Slayt 1 - Anadolu Üniversitesi Eczacılık Fakültesi
advertisement
Poisson Dağılımı Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı Poisson Dağılımı Poisson dağılımı kesikli dağılımlar içinde Binom dağılımından sonra yaygın olarak kullanılan bir dağılımdır. Az gözlenen olaylarla ilgili bir dağılımdır. Poisson Dağılımı Örnek 1: Tifo hastalığından belirlenen bir zaman aralığında, örneğin 1 yıllık bir zaman aralığı içinde olsun, hayatını kaybedenlerin sayısını düşünelim. Günümüzde tifodan hayatını kaybetmek az rastlanan bir durumdur. Yani az gözlenen bir olaydır. Poisson Dağılımı Bu örnekte zaman aralığını bir gün olacak şekilde düşünürsek, bir günlük bir zaman aralığında tifodan yeni bir ölümün gerçekleşme olasılığı oldukça küçük olacaktır. Poisson Dağılımı Bu durumda farklı iki zamanda meydana gelen tifodan ölüm olayları bağımsız olacağından, bir yıllık zaman aralığında rapor edilen tifodan ölümlerin sayısı Poisson dağılımı gösterir. Poisson Dağılımı Örnek 1, belirlenen bir zaman aralığında meydana gelen ve az gözlenen bir olaya ait bir örnekti. Poisson dağılımda bazı durumlarda zaman aralığı yerine belli bir yüzeye ait alan da kullanılmaktadır. Poisson Dağılımı Örnek 2: Bir AGAR PLATE’te (Petri Kabı) gelişen bakteri kolonilerinin sayısını düşünelim. Agar su yosunlarından elde edilen bir tür jelatindir. Kelime olarak Malayca "jel" anlamına gelen "agar-agar" kelimesinden gelmektedir. Agar tıp mikrobiyolojik testlerde kullanılmaktadır. alanında Poisson Dağılımı Poisson Dağılımı Örnek 2: Örneğin 100 cm2 alana sahip bir agar plate üzerinde küçük bir alanda bakteri kolonisi gelişmesi başka bir alanda kolonisinden bağımsız olacaktır. gelişen bakteri Poisson Dağılımı Alan küçüldükçe o alanda bakteri kolonisi gelişme olasılığı da azalacaktır. Sonuçta tüm alan üzerinde gelişen bakteri koloni sayısı Poisson dağılımı gösterir. Poisson Dağılımı Örnek 1’de belirtilen durumu tekrar inceleyelim. Tanımlanan zaman dilimini t ile gösterelim (t= 1 yıl ya da t=20 yıl olabilir). Bu zaman diliminin daha küçük zaman aralıklarını ∆t ile gösterelim. Bu durumda 3 varsayım karşımıza çıkmaktadır. Poisson Dağılımı Varsayım 1. Ölüm gözlenme olasılığı zaman aralığının uzunluğu ile oransaldır. Başka bir anlatımla zaman aralığı arttıkça ölüm meydana gelme olasılığı artmaktadır. Poisson Dağılımı P(Tifodan 1 ölüm meydana gelmesi) ≈ λ∆t Burada λ tanımlanan zaman aralığı t’de beklenen olay sayısıdır. Poisson Dağılımı Varsayım 2. ∆t zaman diliminde 0 ölüm gözlenme olasılığı yaklaşık olarak 1-λ∆t’ ye eşittir. P(Tifodan 0 ölüm meydana gelmesi) ≈ 1-λ∆t Poisson Dağılımı Varsayım 3. ∆t zaman diliminde 1 ölümden daha fazla ölüm gözlenme olasılığı yaklaşık olarak 0’a eşittir. P(Tifodan 1 ölümden fazla ölüm meydana gelmesi) ≈ 0 Poisson Dağılımı Bu tanımlamalar ve varsayımlar altında Poisson dağılımı aşağıdaki eşitlikteki gibi elde edilir. e P( x) x! x Poisson Dağılımı e P( x) x! x Bu eşitlikte; µ: İncelenen bir olayın belirlenen zaman aralığındaki beklenen gözlenme sayısıdır ve µ =λt, x=0, 1, 2,… olmak üzere gözlenen olay sayısıdır, e=2.71828’dir. Poisson Dağılımı Poisson dağılımı tek bir parametreye bağlıdır µ=λt. Burada λ, tanımlanan t zaman diliminde beklenen olay sayısıdır. Ancak µ ise belirlenen bir zaman aralığındaki beklenen olay sayısıdır. Burada belirlenen zaman dilimi, tanımlanan t zaman diliminden küçük, eşit ya da büyük olabilir. Poisson Dağılımı Tekrar Örnek 1’e dönelim. Tanımlanan zaman aralığı t=1 yıl olsun. Bir yıllık zaman aralığı için beklenen ölüm sayısı 4.6 olsun. Bu durumda λ=4.6 olmaktadır. 3 ve 6 aylık zaman aralıkları için Poisson dağlımı olasılık fonksiyonu nedir? Poisson Dağılımı 3 aylık zaman aralığı için t=0.25 yıl olarak belirlenir. Çünkü 3 aylık zaman aralığı tanımlanan t=1 yıl olan zaman aralığının dörtte biridir. Bu durumda belirlenen 3 aylık zaman dilimi için beklenen olay sayısı µ =λt eşitliğinden yararlanarak µ =(4.6)(0.25)=1.15 olarak elde edilir. Poisson Dağılımı 3 aylık zaman aralığı Poisson dağılımı olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir. P( x) e 1.15 (1.15) x! x Poisson Dağılımı 6 aylık zaman aralığı için t=0.5 yıl olarak belirlenir. Çünkü 6 aylık zaman aralığı tanımlanan t=1 yıl olan zaman aralığının yarısıdır. Bu durumda belirlenen 6 aylık zaman dilimi için beklenen olay sayısı µ =λt eşitliğinden yararlanarak µ =(4.6)(0.5)=2.3 olarak elde edilir. Poisson Dağılımı 6 aylık zaman aralığı Poisson dağılımı olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir. P( x) e 2.3 (2.3) x! x Poisson Dağılımı 1 yıllık zaman aralığı için µ=λ olacaktır. Bu durumda Poisson dağılımı olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir. P( x) e 4.6 (4.6) x! x Poisson Dağılımı Tekrar Örnek 1’e dönelim. Tanımlanan zaman aralığı t=1 yıl. Bir yıllık zaman aralığı için beklenen ölüm sayısı λ=4.6. Bu durumda 9 aylık bir zaman aralığında tifodan 3 ölüm meydana gelme olasılığı nedir? Poisson Dağılımı Belirlenen zaman aralığı 9 ay olduğundan t=9/12=0.75 olarak elde edilir. Bu durumda belirlenen zaman aralığında beklenen µ=(4.6)(0.75)=3.45 olarak elde edilir. ölüm sayısı ise Poisson Dağılımı Bu durumda 3 ölüm meydana gelme olasılığı %21.73 olarak hesaplanır. P(3) e 3.45 3 (3.45) 0.2173 %21.73 3! Poisson Dağılımı Tekrar Örnek 1’e dönelim. Tanımlanan zaman aralığı t=1 yıl. Bir yıllık zaman aralığı için beklenen ölüm sayısı λ=4.6 Bu durumda 3 aylık bir zaman aralığında tifodan en az 4 ölüm meydana gelme olasılığı nedir? Poisson Dağılımı Belirlenen zaman aralığı 3 ay olduğundan t=3/12=0.25 olarak elde edilir. Bu durumda belirlenen zaman aralığında beklenen µ=(4.6)(0.25)=1.15 olarak belirlenir. ölüm sayısı ise Poisson Dağılımı Bu durumda en az 4 ölüm meydana gelme olasılığını hesaplamak için 0, 1, 2 ve 3 ölüm meydana gelme olasılıklarını hesaplayıp bu olasılıkların toplamını 1’den çıkarmak gerekecektir. Poisson Dağılımı e 1.15 (1.15) 0 P(0) 0.317 0! e 1.15 (1.15)1 P(1) 0.364 1! e 1.15 (1.15) 2 P(2) 0.209 2! e 1.15 (1.15)3 P(3) 0.080 3! En az 4 ölüm meydana gelme olasılığı aşağıdaki gibi elde edilir. P( x 4) 1 (0.317 0.364 0.209 0.080) 0.030 Poisson Dağılımı Örnek 2’e dönelim. 1 cm2 alanda beklenen bakteri koloni sayısı 0.02 olsun. Bu örnekte zaman yerine alan tanımlanmıştır. Alanı yine t ile gösterecek olursak, tanımlanan alan t=1 cm2. Bu durumda λ=0.02 olmaktadır. Bu durumda 100 cm2 bir alanda 3 bakteri kolonisi gelişme olasılığı nedir? Poisson Dağılımı 100 cm2 alan t=100 olarak belirlenir. Çünkü tanımlanan alanın 100 katıdır. Bu durumda belirlenen 100 cm2 alan için beklenen koloni sayısı µ=λt eşitliğinden yararlanarak µ=(0.02)(100)=2 olarak elde edilir. Poisson Dağılımı Bu durumda 100 cm2 alanda 3 bakteri kolonisi oluşma olasılığı %18 olarak aşağıdaki şekilde hesaplanır. 2 3 e (2) P(3) 0.180 %18 3! Poisson Dağılımı Örnek 1’e ait 3 aylık zaman aralığı için Poisson dağılımı. Poisson Dağılımı Örnek 1’e ait 6 aylık zaman aralığı için Poisson dağılımı. Poisson Dağılımı Örnek 1’e ait 1 yıllık zaman aralığı için Poisson dağılımı. Poisson Dağılımı Örnek 1’e ait 5 yıllık zaman aralığı için Poisson dağılımı. Poisson Dağılımı Örnek 1’e ait 10 yıllık zaman aralığı için Poisson dağılımı. Poisson Dağılımı Grafikler incelendiğinde belirlenen zaman aralığı arttıkça ve buna bağlı olarak beklenen olay sayısı arttıkça Poisson dağılımı beklene olay sayısı etrafında simetrik bir dağılım şeklini almaya başlıyor ve normal dağılıma yakınsıyor.
