Simülasyonda İstatiksel Modeller

advertisement
Simülasyonda
İstatiksel Modeller
Amaç
„
Model-geliştirici dünyaya deterministik değil
olasıksal olarak bakar.
… İstatiksel
„
modeller değişimleri iyi tanımlayabilir.
İlgilenilen olayın örneklenmesi ile uygun bir
model geliştirilebilir:
… Eğitimli
bir tahminle bilinen dağılımlardan birini seçiniz
… Dağılımın parametrelerini belirleyiniz
… Uygunluğunu test ediniz
1
Kuyruk Sistemleri
„
„
Bir kuyruk sisteminde varışlar arası süreler ve servis
sürelerinin düzeni olasıksal olabilir.
Varışlar arası süreler ve servis sürelerinin dağılımı için
örnek istatiksel modeller:
…
…
…
…
Üssel Dağılım: Servis süreleri tümü ile rasgele ise
Normal Dağılım: Oldukça sabit ancak bir miktar değişim söz
konusu ise (pozitif veya negatif yönde)
Kesik Normal Dağılım: Normal dağılım gibidir ancak değerler
sınırlanmıştır.
Gamma ve Weibull Dağılımı: Üssel dağılıma göre daha geneldir
(pdf’deki tepe değerlerin yeri ve kuyrukların şekli bakımından).
Stok ve Tedarik Zinciri
„
Gerçekçi stok ve tedarik zinciri sistemlerinde en az üç
rasgele değişken vardır:
…
…
…
„
Lead time dağılımı için örnek istatiksel model:
…
„
Belli bir zaman diliminde sipariş başına talep edilen adetler
Talepler arası süre
Sipariş ile teslimat arasında geçen süre (lead time)
Gamma
Talep dağılımı için örnek istatiksel modeller:
…
…
…
Poisson: basit ve büyük ölçüde tablolaştırılmış.
Negatif binom dağılımı: Poisson’a göre daha uzun kuyruğa sahip
(daha büyük talepler).
Geometrik: Negatif binom dağılımının özel bir durumu (en az bir
talebin oluştuğu verilmişse).
2
Ayrık Dağılımlar
„
Ayrık rasgele değişkenler, sadece integer
değerlerin oluştuğu rasgele olayları tanımlamak
için kullanılır:
… Bernoulli
denemeleri ve Bernoulli dağılımı
… Binom dağılımı
… Geometrik ve negatif binom dağılımı
… Poisson dağılımı
Bernoulli Denemeleri
ve Bernoulli Dağılımı
„
Bernoulli Denemeleri:
…
Sonucu başarı veya başarısızlık olan n denemenin yapışdığı bir
deney gözönüne alalım:
„
„
…
Xj = 1, eğer j. denemenin sonucu başarı ise
Xj = 0, eğer j. denemenin sonucu başarısızlık ise
Bernoulli dağılımı (bir deneme):
x j = 1, j = 1,2,..., n
⎧ p,
⎪
p j ( x j ) = p ( x j ) = ⎨1 − p = q , x j = 0 ,j = 1,2 ,...,n
⎪0,
diğer durumlarda
⎩
…
„
E(Xj) = p ve V(Xj) = p(1-p) = pq
Bernoulli süreci:
…
Denemeler bağımsızken n Bernoulli denemesi için:
p(x1,x2,…, xn) = p1(x1)p2(x2) … pn(xn)
3
Binom Dağılımı
„
n Bernoulli denemesindeki başarıların sayısı, X, binom
dağılımına sahiptir.
⎧⎛ n ⎞ x n − x
⎪⎜ ⎟ p q , x = 0,1,2,..., n
p ( x) = ⎨⎜⎝ x ⎟⎠
⎪0,
diğer durumlarda
⎩
Gerekli sayıda
başarı ve
başarısızlığa sahip
sonuçların sayısı
…
…
x adet başarı ve
(n-x) adet
başarısızlık olma
olasılığı
Ortalama değeri, E(x) = p + p + … + p = n*p
Varyansı, V(X) = pq + pq + … + pq = n*pq
Geometrik & Negatif
Binom Dağılımı
„
Geometrik dağılım
…
İlk başarılı sonuç elde edilene kadarki Bernoulli denemelerinin sayısı, X
⎧ q x −1 p, x = 0,1,2,..., n
p ( x) = ⎨
diğer durumlarda
⎩0,
…
„
E(x) = 1/p, ve V(X) = q/p2
Negatif binom dağılımı
…
k. başarı elde edilene kadarki Bernoulli denemelerinin sayısı, Y, p ve k
parametreleri ile negatif binom dağılımına sahiptir:
⎧⎛ y − 1⎞ y − k k
⎟ q p , y = k , k + 1, k + 2,...
⎪⎜
p ( y ) = ⎨⎜⎝ k − 1⎟⎠
⎪0,
diğer durumlarda
⎩
…
E(Y) = k/p, ve V(X) = kq/p2
4
Poisson Dağılımı
„
Poisson dağılımının, α > 0 için, olasılık yoğunluk (pdf) ve
kümilatif yoğunlık (cdf) fonksiyonları:
⎧ e −α α x
⎪
p( x) = ⎨ x! , x = 0,1,...
⎪⎩0,
diğer durumlarda
… E(X) = α = V(X)
x
F ( x) = ∑
i =0
e −α α i
i!
Poisson Dağılımı
„
Örnek: Bilgisayar tamir elemanı her servis ihtiyacında bir
çağrı almaktadır. Saatteki çağrı sayısının yaklaşık
Poisson
(saatte α = 2) olduğu verilmişse:
…
Önümüzdeki saat içinde elemenın 3 çağrı alma olasılığı:
veya,
…
p(3)
p(3)
= e-223/3! = 0.18
= F(3) – F(2) = 0.857-0.677=0.18
1-saatlik periyotta 2 veya daha fazla çağrı alma olasılığı:
p(2 veya üstü) = 1 – p(0) – p(1)
= 1 – F(1)
= 0.594
5
Sürekli Dağılımlar
„
Değişkenin belli bir aralıkta herhangibir değer
alabildiği rastsal olayları tanımlamak için sürekli
rasgele değişkenler kullanılabilir:
… Uniform
… Üssel
(Exponential)
… Normal
… Weibull
… Lognormal
Uniform Dağılım
„
„
Olasılık yoğunluk ve kümilatif yoğunluk fonksiyonları
aşağıdaki olan bir X rasgele değişkeninin (a,b) aralığında
uniform dağılıma sahip olduğu, U(a,b), söylenir:
x≺a
⎧0,
⎧ 1
⎪x −a
⎪
, a≤ x≤b
f ( x) = ⎨ b − a
F ( x) = ⎨
, a≤ x≺b
⎪⎩0,
diğer durumlarda
⎪b − a
x≥b
⎩1,
Özellikleri
…
…
„
P(x1 < X < x2) Æ[F(x2) – F(x1) = (x2-x1)/(b-a)] aralığın uzunluğu ile
orantılı
E(X) = (a+b)/2
V(X) = (b-a)2/12
U(0,1) raslantı değişkenlerinin (variates) üretilebileceği
rasgele sayıları ürtme olanağı sağlar.
6
Üssel Dağılım
„
Olasılık yoğunluk ve kümilatif yoğunluk fonksiyonları
aşağıdaki olan bir X rasgele değişkeninin λ > 0
parametresi ile üssel dağılıma sahip olduğu söylenir:
⎧λe − λx , x ≥ 0
f ( x) = ⎨
diğer durumlarda
⎩0,
…
…
x≺0
⎧⎪0,
F ( x ) = ⎨ x − λt
− λx
⎪⎩∫0 λe dt = 1 − e , x ≥ 0
E(X) = 1/λ
V(X) = 1/λ2
Şekildeki farklı üssel pdf’ler
içn dikey ekseni kesim
noktasının λ, değerini verdiği
ve tüm pdf’lerin kaşistiği
görülebilir.
Üssel Dağılım
„
Hafızasız olma özelliği
… 0 veya daha büyük tüm s ve t değerleri için:
P(X > s+t | X > s) = P(X > t)
…
Örnek: Bir ampulün yaklaşık üssel (λ = 1/3 saatte) olduğu
verilmiş yani ortalama üç saate 1 başarısızlık sözkonusu.
„
Ampülün ortalama ömründen daha uzun dayanma olasılığı:
P(X > 3) = 1-(1-e-3/3) = e-1 = 0.368
„
Ampülün 2 ile 3 saat arasında dayanma olasılığı:
„
2.5 saat kullanılmış olduğu halde ampulün 1 saat daha dayanma
olasılığı:
P(2 <= X <= 3) = F(3) – F(2) = 0.145
P(X > 3.5 | X > 2.5) = P(X > 1) = e-1/3 = 0.717
7
Normal Dağılım
„
Normal dağılıma sahip bir X rasgele değişkeninin olasılık
yoğunluk fonksiyonu:
f ( x) =
…
…
…
„
⎡ 1 ⎛ x − μ ⎞2 ⎤
1
exp ⎢− ⎜
⎟ ⎥, − ∞ ≺ x ≺ ∞
σ 2π
⎢⎣ 2 ⎝ σ ⎠ ⎦⎥
Ortalama: − ∞ ≺ μ ≺ ∞
σ2 0
Varyans:
Gösterim: X ~ N(μ,σ2)
Sahip olduğu özellikler:
…
…
…
lim x→−∞ f ( x) = 0, ve lim x →∞ f ( x) = 0.
f(μ-x)=f(μ+x); pdf μ civarında simetriktir.
pdf x = μ için en büyük değerini alır; ortalama ve tepe değeri
eşittir.
Normal Dağılım
„
Dağılımın Değerlendirilmesi:
…
…
…
Nümerik yöntem kullanılmalı, F(x) için kapalı formda çözümü yok
μ ve σ, değerlerinden bağımsız standard normal dağılım
(ortalaması 0, varyansı 1): Z ~ N(0,1)
Değişken dönüşümü ile: Z = (X - μ) / σ olarak alınırsa
x−μ ⎞
⎛
F ( x ) = P ( X ≤ x ) = P⎜ Z ≤
⎟
σ ⎠
⎝
( x−μ ) /σ
1 −z2 / 2
=∫
e
dz
−∞
2π
=∫
( x−μ ) /σ
−∞
φ ( z )dz = Φ ( xσ− μ )
, Φ( z ) = ∫
z
−∞
1 −t 2 / 2
e
dt
2π
8
Normal Dağılım
„
Örnek: Bir geminin yüklenmesi için gerekli süre, X,
N(12,4) normal dağılıma sahip ise
…
Geminin 10 saatten az sürede yüklenme olasılığı:
⎛ 10 − 12 ⎞
F (10) = Φ⎜
⎟ = Φ (−1) = 0.1587
⎝ 2 ⎠
„
Simetri özelliğinden: Φ(1), Φ (-1) in tümleyenidir:
Weibull Dağılımı
„
Weibull dağılımına sahip bir X rasgele değişkeninin pdf’i:
⎧ β ⎛ x −ν ⎞ β −1
⎡ ⎛ x −ν ⎞ β ⎤
⎪ ⎜
exp ⎢− ⎜
⎟
⎟ ⎥, x ≥ ν
f ( x) = ⎨α ⎝ α ⎠
⎢⎣ ⎝ α ⎠ ⎥⎦
⎪0,
diğer durumlarda
⎩
„
3 parametresi var:
…
…
…
„
Konum parametresi: υ, (−∞ ≺ ν ≺ ∞)
Ölçek parametresi: β , (β > 0)
Biçim parametresi. α, (> 0)
Örnek: υ = 0 and α = 1:
β = 1 iken,
X ~ exp(λ = 1/α)
9
Lognormal Dağılım
„
Lognormal dağılıma sahip bir X rasgele değişkeninin
pdf’i:
⎧ 1
⎡ (ln x − μ ) 2 ⎤
⎪
exp ⎢−
⎥, x 0
f ( x) = ⎨ 2π σx
2σ 2
⎣
⎦
⎪0,
diğer durumlarda
⎩
…
…
„
μ=1,
σ2=0.5,1,2.
2
Ortalama E(X) = eμ+σ /2
2
2
Varyans V(X) = e2μ+σ /2 (eσ - 1)
Normal Dağılım ile İlişkisi
…
…
Y ~ N(μ, σ2) iken, X = eY ~ lognormal(μ, σ2)
μ ve σ2 parametreleri lognormal dağılımın ortalama ve varyansı
değil
Poisson Dağılımı
„
„
Tanım: N(t) [0,t] aralığında meydana gelen olayların
sayısını temsil eden bir sayma fonksiyonudur.
Aşağıdaki koşullar sağlanırsa {N(t), t>=0} sayma
süreci λ ortalamasına sahip bir Poisson sürecidir:
…
…
…
„
Her seferinde bir varış oluşur
{N(t), t>=0} durağan artımlara sahip
{N(t), t>=0} bağımsız artımlara sahip
Properties
P[ N (t ) = n] =
…
…
e − λt (λ t ) n
,
n!
t ≥ 0 ve n = 0,1,2,... için
Ortalama ve varyansı eşit: E[N(t)] = V[N(t)] = λt
Durağan artım: s ile t aralığındaki varışların sayısı da λ(t-s)
ortalaması ile Poisson dağılımına sahip
10
Varışlar Arası Süre
„
i. ve i+1. varışalar arasında geçen süre Ai olmak üzere bir Possion
sürecindeki varışlar arası süreleri (A1, A2, …) göz önüne alırsak:
…
[0,t] aralığında varış gerçekleşmemişse ilk varış t süresi sonunda olur,
böylece:
P{A1 > t} = P{N(t) = 0} = e-λt
P{A1 <= t} = 1 – e-λt
[exp(λ)ye ait cdf]
…
Varışlar arası süreler, A1, A2, …, üssel olarak dağılmıştır ve 1/λ
ortalaması ile bağımsızdırlar.
Arrival counts
~ Poi(λ)
Interarrival time
~ Exp(1/λ)
Durağan ve Bağımsız
Hafızasız
Ayırma ve Birleştirme
„
Ayırma:
Poisson sürecindeki her bir olayın p olasılığı ile Tip I, ve 1-p
olasılığı ile Tip II olarak sınıflanabildiğini varsayarsak:
… N1(t) ve N2(t) λ p and λ (1-p) ile Poisson süreçleri iken
N(t) = N1(t) + N2(t)
…
N(t) ~ Poi(λ)
„
λp
λ
λ(1-p)
Birleştirme:
…
…
N1(t) ~ Poi[λp]
N2(t) ~ Poi[λ(1-p)]
İki Poisson süreci birleştirildiğinde
N1(t) + N2(t) = N(t), N(t) λ1 + λ2 ile bir Poisson sürecidir
N1(t) ~ Poi[λ1]
N2(t) ~ Poi[λ2]
λ1
λ1 + λ2
N(t) ~ Poi(λ1 + λ2)
λ2
11
Durağan Olmayan Poisson Süreci
Nonstationary Poisson Process (NSPP)
„
„
Durağan artımları olmayan Poisson süreci t anındaki varış oranı λ(t),
ile karakterize edilir.
Bir t anına kadar olan varışların sayısının beklendik değeri, Λ(t):
Λ(t) =
t
∫ λ(s)ds
0
„
λ=1 oranına sahip durağan bir n(t) Poisson süreci ile λ(t) oranına sahip
durağan olmayan bir Poisson sürecinin ilişkisi:
… Durağan Poisson süreci için λ = 1 ile varış zamanları t1, t2, …, ve
durağan olmayan Poisson süreci için λ(t) ile T1, T2, …, ise:
ti = Λ(Ti)
Ti = Λ−1(ti)
Durağan Olmayan Poisson Süreci
„
„
Örnek: Bir postaneye varışların 8 ile 12 saatleri arasında dakikada 2
oranı ile gerçekleştiğini ve daha sonra 16’ya kadar dakikada 0.5 oranı
ile gerçekleştiğini varsayalım.
t = 0 saat 8’e karşılık gelmek üzere, NSPP N(t) için:
⎧2, 0 ≤ t ≺ 4
⎩0.5, 4 ≤ t ≺ 8
λ (t ) = ⎨
t anına kadar beklendik varış sayısı:
0≤t ≺4
⎧⎪2t ,
t
t
Λ (t ) = ⎨ 4
⎪⎩∫0 2ds + ∫4 0.5ds = 2 + 6, 4 ≤ t ≺ 8
„
11 ila 14 arasındaki varış sayısına ait olasılık dağılımı:
P[N(6) – N(3) = k]
= P[N(Λ(6)) – N(Λ(3)) = k]
= P[N(9) – N(6) = k]
= e3(3)k/k!
= e(9-6)(9-6)k/k!
12
Deneysel (Empirical) Dağılımlar
„
Parametreleri veri örneğinde gözlemlenen değerlerdir.
…
…
…
Rasgele değişkenin parametrik bir dağılıma sahip olup olmadığının
tesbit edilmesinin imkansız veya gereksiz olduğu durumlarda
kullanılabilir.
Avantajı: Örnek içinde gözlemlenen değerler dışında bir varsayım
yapmaya gerek bırakmaz.
Dezavantajı: Örnek olası değerlerin alabileceği tüm değer aralığını
kapsamıyor olabilir.
Özet
„
Simülasyon modelinin oluşturulmasında giriş verilerinin
toplanması ve analizi (örneğin giriş verileri için bir
dağılımın öngörülmesi) önemli bir iştir.
„
Özellikle bilmeniz gerekenler:
…
…
Ayrık, sürekli ve deneysel dağılımlar arasındaki fark.
Poisson süreci ve özellikleri.
13
Download
Random flashcards
qweeqwqwe

5 Cards oauth2_google_78146396-8b44-4532-a806-7e25cc078908

Create flashcards