksi denir.
c) n∈N için eğer L n = 0 ise L ye nilpotent denir. Bu şekildeki en küçük sayıya
nilpotentlik indeksi denir.
6
3. SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
3. SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİ
X boş olmayan bir küme L bir Leibniz cebiri ve i: X → L bir fonksiyon
olsun. Eğer her A Leibniz cebiri ve α : X → A dönüşümü için
i
X → L
[η
α ↓
A
α =η i olacak şekilde bir tek
η : L → A Leibniz homomorfizmi varsa ( L, i )
çiftine X üzerinde bir serbest Leibniz cebiri denir.
X kümesi üzerinde bir serbest Leibniz cebiri inşaa edelim:
n −1
X1 = X , X n =
∞
U (X p x X n− p ) ve M(X) = U X n
n =1
p =1
olsun.
a ∈ X p , b ∈ X q ve (a,b) ∈ X p x X q olacak şekilde p ve q tamsayıları vardır.
X p x X n− p den X n ’ e olan içine dönüşümler altında (a,b) nin görüntüsü a.b olsun.
X p x X n− p → X n
(a,b)
→ a.b
Böylece her a,b ∈ M(X) için a.b tanımlanabilir.
a ∈ X p olacak şekildeki p tamsayısına a nın uzunluğu denir ve l (a) ile gösterilir.
l (a) = p dir.
Uzunluğu 1 olan elemanlar X in elemanlarıdır. Uzunluğu ≥ 2 olan elemanlar
c = (ab) şeklindeki elemanlardır.
l (ab) = l (a) + l (b) dir.
7
3. SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
K herhangi bir cisim olsun. K üzerinde bazı M(X) olan bir vektör uzayı
düşünelim.Yani M(X)
in elemanlarının bütün lineer toplamlarını alıp bir vektör
uzayına genişletelim. Böylece K üzerinde birleşmeli olmayan bir serbest cebir inşaa
edilmiş olup bu cebire N(X) diyelim. I , N(X) in aşağıdaki formda olan elemanlar
tarafından üretilen iki yanlı ideali olsun.
L(abc) = (a(bc)) - ((ab)c) + ((ac)b)
O zaman
N(X )
= L(X)
I
X üzerinde bir serbest Leibniz cebiridir.
X kümesine L(X) in serbest üretici (doğuray) kümesi denir.
Tanım 3.1: A bir sağ, B bir sol R-modül ve G bir abelyen grup ise T: AxB → G
fonksiyonu
1. T(a 1 +a 2 ,b) = T(a 1 ,b) + T(a 2 ,b) , ∀ a i ∈A , ∀ b∈A
T(a 1 , b 1 +b 2 ) = T(a 1 ,b 1 ) + T(a 1 ,b 2 ) , ∀ a∈A , ∀ b i ∈A
ise T bilineerdir.
2. Eğer T(ar,b) = T(a,rb) , ∀ r∈R , ∀ a∈A , ∀ b∈B ise T dengelidir.
Tanım 3.2: R bir halka, A bir sağ, B bir sol R-modül olsun. A ⊗ R B ( eğer varsa),
h: AxB → A ⊗ R B bilineer ve dengeli fonksiyonu var olsun öyleki her C abelyen
T
grubu ve her AxB 
→ C bilineer ve dengeli fonksiyonu için bir tek
T :AxB → C grup homomorfizmi vardır öyleki
8
3. SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
T
AxB 
→C
h]
[T
A ⊗R B
değişimli ise (A ⊗ R B, h ) tensör çarpımıdır.
Önerme 3.3: V, X bazı ile bir vektör uzayı olsun.
T (V) = V ⊕ V ⊗2 ⊕ V ⊗3 ⊕ V ⊗4 ⊕ ………. ⊕ V ⊗n ⊕ ………
tensör modülü aşağıda tanımlanan özellikler ile V üzerinde serbest Leibniz cebiridir.
i) [x,v] = x ⊗ v
, x ∈ T (V) , v ∈ V
ii) [ x,y ⊗ v] = [x,y] ⊗ v - [x ⊗ v,y]
x,y ∈ T (V) ve v ∈ V
İspat : İspata öncelikle T (V) nin bir Leibniz cebiri olduğunu göstererek başlayalım.
R bir halka T (V) bir R-cebir olsun.
T (V) = V ⊕ V ⊗2 ⊕ V ⊗3 ⊕ V ⊗4 ⊕ ………. ⊕ V ⊗n ⊕ ………
A 0 =V, A 1 =V ⊗2 ,………., A n =V ⊗ ( n+1) olmak üzere A m .A n ⊆ A m + n olduğundan
T (V)
derecelendirilmiş cebirdir.
Dolayısıyla
tümevarımla gösterilir. Sağdan
çarpılan elemana z diyelim. Tümevarımda her
z ∈ V ⊕ V ⊗2 ⊕ V ⊗3 ⊕ V ⊗4 ⊕ ………. ⊕ V ⊗n −1
için Leibniz bağıntısı sağlansın.
9
3. SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİ
Yani
Aslıhan KARAÇİÇEK
x,y∈ T (V) , z ∈ V ⊕ V ⊗2 ⊕ V ⊗3 ⊕ V ⊗4 ⊕ ………. ⊕ V ⊗n −1 için
[ x, [y,z]] = [[x,y],z] – [[x,z],y]
dir.
Şimdi z ∈ V ⊗n alalım. t ∈ V ⊗n −1 , v ∈ V için z = t ⊗ v , düşünebiliriz. (ii) yi
kullanalım. Bu durumda
* [ x, [y,z]] = [x,[y,t ⊗ v]] = [x,[y,t] ⊗ v] – [x,[y ⊗ v ,t]]
= [x,[y,t]] ⊗ v – [x ⊗ v,[y,t]] – [[x,y ⊗ v],t] + [[x ⊗ t],y ⊗ v]
= [x,[y,t]] ⊗ v - [x ⊗ v,[y,t]] – [[x,y ⊗ v],t] + [[x ⊗ t],y] ⊗ v – [[x ⊗ t] ⊗ v,y]
dir.
** [[x,y],z] =[[x,y],t ⊗ v] = [[x,y],t] ⊗ v – [[x,y] ⊗ v,t]
= [[x,y],t] ⊗ v – [[x,y ⊗ v],t] – [[x ⊗ v,y],t]
ve
*** [[x,z],y] = [[x,t ⊗ v],y] = [[x ⊗ t] ⊗ v,y] – [[x ⊗ v,t],y]
olduğundan
[ x, [y,z]] - [[x,y],z] + [[x,z],y] = 0 eşitliğini ( Leibniz eşitliği ) elde etmek için
elemanları yerine yazıp gerekli sadeleştirmeleri yaptığımızda
[ x, [y,z]] - [[x,y],z] + [[x,z],y] = [x,[y,t]] ⊗ v- [x ⊗ v,[y,t]] + [[x ⊗ t],y] ⊗ v–
[[x,y],t] ⊗ v– [[x ⊗ v,y],t]-[[x ⊗ v,t],y]
eşitliğini elde ederiz. Buradan ⊗ v ortak parentezine alırsak
=( [x,[y,t]] + [[x,t],y] – [[x,y],t] ) ⊗ v – ( [x ⊗ v,[y,t]] – [[x ⊗ v,y],t]+ [[x ⊗ v,t],y] )
elde edilir. x,y∈ T (V) , t ∈ V ⊗n −1 için Leibniz özdeşliği sağlandığından parantez
içleri 0 olmalıdır. Böylece
[ x, [y,z]] - [[x,y],z] + [[x,z],y] = 0
10
3. SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
dır. Leibniz özdeşliği sağlanır.
Şimdi de üniversal özelliği sağladığını gösterelim :
i: V → T (V) olacak şekilde içine bir dönüşüm ve φ : V → B (B bir Leibniz cebiri)
olsun. Öyle bir
f: T (V) → B dönüşümü vardır ki
i
V 
→
T (V)
[f
φ ↓
B
φ =fi
dir.
f yi şu şekilde tanımlayalım;
f(v) = φ (v)
f(v 1 ⊗ v 2 ⊗ …….. ⊗ v n ) = [f(v 1 ⊗ v 2 ⊗ …….. ⊗ v n −1 ) , f(v n )]
B deki [ , ] tanımı ile B bir Leibniz cebiridir.
f((v 1 ⊗ v 2 ⊗ …….. ⊗ v n −1 ) ⊗ v n ) = f([v 1 ⊗ v 2 ⊗ …….. ⊗ v n −1 , v n ]) ((i) den)
= [f(v 1 ⊗ v 2 ⊗ …….. ⊗ v n −1 ),f(v n )]
= f[….[[v 1 ,v 2 ],v 3 ],v 4 ],….v n −1 ],v n ]
olur. B Leibniz cebiri olduğundan , f (ii) özelliğini sağlar.
f([ x,y ⊗ v]) = f([x,y] ⊗ v) - f( [x ⊗ v,y] )
dir. Böylece T (V) evrenseldir ve buradan T (V) = L(V) diyebiliriz. Yani T (V),
V üzerinde serbest Leibniz cebiridir.
11
3. SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
3.1 Temsiller
i
j
→ M 
→ h 
→ g 
→0
Im i = Ker j olmak üzere 0 
Leibniz cebirlerinin
bir tam dizisi ve [M,M]=0 olsun. O zaman
[ - , - ] : LxM → M
ve
[ - , - ] : MxL → M
dönüşümleri her m ∈ M ve x,y ∈ L için aşağıdaki üç aksiyomu sağlar :
(M L L)
[m , [x,y]] = [[m,x] , y] – [[m,y] , x]
(L M L)
[x , [m,y]] = [[x,m] , y] – [[x,y] , m]
(L L M)
[x , [y,m]] = [[x,y] , m] – [[x,m] , y]
Son iki aksiyom taraf tarafa toplanırsa
(ZD)
[x , [m,y]] + [x , [y,m]] = 0
elde edilir.
(0)
R x (y) = - d − (x)(y) = [y,x]
(0)
L x (y) = d + (x)(y) = [ x,y]
(0)
(0)
olmak üzere R x = - d − (x) ve L x = d + (x) alalım.
Buradan
R [ x , y ] (m) = [m , [x,y]] = [[m,x] , y] – [[m,y] , x]
= ( R x R y - R y R x ) (m)
L [ x , y ] (m) = [[x,y] , m] = [x , [y,m]] + [[x,m] , y]
= - [x , [m,y]] + [[x,m] , y]
= (- R y L x + L x R y ) (m)
= ( L x R y - R y L x ) (m)
12
( ZD den )
3. SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
dir. Her m ∈ M için sağlandığından
R [ x, y] = R x R y - R y R x
L [ x, y] = L x R y - R y L x
olur. Bu durumda ( ZD) den ( R y + L y ).L x = 0 elde edilir. Buradan
(Rx + Lx ).Ly =0
dır. Böylece
([m,x] + [x,m]) . [y,m] = 0
olur.
3.2 Evrensel Enveloping Cebir
L l ve L r Leibniz cebiri olsunlar. x ∈ L iken L x ∈ L l ve R x ∈ L r
olsun.
Burada L x ve R x ’ e , x üzerindeki sağ ve sol çarpımlarla evrensel dönüşümler
denir .
T( L l ⊕ L r ) tensör k-cebiri ( birleşmeli ve birimli ) verilsin. I aşağıdaki
özellikler ile iki yanlı bir ideali olsun. x,y ∈ L olmak üzere
i) R [ x , y ] = R x R y - R y R x
ii) L [ x , y ] = L x R y - R y L x
iii) ( R x + L x ) . L y = 0
O zaman
UL(L) = T( L l ⊕ L r )
I
bölüm cebiri L Leibniz cebirinin üniversal enveloping cebiridir. Birleşimli ve
birimlidir.
13
3. SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
M, L nin bir temsili olsun. M, k-modülü üzerinde UL(L) nin sağ etkisi
aşağıdaki gibi tanımlansın. L l ve L r nin M üzerindeki etkisi
m L x = [x,m]
m R x = [m,x]
olsun.
Bu etkiler ile T( L l ⊕ L r ) nin üzerine etkisi genişletilirse (i) ve (ii) tanımları
elde edilir. Daha önce (M L L) , (L M L) ve (L L M) aksiyomları ile gösterdik.
(L M L) ve (L L M) eşitliklerinden (ZD) elde edildi. Böylece M , UL(L)-sağ modül
yapılmış oldu.
L 0 , L Leibniz cebirinin [x,x] ( x ∈ L ) elemanları tarafından doğrulmuş bir
ideali olsun. Böylece L = L
L0
bölüm cebiri bir Lie cebiridir.
x ile x ∈ L nin L → L kanonik homomorfizmi altındaki görüntüsünü
göstereceğiz. Bu homomorfizmi kullanarak
: UL(L) → U( L )
homomorfizmini elde ederiz. Burada U( L ), L Lie cebirinin universal enveloping
cebiridir ve L , U( L ) nin bir alt cebiridir. O zaman
Rx
= x
Lx
=- x
dir. Her x ∈ L için δ ( x ) = R x şeklinde tanımlanan
δ : U( L ) → UL(L)
dönüşümünü alalım. Burada δ ( x ) = R x = x
14
olduğundan U( L ),
UL(L) nin bir
3. SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
alt cebiridir. UL(L) cebiri 1 ve L x elemanlarını içeren bir bazı ile U( L ) serbest
sağ modülüdür. (ii) ve (iii) den
L [ x, y] = L x R y + L y L x
x ∈ L için
x,y ∈ L
(- R y = L y )
(1)
d(x) = L x şeklinde verilen
d : L → UL(L)
dönüşümünü tanımlayalım.
(1) den
d( [x,y] ) = L [ x , y ] = L x R y + L y L x
= d(x) R y + d(y) L x , x,y ∈ L
Burada d dönüşümü L cebirinin türevidir.
I L = { L x : x ∈ L }. UL(L)
olsun. I L , x ∈ L olmak üzere L x elemanları tarafından doğrulan UL(L)
cebirinin bir sağ idealidir. d : L → I L dönüşümü , L Leibniz cebirinin evrensel
türevidir. Eğer H, L Leibniz cebirinin bir alt cebiri ise o zaman
J H = { L x : x ∈ H }. UL(L)
kümesini elde edebiliriz.
3.3 Alt Cebirlerin Diferansiyelle Belirlenmesi
Teorem 3.3.1: x , L Leibniz cebirinin bir elemanı ve H , L nin bir alt cebiri olsun.
O zaman x ∈ H olması için gerek ve yeter koşul d(x) ∈ J H olmasıdır.
15
3. SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
İspat: A, B, C, E , L Leibniz cebirinin aşağıdaki özellikleri sağlayan alt kümeleri
olsun.
1) A , L 0 ∩ H alt uzayının bir bazı
2) A ∪ B , H nin bir bazı
3) A ∪ C , L 0 ın bir bazı
4) A ∪ B ∪ C ∪ E , L nin bir bazı
A∪ B∪ C∪ E
alt kümeleri üzerinde bir lineer sıralama düşünelim.
a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C, e ∈ E için a ⟨ b ⟨ c ⟨ e ve
B = { b : b∈ B }
E = { e : e∈ E }
olsun.
B ∪ E alt kümesi I nın bir bazıdır. Poincare-Birkhoff –Witt
teoremine göre :
b i1 ≤ b i 2 ≤ ………… ≤ b in , e j1 ≤ e j 2 ≤ ……….. ≤ e js
olmak üzere
w= b i1 b i 2 ….. b in e j1 e j 2 ….. e js
(1)
U( L ) nin bir bazı şeklindedir.
x ∈ A ∪ B ∪ C ∪ E ve w , (1) deki gibi olmak üzere
Lxw
(2)
I L alt uzayının bir bazıdır. Buradan I L alt uzayı
{ L x : x ∈ A ∪ B ∪ C ∪ E}
bazı ile serbest U( L ) - modülüdür.
(1) ve (2) deki kelimeler UL(L) cebirinin bir bazı J H , UL(L) nin
16
3. SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
L x , x∈ A ∪ B
(3)
elemanları tarafından doğrulan sağ idealidir.
Burada J H , sağ- U( L ) modülü L x ve L x L y elemanları tarafından
doğrulmuştur. Burada x ∈ A ∪ B ve y ∈ A ∪ B ∪ C ∪ E dir.
x,y ∈ L için
L [ y , x ] = L y R x + L x L y idi. Buradan
L x L y = - L y R x + L [ y , x ] = - S(x,y)
S(x,y) = L y x - L [ y , x ]
elde edilir.
Eğer x ∈ A ise x=[z,z] , z ∈ H ve R [ z , z ] =R z R z - R z R z = 0 dir. Buradan R x =0 ve
L [ y , x ] = L [ y ,[ z , z ]] = - [ y ,[ z , z ]]
= - ( [[ y , z ], z ] − [[ y, z ], z ] )
=0
olduğundan L x L y = 0 dır.
A ∪ B alt kümesi H alt cebirinin bir bazı olduğundan y∈ A ∪ B için L x L y
elemanı ( 2 ) formundaki elemanlar tarafından üretilen
U( L ) alt modülüne
aittir. (2) deki elemanlar ve
S(x,y) , x ∈ B , y ∈ C ∪ E
(4)
elemanları J H , U( L ) - modülünü üretir.
U( L ) cebiri B ∪ E alt kümeleri tarafından üretilir ve aşağıdaki bağıntıya sahiptir.
x z - z x - [ x, z ] = 0 , x,z ∈ B ∪ E , x ⟩ z
(5
( 1 ) ve ( 2 ) de ki ifadeler üzerinden bir lineer sıralamayı öncelikle uzunlukları ve
alfabetik sıralamaya göre düşünelim.
17
3. SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
(3) ve (4) deki elemanları kullanarak ( Bahturin ve ark.(1992) , Bokut ve ark.(1994)
Mikhalev ve ark.(1995) )
t= S(x,y) z - L y ( x z - z x - [ x, z ] ) , x ∈ B , y ∈ C ∪ E
dir. (4) den
x⟩ z
, z∈ B
t= S(x,y) x + S( x, [y,z]) + S( [x,z] ,y) + S( z, [x,y])
şeklindedir.
Eğer f ∈ J H ise o zaman
L x , x ∈ A ∪ B ve
L y x , x∈ B , y ∈ C ∪ E
kelimelerinin her biri f nin en uzun kelimesinin alt kelimesidir. Böylece eğer
L x ∈J H
ise L x elemanı (3) deki elemanların lineer kombinasyonudur. Böylece
x ∈ H dir.
Tanım 3.3.2: L , X = { x 1 , x 2 ,….,x n } kümesi üzerinde bir serbest Leibniz
cebiri A da X tarafından üretilen serbest birleşmeli cebir olsun. ε : A → k , 1 ≤ i ≤ n
için ε (x i ) = 0 olacak şekilde tanımlanan homomorfizme genişletme homomorfizmi
denir. Bu homomorfizmin çekirdeği, bazı X olan bir serbest sol A-modüldür. Bu
modülü ∆ ile gösterelim. Her u ∈ ∆ elemanı
n
u=
∂u
∑ ∂x x
i =1
i
formunda tek bir
i
şekilde yazılabilir. u nun { x 1 , x 2 ,….,x n } bazına göre koordinatları olan
elemanları Fox türevleri olup bu türevler aşağıdaki şekilde tanımlanır
Tanım 3.3.3: Aşağıdaki koşulları sağlayan
∂
:A → A
∂x i
dönüşümleri Fox türevleri olarak adlandırılır.
18
(1 ≤ i ≤ n )
∂u
∂x i
3. SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİ
1-
∂x j
∂xi
Aslıhan KARAÇİÇEK
= δ ij ( Kronecker delta )
2- Her u,v ∈ A ve α , β ∈ k için
3- Her u,v ∈ A için
∂
∂u
∂v
( αu + β v ) = α
+ β
∂xi
∂x i
∂x i
∂
∂u
∂v
(uv) =
. ε (v) + u
∂x i
∂x i
∂x i
Bu tanımın açık bir sonucu olarak
∂ (1)
= 0 dır.
∂x i
Fox türevleri ile ilgili daha ayrıntılı bilgiler ( Fox , 1952 ) de bulunabilir.
Tanım 3.3.4: A , X = { x 1 , x 2 ,….,x n } tarafından üretilen serbest birleşmeli
cebir ve Y = { y 1 , y 2 ,….,y m } ⊂ A olsun . Y nin Jacobian matrisi
 ∂y1
 ∂x
 1
M
JY = 
 M
 ∂y m

 ∂x1
∂y1 
∂x n 

M M
M 
M M
M 
∂y m 
L L

∂x n 
L L
şeklinde bir mxn matristir.
Teorem 3.3.5: L , { x 1 ,….,x n } serbest doğuray kümesi ile birlikte bir serbest
Leibniz cebiri ve ψ , L nin bir endomorfizmi olsun. O zaman ψ , L nin bir
otomorfizmidir ancak ve ancak J( Ψ ) = J( Ψ (x 1 ),…….., Ψ (x n )) Jacobian matrisi
UL(L) üzerinde tersinirdir.
İspat: L , { x 1 , x 2 ,….,x n } serbest üreteçleri ile bir serbest Leibniz cebiri ve I L
{y 1 , y 2 ,….,y n } bazı ile serbest UL(L) modülü olsun.
19
3. SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
d : L → IL
d(x i ) = y i , 1 ≤ i ≤ n
ve d(ab) = d(a)R b + d(b)L a
, a,b ∈ L
lineer dönüşümüne L nin evrensel türevi denir.
n
d(f) =
∑y
i =1
∂ (f) ile
(
∂f
∂f
…….
∂x1
∂x n
)T
i
∂f
∂xi
,
∂f
∈ UL(L)
∂x i
sutununu gösterelim.
Burada f 1 ,f 2 ,…..,f n , L nin elemanları olsunlar.
J(f 1 ,f 2 ,…..,f n ) ile bu elemanların ( ∂ (f 1 ),……, ∂ (f n ) ) Jacobian matrisini
gösterelim. Eğer H , L nin bir alt cebiri ise o zaman J H = d(H) dır.
Teorem3.3.1 den her x ∈ L için x ∈ H olması için gerek ve yeter koşul d(x) ∈ J H
olmasıdır.
20
4. İKİ ÜRETEÇLİ SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİN
OTOMORFİZMLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
4. İKİ ÜRETEÇLİ SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİNİN
OTOMORFİZMLERİ
X= {x 1 ,x 2 } olmak üzere L ⟨ x 1 ,x 2 ⟩ = A, X tarafından üretilen iki
üreteçli serbest Leibniz cebiri olsun.
A nın bir bazı
[[[ x i1 , x i2 ] , x i3 ] ,……., x ik ], i j = 1,2 , 1 ≤ j ≤ k
şeklindedir.
UL(A) , A nın evrensel enveloping cebiri olsun.
A cebiri
a.r b = [ a,b ]
a.l b = [ b,a ] , a,b ∈ A
şeklinde verilen bir UL(A) – modül dür. Ann(A) = { [ a,a ] / a ∈ A }
ve Ann(A) < A olsun.
O zaman r a = 0 olması için gerek ve yeter koşul a ∈ Ann(A) olmasıdır.
L Lie = A
Ann(A)
iki üreteçli serbest bir Lie cebiridir. Burada serbest üreteçler olarak
x 1 ve x 2 alalım. A nın bir f elemanı için l (f) ile f nin derecesini gösterelim
f , f nin en uzun homojen bileşeni ve f , f nin lineer bileşeni olsun. A nın
ϕ (x 1 ) = f 1 ve
ϕ (x 2 ) = f 2
şeklinde tanımlanan bir ϕ otomorfizmi
ϕ = ( f1 , f 2 )
ile gösterilecektir. ϕ = ( f 1 , f 2 ) otomorfizminin derecesi
21
4. İKİ ÜRETEÇLİ SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİN
OTOMORFİZMLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
l ( ϕ ) = l (f 1 ) + l (f 2 )
şeklindedir. a 1 ,a 2 ,…..,a k ∈ A elemanları tarafından üretilen A nın alt cebirini
⟨ a 1 ,a 2 ,…..,a k ⟩ ile gösterelim.
Aut(A) ile A nın tüm otomorfizmlerinin grubunu gösterelim. A m , m üreteçli
serbest Leibniz cebiri olsun.
Önerme 4.1: A nın
ϕ = ( f 1 , f 2 ) otomorfizmi için f i - f i ∈ Ann(A),
i = 1,2 şeklindedir.
İspat :
İki üreteçli serbest Lie cebirlerinin otomorfizmleri taşınabilirdir.
A m , m üreteçli serbest Leibniz cebiri olsun. m=2 için Aut A2 ≅ GL 2 dir.
L
L0
ın bir ϕ otomorfizmi L nin bir otomorfizmine taşınabiliyorsa buradaki
ϕ ye taşınabilir otomorfizm denir.
İki üreteçli serbest Lie cebirlerinde otomorfizmler lineer otomorfizmlerdir.
Dolayısıyla A nın ϕ otomorfizmi L Lie nin bir lineer otomorfizmini belirler.
x 1 → f 1 = f 1 + [ x,x ]
x 2 → f 2 = f 2 + [ x,x ]
Böylece f i - f i ∈ Ann(A) , i = 1,2 olacaktır.
Önerme 4.2: ( f 1 , f 2 ) A nın bir otomorfizmi , T(x) ∈ L ⟨ x ⟩ elemanının
derecesi l(T(x)) = k olsun. O zaman l (T(f 1 )) = l (f 1 ) + k-1 dir.
22
4. İKİ ÜRETEÇLİ SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİN
OTOMORFİZMLERİ
İspat : T(x) =
k −1
∑α
i =0
i
Aslıhan KARAÇİÇEK
α i ∈ K , α k −1 ≠ 0 olsun
x r ix
Bir önceki teoremden f i - f i ∈ Ann(A) olduğunu biliyoruz.
O zaman
r
f1 − f1
= 0 dır.
0 ≠ a ∈ A olmak üzere
ar
f1 − f1
=0
0 = [ a, f 1 - f 1 ] = [ a, f 1 ] – [ a , f 1 ]
= a r f1 - a r
f1
= a (r f1 - r )
f1
O halde r f1 - r = 0 dolayısıyla r f1 = r
f1
k −1
T(f 1 ) =
k −1
∑ α i f 1 r if1 =
∑α
i =0
i =0
i
f1
dir.
f1 r i
f1
T ( f 1 ) = α k −1 f 1 r k −1
f1
= α k −1 f 1 (r
f1
r
f1
r ….. r )
f1
f1
( k-1 tane r )
f1
= α k −1 […..[[[ f 1 , f 1 ], f 2 ],….]
(k-1 uzunluk)
= l (f 1 ) + k-1
Böylece
l (T(f 1 )) = l (f 1 ) + k-1 dir.
23
4. İKİ ÜRETEÇLİ SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİN
OTOMORFİZMLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
4.1 Basit otomorfizmler
Tanım 4.1.1: I bir indis kümesi ve Z= { f i : i ∈ I }
L nin bir alt kümesi
olsun. Aşağıdaki ϕ dönüşümüne Z nin bir elemanter dönüşümü denir.
ϕ : f i0 → α f i0 + g
→
fi
Burada 0 ≠ α ∈ K
fi ,
, i0∈ I
i∈
I
{i0 }
g ∈ ⟨ { f i : i ∈ I } ⟩ dir.
Eğer { f 1 , f 2 } ye elemanter dönüşüm uygulandığında { g 1 , g 2 } elde ediliyorsa
(f 1 , f 2 ) → (g 1 , g 2 ) şeklinde yazarız.
Eğer (f 1 , f 2 ) A nın bir taşınabilir otomorfizmi ise o zaman
( x 1 , x 2 ) = (f 1 (0 ) , f 2
(0)
) → (f 1 (1) , f 2
(1)
) → ……..(f 1 (k ) , f 2
(k )
) → (f 1 , f 2 )
şeklinde elemanter otomorfizmlerin bir serisi vardır
Tanım 4.1.2: (f 1 , f 2 ) A nın bir otomorfizmi olsun. Eğer 0 ≠ α ∈ K ,
g ∈ ⟨ f 2 ⟩ için
l ( α f 1 + g) ⟨ l (f 1 ) ise f 1 elemanı indirgenebilirdir. Yada
( α f 1 + g, f 2 ) otomorfizmi tarafından f 1 indirgenebilirdir.
Tanım 4.1.3: A nın basit otomorfizmlerini derece üzerinde tümevarım yapılarak
aşağıdaki gibi tanımlayabiliriz .
1- A nın lineer otomorfizmleri basittir.
2- Varsayalım ki derecesi k dan küçük basit otomorfizmler tanımlanmış
olsun. A nın derecesi k olan bir (f 1 , f 2 ) otomorfizmi eğer f 1 veya f 2 bir basit
otomorfizm tarafından indirgenebilirse basittir.
(f 1 , f 2 ) otomorfizminin bir f i elemanı eğer bir basit otomorfizm tarafından
indirgenebilirse o zaman f i ye basit indirgenebilir denir.
24
4. İKİ ÜRETEÇLİ SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİN
OTOMORFİZMLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
Teorem 4.1.4: A = L ⟨ x 1 , x 2 ⟩ serbest Leibniz cebirinin taşınabilir otomorfizmleri
basittir.
İspat : Varsayalım ki bu otomorfizmler basit olmasın. O zaman (f 1 ,f 2 ) A nın
taşınabilir otomorfizmi olduğundan
( x 1 , x 2 ) = (f 1 (0 ) , f 2
(0)
) → (f 1 (1) , f 2
ϕ (f 1 ( k +1) , f 2
serisi vardır. Burada
ϕ i = (f 1 (i ) ,f 2
(i )
(1)
) → ....(f 1 (k ) , f 2
( k +1)
(k )
) → (f 1 ( k +1) , f 2
( k +1)
) (1)
) basit olmasın. Aynı zamanda
) 1 ≤ i ≤ k otomorfizmleri basit olsun. Bu şekildeki tüm dizilerin
kümesini M ile gösterelim.
l ( ϕ k ) = l ( f 1 (k ) ) + (f 2
(k )
)
ile (1) dizisinin kontrol sayısını söyleyelim. ϕ nin bir basit otomorfizm olduğunu
gösterelim.
(g 1 ,g 2 ) = (f 1 ( k −1) , f 2
( k −1)
)
,
(f 1 ,f 2 ) = (f 1 (k ) , f 2
(k )
)
olsun.
Varsayalım ki
f 1 = f 1 ( k +1)
, f2
ϕ k basit olduğundan f
Varsayalım ki
1
( k +1)
= f = f 2 + g , g = T(f 1 ) ∈ ⟨ f 1 ⟩
(2)
veya f 2 , ϕ k tarafından basit indirgenebilirdir.
f 2 basit indirgenebilir olsun. O zaman f 2 nin ϕ ( k −1) tarafından
indirgenebilir olduğunu varsayalım.
(g 1 ,g 2 ) → (g 1 , g 2 + S(g 1 ))
 f 2 = g 2 + S ( g1 ) 




 g = f − S(g ) 
2
1 
 2
25
4. İKİ ÜRETEÇLİ SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİN
OTOMORFİZMLERİ
O zaman
g 1 = f 1 , g 2 = f 2 - S(f 1 )
Aslıhan KARAÇİÇEK
l ( g 2 ) ⟨ l ( f 2 ) dir.
(1) dizisinin son iki otomorfizmi ( ϕ
ve ϕ
k
) aşağıdaki bir otomorfizmle
k +1
değiştirelim.
Böylece ϕ
k −1
= (g 1 ,g 2 ) → (g 1 , g 2 + S(g 1 ) + T(g 1 ))
 f 2 − S ( g1 ) + S ( g1 ) + T ( g1 ) 


 f 2 + T ( g1 )

 f2 + g



 ( f1 , f )

f1 , ϕ
k −1
tarafından indirgenebilir olsun.
l ( g1) ⟨ l ( f 1)
g 1 = f 1 - S(f 2 ) , g 2 = g 2
Eğer
l ( g) ⟩ l ( f 2 ) ise ϕ otomorfizminin bir f elemanı ϕ
(3)
k
basit
otomorfizmi tarafından indirgenebilirdir.
l ( g) ≤ l ( f 2 ) olduğunu varsayalım. Önerme 4.3 den
l ( g) = l ( T(f 1 )) = l (f 1 ) + l (T(x)) – 1 dir.
Aşağıdaki iki durumu inceleyelim:
•
l ( f 1 ) = l ( f 2 ) olursa l (T(x)) = 1 dir.
l (f 1 ) + l (T(x)) – 1 ≤ l (f 1 )
l (T(x)) ≤ 1 fakat
k −1
T(x) =
∑ α i x r ix
0
de k=1 alınırsa
i =0
∑α
i =0
i
x r ix
sadece x kalır.
l (T(x)) = 1 olur.
•
l ( f 1 ) ⟨ l ( f 2 ) olursa l (f 1 ) + l (T(x)) – 1 ≤ l (f 2 )
l (T(x)) – 1
l (f 2 ) - l (f 1 ) ⟩ 0 olduğundan
26
≤
l (f 2 ) - l (f 1 )
4. İKİ ÜRETEÇLİ SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİN
OTOMORFİZMLERİ
0 ⟨ l (T(x)) – 1
Aslıhan KARAÇİÇEK
l (f 2 ) - l (f 1 )
≤
l (T(x)) ⟩ 1 olur.
(3) dan
f 1 = S ( f 2 ) olduğundan l (f 2 ) ≤ l (f 1 ) dir.
l ( f 1 ) = l ( f 2 ) ve T(x) = α x , S(x) = β x α , β ∈ F ,
O halde sadece
g1 = f 1- β f
2
, f1 = β f 2 , f = f
2
+αf
durumlarını göz önünde
1
bulunduralım.
δ = 1 + αβ olsun.
O zaman f = f
2
+αf
eşitliğinin sağ tarafına αβ f
1
f = f 2 + αβ f 2 + α f 1 - αβ f
= ( 1 + αβ ) f
2
2
yi ekleyip çıkaralım.
2
elde edilir.
2
+ α(f- βf 2)
f = δ f 2 + α g 1 elde edilir.
Yukarıda tanımlanan f = f
+αf
2
1
den α f
βαf
Eşitliğin her iki tarafını β ile çarparsak
f
1
- f 1+ f 1+ β α f
ekleyip çıkarırsak
δ f
1
1
1
=f- f
=β f - β f
1
=β f - β f
= β f + f 1- β f
2
ve sol tarafa
2
2
g1
δ f
1
= β f + g 1 elde edilir.
Eğer δ ≠ 0 ise o zaman (1) da yazılan son iki dönüşüm değiştirilebilir.
ϕ
k −1
= (g 1 ,g 2 ) = (g 1 ,f 2 ) → (g 1 ,f ) → (f 1 , f ) = 0
l ( g 1 ) + l ( g 2 ) ⟨ l (ϕk )
olduğundan (g 1 ,f ) basit otomorfizmdir.
l ( g1) + l ( f ) ⟨ l ( f 1 ) + l ( f
2
) = l (ϕk )
olduğundan
ϕ basittir.
Eğer δ = 0 ise o zaman f = α g 1 dir.
f
= g 1 ve g 1 = f 1 - β f
α
2
den
f
= f 1- β f
α
2
f
+ β g2 = f
α
1
27
(f 2 = g 2 )
olur.
4. İKİ ÜRETEÇLİ SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİN
OTOMORFİZMLERİ
f 1=
1
f + β g2
α
Aslıhan KARAÇİÇEK
elde edilir.
( g , g 2 ) bir basit otomorfizm olduğundan ( α g , g 2 ) = ( f , g 2 ) de basit
otomorfizmdir. (g 2 , f ) de basittir.
Önerme 4.1.5 : ( f1 , f 2 ) , l ( f
1
) + l( f
2
) ⟩ 2 olan A nın taşınabilir
otomorfizmi olsun. O zaman i= 1,2 için ⟨ { f j : j ≠ i } ⟩ nin f i = g olacak
şekildeki bir g elemanı vardır.
İspat : 4.1.4 deki teoremden iki üreteçli serbest Leibniz cebirlerinin taşınabilir
otomorfizmleri basittir. Dolayısıyla ( f1 , f 2 ) otomorfizmi basittir. Varsayalım ki
f
1
indirgenebilir olsun . O zaman g ∈ ⟨ f 2 ⟩ için (f
dönüşümü vardır.f
1
1
- g , f 2 ) → ( f1 , f 2 )
indirgenebilir olduğundan l ( f1 - g ) ⟨ l ( f1 ) şeklindedir.
Bunun sağlanması için f
1
in en uzun elemanını g nin yok etmesi gerekir. O zaman
f i = g olmalıdır. f 2 indirgenebilir olduğunda da aynı durum geçerlidir.
Teorem 4.1.6 : (Mikhalev ve ark.(2001)) Eğer
K cismi constractive cisim ise o
zaman A nın otomorfizmlerinin taşınabilir (tame) ve taşınamaz (wild) olduğunu
söyleyen algoritmalar vardır.
İspat : Önerme 4.2 ‘ den 4.1.5 algoritmik olarak yazılabilir.
Önerme 4.1.5 bize bir A cebirinin bir taşınamaz ( wild) otomomorfizminin
serisinin yapısını verir. Aşağıdaki teoremde bir taşınamaz ( wild ) otomorfizminin
örneği verilmiştir.
Teorem 4.1.7 : A nın ( x 1 +[[ x 2 , x 2 ], x 1 ] , x 2 ) otomorfizmi taşınamaz (wild) dır.
İspat : f1 = x 1 +[[ x 2 , x 2 ], x 1 ] , f 2 = x 2 alalım.
28
4. İKİ ÜRETEÇLİ SERBEST LEİBNİZ CEBİRLERİN
OTOMORFİZMLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
f1 - f 1 ∈ AnnA olduğundan otomorfizmdir. (Önerme 4.1 den)
[[ x 2 , x 2 ],x 1 ] = g ve g ∈ ⟨ f 2 ⟩ olsun istiyoruz ancak [[ f 2 , f 2 ] , f1 - f1 ]
ve
f1 - f1 ∉ ⟨ f 2 ⟩ olduğundan böyle bir g yoktur. Böyle bir g yoksa bu otomorfizm
taşınamaz ( wild ) dır.
29
5. SERBEST SOL NİLPOTENT LEİBNİZ CEBİRLERİN
OTOMORFİZMLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
5. SERBEST SOL NİLPOTENT LEİBNİZ CEBİRLERİN
OTOMORFİZMLERİ
L m , {x 1 ,x 2 ,…..,x m } tarafından üretilen serbest Leibniz cebiri olsun. N ile
[x,[y,z]] = 0 özdeşliği ile sol nilpotent Leibniz cebirini gösterelim.
Lm
N
serbest sol nilpotent Leibniz cebiri olsun. Kısaca L m (N) =
Lm
N
alalım.
Leibniz özdeşliğinden her komütatörü sol normlu komütatörlerin bir lineer
kombinasyonuna indirgeyebiliriz.
Aşağıdaki notasyonu kullanalım:
[ x 1 ,……..x n −1 ,x n ] = [[x 1 ,……..x n −1 ], x n ]
Bir L Leibniz cebiri için L 1 =[ L,L ] dir.
Önerme 5.1: X= { x 1 ,……x m } olmak üzere L m (N) serbest sol nilpotent Leibniz
cebiri bir
{ x i , [ x i1 ,x i2 ,…..x ik ] : x i1 ,x i2 ,…..x ik ∈ X , x i2 ≤ ….. ≤ x ik , k= 2,3,……}
bazına sahiptir.
5.1 Otomorfizmler :
L N ( x 2 ,x 3 ,….x m ) ile { x 2 ,x 3 ,….x m } tarafından üretilen L m (N) nin alt Leibniz
cebirini gösterelim.
L m (N) nin bir
Γl
endomorfizmini her l ∈ L N ( x 2 ,x 3 ,….x m ) için
Γl (x 1 ) = x 1 + l ,
Γl (x i ) = x i i = 2,3,….,m
şeklinde tanımlayalım.
30
5. SERBEST SOL NİLPOTENT LEİBNİZ CEBİRLERİN
OTOMORFİZMLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
Γl bir taşınabilir ( tame ) otomorfizmdir.
j pozitif sayı olmak üzere L N ( x 2 ,x 3 ,….x m ) ( j ) , toplam derecesi j olan
x 2 ,x 3 ,….x m in tüm Leibniz monomialleri tarafından gerilen alt uzay olsun.
f= f 1 + f 2 + …….+ f n ,
Γ
f1
f j ∈ L N ( x 2 ,x 3 ,….x m ) ( j ) , j= 1,…..,n olsun.
∈ GL(m,k) ve
Γ f = Γ f1 o………o Γ f n
Böylece T, f en az iki uzunluklu homojen eleman olmak üzere Γ f ile birlikte
GL(m,k) tarafından üretilir. Her g ∈ GL(m,k) için
g o Γ f = ( g o Γ f o g −1 ) o g olduğundan
T = ⟨ g o Γ f o g −1 : g ∈ GL(m,k) , f ∈ U L N ( x 2 ,x 3 ,….x m ) ( k ) ⟩ . GL(m,k)
k ≥2
şeklinde alt grupların bir çarpımı olarak yazılabilir.
L m (U) , m ≥ 2 olmak üzere {x 1 x 2 ,x 3 ,….x m } tarafından üretilen serbest cebir olsun.
L m (U) nun herhangi bir dönüşümü L m (U) nun bir cebir endomorfizmine
dönüşebilir. Her g = (g ij ) ∈ GL(m,k) için K üzerindeki genel lineer grup
m
g: x j 
→ ∑ g ij xi , j=1,…….,m
i =1
dönüşümü ile L m (U) nun bir cebir otomorfizmine dönüşebilir. Böylece GL(m,k),
Aut(L m (U) ) otomorfizm grubunun bir alt grubu olarak görülebilir.
31
5. SERBEST SOL NİLPOTENT LEİBNİZ CEBİRLERİN
OTOMORFİZMLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
m
x 1 → ∑ g i1 xi = g 11 x 1 + g 21 x 2 +……..+g m1 x m
i =1
m
g:
x 2 → ∑ g i 2 xi = g12 x1 + g 22 x2 +……….+ g m 2 xm
i =1
M
m
x m → ∑ g im xi = g1m x1 + g 2 m x2 +………..+ g mm xm
i =1
 x1 
 g11 L g m1   x1 
 

  
M
M  . M 
g=  M  →  M
x 
g
  
 m
 1m L g mm   xm 
Her u ∈ L m (U) için ( u , sadece x 2 ,x 3 ,….x m ye bağlı ) L m (U) nun endomorfizmi
Γu ( x1 ) = x 1 +u
Γu ( x j ) = x j
, j= 2,…..,m
Γu ∈ Aut(L m (U)) ve ( Γu ) −1 = Γ − u
( Γu ) −1 (x 1 ) = x 1 -u
x j →x j
Aut(L m (U)) nun T alt grubu, GL(m,k) tarafından üretilir ve yukarıdaki formda
tanımlanan L m (U) nun otomorfizmine taşınabilir ( tame ) otomorfizm denir.
φ ∈ Aut(L m (U)) otomorfizmi T ye ait değilse taşınamaz ( wild ) otomorfizmdir.
Tanım 5.1.1: L bir Leibniz cebiri olsun.
1. DerL , L nin türevlerinin bir kümesi olsun.
32
5. SERBEST SOL NİLPOTENT LEİBNİZ CEBİRLERİN
OTOMORFİZMLERİ
Aslıhan KARAÇİÇEK
2. L′ bir başka Leibniz cebiri ve h: L′ 
→ DerL bir Leibniz cebiri
homomorfizmi ise o zaman L1 = L ⊕ L′
dir ve ∀x ∈ L, ∀x′ ∈ L′ için
[ x′, x ] = h( x′ ).x dir.
3. Eğer L , V üzerinde serbest ise her V 
→ L dönüşümü L nin bir
türevine tek bir şekilde genişler.
O zaman
L1 , Leibniz cebirine L ve L′
nin yarıdirek çarpımı denir ve ∝ ile
gösterilir.
IA(L m (U)) ile L m (U) nun IA otomorfizmlerini gösterelim. (L m (U) nun
Lm (U ) Lm (U ) ' nun bölüm cebirinde modülo L m (U) komütatör idealinde birim
dönüşüm belirleyen otomorfizmdir.) . O zaman
Aut(L m (U)) ≅ IA(L m (U)) ∝ GL(m,k)
şeklindedir.
33
KAYNAKLAR
BAHTURİN , Yu. A. , (1987) , “Identical Relation in Lie Algebras”
BAHTURİN , Yu. A. , MIKHALEV, A.A. , PETROGRADSKY,V.M. ,ZAICEV,
M.V. , (1992) “ Infinite Dimensional Lie Subalgebras” Walter de Gruyder
Berlin–New York,
BOKUT , L.A. , KUKIN , G.P. , (1994) “ Algorithmic and Combinatorial Algebra “
Kluwer Academic Publishers , Dordrecht ,
CUVIER , Par C. , “Algebres de Leibnitz: Definitions Proprietes,Ann. Scient.Ec.
Norm. Sup. ; 4 serie , T.27 , 1994 , p 1-45
DRENSKY , V. , PAPISTAS , A.I. ; (2005) “Automorphizms of
Free Left
Nilpotent Leibniz Algebras” Communications in Algebra , 33: 2957-2975,
FOX , R.H. , (1953) “ Free differantial Calculus I. Derivations in Free Group Rings”
Ann.of.Math.57,No.2,547-560
LODAY , J.L , PIRASHVILI , T. , (1993) “ Universal Enveloping Algebras of
Leibniz Algebra and (co)homology “ Math.Ann.296 , 139-158
MIKHALEV, A.A. , SHPILRAIN , V.E. , ZOLOTYKH , A.A. ; (1996) “Subalgebras
of Free Algebras “ 124-7
MIKHALEV, A.A. , UMIRBAEV, U.U. , ABDYKHOLYKOV , A.T.
(2001);“Automorphizm
of
Communications in Algebra”,
two
generated
free
Leibniz
Algebras,
29(7) , 2953-2960
MIKHALEV, A.A. , UMIRBAEV, U.U. ; (1998) “Subalgebras of free Leibniz
Algebras”, Communications in Algebra , 26(2) , 435-446
MIKHALEV, A.A. , ZOLOTYKH , A.A. , (1995) “Combinatorial Aspect of Lie
Superalgebras” , CRC Press , Boca Raton / New York ,
REUTENAUER , C. (1993); “Free Lie Algebras “, Oxford Universty Pres , New
York
34
ÖZGEÇMİŞ
1969 yılında Adana’ da doğdu. Öğrenimini sırasıyla Dumlupınar İlkokulu,
23 Nisan Ortaokulu ve Baraj Lisesinde tamamladı. 1985 yılında Çukurova
Üniversitesi Fen- Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü’ne girdi. 1989 yılında
mezun olarak 1990 yılında yüksek lisans eğitimine aynı üniversitede başladı. Aynı
zamanda sırasıyla Karataş Lisesi , Özel Tarsus Amerikan Lisesi , Final Dergisi
Dersaneleri , Dadaloğlu Lisesi’nde matematik öğretmenliği
ve Özel Tarsus
Amerikan Lisesinde idarecilik görevleri yaptı. Hala görevde olduğu Karşıyaka
Anadolu Meslek ,End. Mes ve Teknik Lisesinde , Matematik öğretmenliği
yapmaktadır.
35