permütasyon olasılık p.

DERS TASARISI
BÖLÜM I
DERS: MATEMATİK
ÖĞRENME ALANI: OLASILIK VE İSTATİSTİK
KONU: PERMÜTASYON KOMBİNASYON OLASILIK
ALT ÖĞRENME ALANI: OLASILIK
ÜNİTE:3
SINIF: 10/A
ÖNERİLEN SÜRE:4 DERS SAATİ (45’+45’+45’+45’ dk)
BÖLÜM II
KAZANIMLAR
1. Deney, çıktı, örneklem uzay, örneklem nokta, kesin olay, imkansız olay, ayrık olaylar
kavramını açıklar.
2. Olasılık fonksiyonunu belirterek bir olayın olma olasılığını hesaplar ve olasılık
fonksiyonunun temel özelliklerini gösterir.
3. Eş olasılı (olumlu) örneklem uzay kavramını açıklar ve bu uzayda verilen bir A olayı
için
P( A) 
s ( A)
s( E )
olduğunu belirtir.
4. Koşullu olasılığı açıklar.
1
ÜNİTE KAVRAM VE SEMBOLLERİ
1. Deney, çıktı, imkansız olay, kesin olay, örneklem uzay, örneklem nokta,
ayrık olay.
2. Herhangi bir A kümesinin eleman sayısı s(A)
3. Herhangi bir A olayının olma olasılığı P(A)
4. Evrensel küme (Örneklem uzay) “E”
5. Eş olumlu örneklem uzay
DERS KAYNAKLARI
1. M.E.B 10. Sınıf Ders Kitabı
2. Olasılık ve İstatistik-FİKRİ AKDENİZ
3. İhtiyaç Yayınları KPSS Matematik
4. Olasılıksız, ADAM FAWER
5. İnternet
ÖĞRETİM YÖNTEM VE TEKNİKLERİ
1. Buluş yoluyla öğrenme ( grup çalışması, soru-cevap tekniği, büyük grup tartışma
tekniği, beyin fırtınası) Sunuş yoluyla öğrenme (anlatım)
ÖĞRETİM MATERYALLERİ
1. Projeksiyon, bilgisayar
2. Zar, madeni para, renkli bilyeler
BÖLÜM III- DERSE GİRİŞ
DİKKAT ÇEKME: Öğrencilere olasılık kavramının nasıl ortaya çıktığına dair
kısa bir hikâye ve olasılık kavramının günlük hayatımızdaki yerine ilişkin örneklerin
bulunduğu sunuyu izlettireceğim. (4dk)
GÜDÜLEME: : Bir gün sarışın uzun boylu ve oldukça güzel fakat bir o kadar da
aptal bir kadın Einstein’a gelip “Ben size çok hayranım çok zeki bir insansınız ve
gördüğünüz gibi bende çok güzel bir kadınım bence biz mutlaka evlenmeliyiz ve bir
2
çocuk sahibi olmalıyız. Çünkü bu çocuk benim güzelliğim ve sizin zekânızı alarak
mükemmel bir çocuk olacaktır” der. Bayanı dikkatle dinleyen Einstein ise şu cevabı
verir;
“ Peki ya benim çirkinliğimi ve sizin zekânızı alırsa ne yapacağız bayan?”
Yukarıda ki fıkrayı anlatıp ardından öğrencilere bu dersin sonunda farklı özelliklere
sahip iki ebeveynini çocuklarının annesine ya da babasına çekme olasılığının nasıl
hesaplandığını öğreneceksiniz derim.
BÖLÜM III-GELİŞTİRME

Sınıfa çeşitli madeni para, farklı renklerde bilyeler ve bir poşet getiririm.
Getirmiş olduğum bu materyalleri öğrencilere dağıtarak madeni paraları
rastgele havaya atmalarını ve poşet içinden farklı renkteki bilyeleri (çekilen
bilye tekrar geri atılmamak şartıyla) çekmelerini isterim.

Bu işlemleri yaparken buldukları sonuçlara dikkat etmelerini isterim. (4dk.)
Daha sonra tüm sınıfa yapılan bu işlemi ne olarak adlandırabileceğimizi
söyleyeceğim ve akıllarına gelen tüm fikirleri rahatça belirtmelerini isteyip her
fikri tahtaya yazacağım. ( Beyin fırtınası-5dk.)

Yaptırmış olduğum beyin fırtınası etkinliğinin ardından sonuçları
değerlendireceğim ve öğrencilere aşağıdaki kitabi tanımı defterlerine not
ettireceğim.(4 dk.)
TANIM: Bir madeni paranın yazı tura için havaya atılması.
Farklı renklerde bilyeler bulunan torbadan bir bilye çekilmesi.
Süper ligdeki karşılaşmaların eşleşme sırasının belirlendiği kura çekiminin
yapılması.
Yukarda yapılan işlemlerden her birine “matematiksel deney” denir.
Gelebilecek sonuçlara da “deneyin çıktıları” adı verilir.

Tanımı öğrenciler ile paylaştıktan sonra kavramın pekiştirilmesi için dersin
başında yaptırdığım deneylerin çıktılarını söylemelerini isteyeceğim. Böylece
matematiksel deney ve deney çıktıları kavramının pekiştiğini düşünüyorum.
Öğrencilerde örneklem uzay ve örneklem nokta, olay, imkânsız olay, kesin olay ve
ayrık olaylar kavramlarını yapılandırmak için şu yolu izleyeceğim;
3

Sınıfa getirmiş olduğum madeni paralar ve bilyeler ile yaptırdığım etkinliği
yineleyerek bu defa öğrencilere sonuçları not almalarını ve bu sonuçları bir
küme şeklinde belirtmelerini söyleyeceğim.

Daha sonra öğrencilere oluşturdukları bu kümelerden her birine “örneklem
uzay” dendiğini ve “E” ile gösterildiğini, bu kümenin her bir elemanına
“örneklem nokta”, denildiğini belirteceğim.

Yaptığım bu tanımdan sonra dağıttığım Çalışma Kağıdı-I deki ilk üç soruyu
cevaplamalarını söyleyeceğim. (10 dk.)

3. Soruyu cevapladıktan sonra öğrencilere aşağıdaki tanımı not ettireceğim.
TANIM: Örneklem uzayı her bir alt kümesine “olay” denir.

Tanımı öğrencilerle paylaştıktan sonra Çalışma Kağıdı-I deki 4., 5. , 6.,7.,8.,9.
Soruları cevaplandırmalarını isteyeceğim. (10dk.)
 Öğrencilere çalışma kâğıdındaki sorular aracılığıyla imkânsız olayı ve ayrık
olayı hissettirdikten sonra aşağıdaki kitabi tanımı öğrencilerle paylaşacağım.
TANIM: Örneklem uzayın alt kümelerinden boş kümeye “imkânsız olay”,
E örneklem uzayına da “kesin olay” denir.
Bir örneklem uzayında, iki olayın kesişimi boş küme ise bu iki olaya
“ayrık olaylar” denir.
denir.

Öğrencilerle paylaşmış olduğum bu tanımdan sonra sınıfa genel olarak
imkânsız olaya ve kesin olaya örnekler vermelerini isteyeceğim.
Bu
gerçekleştirmiş
olduğum
ders
ile
öğrencilerde
I.
Kazanımın
yapılandırdığımı düşünüyorum. Son olarak ölçme amaçlı olarak hazırlamış
olduğum Ödev Kâğıdı-I i öğrencilere dağıtıp, bir sonraki derse kadar
soruların
hepsini
cevaplandırmalarını
isteyeceğim.
anlaşılmayan nokta olup olmadığını tespit edeceğim.
4
Gelecek
derste

İkinci kazanımımı gerçekleştirmek amacıyla;

Öğrencilerden kendi istekleri doğrultusunda üçer kişilik gruplar
oluşturmalarını ve birlikte çalışacak öğrencilerin bir arada oturacak şekilde
toplanmalarını isteyeceğim.

Öğrencilere yaptıracağım grup çalışması hakkında bilgi verip kendilerinden
neler beklediğimi açıkça belirteceğim.

Öğrencilere önceden hazırlamış olduğun çalışma kâğıdı-I i dağıtacağım.
Yönergelere uyarak, soruları cevaplamalarını isteyeceğim. (25 dk.)
NOT
KONTROL
Çalışma kâğıdında
Öğrencilerden olasılık fonksiyonunun tanımını
ayrık olayların olasılığı
yapmalarını istemeden önce onlara bağıntı ve
8. Sınıfta ayrıntılı bir
fonksiyon kavramlarını hatırlatacağım.
şekilde işlenmiştir.
BAĞINTI: A ve B boş olmayan herhangi iki
küme olmak üzere AxB nin alt kümesine A dan
B ye bir bağıntı denir.
FONKSİYON: A den B ye bir f bağıntısı A nın
her elemanı B nin yalnız bir elemanına eşliyorsa
f bağıntısına A dan B ye bir “fonksiyon” denir.

Dağıttığım çalışma kâğıdında olasılık fonksiyonunu belirtme ve olasılık
fonksiyonunun özelliklerini keşfettirmeyi amaçlıyorum.

2. Sorusunda bir olayın gerçekleşme olasılığını hesaplattırmayı amaçlıyorum.

3. Sorusunda P(∅)=0 olduğunu ve P(E)=1 olduğunu ve 0≤P(A)≤ 1 özelliğini
keşfetmelerini bekliyorum.

4. Soruya geçmeden önce tüm sınıfa yönelik fonksiyon ve bağıntı kavramları
hakkında neler hatırladıklarını soracağım, öğrencilere yukarıdaki kitabi
tanımı söyleyeceğim.

Grupların 4. Soruyu da tamamladıklarından emin olduktan sonra
öğrencilere aşağıdaki soruları sorup her grubun cevabını tek tek
dinleyeceğim.
1. Yaptığınız eşlemeler sonucunda A kümesinde, B kümesindeki bir elemanla
eşleştiremediğiniz bir eleman var mı?
2. A daki her bir elemanı göz önünde bulundurarak bu elemanları B
5
kümesinden kaç elemanla eşleştirdiniz?
Her grubun cevabını dinledikten sonra beklediğim cevapları aldığımda
çalışma kâğıtlarındaki son soru üzerinde düşünüp, cevap vermelerini
söyleyeceğim.
(Soru-Cevap etkinliği)

5. Soruda ise soru cevap etkinliğinde verdikleri cevapları kullanarak P
bağıntısının bir fonksiyon olduğunu keşfetmelerini amaçlıyorum.

6. Soruda ise verilen olayların örneklem uzaylarını belirleyip A⊂B
olduğunda, P(A)≤P(B) sonucuna ulaşmalarını amaçlıyorum.

Öğrencilere yaptırdığım etkinlik sonrasında olasılık fonksiyonun ve olasılık
fonksiyonunun temel özelliklerini aşağıdaki şekilde not ettireceğim.(5 dk.)
Örneklem uzayın alt kümelerinin kümesinden, [0,1] Aralığına tanımlanan ve aşağıdaki
aksiyomları sağlayan fonksiyona “olasılık fonksiyonu” denir.
A, E örneklem uzayında bir olay olmak üzere,
a) 0≤ 𝑷(𝑨) ≤ 𝟏
b) P(E)=1, P(A’)=1-P(A)
c) 𝑨 ∩ 𝑩 ≠ ∅ 𝒊𝒔𝒆 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)
d) A ve B aynı örnek uzayın ayrık olayları ise 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅ 𝒅𝚤𝒓. Ö𝒚𝒍𝒆𝒚𝒔𝒆; 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) =
𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩)
e) A⊂B iken P(A)≤P(B) dir.

Kitabi tanımı not ettirdikten sonra ise yukarıdaki kazanıma yönelik aşağıdaki
alıştırmaları tahtaya yazarak yapmalarını isteyeceğim. Öğrenciler, alıştırmaları
defterlerine çözerken aralarda dolaşarak sorularını cevaplayıp, cevaplarını
kontrol edeceğim.(10 dk.)
1) E= {a,b,c} örneklem uzayında, aşağıda verilenlere bakarak hangilerinin bir olasılık
fonksiyonu olabileceğini belirtiniz.
𝟏
𝟏
𝟏
a) P(A)=𝟐, P(B)=𝟑, P(C)=𝟔
6
b) P(A)=P(B)=P(C)=
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏
c) P(A)=𝟒, P(B)=P(C)=𝟑
2) Yapılan bir deneydeki tüm çıktıların (sonuçların) kümesi, E={a,b,c} dir.
Sonucun a olma olasılığı b olma olasılığının 2 katı, b olma olasılığı ise c olma
olasılığının üçte biri olduğuna göre, P(a) değerini bulunuz.
Yaptırmış olduğum bu uygulamalar ile II. Kazanımında öğrencilerde
yapılandırıldığını düşünüyorum.

3. Kazanımı öğrencilerde yapılandırmak için aşağıdaki şekilde bir giriş
yapacağım;

Öğrencilerden birer madeni para çıkarıp havaya fırlatmalarını isteyeceğim.
Paranın yazı ve ya tura gelme olasılıklarının farklı olup olmayacağını sorup,
fikir üretmelerini isteyeceğim.
Yandaki eşit bölmelere
ayrılmış ve 1den 5e kadar
numaralandırılmış çarkı
sınıfa göstereceğim. Çark
dönerken göstergenin, her
bir bölmenin üzerine gelme

olasılığı üzerine
(Büyük grup tartışması) (10 dk.)

tartışacağız.
Öğrencilere aşağıdaki tanımı not ettireceğim;
TANIM: (Eş olasılı örneklem uzay) Her bir örneklem noktasının
7
olasılıkları eşit olan örneklem uzaya “eş olumlu örneklem uzay” denir. Eş
olumlu örneklem uzayda, bir A olayının olasılığı, A’nın eleman sayısının
örneklem uzayın eleman sayısına oranı olarak verilir ve
𝒔(𝑨)
𝑨 𝒐𝒍𝒂𝒚𝚤𝒏𝚤𝒏 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒂𝒏 𝒔𝒂𝒚𝚤𝒔𝚤
P(A)=𝒔(𝑩) = 𝑬 𝒐𝒍𝒂𝒚𝚤𝒏𝚤𝒏 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒂𝒏 𝒔𝒂𝒚𝚤𝒔𝚤
bağıntısı ile gösterilir.

Tanımı paylaştıktan sonra Eş Olumlu Örnek uzayı kavrayıp kavramadıklarını
ölçmek için dağıtacağım ikinci Çalışma Kâğıdının A bölümündeki soruları
cevaplamalarını isteyeceğim. 5 dk zaman verdikten sonra her soru için gruplara
ne cevap verdiklerini soracağım. Eksik ya da yanlış cevaplar olduğunda gerekli
düzeltmelerimi yapacağım. Beklenen cevaba ulaşmaları için bazı ipuçları
vereceğim. (10 dk)

Eş olumlu örnek uzayda herhangi bir A olayının olma olasılığının biraz önce
verdiğim tanımı kullanarak hesaplanmasını örneklerle göstereceğim. (10 dk)
TAHTA ÖRNEKLERİ
1) İki zarın havaya atılması deneyinde

Üste gelen sayıların toplamının 7 olma olasılığı

Üste gelen sayıların toplamının 4 ten küçük olma olasılığı

Üste gelen sayıların toplamının en az 11 olma olasılığı kaçtır?
2) Biri 10 Kr diğeri 25 Kr havaya atıldığında iki madeni para en çok birinin yazı
gelmesi olasılığı kaçtır?

Bu örneklerden sonra çalışma kağıdında olan B bölümüne geçmeden önce
soruların çözümünde kullanılacak olan kombinasyon kavramını öğrencilere şu
soruları çözerek hatırlatacağım:
1) Aralarında Buse ve Mert’in bulunduğu 2 kız ve 4 erkek öğrenci arasından 3
kişilik bir grup oluşturulacaktır.
a) Bu grup kaç değişik şekilde seçilebilir?
b) Buse’nin bu ekipte bulunduğu kaç farklı grup oluşturulabilir?
c) En az iki erkek öğrencinin bulunduğu kaç farklı grup oluşturulabilir?
(5 dk)
8

Kombinasyon kavramı yukarıdaki şekilde hatırlatıldıktan sonra Çalışma Kağıdı 2’deki
B ve C bölümleri üzerinde çalışmalarına dersin sonuna kadar zaman tanıyacağım.

Aralarda dolaşarak anlaşılmayan noktaları açıklayıp, gruplara ipuçları vererek
beklenen cevaba ulaşmalarını sağlayacağım.

Bu sorularda öğrencilerden öğrendiklerini uygulayarak her bir soruda verilen olayların
olasılıklarını hesaplar hale gelmelerini bekliyorum.

Dersin sonuna geldiğimde ise önceden hazırlamış olduğum Ödev Kâğıdı-II yi
öğrencilere dağıtıp, bir dahaki derse kadar çözmelerini isteyeceğim. Gelecek ders
sorulardan yapamadıkları olup olmadığını soracağım, eğer varsa sorularını çözeceğim,
anlaşılmayan kısımları tekrar edeceğim.
Tasarlamış olduğum bu ders ile 3. Kazanımı da öğrencilerde yapılandırdığımı
düşünüyorum.

Son olarak 4. Kazanımı öğrencilerde yapılandırmak için derse aşağıdaki gibi
bir giriş yapacağım;

Tahtaya aşağıdaki soruları yazacağım;
1)Sınıfımızda kaç kişi basketbol oynuyor?
2)Peki, kaç kişi voleybol oynuyor?
3)İçinizde her ikisini de oynayan var mı?
Eğer her ikisini oynayan yoksa sorumu değiştireceğim?
Gelen cevaplar ile birlikte aşağıdaki örnekteki gibi bir soruyu tahtaya yazacağım:
Sınıfımızda … kişi vardır. Bunlardan … kişi basketbol, … kişi voleybol oynamaktadır. Her
ikisini de oynayanlar … kişidir.
9
1) Sınıfımızdan rastgele seçilen bir öğrencinin örneklem uzayının eleman sayısı:
Seçilen öğrencinin her iki oyunu oynama olasılığı:
2) Sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin arasından rastgele seçilen bir öğrencinin
örneklem uzayı:
Seçilen öğrencinin her iki oyunu da oynayan öğrenci olma olasılığı:

Sınıftan aldığım cevaplarla boşlukları dolduracağım, soruyu tahtaya o şekilde
yazacağım. Venn şemasını da aynı şekilde doldurup, 1 ve 2. soruyu sınıfla
birlikte çözeceğim.

Daha sonra etkinlik kağıtlarındaki ilk soruya bakmalarını isteyeceğim. Birinci
soruda üç madeni paranın atılması deneyinde örneklem uzayın elemanlarını
yazmalarını bekleyeceğim.

İkinci soruda örneklem uzaya bakarak üçünün de yazı gelmesi olasılığını
bulmalarını isteyeceğim.

Üçüncü soruda yazdıkları örneklem uzayda birincinin yazı geldiği çıktılara
işaret koymalarını isteyeceğim.

Dördüncü soruda örneklem uzay ve işaretledikleri elemanlar yardımıyla cevap
vermelerini bekleyeceğim.

Son soruda ise ikinci ve dördüncü sorular ve cevaplarını tartışmalarını
bekleyeceğim. Söz isteyenleri dinleyeceğim. Sorular sorarak beklediğim
cevaba ulaşmalarını sağlayacağım.
Daha sonra şu kitabi tanımı paylaşacağım:
TANIM: “Eş olumlu E örneklem uzayının herhangi iki olayı A ve B olsun. P(B)>0 ise,
B olayının gerçekleşmesi halinde, A olayının gerçekleşmesi olasılığına, “A olayının
B’ye bağlı koşullu olasılığı” denir ve “P(A/B)” biçiminde gösterilir. Koşullu olasılık,
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐴/𝐵)=
10
Bağıntısı ile hesaplanır.”
𝑃(𝐵)

Daha sonra etkinlik kağıdına geri dönmelerini ve 6. Sorudan devam etmelerini
isteyeceğim. 6. Soruda verilen formülü kullanmalarını bekleyeceğim. 7.
Soruda tabloyu doldurup, 8. Soruda bu tablo yardımıyla verilen sorulara cevap
vermelerini bekleyeceğim.

Son olarak da önceden hazırlamış olduğum Ödev Kağıdı-III ü öğrencilere
dağıtıp, bir daha ki derse kadar soruları cevaplandırmalarını isteyeceğim.
Gelecek ders anlaşılmayan yerler olup olmadığını tesbit edeceğim.
11