10sn mat fasikül-4.indb - Hasan KORKMAZ`ın Web Sayfası

kapak sayfası
İÇİNDEKİLER
6. ÜNİTE
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler............................................................................................... 3 – 4
ax2 + bx + c = 0 Denkleminin Genel Çözümü.............................................................................................. 5 – 7
Karmaşık Sayılar........................................................................................................................................ 8 – 14
Konu Testleri 1 - 2....................................................................................................................................... 15 – 18
İkinci Dereceden Denklemin Kökleri ile Kökleri ile Katsayıları Arasındaki Bağıntılar.................................. 19 – 20
Konu Testleri 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8................................................................................................................... 21 – 30
İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikleri................................................................................................... 31
İkinci Dereceden Fonksiyonlar.................................................................................................................... 31 – 36
Konu Testi - 9.............................................................................................................................................. 37
İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri................................................................................................. 38 – 45
Konu Testleri 10 - 11 - 12 - 13 - 14 . ........................................................................................................... 46 – 56
Yayımlayan: Sebit Eğitim ve Bilgi Teknolojileri AŞ
Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ.
Üniversiteler Mah. İhsan Doğramacı Bulv.
Basým Tarihi: Haziran / 2016
No:15 06800 ODTÜ Teknokent
Ankara / TÜRKİYE
Sertifika No: 33674
Tel: 0312 292 62 62
www.sebit.com.tr
ISBN Numarası: 978-605-9739-73-3
[email protected]
Bu kitabın her hakkı saklıdır. Kısmen ve kaynak gösterilerek de olsa kesinlikle hiçbir alıntı yapılamaz. Metin, biçim, sorular, yayımlayan şirketin izni olmaksızın elektronik,
mekanik, fotokopi ya da herhangi bir sistemle çoğaltılamaz, dağıtılamaz ve yayımlanamaz.
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
1
Ünite-6
Kazanımlar
10.6.1.
İkinci dereceden bir bilinmeyenli
denklemler
10.6.1.1.İkinci dereceden bir bilinmeyenli
denklemleri çözer.
10.6.1.2.i = − 1 sanal birim olmak üzere bir
karmaşık sayının a + bi (a, b ∈ R)
biçiminde ifade edildiğini açıklar.
10.6.1.3.İkinci dereceden bir bilinmeyenli
denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki ilişkileri belirler.
10.6.2.
İkinci dereceden fonksiyonlar ve grafikleri
10.6.2.1. İkinci dereceden bir değişkenli fonksiyonu açıklar ve grafiğini çizer.
10.6.2.2.İkinci derece denklem ve fonksiyonlarla modellenebilen problemleri çözer.
Raunt
3
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
a ≠ 0 ve a, b, c birer reel sayý olmak üzere,
ax2 + bx + c = 0
ifadesine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.
a, b, c sayýlarýna denklemin katsayýlarý, x'e denklemin bilinmeyeni denir. Denklemde, x yerine
konulduðunda denklemi saðlayan sayýlara denklemin kökleri, bu sayýlarýn kümesine denklemin
çözüm kümesi, bu sayýlarý bulma iþlemine de denklemi çözmek denir.
Bazen ax2 + bx + c = 0 ikinci derece denklemini saðlayan reel sayý bulamayacaðýz. Bu durumda
denklemin çözüm kümesi boþ kümedir (∅) diyeceðiz.
Buna göre;
4x2 – 4x + 3 = 0
–3x2 + 4x = 0
–x2 + 1 = 0
denklemleri birer ikinci dereceden, bir bilinmeyenli denklemdir.
–9x + 1 = 0 denkleminde ikinci dereceden terim olmadýðýndan, ikinci dereceden denklem deðildir.
Bu denklem birinci derecedendir.
4x3 – 4x + 7 = 0 denkleminde üçüncü dereceden terim olduðundan, ikinci dereceden denklem
deðil, üçüncü dereceden denklemdir.
Örnek
1
x2 – 9 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
x2 – 9 = 0 ⇒ x2 = 9 ⇒ x = ±3 tür.
Yani, x1 = –3 ve x2 = –3 tür.
Ç = {–3, 3} dir.
4
Raunt
1
Matematik-10 Ünite-6
ax2 + bx + c = 0 Denkleminin Genel Çözümü
c
 2 b
ax2 + bx + c = 0 ⇒ a  x + x +  = 0
a
a


⇒ x2 +
2
b
c
b
b
x+ + 2 –
=0
2
a
a 4a
4a
⇒ x2 +
b
b2
c
b2
x+
+ –
=0
a
4a 2 a 4a 2
2
⇒x +
2
b
c
x+
=0
a
a
2
b 
4ac – b2

⇒ x +
=0
 +
2a 

4a 2
2
2
b 
b – 4ac

⇒ x +
 =
2
2a 

4a
elde edilir. Bu eþitliðin sol tarafý daima pozitif veya sýfýrdýr. Eþitliðin tanýmlý olabilmesi için
b2 – 4ac ≥ 0 olmalýdýr. b2 – 4ac ifadesine ax2 + bx + c = 0 denkleminin diskriminantý denir ve
∆ ile gösterilir.
O halde; ikinci dereceden denklemin diskriminantý, ∆ = b2 – 4ac dir. ∆ = b2 – 4ac nin pozitif,
sýfýr veya negatif olmasý durumuna göre kökleri bulma iþlemine devam edelim:
i)
∆ > 0 ise;
⇒ x+
2
b
b – 4 ac
=
2a
2a
b
∆
⇒ x=–

2a 2a
⇒ x=
⇒ x1 =
–b ∆
2a
–b+ ∆
2a
, x2 =
–b– ∆
2a
bulunur. Yani, ∆ > 0 ise ax2 + bx + c = 0 denkleminin birbirinden farklý iki reel kökü
vardýr.
Bu durumda denklemin çözüm kümesi;
 – b + ∆ – b – ∆ 
,

 dýr.
2a
2a


Raunt
5
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
ii)
∆ = 0 ise;
2
b 
0

⇒ x +
 =
2a 

4a2
⇒
x+
b
b
= 0 veya x +
=0
2a
2a
⇒ x1 = –
b
,
2a
x2 = –
b
2a
bulunur. Yani, ∆ = 0 ise ax2 + bx + c = 0 denkleminin birbirine eþit iki reel kökü vardýr. Bu
 b 
 dýr.
durumda denklemin çözüm kümesi; –
 2a 
∆ = 0 durumunda; denklemin kökleri birbirine eþittir, denklemin kökleri çakýþýktýr veya
denklemin iki katlý bir kökü vardýr denir.
iii) ∆ < 0 ise, denklemin reel kökü yoktur; reel sayýlarda Ç = { } dir.
2
Örnek
Çözüm
3x2 + 7x – 20 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
2
Burada a = 3, b = 7 ve c = –20 dir.
∆ = b2 – 4ac ⇒ ∆ = 72 – 4.3.(–20)
∆ = 49 + 240
∆ = 289
olduğundan denklemin birbirinden farklı iki reel kökü
vardır.
x1 =
−b + ∆
2a
− 7 + 289
2.3
− 7 + 17
x1 =
6
10
x1 =
6
5
x1 =
3
x1 =
olduğundan Ç = * − 4,
x2 =
−b − ∆
2a
− 7 − 289
2.3
− 7 − 17
x2 =
6
− 24
x2 =
6
x2 = − 4
x2 =
5
4 bulunur.
3
HATIRLATMA
ax2 + bx + c = 0 denkleminde a ile c ters iþaretli ise, ∆ mutlaka pozitiftir. Denklemin, daima
birbirinden farklý iki reel kökü vardýr.
6
Raunt
Matematik-10 Ünite-6
Örnek
3
2
x − 4 3 . x + 12 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
3
Burada a = 1, b = –4�3 ve c = 12 dir.
∆ = b2 – 4ac
∆ = (–4�3)2 – 4.1.12
∆ = 48 – 48
∆=0
olduğundan eşit iki reel kökü vardır.
x1 = x2 = −
b
(− 4 3 )
=−
=2 3
2a
2.1
Ç = {2�3} tür.
Örnek
4
2
(m – 4)x + 3xm – 2m = 0
denkleminin köklerinden biri 1 olduğuna göre, diğer
kök kaçtır?
Çözüm
4
Denklemin kökü, denklemi sağlar.
x = 1 ⇒ (m – 4).12 + 3.1.m – 2m = 0
m – 4 + 3m – 2m = 0
2m – 4 = 0
2m = 4
m = 2 bulunur.
m değeri denklemde yerine yazılırsa
(2 – 4)x2 + 3x.2 – 2.2 = 0
–2x2 + 6x – 4 = 0
Örnek
5
m ∈ R olmak üzere,
(m – 1)x2 + (2m + 1)x + m + 1 = 0
denkleminin birbirine eşit iki gerçel kökü varsa m
kaçtır?
–2x
+2
x
–2
⇒ (–2x + 2)(x – 2) = 0
–2x + 2 = 0 veya x – 2 = 0
x = 1
Diğer kökü x = 2 bulunur.
Çözüm
x=2
5
Ç = {x1} ise ∆ = 0 olmalıdır.
∆ = b2 – 4ac = 0
(2m + 1)2 – 4.(m – 1) (m + 1) = 0
4m2 + 4m + 1 – 4(m2 – 1) = 0
4m2 + 4m + 1 – 4m2 + 4 = 0
4m + 5 = 0 ⇒ m = −
5
bulunur.
4
Raunt
7
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
Karmaşık Sayılar
Reel sayılar kümesinde x2 + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesi ∅ dir. Çünkü,
x2 + 4 = 0 ⇒ ∆ = b2 – 4ac
⇒ ∆ = 02 – 4 . 1 . 4
⇒ ∆ = –16
⇒ ∆ < 0 dır.
Sanal Sayı Birimi
Karesi –1 e eşit olan sayıya "Sanal sayı birimi" denir ve i ile gösterilir.
Yani, i2 = –1 dir. O halde, i ∉ R dir.
i sayısının kuvvetleri
i=i
i2 = –1
i3 = i2 . i = (–1) . i = –i
i4 = i2 . i2 = (–1) . (–1) = 1
}
i4n+1 = i
i4n+2 = –1
i4n+3 = –i
i4n+4 = 1 olur.
(n ∈ Z)
HATIRLATMA
i nin herhangi bir kuvveti bulunurken, kuvvetin 4 ile bölümündeki kalan, i nin kuvveti olarak
alınır.
Örnekler
a. i99 =
b. i125 =
c. i–43 =
d. i–146 =
Örnek
6
n bir doğal sayı i4n+77 – i47 nin eşiti nedir?
Çözüm
6
i nin 4 ün katı lan kuvvetlire 1. olduğundan
i4n+77 – i47 = i4n+76 . i – i44 . i3
8
Raunt
= (i4)n+19 . i – (i4)11 . (–i)
= i – (–i)
=i+i
= 2i bulunur.
Matematik-10 Ünite-6
Karmaşık Sayının Standart Formu
a, b ∈ R ve i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi sayısına bir karmaşık sayı denir.
Karmaşık sayılar kümesi,
C = {z : z = a + bi, a, b ∈ R ve i2 = –1} dir.
z = a + bi karmaşık sayısında
"a" reel kısım olup Re(z) = a,
"b" imajiner (sanal) kısım olup Im(z) = b yazılır.
Örnek
7
Çözüm
Aşağıda verilen karmaşık sayıların reel ve sanal
kısımları nedir?
a. z = 3 – 4i
b. z = –5 + 2i
c. z = 4
1
i
2
e. z = 0
d. z =
7
a. Re(z) = 3 ve İm(z) = –4
b. Re(z) = –5 ve İm(z) = 2
c. Re(z) = 4 ve İm(z) = a
d. Re(z) = 0 ve İm(z) =
1
2
e. Re(z) = 0 ve İm(z) = 0 dır.
Karmaşık Sayıların Eşitliği
z1 = a + bi ve z2 = c + di olmak üzere;
z1 = z2 ⇒ a = c ve b = d dir.
Karmaşık Sayılarda Toplama, Çıkarma İşlemleri
z1 = a + bi ve z2 = c + di olsun.
a. z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
b. z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Örnek
8
a, b ∈ R olmak üzere,
z1 = 2a – 1 + (b + 3)i
z2 = a – 3 + (2b – 5)i
z1 = z2 olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
Çözüm
8
z1 = z2 ⇒ 2a – 1 + (b + 3)i = a – 3 + (2b – 5)i
2a – 1 = a – 3
b + 3 = 2b – 5
a = –2
b=8
a + b = (–2) + (8) = 6 bulunur.
Raunt
9
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
Örnek
9
Çözüm
z1 = 6 + 3i ve z2 = 5 – 2i olmak üzere,
9
z1 + z2 = 6 + 3i + 5 – 2i = 11 + i
z1 + z2 ve z1 – z2
z1 – z2 = 6 + 3i – 5 + 2i = 1 + 5i dir.
ifadelerinin eşitleri nedir?
Örnek
10
Çözüm
4�–9 – 3�–25 – 2�64 = 4�–1 . �9 – 3 �–1 . �25 – 16
4. − 9 − 3. − 25 − 2. 64
10
karmaşık sayısının reel ve sanal kısmının toplamı
kaçtır?
= 4i . 3 – 3i . 5 – 16
= 12i – 15i – 16
= –3i – 16
(–3) + (–16) = –19 bulunur.
Örnek
11
Çözüm
2
i = –1 olmak üzere,
z = i + i2 + i3 + i4 + i5 + ... + i61
i=1
i2 = –1
i3 = –i
olduğuna göre, Im(z) kaçtır?
i4 = 1
}
11
ise i + i2 + i3 + i4 = 0 olur.
Buna göre,
z = i + i2 + i3 + i4 + i5 + i6 + i7 + i8 + ... + i57 + i58 + i59 + i60 + i61
–––––––– ––––––––––
––––––––––––
0
0
0
z = i61 = i60 . i1 = (i4)15 . i = i olur. z = 0 + i olduğundan
İm(z) = 1 dir.
Karmaşık Düzlem
Analitik düzlemin x eksenini reel eksen, y eksenini imajiner eksen olarak aldığımızda oluşan
düzleme karmaşık düzlem denir.
Karmaşık düzlemdeki her noktaya bir karmaşık sayı, her karmaşık sayıya ise karmaşık düzlemde
bir nokta karşılık gelir.
y (imajiner eksen)
4
3
2
z1 = 3 + i
1
z3 = –3
–4 –3 –2 –1 O
–1
1
2
3
4
x (reel eksen)
–2
–3
–4
z4 = –2 – 4i
z5 = 4 – 3i
Örneğin karmaşık düzlemdeki z1 = 3 + i noktası, analitik düzlemdeki L(3, 1) noktasına karşılık
gelir.
10
Raunt
Matematik-10 Ünite-6
Karmaşık Sayının Eşleniği
Bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın reel eksene göre simetriğine o karmaşık sayının
eşleniği denir. z karmaşık sayısının eşleniği z ile gösterilir.
Im(z)
z = a + bi
b
IzI
O
–b
IzI
a
Re(z)
z = a – bi
z = a + bi karmaşık sayısının eşleniği
z = a – bi karmaşık sayısıdır.
Örnek
12
Çözüm
Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini bulunuz.
a. z1 = 2 + 5i
a. z1 = 2 – 5i ⇒ z1 =
b. z 2 = 4 – i
12
c. z 3 = 2i
b. z2 = 4 + i ⇒ z 2 =
d. z 4 = 5
c. z3 = –2i ⇒ z 3 =
d. z4 = 5 ⇒ z 4 =
Örnek
13
Çözüm
z = 3i – (4 + i) + 5
13
z = 3i – (4 + i) + 5
z = 3i – 4 – i + 5
olduğuna göre, Im(z) kaçtır?
z = 1 + 2i dir. z = 1 – 2i olur.
İm(z) = –2 bulunur.
HATIRLATMA
Kökleri Karmaşık Sayı Olan İkinci Dereceden Denklemler
a, b, c ∈ R olmak üzere,
ax2 + bx + c = 0 denkleminin diskriminantı negatif ise bu denklemin kökleri birbirinin eşleniği
olan iki karmaşık sayıdır.
Raunt
11
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
14
Örnek
x2 – 2x + 4 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
14
Burada a = 1, b = –2 ve c = 4 dir.
∆ = b2 – 4ac
∆ = (–2)22 – 4 . 1 . 4
∆ = 4 – 16
15
Örnek
Reel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin köklerinden birisi − 3 + 7 i olduğuna göre, bu
denklemin köklerinin toplamı kaçtır?
16
Örnek
2
x + 2x + 10 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
∆ = –12
2 + − 12
x1 =
2
x2 =
x1 = 1 + �3i
x2 = 1 – �3i olduğundan
Ç = {1 – �3i, 1 + �3i} dir.
Çözüm
2 − − 12
2
15
Reel katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin kökleri birbirinin eşleniğidir. Bir kökü –3 + �7i olan
denklemin diğer kökü –3 – �7i olur.
Buradan kökler toplamı –3 + �7i – 3 – �7i = –6 bulunur.
Çözüm
16
Denklemde a = 1, b = 2, c = 10 dır.
∆ = 22 – 4.1.10
∆ = 4 – 40
∆ = –36
x1 =
− 2 + − 36
2
x2 =
x1 = –1 + 3i
Örnek
17
x3 + 8 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
Çözüm
x2 = –1 – 3i olduğundan
Ç = {–1 – 3i, –1 + 3i} bulunur.
17
x3 + 8 = 0 ifadesi çarpanlarına ayrılarak
(x + 2)(x2 – x + 4) = 0 bulunur.
––––– ––––––––––
0
0
= (–1)2 – 4.1 . 4
x = –2
−b + ∆
−b − ∆
x1 = −
x2 =
2a
2a
= 1 – 17
1 + − 16
2
1 + 4i
x1 =
2
Ç = * − 2,
Raunt
∆ = b2 – 4ac
x + 2 = 0 x2 – x + 4 = 0
x1 =
12
− 2 − 36
2
1 − − 16
2
1 − 4i
x2 =
2
x2 =
1 + 4i 1 − 4i
,
4 bulunur.
2
2
= –16 dır.
Matematik-10 Ünite-6
Katsayıları Karmaşık Sayı Olan İkinci Dereceden Denklemler
a, b, c birer karmaşık sayı olmak üzere,
az2 + bz + c = 0
denkleminin köklerini bulmak için önce ∆ = b2 – 4ac hesaplanır.
Sonra, z1, 2 =
Örnek
−b " ∆
formülünden kökler bulunur.
2a
18
Çözüm
z2 – 2iz + 3 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
18
Bu denklemde a = 1, b = –2i ve c = 3 tür.
∆ = b2 – 4ac
∆ = 4i2 – 4.1.3
∆ = –41 – 12
∆ = –16
2i + − 16
2.1
2i + 4i
x1 =
2
x1 = 3i
x1 =
x2 =
2i − −16
2.1
2i − 4i
2
x2 = − i
x2 =
olduğundan, Ç = {–i, 3i} dir.
İki Karmaşık Sayının Çarpımı
z1 = a + bi ve z2 = c + di olsun
z1 . z2 = (a + bi) . (c + di)
= a . c + a . d . i + b . c . i + b . d . i2
= a . c + a . d . i + b . c . i + b . d . (–1)
= (a . c – b . d) + (a . d + b . c)i
z1 . z2 = (3 – i) . (2 + 4i)
= 6 + 12i – 2i + 4
= 10 + 10i
Örnek
19
Çözüm
2
z = (1 – i)
olduğuna göre, Im(z) kaçtır?
19
z = (1 – i)2
= 12 – 2i + i2
= 1 – 2i + (–1)
z = –2i bulunur. Buradan z = 2i olur.
İm(z) = 2 dir.
Raunt
13
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
20
Örnek
z = 3 – �3i ise z = 3 + �3i olur.
z = 3− 3i
20
Çözüm
olduğuna göre, z . z değeri kaçtır?
z.z = (3 – �3i) . (3 + �3i)
= 9 + 3�3i –3�3i – 3i2
= 9 – 3.(–1)
= 12 bulunur.
Karmaşık Sayılarda Bölme İşlemi
Karmaşık sayılarda bölme işlemi yaparken pay ve payda, paydanın eşleniği ile çarpılır.
z.z1
z
=
z1 z1.z1
21
Örnek
z=
3 + 2i
1−i
z=
3 + 2i
1−i
(1 + i )
karmaşık sayısının reel kısmı kaçtır?
=
(3 + 2i) (1 + i)
2
1 +1
22
Örnek
f
4n + 2
1+i
p
1−i
21
Çözüm
2
3 + 3i + 2i + 2i
2
=
1
1 5
dir.
+ i olduğundan, Re(z) =
2
2 2
Çözüm
+ f
4n + 3
1−i
p
1+i
işleminin sonucunu nedir?
2
=
22
J
N4n + 2 J
N4n + 3
1−i O
K 1+i O
&
+K
K 1−i O
K 1+i O
K (1 + i ) O
K (1 − i) O
L
P
L
P
J
2 N4n + 2 J
2 N4n + 3
K (1 + i) O
K (1 − i) O
=K
+K
O
O
K 12 + 12 O
K 12 + 12 O
L
P
L
P
2 4n + 2
1 + 2i + i
p
=f
2
= i4n+2 + (–i)4n+3
=i4n . i2 + (–i)4n . (–i)3
= –1 + i bulunur.
14
Raunt
2 4n + 3
1 − 2i + i
p
+f
2
Sınav
Kodu:
M101065
Matematik-10 Ünite-6
1
Konu Testi
1. i2 = –1 olmak üzere,
−4 . −8
5. i2 = –1 olmak üzere,
4i 3
işleminin sonucu nedir?
A) –�2i
B) �2
C) –�2
olduğuna göre, z karmaşık sayısının reel kısmı
kaçtır?
A) 100
D) �2i
olduğuna göre, f(–i) nedir?
B) 1–i
C) 118
D) 120
E) 128
6. i2 = –1 olmak üzere,
f(x) = 1 + x + x2 + x3 + ... + x53
A) 1–2i
B) 110
E) i
2. i2 = –1 olmak üzere,
z = (1 + i)8 . (3 – i)2
C) 2–i
D) i–1
z=
2 − 4i
3−i
olduğuna göre, z24 sayısının eşiti nedir?
E) 2i+1
A) 210
B) 224
C) 212
D) 47
E) 410
D) 2
E) 3
3. i2 = –1 olmak üzere,
z=3–i
w = 1 – 3i
olduğuna göre,
A) 1
7. z+w
nedir?
z−w
B) i
C) –2i
D) 2i
z=
i1975 + i 2016
i 2015 + i 2006
B) i
B) 1
C) –1
8. i2 = –1 olmak üzere,
karmaşık sayısının sanal kısmı kaçtır?
A) 1
olduğuna göre, x . y kaçtır?
A) 0
E) 2
4. i2 = –1 olmak üzere,
(x + iy) . (1 + i) = 1 – 3i
C) –i
D) –1
E) 2
z1 = 4 − − 36
z2 = i
17
+ 2i
26
−i
40
olduğuna göre, z1 + z2 toplamı nedir?
A) 1–5i
B) 5i
C) 1
D) 5
E) 5i+1
Raunt
15
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
12.i2 = –1 olmak üzere,
9. a < b < 0 olmak üzere,
z=
2
2
− a + 2ab − b −
2
4a − b
karmaşık sayısının gerçek kısmı ile sanal kısmının toplamı nedir?
A) a
B) b
C) a – b D) a + b E) –a
A) –2
3z + 5 = 2(1 – 2i)
2
B) −
3
C) − 1
C) 0
D) 1
E) 2
x3 + 27 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
B) {–1, 1, 3}
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
1
A) −
3
B) –1
A){–1, 3i, –3i}
10. z = a + bi olmak üzere,
(1 − i) 42
işleminin sonucu kaçtır?
13.
(1 + i) 42
5
D) −
3
C) *
7
E) −
3
2− 3i 2+ 3
,
, − 14
4
4
D) * − 3,
3−3 2i 3+ 3i
4
,
2
2
E) {–i, 3, �3 .i}
14.i2 = –1 olmak üzere,
11. i2 = –1 olmak üzere,
(2 + i) . z = 3i – 4
olduğuna göre, z karmaşık sayısının eşiti nedir?
A) 1+2i
16
Raunt
B) 2i–1
C) 1+i
D) 2i
E) –1
f
4
4
1+i
1−i
p +f
p
1−i
1+i
işleminin sonucu kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Sınav
Kodu:
M101066
Matematik-10 Ünite-6
2
Konu Testi
1. i2 = –1 olmak üzere,
2
4
6
102
i + i + i + ... + i
toplamı kaçtır?
6.
z1 = 5 – 2i
z2 = Im(z1) + 5i
z3 = 2.Re(z2) + 3i
A) –1
B) 0
C) 1
D) i
E) –i
2. i2 = –1, n ∈ Z olmak üzere,
z1 + z2 – (z3 – z2)
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1+i
B) 3+i
C) 3+3i
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
y
7.
A) i
B) i – 1
C) i + 1
D) –i
E) 1
3. i = –1 olmak üzere,
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) –5
C) 5i
D) 5i–4
E) 4–5i
− 16 . − 9 + − 25 . 2
4.
1
12
5
B) −
12
5
C) −
6 2
5
D) 5 2
E)
x
3
–3
z4
Karmaşık düzlemde z1, z2, z3, z4 karmaşık sayıları
gösterilmiştir.
Yukarıda verilenlere göre,
karmaşık sayısının reel kısmının sanal kısmına
oranı kaçtır?
A)
z1
O
5.i101 + 4.i–986
A) 4i
–2
–4
2
z2
2
z3
D) 5+5i E) 5–5i
i8n–2 + i5–24n
olduğuna göre,
z1 – z2 + z3 – z4
toplamının eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1–i
12 2
5
B) 1+i
C) i
D) –i
E) 1+2i
8. x ve y reel sayılar olmak üzere,
5. i2 = –1 olmak üzere,
z1 = i + i2 + i3 + ... + i25
z2 =
z1 = 3x – 2y + xi + 2yi
z2 = 6 + y + 4i – 5xi
karmaşık sayıları birbirine eşit olduğuna
göre,
x + y toplamı kaçtır?
− 25 + 2.i9 + 1
olduğuna göre, Im(z1 + z2) değeri kaçtır?
A) –3
B) 3
C) 5
D) 8
E) 9
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
Raunt
17
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
9. i2 = –1 olmak üzere,
i3 + i4 + ... + i18
14.
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
B) 1
C) –1
D) 2
z1 = (x – 2) + 3i – yi
z2 = 2x – 5 + 5i
B) –2
11.
z1 = –3 + i
z2 = 2 + 2i
15.
karmaşık sayıları birbirine eşit olduğuna göre,
x.y çarpımı kaçtır?
A) –6
C) 1
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {0, –4, 4}
B) {–4i, 4i}
C) {0, –4i, 4i}
D) {–4, 4}
E) {0, 4i}
E) –2
10.i2 = –1 olmak üzere,
D) 3
x3 + 16x = 0
reel katsayılı denkleminin köklerinden biri
− 1 − 3 i olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) –5
E) 5
16.
olduğuna göre, z1 − z 2 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
x2 + mx + n = 0
B) –2
C) 3
D) 6
E) 8
z2 – (2 + i)z + 1 + i = 0
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 4 – 3i
B) –5i
C) 5 – 3i
D) 2 + i
E) 1 + i
A) –2 + 3i
B) –5 – 3i
C) –5 – i
D) 5 – 3i
E) –5 + 3i
12. z karmaşık sayısının eşleniği z dir.
2z + z = 6 + i
17.
olduğuna göre, z karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
z2 – (4 + 2i).z + 4 + 4i = 0
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) –4i
B) 2 + 2i
C) 1 + i
D) 6
E) 4 – i
A) 2 + i
B) 2 – i
C) 1 + i
D) 1 – i
E) 3 + i
13.
2z + z = 12 – i
olduğuna göre, z aşağıdakilerden hangisine
eşittir?
A) 4 + 2i
B) 4 – i
C) 2 + i
D) 2 – i
E) 6 + 2i
18
Raunt
18.
z2 – (3 – i)z + 8 + i = 0
denkleminin köklerinden biri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 1 – 3i
B) 4 + i
C) 1 + i
D) 5i
E) 2 – 3i
Matematik-10 Ünite-6
Ýkinci Dereceden Denklemin Kökleri ile Katsayıları Arasındaki Baðıntılar
ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 olsun.
Bu köklerle a, b, c katsayýlarý arasýnda aþaðýdaki baðýntýlar vardýr.
Kökler Toplamý
x1 + x2 =
–b+ ∆
2a
+
–b– ∆
2a
–b+ ∆ –b– ∆
=
–2 b
b
=
= –
olur.
2a
a
2a
O hâlde; x1 + x 2 = –
b
a
dýr.
Kökler Çarpýmý
=
=
=
=
–b+ ∆ –b– ∆
.
2a
2a
(−b)2 − ( ∆ )2
4a 2
b2 – (b2 – 4ac) = 4ac
4a 2
4a 2
c
a
olur.
O hâlde; x1.x 2 =
Örnek
(∆ = b2 – 4ac)
c
dýr.
a
23
Çözüm
23
x2 – (m + 3)x + 2(m + 1) = 0
Denklemde a = 1, b = –(m + 3), c = 2 (m+1)
denkleminin x1 ve x2 kökleri arasýnda,
x1 + x2 = −
2x1 + x2 = 3 baðýntýsý vardýr.
Buna göre, m nin alabileceði değerleri toplamı kaçtır?
b
− (m + 3)
=−
= m+3
a
1
–1 / x1 + x2 = m + 3
+ 2x1 + x2 = 3
––––––––––––––––––
x1 = m bulunur.
x1 = m denklemi sağlar.
m2 – (m + 3)m + 2(m + 1) = 0
2m2 + 5m + 1 = 0
Denkleminde a = 2, b = 5, c = 1
b −5
m1 + m2 = − =
bulunur.
a
2
Raunt
19
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
24
Örnek
Çözüm
2x2 – (m –3)x – 8 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
4
3 x1 +
= –4
x2
3x1
1
+
(x 2)
4
=− 4
x2
3x 2 x1 + 4
olduðuna göre, m kaçtýr?
24
x2
=− 4
x1.x 2 =
c
a
x1.x 2 = −
8
=− 4
2
3 (− 4) + 4
= − 4 , x2 = 2 olduğuna göre,
x2
2(2)2 – (m – 3)2 – 8 = 0
8 – 2m + 6 – 8 = 0 ise m = 3 olur.
25
Örnek
Çözüm
2
3x – 4x + m – 1 = 0
x1 ler ortak olsun.
2
2
25
6x + x + 2m + 7 = 0
–2 / 3 x1 – 4x1 + m – 1 = 0
2
denkleminin birer kökleri ortak olduğuna göre, m
kaçtır?
6 x1 + x1 + 2m + 7 = 0
}
2
x1 li terimleri yok edelim.
x1 = –1 gelir.
Kök denklemi sağlar.
3 + 4 + m – 1 = 0 ⇒ m = –6 bulunur.
Kökleri Verilen Ýkinci Derece Denklemin Yazýlmasý (Kurulmasý)
Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden denklem:
(x – x1) (x – x2) = 0
biçiminde veya bu eþitlik düzenlenirse,
x2 – (x1 + x2)x + (x1x2) = 0
biçiminde kurulur.
Örnek
26
Çözüm
26
x2 – x – 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Denklemde a = 1, b = –1, c = –3
Buna göre, kökleri x1 – 4 ve x2 – 4 olan ikinci derece
denklem nedir?
(x1 + 4 + x2 – 4) ve (x1 – 4) (x2 + 4) ifadesi bulunur.
x1 + x2 – 8 ve x1 . x2 – 4(x1 + x2) + 16
−
b
c
b
− 8 = − 7 ve
+ 4. + 16 = 9
a
a
a
x2 + 7x + 9 = 0 bulunur.
Örnek
27
Sanal köklerinden biri 2 – i olan gerçek katsayılı ikinci
dereceden bir bilinmeyenli denklem nedir?
Çözüm
27
Köklerden biri (2 – i)= ise diğeri (2 + i) dir.
Kökler toplamı 2 – i + 2 + i = 4
Kökleri çarpımı (2 – i) (2 + i) = 22 + 12 = 5
x2 – 4x + 5 = 0 bulunur.
20
Raunt
Sınav
Kodu:
M101067
Matematik-10 Ünite-6
3
Konu Testi
4x2 + 4x + 1 = 0
1.
denkleminin çözüm kümesini nedir?
1 1
A) * − ,
4
2 3
1 1
B) * − ,
4
2 2
1
D) * − , 14
2
C) * −
1
4
2
B) 14
C) 12
D) –12
4.
a a
,
3
2 3
D) )
5.
a
3
3
a
3
3
C) )
E) ) −
a a
,
3
3 2
B) 6
C) 4
D) –2
E) –6
B) –2
C) 1
D) 2
E) 3
8m2x2 – 2mnx – 15n2 = 0
denkleminin çözüm kümesi nedir?
A) * −
3n 5n
,
4
2m 4m
B) *
n
3n
,
4
2m 2m
C) * −
5n 3n
,
4
4m 2m
D) *
n
3n
,
4
4m 2m
E) % − n, m /
x2 – 2(m – 3)x + m – 12 = 0
10.
denkleminin eşit iki kökü olduğuna göre, köklerden biri nedir?
A) 9
a
3
2
x2 – (a + 4)x + 5a – 4 = 0
5
2
denkleminin simetrik iki kökü olduğuna göre,
a kaçtır?
9.
B) ) −
E) m >
(3a – 1)x2 + (a2 – 9)x – 1 = 0
A) –3
denkleminin x e göre çözüm kümesi nedir?
A) ) −
C) {2}
x (6x – a) = a2
5
2
C) 0 < m ≤
ikinci derece denkleminin bir kökü x 1 = 2
olduðuna göre, m ve denklemin diðer kökü
kaçtır?
8.
A) {–2, 2}
B) {–2}
D) {–2, 1}
E) ∅
5
2
5
2
A) m = –2, x2 = 4
B) m = –1, x2 = 4
C) m = 2, x2 = 4
D) m = 3, x2 = –4
E) m = 2, x2 = –4
E) –14
3. x2 + 4 = 0 denkleminin reel sayılardaki çözüm
kümesi nedir?
B) 1 ≤ m ≤
(2m – 3)x2 – 3mx + m + 6 = 0
7.
5
2
D) m ≤
denkleminin köklerinden biri x = 3 olduğuna
göre, m kaçtır?
A) 16
denkleminin kökleri reel olduðuna göre, m nin
alacaðý deðerler hangi aralýktadır?
A) –1 < m ≤
E) % − 1, 1/
m
2x + 6
+
=5
2x + 1 x + 1
2.
2x2 – 4x + 2m – 3 = 0
6.
denkleminin bir kökü – 4 olduğuna göre, m
kaçtýr?
A)
25
9
B)
22
9
C)
20
9
D)
19
9
E)
Raunt
17
9
21
Sınav
Kodu:
M101068
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
4
Konu Testi
1.
2
1 a +b
=
x
ab
x+
4.
2
denkleminin x e göre çözüm kümesinin elemanlarýndan biri aþaðýdakilerden hangisidir?
(m – 2)x2 – 2mx + 2m – 3 = 0
ifadesi bir tam kare olduðuna göre, m nin
alacaðý deðerlerin toplamý kaçtýr?
A) 4 A) a
B) b
C) ab
D)
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
E)
2.
x
2
x –9
+
2
x+3
=
3
9– x
2
5.
denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) {–3, 3}
B) R – {–3, 3}
D) R
C) R – {0}
E) {1}
x2 – (m + 3)x – m + 4 = 0
denkleminin x1, x2 kökleri arasýnda,
1
1
1
+
=
x1 x 2
6
baðýntýsý olduðuna göre, m nin deðeri kaçtýr?
A) –2 3.
denkleminin kökleri çakýþýk olduðuna göre, a
nýn alacaðý deðerlerden biri aþaðýdakilerden
hangisidir?
22
Raunt
3
C)
5
9
D)
5
C) 2
D) 4
E) 8
6. ax2 – 2x – 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
(a – 3)x2 – 3(a – 1) x + a – 3 = 0
9
3
A) –
B) – 5
5
B) –4
E) 3
x12 + x 22 = 4
olduðuna göre, a nýn alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr?
A) –2
B) –
1
2
C)
5
2
D) 2
E)
3
2
Matematik-10 Ünite-6
7.
3x2 + 4x + c = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
10.
2
2
x1 . x 2 + x 2 . x1 = 4
olduðuna göre, c kaçtýr?
A) –9
B) –4
C) 1
3x2 – (4k + 2)x + 2k + 4 = 0
denkleminin köklerinin geometrik ortalamasý
2 olduðuna göre, köklerinin aritmetik ortalamasý
kaçtýr?
A) 3 D) 3
B) 4
C) 6
D) 8
E) 12
E) 6
11. x2 + ax + b – 2 = 0
8.
x2 + kx – 6 = 0
denkleminin köklerinden biri x1= 1 – 7 olduðuna göre, k kaçtýr?
A) –3 B) –2
C) –1
D) 1
denklemlerinin ikiþer kökleri de ayný olduðuna
göre, a + b toplamý kaçtýr?
A) –4
9. x2 – 10x + m + 13 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2
dir.
C) –2
D) 1
E) 2
x2 – (a – 2b + 3)x + a + 3b – 1 = 0
denkleminin kökler toplamý ile kökler çarpýmý aralarýnda asal iki doðal sayýdýr.
x12 .x 2 + x1.x 22 =
A) 2 B) –3
E) 2
12.
2x2 + (a – 3)x – 4 = 0
B) 3
160 olduðuna göre, m kaçtýr?
C) 4
D) 6
5
Köklerin çarpmaya göre terslerinin toplamý
11
olduðuna göre, a kaçtýr?
E) 9
A) 4 B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Raunt
23
Sınav
Kodu:
M101069
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
5
Konu Testi
1. x2 – (m + 1)x + m = 0
4. 7 . 4x – 9 . 14x + 2 . 49x = 0
2x2 + (n – 2)x – n = 0
denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden
denklemlerinin birer kökü ortak ve diðer kökle-
hangisidir?
rinin toplamý 1 olduðuna göre, 2m – n ifadesinin
A) {–1}
deðeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
D) {–1, 0, 1}
2. x2 – mx – n = 0 denkleminin kökleri,
x2 – 6x – 10 = 0 denkleminin köklerinden 2 þer
fazla olduðuna göre, m + n kaçtýr?
A) –4
B) 0
C) 4
D) 8
E) 14
x2 + (3m + 7)x + (2n – 12) = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x1 = 2m – 1
x2 = 2 – m
olduðuna göre, n kaçtýr?
A) –1
3. x2 + (3m – 1)x + c = 0 denkleminin kökleri,
x + (2m – 1)x + d = 0
24
Raunt
C) 2
C) –4
D) –6
E) –10
x1 ve x2 dir.
denkleminin köklerinin ikişer katý olduðuna
göre, m kaçtýr?
B) 1
B) –2
6. x2 – (m – 3)x + m = 0 denkleminin gerçel kökleri
2
A) 0 E) {0, 1}
C) {1}
E) 5
5.
B) {0}
D) 3
E) 5
x1 +
x2 =
2 3
. x1 . x 2
3
olduðuna göre, m kaçtýr?
A) 4
B) 6
C) 9
D) 11
E) 14
Matematik-10 Ünite-6
7. x2 – x – 3 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
10.
x2 – (a + 1)x – 27 = 0
Buna göre, kökleri 3x1 – 1 ve 3x2 – 1 olan denk-
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
lem aþaðýdakilerden hangisidir?
x1 = x22 olduðuna göre, a kaçtýr?
A) x2 + x – 27 = 0
0
B) x2 – x – 29 =
C) x2 + x – 30 = 0
D) x2 + x – 33 = 0
A) 7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
E) x2 – x – 35 = 0
8. Kökleri x1 ve x2 olan ikinci derece denklemin
kökleri arasýnda,
2(x1 + x2) – 4x1x2 = 5
x1x2 + x1 + x2 = 1
11.
(x – 4)2 – 2(5 + x) + 5 = 35 denkleminin köklerinin çarpmaya göre terslerinin toplamı kaçtır? A) –
1
2
B) –
5
12
C)
5
12
D)
1
2
E)
5
2
baðýntýlarý olduðuna göre, bu denklem aþaðýdakilerden hangisidir?
A) 2x2 – 3x – 1 = 0
B) x2 + 3x – 2 = 0
C) 3x2 – 2x – 1 = 0
D) 2x2 + 3x – 2 = 0
E) x2 – 3x – 2 = 0
12. x2 + (2a – 1)x + a – 1 = 0
9. 2x2 – mx + 1 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
2
2
x1  x 2 – 2  + x 2  x1 – 2  = 6




olduðuna göre, m kaçtýr?
A) –12
B) –8
C) 8
D) 10
E) 12
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Bu köklerin aritmetik ortalamasý –
5
olduðuna
2
3
3
göre, x 1 . x 2 + x 2 . x 1 ifadesinin deðeri aþaðýda-
kilerden hangisidir?
A) –42
B) –27
C) 27
D) 38
E) 42
Raunt
25
Sınav
Kodu:
M101070
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
6
Konu Testi
1. x2 + 3x + mx + 4 – m = 0
denkleminin köklerinden biri x1 = –2 olduðuna
göre, m kaçtır?
A)
1
3
B)
2
3
C) 1
D)
4
3
E)
5
3
6. x2 – 3x + a = 0
2x2 + 4x + 4a = 0
denklemlerinin birer köklerinin ortak olmasý için
a nýn değerleri toplamı kaçtır?
A) –30
B) –40
C) –10
D) –21
E) –25
7. x2 – 6x + 7 = 0
2. (x – 3)2 – 2(x2 – 3x) + 16 = 0
denkleminin çözüm kümesi aşağıdakilerden
denkleminin köklerinin 2 katýnýn 1 eksiðini kök
kabul eden ikinci dereceden denklem nedir?
B) x2 – 17x + 10 = 0
A) x2 – 10x + 17 = 0
2
C) x + 10x + 17 = 0
D) x2 – 17x – 10 = 0
2
E) x – 10x – 17 = 0
hangisidir?
A) {–5, 5}
B) {–5}
C) {5}
D) {0, 5}
E) {–5, 0}
8. x2 – mx + 4 = 0 denkleminin reel kökleri x1 ve x2
3. x–1 +
dir.
x+2 = 3
denkleminin kökü, (2x – m) (x + 3) = 0 denklemi-
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
4. x2 + 2 (1 – a) x + 1 + 3a = 0
kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {2�3, –2�3}
C) {12, –12}
nin de kökü olduðuna göre, m kaçtır?
A) 1
x12 + x22 = 44 olduðuna göre, m nin çözüm
denkleminin eþit iki kökünün olmasý için a nýn
B) {2�13, –2�13}
D) {–11, 11}
E) {4, –4}
9. Köklerinden biri x1 = 4 – 2 3 olan rasyonel katsayýlý ikinci dereceden denklem nedir?
alabileceği deðerlerin toplamý kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
B) x2 – 8x + 4 = 0
A) x2 – 6x + 1 = 0
C) x2 – 4x + 8 = 0
D) x2 – 4x – 8 = 0
2
E) x – 8x – 6 = 0
5. 4x2 – 4x + 7a – 4 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Kökler arasýnda 2x1 + x2 = 4 baðýntýsý olduðuna
x2 kökleri arasýnda 4(x1 + x2) + 2x1x2 = m + 1
göre, a kaçtır?
A) −
26
20
7
Raunt
B) − 3
10. 2x2 – (m + 1) x + m – 3 = 0 denkleminin x1 ve
C) − 2
D) −
18
7
E)
22
7
baðýntýsý olduğuna göre, m kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Sınav
Kodu:
M101071
Matematik-10 Ünite-6
7
Konu Testi
1. x2 + mx – 2m + 1 = 0
denkleminin bir kökü x1 = 3 olduðuna göre, m
kaçtýr?
A) –10
2.
B) –
15
2
C) –1
D) 1
B) 9
C) 8
D) 2
E) 1
x2 + (m2 – 9)x + 2m – 1 = 0
A) –1
A) –16
C) –5
D) –2
E) 8
B) – 5 C) – 7 D) –5
B) –12
C) –9
D) 12
E) 144
2x2 – 8x + 2m + 5 = 0
8.
denkleminin simetrik iki gerçel kökü olduðuna
göre, negatif kökü kaçtýr?
5.
B) –6
7. x2 + IxI – 12 = 0
denkleminin kökler çarpımı kaçtır?
E) 15
denkleminin birbirine eþit iki kökü olduðuna
göre, m nin alabileceði deðerler toplamý
kaçtýr?
4.
A) –10
E) 10
x2 – (m – 1)x + 2m – 2 = 0
A) 10
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x1 = 3x2 olduðuna göre, m kaçtýr?
A)
B) 1
C)
D) 2
E)
9. 2x2 – 4x + m = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Kökler arasında 2x1 – 3x2 = –1 bağıntısı olduğuna göre, m kaçtır?
A) –1
E) –7
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
x – 3 = 5 – x denkleminin kökü,
D) 5
denkleminin bir kökü x1 = –3 olduðuna göre,
diðer kökü kaçtýr?
3.
C) –2
2x2 + (m – 1)x + 2m + 1 = 0
A) –15
B) –5
6. 4x2 – 12x – m + 7 = 0
denkleminin kökleri arasında 3x1 – x2 = 5 bağıntısı olduğuna göre, (x1. x2.m) çarpımı kaçtır?
10.
2
x + (m + 2)x + m – 4 = 0
denkleminin de kökü olduðuna göre, m
tamsayýsý kaçtýr?
A) 2
B) 1
C) –2
D) –4
E) –5
x2 – 16x + 1 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 olduðuna göre,
x 1 + x 2 toplamýnýn pozitif deðeri kaçtýr?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 2 3
E) 3 2
Raunt
27
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
11.Rasyonel katsayýlý ikinci dereceden bir denklemin köklerinden biri x 1 = 2 – 3 olduðuna
göre, bu denklem aþaðýdakilerden hangisidir?
A) x2 + 4x – 1 = 0
B) x2 – 4x – 1 = 0
C) x2 – 4x + 1 = 0
x2 + (m + 1)x + 3m + 1 = 0
x2 + mx + 2m + 1 = 0
D) x2 + 4x + 1 = 0
2
15.
E) x – 5x + 2 = 0
12.x2 – 5x – 1 = 0 denkleminin köklerinin ikiþer
katýnýn bir fazlasýný kök kabul eden ikinci derece
denklem aþaðýdakilerden hangisidir?
B) x –12x + 7 = 0
C) x2 – 12x – 7 = 0
D) x2 +12x – 7 = 0
13.
D) –
1
2
E) − 1
denklemlerinin ikiþer kökleri de birbirine eþit
olduðuna göre, m – n kaçtýr?
B) –6
C) –5
D) –3
E) 0
E) x – 5x + 1 = 0
17. (a – 2)2 + a(a + 6) – 8 = 0
denklemini sağlayan a değerlerinin toplamı
kaçtır?
2
2
2  x1 + x 2  = 5x1 . x 2


B) 2
C) –2
D) –4
A) –1
x2 – (a + 3)x + a + 2 = 0
denkleminin köklerinin aritmetik ortasý geometrik ortasýna eþit olduðuna göre, a kaçtýr?
A) 2
Raunt
B) 1
C) 0
D) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 4
E) –8
18.
28
C) 0
x2 + (m + 1)x + 2 = 0
A) 4
1
2
x2 + (2m – 1)x + 3n + 1 = 0
x2 + (3m + 2)x + 2n – 2 = 0
A) – 9
olduðuna göre, m nin alabileceði deðerler çarpýmý kaçtýr?
14.
B)
2
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
2
A) x + 12x + 7 = 0
A) 1
16.
2
denklemlerinin birer kökleri ortak olduðuna
göre, m kaçtýr?
E) –2
x2 + (x1 – 3)x – 4x2 = 0
denkleminin kökleri, sýfýrdan farklý olan x1 ve x2 reel
sayýlarýdýr.
Buna göre, bu denklemin küçük kökü kaçtýr?
A) 4
B) 3
C) 1
D) –3
E) –4
Sınav
Kodu:
M101072
Matematik-10 Ünite-6
8
Konu Testi
(a – 5)x3 + 2xb–4 + 8x – 7 = 0
1. 6. x2 + x(1 + x) – 5x + 4m – 1 = 0
ifadesi ikinci dereceden bir bilinmeyenli bir
denklem olduðuna göre, a + b kaçtýr?
A) 30
B) 24
C) 18
D) 11
denkleminin kökleri x1ve x2 dir.
x 12 + x 22 = 2 olduðuna göre, m kaçtýr?
E) 8
1
4
A)
B)
3
4
C)
4
5
D)
4
7
E) 1
2. x2 + ax + 16 = 0 denkleminin çözüm kümesi
bir elemanlý olduðuna göre, a nýn alabileceði
deðerler çarpýmý kaçtýr?
A) –64
B) –32
C) 0
D) 32
E) 64
7. x2 + (a + 1)x – 2a + 3 = 0
denkleminin köklerinin toplamý, köklerinin
çarpýmýndan 6 eksik olduðuna göre, a kaçtýr?
2
x
=
3. x − x − 5 −
x+2 x+2
2
A) –6
B) –5
C) –4
D) –3
E) –2
denkleminin çözüm kümesi aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) Ø
B) {–2}
D) {–2, 3}
C) {3}
8. x2 – 3x – 2 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
E) {2, –3}
1
4.
x12
A) –
kökü kaçtýr?
1
2
B)
1
3
C) 1
D) 2
x 22
kaçtır?
27
8
(m2 + 1)x2 + 2nx + 12 = 0
mx2 – (n + 1)x + 6 = 0
D)
7
2
E)
9
2
denklemlerinin her iki kökü de ortak olduðuna
göre, (m, n) ikilisi aþaðýdakilerden hangisidir?
3x1 = 2x2
1 

A)  2, −

2


olduðuna göre, m nin negatif deðeri kaçtýr?
A) –9
C)
9. dir.
7
13
B)
2
4
E) 6
5. 2x2 – 5mx + 27 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2
1
x2 – (m – 1) . x + m = 0
denkleminin bir kökü 3 olduðuna göre, diðer
A)
+
B) –6
C) –4
D) –3
E) –1
1

B)  1, 
2


 1
D)  2, 
 2
1

C)  1, − 
2


E) (1, 1)
Raunt
29
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
10.x2 – 3x + 4 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Kökleri x1 – 1, x2 – 1 olan ikinci derece denklem
aþaðýdakilerden hangisidir?
A) x2 – x + 2 = 0
B) x2 – x – 1 = 0
C) x2 – 2x + 4 = 0
D) x2 – 3x + 2 = 0
1
3
+
=0
x – 2 x2
denkleminin kökler çarpımı kaçtýr?
14.
A) –8
B) –6
C) 2
D) 6
E) 8
E) x2 + x – 2 = 0
15. 11. x2 – 3x – 5 = 0
denkleminin köklerinin kareleri toplamı kaçtır?
A) 19
B) 20
C) 21
D) 22
2x + 1 –
x =1
denkleminin kökler toplamý kaçtýr?
A) 0
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
E) 23
16.
3 + x = 2x + 17
denkleminin reel köklerinin çarpýmý kaçtýr?
A) 4
12. m ≠ 2 olmak üzere,
B) 12
C) 16
D) 56
E) 64
x2 – 2x – m = 0
x2 – mx – 2 = 0
denklemlerinin birer kökü ortak olduðuna göre,
m kaçtýr?
A) 2
B) 1
C) 0
D) –1
E) –2
13. Çözüm kümesi Ç = & 3 − 5 , 3 + 5 0 olan ikinci
dereceden denklem aþaðýdakilerden hangisidir?
A) x2 – 6x + 4 = 0
B) x2 + 6x + 4 = 0
C) x2 – 6x – 4 = 0
D) x2 + 6x – 4 = 0
30
Raunt
E) x2 – 6x – 2 = 0
17. x2 – ax + 4 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
2
2
x 1 + x 2 = 8 olduğuna göre, a tamsayısının ne
gatif değeri kaçtır?
A) –1
B) –2
C) –3
D) –4
E) –5
18. x2 – mx – 3 = 0 denkleminin köklerinin 2 şer
katını kök kabul eden ikinci derece denklem
aşağıdakilerden hangisidir?
A)2x2 – 2mx – 3 = 0
B)x2 – 2mx – 3 = 0
C)x2 – 2mx –12 = 0
D)4x2 – 2mx – 3 = 0
E) x2 – mx + 3 = 0
Matematik-10 Ünite-6
İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikleri
İkinci Dereceden Fonksiyonlar
a ≠ 0 ve a, b, c ∈ R olmak üzere,
f : R → R, f(x) = ax2 + bx + c
biçiminde tanýmlanan fonksiyonlara ikinci dereceden bir deðiþkenli fonksiyonlar denir.
Ýkinci dereceden bir deðiþkenli fonksiyonlarýn grafiðine parabol denir.
Örnek
28
Çözüm
f(x) = 2x2 – 3x + 5 fonksiyonu veriliyor.
A(m – 1, 7) noktasý bu fonksiyonun grafiðine ait ise
m nin alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr?
28
A(m–1, 7) noktası parabolün üzerinde ise denklemi
sağlar.
7 = 2(m–1)2 – 3(m–1) + 7
0 = 2m2 – 4m + 2 – 3m + 3
0 = 2m2 – 7m + 5
2m → –1
m → –5
(2m – 5)(m – 1) = 0
m=
5
2
5
7
bulunur.
+1 =
2
2
m=1
Parabolün Tepe Noktasý (Köþesi)
f: R → R, f(x) = ax2 + bx + c ikinci dereceden fonksiyonunda
r=−
b
2a
k = f(r) =
4ac − b2
4a
olmak üzere, T(r, k) noktasýna parabolün “tepe noktasý” (köþesi) denir.
Örnek
29
Çözüm
29
f(x) = –2x2 + 6x + 5 denklemi ile verilmiþ parabolün
Denklemde a = –2, b = 6, c = 5
tepe noktasının koordinatları nedir?
T(r, k) olduğuna göre,
b
−6 3
r =−
=
=
2a − 4 2
2
k = f (r) =
Tf
4 (− 2) 5 − 6
− 76 19
=
=
4 (− 2)
2
−8
3 19
,
p bulunur.
2 2
Raunt
31
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
Örnek
30
Aþaðýda soru iþareti gelen yerleri doldurunuz.
r
k
f(x) = x2 – 6x + 1
?
?
2
f(x) = x + 8x + 20
?
?
2
f(x) = 2x – 12x + 1
?
?
2
f(x) = 3x + 6x + 4
?
?
f(x) = ax2 + bx + c Fonksiyonunun Tepe Noktasý Cinsinden Ýfadesi
f : R → R, y = f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun tepe noktasý T(r, k) olsun.
Bu durumda f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonu ile f(x) = a.(x – r)2 + k fonksiyonu birbirine denktir.
f(x) = a.(x – r)2 + k denklemi, parabolün tepe noktasý cinsinden denklemidir.
Örnek
31
f(x) = x2 – 4x – 5 fonksiyonunun tepe noktasý cinsinden ifadesi nedir?
Çözüm
31
Denkleminde a = 1, b = –4, c = –5
T = (r, k) olduğuna göre,
b
−4
r =−
=−
=2
2a
2
2
k = f (r) =
T(2, 1) ise
f(x) = (x – 2)2 – 9 bulunur.
32
Raunt
2
4ac − b
4.1. (− 5) − (− 4)
=
=1
4a
4.1
Matematik-10 Ünite-6
f: R → R, f(x) = a.(x – r)2 + k Fonksiyonunun Görüntü Kümesi - En Büyük Deðeri En Küçük Deðeri
f(x) = a.(x – r)2 + k fonksiyonunda
a > 0 ise; a.(x – r)2 ≥ 0 olur. Buradan
a.(x–r)2 + k ≥ k ⇒ f(x) ≥ k
elde ederiz. Yani, her x∈R için, f(x) in alabileceði deðerler k den büyük veya k ye eþit olur. Öte
yandan f(r) = k olduðunu biliyoruz. O hâlde, her x ∈ R için f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun
x = r için en küçük deðerini aldýðýný söyleyebiliriz. Fonksiyonun en küçük deðeri k olur. Fonksiyonun görüntü kümesi: [k, +∞) olur.
a < 0 ise; a.(x–r)2≤ 0 olur. Buradan
a.(x–r)2 + k ≤ k ⇒ f(x) ≤ k
elde ederiz. O hâlde, a < 0 ise ikinci derece fonksiyonu x = r için en büyük deðerini alýr. Fonksiyonun en büyük deðeri k olur. Fonksiyonun görüntü kümesi: (–∞, k] olur.
Örnek
32
f : R → R, f(x) = 2x2 – 20x + 5 fonksiyonunun en
küçük deðeri kaçtýr?
Çözüm
32
Denkleminde a = 2, b = –20, c = 5
y = f(x) parabolünde a > 0 olduğu için x = r için parabolün en küçük değerini aldığını biliyoruz.
r =−
b
− 20
=−
= 5 , f(5) en küçük değer olur.
2a
2.2
f(5) = 2.52 – 20.5 + 5
f(5) = –45 bulunur.
Örnek
33
Çözüm
33
f : R → R, f(x) = –x2 + 6x – 3 fonksiyonunun en büyük
Denkleminde a = –1, b = 6, c = –3
deðeri kaçtýr?
f(x) parabülünde a < 0 olduğuna için, x = r için parabolün en büyük değerini aldığını biliyoruz.
r =−
b
b
=−
= 3 , f(3) en büyük değer olur.
2a
2 (− 1)
f(3) = –32 + 6.3 – 3, f(3) = 6 bulunur.
Örnek
34
Çözüm
34
y = (m–1).x2 – 2mx + m + 2 fonksiyonunun görüntü
T(r, k) ise a > 0 iken
kümesinin en küçük elemaný –1 olduðuna göre, m
Tepe noktasının ordinatı en küçük değeri verir.
kaçtýr?
Yani k = –1 olur. Buradan
2
k=
4ac − b
, m – 1 > 0, m > 1
4a
2
4 (m − 1) (m + 2) − (− 2m)
= − 1 denklemi çözülür ise
4 (m − 1)
3
bulunur.
m=
2
Raunt
33
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
f(x) = ax2 + bx + c Fonksiyonunun Eksenleri Kestiði Noktalar
y = ax2+ bx + c ⇒ x = 0 için y = c olur. O hâlde, parabol Oy eksenini P(0, c) noktasýnda keser.
Grafiðin x eksenini kestiði noktalarý bulmak için fonksiyonun denkleminde y = f(x) = 0 yazýlýr.
Böylece, ax2 + bx + c = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemde reel köklerin varlýðý ∆ = b2 – 4ac
sayýsýna baðlýdýr.
∆ = b2 – 4ac < 0 ise, parabol x eksenini kesmez.
∆ = b2 – 4ac = 0 ise, parabol x eksenine teðettir. Teðet olduðu nokta parabolün tepe noktasý
T(r, 0) dýr.
∆ = b2 – 4ac > 0 ise, parabol x eksenini farklý iki noktada keser.
ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 ise parabolün x eksenini kestiði noktalar; A(x1, 0)
ve B(x2, 0) dýr. x1 ve x2 ye baðlý parabolün denklemi;
y = f(x) = a.(x – x1) . (x – x2)
dir.
Örnek
35
f(x) = 3x2 – 5x – 2 fonksiyonunun grafiğinin eksenleri
kestiði noktalarýn apsisleri toplamý kaçtýr?
Çözüm
y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği noktalar denkleminin kökleridir. Yani
b
x1 + x2 = −
a
x1 + x2 = −
Örnek
36
f(x) = 2x2 + 8x + 8 fonksiyonunun grafiğinin x eksenini
kestiði noktanýn apsisi kaçtýr?
35
−5 5
bulunur.
=
3
3
Çözüm
36
Denklemde a = 2, b = 8, c = 8
∆ = b2 – 4ac
∆ = 64 – 64
∆ = 0 dır. Yani eşit iki kök vardır.
x1,2 =
x1 =
34
Raunt
−b " ∆
olduğundan
2a
−8
= –2 bulunur.
4
Matematik-10 Ünite-6
Örnek
37
Çözüm
f(x) = 2x2 – 8x + 6 fonksiyonunun grafiğinin x eksenini
kestiði noktaların apsisleri toplamı kaçtır?
Örnek
38
y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği noktalar denklemin kökleridir. Yani
x1 + x2 = −
b
a
x1 + x2 = −
−8
=4
2
Çözüm
Ox eksenini x1 = –3 ve x2 = 4 apsisli noktalarda, Oy
eksenini y = 24 ordinatlý noktada kesen parabolün
denklemi nedir?
37
38
Kökleri verilen parabolün denklemi y = a(x – x1) (x – x2)
olduğuna göre,
y = a(x + 3)(x – 4)'dir. y = 24 iken x = 0 olduğundan,
a = –2 bulunur.
y = –2(x + 3)(x – 4) düzenlenirse
y = –2x2 + 2x + 24 bulunur.
f: R → R, y = f(x) = ax2 + bx + c Fonksiyonunun Simetri Ekseni
Tepe noktasý T(r, k) olan parabolün denklemi; f(x) = a . (x – r)2 + k dir.
Bu fonksiyonda x = r + t ve x = r – t yazalým:
f(r + t) = a . (r + t – r)2 + k ⇒ f(r + t) = at2 + k
f(r – t) = a . (r – t – r)2 + k ⇒ f(r – t) = at2 + k
Görüldüðü gibi, f(r + t) = f(r – t) olmaktadýr. r + t ve r – t sayýlarý r ye göre simetriktir.
O hâlde, f(x) = ax2 + bx + c ikinci dereceden fonksiyonun grafiði x = r doðrusuna göre simetriktir.
x = r doðrusuna parabolün simetri ekseni denir.
Aþaðýdaki þekillerin simetri eksenleri kesik çizgilerle belirtilen doğrular olabilir.
������
����
�������������
Raunt
35
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
39
Örnek
39
Çözüm
f(x) = –x2 + 6x + 8 fonksiyonunun simetri ekseninin
Denkleminde a = –1, b = 6, c = 8
denklemi nedir?
T(r, k) için x = r doğrusu.
f(x) fonksiyonunun simetri ekseni denklemidir.
r =−
40
Örnek
Simetri ekseni x = –3 doðrusu olup A(–2, –2) ve
b
2a
r=
−6
= 3 olduğu için x = 3 denklemidir.
−2
40
Çözüm
B(–1, 4) noktalarýndan geçen parabolün denklemi
y = a(x + 3)2 + k denklemi için A(–2, –2) ve B(–1, 4)
noktaları sağlatılırsa,
nedir?
–2 = a(–2 + 3)2 + k, 2
4 = a(–1 + 3) + k, –1 / a + k = –2
4a + k = 4 ––––––––––––––
a = 2, k = –4
–2 = a + k
4 = 4a + k
denkleminde yok
etme kullanılırsa
y = 2(x + 3)2 – 4
y = 2x2 + 12x + 14 bulunur.
41
Örnek
f(x) = x2 – 4x + m fonksiyonu veriliyor.
Buna göre,
f (4)
oranı kaçtır?
f (0)
Çözüm
41
Denkleminde a = 1, b = –4, c = m
r =−
b
−4
, r =−
=2
2a
2
f(4) ve f(0), x = 2 simetri ekseni denklemine eşit uzaklıkta
bulunduğu için f(4) = f(0) olur.
f (4)
= 1 bulunur.
f (0)
36
Raunt
Sınav
Kodu:
M101073
Matematik-10 Ünite-6
9
Konu Testi
1 2
x + 3x – 5 parabolü A(3, a) noktasýndan
3
geçtiðine göre a kaçtýr?
1. y =
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
6. parabolünün simetri ekseninin denklemi
x + 2 = 0 olduðuna göre, p kaçtýr?
E) 9
A)
2. f(x) = –x2 + 6x + 4a – 3 fonksiyonunun en büyük
deðeri 12 olduðuna göre, a kaçtýr?
A) 1
3
B) 2
C) 2
5
D) 2
E) 3
f(x) = px2 – (p – 1)x + 9
1
5
A) –1
B) –
1
2
C) 0
D) 1
E)
1
2
4.
f : [–3, 1] → R
f(x) = –x2 – 4x – 3
fonksiyonunun en büyük ve en küçük deðerlerinin toplamý kaçtýr?
A) –10
B) –9
C) –8
D) –7
E) –6
5. f(x) = –x2 + 4x + a fonksiyonunun görüntü kümesinin en büyük elemanýnýn 9 dan büyük olmasý
için a nýn alabileceði deðerlerin aralýðý nedir?
A) (–∞, 5)
B) (–3, 5)
C) (–5, –1)
D) (3, 5)
E) (5, ∞)
2
5
C)
3
5
D)
4
5
E) 1
7. f(x) = (m – 1)x2 – (3m + 7)x – 5
fonksiyonunun belirttiði parabolün simetri ek5
seni x =
doðrusu olduðuna göre, m kaçtýr?
2
A) 5
3. f(x) = ax2 + bx + c
parabolünün tepe noktasý A(2, 8) dir.
Parabol B(6, 0) noktasýndan da geçtiðine göre, a
kaçtýr?
B)
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
8. y = x2 + x – 2 parabolünün x eksenini kestiði noktalar
A ve B dir.
Buna göre, IABI kaç birimdir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
9. f(x) = x2 + (m + 2)x + m + 5
parabolü Ox eksenine negatif tarafta teðet
olduðuna göre, m kaçtýr?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
10. f(x) = x2 – (2m + 1)x + m + 4
parabolü Ox eksenini kesmediðine göre, m nin
alabileceði tamsayý deðerleri kaç tanedir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Raunt
37
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri
f(x) = ax2 Fonksiyonunun Grafiði
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunda b = 0 ve c = 0 için, f(x) = ax2 fonksiyonu elde edilir.
•
a > 0 ise;
�����������
��
��
��
�
�
�
��
��������
��
��
�
�
�
��
��
�
��
�
�
� � �
����
a > 0 olmak üzere, f(x) = ax2 fonksiyonunun özellikleri:
–
Parabolün kollarý yukarýya doðrudur.
–
Grafik Oy eksenine göre simetriktir.
–
Parabolün tepe noktasý orijindir.
–
Görüntü kümesinin en küçük elemaný y = 0 dýr.
• a < 0 ise,
�
��
��
��
�
�
�
��
����
��
���
��
�
��
���
��
y
–2 –1 O
1 2
x
a
4a
a < 0 olmak üzere, y = ax2 fonksiyonunun özellikleri:
38
Raunt
– Parabolün kollarý aþaðý doðrudur.
– Grafik Oy eksenine göre simetriktir.
– Parabolün tepe noktasý orijindir.
– Görüntü kümesinin en büyük elemaný y = 0 dýr.
Matematik-10 Ünite-6
42
Örnek
Aþaðýdaki tabloda bulunan her fonksiyon için x deðerlerine karþýlýk gelen y sayýlarýný hesaplayýnýz.
�
�
�����
��
�
�
��
�
�
�������
�������
�
��� �
�
�
��� �
�
�������
��������
��������
Bulduðunuz deðerleri analitik düzlemde göstererek verilen her fonksiyonun grafiðini farklý renk kullanarak çiziniz. Çizilen
grafiklere bakarak y = a . x2 fonksiyonunda a nýn iþareti ile grafik arasýndaki iliþkiyi söyleyiniz.
Örnek
1 2
x , y = x2, y = 3x2,
3
1 2
2
2
y = – x , y = –x , y = –3x
2
y=
fonksiyonlarýnýn grafiklerinin ayný analitik düzlemdeki çizimlerini yapalım.
�
� ���������
�� ��������
��
���
�
�
� ��
� �
��� �����������
�
� �
��������������
�
� ���������
������������
��
HATIRLATMA
Yukarýdaki grafiklerde IaI büyüdükçe parabolün kollarýnýn Oy ekseni boyunca birbirine yaklaþtýðýný
gözlemleyiniz.
f(x) = ax2 + c Fonksiyonun Grafiði
Önce f(x) = ax2 fonksiyonunun grafiði çizilir. Bu fonksiyonun grafiði Oy ekseni boyunca; c > 0
ise yukarý doðru, c < 0 ise aþaðý doðru IcI birim ötelenir.
Raunt
39
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
Örnek
f(x) = 2x2 – 3
fonksiyonunun grafik çizimini yapalım.
y
y = 2x2
y = 2x2 – 3
x
O
–3
c = –3 < 0 olduðundan, y = 2x2 parabolü Oy ekseni boyunca aþaðý doðru 3 birim ötelenmiþtir.
Örnek
f(x) = –2x2 + 3 fonksiyonunun grafiðini çizelim.
y
3
y = –2x2 + 3
O
x
y = –2x2
c = 3 > 0 olduðundan, y = –2x2 parabolü Oy ekseni boyunca yukarý doðru 3 birim ötelenmiþtir.
f(x) = a(x – r)2 Fonksiyonunun Grafiði
Önce f(x) = ax2 parabolü çizilir. Bu çizilen parabol; r > 0 ise, Ox ekseninin pozitif tarafýna
doðru r birim, r < 0 ise, Ox ekseninin negatif tarafýna doðru IrI birim ötelenir.
Böylece f(x) = a(x – r)2 grafiði çizilmiþ olur.
40
Raunt
Matematik-10 Ünite-6
Örnek
f(x) = 2(x – 1)2 fonksiyonunun grafiðini çizelim.
y
y = 2x2
y = 2(x – 1)2
r = 1 olduðundan, y = 2x2 parabolünün grafiði x ekseni
boyunca pozitif yönde 1 birim ötelenmiþtir.
O
x
1
Örnek
f(x) = –2(x + 1)2 fonksiyonunun grafiðini çizelim.
y
–1
O
r = –1 olduðundan, y = –2x 2 parabolünün
x
grafiði x ekseni boyunca negatif yönde 1 birim
ötelenmiþtir.
y = –2(x + 1)2
y = –2x2
Örnek
43
f(x) = (x – 2)2 fonksiyonu için aþaðýdaki tabloyu doldurunuz. Tabloyu kullanarak fonksiyonun grafiðini çiziniz.
�
��
�
�
�
�
�
����
Tabloya ve grafiðe bakarak fonksiyonun hangi x deðeri için en küçük deðeri aldýðýný
söyleyiniz.
Raunt
41
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
f(x) = a(x – r)2 + k Fonksiyonunun Grafiði
Önce f(x) = a(x – r)2 fonksiyonunun grafiði çizilir. Bu çizilen parabolün tepe noktasý Oy eksenine
paralel olarak k birim ötelenerek verilen fonksiyonun grafiði çizilmiþ olur.
Örnek
44
f(x) = (x + 1)2 – 3 fonksiyonunun grafiðini çiziniz.
44
Çözüm
r = –1 olduğundan önce
y = (x + 1)2 grafiği çizilir. Daha sonra grafik Oy ekseni
boyunca aşağı doğru 3 birim ötelenir.
y
2
y = (x + 1)
x
O 1
–2
Örnek
45
f(x) = –(x – 2)2 + 1 fonksiyonunun grafiðini çiziniz.
45
Çözüm
r = 2 olduğundan önce y = –(x – 2)2 grafiği çizilir. Daha
sonra grafik Oy ekseni boyunca yukarı doğru 1 birim
ötelenir.
y
1
O
x
2
–3
–4
Örnek
46
f(x) = x2 – 2x – 3 fonksiyonunun grafiðini çiziniz.
46
Çözüm
Öncelikle y = f(x) denklemi r = 1'e göre düzenlenir.
y = (x – 1)2 – 4
r = 1 olduğundan önce y = (x – 1)2 grafiği çizilir. Daha
sonra grafik Oy ekseni boyunca aşağı doğru 4 birim
ötelenir.
y
1
O
–3
42
Raunt
1
x
Matematik-10 Ünite-6
47
Örnek
f(x) = (x – 2)2 + 1 fonksiyonu için aþaðýdaki tabloyu doldurunuz. Tabloyu kullanarak fonksiyonun grafiðini çiziniz.
�
��
�
�
�
�
�
����
Tabloya ve grafiðe bakarak fonksiyonun hangi x deðeri için
en küçük deðeri aldýðýný söyleyiniz.
f: R → R, y = f(x) = ax2 + bx + c Fonksiyonunun Grafiði
y = ax2 + bx + c eþitliðini saðlayan bütün (x, y) ikililerinin analitik düzlemde iþaretlenmesiyle
meydana gelen þekle fonksiyonun grafiði denir. Ýkinci dereceden y = ax2 + bx + c fonksiyonunun
grafiðini çizmek için aþaðýdaki sýra izlenebilir.
a) r = −
b
4ac − b2
b
ve k =
ya da k = f f −
p hesaplanarak tepe noktasý; T(r, k) bulunur.
2a
4a
2a
b) x = 0 yazýlarak, y eksenini kestiði (0, c) noktasý bulunur.
c) y = 0 yazýlarak elde edilen ax2 + bx + c = 0 denkleminin çözümüyle grafiðin x eksenini kestiði
noktalar araþtýrýlýr.
d) Gerek duyulursa x'e baþka deðerler verilerek, grafiðe ait daha baþka noktalar bulunur.
e) Bu bilgiler bir tablo (deðiþim tablosu) üzerinde gösterilir.
f) Bulunan noktalar analitik düzlemde iþaretlenir. Uygun bir çizimle bu noktalar birleþtirilerek
parabol çizilir.
Raunt
43
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
Örnek
y = f(x) = x2 – 2x – 3
fonksiyonunun deðiþim tablosunu yapıp grafiğini çizelim.
y = f(x) = x2 – 2x – 3 fonksiyonunda;
a = 1, b = –2, c = –3 tür.
k = f(1) = 12 – 2.1 – 3 = –4
olduðundan tepe noktasý: T(1, –4) tür.
x = 0 ⇒ f(0) = 02 – 2.0 – 3 = –3 ⇒ A(0, –3) parabolün y eksenini kestiði noktadýr.
y = 0 ⇒ x2 – 2x – 3 = 0 ⇒ (x – 3) (x + 1) = 0
⇒ x1 = 3, x2 = –1 ⇒ B(3, 0), C(–1, 0)
noktalarý parabolün, x eksenini kestiði noktalardýr.
Bu bilgileri deðiþim tablosunda gösterelim.
� ���
���
�
�
��
����������������� ���
�
�
���
��
�
���
�����
������
������������
�
���
Örnek
�
�
1 2
. x + 2 . (m − 1)x − 12 fonksiyonunun grafiði
3
x eksenine teðet olduðuna göre, m nin alabileceði
deðerler toplamı kaçtır?
�
���
���
48
f(x) = −
�
48
Çözüm
1
, b = 2m 2, c = 12 grafik x – ekse3
nine teğet olduğuna göre, f(x) = 0 denkleminin bir tane
kökü vardır. Öyleyse ∆ = 0 alınır.
Denkleminde a = −
∆ = (2m – 2)2 – 4 f −
1
p (− 12)
3
4m2 + 8m – 16 = 0 denkleminde kökler toplamı için,
a = 4, b = 8, c = –16
m1 + m2 = −
b
a
m1 + m2 = −
8
4
m1 + m2 = –2
44
Raunt
Matematik-10 Ünite-6
49
Örnek
Aþaðýdaki parabollerin simetri eksenleri çizilmiþtir. Bu þekillerde soru iþareti yerine yazýlmasý
gereken sayýlarý bulunuz.
A)
y
O
y
B)
2?
6
x
-2
y
C)
O
?
D) y
E) y
x
-4 O
?
x
O 4
?
10
11
5 2
O
?
x
x
Örnek
f(x) = –x2 + x + 2 fonksiyonunun grafiðini çizelim.
Fonksiyonu f(x) = a(x – r)2 + k formuna getirmeden, tepe noktasý ve eksenleri kestiði noktalar
bulunarak da grafik çizimi yapýlabilir.
 b 4ac – b2
T –
,
 2a
4a


 = T  1 , 9  tür.

2 4

–x2 + x + 2 = 0 denkleminin kökleri Ox eksenini kestiði noktalarýn apsislerini verir.
–x2 + x + 2 = 0 ⇒ x2 – x – 2 = 0
⇒(x – 2) (x + 1) = 0
⇒ x = 2 veya x = –1
⇒ A(–1, 0), B(2, 0)
x = 0 için, Oy eksenini kestiði nokta bulunur.
f(0) = 0 + 0 + 2 = 2 ⇒ y = 2 ⇒ C(0, 2)
C(0, 2) noktasý da Oy eksenini kestiði noktanýn koordinatlarýdýr.
Bulunan T, A, B, C
noktalarý çizim için
y
9
4
C
yeterlidir.
Grafik yanda çizilmiþtir.
–1 A O
2
1
2
2B
x
Raunt
45
Sınav
Kodu:
M101074
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
10
Konu Testi
f(x) = mx2 + (m – 1)x + 3m + 1
1.
parabolünün simetri ekseni x = –2 doðrusu
olduðuna göre, parabolün y eksenini kestiði
nokta nedir?
A) (0, 1)
B) (0, 0)
D) (0, 3)
C) (0, 2)
E) (0, –1)
parabolü x eksenine negatif tarafta teðet
olduðuna göre, m kaçtır?
A) −
5
2
B) −
1
2
C) 0
D)
1
2
E) 1
�
2. �
�
� �
f(x) = x2 – (2m + 1)x + 4
6.
�
�
7.
f : (–4, 2) → B
f(x) = x2 – 2x + 3
Þekilde tepe noktasý T olan ve orjinden geçen
parabolün denklemi f(x) = ax2 + bx + c olduðuna
göre, (fof) (2) kaçtır?
1
3
A) –1
B) 0
C) D) E) 1
2
4
3. f(x) = x2 + (n – 2)x + 4 fonksiyonunun en küçük
deðeri 3 olduðuna göre, n nin alacaðý deðerler
kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
fonksiyonu örten olduðuna göre, B kümesi
nedir?
A) [1, 18]
B) [2, 16)
C) [2, 27)
D) (–1, 5)
E) (–4, 10)
y
8.
B
C
O
A) {0, 1} B) {1, 2} C) {3, 4} D) {0, 4} E) {4, 5}
x
A
x + y =1
10
6
4. x ∈ IR olmak üzere bir M kümesinin elemanlarý,
ile hesaplanmaktadýr.
Şekilde B köşesi doğru üzerinde verilen OABC
dikdörtgeninin alanının en büyük değeri kaç br2
dir?
M kümesinin en büyük elemaný kaçtır?
A) 10
–(2x – 3)2 + (x + 1)2
A)
1
2
B)
5
3
C) 5
D) 6
E)
B) 12
C) 14
D) 15
E) 16
25
3
9. m ∈ IR olduðuna göre,
5. x2 – (2m – 1)x – m – 3 = 0
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
x12 + x 22
toplamının alacağı en küçük değeri
kaçtır?
A) −
46
29
4
Raunt
B)
25
4
C) 6
D)
27
4
E) 7
f(x) = x2 – (2m)x + (3m – 5)
parabollerinin tepe noktalarýnýn geometrik yer
denklemi nedir?
A) y = –x2 + 3x – 5 C) y = –x2 – 3
E) –x2 + 3x – 10
B) y = x2 + 1
D) y = x2 + 2x + 1
Sınav
Kodu:
M101075
Matematik-10 Ünite-6
11
Konu Testi
f(x) = (m – 4)x2 + 2mx + (m – 5)
1. 4. Tepe noktasý T(–1, 3) olan ve A(2, –3) noktasýndan
geçen parabolün denklemi aþaðýdakilerden han-
fonksiyonu A(1, 1) noktasýndan geçtiðine göre,
gisidir?
m kaçtýr?
A) 1 B)
C) 2
D)
A) y = –
E) 3
2 2 4
7
x – x+
3
3
3
2
4
7
B) y = – x 2 + x +
3
3
3
C) y = 2 x 2 – 4 x + 7
3
3
3
D) y =
2 2 4
7
x + x–
3
3
3
2 2 4
7
x + x–
3
3
3
E) y = –
2. f(x) = mx2 + (m – 1)x + 6m + 1
parabolünün simetri ekseni x = –2 doğrusu
olduğuna göre, parabolün, y eksenini kestiği
noktanın ordinatı kaçtır?
A) –3
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
5.
�
Grafikleri verilen
f(x) = x 2 – 2x + 6 ve
g(x) = –2x2 + bx + c parabollerinin tepe noktalarý A ve B dir.
[AB] // Oy
|AB| = 11 birim
������
�
�
�
�
������
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonuna ait grafik
þekilde verilmiþtir.
y
3.
3
–1
3
O
x
Yukarýdaki verilere göre, b + c toplamý kaçtýr?
A) –4
B) –6
C) –8
D) –9
E) –10
6. f(x) = 4x2 + 5x – 7 parabolünün y eksenini kestiði
nokta aþaðýdakilerden hangisidir?
Buna göre, a + b + c toplamý kaçtýr?
A) (0, 5)
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 9
B) (0, 4)
D) (0, –4)
C) (0, –3)
E) (0, –7)
Raunt
47
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
7. y = ax2 + bx + c
parabolünün tepe noktası I. bölgede ve kolları
x eksenini pozitif tarafında farklı iki noktadan
kesiyorsa a, b, c nin işaretleri sırasıyla hangisidir?
10.
y
O
A
x
B
–4
T(1, k)
A) –, +, –
B) +, +, +
C) –, –, +
D) +, –, +
E) –, +, +
Grafiði verilen parabolün denklemi
f(x) = ax2 + bx + c dir.
Tepe noktasý T(1, k), f(0) = –4 ve |AB| = 6 birim
olduðuna göre, a – b + c kaçtýr?
A) –
5
2
B) –
D) –
8. A(0, 0), B(6, 0) ve C(1, –5) noktalarından geçen
parabolün denklemi nedir?
9
2
11.
A) y = x + 8x
C) y = x2 + 6x
E) y = x2 + 4x
B) y = x – 6x
D) y = x2 – 8x
A
parabolü Ox eksenine pozitif tarafta teğet olduğuna göre, a kaçtır?
A) –8
48
Raunt
B) –6
C) –4
x
D) –2
E) 4
B
f(x) = 2x2 – 8x – 10 dur.
Parabol A ve B noktalarından geçtiğine göre,
OABC dikdörtgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 10
y = x2 + (a + 2)x + a + 5
13
2
Şekildeki parabolün denklemi
9.
C
2
C) –
y
O
2
11
2
7
E) –
2
B) 20
C) 30
D) 40
E) 50
12. f: [–2, 3) → B
f(x) = x2 + 2x – 8
fonksiyonu örten olduðuna göre, B kümesi
aþaðýdakilerden hangisidir?
A) [–1, 9)
B) [–8, 7)
D) [–8, 9)
C) [–9, 7)
E) [–10, 9)
Sınav
Kodu:
M101076
Matematik-10 Ünite-6
12
Konu Testi
1. A(a – 1, 1) noktasý f(x) = x2 – 3x – 9 parabolünün
üzerinde bir nokta olduðuna göre, a nýn alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
y = x2 + (3m + 3)x – 2m + 3
6. parabolünün Ox eksenine, ikinci bölgede teðet
olabilmesi için m kaç olmalýdýr?
E) 5
A) −
2. f(x) = 2x2 – bx + c fonksiyonunun tepe noktasý
T(1, 2) noktasý olduðuna göre, b + c kaçtýr?
B) 2
C) 3
D) 4
E) 8
A) 6
B) 8
C) 10
D) 15
1
3
C) − 1
D)
1
9
E)
1
12
parabolünün simetri ekseninin denklemi x = 6
olduðuna göre, a kaçtýr?
3. f(x) = x2 – ax + 6 fonksiyonunun grafiðinin
x eksenini kesmemesi için a nýn alabileceði
doðal sayý deðerlerinin toplamý kaçtýr?
B) −
7. y = ax2 + 3x – 4
A) 1
1
6
A) −
1
4
B) −
1
2
C) −
9
40
D)
1
4
E)
1
2
8. f(x) = m(x2 + 2x – 8) fonksiyonunun en küçük
deðeri –27 olduðuna göre, m kaçtýr?
E) 21
A) 8
B) 5
C) 2
D) 3
E) 9
�
9.
��������
2
2
4. y = x – (a – 4)x + 2a – 3
eğrisi Ox eksenini orijine göre simetrik iki noktada kesiyorsa a kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
�
�
�
�
�
E) 2
Þekildeki parabolün denklemi, y = x2 – 4x + m
dir.
5. x liraya alınan bir mal x2 – 5x + 20 liraya satılırsa
en az kaç lira kâr edilir?
A)8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 15
OB = 3 . OA olduðuna göre, C noktasýnýn ordi-
natý kaçtýr?
A) –12
B) –8
C) –6
D) –5
E) –1
Raunt
49
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
10.A(1, 0), B(–1, 0) ve C(0, –1) noktalarýndan geçen
ikinci dereceden polinom fonksiyonun denklemi aþaðýdakilerden hangisidir?
A) y = x2 + 1
B) y = 1 – x2
D) y = x2 – x
11. f : (–4, 2) → B
2
14. Tepe noktasýnýn koordinatlarý T(1, –4) olan ve
A(3, 0) noktasýndan geçen parabolün denklemi
y = ax2 + bx + c olduðuna göre, a – b + c toplamý
kaçtýr?
C) y = x2 – 1
E) y = x2 + x
A) –2
15.
f(x) = x – 2x + 5
fonksiyonu örten olduğuna göre, B kümesi
nedir?
A) (4, 29]
B) [4, 29)
C) [4, 29]
D) (4, 29)
E) [5, 29)
B) –3
D) 2
E) 3
f(x) = mx2 + 2(m + 4)x + (m + 7)
parabolü Ox eksenini farklý iki noktada kestiðine
göre, m nin alabileceði deðerler aþaðýdaki
aralýklardan hangisinde bulunur?
B) (–16, ∞) – {0}
A) (–∞, –16)
D) (–∞, –2)
C) (–2, 0)
E) (–16, 16) – {0}
y
12.
T
1
O
x
3
16.
–1
y = f(x)
f : (–3, 3] → R
f(x) = x2 + 2x – 8
fonksiyonunun görüntü kümesi aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) [–5, 7]
C) 0
Þekilde grafiði verilen tepe noktası T(3, 1) olan
y = f(x) parabolünün denklemi aþaðýdakilerden
hangisidir?
17.
C) [–4, 7]
E) [–9, 0]
�
1
2
B) y = 3 (x − 3) − 1
A) y = (x – 3)2 – 1
B) [–9, 7]
D) [0, 7]
��������
�
5
D) y = − (x − 3)2 − 1
9
5
2
E) y = − (x + 3) − 1
9
2
C)y = − (x − 3) 2 + 1
9
13. f(x) = x2 – 2x + a2 – 3
�
�
�
Şekilde f(x) = ax2 + bx + c parabolü veriliyor.
Buna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) 14
parabolünün tepe noktasý dördüncü bölgede
B) 8
C) 2
D) –6
E) –7
olduðuna göre, a nýn en geniş değer aralýðý
18.
aþaðýdakilerden hangisidir?
A) a < 1
B) –3 < a < 3
C) –1 < a < 1
D) –2 < a < 2
50
Raunt
E) –4 < a < 4
y = x2 – 2x – 8
parabolünün eksenleri kestiği noktaları köşe
kabul eden üçgenin alanı kaç br2 dir?
A) 21
B) 22
C) 23
D) 24
E) 25
Sınav
Kodu:
M101077
Matematik-10 Ünite-6
13
Konu Testi
1. y=
parabolü A(3, a) noktasýndan geçtiðine göre,
a kaçtýr?
A) 1
B) 5
f(x) = x2 – 2(m – 3)x – m + 5
5.
1 2
x + 3x – 5
3
C) 6
D) 7
E) 8
fonksiyonu Ox eksenini kesmediðine göre, m nin
alabileceði deðerlerin aralýðý aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) m > 1
2.
f(x) = (m – 4) x2 – (m2 – 16) x + 3m + 1
parabolünün simetri ekseni Oy ekseni olduðuna
göre, m kaçtýr?
A) –4
B) –3
C) –1
D) 3
E) 4
B) m < 4
D) 1 < m < 4
C) –1 < m < 3
E) –1 < m < 5
6. a < 0, b < 0, c > 0 olmak üzere, tepe noktasý
T olan y = ax2 + bx + c parabolünün grafiði
aþaðýdakilerden hangisi olabilir?
A)
B)
y
T
T
x
O
3. f(x) = (x + 2) . (mx – 1)
C)
D)
y
y
T
T
fonksiyonunun grafiði Ox eksenine teðet
x
O
olduðuna göre, m kaçtýr?
A) − 1
B) −
1
2
C) 0
D)
1
2
x
O
E) 1
E)
y
T
O
4. f(x) = a.(x + 3)2 + c
g(x) = –(x – b) . (x + 5)
parabollerinin tepe noktalarý ayný olduðuna
göre, b + c kaçtýr?
A) –2
B) –1
C) 1
D) 3
E) 4
x
O
x
7. f(x) = x2 + 6x – m fonksiyonunun grafiðinin tepe
noktasý y = 4 doðrusu üzerinde olduðuna göre,
m kaçtýr?
A) –11
B) –12
C) –13
D) –16
E) –18
Raunt
51
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
8.
Þekilde grafiði verilen
y
y = f(x) = ax2 + bx + c
T
y
11.
parabolünün tepe
noktasý ikinci bölgededir.
x
O
y = f(x)
O
–1
x
5
–5
y = f(x)
Buna göre, aþaðýdakilerden hangisi yanlýþtýr?
2
A) a.c < 0
B) b > 4ac
D) a + b < 0
9.
Tepe noktasý,
T(1, 2) olan
y = f(x – 3)
parabolünün grafiði
yan-daki þekilde
verilmiþtir.
y=f(x–3)
3
T
O
E) a . b > 0
y
2
C) b.c > 0
Yukarýdaki þekilde y = f(x) parabolünün grafiði
verilmiþtir.
Yukarıdaki verilere göre, (fof) (1) kaçtýr?
A) 38
B) 40
C) 82
D) 91
E) 93
x
1
Buna göre, f(3) kaçtýr?
A) 21
B) 24
10.
C) 25
D) 27 E) 29
Þekildeki y = f(x)
y
parabolü Oy ek-
y = f(x)
12.
y
y = f(x)
senini C, Ox eksenini
A
x
B
O
A ve B
A
O
B
x
noktalarýnda kesmektedir.
C
C
|OB| = 4.|AO|
ve f(x) = 0 denkleminin kökleri-
dir.
nin toplamý 3 olduðuna göre, parabolün tepe
noktasýnýn y eksenine olan uzaklýðý kaç birim-
52
A)
25
8
Raunt
IOBI = 3.IOAI olduğuna göre, C noktasının ordinatı kaçtır?
dir?
Şekildeki parabolün denklemi y = x2 – 2x + m – 1
B)
5
2
C) 2
D)
3
2
E) 1
A) –1
B) –2
C) –3
D) –4
E) –5
Matematik-10 Ünite-6
13. f(x) = (m + 3)x2 + mx + k
16. a, b ∈ R olmak üzere,
parabolü y eksenini A(0, 1) noktasýnda kesmektedir.
Bu parabolün tepe noktasýnýn birinci bölgede
olmasý için m hangi aralýkta olmalýdýr?
A) (–2, 6)
B) (–3, 6)
D) (–3, 0)
a−1
b
eşitliğinde b'nin en küçük değeri
=
2
2a + 3
için a kaçtır?
C) (–3, –2)
5
A) − 2
E) (–2, 0)
B) –2
C) −
1
4
D) 1
E)
3
2
14.
17. f(x) = 4x2 + ax + b parabolü x = –2 de Ox eksenine
teðet olduðuna göre, a + b toplamý kaçtýr?
O
A) 28
B) 30
C) 32
D) 34
E) 36
Grafiğe göre, f(x) = 1 olmasını sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
15.
D) 6
E) 8
�
��������
��
�
�
18.
�
ðerlerin aralýðý aþaðýdakilerden hangisidir?
Şekilde tepe noktası T olan f(x) = x2 + bx + c fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, parabolün alabileceği en küçük
değer kaçtır?
B) –7
C) –5
parabolünün Ox ekseni ile en çok bir ortak
noktasý olduðuna göre, a nýn alabileceði de-
�
A) –9
y = ax2 – 2(a – 1)x + 3a – 1
D) –2
E) 1

A)  − ∞ ,


C) − 1, −

1
2 
1
2 
1

B) − 1, 
2

E) [− 1, 1]
1
D) (− ∞ , − 1]∪  , + ∞ )
2
Raunt
53
Sınav
Kodu:
M101078
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
14
Konu Testi
f(x) = 3x2 + 2x + k – 4
1.
4. parabolünün y = 2 doðrusuna teðet olmasý için
k kaç olmalýdýr?
19
A)
3
B) 6
5
C)
2
7
D)
3
parabolünün tepe noktasý Oy ekseni üzerindedir.
Bu parabolün eksenleri kestiði noktalarý köþe
kabul eden üçgenin alaný kaç birimkaredir?
E) 2
A ) 15
B) 14
C)
27
2
parabolünün Ox eksenine teðet olmasý için k
kaç olmalýdýr?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
B) (4, +∞)
D) (–∞, 6 )
3.
C) (5, +∞)
�
��������
–4
f(x) = ax2 + bx + c dir.
Buna göre, f(x) in görüntü kümesinin en büyük
elemaný kaçtýr?
A) 8
Raunt
f
g
�
Þekilde grafiði verilen parabolün denklemi
y
�
54
17
2
E) (–∞, 4 )
6.
�
��
E)
�
19
3
5.
f(x) = –x2 + 4x + a
fonksiyonunun görüntü kümesinin en büyük
elemanýnýn 9 dan büyük olmasý için a nýn
alabileceði deðerlerin aralýðý aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) (3, +∞)
D)
f(x) = x2 – 2(k – 4) x + k2 + 6k + 2
2.
f(x) = (a – 2)x2 + (4 – a2)x –a + 7
36
B)
5
Þekilde grafikleri verilen
f(x) = x2 + bx + c
C) 6
6
E)
5
O
1
x
g(x) = x2 + dx + e
12
D)
5
K
fonksiyonlarý için b – d farký kaçtýr?
A) –1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 5
Matematik-10 Ünite-6
7.
T
y
T (–2, 6) parabolün tepe
6
noktasıdır.
10. y = x2 – (a + 1)x + 1 parabolünün Ox ekseni ile
hiç ortak noktası olmadığına göre, a kaç farklı
tamsayı değeri alır?
A) 1
3
–2
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
x
O
y = f(x)
Þekildeki parabolün denklemi,
f(x) = ax2 + bx + c
11. y = f(x) parabolü eksenleri A(–2, 0), B(4, 0) ve olduðuna göre, f(1) kaçtýr?
A) –
3
2
B) – 1
C) –
3
4
C(0, –8) noktalarýnda kesmektedir.
D) –
1
2
E) −
1
3
Buna göre, y = f(x) parabolünün denklemi
aþaðýdakilerden hangisidir?
8. A) y = x2 – 2x – 8
B) y = (x – 1)2 – 3
C) y = x2 + 6x + 8
D) y = x2 – 3x – 4
f(x) = x2 – 2x + 5p – 1
E) y = x2 + 2x – 8
parabolü y = 3 doðrusuna teðet olduðuna göre,
bu parabolün Oy eksenini kestiði noktanýn
ordinatý kaçtýr?
A) 2
B) 3
C) 4
9.
D) 5
E) 6
y
12. y
y = f(x)
–1
O
7
x
–1
3
O
T
3
x
5
Grafiði verilen parabolün denklemi aþaðý
dakilerden hangisidir?
A) y = –(1 – x)2
B) y = (x + 1)2
C) y = (x + 1) (x – 1)
D) y = (x – 1)2
2
E) y = –(x + 1)
Tepe noktasý T (3, 3) olan f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiði yukarýda verilmiþtir.
Yukarıdaki verilere göre, f(–1) kaçtýr?
A) 21
B) 19
C) 14
D) 11
E) 6
Raunt
55
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR
13.
16. �
��������
�
�
� �
�
�
�
�
�
��
�������������������
Şekilde f(x) = x2 – 6x + m – 5 fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
IABI = 4 birim olduğuna göre, m kaçtır?
A) –10
B –5
C) 0
D) 5
E) 10
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiği yukarıda
verilmiştir.
Buna göre, a – b + c toplamı kaçtır?
A) –5
14.
�
B) –3
C) 0
D) 4
E) 6
�������������������
17. y
y=f(x)
�
�
C
Yukarıdaki grafiğe göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) b2 > 4ac
a.b
C)
> 0 c
E) a – b < 0
B) a – 2b + c > 0
D) a + b + c < 0
O A
Grafiði þekilde verilen parabolün denklemi
y = f(x) = 2x2 – 4mx + 6m
dir.
IOBI = 3IOAI olduðuna göre, IOCI kaç birimdir?
A) 4
15.
B) 6
C) 8
D) 16
E) 24
f(x) = x2 + (a + 4)x + 4
fonksiyonunun grafiði x eksenine pozitif tarafta
teðet olduðuna göre, a kaçtýr?
A) –10
56
x
B
Raunt
B) –8
C) –6
D) –4
E) 0
18. Çevresi 20 cm olan bir dikdörtgenin alanı en
çok kaç cm2 dir?
A) 12
B) 16
C) 18
D) 20
E) 25