Sürekli Olasılık Dağılımları File

SÜREKLİ( CONTINUOUS)
OLASILIK
DAĞILIMLARI
Sürekli bir random değişken (a,b) aralığındaki her
değeri alabiliyorsa bu değişkene ait olasılık dağılım
fonksiyonunun grafiğinde eğri altında kalan alan bize
bu x değişkeninin olasılığını verir. Eğri altında kalan
alandan bahsettiğimiz için x değişkeninin olasılığı
P(x) integral yardımıyla bulunur.
f(x): x değişkeni için olasılık dağılım fonksiyonu(f(x)≥ 0)
(a,b): x 'in değişkenlik aralığı olmak üzere
Ayrıca olasılık daima max. 1 değeri alabileceği için ;
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
SÜREKLİ DEĞİŞKENLER İÇİN
ORTALAMA ve VARYANS
• Sürekli random değişkenin ortalaması(
beklenen değeri) E(x) olmak üzere
• Sürekli random değişken için varyans var(x)
olmak üzere
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
.......
!!!Sürekli değişkenler bir aralıkta kesin olarak
belli değerler alamadığı için x=a,x=b,vs.
şeklinde değişimler yerine x<a, x>a,
a≤x≤b, vs. şeklinde aralıklardan söz
edilebilir.
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
Sürekli olasılık dağılımları 3'e ayrılır:
1)Uniform olasılık dağılımı
2)Üstel olasılık dağılımı
3)Normal olasılık dağılımı
***Standart normal dağılım
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
1) UNIFORM OLASILIK DAĞILIMLARI
• X Random değişkeninin değişkenlik aralığı (a,b)
olsun. Yani a=X'in alabileceği min. değer ve b=
X'in alabileceği max. değer olsun. Eğer (a,b)
aralığı ile X'in olasılığı orantılı ise bu değişken
uniform dağılıma sahiptir. a≤X≤b olmak üzere
X'in olasılık fonksiyonu f(X)=1 / (b-a)
X'in ortalaması E(X)= (a+b) / 2
X'in varyansı var(X)= (b-a)2 / 12
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
örneğin;
• X sürekli rassal değişken, 1<x<4 ve f(x)=0.2
iken P(1<x<4) olasılığı
P(1<x<4)=3.0,2=0,6
(taralı alan)
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
2) NORMAL OLASILIK DAĞILIMLARI
• Normal olasılık dağılımı [f(x)] çan şeklinde
simetrik bir grafiğe sahip bir dağılımdır.
• Günlük hayatta, endüstride en çok normal
dağılım ile karşı karşıya kalınır.
• Normal dağılım için ortalama(beklenen
değer=E(x)) değeri μ ile gösterilir.
• Normal dağılım grafiği her zaman için μ
değerine göre simetriktir. Hesaplamalar bu
değer üzerinden yapılır.μ diyagramdaki en
büyük değerdir.
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
........
• X sürekli random değişkeni normal dağılım altında
reel eksendeki tüm değerleri alabilir. Yani; ∞<x<+∞ aralığı değişkenlik aralığıdır.
• f(x) eğrisi altında kalan alan daima 1'dir.
• Normal dağılım için μ=aritmetik
ortalama=mod=medyan
• Standart sapmayı gösteren σ çan grafiği için
genişlik(yayılma miktarı) göstergesidir.
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
µ=arit. ort.
σ=standart sapma
л=3,14159
e=2,71828 olmak üzere olasılık dağılım fonk.
x~N(µ,σ2)
gösterimine
göre x ortalaması µ ve
varyansı σ2 olan
normal dağılıma sahiptir.
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
σ
O halde;
**μ-σ<x<μ+σ aralığı tüm dağılımın%68ini
** μ-2σ<x<μ+2σ aralığı tüm dağılımın %95ini
** μ-3σ<x<μ+3σ aralığı tüm dağılımın %99.7sini
temsil etmektedir.
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
........
• Normal dağılımlarda olasılıklar eşitsizlikler
yardımıyla integrale dönüştürülerek
hesaplanır: yani,
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
STANDART NORMAL DAĞILIM
• Normal dağılımda olasılık hesaplamaları
yapabilmek için değişkenin
standartlaştırılması yani standart normal
dağılımdan faydalanılması gerekmektedir.
• Normal dağılım için aritmetik ortalama μ=0
ve varyans σ2=1 alınıp diğer tüm şartlar
aynı kaldığında oluşan dağılıma standart
normal dağılım denir.
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
.......
• Standart normal dağılımın değişkeni olan z
standart normal değişkeni büyük önem teşkil
etmektedir. Normal dağılım hesaplarındaki x
rastgele değişkeni muhakkak aşağıdaki şekilde
z değişkenine dönüştürüldükten sonra işlemler
yapılmalıdır.
z=(x-μ)/σ
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
Standart normal
dağılım grafiği μ=0 a
göre simetriktir ve
eğri yatay eksene
asimptotik olarak
gider.
Eğri altındaki tüm
alan 1 olduğundan o
noktasının sağ ve
solunda kalan
alanlar 0,5 lik
parçalar halindedir.
Z rasgele değişkeninin
olasılık yoğunluk
fonksiyonu grafiği;
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
•
•
X rasgele değişkeni z standart normal değişkenine
dönüştürüldükten sonra z tablosu kullanılarak
aranılan olasılık değeri kolaylıkla bulunabilir.
Standart z tablosunun kullanımını şöyle
özetleyebilriz:
Tablodaki yatay bölüm z değeri için
(yüzdebirler basamağını~~?,?*) virgülden sonraki
ikinci basamağı, dikey bölüm ise tam kısım ve
birinci ondalık kısmı (ondabirler basamağı~~*,*?)
gösterir. Eldeki veriye göre ilgili satır ve sütunun
kesiştiği yer aranan değerdir.
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
! ! !
• Z tablosu için aranan değer her zaman ilgili satır ve
sütunun kesiştiği yer olmayabilir. Bu durum z değeri
için geçerli olan eşitsizliğin durumuna göre belirlenir.
Tablodaki bulunan değer her zaman 0 ile mevcut z
değeri arasında kalan alanı verir.
** a≥0 olmak üzere
P(z<a)= 0,5+tablo değeri
P(z≤a)=0,5+ tablo değeri
P(z>a)=1-P(z<a)
P(z≥a)=1-P(z≤a)
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
......
**a<0 olmak üzere
P(z<a)=P(z>-a)=1-P(z<-a)
P(z≤a)=P(z≥-a)=1-P(z<-a)
P(z>a)=P(z<-a)=0,5+(-a)ya göre tablo değeri
P(z≥a)=P(z≤-a)=0,5+(-a)ya göre tablo değeri
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
STANDART NORMAL DAĞILIM (Z)
TABLOSU
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
örneğin;
• P(z<0.83)=0.2967
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
ÖRNEKLER:
1) P(z<1.45)=0,5+0,4265=0,9265
2)P(z>1.45)=1-P(z<1.45)=0.0735
3)P(-1.26<z<0)=P(0<z<1.26)=0.3962
2
1
3
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
•
•
•
•
•
•
•
4) P(z<-0.98)=P(z>0.98)=1-P(z<0.98)=0.1635
5)P(-2.3<z<1.8)=P(-2.3<z<0)+P(0<z<1.8)
=0.9534
6)P(-1.4<z<-0.5)=P(0<z<1.4)-P(0<z<0.5)
=0.2277
5
4
6
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
Yukarıdaki örneklerin hepsinde z değerinden
yola çıkarak olasılık hesapları yaptık. Fakat
bazen bu işlemleri tersden yapmamız
gerekebilir. Yani olasılık değerleri(eğri altındaki
alan) bilinip z değerini hatta çoğu zaman
x=zσ+μ eşitliğinden x değerini bulmamız
gerekebilir. Böyle bir durumda olasılık değeri
tablodan bulunup karşı gelen satır ve sütun
birleştirilir ve z değerine ulaşılır.
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
soru:
• Bir dolum makinası ortalama olarak 32ml
suyu 0.02ml standart sapmayla su dolum
işlemini gerçekleştirmektedir. Dolum
miktarı normal dağılım sergiliyor ise rasgele
seçilen bir şişenin 32 ile 32.025ml arasında
su içerme olasılığı nedir?
μ=32ml ve σ=0.02ml olmak üzere
P(32<x<32.025)=?
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
•
ÇÖZÜM:
•
z=(x-μ)/σ eşitliğinden x=32 için z=0 ve
x=32.025 için z=1.25 bulunur. O halde,
•
P(32<x<32.025)=P(0<z<1.25)
=P(z<1.25)-P(z<0)
=[0.5+0.3944]-0.5=0.3944
•
•
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
Rasgele seçilen bir şişenin 31.97ml fazla su
içerme olasılığı nedir?
•
P(x>31.97)=?
•
z=(x-μ)/σ eşitliğinden x=31.97 için z=-1.5
bulunur. O halde,
P(x>31.97)=P(z>-1.5)=P(z<1.5)=0.5+0.4332
=0.9332
•
•
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
3)EXPONENT (ÜSTEL) OLASILIK
DAĞILIMI
• Uniform dağılıma benzer özellik gösterirler.
• μ=aritmetik ortalama (beklenen değer)
f(x)= olasılık yoğunluk fonksiyonu
μ>0 ve x≥0
e=2.71828 olmak üzere
Ayrıca
(min a=0 olabilir)
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
soru:
• Bir polis radarı akşam trafiğinde araçların hızlarını
denetlemektedir. Araçlar 62km/sa aritmetik ortalamalı
normal dağılım sergilemektedirler. Araçların %3ü
72km/sa üzerinde hareket ediyorsa tüm araçlar için
standart sapmayı hesaplayınız.
P(x>72)=0.03 ve μ=62 ise σ=?
P[(x-62)/σ > (72-62)/σ]=P(z>10/σ)
=1-P(z<10/σ)=0.03
P(z<10/σ)=0.97 o halde tablodan bakılırsa
0.47 ye karşılık gelen z=1.88 dir. Yani
10/σ=1.88 den σ=5.32 bulunur.
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
ÖDEV :)
• X rastgele değişkeni (0,1) aralığında düzgün
olarak dağılmaktadır. P(x≤0,4)=0,4 ve y=x+1
olmak üzere P(y≥k)=0,6 ise k değerini
bulunuz.
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
ÖDEV :)
• Bir populasyondaki kişilerin ağırlıklarının
ortalaması 60kg. Varyansı 25kg2 olan normal
dağılıma sahip olduğu varsayılıyor. Populasyondan
rasgele bir kişi seçildiğinde;
a)50kg'dan hafif
b)55-60kg arasında
c)65kg'dan daha ağır olması olasılıkları nedir?
d)Rasgele 300 öğrenci alındığında ağırlıkları aşağıdaki
aralıklarda olan kaç kişi vardır?
i)50kg'dan az ii)50-55kg arası
iii)55-65kg arası iv)65kg'dan fazla
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
ÖDEV :)
• Bir standart normal dağılımda aşağıdaki
koşulları sağlayan k değerlerini bulunuz.
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ
ÖDEV :)
• Radyoaktif bir cisim tarafından yayınlanan
ardışık iki parçacığın yayın anları arasında
geçen süre μ=100 parametreli üstel dağılımdır.
Ardışık iki yayın arasında geçen sürenin;
a) Bir saniyeden az
b) 3 ile 4 saniye arasında
c) 4 saniyeden fazla olması olasılıkları nedir?
d) Ardışık iki yayın arasında geçen sürenin en fazla
t kadar olması olasılığı ½ ise t=?
Prof.Dr.A.KARACABEY
Doç.Dr.F.GÖKGÖZ