Slayt 1

DERS 11
BELİRLİ İNTEGRAL
Alan hesabı
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
1
Belirli İntegral:
y  f (x)
y  f ( xr )
y  f ( xk 1 )
y  f ( xk )
xr
y  f (b)
y  f (a)
a  x0 x1 x2 x3
xr  xk 1 , xk 
 f ( xr ). xk  xk 1
xr
xk 1xrxk xk 1
xn 1b  xn
a, b aralığınd a y  f ( x)eğrisi altında kalan alan
n
A   f ( x r ). x k  x k 1 olur.
k 1
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
2
a, b aralığı ne kadar çok parçaya bölünürse
n
A   f ( x r ). x k  x k 1 alanı, a, b aralığında eğri altındaki
k 1
alanın gerçek değerine o kadar yakın olur.
Sonsuz aralığa bölünmesi durumunda ise
A
A

lim
xk  xk 1 0
 f ( x ). x
r
k 1
 x k 1 olur.
k

lim
xk  xk 1 0
 f ( x ). x
r
k 1
b
 xk 1   f ( x)dx ile gösterilir .
k
a
b
b
 f ( x)dx  F ( x)  c ise  f ( x)dx  F ( x) a F (b)  F (a) dır.
a
b
Dolaysıyla ; A 

a
b
f ( x)dx  F ( x)  F (b)  F (a) br 2 dır.
a
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
3
y  f (x)
b
y  f (b)
A   f ( x)dx
y  f (a)
a
a
b
x  a, x  b doğruları , x ekseni ve y  f ( x) eğrisi ile sınırlı
b
bölgenin alan A   f ( x)dx dır.
a
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
4
a
b
y  f (a)
b
A    f ( x)dx
y  f (b)
a
y  f (x)
x  a, x  b doğruları , x ekseni ve y  f ( x) eğrisi ile sınırlı ,
b
x ekseninin alt yarı düzleminde kalan alan A    f ( x)dx dır.
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
a
5
y  g (x)
b
A   [ f ( x)  g ( x)]dx
a
f (a)  g (a)
f (b)  g (b)
y  f (x)
a
b
Bölgeyi üstten sınırlayan eğrinin denklemind en
bölgeyi alttan sınırlayan eğrinin denklemi çıkarıarak
integral alınır.
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
6
d
d
A   [ f ( y )  g ( y )]dy
c
c
x  f ( y)
x  g ( y)
Bölgeyi sağdan sınırlayan eğrinin denklemind en soldan
sınırlayan eğrinin denklemi
çıkarılara
k integral alınır.
Yard. Doç. Dr. Mustafa
Akkol
7
Örnek:
1. y  2 x, x  3doğrusu ve x ekseni tarafından sınırlanan
bölgenin alanını hesaplayın ız,
Çözüm:
3
A   2xdx  x
0
A
2
3
 9br 2
0
3
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
8
Örnek:
2. y  x 2 parabolü , x ekseni x  1 ve x  2 doğruları ile
sınırlanan bölgenin alanını hesaplayın ız,
y  x2
Çözüm:
2
3 2
8 1 7 2
x
2
   br
A   x dx 
3 1 3 3 3
1
A
1
2
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
9
Örnek:
3. y  x 2  4 x parabolü ile x ekseni arasında kalan bölgenin
alanını hesaplayın ız,
Çözüm:
4
y  x2  4x
3
4
x
A    ( x 2  4 x)dx (  2 x 2 )
3
0
0
64
32 2
   32  br
3
3
2
4
A
4
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
10
Düzgün Bölge:
x eksenine dik doğrular bir bölgeyi sınırlayan eğrilerin
- veya doğruların - herbirini yalnız birer noktada kesiyorsa
bu bölge x eksenine göre düzgündür denir.
x eksenine göre düzgün bir bölgenin alanı hesaplanır ken
x e göre indegral alınır ve x in sınırları kullanılır .
y eksenine dik doğrular bir bölgeyi sınırlayan eğrilerin
- veya doğruları - herbirini sadece birer noktada kesiyorsa
bu bölge y eksenine göre düzgündür denir.
y eksenine göre düzgün bir bölgenin alanı hesaplanır ken
y ye göre indegral alınır ve y nin sınırları kullanılır .
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
11
Örnek:
4. x  y 2  1 parabolü , x  5 dorusu tarafından
sınırlanan bölgenin alanını hesaplayın ız,
Bölge y eksenine göre düzgündür.
Çözüm:
x  y2 1
2
1
2
 5  ( y
2
A
A
5
2

 1) dy
2
2


y3
  5 y 
 y 
3

 2
8
8
32 2
 10   2  (10   2)  br
3
3
3
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
12
Örnek:
5. y  x 2  1 parabolü ile y  x  1 doğrusu tarafından
sınırlanan bölgenin alanını hesaplayın ız,
Bölgeyi çizebilmek için kesim noktaların ı bulalım.
Çözüm:
y  x2 1
y  x2 1
y  x 1
3
 x2 1  x  1
 x2  x  2  0
 x1  1, x2  2  K1 (1,0), K 2 (2,3)
Bölge x eksenine göre düzgündür.
A
1
2
1 2
1
A   [( x  1)  ( x 2  1)]dx
1
2
3
2
2
x
x
9 2
2
A   ( x  x  2)dx  (   2 x)  br
3 2
1 2
1
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
13
Örnek:
6. Şekilde verilen A1 ve A2 bölgelerin in alanlarını hesaplayın ız,
1 2
x y
2
2
A2
Çözüm: A1 ve A2 bölgeleri hem
x eksenine hem de y eksenine
göre düzgün bölgedirle r.
A1
y eksenine göre;
2
3 2
1
y
1 2
8 2
)  br
A1   (2  y )dy  (2 y 
0
2 3 0 3
2
2
1 2
1 y 3 2 4 br 2
A2   ( y  0)dy 
0 2
2 3 0 3
2
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
14
x
2
A2
A1
2
1 2
y
2
x eksenine göre;
x  f ( y ) şeklyinde verilen
fonksiyonu y  f ( x) şeklinde
yazmalıyız .
1 2
2

y
 2x  y  2 x
x y
2
1
2
3
3
x 2 8 2
A1   ( 2 x  0)dx  2  x dx  2 2
 br
0
0
3 0 3
3
x
2
2
8 4 2
2
A2   (2  2 x )dx  (2 x  2 2
 4   br
)
0
3 3
3 0
2
2
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
15
Örnek:
7. Şekilde verilen A1 ve A2 bölgelerin in alanlarını hesaplayın ız,
y  ex
e
Çözüm: A1 x eksenine göre A2 hem
x eksenine hem de y eksenine göre
A2
düzgün bölgedir.
A1
1
1
1
x

e
A1   e dx
 (e  1)br 2
x
0
0
A2 alanı x eksenine göre;
1
A2 alanı y eksenine göre;
y  e x  x  ln y olur .
A2  
e
1
1
2

1
br

(
ex

e
)
A2   (e  e )dx
1
x
x
0
0
e
e
1
1
2

1
br
ln ydy  ( y ln y   dy )  ( y ln y  y )
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
16
Örnek:
8. x  y 2 parabolü ile x  y  6 doğrusu tarafından
sınırlanan bölgenin alanını hesaplayın ız,
Çözüm:
Bölgeyi çizebilmek için kesim noktaların ı bulalım.
x  y2
2

y
 y  6  0 y1  2, y2  3
 y  6 y
x  6 y
x1  4, x2  9
2
x  y2
2
A bölgesi y eksinine göre düzgün bölgedir.
4
3
A
9
2
2
3
125 2
y
y
2

br
A   (6  y  y )d y  (6 y   )
3
2
3 3 6
2
x y 6
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
17
Örnek:
9. y  x 2  2 x parabolü ile y   x 2  4 x  8 parabolü
arasında kalan bölgenin alanını hesaplayın ız,
Çözüm:
Bölgeyi çizebilmek için kesim noktaların ı bulalım.
y  x2  2x  x2  2x  x2  4x  8
 x  1, y1  3
y   x 2  4 x  8  x 2  3x  4  0   1
 x2  4, y2  8
A bölgesi x eksinine göre düzgün bölgedir.
8
A
4
A   [ x  4 x  8  ( x  2 x)]dx
2
2
1
4
3
A   (2 x 2  6 x  8)dx
1
1
4
2 3
 ( x  3x 2  8 x)
3
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
4
125 2

br
1 3
18
Örnek:
10. y  sinx eğrisi ile y  cosx eğrisinin
 3π 
 0, 2  aralığında
Sınırladıkları bölgenin alanını hesaplayınız.
Çözüm: Kesim noktalarını bulalım.

5
sinx  cosx  x1  , x2 
4
4
5 / 4
A
 /4
1
2
2

4

2
2
 (sin x  cos x)dx

2
A
 ( cos x  sin x)

5 / 4
 /4
 2 2br 2
5
4
1
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
19
Örnek:
11.  0,   aralığında y  1 doğrusu ile y  cos2x eğrisinin
sınırladığı bölgenin alanını hesaplayınız.
Çözüm: Kesim noktalarını bulalım.
cos2x  1 2 x  0  2  x1  0, x2  

A   (1  cos 2 x)dx
0
1
A

4

2


1
 ( x  sin 2 x)   br 2
0
2
3
4
1
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
20
Örnek:
12.  0,   aralığında y 1  cosx eğrisinin altında kalan
bölgenin alanını hesaplayınız.
Çözüm: Bölgeyi çizelim.

A   (1  cos x)dx
2
0
1
 ( x  sin x)
A

2

Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol

0
  br 2
21
Örnek: y  ln( ex ) eğrisi ile y  0 ve x  e doğruları tarafından
sınırlanan bölgenin alanını hesaplayınız.
Çözüm:
e
e
1/ e
1/ e
A   ln( ex )dx   ( 1  ln x )dx
2
e
1 2
 x  x(ln x  1 )
 ( e  )br
e
1/ e
A
1
e
e
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
22
Örnek:
12. y  ln 2 x eğrisi ile y  0 ve x  1 doğruları tarafından
sınırlanan bölgenin alanını hesaplayınız.
Çözüm: Kesim noktalarını bulalım ve bölgeyi çizelim.
1
y  0  0  ln2x  x  , x  1  y  ln 2
2
1
A
 ln 2 xdx
1/ 2
ln 2
1
2
1
u  ln 2 x  du  dx dv  dx  v  x
A
x
1
1
1
 ln 2 xdx  x ln 2 x   x x dx  x(ln 2 x  1)
1/ 2
1
1
1 2
A  x(ln 2 x  1)
 ln 2  1   (ln 2  )br
1/ 2
2
2 23
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek: y  x 2  1 parabolü ile y  2 x  1 doğrusu tarafından
sınırlanan bölgenin alanını hesaplayınız.
Çözüm:
2
2
A   ( 2 x  1  ( x  1 )dx   ( 2 x  x 2 )dx
2
0
0
3
x3 2 4 2
 ( x  )  br
3 0 3
2
A
2
1
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
24
Örnek: f ( x)   x  1, g ( x)  x  1, 0  x  2 ile verilen bölgenin
alanını bulunuz.
2
y
y = x2 - 1
A    x  1   x  1 dx  
1
2
0
x
2
1
2
 1   x  1 dx
   x  x  2 dx    x  x  2 dx
1
1
2
x
0
2
1
1
 x x
 x x

     2x      2x 
 3 2
 3 2

3
y = -x + 1
2
2
2
0
3
2
2
1
 1 1
 8
1 1

     2  0     2  4     2    3 br
 3 2
 3
3 2

Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
2
25
Örnek: f ( x)  x  2 x,  1  x  1 ile verilen bölgenin alanını bulunuz.
2
y
A    x  2 x  dx    x  2 x  dx
0
1
2
1
2
0
y = x2 – 2x
0
x
 x

  x    x 
3
 3

3
3
2
1
2
1
0
1
-1
x
 1   1  
 0    1     1  0 
 3
  3  
1
1
  1   1  2 br
3
3
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
2
26
Örnek: f ( x)  x  2 x, 1  x  2 ile verilen bölgenin alanını bulunuz.
2
A     x  2 x  dx
2
y
2
1
x

   x 
3

3
2
2
1
2
x
A
1
8
 1 
   4     1
3  3 
y = x2 – 2x
7
2
   3  br
3
3
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
2
27
İntegral İçin Ortalama Değer Teoremi:
f : a.b  R fonksiyonu a, b kapalı aralığında sürekli ise
1 b
f (c ) 
 f ( x)dx olacak şekilde en az bir c  (a, b)vardır.
baa
Örnek:
f ( x)  x3 fonksiyonunun  2,2  aralığındaki ortalama
değerini hesaplayınız.
Çözüm: f (c) 
2
4
1
1x
3
x dx 

2  (2) 2
4 4
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
2
 11  0
2
28
Örnek:
f ( x)  x  3x 2fonksiyonunun  1,2  aralığındaki ortalama
değerini hesaplayınız.
Çözüm:
2
2
1
1 x
2
3
f (c ) 
(
x

3
x
)
dx

(

x

2  (1) 1
3 2
 1 0,76
1,11
2
1
1
1
5
 [2  8  (  1)]  
3
2
2
2
5
5
1  31
2
f (c)  c  3c    3c  c   0  c1, 2 
2
2
6
c1  0,76, c2  1,11
2

5
2
4
 10
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
29
f : a.b  R fonksiyonu a, b kapalı aralığında sürekli ve
b
x  (a, b) için f (x)  0 ise  f ( x)dx , [a,b] aralığında eğri
a
altında kalan alan olacağından bu alan,
b
1 b
f (c ) 
f ( x)dx   f ( x)dx  (b  a ) f (c) olur.

baa
a
y
(b  a) f (c) tabanı b-a yüksekliği f(c) olan
dikdörtgenin alanıdır.
Dolaysıyla bu dik dörtgenin yüksekliği
f(c)
f : [a, b]  R, x  (a, b) için f ( x)  0
a
c
b
x
fonksiyonunun f(c) ortalama değeridir.
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
30
ÖDEVLER
Sınırları aşağıda belirtilen bölgeleri çiziniz ve alanlarını
hesaplayınız.
1. y  x 2 , y  0, x  1
x
e ,
2
1  x  0
2
x
2x
2
3. x  y , y  x  2, y  0 4. y  , y  4 
3
3
2
2
5. y  x , y  4 x  x , y  0 6. y  x 2 , y  8  x 2
2. y
7. y  1  x , y  x, x  0 8. y  3x, y  x  2 x
2
2
2
9. y  cos x,    x   10. y  e x , y  e x , x  1
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
31
11. y  e , y  0, x  0, x  1
4x
12. y  e , y  e , x  0
2x
2
13. y  ln x, y  0, x  e
14. y  1  ln x, y  0, x  e

15. y  1  sin x, 0  x 
2
x
16. y  xe , x  0, y  e
18. y  ln x  1, 1  x  e
2
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
32