x xf

Artan-Azalan Fonksiyonlar
Ekstremumlar
1
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Artan ve Azalan Fonksiyonlar
Tanım:
(a,b) aralığında tanımlı bir f(x) fonksiyonu verilsin.
x1 , x2 ( a ,b ) ve x1 x2 için,
f ( x1 )
f ( x2 ) ise f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında artan,
f ( x1 )
f ( x2 ) ise f(x) fonksiyonu (a,b) aralığında azalandır.
a1
a2
a3
a4
x (a1 , a2 ) için f artan,
x (a2 , a3 ) için f azalan,
x (a3 , a4 ) için f artan,
a4 x için f azalandır.
2
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
y
t2
t1
x
a
o
x a 0 t1 90
x a t1 0
x a 90 o t 2 180 o
tan t1 0
tan t1 0
tan t2 0
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
f ' ( x) 0
f ' ( x) 0
f ' ( x) 0
3
a1
a2
a3
a4
x ( a1 ,a2 ) için f artandır
f'( x ) 0
x ( a2 ,a3 ) için f azalandır
f'( x ) 0
x ( a3 ,a4 ) için f artandır
f'( x ) 0
x a4 için f azalandır
f'( x ) 0
ve f ' ( a1 ) 0 , f ' ( a2 ) 0 , f ' ( a3 ) 0 , f ' ( a4 ) 0
4
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek:
1. y f ( x) x 2 3x 2 fonksiyonu nun artan ve
azalan olduğu aralıkları bulunuz.
Çözüm: f ' ( x) in işaretini inceleyeli m.
3
'
f ( x) 2 x 3 0 x
3
2
x
2x 3
(
2
0
3
3
, ) aralığında azalan, ( , ) aralığında artandır.
5
2
2
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
y x
2
3x 2
3
2 f( )
2
x1 1, x2
1
azalan
1
4
3
2
1
4
2
artan
6
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
1 3 3 2
2. y f ( x)
x
x 10 x 5 fonksiyonu nun
3
2
artan ve azalan olduğu aralıkları bulunuz.
Çözüm :
'
2
f ( x) x 3x 10 0 x1
x
2
2
0
x 3x 10
artan
2 ve x2 5 tir.
5
0
azalan
artan
7
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
5
2
artan
azalan
artan
8
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Kritik Noktalar:
y f ( x) fonksiyonu verilsin. f ' ( x) in sıfır veya tanımısz
olduğu noktalara kritik noktalar denir.
Yerel minimum ve yerel maksimum (ekstremum):
f ( x) fonksiyonu verilsin. c (a, b) olmak üzere
x (a, b) için f (c) f ( x) ise f (c) değerine
f fonksiyonu nun yerel minimumu , f ( x) f (c)
ise f (c) değerine yerel maksimumu denir.
y
yerel maksimum
yerel minimum
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
9
Örnek :
y f ( x) 2 x 3 3x 2 2 fonksiyonu n yerel ekstremum
değerlerin i bulunuz ve grafiğini çiziniz.
Çözüm :
f ' ( x) 6 x 2 6 x 0
6x2
x
6x
6 x( x 1) 0
x1 0, x2 1
0
1
0
0
2
1
10
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
6x2
x
6x
0
1
0
0
2
1
f (0) 2 yerel maksimum
(0,2)
(1,1)
f (1) 1 yerel minimum
11
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek:
f ( x ) 3 x x 3 fonksiyonunun yerel ekstremum.
değerlerini bulunuz ve grafiğini çiziniz.
Çözüm: f ' ( x ) 3 3 x 2 0
x
f ' ( x ) 3 3 x2
f ( x ) 3 x x3
x
1
1
0
0
2
2
1
2
3 1
1
3
2Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
12
Mutlak Minimum ve Mutlak Maksimum
f : [a, b] R fonksiyonu verilsin x (a.b) için f ( x) f (m)
olacak şekilde bir m (a, b) varsa (m, f (m)) bir mutlak
bir mutlak maksimum, x (a.b) için f ( x) f (n) olacak
şekilde bir n (a, b) varsa (n, f (n)) bir mutlak minimum
noktasıdır.
Örnek:
[ 3, 3] aralığında f ( x) 3x x3 eğrisinin mutlak
maksimum ve mutlak minimumu ile yerel maksimum
ve yerel minimum değerlerini bulunuz.
13
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Çözüm:
f ' ( x) 3 3x2 0
x
x 3
3 3x2
3x x3 18
1
1
3
2
2
18
1
[a,b] aralığının uç noktaları olan x = -3 te mutlak
maksimum, x = 3 te mutlak minimum vardır. Mutlak
maksimum değeri f(-3) = 18, mutlak minimum değeri
f(3) = -18 dir. x = -1 noktasında yerel minimum ve
x = 1 noktasında yerel maksimum vardır.
14
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
18
2
3
3 1
1
3
3
2
15
18
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Ortalama Değer Teoremi:
f : [a, b] R fonksiyonu, [a, b] kapalı aralığında sürekli ve
(a, b) açık aralığında türevlenebilir ise bu durumda
f (b) f (a) olacak şekilde en az bir c (a, b) vardır.
'
f (c)
b a
Ortalama Değer Teoreminin Geometrik Yorumu:
B
mAB
f (b) f (a)
b a
f ' (c1)
f ' (c2 )
f (b) f (a)
A
a c1
c2
b a
b
AB doğrusunun eğimi ile c1 ve c2
noktalarındaki teğetlerin eğimleri
eşittir.
16
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek:
f : [1, 2] R, f ( x) x 3x2 fonksiyonuna Ortalama Değer
Teoremini uygulayarak uygun c sayısını bulunuz.
f (2) f (1)
10 2
Çözüm: f (c)
1 6c
2 1
1
9
3
6c 9 c
c
6
2
'
8
Örnek:
f : [1, 7] R, f ( x) x2 3x 4 fonksiyonuna Ortalama
Değer Teoremini uygulayarak uygun c sayısını bulunuz.
Çözüm: f (c)
'
f (7) f (1)
66 0
2c 3
11
7 1
6
c 4
17
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Grafik Çizimleri
Grafik çizimi için aşağıdaki adımları izlemek uygun olur.
1. a) Verilen fonksiyonun tanım kümesini bulunuz.
b) Eksenleri kestiği noktaları araştırınız.
c) Asimptotları ve kritik noktalardaki limitleri araştırınız.
2. a) Türevini sıfıra eşitleyerek ekstremum noktalarını
araştırınız.
b) Tablo yaparak artan ve azalan olduğu aralıkları
ve ekstremum değerlerini araştırınız.
3. Grafiğini çiziniz..
18
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek:
f ( x) ( x2 1)2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm: Tanım kümesi R dir. Yatay ve düşey
asimptot yoktur. lim ( x2 1)2
dır.
x
f ' ( x) 4x( x2 1) 0
1, x2 0, x3 1
x1
1
x
4x
0
0
1
1
0
x2 1
4x( x2 1)
f ( x) ( x2 1)2
0
19
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
1
1
1
20
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek:
f ( x) ( x 4)(x 2)2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm: Tanım kümesi R dir. Yatay ve düşey
asimptot yoktur. lim ( x2 1)2
dır.
x
f ' ( x) ( x 2)2 2( x 2)(x 4) ( x 2)(3x 6) 0
2( x 2)(x 2) 2( x2 4) 0 x1 2, x2 2
x 0 y 16, y 0 x 4 ve x 2
f ' ( x) 2( x2
x
4)
f (x)
2
2
32
0
21
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
32
16
4
2
2
22
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Örnek:
f ( x) (3 x) ex fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm: Tanım kümesi R dir. düşey asimptot
yoktur. lim (3 x)ex
dur.
x
lim (3 x)e
x
3 x
lim x
e
e
x
e
x ekseni yatay asimptottur.
f ' ( x) e x (3 x)e x (2 x)e x 0
x
x 0
y 3, y 0
1
lim x
x
e
1
0
x 2
x 3
x
(2 x)e x
2
(3 x)e x 0
e2
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
23
e2
3
2
3
24
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol
Ödev: Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
x 2
a) f ( x)
x 1
x 3
c) f ( x)
x 2
2
x2
b) f ( x)
x 1
d ) f ( x) x ln x
f ) f ( x) xex
e) f ( x) x ln x
ln x
g ) f ( x)
x
2x
h) f ( x)
( x 2)2
x
e
j) f ( x)
ı) f ( x) eln 2 x
x 1
sin x
l
)
x
[
0
,
π
]
ve
f
(
x
)
e
k ) x [0, π]ve f ( x) sin x cos x
1
1
n) f ( x) 2
m) f ( x) x
x 1
x
25
Yard. Doç. Dr. Mustafa Akkol