DERS 2 Fonksiyonlar

DERS 2
Fonksiyonlar - I
2.1. Fonksiyon Kavramı. Her bilim dalının önemli bir işlevi, çeşitli nesneler veya
büyüklükler arasında eşlemeler kurmaktır. Böyle bir eşleme kurulması belli büyüklükleri
belirleme veya tahmin etme olanağı verir. Örneğin, bir maliyet analizcisi, üretim sürecinde
çeşitli üretim seviyelerde üretilen ürünlerin maliyetini belirlemek veya tahmin etmek ister; bir
tıp araştırmacısı, kalp rahatsızlıkları ile şişmanlık arasındaki ilişkiyi ; bir ziraatçı, aynı
topraktan değişik tür buğday tohumlarının ne kadar verim verdiğini belirlemek veya tahmin
etmek ister.
Fonksiyon denince aklımıza bir tür eşleme gelmelidir. Günlük hayatımızda yukarıda sözü
edilenlere benzer pek çok eşleme örneğiyle karşılaşırız. Birkaç örnek daha verelim:
•
Her öğrencinin bir numarası vardır. Başka bir deyimle, her öğrenci bir sayı ile eşlenir.
→
Burcu Işık
•
206 93 045
→
1881 ,
Cahit Arf
→
→
85 YKr.
1910
→
75 YKr
,
Sabun
Her sayının “iki katı” vardır.
1 → 2
•
205 94 005
Bir marketteki her malın bir fiyatı vardır.
Makarna
•
→
Ali Demir
Her insanın doğum yılı da o insan ile eşlenen bir sayı olarak düşünülebilir.
Mustafa Kemal Atatürk
•
,
,
→ 4
2
,
3
4
,
→ 6
, x
→ 2x
Her sayının bir “kare”si vardır.
1
→
1
,
2
→
3
→
9
,
x
→
x2
Yukarıda zikredilen tüm örneklerde ortak olan husus şudur: Her bir örnekte belli bir kümenin
elemanları ile ikinci bir kümenin elemanlarını eşleyen bir kural vardır. Son örneğimiz, sayılar
kümesinin her elemanını yine sayılar kümesinde o elemanın karesi ile eşlemektedir. Bütün
bunlar bizi fonksiyon kavramının tanımına götürür:
Tanım 1. İki küme verilmiş olsun : A ve B. A kümesinin her elemanına B kümesinin
bir ve yalnız bir elemanını karşılık getiren bir kurala A dan B ye bir fonksiyon denir. A
kümesine bu fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine de görüntü kümesi denir.
A kümesinden B kümesine bir f fonksiyonu f : A → B ile gösterilir.
Ders 2……………………………………………………………………………………….. 20
Tanım 2. f : A → B fonksiyonunun a∈ A ile eşlediği eleman b∈ B ise, b = f(a) yazılır
ve b = f(a) ya a nın f altındaki görüntüsü veya f nin a daki değeri denir. f nin tüm
değerlerinin kümesine, yani {f(a) : a ∈ A} kümesine f nin değer kümesi denir. Değer
kümesi, görüntü kümesinin altkümesidir.
Fonksiyonlar, aşağıdaki gibi, çizelgelerle de gösterilebilir:
A
B
a
b=f(a)
x
y=f(x)
f : A → B
Tanıma göre A dan B ye f fonksiyonunun A nın her a elemanına B den bir ve yalnız
bir, yani tek türlü belirli bir eleman karşılık getirmesi gerektiğini unutmamak gerekir. Bu
bağlamda, aşağıda görülen çizelge, A = {1, 2, 3} kümesinden B={a, b, c} kümesine bir
fonksiyon tanımlar. Burada, f (1) = a, f (2) = f (3) = c dir. B kümesinin b elemanı A nın
hiçbir elemanının görüntüsü değildir. f nin değer kümesi, {a , c} dir.
A
1
a
2
b
B
c
3
Diğer yandan, aşağıdaki çizelge, A = {1 , 2 , 3} kümesinden B={a , b , c } kümesine bir
fonksiyon tanımlamaz(Neden?)
A
a
1
2
3
b
c
B
Fonksiyonlar - I…………………………………………………………………………
21
2.2. Tanım Kümesi ve Görüntü Kümesi Reel Sayı Kümeleri Olan Fonksiyonlar. Bu
derste ele alacağımız fonksiyonların tanım kümeleri ve görüntü kümeleri sayı kümeleri
olacaktır. Böyle bir fonksiyonun tanım kümesindeki her x sayısı için görüntü kümesinde bir
ve yalnız bir y = f(x) sayısı bulunacak ve dolayısıyla (x, f(x)) sıralı ikilisi, ya da noktası,
ortaya çıkacaktır. Bu şekilde ortaya çıkan noktaların Kartezyen Düzlem’de oluşturduğu nokta
kümesine f fonksiyonunun grafiği denir.
y
f(x)
(x,f(x))
y= f(x)
x
x
y
Örnek 1. Her reel sayıya o
sayının iki katını karşılık
getiren fonksiyonun grafiği
yanda görülen doğrudur.
(2,4)
(0,0)
y = 2x
(1,2)
x
(-1,-2)
(-2,-4)
Örnek 2. Her reel sayıya o
sayının karesini
karşılık
getiren fonksiyonun grafiği
yanda görülen eğridir.
y
(2,4)
(-2,4)
(-1,1)
(0,0)
(1,1)
y = x2
x
Yukarıdaki örneklerden ilkinde tanım kümesi R deki her x sayısına karşılık görüntü
kümesi R de y = 2x sayısı; ikinci örnekte de tanım kümesi R deki her x sayısına karşılık
görüntü kümesi R de y = x2 sayısı verilmektedir.
Bu derste ele alacağımız fonksiyonlardan pek çoğu, bu örneklerde olduğu gibi, denklemler
yardımıyla tanımlanacaktır. Başka bir anlatımla, tanım kümesindeki her x sayısı için görüntü kümesinde karşılık gelen y sayısı, y=f(x) gibi x e bağlı bir ifade ile verilecektir. Bu
Ders 2……………………………………………………………………………………….. 22
ifadede tanım kümesinin herhangi bir elemanını gösteren x e bağımsız değişken, x
görüntüsünü gösteren y ye de bağımlı değişken denir.
in
y = f(x)
Bağımsız Değişken
Bağımlı Değişken
Bir f fonksiyonu fabrikaya da benzetilebilir. O takdirde, bağımsız değişken x, fabrikanın
girdisi; bağımlı değişken y de çıktısı olur.
y = f(x)
Çıktı
Girdi
y = f(x) gibi bir denklemle belirlenmiş bir fonksiyon verildiğinde, tanım kümesindeki her a
sayısı için f(a) , verilen denklemden hesaplanır.
Örnek 3. y = f(x) = x2 – x denklemi ile tanımlanan fonksiyonun tanım kümesi R dir ve
f(0) = 0 , f(1) = 0 , f(2) = 2 , f(3) = 6 , f(-1) = 2 , f(-2) =6 , f(-3) = 12
dir. Herhangi bir a reel sayısı için
f(a) = a2 – a , f(a+1) = (a+1)2 – (a+1) = a2 + a , f(a+2) = (a+2)2 – (a+2) = a2 +3 a +2
dir.
Örnek 4. y = x(x-1) denklemi tüm reel sayılar kümesi R den R ye bir fonksiyon tanımlar.
x = 1 olunca y = 0, x = 5 olunca y = 20 ve x =1/2
olunca y=-1/4 tür. Burada, birden büyük x sayıları için,
x-1
y, kenar uzunlukları x ve (x-1) birim olan bir dikx
dörtgenin alanı olarak yorumlanabilir.
Çoğu zaman, denklemle tanımlanmış bir fonksiyonun tanım kümesi açıkça belirtilmez. Bu
gibi durumlarda, tanım kümesi, bağımsız değişkenin bağımlı değişkeni tek türlü belirli bir reel
sayı olarak tanımlayabildiği değerlerin tümü olarak; değer kümesi de bağımlı değişken için
böylece tanımlanan tüm değerler olarak alınır.
Örnek 5.
Çünkü,
y = 5− x
denklemi ile tanımlanan fonksiyonun tanım kümesi
5 − x in tanımlı olması için
5 − x ≥ 0 ⇔ − x ≥ −5 ⇔ x ≤ 5
olmalıdır.
(−∞,5] tir.
Fonksiyonlar - I…………………………………………………………………………
Örnek 6. y =
23
x −1
denklemi ile tanımlanan fonksiyonun tanım kümesi
x+2
(− ∞,−2) ∪ (− 2, ∞ ) = R \ {-2}
dir. Çünkü,
x −1
kesri -2 dışında her reel sayı için tanımlıdır.
x+2
Bazen kapalı denklemler de fonksiyon tanımlayabilir.
Örnek 7. x bağımsız ve y bağımlı
değişkenler olmak üzere, 2x+3y = 6
denklemi bir fonksiyon tanımlar. Çünkü, bu denklem her x reel sayısına
karşılık y = (-2/3)x + 2 sayısını
verir.
y
2x+3y = 6
x
(0,0)
Bununla beraber, fonksiyon tanımlamayan kapalı denklemler de vardır.
Örnek 8. x bağımsız ve y bağımlı
değişkenler olmak üzere y2 – x2 = 4
denklemi bir fonksiyon tanımlamaz.
Çünkü, örneğin x = 0 değeri için
hem y = 2 hem de y = -2 sayıları
bu denklemi sağlarlar. O halde bu
denklem x = 0 sayısına birden çok
sayı karşılık getirmektedir ve bu nedenle bir fonksiyon tanımlamaz.
y
2
(0,0)
y2 – x2 = 4
x
-2
Bir denklemin fonksiyon tanımlayıp tanımlamadığını anlamanın pratik bir yolu, o denklemin
grafiğinin düşey doğrularla kesişimlerini düşünmektir. Eğer her düşey doğru grafiği en çok
bir noktada kesiyorsa, o denklem bir fonksiyon tanımlar ve denklemin grafiği fonksiyonun
grafiğidir. Eğer grafiği birden çok noktada kesen düşey doğrular varsa, o denklem bir
fonksiyon tanımlamaz. Son iki örnekte bu durumu gözlemleyebilirsiniz.
2.3. Ekonomide Fonksiyonlar. Ekonomide doğal olarak ortaya çıkan fonksiyonlar, gider,
gelir, fiyat ve kâr fonksiyonlarıdır. Bu kitapta vereceğimiz örneklerden büyük çoğunluğu bu
fonksiyonlarla ilişkili olacaktır.
2.3.1. Maliyet(Gider) Fonksiyonu. Üretim yapan her işletme için maliyet(gider) söz
konusudur. Bir işletmenin giderleri, kira, personel giderleri gibi sabit giderler ile, üretilen
Ders 2……………………………………………………………………………………….. 24
ürün sayısına göre değişebilen değişken giderlerden oluşur. Bir işletmenin belli bir
dönemdeki toplam giderini Gi ile göstereceğiz.
Gi = (sabit gider) + (değişken gider).
Örneğin, bir işletmenin aylık sabit gideri A YTL ve ürün başına gideri
işletmenin ayda x ürün üretmesi durumunda aylık toplam gideri
B YTL ise, bu
Gi(x) = A + Bx
YTL olur.
2.3.2. Fiyat - Talep Fonksiyonu. Üretilip satılan ürün miktarı ile birim ürün fiyatı arasındaki
bağıntı, bir fonksiyon tanımlar. Örneğin, bir ürün için tespit edilen fiyat p YTL ve o
ürünün bu fiyatla satılabileceği miktar (talep) x adet ise ve fiyat ile talep arasında, a ve b
sabitler olmak üzere,
p =p(x)= a – bx.
gibi bir denklem varsa, bu denkleme fiyat - talep denklemi, bu denklemin tanımladığı p
fonksiyonununa da fiyat - talep fonksiyonu denir.
2.3.3. Gelir Fonksiyonu. Bir işletmenin belli bir üründen elde ettiği gelir, satılan ürün sayısı
ile birim ürün fiyatının çarpımıdır. Fiyatın sabit olduğu varsayılırsa, gelir, satılan ürün
sayısına bağlı olarak değişir. Gelir fonksiyonunu Ge ile göstereceğiz:
Ge = (satılan ürün miktarı) . (birim ürün fiyatı).
Örneğin, bir firma bir ayda her biri p YTL den x tane ürün satmışsa, bu firmanın aylık
toplam geliri
Ge(x)= xp
YTL olur.
2.3.4. Kâr Fonksiyonu. Kâr, gelir ile gider arasındaki farktır. Kâr fonksiyonunu K ile
göstereceğiz:
K(x)= Ge(x) – Gi(x).
Örneğin, belli bir zaman aralığında x ürün üretip satan bir firmanın gideri Gi(x) = A + Bx
YTL ve bir ürünün satış fiyatı p(x) = a – bx YTL ise, bu firmanın o zaman aralığındaki
geliri Ge(x) = xp = x(a - bx) = ax - b x2 YTL olur ve böylece firmanın o zaman aralığındaki
kârı
K(x) = Ge(x) – Gi(x) =( ax - b x2 ) – (A + Bx) = -b x2 +(a - B)x -A
YTL olur.
2.3.5. Bir Problem. Bir tür çapa makinesi üreten bir firma, yaptırdığı analizler sonucu, yılda
x adet çapa makinesi üretmesi durumunda toplam giderinin Gi( x) = 15 + 1.2 x bin YTL;
makine başına uygun satış fiyatının da p( x) = 6 − 0.075 x bin YTL olacağını tespit ediyor.
Fonksiyonlar - I…………………………………………………………………………
25
Bu firma yılda en çok 80 adet makine üretecektir. Firmanın ürettiği ürünün tamamını
satacağını varsayarak
a) Yılda 50 adet makine üretilmesi durumunda toplam gider ve bir makinenin satış
fiyatı ne olacaktır?
b) Gelir fonksiyonunu veren denklemi ve bu fonksiyonun tanım kümesini yazınız. 50
adet makine üretilmesi durumunda firmanın gelirini belirleyiniz.
c) Kâr fonksiyonunu veren denklemi yazınız. Yılda 50 adet makine üretilmesi
durumunda firmanın kârını bulunuz.
Çözüm. a) Yıllık toplam gider Gi(50) = 15 + (1.2) ⋅ 50 = 75 bin YTL, bir makinenin satış
fiyatı p = p(50) = 6 − (0.075) ⋅ 50 = 2.25 bin, yani 2 250 YTL.
b) Ge( x) = x ⋅ p = 6 x − 0.075 x 2 , 0 ≤ x ≤ 80. Ge(50) = 300 − 187.5 = 112.5 bin YTL,
yani 112 500 YTL.
c) Kâr fonksiyonunun denklemi
K ( x) = Ge( x) − Gi( x) = 6 x − 0.075 x 2 − (15 + 1.2 x) = −15 + 4.8 x − 0.075 x 2
olup 50 adet makine üretilmesi durumunda firmanın kârı K (50) = 112.5 − 75 = 37.5 bin , yani
37 500 YTL dir.
2.4. Elemanter Fonksiyonlar. Uygulamalarda en çok karşılaşacağınız fonksiyonlar,
elemanter fonksiyonlar olarak bilinen fonksiyonlar veya bu fonksiyonlar cinsinden ifade
edilebilen fonksiyonlardır. Aşağıda, elemanter fonksiyonları, grafikleriyle birlikte listeliyoruz:
2.4.1. Birim Fonksiyon: Her reel sayıya
kendisini karşılık getiren fonksiyon:
y
f ( x) = x .
Yanda grafiği görülen birim fonksiyonun
tanım kümesi ve değer kümesi R dir.
x
y=x
Ders 2……………………………………………………………………………………….. 26
2.4.2. Mutlak Değer Fonksiyonu: Her reel
sayıya o sayının mutlak değerini karşılık getiren fonksiyon
y
⎧ x , x≥0
f ( x) = x = ⎨
.
⎩− x , x < 0
x
y = |x|
Yanda grafiği görülen bu fonksiyonun tanım
kümesi R, değer kümesi [0,∝) dur.
2.4.3. Kare Fonksiyonu: Her reel sayıya o
sayının karesini karşılık getiren fonksiyon:
y
y = x2
f ( x) = x 2 .
x
Yanda grafiği görülen kare fonksiyonunun
tanım kümesi R, değer kümesi [0,∝) dur.
2.4.4. Küp Fonksiyonu: Her reel sayıya o
sayının küpünü karşılık getiren fonksiyon:
y
x
f ( x) = x3 .
y = x3
Yanda grafiği görülen küp fonksiyonunun
tanım kümesi ve değer kümesi R dir.
2.4.5. Karekök Fonksiyonu: Her reel sayıya o
sayının karekökünü karşılık getiren fonksiyon:
y
y=
f ( x) = x
x
x
Yanda grafiği görülen karekök fonksiyonunun
tanım kümesi ve değer kümesi [0,∝) dur.
2.4.6. Küpkök Fonksiyonu: Her reel sayıya o
sayının küpkökünü karşılık getiren fonksiyon:
y
f ( x) = 3 x
Yanda grafiği görülen küpkök fonksiyonunun
tanım kümesi ve değer kümesi R dir.
x
y=3 x
Fonksiyonlar - I…………………………………………………………………………
27
2.5. Elemanter Dönüşümler. Uygulamalarda, yukarıda listelediğimiz elemanter fonksiyonlar
listede verildikleri biçimleriyle karşımıza çıkmasalar da, karşımıza çıkan fonksiyonların pek
çoğu onlarla ilişkili olacaktır. Örneğin, aşağıdaki denklemlerle tanımlanan g , h , k ve m
fonksiyonlarını ele alalım:
g ( x) =
x − 2 , h( x ) =
Bu fonksiyonların her biri f ( x) =
x − 1 , k ( x) = 3 x .
x fonksiyonu cinsinden ifade edilebilir:
g(x) = f(x-2) , h(x) = f(x) –1 , k(x) = 3f(x) .
Aşağıda göreceğimiz üzere, g , h , k ve m fonksiyonlarının grafikleri de f ( x) =
fonksiyonunun grafiği cinsinden elde edilebilir.
x
g , h , k ve m fonksiyonlarının f fonksiyonu cinsinden tanımı en genel biçimiyle şöyle
verilebilir: a, b ve c reel sayılar olmak üzere
g(x) = f(x+a)
, h(x) = f(x) + b , k(x) = c f(x) , m(x)=f(-x).
Bu fonksiyonlardan her birinin grafiği f nin grafiğinin belli bir biçimde dönüştürülmesiyle
elde edildiğinden yukarıdaki ifadelerden her birine bir elemanter dönüşüm denir.
2.5.1. Yatay Kayma. f den g(x) = f(x+2) ile elde edilen g fonksiyonu için (x , g (x))
noktası ile (x+2 , f (x+2) nin konumları karşılaştırılınca, y=g(x) in grafiği üzerinde bulunan
(x , g (x)) = (x , f (x+2)) noktasının y=f(x) in grafiği üzerinde bulunan (x+2 , f (x+2)) nin
yatay doğrultuda 2 birim solunda bulunduğu görülür. Ayrıca, y=f(x) in grafiği üzerinde
bulunan bir (x , f (x)) noktası 2 birim sola kaydırılırsa, y=g(x) in grafiği üzerinde bulunan
(x-2 , f(x)) = (x-2 , g (x-2)) noktasının elde edileceği görülebilir.
y
y = f(x) i sağlar
y = g(x) i sağlar
g(x)=f(x+2
(x ,g(x))
(x+2,f(x+2))
x
x+2
x
Sonuç olarak, g(x) = f(x+2) denklemi ile tanımlanan g fonksiyonunun grafiği, f nin
grafiğinin yatay doğrultuda 2 birim sola kaydırılmasıyla elde edilir.
2 için gözlemlemiş olduğumuz bu hususun herhangi bir pozitif reel sayı için de doğru olduğu
açıktır. a ∈ R , a>0 ise, g(x) = f(x+a) denklemi ile tanımlanan g fonksiyonunun grafiği, f
nin grafiğinin yatay doğrultuda a birim sola kaydırılmasıyla elde edilir.
Ders 2……………………………………………………………………………………….. 28
Şimdi, a ∈ R , a < 0 durumunu ele alalım.
y
y = f(x) i sağlar
g(x)=f(x+a)
(x ,g(x))
(x+a ,g(x)) = (x+a ,f(x+a))
y = g(x) i sağlar
x
x+a
x
Yukarıdaki şekilden de görüldüğü üzere, a < 0 ise, bir noktanın y = f(x+a)=g(x) in grafiği
üzerinde olması için gerek ve yeter koşul, o nuktanın yatay doğrultuda -a birim sola
kaydırılmasıyla elde edilen noktanın y = f(x) in grafiği üzerinde bulunmasıdır. Başka bir
deyimle, y = f(x+a) nın grafiği, y = f(x) in grafiğinin yatay doğrultuda -a birim sağa
kaydırılmasıyla elde edilir.
g(x) = f(x+a) denklemi ile tanımlanan g fonksiyonunun grafiği ve f nin grafiği arasında
yukarıda açıklanan ilişkiden dolayı bu dönüşüme yatay kayma denir.
Örnek 1. y =
x in yatay kaymaları .
y
y
x
(0,0)
y=
x
(0,0)
y=
x
y
x
(0,0)
x+2
y=
x−2
Örnek 2. y = f(x) = x2 nin yatay kaymaları.
y
y
(0,0)
y=x2
x
(0,0)
y=(x+2)2
y
x
(0,0)
y=(x-2)2
x
Fonksiyonlar - I…………………………………………………………………………
29
Örnek 3. y = f(x) = |x| in yatay kaymaları.
y
y
x
(0,0)
y
(0,0)
y = |x|
x
y = |x + 2|
(0,0)
x
y = |x - 2|
2.5.2. Düşey Kayma. h(x) = f(x)+b denklemi ile tanımlanan h fonksiyonunun grafiği, f nin
grafiğinin düşey doğrultuda kaydırılmasıyla elde edilir. Gerçekten, ( x, h( x)) = ( x, f ( x) + b)
noktası ile ( x, f ( x)) noktasının düzlemdeki konumlarına bakılırsa, ( x, h( x)) in, b nin
pozitif veya negatif oluşuna göre, ( x, f ( x)) in b birim yukarıya veya aşağıya kaydırıl-
masıyla elde edilebileceği görülür. Başka bir deyimle, bir noktanın y = f(x) + b=h(x) in
grafiği üzerinde olması için gerek ve yeter koşul, o nuktanın düşey doğrultuda, b > 0 ise b
birim aşağıya, b < 0 ise b birim yukarıya kaydırılmasıyla elde edilen noktanın y = f(x) in
grafiği üzerinde bulunmasıdır. b > 0 olması durumu aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
y
h(x)=f(x) + b
f(x)
(x ,h(x))
y =h(x) i sağlar
y = f(x) i sağlar
(x ,f(x))
x
x
Böylece, b > 0 olması durumunda y = f(x) + b nin grafiği, y = f(x) in grafiğinin b birim
yukarı kaydırılmasıyla elde edilir.
Ders 2……………………………………………………………………………………….. 30
b<0 durumu da aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
y
y = f(x) i sağlar
(x ,f(x))
f(x)
(x ,h(x))
h(x)=f(x) + b
y =h(x) i sağlar
x
x
Sonuç olarak b<0 olması durumunda y = f(x) + b nin grafiği, y = f(x) in grafiğinin -b
birim aşağı kaydırılmasıyla elde edilir.
Örnek 1. y =
x in düşey kaymaları.
y
y
y
x
(0,0)
y=
x
(0,0)
y=
x
x
(0,0)
x +2
y=
x −2
Örnek 2. y = f(x) = x2 nin düşey kaymaları.
y
y
y
(0,0)
y = x2
x
(0,0)
y = x2 + 2
x
(0,0)
y = x2 - 2
x
Fonksiyonlar - I…………………………………………………………………………
31
Örnek 3. y = f(x) = |x| in düşey kaymaları.
y
y
y
x
(0,0)
x
(0,0)
(0,0)
y = |x|
x
y = |x |+ 2
y = |x| - 2
2.5.3. Yansıma. k(x) = - f(x) denklemi ile tanımlanan k fonksiyonunun grafiği, f nin
grafiğinin x-eksenine göre yansıtılmasıyla elde edilir. Gerçekten, ( x, f ( x)) ve ( x,− f ( x))
noktaları birbirinin x-ekseni etrafında yansımaları olduğundan, y = - f(x) in grafiği, y = f(x)
in grafiğinin x – ekseni etrafında yansıtılmasıyla elde edilir. Bu durum aşağıdaki şekilde
açıklanmıştır.
y
f(x)
y = f(x) i sağlar
(x ,f(x))
x
(0,0)
- f(x)
x
(x ,- f(x))
Örnek 1. y = x2 nin ve y =
y = -f(x) i sağlar
x in x-ekseni etrafında yansımaları.
y
y
y=
x
2
y= x
(0,0)
x
(0,0)
x
2
y=-x
y=− x
Ders 2……………………………………………………………………………………….. 32
2.5.4. Germe ve Büzme. k(x) = c f(x) , c > 0 olsun. k fonksiyonunun grafiği ile f nin
grafiği arasındaki ilişki, c > 1 veya 0 < c < 1 oluşuna göre farklılık gösterir. Önce, c > 1
durumunu ele alalım. Aşağıdaki şekilden de anlaşılacağı üzere, eğer c > 1 ise, y = c f(x)
in grafiği , y = f(x) in grafiğinin düşey doğrultuda gerilmiş bir biçimi olur.
y
y = c f(x) i sağlar
c f(x)
(x ,c f(x))
y = f(x) i sağlar
f(x)
(x ,f(x))
x
(0,0)
x
Şimdi, 0<c<1 durumunu ele alalım. Aşağıdaki şekilden de anlaşılacağı üzere, eğer 0 < c < 1
ise, y = c f(x) in grafiği , y = f(x) in grafiğinin düşey doğrultuda büzülmüş bir biçimi olur.
y
y = f(x) i sağlar
f(x)
(x ,f(x))
y = c f(x) i sağlar
c f(x)
(0,0)
(x ,c f(x))
x
x
Aşağıdaki örneklerde, grafik üzerrinde gösterilen noktalara da dikkat ederek düşey
doğrultuda gerilme ve büzülme deyimlerinin anlamı üzerinde düşününüz.
Fonksiyonlar - I…………………………………………………………………………
Örnek 1. y = f(x) = x2 nin gerilme ve büzülmeleri.
gerilme
y = x2
y
y = 2x2
büzülme
(1, 2)
y = (1/2)x2
(1,1)
(1,1/2)
x
(0,0)
Örnek 2. y = f(x) = |x| in büzülme ve gerilmeleri.
gerilme
y
y =|2x|
y = |x|
büzülme
y =| (1/2)x|
(1, 2)
(0,0)
(1,1)
(1,1/2)
x
33
Ders 2……………………………………………………………………………………….. 34
2.5.5. Kayma, Yansıma, Gerilme ve Büzülmelerin Art Arda Uygulanması. Pratikte
karşılaştığımız fonksiyonlardan pek çoğu, elemanter fonksiyonlara daha önce gördüğümüz
transformasyonların art arda uygulanmasıyla elde edilir.
Örnek 1. y = -3 |x - 1| + 2 nin grafiği, y = |x| in grafiğinden elde edilebilir.
y = |x| → y = |x - 1| → y = 3|x - 1| → y = -(3|x - 1| ) → y = -(3|x - 1| ) + 2
y
y = |x|
y = 3 |x - 1|
y = |x - 1|
(1,3)
x
(0,0)
y =-3 |x - 1|
y =-3 |x - 1| + 2
Örnek 2. y = x2 – 2x in grafiği, y = x2 nin grafiğinden elde edilebilir.
y = x2 → y = (x-1)2 = x2 – 2x +1 → y = (x-1)2 –1 = x2 – 2x
y
y= x
y = (x-1)2
2
(0,0)
(1,0)
(1,-1)
x
y = x2 – 2x
Fonksiyonlar - I…………………………………………………………………………
Örnek 3. y = 1 − x + 2 in grafiği, y =
y=
35
x in grafiğinden elde edilebilir.
x → y = − x → y = − ( x − 1) = 1 − x → y = 1 − x + 2
y
y = 1− x + 2
y = 1− x
(1,2)
y=
y= −x
(0,0)
x
(1,0)
x
Örnek 4. Daha önce 2.3.5 te ele alınan problem için gelir fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Sözü edilen problemdeki gelir fonksiyonu
Ge( x) = x ⋅ p = 6 x − 0.075 x 2 , 0 ≤ x ≤ 80
olarak belirlenmişti. Biraz aritmetik işlemle, gelir fonksiyonu için
Ge( x) = 6 x − 0.075 x 2 = −0.075( x 2 − 800 x) = −0.075(( x − 40) 2 − 1600),
Ge( x) = −0.075( x − 40) 2 + 120
ifadesi elde edilir. Dolayısıyla, aşağıdaki elemanter dönüşümler izlenerek,
fonksiyonunun grafiği y = x 2 kare fonksiyonunun grafiğinden elde edilir:
gelir
Ders 2……………………………………………………………………………………….. 36
y = x 2 → y = ( x − 400) 2 → y = −( x − 40) 2 → y = −0.075( x − 40) 2
→ y = −0.075( x − 40) 2 + 120 = 6 x − 0.075 x 2
y
(40,120)
(80,0)
(0,0)
x
(40,0)
y = 6 x − 0.075 x 2
, 0 ≤ x ≤ 80
K ( x) = −15 + 4.8 x − 0.075 x 2
Benzer şekilde, kâr fonksiyonu
, 0 ≤ x ≤ 80 in grafiği
K ( x) = −0.075( x − 32) 2 + 61.8
ifadesinden yararlanılarak aşağıdaki gibi elde edilebilir.
y = x 2 → y = ( x − 32) 2 → y = −( x − 32) 2 → y = −0.075( x − 32) 2
→ y = −0.075( x − 32) 2 + 61.8 = −15 + 4.8 x − 0.075 x 2
y
(32,61.8)
(80,0)
(0,0)
(32,0)
x
y = −15 + 4.8 x − 0.075 x 2
, 0 ≤ x ≤ 80
Fonksiyonlar - I…………………………………………………………………………
37
Problemler 2
1. f (x) = 2x + 3 ve g (x) = x2 + 3 denklemleri ile tanımlanan f ve g fonksiyonları için
1
1
) , f (x2) , f ( ) , f (x-1) , f (3x) değerlerini bulunuz.
2
x
1
1
b) g (-1) , g (0) , f (1) , g (2) , g ( ) , g (x2) , g ( ) , g(x-1) , g(3x) değerlerini bulunuz.
2
x
a) f (-1) , f (0) , f (1) , f (2) , f (
c) f ve g nin grafiklerini çiziniz.
2. Kenar uzunlukları x metre ve y metre olan bir dikdörtgenin alanı A ve çevre uzunluğu Ç
ile gösterilsin.
a) Dikdörtgenin alanı 25 metrekare ise, çevre uzunluğu Ç yi x in fonksiyonu olarak ifade
ediniz ve bu fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz.
b) Dikdörtgenin alanı 81 metrekare ise, çevre uzunluğu Ç yi y nin fonksiyonu olarak ifade
ediniz ve bu fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz.
c) Dikdörtgenin çevre uzunluğu 100 metre ise, alan A yı x in fonksiyonu olarak ifade
ediniz ve bu fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz.
ç) Dikdörtgenin çevre uzunluğu 160 metre ise, alan A yı y nin fonksiyonu olarak ifade
ediniz ve bu fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz.
3. Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz
b) f ( x) =
a) f ( x) = 2 x 3 − x 2 + 3
ç) f ( x) =
f) f ( x) =
5
1
7−x
1
x−5
x−2
x+4
d) f ( x) = 3 x + 3
g) f ( x) =
x −1
x3 − 1
c) f ( x) = 7 − x
e) f ( x) =
ğ) f ( x) =
x−7
x + x−6
x−7
2
x2 + x − 6
4. Aşağıdaki denklemlerin hangisi, x bağımsız değişken ve y bağımlı değişken olmak üzere, bir
fonksiyon tanımlar?
a) 3 y − 7 x = 15
b) x − y 2 = 1
c) x 2 + y = 10
ç) xy + y − x = 5
d) x 2 + y 2 = 9
e) x 2 − y 2 = 16
f ( a + h) − f ( a )
ifadesini hesaplayınız.
h
b) f ( x) = 4 x 2 − 5 x + 1
c) f ( x) = x 3
ç) f ( x) =
5. Aşağıda verilen f(x) için
a) f ( x) = 3x − 4
d) f ( x) =
1
x
e) f ( x) = x 3 − x
f) f ( x) = 3
x
1
x g) f ( x) =
x +1
Ders 2……………………………………………………………………………………….. 38
6. Bilgisayarlar için hafıza çipi üreten bir firma, yaptırdığı analizler sonucu, x milyon adet çip
üretmesi durumunda toplam giderini Gi ( x) = 85 + 14 x milyon YTL; çip başına satış fiyatını
da p ( x) = 60 − 2.5 x YTL olarak belirliyor. Bu firma en az bir milyon en çok yirmi milyon
çip üretecektir. Firmanın ürettiği ürünün tamamını satacağını varsayarak
a) 6 milyon çip üretilmesi durumunda bir çipin satış fiyatını bulunuz. 10 milyon çip üretilmesi
durumunda bir çipin satış fiyatını bulunuz.
b) Gelir fonksiyonunu veren denklemi ve bu fonksiyonun tanım kümesini yazınız. 6 milyon
ve 10 milyon çip üretilmesi durumunda firmanın gelirini ayrı ayrı belirleyiniz.
c) Kâr fonksiyonunu veren denklemi ve bu fonksiyonun tanım kümesini yazınız. 6 milyon ve
10 milyon çip üretilmesi durumunda firmanın kâr durumunu ayrı ayrı belirleyiniz.
7. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini elemanter fonksiyonların grafikleri üzerinde elemanter
dönüşümler uygulayarak çiziniz.
a) g ( x) = x + 3
b) h( x) = ( x − 4) 2
c) k ( x) = − x
ç) f ( x ) = ( x + 4) 2 + 4
d) m( x) = x + 5
e) v( x) = 0.5 x
f) u ( x) = 5 x
g) f ( x) = 3x 2 − 12 x
8. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini elemanter fonksiyonların grafikleri üzerinde elemanter
dönüşümler uygulayarak çiziniz.
a) f ( x) = − x + 3
b) h( x) = ( x − 4) 2 − 3
c) k ( x) = − x + 3
ç) m( x) = −( x + 3) 2 + 4
d) g ( x) = 4( x − 2) 2 − 6
e) h( x) = −3 x − 3 − 3
9. Bir tür fotoğraf makinesi üretip satan bir firmanın maliye bölümü, yaptığı araştırmalar sonucunda, x bin adet fotograf makinesi üretilmesi durumunda toplam giderinin Gi( x) = 500 + 45 x
bin YTL ve makine başına satış fiyatının p( x) = 100 − 0.01( x − 10) 2 YTL olacağını
belirliyor. Bu firma enaz 10 bin en çok 1000 bin fotoğraf makinesi üretecektir.
a) 50 bin fotoğraf makinesi üretilip satılması durumunda bir makinenin satış fiyatı ne
olacaktır?
b) Fiyat talep fonksiyonu p (x) in grafiğini çiziniz.
c) Gelir fonksiyonu Ge(x) i ifade ediniz ve 30 bin makine üretilip satılması durumunda ne
kadar gelir elde edileceğini bulunuz.
ç) Kâr fonksiyonu K (x) i ifade ediniz ve 30 bin makine üretilip satılması durumunda ne
kadar kâr elde edileceğini bulunuz.
10. Altıncı problemde bulduğunuz gelir ve kâr fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz.