GÖRÜNTÜ İŞLEME MATLAB

GÖRÜNTÜ İŞLEME
MATLAB
DERS-2
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
Genel komutlar
-Saklama ve geri çağırma komutları(save-load):
Workspace saklama komutu
>>save
Bu komut kullanımda olan MAT dosyasını alt dizininde veya MATLAB dosyanızda
MATLAB.mat diye yapar veya üstüne yazar. Sonra MATLAB.mat da yer alan çalışma
alanını yeniden çağırma ihtiyacı duyduğunuzda
>>load
komutunu girmelisiniz.
MATLAB.mat haricinde başka bir isim ile de değişkenleri saklayabilirsiniz. Örneğin
>>save dosyam
Bunun yanında
>>load dosyam
komutu ile de saklamış olduğunuz değişkenleri geri çağırabilirsiniz.
23.5.2017
2
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
23.5.2017
3
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
linspace komutu
başlangıç – bitiş değeri ve ELEMAN SAYISI’nı belirterek de bir vektör oluşturabiliriz.
linspace : Başlangıç değeri x1, bitiş değeri x2 olan n elemanlı eşit aralıklı bir dizi
oluşturur.
y = linspace(1,11,6)
y=
1 3
5
7
9
>> s=linspace(-10,10,4) (-10 ile +10 arasını 4 eşit parçaya ayırdı)
s=
-10.0000 -3.3333 3.3333 10.0000
23.5.2017
4
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
logspace(a, b, n) komutu
Logspace : Başlangıç değeri 10𝑎 ,bitiş değeri değeri 10𝑏 olan n elemanlı ve elemanları
arasındaki katları eşit olan bir dizi oluşturur.
x = logspace(1,5,3)
x=
10
1000
100000
şeklinde bir vektör elde ederiz.
23.5.2017
5
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
23.5.2017
6
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
23.5.2017
7
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
23.5.2017
8
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
23.5.2017
9
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
>> Eye(2)
23.5.2017
10
MATLAB'TA KULLANILAN BELLİ BAŞLI KOMUT
İŞARETLERİ
%
Yüzde işareti açıklama satırları için kullanılır.
Başında % işareti bulunan satırlar icra edilmez. Bir
çizgi üzerinde bulunan % işareti, çizginin
mantıksal bir sonu olduğunu gösterir.
!
'!' işaretini izleyen herhangi bir yazı DOS komutu
işlemi görür. Böylece MATLAB içinde DOS
komutlarını çalıştırma imkanı sağlanır.
>> !IPCONFIG
>>!DIR
23.5.2017
11
MATLAB'TA KULLANILAN BELLİ BAŞLI KOMUT
İŞARETLERİ
‘
Tırnak işareti matrislerin transpozesini almayı sağlar. X' , X matrisinin
karmaşık eşlenik transpozesini ve X.' İse eşlenik olmayan transpozesini
sonuçlandırır. Ayrıca 'ANY TEXT' şeklindeki aktarım işlemlerinde
karakterler için elemanları ASCII kodlarında bir vektörü göstermek için
kullanılır.
+
Toplama, X+Y iki matrisin toplamını alır. Bu toplamın gerçeklenebilmesi
için matrislerin aynı boyutlarda olması gerekir. Yalnızca matrislerden birisi
skalar olduğunda toplam gerçeklenebilir. Bir skalar herhangi bir şeye
eklenir.
Çıkarma, X-Y X matrisinden Y matrisini çıkarır. Burada da toplama
işlemindeki benzer koşulların gerçeklenmesi gerekir.
23.5.2017
12
MATLAB'TA KULLANILAN BELLİ BAŞLI KOMUT
İŞARETLERİ
*
Matrisyel çarpım işlemcisi. X*Y X ve Y matrislerinin matris
çarpımını gösterir. Herhangi bir skalar (1x1elemanlımatris) herşey
ile çarpılabilinir. Aksi takdirde X matrisinin sütun sayısı Y matrisinin
satır sayısına eşit olmalıdır.
.*
Eleman elemana çarpım işlemcisi. X.*Y eleman elemana çarpma
işlemini gösterir. Birisi skalar olmadıkça, X ve Y matrislerinin
eleman sayıları eşit olmalıdır. Yalnız bir skalar her şey ile
çarpılabilinir.
23.5.2017
13
MATLAB'TA KULLANILAN BELLİ BAŞLI KOMUT
İŞARETLERİ
^
Matrisyel kuvvet alma işlemcisi. Z=X^y ifadesi y'nin skalar olması
halinde X'in Y'inci kuvvetini aldırır. Eğer y birden büyük bir tam sayı
ise kuvvet alma işlemi tekrarlı çarpma yolu ile hesaplanır. y'nin
diğer değerleri için hesaplama özdeğerler ve özvektörler yolu ile
gerçeklenir. Z=x^Y ifadesinde x'in Y'inci kuvvetinin alınmasında
eğer Y bir matris ve x bir skalar ise hesaplama işlemi özdeğerler ve
özvektörler kullanılarak yapılır. Z=X^Y de X ve Y'nin her ikisinin de
matris olması halinde hata oluşur.
.^
Eleman elemana kuvvet alma işlemcisi. Z=X.^Y ifadesi eleman
elemana kuvvet alma işlemini gösterir. Ancak birinin skalar olması
halinde bu koşul aranmaz. Çünkü bir skalar ile işlem görebilir.
23.5.2017
14
MATLAB ile çalışmak
Genel komutlar
-Yardım Komutu(help,helpwin): Yardım imkanı MATLAB’ta en önemli
bir kaynaktır. Çalışma ortamında help komutu ile yardım
alınabilecek dosyaların bulunduğu dizinler ve sonrada yardım
alınabilecek komutlar.
>>help sin
komutu girilerek
SIN
SIN(X) is the sine of the elements of X
şeklinde sinüs ile ilgili bir yardım alınabilir.
23.5.2017
15
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
Aritmetiksel İşlemlerde Öncelik Durumu:
Tek bir aritmetiksel durum içinde birden fazla durum bir arada
bulunabildiğine göre hangi işlemin öncelik hakkına sahip
olunduğunun bilinmesi yerinde olacaktır. Aşağıda MATLAB’da
kullanılan işlemlerde işlemlerin öncelik listesi verilmiştir.
Öncelik
1
2
3
4
İşlem
Parantez
Üs alma, soldan sağa doğru
Çarpma ve bölme, soldan sağa doğru
Toplama ve Çıkarma, soldan sağa doğru
23.5.2017
16
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
Operatörler(sayısal işlemciler): Matematiksel ifadeleri oluşturmak
için operatörler ve önceden tanımlanmış sembolleri kullanabilirsiniz.
Operatörler özetle şunlardır:
İşlem
Cebirsel Biçimi MATLAB Karşılığı
Toplama
a+ b
a+b
Çıkarma
a-b
a-b
Çarpma
ax b
a*b
Bölme
a/ b
a/b
Sola Bölme
b/ a
a\b
Üs Alma
b
a
23.5.2017
a^b
17
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
2.1 İfadeler:
MATLAB diğer programlama dillerine göre daha avantajlıdır. Bir
çok programlama dilinden farklı matematiksel ifadeler sunar ve bu
ifadeler bütün matrisleri içerirler . İfadelerin temel blokları
Değişkenler
Sayılar
Operatörler
Fonksiyonlar’dır.
23.5.2017
18
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
2.2 Değişkenler:
MATLAB’da, herhangi bir tip tanımlaması veya boyut ifadesine gerek yoktur. MATLAB, yeni bir
değişken ismi ile karşılaştığında, otomatik olarak ans isminde bir değişken oluşturur ve uygun bir
bellek miktarı ayırır. Eğer değişken zaten varsa, MATLAB gerekli bir bellek ayırdığında içeriği
değişir. Örneğin,
ogrenci_sayı=51
ogrenci_sayı diye isimlendirilen 1x1 matrisi oluştur ve 21’i yükle.
Değişken isimleri; bir harfden, sayıdan veya alt çizgiden oluşur.
sayısının tarafından takip edilen harftan oluşurlar. MATLAB, sadece değişken isminin ilk 31
karakterini kullanır. MATLAB, büyük ve küçük harfe duyarlıdır, büyük harf ile küçük harfi ayırdeder.
A ve a değişkenleri aynı değildir.
23.5.2017
19
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
23.5.2017
20
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
23.5.2017
21
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
23.5.2017
22
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
23.5.2017
23
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
23.5.2017
24
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
23.5.2017
25
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
23.5.2017
26
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
2.3 Sayılar:
MATLAB’da sayılar yaygın olarak kullanılan onluk
tabanda ifade edilirler. Bunun yanısıra onluk tabanda
üstel olarak veya i veya J olarak kompleks sayı
biçimlerinde de ifade edilebilirler. Örnek olarak,
3
-99
0.00019.6397238
1.60210e20 6.02252e231i
-3.14159j
3e5i sayıları
gösterilebilir.
23.5.2017
27
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
Sabitler
MATLAB programlarında kullanılabilen skalar değerler aşağıda tanımlanmıştır. Bu değişkenlerin
içerikleri MATLAB komut satırında yazılıp, enter’a basılarak görüntülenebilir.
23.5.2017
28
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
TEMEL MATEMATİK FONKSİYONLAR
Matlab'da bazı matematiksel islemler yaptırmak istediğimizde, matematiksel
fonksiyonları kullanırız.
› Matlab'da matematiksel fonksiyonlar;
› a) Temel (elemantary) fonksiyonlar; elfun
› b) Özel (special) fonksiyonlar; specfun
› c) Veri (data) fonksiyonları; datafun
› d) Metin (karakter dizisi) (string) fonksiyonlar; strfun
› e) Dosya giris-çıkıs (input-output) fonksiyonları iofun
› f) Tarih-zaman (time) fonksiyonları; timefun araç
› kutusundadır.
Bir araç kutsundaki fonksiyonları ve anlamlarını görmek için komut satırına;
help
araç_kutusu biçiminde yazarız. Örneğin; temel fonksiyonlar ve anlamlarını
görüntülemek için; help elfun, metin fonksiyonlarını ve anlamlarını görüntülemek için
help strfun yazılır. Bunların bazılarını görelim:
23.5.2017
29
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
Varolan tanımlı fonksiyonları görmek
için komut satırına help elfun
yazarız.
Bunlardan bazıları ve anlamları
asağıda verilmistir.
23.5.2017
30
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
» x=[-2.25 4 -9i 3+4i]
x=
-2.2500 4.0000 0-9.0000i 3.0000+4.0000i
» abs(x)
ans =
2.2500 4.0000 9.0000 5.0000
» angle(x)*180/pi
ans =
180.0000 0 -90.0000 53.1301
Sonucun derece cinsinden bulunması için 180/pi ile
çarpıldıını not ediniz.
23.5.2017
31
MATEMATİKSEL FONKSİYONLAR:
» s=[0 1 -1 0.5 3^0.5/2];
» 180/pi*asin(s)
ans =
0 90.0000 -90.0000 30.0000 60.0000
» 180/pi*acos(s)
ans =
90.0000 0 180.0000 60.0000 30.0000
» 180/pi*atan(s)
ans =
0 45.0000 -45.0000 26.5651 40.8934
23.5.2017
32
MATEMATİKSEL FONKSİYONLAR:
» sqrt(x)
ans =
0+1.5000i 2.0000 2.1213-2.1213i
2.0000+1.0000i
» real(x)
ans =
-2.2500 4.0000 0 3.0000
» imag(x)
ans =
0 0 -9 4
» conj(x)
ans =
-2.2500 4.0000 0+9.0000i 3.0000-4.0000i
23.5.2017
33
MATEMATİKSEL FONKSİYONLAR:
» k=[2 -3 4.1 -4.1 4.4 -4.4 4.5 -4.5 4.9 -4.9 4.999];
» round(k)
ans =
2 -3 4 -4 4 -4 5 -5 5 -5 5
» fix(k)
ans =
2 -3 4 -4 4 -4 4 -4 4 -4 4
» floor(k)
ans =
2 -3 4 -5 4 -5 4 -5 4 -5 4
» ceil(k)
ans =
2 -3 5 -4 5 -4 5 -4 5 -4 5
» sign([1 2 0 -4 -2.44])
ans =
1 1 0 -1 -1
23.5.2017
34
MATEMATİKSEL FONKSİYONLAR:
» m=[4 5]; b=[2 3];
» rem(m,b)
ans =
02
4 ü 2 ye bölünce 2 çıkar 0 kalır, 5 i 3 e bölünce 1 çıkar 2
kalır. Benzer bir fonksiyon mod
olup detaylar için help mod komutundan
yararlanabilirsiniz.
» x=[0 0.5 1 2 ]
» exp(x)
ans =
1.0000 1.6487 2.7183 7.3891
23.5.2017
35
MATEMATİKSEL FONKSİYONLAR:
» exp(-x)
ans =
1.0000 0.6065 0.3679 0.1353
» p=[0.25 1 exp(1) 10 1e2]
p=
0.2500 1.0000 2.7183 10.0000 100.0000
» log(p)
ans =
-1.3863 0 1.0000 2.3026 4.6052
» log10(p)
ans =
-0.6021 0 0.4343 1.0000 2.0000
23.5.2017
36
MATEMATİKSEL FONKSİYONLAR:
» d=[0 30 60 90 120 150 180];
» r=pi/180*d;
» sin(r)
ans =
0 0.5000 0.8660 1.0000 0.8660 0.5000 0.0000
» cos(r)
ans =
1.0000 0.8660 0.5000 0 -0.5000 -0.8660 -1.0000
» tan([0 30 60 120 150 180]*pi/180)
ans =
0 0.5774 1.7321 -1.7321 -0.5774 0.0000
23.5.2017
37
MATEMATİKSEL FONKSİYONLAR:
>> x=[-pi:0.8:pi]
x=
-3.1416 -2.3416 -1.5416 -0.7416
0.0584
0.8584
1.6584
2.4584
0.0584
0.7568
0.9962
0.6313
0.9983
0.6536 -0.0875 -0.7756
>> y=sin(x)
y=
-0.0000 -0.7174 -0.9996 -0.6755
>> z=cos(x)
z=
-1.0000 -0.6967
0.0292
0.7374
23.5.2017
38
MATEMATİKSEL FONKSİYONLAR:
>> plot(y)
>> figure
>> plot(z)
23.5.2017
39
MATEMATİKSEL FONKSİYONLAR:
Aralıklar daraltılarak tekrar değerleri oluşturalım.
>> x=[-pi:0.1:pi];
>>y=sin(x);
>>plot(y);
23.5.2017
40
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
23.5.2017
›
Özel (special) fonksiyonlar;
görmek için komut satırına help
specfun yazarız.
›
Bunlardan bazıları ve anlamları
asağıda verilmistir.
41
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
›
23.5.2017
Veri (data) fonksiyonları;
datafun.
42
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
23.5.2017
›
Metin (karakter dizisi) (string)
fonksiyonlardan
›
bazıları:
43
MATLAB'TA KULLANILAN BELLİ BAŞLI KOMUT
İŞARETLERİ
<
...den küçük bağıntı işlemcisi. "<=" ...den küçük veya eşittir
işlemcisi. C=A<B bildirimi A ve B matrisleri arasında eleman
elemana karşılaştırma yapar ve aynı boyutta bir matrisi
sonuçlandırır. C matrisinin elemanları; bağıntının gerçek olması
halinde bir ve gerçek olmaması halinde de sıfır olarak atanır. A ve B
matrisleri aynı boyutta olmalıdır. Yalnız birinin skalar olması halinde
bu şarta gerek yoktur. Çünkü bir skalar ile karşılaştırılabilir. Diğer
bağıntı işlemcileri; >, >= , = = , ~ = şeklindedir.
>
...den büyük bağıntı işlemcisi. ">=" ...den veya eşittir işlemcisi.
=
Bildirimleri atamak için kullanılır.
23.5.2017
44
MATLAB'TA KULLANILAN BELLİ BAŞLI KOMUT
İŞARETLERİ
==
Mantıksal eşittir bağıntı (relational) işlemcisi.
&
Mantıksal AND (ve): C=A & B bildiriminde; A ve B matrislerinin her ikisi de sıfırdan farklı
elemanlara sahip olduğunda 1 ve sadece bir tanesi sıfır elemana sahip olduğunda da sıfır
elemanlı bir matris sonuçlandırır. A ve B aynı olduğunda da sıfır elemanlı bir matris
sonuçlandırır. A ve B nin aynı boyutta matrisler olması gerekir. Yalnız birinin sıfır olması
halinde bu koşula gerek yoktur.
|
Mantıksal OR (veya): C=A | B bildirimi A ve B matrisleri sıfırdan farklı elemana sahip
olduğunda, 1 ve her ikisinden birisi sıfır olduğunda sıfır elemanlı bir matris sonuçlandırır.
~
Mantıksal tamamlayıcı (complemet) NOT (değil) işlemcisi ~ = : Eşit değildir işlemcisi. B~=
bildiriminde; A matrisi bir sıfır elemanına sahip olduğunda 1 ve sıfırdan farklı elemanlara
sahip olduğunda 1 ve sıfırdan farklı elemanlara sahip olduğunda da sıfır elemanlı bir matrisi
sonuçlandırır.
23.5.2017
45
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
AYNI UZUNLUKLARDAKİ VEKTÖRLER ÜZERİNDE İŞLEMLER
-TOPLAMA VE ÇIKARMA
+ ve – sembolleri iki vektör arasında da kullanılabilir; a ve b üçer elemanlı iki vektör olsun:
» a=[2 1 -1]
a=
2
1
-1
» b=[4 -2 3]
b=
4
-2
3
-1
2
» a+b
ans =
6
» a-b
ans =
-2
46
3
-4
yukardaki örneklerde görüldüğü gibi, toplama ve çıkarma işlemlerinde bilinen vektör toplamı ve farkı işlemi
gerçekleştirilecektir.
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
ÇARPMA VE BÖLME
Eşit uzunlukta iki vektör için * ve / operatörleri kullanılırken dikkatli olunmalıdır.
» a=[4 5]
a=
4
5
» b=[3 -2]
b=
3
-2
» c=a*b
??? Error using ==> *
Inner matrix dimensions must agree.
23.5.2017
47
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
ÇARPMA VE BÖLME
Burada Matlab için * sembolü matris çarpımı sembolüdür ve a ve b çarpılabilecek tipte matrisler olmadıkları için yukarıdaki hata
mesajını alınmaktadır.
.* sembolü, elemanları, iki vektörün karşılıklı elemanların çarpımından oluşan aynı uzunlukta yeni bir vektör üretecektir:
» c=a.*b
c=
12 -10
Benzer biçimde ./ ve .\ operatörleri de geçerlidir. Aşağıda örneklerde inceleyelim:
» a=[4 5]
a=
4
5
» b=[3 -2]
b=
3
-2
23.5.2017
48
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
» d=a./b
d=
1.3333 -2.5000
» e=a.\b
e=
0.7500 -0.4000
»
23.5.2017
49
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
EŞİT UZUNLUKTA İKİ VEKTÖR ARASINDA ^ OPERATÖRÜ
» a=[4 5]
a=
4
5
» b=[3 -2]
b=
3
-2
» h=a^b
??? Error using ==> ^
Matrix dimensions must agree.
»
Yukarıda görüldüğü gibi iki vektör arasında ^ işlemi tanımsızdır. .^ sembolü geçerlidir ve birinci vektörün bileşenleri taban ve ikinci vektörün bileşenlerini de
üst kabul ederek üst alma işlemi sonucu aynı boyutta yeni bir vektör oluşturacaktır. Aşağıda örneği inceleyelim:
» h=a.^b
h=
64.0000
0.0400
23.5.2017
50
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
BİR VEKTÖR VE SKALER ARASINDAKİ İŞLEMLER :
TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ:
Aşağıda örneklerde görüldüğü gibi, bir skaler ile bir vektör operatörü ile işleme
sokulursa, skaler vektörün her iki bileşeni ile de toplanır:
» 4+[2 -2]
ans =
6
2
»
operatörü için de aynı şey söz konusudur:
» 7-[2 -1]
ans =
5
8
23.5.2017
51
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
BİR VEKTÖR VE SKALER ARASINDAKİ İŞLEMLER :
ÇARPMA VE BÖLME
Bir skaler ile bir vektör operatörü ile işlem sokulursa sonuçta bileşenleri skaler ile vektörün bileşenlerinin ayrı ayrı çarpılması ile oluşan yeni bir vektör elde edilir:
» 3*[2 -1]
ans =
6
-3
Bir skalerin bir vektöre bölümü ise tanımsızdır ( / sembolü ile):
» 3/[2 -1]
??? Error using ==> /
Matrix dimensions must agree.
Ters bölme ( \ ) sembolü kullanılırsa vektörün bileşenlerinin skaler ile bölünmesinden elde edilen iki sayı yeni bir vektör oluşturacaktır:
» 2\[4 8]
ans =
2
4
Oysa bir vektörün bir skalere bölünmesi tanımlıdır ve bileşenleri vektörün bileşenlerinin skalere bölünmesinden elde edilen yeni bir vektör elde edilecektir:
» [4 -8]/2
23.5.2017
52
MATRİSLER
MATRİSLERİN TANIMLANMASI
Birden fazla satır ve sütuna sahip vektörlere matris denir. Noktalı virgül (;) işareti ile
kolonları ve virgüle işareti ya da boşluk bırakarak da bir sıradaki elemanları ayırabiliriz.
Bu elemanların yazımı köşeli parantez "[ ]" içindedir.
Matematiksel olarak;
3
A
7

11

8
9 10 

12 13 14 

Olarak verilen bir matris matlabta
4
5
6
23.5.2017
53
MATRİSLER
» A=[ 3 4 5 6; 7 8 9 10; 11 12 13 14]
A=
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
23.5.2017
54
MATRİSLER
Matrislerin Bileştirilmesi
Bir matris başka matrislerin bileşiminden oluşabilir.
>>A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]
>>B=[A 10*A;-A [1 0 0;0 1 0;0 0 1]]
B=
1 2 3 10 20 30
4 5 6 40 50 60
7 8 9 70 80 90
-1 -2 -3 1 0 0
-4 -5 -6 0 1 0
-7 -8 -9 0 0 1
23.5.2017
55
MATLAB’DA SKALER , VEKTÖR VE MATRİS
İŞLEMLERİNE GİRİŞ
Örnek: Aşağıdaki matrisi oluşturunuz.
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
Yanıt:
>> A1=zeros(2,3);
>> A2=ones(2);
>> A3=eye(5);
>> A=[A1 A2;A3];
23.5.2017
56
MATRİSLER
Alt indisinin(elemanının) temsili
Matristeki herhangi bir elemana direk ulaşmak için aşağıdaki gösterim yeterlidir.
>>A(i,j)
A=
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
» A(2,3)
Ans=
9
Aşağıdaki gösterim sutun elemanlarını temsilinde kullanılır.
>>A(:,j)
» A(:,3)
Ans=
5
9
23.5.2017
57
MATRİSLER
Alt indisinin(elemanının) temsili
A=
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Aşağıdaki gösterim satır elemanlarını temsilinde kullanılır.
>>A(i,:)
» A(2,:)
Ans=
7
8
9
10
: kullanılarak belli bir aralıktaki satır yada sutunlar gösterilebilir.
23.5.2017
58
MATRİSLER
Alt indisinin(elemanının) temsili
>>A(i:n,:)
A(2:3,:)
Ans=
7
8
11
9
12
10
13
14
>>A(:,j:n)
>>A(:,2:3)
Ans=
4
5
8
9
12
13
23.5.2017
59
MATRİSLER
Matrise satır sutun ekleme ve eksiltme
Ekleme(sutun)
>> A(:,j)=[a1 . . .]
A=
1 -3 7
4 5 8
>> A(:,4)=[-7 3]
A=
1 -3 7 -7
4 5 8 3
23.5.2017
60
MATRİSLER
Matrise satır sutun ekleme ve eksiltme
Ekleme(satır)
>> A(i,:)=[a1…]
A=
1
-3
4
5
7
8
>> A(3,:)=[-1 -3 0]
A=
1
-3
7
4
5
8
1 -3
0
23.5.2017
61
MATRİSLER
Matrise satır sutun ekleme ve eksiltme
Eksiltme(sutun)
>> A(:,j)=[]
A=
1
-3
7
4
5
8
-2
-7 -11
>> A(:,3)=[]
A=
1
-3
4
5
-2
-7
23.5.2017
62
MATRİSLER
Matrise satır sutun ekleme ve eksiltme
Eksiltme(satır)
>> A(i,:)=[]
A=
1
-3
7
4
5
8
-2
-7 -11
>> A(2,:)=[]
A=
1
-2
-3
7
-7 -11
23.5.2017
63
MATRİSLER
Bir elemanın değerini değiştirme
>> A(i,j)=a
A=
1
-3
7
4
5
8
-2
-7 -11
>> A(2,3)=-22
A=
1
-3
7
4
5
-22
-2
-7 -11
23.5.2017
64
MATRİSLER
Özel Matrisler:
» A=zeros(3,2)
» C=ones(2,4)
A=
C=
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
2x4 boyutunda 1 matrisi oluşturur.
3x2 boyutunda 0 matrisi
oluşturur.
» D=ones(3)
» B=zeros(3)
D=
B=
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
23.5.2017
65
MATRİSLER
Özel Matrisler:
“eye” fonksiyonu ile nxn boyutunda
identity( birim) matrisi oluşturulabilir.
» s=size(a)
s=
» e=eye(3)
2
e=
5
» b=[ 17 11 0 30 40 50];
1
0
0
» k=length(b)
0
1
0
k=
0
0
1
6
Matlab, size ve length komutları yardımı
ile size matrisinizin boyutlarını söyler.
» a=[ 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11];
23.5.2017
66
MATRİSLER
Matris İşlemleri:
Öncelikle iki ayrı matrisimiz olsun.
» A=[1 2 3; 4 5 6];
» B=[7 8 9; 10 11 12];
A ve B toplamı:
» TOPLAM=A+B
TOPLAM =
8
10
12
14
16
18
23.5.2017
67
MATRİSLER
Matris İşlemleri:
» A=[1 2 3; 4 5 6];
» B=[7 8 9; 10 11 12];
A’ yı B’ den çıkarmak;
» FARK=A-B
FARK =
-6
-6
-6
-6
-6
-6
Transpose işlemi;
» C=B'
C=
7
10
8
11
9
12
23.5.2017
68
MATRİSLER
Matris İşlemleri:
>>A=[1 2 3; 4 5 6];
» B=[7 8 9; 10 11 12];
» C=[7 10;8 11;9 12];
Çarpma işlemi:
» CARPIM=A*C
CARPIM=
50
68
122 167
Elemanları birebir çarpma işlemi(Eleman elemana):
» ECARPIM= A.*B
ECARPIM =
7
16
27
40
55
72
23.5.2017
69
MATRİSLER
Matris İşlemleri:
Verilen bir X matrisi için:
» X=[ 2 -1; 5 8]
X=
2
-1
5
8
Determinant:
» DETERMINANT=det(X)
DETERMINANT=
21
23.5.2017
70
MATRİSLER
Matris İşlemleri:
Verilen bir X matrisi için:
» X=[ 2 -1; 5 8];
Tersini alma işlemi:
» Y=inv(X)
Y=
8/21
1/21
-5/21
2/21
Bir Z matrisi için:
» Z=[1 2; -2 4]
Bölme işlemi aynı tersini alma işlemini yapıp çarpma işlemi gibi sonuç verir.
»K=Z/X
K=
-2/21
5/21
-12/7
2/7
23.5.2017
71
MATRİSLER
Matris İşlemleri:
Verilen bir X matrisi için:
» X=[ 2 -1; 5 8];
» Z=[1 2; -2 4]
»K=Z/X
» K=Z*inv(X)
K=
-2/21
5/21
-12/7
2/7
Eleman elemana bölme işlemi:
» EK=Z./X
EK =
1/2
-2
-2/5
1/2
23.5.2017
72
MATRİSLER
Matrislerle Doğrusal Denklem Çözümü:
2x+y-z=5
X-2y+3z=-6
-x+y-z=2
Şeklindeki örnek denklem için öncelikle yapılması gerekenler:
1) x,y,z nin katsayılarını bir A matrisinde yazalım.
» A=[ 2 1 -1
1 -2 3
-1 1 -1];
2) Eşitliğin ikinci tarafını bir B matrisine yazalım.
» B=[ 5
-6
2];
K=[x y z]
A.K=B=> K=A^-1*B
23.5.2017
73
MATRİSLER
Matrislerle Doğrusal Denklem Çözümü:
3) İşlemimizi uygulayalım…
» K=inv(A)*B
K=
1
2
-1
İkinci bir gösterim sola bölme ile de olabilir.
» K=A\B
K=
1
2
-1
4) Denklemin çözümünün x=1, y=2 ve z=-1 olduğu anlaşılır.
23.5.2017
74