EMAT ÇALIŞMA SORULARI 1) ⃗ = 4. ̂ − 2. ̂ − ̂ ve ⃗⃗ =

EMAT ÇALIŞMA SORULARI
⃗⃗ = 𝚤̂𝑥 + 4. 𝚤̂𝑦 − 4. 𝚤̂𝑧 vektörlerinin dik olduğunu gösteriniz.
1) 𝐴⃗ = 4. 𝚤̂𝑥 − 2. 𝚤̂𝑦 − 𝚤̂𝑧 ve 𝐵
ÇÖZÜM: İki vektörün skaler çarpımlarının sıfır olması gerekir.
⃗⃗ = 4.1 + (−2). 4 + (−1). (−4) = 0
𝐴⃗. 𝐵
⃗⃗ = 2. 𝚤̂𝑥 vektörleri arasındaki açıyı bulunuz.
2) 𝐴⃗ = √3. 𝚤̂𝑥 + 𝚤̂𝑦 ve 𝐵
ÇÖZÜM:
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝐴𝑥 . 𝐵𝑥
[𝐴𝑋2 +
1/2
𝐴2𝑦 ] . 𝐵𝑥
𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 −1
=
√3
2
√3
= 30𝑜
2
⃗⃗ = 5. 𝚤̂𝑥 − 𝚤̂𝑦 + 2. 𝚤̂𝑧 vektörü yönündeki bileşenini bulunuz.
3) 𝐴⃗ = 𝚤̂𝑥 + 4. 𝚤̂𝑦 vektörünün 𝐵
⃗⃗ vektörü yönündeki birim vektörü çarparak bulabiliriz.
ÇÖZÜM: 𝐴⃗ vektörü ile 𝐵
𝚤̂𝐵 =
⃗⃗
5. 𝚤̂𝑥 − 𝚤̂𝑦 + 2. 𝚤̂𝑧 5. 𝚤̂𝑥 − 𝚤̂𝑦 + 2. 𝚤̂𝑧
𝐵
=
=
⃗⃗|
|𝐵
√25 + 1 + 4
√30
𝐴⃗𝐵 = 𝐴⃗. 𝚤̂𝐵 =
(1). (5) + (4). (−1) + (0). (2)
√30
=
1
√30
⃗⃗ ve 𝐶⃗ vektörleri ile biçimlenmiş bir paralel prizmanın hacmini hesaplayınız.
4) 𝐴⃗, 𝐵
⃗⃗ = −𝚤̂𝑥 + 3. 𝚤̂𝑦 + 5. 𝚤̂𝑧 ve 𝐶⃗ = 5. 𝚤̂𝑥 − 2. 𝚤̂𝑦 − 2. 𝚤̂𝑧
𝐴⃗ = 2. 𝚤̂𝑥 + 𝚤̂𝑦 − 2. 𝚤̂𝑧 , 𝐵
ÇÖZÜM:
Paralel prizmanın hacminin hesaplanması için skaler üçlü çarpım kullanılır.
2
1 −2
⃗⃗ × 𝐶⃗) = |−1 3
Hacim= 𝐴⃗. (𝐵
5 | = 57
5 −2 −2
5) Orijinden G(2, -2 ,-1) noktasına doğru olan birim vektör ifadesini yazın.
ÇÖZÜM:
𝐺⃗ = 2. 𝚤̂𝑥 − 2. 𝚤̂𝑦 − 𝚤̂𝑧
G vektörünün genliği;
|𝐺| = √(2)2 + (−2)2 + (−1)2 = 3
𝚤̂𝑔 =
𝐺⃗
2
2
1
= 𝚤̂𝑥 − . 𝚤̂𝑦 − 𝚤̂𝑧
|𝐺| 3
3
3
6) Havadaki, sonsuz uzunluklu, düzgün, yük yoğunluğu 𝜌ℓ = 20 𝑛𝐶/𝑚 olan doğrusal çizgisel yük z
ekseni boyunca yer almaktadır. (6,8,3) noktasındaki Elektrik alan şiddeti ifadesini bulunuz.
ÇÖZÜM:
𝑟 = √62 + 82 = 10 𝑚
𝐸⃗⃗ =
𝜌ℓ
. 𝚤̂ =
2. 𝜋. 𝜀0 . 𝑟 𝑟
20 × 10−9
𝑉
. 𝚤̂𝑟 = 36. 𝚤̂𝑟 [ ]
−9
10
𝑚
2. 𝜋. ( 36𝜋 ) . 10
7) (0, 4m, 0) noktasında Q1=0.35 µC yükü, (3m, 0, 0) noktasında ise Q2=-0.55 µC yükü
bulunmaktadır. (0, 0, 5m) noktasındaki elektrik alan şiddetini bulunuz.
ÇÖZÜM:
Yükler ile elektrik alan hesabı yapılacak olan
nokta arasındaki uzaklık vektörleri:
𝑅⃗⃗1 = −4. 𝚤̂𝑦 + 5. 𝚤̂𝑧
𝑅⃗⃗2 = −3. 𝚤̂𝑥 + 5. 𝚤̂𝑧
Uzaklık vektörlerinin genlikleri ve aynı yöndeki
birim vektörler;
|𝑅⃗⃗1 | = √16 + 25 = √41
𝚤̂𝑅1 =
|𝑅⃗⃗2 | = √9 + 25 = √34
𝚤̂𝑅2 =
𝐸⃗⃗1 =
𝐸⃗⃗2 =
−4. 𝚤̂𝑦 + 5. 𝚤̂𝑧
√41
−3. 𝚤̂𝑥 + 5. 𝚤̂𝑧
√34
0.35×10−6
10−9
4𝜋(
)(41)
36𝜋
−0.55×10−6
10−9
4𝜋(
)(34)
36𝜋
−4.𝚤̂𝑦 +5.𝚤̂𝑧
(
√41
) = −48. 𝚤̂𝑦 + 60. 𝚤̂𝑧
−3.𝚤̂𝑥 +5.𝚤̂𝑧
)
√34
(
[V/m]
= 74.9. 𝚤̂𝑥 − 124.9. 𝚤̂𝑧
[V/m]
𝐸⃗⃗ = 𝐸⃗⃗1 + 𝐸⃗⃗2 = 74.9. 𝚤̂𝑥 − −48. 𝚤̂𝑦 − 64.9. 𝚤̂𝑧 [V/m]
8) Şekilde verilen, eşit fakat zıt yüklü aralarında d kadar mesafe olan iki plaka arasında, plakalardan
d/4 uzaklıkta bulunan A ve B noktalarında oluşacak elektrik alan şiddetleri arasındaki oranı
bulunuz.
ÇÖZÜM: Elektrik alan paralel plakalar arasında sabittir, iki noktadaki elektrik alan eşittir.
1
9) x=0m ‘de yüzeysel yük dağılımı 𝜌𝑠1 = (3𝜋) 𝑛𝐶/𝑚2 olan sonsuz tabaka, x=4m’de yük dağılımı
−1
3𝜋
𝜌𝑠2 = ( ) 𝑛𝐶/𝑚2 olan sonsuz tabaka ve x=6m, y=0 koordinatlarında 𝜌𝑙 = −2𝑛𝐶/𝑚 olan sonsuz
uzun çizgisel yük dağılımı bulunmaktadır. (2m, 0, 2m) koordinatlarında elektrik alan şiddetini
hesaplayınız.
ÇÖZÜM: Üç yük dağılımı da z’e paraleldir. Dolayısıyla elektrik alan bileşeninin z bileşeni olmayacaktır.
Dolayısıyla (2, 0, 2) noktasındaki alan ile (2, 0, z) noktasındaki alan birbirine eşittir.
𝐸⃗⃗ =
𝜌𝑠1
𝜌𝑠2
𝜌𝑙
. 𝚤̂𝑛 +
. 𝚤̂𝑛 +
𝚤̂
2𝜀0
2𝜀0
2𝜋𝜀0 𝑟 𝑟
= 6. 𝚤̂𝑥 + 6. 𝚤̂𝑥 + 9. 𝚤̂𝑥
𝑉
= 21. 𝚤̂𝑥 [ ]
𝑚
10) Şekilde gösterildiği gibi, r ≤ a , z=0’da bulunan düzgün yüzeysel yük yoğunluğuna sahip diskin, (0,
∅, h) koordinatlarında oluşturacağı elektrik alan şiddeti ifadesini bulunuz.
ÇÖZÜM: r bileşenleri birbirini
götürecektir. Sadece z bileşeni kalacak.
𝐸⃗⃗ =
=
𝜌𝑠 . ℎ 2𝜋 𝑎 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑∅
∫ ∫
3 . 𝚤̂𝑧
4𝜋𝜀0 0 0
(𝑟 2 + ℎ2 )2
𝜌𝑠 . ℎ
−1
1
(
+ ) . 𝚤̂𝑧
4𝜀0 √𝑎2 + ℎ2 ℎ
11) Paralel plakalı kondansatörün plakaları arasında hava varken kapasitansı 2 pF’dır. Plakaların
arasındaki mesafe iki katına çıkartılıp, arasına dielektrik malzeme konduğu zaman kapasitans
değeri 4 pF olmaktadır. Dielektrik malzemenin bağıl dielektrik katsayısını hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
𝜀0 . 𝑆
= 2 𝑝𝐹
𝑑
𝜀𝑟 .
𝜀0 . 𝑆
= 4 𝑝𝐹
2𝑑
⇒ 𝜀𝑟 = 4
12) 4 yük, x ekseni boyunca aralarında d=3 cm mesafe olacak şekilde dizilmişlerdir. Yüklerin değerleri
q1=+2 µC, q2=-1 µC, q3=+1 µC ve q4=+3 µC olduğuna göre q1 üzerine uygulanan net elektrostatik
kuvvet nedir?
ÇÖZÜM:
13) Üç yük, kenarları d=1 cm olan eşkenar üçgenin köşelerine yerleştirilmiştir. q3=-4 µC, q1= q2=+1 µC,
olduğuna göre, q3 yüküne etkiyen net kuvveti bulunuz.
ÇÖZÜM:
14) Şekilde kesiti verilen içi boş iletken silindirin iç yarıçapı a, dış yarıçapı b’dir. Silindirde kağıdın
dışına doğru akım akmaktadır. Akım yoğunluğu 𝐽 = 𝑐. 𝑟 2 , (r: silindirin ekseninden olan uzaklık),
c=3x106 A/m4 a=1 cm, b=2 cm olduğuna göre toplam akımı bulunuz.
ÇÖZÜM:
15) Küresel koordinat sisteminin merkezinde Q yükü bulunmaktadır. Şekilde gösterildiği gibi
𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽 bölgesinden geçen toplam akıyı hesaplayınız. Eğer α=0 ve β=π/2 olsaydı sonuç ne
olurdu?
ÇÖZÜM: Tam küre olsaydı, kürenin yüzeyinden geçecek toplam akı Gauss kanunundan;
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑄 bulunur. Şekilde verilen bölgenin alanı;
⃗⃗ . 𝑑𝑆
𝜓 = ∫𝑠 𝐷
2𝜋
𝛽
𝐴 = ∫0 ∫𝛼 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛𝜃. 𝑑𝜃. 𝑑𝜙 = 2𝜋𝑟 2 (𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛽) bulunur.
Tanımlı bölgeden geçen net akı;
𝜓𝑛𝑒𝑡 =
𝐴
𝑄
. 𝑄 = (𝑐𝑜𝑠𝛼 − 𝑐𝑜𝑠𝛽)
2
4𝜋𝑟
2
Eğer α=0 ve β=π/2 olsaydı (Yarım küre);
𝜓𝑛𝑒𝑡 =
𝑄
2
16) Toplam yükü 40/3 nC olan düzgün yüzeysel yük dağılımına sahip dairesel diskin yarıçapı 2m’dir.
Diskin ekseninden 2m ilerisindeki potansiyeli bulunuz.
ÇÖZÜM: Toplam yük verilmiş, öncelikle yüzeysel yük yoğunluğunu bulmamız gerekmektedir:
𝑄
𝜌𝑠 = 𝐴 =
10−8
3𝜋
C/m2
𝑅 = √4 + 𝑟 2 m
𝑉=
30 2𝜋 2 𝑟. 𝑑𝑟. 𝑑𝜙
∫ ∫
= 49.7 𝑉
𝜋 0 0 √4 + 𝑟 2
17) Şekilde verilen kondansatörün palakaları arasında bağıl dilektrik katsayısı 𝜀𝑟 = 4.5 olan dielektrik
malzeme vardır. Kapasitansını hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
Plakalar arasındaki potansiyel farkı bulalım:
𝛼
𝐷𝜙
𝐷𝜙 𝛼
𝐷𝜙 . 𝑟. 𝛼
𝑉0 = − ∫ 𝐸⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑙 = − ∫ (
. 𝚤̂𝜙 ) . (𝑟. 𝑑𝜙. 𝚤̂𝜙 ) = −
∫ 𝑑𝜙 = −
𝜀0 . 𝜀𝑟
𝜀0 . 𝜀𝑟 0
𝜀0 . 𝜀𝑟
0
Kapasitansı bulabilmek için plakaların üzerindeki toplam yükü bulmamız lazım. Akı yoğunluğu
vektörünü kullanarak hesaplayabiliriz.
𝐷𝜙 = −𝜀0 . 𝜀𝑟 . 𝑉0 /r.α ve 𝜙 = 𝛼’daki plakada yük yoğunluğu;
𝜌𝑠 = 𝐸𝑛 . 𝜀 = 𝐷𝑛 = −𝐷𝜙 =
𝜀0 . 𝜀𝑟 . 𝑉0
r. α
Plaka üzerindeki toplam yük;
ℎ
𝑟2
𝑄 = ∫ 𝜌𝑠 𝑑𝑆 = ∫ ∫
0
=
𝑟1
𝜀0 . 𝜀𝑟 . 𝑉0
. 𝑑𝑟. 𝑑𝑧
r. α
ℎ. 𝜀0 . 𝜀𝑟 . 𝑉0 𝑟2
𝑙𝑛
α
𝑟1
Kapasitans;
𝐶=
𝑄 ℎ. 𝜀0 . 𝜀𝑟 𝑟2
=
𝑙𝑛
𝑉0
α
𝑟1
Sayısal değerler denklemde yerine yazılırsa C= 7.76 pF bulunur.