Matematik Bülteni / Ocak 2013 Sayfa 2

Yıl 2 , Sayı 5
Kasım 2013
SAYILAR
TEMEL KAVRAMLAR
Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere
rakam denir. Rakamlar kümesi
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}dir.En büyük rakam
dokuz en küçük rakam sıfırdır.
Rakamların bir çokluk belirtecek şekilde
bir araya getirilmesi ile oluşturulan
ifadelere sayı denir.Her rakam bir sayıdır
ama her sayı bir rakam olmayabilir.Sayılar
sonsuz tanedir.Bu kadar çok sayıyı daha
iyi kavrayabilmek için sayıları kümeler
halinde inceleriz.
9,15,172,111, 25 , 12,1 5, 5....
SAYI KÜMELERİ
1-DOĞAL SAYILAR
N  {0,1, 2,3...} kümesinin her bir
elemanına doğal sayı denir.Doğal sayılar
kümesi N(atural) ile gösterilir.Bu
sayılardan varlıkları saydıklarımızı Sayma
Sayılar kümesi veya pozitif doğal sayılar
kümesi olarak ayırabiliriz. S veya N  ile
gösterebiliriz. N   {1, 2,3...}
Örnek1. a, b  N olmak üzere
a  b  24 ise a  b nin en büyük,en küçük
değeri nedir?
Çözüm:
İstenen a ve b değerleri şunlardır:
a b a  b Bu değerlere dikkat edilirse
giderek azalıyor.Sonra tekrar
1 24 25
aynı değerleri alarak artıyor.
2 12 14
a ve b sayıları arasındaki
3 8 11
fark azaldıkça toplamın
küçük olduğuna dikkat
4 6 10
ediniz.
6 4 10
O halde en büyük değer 25
8 3 11
en küçük değeri ise 10’dur.
12 2 14
24 1 25
Örnek2. a, b  N olmak üzere
a  b  30 ise a  b nin en büyük ve en
küçük değeri nedir?
Çözüm:
a b a  b Çarpımların aldıkları sonuçlar
giderek artıyor ve a, b eşit
0 30 0
1 29 29 olduklarında en büyük değer
2 28 56 olan 225’i alıyor. O halde en
büyük değerimiz 225 en küçük
değerimiz 0 olur.
15 15 225
Örnek3. a, b, c  N olmak üzere
Çözüm:
a  b  30 ve b  c  12 ise a  b  c ’nin en
büyük ve en küçük değeri nedir?
Çözüm:
Verilen denklemlerde b ortak olduğundan
b  1, 2,3,6 değerlerini alır.
(30 ve 12’nin ortak bölenleri=1,2,3,6)
a b c a  b  c a  b  c ’nin en büyük
değeri 43 ve en küçük
30 1 12 43
değeri 13 olur.
15 2 6
23
3a  5b  30  a 
10 3 4
5 6 2
17
13
30 0 0
b  3  a  10 
5b
ve a  5
3
b  6  a  10 
5b
ve a  0
3
Sayı değerlerini vermeye devam
ettiğimizde a  5,0, 5,.. elde
ediyoruz.Soruda pozitif tamsayı değeri
2-TAM SAYILAR
istendiğinden a  5 olmak üzere bir farklı
Tamsayılar kümesi pozitif tamsayılar,
negatif tamsayılar ve sıfır olmak üzere üçe değer alır.
6
ayrılır.Yetmişbin yıl önce pozitif
Örnek6:
sayısı bir tamsayı olduğuna
x

2
tamsayıların sayma sayıları olarak
göre x tamsayısının alacağı değerler
kullanılmış.Hindistan’da Brahmagupta
628’de yayınladığı eserinde borç anlamına toplamını bulalım.
gelmek üzere negatif sayılardan
Çözüm:
bahsetmektedir. Negatif tam sayıların
Verilen ifade de x  2 ’nin altıyı böleceği
Avrupa matematiğinde tam olarak
belli.
yerleşmesi 18 yy.'ı bulur.Sıfır sayısının
x  2  6  x  4 , x  2  6  x  8
birbirinden bağımsız olarak hem
x  2  3  x  1 , x  2  3  x  5
Hindistan’da hem de Maya’lar tarafından
x  2  2  x  0 , x  2  2  x  4
icat edildiği sanılıyor.Sıfırın Avrupa
x  2  1  x  1 , x  2  1  x  3
uygarlığına gelmesi Araplar tarafından İ.S. Tüm x değerleri {-8,-5,-4,-3,-1,0,1,4}
800’lü yıllarda olmuştur.
toplamı ise -16 elde edilir.
Tamsayılar kümesi Z ile gösterilir:
3x  12
Z  {..., 2, 1,0,1, 2,3...}  Z   0  Z  Örnek7: x  2 ifadesi tamsayı ise x
Sayı doğrusunu düşündüğümüzde doğal
doğal sayılarını bulunuz.
sayıların simetriğine yerleştirilen negatif
Çözüm:
tamsayılarda büyüklük doğal sayılardakine 3x  12 3x  6  6 3x  6
6
göre terstir.Örneğin iki basamaklı en büyük x  2  x  2  x  2  x  2
negatif tamsayı -10, en küçük olanı ise 3x  6
6
6
sorunun kalan

 3
99’dur.
x2 x2
x2
kısmı önceki örnekteki gibi bulunur.Farklı
Örnek4.Doğal sayılar da verdiğimiz ilk
olarak x değerleri {0,1,4} doğal sayılarıdır.
örneği a, b  Z için çözelim: a  b  24 ise
a  b nin en küçük değeri nedir?
Çözüm:
İstenen değerler -24 ve -1 olduğunda en
küçük değer -25 elde edilir.
Örnek5. a, b  Z  olmak üzere
3a  5b  30 ise a kaç farklı değer alır?
28 2 56
29 1 29
30  5b 30 5b
5b


 10 
3
3 3
3
elde edilir.Burada b sayısına paydası üç
olduğu için üçün katı olan tamsayı
değerlerini vereceğiz.Ancak elde ettiğimiz
değer 10’dan büyük olmamalı.Çünkü bu
takdirde a sayısı negatif olacaktır!
Örnek8. İki basamaklı rakamları
birbirinden farklı en büyük tek tam sayı ile
iki basamaklı en küçük çift tam sayının
toplamı kaçtır?
Çözüm:
Aradığımız ilk sayı 99 , 98 ,97 olur.
Diğeri ise 99 , 98 olur.Toplam ise -1’dir.
Matematik Bülteni/Kasım 2013
3. RASYONEL SAYILAR
Rasyonel sayıların ilk çıkışı
2 x  1  0 denkleminin tamsayılarda
bulunamayışıdır. Bu denklemin çözüm
kümesinin arayışı bizi rasyonel sayılara
ulaştırdı. Denklemde de görüldüğü gibi
rasyonel sayılar pay ve paydası tamsayı
olan sayılardır. Rasyonel sayılar kümesi
ile gösterilir.
a

  a, b  Z veb  0
b

Tanımda da ifade edildiği gibi payda sıfır
hariç herhangi bir tamsayıdır.Tüm
tamsayılar paydası bir olan birer rasyonel
sayıdır.
5
Örnek9.
ifadesinin rasyonel sayı
y2
Sayfa 2
Bu bilgileri ezberlemek yerine sayı
     ,     ,      ,    
değeri
vererek bulabiliriz.Mesela T+T
Örnek11. a  b  c  0 ise a, b, c sayılarının
işleminin çeşidi için 1+1=2 yani iki çift
işareti aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A), , B), , C), ,  D), ,  E), ,  olduğundan sonuç Ç düşünebiliriz.
Burada dikkatimizi çeken bir nokta tek
sayıları istediğimiz kadar çarpalım sonucun
Çözüm:
tek çıktığıdır.Veya tersten düşünürsek
D), ,  işaretlerinin çarpımı pozitif
sonuç tek ise her bir çarpanın mutlaka tek
olacağından cevap D’dir.
olması gerektiğidir.Örneğin
Pozitif sayıların tüm kuvvetleri pozitif
a  b  c  15(tek ) ise a, b, c ‘nin de tek
olurken negatif sayılar için bunu
olması gerektiğidir.
söyleyemeyiz.Negatif sayıların tek sayıda
Benzer şekilde tek sayıların çarpımlarına
çarpımı negatif ancak çift kuvveti
bir
çift çarpan yazarsak sonuç çift
pozitiftir.Dolayısıyla çift bir kuvvet
olur.Yani çarpım çift ise çarpanlardan en
hesaplandığında sayı pozitif de negatif de
az biri (ama mutlaka biri) çift olmak
olsa sonuç pozitif olacaktır.Bu bazı
zorundadır.
sorularda işimize yarayacak bir bilgidir.
T n  T Ç n  Ç (n pozitif tamsayı)
Örnek12. a  0  b  c olduğuna göre
Örnek14.Aşağıdaki sayıların teklik çiftlik
a b b c 2
,
, a  b sayılarının işaretlerini
durumlarını inceleyelim:
b  c bc
olmaması için y değeri ne olmalıdır?
bulalım.
Çözüm:
Çözüm:
Paydanın sıfır olduğu durumda rasyonel
sayı belirtmeyeceğinden y  2  0  y  2 a  0  b  c  a  b  0, b  c  0, b  c  0
b  c  0, a 2  b  0 Bu işaretler yerleştirilirse:
4-İRRASYONEL SAYILAR
Rasyonel olmayan sayılara irrasyonel
a b 
bc 
  ,
  ,
sayılar denir.  ile gösterilir.
bc 
bc 

1
 2, 71
n
n 0 !
 , e, 2,...gibi e  
a2  b      
Örnek13.  5   24  işleminin sonucu
2
Rasyonel sayılar ile irrasyonel sayıların
ortak elemanı yoktur.
Örnek10. Aşağıdakilerden hangisi
irrasyonel sayı değildir?
nedir?
A)  9 B)  9 C)  41 D)  41 E)42
A) 2 B) 3 C ) 8 D) 9 E) 10
 5
Çözüm:
9  3 olduğundan cevap D’dir.
5-REEL SAYILAR
Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimi
olan kümedir.Reel sayılara gerçel,gerçek
sayılar da denebilir. ile gösterilir.Reel
sayılar (11. Sınıftaki komplex sayılarla
beraber) gördüğümüz en büyük sayı
kümesidir.
Bu sayı kümelerinden başka sayıları türlere
de ayırırız.Şimdi bu sayı çeşitlerini
inceleyelim.
SAYI ÇEŞİTLERİ
1-Pozitif ve Negatif Sayılar
Sıfırdan büyük sayılara pozitif, küçük
sayılara negatif sayı denir.Bu sayılarla
yapılan dört işlemin detaylarına
girmeyeceğiz.Ama çarpma ve bölme
işlemindeki işaret sonuçlarının aynı
olduğunu hatırlayalım:
Çözüm:
2
  5   5  25
 2   2  2  2  2  16
4
O halde sonucumuz
 25   16  9 olur.Cevap B’dir.
2-Tek ve Çift Sayılar
Birler basamağı çift rakam olan sayılar –ki
bunlar {0,2,6,8}- çift sayı,çift olmayan
sayılara da tek sayı denir.Tabi bu sayılar
tamsayılar. Diğer sayılar için örneğin 0.15
için teklik veya çiftlik tanımlı değildir.
n tamsayı olmak üzere çift sayıları  2  n  ,
tek sayıları  2  n  1 genel terimleriyle
ifade edebiliriz.
Çift sayıları Ç ve tek sayıları T ile
gösterirsek bu sayı çeşitleri arasındaki dört
işlem (bölme olmadığı için aslında üç
işlem) şu şekildedir:
T  T=T T  Ç=T Ç  Ç=Ç
T  T=T T  Ç=Ç Ç  Ç=Ç
a) 318 b)  2 
201
c) 20132012  20142011
Çözüm:
a) 318  T  T  T
b)  2 
201
 Ç Ç
2012
c) 2013
T T
Ç Ç
 2014
2011
T Ç T
Örnek15: a  b  2  c  11 olduğuna göre
a,b,c sayılarının teklik,çiftliği için ne
söylenebilir?
Çözüm:
a  b  2  c  11  a  b  Ç  T  a  b  T
Ç
T
Dolayısıyla a, b mutlaka tek sayılardır.
Ancak c için mutlaka tek veya çifttir
diyemeyiz.
Örnek16: 3a  4 sayısı tek olduğuna göre
aşağıdakilerden hangisi çifttir?
A) a  2
B) a 2  a  1
C) a 2  2a
D) 5a 2  1 E) a3  a 2  a
Çözüm:
3a  4  T  3a  Ç  T  3a  T
Yani 3a sayısı tek buradan da a sayısının
tek sayı olduğu bulunur.
A) a  2  T  Ç  T
B) a2  a  1  T  T  T  T
C) a2  2a  T  Ç  T  T  Ç  T
D) 5a2  1  T  T  T  Ç
E) a3  a2  a  T  T  T  T
Doğru Cevap D’dir.
3-Asal Sayılar
Bir kendisinden başka pozitif böleni
olmayan birden büyük doğal sayılara asal
Matematik Bülteni/Kasım 2013
sayı denir.Asal sayıların yalnızca iki böleni
vardır. 2,3,5,7,11,13,17,19, 23... 23’ten
sonra gelen en küçük asal sayıyı siz
bulunuz.
Asal sayılar kümesinde dikkatimizi çeken
ilk şey içlerinden sadece birinin çift sayı
olduğu. Acaba hangisi?Diğeri ise “1” in
asal sayı olmadığıdır.
Örnek17.Aşağıdakilerden hangisi asal
sayıdır?
Sayfa 3
a 12 : 3 4

 olduğuna göre
b 15 : 3 5
a sayısı 4 ve b sayısı da 5 olmak
zorundadır. a  b  4  5  9 dur.
Örnek21. 2a  b,a  b aralarında asal
Çözüm:
sayılardır.
2a  b 35
ise a  b çarpımını

a  b 25
bulunuz.
2a  b 35 : 5 7

 olduğuna göre
a  b 25 : 5 5
4
A)24 B)25 C) 3  1 D) 7! 4 E)97
2a  b sayısı 7 ve a  b sayısı da 5 olmak
Çözüm:
zorundadır.
A) 24  2 12 asal sayı değildir.
2a  b  7 
B) 25  5  5 asal sayı değildir.
 a  4, b  1ve a  b  4 olur.
a  b  5
C) 34  1  T  T  Ç Çift olduğundan asal
4-Ardışık Sayılar
sayı değildir.(Çift asal sayı sadece ikidir.)
D) 7! 4  Ç  Ç  Ç Çift olduğundan asal Belli bir kurala göre ardı ardına gelen
sayılara ardışık sayı denir.Ardışık
değildir.(Çift asal sayı sadece ikidir.)
tamsayılar ..  2, 1,0,1, 2,3.. ,ardışık çift
E)97 sayısı asaldır.(İki basamaklı en büyük
tamsayılar ..  4, 2,0, 2, 4.. ,ardışık tek
asal sayıdır.)

tamsayılar ..  3, 1,1,3,5.. dır.
Örnek18. a, b  N için a  b  59 ise
a  b toplamı nedir?
A)58 B)59 C)60 D)61 E)62
Çözüm:
59 sayısı asal olduğundan iki sayıya
bölünür dolayısıyla a, b sayılarından biri 1
diğeri 59 olacaktır. a  b  60 bulunur.
Örnek19. a, b asal
sayılardır. 2a  b  84 ise a  b toplamı
nedir?
A)97 B)89 C)43 D)34 E)29
Çözüm:
2a  b  84  2a  b  Ç  b  Ç
Çözüm:
Örnek21. a, b, c ardışık tamsayılar olmak
Çözüm: En küçük sayımız x olsun.Ardışık
tek sayılar ikişer ikişer arttığından;
x   x  2   x  4   x  6  128
4x  12  128  4x  116  x  29 olur.D
oğru cevap B’dir.
Örnek23. Beşin katı olan ardışık üç tek
sayının toplamı 75 ise en küçüğü kaçtır?
A)5 B)10 C)15 D)20 E)25
Çözüm: 5x  5  x  2   5  x  4   75
5x   5x  10    5x  20   75
15x  30  75  x  3 En küçük sayımız
ise 5x  5  3  15 olup cevap C’dir.
4-Ardışık Sayıların Toplamı
Öncelikle ardışık sayılardaki terim sayısını
düşünelim: 1, 2,3..., 25 dizisinde kaç terim
vardır?Peki ya 5,9,13...45 dizisinde?
Bu sayı dizilerindeki terim sayısını bulmak
şu formül ile çok kolay:
SonTerim  İlk Terim
Terim Sayısı 
1
Artış Miktarı
Örneğin 5,9,13...45 dizisinde
45  5
 1  11 terim vardır.
4
a b
Örnek24.
nedir?
a)15 ile 60 arasında üçün katı kaç doğal
A)5 B)4 C)3 D)-5 E)-4
sayı vardır?
Çözüm:
b)12’den 99’a kadar üçün katı kaç doğal
a  b  c  a  1, b  2, c  3 olsun:
sayı vardır?
2
2
 a  c    c  b  1  3   3  2  4  1 Çözüm:


a b
1 2
1
57  18
a) 18, 21, 24 54,57 
 1  14
Sonuç -5 elde edilir. Cevap D’dir.
3
üzere a  b  c ise
a  c
2
 c  b
oranı
96  12
 1  29
3
Ç
Ardışık sayıların toplamında ise şu formülü
Çift asal sayı sadece 2 olduğundan
kullanırız:
b  2 ’dir.Bu değeri denklemde yazarak
Terim Sayısı 
a sayısını da buluruz:
x   x  1   x  2   x  3   x  4  105  SonTerim  İlk Terim  
2a  2  84  a  41
2
5x  10  105  5x  95  x  19 Böylece
Örnek25. 5  10  15  105 toplamının
Cevabımız 41  2  43
en küçük sayımızı bulduk.Ortanca sayı ise
sonucu nedir?
Birden başka pozitif ortak böleni
 x  2  19  2  21 olur.Cevap C’dir.
A)1155 B)1055 C)1255 D)1150 E)115
olmayan iki veya daha fazla doğal sayıya
Çözüm: Öncelikle terim sayısını bulalım:
aralarında asal sayı denir. Örneğin 12 ile Bu örneğin cevabını 105:5=21 olarak da
bulabilirdik.Evet
gerçekten
de
ardışık
tek
25 aralarında asal sayılardır.(10,12,20) sayı
105  5
 1  21 Şimdi toplam formülünü
sayıdaki sayıların toplamını sayı adedine
üçlüsü ise aralarında asal değildir.Çünkü
5
bölersek ortanca sayıyı her zaman
üçünü de bölen bir sayı vardır.
kullanırsak
buluruz.Bu durum çift sayının toplamı için
Örnek20. a, b aralarında asal
 21
 1155
geçerli değildir.Zira çift sayıda ortanca sayı 5  10  15  105  105  5  
a 12
2
sayılardır. 
ise a  b toplamını
yoktur
b 15
elde ederiz.Doğru cevap A’dır.
Örnek22.Ardışık dört tek tamsayının
bulunuz.
toplamı 128 ise en küçük sayı kaçtır?
Öğrendiğimiz bu formülü tüm dizi
A)27 B)29 C)31 D)33 E)35
toplamlarında kullanabiliriz.Ancak ardışık
Örnek22.Ardışık beş tamsayının toplamı
105 ise ortanca sayı kaçtır?
A)19 B)20 C)21 D)22 E)23
Çözüm: En küçük sayımız x olsun:
b) 12,15,18
96 
Matematik Bülteni/Kasım 2013
sayılar,ardışık tek veya çift tamsayıların
toplamında şu bilgiler işimize yarayacaktır:
n   n  1
1 2  3 n 
2
2  4  6  2n  n   n  1
1 3  5
 2n 1  n2
Bu formülleri içeren bir örnekle konumuzu
bitirelim:
Örnek26.
a) 1  2  3  99 toplamının sonucu nedir?
b) 2  4  46 toplamının sonucu nedir?
c) 1  3  5  99 toplamının sonucu
nedir?
Çözüm:
99   99  1
a) 1  2  3  99 
 4950
2
b) 2  4  46  2n  46, n  23 formülüm
üzü kullanırsak: n   n  1  23  24  552
c) 1  3  5
Sayfa 4

7. a  N ve 5a  18 tek sayı olduğuna
göre aşağıdakilerden hangisi çifttir?
A) a  8
B) a  2
D) a  a
Cevap:D
E) a 8
5
2a  b 32
ise a  b çarpımı kaçtır?

C) a  a  1
a  b 10
A)10 B)12 C)14 D)16 E)39
Cevap:C
2
8.n bir asal sayı ve  n  4 
3
n 1
çift sayı ise
n2  n  1 toplamı kaçtır?
A)7 B)13 C)31 D)57 E)3
Cevap:A
a
ifadesini tamsayı yapan dört tane
x
x tamsayısı olduğuna göre a’nın
alabileceği iki basamaklı en büyük doğal
sayı aşağıdakilerden hangisidir?
A)99 B)98 C)97 D)96 E)95
Cevap:C
9. 3 
 99   2n  1  99, n  50
10.Birbirinden farklı iki basamaklı üç
formülümüzü kullanırsak: n2  502  2500 doğal sayının toplamı A’dır.A kaç farklı
KONU TESTİ
değer alır?
A)100 B)260 C)261 D)262 E)263
1.   6   4   2 işleminin sonucu
Cevap:D
kaçtır?
A)-10 B)-12 C)8 D)0 E)4 Cevap:D
11.Ardışık üç tek tamsayının toplamı -27
ise en küçüğü aşağıdakilerden hangisidir?
2. a  0  b  c  d olmak üzere
A)-7 B)-8 C)-9 D)-10 E)-11
aşağıdakilerden hangisi negatiftir?
Cevap:D
A) a   c  d 
B)  d  c    a  c 
C) d   b  c    a  c 
D) a  b  c   d 
12. 5x tek doğal sayı olduğuna göre
3x  1 ’den sonra gelen ilk iki tek sayının
E) a   d  b    b  d 
toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:B
A) 6 x  6
B) 3x  2
C) 3x  6
D) 6 x  2
E) 6 x  4
3. 3a  4b eşitliğini sağlayan en küçük a ve
Cevap:A
b pozitif tamsayıları için a 2  b2 nedir?
Cevap:25
5 x  25
13.
ifadesi tamsayı yapan x doğal
x
4. a, b  N  ve a  b  7 , b  c  4 olduğuna sayılarının toplamı kaçtır?
göre a  b  c nedir? Cevap:12
A)30 B)31 C)0 D)40 E)41
5. a, b  N  ve a  2b  c olduğuna göre
Cevap:C
a  b  c aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A)5 B)10 C)15 D)20 E)25
Cevap:C
14. a, b, c birbirinden farklı pozitif
6.  2n  3 ile  n  5 ardışık tamsayılar
olduğuna göre n’nin alabileceği değerler
çarpımı nedir? Cevap:-63
15. 2a  b,a  b aralarında asal sayılar
tamsayılar ve a  b  c  9 ise
3a  2b  c en fazla kaçtır?
A)27 B)25 C)22 D)21 E)20
Cevap:D
ve
16.Ardışık dört doğal sayının toplamı
şeklinde yazılabilen en küçük ve en büyük
doğal sayıları bulunuz.Bu şekilde
yazılabilen kaç doğal sayı vardır?
Cevap:10-98-23
17. 1  5  2  10  3  15  100  20
işleminin sonucu kaçtır?
A)1260 B)1270 C)1280 D)1290 E)1300
Cevap:A
18. a, b, c reel sayıları için
a3  b5  c  0 , a  c3  0 , a  b  0 olduğuna
göre a,b,c işaretleri sırayla
aşağıdakilerden hangisidir?
A)    B)    C)    D)    E)   
Cevap:C
19.
x3
ifadesi reel sayı olduğuna göre
x2
x4
sayısı aşağıdakilerden hangisi
x 1
olamaz?
A)6 B)2 C)0 D)-4 E)-9 Cevap:A
20.Bir öğrenci birden yirmiye kadar
sayıları yan yana yazarak
123456789101112 20 sayısını elde
ediyor.Bu sayının rakamları toplamı
kaçtır?
A)100 B)101 C)102 D)103 E)104
Cevap:C
21.5 kırmızı,3 mavi ve 2 sarı top bulunan
bir torbadan en az kaç top çekilmeli ki
elimizde kesinlikle bir sarı top olsun?
A)1 B)2 C)3 D)4 E)5
Cevap:C
3x  5
x 3
,b 
ve a ile b sayısı
x 3
3x  5
birer sayma sayısı ise a  b kaçtır?
A)2 B)3 C)4 D)5 E)6
Cevap:A
22. a 