TRİGONOMETRİ - ahmet elmas

TRİGONOMETRİ
Trigonometri, üçgenin kenar uzunlukları ve açıları arasındaki ilişkileri inceler.
Öncelikle konumuzun en önemli öğesi olan açı kavramını ve özelliklerini gözden geçirelim.
AÇI: Başlangıç noktaları ortak, doğrusal olmayan iki ışının birleşimine açı denir.
∠AOB : [OA başlangıç kenarı , [OB bitim kenarı
( Negatif yön: Saat ibresinin dönme yönü)
∠BOA : [OB başlangıç kenarı , [OA bitim kenarı
( Pozitif yön: Saat ibresinin dönme yönünün tersi )
TRİGONOMETRİK (BİRİM) ÇEMBER :Trigonometrinin temel taşlarından biri olup,
Trigonometri okyanusunda can simidimiz olacaktır.
Analitik düzlemde; O(0,0) başlangıç noktasını
merkez kabul eden, 1 birim yarıçaplı çembere
TRİGONOMETRİK ÇEMBER denir.
Tanımdan da anlaşılacağı gibi bundan sonra Analitik
geometri dayanağımız olacaktır. Analitik Düzlemde
noktanın apsis ve ordinatını bilmek, uygun şartlarda
açıların trigonometrik değerlerini verecektir.
Birim çemberin denklemi : 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 dir.
Birim çemberin 0x ve 0y eksenlerini kestiği A(1,0) ; B(0,1) ; C(-1,0) ve D(0,-1)
noktalarına dikkat !
Açının köşesi O noktası ile ve başlangıç kenarı da Ox ekseni ile çakıştırılarak, Bitim
kenarının Trigonometrik çemberi kestiği noktanın koordinatı belirlenir.
Birim çember üzerindeki bir noktanın apsisi en az -1, en çok 1 dir. A(1,0); C(-1,0)
Birim çember üzerindeki bir noktanın ordinatı en az -1, en çok 1 dir. B(0,1); D(0,-1)
A= x +y +z
eşitliğinde;
A: Başarı
X: Çalışmak , y: Eğlenmek , z: Çeneni tutmak
1
AÇI ÖLÇME BİRİMLERİ:
DERECE:
Tam bir çember yayının
1
‘ına 10 lik yay,
360
bu yayı gören merkez açıya 10 lik açı denir.
10 = 60’ (dakika) , 1’ = 60’’ (saniye) , 180o = 179o 59’ 60’’
21o 23’ 34’’ lik açı ile 12o 32’ 43’’ lik açının toplam ve farklarını bulunuz:
Toplama ve çıkarma işlemlerinde saniye bölümünden başlanarak dakika ve derece
bölümleri için ayrı ayrı işlem yapılır.
21o 23’ 34’’ + 12o 32’ 43’’ = 33o 56’ 17’’
;
34’’ + 43’’ = 77’’ = 60’’ +17’’ = 1’ + 17’’
17 ‘’ yazılır, 1’ dakikalar toplamına eklenir.
23’ + 32’ = 55’
Saniyeler toplamından 1’ artmıştı, 55’ + 1’ = 56’
21o + 12o = 33o
21o 23’ 34’’ - 12o 32’ 43’’ = 8o 50’ 51’’
;
34’’ - 43’’ = ?
23’ = 22’ 60’’ eşitliğini kullanalım.
60’’ + 34’’ = 94’’ ,
94’’ – 43’’ = 51’’
22’ – 32’ = ?
o
o
21 = 20 60’ eşitliğini kullanalım.
60’ + 22’ = 82’ ,
o
o
20 – 12 = 8
82’ -32’ = 50’
o
Neden 1/360 ‘i ? İlk çağlarda, bir yıl ile bir çemberin etrafında dönme arasında
benzerlikler kurulmuş ve bir yılı 360 gün olarak kabul edip tam bir çember yayına da
360o denmiştir.
1. 48o 49’ 50’’ lik açı ile 51o 52’ 53’’ lik açıların toplamı nedir?
A) 1000 42’ 43’’
B)990 41’ 42’’
C) 1000 41’ 42’’
D) 800 42’ 43’’ E) 800 18’ 17’’
2. 40 4’ 4’’ lik açı kaç saniyedir? A)244 B)960 C)1460 D)14640 E)14644
3. Bir iç açısının ölçüsü 300 40’ 50’’ olan üçgenin o köşesindeki iç açının ölçüsü nedir?
A) 1490 19’ 10’’
B)1500 20’ 10’’
C)1500 19’ 10’’
4. 20130’’ lik açının eşiti hangisidir? A)50 30’ 35’’
0
D)30 05’ 35’’
D)1490 20’ 10’’
B)50 35’ 30’’
E) 1490 19’ 09’’
C)350 30’ 05’’
0
E)30 35’ 05’’
2
Birim çember üzerindeki bir P noktasına [0, 360) aralığında karşı gelen
 reel sayısına, AP yayının veya AOP açısının derece cinsinden esas ölçüsü denir.
Aynı noktaya karşı gelen diğer sayılar   k .360 0
( 𝜃 𝑜 : Esas ölçü.
(
k Z
şeklindedir.
)
k∈ 𝑍 : Devir sayısı )
A ya: 00 + k.3600
B ye: 900 + k.3600
C ye: 1800 + k.3600
D ye: 2700 + k.3600
P ye: 𝜃 𝑜 + k.3600
2013o lik açının esas ölçüsü kaç derecedir?
2013o = 5.360o + 213o
ESAS ÖLÇÜDÜR.
Verilen açının 360’a bölümünden kalan
-2013o lik açının esas ölçüsü kaç derecedir?
-2013o = -5.360o – 213o
= -6.360o+147o
;
-213o + 360o = 147o
;
-2013o
Açıyı pozitifmiş gibi alıp 360’a böldükten sonra kalanı 360 tan
çıkarıyoruz.
( veya; 360o ın katlarını ekleyerek bulunur. -2013o +6.360o=147o )
1. 395o lik açının esas ölçüsü kaç derecedir?
A) 5O
2. -150 25’
A)150 25’
B) 95O
C) 195O
D) 325O
E) -35O
lık açının esas ölçüsü aşağıdakilerden hangisidir?
B)150 35’
C)3440 15’
D)3440 35’
E)3450 35’
3.
Şekilde verilenlere göre 5000 lik açının esas ölçüsü kaç
derecedir? A)400
B) 500 C)1400
D)1500
E)-400
4.
Şekilde verilenlere göre -500 lik açının esas ölçüsü kaç
derecedir? A)400
B)500
C)1300
D)2300
E)3100
3
Bir duvar saati 12:20 ‘yi gösterdiğinde akrep ve yelkovanın
oluşturduğu açının ölçüsü kaç derecedir?
Akrep 1 saatte (60 dakikada ) 30o lik açı süpürür. (Tam bir çember yayının 12 de biri)
Yelkovan 1 saatte (60 dakikada ) 360o lik açı süpürür. (Tam bir çember yayı-tam tur)
Saat 12:00 de akrep ve yelkovan 0o lik açı oluşturur. Akrep ve yelkovan üst üstedir.
20 dakikada (1/3 saatte) akrep; 30o(1/3) = 10o lik ,
Yelkovan; 360o(1/3) = 120o lik açı çizeceğinden ;
120o – 10o = 110o olacaktır.
saat 12:20 de oluşturdukları açının ölçüsü :
1. Bir duvar saati 3:15 ‘i gösterdiğinde akrep ve yelkovanın oluşturduğu açının ölçüsü
kaç derecedir?
A) 0O
B) 5O
C) 7O 30’
D) 15O
E) 900
2. Bir duvar saati 6:00 ‘ı gösterirken, kaç dakika sonra akrep ve yelkovanın
oluşturduğu açının ölçüsü 90o olur?
A) 15
B) 16
C) 165/11
D) 180/11
E) 17
3. Saat 4:00 dan en az kaç dakika sonra akrep ve yelkovan üst üste gelir?
A)220/11
B)240/11
C)260/11
D)280/11
E)300/11
4. Bir duvar saatinde; birim zaman içinde yelkovanın süpürdüğü açı, akrebin
süpürdüğü açının kaç katıdır?
A) 6
B) 8
C) 11
D) 12
E) 13
4
RADYAN:
Çemberde yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez açıya
1 radyanlık açı denir.
Tam çember yayı 2𝜋 radyandır.
Birim çemberde yarıçap 1 birim olduğundan, Birim
çemberde 1 birim uzunluğundaki yayı gören merkez açıya
1 radyanlık açı denir.
𝝅
SAYISI: Çember çevresi ile yarıçapı arasındaki ilişki araştırıldığında; Ç = 2𝜋.r ve
𝝅=
Ç
𝟐.𝒓
≅ 𝟑, 𝟏𝟒..
gibi İrrasyonel bir sayı olduğu görülmüştür.
𝜃 Radyanlık daire diliminde;
Yay uzunluğu = s = 𝑟. 𝜃
1
2
1
2
Dilim alanı = A(AOB) = 𝑟 2 . 𝜃 = 𝑟. 𝑠
AOB Daire diliminin çevresi 7 cm. ve alanı 3 cm 2 olduğuna göre
Dilimin yarıçapı kaç cm. olabilir ?
Dilimin Çevresi = 2r+s = 7
⇒
s = 7 – 2r
;
1
2
Dilimin Alanı = r.s = 3
2r2-7r+6=0
𝜋
3
1
. 𝑟(7 −
2
(r-2)(2r-3)=0
⇒
𝜋
1. Birim çemberde
A)
⇒
cm.
B)
3
𝜋
6
cm.
C)
𝜋2
cm.
18
𝜃=
C) 𝜋/4
3. Yarıçapı 1 cm. olan çemberde
4.
veya
r2=1,5 cm.
radyanlık merkez açının gördüğü yayın uzunluğu kaç cm. dir?
B) 𝜋/3
cm.dir? A) 1
r1=2 cm.
⇒
2. Yarıçapı 2 cm. olan çemberde
A) 𝜋/2
2𝑟) = 3
B) 2
C)
𝜋
2
D) 30 cm.
E) 60 cm.
𝜋
lik daire diliminin alanı kaç cm2 dir?
6
D)𝜋/6
E) 2𝜋/3
𝜃 = 450 lik daire diliminde yayın uzunluğu kaç
𝜋
𝜋
D) 3
E) 4
Çevresi 12 cm. olan bir daire diliminin alanı en çok kaç cm2 olabilir?
A) 3
B) 4
C) 6
D)9
E)12
5
Birim çember üzerindeki bir P noktasına [0, 2 ) aralığında karşı gelen
 reel sayısına, AP yayının veya AOP açısının radyan cinsinden esas ölçüsü denir.
Aynı noktaya karşı gelen diğer sayılar   k.2 şeklindedir.
(
k Z
)
A ya : 0 + k.2𝜋
B ye :
𝜋
2
C ye : 𝜋 + 𝑘. 2𝜋
D ye :
3𝜋
2
+ 𝑘. 2𝜋
+ 𝑘. 2𝜋
P ye : 𝜃 + 𝑘. 2𝜋
(𝜃 : Esas ölçü.
21𝜋
radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?
4
21𝜋
Verilen açı içinde 2𝜋 nin katları aranır.
−
k∈ 𝑍 : Devir sayısı )
21𝜋
4
4
= 2.2𝜋 +
5𝜋
4
radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?
Verilen açı pozitifmiş gibi alıp 2𝜋 ye böldükten sonra kalan 2𝜋 den çıkarılır.
−
21𝜋
4
= −2.2𝜋 −
5𝜋
4
−
;
5𝜋
4
+ 2𝜋 =
(veya; 2𝜋 nin katları eklenerek bulunur.
1. 23𝜋
3
𝐴)
𝜋
3
2. − 3𝜋2
𝜋
𝐴)
2
−
21𝜋
4
3𝜋
;
4
−
+ 3.2𝜋 =
21𝜋
4
3𝜋
4
= −3.2𝜋 +
3𝜋
4
)
radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?
B)
2𝜋
3
4𝜋
3
5𝜋
3
C)
D)
E)2𝜋
radyanlık açının esas ölçüsü kaç radyandır?
B)𝜋
3𝜋
2
D)900
C)
3.
E)270O
Şekilde verilenlere göre
derecedir? A)30
0
0
B) 60
17𝜋
6
radyanlık açının esas ölçüsü kaç
C) 1200
D)1350
E)1500
4.
Şekilde verilenlere göre -4050 lik açının ölçüsü kaç
𝜋
radyandır? A)𝐵)𝜋/4
C)3𝜋/4 D) 5𝜋/4 E) 7𝜋/4
4
6
GRAD:
Tam bir çember yayının
1
üne 1 gradlık yay, bu yayı gören merkez açıya 1 gradlık açı
400
denir.
Birim çember üzerindeki bir P noktasına [0, 400) aralığında karşı gelen
 reel sayısına, AP yayının veya AOP açısının grad cinsinden esas ölçüsü denir.
  k.400 şeklindedir.
Aynı noktaya karşı gelen diğer sayılar
(
k Z
)
Bu açı ölçme birimleri arasında :
D
R
G
bağıntısı vardır.


200
180 0 
𝜋
2𝜋 radyan = 360o ; 𝜋 radyan = 180o ;
80o lik açı kaç radyandır?
4𝜋
(
9
4𝜋
3
𝜋
180
1. -50o lik açı kaç radyandır?
5𝜋
4
80o.
= 90o
𝜋
180
=
ile çarpılır.)
radyanlık açı kaç derecedir?
2.
2
4𝜋 180𝑜
3
A)−
.
5𝜋
18
𝜋
B)
radyanlık açı kaç derecedir? A)45O
3. 1 radyanlık açı kaç derecedir? A)57O18’
4. 1800 lik açı kaç gradtır? A)50
B)75
𝑜
180
( 𝜋 ile çarpılır.)
= 240o
5𝜋
18
C) −
B)135O
B)600
C)100
5𝜋
9
D)
5𝜋
9
C) 225O
C)670 18’
D)150
E)−
𝜋
18
D)240O
D)900
E)300O
E)450
E)200
7
Birim çemberde; 30o lik merkez açının bitim kenarı birim çemberi P(x,y) noktasında
kesiyorsa noktanın koordinatlarını bulunuz.
POH dik üçgeninde 𝜃 = 30𝑜 veriliyor.
30-60-90 Dik üçgeninde; 30o lik açı karşısındaki
kenar, hipotenüsün yarısı uzunlukta olacağından,
|PH|=
|𝑃𝑂|
2
1
= =𝑦
2
|OH|=√3|𝑃𝐻|
=
√3
2
;
=𝑥
√3 1
P(
, )
2 2
1. Birim çemberde; 60o lik merkez açının bitim kenarı çemberi P(x,y) noktasında
kesiyorsa, y kaçtır?
A)
𝟏
𝟐
B)
√3
2
C)
2. Birim çemberde; 𝜃 = − 𝜋4
√2 √2
( , )
2 2
B)
𝟏
√3
2
D) - 𝟐
B) 𝟐
C)
4. Birim çember üzerindeki
E) -
√3
2
ise P(x,y) aşağıdakilerden hangisidir?
√2 √2
(− , )
2 2
3. Birim çember üzerindeki
A)
𝟏
√2
2
√2
√2
,− )
2
2
C) (
D) (−
√2
√2
,− )
2
2
1
2
E) (− ,
√3
)
2
1
P(- 2 , 𝑦) noktası için y aşağıdakilerden hangisi olabilir?
√2
2
𝟏
D) 0
1
2
P(− ,
√3
)
2
E) - 𝟐
noktasının O başlangıç noktasına göre
simetriği aşağıdakilerden hangisidir?
1
2
A) ( ,
√3
)
2
1
2
B) ( , −
√3
)
2
1
2
C) (− , −
√3
)
2
1
2
D) (− ,
√3
)
2
E)(
1
√3
,− )
2
2
8
AÇININ STANDART GÖSTERİMİ,
GENİŞ AÇILARIN , DAR AÇILAR TÜRÜNDEN İFADESİ
Açının köşesi O noktası ile ve başlangıç kenarı da
Ox ekseni ile çakıştırılarak yönü, tur sayısı ve bitim
kenarının Ox ekseni ile yaptığı açı belirlenir.
Soldaki şekilde;
-450, -4050 ve 315o …
derecelik açıların,
sağdaki şekilde;
35o, 3950 ve -3250 …
derecelik açıların
standart gösterimi.
90𝑜 < 𝜃 < 360𝑜 ,
𝜋
2
< 𝜃 < 2𝜋 olmak üzere 𝜃 açısına karşı gelen dar açı 𝜃′ dersek;
1.
Standart gösterimi verilen açı kaç derece olabilir?
A)-1500
B)2100
C)5700
D)9300
E)-5100
2.
Standart gösterimi verilen açının bitim kenarı 0x ekseni ile 300 lik
dar açı oluşturuyorsa bu açının esas ölçüsü kaç radyandır?
A) 𝜋/6
B) 𝜋/3
C) 𝜋/2
D) 5𝜋/6
E) 7𝜋/6
9
SİNÜS FONKSİYONU
Her  gerçel sayısına birim çemberde karşı gelen
P(x, y) noktasının;
|PH| = y ordinatına  gerçel sayısının sinüs’ ü denir.
Bu durumda; 00 lik açının bitim kenarı, birim çemberi
A(1,0) noktasında keser. Noktanın ordinatı 0 dır.
sin 00 = 0 dır.
Benzer şekilde; 90o lik açının bitim kenarı birim çemberi B(0,1) noktasında keser.
Noktanın ordinatı 1 dir. sin 90o = 1 dir.
sin 1800 = 0 , sin 270o = -1
I. ve II. Bölgedeki açılar için; (𝜃 𝑣𝑒 𝜋 − 𝜃)
Bu bölgelerde ordinatlar pozitif olduğundan açıların
sinüsleri pozitiftir.
sin (𝝅 − 𝜽) = 𝒚 = 𝒔𝒊𝒏𝜽
III. ve IV. Bölgedeki açılar için; (𝜋 + 𝜃 𝑣𝑒 − 𝜃)
Bu bölgelerde ordinatlar negatif olduğundan açıların
sinüsleri negatiftir.
sin (𝝅 + 𝜽) = 𝒔𝒊𝒏(−𝜽) = −𝒚 = −𝒔𝒊𝒏𝜽
−𝟏 ≤ 𝒔𝒊𝒏 𝜽 ≤ 𝟏
sin : R → [-1,1]
;
sin(𝜃 + 𝑘2𝜋) = 𝑠𝑖𝑛𝜃
10
sin 45o nin değerini hesaplayınız.
PHO ikizkenar dik üçgeninde;
|OP|=1,
|OH| = |PH| = x = y
x2 + x2 = 12
Pisagor teoremi
2x2=1,
x=y=
sin 45o =y=
√2
2
1
√2
=
√2
2
olur ki
P(
√2 √2
, )
2 2
I. BÖLGE
sin 135o = sin (1800-450) = sin 450 =𝑦 =
√2
2
sin 2250 = sin(1800+450) = -sin 450 =-y= -
II. BÖLGE
√2
2
III. BÖLGE
sin 3150 = sin(3600-450) = sin(-450) = - sin 450 =-y= -
√2
2
IV. BÖLGE
1. sin 5400
2. sin(− 7𝜋2)
ifadesinin değeri nedir?
A) -1
B)0
C)1
D)1/2
E)√2/2
ifadesinin değeri nedir?
A) -1
B)0
C)1
D)1/2
E)√2/2
3. sin(-2100)
A)−√3/2
4.
11𝜋
sin 6
ifadesinin değeri nedir?
B) -1/2
C) 1/2
D) √3/2
E) √2 /2
ifadesinin değeri nedir?
A)−√3/2
B) -1/2
C) 1/2
D) √3/2
E) √2 /2
11
KOSİNÜS FONKSİYONU
Her  gerçel sayısına birim çemberde karşı gelen
P(x,y) noktasının;
|OH| = x apsisine  gerçel sayısının kosinüs’ ü ,
Bu durumda; 00 lik açının bitim kenarı, birim çemberi
A(1,0) noktasında keser. Noktanın apsisi 1 dir.
cos 00 = 1 dir.
Benzer şekilde; 90o lik açının bitim kenarı birim çemberi B(0,1) noktasında keser.
Noktanın apsisi 0 dır. cos 90o = 0 dir.
cos 1800 = -1 , cos 270o = 0
I. ve IV. Bölgedeki açılar için; (𝜃 𝑣𝑒 2𝜋 − 𝜃)
Bu bölgelerde apsisler pozitif olduğundan açıların
kosinüsleri pozitiftir.
cos (𝟐𝝅 − 𝜽) = 𝒄𝒐𝒔(−𝜽) = 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝜽
II. ve III. Bölgedeki açılar için; (𝜋 − 𝜃 𝑣𝑒 𝜋 + 𝜃)
Bu bölgelerde apsisler negatif olduğundan açıların
kosinüsleri negatiftir.
cos (𝝅 − 𝜽) = 𝐜𝐨𝐬(𝝅 + 𝜽) = −𝒙 = −𝐜𝐨𝐬 𝜽
−𝟏 ≤ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 ≤ 𝟏
cos : R → [-1,1]
;
cos(𝜃 + 𝑘2𝜋) = 𝑐𝑜𝑠 𝜃
12
𝝅
𝟑
COS
ün değerini hesaplayınız.
𝝅 180𝑜
𝟑
𝜋
𝝅
𝟑
radyan = .
= 60𝑜
PHO dik üçgeni 300-600-90o üçgeni olup, 300 lik açı
karşısındaki [OH] kenarının uzunluğu [OP] hipotenüsünün
yarısıdır.
|OP|=1 olduğundan, |OH|=x=1/2 ve |PH|=𝑦 = √3/2 dir.
1 √3
P( ,
) olduğu bulunur ki;
2 2
cos
𝝅
=
𝟑
cos
2𝜋
cos
4𝜋
𝑐𝑜𝑠
3
3
5𝜋
3
𝟏
dir.
𝟐
I. BÖLGE
𝜋
𝜋
1
3
3
2
𝜋
𝜋
1
3
3
2
= cos(𝜋 − )=− cos = −𝑥 =
= cos(𝜋 + )=− cos = −𝑥 =
= cos 2𝜋 −
𝜋
3
= cos −
𝜋
3
II. BÖLGE
III. BÖLGE
𝜋
1
3
2
= 𝑐𝑜𝑠 = 𝑥 =
IV. BÖLGE
Birim çemberden faydalanarak trigonometrik fonksiyonları tanımladığımızda;
cos 𝜃 değeri Ox eksenindeki sayılarla ifade edildiğinden, Ox eksenine
KOSİNÜS EKSENİ,
sin 𝜃
değeri Oy eksenindeki sayılarla ifade edildiğinden, Oy eksenine
SİNÜS EKSENİ denir.
1. cos 5100
ifadesinin değerini bulunuz.
A)−√3/2
2. cos(-150 )
0
A)−√3/2
3. cos
17𝜋
4
13𝜋
)
3
A)1/2
C) 1/2
D) √3/2
E) √2 /2
ifadesinin değerini bulunuz.
B) -1/2
C) 1/2
D) √3/2
E) √2 /2
ifadesinin değerini bulunuz.
A)1/2
4. cos(-
B) -1/2
B) -√2 /2
C) 0
D) √2 /2
E) √3/2
ifadesinin değerini bulunuz.
B) -√2 /2
C) 0
D) √2 /2
E) √3/2
13
TANJANT FONKSİYONU
[OP ışını, 𝜃 açısının bitim kenarı olmak üzere;
[OP ışınının x=1 doğrusunu kestiği T(1, t) noktasının
t ordinatına  gerçel sayısının tanjant’ı denir.
t = tan 𝜽
x=1 doğrusuna da TANJANT EKSENİ adı verilir.
OAT ve OHP üçgenlerinin benzerliğinden;
tan 𝜽 =t =
cos
𝜋
2
= cos
tan : R-{

2
𝒚
𝒙
3𝜋
2
=
𝒔𝒊𝒏𝜽
|𝑂𝐴|
= |𝑂𝐻|
⇒
𝑡
𝑦
=
1
𝑥
(x≠ 0)
𝒄𝒐𝒔𝜽
=0
|𝐴𝑇|
|𝐻𝑃|
olduğundan
 k . }  R
tan
𝜋
2
ve tan
3𝜋
2
TANIMSIZ
tan (𝜃 + 𝑘𝜋) = 𝑡𝑎𝑛 𝜃
;
KOTANJANT FONKSİYONU
Yukarıdaki şekilde ; [OP ışının y=1 doğrusunu kestiği K(k,1) noktasının k apsisine
𝜃 gerçel sayısının kotanjantı denir.
k = cot 𝜽
y = 1 doğrusuna da KOTANJANT EKSENİ adı verilir.
KBO ve OHP üçgenlerinin benzerliğinden;
cot
𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝜽
𝒚
𝒔𝒊𝒏 𝜽
𝜽=𝒌= =
sin 0 = sin 𝜋 = 0
cot : R-{k𝜋} → 𝑅
(y≠ 0)
olduğundan
;
|𝐾𝐵|
|𝑂𝐻|
|𝐵𝑂|
= |𝐻𝑃|
tan 𝜃 =
cot 0 ve cot 𝜋
⇒
𝑘
𝑥
=
1
𝑦
1
cot 𝜃
TANIMSIZ
cot (𝜃 + 𝑘𝜋) = 𝑐𝑜𝑡 𝜃
14
I ve III. Bölgedeki açılar için (𝜃 𝑣𝑒 𝜋 + 𝜃) ; Bu bölgelerde T(1,t) noktalarının
t ordinatları ve de K(k,1) noktalarının k apsisleri pozitif olduğundan açıların tanjant ve
kotanjantları pozitiftir.
II. ve IV. Bölgedeki açılar için (𝜋 − 𝜃 𝑣𝑒 − 𝜃); Bu bölgelerde T(1,t) noktalarının
t ordinatları ve de K(k,1) noktalarının k apsisleri negatif olduğundan açıların tanjant ve
kotanjantları negatiftir.
𝐜𝐨𝐭 −
𝟑𝝅
𝟒
değerlerini hesaplayınız.
3𝜋
Açının önce Esas ölçüsünü bulalım.
−
Geniş açıyı dar açı cinsinden yazalım.
5𝜋
4
4
+ 2𝜋 =
=𝜋+
5𝜋
4
𝜋
4
Açının bitim kenarı III. Bölgede olup PHO dik üçgeninde;
m(POH)=
𝜋
4
𝑟𝑎𝑑𝑦𝑎𝑛 = 45𝑜
dir.
POH ikizkenar dik üçgeninde, hipotenüs olan OP birim çember nedeniyle 1 birimdir.
|PH|2+|HO|2= 1
|PH|=|HO| olup Pisagor teoreminden;
P noktası III. Bölgede olduğundan
P(-
√2
2
,-
√2
)
2
;
cot
−
3𝜋
4
= cot
√2
x=y=- 2
5𝜋
4
ve
|PH|=|HO|=
√2
2
olur.
= cot 𝜋 +
𝜋
4
𝜋
𝑥
4
𝑦
= 𝑐𝑜𝑡 =
=
√2
2
√2
−
2
−
=1
Ayrıca, OP doğrusu x=1 ve y=1 doğrularının kesim noktası (1,1) den geçer.
(Karede köşegen kenarlarla 450 lik açı yapar.)
Bu durumda T ve K noktaları da çakışır.
K(1,1) noktasının apsisi olan 1 , aranan yanıttır.
cot
−
3𝜋
4
=1
15
1. 𝐭𝐚𝐧(−𝟐𝟒𝟎𝒐 )
2.
3.
nin değerini bulunuz.
B) -√𝟑
𝑨) √𝟑
4𝜋
cot(− )
3
C) 1/√𝟑
B) -√𝟑
𝟕𝝅
tan 𝟐
nin değerini bulunuz.
4. cot
780
A)-√𝟑
C) 1/√𝟑
B) 0
0
E) 1
D) -1/√𝟑
E) 1
ün değerini bulunuz.
𝑨) √𝟑
A) -1
D) -1/√𝟑
C) 1
D) √𝟑
E) Tanımsız
nin değerini bulunuz.
B) -1/√𝟑
C) 1/√𝟑
D) √𝟑
E) 0
1996 ÖYS
O merkezli Birim çember. A, B çember üzerinde.
A∈ 𝑂𝑥 ekseni,
BD⊥OA,
m(BOD)=𝛼
Şekildeki O merkezli Birim çemberde; cos 𝛼 = |𝐴𝐵| olduğuna
göre, |𝐴𝐵| kaç birimdir?
A)√3 + 2
B) √3 + 1
C) √3
D) √3 − 1
E) √3 − 2
Birim çemberde |OB|=1 ve Kosinüs fonksiyonunun tanımından |OD|=cos 𝛼 dır.
cos 𝛼 = |𝐴𝐵| verildiğinden; |OD|=|AB|=x dersek
BDO dik üçgeninde Pisagor teo: |OD|2 + |BD|2 =|OB|2 ⇒
x2+|BD|2=1 ⇒ |BD|2=1-x2
|OA|=|OD|+|DA|=x+|DA|=1 ⇒ |DA|=1-x
BDA dik üçgeninde Pisagor teo: |DA| 2+|BD|2=|AB|2 ⇒ (1-x)2+ 1-x2=x2
⇒ x2+2x-2=0
denkleminin kökleri: x1,2 =±√3 − 1
Uzunluk negatif olamayacağından
|AB| = x = √3 − 1 dir.
16
SEKANT VE KOSEKANT FONKSİYONLARI
P noktasından birim çembere çizilen teğetin ;
x eksenini kestiği E(s, 0) noktasının
s apsisine  gerçel sayısının sekant’ı ,
y eksenini kestiği F(0, c) noktasının c ordinatına da 
gerçel sayısının kosecant’ı denir.
sec  = s
csc  = c
OHP ve OPE üçgenlerinin benzerliğinden;
sec
cos
𝜽=𝒔=
𝜋
2
= cos
sec : R-{

2
𝟏
(x≠ 0)
𝒙
3𝜋
2
;
olduğundan
=0
|𝑂𝑃|
|𝐸𝑂|
sec
sec
|𝑂𝑃|
⇒
1
𝑠
=
𝑥
1
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝜽
𝑣𝑒
2
𝑠𝑒𝑐
3𝜋
2
TANIMSIZ
 k . }  R-(-1, 1)
|𝑂𝑃|
OHP ve FPO üçgenlerinin benzerliğinden;
csc
𝜽=
𝜋
|𝑂𝐻|
=
𝜽=𝒄=
𝟏
𝒚
sin 0 = sin 𝜋 = 0
(y≠ 𝑜)
olduğundan
;
|𝐹𝑂|
csc
csc 0
|𝑃𝐻|
= |𝑂𝑃| ⇒
𝜽=
ve
1
𝑐
=
𝑦
1
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝜽
csc 𝜋
TANIMSIZ
csc : R-{ k . }  R-(-1, 1)
17
Tüm trigonometrik fonksiyonlar, Birim çember ve dik üçgen özellikleri kullanılarak
aşağıdaki şekilde özetlenebilir.
OCA dik üçgeninde; Pisagor teoremine göre,
|AC|2+|OC|2=|OA|2
|OA|=1,
sin2𝜽 + cos2𝜽 = 1
|AC|=sin 𝜃,
|OC|=cos 𝜃
olduğundan;
FOE dik üçgeninde; Öklid bağıntısına göre,
|OA|2=|AE|.|AF|
|OA|=1,
tan 𝜽. 𝒄𝒐𝒕 𝜽 = 𝟏
|AE|=tan 𝜃 ,
|AF|=cot 𝜃
olduğundan;
1. FOE üçgeninde; Öklid bağıntısına göre
aşağıdakilerden hangisidir?
A)sec2𝜃
B)csc2𝜃
C)sin2𝜃
cot 𝜃(𝑐𝑜𝑡 𝜃 + tan 𝜃) ifadesinin eşiti
D)cos2𝜃
2. OAE dik üçgeninde; Öklid bağıntısına göre
E)tan2𝜃
cos𝜃(sec𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) ifadesinin eşiti
aşağıdakilerden hangisidir?
A)sec2𝜃
B)csc2𝜃
C)sin2𝜃
D)cos2𝜃
3. OAE dik üçgeninde; Öklid bağıntısına göre
E)tan2𝜃
sec𝜃(𝑠𝑒𝑐𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) ifadesinin eşiti
aşağıdakilerden hangisidir?
A)sec2𝜃
B)csc2𝜃
C)sin2𝜃
D)cos2𝜃
5. FOE üçgeninde; Öklid bağıntısına göre
E)tan2𝜃
tan𝜃(𝑐𝑜𝑡 𝜃 + tan 𝜃) ifadesinin eşiti
aşağıdakilerden hangisidir?
A)sec2𝜃
B)csc2𝜃
C)sin2𝜃
D)cos2𝜃
E)tan2𝜃
18
AA1O dik üçgeninde; m(AOA1) = 𝜃 , |AO|=1, |AA1|=y=sin 𝜃 , |OA1|=x=cos𝜃
AA10 ≅ OKP (AKA) ,
m(OPK) = 𝜃 ,
sin(𝜃 + 90𝑜 ) =|PK|=|OA1|= cos𝜃 ,
II. BÖLGEDE sinüs pozitiftir.
cos(𝜃 + 90𝑜 ) =|KO|=|AA1|= - sin 𝜃
II. BÖLGEDE kosinüs negatiftir.
AA1O ≅ OTE (AKA) ,
m(OTE) = 𝜃 ,
o
sin(𝜃 −90 ) = |ET|= |OA1|= -cos 𝜃
IV. BÖLGEDE sinüs negatiftir.
cos(𝜃 −90o) = |OT|=|AA1|= sin 𝜃
IV. BÖLGEDE kosinüs pozitiftir.
AA1O dik üçgeninde; m(AOA1) = 𝜃 , |AO|=1, |AA1|=y=sin 𝜃 , |OA1|=x=cos𝜃
AA1O ≅ PEO
(AKA) ,
m(POE)=𝜃
O
sin(𝜃 ± 180 ) = |PE|=|AA1|= - sin 𝜃
III. BÖLGEDE sinüs negatiftir.
cos(𝜃 ± 180O) = |EO|=|OA1|= - cos 𝜃
III. BÖLGEDE kosinüs negatiftir.
19
AÇILARIN TRİGONOMETRİK DEĞERLERİNİN BULUNMASI
Verilen bir 𝜃 açısının Trigonometrik değerlerini bulmak için:
𝟎𝒐 ≤ 𝜽 ≤ 𝟗𝟎𝒐
İSE:


sin      cos 
2

sin → cos


cos     sin 
2

cos → sin


tan      cot 
2


tan → cot


cot      tan 
2

cot → tan
Tümler iki açıdan birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne, birinin tanjantı diğerinin
kotanjantına eşittir.
20
I. Bölgede tüm trigonometrik değerler POZİTİFTİR.
𝟎𝒐 ≤ 𝜽 < 𝟑𝟔𝟎𝒐
DEĞİL İSE:
Önce açının Esas ölçüsü bulunur.
Esas ölçüsü bulunan açının Bitim kenarının bulunduğu bölge belirlenir.
Verilen fonksiyonun o bölgedeki işareti kullanılır.
Dar açı türünden ifade edilir.
Bunun için 180 o den ne kadar küçük (180o - 𝜶) , II. BÖLGE
180o den ne kadar büyük (180o + 𝜶) , III. BÖLGE
3600 den ne kadar küçük (3600 - 𝜶) , IV. BÖLGE
( 00< 𝜶 < 90o )
bulunur.
cos(   )   cos
sin(    )  sin 
tan(    )   tan 
cot(   )   cot 
II. BÖLGE
cos(   )   cos
sin(    )   sin 
tan(    )  tan 
cot(   )  cot 
III. BÖLGE
cos(2   )  cos( )  cos 
sin( 2   )  sin(  )   sin 
tan( 2   )  tan(  )   tan 
cot( 2   )  cot(  )   cot 
IV. BÖLGE
180o ve 360o
ile karşılaştımalarda; fonksiyon değişmez, Trigonometrik değerin
o bölgedeki işareti kullanılır.
900 veya 2700
ile karşılaştırılmış ise; fonksiyon değiştirilir, Trigonometrik değerin
o bölgedeki işareti kullanılır.
21
𝑐𝑜𝑠
𝜋
−𝜃
2
−1
İfadesinin eşitini bulunuz.
1+𝑠𝑖𝑛(−𝜃)
𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
kosinüs, tümlerinin sinüsüne eşittir.
− 𝜃 = 𝑠𝑖𝑛𝜃
sin (-𝜃) = -sin 𝜃
IV. Bölgede sinüs negatiftir.
Yerlerine yazıldığında;
𝜋
𝑐𝑜𝑠 2 −𝜃 −1
1+𝑠𝑖𝑛(−𝜃)
1.
tan
𝜋
2
=
𝑠𝑖𝑛𝜃−1
1−𝑠𝑖𝑛𝜃
− 𝜃 . 𝑠𝑖𝑛𝜃
A) sin 𝜃
=
−(1−𝑠𝑖𝑛𝜃)
1−𝑠𝑖𝑛𝜃
= −1
bulunur.
ifadesinin eşitini bulunuz.
B) cos 𝜃
C) tan 𝜃
D) sec 𝜃
E) csc 𝜃
B)
2. sin( 5   )  sin( 4   )  sin(    )  sin( 7   )  ?
A) sin 𝜃
3.
4.
sin( 
B) cos 𝜃
C) 2 sin 𝜃
D) 2 cos 𝜃
9
3
  )  sin( 3   )  sin(
  )  sin( 5   )  ?
2
2
A) sin 𝜃 - cos 𝜃
B)2(sin 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)
sin( 90   )  cos(180   )
tan( 270   )  cot(360   )
A) sin 𝜃
B) cos 𝜃
C) sin 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃
eşiti hangisidir?
E) 0
eşiti hangisidir?
D)2(sin 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃) E) 0
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) -sin 𝜃
D) -cos 𝜃
E) 0
22
tan 155  tan 115
?
1  tan 155. tan 115
tan 25  a olduğuna göre;
ifadesinin değeri nedir?
Önce verilen açıları tanjantı bilinen açı (250) türünden yazalım:
tan 1550 = tan (1800 – 250)
tanjantın periyodu 1800 olduğundan, 1800 lik kısmı atılabilir.
= tan ( - 250)
- 250 IV. Bölgede dir. Bu bölgede tanjant negatiftir.
= - tan 250
=-a
900 veya 2700
tan 1150 = tan (900 + 25)
ile karşılaştırılmış ise; fonksiyon
değiştirilir, Trigonometrik değerin o bölgedeki işareti kullanılır.
tan( 900+ 𝜃) = −𝑐𝑜𝑡𝜃
900+ 𝜃 II. Bölgededir ve bu
bölgedetanjant negatiftir.
= −𝑐𝑜𝑡250
,
tan 25 =
1
,
𝑐𝑜𝑡250
cot 250 =
1
𝑎
1
= −𝑎
Bulunanları istenen ifadede yerlerine yazarsak;
tan155  tan115
;
1  tan155. tan115

1
𝑎
−𝑎−(− )
1
1+(−𝑎)(− )
𝑎
=
−𝑎+
1
𝑎
1+1
=
1−𝑎2
bulunur.
2𝑎
NOT: Bu soru, açıların toplam ve farklarının trigonometrik değerlerini öğrendikten sonra
değişik bir yol ile de çözülebilir.
1. tan 25  a
A)
olduğuna göre;
𝑎2 +1
B)
𝑎2 −1
2. tan    2
3
A) -2/√13
3. tan    2
3
A)
2+√13
2−√13
𝑎2 −1
𝑎2 +1
olduğuna göre;
B) 2/√13
olduğuna göre;
B)
2−√13
2+√13
tan 205  tan 115
 ? değeri nedir?
tan 245  tan 335
C)
𝑎2 +1
D)
1−𝑎2
𝑎2
E)
1−𝑎2
𝑎2 +1
𝑎2
sin( 90   )  cos(180   )
 ? değeri nedir?
tan( 270   )  cot(360   )
C) √13/2
D) -√13/2
E) 1
tan( 90   )  cos(180   )
 ? değeri nedir?
sin( 270   )  cot(  )
C)
2
2−√13
D)
2+√13
2
E) 1
23
DİK ÜÇGENDE DAR AÇILARIN TRİGONOMETRİK DEĞERLERİ:
sin  
Karşı dik k . b

Hipotenüs c
cos  
Kom şu dik k. a

Hipotenüs
c
tan  
Karşı dik k. b

Komşu dik k . a
cot  
Komş u dik k. a

Karş ı dik k. b
sec  
Hipotenüs
c

Komş u dik k. a
csc  
Hipotenüs
c

Karş ı dik k . b
Şekildeki dik üçgende 𝜃 açısının Trigonometrik değerlerini
hesaplayalım.
Şekilde; 𝜃 açısına komşu dik kenar 5 br., açının karşısındaki dik kenar 12 br. dir.
Pisagor teoreminden ; (a2=b2+c2)
sin 𝜃 =
𝐾𝑎𝑟ş𝚤 𝑑𝑖𝑘 𝑘.
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛ü𝑠
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛ü𝑠
=
12
13
13
=
5
13
sec 𝜃 = 𝐾𝑜𝑚ş𝑢 𝑑𝑖𝑘 𝑘. =
13
5
cos 𝜃 =
1
csc 𝜃 = 𝐾𝑎𝑟ş𝚤 𝑑𝑖𝑘 𝑘. = 12 𝑠𝑖𝑛𝜃
Hipotenüs uzunluğu =√52 + 122 = 13
𝐾𝑜𝑚ş𝑢 𝑑𝑖𝑘 𝑘.
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛ü𝑠
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛ü𝑠
1
= 𝑐𝑜𝑠𝜃
tan 𝜃 =
𝐾𝑎𝑟ş𝚤 𝑑𝑖𝑘 𝑘.
𝐾𝑜𝑚ş𝑢 𝑑𝑖𝑘 𝑘.
=
12
5
cot 𝜃 =
𝐾𝑜𝑚ş𝑢 𝑑𝑖𝑘 𝑘.
𝐾𝑎𝑟ş𝚤 𝑑𝑖𝑘 𝑘.
= 12 = 𝑡𝑎𝑛𝜃
5
1
24
1.
Şekildeki dik üçgende verilen 𝜃 açısı için;
cos𝜃 + cot 𝜃 toplamını bulunuz.
A)27/20 B)32/15 C)29/15 D)25/12 E)7/5
2.
Şekilde verilenlere göre;
sin B.tan C çarpımı kaçtır?
A) 3
B) 1/3
C) 2√2
D) 1/2√2
E) 2√2/3
3.
Şekildeki dikdörtgende;
|AE|=|EB|=|BC|
olduğuna göre
tan(∡EDC) + sin(∡AED) değeri kaçtır?
A) 1+√2
B) 1
C) √2/2
D)(1+√2)/2 E)(2+√2)/2
4.
tan 𝛼
A) 1
Özdeş karelerden oluşan yandaki şekilde;
kaçtır?
B)1/5
C)2/5
D)3/5
E)4/5
25
Şekildeki ABCD karesinde;
|AE| = 3.|EC| olduğuna göre ; tan(∡𝐴𝐸𝐵) kaçtır?
Bu tip sorularda gerekirse ek çizim yaparak verilen açının bir
dik üçgende dar açı olması sağlanır.
Ayrıca bir takım temel geometri bilgilerine de gereksinim
duyulabilir.
Bu soru için; Karenin diğer köşegeni çizildiğinde istenen
sağlanır. Çünkü karede köşegenler bir birini dik olarak
ortalar. AC⊥ 𝐵𝐷 ve |AP| =|PC|= |BP|=|PE| dir.
Bu durumda; |AE| = 3.|EC| verildiğinden
|BP| = 2.|PE| olur.
|𝐵𝑃|
BPE dik üçgeninde tan(∡𝐴𝐸𝐵) = |𝑃𝐸| =
2.|PE|
|𝑃𝐸|
=2
dir.
1.
ABCD dikdörtgeninde;
DE⊥AC , |AD|=4 ve |DC|=6 dır.
m(ADE)=𝛼 olduğuna göre tan 𝛼 kaçtır?
A) 2/3
B)3/2
C)2
D)3
E)10/3
2. ABC üçgeninde;
|BD|=|DC|=|AD| ve tan(∡𝐴𝐵𝐶) = 3/2 olduğuna
göre tan(∡𝐴𝐶𝐵) kaçtır?
A)2/3
3.
B)3/2
4. sin 420=cos 𝛼
0
A) 80
D) 5/6
E)6/5
Şekildeki ABC eşkenar üçgeninde;
|BD|=3.|DC| olduğuna göre
A)√3/2
C) 3/5
B) √3
ve tan 380=cot𝛽
B) 900
C) 1000
C) 2√3
tan(∡𝐴𝐷𝐶) kaçtır?
D)3√3
E)3
olduğuna göre; 𝛼 + 𝛽 kaç derece olabilir?
D) 1100
E) 1200
26
tan  
Şekildeki dik üçgende; verilen 𝜃 𝑎ç𝚤𝑠𝚤 𝑖ç𝑖𝑛
sin   cos   tan 
?
sec   csc   cot 
ABC üçgeninde;
olduğundan
tan  
𝜃
tan 𝜃
4 |𝐴𝐶|
=
3 |𝐵𝐶|
değerini bulunuz.
açısının karşısındaki dik kenar
|𝐴𝐶|
= |𝐵𝐶|
|𝐴𝐶| = 4
ve
, komşu dik kenar
|𝐵𝐶| = 3
Pisagor teoreminden; |AB|2 = 32 + 42 = 9+16=25
|𝐵𝐶|
|AB|=5 bulunur.
𝐾𝑎𝑟ş𝚤 𝑑𝑖𝑘 𝑘.
𝐾𝑜𝑚ş𝑢 𝑑𝑖𝑘 𝑘.
=
csc 𝜃 = 𝐾𝑎𝑟ş𝚤 𝑑𝑖𝑘 𝑘. = 4 = 𝑠𝑖𝑛𝜃 ; sec 𝜃 = 𝐾𝑜𝑚ş𝑢 𝑑𝑖𝑘 𝑘. = 3 = 𝑐𝑜𝑠𝜃 ; cot 𝜃 =
𝐾𝑜𝑚ş𝑢 𝑑𝑖𝑘 𝑘.
𝐾𝑎𝑟ş𝚤 𝑑𝑖𝑘 𝑘.
= 4 = 𝑡𝑎𝑛𝜃
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛ü𝑠
=
5
cos 𝜃 =
𝐾𝑜𝑚ş𝑢 𝑑𝑖𝑘 𝑘.
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛ü𝑠
,
alınabilir.
tan 𝜃 =
sin 𝜃 =
4
5
|𝐴𝐶|
dır.
eşitliğinde,
𝐾𝑎𝑟ş𝚤 𝑑𝑖𝑘 𝑘.
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛ü𝑠
4
ise
3
1
=
𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛ü𝑠
3
5
5
1
𝐵𝑢𝑙𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟𝑙𝑒𝑟 𝑦𝑒𝑟𝑙𝑒𝑟𝑖𝑛𝑒 𝑦𝑎𝑧𝚤𝑙𝑑𝚤ğ𝚤𝑛𝑑𝑎
=
2
𝑠𝑜𝑛𝑢𝑐𝑢𝑛𝑎 𝑢𝑙𝑎ş𝚤𝑙𝚤𝑟.
35
1. Bir dik üçgende 𝜃 dar açısı için
A)60/169
B)25/156
5
cos 𝜃 = 13
C)144/65
2.
4
3
3
1
4+3−4
5 5 3
5+5−3
3 4 4
ise sin 𝜃. 𝑡𝑎𝑛 𝜃 çarpımını bulunuz.
D)12/5
E)13/12
ABC üçgeninde; AD⊥ 𝐵𝐶 , |AB|=9 ,
m(BAD)=m(ACB) ve cos(∡𝐵𝐴𝐷) = 4/5
olduğuna göre; |AC| kaç birimdir?
A)6
3. Bir dik üçgende dar açıların ölçüleri
sin2𝛼 − 𝑐𝑜s2𝛽
A)-1
B)0
B)8
C)9
D)12
E)15
𝛼 𝑣𝑒 𝛽 dır. Bu dik üçgende;
işleminin sonucu kaçtır?
C) 1
D)2
E)1/2
27
ABC dik üçgeninde verilen açı ve kenardan
yararlanarak dik üçgenin diğer kenar uzunluklarını
bulurmusunuz?
Dik üçgende dar açılar toplamından; mA+mB=90o ; 35o+mB=900
;
mB=900-350=550
sin 𝐴 =
𝑎
𝑐
𝑡𝑎𝑛𝚤𝑚𝚤𝑛𝑑𝑎𝑛:
sin 350 =
𝑎
𝑎′ 𝑦𝚤 ç𝑒𝑘𝑒𝑟𝑠𝑒𝑘:
16
𝑎 = 16. sin 350
cos 𝐴 =
𝑏
𝑡𝑎𝑛𝚤𝑚𝚤𝑛𝑑𝑎𝑛:
𝑐
cos 350 =
𝑏
𝑏′ 𝑦𝑖ç𝑒𝑘𝑒𝑟𝑠𝑒𝑘
16
𝑏 = 16. cos 350
1.
A açısı ve b kenarı verilen ABC dik
üçgeninde c hipotenüs uzunluğunu bulunuz.
A)10.sin 32o
B)10.cos 32o C)10/cos 32o
D)10/sin 320 E)10.tan 32o
2.
Şekildeki ağacın gölge boyu 25 m., mC=31o ise
ağacın AB boyu kaç metredir?
A)25.cot 31o
B) 25.tan 31o
C)25/cos 31o
0
D)25/tan 31
E) 25.sin 31o
3.
Şekildeki ABC, ACD ve ADE dik üçgenlerinde mA=𝜃,
|AB|=a , üçgenlerde mB=mC=mD=90o dir.
x uzunluğunun a ve 𝜃 türünden eşiti hangisidir?
A)a/cos𝜃
B)a/sin𝜃
C)a/cos3𝜃
D)a/sin3𝜃
E)a/3cos𝜃
4.
Nehir kıyısında C noktasında bulunan kişi ile karşı
kıyıdaki B noktasını birleştiren doğru kıyı ile 390 lik açı
yapmaktadır. B nin karşı kıyıdan uzaklığı w, |BC|=80 m.
İse w uzaklığı ne kadardır?
A) 80.tan390
B) 80.cot390
C) 80/cos390
D) 80/tan390
E) 80.sin390
28
Şekilde; Kenar uzunlukları 1 br. olan küpte [BC] taban köşegeni ve
[AB] cisim köşegeni çizilmiştir.
m(ABC) = 𝜃 olduğuna göre;
sin 𝜃. 𝑐𝑜𝑠 𝜃. 𝑡𝑎𝑛 𝜃. 𝑐𝑜𝑡𝜃
çarpımını hesaplayınız.
BDC dik üçgeninde; mD=90o
Pisagordan:
|𝐵𝐶|2
2
,
2
=1 +1 =2
BC hipotenüs (karenin köşegeni)
;
|BC|= 2 br.
ACB dik üçgeninde ( AC  BC ) : (Üç dikme teoremi) Tabana dik olan doğru, tabandaki
doğrulara da diktir.
2
|𝐴𝐵|2 = (√2) + 12 = 3 ; |AB|=
𝐴𝐶𝐵 𝑑𝑖𝑘 üç𝑔𝑒𝑛𝑖𝑛𝑑𝑒; (𝐴𝐵 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛ü𝑠) 𝑃𝑖𝑠𝑎𝑔𝑜𝑟𝑑𝑎𝑛
3
br.
ACB dik üçgeninde 𝜃 açısı için işlem yapıldığında;
sin  
tan  
AC
AB
AC
BC

1
,
3
cos  
BC

1
,
2
cot  
BC
sin𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑡𝑎𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑡𝜃
=
AB
AC

2
3

2
1
1
Yerlerine yazıldığında ;
√2 1 √2
. . .
3
√ √3 √2 1
=
√2
3
bulunur.
NOT: Kenar uzunlukları a olan küpte [AB] CİSİM KÖŞEGENİnin uzunluğu √3. 𝑎 dır.
Soruda tanjant ve kotanjantı hesaplamaya gerek yoktu. Çünkü tan𝜃. 𝑐𝑜𝑡𝜃 = 1 𝑑𝑖𝑟.
1.
Şekildeki dikdörtgenler pirizmasında
verilenlere göre;
işleminin sonucu kaçtır?
1. 1/2
B)1
C)2/3
2. Yukarıdaki şekilde
A) 1
B)3/4
D)3/4
tan y kaçtır?
C)5/6
D)4/5
E)5/3
E)5/4
29
PRATİK YÖNTEM:
00
30o
45o
60o
90o
açılarının altlarına
0
1
2
3
4
sayıları yazılır.
Kareköklerinin yarısı açıların sinüslerini verir.
Bulunan sayılar ters sırada yazılırsa kosinüsler bulunur.
Oranları da tanjant ve tersi de kotanjantları verir.
30o , 45o , 60o derecelik açılara sahip dik üçgenler, özel üçgenlerdir.
30o, 60o, 90o Dik üçgeninde 30o lik açı karşısındaki dik kenarın uzunluğu, hipotenüsün
yarısına eşittir. (√3 katı da diğer dik kenar uzunluğunu verir)
45o lik açılara sahip dik üçgenler ikizkenar üçgenlerdir.
30
sin 300 . cos 300 . tan 300 . cot 300 . sec 300 . csc 300 = ?
Çarpımının değerini bulunuz.
Bir 30o-60o-90o dik üçgeni çizer ve hipotenüs uzunluğuna da 2 br. dersek;
30o lik açı karşısındaki kenar 1 br. , 600 lik açı karşısındaki kenar √3 br. olacaktır.
(30o, 60o, 90o Dik üçgeninde 30o lik açı karşısındaki dik kenarın uzunluğu, hipotenüsün
yarısına eşittir.) (√3 katı da diğer dik kenar uzunluğunu verir)
Bu durumda; 30o lik açı karşısında 1 br., komşu dik kenar √3 br.
60o lik açı karşısında √3 br., komşu dik kenar 1 br. olduğundan
Değerleri yerlerine yazıldığında;
1 √3 √3
2
. . √3. . 2
2 3
√3
sin 300 . cos 300 . tan 300 . cot 300 . sec 300 . csc 300 = 2 .
= 1 bulunur.

DİKKAT !
Tanım ve Örneklerden görülebileceği gibi,
sin, cos ve tan
fonksiyonlarının çarpımsal tersleri sırası ile
csc, sec ve cot
fonksiyonlarıdır.
𝐜𝐬𝐜 𝜽 =
𝟏
𝐬𝐢𝐧 𝜽
𝐬𝐞𝐜 𝜽 =
𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝜽
𝐜𝐨𝐭 𝜽 =
𝟏
𝐭𝐚𝐧 𝜽
Bu yüzden altı değerden üçü diğerlerinin çarpımsal tersleri olduğundan SONUÇ=1 dir.
1. cos 00 . cos 300 . cos 45𝑜 . cos 600 . cos 900 =?
𝐴)0
B) 1
C)√2/4
D)√6/4
Çarpımının değerini bulunuz.
E)√6/8
2. Aşağıdaki bağıntılardan hangisi yanlıştır?
A) sin1500=1/2
B)cos2400=-1/2
0
D)cos(-60 )=1/2
C)tan3150=-1
E)sin(-420 )=−√3/2
0
3. 300
lik bir açının bitim kenarının birim çemberi kestiği noktanın apsisi kaçtır?
A) 1/2
B) √3/2
C)√2/2
D)1
E)0
31
TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
Konunun daha iyi anlaşılması için öncelikle Ters Fonksiyon kavramını bir hatırlayalım.
TERS FONKSİYON:
f:A  B , x  y=f(x)
1-1 ve örten bir fonksiyon olsun.
f :B  A , y  x=f (y)
-1
-1
Kısaca y=f(x) iken
fonksiyonuna f fonksiyonunun TERSİ denir.
x=f-1(y) dir.
Şimdi Trigonometrik fonksiyonlarda bu koşulları sağlamaya çalışalım.
f(𝜃) = sin 𝜃
ve
tabloda gösterelim.
g(𝜃) = cos 𝜃
fonksiyonlarının [−𝜋, 𝜋] aralığında aldığı değerleri
Tablodan faydalanarak bu iki fonksiyonun verilen aralıkta grafiklerini çizelim.
İncelendiğinde görülecektir ki her iki fonksiyonda verilen aralıkta bire-bir ve örten
olmadığından terslerinden söz edilemez.
f: sin
f-1: arc sin
𝜋 𝜋
[− 2 , 2 ] → [-1,1]
𝜋 𝜋
[-1,,1] → [− 2 , 2 ]
f: cos
[0,𝜋] → [-1,1]
f-1: arc cos
[-1,1] → [0,𝜋]
32
𝜋 𝜋
2 2
f: tan
(− , ) → R
𝜋 𝜋
f-1: arc tan
R → (− 2 , 2 )
f: cot
(0,𝜋) → 𝑅
f-1: arc cot
𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔
√𝟑
𝟐
𝑅 → (0,𝜋)
=𝒙
değerini bulunuz.
Ters gonksiyon tanımından;
x=f-1(y) dir.
y=f(x) iken
Y = f(x) = cos x için x = f-1(y) = cos-1 y = arc cos y dir.
cos 𝜃 = 𝑎
𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠
√3
2
cos 𝑥 =
𝑖𝑘𝑒𝑛
=𝑥
√3
2
𝜋
cos 6 =
,
√3
2
f-1: arc cos
olduğundan
𝑎𝑟𝑐 cos 𝑎 = 𝜃
nedir? sorusu aslında ‘’ kosinüsü
olan açı kaç derecedir(radyan) ?’’
√3
2
√3
2
aralığında ;
0𝑜 ≤ 𝜃 ≤ 180𝑜
olan x açısı 30o
olduğundan
√3
2
cos 30𝑜 =
,
sorusuna dönüşür.
0≤𝜃≤𝜋
Kosinüsü
f : cos
𝑐𝑜𝑠−1
olduğundan
√3
2
(
𝜋
6
) dir.
=
𝜋
6
= 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠
√3
2
= 𝑎𝑟𝑐 𝑐𝑜𝑠
𝑐𝑜𝑠 −1
√3
2
√3
2
dır.
= 30𝑜
Veya :
dir.
NOT: 𝒂𝒓𝒄 𝒄𝒐𝒔 𝒂 = 𝜽 sorusunda genel olarak 𝜃 açısı [0,𝜋] aralığında alınır.
1. arc tan(−√3) = 𝑥
A)– 600
B) -300
2. arc sin(√22) = 𝑥
eşitliğinde x değeri nedir?
C) 00
D) 300
eşitliğinde x değeri kaçtır? A)-300
E) 600
B)-450
C) 300 D)450 E)600
33
SİNÜS TEOREMİ:
Herhangi bir ABC üçgeninde:
Kenar uzunlukları ile karşılarındaki açıların sinüsleri orantılıdır.
Orantı sabiti : 2R Çevrel çember çapıdır.
a
b
c


 2R
sin A sin B sin C
NOT:Üçgenin iki açısının ölçüsü ve bir kenar uzunluğu veya iki kenarının uzunluğu ve bir
açısının ölçüsü biliniyorsa (Çevrel çember yarıçapı söz konusu ise)
sinüs teorem uygulanır.
Şekildeki ABC üçgeninde; mA= 300 , a =12 cm. verilmiştir.
Üçgenin Çevrel çember yarıçapını bulunuz.
ABC Üçgeninde ; Bir açısının ölçüsü ve karşı kenar uzunluğu verilmiş, çevrel çember
yarıçapı sorulduğundan Sinüs Teoremi gereğince:
𝑎
sin 𝐴
= 2𝑅
12
sin 30𝑜
=
12
1
2
Verilenler yerine yazıldığında;
= 24 = 2𝑅
sin 300 = 1/2
den
R=12 cm. bulunur.
UYARI : Sorunun çemberde OAB eşkenar üçgeni oluşturarak sentetik çözümü de vardır.
1. ABC üçgeninde;
derecedir?
a = 10 cm. , c = 10√3 , mA =30O ise C geniş açısının ölçüsü kaç
A) 60O
B) 1200
C) 1350
D) 1500
E) 2400
2. ABC üçgeninde; mA=1150,
A)11.sin650/20
a=20 br., b=11 br. ise sin B yi bulunuz.
B)20.sin115o/11
C)11.cos115o/20 D)11/20
E)20/11
3. Köşeleri, 5 cm. yarıçaplı çember üzerinde bulunan ABC üçgeninde A açısının ölçüsü
600 ise a kenar uzunluğu kaç cm. dir? A)5
B)5√3/2
C)5√3
D)6
E)10
34
4.
Şekildeki ABC üçgeninde;
|BD|=|DC|, mBAD= 𝛼 , mDAC= 𝛽 𝑣𝑒
mBDA= 𝜃 dır.
2 cot 𝜃 = 𝑐𝑜𝑡𝛼 − 𝑐𝑜𝑡𝛽
|𝐴𝐷|
ACD üçgeninde sinüs teoreminden;
𝑠𝑖𝑛𝐵
=
|𝐵𝐷|
olduğunu gösteriniz.
, 𝜶 + 𝜽 + 𝑩 = 𝟏𝟖𝟎𝟎
𝑠𝑖𝑛𝛼
B=1800-( 𝜶 + 𝜽) ,
|AD|=
ADC üçgeninde sinüs teoreminden;
|𝐴𝐷|
𝑠𝑖𝑛𝐶
sinB=𝜶 + 𝜽
|𝑩𝑫|𝒔𝒊𝒏(𝜶+𝜽)
𝒔𝒊𝒏𝜶
=
|𝐶𝐷|
𝑠𝑖𝑛𝛽
, 𝜷+𝑪=𝜽
,
C=𝜽 − 𝜷
sinC=sin(𝜽 − 𝜷)
|AD|=
|𝑩𝑫|𝒔𝒊𝒏(𝜶+𝜽) |𝑪𝑫|𝒔𝒊𝒏(𝜽−𝜷)
𝒔𝒊𝒏𝜶
=
𝒔𝒊𝒏𝜷
,
cos𝜽 + 𝒄𝒐𝒕𝜶. 𝒔𝒊𝒏𝜽 = 𝒔𝒊𝒏𝜽. 𝒄𝒐𝒕𝜷 − 𝒄𝒐𝒔𝜽
|𝑪𝑫|𝒔𝒊𝒏(𝜽−𝜷)
𝒔𝒊𝒏𝜷
𝒔𝒊𝒏𝜶.𝒄𝒐𝒔𝜽+𝒄𝒐𝒔𝜶.𝒔𝒊𝒏𝜽
𝒔𝒊𝒏𝜶
=
𝒔𝒊𝒏𝜽.𝒄𝒐𝒔𝜷−𝒄𝒐𝒔𝜽.𝒔𝒊𝒏𝜷
𝒔𝒊𝒏𝜷
iki tarafı da sin𝜽 ya böldüğümüzde;
cot𝜶 + 𝒄𝒐𝒕𝜽 = 𝒄𝒐𝒕𝜷 − 𝒄𝒐𝒕𝜽
2 cot 𝜽 = 𝒄𝒐𝒕 𝜷 − 𝒄𝒐𝒕 𝜶
35
KOSİNÜS TEOREMİ
Herhangi bir ABC üçgeninin üç kenar uzunluğu ve bir açısı
arasında ;
bağıntıları vardır.
NOT: Üçgenin iki kenar uzunluğu ve bir açısının ölçüsü veya üç kenarının uzunluğu
biliniyorsa kosinüs teoremi uygulanır.
ABC üçgeninde; b = 2√3cm. , c = 6 cm. ve mA = 30o ise üçgenin a kenar uzunluğu kaç cm.
dir?
Üç kenar uzunluğu ve bir açı söz konusu olduğundan, Kosinüs teoreminin verilen açının
bulunduğu eşitliği kullanalım.
a2 = b2 + c2 -2b.c.cos A
verilenleri yerlerine yazalım;
a2 = (2√3)2 + 62 – 2. 2√3.6.cos 300
a2 = 12 +36 -24√3.
√3
2
= 12
;
cos 300 =
a = 2√3
√3
2
Meğer üçgen ikizkenarmış

Trigonometri üçgen çözümü olduğundan, verilenler ve bulunandan yararlanarak diğer
elemanları sentetik olarak bulunabilir. ( mB=300 , mC=1200 )
1. Bir ABC üçgeninde; a=2 cm. ,
A)300
B) 450
b=√6 cm. , c=1+√3 cm. ise mA kaç derecedir?
C)600
D) 1200
2.
E)1350
Şekilde; A,E,D ve B,E,C doğrusal.
|AE|=|BE|=|CE|=3, |AB|=2, |DE|=6 birimdir.
Verilenlere göre |CD|=x kaç birimdir?
A) 4
B)√17
C)2√3
D)2√5
E)5
36
TANJANT TEOREMİ:
Bir ABC üçgeninin iki açısı ve bu açılar karşısındaki kenarları arasında;
a b

ab
A B
2
A B
tan
2
tan
eşitliği vardır.
ÜÇGENSEL BÖLGENİN ALANI:
Bir ABC üçgensel bölgesinin alanı: İki kenarı ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımının
yarısına eşittir.
1
1
1
bc. sin A = ac. sin B = ab. sin C
2
2
2
A(ABC) =
dir.
EK BİLGİ: Üçgenin elemanları ile alanı arasında aşağıdaki bağıntılar da vardır.
1
2
A(ABC) =
1
1
a.ha = 2 b.hb = 2 c.hc
1
2u = a+b+c ; u = 2 (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) ve
ABC üçgeninde; mA=1200 , b=7cm., c=11cm.
olduğuna göre A(ABC) kaç cm2 dir?
A(ABC) =
1
2
b.c.sin A
1
2
Alan formülünde verilenler yerlerine yazıldığında;
= .7.11.sin1200
=
77 √3
.
2 2
=
sin120o = sin(1800-600) = sin 600 =
√3
2
(II. Bölge)
77√3
cm2
4
37
EK ÇÖZÜM: C köşesinden AB kenarına CH dikmesi çizildiğinde;
CHA, 300-600-900 dik üçgeninde |CH|= hc = 7√3/2 (A daki dış açı 600)
A(ABC) =
1
2
a.ha =
A(ABC) =
1
2
c.hc = 2 . 11.
1. a=5 cm. ,
A)16
1
2
b.hb =
1
1
2
c.hc
7√3
2
=
Klasik alan formülünden
77√3
4
b=8 cm. ve c=11 cm. olan ABC üçgeni için A(ABC) kaç cm 2 dir?
B)17
C)4√21
D)18
2. Bir ABC üçgeninde; b=5 cm. , c=6 cm.
E)10√3
ve A(ABC)=15/2 cm 2 olduğuna göre
A açısının ölçüsü kaç derecedir? A)30 0
B)450
3. Bir paralelkenarın köşegen uzunlukları 12 cm.
C)600
D)1200
E)1350
ve 18 cm. dir. köşegenlerin oluşturduğu
açılardan birinin ölçüsü 600 ise dörtgensel bölgenin alanı kaç cm 2 dir?
A)27√3
B) 36√2
C)54
D)54√3
E)72
4. ABC üçgeninde;
|BD|=|DC|, |AC|=6√6 cm.
m(BAD)=450 , m(DAC)=30o
olduğuna göre |AB|=x kaç cm.dir?
A) 4√3
B) 6√3
D)5√2
C) 4√6
E) 8
5. Yarıçapı 3 cm. olan bir çember içine çizilen düzgün onikigenin alanı kaç cm 2 dir?
A) 27
B) 18
C) 72√3
D) 36
E) 9√3
38
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
PERİYOT: f:A  B fonksiyonunda  x  A için:
f(x+T)=f(x) eşitliğine uyan T sayısı varsa f fonksiyonuna PERİYODİK FONKSİYON ,
T lerin pozitif ve en küçük olanına PERİYOD denir.
Periyodik fonksiyonlar belirli aralıklarla aynı değerleri alırlar ve grafikleri belirli
aralıklarla tekrar eder.
y = sin x
ve
y = cos x fonksiyonları Periyodik fonksiyonlar olup Periyotları 2𝜋 dir.
y = tan x ve
y= cot x
fonksiyonları Periyodik fonksiyonlar olup Periyotları 𝜋 dir.
sin   k.2   sin 
cos  k.2   cos
tan(𝜃 + 𝑘𝜋) = 𝑡𝑎𝑛 𝜃
cot(𝜃 + 𝑘𝜋) = 𝑐𝑜𝑡 𝜃
y = a sinn b(x-h) + k
n tek ise:
2𝜋
|𝑏|
,
ve
n çift ise:
y= a cosn b(x-h) + k
𝜋
|𝑏|
(k∈ 𝑍)
fonksiyonlarının Periyotları:
dir.
UYARI: Toplam veya fark halindeki trigonometrik fonksiyonların periyotları,
terimlerinin periyotlarının OKEK’ idir.
Çarpım halindekiler önce toplam veya fark haline getirilip sonra periyotları bulunur.
f ( x)  sin
5
3
x  cos x
3
2
fonksiyonunun periyodunu bulunuz.
Terimlerin ayrı ayrı periyotlarını bulalım.
sin
2𝜋
5
x in periyodu: y=sin x periyodu 2𝜋 , y=sin ax in periyodu
|𝑎|
3
y= sin
y= cos
5
3
𝑥
in periyodu :
3
x in periyodu:
2
idi.
2 6

5
5
3
2
4

3
3
2
O.K .E.K (
6 4
,
)  12
5
3
39
1. y = 2 𝑐𝑜𝑠2𝜋𝑥
1
A)1
fonksiyonunun periyodu nedir?
2. y=3 tan 4x
B) 𝜋/3
3. y= sin5x + cos7x
E) 2 𝜋
B) 2𝜋
C) 4 𝜋/3
D) 3 𝜋/4
E) 4
fonksiyonunun periyodu nedir?
B) 𝜋/3
4. tan3x + cot5x
A) 𝜋
C) 2
fonksiyonunun periyodu nedir?
𝐴)𝜋/4
A) 𝜋/2
D)𝜋
𝜋
B) 1/2
C) 𝜋/4
D) 𝜋
E) 2𝜋
fonksiyonunun periyodu nedir?
C) 3𝜋
D) 4𝜋
E) 5 𝜋
40
y=sin x
sin : R   1,1
 1  sin   1
Tanım kümesi
Görüntü kümesi
y=cosx
 1  cos  1
cos : R   1,1 Tanım kümesi
sin      sin 
y = sin x fonksiyonunun grafiği O noktasına göre simetriktir.
cos    cos
y = cos x fonksiyonunun grafiği 0y eksenine göre simetriktir.
y = a sin bx
Periyotları:
𝟐𝝅
|𝒃|
Görüntü kümesi
dir.
ve
y = a cos bx
0≤ 𝑥 ≤
𝟐𝝅
𝒃
(0,
fonksiyonlarının genel şekli:
aralığında x’e beş değer verilir.
1 2𝜋
4
.
𝑏
,
1 2𝜋
2
.
𝑏
,
3 2𝜋
4
.
𝑏
,
2𝜋
𝑏
)
Alabilecekleri en büyük değer a , en küçük değer –a dır.
y = 4 sin x
in grafiğini çiziniz.
41
Periyot:
𝟐𝝅
𝟐𝝅
=
|𝒃|
= 𝟐𝝅
𝟏
x ’e;
0,
y;
0, 4, 0, -4, 0
𝜋
,
2
3𝜋
,
2
𝜋,
2𝜋
𝑑𝑒ğ𝑒𝑟𝑙𝑒𝑟𝑖 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑙𝑖𝑟.
değerlerini alır.
x eksenini 0, 𝜋 ve 2𝜋 de keser.
𝜋
2
3𝜋
, −4)
2
M( , 4)
m(
y = cos 4x
Periyot:
in grafiğini çiziniz.
𝟐𝝅
|𝒃|
=
𝟐𝝅
𝟒
=
x ’e;
0,
y;
1, 0, -1, 0, 1
x eksenini
𝜋
,
8
𝜋
,
4
𝜋
𝟐
3𝜋 𝜋
,
8
2
𝑣𝑒
8
𝝅
3𝜋
8
𝝅
M (O,1) , ( , 1)
𝟐
𝑑𝑒ğ𝑒𝑟𝑙𝑒𝑟𝑖 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑙𝑖𝑟.
değerlerini alır.
de keser.
𝜋
m( 4 , −1)
1. y = 2 cos x
fonksiyonunun en küçük değerini aldığı nokta aşağıdakilerden hangisidir?
A)(𝜋, −1)
B)(𝜋, −2)
2. y = sin 2x
𝜋
A)(4 , 1)
3. y = cos 2x
keser?
4. y = sin 4x
keser?
𝜋
2
C)( , −1)
𝜋
2
D) ( , −2)
𝜋
4
E)( , −2)
fonksiyonunun en büyük değerini aldığı nokta aşağıdakilerden hangisidir?
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
B) (4 , 2)
C) ( 2 , 1)
D) (2 , 2)
E)(4 , 1/2)
fonksiyonunun grafiği Ox eksenini aşağıdaki noktalardan hangisinde
A) 𝜋/8
B) 𝜋/6
C) 𝜋/4
D) 𝜋/3
E) 𝜋/2
fonksiyonunun grafiği Ox eksenini aşağıdaki noktalardan hangisinde
A) 𝜋/8
B) 𝜋/6
C) 𝜋/4
D) 𝜋/3
E) 𝜋/2
42
y = tan x
(−
𝜋 𝜋
, )→𝑅
2 2
tan : R-{

2
Periyodu:
 k . }  R
𝜋
dir.
;
tan (𝜃 + 𝑘𝜋) = 𝑡𝑎𝑛 𝜃
x = (2k+1)
𝜋
2
(k∈ 𝑍)
(
𝜋
nin tek katları için TANIMSIZdır. )
2
x’ in bu değerleri için grafikte DÜŞEY ASİMPTOTLAR vardır.
Genel olorak ; y = a tan bx fonksiyonlarında: Periyot
x=
𝜋
2|𝑏|
𝜋
dir.
|𝑏|
nin tek katlarında grafiğin düşey asimptotları vardır.
y = cotx
cot : R-{k𝜋} → 𝑅
;
Periyodu:
x = k𝜋
𝜋
dir.
cot (𝜃 + 𝑘𝜋) = 𝑐𝑜𝑡 𝜃
(k∈ 𝑍)
(𝜋 nin katları için TANIMSIZdır. )
x’ in bu değerleri için grafikte DÜŞEY ASİMPTOTLAR vardır.
y =2 tan 3x
fonksiyonunun bir periyodundaki
grafiğini çiziniz.
𝜋
𝜋
olduğundan;
|𝑏|
|𝑏|
Periyot: y = a tan bx de Periyot
(−
=
𝜋
3
𝜋 𝜋
, )→𝑅
6 6
Asimptotlar: x =
𝜋
2.|𝑏|
=
𝜋
x = − 2.|𝑏|
1. y = 2 tan 4x
A) x= −𝜋/8
𝜋
2.3
=
=
𝜋
− 2.3
𝜋
6
= − 𝜋6
fonksiyonunun grafiğinde aşağıdakilerden hangisi düşey asimptottur?
B) x=−𝜋/16
C) x=0
D) 𝜋/16
E) 𝜋/4
43
y = sec x fonksiyonunun grafiği:
y = sec x =
1
olduğundan;
cos 𝑥
Periyodu: 2𝜋 dir.
𝜋
2
nin tek katları için cos x = 0 olduğundan
y = sec x
fonksiyonu bu değerler için TANIMSIZDIR.
x ’in bu değerleri için grafikte Düşey asimtotlar vardır.
y = a sin b(x-h) + k
y = a sin bx veya
ve
y= a cos b(x-h) + k
fonksiyonlarının grafikleri:
y = a cos bx in grafikleri yatay doğrultuda h kadar,
düşey doğrultuda k kadar kaydırılır (ötelenir).
h>0 ise pozitif, h<0 ise negatif yönde
k>0 ise pozitif , k<0 ise negatif yönde öteleme yapılır.
y = 2 sin 4x + 3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Periyot :
2𝜋
𝑏
=
2𝜋
4
=
𝜋
2
x 'e
0, 𝜋/8 , 𝜋/4 , 3𝜋/8 , 𝜋/2 değerleri verilir.
y
3,
5,
3,
1,
3
değerlerini alır.
y = 2 sin 4x eğrisinin grafiğinde;
h =0
Yatay öteleme yok.
k=3
Düşey öteleme pozitif yönde 3 birim yukarıya.
44
y = -sin x
ve
y = - cos x
fonksiyonlarının grafikleri
y = sin x
ve
y = cos x fonksiyonlarının 0x eksenine göre simetrikleridir.
Aşağıdaki fonksiyonların grafikleri karışık biçimde verilmiştir.
1. 1 numaralı fonksiyonun grafiği hangisidir?
A)A
B)B
C)C
D)D
E)E
2. 2 numaralı fonksiyonun grafiği hangisidir?
A)A
B)B
C)C
D)D
E)E
3. 3 numaralı fonksiyonun grafiği hangisidir?
A)A
B)B
C)C
D)D
E)E
4. 4 numaralı fonksiyonun grafiği hangisidir?
A)A
B)B
C)C
D)D
E)E
45
BASİT TRİGONOMETRİK ÖZDEŞLİKLER
x2+y2=1
x2+y2=1
Birim çemberin denklemi.
(cos 𝜃 , sin 𝜃) = (x,y) Birim çember üzerindeki nokta.
Yerlerine yazıldığında :
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 = 𝟏
Herhangi bir açının sinüsünün karesi ile kosinüsünün karesinin toplamı her zaman 1 dir.
Yukarıdaki özdeşlikleri de konuşturmakta yarar var.
Derler ki: Bir açının sinüsü ,Tümlerinin kosinüsüne,
Kosinüsü, tümlerinin sinüsüne,
Tanlantı, tümlerinin kotanjantına eşittir.
sin 30o = cos 60o =
𝜋
4
𝜋
4
𝑡𝑎𝑛 = 𝑐𝑜𝑡 = 1
1
2
𝜋
6
𝜋
3
√3
2
sin 20o = cos 70o
cot 35o =tan 55o
cos 200 = sin 700
cos
= 𝑠𝑖𝑛 =
sin 250.sec 650 ifadesinin eşitini bulalım.
sec 650 =
1
𝑐𝑜𝑠650
olduğundan
sin250.sec650= sin250.
1
𝑐𝑜𝑠650
= cos650.
1
𝑐𝑜𝑠650
sin250=cos650 dir.
=1
46
sin 𝜽 =
𝟒
𝟓
𝝅
𝟐
ve
<𝜽<𝝅
olduğu bilindiğine göre,
𝜃 nın diğer beş trigonometrik değerini bulunuz.
eşitliğinden sin 𝜃 bilindiğine göre, cos 𝜃 yı hesaplayalım.
𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 = 𝟏
Eşitlikte sin 𝜽 =
𝟒
𝟓
değerini yerine yazarsak;
4 2
( ) + 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 = 1
5
4 2
𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 1 − ( )
5
𝑐𝑜𝑠2 𝜃 =
9
25
cos 𝜃 = ±
3
5
Verilen açının bitim kenarı II. Bölgede ve II. Bölgede kosinüs negatif olduğundan
cos 𝜃 = −
3
5
Diğer dört fonksiyon için, verilen sin 𝜃 ve bulunan cos 𝜃 değerleri yerlerine yazılır.
1. cos 𝜃 = 6
5
ve
3𝜋
2
< 𝜃 < 2𝜋
olduğu bilindiğine göre,
tan 𝜽 nın değeri nedir?
A) -√11/5
2. tan x = 1/3
A) √10
3. sin x = 0,6
A) 3/4
B) √11/5
C) -5/√11
D) 5/√11
E) 3
olduğuna göre, sin x in değeri aşağıdakilerden hangisidir?
B)2√10
C) 1/√10
D) √3
E)1/√3
olduğuna göre, cot x in değeri aşağıdakilerden hangisidir?
B) 4/3
C) 3/5
D) 5/3
E) 6/5
47
Aşağıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösteriniz.
1.
2.
3.
48
4.
…………….
Aşağıdaki eşitliklerin doğruluğunu gösteriniz.
49
TRİGONOMETRİK DENKLEMLER
sin2x + cos2x = 1
sin x = 1
gibi x in tüm değerleri için sağlanan eşitliklere özdeşlik,
gibi yalnızca x in özel değerleri için sağlanan eşitliklere denklem denir.
Eşitliği sağlayan özel değerlere denklemim kökleri , kökleri bulma işlemine de denklemin
çözümü denir.
2 sin x - √𝟑 = 𝟎
denklemini çözelim.
2 sin x - √3 = 0
sin x=
√3
2
sinüsü
√3
2
bilinmeyeni yalnız bırakalım.
Basit trigonometrik denklem şekline dönüşür.
𝜋
olan [0,2𝜋) aralığındaki en küçük açı
radyandır. (x = arc sin
3
√3 𝜋
=
2
3
)
sinüs, I. ve II. Bölgelerde pozitif olduğundan,
II.bölgede
𝜋
‘e karşı gelen açı
3
x=𝜋
𝜋
2𝜋
3
3
− =
radyandır.
sinüs fonksiyonu periyodik fonksiyon ve periyodu da 2𝜋 olduğundan;
x1 =
𝜋
3
+ 𝑘2𝜋
2𝜋
x2 =
3
;
+ 𝑘2𝜋
; (k∈ 𝑍)
dir.
(Bulunan sayılar; y=sinx eğrisi ile y=√𝟑/𝟐 doğrusunun kesim noktalarının apsisleridir.)
Dikkat edilirse;
sin x = sin 𝜽
veya
sin x  sin   x1    k.2
1. 2 sin x – 1 =
A) 0
2. sin x = 0
A) k.𝜋
3. sin x = -1
A) 0
x2  (   )  k.2 ,
k∈ 𝑍
dir.
denkleminin en küçük pozitif kökü aşağıdakilerden hangisidir?
B) 𝜋/6
C) 𝜋/4
D) 𝜋/3
E) 𝜋/2
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
B) 2 k.𝜋
C) k.𝜋/2
D) (2k+1)𝜋
E) ∅
denkleminin pozitif en küçük kökü aşağıdakilerden hangisidir?
B) 𝜋/2
4. sin 3x = sin 75
A) 3350
0
şeklindeki denklemlerde:
C) 𝜋
D) 3𝜋/2
E) 2𝜋
0
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
B) 2950
C) 2050
D) 1550
E) 1150
50
3 cos x = cos x +1
denklemini çözünüz.
3 cos x = cos x +1
2 cos x = 1
bilinmeyeni yalnız bırakalım.
ve cos x =
1
basit trigonometrik denklem şekline dönüşür.
2
[0,2𝜋) aralığında eşitliği sağlayan en küçük sayı x =
𝜋
3
tür.
(cos
𝜋
3
=
1
2
)
Kosinüs I. ve IV. Bölgede pozitif olduğundan,
IV. Bölgede
𝜋
‘e karşı gelen sayı x = 2𝜋
3
𝜋
𝜋
3
3
− =−
tür.
Kosinüs fonksiyonu fonksiyonu periyodik fonksiyon ve periyodu da 2𝜋 olduğundan;
x1 =
𝜋
3
+ 𝑘2𝜋
Veya kısaca
𝜋
− + 𝑘2𝜋 ; k∈ 𝑍
ve x2=
x=±
Dikkat edilirse;
3
;k∈ 𝑍
𝜋
+ 𝑘2𝜋
3
cos x = cos 𝜽
cos x  cos  x1    k.2
veya
yazılır.
şeklindeki denklemlerde:
x2    k.2
; k∈ 𝑍 (x = ±𝜃 + 𝑘. 2𝜋) dir.
tan x = tan 𝜽
şeklindeki denklemlerde;
cot x = cot 𝜽
şeklindeki denklemlerde de; x = 𝜽 + 𝒌𝝅
1. 2 cos
x −√𝟑 = 𝟎
A) 0
2. 3 tan x−√𝟑 = 𝟎
3. tan 4x = tan 1000
A) 25
B)50
4. cos 3x = − 2
√3
A) 2
B) 3
k∈ 𝒁
C) 𝜋
D) 3𝜋/2
E) 2𝜋
denkleminin I. bölgedeki kökü aşağıdakilerden hangisidir?
B) 𝜋/8
0
k∈ 𝒁
denkleminin [0,2𝜋) aralığındaki köklerinin toplamı kaçtır?
B) 𝜋/2
A) 0
x = 𝜽 + 𝒌𝝅
C) 𝜋/6
D) 𝜋/4
E) 𝜋/3
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
0
C) 750
D)1000
E) 1550
denkleminin [0,2𝜋) aralığında kaç tane kökü vardır?
C) 4
D) 6
E) 9
51
Karmaşık bir denklemi çözmek için; gerekli işlemler yapılarak denklem
basit trigonometrik denklemlere dönüştürülür.
sin(x-2𝝅) + 𝐭𝐚𝐧(𝒙 − 𝟐𝝅) = 𝟎
denkleminin 0≤ 𝑥 < 2𝜋 aralığındaki köklerini bulunuz.
sin(x-2𝝅) + 𝐭𝐚𝐧(𝒙 − 𝟐𝝅) = 𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝒕𝒂𝒏𝒙
sinüste periyot 2𝝅 ,tanjantta periyot 𝝅
olduğundan; sin(x-2𝝅) = 𝑠𝑖𝑛 𝑥
𝐭𝐚𝐧(𝒙 − 𝟐𝝅) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 =
sin 𝑥
= sin x +
cos 𝑥
=
sin x =0
sin x = 0
için;
cos x + 1 =0
a.b = 0 ise
veya
x=0
için;
3 tan2x - 1 = 0
a = 0 veya b = 0 dır.
cos x + 1 =0
veya
x =𝜋
cos x = -1
ve
x=𝜋
bilinmeyeni yalnız bırakalım.
3 tan2x = 1
tan2 x=
tan x =
tan x =
1
√3
=
√3
3
tan x = -
√3
3
Ç = { 0, 𝜋 }
denklemini çözünüz.
3 tan2x – 1 = 0
⇒
Pay 0 olmalıdır.
sin x parantezine alalım. (çarpanlara ayıralım)
sin x(cos x + 1) = 0
⇒
Payda eşitlediğimizde;
𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥
=0
𝑐𝑜𝑠𝑥
sin x.cos x+sin x = 0
sin 𝑥
cos 𝑥
1
3
veya
√3
3
tan x = 𝜋
6
için
x=
için
x = - 6 + 𝑘𝜋
1
√3
=-
√3
3
bulunur.
+ 𝑘𝜋 ; k∈ 𝑍
𝜋
k∈ 𝑍
veya kısaca
x=±
𝜋
6
+ 𝑘𝜋
; k∈ 𝑍
( k ya tamsayı değerler vererek denklemin tüm kökleri bulunabilir.)
52
1. 4 sin2x -1 = 0
A) 0
2. 4 cos2 x = 3
A) 0
3. tan2 x = 3
A)
𝜋
6
denkleminin [0,2𝜋) aralığındaki kökler toplamı kaçtır?
B) 𝜋
C) 2𝜋
denkleminin [0,2𝜋)
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4 𝜋
aralığında kaç tane kökü vardır?
E) 4
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakileden hangisidir?
+ 𝑘𝜋 𝑣𝑒𝑦𝑎
5𝜋
6
𝜋
B) 4 + 𝑘𝜋 𝑣𝑒𝑦𝑎
+ 𝑘𝜋
D)
4. 4 cos x = sec x
A) 0
D) 3 𝜋
B) 1
𝜋
3
+ 2𝑘𝜋
denkleminin [0,𝜋)
C) 2
D) 3
3𝜋
4
+ 𝑘𝜋
E)
𝜋
6
C)
𝜋
3
+ 𝑘𝜋 𝑣𝑒𝑦𝑎
2𝜋
3
+ 𝑘𝜋
+ 2𝑘𝜋
aralığında kaç tane kökü vardır?
E) 4
53
1 + cos x = sin x
1 + cos x = sin x
denkleminin
aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.
0 ≤ 𝑥 < 2𝜋
eşitliğinde trigonometrik fonksiyonlardan birini diğeri cinsinden
yazmaya çalışalım. Bunun için her iki tarafın karesini alalım.
(1 + cos x)2 = (sin x )2
1 + 2 cos x + cos2x = sin2 x
(sin2x + cos2x = 1 ⇒
1 + 2 cos x + cos2x = 1 – cos2x
Düzenlersek
2 cos2x + 2 cos x = 0
çarpanlara ayıralım.
2 cos x(cos x + 1) = 0
a.b = 0 ise
2 cos x = 0
veya
cos x + 1 = 0
0 ≤ 𝑥 < 2𝜋
verilen aralıkta;
2 cos x = 0
⇒
cos x + 1 = 0
cos x = 0
cos x = -1
⇒
𝜋
2
Denklemin
,𝜋 ,
3𝜋
2
x=
⇒
⇒
sin2x = 1 – cos2x )
a = 0 veya b = 0 dır.
basit denklemlere dönüşmüş olur.
𝜋
2
veya
x=
3𝜋
2
x=𝜋
olmak üzere üç muhtemel kökü görünüyor.
Köklerin verilen eşitliği sağlaması gerekir.
𝜋
x=2
Fakat
ve
x=
x=𝜋
3𝜋
2
için ;
1 + cos x = sin x
eşitliği sağlanır.
için ;
Verilen eşitlik sağlanmıyor.
Denklemin verilen aralıkta çözüm kümesi:
UYARI
Ç={
𝜋
2
, 𝜋 }
dir.

Denklem çözümlerinde , kök olarak bulunan sayıların verilen eşitliği sağlayıp
sağlamadığına bakılmalıdır. Verilen eşitliği sağlayan sayılar denklemin kökleri olarak
alınır.
54
1. sin3 x - 9 sin x = 0
A) 0
denkleminin [0,2𝜋)
B) 1
C) 2
2. 2 sin2x - sin x = 0
aralığında kaç tane kökü vardır?
D) 3
E) 4
denkleminin [0,2𝜋)
aralığındaki köklerinin toplamı
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 𝜋/2
B) 𝜋
C) 3𝜋/2
3. 2 cos2x + cos x = 0
𝜋
D) (2k+1)𝜋 ± 6 veya
0
A) 15
E) 4𝜋
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
𝜋
𝜋
B) (2k+1)𝜋 ± 3
C) 2 + 𝑘𝜋
𝜋
A) (2k+1)𝜋 ± 6
4. sin2x + sin x -2 = 0
D) 2𝜋
0
B)30
𝜋
2
+ 𝑘𝜋
𝜋
E) (2k+1)𝜋 ± 3 veya
𝜋
2
+ 𝑘𝜋
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
C) 450
D) 600
E) 900
55
tan 3x = cot 2x
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Denklem çözümlerinde eşitlikte verilen trigonometrik fonksiyonlar aynı cinsten
yazılmaya çalışılır.
Bir açının kotanjantı, tümlerinin tanjantına eşit olduğundan;
𝝅
tan 3x = cot 2x
cot 2x = tan( − 𝟐𝒙)
Tümler açılar
𝟐
𝝅
tan 3x = tan( 𝟐 − 𝟐𝒙)
3x =
𝝅
𝟐
tanjant fonksiyonunun periyodu 𝝅 olduğundan;
(tan x = tan 𝜽 ⇒ 𝒙 = 𝜽 + 𝒌𝝅)
− 𝟐𝒙 + 𝒌𝝅
5x = (2k+1)
𝜋
⇒
2
x = (2k+1)
1. cos 3x = sin 2x
A) 90
𝜋
10
denkleminin en küçük pozitif kökü kaç derecedir?
C) 180
D) 300
E) 450
B) 150
2. sin 3x + cos x = 0
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
B) −𝜋/4
C) −𝜋/3
D) −𝜋/2
E) −𝜋
A) −𝜋/6
3. sin x + cos x = 0
denklemini sağlayan x in en küçük poxitif değeri nedir?
B) 𝜋/5
C) 𝜋/4
D) 𝜋/6
E) 3 𝜋/4
A) 𝜋/6
4. tan x = cot(x - 𝜋4)
A) {
3𝜋
8
+
𝑘𝜋
2
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
}
B)
3𝜋
D) {
8
+
𝑘𝜋
4
}
{−
3𝜋
8
+
𝑘𝜋
2
}
E)
C)
3𝜋
{
8
{−
3𝜋
8
+
𝑘𝜋
3
}
+ 𝑘𝜋}
56
TOPLAM VE FARK FORMÜLLERİ
İki açının toplamının (veya farkının) trigonometrik değerlerini veren eşitliklerdir.
sin 15o
nin değerini bulunuz.
Trigonometrik değeri istenen açı, bilinen açıların toplam veya farkı olarak yazılır.
15o = 60o – 45o
olduğundan;
o
o
sin 15 = sin (60 – 45o)
sin(a-b)=sina.cosb-cosa.sinb eşitliğinde a=600, b=450
yazalım.
o
o
o
= sin 60 cos 45 – cos 60 sin 45
o
Farkın sinüsü
sin 60o=
=
√3 √2
2
2
=
√6−√2
4
1. sin 1050
A) 1/4
−
1 √2
2 2
B) √𝟑/4
C)
A)90
cos 60o=
1
2
√6+√2
4
cos 3𝑥
cos 𝑥
D)
√3+1
2
E)
√6+1
4
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) -2sinA.sinB
C) 2cosA.cosB
E) 2sinA.sinB
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) 1
C) 2
4. sin(x+300) = 2sin(x – 300)
0
,
Değerler yerlerine yazıldı.
D) -2cosA.cosB
A) 0
√2
cos 45o= sin 45o =
2
nin değeri nedir?
A) 2cosA.sinB
3. sin 𝑥 −
,
Bulunur.
2. cos(A+B)+cos(A-B)
sin 3𝑥
√3
2
B)120
0
D) sin 2x-cos 2x
E) sin 2x.cos 2x
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
C)1500
D)2100
E) 2400
57
tan
𝟕𝝅
𝟏𝟐
tan
𝟕𝝅
nin değerini bulunuz.
𝟏𝟐
radyanlık açı tanjantları bilinen
7𝜋
12
=
tan
𝜋
3
+
𝜋
7𝜋
4
12
tan(a+b)=
𝜋
3
𝜋
4
=
𝜋
𝜋
1−𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛
3
4
𝑡𝑎𝑛 +𝑡𝑎𝑛
=
√3+1
1−√3.1
𝝅
𝟏𝟐
A) 2+√𝟑
3
𝑣𝑒
𝜋
𝜋
3
4
= +
𝑡𝑎𝑛𝑎+𝑡𝑎𝑛𝑏
1−𝑡𝑎𝑛𝑎.𝑡𝑎𝑛𝑏
𝜋
4
radyanlık açıların toplamıdır.
Bilinen açıların toplamı.
eşitliğinde; a=
= √3 , tan 𝜋4 =1
𝜋
3
, a=
𝜋
4
yazalım.
olduğundan
Payda rasyonel yapılırsa
= -2-√3
1. tan
𝜋
tan 3
𝜋
Bulunur.
nin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
B) -2+√𝟑
𝑡𝑎𝑛1500 −𝑡𝑎𝑛1300
2. T = 1+𝑡𝑎𝑛1500.𝑡𝑎𝑛1300
A) 2+√𝟑
C) 2-√𝟑
D) -2-√𝟑
E) 2√𝟑
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
B) -2+√𝟑
C) 2-√𝟑
D) -2-√𝟑
E) 2√𝟑
3. 900 < x < 1800
için sin x = 3/5 ve 00 < y < 900 için sin y = 12/13 olduğu
bilindiğine göre, tan ( x – y ) değeri nedir?
A) 61/16
B) 2
C) 63/16
D) 4
E) 65/16
4.
𝒄𝒐𝒕𝟐𝟐𝟎 .𝒄𝒐𝒕𝟐𝟑𝟎 −𝟏
𝒄𝒐𝒕𝟐𝟐𝟎 +𝒄𝒐𝒕𝟐𝟑𝟎
A) 0
B) 1/2
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
C) 1
D) 2
E)𝜋/4
58
cos(a-b) = cosa.cosb + sina.sinb
Farkın kosinüsünü veren formülde cos b ve sin a
verilmediğinden öncelikle onları bulalım.
sin2a+cos2a=1
özdeşliğinde, cos a=-4/5 yazarsak;
sin2a+(-4/5)2=1 ⇒ sin2a=1-16/25=9/25
⇒ sin a = ±
3
5
bulunur.
3
III. Bölgede sinüs negatif olduğundan
sin a = − 5 alınır.
sin2b+cos2b=1 olacağından özdeşlikte sin b = 5/13 yazarsak;
(5/13)2 + cos2b=1 ⇒
cos2b =1-25/169=144/169
I . Bölgede kosinüs pozitif olduğundan
⇒
cos b =± 12/13
cos b = 12/13 alınır.
Verilenler ve bulunanlar cos (a –b) = cos a.cos b + sin a. sin b
cos (a –b) = −
4
5
12
13
+ −
63
= − 65
1. 𝜋 < 𝑎 < 3𝜋2
3
5
5
13
bulunur.
de yerlerine yazıldığında
işlem yaptığımızda
Bulunur.
3
olmak üzere sin a = − 5 , 0 < 𝑏 <
𝜋
2
12
olmak üzere cos b = 13 verilmiştir.
sin ( a - b ) kaçtır?
18
A)− 55
2. sin(45o+x) +
A) sin x
3. x
14
20
12
C)45
D)43
E) 21
sin(45o-x)
B) cos x
ifadesinin eşitini aşağıdakilerden hangisidir?
C) √2sin x
D) √2cos x
E) √2
ve y dar açıları için; sin x = 3/5 ve cos y = 12/13 ise sin(x+y) değeri kaçtır?
A) 56/65
4. x
16
B)− 65
B) 57/65
C) 58/65
D) 59/65
E) 11/13
ve y dar açıları için; cos x = 0,6 ve cos y = 0,8 ise cos(x+y) değeri kaçtır?
A) 0
B)1/2
C) √3/2
D) 5/6
E) 1
59
1. sin(x+𝜋) + cos(𝑥 + 𝜋) = 0
A) 0
B) 1
denkleminin 0≤ 𝑥 < 2𝜋
C) 2
D) 3
2. sin(x-2𝜋) + tan(𝑥 − 2𝜋) = 0
aralığında kaç tane kökü vardır?
E) 4
denkleminin 0≤ 𝑥 < 2𝜋
aralığındaki kökleri
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0, 𝜋
B) 𝜋/2, 𝜋
3. 00 < 𝛼 <900
D) 𝜋/2, 3𝜋/2
√3𝑠𝑖𝑛50 .𝑐𝑜𝑠70 +√3𝑐𝑜𝑠50 .𝑠𝑖𝑛70
4𝑐𝑜𝑠84 0 .𝑐𝑜𝑠60
ve
𝛼 kaç derecedir?
𝐴) 120
C) 0, 𝜋/2
B) 150
C) 180
√3𝑠𝑖𝑛50 .𝑐𝑜𝑠70 +√3𝑐𝑜𝑠50 .𝑠𝑖𝑛70
4𝑐𝑜𝑠84 0 .𝑐𝑜𝑠60
=
D) 300
E) 600
0
√3
2
= sin x
√3
2
0
. 𝑐𝑜𝑠70 + 𝑐𝑜𝑠5 . 𝑠𝑖𝑛70
cos840= cos(900-60)= sin60
√3𝑠𝑖𝑛120
=
2𝑠𝑖𝑛120
sin 6o0 =
olduğuna göre
= 𝑠𝑖𝑛𝑥
√3(𝑠𝑖𝑛50 .𝑐𝑜𝑠70 +𝑐𝑜𝑠50 .𝑠𝑖𝑛70 )
4𝑠𝑖𝑛60 .𝑐𝑜𝑠60
sin(50+70) = 𝑠𝑖𝑛5
=
E) 𝜋/2
Tümler açılar.
sin2.60=2sin60.cos60
= 𝑠𝑖𝑛𝑥
olduğundan x = 600 dir.
60
YARIM AÇI FORMÜLLERİ
Nasıl sin (a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b
özdeşliğinde
b yerine - b yazıldığında;
sin [a +(-b)] = sin a. cos(-b) + cos a. sin(-b)
sin (a-b) = sin a. cos b – cos a. sin b
sin (a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b
Farkın sinüs açılımı bulunuyorsa;
özdeşliğinde
b yerine a yazıldığında;
sin (a+a) = sin a.cos a + cos a. sin a
sin 2a = 2 sin a.cos a
eşitliği bulunabilir.
Benzer şekilde;
cos 2a = cos2a – sin2a
(sin2a+cos2a=1 ⇒ sin2a=1-cos2a ve cos2a=1-sin2a)
cos 2a = 2 cos2a – 1
cos 2a = 1 – 2 sin2a
tan 2a =
2𝑡𝑎𝑛𝑎
eşitlikleri de yazılabilir.
1−𝑡𝑎𝑛2 𝑎
Yukarıdaki eşitliklerde 2a yerine a yazılırsa, eşitliklerde karşı taraftaki a lar da
𝑎
2
olacaktır.
sin a = 2 sin
cos a = cos
𝑎
2
𝑎
2
2
. cos
𝑎
2
𝑎
2
−sin
2
𝑎
cos a = 2 cos2 − 1
2
cos a = 1 – 2 sin2
tan a =
𝑎
2
⇒
cos
⇒
sin
𝑎
2
𝑎
2
1+cos 𝑎
= ±√
= ±√
2
1−cos 𝑎
2
𝑎
2
𝑎
1−𝑡𝑎𝑛2
2
2𝑡𝑎𝑛
(Eşitlikteki ± ler,
𝑎
2
nin
bulunduğu bölgede
trigonometrik
fonksiyonun işaretidir.)
cos a ve sin a da yarım açı formülleri kullanıldığında;
tan
𝑎
2
=
1−cos 𝑎
sin 𝑎
ve
tan
𝑎
2
=
sin 𝑎
1+cos 𝑎
olduğu da bulunabilir.
61
cos 15o
değerini hesaplayınız.
150, trigonometrik değerleri bilinen 300 nin yarısıdır.
2𝛼 = 30𝑜
dersek
𝛼 = 150
olur.
cos (2𝛼) =2cos2𝛼 − 1 den 2cos2𝛼 yı çektik.
√3
2
𝛼, 2 𝛼 ve cos2.150=cos 300=
yerlerine yazalım.
değerlerini
bulunur.
15o = 60o – 45o
NOT:
0
0
gibi bilinen iki açının farkı olduğundan;
0
cos(60 – 45 ) = cos60 .cos450+sin600.sin450
farkın kosinüsü eşitliği de kullanılabilir.
ABC , 300-600-900 dik üçgeninde;
VE HATTA 3. YOL:
AB kenarını |DA|=|AC|=2 br. uzatalım.
DAC ikizkenar üçgeninde; 300 lik dış açısı
nedeniyle mC=mD=150 dir.
DBC üçgeninde; cos 150 =
Pisagor teoreminden: |DC|2 =(2+√3)2+12=8+4√3=4(2+√3)
cos 150 =
|𝐷𝐵|
|𝐷𝐶|
=
2+√3
2√2+√3
=
,
|𝐷𝐵|
|𝐷𝐶|
=
|𝐷𝐴|+|𝐴𝐵|
|𝐷𝐶|
|DC|=2√2 + √3
√2+√3
2
62
Benzer bir örnek daha yapalım.
𝝅
sin
değerini hesaplayınız ?
𝟖
𝝅
𝟖
𝝅
radyanlık açı, trigonometrik değerleri bilinen
2𝛼 =
𝟒
𝜋
4
radyanlık açının yarısıdır.
= 45𝑜
dersek
𝛼=
𝜋
8
olur.
cos(2𝛼) = 1 − 2𝑠𝑖𝑛2 𝛼 den 2 sin2𝛼 yı çekelim.
𝛼, 2 𝛼 ve sin2.
𝜋
8
=cos
𝜋
4
=
√2
2
değerlerini
yerlerine yazalım.
bulunur.
2. YOL:
bir açısı
İkizkenar dik üçgenin bir dik kenarı hipotenisi kadar uzatılarak oluşan
𝜋
8
radyan olan dik üçgende bu açının sinüsü hesaplanabilir.
VE BİR ÖRNEK DAHA:
cos 165o
nin değerini bulalım.
1650 , trigonometrik değerleri bulunabilen 3300 nin yarısıdır.
𝛼 = 3300 dersek
cos a =2cos2
165o , II.
𝑎
2
−1
𝑎
2
= 1650
olur.
𝑎
den 2cos2 2 yı çektik.
Bölgede olup kosinüsü - dir.
cos 330o = cos (3600-30o) = cos(- 30o )=cos 300=
√3
2
bulunur.
63
tan
𝝅
𝟏𝟐
𝝅
nin değerini bulurmusunuz ?
𝟏𝟐
radyanlık açı, trigonometrik değerleri bilinen
𝒂=
𝝅
1−cos 𝑎
sin 𝑎
cos
𝜋
6
𝒂
dersek
𝟔
=
=
𝟐
=
𝑎
2
𝑎
𝑎
2𝑠𝑖𝑛 .𝑐𝑜𝑠
2
2
1−(1−2𝑠𝑖𝑛2 )
𝝅
𝟔
𝝅
olur.
𝟏𝟐
=
radyanlık açının yarısıdır.
𝑎
2
𝑎
𝑎
2𝑠𝑖𝑛 .𝑐𝑜𝑠
2
2
2𝑠𝑖𝑛2
=
𝑎
2
𝑎
𝑐𝑜𝑠
2
𝑠𝑖𝑛
= 𝑡𝑎𝑛
𝑎
2
√3
2
2. YOL:
ABC üçgeni yardımıyla oluşturulan DBC üçgeninde;
𝝅
tan
3.YOL:
tan
𝝅
𝟏𝟐
=
4. YOL :
𝝅
𝟑
𝝅
𝝅
𝟒
𝟏𝟐
− =
tan(
𝝅
𝟑
tan
𝝅
− )=
𝟒
𝒂=
𝒂
𝟐
𝒂
𝟏−𝒕𝒂𝒏𝟐
𝟐
𝟐𝒕𝒂𝒏
=
= tan 150
tan(a-b) =
olduğundan;
𝝅
𝝅
𝒕𝒂𝒏 −𝒕𝒂𝒏
𝟑
𝟒
𝝅
𝝅
𝟏+𝒕𝒂𝒏 .𝒕𝒂𝒏
𝟑
𝟒
𝟏𝟐
√𝟑−𝟏
𝟏+√𝟑
eşitliğinde
=
1
= 2 − √3
2+√3
𝑡𝑎𝑛𝑎−𝑡𝑎𝑛𝑏
1+𝑡𝑎𝑛𝑎.𝑡𝑎𝑛𝑏
eşitliğinden;
= 𝟐 − √𝟑
𝒂=
𝝅
𝟔
ve
𝒂
𝟐
=
𝝅
𝟏𝟐
yazarak elde edilen
ikinci derece denklemin kökleri bulunur.
5.YOL: Benzer şekilde; tan
𝑎
2
=
1−cos 𝑎
sin 𝑎
ve
tan
𝑎
2
=
sin 𝑎
1+cos 𝑎
Formülleri de kullanılabilir.
64
𝟐 𝒔𝒊𝒏 𝒂−𝒔𝒊𝒏 𝟐𝒂
ifadesini sadeleştiriniz.
𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝒂+𝐬𝐢𝐧 𝟐𝒂
2 𝑠𝑖𝑛 𝑎−𝑠𝑖𝑛 2𝑎
2 sin 𝑎+sin 2𝑎
2𝑠𝑖𝑛𝑎−2𝑠𝑖𝑛𝑎.𝑐𝑜𝑠𝑎
=
sin 2a = 2sin a.cos a
2𝑠𝑖𝑛𝑎+2𝑠𝑖𝑛𝑎.𝑐𝑜𝑠𝑎
=
=
2𝑠𝑖𝑛𝑎(1−𝑐𝑜𝑠𝑎)
sin a ortak parantezine alındı
2𝑠𝑖𝑛𝑎(1+𝑐𝑜𝑠𝑎)
1−𝑐𝑜𝑠𝑎
cos a = 1 – 2 sin2
1+𝑐𝑜𝑠𝑎
𝑎
2
𝑎
ve cos a = 2 cos2 2 − 1
𝑎
=
2 si𝑛2 2
𝑎
2 co𝑠2
işlem yaptığımızda;
2
=
tan2
tan 55o - tan 35o
tan 55o - tan 35o =
=
𝑎
bulunur.
2
işlemini yapınız.
𝑠𝑖𝑛55𝑜
𝑐𝑜𝑠55𝑜
−
𝑠𝑖𝑛35𝑜
tan 𝜃
𝑐𝑜𝑠35𝑜
𝑠𝑖𝑛55𝑜 .𝑐𝑜𝑠35𝑜 −𝑐𝑜𝑠55𝑜 .𝑠𝑖𝑛35𝑜
𝑐𝑜𝑠55𝑜 𝑐𝑜𝑠35𝑜
=
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
Payda eşitlendi.
𝑠𝑖𝑛55𝑜 . 𝑐𝑜𝑠35𝑜 − 𝑐𝑜𝑠55𝑜 . 𝑠𝑖𝑛35𝑜 = sin(50𝑂 − 35𝑂 )
=
sin(55𝑜 −35𝑜 )
𝑠𝑖𝑛35𝑜 𝑐𝑜𝑠35𝑜
𝑠𝑖𝑛20𝑜
=1
𝑠𝑖𝑛70𝑜
sin 35o=cos 55o
sin 2a = 2 sin a.cos a
2
=
2𝑠𝑖𝑛20𝑜
𝑐𝑜𝑠20𝑜
= 2 tan 20o
sin 70o = cos 20o
tan 𝜃
=
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
65
cos4
𝜋
24
− 𝑠𝑖𝑛4
𝜋
işlemini yapınız.
24
a2-b2=(a-b)(a+b)
sin2 a+cos2 a = 1
cos 2a=
cos 2.
𝜋
cos2
𝜋
12
𝜋
24
− 𝑠𝑖𝑛2
= 2𝑐𝑜𝑠 2
𝜋
12
𝜋
24
−1
√𝟑
𝟐
√2+√6
cos =
12
4
cos
sin(A+B).sin(A-B)
6
𝜋
=
ifadesinin eşitini bulunuz.
cos (x-y) = cos x.cos y + sin x.sin y
cos (x+y) = cos x.cos y – sin x.sin y
2 sin x.siny = cos(x-y) – cos(x+y)
Eşitliklerini taraf tarafa çıkaralım.
olur.
x = A+B ve y = A-B aldığımızda:
x – y = 2B ve
sin(A+B).sin(A-B) =
1
2
[cos 2B – cos 2A]
x + y = 2A olur.
2
cos 2A= 1-2sin A,
cos 2B=1-2sin2B
1
[ (1-2 sin2B) –(1-2 sin2A)]
2
= sin2A – sin2B bulunur.
=
66
1. sin2(−
𝝅
𝟏𝟐
2+√3
A)
4
2.
)
C)
2+√3
2
D)
2−√3
2
E)
√3
2
işleminin sonucu nedir?
𝒔𝒊𝒏𝟐𝜽
A) tan𝜃
B) cot𝜃
C) sec𝜃
D) csc𝜃
E) 1
x < 90o için tan x = 3 ise sin 4x ‘in değeri nedir?
A) -24/25
4. sin
2−√3
4
B)
𝟏−𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽
3. 0 <
değeri nedir?
𝒙
𝟐
A) 0
B)24/25
+ cos x = 0
B) 1
C)3/4
D) 4/5
E) -4/5
denkleminin [0,2𝜋) aralığında kaç tane kökü vardır?
C) 2
cos 3x = 4 cos3x – 3 cos x
D) 3
E) 4
özdeşliğinin varlığını kanıtlayınız.
cos 3x = cos (2x + x)
= cos 2x.cos x – sin 2x.sin x
2
3x =2x + x
toplamın kosinüsü
= (2 cos x – 1)cos x – 2 sin x.cos x.sinx
sinüs ve kosonüste yarım açı.
= 2 cos3x – cos x – 2 sin2x.cosx
işlem yapıldı.
= 2 cos3x – cos x – 2(1-cos2x)cos x
sin2x + cos2x = 1 den.
= 2 cos3x – cos x -2 cos x +2 cos3x
işlem yapıldı.
= 4 cos3x -3 cos x
bulunur.
67
cos x  3 sin x   2
denklemini çözünüz?
tan x = √3 dersek ;
tan x = tan
𝜋
cos x – tan .sin x = -√2
3
𝜋
3
𝜋
𝑐𝑜𝑠
3
𝑠𝑖𝑛
cos x−
𝜋
tan
𝑠𝑖𝑛𝑥 = −√2
𝜋
𝑐𝑜𝑠 3 . 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 3 .sin x =
𝜋
1
𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 3 = −√2. 2 = −
𝜋
3𝜋
3
4
x+ =
x=
3𝜋
4
x=
−
5𝜋
12
UYARI
𝜋
3
−√2. 𝑐𝑜𝑠
𝜋
toplamın kosinüsü
3
√2
2
3𝜋
=±
4
3𝜋
4
5𝜋
diğeri
4
𝜋
3𝜋
3
4
x+ = −
+ 𝑘. 2𝜋
x=−
3
+ 𝑘2𝜋
veya
=−
3𝜋
4
olur.
+ 𝑘2𝜋
+ 𝑘. 2𝜋
𝜋
3
𝜋
𝑠𝑖𝑛
3
=
𝜋
𝑐𝑜𝑠
3
İşlem yapıldığında;
Eşitliği sağlayan sayılardan biri
x+
𝜋
3
𝜋
3𝜋
4
x=−
−
13𝜋
12
𝜋
3
+ 𝑘. 2𝜋
+ 𝑘. 2𝜋
+ 𝑘2𝜋
dir.

a. sin x  b. cos x  c  tan  
sin( x   ) 
c
a2  b2
b
a
dönüşümü uygulanır.
denklemi çözülür.
68
3 cos x + 4 sin x = A
ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
İfadeyi cos x in katsayısı olan 3 e bölelim.
tan 𝜃 =
4
4
3
.sin x =
𝐴
3
sin 𝜃
𝐴
cos x + tan𝜃. sin 𝑥 =
⇒ cos x +
. sin 𝑥
3
cos 𝜃
dersek;
3
cos x +
=
𝐴
3
𝑠𝑖𝑛𝜃
, tan𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝐴
cos x.cos𝜃 + sin 𝑥. sin 𝜃 = 3 . cos 𝜃
tan 𝜃 =
4
3
dediğimiz için; dik üçgende karşı dik kenar 4, komşu dik kenar 3 tür.
Pisagordan; 32+42=52=x2
cos
𝜃=
3
ve
5
𝐴
cos x.cos𝜃 + sin 𝑥. sin 𝜃 = 3 . cos 𝜃
cos (x - 𝜃) =
𝐴 3
.
3 5
- 1≤ 𝑐𝑜𝑠𝛼 ≤ 1
⇒
cos (x -
olduğundan
sin
𝜃=
4
5
bulunur.
cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb
𝜃) =
cos(x -
𝐴
5
⇒
5.cos(x - 𝜃)
=𝐴
𝜃) nın alabileceği en büyük değer 1, en küçük
değer -1 dir.
Bu durumda A nın alabileceği en büyük değer 5 olur.
1. cosx + sin x
A) 00
ifadesi x in hangi değeri için en büyük değeri alır?
B) 300
2. 3sinx+4cosx=5
A) 0
B)1
3. √3sinx+cosx
A) 300
C) 450
D) 600
E) 900
denkleminin [0, 1800] aralığında kaç tane kökü vardır?
C)2
D)3
E)4
ifadesi x in hangi değeri için en büyük değeri alır?
B)450
4. sin2x-cos2x=1
C) 600
D)900
E)00
denkleminin [0, 1800] aralığındaki çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {00}
B) {900}
C) {00, 900}
D){00, 450}
E) {450, 900}
69
İki açının toplam (veya) farkının sinüsünün, sinüslerinin toplam (veya) farkı olmadığını ,
olduğunu söyledik.
Şimdi de ; sinüsler toplamının (farkının) ve sinüsler çarpımının değişik yazılışlarını
inceleyelim:
Eşitliklerini toplayalım.
2 sin a.cos b = sin(a+b) + sin(a-b)
sin a.cos b =
1
2
ve
[sin(a+b) + sin(a-b)]
olduğu görülür.
Eşitlikleri çıkarırsak;
cos a.sin b =
1
2
[sin(a+b) - sin(a-b)]
bulunur.
Eşitlikleri taraf tarafa toplanır veya çıkarılırsa;
1
cos a.cos b = 2 [cos(a+b) + cos(a-b)]
1
sin a.sin b = - 2[cos(a+b) – cos(a-b)]
ve
bulunur
Bu eşitlikler yardımıyla çarpım şeklindeki trigonometrik ifadeleri, toplam (fark)
durumuna getirebiliriz. Bu da bize işlem kolaylığı sağlayabilir.
𝑠𝑖𝑛
𝒔𝒊𝒏
𝜋
12
. 𝑠𝑖𝑛
𝝅
𝟕𝝅
. 𝒔𝒊𝒏
𝟏𝟐
𝟏𝟐
7𝜋
değerini hesaplayınız.
12
𝟏
𝟐
= − [𝒄𝒐𝒔
1
= − 2 [𝑐𝑜𝑠
1
2
𝝅
𝟕𝝅
+
𝟏𝟐
𝟏𝟐
2𝜋
3
− 𝒄𝒐𝒔
𝜋
− cos − 2 ]
𝝅
𝟕𝝅
−
𝟏𝟐
𝟏𝟐
],
1
2
sin a.sin b = - [cos(a+b) – cos(a-b)]
𝑐𝑜𝑠
2𝜋
3
1
= −2
,
𝜋
cos − 2 = 0
1
2
= − [− − 0]
=
1
4
bulunur.
70
f(x) = cos 2x. cos 3x
fonksiyonunun periyodu nedir?
Çarpım (bölüm) şeklindeki trigonometrik fonksiyonlar önce toplam (fark) şekline
dönüştürülür, sonra periyotlarının ortak katlarından en küçüğü alınır.
1
cos a.cos b = 2 [cos(a+b) + cos(a-b)]
1
cos(-x) = cos x
1
olur.
cos 2x.cos 3x = 2 [cos(2𝑥 + 3𝑥) + cos(2𝑥 − 3𝑥)]
= 2 [cos 5x + cos(-x)]
= 2 [cos 5x + cosx]
1
Bu fonksiyon için;
cos 5x ‘ in periyodu
2𝜋
5
, cos x ‘ in periyodu 2𝜋 ve OKEK = (
f(x) = cos 2x. cos 3x
1. f(x) =
A) 𝝅
2. 𝒄𝒐𝒔
𝒔𝒊𝒏𝟑𝒙
𝒔𝒊𝒏𝟓𝒙
𝟏𝟏𝝅
𝟏𝟐
A) -1/4
, 2𝜋) = 2𝜋 olduğundan
fonksiyonunun periyodu 2𝜋 dir.
fonksiyonunun periyodu nedir?
B) 2 𝝅
. 𝒄𝒐𝒔
𝟓𝝅
𝟏𝟐
D) 4 𝝅
𝑪) 𝟑𝝅
C) 0
D)1/2
1
1
sin a.sin b = - 2[cos(a+b) – cos(a-b)]
1
= − 2 [2 cos2a - 1 – 2 cos2b + 1]
= -cos2a + cos2b
A) sin10a+cos4a
E)1/4
ifadesini toplam-fark şeklinde yazınız.
sin(a+b).sin(a-b) = − 2 [𝑐𝑜𝑠2𝑎 − 𝑐𝑜𝑠2𝑏]
cos 3a.sin 7a
E) 5 𝝅
ifadesinin değeri nedir?
B) -1/2
3. sin(a+b).sin(a-b)
4. 2
2𝜋
5
cos 2a = 2 cos2a – 1

ifadesi toplam-fark şeklinde nasıl yazılır?.
B) sin10a+sin4a
D) sin10a-sin4a
C) sin10-cos4a
E) cos10+cos4a
71
Toplam (fark) şeklindeki trigonometrik fonksiyonları benzer işlemlerle çarpım şekline
getirebiliriz. Bu bize denklem çözümlerinde ve sadeleştirmelerde büyük kolaylık sağlar.
Eşitliklerini bir kere toplar, bir kere çıkarırsak;
sin(a+b) + sin(a-b) = 2 sin a.cos b
sin(a+b) - sin(a-b) = 2 cos a.sin b
a+b=x
ve
bulunur.
a – b = y dersek;
a=
𝑥+𝑦
2
ve
b=
𝑥−𝑦
2
olur ki
yerlerine yazıldıklarında;
sin x + sin y = 2 sin
𝑥+𝑦
.
2
𝑥−𝑦
cos
2
sin x – sin y = 2 sin
𝑥−𝑦
.
2
cos
𝑥+𝑦
2
eşitlikleri elde edilir.
Benzer düşünceler ile;
Eşitliklerini bir kere toplar, bir kere çıkarırsak;
cos(a+b) + cos(a-b) = 2 cos a. cos b
cos(a-b) – cos(a-b) = -2 sin a. sin b
a+b=x
ve
a – b = y dersek;
bulunur.
a=
𝑥+𝑦
2
ve
b=
𝑥−𝑦
2
olur ki
yerlerine yazıldıklarında;
cos x + cos y = 2 cos
𝑥+𝑦
.
2
cos
𝑥−𝑦
2
cos x – cos y = - 2 sin
𝑥+𝑦
.
2
sin
𝑥−𝑦
2
Bir de ;
tan x + tan y =
sin(𝑥+𝑦)
𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑦
eşitlikleri elde edilir.
ve tan x - tan y =
sin(𝑥−𝑦)
𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑦
Olduğunu da ekleyebiliriz.
72
𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙−𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙
ifadesini sadeleştiriniz.
𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙+𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙
cos x + cos y = 2 cos
𝑐𝑜𝑠 2𝑥−𝑐𝑜𝑠4𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑐𝑜𝑠4𝑥
=
=
2𝑥+4𝑥
2𝑥−4𝑥
.𝑠𝑖𝑛
2
2
2𝑥+4𝑥
2𝑥−4𝑥
2𝑐𝑜𝑠
.𝑐𝑜𝑠
2
2
−2𝑠𝑖𝑛
cos x – cos y = - 2 sin
−2𝑠𝑖𝑛3𝑥.sin(−𝑥)
sin(-x) = - sin x
2𝑐𝑜𝑠3𝑥.cos(−𝑥)
= tan x. tan 3x
1.
𝒔𝒊𝒏𝒂+𝒔𝒊𝒏𝟑𝒂+𝒔𝒊𝒏𝟓𝒂
2.
B ) tan 3a
𝒔𝒊𝒏𝟕𝟓𝒐 −𝒔𝒊𝒏𝟏𝟓𝒐
𝒄𝒐𝒔𝟕𝟓𝒐 +𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓𝒐
=
𝑥−𝑦
2
sin
𝑥−𝑦
2
cos(-x) = cos x
olur.
C ) tan 5a
D ) cot 3a
E) cot a
ifadesinim değeri nedir?
𝒄𝒐𝒔𝟕𝟓𝒐 +𝒄𝒐𝒔𝟏𝟓𝒐
𝑠𝑖𝑛75𝑜 −𝑠𝑖𝑛15𝑜
𝑥+𝑦
.
2
cos
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
𝒄𝒐𝒔𝒂+𝒄𝒐𝒔𝟑𝒂+𝒄𝒐𝒔𝟓𝒂
A) tan a
𝑥+𝑦
.
2
750 −150
750 +150
.𝑐𝑜𝑠
2
2
750 +150
750 −150
2𝐶𝑂𝑆
.𝐶𝑂𝑆
2
2
2𝑠𝑖𝑛
sin x – sin y = 2 sin
𝑥−𝑦
.
2
cos x + cos y = 2 cos
=
2𝑠𝑖𝑛30𝑜 .𝑐𝑜𝑠45𝑜
2𝑐𝑜𝑠45𝑜 .𝑐𝑜𝑠30𝑜
= tan 30o =
3. sin 1050 + sin 15o
A) √𝟑/2
4. 𝑐𝑜𝑠5𝑥−𝑐𝑜𝑠7𝑥
1
cos
𝑥+𝑦
.
2
𝑥+𝑦
2
cos
𝑥−𝑦
2

√3
ifadrsinin değeri nedir?
B) √𝟐/3
C) √𝟔/2
D) 𝟑√𝟑/2
𝑠𝑖𝑛7𝑥+𝑠𝑖𝑛5𝑥
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) tan x
B) cot x
C) sec x
D ) csc x
E) 2
E) 1
73
EK BİLGİLER:
m = 2n+1 için ;
sin
cos

2
3
n
m
. sin
. sin
.... sin
 n
m
m
m
m
2

m
. cos
2
3
n
1
. cos
.... cos
 n
m
m
m
2
ÖRNEK:
74
GENEL TEKRAR
ÖRNEK
cos 𝜃 = 0,6
ise
Verilen açıyı
0o≤ 𝜃 < 90o olarak düşünüp dik üçgene taşıyalım.
6
cos 𝜃 = 0,6 =
10
Pisagor teoreminden karşı dik kenar 8 br. bulunur.
8
4
10
tan 𝜃 = =
ve cosec 𝜃 =
= 1,25
6
3
8
!!! Dikkat
tan 𝜃
ve
cosec 𝜃 değerlerini bulunuz.
Soru bu şekliyle algılanıp çözülürse eksik olacaktır.
Çünkü: Kosinüsü pozitif olan açının bitim kenarı Birim çemberi I. Veya IV. Bölgede keser.
Kosinüs I. ve IV. Bölgede pozitiftir.
Bu durumda: 𝜃 açısı I. Bölgede ise tan 𝜃 ve cosec 𝜃 için buunan değerler doğrudur.
Eğer 𝜃 açısı IV. Bölgede ise tanjant negatif olacağından tan
IV. Bölgede kosekant negatif olacağından cosec 𝜃 = −
tan 𝜃
=
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜃=−
4
3
,
10
= −1,25 dir.
8
;
cosec𝜃
=
1
𝑠𝑖𝑛𝜃
ALIŞTIRMA
sin
𝜃=
4
5
ise
cot
𝜃
ve
sec
𝜃
değerlerini bulunuz.
75
ÖRNEK
𝜃 ve 𝛽 dar açıları için; sin 𝜃 =
3
ve
5
cos 𝛽 =
sin (𝜃+𝛽) = sin 𝜃.cos 𝛽 + cos 𝜃.sin 𝛽
sin (𝜃+𝛽) = sin 𝜃.cos 𝛽 + cos 𝜃.sin
12
ise
13
sin (𝜃 + 𝛽) yi hesaplayınız.
Toplamın sinüsü.
3 12
𝛽= .
5 13
4
+ .
5
5 13
=
56
65
ALIŞTIRMA
𝜃 ve 𝛽 dar açıları için; cos 𝜃 = 0,5
ve
cos 𝛽 = 0,6
ise
sin (𝜃 + 𝛽) yi hesaplayınız.
ÖRNEK
cos 15o.cos 75o
ifadesinin değerini hesaplayınız.
cos 15o.cos 75o = sin 75o.cos 75o
=
=
1
2
1
2
cos 15o = sin 75o
sin150o
sin 30o =
sin 2a = 2 sin a.cos a
1 1
1
2 2
4
. =
Tümler açılar
Yarım açı
bulunur.
ALIŞTIRMA
sin415o +cos415o
ifadesinin değerini hesaplayınız.
76
ALIŞTIRMALARA DEVAM
0 ≤ 𝜃 < 360𝑜
derecedir ?
için
Y: 720o
−180𝑜 < 𝜃 < 180𝑜
için
6 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 1 = 0
𝜃 gerçek sayısı vardır ?
0 ≤ 𝜃 < 360𝑜
2−𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
eşitliğini sağlayan kaç tane
Y: 4
olmak üzere aşağıdaki eşitlikleri sağlayan 𝜃 gerçek sayılarını bulunuz.
1+2 𝑐𝑜𝑠𝜃
= 𝑐𝑜𝑡𝜃
3−2 𝑠𝑖𝑛𝜃
eşitliğini sağlayan 𝜃 sayılarının toplamı kaç
4 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 = 1
=0
𝑡𝑎𝑛𝜃
1−2 𝑠𝑖𝑛𝜃
= 𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑡𝜃
=0
3 𝑠𝑖𝑛𝜃−2
3 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑐𝑜𝑡𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃
= 1 − 2 𝑐𝑠𝑐𝜃
sin(90o – 𝜃) cos(180o – 𝜃) + sin(270o – 𝜃) sin(270o + 𝜃) = ?
sin(90o + 𝜃) cos(90o - 𝜃) + cos(90o + 𝜃) cos(90o - 𝜃) =?
A+B+C=180o
iken;
𝑡𝑎𝑛
𝐴+𝐵
f(𝜃) = 𝑠𝑖𝑛𝜃 olmak üzere ;
Görüntü Kümesini belirtiniz .
2
=?
ve
g(𝜃) = 𝑓(2𝜃) − 2
𝑠𝑖𝑛
𝐵+𝐶
2
=?
şeklinde tanımlanan yeni fonksiyonun
−3 ≤ 𝑦 ≤ −1
77
BONUS !
cot
𝜃=−
BONUS !
3
ve
4
csc 𝜃
<0
için
ve
tan(−
𝜋
6
)
ve
sec(
5𝜋
6
)
sin 𝜃 nın değeri nedir ?
sin𝜃 = 0,6
nın değerlerini bulunuz ?
ise
−
-4/5
x= ?
1
√3
16 cm.
ve
−
2
√3
78
BONUS !
BONUS !
BONUS !
79
BONUS !
80
KONU TARAMA TESTLERİ -1
1. sin x – cos x =
1
A) 1/10
2. cot x – tan x
A) 2 tan x
C) 1/25
D) 24/25
E) 8/9
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) 2 cot x
3. tan 𝜃 =
A) 3/4
olduğuna göre sin 2x in değeri nedir?
5
B) 9/10
C) tan 2x
D) 2 tan 2x
E) 2 cot 2x
3
olduğuna göre tan (90o + 𝜃 ) nın değeri nedir?
4
B) -3/4
C) 4/3
D) -4/3
E) 1
4. ABC Üçgeninde; R, Çevrel çember yarıçapını ve r, içteğet çember yarıçapını
göstermektedir. Sinüs teoremini veren
𝑎
𝑏
𝑐
=
=
=𝑋
𝑠𝑖𝑛𝐴 𝑠𝑖𝑛𝐵 𝑠𝑖𝑛𝐶
Eşitliğinde, X aşağıdakilerden hangisidir?
A) R
B) 2R
C) r
D) 2r
E) R + r
5. Kübün bir köşesinden geçen cisim köşegeni ile yüz köşegeninin oluşturduğu açı
aşağıdakileden hangsidir?
A) 30O
B) 45O
C) 60O
6. Arccos(cos 225o)
O
A) -45
B) 45
B) √2
√6
3
E) arccos( )
√6
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
O
7. sin(45o+x) + sin(45o-x)
A) 0
D) arccos( 2 )
C)135O
D) 225O
E) √2/2
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
C) cos x
D) √2cos x
E) 2cos x
81
KONU TARAMA TESTLERİ -2
1.
𝑠𝑖𝑛 30𝑜
𝑐𝑜𝑠 60𝑜
2.
tan 60𝑜
3.
sin 60𝑜
4.
5.
tan 30𝑜
cos 60𝑜
𝑠𝑖𝑛45𝑜
𝑐𝑜𝑠45𝑜
ifadesinin değeri nedir?
A)0
B)1
C)√3
D)2
E)4
ifadesinin değeri nedir?
A)0
B)1
C)√3
D)2
E)4
ifadesinin değeri nedir?
A)0
B)1
C)√3
D)2
E)4
ifadesinin değeri nedir?
A)0
B)1
C)√3
D)2
E)4
A)0
B)1/4
C)1/2
sin 45o.cos 45o
6. arc cos(-
1
2
ifadesinin değeri nedir?
)
A)30 O
ifadesinin değeri nedir?
B)60O
D)1350
7. arc sin ( - 0,5)
ifadesinin değeri nedir?
8. ABC üçgeninde ;
a = 7 cm.
A)300
B) 450
9. sin 𝜃 = 2 𝑐𝑜𝑠𝜃
ise
B)600
D)2400
E)3300
b = 5 cm.
c = 3 cm.
D) 1200
csc𝜃 nın değeri nedir?
cos𝜃. sec(90𝑜 − 𝜃)
A) sin𝜃
11.
tan𝜃. tan(90𝑜 − 𝜃)
A) 1
A) 1
E) 1500
A) ½
B) 2
C)
1
2
√5
E) 5
C) tan 𝜃
D) cot 𝜃
E) csc 𝜃
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) sin 𝜃
B) √2
C)1200
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) cos 𝜃
f(x) = sin 2x + cos x
C)1200
ise mA kaç derecedir?
D) 5/2
10.
E)2
E)1500
A)30 O
C)600
D)1
C) cos 𝜃
için
C) √3
D) sec 𝜃
E) csc 𝜃
f(30 o) nin değeri nedir?
D) 2
E) 2√3
82
ŞAKA !!!
83
ŞAKA !!!
ŞAKA !!!
84
SON 10 YILIN SINAV SORULARI
2012 LYS
𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 =
1
16𝑠𝑖𝑛𝑥
eşitliğinde içler dışlar çarpımı yapalım.
16𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1
olur.
8.2sin x.cos x.cos 2x = 1
2sin x.cos x=sin 2x
ve
olduğundan;
8.sin 2x.cos 2x = 1
4.2sin 2x.cos 2x =1
ve
2sin 2x.cos 2x = sin 4x
olduğundan;
4.sin 4x = 1 ve
sin 4x =
1
4
bulunur.
Yanıt C şıkkıdır.
85
2012 LYS
cos 135o = cos (180o – 45o) = - cos 45o = −
cos 330o = cos ( 360o-30o) = cos 30o =
sin 150o = sin (180o-30o) = sin 30o =
√2
2
√3
2
1
2
135o ; II. Bölgede ve kosinüs - dir.
330o ; IV. Bölgede ve kosinüs + dır.
150o ; II. Bölgede sinüs + dır.
Bulduğumuz değerleri verilen ifadede yazalım.
𝑐𝑜𝑠135𝑜 +𝑐𝑜𝑠330𝑜
𝑠𝑖𝑛150𝑜
=
√2 √3
+
2
2
1
2
−
= √3 − √2
bulunur.
Yanıt A dır.
86
2012 LYS
ABCD Karesinde; m(CAB)=45o , m(CAB) = m(CAE) + m(EAB)
x = 45o – m(EAB)
her iki tarafın tanlantlarını alalım,
tan x =tan(45𝑜 − 𝑚(𝐸𝐴𝐵)) =
𝑜
𝑡𝑎𝑛45 −tan(𝐸𝐴𝐵)
𝑜
1+𝑡𝑎𝑛45 .tan(𝐸𝐴𝐵)
EAB üçgeninde ; AB = BC = 5+7 = 12 cm. ,
=
tan x
=
7
17
bulunur.
5
12
5
1+1.
12
1−
=
tan(𝑎 − 𝑏) =
|𝐸𝐵|
tan(EAB)=|𝐴𝐵| =
5
12
𝑡𝑎𝑛𝑎−𝑡𝑎𝑛𝑏
1+𝑡𝑎𝑛𝑎.𝑡𝑎𝑛𝑏
tan 45o = 1
7
17
Yanıt E şıkkıdır.
87
2011 LYS
𝜃 = arc sin
𝑥
3
+2
dersek
sin
𝑥
𝜃 = +2
3
dir. Ters trigonometrik fonksiyon.
f(a) = b ⇒ f-1(b) = a
f: sin
sin
𝑥
𝜃 = +2
f(x) =
3
𝜃
iken
⇒
x = 3 sin
f-1(𝜃 ) = x
f-1(𝜃 ) = 3 sin (𝜃) – 6
ve
(𝜃)-6
dir.
ve
f-1: arc sin
bulunur.
Ters fonksiyonun tanımı.
f-1(𝑥) = 3 sin (𝑥) – 6
olur.
Yanıt C dir.
88
2011 LYS
𝑐𝑜𝑡𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑥
,
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑡𝑎𝑛𝑥 =
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
,
sin 2x = 2 sin x.cos x
Eşitlikleri verilen ifadede yerlerine yazılırsa;
𝑐𝑜𝑠𝑥
cot x – 3 tan x =
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
−
3𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥−3𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥
=
−
1
=
1 – sin2x – 3 sin2x =
sin2x =
1
8
𝑐𝑜𝑠𝑥
sol tarafta payda eşitlendiğinde;
2𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥
1
sadeleştirme yaparsak,
2𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 3𝑠𝑖𝑛2 𝑥 =
4 sin2x =
3𝑠𝑖𝑛𝑥
1
2
ve
cos2x=1 – sin2x
olduğundan
1
2
1
2
bulunur.
Yanıt B dir.
89
2011 LYS
ABE üçgeninde ; tan x =
BDC üçgeninde ; tan y
tan B = tan (x + y) =
tan ( x + y) =
3
+1
5
3
1− .1
5
=
8
5
2
5
=4
bulunur.
3
5
3
=
3
=1
ve
𝑡𝑎𝑛𝑥+𝑡𝑎𝑛𝑦
1−𝑡𝑎𝑛𝑥.𝑡𝑎𝑛𝑦
B = x+ y
olduğundan;
Yanıt D dir.
90
2010 LYS
cos 40o = 2 cos220o – 1
Yarım açı.
cos 55o = sin 35o
Tümler açılar.
1+𝑐𝑜𝑠40𝑜
𝑐𝑜𝑠55𝑜 .𝑐𝑜𝑠35𝑜
=
=
=
1+2 𝑐𝑜𝑠2 20𝑜 −1
𝑠𝑖𝑛35𝑜 .𝑐𝑜𝑠35𝑜
2 𝑐𝑜𝑠2 20𝑜
1
𝑠𝑖𝑛70𝑜
2
4 𝑐𝑜𝑠2 20𝑜
𝑐𝑜𝑠20𝑜
= 4 𝑐𝑜𝑠20𝑜
Verilende yerlerine yazıldığında;
sin70o = 2 sin35o.cos35o
sin70o = cos20o
Yarım açı
Tümler açı
İşlem yaptığımızda;
Bulunur.
Yanıt C şıkkı.
91
2008 ÖSS
cos
𝜋
+ 𝑥 = −𝑠𝑖𝑛𝑥
2
𝜋
2
+𝑥
II. Bölgede ve kosinüs - dir.
Veya:
𝜋
𝑐𝑜𝑠
2
Ve de ;
cos
𝜋
2
𝜋
𝜋
2
2
+ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 sinx
sin
𝜋
2
=
0.sin x – 1.sin x
=
-sin x
− 𝑥 = 𝑐𝑜𝑥
+ 𝑥 = sin
- sin x = cosx
𝜋
2
olduğundan,
yerlerine yazıldığında ;
−𝑥
olur. Eşitliğin her iki tarafını cos x ‘ e bölersek ;
−𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
=
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑡𝑎𝑛𝑥 = −1
olur.
Yanıt C dir.
92
2009 ÖSS
Çemberde ‘’çapı gören çevre açı 90o olduğundan’’, m(BAC)=90o dir.
BAC dik üçgeninde, |BO|=|OA|=|OC| ve BOA ikizkenar üçgen olup, m(ABC)=
𝑥
2
dir.
|BC|2 = 32 + 12 = 10
sin
sin x = 2 sin
sin x = 2.
𝑥
2
1
√10
𝑐𝑜𝑠
.
𝑥
2
𝑥
√10
1
√10
,
cos
𝑥
2
=
3
√10
Yarım açıdan,
2
3
=
=
3
5
bulunur.
Yanıt C şıkkıdır.
93
2010 LYS
Verilen ifadede parantez karesini açar ve payda eşitlersek ;
(𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥)2
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 − 2𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 + 2𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥
+ 2𝑠𝑖𝑛𝑥 =
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
sin2x + cos2x = 1
(𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥)2
𝑐𝑜𝑠𝑥
+ 2𝑠𝑖𝑛𝑥 =
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
bulunur.
Yanıt A şıkkıdır.
2011 LYS
cos 2x = 2 cos2x -1
cos 2x = 2.
−
4 2
5
Yarım açı kullanıldığında ;
− 1 = 2.
16
25
−1=
32
25
−1=
7
25
Yanıt E.
94
2007 ÖSS
o
o
o
sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb
den sin(10 +40 )=sin10 .cos40o+cos10o.sin40o=sin50o ;
cos(a-b)=cosa.cosb+sina.sinb
den
cos(50o-10o)=cos50o.cos10o+sin50.sin10o=sin40o yerlerine yazıldıklarında;
=
=
𝑠𝑖𝑛50𝑜
𝑐𝑜𝑠40𝑜
𝑜
ve cos 40o = sin 50o olduğundan
𝑠𝑖𝑛50
𝑜=1
𝑐𝑜𝑠50
dir.
Yanıt E şıkkıdır.
95
2010 LYS
3 sin x – 4 cos x = 0 ⇒ 3 sin x = 4 cos x
3𝑠𝑖𝑛𝑥
3𝑐𝑜𝑠𝑥
=
4𝑐𝑜𝑠𝑥
3𝑐𝑜𝑠𝑥
tan x =
⇒
4
3
eşitliğin her iki tarafını 3 cos x ‘e bölelim.
iken sin x ve cos x hesaplanabilir.
sin x = 4/5
cos x = 3/5
cos 2x = cos2x – sin2x
2
olduğundan;
2
cos 2x = (3/5) – (4/5) = - 7/25
|cos 2x| = |-7/25| = 7/25
Yanıt
D
şıkkıdır.
96
2008 ÖSS
(sin x + cos x)2 = sin2x + 2 sin x.cos x + cos2x
2
2
sin x + cos x =1
ve
sin 2x = 2 sin x.cos x
2
(sin x + cos x) = 1 + a
bulunur.
Tam kare.
Yerlerine yazalım.
Yanıt A şıkkıdır.
2010 LYS
tan 60o =
𝑡𝑎𝑛60𝑜
𝑠𝑖𝑛20𝑜
𝑠𝑖𝑛60𝑜
değeri yerine yazıldığında;
𝑐𝑜𝑠60𝑜
−
1
𝑐𝑜𝑠200
=
=
𝑠𝑖𝑛60𝑜
𝑐𝑜𝑠60𝑜
𝑠𝑖𝑛20𝑜
−
1
Payda eşitlediğimizde ,
𝑐𝑜𝑠200
𝑠𝑖𝑛60𝑜 𝑐𝑜𝑠20𝑜 −𝑐𝑜𝑠60𝑜 𝑠𝑖𝑛20𝑜
𝑠𝑖𝑛20𝑜 𝑐𝑜𝑠20𝑜
sin(60o-20o) = sin60o cos20o-cos60o sin20o
ve sin 40o =2sin20o cos20o
𝑠𝑖𝑛40𝑜
=1
2
𝑠𝑖𝑛40𝑜
=2
bulunur.
Yanıt
yazalım.
B şıkkıdır.
97
2009 ÖSS
Ek çizimleri yaptığımızda ;
x = 30o – y
tan 30o =
tan x = tan (30o-y)
=
𝑡𝑎𝑛30𝑜 −𝑡𝑎𝑛𝑦
1+𝑡𝑎𝑛30𝑜 .𝑡𝑎𝑛𝑦
√3
3
=
; 𝑡𝑎𝑛𝑦 =
√ 3 √3
−
3
6
√3 √3
1+ .
3 6
=
√𝟑
𝟕
𝑎
2√3𝑎
=
bulunur.
√3
6
Yanıt B
98
2007 ÖSS
𝑠𝑖𝑛
sin2
𝜋
12
𝑠𝑖𝑛
𝜋
12
+ 𝑐𝑜𝑠
+cos2
𝜋
12
𝜋 2
12
𝜋
12
+ 𝑐𝑜𝑠
= 𝑠𝑖𝑛2
=1
𝜋 2
12
𝜋
12
+ 2𝑠𝑖𝑛
𝑠𝑖𝑛2.
ve
1
3
2
2
=1+ =
𝜋
12
𝜋
12
𝑐𝑜𝑠
= 2𝑠𝑖𝑛
𝜋
12
𝜋
12
+ 𝑐𝑜𝑠 2
𝑐𝑜𝑠
bulunur.
𝜋
12
𝜋
Tam kare
12
𝜋
1
6
2
= 𝑠𝑖𝑛 =
Yanıt B
şıkkıdır.
2007 ÖSS
cos 2a = cos2a – sin2a
𝑐𝑜𝑠2𝑎
1−𝑡𝑎𝑛2 𝑎
=
co𝑠2 a – si𝑛2 a
𝑠𝑖𝑛2 𝑎
1− 2
𝑐𝑜𝑠 𝑎
tan2a =
ve
=
𝑠𝑖𝑛2 𝑎
𝑐𝑜𝑠2 𝑎
co𝑠2 a – si𝑛2 a
co𝑠2 a – si𝑛2 a
𝑐𝑜𝑠2 𝑎
değerleri yerlerine yazılırsa;
= 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎
bulunur.
Yanıt B
99
2006 ÖSS
sin 2a = 2 sin a.cos a
𝑠𝑖𝑛2𝑎
1−𝑐𝑜𝑠2𝑎
=
cos 2a = 1 – 2 sin2a
ve
2𝑠𝑖𝑛𝑎.𝑐𝑜𝑠𝑎
1−(1−2𝑠𝑖𝑛2 𝑎)
=
2𝑠𝑖𝑛𝑎.𝑐𝑜𝑠𝑎
2𝑠𝑖𝑛2 𝑎
=
𝑐𝑜𝑠𝑎
𝑠𝑖𝑛𝑎
değerleri yerlerine yazılırsa;
= 𝑐𝑜𝑡𝑎
bulunur.
Yanıt D
P(cos𝜃, sin𝜃) olarak tanımlandığından
P’(cos𝜃, -sin𝜃) olmalıdır.
Veya ;
Tanımdan
P’(cos(−𝜃), sin(−𝜃)) olmalıdır.
B şıkkında verilen
(cos(−𝜃), sin𝜃)
tanımları doğrulamaz.
Yanıt B
2006 ÖSS
100
2006 ÖSS
tan(x+y) =
1
3
=
𝑡𝑎𝑛𝑥+𝑡𝑎𝑛𝑦
1−𝑡𝑎𝑛𝑥.𝑡𝑎𝑛𝑦
1
7
1
1−𝑡𝑎𝑛𝑥.
7
𝑡𝑎𝑛𝑥+
22 tan x = 4
tan x =
2
11
;
tan (x+y) = 3/9 = 1/3
BEK Üçgeninde
tan y =3/21 =1/7
ALK Üçgeninde
eşitliğinde verilenler yerlerine yazıldığında ;
1
3
=
7𝑡𝑎𝑛𝑥+1
7−𝑡𝑎𝑛𝑥
;
7 – tan x = 21 tanx + 3
ve
dir.
Yanıt C
101
2012 LYS
Denklemin kökü, eşitlikte yerine yazıldığında eşitliği sağlayan sayıdır.
Denklemde x yerine
2 2
3
− (𝑠𝑖𝑛 𝑎)
2
yazıldığında;
3
2
1
− (𝑐𝑜𝑠 2 𝑎) = 0
3
4
olur.
İşlem yaptığımızda ;
16 – 24 sin a – 9 cos2a = 0
ve
cos2a =1 – sin2a olduğundan
16 -24 sin a – 9 ( 1 – sin2a) = 0
9 sin2a -24 sin a + 7 = 0
Trigonometrik denklemi elde edilir.
Bu denklemi çözelim.
(3 sin a - 7)(3 sin a – 1) = 0 Şeklinde çarpanlara ayrılabilir.
3 sin a -7 = 0
ve
sin a =
7
bulunur ki bu mümkün değildir.
3
Çünkü −1 ≤ 𝑠𝑖𝑛𝑎 ≤ 1 olmalıdır.
3 sin a – 1 = 0
ve
sin a =
1
3
dır.
Yanıt E şıkkı
102
KONU TESTİ: (ÇÖZÜMLÜ)
1.
sin x
1
1  cos x
A) 0
B) 1

denkleminin [0, 2  ] aralığında kaç tane kökü vardır?
C) 2
D) 4
E) 6
sin x
1
1  cos x
sin x = 2 𝑠𝑖𝑛
𝑥
2
2 𝑠𝑖𝑛 .𝑐𝑜𝑠
𝑥
2
𝑥
2
𝑥
2
1+2 co𝑠2 −1
. 𝑐𝑜𝑠
𝑥
;
2
𝑥
2
𝑥
𝑐𝑜𝑠
2
𝑠𝑖𝑛
=1
⇒
cos x = 2 cos2
=1
⇒ tan
𝑥
2
𝑥
2
−1
=1
⇒
Yarım açı formülleri
𝑥
2
𝜋
= + 𝑘𝜋
4
⇒ x=
𝜋
2
2.çözüm yolu: içler dışlar çarpımından sonra düzenlediğimizde sin x – cos x =1
eşitliğinin karesini alırsak; sin2x – 2 sin x.cos x + cos2x = 1
sin2x + cos2x = 1 ve sin 2x = 2 sin x.cos x formüllerinden sin 2x = 0 denklemi ve
x = 0,
𝜋
2
,
𝜋,
3𝜋
2
, 2𝜋
bulunur. Bu köklerden verilen eşitliği sağlayan tek sayı
NOT : y=sinx ve y= 1+cosx fonksiyonlarının grafikleri x=
Fakat
x=𝜋 için
𝜋
2
A)
2
dir.
ve x=𝜋 de kesişir.
1+cosx = 0 olur. Kesrin paydası 0 olamayacağından
x=𝜋 kök olarak alınmaz.
2.
𝜋
Yanıt: B
tan 50. tan 150. tan 250...... tan 650 tan 750. tan 850  ?
1
2
B)
3
3
C) 1
D)
E) 2
3
tan 85o = cot 5o , tan 75o = cot 15o , tan 65o = cot 25o , tan 55o = cot 35o
Tümler açılar.
ve
tan x. cot x = 1
ve de
tan 45o =1
Baştan ve sondan birer terim alındığında;
1.1.1.1.1 = 1
bulunur.
Yanıt: C
103


 2
tan arctan     arctan 5  ?
 3


3.
A) -
B) -1
3
arctan
2
(− ) = 𝑎
3
tan a = −
2
ve
3
tan [ arctan
C) 0
D) 1
ve
arctan 5 = b
tan b = 5
E)
3
dersek;
olur.
2
𝑡𝑎𝑛𝑎+𝑡𝑎𝑛𝑏
3
1−𝑡𝑎𝑛𝑎.𝑡𝑎𝑛𝑏
(− ) + arctan 5 ] = tan (a+b) =
=
2
3
− +5
2
1− −3 .5
=1
Yanıt: D
4.
sin
A)
3
4
sin
5𝜋
sin
𝜋
. sin
B)
12
12

12
5
?
12
2
2
= 𝐶𝑂𝑆
. 𝑠𝑖𝑛
5𝜋
12
C)
𝜋
2
−
= 𝑠𝑖𝑛
sin 2a =2 sin a.cos a
5𝜋
12
𝜋
12
ve
3
2
D)
= 𝐶𝑂𝑆
. 𝑐𝑜𝑠
𝜋
12
1
4
E)
𝜋
12
1
2
Tümler açı
1
𝜋
2
12
= 𝑠𝑖𝑛2.
𝜋
1
6
2
𝑠𝑖𝑛 =
1
𝜋
1 1
1
2
6
2 2
4
= 𝑠𝑖𝑛 = . =
Yanıt: D
104
sin( x  y )  0,3
sin( x  y )  0,5
5.
A) 0,2
B) 0,4
sin( x  y )  0,3
sin( x  y )  0,5
ise
C) 0,6
sin x. cos y  ?
D) 0,8
E) 1
Eşitlikler taraf tarafa toplandığında;
sin(x+y) + sin(x-y) = 0,8
sin x.cos y + cos x.sin y + sin x.cos y - cos x.sin y = 0,8
2 sinx.cos y = 0,8
sin x.cos y = 0,4
Yanıt: B
cos150  sin 150
?
cos150  sin 150
6.
A)
bulunur.
1
3
B)
2
C)
3
D) 2
E) 3
Verilen ifadenin pay ve paydası (cos 15 o + sin 15o ) ile çarpılırsa;
(cos
15𝑜
(cos 15𝑜 + sin 15𝑜 )2
𝑐𝑜𝑠 2 15𝑜 + 2𝑠𝑖𝑛15𝑜 𝑐𝑜𝑠15𝑜 + 𝑠𝑖𝑛2 15𝑜
=
𝑜
𝑜
𝑜
− sin 15 )(cos 15 + sin 15 )
𝑐𝑜𝑠 2 15𝑜 − 𝑠𝑖𝑛2 15𝑜
cos215 + sin215o = 1
;
𝑐𝑜𝑠 2 15𝑜 − 𝑠𝑖𝑛2 15𝑜 = 𝑐𝑜𝑠2.15𝑜 = 𝑐𝑜𝑠30𝑜 =
2 sin150.cos 15o = sin 2.15o = sin 30o =
1
2
=
√3
2
ve
değerleri yerlerine yazıldığında
1
2
√3
2
1+
= √3
bulunur. Yanıt: C
105
7.
A)
sin x  cos x 
1
2
1
2
ise
3
4
B)
C)
sin 3 x  cos 3 x  ?
5
8
D)
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
9
16
E)
11
16
İki küp toplamı
sin3 x + cos3 x = (sin x + cos x)( sin2 x – sin x. cos x + cos2 x)
sin2 x + cos2 x = 1
;
sin 2x = 2 sin x. cos x
(sin x + cos x)2 = sin2 x +2. sin x. cos x + cos2 x =
1 + 2 sinx.cos x =
sin3 x + cos3 x =
1
.(1 – (-3/8)) =
2
¼
1 2
2
, sin x.cos x = -3/8
11
bulunur.
16
Yanıt: E
8.


A = 2 sin  2x 
A) 0
B) 1
−1 ≤ 𝑠𝑖𝑛𝜃 ≤ 1
sin (2𝜋𝑥 −
𝜋
)
2

 1
2
C) 2
ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
D) 3
E) 
olduğundan A’ nın en büyük değeri alması için
= −1
olmalıdır.
A = |2(-1)-1| = 3
En büyük değer.
Yanıt: D
106
9.
tan x. tan 4x 1  0 denkleminin 0 < x <
A) 2
B) 3
tan a = cot
C) 4
𝜋
( − 𝑎)
D) 5
ve
2
aralığında kaç tane kökü vardır?

E) 6
tan a. cot a = 1
olduğundan
tan x. tan 4x = 1
eşitliğinin gerçekleşebilmesi için
tan 4x = cot x
olmalıdır.
cot x = tan
tan 4x = tan
𝜋
2
−𝑥
𝜋
2
4x =
𝜋
2
− 𝑥 + k𝜋
5x =
𝜋
2
+ k𝜋
−𝑥
k∈ 𝑍
k = 0, 1, 2, 3, 4
x=
𝜋
2
için tan
değerleri için
𝜋
2
x=
𝜋
10
,
3𝜋
10
,
𝜋
2
,
7𝜋
10
,
9𝜋
10
bulunur.
tanımsız olduğundan denklemim verilen aralıkta 4 kökü vardır.
Yanıt: C
10.
A)
3
4
B)
D)
4
3
3
5
C)
E)
4
5
5
4
D(4,0) ve E(0,6) noktalarından geçen doğru denklemi
𝑥
4
𝑦
+ =1
6
dir.
OABC nin kare olması için B(a,a) doğru denklemini sağlamalıdır.
COA Dik üçgeninde; tan𝜃
=
12
5
4
=
3
5
bulunur.
𝑎
4
𝑎
+ = 1;
6
a=
12
5
Yanıt: B
107
11.
 
?
2
f ( x)  2 f ( x)  sin x ise f 
A) -1
B) 
1
2
C) 0
D)
Verilen eşitlikte x yerine bir kez
𝜋
𝜋
2
2
𝑓( ) − 2𝑓 −
𝑓 −
𝜋
2
−3𝑓
− 2𝑓
𝜋
2
𝜋
2
=
=
= −1
sin
sin (−
𝜋
2
𝜋
)
2
ve
𝜋
,
2
1
3
1
2
E)
bir kez de
-
𝜋
yazarsak ;
2
=1
= -1
𝑓
𝜋
2
2. İfadeyi 2 ile çarpıp 1. İle toplarsak;
=
1
bulunur.
3
Yanıt: D
sin A  sin C
sin A  sin C  0
cos B  cos D  0
cos B  cos D
12.
eşitliklerinden kaç tanesi
doğrudur?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Kirişler Dörrtgeninde ; Karşılıklı açılar Bütünlerdir.
A + C = 180o
C = 1800 – A
sin A = sin C
ve
B + D = 180o
D = 180o – B
sin A = sin (1800 – A) = sin A
DOĞRU
0
sin A + sin C = sin A + sin(180 – A) = sin A + sin A = 2 sin A =0
sin A = 0
; A = 0o
veya
A = 180o Yanlış
cos B + cos D = cos B + cos (180o – B) = cosB – cos B = 0
cos B = cos D
o
cos B = cos (180 – B) = - cos B
2 tane DOĞRU yanıt var.
DOĞRU
cos B = 0
B=900 olmayabilir.
Yanıt: C
108
13. 4.16 sin x  2 6 sin x
2
denkleminin [0, 2  ] aralığındaki çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
  
, 
3 2
 
2
A)  
Eşitliği 22 . (24 )𝑠𝑖𝑛
2𝑥
2+4𝑠𝑖𝑛2 𝑥
2
  
, 
6 3
B) 
D) 
2 + 4 sin2x = 6 sin x
;
2 sin2x – 3 sin x + 1 = 0
  2 
, 
3 3 
E)  ,
şekline dönüştürür işlem yaparsak;
= 26𝑠𝑖𝑛𝑥
= 26𝑠𝑖𝑛𝑥
  5 
, , 
6 2 6 
C) 
; 2 sin2x – 3 sin x + 1 = 0 bulunur.
denklemini çözdüğümüzde;
(2 sin x -1)(sin x – 1) = 0
½
2 sin x – 1 = 0
;
sin x =
sin x – 1 = 0
;
sin x = 1
;
x1 =
;
x3 =
𝜋
6
Yanıt: D
tan 2  . csc  
1
?
sin 
B) csc 3 
𝑡𝑎𝑛2 𝜃. 𝑐𝑠𝑐𝜃 +
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜋
= 5𝜋
6
6
2
  5 
, , 
6 2 6 
A) sec 3 
x2 = 𝜋 −
𝜋
Ç= 
14.
;
C) 0
D) csc 2  . sec 
E) sec 2  . csc 
1
𝑠𝑖𝑛2 𝜃 1
1
1
𝑠𝑖𝑛2 𝜃
1 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃
=
.
+
=
(
)
(1 +
)=
2
2
𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠 2 𝜃
;
𝑡𝑎𝑛2 𝜃. 𝑐𝑠𝑐𝜃 +
𝑐𝑠𝑐𝜃 =
1
𝑠𝑖𝑛𝜃
=
1
𝑠𝑖𝑛𝜃
1
.
;
𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 1 ;
𝑠𝑒𝑐𝜃 =
1
= 𝑐𝑠𝑐𝜃. 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃
bulunur.
𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠2 𝜃
1
𝑐𝑜𝑠𝜃
olduğundan
Yanıt: E
109
tan   cot 
?
sec  . csc 
15.
B) sin 
A) 1
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑡𝑎𝑛𝜃 =

B)
ise
B) 
denkleminin
C)
⇒
5
4
sin 2x = -1
⇒
=
3
2
5𝜋
2
D)
⇒
0,2 
7
4
cos2x +2 cos x +1 = 0
cos x = -1
⇒
⇒
x=𝜋
Yanıt: D
aralığındaki kökler toplamı kaçtır?
E)
(sin x + cos x)2= 0
1 + sin 2x =0
7𝜋
4
E)
cos x + 1 = 0
ve
+
D) 
2
sin2x + cos2x = 1
3𝜋
4
Yanıt: A
x=?

⇒
sin x  cos x  0
x1 + x2 =
1
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑠𝑐𝜃 =
1 – cos2x = 2 cos x + 2
⇒
(cos x + 1)2 = 0
sin x +cos x = 0
1
𝑐𝑜𝑠𝜃
sin2x = 1 – cos2x
sin2x = 2 cos x +2
3
4
E) cot 
= 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 = 𝟏
C)
4
sin2x + cos2x = 1
A)
𝑠𝑒𝑐𝜃 =
sin 2 x  2 cos x  2
A) 0
17.
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃
+
𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃
1
1
.
𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃
=
𝑠𝑒𝑐𝜃.𝑐𝑠𝑐𝜃
⇒
D) tan 
𝑐𝑜𝑡𝜃 =
𝑡𝑎𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑡𝜃
16.
C) cos
5
2
⇒
sin2x + 2 sin x.cos x + cos2x = 0
sin 2x = 2 sin x.cos x
⇒ 2x =
3𝜋
2
+ 𝑘. 2𝜋
⇒ x1 =
3𝜋
4
Yanıt: E
ve
x2 =
7𝜋
4
Commented [ae1]:
110
18.
tan 4x  1
A) 0
B) 2
tan 4x = 1
⇒
denkleminin
0,2  aralığında kaç tane kökü vardır?
C) 4
tan 4x =tan
D) 8
𝜋
4
⇒
E) 16
4x =
𝜋
4
+ k.𝜋
⇒
x=
𝜋
16
+ 𝑘.
𝜋
4
k = 0, 1, 2, 3, 4 ,5, 6, 7 için denklemin [0, 2𝜋] aralığında 8 tane kökü var. Yanıt: D
19.
0o < x < 90o
I. sec x < 1
iken ;
II. sec x = 1
III. sec x > 1
Önermeleri için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) yalnız I doğrudur.
B) yalnız III doğrudur.
D) yalnız III yanlıştır
sec x =
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
0o < x < 90o
için
C) yalnız I yanlıştır.
E) I , II ve III doğrudur.
0 < cos x < 1 olduğundan
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
>1
Yanıt: D
20.
A) 1
cos 2 . sec 2   ?
B) sec 
C) csc 
𝑐𝑜𝑠 2𝜃 = cos2 𝜃 −sin2 𝜃
;
D) 1 tan 2 
sec 𝜃 =
1
1
𝑐𝑜𝑠𝜃
cos 2 𝜃.sec2 𝜃 = (cos2 𝜃 −sin2 𝜃) 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 = 1 -
E) 1 tan 2 
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑠𝑖𝑛2 𝜃
𝑐𝑜𝑠2 𝜃
=
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
1 – tan2 𝜃
Yanıt: E
111
21.
f(x) = cos x ve g(x) = arcsin x ise ; (fog)(x) = ?
A) x2-1
B) 1-x2
x2 1
C)
(fog)(x) = f[g(x)]
D)
1 x2
E) x
Bileşke fonksiyon tanımı
f(x) = cos x ve g(x) = arcsin x
(fog)(x) = f[g(x)] = f[arcsin x] = cos [arcsin x]
arcsin x = 𝜃
dersek
cos 𝜃 yı bulmamız gerekiyor.
arcsin x = arcsin x = 𝜃 ⇒
sin2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1
sin 𝜃 = x
⇒ x2 + cos2 𝜃 = 1 ⇒ cos2 𝜃 = 1 − 𝑥 2
⇒ cos 𝜃 = √1 − 𝑥 2
22.
A)
1
49
sin 2a 
1
7
B)
Yanıt: D
ise
sin 4 a  cos 4 a  ?
97
98
sin2a + cos2a = 1
C)
195
196
2305
2401
E)
4610
2401
Eşitliğinin karesini alalım.
(sin2a + cos2a)2 = 12
⇒ sin4a + 2 sin2a.cos2a + cos4a =1
sin 2a = 2 sin a.cos a =
1
7
⇒ sin a.cos a =
sin4a + 2 sin2a.cos2a + cos4a =1
sin4a + cos4a = 1
D)
-
1
98
=
97
98
⇒
1
14
sin4a +2.
⇒ sin2a.cos2a =
1
196
1
196
+ cos4a = 1
Yanıt: B
112
23.
tan x  2 sin x denkleminin en küçük pozitif kökü kaç derecedir?
A) 15o
𝑡𝑎𝑛𝑥 =
B) 30o
C) 45o
𝑠𝑖𝑛𝑥
⇒
1
cos x = cos 60o
cos x =
⇒
x = ± 60o + k.360o
⇒
2
= 2 sin x
𝑐𝑜𝑠𝑥
⇒
A)
E) 75o
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
tan x = 2 sin x
24.
D) 60o
En küçük pozitif kök 60o dir.
0,2 
2 cos 2 x  1  cos x denkleminin

B)
3

2 cos2x = 1 – cos x
⇒
⇒ 2 cos x -1 = 0
veya
2 cos x -1 = 0
𝜋
3
Kökler toplamı =
1
⇒ cos x =cos
2
𝜋
,
3
cos x = -1
𝜋
3
+
5𝜋
3
E) 3
⇒
(2 cos x -1)(cos x + 1) = 0
cos x + 1 = 0
⇒ x1 =
⇒
aralığındaki kökler toplamı kaçtır?
2 cos2x + cos x – 1 = 0
⇒ cos x =
⇒ x = ± +k.2𝜋
cos x + 1 = 0
D) 2
C) 
2
Yanıt: D
+
x2 =
⇒
𝜋 = 3𝜋
𝜋
3
5𝜋
3
x3 = 𝜋
Yanıt: E
113
25.
A)
arcsin x + arcos x = ?

B)
6

arcsin x = 𝛼

C)
4
x = sin 𝛼
⇒

D)
3
E)2
2
ve
arccos x = 𝛽
cos 𝛼 = √1 − 𝑥 2
arcsin x + arccos x = A
sin (𝛼 + 𝛽) = sin A
𝛼 + 𝛽=A
⇒
26.
1
A) − 2
5
9
x
4
4
B) 
(sin x – cos x) = T
sin2x + cos2x = 1
1 - sin 2x =T2
5
9
x
4
4
2
sin A = x2 + 1 – x2
⇒
A
⇒
C) 0
sin x – cos x = T
2
𝜋
için ; sin 2 x 
1
4
Her iki tarafın sinüsünü aldığımızda;
sin 𝛼.cos 𝛽 + cos 𝛼. sin 𝛽 = sin A
⇒
sin A =sin
⇒
x = cos 𝛽
sin 𝛽 = √1 − 𝑥 2
⇒ x . x + √1 − 𝑥 2 . √1 − 𝑥 2 = sin A
sin A = 1
⇒
=
𝜋
sin A = 1
Yanıt: D
2
sin x  cos x  ?
3
ise
4
D)
⇒
1
4
E)
1
2
diyerek her iki tarafın karelerini alalım.
2
sin2x – 2 sin x.cos x + cos2x = T2
⇒
ve
⇒ 1-
sin 2x = 2 sin x.cos x
3
4
= T2
ve sin 2x =
3
4
⇒
>0
T2 =
1
4
olduğundan
x , 3. Bölgede ve 2x, 2. Bölgededir. Bu aralıkta
sin x – cos x < 0 olup
sin x – cos x =
-
1
2
T=±
⇒
5𝜋
4
<𝑥<
1
2
3𝜋
2
olmalıdır.
0 < cos x > sin x olacağından
Yanıt: A
114
27.
cos x  sin 2x
A) 0
B) 1
denkleminin [0o,360o] aralığında kaç tane kökü vardır?
C) 2
D) 3
E) 4
cos x = sin 2x ⇒ cos x – sin 2x = 0 ⇒
cos x – 2 sin x.cos x = 0
sin 2x = 2 sin x.cos x
⇒ cos x ( 1 – 2 sin x) = 0 ⇒ cos x = 0
cos x = 0
⇒ x1 = 90o ,
veya 1 – 2 sin x = 0
x2 = 270o
1 – 2 sin x = 0 ⇒ sin x =
1
2
⇒
sin x = sin 30o ⇒ x3 = 30o
ve
sin x = sin 150o ⇒ x4 = 150o
olmak üzere denklemim verilen aralıkta dört tane kökü vardır.
28.
A)
2
5
tan   2
B)
Yanıt:E
1
1

?
1  cos  1  cos 
ise
4
5
C) 1
D)
5
4
E)
5
2
1
1
1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃
2
2
+
=
=
=
= 2𝑐𝑠𝑐 2 𝜃
1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 (1 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)(1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃) 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
sin2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 1
;
csc θ =
csc θ =
√5
2
1
𝑠𝑖𝑛𝜃
5
5
4
2
2𝑐𝑠𝑐 2 𝜃 = 2 . =
Yanıt: E
115
29.
A)

B)
3

𝜋
O.K.E.K(
2
2𝜋
=
4
E) 4
D) 2
C) 
2
sin 4x ; periyodu
30.
fonksiyonunun periyodu nedir?
y  3 sin 4 x  2 cos 6 x
𝜋
,
2
𝜋
, )=𝜋
cos 6x ; periyodu
Verilen fonksiyonun periyodu
3
2𝜋
6
𝜋
=
𝜋
dir.
3
Yanıt: C
sin x
1  cos x

?
1  cos x
sin x
A) csc x
B) sec x
C) 2.csc x
D) 2.sec x
E) tan x
𝑠𝑖𝑛𝑥
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + (1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)2 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 1 + 2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
+
=
=
1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑠𝑖𝑛𝑥(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)
1
sin2x + cos2x = 1
=
𝑠𝑖𝑛𝑥
1+1+2𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥(1+𝑐𝑜𝑠𝑥)
31.
=
= 𝑐𝑠𝑐 𝑥
2(1+𝑐𝑜𝑠𝑥)
𝑠𝑖𝑛𝑥(1+𝑐𝑜𝑠𝑥)
=
2
𝑠𝑖𝑛𝑥
= 2𝑐𝑠𝑐𝑥
Yanıt: C
csc x + 2 = 0 denkleminin 0 o  x  360 o aralığındaki çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A){60o,300o}
csc x =
⇒
1
𝑠𝑖𝑛𝑥
B){30o,330o}
olduğundan ;
2 sin x +1 = 0
⇒
C){120o,240o}
csc x + 2 = 0
sin x = -
1
2
⇒
D) {150o,210o}
⇒
1
𝑠𝑖𝑛𝑥
E) {210o,330o}
+2=0
sin x =sin(180o+30o) ⇒
x = 210o
sin x = sin(360o-30o) ⇒ x = 330o
Ç = {210o,330o}
Yanıt: E
116
32.
sin 2 0 o  sin 2 1o  sin 2 2 o  ...  sin 2 90 o  ?
A) 45
B) 45,5
C) 45
2
D)
91 2
2
E) 45
3
sin 0o=cos 90o ; sin 10=cos89o ; sin 2o=cos 880 ….Tümler açılar.
Yerlerine yazılır ve sin2x + cos2x = 1 özdeşliği kullanılırsa ;
sin20o+sin21o+sin22o + …
+sin290o = cos290o+cos289o+cos288o+ … +sin290o
= 1+1+1+ … +1+ sin245o = 45 + 0,5 = 45,5
sin45o=1/√2
D) 2 cos 2
E) 4 sin 
Yanıt: B
1  cos 8
?
2
33.
C) 2 sin 2
B) cos 4
A) sin 4
cos 8𝜃 = cos 2.4𝜃 = 1 − 2𝑠𝑖𝑛2 4𝜃
√
45 tane 1 var,
1−𝑐𝑜𝑠8𝜃
2
=√
1−(1−2𝑠𝑖𝑛2 4𝜃)
2
34. sec x  tan x  cot x
A) 0
B)
sec x =
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
⇒
=

1
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
+

D)
3
; tan x =
𝑐𝑜𝑠𝑥
cos 𝑥
sin 𝑥
sin x = 1
⇒
= √𝑠𝑖𝑛2 4𝜃 = sin 4𝜃
Yanıt: A
denkleminin bir kökü aşağıdakilerden hangisidir?
C)
4
cos 2a = 1 – 2sin2a
dır.
⇒
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
sin x = sin
=
𝜋
2

2
E) Hiç biri
; cot x =
cos 𝑥
sin 𝑥
𝑠𝑖𝑛2 𝑥+𝑐𝑜𝑠2 𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥
⇒ 𝑥=
𝜋
2
Yerlerine yazılırsa;
𝑠𝑖𝑛2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1
Olamaz. (secant tanımsız)
Yanıt: E
117
35.
1
1

?
1  cos x 1  cos x
A) sec2x
B) csc2x
sin2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 1
1
1+𝑐𝑜𝑠𝜃
+
;
1
1−𝑐𝑜𝑠𝜃
=
C) 2sec2x
csc θ =
D) 2csc2x
E) 1
1
𝑠𝑖𝑛𝜃
1−𝑐𝑜𝑠𝜃+1+𝑐𝑜𝑠𝜃
(1+𝑐𝑜𝑠𝜃)(1−𝑐𝑜𝑠𝜃)
2
=
=
1−𝑐𝑜𝑠2 𝜃
2
𝑠𝑖𝑛2 𝜃
= 2𝑐𝑠𝑐 2 𝜃
36.
A) 15
B) 16
D) 20
EBC üçgeninde;
tan
𝜃=
𝑥+9 𝑥
−
10 10
𝑥+9 𝑥
1+ 10 .10
EAC üçgeninde;
tan
𝜃=
𝑥+9 𝑥
−
40 40
𝑥+9 𝑥
1+
.
40 40
𝑥+9 𝑥
−
10 10
𝑥+9 𝑥
1+
.
10 10
⇒
=
𝑥+9 𝑥
−
40 40
𝑥+9 𝑥
1+
.
40 40
x2 + 9x – 400 = 0
⇒
⇒
E) 25
tan 𝑎−𝑡𝑎𝑛 𝑏
tan (a-b) =
Taraf tarafa eşitlersek;
4
𝑥 2 +9𝑥+1600
=
C) 18
1+tan 𝑎.tan 𝑏
1
𝑥 2 +9𝑥+100
(x -16)(x +25) = 0
⇒
x = 16
Yanıt: B
118
37.
A)
ABC üçgeninde ;
1
5
B)
1
6
3a = 2b = 3c = 6K
3a = 2b = 3c ise
C)
1
7
D)
dersek;
a2 = b2 + c2 -2 bc.cos A
tan
1
2
a = 2K ,
A
?
2
E)
b = 3K ,
1
3
c = 2K
Kosinüs teoreminde yerine yazılırsa;
4K2 = 9K2 + 4K2 – 2.3K.2K.cos A
cos A =
3
4
tan A =
√7
3
sin A =
√7
4
38.
sin 3 x  sin x
?
cos 3 x  cos x
A) 2 tan x
tan
𝐴
2
=
1−cos 𝐴
sin 𝐴
B) tan 2 x
=
3
4
√7
4
1−
=
C) 2 cot x
1
√7
D) cot 2 x
Yanıt: C
E) sec 2 x
Uygulandığında;
𝑠𝑖𝑛3𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠3𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥
=
2𝑠𝑖𝑛2𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥
2𝑐𝑜𝑠2𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥
= 𝑡𝑎𝑛2𝑥
bulunur.
Yanıt:B
119
39.
A açısı dik açı olan bir ABC üçgeninde ;
cos 2C  sin B  cos C 
A) 30O
B) 36O
B + C = 90O
1
ise
2
B açısının ölçüsü kaç derecedir?
C) 45O
B = 900-C
,
D) 60O
E) 75O
sin B = sin(90o- C) = cos C
,
cos 2 C + sin B – cos C = cos 2C + cos C – cos C =cos 2C =
cos 2C =
1
2
B + C = 90O
⇒
cos 2C = cos 60o
⇒
B + 30O= 90O
⇒
⇒
2C = 60O
B = 60O
⇒
Tümler açılar.
1
2
C = 30o
Yanıt: D
40.
A)
1
7
B)
D)
1
9
7
9
C)
E)
9
7
11
9
KAE üçgeninde; A iç açısı ile 𝜃 iç açısının toplamı E deki dış açıya eşittir.
𝜃 =𝐸−𝐴
tan 𝜃
= tan(𝐸 − 𝐴) =
EBC de tan E = 3 ,
2
3−
3
tan θ =
2
1+3.
3
=
7
9
𝑡𝑎𝑛𝐸−𝑡𝑎𝑛𝐴
1+𝑡𝑎𝑛𝐸.𝑡𝑎𝑛𝐴
2
ABF de tan A =
3
Yanıt: B
HATA NEREDE ?
120
Soldaki üçgen 7 parçadan oluşmuştur. Ortadaki 2x1 dikdörtgen çıkarıldığında
kalan 6 parça ile sağdaki üçgen oluşturuluyor.
Yapılan işlemde bir hata varmı?
HATA !
A, B, C Noktaları Doğrusal göründükleri halde
Doğrusal değiller
doğrusal değiller.
olması
olması (Yöndeş) gerekir.
Doğrusal olmaları için x ve y açılarının eşit
ABD üçgeninde tan x = 3/7 iken
BCE üçgeninde
tan y = 2/5 tir.
121
Dört parçadan oluşan soldaki karenin alanı 64 birim karedir.
Aynı parçalardan oluşturulan sağdaki dikdörtgenin alanı 65 birim karedir.
AYNI PARÇALARDAN OLUŞMUŞ ŞEKİLLERE BAKARAK
64 = 65
DİYEBİLİRMİYİZ ???
122
…
KARMAKARIŞIK
sin a + sin b = 2 sin
𝑎+𝑏
𝑎−𝑏
.cos 2
2
sin 20o + sin 40o = 2 sin 30o.cos 10o =sin x
sin 30o=1/2
cos 10o = sin 80o
2.(1/2).cos 10o = sin x
sin 80o = sin x
x = 80o
123
sin 2x = 2 sin x.cos x
𝑠𝑖𝑛2𝑥
1+𝑐𝑜𝑠2𝑥
=
cos 2x = 2 cos2x-1
;
2𝑠𝑖𝑛𝑥.𝑐𝑜𝑠𝑥
1+2𝑐𝑜𝑠2 𝑥−1
2
𝑎
3
𝑏
= 𝑡𝑎𝑛𝑥 = =
A = 2.B ;
=
;
𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
a+b=5
A enbüyük,
B en küçük
x – 1, x, x+1 kenar uzunlukları.
a = x+1 , b = x-1 , c = x
Büyük açı karşısında büyük kenar bulunur.
b2 = a2+c2-2ac.cos B
Kosinüs Teoremi.
(x-1)2=(x+1)2+x2-2(x+1)x.cos B
𝑎
=
𝑠𝑖𝑛𝐴
𝑥+1
𝑠𝑖𝑛2𝐵
𝑏
𝑠𝑖𝑛𝐵
=
cos B =
𝑥−1
𝑠𝑖𝑛𝐵
(1)
Sinüs teoremi
;
𝑥+1
2𝑠𝑖𝑛𝐵.𝑐𝑜𝑠𝐵
𝑥+1
2(𝑥−1)
=
𝑥−1
𝑠𝑖𝑛𝐵
(2)
(1) ve (2) den; x = 5 ve cos B =
3
4
Üslü sayı özelliklerinden;
2𝑠𝑖𝑛𝑥 > 1 ⇒ 𝑠𝑖𝑛𝑥 > 0
3𝑐𝑜𝑠𝑥 < 1 ⇒ 𝑐𝑜𝑠𝑥 < 0
sinüsün pozitif, kosinüsün neggatif olduğu
bölge, 2. Bölgedir.
2. Bölgede bulunan açı 140o dir.
124
2𝑠𝑖𝑛𝑥+3
2𝑡𝑎𝑛𝑥+3𝑠𝑒𝑐𝑥
=
2𝑠𝑖𝑛𝑥+3
𝑠𝑖𝑛𝑥
1
2.
+3.
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
= 𝑐𝑜𝑠𝑥
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) iki küp toplamı
(tanx+cotx)2=tan2x+2tanx.cotx+cot2x
tan2x+cot2x=a2-2
tanx.cotx=1 ;
tan3x+cot3x=(tanx+cotx)(tan2x-tanx.cotx+cot2x)
tan3x+cot3x=a(a2-2-1)=a3-3a
𝑐𝑜𝑡𝑥 =
1
𝑡𝑎𝑛𝑥
1 cosx
(tanx)sinx =(
) =(tanx)-cosx
𝑡𝑎𝑛𝑥
sinx = -cosx
; sinx+cosx=0
(sinx+cosx)2=sin2x+2sinx.cosx+cos2x=0
; sin 2x = -1 = sin 270o
1 + sin 2x = 0
2x =270o ; x = 135o veya x = 45o
NOT: tanx=cotx=1 olarak ta düşünülebilir.
1
cosa.cosb = 2 [𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏) + cos(𝑎 − 𝑏)]
1
cosx.cos3x=2 (𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥)
cos2a=2cos2a-1 ; cos4x=2cos22x-1
1
2
cosx.cos2x.cos3x= [𝑐𝑜𝑠4𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥]𝑐𝑜𝑠2𝑥
1
2
= [2cos22x-1+cos2x]cos2x =1
2cos32x+cos22x-cos2x-2=0 denkleminden
cos2x = 1
,
2x = k.2𝜋 ,
x =k.𝜋
125
(sin𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃
= 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃
sin2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 = 1
;
sin2𝜃 = 2𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃
= 1 + sin2𝜃 –sin2𝜃 = 1
a2 – b2 = (a-b)(a + b)
İki kare farkı
sin875o–cos875o
= (cos475o-sin475o)(cos4 75o+sin4 75o)
cos475o-sin475o = (cos275o-sin275o)( cos275o+sin275o)
(cos275o+sin275o)2= cos4 75o+2sin275o.cos275o+sin475o
cos 2a = cos2a – sin2a
;
sin 2a = 2 sin a.cos a
sin 150o = 2 sin75.ocos75o =
cos275o-sin275o= cos 150o =sin875o–cos875o =
- (-
sin2a + cos2a = 1
1
2
√3
2
√3
).
2
1
7√3
16
16
1 . (1-2. ) =
sin 2x = 2 sin x.cos x
cos x = ±√𝟏 − 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 = -
1
2√6
sin 2x = 2. . (−
5
5
√1 −
)=−
1
25
=−
2√6
5
2. Bölgede kosinüs negatiftir.
4√6
25
126
x1 + x2 = -a
4
;
2
x1.x2 = b
o
a – b = (sin 15 + cos 15o)4 – (sin 15o.cos 15o)2
1
2
= [(sin 15o + cos 15o)2]2 – ( sin 30o)2
1
2
1
2
= [ sin215o + 2sin 15o.cos 15o + cos215o]2 – ( . )2
= [ 1 + sin 30o]2
-
1
16
=[1+
1 2
]
2
sin 30o=
; sin 2a = 2 sin a.cos a ;
-
1
16
=
9
4
-
1
2
; sin215o + cos215o = 1
1
16
=
35
16
cos 3𝜃 = 4.cos3 𝜃 − 3 cos 𝜃
f(𝜃)
= 𝑐𝑜𝑠𝜃 +
4.co𝑠3 𝜃− 3 cos 𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
f(𝜃) = 4. 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + cos 𝜃 – 3
=
cos 𝜃 + 4. 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 − 3
İkinci derece fonksiyon
𝑥1 +𝑥2
2
=−
𝑏
en küçük değerini alır. Bu değer de f(−
𝑏
1
𝑎
8
− =-
ve
1
1 2
8
8
f(- ) = 4. −
+ −
1
8
−3=−
için
𝑎
𝑏
𝑎
)
dir.
49
16
127
sin 2x = 2 sin x.cos x
2 sin x.cos x + 2 sin x = cos x + 1
2 sin x (cos x + 1) – cos x -1 = 0
(cos x + 1)(2 sin x – 1) = 0
cos x + 1 = 0
2 sin x – 1 = 0
cos x = - 1
sin x =
½
cos x = cos 𝜋
sin x = sin
x=
𝜋
6
𝜋
6
x=𝜋
İstenen aralıkta değil.
𝜋
= sin(𝜋 − )
6
𝑣𝑒𝑦𝑎
𝑥=
5𝜋
6
x1+x2=𝜋
5𝜋 180𝑜
.
= 75𝑜
12 𝜋
128
𝑡𝑎𝑛
𝐴
𝐵
𝐴
𝐶
𝐵
𝐶
𝐴
𝐵
𝐶
𝐴
𝐵
𝑡𝑎𝑛 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 = 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 + 𝑡𝑎𝑛 (𝑡𝑎𝑛 + 𝑡𝑎𝑛 )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
𝐴
𝐵
𝐶
2
2
2
= 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 + 𝑡𝑎𝑛 (
A + B + C =180o
ABC üçgeninde;
tan
𝐶
2
𝐴+𝐵
2
𝐴
𝐵
𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠
2
2
𝑠𝑖𝑛
= tan(90𝑂 −
𝐴
𝐵
2
2
= 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 +
𝐴+𝐵
2
𝐴+𝐵
2
𝐴+𝐵
𝑠𝑖𝑛
2
𝑐𝑜𝑠
)
C = 180O – (A + B)
,
) = cot
tan a + tan b =
𝐴+𝐵
2
=
𝐴+𝐵
2
𝐴
𝐵
𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠
2
2
.(
𝑠𝑖𝑛
sin(𝑎+𝑏)
𝑐𝑜𝑠𝑎.𝑐𝑜𝑠𝑏
,
𝐶
2
= 90𝑂 −
𝐴+𝐵
2
𝐴+𝐵
2
𝐴+𝐵
𝑠𝑖𝑛
2
𝑐𝑜𝑠
𝐴
𝐵
2
2
) = 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 +
𝐴+𝐵
2
𝐴
𝐵
𝑐𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑠
2
2
𝑐𝑜𝑠
𝐴
𝐵
𝐴
𝐵
𝐴
𝐵 𝑐𝑜𝑠 2 . 𝑐𝑜𝑠 2 − 𝑠𝑖𝑛 2 . 𝑠𝑖𝑛 2
= 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 +
𝐴
𝐵
2
2
𝑐𝑜𝑠 . 𝑐𝑜𝑠
2
2
𝐴
𝐵
𝐴
𝐵
= 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 + 1 − 𝑡𝑎𝑛 𝑡𝑎𝑛 = 1
2
2
2
2
129
130
131
132
133
134
135
136
137
BU DA NE ?
138
139
140
141
ÖZET
142
143
=HAP=
144
cos x – sin x =
1
2
A) √7/4
B) 1/4
1
1−cos 𝑥
−
olduğuna göre, cos 2x in değeri aşağıdakilerden hangisidir?
1
1+cos 𝑥
A) 250
=
C) 1/2
4
3
D) -1/4
E) -1
denklemini sağlayan x dar açısı kaç derecedir?
B) 300
C) 450
D) 600
E) 750
Şekildeki dönel koninin tepesi T, taban merkezi O, yüksekliği 3 cm.,
taban yarıçapı 4 cm. dir. Çember üzerindeki A ve B noktaları O ve T
ye birleştirilmiştir. m(AOB)=600 , m(ATB)=𝛼 olduğuna göre,
cos 𝛼 değeri kaçtır?
A)17/25
3
cos 𝑥
=
A)2/3
4
sin 𝑥
B)19/25
C) 21/25
D) 3/5
E) 4/5
olduğuna göre, cos x in pozitif değeri kaçtır?
B) 2/5
C)3/5
D)4/5
E)√3/5
145
146
BU SORULAR DA ESKİ YILLARDAN
–ÖYS-
147