HSA_Not - Yıldız Teknik Üniversitesi
advertisement
İÇİNDEKİLER 1. GİRİŞ ............................................................................................................................ 1 2. YAPAY SİNİR AĞLARI ............................................................................................. 4 2.1. Biyolojik Sinir Sistemi............................................................................................... 4 2.2. Yapay Sinir Ağı ......................................................................................................... 6 2.2.1. Yapay Sinir Ağlarının Özellikleri........................................................................... 6 2.2.2. Yapay Sinir Ağlarının Tarihsel Gelişimi ................................................................ 8 2.3 Hopfield Sinir Ağı ...................................................................................................... 8 2.3.1 Giriş ......................................................................................................................... 8 2.3.2 Ağ Topolojisi .......................................................................................................... 9 3. HÜCRESEL SİNİR AĞLARI .................................................................................... 11 3.1. Hücresel Sinir Ağlarının Keşfi ................................................................................ 11 3.2. Hücresel Sinir Ağlarının Mimarisi .......................................................................... 12 3.2.1 Temel Gösterilim ve Tanımlar............................................................................... 12 3.3 Hücre Yapısı ............................................................................................................. 16 3.4 Zamandan ve Konumdan Bağımsız HSA................................................................. 17 3.4.1 Klonlama Şablonu Gösterilimi .............................................................................. 18 3.4.1.1. Geri Besleme Operatöründen ( A(i-k , j-l) ) Gelen Katkı.................................. 18 3.4.1.2. Giriş (Kontrol) Operatöründen ( B(i-k , j-l) ) Gelen Katkı............................... 19 4. HÜCRESEL SİNİR AĞLARININ GÖRÜNTÜ İŞLEMEDE.................................... 21 KULLANILMASI ...................................................................................................... 21 4.1 Giriş .......................................................................................................................... 21 4.2 Lineer HSA ile Görüntü İşleme ................................................................................ 22 4.2.1 Lineer HSA İle Görüntü İşleme Uygulaması ........................................................ 24 4.2.1.1 Uygulama Adımları ............................................................................................ 25 4.3 Standart (Lineer Olmayan) HSA ile Görüntü İşleme Uygulaması ........................... 29 4.3.1 Uygulama Adımları: .............................................................................................. 29 5. LİNEER HSA SİMÜLASYONUNUN MATEMATİKSEL KARŞILIĞI................. 31 5.1 Giriş .......................................................................................................................... 32 5.2 Lineer HSA Denklemleri .......................................................................................... 33 5.3 Euler İleri Yaklaşıklığı.............................................................................................. 34 5.4 Optimum Zaman Adımının Belirlenmesi ..................................................................... 1 1. GİRİŞ Bilim, insanlık tarihi boyunca doğadaki muhteşem işleyişin hep takipçisi olmuş ve kendinin doğmasına sebep bu yapıya kendini benzetmeye çalışmıştır. Doğanın en karmaşık ve harikulade sistemi olan insan, bütün bilim dallarını cezbeden bir araştırma konusu olmaya, geçmişten günümüze devam etmektedir. İnsan gibi düşünen ve davranan bir sistem üretmek çok uzun yıllardır, özellikle matematik ve mühendislik dallarının vazgeçmediği hedeflerindendir. Bilim adamları bir yandan insan beyninin işleyiş sırlarını çözmeye çalışırken diğer yandan, edindikleri bilgilerle daha yetenekli makineler yapmaya çabalamaktadırlar. Uzun yıllardır, insan beyni üzerinde sürdürülen araştırmalara rağmen, beynin asli görevleri olan, düşünme ve karar verme işlevlerini nasıl gerçekleştirdiği, hala çözüm bekleyen bir sırdır. Bu süreçte ortaya atılan birçok teori, gelişen teknoloji sayesinde elde edilen basit bilgilerle geçerliliğini yitirebilmektedir. Örneğin son yıllardaki gelişmeler daha önceden zannedildiği gibi beynin sayısal değil, analog ve paralel bir yapıya sahip olduğunu göstermektedir. Beyin milyarlarca beyin hücresinin bir araya gelmesi ile oluşmuştur. Beyin hücrelerine nöron adı verilir ve beyinde yaklaşık 1,5.1010 adet farklı tipte nöron olduğu zannedilmektedir. Nöron uyarıların alındığı dendritler ve tepkilerin verildiği aksonlarla giriş çıkış faaliyetini sağlar. Devre bakış açısı ile bir nöronu; dendritlerindeki girişlere bağımlı olarak değişen farklı frekanslarda işaret üretebilen bir darbe üreteci olarak tanımlayabiliriz. Bir tek nöronun tepki verme süresinin bir lojik kapı ortalama hızından çok daha yavaş olmasına karşın, diğer nöronlarla paralel çalışırken inanılmayacak derecede hızlı yanıt üretmeleri ne kadar ilginçtir. Bu muhteşem yapıyı taklidi hayal eden bilim adamları şimdilerde kullanılmadığı hiç bir alan kalmayan yeni bir devre yapısı keşfettiler. Keşfin adı keşfedildiği yapıya izafen Yapay Sinir Ağları olarak belirlendi.[1] 2 Yapay sinir ağları (YSA) basitçe; doğrusal olmayan karakteristiğe sahip analog birimlerden oluşan bir devre yapısıdır. Yapının keşfedildiği 20. yüzyılın ortalarından bu yana bu konuda binlerce araştırma yapılmış, gelişmeler yaşanmış ve bunların büyük bir kısmı sayısal bilgisayarların yetersiz kaldığı gerçek hayat problemlerine çözümler sunmuştur. Bu tez boyunca, 1982 yılında ünlü bir fizikçi J. Hopfield tarafından ortaya atılan ve ismiyle anılan Hopfield YSA’nın özel bir alt kümesi olan Hücresel Sinir Ağı (HSA) tanıtılmış ve bu yapının görüntü işlemede kullanılması detaylı olarak incelenmiştir. Hücresel Ağ modeli 1988 yılında L. O. Chua ve L. Yang tarafından ortaya atılmıştır. Hücresel Sinir Ağlarının, insan beynindeki gibi bölgesel bağlantılara sahip olması VLSI gerçeklenmesini olanaklı kılmıştır. Analog yapıdaki HSA sayısal sistemlerin erişemeyeceği işlem hızlarına erişebilmekte, bundan dolayı bir çok alanda tercih edilmektedir. Bilgi alış-verişinde görsel verinin rolü oldukça fazladır. Gelişen teknoloji ile birlikte görüntü ve resim gibi görsel veriye artan talep, daha çok verinin işlenme gerekliliğini de beraberinde getirmiştir. Hücresel Sinir Ağlarının sahip olduğu yapı bir çok uygulamaya elverişli olsa da en yaygın kullanımını görüntü işlemede bulmaktadır. Hücresel Sinir Ağlarının sahip olduğu yapı, görüntü işleme uygulamaları için oldukça uygundur. Önemli nedenlerini şu şekilde sıralayabiliriz; Görüntü işlemede her bir görüntü pikseline uygulanan işlemin konumdan bağımsızlığı, HSA’nın (Konumdan Bağımsız HSA) da sahip olduğu bir özelliktir. Görüntüdeki her bir piksel, HSA’da ki bir hücreye karşı düşmektedir. Sahip olduğu paralel işleyişin yanında ayrık uzay-sürekli zaman özelliği eşzamanlı görüntü işleme uygulamalarını olanaklı kılar. HSA sahip olduğu paralel ve analog yapı nedeniyle, sayısal sistemlerle görüntü işleme hızından çok daha hızlı sonuçlar verir. 3 Hız konusuna bir örnek vermek gerekirse; dakikada 30 pencerenin değiştiği 512 x 512’lik bir görüntü, 3 x 3’lük bir maske ile konvolüsyon edilmek istense, dakikada 70.7 milyon çarpma ve 62.9 milyon toplama işlemi yapılması gerekmektedir. Bu konvolüsyonun sayısal bir sistemle yapılması saniyeler alırken, HSA kullanıldığında görüntünün boyutundan bağımsız olarak işlem nano (10-9) saniyeler sonunda tamamlanmış olacaktır. Bu tezde genel sinir ağı özelliklerinden bahsedildikten sonra Hücresel Sinir Ağları üzerinde detaylı teorik ve pratik inceleme yapılıştır. Ayrıca orijinal bir çıkarım olarak Lineer HSA simülasyonunun, lineer denklem sistemi yinelemeli çözüm yöntemleri ile benzerliği ortaya konulmuştur. Tezdeki diğer bölümleri kısaca özetlersek; 2. Bölümde Yapay Sinir Ağları tanıtılmıştır. Yapay Sinir Ağları’nın biyolojik sinir ağları ile benzerliği, genel özellikleri, tarihsel gelişimi verildikten sonra, Hopfield Sinir Ağı incelenmiştir. Hücresel Sinir Ağı, Hopfield Sinir Ağının özel bir halidir. 3. Bölüm Hücresel Sinir Ağlarına (HSA) giriş yapısındadır. Hücresel Sinir Ağlarının keşfi, ağ mimarisi, kullanılan temel gösterilim, tanım ve denklemler ve bir hücrenin devre yapısı bu bölümde verilmiştir. Yine bu bölümde en yaygın kullanma sahip Konumdan ve Zamandan Bağımsız HSA yapısı tanıtılmıştır. 4. Bölümde Hücresel Sinir Ağlarının görüntü işlemede kullanılması incelenmiştir. Lineer HSA yapısı ile görüntü işleme tanıtılmış ve sıradan (adi) görüntü işleme yöntemiyle kıyaslamalar yapılmıştır. Teorikte anlatılanlar bir uygulamayla pratikte de gösterilmiştir. Uygulamalarda MATLAB 6.0 program dili kullanılıştır. Yine bu bölümde Standart HSA yapısı kullanılarak başka bir uygulama da yapılmıştır. 5. Bölümde Lineer HSA’nın simülasyonun matematiksel karşılığı araştırılmıştır. Simülasyon için gerekli Euler İleri yaklaşıklığından bahsedilmiş, yaklaşıklıkta kullanılan zaman adımının optimum değeri başka bir tezdeki çıkarım genişletilerek verilmiştir. en Jacobi ve Gauss-Seidel’a benzerliği gösterilmiştir. 4 2. YAPAY SİNİR AĞLARI Bu bölümde Yapay sinir ağları hakkında genel bir bilgi verilmiştir. HSA’nın özel bir kümesi olduğu Hopfield Sinir Ağı incelenmiştir. 2.1. Biyolojik Sinir Sistemi Biyolojik sinir sistemi, merkezinde sürekli olarak bilgiyi alan, yorumlayan ve uygun bir karar üreten beynin (merkezi sinir ağı) bulunduğu 3 katmanlı bir sistem olarak açıklanır. Alıcı sinirler organizma içerisinden yada dış ortamlardan algıladıkları uyarıları, beyine bilgi ileten elektriksel sinyallere dönüştürür. Tepki sinirleri ise, beyinin ürettiği elektriksel darbeleri organizma çıktısı olarak uygun tepkilere dönüştürür. Şekil 2.1 de bir sinir sisteminin blok gösterimi verilmiştir. Şekil 2.1. Biyolojik sinir sisteminin blok gösterimi Merkezi sinir ağında bilgiler, alıcı ve tepki sinirleri arasında ileri ve geri besleme yönünde değerlendirilerek uygun tepkiler üretilir. Bu yönüyle biyolojik sinir sistemi, kapalı çevrim denetim sisteminin karakteristiklerini taşır. Merkezi sinir sisteminin temel işlem elemanı, sinir hücresidir (nöron) ve insan beyninde yaklaşık 15 milyar sinir hücresi olduğu tahmin edilmektedir. Sinir hücresi; hücre gövdesi, dendritler ve aksonlar olmak üzere 3 bileşenden meydana gelir. Dendritler, diğer hücrelerden aldığı bilgileri hücre gövdesine bir ağaç yapısı şeklinde ince yollarla iletir. Aksonlar ise elektriksel darbeler şeklindeki bilgiyi hücreden dışarı taşıyan daha uzun bir yoldur. Aksonların 5 bitimi, ince yollara ayrılabilir ve bu yollar, diğer hücreler için dendritleri oluşturur. Şekil 2.2 de görüldüğü gibi akson-dendrit bağlantı elemanı sinaps olarak söylenir. Şekil 2.2. Biyolojik Sinir Hücresi ve bileşenleri. Sinapsa gelen ve dendritler tarafından alınan bilgiler genellikle elektriksel darbelerdir ancak sinapstaki kimyasal ileticilerden etkilenir. Belirli bir sürede bir hücreye gelen girişlerin değeri, belirli bir eşik değerine ulaştığında hücre bir tepki üretir. Hücrenin tepkisini artırıcı yöndeki girişler uyarıcı, azaltıcı yöndeki girişler ise önleyici girişler olarak söylenir ve bu etkiyi sinaps belirler. İnsan beyninin 15 milyar sinir hücresinden ve 60 trilyon sinaps bağlantısından oluştuğu düşünülürse son derece karmaşık ve etkin bir yapı olduğu anlaşılır. Diğer taraftan bir sinir hücresinin tepki hızı, günümüz bilgisayarlarına göre oldukça yavaş olmakla birlikte duyusal bilgileri son derecede hızlı değerlendirebilmektedir. Bu nedenle insan beyni; öğrenme, birleştirme, uyarlama ve genelleştirme yeteneği nedeniyle son derece karmaşık, doğrusal olmayan ve paralel dağılmış bir bilgi işleme sistemi olarak tanımlanabilir.[1] 6 2.2. Yapay Sinir Ağı Beynin üstün özellikleri, bilim adamlarını üzerinde çalışmaya zorlamış ve beynin nörofiziksel yapısından esinlenerek matematiksel modeli çıkarılmaya çalışılmıştır. Beynin bütün davranışlarını tam olarak modelleyebilmek için fiziksel bileşenlerinin doğru olarak modellenmesi gerektiği düşüncesi ile çeşitli yapay hücre ve ağ modelleri geliştirilmiştir. Böylece ‘Yapay Sinir Ağları’ denen yeni ve günümüz bilgisayarlarının algoritmik hesaplama yönteminden farklı bir bilim alanı ortaya çıkmıştır. Yapay sinir ağları; yapısı, bilgi işleme yöntemindeki farklılık ve uygulama alanları nedeniyle çeşitli bilim dallarının da kapsam alanına girmektedir. Genel anlamda YSA, beynin bir işlevi yerine getirme yöntemini modellemek için tasarlanan bir sistem olarak tanımlanabilir.[2] YSA, yapay sinir hücrelerinin birbirleri ile çeşitli şekillerde bağlanmasından oluşur ve genellikle katmanlar şeklinde düzenlenir. Donanım olarak elektronik devrelerle yada bilgisayarlarda yazılım olarak gerçeklenebilir. Beynin bilgi işleme yöntemine uygun olarak YSA, bir öğrenme sürecinden sonra bilgiyi toplama, hücreler arasındaki bağlantı ağırlıkları ile bu bilgiyi saklama ve genelleme yeteneğine sahip paralel dağılmış bir işlemcidir. Öğrenme süreci, arzu edilen amaca ulaşmak için YSA ağırlıklarının yenilenmesini sağlayan öğrenme algoritmalarını ihtiva eder. 2.2.1. Yapay Sinir Ağlarının Özellikleri Yukarıda verilen açıklamalardan, YSA’nın hesaplama ve bilgi işleme gücünü, paralel dağılmış yapısından, öğrenebilme ve genelleme yeteneğinden aldığı söylenebilir. Genelleme, eğitim yada öğrenme sürecinde karşılaşılmayan girişler için de YSA’nın uygun tepkileri üretmesi olarak tanımlanır. Bu üstün özellikleri, YSA’nın karmaşık problemleri çözebilme yeteneğini gösterir. Günümüzde birçok bilim alanında YSA, aşağıdaki özellikleri nedeniyle etkin olmuş ve uygulama yeri bulmuştur. 7 Doğrusal Olmama YSA’nın temel işlem elemanı olan hücre doğrusal değildir. Dolayısıyla hücrelerin birleşmesinden meydana gelen YSA da doğrusal değildir ve bu özellik bütün ağa yayılmış durumdadır. Bu özelliği ile YSA, doğrusal olmayan karmaşık problemlerin çözümünde en önemli araç olmuştur. Öğrenme YSA’nın arzu edilen davranışı gösterebilmesi için amaca uygun olarak ayarlanması gerekir. Bu, hücreler arasında doğru bağlantıların yapılması ve bağlantıların uygun ağırlıklara sahip olması gerektiğini ifade eder. YSA’nın karmaşık yapısı nedeniyle bağlantılar ve ağırlıklar önceden ayarlı olarak verilemez yada tasarlanamaz. Bu nedenle YSA, istenen davranışı gösterecek şekilde ilgilendiği problemden aldığı eğitim örneklerini kullanarak problemi öğrenmelidir. Genelleme YSA, ilgilendiği problemi öğrendikten sonra eğitim sırasında karşılaşmadığı test örnekleri için de arzu edilen tepkiyi üretebilir. Örneğin, karakter tanıma amacıyla eğitilmiş bir YSA, bozuk karakter girişlerinde de doğru karakterleri verebilir yada bir sistemin eğitilmiş YSA modeli, eğitim sürecinde verilmeyen giriş sinyalleri için de sistemle aynı davranışı gösterebilir. Uyarlanabilirlik YSA, ilgilendiği problemdeki değişikliklere göre ağırlıklarını ayarlar. Yani, belirli bir problemi çözmek amacıyla eğitilen YSA, problemdeki değişimlere göre tekrar eğitilebilir, değişimler devamlı ise gerçek zamanda da eğitime devam edilebilir. Bu özelliği ile YSA, uyarlamalı örnek tanıma, sinyal işleme, sistem tanılama ve denetim gibi alanlarda etkin olarak kullanılır. 8 2.2.2. Yapay Sinir Ağlarının Tarihsel Gelişimi Beynin işleyişi ve sinir ağları üzerinde sürdürülen araştırmalar 1940’larda Mc Cullogh ve Pitts’in nöron işlevini görebilecek birimin; belli bir eşik seviyesinden sonra çıkış veren bir özellik göstermesi gerektiği fikrini ortaya atmaları ile yeni bir açılım kazandı. Bu görüş, ortaya attığı basit devrenin, paralel işleyişi sırasında çok karmaşık işlevleri yapabildiği iddiası açısından, çok önemliydi. 1950’lerin sonları 1960’ların başlarında nöron modelleri çeşitlilik kazanmıştı. Bunlar arasında Rosenblatt’ın ‘Perseptron’u’, Widrow ve Hoff’un ‘Adaline’nı’ ve Steinbuch’un ‘Öğrenme Matrisi’ önemli olanlarıdır. Perseptron’un sahip olduğu basitlik özelliği, yapının ilk ortaya atıldığında büyük heyecana neden olmuştu. Fakat bu heyecan, Minsky ve Papert'in 1969'da yayınlanan ‘Perceptrons’ adlı kitaplarında; lineer olarak ayrılamayan karmaşık mantıksal işlemlerde, Perseptron’un kullanılamayacağını matematiksel olarak kanıtlamaları ile kısa sürdü. Adaline’nın kullanımı ise uyarlanmalı sinyal işleme tekniğindeki büyük gelişmelerle etkisini yitirdi. 2.3 Hopfield Sinir Ağı 1982 yılında Hopfield tarafından yayınlanan makale Yapay Sinir Ağları (YSA) dünyasında yeni bir heyecana neden oldu. 2.3.1 Giriş Hopfield 1982’de yayınladığı makalesinde, nöronların birbirleriyle etkileşimi temeline dayanan yeni bir sinir ağı ortaya koydu. Bu model belli bir enerji düzeyine yakınsayan birinci dereceden lineer olmayan diferansiyel denklem takımları ile ifade ediliyordu. 9 Hopfield ismiyle anılacak sinir ağı geri beslemeli sinir ağlar sınıfına girmektedir. Bu ağdaki temel düşünce; enerjiyi minimuma indirmek için gerekli sinaptik ağırlık değerlerine yakınsamadır. Bunu tepenin başında bırakılan bir topun sürtünme ve diğer kuvvetlerin etkisiyle sahip olduğu enerjinin diğer enerji türlerine dönüştüğü anda durmasına benzetebiliriz. Ağ öğrenme işlevini tamamladıktan sonra tepenin üzerinde oluşacak yeni top (durum) diğer topun nerede durduğunu hatırlayacaktır. Hopfield ‘enerji kuyuları’ kavramını bu ağ yapısı ile tanımlamıştır. (Şekil 2.1) Şekil 2.3. Hopfield Sinir Ağı yapısındaki ‘Enerji Kuyuları’nın basit bir gösterilimi 2.3.2 Ağ Topolojisi Hopfield ağ topolojisi diğer ağlardan farklıdır. Farklı katmanlar yoktur; her birim diğer tüm birimlere bağlıdır. Ayrıca, bağlantılar çift yönlüdür (bilgi her iki yönde akar) ve simetriktir. Her iki yönde akan veriye uygulanan ve her bağlantı için hesaplanan bir ağırlık değeri vardır. Şekil 2.4. 6 birimli Hopfield ağı 10 YSA üzerindeki çalışmaların ışığında oluşan yeni devre yapısının var olan sayısal bilgisayarlar ve analog devrelere göre öne çıkan avantajları uyarlanabilir, öğrenme yeteneğine sahip ve tabii ki hızlarıdır. Bunun yanında yeni devre yapısının doğasında var olan lineer olamama özelliği, lineer tekniklerle karşılaştırıldığında işlevsel yaklaşıklık ve işaretlerin filtreleme işlemlerinde çok daha ideal sonuçlar alınmasını sağlar. Tüm mühendislik harikalarında olduğu gibi yapay sinir ağları da sınırlara sahiptir. Yapay sinir ağlarının paralel yapısı, ayrık devre elemanları ile gerçeklemesini engeller. Çünkü dört yada altıdan fazla nöron içeren ağlarda bağlantı sayısı oldukça fazlalaşmaktadır. Özellikle Hopfield ağında her bir nöronun diğer tüm nöronlarla bağlantılı olması gerektiği düşünüldüğünde ayrık devre elemanları ile devrenin gerçekleştirilmesi imkansız hale gelmektedir. Buna çözüm olarak sunulabilecek tümleşik gerçeklemede de bağlantı yollarında sorun yaşanmaktadır. Bağlantı sayısı sınırlaması yanında devrenin az güç harcaması da aranan bir özelliktir. Sayılan bu sınırlamalardan birçoğu, 1988 yılında Hücresel Sinir Ağı yapısının keşfi ile ortadan kalmıştır. 11 3. HÜCRESEL SİNİR AĞLARI Hopfield Sinir Ağı’nın özel bir kümesi olan Hücresel Sinir Ağları 1988 yılında ortaya atılmıştır. Bu bölümde Hücresel Sinir Ağları kavramı ve temel tanımlamaları verilecektir. 3.1. Hücresel Sinir Ağlarının Keşfi Sinir sistemimizdeki nöronların birbirine olan bağlantılarına yoğunlaşan iki bilim adamı Leon O. Chua ve Lin Yang 1988 yılında yeni bir yapay sinir ağı mimarisi ortaya koydukları makalelerini yayınladılar ve bu makale ile Hücresel Sinir Ağı (HSA) doğmuş oldu[3]. Sinir sistemimizdeki nöronların diğer nöronlarla bölgesel olarak bağlı olması -ki her bir nöronun 1000’e yakın komşuluk kurduğu nöron bulunduğu bilinmektedir- HSA yapısının dayandığı en önemli özelliktir. Hopfield sinir ağlarındaki bütün hücrelerin birbirleriyle doğrudan bağlılığına karşın HSA’nda her bir hücre en yakın komşuluğundaki hücre ile doğrudan, diğer hücrelerle dolaylı olarak bağlıdır. HSA’nın bu yapısı, ağın tümleşik devre gerçeklemesini olanaklı kılmış ve ilk HSA cipi (CNNUM) Macaristan Teknik Üniversitesi’nde Prof. T. Roska ve öğrencileri tarafından gerçeklenmiştir. Bölgesel bağlantı sonucu; hem devrenin kapladığı alan azalmakta hem de verilerin devre üzerindeki taşınım yolları kısa olduğundan toplam güç harcaması düşük olmaktadır. HSA önemli avantajlarından bir diğeri de kararlı bir sonuca yakınsama süresinin devrenin boyutundan bağımsız olması ve bir kaç nöron gecikmesi ile belirlenmesidir. HSA’nın bu özellikleri gelecekte pek çok uygulama alanı bulacağının göstergeleridir. 12 3.2. Hücresel Sinir Ağlarının Mimarisi Bu kısımda hücresel sinir ağı mimarisi, ayrıntılı olarak incelenmiştir.[4] 3.2.1 Temel Gösterilim ve Tanımlar Tanım 1. Standart HSA Mimarisi MxN standart HSA MxN boyutundaki dikdörtgen hücreler dizisinden oluşur. Burada M: satırı N: sütunu gösterir. HSA’nın en küçük birimine hücre adı verilir. Hücreler devrenin boyutuna göre iki boyutlu uzayda kartezyen koordinat sistemi düzeninde yerleştirilmişlerdir. i. satırı, j. sütunundaki hücre C(i,j) ile ifade edilir. (i=1,2,3...M, j=1,2,3...N) (Şekil 3.1) sütunlar 1 s a t ı r l a r 2 3 j N 1 . . . . . . 2 . . . . . . . . . 3 . . . . . . . . . . . . . i . . M C(i,j) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Şekil 3.1. Standart HSA mimarisi 13 Uygulamalarda genellikle M N alınsa da M N de olabilir. Örneğin 5 x 512’ lik bir HSA yapısı tarayıcı, faks yada fotokopi makinesi için uygundur. Tanım 2. C(i,j) Hücresinin Etki Küresi C(i,j) hücresinin r yarıçaplı etki küresi S r (i, j ) olmak üzere; S r (i, j ) C (k , l ) max 1 k M ,1 l N | k i |, | l j | r koşulunu sağlayan tüm komşu hücreler topluluğuna denir. Buradaki r pozitif bir tam sayıdır. Şekil 3.2. (a) r=1 (3x3 komşuluk) , (b) r=2 (5x5 komşuluk), (c) r=3 (7x7 komşuluk) Komşuluk r yarıçapı ile belirtilebildiği gibi (2r+1)x(2r+1) şeklinde de gösterilebilir. Etki küresi içerisinde (2r+1)2 kadar hücre bulunmaktadır. Komşuluk sistemi simetri özelliğine sahiptir. C(k, l) Sr (i, j ) C(i, j) Sr (k , l ) Hücresel Sinir Ağı tanımlanırken, bir r değeri seçilir ( Çoğu uygulamada r =1 alınır). Bu seçimden sonra her hücre sadece kendi komşuluk grubundaki hücrelerle doğrudan bağlantılı bulunur. Yani sadece komşuları ile sinaptik bağlantıları mevcuttur. 14 Tanım 3. Bir Hücrenim Matematiksel Tanımı En genel halde bir HSA’nda C(i,j) hücresinin matematiksel tanımlamaları şu şekildedir; 1 Durum Denklemi dxij dt xij C ( k ,l )S r ( i , j ) A(i, j; k , l ) y kl B(i, j; k , l )u kl z ij C ( k ,l )S r ( i , j ) Burada; xij R ; C(i,j) Hücresinin Durumu, ykl R ; Etki küresi içerisindeki hücrelerin çıkışları, u kl R ; Etki küresi içerisindeki hücrelerin girişleri, zij R ; Eşik değeri A(i, j ; k, l) ; Geri Besleme Operatörü B(i, j ; k, l) ; Giriş (Kontrol) Operatörü’dür Şekil 3.3. Bir hücrenin blok diyagram gösterilimi (3.1) 15 2 Çıkış Denklemi yij f ( xij ) 1 1 xij 1 xij 1 2 2 (3.3) Şekil 3.4. HSA’nın standart nonlinearitesi HSA’na lineer olmama özelliğini veren bu fonksiyondur. Tanım 3.3. Sınır Koşulları Sınır hücrelerinin etki küresi içinde bulunup da M x N boyutundaki hücre dizisinin dışında kalan hücrelerin durum ve çıkış değerleri koşuludur. Tanım 3.4. Başlangıç Koşulları Dizideki tüm hücrelerin ilk koşuludur. xij(0) , i=1,2...M , j=1,2...N 16 3.3 Hücre Yapısı HSA’nın bir hücresinin devre şeması Şekil 3.5 de görülmektedir. Şekil 3.5. Bir Hücrenin devre şeması Hücrede sırasıyla giriş, durum ve çıkışa karşı düşen u, x ve y düğümleri bulunur. Hücrede bulunan elemanlar uij ; sabit gerilim kaynağı, Z; sabit akım kaynağı, C; lineer kapasite , Rx ve Ry ;lineer dirençler, m komşu hücre sayısına eşit olmak üzere en fazla 2m adet Ixu(i,j;k,l) ve Ixy (i,j;k,l) bağımlı akım kaynağı, son olarak da Iyx lineer olmayan gerilim kontrollü akım kaynağıdır. Komşu hücrelerle bağlantı, kontrol girişi vukl ve geri besleme gerilimi v ykl ’nin ağırlıklı toplamları üzerine kurulmuştur. I xy (i, j; k , l ) A(i, j; k , l )v ykl , C (k , l ) S r (i, j ) I xu (i, j; k , l ) B(i, j; k , l )vukl , C (k , l ) S r (i, j ) 17 Hücredeki tek lineer olmayan eleman ise Iyx parça-lineer gerilim kontrollü akım kaynağıdır. I yx 1 f (v xij ) Ry Buradaki f(.) fonksiyonu Tanım 3.2’de verilen çıkış fonksiyonudur. HSA’nın VLSI gerçeklemelerinde f(.) fonksiyonunun keskin karakteristiğini elde etmek mümkün olmadığından daha yumuşak ve sürekli bir fonksiyon olan Sigmoid fonksiyonu kullanılır. Bu değişim teoriyi etkilemez. 3.4 Zamandan ve Konumdan Bağımsız HSA Eğer geri besleme A(i, j ; k, l), giriş B(i, j ; k, l) operatörleri ve zij eşik değeri, hücrenin ağ içerisindeki yerleşiminden ve zamandan bağımsız olarak belirleniyorsa bu yapıya ‘Zamandan ve Konumdan Bağımsız HSA’ adı verilir. Uygulamaların neredeyse tamamı bu yapıyı kullanır. Bu durumda aşağıdaki ifadeleri yazabiliriz; A(i, j; k , l ) y kl B(i, j; k , l )u kl C ( k ,l )S r ( i , j ) C ( k ,l )S r ( i , j ) A(i k , j l ) y kl B(i k , j l )u kl |k i| r |l j | r |k i| r |l j | r z ij z 18 3.4.1 Klonlama Şablonu Gösterilimi HSA’nın uygulamalarında en fazla 3x3 komşuluğun (etki küresi yarıçapı r =1) bulunduğu, konumdan bağımsız yapı kullanılır. Bu uygulamalarda analizini kolaylaştıracak bazı tanımlamalar yapılmıştır. Geri besleme ( A(i-k , j-l) ), giriş ( B(i-k , j-l) ) operatörleri ve zij eşik değeri, hücrenin ağ içerisindeki yerleşiminden bağımsız olduklarından, bir şablon şeklinde gösterilebilirler. 3.4.1.1. Geri Besleme Operatöründen ( A(i-k , j-l) ) Gelen Katkı A(i, j; k , l ) y kl C ( k ,l )S r ( i , j ) |k i| r |l j| r A(i k , j l ) y kl a1, 1 yi 1, j 1 a1,0 yi 1, j a1,1 yi 1, j 1 a0, 1 yi , j 1 a0,0 yi , j a0,1 yi 1, j 1 a1, 1 yi 1, j 1 a1,0 yi 1, j a1,1 yi 1, j 1 1 1 a k 1 l 1 k ,l yi k , j l a1, 1 a1,0 a0, 1 a0,0 a1, 1 a1,0 a1,1 a0,1 a1,1 yi 1, j 1 yi , j 1 yi 1, j 1 a1, 1 a1, 0 A a0, 1 a0,0 a1, 1 a1, 0 yi 1, j yi , j yi 1, j a1,1 a0,1 a1,1 yi 1, j 1 yi 1, j 1 A Yij yi 1, j 1 19 yi 1, j 1 Yij yi , j 1 yi 1, j 1 yi 1, j yi , j yi 1, j yi 1, j 1 yi 1, j 1 yi 1, j 1 Burada 3 x 3 boyutundaki A matrisi ‘Geri Besleme Klonlama Şablonu’ olarak isimlendirilir. Yij matrisi MxN boyutundaki çıkış görüntüsünün üzerinde 3x3 bir pencere gezdirilerek elde edilebileceğinden ‘C(i,j) Hücresindeki Çıkış Görüntüsü’ olarak adlandırılır. sembolü nokta çarpımların toplamını ifade eder ve ‘Şablon Skaler Çarpım’ olarak isimlendirilir. Ayrık matematikte bu işlem uzaysal konvolüsyona karşı düşer. Bazı uygulamalarda A şablonu şu şekilde ikiye ayrılabilmektedir: a00; A şablonunun merkez elemanını göstermek üzere (akl ; k=l=0); _ A A A , 0 A 0 0 0 0 0 a00 0 0 0 0 , a1, 1 A a0, 1 a1, 1 _ a1,0 0 a1,0 A0 ; Şablonun Merkez Bileşeni, _ A ; Şablonun Çevre Bileşeni olarak adlandırılır. 3.4.1.2. Giriş (Kontrol) Operatöründen ( B(i-k , j-l) ) Gelen Katkı Bir önceki bölümde yapılan işlemlere benzer işlemlerle; a1,1 a0,1 a1,1 (3.4) 20 B (i, j; k , l )ukl C ( k , l )S r ( i , j ) | k i | r |l j | r B (i k , j l )ukl b1, 1ui 1, j 1 b1, 0ui 1, j b1,1ui 1, j 1 b0, 1ui , j 1 b0, 0ui , j b0,1ui 1, j 1 b1, 1ui 1, j 1 b1, 0ui 1, j b1,1ui 1, j 1 1 1 b k 1 l 1 u k ,l i k , j l b1, 1 b1, 0 b0, 1 b0, 0 b1, 1 b1, 0 b1,1 b0,1 b1,1 ui 1, j 1 ui 1, j ui , j 1 ui , j ui 1, j 1 ui 1, j b1, 1 b1, 0 B b0, 1 b0, 0 b1, 1 b1, 0 U ij ui 1, j 1 ui 1, j ui , j 1 ui , j ui 1, j 1 ui 1, j ui 1, j 1 ui 1, j 1 B U ij ui 1, j 1 b1,1 b0,1 b1,1 ui 1, j 1 ui 1, j 1 ui 1, j 1 3x3 boyutundaki B matrisi ‘Giriş (Kontrol) Klonlama Şablonu’ olarak isimlendirilir. Uij matrisi MxN boyutundaki giriş görüntüsünün üzerinde 3x3 bir pencere gezdirilerek elde edilebileceğinden ‘C(i,j) Hücresindeki Giriş Görüntüsü’ olarak adlandırılır. Bazı uygulamalarda B şablonu şu şekilde ikiye ayrılabilmektedir. b00; B şablonunun merkez elemanını göstermek üzere. (bkl ; k=l=0) _ BB B , B 0 0 0 0 0 0 b00 0 0 0 0 , b1, 1 b1,0 B b0, 1 0 b1, 1 b1,0 _ b1,1 b0,1 b1,1 21 B 0 ; Şablonun Merkez Bileşeni _ B ; Şablonun Çevre Bileşeni olarak adlandırılır. 4. HÜCRESEL SİNİR AĞLARININ GÖRÜNTÜ İŞLEMEDE KULLANILMASI Bu bölümde Hücresel Sinir Ağları’nın görüntü işlemede kullanılması teorik ve pratik olarak ayrıntılı olarak incelenecektir. 4.1 Giriş Günümüzde işaret işlemenin diğer alanlarında da HSA ile uygulamalar yapılıyor olsa da, görüntü işleme uygulamaları ilk ve en önemli kısımdır. Hücresel ağlar iki boyutlu yapılarından dolayı iki boyutlu görüntüler üzerinde özellik ayrıştırma, gürültü yok etme, hareket sezme gibi pek çok alanda kullanılır. Görüntüdeki her bir piksel, hücresel ağdaki her bir hücreye karşı düşer. Görüntü, hücresel ağın başlangıç konumuna [-1,1] sürekli aralığında gerilim seviyeleri ile verilebildiği gibi hücresel ağın girişine kontrol akımları ile de verilebilir. Ağ dinamik yapısını belirleyen küme kalıpları ile çalışıp, bir denge durumuna yakınsadığında sonuç görüntü; durumlardan veya çıkışlardan elde edilir. Hücresel ağlarda her kararlı denge durumu iki boyutlu bir görüntüye karşı düşer. Karalı denge durumlarının sınırlı sayıda olduğunu bildiğimize göre, hücresel ağların sürekli [-1,1]MxN görüntü uzayı ile sınırlı sayıda bipolar görüntüden oluşan bir sonuç uzayı 22 arasında lineer olamayan bir dönüşüm gerçekleştirdiğini söyleyebiliriz. Dönüşüm dinamik olduğundan sonucun varlığı kadar dönüşümün şekli de önemlidir. Geçiş durumu devreyi başlangıç durumundan kararlı bir denge noktasına götüren yörüngedir. Her kararlı denge durumu ise bir yörüngenin limit noktasında bulunur. Bu özelliklerinden dolayı kararlı sistem denge durumlarına etki havuzları denmektedir. 64x64 boyutundaki görüntülerin de işlenmesini olanaklı kılan HSA yapısının analojik devre teknolojisi kullanılarak üretilmiş cipi şu an mevcut olsa da boyuta getirdiği sınırlamalar ve maliyet yüksekliği araştırmaların çoğunu bilgisayarlarla hazırlanmış devre simülatörleri veya özel uygulama programları yapıp uygulamaya yönlendirmiştir. Bu bölümde; MATLAB 6.0 programı kullanılarak hem lineer olmayan hem de lineer HSA için farklı küme kalıpları kullanılarak görüntü işleme simülasyonu gerçekleştirilmiştir. 4.2 Lineer HSA ile Görüntü İşleme C(0,B,z) ileri beslemeli ( geri besleme yok) HSA yapısını, z=0 olduğu durum için inceleyelim. B şablonunun (2σ+1)x(2σ+1) boyutta olduğu kabulü ile (σ=r) Eşitlik 3.2 ile tanımlanan durum denklemi şu şekilde yazılabilir; x ij x ij b k ,l u i k , j l k , l u i k , j l k l x ij b k l x ij h k l x ij x ij k ,l k l u i k , j l h k ,l u i k , j l (4.1) 23 hk , l b k , l , (4.2) k , l , ( 1),... 1, 0 , 1 ....( 1), hk,l Eşitlik 4.2 ile tanımlandığına göre, H şablonu B şablonunun merkeze göre simetriği olacaktır. Yani; b1, 1 b1,0 B b0, 1 b0,0 b1, 1 b1, 0 b1,1 b0,1 b1,1 b1,1 , H b0,1 b1,1 b1,0 b0, 0 b1, 0 b1, 1 b0, 1 b1, 1 B’nin simetrik olduğu -ki genelde simetriktir-durumlarda: H=B olacaktır. Eşitlik 4.1’deki çift toplamın, iki boyutlu konvolüsyon ifadesi olduğu görülmektedir. Bilindiği gibi konvolüsyon işlemi ‘*’ işareti ile gösterilmektedir. O halde; H U ij h k l u k ,l i k , j l x ij x ij H U ij (4.3) H ve Uij iki matris olmasına karşın konvolüsyonları sabit bir sayıdır. Bu durumda Eşitlik 4.3’deki diferansiyel ifadenin çözümü şu şekilde elde edilir; xij (t ) xij (0)e t ( H U ij )(1 e t ) , t 0 Denklemin t için çözümü incelendiğinde xij () lim xij (t ) H U ij t (4.4) 24 Bulunan denklem çok önemli bir sonuçtur ve aşağıdaki teoremin ispatıdır. Teorem 4.2.1 Her ileri beslemeli (C(0,B,z)) HSA kararlıdır ve herhangi bir xij(0) başlangıç koşulu için Eşitlik 4.3’deki xij(t)durumu B şablonunun simetriği olan H ve sabit giriş görüntüsü Uij’nin konvolüsyonu sonucundaki sabite yakınsar. Teorem 4.2.1’de ilk bakışta çok doğru gelebilecek bir soru gizlidir. Soru şudur; Şayet HSA’daki her bir hücrenin t için durumu -ağın tümü düşünüldüğünde çıkış görüntüsü- halihazırdaki DSP’ler kullanılarak yapılabilecek bir konvolüsyon işlemi ile ve bunun alacağı kısa süre kadar sonra elde edilebiliyorsa HSA’nı tercih etmemin nedeni nedir? Sorunun cevabı HSA’ da t ’un ne ifade ettiğidir. HSA’nın analog yapısı için, τ;zaman sabiti olmak üzere; t t 5 Dolayısıyla HSA ile nano (10-9) saniyeler mertebesinde görüntünün işlenmesi tamamlanmış olacaktır. Bu kadar hızlı sonuç verebilecek bir DSP mevcut mudur? 4.2.1 Lineer HSA İle Görüntü İşleme Uygulaması Bu bölümde yukarıda teorisi anlatılan HSA’nın lineer görüntü işlemede kullanılmasına bir örnek verilmiş ve teorik olarak verilen ifadeler uygulama ile gösterilmiştir. Uygulamada MATLAB 6.0 program dili kullanılmış ve program kodları her uygulama adımı için ayrı ayrı verilmiştir. (Ek.1) Eşitlik 3.2 ile verilen HSA’nın durum denklemine Euler İleri Yaklaşıklığı uygulanarak diferansiyel denklem fark denklemi haline getirilir. (Bu konuda ayrıntılı bilgi için bkz. Bölüm 5.3). 25 Uygulamada kullanılan küme kalıbı ‘kenar ayıracı’ olarak isimlendirilir ve aşağıda tanımlanmıştır. C(A,B,z); 1 1 1 0 0 0 A 0 0 0 0 0 0 , B 1 8 1 , z 1 1 1 1 4.2.1.1 Uygulama Adımları Adım 1. Giriş olarak 64 x 64 boyutlarında bir görüntüsü kullanılmıştır. Şekil 4.1. Giriş görüntüsü (64x64) Adım 2. Euler İleri Yaklaşıklığı kullanılarak fark denklemi haline getirilen HSA durum denklemi, kenar ayıracı küme kalıbı denklemde yerine konularak programa aktarılmıştır. Adım 3.Çıkış görüntüsü başlangıç anından durağan hale gelinceye kadar farklı t anlarında izlenmiştir. 26 Burada kullandığımız HSA lineerliğinden dolayı her bir hücrenin çıkışı aslında o hücrenin durumudur. yij f ( xij ) xij Başlangıç koşulu olarak ( xij(0) ) giriş görüntüsünün kendisi alındığı gibi tüm piksel değerleri sıfır olan bir görüntüde alınabilir. Başlangıç koşulu olarak giriş görüntüsünün kendisinin alınması daha kısa süre sonunda sonuca ulaşılmasını sağlar. Çıkış görüntüsünün zamanla değişimi Şekil 4.2’de görülmektedir. (a) (b) (c) (d) (e) (f) 27 Şekil 4.2. Farklı t anlarındaki çıkış görüntüleri (a) t=0 sn (başlangıç hali) , (b) t=0.3 sn (c) t=0.5 sn , (d) t=0.8 sn , (e) t=1 sn , (f) t=2 sn Şekil 4.2’deki çıkış görüntülerine bakıldığında zamanla görüntüdeki değişim azalmış ve belli bir süre sonra değişim ortadan kalkmıştır. t=1 sn.de ve t=2 sn.deki görüntülerde bir değişim yoktur. Giriş görüntüsü ve çıkış görüntüsü incelendiğinde açıktır ki yapılan işlem giriş görüntüsündeki kare şekillerin yalnız kenarlarının seçilmesidir. Zaten bu küme kalıbı da bu özelliğinden dolayı kenar ayıracı olarak isim alır. Kenar ayıracı küme kalıbı sadece siyah-beyaz giriş görüntüsüne uygulanabilir. Gri yada renkli ölçekli bir giriş görüntüsü için çıkış görüntüsünde kenar ayırma işlemi belli bir oranda yapılsa da istenmeyen bozulmalarla karşılaşılır. Gri ölçekli görüntüler için de kenar ayırma işlemini gerçekleştiren küme kalıbı mevcuttur. Komşu hücreler için giriş-çıkış arasındaki piksellerin değişim kuralları şu şekilde verilir; Sabit Giriş (uij) Durağan Haldeki Çıkış ( yij(∞) ) Beyaz piksel Beyaz (komşu hücrelerin renginden bağımsız) Siyah piksel Beyaz (bütün komşu hücreleri siyah ise) Siyah piksel Siyah (en az bir komşusu beyaz ise) Siyah, Gri veya Beyaz piksel Gri (şayet bütün komşuları gri ise) Adım 4. Eşitlik 4.1 ve Eşitlik 4.3’de giriş görüntüsü ile giriş klonlama şablonu arasındaki işlemin ayrık uzayda konvolüsyona denk düştüğü gösterilmişti. Adım 3’de bu işlem denklemdeki çift toplam ifadesi ile gerçeklenmiştir. (Bkz. Ek 1.2). Bu adımda işlem Eşitlik 4.3’deki şekliyle yapılmıştır. Konvolüsyon MATLAB ‘conv2’ komutu kullanılarak gerçeklenmiştir. İşlem sonunda elde edilen durağan hal çıkış görüntüsü Şekil 4.3’de verilmiştir. 28 Şekil 4.3. Konvolüsyonlu denklem çözümü ile elde edilen durağan hal çıkış görüntüsü (t=1 sn) Adım 5. Bu adımda Teorem 4.2.1’de ifade edilen ve matematiksel olarak ispatlanan; xij () H U ij eşitliğinin doğruluğu uygulamada görülmeye çalışılmıştır. B şablonunun simetrik olmasından dolayı H=B ’dir. Bu durumda durağan haldeki çıkış görüntüsü B şablonu ile giriş görüntüsünün konvolüsyonu olmalıdır. (Program kodu Ek 1.5) Elde edilen çıkış görüntüsü; Şekil 4.4. y x() H U sonucu oluşan çıkış görüntüsü Bilinen görüntü işleme yöntemi ile elde edilen çıkış görüntüsü HSA durum denklemlerinin çözümü ile elde edilen çıkış görüntüsü ile aynı olduğu görülmüştür. Teorem 4.2.1’in ispatı uygulamada da gösterilmiştir. 29 4.3 Standart (Lineer Olmayan) HSA ile Görüntü İşleme Uygulaması 4.2.1 Bölümünde lineer HSA yapısı ile kenar ayıracı küme kalıbı kullanılarak bir uygulama gerçeklenmişti. Yapının lineer olmasından dolayı eşik aktivasyon fonksiyonu kullanılmamıştı. Uygulamada kullanılan küme kalıbında geri besleme şablonunun tüm elemanlarının 0 olması HSA yapısının ileri beslemeli halde olmasını sağlamıştı. Bu bölümde standart HSA yapısı ile bir uygulama yapılmıştır. Standart HSA yapısında durumlar ile çıkış arasındaki ilişki eşik aktivasyon fonksiyonu ile tanımlanır ve bu yüzden ağ lineer değildir. Uygulamada kullanılacak küme kalıbı ‘köşe ayıracı’ olarak isimlendirilir ve C(A, B, z) şu şekilde tanımlanır. 1 1 1 0 0 0 A 0 2 0 , B 1 0 0 0 8 1 , z4 1 1 1 4.3.1 Uygulama Adımları: Adım 1. Giriş görüntüsü olarak bir çizim programında hazırlanmış 64x64 boyutundaki Şekil 4.5’deki görüntü kullanılmıştır. Görüntü MATLAB ‘imread’ komutu ile bir matris haline dönüştürülür.(Prog. Kod Ek 2.1) Şekil 4.5. Giriş görüntüsü (64x64) 30 Adım 2. Uygulamada kullanılan köşe ayıracı küme kalıbı matrisler halinde programa aktarılmıştır. Adım 3. 4.2 Bölümü’nde ispatlandığı gibi şablonlarla (A,B) görüntüler (U, Y) arasındaki işlem uzaysal konvolüsyona karşı düşer. Bu adımda işlemler hazır konvolüsyon komutu kullanılarak yapılmıştır. Durum denklemi Euler İleri Yaklaşıklığı kullanılıp fark denklemi haline getirilip programa aktarılmıştır.( Prog. Kodu Ek 2.3) Adım 4. Çıkış görüntüsü HSA çıkış denklemi ile bulunacaktır. En genel halde çıkış ,durumlara eşik aktivasyon fonksiyonu ile bağlıdır. yij f ( xij ) 1 1 xij 1 xij 1 2 2 Başlangıç koşulu olarak ( xij(0) ) giriş görüntüsünün kendisi alındığı gibi tüm piksel değerleri sıfır olan bir görüntüde alınabilir. Giriş görüntüsünün kendisinin alınması daha kısa sürede sonuca ulaşılmasını sağlar. Çıkış görüntüsünün zamanla değişimi Şekil 4.6’da görülmektedir. (a) (b) (c) 31 (d) (e) (f) Şekil 4.6. Farklı t anlarındaki çıkış görüntüleri (a) t=0 sn (başlangıç hali) , (b) t=0.1 sn (c) t=0.3 sn , (d) t=0.5 sn , (e) t=1 sn , (f) t=2 sn Giriş görüntüsüne ve durağan haldeki çıkış görüntüsüne bakıldığında görülecek ki giriş görüntüsündeki karelerin köşeleri seçilmiş ve çıkışa aktarılmıştır. Komşu hücreler için giriş ve çıkış görüntülerindeki piksellerin değişim kuralları şu şekilde verilir; Sabit Giriş (uij) Beyaz piksel Siyah piksel Durağan Haldeki Çıkış ( yij(∞) ) Beyaz (komşu hücrelerin renginden bağımsız) Siyah (sadece ve sadece 3 yada daha az siyah komşu hücreye sahipse) Köşe ayıracı küme kalıbı sadece siyah-beyaz giriş görüntülerine uygulanır ve çıkış da siyah-beyaz özellikte bir görüntü elde edilir. 5. LİNEER HSA SİMÜLASYONUNUN MATEMATİKSEL KARŞILIĞI Analog sistemler şayet yapılarında kondansatör ve bobin gibi dinamik bir elemanlar bulunduruyorlarsa diferansiyel denklemler -durum denklemleri- ile ifade edilirler. Analog bir sistemin sayısal sistem karşılığı bulunmak istendiğinde diferansiyel denklemleri fark denklemleri haline getirmek gerekir ki bu dönüşüm çeşitli yaklaşıklık yöntemleri ile gerçeklenir. 32 Analog HSA’daki hücrelerin yapısındaki kondansatörden dolayı her hücrenin bir durum denklemi mevcuttur. Ağın simülasyonu için diferansiyel haldeki durum denklemi fark denklemi haline getirilmelidir. Bu bölümde yaklaşıklık yöntemlerinden Euler İleri Yaklaşıklığı diferansiyel denklemden fark denklemine geçiş için kullanılmıştır. Lineer HSA yapısı için bu yaklaşıklıkta seçilecek en ideal zaman adımı değeri belirlenmiştir. Belirlenen en ideal zaman adımının fark denkleminde yerine konulması ile oluşacak yinelemeli denklemlerin, lineer denklem sistemlerinin çözümünde kullanılan Jacobi ve GaussSeidel yöntemlerinde elde edilen yinelemeli denklemlere benzerliği gösterilmiştir. 5.1 Giriş Hücresel Sinir Ağı yapısı ile görüntü işleme uygulamalarının bir çoğu siyah-beyaz görüntüleri kullanır. Bunun nedeni ağın yapısının lineer olmamasından kaynaklanır. Standart HSA yapısında hücrelerin her birinin çıkış değeri sonuçta bir doyuma görüntüdeki siyah, beyaz renge- ulaşacaktır. Bunun olmasını sağlayan eşik aktivasyon fonksiyonudur. Bazı özel uygulamalarda durum değerlerinin, fonksiyonun lineer bölge aralığında kalması nedeniyle çıkışta gri renklerde görülebilmektedir. Çıkış değerlerinin, durum değerlerinden alınması yani parça-lineer haldeki eşik aktivasyon fonksiyonunun sürekli-lineer hale getirilmesi ile çıkış değerlerinin, tüm değerleri alabilmesi sağlanır ki bu lineer HSA yapısına karşılık düşer. HSA’daki bu tip değişik uygulamaları analog yapıdaki donanım kısmında denemek oldukça güçtür. Bunun için uygulamalar öncelikle yazılımda gerçekleştirilir. HSA diferansiyel denkleminin ayrık zamanlı bir sisteme aktarılabilmesi için çeşitli yaklaşıklık metotları kullanılır. Analog yapının hızından dolayı kullanılan yaklaşıklık metotlarının hızı da önem kazanmaktadır. Yaklaşıklık yöntemlerinden en hızlısı ‘Euler İleri Yaklaşıklığı’ yöntemidir.[5]. 33 Simülasyonun hızı; yaklaşıklıkta kullanılan zaman adımının değeri ile doğrudan ilgilidir. Zaman adımının, simülasyonun hızı için en uygun değeri lineer HSA için bulunabilmektedir. [5] Öncelikle Lineer HSA yapısı ve denklemleri incelenecektir. 5.2 Lineer HSA Denklemleri En genel haldeki ağ denklemlerinde lineerlik; çıkışın durumlara eşit alınması ile sağlanır. Bu durumda çıkış denklemi aşağıdaki gibi olacaktır. yij f ( xij ) xij Lineer HSA’nın durum denklemi Eşitlik 5.1’de verilmiştir. dxij dt xij C ( k ,l )S r ( i , j ) A(i, j; k , l ) xkl B(i, j; k , l )u kl z ij (5.1) C ( k ,l )S r ( i , j ) HSA’nın lineer, konudan bağımsız ve r komşuluk kabulü ile durum denklemi şu şekilde yazılabilir. (σ = r) x ij d x ij x ij dt k A(k , l ) xik , jl l B ( k , l )u k l i k , j l zij (5.2) Durum değerlerinin zamanla değişmesinden dolayı durumlar diferansiyel denklem ile ifade edilir. Başlangıç değerleri -ilk koşullar- belli olan bu tip diferansiyel denklemlerin çözümünde nümerik yaklaşıklık yöntemleri kullanılır. Yaklaşıklık yöntemleri diferansiyel haldeki denklemleri fark denklemleri haline getirir. Euler İleri Yaklaşıklığı bu yöntemlerden biridir. 34 5.3 Euler İleri Yaklaşıklığı Euler İleri Yaklaşıklığı; integralin dikdörtgen yaklaşıklığı ile hesaplanmasına karşı düşer. Şekil 5.1. İntegralin dikdörtgen yaklaşıklığı ile hesaplanması t1 t t1 x (t ) x (t )dt t x (t1 ) dx(t ) x(t t ) x(t ) dt t Diferansiyel haldeki durum denklemini fark denklemi haline getirmek için Eşitlik 5.2’ye Euler İleri Yaklaşıklığı’nı uygulanırsa Eşitlik 5.3 elde edilir. d xij (t) xij (t t) xij (t) xij (t) dt t k A(k,l)xik, j l (t) l B(k,l)u k l Denklem zamanda ayrık hale getirilirse eşitlik 5.4 elde edilir. x ij (nTs ) x ij (t ) , t Ts t nTs i k , j l zij (5.3) 35 x ij (n 1)Ts x ij (n) x ij (nTs ) Ts k A(k , l ) x i k , j l l B(k , l )u k l x ij ( n 1)Ts (1 Ts ) x ij (nTs ) Ts k i k , j l A(k , l ) x i k , j l l k l zij (nTs ) B(k , l )u (nTs ) i k , j l zij (5.4) 5.4 Optimum Zaman Adımının Belirlenmesi Zaman adımı değeri simülasyonun hızını etkileyen önemli etkenlerdendir. Bu bölümde durum denklemine Euler İleri Yaklaşıklığı uygulanarak elde edilen fark denklemi için (Eşitlik 5.4) optimum zaman adımı değeri araştırılmıştır. En çok kullanılan r =1 komşuluk için A şablonu Eşitlik 3.4’de şu şekilde tanımlanıştı. _ A A A , 0 A 0 0 0 0 0 a00 0 0 0 0 , a1, 1 A a 0 , 1 a1, 1 _ a1,0 0 a1,0 a1,1 a0,1 a1,1 Bu durumda denklem aşağıdaki şekilde yazılabilir; x ij (n 1)Ts (1 Ts Ts a00 ) x ij (nTs ) 1 1 1 1 _ Ts A(k , l ) xi k , j l (nTs ) B(k , l )ui k , j l zij k 1 l 1 k 1l 1 Eşitlik 5.5 n’nin farklı değerleri için incelenirse; (5.5) 36 n 0; 1 1 1 1 _ xij Ts (1 Ts Ts a 00 ) x ij (0) Ts A(k , l ) xi k , j l (0) B(k , l )u i k , j l z ij k 1 l 1 k 1l 1 n 1; 1 1 1 1 _ xij 2Ts (1 Ts Ts a 00 ) x ij (Ts ) Ts A(k , l ) xi k , j l (Ts ) B ( k , l )u i k , j l z ij k 1 l 1 k 1l 1 1 1 1 1 _ (1 Ts Ts a 00 ) 2 x ij (0) Ts (1 Ts Ts a 00 ) A( k , l ) xi k , j l (0) B ( k , l )u i k , j l z ij k 1 l 1 k 1l 1 1 1 1 1 _ Ts A(k , l ) xi k , j l (Ts ) B ( k , l )u i k , j l z ij k 1 l 1 k 1l 1 n 2; 1 1 1 1 _ xij 3Ts (1 Ts Ts a00 ) xij (2Ts ) Ts A(k, l)xik , jl (2Ts ) B(k, l)uik , jl zij k 1 l 1 k 1l 1 1 1 1 1 _ (1 Ts Ts a00 )3 xij (0) Ts (1 Ts Ts a00 )2 A(k, l)xik , jl (0) B(k, l)uik , jl zij k 1 l 1 k 1l 1 1 1 1 1 _ Ts (1 Ts Ts a00 ) A(k, l)xik , jl (Ts ) B(k, l)uik , jl zij k 1 l 1 k 1l 1 1 1 1 1 _ Ts A(k, l)xik , jl (2Ts ) B(k, l)uik , jl zij k 1 l 1 k 1l 1 En genel halde denklem şu şekilde yazılabilir. xij (n q)Ts (1Ts Tsa00)q xij (nTs ) 1 1 q1 1 1 _ Ts (1Ts Tsa00)m A(k,l)xik, jl (q m1)Ts B(k,l)uik, jl zij (5.6) k1 l1 m0 k1 l1 Eşitlik 5.6’da n=0 alınıp q’nun değişimi elde edilecek ifadeler ile Eşitlik 5.5’de n’nin değişimi ile elde edilecek ifadelerle aynıdır. Bilindiği gibi x ij () sabit bir değerdir.(Teorem 4.2.1) Bunun sağlanması için Eşitlik 5.6 ‘da (1 Ts Ts a00 ) 1 37 şartı sağlanmalıdır. (1 Ts Ts a00 ) 1 1 (1Ts Tsa00) 0 (1) 0 (1Ts Tsa00) 1 (2) (1) durumu için kararlı bir hal gözlenmemektedir.[5] (2) durumu kabulü ile inceleme yapılırsa; 0 Ts Ts 0 1 1 a00 (5.7) olduğundan; a00 1 olmalıdır. Ts´nin büyük değerler alması, sonuca ulaşmayı hızlandıracağın Ts´nin alabileceği en büyük değeri -ki bu değer optimum değer olacaktır- alması istenir. Bu durumda Eşitsizlik 5.7’den; Tsopt 1 1 a00 ( a00 1) bulunacaktır. Zaman adımının en uygun değeri Eşitlik 5.5’de yerine konulursa Eşitlik 5.22 elde edilir. 38 1 (a00 1) xij (nTsopt ) xij (n 1)Tsopt 1 a00 1 1 1 _ 1 1 Tsopt A(k , l ) xik , jl (nTsopt ) B(k , l )uik , j l zij k 1 l 1 k 1l 1 1 1 1 1 _ xij (n 1)Tsopt Tsopt A(k, l)xik , jl (nTsopt ) B(k, l)uik , jl zij (5.8) k 1 l 1 k 1l 1 Aynı işlem Eşitlik 5.6 için yapılırsa, Eşitlik 5.9 elde edilir. xij (n q)Tsopt q 1 (a00 1) xij (nTsopt ) 1 a00 1 1 1 1 1 _ Tsopt A(k,l)xik, jl (q 1)Tsopt B(k,l)uik, jl zij k1 l1 k1 l1 m q1 1 1 1 1 _ 1 (a00 1) A(k,l)xik, jl (q m1)Ts B(k,l)uik, jl zij Tsopt 1 k1 l1 k1 l1 m1 a00 1 1 1 1 1 _ x ij (n q)Tsopt Tsopt A(k , l ) xi k , j l (q 1)Tsopt B(k , l )u i k , j l z ij (5.9) k 1 l 1 k 1 l 1 En genel formülümde n=0 için işlemlerin yapıldığı belirtilmişti. Bu durumda Eşitlik 5.9 şu hali alacaktır. x ij qTsopt 1 1 1 1 _ Tsopt A(k , l ) xi k , j l (q 1)Tsopt B(k , l )u i k , j l z ij (5.10) k 1 l 1 k 1 l 1 39 Eşitlik 5.8 ve Eşitlik 5.10 ifadelerinden şu sonuç çıkartılabilmektedir; Herhangi bir hücrenin bir sonraki adımdaki durum değeri; kendisine komşu hücrelerin bir önceki adımdaki durum değerlerine, sabit giriş görüntüsü ve eşik değerine bağlıdır. Burada giriş görüntüsü zamanla değişmediğinden, eşik değeri de sabit olduğundan bu iki terimin toplamı her hücrenin durumuna eklenecek yeni bir sabittir. O halde her bir hücrenin yeni durumu komşu hücrelerinin bir önceki durumdaki değerlerinden hesaplanabilmektedir. Bu sonuç lineer denklem sistemlerinin çözümünde kullanılan yinelemeli yöntemlerde de benzer şekilde ifade edilebilmektedir. Bu benzerlik Bölüm 5.5’de incelenmiştir.
