DUAL BİRİM KÜRE VE STUDY DÖNÜŞÜMÜ

Bölüm 1
DUAL BİRİM KÜRE VE
STUDY DÖNÜŞÜMÜ
1.1
Dual Birim Küre ve Study Dönüşümü
1
R reel sayılar cümlesini göstermek üzere,
∗ : R × R → R × R,
(a, b) ∗ (c, d) = (ac, ad + bc)
olarak tanımlanan işleme dual çarpım adı verilir (K).
(R × R, ∗) ikilisi kısaca D ile gösterilir ve dual sayılar cümlesi olarak
isimlendirilir. Bir d = (a, b) dual sayısı,
d = (a, b) = (a, 0) + (0, b)
= a(1, 0) + b(0, 1)
1
Eduart Study bir öğretmenin oğludur. 23 Mart 1862’de Couburg/Almanya da doğdu
ve 6 Nisan 1930’da Born/ Almanya’da öldü. 1880’den itibaren Jena, Strasbourg, Leipzig ve
Munich Üniversitesi’nde çalıştı. Doktorasını 1884’de Münich Üniversitesi’nde aldı. Study
kompleks sayıların geometrisinde bir liderdir. Study enumerative geometrinin temel prensiplerini yeniden formülize etti. 1923’te reel ve kompleks cebirdeki önemli çalışmasını yayınladı. Study eliptik uzaydaki doğrular üzerine de çalıştı. 1903’de Geometrie der Dynamen
yayınladı. Bu eseri, Öklidiyen kinematik ve katı cisimlerin mekaniği ağırlıklıdır. Study
hakkında ilginç bir not: Öğrencilik günlerinden itibaren biyolojiyle çok ilgiliydi ve önemli
bir kelebek koleksiyonuna sahipti.
1
2
DUAL BİRİM KÜRE VE STUDY DÖNÜŞÜMÜ
olarak yazılırsa, (1, 0) dual sayısına d nin reel birimi, (0, 1) dual sayısına da
dual birim denir. (0, 1) sayısı ǫ ile gösterilir ve
ǫ ∗ ǫ = ǫ2 = (0, 0) = 0
dır. Şöyle ki;
ǫ ∗ ǫ = (0, 1) ∗ (0, 1)
= (0.0, 0.1 + 1.0)
= (0, 0).
Ayrıca,
{(a, 0) | (a, 0) ∈ D} ↔ R
birebir tekabülünden hareketle,
ǫ2 = 0
dır. D üzerinde toplama işlemi,
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d)
şeklinde tanımlanır. (D, ⊕, ∗) üçlü sistemi birimli ve değişimli halkadır.
d = (a, b) = a + ǫb
dual sayısının eşleniği
d = a − ǫb
olarak tanımlanır.2
D3 = D × D × D
cümlesi üzerinde toplama ve skaler ile çarpma,
A = (A1 , A2 , A3 ) = (a1 + ǫa∗1 , a2 + ǫa∗2 , a3 + ǫa∗3 )
A + B = (A1 + B1 , A2 + B2 , A3 + B3 )
λA = (λA1 , λA2 , λA3 )
olarak tanımlansın. (D3 , +) bir abel grubudur. (D3 , +), D üzerinde bir modüldür.
2
d = (a, b) = a + ǫb dual sayısı, genel olarak d = a + ǫa∗ şeklinde gösterilir.
1.1 Dual Birim Küre ve Study Dönüşümü
3
Tanım 1.1.1 D3 modülünün her elemanına dual vektör denir.
D3 ün bir A = (A1 , A2 , A3 ) elemanı,
A = (a1 + ǫa∗1 , a2 + ǫa∗2 , a3 + ǫa∗3 )
= (a1 , a2 , a3 ) + ǫ(a∗1 , a∗2 , a∗3 )
−
→ → →
−
→
= −
a + ǫa∗ , −
a , a∗ ∈ R3
şeklinde de yazılabilir.
D3 üzerinde bir çarpım:
A, B ∈ D3 için,
−
→ →
−
→E
−
−
→
a + ǫa∗ , b + ǫ b∗
D
D
−
→E D−
→ →
−
→E
−E
→
→
= −
a , b + ǫ( −
a , b∗ + a∗ , b )
→
−
→
= −
c + ǫ c∗
hA, Bi =
D
şeklinde tanımlanan bir işlemdir ve iç-çarpım özelliklerini sağlar (okuyucu
kolayca gösterebilir ve göstermelidir). Bir A ∈ D3 dual vektörünün normu,
−
→
→
A=−
a + ǫa∗ için
D
→
−E
−
→
a , a∗
→
kAk = (k−
a k,
)
→
k−
ak
dual sayısıdır.3
−
=E(1, 0) = 1 ise A ya birim dual vektör denir. Bu durumda k→
ak=1
DkAk−
→
→
−
∗
ve a , a = 0 dır.
Bu hazırlıktan sonra asıl konuya, E. Study dönüşümüne geçebiliriz.
→
−
−
→ + ǫa∗ ∈ D için
3
pd = a →
−∗ →
−
→
→
−
−
∗
√
d yi hesaplayalım.
a + ǫa−
→ = c−+ ǫ c →
−
→
−
−
−
−
⇒→
a + ǫ a ∗ = (→
c + ǫ c∗ )2 = →
c 2 + ǫ(2→
c c∗ )
→
−
→
−
−
−
−
⇒→
a =→
c 2 , a∗ = 2 →
c c∗
√
−
→
−
⇒→
c = −
a
p
→
−
→
√→
→
−
→
−
−
a∗
a∗
yani →
dır. Buna göre;
⇒ c∗ = √
a + ǫ a∗ = −
a +ǫ √
→
−
−
a
2 a
2 →
−
→∗
→
−
A = a + ǫa için
kAk
=
=
=
elde edilir.
D →
−E 1
1
−
−
−
hA, Ai 2 = (h→
a , a∗ ) 2
a ,→
a i + ǫ2 →
D −
→E 1
2
−
−
a , a∗ ) 2
(k→
a k + ǫ2 →
→
−
→
−
a , a∗
→
−
)
(k a k + ǫ
→
k−
ak
D
E
4
DUAL BİRİM KÜRE VE STUDY DÖNÜŞÜMÜ
Tanım 1.1.2
−
→
−
→ →
DS = { A = −
a + ǫa∗ | kAk = (1, 0),
→
−
−
→
a , a∗ ∈ R3 } ⊂ D3
cümlesine birim dual küre denir.
Teorem 1.1.3 (E. STUDY) Birim dual kürenin noktaları R3 deki yönlü
doğrular ile birebir eşlenir.
İspat. İspat için R3 deki her yönlü doğrunun bir tek birim dual vektör tanımladığını ve her birim dual vektörün de R3 te bir tek yönlü doğru tanımladığını
göstermek yeter.
z
X
u
u*
P
x
z
z
y
O
x
Şekil 1.1:
Doğrunun vektörel denklemini
→
−
→
(−
x −→
p)×−
u =0
→
vektörel çarpımıyla ele alalım. Vektörel denklemde = 0 dan dolayı, k−
uk=1
alınması genelliği bozmaz.
−
→
−
→
→
x ×−
u = u∗
1.2 DS ÜZERİNDEKİ İÇ-ÇARPIMIN YORUMU
5
−
→
→
vektörüne, −
u vektörünün O noktasına göre vektörel momenti adı verilir. u∗
vektörü, X noktasının doğru üzerindeki seçilişinden bağımsızdır.4
Dolayısıyla X gezici temsilci nokta, O noktasının
−
doğru üzerindeki dikme
−
→∗ −→
→∗ ayağı olan Z noktası alınabilir. u = OZ olup, u , doğrunun O ya uzakD
−
→
−
→E
→
→
u , u∗ ) vektör çifti,
lığıdır ve −
u , u∗ = 0 dır. Böylece, (−
D
→
k−
u k = 1,
E
−
→
→
−
= 0
u , u∗
−
→
→
özelliklerini gerçekleyen bir vektör çiftidir ve −
u + ǫu∗ dual vektörü için,
−
→
→
u + ǫu∗ = 1
−
−
→
→
dir. Yani, −
u +ǫu∗ ∈ DS dir. Sonuç olarak, R3 te bir yönlü doğru verildiğinde
−
→
−
tek türlü belli bir →
u + ǫu∗ dual birim vektörü elde edilebilir. Şimdi ispatın
diğer yönüne geçelim.
D
−
→
−
→E
−
−
→
(→
u , u∗ ) ∈ DS verilsin. k→
u k = 1, −
u , u∗ = 0 dır.
−
−
→
→
Orijinden geçen ve u∗ a dik olan düzlem E olsun. O merkezli, u∗ = r
→
−
yarıçaplı çember çizilsin. Bu çemberin teğet vektörlerinin, −
u ve −→
u ile
−
çakıştığı noktalardaki doğrulara bakalım. A veB noktalarından geçen, →
u ve
→
−
−
→
− u yu doğrultman vektörü kabul eden iki doğru vardır. u nun belirlediği
−
→
→
yöne sahip olan doğru (−
u , u∗ ) ile tek türlü belli doğrudur.
1.2
DS ÜZERİNDEKİ İÇ-ÇARPIMIN YORUMU
−
→
−
→
→
→
D3 de iki D1 = −
u + ǫu∗ , D2 = −
v + ǫv ∗ dual vektörünün iç çarpımı,
−
→ −
−
→E
−
→
u + ǫu∗ , →
v + ǫv ∗
D
→
− E D−
→ −E
→
−
→
v )
u , v ∗ + u∗ , →
= h→
u,−
v i + ǫ( −
hD1 , D2 i =
D
dir. D1 , D2 ∈ DS olsun. D1 ile belli olan yönlü doğru d1 ve D2 ile belli olan
yönlü doğru d2 olsun.
4
Doğru üzerinde X den başka bir Y noktası seçilmiş olsaydı.
−
−
→
(→
y −→
p)×−
u
=
⇒
−
−
−
−
0⇒→
y ×→
u −→
p ×→
u =0
−
→
→
−
→
−
→
−
→
−
y × u = p × u = u∗
6
DUAL BİRİM KÜRE VE STUDY DÖNÜŞÜMÜ
z
u
u*
u
u
u
A
y
O
B
-u
x
Şekil 1.2:
−
→
→
→
d1 için, −
u doğrultman vektörü, u∗ vektörel moment , d2 için, −
v doğrult−
→∗
man vektörü, v vektörel momenttir.
d1 ve d2 doğrularının ortak dikme ayakları A ve B noktaları olsun.
−
→ →
→
− → −
−
→
→
a ×−
u = u∗ , b × −
v = v∗
d1
A
a
b
B
d2
Şekil 1.3:
→
−−→ −−→ → −
−
→
→
→
→
u ×−
v vektörü her iki doğruya da diktir ve −
u ×−
v k AB, AB = −
a− b
1.2 DS ÜZERİNDEKİ İÇ-ÇARPIMIN YORUMU
7
olup, d1 ve d2 arasındaki uzaklık θ∗ ise
→
−
→
−
→
u ×−
v ∗
−
→
θ
a − b = →
−
−
→
ku × vk
dır.
D
−
→E D−
→ −E
→
−
→
u , v ∗ + u∗ , →
v )
hD1 , D2 i = h→
u,−
v i + ǫ( −
iç çarpımına dönelim. Reel kısım için;
→
→
→
→
h−
u,−
v i = k−
u k k−
v k cos θ,
→
→
θ = açı(−
u,−
v)
= cos θ
dır. Dual kısmı hesaplayalım.
D
D
−
→E D−
→ →E
→
− →E
−
→
→
−
→
−
u , v ∗ + u∗ , −
u, b ×−
v + h→
a ×−
u,→
vi
v
= −
−
→
→
−
→
→
→
= (−
u, b ,→
v ) + (−
a ,−
u,−
v)
−
→
→
→
−
→
→
= −(−
u,−
v , b ) + (→
u,−
v ,−
a)
D
E
−
→
−
→
−
→
→
−
→
−
= − u × v, b +hu ×−
v ,→
ai
E
D
−
→ → −
→
a − b ,−
u ×→
v
= −
+
*
−
→
→
u ×−
v ∗ −
→
→
−
θ ,u × v
=
→
→
k−
u ×−
vk
→
−
= k−
u ×→
v k θ∗
→
−
= k−
u k . k→
v k . sin θ.θ∗
= sin θ.θ∗
elde edilir. Dolayısıyla
hD1 , D2 i = cos θ + ǫ sin θ.θ∗
= cos(θ + ǫθ∗ )
θ+ǫθ∗ a dual açı denir. θ iki doğru arasındaki açıdır ve θ∗ iki doğru arasındaki
(en kısa) uzaklıktır.