fonksiyonlar ünite 1. ünite 1. ünite 1. ünite 1. ünit

FONKSİYONLAR
ÜNİTE
1. ÜNİTE
1. ÜNİTE
1. ÜNİTE
Fonksiyonlar
1.
Kazanım
: Fonksiyon kavramı, fonksiyon çeşitleri ve ters fonksiyon kavramlarını açıklar.
2.
Kazanım
: Verilen bir fonksiyonun artan, azalan ve sabit olmasını açıklar; verilen bir fonksiyonun
artan, azalan veya sabit olduğu aralıkları belirler.
3.
Kazanım
: Çift fonksiyonu ve tek fonksiyonu açıklar, grafiklerini yorumlar.
Fonksiyonların Tanım Kümesi
1.
Kazanım
: Verilen bir fonksiyonun en geniş tanım kümesini belirler.
Parçalı Fonksiyonlar
1.
Kazanım
: Parçalı fonksiyonun grafiğini çizer, uygulamalar yapar.
1. ÜNİT
FONKSİYONLAR
FONKSİYON
9. sınıf matematik dersinde bağıntı ve fonksiyon konusunu ayrıntılı bir şekilde gördünüz.
Bu konu ile ilgili bazı özellikleri yeniden hatırlayalım.
Fonksiyon: Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için A nın her elemanını B nin bir ve yalnız bir elemanına
eşleyen f bağıntısına A dan B ye fonksiyon denir.
f : A → B veya x → y = f(x) biçiminde gösterilir.
A kümesine fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine fonksiyonun değer kümesi denir.
A kümesindeki elemanların B deki görüntülerinden oluşan f(A) kümesine fonksiyonun görüntü kümesi denir.
ÖRNEK 1
A = {1, 2, 3 } ve B = {a, b, c, d } olmak üzere,
A → B ye tanımlanan aşağıdaki bağıntıların fonksiyon
olup olmadığını tespit edip fonksiyon olanların görüntü kümelerini bulunuz.
a.
f = {(1, a), (2, b), (3, b) }
b.
g = {(1, a), (2, c) }
c.
h = {(1, a), (1, b), (2, c), (3, d) }
Çözüm
Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmaESEN YAYINLARI
dığını anlamak için tanım kümesindeki x değerleri
için y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular
grafiği yalnız bir noktada kesiyorsa verilen bağıntı
bir fonksiyondur.
ÖRNEK 2
Aşağıda grafiği verilen bazı bağıntıların fonksiyon
olup olmadığı tespit edilmiştir. İnceleyiniz.
y
y = f(x)
0
x
y eksenine paralel çizilen doğrular grafiği yalnız
bir noktada kestiğinden y = f(x) bir fonksiyondur.
10
Fonksiyonlar
y
ÖRNEK 3
C
A = {–2, 0 1 }, B = {–3, 1, 3, 5, 6 }
y = g(x)
f : A → B, f(x) = 2x + 1 ise f(A) görüntü kümesini
x
0
bulunuz.
Çözüm
y eksenine paralel olan C doğrusu grafiği 2 noktada kestiğinden y = g(x) fonksiyon değildir.
y
y = h(x)
x
0
y eksenine paralel çizilen doğruların hiçbiri grafiği
ÖRNEK 4
birden fazla noktada kesmediğinden y = h(x) bir
ESEN YAYINLARI
fonksiyondur.
y
A = {–2, –1, 0, 1, 2 } ve B = {–1, 0, 1, 2, 3, 4 }
olmak üzere,
f : A → B, f(x) = x2 fonksiyonunun f(A) görüntü
kümesini bulunuz.
Çözüm
y = k(x)
x
0
y eksenine paralel çizilen doğruların hiçbiri grafiği
birden fazla noktada kesmediğinden y = k(x) bir
fonksiyondur.
y
y = p(x)
ÖRNEK 5
0
f : A → B, f(x) = 2 – x fonksiyonunun görüntü kümesi
x
f(A) = {–1, 0, 2 } ise tanım kümesini bulunuz.
Çözüm
Grafiği kesen ve y eksenine paralel olan bir doğru
çizersek grafikle çakışık olur. Yani grafiği
∞
noktada keser. O halde, y = p(x) bir fonksiyon
değildir.
11
Fonksiyonlar
ÖRNEK 8
ÖRNEK 6
f : R → R , f(x) = 2x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y
Çözüm
2
4
1
–3
0
–2
x
y = f(x)
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre f(x) in tanım ve görüntü kümelerini bulunuz.
f(x) = ax2 + bx + c Fonksiyonunun Grafiği
10. sınıf Matematik dersinde parabol çizimlerini ayrıntıları ile öğrendiniz. Şimdi kısaca hatırlayalım.
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun tepe noktası
T(r, f(r)) olmak üzere, r = –
b
dır.
2a
a > 0 ise grafiğin kolları yukarı doğrudur.
BİR FONKSİYONUN GRAFİĞİ
f = {(x, y) : y = f(x) , x ∈ A , y ∈ B }
kümesine düzlemde karşılık gelen noktaların oluşturduğu şekle f fonksiyonunun grafiği denir.
ESEN YAYINLARI
f : A → B , f(x) = y fonksiyonu verildiğinde,
a < 0 ise grafiğin kolları aşağı doğrudur.
Grafiğin varsa kesim noktaları bulunurken
x = 0 için y, y = 0 için x değerleri bulunur.
ÖRNEK 9
f(x) = ax + b Fonksiyonunun Grafiği
y = ax + b doğrusunun grafiğini çizmek için doğrunun
geçtiği herhangi iki nokta bulunur. Eksenleri kestiği
noktaları bulmak tercih edilir.
ÖRNEK 7
f : R → R , f(x) = 2x + 2 fonksiyonunun grafiğini
çiziniz.
Çözüm
12
f : R → R, f(x) = x2 – 2x – 3 fonksiyonunun grafiğini
çiziniz.
Çözüm
Fonksiyonlar
Parabol grafikleri ile ilgili bazı özel durumlar
®
2
y = ax
ÖRNEK 11
parabolünün tepe noktası
Aşağıda y = x2 + 2 ve y = –2x2 – 1 fonksiyonlarının
T(0, 0) olup grafiği aşağıdaki gibidir.
grafikleri çizilmiştir. İnceleyiniz.
y
y = ax2
(a > 0 ise)
x
y = ax2
(a < 0 ise)
®
y = a(x – r)2 + k parabolünün tepe noktası
T(r, k) dır.
ÖRNEK 10
Aşağıda bazı parabol grafikleri aynı düzlemde çizil-
ÖRNEK 12
miştir. İnceleyiniz.
y = 2(x – 1)2 + 2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y
y
ESEN YAYINLARI
3
Çözüm
y = 3x2
y = x2
1
y = x2
2
1
1
2
0
x
1
x2 nin kat sayısı büyüdükçe grafiğin y eksenine
yaklaştığına dikkat ettiniz mi?
ÖRNEK 13
y = – (x + 1)2 – 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
®
y = ax2 + c parabolünün tepe noktası
Çözüm
T(0, c) noktası olup grafiği aşağıdaki gibidir.
y
y = ax2 + c (a > 0 ise)
c
0
x
13
Fonksiyonlar
f : R → R+ , f(x) = ax Fonksiyonunun Grafiği
f : R+ → R , f(x) = logax Fonksiyonunun Grafiği
y
a > 1 için f(x) = a
üstel fonksiyonunun
fonksiyonunun grafiği
yandaki gibidir.
x
0
y = logax
f(x) = logax fonksiyo-
yonunun grafiği yan-
1
0
nunun grafiği yandaki
x
0
ÖRNEK 15
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
Aşağıdaki üstel fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a.
1
f : ; , 4 m → R , f(x) = log2x
2
1 x
b. f : [–2, 2 ] → R+ , f(x) = c m
2
b.
f : R+ → R , f(x) = log 1 x
ESEN YAYINLARI
a. f : [–2, 2 ] → R+ , f(x) = 2x
14
1
gibidir.
ÖRNEK 14
Çözüm
x
1
0 < a < 1 için
f(x) = ax üstel fonksi-
daki gibidir.
0
y
y
y = ax
y = logax
a > 1 için f(x) = logax
1
grafiği yandaki gibidir.
0 < a < 1 için
y
y = ax
x
Çözüm
2
x
Fonksiyonlar
Trigonometrik Fonksiyonların Grafiği
ÖRNEK 17
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
ÖRNEK 16
a.
f : [0, 2π ] → R , f(x) = cosx
çiziniz.
b.
f : [0, 2π ] → R , f(x) = –2cosx
a.
f : [0, 2π ] → R , f(x) = sinx
c.
f : [0, 2π ] → R , f(x) = 1 – cosx
b.
f : [0, 2π ] → R , f(x) = 2sinx + 1
Çözüm
Aşağıdaki trigonometrik fonksiyonların grafiklerini
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Çizdiğimiz grafiklerde tanım kümesi daha geniş
seçilseydi y = sinx in periyodu 2π olduğundan
[0, 2π ] aralığında elde ettiğimiz grafikleri
[– 4π, –2π ] , [–2π, 0 ] , [2π, 4π ] , ... aralıklarında
tekrarlardık.
15
Fonksiyonlar
ÖRNEK 18
f : [0, π ] → R , f(x) = tanx
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 20
y
y = f(x)
1
–2
0
x
y = f(x) fonksiyonunun grafiği çizilmiştir. Buna göre
f(x + 1) fonksiyonunun kuralını bulunuz.
ÖRNEK 19
f : [0, π ] → R , f(x) = cotx
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
16
Çözüm
Fonksiyonlar
ÖRNEK 21
ÖRNEK 23
y
y
y = f(x)
y = f(x)
2
4
1
–3
3
0
2
x
2
y = f(x) in grafiği verilmiştir. Buna göre f(x) = 1 denk–3
0
x
1
leminin kaç gerçel kökü vardır?
Çözüm
Yukarıda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için
f(1) + (fof)(–3) ifadesinin eşitini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 22
y
y = f(3x + 1)
Bir kenarının uzunluğu x br olan karenin alanını,
çevresinin bir fonksiyonu olarak ifade edip bu fonksiyonun grafiğini çiziniz.
3
2
Çözüm
–2
0
ÖRNEK 24
1
x
Yukarıda y = f(3x + 1) fonksiyonunun grafiği çizilmiştir. Buna göre
f (4) + f (–5)
kaçtır?
f (1)
Çözüm
17
Fonksiyonlar
GRAFİK ÇİZİMİ İLE İLGİLİ ÖZEL DURUMLAR
y = f(x) ile y = – f(x) fonksiyonlarının grafikleri
y = f(x) ile y = f(–x) fonksiyonlarının grafikleri
x eksenine göre simetriktir.
y eksenine göre simetriktir.
y
y
y
y
y = f(x)
a
y = f(x)
y = – f(x)
d
b
c
x
d
c
a
x
b
–d
y = f(–x)
a
c
0 b
x
–c
d
–b
x
–a
0
ÖRNEK 27
ÖRNEK 25
Aşağıdaki grafik çiftlerini inceleyip birbiriyle karşılaş-
Aşağıdaki grafik çiftlerini inceleyip birbiriyle karşılaş-
tırınız.
tırınız.
y
y
y
y=x+2
y
y = –x + 2
y=x+2
2
x
0
x
0
–2
ESEN YAYINLARI
–2
2
–2
y = –x – 2
2
–2
2
x
0
0
x
y = x + 2 ile y = –(x + 2) = –x – 2 fonksiyonla-
y = x + 2 ile y = (–x) + 2 = –x + 2 fonksiyonla-
rının grafiklerinin x eksenine göre simetrik oldu-
rının grafiklerinin y eksenine göre simetrik olduğuna dikkat ettiniz mi?
ğuna dikkat ettiniz mi?
ÖRNEK 26
ÖRNEK 28
Aşağıdaki grafik çiftlerini inceleyip birbiriyle karşılaştırınız.
Aşağıdaki grafik çiftlerini inceleyip birbiriyle karşılaştırınız.
y
y
y
y
y = x2 – x
0
0
1
y = x2 + x
y = x2 – x
1
x
x
0
1
x
–1
0
x
y = – x2 + x
y = x2 – x ile y = –(x2 – x) = –x2 + x fonksi-
y = x2 – x ile y = (–x)2 – (–x) = x2 + x fonksi-
yonlarının grafiklerinin x eksenine göre simetrik
yonlarının grafiklerinin y eksenine göre simetrik
olduğuna dikkat ettiniz mi?
18
olduğuna dikkat ettiniz mi?
Fonksiyonlar
y = f(x) + c nin grafiği, y = f(x) fonksiyonunun
y = f(x – c) nin grafiği, y = f(x) fonksiyonunun
grafiğinin y ekseni boyunca c kadar ötelenmişidir.
grafiğinin x ekseni boyunca c kadar ötelenmişidir.
y
y
y
y = f(x)
y = f(x)
y = f(x – c)
a+c
a
a
x
0
y
y = f(x) + c
c
x
0
0
a
x
0
a
x
a+c
c
ÖRNEK 29
ÖRNEK 31
Aşağıda y = 2x , y = 2(x – 1) ve y = 2(x + 1)
fonksiyonlarının grafikleri aynı düzlemde çizilmiştir.
fonksiyonlarının grafikleri aynı düzlemde çizilmiştir.
İnceleyiniz.
İnceleyiniz.
ESEN YAYINLARI
Aşağıda y = x – 1 , y = x , y = x + 1 ve y = x + 2
ÖRNEK 30
ÖRNEK 32
2
2
2
Aşağıda y = x – 1 , y = x ve y = x + 1 fonksiyon-
Aşağıda y = (x + 1)2 , y = x2 ve y = (x – 1)2
larının grafikleri aynı düzlemde çizilmiştir. İnceleyiniz.
fonksiyonlarının grafikleri aynı düzlemde çizilmiştir.
İnceleyiniz.
19
Fonksiyonlar
ÖRNEK 33
ÖRNEK 34
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çizerek tanım (T)
Aşağıda bazı fonksiyonların grafikleri ile tanım (T) ve
ve görüntü (G) kümelerini belirleyiniz.
görüntü (G) kümeleri belirtilmiştir. İnceleyiniz.
a. y = 3
y
a.
b. y = x – 1
y = f(x)
4
T : (–2, 3 ]
c. y = x2 – 1
G : (1, 4 ]
Çözüm
1
0
–2
b.
x
3
y
y = g(x)
T : (–2, ∞)
–2
G : (–3, ∞)
–1
x
0
–3
c.
ESEN YAYINLARI
y
2
T : [–2, 4 ]
y = h(x)
G : [0, 2 ]
–2
0
4
x
ÖRNEK 35
f : [–2, 5 ] → R , f(x) = 6x – 1 fonksiyonunun görüntü
kümesini bulunuz.
Çözüm
20
Fonksiyonlar
ÖRNEK 36
ÖRNEK 38
f : (–1, 3 ] → R , f(x) = 2 – 3x fonksiyonunun görüntü
f : [–3, 2 ] → R , f(x) = (x – 4)2 + 1 fonksiyonunun
kümesini bulunuz.
görüntü kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 37
f : [–2, 1 ] → R , f(x) = x2 – 2 fonksiyonunun grafiğini
çizip görüntü kümesini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 39
f : [0, 5 ] → R , f(x) = (x – 1)2 fonksiyonunun görüntü
kümesini bulunuz.
Çözüm
21
ALIŞTIRMALAR – 1
1.
A = {a, b, c } ve B = {1, 2, 3, 4, 5 } olmak üzere,
A → B ye
4.
y
y = f(x)
tanımlanan aşağıdaki bağıntıların
2
fonksiyon olup olmadığını araştırınız.
a.
1
f1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 2) }
1
2
x
0
b.
f2 = {(a, 1), (a, 2), (b, 3), (c, 5) }
c.
f3 = {(a, 1), (b, 1), (c, 2) }
d.
f4 = {(a, 1), (b, 3) }
–3
2.
Yukarıdaki grafik y = f(x) fonksiyonuna aittir.
Buna göre (fof)(0) kaçtır?
5.
Aşağıda grafiği verilen bağıntıların fonksiyon
y
olup olmadığını tespit ediniz.
b.
y
y = f(x)
y
1
–3
2
2
x
0
–2
y = g(x)
0
2
x
–2
c.
d.
y
ESEN YAYINLARI
a.
–3
0
y = k(x)
verilmiştir. Buna göre
0
1
3
x
5
0
x
1
Yukarıda y = f(2x – 1) fonksiyonunun grafiği
y
y = h(x)
–3 –1
y = f(2x – 1)
3
f (–7) + f (1)
kaçtır?
f (–1)
x
y
6.
y = f(x)
–4
3.
0
A = {–2, –1, 0, 1, 2 }
B = {–1, –
3
x
1
1
3
, 0, , 1, , 2 }
2
2
2
f : A → B , f(x) =
sini bulunuz.
22
1
x+1
ise f(A) görüntü küme2
Yukarıda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. (x – 1)f(x) ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesini
bulunuz.
Fonksiyonlar
8.
Aşağıdaki tablonun sol sütununda bulunan fonksiyonların grafiklerini sağ sütundan bulup eşleştiriniz.
Aşağıdaki tablonun sol sütununda bulunan fonksiyonların grafiklerini sağ sütundan bulup eşleştiriniz.
y
y
1
a.
f(x) = –x2
1.
0
1
a.
x
f(x) = 3x
1.
0
1
x
y
y
1
b.
f(x) = 2x – 4
2.
2
1
0
x
b.
1
f(x) = x
3
2.
0
2π
π
x
y
c.
f(x) = x
0
3.
2
x
y
–4
c.
1
f(x) =
2−x
2
4.
1
3.
0
y
d.
f(x) = lnx
0
2
x
ESEN YAYINLARI
7.
y
d.
y
x
f(x) = log 1 x
1
4.
3
0
x
0
e.
f(x) = x2 – 1
x
5.
y
y
f.
f(x) = 2x – x2
e.
f(x) = –sinx
5.
0
π
2π x
1
x
6.
0
–1
1
x
–1
y
y
0
g.
f(x) = 1 – x
7.
f.
2
x
g(x) = 1+cosx
6.
0
23
Fonksiyonlar
9.
12. Aşağıdaki fonksiyonların tanım ve görüntü küme-
y
lerini bulunuz.
y = f(x)
a.
y
2
1
1
x
2
0
–4
x
2
0
y = f(x)
Yukarıda y = f(x) in grafiği verilmiştir.
y = f(x + 2) – 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
b.
y
3
—
2
10.
y = g(x)
y
–2
2
Yukarıda y = f(x) in grafiği verilmiştir.
y = 1 – f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
11. Aşağıdaki fonksiyonların görüntü kümelerini bu-
ESEN YAYINLARI
y = f(x)
2
x
13. Aşağıdaki fonksiyonların görüntü kümelerini bulunuz.
a.
f : [–1, 3 ] → R , f(x) = 2x – 1
b.
f : [–2, 2) → R , f(x) = 4 – x
c.
f : [–3, 2 ] → R , f(x) = x2 – 1
d.
f : [–1, 3 ] → R , f(x) = x2 – 8x
lunuz.
f : R → R , f(x) = 4 – x
b.
f : R → R , f(x) = –2
c.
f : R → R , f(x) = 2x2 – 3
24
1
x
0
a.
0
Fonksiyonlar
BİRE BİR FONKSİYON
ÖRNEK 42
f : A → B fonksiyonu için A kümesinin farklı eleman-
f : R+ → R , f(x) = x2 – 1 fonksiyonunun grafiğini çizip
larının B deki görüntüleri farklı ise f fonksiyonuna
bire bir olup olmadığını tespit ediniz.
bire bir fonksiyon denir. Yani ∀x1, x2 ∈ A için
Çözüm
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) ya da f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
oluyorsa f fonksiyonu bire bir fonksiyondur.
f
A
a
b
c
f bire birdir.
B
f
A
1
2
3
a
4
c
B
1
2
3
b
4
f bire bir değildir.
x eksenine paralel doğrular çizildiğinde, doğruların
her biri grafiği en çok bir noktada kesiyorsa fonk-
ÖRNEK 40
siyon bire birdir.
f : R → R , f(x) = x + 2 fonksiyonunun grafiğini çizip
Çözüm
ESEN YAYINLARI
bire bir olup olmadığını tespit ediniz.
ÖRNEK 43
y
y = g(x)
x
0
x eksenine paralel çizdiğimiz doğrular, grafiği
en çok bir noktada kestiğinden y = g(x) bire birdir.
ÖRNEK 41
f : R → R , f(x) = x2 fonksiyonunun grafiğini çizip bire
bir olup olmadığını tespit ediniz.
Çözüm
ÖRNEK 44
y
y = f(x)
C
0
x
x eksenine paralel olan C doğrusu grafiği birden çok
noktada kestiğinden y = f(x) bire bir değildir.
25
Fonksiyonlar
ÖRNEK 45
ÖRNEK 48
3
f : R → R , f(x) = x – x fonksiyonu bire bir midir?
f : R → R , f(x) = 4x + 2 fonksiyonu örten midir?
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 49
f : R → R , f(x) = x2 – 4 fonksiyonu örten midir?
Çözüm
ÖRNEK 46
f : R → R , f(x) = x5 fonksiyonu bire bir midir?
Çözüm
Grafiği verilen bir fonksiyonun örten olup olmadığı
araştırılırken değer kümesinin her y elemanı için x
eksenine paralel doğru çizdiğimizde bu doğru gra-
ÖRTEN FONKSİYON
fiği en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir.
kümesi değer kümesine eşit ise f fonksiyonu örten
fonksiyondur.
f
A
a
B
1
2
3
4
b
c
g
A
a
B
ESEN YAYINLARI
f : A → B fonksiyonu için f(A) = B ise yani görüntü
ÖRNEK 50
y
1
b
2
c
x
0
f : Örten de¤il
f(A) ≠ B
g : Örten
g(A) = B
f(x) = 1 – x
x eksenine paralel çizilen doğrular grafiği en az bir
noktada kestiğinden y = f(x) , R → R ye örtendir.
ÖRNEK 47
f : Z → Z , f(x) = 2x – 1 fonksiyonu örten midir?
Çözüm
ÖRNEK 51
y
f(x) = x2 – 1
x
0
–1
C
x eksenine paralel çizilen doğrulardan biri olan
C
doğrusu grafiği kesmediğinden y = f(x) R → R ye
örten değildir.
26
Fonksiyonlar
İÇİNE FONKSİYON
ÖRNEK 52
f : R → R , f(x) = 2x – 4 ise f –1(x) fonksiyonunu
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
bulunuz.
Örnek 47 teki f : Z → Z , f(x) = 2x – 1 ve
Çözüm
Örnek 49 daki f : R → R , f(x) = x2 – 4 fonksiyonları
örten olmadıklarından bu fonksiyonlar içine fonksiyonlardır.
BİRİM FONKSİYON
f : A → B fonksiyonunda f(x) = x ise f fonksiyonuna
birim fonksiyon denir. Başka bir ifadeyle tanım küme-
f(x) = ax + b ⇒ f –1(x) =
sindeki her elemanın görüntüsü kendisine eşittir.
Birim fonksiyon Ι(x) = x biçiminde de gösterilir.
x–b
dir.
a
ÖRNEK 53
Aşağıda bazı fonksiyonların tersleri bulunmuştur.
A
a
a
b
b
c
c
İnceleyiniz.
ESEN YAYINLARI
A
Şema ile ifade edilmiş olan
Ι : A → A fonksiyonu birim fonksiyondur.
TERS FONKSİYON
f(x) = 2x – 3 ⇒ f –1(x) =
x+3
f(x) = 3x + 2 ⇒ f –1(x) =
x
f(x) = –x + 2 ⇒ f –1(x) =
x
f fonksiyonu A dan B ye tanımlanmış bire bir ve
örten fonksiyon olmak üzere,
f(x) =
fof –1 = f –1of = Ι koşulunu sağlayan f –1 fonksiyonuna
ax + b
cx – b
⇒ f –1(x) =
c
a
f fonksiyonunun tersi denir.
f ile f –1 fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna
göre simetriktir.
ÖRNEK 54
Aşağıda bazı fonksiyonların tersleri bulunmuştur.
İnceleyiniz.
y
y = f(x)
y=x
a
f(x) =
x –1
⇒ f –1(x) = 2x + 1
2
f(x) =
2x + 1
⇒ f –1(x) =
3
f(x) =
4–x
⇒ f –1(x) =
2
y = f –1(x)
0
a
x
x
27
Fonksiyonlar
f(x) =
ÖRNEK 58
ax + b
– dx + b
⇒ f –1(x) =
dır.
cx + d
cx – a
f : (–∞, 1 ] → [1, ∞) , f(x) = (x – 1)2 + 1 ise
f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 55
Aşağıda bazı fonksiyonların tersleri bulunmuştur.
İnceleyiniz.
f(x) =
2x – 1
⇒ f –1(x) =
3x + 5
f(x) =
6x + 2
⇒ f –1(x) =
x–3
f(x) =
4
⇒ f –1(x) =
2x + 1
f(x) =
3x + 1
⇒ f –1(x) =
4x
f(x) =
3
⇒ f –1(x) =
x
ÖRNEK 59
ÖRNEK 56
f : R → R , f(x) =
3
x – 1 – 2 ise
f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
ESEN YAYINLARI
f : [1, ∞) → [2, ∞) , f(x) = x2 – 2x + 3 ise
f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
Çözüm
3
x–1 –2=y⇒
3
y–1 –2=x
ÖRNEK 60
f : R → R , f(x) = x3 – 3x2 + 3x + 2 ise
ÖRNEK 57
f : [0, ∞) → [–1, ∞) , f(x) = x2 – 1 ise
f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
28
f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
Fonksiyonlar
ÖRNEK 61
ÖRNEK 65
f : R → R+ , f(x) = 2x ise f –1(x) fonksiyonunu bulu-
f(4x – 1) = 16x + 2 ise f(x) fonksiyonunu bulunuz.
nuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 62
f : R → (2, ∞) , f(x) = 3x–1 + 2 ise
f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 66
f(x3 – 3) = x2 + 2x – 3 olduğuna göre, f(5) kaçtır?
ÖRNEK 63
f : (1, ∞) → R , f(x) = log3(x – 1) ise
f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
f
f(a) = b ⇒ a = f –1(b)
a
b
f –1
ÖRNEK 64
f : (4, ∞) → R , f(x) = 2ln(x – 4) + 3 ise
f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 67
x+2
f –1 c x + 3 m = x + 2 olduğuna göre, f(3) kaçtır?
Çözüm
29
Fonksiyonlar
ÖRNEK 68
ÖRNEK 71
3
3x – 2
x+1
fonksiyonu bire bir ve örten bir fonksiyon ise a + b
–1
f(x) = x – x + 1 olduğuna göre, f(2) + f (7) ifade-
f : R – {a } → R – {b } , f(x) =
sinin eşiti kaçtır?
Çözüm
kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 69
f(x) = 3x + 1 olmak üzere,
f(2x – 1)
fonksiyonunun
f(x)
cinsinden değerini
bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 72
ax + 1
2x + b
fonksiyonu bire bir ve örten bir fonksiyon ise a + b
f : R – {2 } → R – {–3 } , f(x) =
kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 70
f(x) =
x+1
olmak üzere,
x–2
f(x – 1) in f(x) cinsinden değerini bulunuz.
Çözüm
30
ALIŞTIRMALAR – 2
1.
4.
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri bire bir fonksiyondur?
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri R → R ye
örtendir?
a.
f:R→R
, f(x) = 2x + 5
b.
g:R→R
, g(x) = x2 – 2
c.
h : R+ → R , h(x) = x2 + 1
d.
k : R+ → R , k(x) = x2 – 4x
a.
b.
y
g
f
x
0
c.
2.
y
d.
y
h
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri bire bir fonk-
y
x
0
x
0
x
0
k
siyondur.
b.
y
f
0
y
g
x
x
0
c.
d.
y
y
h
0
ESEN YAYINLARI
a.
k
x
0
x
5.
Aşağıdaki tablonun sol sütununda bulunan fonksiyonların terslerini sağ sütundan bulup eşleştiriniz.
a.
f(x) =
3x – 1
2
1.
f –1(x) =
–2x + 4
3x
b.
f(x) = –x + 7
2.
f –1(x) =
2x + 1
3
c.
3.
f(x) =
–x
3
3.
f –1(x) = –3x
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri örten fonksiyondur?
a.
f:R→R
b.
g : R → R , g(x) = x2 + 2
c.
h : Z → Z , h(x) = 3x – 2
d.
, f(x) = 2x – 3
k : R → R , k(x) = x
3
d.
f(x) =
4x – 1
6x – 3
4.
f –1(x) =
3
4x – 1
e.
f(x) =
4
3x + 2
5.
f –1(x) =
3x – 1
6x – 4
f.
f(x) =
x+3
4x
6.
f –1(x) = –x + 7
31
Fonksiyonlar
6.
f : R → R , f(x) =
3
12. f c
x + 2 – 3 ise
f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
x –1
m = x + 2 ise
x+1
f(x) fonksiyonunu bulunuz.
7.
f : (–∞, 0 ] → [–2, ∞) , f(x) = x2 – 2 ise
13. f –1 c
f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
8.
x–2
m = x3 + 1 ise f(2) kaçtır?
x+1
14. f(x) = x – x3 + 2 ise f(1) + f –1(2) kaçtır?
f : [2, ∞) → [– 4, ∞) , f(x) = x2 – 4x ise
9.
f : R → R+ , f(x) = 3x–1 ise
–1
f (x) fonksiyonunu bulunuz.
ESEN YAYINLARI
f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
15. f(x) = 2x – 3 olmak üzere,
f(3x – 1) fonksiyonunun f (x) cinsinden değerini
bulunuz.
10. f : R → (–1, ∞) , f(x) = ex–3 – 1 ise
f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
16. f(x) = 2x–2 ise f(3x + 1) fonksiyonunun f (x)
cinsinden değerini bulunuz.
11. f : (2, ∞) → R , f(x) = 3log2(x – 2) – 1 ise
f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
32
17. f : R – {2 } → R – {3 } , f(x) =
4 – ax
fonksiyonu
3x + b
bire bir ve örtendir. Buna göre a + b kaçtır?
Fonksiyonlar
ARTAN ve AZALAN FONKSİYONLAR
Çözüm
f : A → B fonksiyonu için
®
x1 < x2 için f(x1) < f(x2) ise f fonksiyonu artan
fonksiyondur.
y
y
f(x2)
f(x2)
f(x1)
f(x1)
a x1
0
®
x2
b
0
x
a x1
x2
b
x
x1 < x2 için f(x1) > f(x2) ise f fonksiyonu azalan
fonksiyondur.
y
y
f(x1)
f(x2)
0
®
a
x1
x2
b
x
0
a
x1
x2
b
x
x1 < x2 için f(x1) = f(x2) ise f fonksiyonu sabit
ESEN YAYINLARI
f(x1)
f(x2)
fonksiyondur.
ÖRNEK 73
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çizerek artan
veya azalan olup olmadıklarını tespit ediniz.
a.
f:R→R
,
f(x) = x – 2
b.
f:R→R
,
f(x) = 1 – x
c.
f:R→R
,
f(x) = x2
d.
f : R → R+
,
f(x) = 2x
e.
f : R → R+
,
1 x
f(x) = c m
2
f.
f : R+ → R
,
f(x) = log2x
g.
f : R+ → R
,
f(x) = log 1 x
2
h.
f:R→R
,
f(x) = 2
33
Fonksiyonlar
ÖRNEK 74
a, b, c, k ∈ R olmak üzere,
f(x) = ax + k , g(x) = logbx ve h(x) = cx fonksiyonları
için f ve g azalan h artan ise a, b, c arasındaki
sıralamayı bulunuz.
Çözüm
TEK ve ÇİFT FONKSİYONLAR
f : A → B , y = f(x) fonksiyonunda
∀x ∈ A için f(–x) = –f(x) ise
SONUÇLAR
f : R → R , f(x) = ax + b için
a > 0 ise f artan
a < 0 ise f azalandır.
®
f : R → R , f(x) = ax2 + bx + c için parabolün
tepe noktası x = r olmak üzere,
x
∀x ∈ A için f(–x) = f(x) ise
ESEN YAYINLARI
®
f fonksiyonu tek fonksiyondur.
f fonksiyonu çift fonksiyondur.
x
Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.
x
Çift fonksiyonların grafikleri y eksenine göre simetriktir.
a > 0 iken
(–∞, r) aralığında f azalan
(r, ∞) aralığında f artandır.
Aşağıdaki fonksiyonların tek veya çift fonksiyon olup
a < 0 iken
olmadıklarını tespit ediniz.
(– ∞, r) aralığında f artan
a.
f:R→R
, f(x) = x2 + 1
(r, ∞) aralığında f azalandır.
b.
g:R→R
, g(x) = x3 – x
f : R → R+ , f(x) = ax için
c.
h:R→R
, h(x) = x + 2
a > 1 ise f artan
d.
k : R → [–1, 1 ] , k(x) = sinx
0 < a < 1 ise f azalandır.
e.
p : R → [–1, 1 ] , p(x) = cosx
x
®
®
f : R+ → R , f(x) = logax için
a > 1 ise f artan
0 < a < 1 ise f azalandır.
®
ÖRNEK 75
f : R → R , f(x) = c fonksiyonu sabit fonksiyondur.
34
Çözüm
Fonksiyonlar
ÖRNEK 77
f(x) fonksiyonu tek fonksiyondur.
f(x) + xf(– x) = –x4 + x3 – x2 + x ise
f(3) kaçtır?
Çözüm
ÖRNEK 76
Aşağıda grafikleri ile ifade edilmiş fonksiyonların tek
veya çift fonksiyon olup olmadıkları belirlenmiştir.
İnceleyiniz.
ÖRNEK 78
y
f : R → R , f(x) = x2
f(x) = x2
f(x) çift fonksiyondur.
fonksiyonu y eksenine
f(x) – 2f(– x) = 3x2 – 6 olduğuna göre,
göre simetriktir.
a2
–a
fonksiyondur.
0
a
x
ESEN YAYINLARI
f(x + 1) fonksiyonunu bulunuz.
Dolayısıyla f çift
Çözüm
y
g : R → R , g(x) = x3
g(x) = x3
fonksiyonu orijine
a3
göre simetriktir.
–a
0
Dolayısıyla g tek
a
x
–a3
fonksiyondur.
ÖRNEK 79
f(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetriktir. f(x) = (a + 2)x3 + (a – 1)x2 + (b – 2)x + b ise
y
f(a.b) kaçtır?
1
Çözüm
–π
π
0
–1
x
h(x) = cosx
h : [–π, π ] → [–1, 1 ] , h(x) = cosx fonksiyonu y eksenine göre simetriktir. Dolayısıyla h çift fonksiyondur.
35
Fonksiyonlar
ÖRNEK 80
ÖRNEK 82
f(x) fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.
6
4
f(x) =
3
f(x) = (k – 2)x + (n + 3)x + (k + n)x + kx ise
2x – 1
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini
x2 – 4
f(2) kaçtır?
bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 83
x2 – x – 2
x2 – x + 2
f(x) =
kümesini bulunuz.
BİR FONKSİYONUN EN GENİŞ TANIM KÜMESİ
®
n
n–1
f(x) = anx + an–1x
fonksiyonunun en geniş tanım
Çözüm
+ ... + a0 biçimindeki poli-
nom fonksiyonların en geniş tanım kümeleri:
®
f(x) ve g(x) birer polinom olmak üzere,
f (x)
fonksiyonunun en geniş tanım
g (x)
y=
kümesi: R – {x: g(x) = 0 } dır.
®
2n
ÖRNEK 84
x2 + x – 2
x –1 – 2
f(x) =
n ∈ Z+ olmak üzere,
y=
ESEN YAYINLARI
R = (–∞, ∞)
f (x) fonksiyonunun en geniş tanım
kümesi: f(x) ≥ 0 koşulunu sağlayan noktalar
fonksiyonunun en geniş tanım
kümesini bulunuz.
Çözüm
kümesidir.
®
y = logf(x)g(x) fonksiyonunun en geniş tanım
kümesi: f(x) > 0 , g(x) > 0 , f(x) ≠ 1
koşullarını sağlayan noktalar kümesidir.
ÖRNEK 85
ÖRNEK 81
Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümelerini
bulunuz.
a. f(x) = 1
b. f(x) = 2x – 1
c. f(x) = x2 + x – 1
d. f(x) = (x – 1)4 + x – 2
Çözüm
36
f(x) =
x 2 + 2x – 3
fonksiyonu ∀x ∈ R için tanımlı ise
x2 + x + m
m ne olmalıdır?
Çözüm
Fonksiyonlar
ÖRNEK 86
ÖRNEK 89
4 – x 2 fonksiyonunun en geniş tanım küme-
f(x) =
f(x) =
x 2 – 3x
+
x–2
3
x2 + x
fonksiyonunun en geniş
x –1
sini bulunuz.
tanım kümesini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 90
f(x) = log2–x(x + 4) fonksiyonunun en geniş tanım
kümesini bulunuz.
ÖRNEK 87
Çözüm
4 – x –1
f(x) =
fonksiyonunun en geniş tanım
kümesini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 91
f(x) = log(x2 + (m – 3)x + m + 5) fonksiyonu ∀x ∈ R
ÖRNEK 88
f(x) =
x2
için tanımlı ise m nin değer aralığını bulunuz.
6– x +2 x –1 +
3
x+2
x–3
fonksiyonunun
Çözüm
en geniş tanım kümesinde bulunan tam sayıların
toplamı kaçtır?
Çözüm
37
ALIŞTIRMALAR – 3
1.
3.
Aşağıdaki fonksiyonların artan-azalan veya sabit
fonksiyon olup olmadıklarını tespit ediniz.
a.
f:R→R
, f(x) = 2x + 1
b.
g:R→R
, g(x) =
c.
h:R→R
, h(x) = x2 – 1
f(x) tek fonksiyondur.
f(x) – 3f(–x) = x3 – 5x ise f(1) kaçtır?
4–x
2
4.
f(x) çift fonksiyondur.
2f(x) + f(–x) = x4 – 2x2 + 1 ise
d.
k : R → R+ , k(x) = 3x
e.
l : R+ → R , l(x) =
f.
m : R+ → R , m(x) = lnx
f(–1) kaçtır?
1
x
5.
f(x) fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetriktir.
2.
n:R→R
, n(x) = 4
Aşağıdaki fonksiyonların tek veya çift fonksiyon
f(x) = (m – 2)x5 + (m – 1)x4 + (n + 2)x3 + nx2 + 1
ESEN YAYINLARI
g.
ise f(2) kaçtır?
olup olmadığını tespit ediniz.
a.
f:R→R
, f(x) = x2 – 4
6.
f(x) = (a + 1)x4 + (b – 2)x3 + b + 3 ise
, g(x) = x3 + 1
b.
g:R→R
c.
h : [–1, 2 ] → R , h(x) = x2
d.
k : R → [0, 2 ]
, k(x) = 1 + cosx
e.
l:R→R
, l(x) = x4 + x2 + 1
f(x) fonksiyonunun grafiği orijine göre simetriktir.
f(2) kaçtır?
7.
f(x) tek g(x) çift fonksiyondur.
f(x) – xf(–x) + g(x) – 2g(–x) = x2 + x – 2 ise
f.
38
m:R→R
, m(x) = 3x3 – x5 + sinx
g(–1) kaçtır?
Fonksiyonlar
8.
10. Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümele-
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş ku-
rini bulunuz.
tulara “D” yanlış olanlar için “Y” yazınız.
İki çift fonksiyonun çarpımı çift fonksiyondur.
a.
f(x) =
b.
g(x) =
c.
h(x) =
x2 + x + 2
x3 – x
İki tek fonksiyonun çarpımı tek fonksiyondur.
x+2
x –3
İki çift fonksiyonun bölümü çift fonksiyondur.
Biri tek, diğeri çift olan iki fonksiyonun çar-
x2 – 1
– x+2
x2
pımı veya bölümü tek fonksiyondur.
Çift fonksiyonların toplamı çift fonksiyondur.
11. Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümele-
Tek fonksiyonların toplamı tek fonksiyon-
rini bulunuz.
dur.
f veya g fonksiyonlarından biri çift fonksiyon
9 – x2
a.
f(x) =
b.
g(x) =
x –1
+
4–x
c.
h(x) =
2– x+1
9.
Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümelerini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
ise fog ve gof çift fonksiyondur.
3
x+2
x–2
a. f(x) = 2x + 3
12. Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümeleb. g(x) = 3
rini bulunuz.
a. f(x) = log2(x2 – 3x)
c. h(x) = x2 – 4x
d. k(x) = x3 – x + 1
b. g(x) = log1–x(x + 2)
c. h(x) = ln c
x2 – 1
m
4–x
39
Fonksiyonlar
PARÇALI FONKSİYON
ÖRNEK 94
Tanım kümesinin alt aralıklarında farklı birer fonksi-
f(x) = *
yon olarak tanımlanan fonksiyona parçalı fonksiyon
denir.
f(x) = *
3x – 1 , x < 1
x2 + 1 , x < 1
3x – 1 , x ≥ 1
g(x) = *
x2 + 2 , x ≥ 1
fonsiyonu bir parçalı fonksiyondur.
x3
, x<2
x2 + 4 , x ≥ 2
olmak üzere aşağıdakilerden her birini bulunuz.
Tanım aralığının (–∞, 1) ve [1, ∞) alt aralıklarında
g(2) , f(8) , f(–1) , (fog)(2) , (gof)(–1)
fonksiyonun kuralı sırasıyla
Çözüm
f(x) = 3x – 1 ve f(x) = x2 + 2 dir.
x = 1 fonksiyonun kritik noktasıdır.
ÖRNEK 92
f(x) = *
x+2 , x > 1
2x
, x≤1
g(x) = *
–x
, x≥2
x–2 , x<2
fonksiyonları için (f + g)(x) fonksiyonunu bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 95
ÖRNEK 93
f(x) = *
x3 – 1 , x < 2
2x + 3 , x ≥ 2
fonksiyonuna göre, f(3) ve f(–1) değerlerini bulunuz.
Çözüm
f(x) = *
x+1
, x≤0
olmak üzere f(a) = 2 eşitliğini sağlayan a değerini
bulunuz.
Çözüm
40
3x – 2 , x > 0
Fonksiyonlar
ÖRNEK 96
f(x) = *
ÖRNEK 97
x+1 , x < 1
f(x) = *
3 – x , x≥1
x2 , x < 0
–x , x ≥ 0
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
Çözüm
ESEN YAYINLARI
parçalı fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ÖRNEK 98
Z 2
x<0
] –x + 1 ,
]
f(x) = [ 3
, 0≤ x < 2
]]
x≥2
\ 5–x ,
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
41
Fonksiyonlar
ÖRNEK 99
f(x) = *
ÖRNEK 100
2x + 1 , x ≥ 1
x+2
f(x) = *
, x<1
x2 + 1 , x ≥ 0
x+1
, x<0
olmak üzere,
olmak üzere,
a.
a.
f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
b.
Varsa f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
c.
f –1(–1) ve f –1(3) ifadelerinin eşitini bulunuz.
f(x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
–1
b.
Varsa f (x) fonksiyonunu bulunuz.
c.
f –1(0) ve f–1(4) ifadelerinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
42
Fonksiyonlar
MUTLAK DEĞER FONKSİYONU
ÖRNEK 103
Z f ( x) , f ( x) > 0
]
]
|f(x)| = [ 0
, f ( x) = 0
]]
–f (x) , f (x) < 0
\
f(x) = |x – 2| + |x| fonksiyonunu parçalı biçimde ifade
ediniz.
Çözüm
biçiminde tanımlanan y = |f(x)| fonsiyonuna mutlak
değer fonksiyonu denir. f(x) = 0 eşitliğini sağlayan x
değerleri fonksiyonun kritik noktalarıdır.
ÖRNEK 101
f(x) = |x – 2| fonksiyonunu parçalı biçimde yazınız.
Çözüm
Mutlak Değerin Özellikleri
® |–x| = |x|
ESEN YAYINLARI
® |x.y| = |x|.|y|
®
x
x
, (y ≠ 0)
=
y
y
® |xn| = |x|n
® |x + y| ≤ |x| + |y|
® |x – y| ≥ |x| – |y|
® |x| = a ⇒ x = a v x = –a , (a ∈ R+)
ÖRNEK 102
f(x) = 2|x – 1| + 1
yazınız.
Çözüm
=
fonksiyonunu parçalı biçimde
® |x| < a ⇒ –a < x < a , (a ∈ R+)
® |x| ≥ a ⇒ x ≥ a v x ≤ –a , (a ∈ R+)
® a < |x| < b ⇒ a < x < b v – b < x < – a
(a, b ∈ R+)
ÖRNEK 104
3|x – 1| – 2 = 4 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
43
Fonksiyonlar
ÖRNEK 105
| |x – 1| – 2 | = 3
ÖRNEK 109
2|x – 3| + 4 < 1
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 106
|x – 1| – 2x = 3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÖRNEK 110
Çözüm
2|3x + 1| + 5 < 3
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 107
|x – 3| + |x| = 5 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 111
|2x – 1| ≥ 7
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 112
|x + 2| > –1
ÖRNEK 108
|x – 2| < 4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
44
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Fonksiyonlar
Çözüm
ÖRNEK 113
2 < |x – 1| ≤ 4
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 116
f(x) = |x + 1| + |x – 3| + |x – 5| fonksiyonunun en
küçük değerini bulunuz.
Çözüm
1 < | |x – 1| – 2 | < 2
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 114
Kritik noktalardan ortancası f(x) fonksiyonunu en
küçük yapan değerdir.
ÖRNEK 117
f(x) = |x + 2| + |x| + |x – 4| + |x – 1| + |x – 6|
fonksiyonunun en küçük değerini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 115
f(x) = |x – 1| + |2x + 1|
fonksiyonunun en küçük değerini bulunuz.
45
Fonksiyonlar
MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
ÖRNEK 118
f(x) = |x + 4| – |x – 2|
y = |f(x)| Fonksiyonunun Grafiği
fonksiyonunun görüntü kümesinde kaç tane tam sayı
y = |f(x)| in grafiği çizilirken önce y = f(x) in grafiği
vardır?
çizilir. Bu grafiğin y ekseninin negatif bölgesine taşan
Çözüm
kısmının x eksenine göre simetriği alınır.
y
y
y = | f(x) |
y = f(x)
0
–3
–1
2
x
–3
–1
0
ÖRNEK 121
ÖRNEK 119
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
f(x) = |x – 6| – |x + 2|
bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 120
f(x) =
8
x – x–2
fonksiyonunun en büyük ve en
küçük değerini bulunuz.
Çözüm
46
a. f : R → R , f(x) = |x – 2|
ESEN YAYINLARI
fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerlerini
b. f : R → R , f(x) = |x – 2| + 1
Çözüm
2
x
Fonksiyonlar
Aşağıdaki tablonun sol sütununda y = f(x) in sağ sütununda y = |f(x)| in grafiği çizilmiştir. İnceleyiniz.
y = f(x)
y = |f(x)|
y
y
y = |1 – x|
1
1
1
x
0
0
y=1–x
x
1
y
y
y = x2 – 4
y = |x2 – 4|
4
0
–2
x
2
0
–2
x
2
–4
y
y
y = |– x2 – 1|
x
0
1
–1
x
0
y = – x2 – 1
y
y
–π
π
2π
0
y = |sinx|
x
0
–π
y = sinx
π
2π
x
y
y
y = lnx
0
1
y = | lnx |
x
0
1
x
47
Fonksiyonlar
y = |f(x)| + g(x) Fonksiyonunun Grafiği
ÖRNEK 124
y = |f(x)| + g(x) fonksiyonunun grafiği çizilirken
f : R → R , f(x) = |x| – x fonksiyonunu parçalı biçimde
f(x) = 0 için kritik noktalar bulunup fonksiyon parçalı
yazıp grafiğini çiziniz.
biçimde yazılır ve bu parçalı fonksiyonun grafiği çizilir.
Çözüm
ÖRNEK 122
f : R → R , f(x) = x|x| + 3 fonksiyonunu parçalı biçimde yazıp grafiğini çiziniz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 125
f : R → R , f(x) = |x – 2| + 2x fonksiyonunun grafiğini
çiziniz.
Çözüm
ÖRNEK 123
x
x
biçimde yazıp grafiğini çiziniz.
f : R – {0 } → R , f(x) =
Çözüm
48
fonksiyonunu parçalı
Fonksiyonlar
ÖRNEK 126
ÖRNEK 128
f : R → R , f(x) = |x – 1| + x – 2 fonksiyonunu parçalı
f : R → R , f(x) = x|x – 2| fonksiyonunun grafiğini
biçimde yazıp grafiğini çiziniz.
çiziniz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 129
f : R → R , f(x) = |x – 1| + |x + 1| fonksiyonunu parçalı
fonksiyon biçiminde yazıp grafiğini çiziniz.
ÖRNEK 127
f : R → R , f(x) = |x2 – 1| + x2 fonksiyonunu parçalı
biçimde yazıp grafiğini çiziniz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Çözüm
Pratik Yol: Yukarıdaki grafiği incelediğimizde aşağıdaki sonuçları çıkarabiliriz.
f : R → R , f(x) = |x – a| + |x – b| fonksiyonunun
en küçük değeri : f(a) = f(b) = |a – b| olup,
(a, f(a)) ve (b, f(b)) kırılma noktalarıdır.
Bu fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir.
y
|a – b|
0
a
b
x
49
Fonksiyonlar
ÖRNEK 130
ÖRNEK 131
f : R → R , f(x) = |x – 4| + |x + 1| fonksiyonunun
f : R → R , f(x) = |x + 1| + |2x – 1| fonksiyonunun
grafiğini çiziniz.
grafiğini çiziniz.
Çözüm
f(x) = |ax – b| + |cx – d| Fonksiyonunun Grafiği
f : R → R , f(x) = |ax – b| + |cx – d| fonksiyonunun
ESEN YAYINLARI
Çözüm
grafiği çizilirken
x
x1 =
b
d
, x2 =
olmak üzere,
a
c
f(x) in en küçük değeri f(x1) veya f(x2) dir.
x
(x1, f(x1)) ve (x2, f(x2)) noktaları grafiğin
kırılma noktaları olup grafiği aşağıdaki gibi
olur. (x1 < x2)
y
f(x2)
f(x1)
0
50
x1
x2
x
ÖRNEK 132
f : R → R , f(x) = |x + 2| – |x – 1| fonksiyonunun
grafiğini çiziniz.
Çözüm
Fonksiyonlar
ÖRNEK 134
f : R → R , f(x) = | |x + 2| – |x| | fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
Pratik Yol: f : R → R , f(x) = |x – a| – |x – b| fonksiyonunun;
en küçük değeri f(a) = –|a – b|
en büyük değeri f(b) = |b – a| dır.
(a, f(a)) ve (b, f(b)) noktaları kırılma noktalarıdır.
Bu fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir.
y
a
0
b
x
– |a – b|
ESEN YAYINLARI
|b – a|
ÖRNEK 135
f : [0, 2π ] → R , f(x) = |sinx| + sinx fonksiyonunun
grafiğini çiziniz.
Çözüm
ÖRNEK 133
f : R → R , f(x) = |x + 2| – |x| fonksiyonunun grafiğini
çiziniz.
Çözüm
51
Fonksiyonlar
BAĞINTI GRAFİKLERİ
ÖRNEK 137
y
y = f(x)
ÖRNEK 136
|y| = x bağıntısının grafiğini çiziniz.
Çözüm
–3
0
2
4
x
y = f(x) fonksiyonunun grafiği yukarıdaki gibidir.
Buna göre |y| = f(x) in grafiğini çiziniz.
Pratik Yol:
|y| = f(x) bağıntısının grafiği çizilirken y = f(x) in
grafiği çizilir.
Çizilen grafiğin y > 0 olan bölgesindeki kısmı ile
bu kısmın x eksenine göre simetriğinin birleşimi
|y| = f(x) in grafiğini oluşturur.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 138
|y – x| = 2 bağıntısının grafiğini çiziniz.
|y| = x bağıntısının grafiğini pratik yoldan çizelim.
y
y
y=x
|y| = x
x
0
x
0
|y| = x + 1 bağıntısının grafiğini pratik yoldan çizelim.
y
–1
y
y=x+1
|y| = x + 1
1
1
0
x
–1
0
–1
52
x
Çözüm
Fonksiyonlar
ÖRNEK 139
|y – x| ≤ 2 bağıntısının grafiğini çiziniz.
Pratik Yol:
Çözüm
|y| = |f(x)| bağıntısının grafiği çizilirken
y = f(x) in grafiği ile bu grafiğin x eksenine göre
simetriğinin birleşimi alınır.
y
y = f(x)
a
0
b
x
y
|y| = | f(x) |
ÖRNEK 140
|y – x2| ≤ 1 bağıntısının grafiğini çiziniz.
a
ESEN YAYINLARI
Çözüm
0
b
x
ÖRNEK 142
|y| = |sinx| bağıntısının [–2π, 2π ] aralığındaki grafiğini çiziniz.
Çözüm
ÖRNEK 141
|y| = |x – 1| bağıntısının grafiğini çiziniz.
Çözüm
53
Fonksiyonlar
ÖRNEK 145
y
Pratik Yol:
y = f(x)
y = f (|x| ) fonksiyonunun grafiği çizilirken
2
y = f(x) in grafiği çizilir.
Çizilen grafiğin x > 0 olan bölgesindeki kısmı ile
–2 –1
bu kısmın y eksenine göre simetriğinin birleşimi
alınır.
0
3
x
–2
y = f(x) fonksiyonunun grafiği yukarıdaki gibidir. Buna
göre, y = –f(x) , y = f(–x) , y = |f(x)| , |y| = f(x) fonk-
ÖRNEK 143
siyonlarının grafiklerini çiziniz.
y
y = f(x)
d
a
0
Çözüm
x
c
b
y = f(x) in grafiği yukarıdaki gibidir.
Buna göre y = f( |x| ) in grafiğini çiziniz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 144
Aşağıda y = f(x) ile y = f( |x| ) fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir. İnceleyiniz.
y
y
2
–2
54
0
2
y = f(x)
1
x
–1
0
y = f( |x| )
1
x
ALIŞTIRMALAR – 4
1.
f(x) = )
x –1 , x > 2
x2 , x ≤ 2
g(x) = )
4.
f(x) = )
x+1 , x < 3
2–x , x≥3
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x
, x≥1
2x – 1 , x < 1
fonksiyonları için aşağıdakilerin her birini bulunuz.
a.
(fog)(2)
5.
(gof)(–1)
c.
(f – g)(x)
6.
2.
1– x , x ≤ 2
x2 , x > 2
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ESEN YAYINLARI
b.
f(x) = )
Z 2
x≤0
]] x + 1 ,
f(x) = [ 1
, 0<x≤2
]]
x –1 ,
x>2
\
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
f : R → R , f(x) = 2 – |x| fonksiyonunun görüntü
kümesi nedir?
3.
x , x≥0
f(x) = )
3x , x < 0
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
7.
Z x+2 ,
x≤0
]
2
, 0<x<2
f(x) = [ x
]
4
,
x≥2
\
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
55
Fonksiyonlar
8.
10. Aşağıdaki fonksiyonların en küçük değerlerini
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
bulunuz.
a.
2|x + 1| – 4 = 0
a.
f(x) = |x – 2| + |x – 4|
b.
3|x – 1| + 4 = 1
b.
f(x) = |2x – 1| + |x – 2|
c.
||x – 2| – 1| = 4
c.
f(x) = |x – 2| + |x| + |x + 4|
d.
|x| – 2x + 1 = 0
e.
x|x – 3| = 4
f.
|x – 2| + |x| = 2
11. f(x) = |x – 4| – |x – 1| fonksiyonunun en küçük ve
9.
ESEN YAYINLARI
en büyük değerlerini bulunuz.
12. f(x) = |x – 2| – |x – 4| fonksiyonunun görüntü
kümesinde kaç tane tam sayı değeri vardır?
Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulunuz.
a.
|x – 2| – 1 < 3
13. f(x) =
b.
|3x – 1| > – 4
c.
2 < |x – 1| ≤ 4
x 2 – 2x + 1 –
x 2 + 4x + 4
fonksiyonu-
nun görüntü kümesini bulunuz.
14. a > 0 olmak üzere,
f(x) = |x + 4| – |x – a| fonksiyonunun görüntü
d.
56
|x – 1| + |x – 4| < 4
kümesi [–6, 6 ] olduğuna göre a kaçtır?
Fonksiyonlar
15. Aşağıdaki tablonun sol sütununda bulunan fonk-
16. Aşağıdaki tablonun sol sütununda bulunan fonk-
siyonların grafiklerini sağ sütunda bulup eşleştiri-
siyonların grafiklerini sağ sütunda bulup eşleştiri-
niz.
niz.
y
y
2
a.
y = |x|
a.
1.
0
y = 2 – |x|
2
1.
1
x
0
x
–2
y
y
3
y = |1 –
b.
2.
0
3
y = log 1 x
3.
4
1
2.
0
x
1
y
y
c.
y = |x2 – 1| + 1
x
x
0
ESEN YAYINLARI
b.
x2|
4
c.
y = |x – 2| – x
0
3.
2
x
–2
–4
y
y
2
1
d.
y = |3 – x|
d.
4.
0
3π
2
π
2
e.
y = |cosx|
2π
y = |x – 1| + |x|
x
–1
1
2
1
x
5.
–2
x
1
y
e. y=|x–2| – |x+2|
–1
0
y
5.
0
1
4.
2
0
57
x
Fonksiyonlar
17.
20. Aşağıdaki tablonun sol sütununda bulunan ba-
y
ğıntıların grafiklerini sağ sütunda bulup eşleştiri-
y = f(x)
niz.
2
0
y
x
1
2
Yukarıdaki y = f(x) in grafiğine göre y = f(|x|)
a.
|y – 1| = x
1.
x
0
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
–2
y
1
18.
b.
y
|y + x| ≤ 1
2.
x
0
–1
3
–1
–2
2
0
y
x
y = f(x) in grafiği yukarıdaki gibidir. Buna göre
y = –|f(x)| in grafiğini çiziniz.
ESEN YAYINLARI
y = f(x)
c.
|y| + |x| = 1
3.
1
0
x
1
y
1
d.
19.
|y| = |x + 1|
4.
1
–1
x
0
y
–1
2
–2
0
1
3
y = f(x) in grafiği yukarıdaki gibidir. Buna göre
|y| = f(x) in grafiğini çiziniz.
58
y
x
1
e.
|y – x2| ≤ 2
5.
–1
0
–1
1
x
TEST – 1
1.
5.
Aşağıdaki fonksiyonlardan kaç tanesi bire birdir?
I.
f:R→R
, f(x) = 2 – 3x
II.
f:R→R
, f(x) = x2 + 2
III. f : R → R
, f(x) =
3
yondur?
x –1
I.
f(x) = x3 + x – 1
II.
f(x) = sinx + cosx
III. f(x) = 2 – cosx
IV. f : R+ → R , f(x) = x2 – 4
IV. f(x) = 5
, f(x) = x3 + 1
V. f : R → R
Aşağıdaki fonksiyonlardan kaç tanesi çift fonksi-
V. f(x) = x2 + cosx + 1
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A) 1
A) f : R– → R
6.
, f(x) = x2
2
B) f : R → R
, f(x) = x + 1
C) f : R → R
, f(x) =
+
3.
D) 4
E) 5
4
x
D) f : R → R
, f(x) = lnx
E) f : R+ → R
1
, f(x) = log2
x
A) 101–x – 1
f : A → (2, 5 ] , f(x) = 2 – 3x fonksiyonu bire bir
7.
D) (–1, 0 ]
2x – 1
x+2
fc
m=
x
x
B) [–13, –1)
D) 5 – 3x
10 1– x – 1
E)
10 x + 1 + 1
10 1– x + 1
D) 10x+1 + 1
f : R+ → R , f(x) = 2(log3x) – 1 ise
A) 9
C) [–1, 0)
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
E) [–1, 5)
8.
ise f(x) aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 5 – 2x
C)
B)
f –1(3) kaçtır?
dir?
A) (–1, 5 ]
f : (1, ∞) → R , f(x) = 1 – 2log(x – 1) ise
f –1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
ve örten ise A kümesi aşağıdakilerden hangisi-
4.
C) 3
Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi artandır?
ESEN YAYINLARI
2.
B) 2
B) 2x + 5
C) 2x – 5
E) 3x – 5
f(x) = 2x + 3 ise f(x + 1) in f(x – 1) cinsinden
ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4 + f(x – 1)
B) 2 + f(x – 1)
C) f(x – 1) – 2
D) f(x – 1) – 4
E) f(x – 1) + 1
63
Fonksiyonlar
9.
2
x–3
f (x) =
13. f(x) = )
fonksiyonunun en geniş tanım
kümesi nedir?
A) [3, ∞)
B) [2, ∞)
D) (– ∞, 3)
g(x) = )
C) (3, ∞)
E) (–∞, 3 ]
x+2 , x > 0
2–x , x≤0
3x + 2 , x ≥ 1
2x + 3 , x < 1
ise (f + g)(x) aşağıdakilerden hangisidir?
Z x+5 ,
x≤0
]
A) [ 2x + 5 , 0 < x < 1
]
x≥1
\ 4x + 4 ,
10. f (x) =
x2 + 1
x 2 – 4x + 5
Z x+4 ,
x≤0
]
B) [ 2x + 5 , 0 < x < 1
]
x≥1
\ 4x + 4 ,
fonksiyonunun en geniş ta-
Z x+5 ,
x≤0
]
C) [ 3x + 5 , 0 < x < 1
]
x ≥ 1
\ 4x + 4 ,
nım kümesi nedir?
A) R – {–1, 5 }
B) R – {1, 5 }
Z x+5 ,
x≤0
]
D) [ 3x + 5 , 0 < x < 1
]
x≥1
\ 4x + 3 ,
E) R
Z x+4 ,
x≤0
]
E) [ 3x + 5 , 0 < x < 1
]
x≥1
\ 4x + 4 ,
ESEN YAYINLARI
D) R – {– 4, 1 }
C) R – {–5, 1 }
11. 3|x – 2| – |4 – 2x| = 6 denkleminin kökler toplamı
kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
14. f(x) = *
x2 + 1 , x < 0
1– x , x ≥ 0
fonksiyonu için f –1(x) aşağıdakilerden hangisi-
E) 6
dir?
A) (– ∞, 2)
E) c – 3,
D) (5, ∞)
1. D
64
2. D
C) c
B) (2, 5)
3. C
4. A
5. C
– x –1 , x < 1
1– x
, x≥1
x –1
1+x
8. A
, x<1
, x≥1
– x –1 , x < 0
1– x
, x≥0
E) *
7
m
2
7. A
B) *
D) *
7
, 3m
2
6. B
x –1 , x < 0
1 – x , x ≥ 0
C) *
x–2
< 1 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
x–5
12.
A) *
9. C
x+1
1– x
, x<1
, x≥1
10. E
11. C
12. E
13. C
14. B
TEST – 4
1.
5.
R → R ye tanımlanmış aşağıdaki fonksiyonların
kaç tanesi tektir?
f : R → R+ , f(x) = e1–x ise
f –1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
I.
f(x) = tanx + 1
II.
f(x) = sinx.cosx
A) 2 + lnx
B) lnx – 1
D) 1 + lnx
C) 2 – lnx
E) 1 – lnx
3
III. f(x) = x + x – 1
IV. f(x) = x + sinx
V. f(x) =
A) 1
x3
x2 + 2
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
6.
f : R → R+ , f(x) = 3.2x–2 ise f –1(6) kaçtır?
A) 1
2.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
f(x) fonksiyonu çift fonksiyondur.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
ESEN YAYINLARI
(x2 – 1)f(x) + f(–x) = x4 + x2 ise f(1) kaçtır?
7.
3.
f : R → R , f(x) =
mx – 4
3
A) –3
f –1(m) = 2 ise m kaçtır?
A) –6
4.
fc
B) –5
C) – 4
D) –3
B) –2
C) –1
D) 1
E) 3
E) –2
1– x
m = x + 1 ise f(x) aşağıdakilerden hanx+2
8.
f(x) =
4 – x –1
x2 – 4
fonksiyonunun en geniş
tanım aralığı nedir?
gisidir?
A)
4x + 1
fonksiyonu
2x + 6
bire bir ve örten ise m + n kaçtır?
f : R – {n } → R – {m } , f(x) =
x+2
x –1
2–x
D)
x –1
B)
2–x
x+1
x+2
E)
x+1
C)
x–2
x+1
A) [–6, 3 ] – {–2, 2 }
B) [–6, 2 ] – {–2 }
C) [– 4, 2 ] – {–2 }
D) [–5, 3 ]
E) [–3, 5 ] – {–2, 2 }
69
Fonksiyonlar
9.
13. f(x) = |x – 8| – |x + 1| fonksiyonunun görüntü kü-
x2 + x – 2
fonksiyonunun en geniş tax 2 – mx + 1
nım kümesi R olduğuna göre m hangi aralıkta
f(x) =
mesi nedir?
A) [–9, 9 ]
değer alır?
B) [0, 9 ]
D) (– ∞, 8 ]
A) (–∞, –2)
B) (–2, 2)
D) (– ∞, 2)
E) (–2, ∞)
y
A) –2
y = f(x)
0
–2
| |x| – 2 | = x
E) [9, ∞)
C) (2, ∞)
14.
10.
C) [–8, 0 ]
1
x
3
denkleminin kökler toplamı kaçtır?
B) –1
C) 0
D) 1
Şekilde y = f(x) in grafiği verilmiştir. Buna göre
E) 2
ESEN YAYINLARI
f (x)
≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
x –1
11. x x 2 – 6x + 9 = 4 denkleminin çözüm kümesi
B) {–1, 4 }
D) {–1, 2 }
B) (– ∞, –2 ]
C) [–2, ∞) – {1 }
D) (1, ∞)
E) (– ∞, –2 ] ∪ {3 }
y
15.
aşağıdakilerden hangisidir?
A) {–1 }
A) [–2, 1)
C) {4 }
E) {2 }
–1
2
0
x
4
y = f(x)
Şekilde y = f(x) in grafiği verilmiştir. Buna göre
f(x – 1)f(x + 1) > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi
nedir?
A) (– ∞, –2) ∪ (0, 1) ∪ (5, ∞)
B) (–2, 0) ∪ (1, 5)
12. f(x) = |x – 2| + |x – 4| + |x + 1| fonksiyonunun en
C) (– ∞, –2) ∪ (5, ∞)
küçük değeri kaçtır?
A) 3
1. C
2. B
70
B) 4
3. C
C) 5
4. B
D) (– ∞, –2) ∪ (0, 1)
D) 6
5. E
E) (–2, 0) ∪ (1, 3) ∪ (5, ∞)
E) 7
6. C
7. C
8. E
9. B
10. D
11. C
12. C
13. A
14. C
15. A
TEST – 5
1.
f : R → R , f(x) = 1 +
3
x + 1 ise f(7) + f –1(3)
5.
kaçtır?
A) – 4
B) 2
C) 6
D) 8
f(x) =
x –1 +2
x –1 – 2 – 2
fonksiyonunun en geniş
tanım kümesi nedir?
E) 10
A) R – {–3, 1 }
B) R – {–3, 5 }
C) R – {1 }
D) R – {–3, 1, 5 }
E) R – {–3, –1, 5 }
2.
f : R → R , f(x) = x3 + 3x2 + 3x ise f –1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A)
3
x+1
D)
B)
3
3
x –1 + 1
x –1
E)
C)
3
3
x+1 – 1
6.
x+1 + 1
f(x) =
x 2 – 2x + 8
–x 2 + 2x + 8
fonksiyonunun en geniş
tanım kümesi nedir?
B) R – (–2, 4)
C) R – [–2, 4 ]
D) (–2, 4)
E) [–2, 4 ]
ESEN YAYINLARI
3.
A) R
f : R+ → R , f(x) = 1 – 2 lnx ise f –1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A)
ex – 2
D)
B)
ex – 1
e2 – x
E)
C)
e 1– x
7.
ex + 1
f(x) =
fonksiyonunun en büyük
değeri kaçtır?
A) 5
4.
24
x –1 + x – 4
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
f(lnx) = x2 + ex ise f(x) aşağıdakilerden hangisidir?
8.
A) e2x + 1
B) e2x + ex
D) ex + ex+1
C) e2x + ex+1
E) 1 + e2x–1
f(x) = |x – 8| – |x + 12| fonksiyonunun görüntü
kümesinde kaç tam sayı vardır?
A) 43
B) 41
C) 40
D) 21
E) 20
71
Fonksiyonlar
9.
11. |y| = x – 1 bağıntısının grafiği aşağıdakilerden
f(x) = |x|.|x – 2| fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
hangisidir?
B)
y
y
A)
B)
y
y
1
C)
x
0
–2
0
D)
y
C)
2
D)
y
–1
–1
ESEN YAYINLARI
0
x
12. f(x) = |x – 2| + |x| + x fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
lerden hangisidir?
B)
A)
y
B)
y
y
2
0
1
–1
C)
1
0
x
–1
x
4
0
2
x
2
0
D)
y
C)
y
D)
y
4
–1
x
0
E)
x
0
y
x
y
y
1
x
0
10. f(x) = x2 + |x| fonksiyonunun grafiği aşağıdaki-
A)
0
x
–1
E)
0
0
x
y
–2
1
x
–1
x
2
E)
0
y
0
0
x
2
1
2
x
y
4
2
x
0
E)
y
2
x
0
2
x
y
4
1
0
1. E
72
2. C
3. C
2
x
0
4. C
5. D
6. D
7. D
8. B
x
2
9. C
10. C
11. D
12. B
TEST – 9
1.
f(ax + b) =
5.
2x + 1
olmak üzere f(x) fonksiyonux+2
B) –1
C) 0
D) 1
y
grafiği verilmiştir.
nun tanım kümesi R – {b – 2 } ise a kaçtır?
A) –2
Şekilde y = f(x) in
Buna göre |y| = f(x) in
E) 2
x
0
grafiği aşağıdakilerden
y = f(x)
hangisidir?
A)
B)
y
x
0
2.
y
x
0
f(x) = log2(x2 – mx + 9) fonksiyonunu ∀x ∈ R
C)
için tanımlı ise m hangi aralıkta değer alır?
A) (0, 6)
B) (–6, 0)
D) (– ∞, 0)
D)
y
y
C) (–6, 6)
x
0
E) (0, ∞)
E)
x
0
y
x
ESEN YAYINLARI
0
3.
| |x – 1| – 2 | ≤ 12 eşitsizliğinin çözüm kümesi
nedir?
6.
y
Şekilde y = f(x) in
grafiği çizilmiştir.
–1
2
A) [–11, 14 ]
B) [–11, 12 ]
D) [–12, 15 ]
C) [–13, 15 ]
E) [–12, 14 ]
grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
D) (–2, 2) – {0 }
C) (–2, 2)
–1 0
D)
2
0
E)
y
x
y
–1
B) (0, 2)
2
0
C)
A) (–2, 0)
B)
y
–1
x2 < 2|x| eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?
y = f(x)
|y| = |f(x)| bağıntısının
A)
4.
x
0
Buna göre
x
2
y
–1
0
2
y
–1
0
2
x
x
E) [–2, 2 ] – {0 }
79
x
Fonksiyonlar
7.
f(x) = x2 – 4|x| fonksiyonunun grafiği aşağıdaki-
9.
lerden hangisidir?
A)
den hangisidir?
B)
y
A)
y
x
0
–1 0
C)
y
–4
0
–4
4
0
x
4
4
1
B)
y
ESEN YAYINLARI
ğıdakilerden hangisidir?
x
0
1
x
A)
–2
0 1
x
1
hangisidir?
3
x
0
10. |y| = x2 – 1 bağıntısının grafiği aşağıdakilerden
y
3
B)
y
x
0
–1
1
y
x
–1
0
1
x
–3
–3
C)
y
x
f(x) = |x + 2| + |x – 1| fonksiyonunun grafiği aşa-
0 1
x
1
y
–1
–2
D)
0
E)
0
A)
x
1
y
x
y
–4
8.
y
0
D)
y
E)
B)
y
x
0
C)
f(x) = |lnx| fonksiyonunun grafiği aşağıdakiler-
D)
y
y
C)
D)
y
y
3
1
–2
0
E)
1
x
–2
0
1
–1
x
E)
y
3
1. D
80
0
–1
1
2. C
x
–1
0
1
x
y
1
0
–2
1
0
x
x
3. C
4. D
5. A
6. A
7. C
8. E
9. B
10. A
TEST – 10
1.
f(x) = x|x| – x2 fonksiyonunun grafiği aşağıdaki-
3.
lerden hangisidir?
A)
f(x) = |x| – |x + 1| + |x – 2| fonksiyonunun grafiği
aşağıdakilerden hangisidir?
B)
y
A)
y
B)
y
y
4
0
x
x
0
4
1
1
2
–1 0
–1
C)
D)
y
x
0
y
C)
4
1
–1 0
–1
2
x
–1 0
–1
1
x
y
E)
y
4
x
0
x
x+ x
fonksiyonunun grafiği aşağıdaki2
lerden hangisidir?
f(x) =
A)
4.
|x + y| ≤ 1 bağıntısının grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
B)
y
ESEN YAYINLARI
–1 0
2.
x
y
4
2
E)
–1 0
–1
D)
y
x
0
2
x
B)
y
1
–1
0
C)
0
x
D)
y
y
y
x
–1
–1
C)
y
x
1
0
1
0
x
1
–1
D)
y
y
1
x
0
E)
0
x
1
0
E)
y
1
–1
x
0
1
x
–1
y
1
1
0
x
0
–1
x
–1
81
Fonksiyonlar
5.
|x2 + y2| < 1 bağıntısının grafiği aşağıdakilerden
7.
hangisidir?
A)
B)
0
x
–1
–1
0
–2
1
D)
2
hangisidir?
A)
x
–1
0
B)
y
y
2
1
0
1
x
2
0
–2
C)
2
x
0
–3
y
1
1
–2
0
–3
y
2
E)
1
1
0
x
0
–3
x
1
y
2
x
–1
0
f(x) = x + |x| fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
ESEN YAYINLARI
–3
8.
1
x
Şekilde y = f(x)
y
fonksiyonunun
B)
y
y = f(x)
2
grafiği çizilmiştir.
–1
Buna göre
y
x
2
D)
y
–1
A)
x
1
grafiği aşağıdakilerden
x
y
1
6.
0
–1
y
E)
2
–1
y = |f(x + 1)| in
1
1
2
Buna göre
y
1
C)
y
grafiği verilmiştir.
y
–1
Şekilde y = f(x) in
0
x
2
y = f(|x|) in
grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
x
0
x
0
A)
B)
y
y
2
C)
D)
y
y
0
x
0
–1 0
x
C)
D)
2
x
y
2
x
–2
y
0
2
–2
y
2
x
0
–2
82
–1 0
0
E)
1. A
x
1
y
–1
E)
2
2. A
3. A
4. E
5. B
0
2
6. C
x
7. E
8. D
x
TEST – 12
1.
3.
|x + y| > x + y bağıntısının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
nunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
B)
y
y
x
0
f : [–π, π ] → R , f(x) = |cosx| + cosx fonksiyo-
A)
D)
y
y
x
0
–π
C)
B)
y
y
π
2
0
π
2
C)
π
x
–π
0
D)
y
x
–π
E)
2
x
0
y
π
2
0
E)
x
y
2
0
π
π
2
π
x
x
–π
0
π
y
x
0
0
π
x
ESEN YAYINLARI
–π
2.
y = |x – 2|.|x + 2| fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
C)
–2
E)
0
–1
x
C)
y
4
0
2
0
D)
2
2
x
2
x
D)
y
1
0
1
x
1
x
0
–1
y
1
4
0
0
x
0
–1
x
y
E)
y
y
1
–2
0
B)
y
1
x
y
–2
kilerden hangisidir?
4
2
0
f(x) = |x – 1| – x fonksiyonunun grafiği aşağıda-
A)
y
2
–2
4.
2
1
x
x
85
Fonksiyonlar
5.
aşağıdaki
8.
y
Yandaki grafik
1
fonksi–1
yonlardan hangisine
0
ait olabilir?
Yandaki grafik
y
aşağıdaki fonksi1
yonlardan hangi-
x
sine ait olabilir?
–1
x
0
–1
A) f(x) = |x| – x + 1
A) f(x) = |x + 1| + 1
B) f(x) = |x + 1| + x
B) f(x) = |x + 1| – |x| + 1
C) f(x) = |x + 1| + |x|
D) f(x) = |x + 1| – x
C) f(x) = |x + 1| – |x|
E) f(x) = |x + 1| – |x|
D) f(x) = |x| – |x + 1| + 2
E) f(x) = |x + 1| – x
9.
Yandaki grafik aşağıdaki
y
bağıntılar-
dan hangisine ait
y
Yandaki grafik aşağıdaki
–2
1
olabilir?
x
0
A) |y| = x + 1
C) y =
x
x2
x
0
fonksiyon-
lardan hangisine ait
ESEN YAYINLARI
6.
2
olabilir?
D) y =
B) |y| ≤ x2 + 2
C) |y – x2| ≥ 2
D) |y| ≥ x2 + 2
E) |y + x2| ≤ 2
B) y = |x| + 1
+1
A) |y – x2| ≤ 2
x2
+1
x
E) y = |x| + 2 – x
10. Yandaki
7.
ğıdaki
olabilir?
1
ait olabilir?
fonksiyon-
lardan hangisine ait
y
2
tılardan hangisine
y
Yandaki grafik aşa-
grafik
aşağıdaki bağın-
–2
2
0
1
–1
0
1
2
x
–1
x
–2
A) y = |x – 1| + 1
B) y = |x – 1|
A) |y| – |x| ≤ 2
B) 1 ≤ |y| + |x| ≤ 2
C) y = |x – 1| + |1 – x|
D) y = |2x – 1|
C) 1 ≤ |y + x| ≤ 2
D) 1 ≤ |y – x| ≤ 2
E) 1 ≤ |y| – |x| ≤ 2
E) y = |x| + 2
1. C
86
2. C
3. A
4. D
5. C
6. D
7. C
8. D
9. A
10. B
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
1.
4.
1971 – ÜSS
1975 – ÜSS
Aşağıdakilerden hangisi f(x) = |–x + 1| fonksi-
y = x2 – |x2 – x| in [0, 3 ] aralığındaki en küçük
yonunun grafiğidir?
değeri nedir?
2
A)
B)
y
–1
1
A) 0
x
0
C)
y
–1
0
D)
y
1
0
E)
0
D) –
1
8
E) –3
–1
0
1
1975 – ÜSS
x
y
y
–1
1
4
y
x
1
C) –
x
5.
–1
B) –1
1
1
x
0
1
x
2
Şekilde verilen eğri, aşağıdaki fonksiyonlardan
hangisinin grafiği olabilir?
1973 – ÜSS
x ∈ R olduğuna göre
f : x → f(x) =
1– x
fonksiyonunun tanım kü-
mesi nedir?
A) {x : –1 < x < 1 }
B) {x : –1 ≤ x < 1 }
C) {x : –1 ≤ x ≤ 1 }
D) {x : x < –1 } ∪ {x : x > 1 }
A) y = x2 – |x2 – x + 2|
ESEN YAYINLARI
2.
B) y = x2 – |x –
Z
2
]] x
C) y = [ 1
]]
x –1
\
D) y = *
E) {x : x > 1 }
3.
x2
x–2
2|
, x<1
, x=1
, x>1
, x≤1
, x >1
Z
x2
, x<1
]
]
r
E) y = [ sin b l x 2 , x = 1
2
]
]
x
, x>1
\
1973 – ÜSS
y
1
–1
0
1
x
6.
Yukarıdaki eğri aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiğidir?
A) f : x → f(x) = |x2 – 1|
1976 – ÜSS
A = R – {2 } , B = R – {3 } ve f : A → B
f(x) =
dir?
B) f : x → f(x) = x2 – 1
C) f : x → f(x) = 1 – x2
D) f : x → f(x) = 1 + x2
E) f : x → f(x) = |x2 + 1|
3x – 1
nin tersi aşağıdakilerden hangisix–2
A)
x–3
2x – 1
D)
B)
2–x
1 – 3x
2x + 1
x–3
E)
C)
2x – 1
x–3
1 – 2x
x–3
87
Fonksiyonlar
7.
1976 – ÜSS
10. 1977 – ÜSS
x∈R, x<
y
1
1
olmak şartıyla,
2
f(x) = 1 – | x – |1 – x| |
fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğru-
0
–1
x
1
dur?
A) f(x) = 2x
–1
B) f(x) = 0
D) f(x) = 2 – 2x
C) f(x) = 2x + 2
E) f(x) = 2
Şekildeki düzlemsel bölgeyi aşağıdakilerden
hangisi gösterir?
11. 1978 – ÜSS
A) {(x, y) : |x| ≤ 1 ve |y| ≤ 1 }
y
B) {(x, y) : |x| < 1 ve |y| < 1 }
a
C) {(x, y) : |x + y| ≤ 1 }
D) {(x, y) : |xy| ≤ 1 }
a
E) {(x, y) : |x + y| ≤ 1 ve xy ≥ 0 }
0
x
–a
1977 – ÜSS
ESEN YAYINLARI
8.
y
1
0
1
x
2
Grafiği verilen fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?
A) y =
x–a
a
C) y = |x – a| – |x|
B) y = |x| + |x – a|
D) y = |x| – |x – a|
E) y = x|x – a|
Şekilde verilen grafiğin denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) y = |x + 1|
B) y = |x| – 1
D) y = |x – 1|
9.
C) y = 1 – |x|
E) y = |x| + 1
1977 – ÜSS
|x| + |y| = 1 bağıntısının grafiği nedir?
A) Bir doğru
12. 1979 – ÜSS
f(x) = | x – |–x| | – 2 fonksiyonu, aşağıdaki fonksiyon çiftlerinden hangisine denktir?
A) *
x ≥ 0 , f ( x) = – 2
x < 0 , f (x) = –2x – 2
B) *
x ≥ 0 , f (x) = 2x – 2
x < 0 , f (x) = 2x – 2
C) *
x ≥ 0 , f ( x) = – 2
x < 0 , f (x) = 2x – 2
D) *
x ≥ 0 , f (x) = 2x – 2
x < 0 , f ( x) = – 2
E) *
x ≥ 0 , f (x) = – 2x – 2
x < 0 , f ( x) = – 2
B) Bir ışın
C) Başlangıç noktasına göre ikişer ikişer simetrik olan iki çift doğru
D) Bir çift doğru
E) Bir kare
88
Fonksiyonlar
13. 1979 – ÜSS
15. 1982 – ÖYS
f ve g, R de aşağıdaki şekilde tanımlı iki fonksi-
y
yon olduğuna göre,
5
f : x → x – |x|
3
g : x → 2x – 1
(gof)(x) in analitik düzlemdeki grafiği aşağıdaki-
0
4
x
6 7
lerden hangisidir?
A)
B)
y
y
Bir y = f(x) fonksiyonunun grafiği yukarıda verilmiştir. f [ f (x) ] = 3 olduğuna göre x in değeri
0
x
0
nedir?
–1
–1
C)
x
D)
y
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
y
x
0
16. 1982 – ÖYS
x
0
–1
y
–1
f(x)
E)
ESEN YAYINLARI
y
x
0
–1
0
–1
x
1
–1
Şekildeki eğri f(x) fonksiyonunun grafiği olduğu1
( |f(x) | + f(x) ) in grafiği aşağıdaki2
lerden hangisidir?
na göre y =
A)
B)
y
y
1
–1
0
1
x
–1
–1
C)
D)
f, R den R ye x → f(x) =
–2x
biçiminde verilen
x+a
bir fonksiyondur. f(x) = f –1(x) olması için a ne
0
1
x
–1
E)
y
–1
0
1
–1
y
olmalıdır?
A) 3
B) 2
C) 1
D) –1
E) –2
–1
0
x
1
1/2
14. 1981 – ÖYS
1
–1
y
–1
0
1
x
–1
89
x
Fonksiyonlar
17. 1983 – ÖYS
y =
3– x+4
20. 1988 – ÖYS
f(x) = ax2 + bx + c , x ∈ R iken f(x) = f( |x| )
fonksiyonunun tanım aralığı
aşağıdakilerden hangisidir?
olması için aşağıdakilerden hangisi gereklidir?
A) –3 ≤ x ≤ 4
A) c = 1
B) –7 ≤ x ≤ –1 C) 3 ≤ x ≤ 4
D) – 4 ≤ x ≤ –3
B) c = 0
D) b = 0
E) 1 ≤ x ≤ 7
C) b = –1
E) a = 1
21. 1988 – ÖSS
y
18. 1987 – ÖYS
2y = x + |x| fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
C(1, 1)
A)
B)
y
–1
x
C
0
x
1
y
A
0
1
D
A(–1, –1)
B
–1
x
0
Yukarıdaki şekilde ABCD karesinin iç bölgesinin
analitik ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
D)
y
x
0
E)
y
0
x
y
ESEN YAYINLARI
C)
A) |x| < 1 ve |y| < 1
B) x < 1 ve y < 1
C) |x| < 2 ve |y| < 2
D) |x| = 1 ve |y| = 1
E) |x| = 1 ve |y| < 1
22. 1989 – ÖYS
0
x
f(x) = |2 – x| – x fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A)
B)
y
y
2
–2
C)
D)
1 2
0
vardır?
x
–2
B) {(1, 12), (2, 11), (3, 11) }
C) {(1, 10), (2, 10), (3, 11) }
D) {(1, 10), (2, 10), (3, 10) }
E) {(1, 12), (2, 11), (3, 12) }
90
E)
0
–2
y
2
0
y
2
2
Bu fonksiyonlardan hangisinin ters fonksiyonu
x
–2
y
aşağıdaki fonksiyonlar tanımlanıyor.
A) {(1, 11), (2, 10), (3, 12) }
0
–2
19. 1988 – ÖYS
{1, 2, 3 } kümesinden {10, 11, 12 } kümesine
2
x
0
2
x
1 2
x
Fonksiyonlar
23. 1990 – ÖYS
25. 1997 – ÖYS
f : R – {2 } → R – {3 }
x – |y| < 0 bağıntısını sağlayan düzlemsel taralı
bölge aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
y=x
f(x) =
y
y = –x
y=x
ax – 4
veriliyor.
3x – b
f(x) fonksiyonu bire-bir ve örten olduğuna göre
(a, b) sıralı ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?
x
0
x
0
A) (5, 4)
y = –x
C)
D)
y
y=x
B) (2, 3)
D) (6, 6)
C) (2, 6)
E) (9, 6)
y
y = –x
y=x
x
0
x
0
y = –x
26. 1997 – ÖSS
E)
y
y = –x
y=x
f(x) : R – {1 } → R – {3 } , x =
f ( x) + 2
olduğuna
3 – f ( x)
göre f –1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
x
0
x–3
x+1
ESEN YAYINLARI
A)
D)
B)
x+3
x–2
2x + 1
3–x
C)
x+2
3–x
2x + 3
3–x
E)
24. 1990 – ÖYS
Z 1
,
x<0
]
–1 , x < 0
f(x) = )
g(x) = [ x + 1 , 0 ≤ x < 1
x –1 , x≥ 0
] 0
,
1≤ x
\
olduğuna göre (f + g)(x) in grafiği aşağıdakiler-
27. 1997 – ÖSS
y
den hangisidir?
A)
f(x)
2
B)
y
y
2
0
1
–1
C)
2
0
x
0
x
1
D)
y
–3
y
1
x
0
E)
y
0
–1
0
1
x
Yukarıdaki grafiğe göre verilen f(x) fonksiyonu
[0, 2 ] de bire-bir ve örtendir.
Buna göre,
1
x
1
x
A) –
5
2
f (2) + f –1 (2)
değeri kaçtır?
f (f (1))
B) –
3
2
C) 0
D)
1
2
E)
91
3
2
Fonksiyonlar
28. 1997 – ÖYS
32. 1999 – ÖSS
y
f(x) = |x – 2| – |x| olduğuna göre,
f(–1) + f(0) + f(1) toplamı kaçtır?
A) – 4
B) –2
C) 0
D) 2
3
E) 4
f(x)
2
0
29. 1998 – ÖSS
g(x)
–2
2x + 1
fonksiyox –1
nunun değer kümesi aşağıdakilerden hangisi-
x
6
4
R – {1 } de tanımlanan f(x) =
Yukarıda f doğrusal fonksiyonu ile g fonksiyo-
dir?
nunun grafikleri verilmiştir. Buna göre,
A) R
B) R – {3 }
D) R – {1 }
(f –1og)(6) + (gof –1)(–1) değeri kaçtır?
C) R – {2 }
E) R – {0 }
A)
3
2
B)
5
2
C) 0
D) 3
E) 9
30. 1998 – ÖYS
f –1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) –9 –
x+9
B) –3 –
x+9
C) –3 –
x + 11
D) 6 –
x + 11
E) 3 +
11x
31. 1998 – ÖSS
ESEN YAYINLARI
x < –3, f(x) = x2 + 6x – 2 olduğuna göre
33. 2000 – ÖSS
y
y
g(x)
3
g(x) = x3
2
0
8
1
2
3
4
f(x)
x
0
2
–2
f(x)
Yukarıda f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafiği
verilmiştir. Grafikteki bilgilere göre,
92
1
2
B) –1
C) 0
D) 1
Yukarıdaki şekilde, f(x) fonksiyonu ile g(x) = x3
fonksiyonunun grafikleri verilmiştir. Buna göre
g (1) + (fog) (2)
değeri kaçtır?
f (4)
A) –
x
4
(fog–1of)(0) değeri kaçtır?
E)
1
2
A) – 4
B) –2
C) 0
D) 4
E) 8
Fonksiyonlar
34. 2003 – ÖSS
37. 2007 – ÖSS
|3y – 9| – x = 0 bağıntısının grafiği aşağıdakiler-
f(x) = ||x – 3| – 2| fonksiyonunun grafiği ile
den hangisi olabilir?
g(x) = 4 fonksiyonunun grafiğinin kesim noktala-
A)
B)
y
rının apsisleri toplamı kaçtır?
y
A) 16
3
3
C)
D)
y
3
E)
9
C) 10
E) 6
x
y
0
9
x
38. 2009 – ÖSS
y
y
3
0
f(x)
3
x
9
2
1
ESEN YAYINLARI
5
35. 2006 – ÖSS
1
f : c – , 3 m → R fonksiyonu
3
f(x) = log3(3x + 1) olarak tanımlanıyor. Buna
göre f–1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) f –1(x) = 3x
B) f –1(x) = 3x + 1
4
2
O
x
5
1
2
3
Yukarıda grafiği verilen f (x) fonksiyonu için
[– 5, 5 ] aralığında | |f(x) | – 2 | =1 eşitliğini sağlayan kaç tane x değeri vardır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
3x – 1
D) f (x) =
3
–1
–1
C) f (x) = log(3x + 1)
E) f –1(x) =
D) 8
3
x
0
–9
0
–9
x
0
B) 14
x3 + 1
3
36. 2007 – ÖSS
f (x) = 2 1– x 2
ile verilen f fonksiyonunun
gerçel sayılardaki en geniş tanım kümesi T ve
görüntü kümesi G = {f(x) | x ∈ T} olduğuna göre
T ∩ G kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) [0, 1 ]
D) [0,
B) [1, 2 ]
2]
E) [1,
C) [2, 3 ]
2]
39. 2010 – LYS
f(x) =
2– x+3
fonksiyonunun tanım aralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 3 ≤ x ≤ 5
B) –1 ≤ x ≤ 5
C) –3 ≤ x ≤ 4
D) –3 ≤ x ≤ 0
E) –5 ≤ x ≤ –1
93
Fonksiyonlar
40. 2011 – LYS
Aşağıda f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
42. 2012 – LYS
Z tam sayılar kümesi olmak üzere,
y
f : Z → Z fonksiyonu,
f(x)
4
3
f(x) = *
1
–4
–2
2
–1
Buna göre,
I.
g(x) = 3 – f(x – 2) olduğuna göre, g(–2) + g(5)
f bire birdir.
II. f örtendir.
toplamı kaçtır?
A) –3
x + 1 , x $ 0 ise
biçiminde tanımlanıyor.
x
3
x – 1 , x 1 0 ise
III. f nin görüntü kümesi Z \ { 0 } dır.
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
E) I ve III
ESEN YAYINLARI
D) I ve II
C) Yalnız III
43. 2012 – LYS
41. 2011 – LYS
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir f
f : R → R parçalı fonksiyonu
f(x) = *
fonksiyonu, her x gerçel sayısı için
3x + 1 , x rasyonelse
x2
, x rasyonel de¤ilse
f(x) < f(x + 2)
biçiminde tanımlanıyor.
eşitsizliğini sağlıyor.
2
Buna göre, (fof) d
n aşağıdakilerden hangi2
sidir?
B) v2 + 2
A) 3v2 + 2
D)
5
2
E)
C)
7
2
1
4
Buna göre,
I.
f(1) < f(5)
II. | f(–1) | < | f(1) |
III. f(0) + f(2) < 2.f(4)
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
D) II ve III
94
C) I ve III
E) I, II ve III