Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1 Akışkan Statiğine Giriş Akışkan statiği (hidrostatik, aerostatik), durgun haldeki akışkanlarla ilgili problemleri ele alır. Akışkan Statiğine Giriş Bir yüzey akışkana daldırıldığı zaman akışkandan dolayı yüzeye bir kuvvet etkir. Depoların, gemilerin, barajların ve diğer hidrolik yapıların dizaynında bu kuvvetlerin bilinmesine gereksinim vardır. Düzlem Yüzeye Etkiyen Hidrostatik Kuvvetler Hareketsiz akışkanlarda, kayma gerilmesi olmadığı için bu yüzeye dik olduğu bellidir. Ayrıca, eğer akışkan sıkıştırılamaz ise basıncın derinlikle lineer (doğrusal) olarak değiştiği bilinir. Çoğunlukla düzlemsel yüzeyin bir yüzü atmosfere açık olduğundan atmosfer basıncı düzlemsel yüzeyin her iki yüzüne de etkiyerek sıfır bileşke kuvvet oluşturur. Bu tür durumlarda atmosferik basıncı çıkarmak ve sadece etkin basınçla çalışmak daha uygundur. Şekil 2.2 Dalmış düz yüzeylere etkiyen kuvvetler. Sıvı ile dolu tankın (Şekil 2.3a) taban yüzeyi gibi yatay yüzeyler için, bileşke kuvvetin büyüklüğü FR P * A ’dır. Burada P tankın tabanına etkiyen üniform basınçtır ve a tankın taban alanıdır. Şekilde gösterilen açık tank için P * h ’dır. Şekil 2.3 a. Üstü açık bir tankın tabanına etkiyen hidrostatik kuvvet ve basınç dağılımı b. Üstü açık tankın yan yüzeylerindeki basınç dağılımı Eğer tankın tabanının her iki yüzeyine de atmosferik basınç etkiyorsa tankın tabanına etkiyen bileşke kuvvet sadece tankın içindeki sıvıdan dolayı olur. Tabana etkiyen basınç sabit ve üniform olarak dağılmış olduğundan dolayı bileşke kuvvet Şekil 2.3.a da gösterilen alanın merkezine etkir. Şekil 2.3.b de gösterildiği gibi, tankın yan yüzeylerine etkiyen basınç üniform değildir. Bu durumda, bileşke kuvvetin belirlenmesi aşağıda izah edildiği gibi yapılır. Şekil 2.4 Eğik olarak daldırılmış düzlem yüzeye etkiyen hidrostatik kuvvet Şekil 2.4’de gösterilen, eğik olarak daldırılmış düzlem yüzeye etkiyen bileşke kuvveti belirleyelim. Akışkanın yüzeyinin atmosfere açık olduğunu kabul edelim. Şekil 2.4’de gösterildiği gibi, daldırılmış yüzeyin bulunduğu yüzey serbest yüzey ile 0 noktasında θ açısı ile kesişsin. 0 orijin olmak üzere x-y eksen sistemi tanımlansın. Yüzey şekilde gösterildiği gibi keyfi bir şekle sahip olsun. Sıvı ile temastan dolayı bu yüzeyin bir yüzüne etki eden bileşke kuvvetin yönünü, konumunu ve büyüklüğünü belirlemeye çalışalım. Herhangi bir h derinliğinde, dA’ya (Şekil 2.4 diferansiyel alan) etkiyen kuvvet, Böylece, tüm dF * h * dA yüzey boyunca olup yüzeye diktir. diferansiyel kuvvetler toplanarak bileşke kuvvetin büyüklüğü bulunabilir. Eşitlik şeklinde aşağıdaki şekilde FR * h * dA * y *sin * dA A A ifade edilebilir. Burada h y * sin ‘dır. Sabit ve icin, FR *sin y * dA (2.7) A elde edilir. Denklem 2.7’de verilen integral, x eksenine göre alanın birinci momenti olduğu için y * dA yC * A A şeklinde yazılabilir. Burada yc , A alanının merkezinin y koordinatıdır. Böylece denklem 2.7, FR * A * yC *sin şeklinde yazılabilir veya daha basit olarak FR * hC * A (2.8) şeklinde ifade edilebilir. Yandaki şekilde gösterildiği gibi, hc akışkanın serbest yüzeyinden alanın merkezine olan dikey mesafedir. Kuvvetin büyüklüğünün, θ açısının bir fonksiyonu olmadığı, sadece akışkanın özgül ağırlığının, daldırılmış yüzey alanının ve bu alanın merkezinin derinliğinin bir fonksiyonu olduğu hususunu belirtmek gerekir. Bileşke kuvvet FR’ı elde etmek için yüzeye etkiyen diferansiyel kuvvetler toplandığı için, bileşke kuvvet FR ‘da daldırılmış yüzeye dik olacaktır. Sezgilerimiz bileşke kuvvetin, alanın merkezinden geçeceği yönünde olmasına rağmen bu sezgi doğru değildir. Bileşke kuvvetin y koordinatı yR, x ekseni etrafında momentlerin toplanmasıyla belirlenebilir. Yani, bileşke kuvvetin momenti, yayılı basınç kuvvetinin momentine eşit olmalıdır. FR * yR y * dF *sin * y 2 * dA A A FR * A * yC *sin olduğundan, yR y 2 * dA A yc * A İntegralin pay kısmı, Ix, daldırılmış yüzeyin bulunduğu yüzey ile serbest yüzeyin arakesiti tarafında oluşan eksene (x eksene) göre alanın ikinci momentidir (atalet momenti). Böylece Ix yR yc * A yazılabilir. Paralel eksen teoremi kullanılarak Ix I x I xc A * yc 2 şeklinde ifade edilebilir. Burada Ixc, x eksenine paralel ve alanın merkezinden geçen eksene göre alanın ikinci momentidir. Böylece olur. Denklem 2.9 ve aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, bileşke kuvvet merkezden geçmez. I xc 0 olduğundan yc * A o daima merkezin altındaki bir noktadan geçer. Bileşke kuvvetin x koordinatı xR, y eksenine göre momentler benzer şekilde toplanarak belirlenebilir: Burada IxyC, alanın merkezinden geçen ve xy koordinat sisteminin aktarımı ile oluşturulan dik koordinat sistemine göre çarpım atalet momentidir. Eğer daldırılmış alan merkezde geçen bir eksene göre simetrik ise ve x veya y eksenine paralel ise Ixyc = 0 olduğundan bileşke kuvvet x = xc doğrusu üzerinde olur. Bileşke kuvvetin etki ettiği nokta basınç merkezi olarak adlandırılır. Denklem 2.9 ve 2.10’dan görüldüğü gibi, yc arttıkça basınç merkezi, alanın merkezine doğru yaklaşır. yc hc sin olduğundan eğer batma derinliği hc artarsa veya verilen bir derinlik için daldırılmış yüzey döndürülerek θ açısı azalırsa yc mesafesi artar. Bu nedenle, yandaki şekilde gösterilen kapının sağ yüzeyine etkiyen hidrostatik kuvvet, sol yüzeyine etkiyen hidrostatik kuvvete göre alanın merkezine daha yakındır. Şekil 2.5 Bazı yaygın kullanılan şekillerin geometrik özellikleri 18 Örnek : Şekilde verilen 4 m çapındaki dairesel kapı su ile dolu büyük bir rezervuarın eğik duvarı üzerine yerleştirilmiştir. Kapı onun yatay çapı boyunca yataklanmış olup yatağın üzerindeki su derinliği 10 m’dir. Su tarafında kapıya uygulanan bileşke kuvveti ve eksentrisiteyi bulunuz. 19 Suyun kuvvetinin büyüklüğünü bulmak için denklem 2.8’i uygulayabiliriz. FR * hC * A Serbest yüzeyden alanın merkezine olan dikey mesafe 10 m olduğu için FR (9810 N/m )*(10m)*( *2 m ) 3 2 2 20 Eksentrisite = Basınç Merkezi – Ağırlık Merkezi e = yR - yc FR’nin etki ettiği basınç merkezinin konumunu bulmak için denklem 2.9 kullanılırsa I xc yR yc yc * A I xc * R4 4 *24 4 4* 4* yR 10 sin 60 2 10 sin 60 *( *2 ) yR 0.0866 11.55 11.6366 m e yR yc 11.6366 11.55 0.0866 m 21 Örnek : A noktasından mafsallı AB dikdörtgen kapağın genişliği 4 m’ dir. Kapağın açılmaması için B noktasına uygulanması gereken kuvvetin şiddet ve yönü ne olmalıdır ? 22 Çözüm 1: F .hC . A I xc yR yC yC * A I xc b * h3 4*2, 43 4, 608 m4 12 12 F1 9810 * (2,1 1, 2) * 4 * 2, 4 310780,8 N F2 9810 * (1, 2) * 4 * 2, 4 113011, 2 N yR1 4, 608 3,3 3, 445 m 3,3*9, 6 yR 2 4, 608 1, 2 1, 6 m 1, 2*9, 6 M F A 310780,8*(3, 445 2,1) 418 kNm 1 M F A 113011, 2*(1, 6) 180,817 kNm 2 M 0 419,55 180,82 FB * 2, 4 FB 98.8 kN 23 Çözüm 2: F1 (9810 * 2,1) * 2, 4 * 4 197769, 6 N M 197769, 6*(2, 4 / 2) FB * 2, 4 0 FB 98, 8 kN 24 Örnek: Şekildeki A-B kapağı A noktasında mafsallı olup B noktasına 284490 N luk P kuvveti etkimektedir. Kapağın hareketsiz k alması için gerekli h yüksekliğini hesaplayınız. 25 Fx * hC * A 9810*(h 1,5)*(3*8) Fx 235440*(h 1,5) N I xc b * h3 8*33 18m4 12 12 I xc yR yC yC * A 18 0, 75 yR (h 1,5) (h 1,5) (h 1,5)*(3*8) (h 1,5) 26 0, 75 235440*(h 1,5) * (h 1,5) h 284490*3 (h 1,5) 0, 75 235440*(h 1,5) * 1,5 853470 (h 1,5) 0, 75 (h 1,5)*1,5 (h 1,5)* 3, 625 (h 1,5) 0,75+(h+1,5)*1,5=3,625 h= 0,42 m 27 2.5.4 Silindirik Yüzeylere Etki Eden Basınç Kuvvetleri Bir eğri yüzey düşünelim ve bu eğri yüzey, bir yönde eğriliğe sahip olsun. Bu yüzeyin şekil düzlemine dik uzunluğu ℓ olsun. Bu yüzeye etkiyen yatay ve düşey itki bileşenlerini hesaplayalım. Bu yüzeyin alanı (ds.ℓ ) olan elemanter parçasına gelen basınç p = p0 + γ.h dır. Aynı parçaya yüzeyin dış tarafında p0 atmosfer basıncı etkiyecektir. O halde bileşke basınç γ.h olacaktır. Bu parçaya etkiyen basınç kuvveti ise dF = γ.h. (ds.ℓ) dir. Bu kuvvetin bileşenleri, 28 dFx .h.ds. .cos .h. .dh dFh .h.ds. .sin .h. .dx olarak yazılabilir. Bütün alana gelen kuvvetin yatay ve düşey bileşenleri ise, H Fx . h.dh 0 .H 2 2 H Fh . h.dx . . Alan(OBAO) 0 O halde bir eğri yüzeyi üzerine tesir eden herhangi bir yöndeki yatay basınç kuvvetinin değeri, bu yüzeyin bahis konusu yöne dik düzlem üzerindeki izdüşümü üzerine tesir eden kuvvete eşittir. 29 Örnek : Şekilde gösterilen ABC yüzeyine etki eden hidrostatik basınç kuvvetini hesaplayınız. Şekle dik derinliği 1 m olarak alınız. A B 2m 6m C 30 Eğrisel yüzeylere etkili hidrostatik basınç kuvveti iki aşamada hesaplanacağından a. Yatay kuvvetin hesabı (Fx) A Fx2 Fx Fx1 C 6 Fx1 .hC . Ax 9,81. .(6.1) 176,58 kN 2 8 Fx 2 .hC . Ax 9,81. .(8.1) 313,92 kN 2 Fx Fx 2 Fx1 313,92 176,58 137,34 kN 31 b. Düşey kuvvetin hesabı (Fh) Kapağa sol taraftan gelen düşey kuvvetler A B C Kapağa sağ taraftan gelen düşey kuvvetler D O A B C 32 Düşey bileşke kuvvet D A O B Fh C Fh .b. Ay Ay ( ABCOD) (OBC ) (ODAB) Fh 9,81.1.(2.6) 117, 72 kN c. Bileşke kuvvet F Fx 2 Fh 2 137,342 117,722 180,89 kN 33 Örnek : Şekildeki AG kapağının 1 m genişliğine gelen yatay ve düşey hidrostatik kuvvetleri bulunuz. A 1m B C 1,5 m D 2m E F 0,5 m G 34 Kapağa gelen yatay kuvvet, şekilde görüldüğü gibi soldan ve sağdan gelen yatay kuvvetlerin bileşkesi olarak aşağıdaki gibi bulunur: A B C D Fx1 E F Fx2 9810.8,52.1 9810.62.1 Fx Fx1 Fx 2 177806 N / m 2 2 35 Düşey kuvvet : Kapağa gelen düşey kuvvet, aşağıda gösterilen düşey kuvvetlerin bileşkesi olarak bulunur. Şekilde görüldüğü gibi, eşit ve zıt yönlü düşey kuvvetlerin birbirini götürmesi sonucunda, geriye düşey kuvvet olarak, çeyrek dairesel hacmi dolduran suyun ağırlığı kalmaktadır, yani: Kapağa sol taraftan gelen düşey kuvvetler : A A B B C C C D D E F + = E E F C C F E F E F 36 Kapağa sağ taraftan gelen düşey kuvvetler A B C C C D + = E F E E F F 37 C C C = + E F Fh . 9810. E E F .1,52 4 F .1 17334 N / m 38 Örnek : Şekilde kesiti verilen düşey düzleme dik derinliği 1 m olan tankın içerisinde su bulunduğuna göre C-D kapağına etki eden hidrostatik basınç kuvvetinin düşey bileşenini hesaplayınız. 39 *52 Fh . 9810. 4*5 .1 4 Fh =388819 N = 389 kN 40