Simülasyonda
İstatiksel Modeller
Banks, Carson, Nelson & Nicol
Discrete-Event System Simulation
Amaç
Model-geliştirici dünyaya deterministik değil
olasıksal olarak bakar.
İstatiksel
modeller değişimleri iyi tanımlayabilir.
İlgilenilen olayın örneklenmesi ile uygun bir
model geliştirilebilir:
Eğitimli
bir tahminle bilinen dağılımlardan birini seçiniz
Dağılımın parametrelerini belirleyiniz
Uygunluğunu test ediniz
Kuyruk Sistemleri
Bir kuyruk sisteminde varışlar arası süreler ve servis
sürelerinin düzeni olasıksal olabilir.
Varışlar arası süreler ve servis sürelerinin dağılımı için
örnek istatiksel modeller:
Üssel Dağılım: Servis süreleri tümü ile rasgele ise
Normal Dağılım: Oldukça sabit ancak bir miktar değişim söz
konusu ise (pozitif veya negatif yönde)
Kesik Normal Dağılım: Normal dağılım gibidir ancak değerler
sınırlanmıştır.
Gamma ve Weibull Dağılımı: Üssel dağılıma göre daha geneldir
(pdf’deki tepe değerlerin yeri ve kuyrukların şekli bakımından).
Stok ve Tedarik Zinciri
Gerçekçi stok ve tedarik zinciri sistemlerinde en az üç
rasgele değişken vardır:
Lead time dağılımı için örnek istatiksel model:
Belli bir zaman diliminde sipariş başına talep edilen adetler
Talepler arası süre
Sipariş ile teslimat arasında geçen süre (lead time)
Gamma
Talep dağılımı için örnek istatiksel modeller:
Poisson: basit ve büyük ölçüde tablolaştırılmış.
Negatif binom dağılımı: Poisson’a göre daha uzun kuyruğa sahip
(daha büyük talepler).
Geometrik: Negatif binom dağılımının özel bir durumu (en az bir
talebin oluştuğu verilmişse).
Ayrık Dağılımlar
Ayrık rasgele değişkenler, sadece integer
değerlerin oluştuğu rasgele olayları tanımlamak
için kullanılır:
Bernoulli
denemeleri ve Bernoulli dağılımı
Binom dağılımı
Geometrik ve negatif binom dağılımı
Poisson dağılımı
Bernoulli Denemeleri
ve Bernoulli Dağılımı
Bernoulli Denemeleri:
Sonucu başarı veya başarısızlık olan n denemenin yapıldığı bir
deney gözönüne alalım:
Xj = 1, eğer j. denemenin sonucu başarı ise
Xj = 0, eğer j. denemenin sonucu başarı ise
Bernoulli dağılımı (bir deneme):
x j = 1, j = 1,2,..., n
⎧ p,
⎪
p j ( x j ) = p ( x j ) = ⎨1 − p = q , x j = 0 ,j = 1,2 ,...,n
⎪0,
diğer durumlarda
⎩
E(Xj) = p ve V(Xj) = p(1-p) = pq
Bernoulli süreci:
Denemeler bağımsızken n Bernoulli denemesi için:
p(x1,x2,…, xn) = p1(x1)p2(x2) … pn(xn)
Binom Dağılımı
n Bernoulli denemesindeki başarıların sayısı, X, binom
dağılımına sahiptir.
⎧⎛ n ⎞ x n − x
⎪⎜ ⎟ p q , x = 0,1,2,..., n
p ( x) = ⎨⎜⎝ x ⎟⎠
⎪0,
diğer durumlarda
⎩
Gerekli sayıda
başarı ve
başarısızlığa sahip
sonuçların sayısı
x adet başarı ve
(n-x) adet
başarısızlık olma
olasılığı
Ortalama değeri, E(x) = p + p + … + p = n*p
Varyansı, V(X) = pq + pq + … + pq = n*pq
Geometrik & Negatif
Binom Dağılımı
Geometrik dağılım
İlk başarılı sonuç elde edilene kadarki Bernoulli denemelerinin sayısı, X
⎧ q x −1 p , x = 0,1,2,..., n
p( x) = ⎨
diğer durumlarda
⎩0,
E(x) = 1/p, ve V(X) = q/p2
Negatif binom dağılımı
k. başarı elde edilene kadarki Bernoulli denemelerinin sayısı, Y, p ve k
parametreleri ile negatif binom dağılımına sahiptir:
⎧⎛ y − 1⎞ y − k k
⎟ q p , y = k , k + 1, k + 2,...
⎪⎜
p ( y ) = ⎨⎜⎝ k − 1⎟⎠
⎪0,
diğer durumlarda
⎩
E(Y) = k/p, ve V(X) = kq/p2
Poisson Dağılımı
Poisson dağılımının, α > 0 için, olasılık yoğunluk (pdf) ve
kümilatif yoğunlık (cdf) fonksiyonları:
⎧ e −α α x
⎪
p( x) = ⎨ x! , x = 0,1,...
⎪⎩0,
diğer durumlarda
E(X) = α = V(X)
e −α α i
F ( x) = ∑
i!
i =0
x
Poisson Dağılımı
Örnek: Bilgisayar tamir elemanı her servis ihtiyacında bir
çağrı almaktadır. Saatteki çağrı sayısının yaklaşık
Poisson (saatte α = 2) olduğu verilmişse:
Önümüzdeki saat içinde elemenın 3 çağrı alma olasılığı:
veya,
p(3)
p(3)
= e-223/3! = 0.18
= F(3) – F(2) = 0.857-0.677=0.18
1-saatlik periyotta 2 veya daha fazla çağrı alma olasılığı:
p(2 veya üstü) = 1 – p(0) – p(1)
= 1 – F(1)
= 0.594
Sürekli Dağılımlar
Değişkenin belli bir aralıkta herhangibir değer
alabildiği rastsal olayları tanımlamak için sürekli
rasgele değişkenler kullanılabilir:
Uniform
Üssel
(Exponential)
Normal
Weibull
Lognormal
Uniform Dağılım
Olasılık yoğunluk ve kümilatif yoğunluk fonksiyonları
aşağıdaki olan bir X rasgele değişkeninin (a,b) aralığında
uniform dağılıma sahip olduğu, U(a,b), söylenir:
xpa
⎧0,
⎧ 1
⎪x −a
⎪
, a≤ x≤b
f ( x) = ⎨ b − a
F ( x) = ⎨
, a≤ xpb
⎪⎩0,
diğer durumlarda
⎪b − a
x≥b
⎩1,
Özellikleri
P(x1 < X < x2) olasılığı [F(x2) – F(x1) = (x2-x1)/(b-a)] aralığının
uzunluğu ile orantılıdır
E(X) = (a+b)/2
V(X) = (b-a)2/12
U(0,1) raslantı değişkenlerinin (variates) üretilebileceği
rasgele sayıları ürtme olanağı sağlar.
Üssel Dağılım
Olasılık yoğunluk ve kümilatif yoğunluk fonksiyonları
aşağıdaki olan bir X rasgele değişkeninin λ > 0
parametresi ile üssel dağılıma sahip olduğu söylenir:
⎧λe − λx , x ≥ 0
f ( x) = ⎨
diğer durumlarda
⎩0,
E(X) = 1/λ
V(X) = 1/λ2
Şekildeki farklı üssel pdf’ler
içn dikey ekseni kesim
noktasının λ, değerini verdiği
ve tüm pdf’lerin kaşistiği
görülebilir.
xp0
⎧⎪0,
F ( x ) = ⎨ x − λt
− λx
⎪⎩∫0 λe dt = 1 − e , x ≥ 0
Üssel Dağılım
Hafızasız olma özelliği
0 veya daha büyük tüm s ve t değerleri için:
P(X > s+t | X > s) = P(X > t)
Örnek: Bir ampulün yaklaşık üssel (λ = 1/3 saatte) olduğu
verilmiş yani ortalama üç saate 1 başarısızlık sözkonusu.
Ampülün ortalama ömründen daha uzun dayanma olasılığı:
P(X > 3) = 1-(1-e-3/3) = e-1 = 0.368
Ampülün 2 ile 3 saat arasında dayanma olasılığı:
P(2 <= X <= 3) = F(3) – F(2) = 0.145
2.5 saat kullanılmış olduğu halde ampulün 1 saat daha dayanma
olasılığı:
P(X > 3.5 | X > 2.5) = P(X > 1) = e-1/3 = 0.717
Normal Dağılım
Normal dağılıma sahip bir X rasgele değişkeninin olasılık
yoğunluk fonksiyonu:
⎡ 1 ⎛ x − μ ⎞2 ⎤
1
f ( x) =
exp ⎢− ⎜
⎟ ⎥, − ∞ p x p ∞
σ 2π
⎢⎣ 2 ⎝ σ ⎠ ⎥⎦
Ortalama: − ∞ p μ p ∞
2
σ
f0
Varyans:
Gösterim: X ~ N(μ,σ2)
Sahip olduğu özellikler:
lim x →−∞ f ( x) = 0, ve lim x →∞ f ( x) = 0.
f(μ-x)=f(μ+x); pdf μ civarında simetriktir.
pdf x = μ için en büyük değerini alır; ortalama ve tepe değeri
eşittir.
Normal Dağılım
Dağılımın Değerlendirilmesi:
Nümerik yöntem kullanılmalı, F(x) için kapalı formda çözümü yok
μ ve σ, değerlerinden bağımsız standard normal dağılım
(ortalaması 0, varyansı 1): Z ~ N(0,1)
Değişken dönüşümü ile: Z = (X - μ) / σ olarak alınırsa
x−μ ⎞
⎛
F ( x ) = P ( X ≤ x ) = P⎜ Z ≤
⎟
σ ⎠
⎝
( x−μ ) /σ
1 −z2 / 2
=∫
e
dz
−∞
2π
=∫
( x−μ ) /σ
−∞
φ ( z )dz = Φ ( xσ− μ )
, Φ( z ) = ∫
z
−∞
1 −t 2 / 2
e
dt
2π
Normal Dağılım
Örnek: Bir geminin yüklenmesi için gerekli süre, X,
N(12,4) normal dağılıma sahip ise
Geminin 10 saatten az sürede yüklenme olasılığı:
⎛ 10 − 12 ⎞
F (10) = Φ⎜
⎟ = Φ (−1) = 0.1587
⎝ 2 ⎠
Simetri özelliğinden: Φ(1), Φ (-1) in tümleyenidir:
Weibull Dağılımı
Weibull dağılımına sahip bir X rasgele değişkeninin pdf’i:
⎧ β ⎛ x −ν ⎞ β −1
⎡ ⎛ x −ν ⎞ β ⎤
⎪
exp ⎢− ⎜
⎟ ⎥, x ≥ ν
f ( x) = ⎨α ⎜⎝ α ⎟⎠
⎣⎢ ⎝ α ⎠ ⎦⎥
⎪0,
diğer durumlarda
⎩
3 parametresi var:
Konum parametresi: υ, (−∞ p ν p ∞)
Ölçek parametresi: β , (β > 0)
Biçim parametresi. α, (> 0)
Örnek: υ = 0 and α = 1:
β = 1 iken,
X ~ exp(λ = 1/α)
Lognormal Dağılım
Lognormal dağılıma sahip bir X rasgele değişkeninin
pdf’i:
⎧ 1
⎡ (ln x − μ ) 2 ⎤
⎪
exp ⎢−
⎥, x f 0
2
f ( x) = ⎨ 2π σx
2
σ
⎣
⎦
⎪0,
diğer durumlarda
⎩
μ=1,
σ2=0.5,1,2.
2
Ortalama E(X) = eμ+σ /2
2
2
Varyans V(X) = e2μ+σ /2 (eσ - 1)
Normal Dağılım ile İlişkisi
Y ~ N(μ, σ2) iken, X = eY ~ lognormal(μ, σ2)
μ ve σ2 parametreleri lognormal dağılımın ortalama ve varyansı
değil
Poisson Dağılımı
Tanım: N(t) [0,t] aralığında meydana gelen olayların
sayısını temsil eden bir sayma fonksiyonudur.
Aşağıdaki koşullar sağlanırsa {N(t), t>=0} sayma
süreci λ ortalamasına sahip bir Poisson sürecidir:
Her seferinde bir varış oluşur
{N(t), t>=0} durağan artımlara sahip
{N(t), t>=0} bağımsız artımlara sahip
Özellikleri
e − λt (λ t ) n
P[ N (t ) = n] =
,
n!
t ≥ 0 ve n = 0,1,2,... için
Ortalama ve varyansı eşit: E[N(t)] = V[N(t)] = λt
Durağan artım: s ile t aralığındaki varışların sayısı da λ(t-s)
ortalaması ile Poisson dağılımına sahip
Varışlar Arası Süre
i. ve i+1. varışalar arasında geçen süre Ai olmak üzere bir Possion
sürecindeki varışlar arası süreleri (A1, A2, …) göz önüne alırsak:
[0,t] aralığında varış gerçekleşmemişse ilk varış t süresi sonunda olur,
böylece:
P{A1 > t} = P{N(t) = 0} = e-λt
P{A1 <= t} = 1 – e-λt
[exp(λ)ye ait cdf]
Varışlar arası süreler, A1, A2, …, üssel olarak dağılmıştır ve 1/λ
ortalaması ile bağımsızdırlar.
Arrival counts
~ Poi(λ)
Durağan ve Bağımsız
Interarrival time
~ Exp(1/λ)
Hafızasız
Ayırma ve Birleştirme
Ayırma:
Poisson sürecindeki her bir olayın p olasılığı ile Tip I, ve 1-p
olasılığı ile Tip II olarak sınıflanabildiğini varsayarsak:
N1(t) ve N2(t) λ p and λ (1-p) ile Poisson süreçleri iken
N(t) = N1(t) + N2(t)
N(t) ~ Poi(λ)
λp
λ
λ(1-p)
Birleştirme:
N1(t) ~ Poi[λp]
N2(t) ~ Poi[λ(1-p)]
İki Poisson süreci birleştirildiğinde
N1(t) + N2(t) = N(t), N(t) λ1 + λ2 ile bir Poisson sürecidir
N1(t) ~ Poi[λ1]
N2(t) ~ Poi[λ2]
λ1
λ2
λ1 + λ2
N(t) ~ Poi(λ1 + λ2)
Durağan Olmayan Poisson Süreci
Nonstationary Poisson Process (NSPP)
Durağan artımları olmayan Poisson süreci t anındaki varış oranı λ(t),
ile karakterize edilir.
Bir t anına kadar olan varışların sayısının beklendik değeri, Λ(t):
Λ(t) =
t
∫ λ(s)ds
0
λ=1 oranına sahip durağan bir n(t) Poisson süreci ile λ(t) oranına sahip
durağan olmayan bir Poisson sürecinin ilişkisi:
Durağan Poisson süreci için λ = 1 ile varış zamanları t1, t2, …, ve
durağan olmayan Poisson süreci için λ(t) ile T1, T2, …, ise:
ti = Λ(Ti)
Ti = Λ−1(ti)
Durağan Olmayan Poisson Süreci
Örnek: Bir postaneye varışların 8 ile 12 saatleri arasında dakikada 2
oranı ile gerçekleştiğini ve daha sonra 16’ya kadar dakikada 0.5 oranı
ile gerçekleştiğini varsayalım.
t = 0 saat 8’e karşılık gelmek üzere, NSPP N(t) için:
⎧2, 0 ≤ t p 4
⎩0.5, 4 ≤ t p 8
λ (t ) = ⎨
t anına kadar beklendik varış sayısı:
0≤t p4
⎧⎪2t ,
t
t
Λ (t ) = ⎨ 4
2
ds
0
.
5
ds
+
=
+ 6, 4 ≤ t p 8
∫4
⎪⎩∫0
2
11 ila 14 arasındaki varış sayısına ait olasılık dağılımı:
P[N(6) – N(3) = k]
= P[N(Λ(6)) – N(Λ(3)) = k]
= P[N(9) – N(6) = k]
= e3(3)k/k!
= e(9-6)(9-6)k/k!
Deneysel (Empirical) Dağılımlar
Parametreleri veri örneğinde gözlemlenen değerlerdir.
Rasgele değişkenin parametrik bir dağılıma sahip olup olmadığının
tesbit edilmesinin imkansız veya gereksiz olduğu durumlarda
kullanılabilir.
Avantajı: Örnek içinde gözlemlenen değerler dışında bir varsayım
yapmaya gerek bırakmaz.
Dezavantajı: Örnek olası değerlerin alabileceği tüm değer aralığını
kapsamıyor olabilir.
Özet
Simülasyon modelinin oluşturulmasında giriş verilerinin
toplanması ve analizi (örneğin giriş verileri için bir
dağılımın öngörülmesi) önemli bir iştir.
Özellikle bilmeniz gerekenler:
Ayrık, sürekli ve deneysel dağılımlar arasındaki fark.
Poisson süreci ve özellikleri.
