Pencere Fonksiyonları ve Akıllı Hesaplama

Fırat Üniversitesi-Elazığ
PENCERE FONKSİYONLARI VE AKILLI HESAPLAMA YÖNTEMLERİ
Turgay KAYA, Melih Cevdet İNCE
Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü
Fırat Üniversitesi
{tkaya,mcince}@firat.edu.tr
pencerelerin genel özellikleri, sabit pencere uzunluğu
yüzünden pencere fonksiyonu spektral parametrelerinden
yalnızca birinin ayarlanması yapılabilmektedir. Sabit
pencereler sahip oldukları bu özelliklerinden dolayı pratik
uygulamalar için uygun yapılar değildir. Bu durumun
üstesinden gelebilmek için ve spektral parametre değerlerinin
değiştirilebilmesini sağlamak için ayarlanabilir pencereler
önerilmiştir. Önerilen bu pencere fonksiyonları sabit
pencerelerdeki tek ayarlanabilir parametre değerinin aksine iki
veya daha fazla parametre kullanılarak oluşturulan
pencerelerdir.
Dolph tarafından yapılan çalışmada, ayarlanabilir
parametre özelliğine sahip pencerenin iki önemli parametresi
ile minimum analob genişliği sağlanmıştır [6]. Literatürde, iki
parametreli pencere ile ilgili Poisson, Cauchy, Gaussian gibi
pek çok yaklaşım önerilmiştir [7]. Pencere fonksiyonu ve
uygulama alanı olarak pek çok alanda tercih edilen iki
parametreli pencere, Kaiser tarafından önerilmiştir. Kaiser’in
FIR filtre tasarımı üzerine yaptığı çalışmada, analob içerisinde
maksimum enerjinin toplanması ilkesine dayalı olan yaklaşım
sayesinde tasarlanan filtrenin Dolph-Chebyshev pencere
kullanılarak tasarlamış filtre ile karşılaştırıldığında daha
başarılı sonuçlar verdiği görülmektedir [8]. Saramaki
tarafından yapılan çalışmada, Kaiser penceresine benzer bir
yapı kullanılarak bu yapının ayrık fonksiyonu geliştirilmiştir.
Geliştirilen bu pencere, dikdörtgen pencere fonksiyonuna basit
frekans dönüşümü uygulayarak elde edilmiştir. Saramaki
geliştirdiği bu pencere fonksiyonunu kullanarak tasarladığı
FIR filtre ile durdurma bandı azalması bakımından Kaiser
penceresi kullanarak tasarlanan FIR filtreden daha kullanışlı
bir yapı elde etmiştir [9]. İki parametreli pencereler ile ilgili
yapılan çalışmalardan elde edilen pencere spektral cevapları
Kaiser penceresinden daha iyi olmadığı için uygulamalarda
fazlaca tercih edilmemişlerdir. Nuttall yaptığı çalışmasında,
birçok farklı şartlar altında, spektral parametrelerinden olan
çok iyi yanlob davranışı ve en uygun özelliklere sahip pencere
fonksiyonu geliştirmiştir [10]. Geliştirilen bu iki parametreli
pencere fonksiyonları, pencerenin analob genişliği, pencere
uzunluğu ve dalgalanma oranı gibi spektral parametrelerinin
ayarlanmasından
sadece
iki
faktörün
kontrolünü
sağlamaktadır. Deczky tarafından geliştirilen ve üç parametreli
yeni pencere fonksiyonu olan ultraspherical fonksiyon,
Gegenbauer veya Ultraspherical polinomları olarak bilinen
ortogonal polinomların temeline dayanmaktadır. Geliştirilen
bu pencere fonksiyonu ile yanlob azalması, fonksiyona
eklenen parametre yardımıyla kontrol edilmektedir [11].
[12,13]’de iki parametreli pencerelerin yalnızca analob
genişliği ve dalgalanma oranı gibi parametrelerin kontrolünde
kullanılırken, yanlob azalma oranının değiştirilmesinde bu
pencerelerin yetersiz kaldıklarını ve önerilen yeni pencere
fonksiyonu yardımıyla bu sorunun ortadan kaldırılmasını
sağlamışlardır. Geliştirilen pencere ile elde edilen sonuçların
ÖZET
Pencere fonksiyonları (veya kısaca pencere), sonlu impuls
cevaplı (FIR, Finite Impulse Response) sayısal filtre
tasarımında istenmeyen salınımları ortadan kaldırmak için
kullanılan yapılardır. Pencere fonksiyonu, analob genişliği,
dalgalanma oranı ve yanlob azalma oranı gibi fonksiyonun
performansını etkileyen parametrelere sahiptir. Bir pencere
fonksiyonu tasarımında temel amaç, istenilen özellikleri
sağlayacak genlik spektrumuna uygun spektral parametre
değerleriyle ulaşmaktır. Bu çalışmanın amacı, pek çok
uygulama alanında tercih edilen bir boyutlu pencere
fonksiyonu ailelerini belirlemek ve bu fonksiyonlar için yeni
yaklaşımları incelemektir.
Anahtar Kelimeler: Pencere fonksiyonu
penceresi, Ultraspherical penceresi, FIR filtre
1.
ailesi,
Kaiser
GİRİŞ
Son yıllardaki gelişmelere paralel olarak analog
sistemlerin yerini sayısal sistemler almıştır. Bu duruma bağlı
olarak, sistemden arzu edilen özelliklerde çıkış elde edebilmek
için sayısal sistemin performansını arttırma çabaları
doğmuştur. Herhangi bir sayısal sistemde arzu edilen çıkışı
üretmek için kullanılan yazılımsal veya donanımsal yapılara
sayısal filtre adı verilmektedir. Bir sayısal filtre impuls
cevabına göre, sonlu impuls cevaplı filtre (FIR filtre) ve
sonsuz impuls cevaplı filtre (IIR Infinite Impulse Response)
şeklinde ikiye ayrılmaktadır. Tekrarsız olarak gerçekleştirilen
bir filtrenin ideal genlik cevabının sınırlı sayıda eleman
alınarak tasarlanması işleminde keskin kesim frekansı
bölgesinde
istenmeyen
Gibbs
salınımları
meydana
gelmektedir. Oluşan bu salınımlar pencere fonksiyonları
yardımıyla ortadan kaldırılmaktadır. Bu işlemlerde kullanılan
pencere fonksiyonları için literatürde çeşitli özelliklere sahip
farklı pencere türleri geliştirilmiştir.
Fourier serisi kullanılarak tasarlanan filtre yaklaşımında
serinin doğrudan kesilmesiyle meydana gelen olayı
matematiksel olarak ifade etme işlemi Gibbs tarafından
yapılmıştır [1]. [2]’de pratik uygulamalarda kullanılabilmesi
için oluşan bu Gibbs salımınları ortadan kaldırabilmek için
uygun bir yaklaşım sunulmuştur. [3]’de Fejer’in önerdiği
yaklaşımdan daha başarılı sonuç verecek bir yumuşatma
yaklaşımı önerilmiştir. Adams tarafında yapılan çalışmada ise,
en yüksek yanlob seviyesi ile toplam yanlob enerjisi arasındaki
en iyi dengeyi sağlayacak uygun bir pencere fonksiyonu
önerilmiştir [4]. Yapılan çalışmalarda kullanılan pencere
fonksiyonları sahip oldukları bağımsız parametre özelliklerine
göre sabit ve ayarlanabilir pencereler şeklinde iki kısma
ayrılmaktadırlar. Sabit pencere fonksiyonu için fazlaca tercih
edilen türler ve denklemleri [5]’ de gösterilmiştir. Önerilen bu
338
Elektrik-Elektronik ve Bilgisayar Sempozyumu 2011
Ad = durdurma bandı zayıflamasını gösterilmektedir.
Sayısal filtre tasarımında temel amaç, istenilen özellikleri
sağlayacak genlik cevabının yukarıda ifade edilen şartlar
içerisinde olmasını sağlayacak filtre transfer fonksiyonu
katsayı değerlerinin hesaplanması şeklindedir.
İstenilen genlik karakteristiğini sağlayacak olan filtre,
tekrarsız olarak gerçekleştirilirken sisteme ait giriş-çıkış
ilişkisini gösteren transfer fonksiyonu,
Kaiser ve Dolph-Chebyshev pencere kullanılarak tasarlanan
filtre derecesinden daha düşük olduğunu göstermişlerdir
[14,15]. Geliştirilen yeni üstel pencere fonksiyonu, Kaiser
penceresi denklemi temel alınarak türetilmiştir [16]. Üstel
pencerenin yanlob azalma oranı bakımından başarılı sonuçlar
verdiği [17]’de gösterilmiştir. Avci ve Nacaroğlu, önerdikleri
yeni pencere fonksiyonunu Kaiser penceresine eklenen üçüncü
bir parametre ile oluşturmuşlardır [18]. Avci ve
Nacaroğlu’nun yaptıkları bir başka çalışmada, Kaiser
penceresinden türetilen ancak zaman bölgesi fonksiyonunda
güç serisi açılımı içermeyen pencere fonksiyonunu
geliştirmişlerdir [19,20]. Yazarlar, dalgalanma oranı spektral
parametresini geliştirme işlemini [19,20]’de önerilen
çalışmalarına ekledikleri yeni parametre ile sağlamışlardır
[21]. Eklenen yeni parametrenin uygun değer seçilmesiyle
daha iyi bir dalgalanma oranı ve kontras oranı bakımından
başarılı sonuçlar elde ettiğini göstermişlerdir.
Birden fazla pencere fonksiyonun özelliklerini tek bir
pencerede bulunduracak yeni bir pencere için son zamanlarda
akıllı hesaplama yöntemleri kullanılmaktadır. Kaya ve İnce,
pencere katsayı değerlerinin hesaplanmasında evrimsel
hesaplama yöntemlerinden bir olan Genetik Algoritma (GA)
kullanımını önermişlerdir. Bu yöntemle bulunan sonuçlar,
Kaiser penceresi genlik spektrumu ile karşılaştırılmış ve
yanlob azalma oranı bakımından daha başarılı sonuçlar elde
etmişlerdir [22, 23]. Kaya ve İnce tarafından yapılan başka bir
çalışmada ise, [22] çalışması yardımıyla elde edilen sonuçlar
FIR filtre tasarımında kullanılarak yanlob azalma oranı daha
yüksek olan bir filtre genlik spektrumu elde etmişlerdir [24].
H (e jw ) =
∞
∑ h ( n )e
− jΩ
(1)
n = −∞
denklemi yardımıyla ifade edilmektedir. Bu denklem elde
edilen filtrenin impuls cevabının -∞ dan başlayıp ∞’a kadar
devam ettiğini gösterir. Bu durumda da filtre fiziksel olarak
gerçekleştirilemez.
Bir
filtrenin
fiziksel
olarak
gerçekleştirilebilmesi impuls cevabının sınırlı sayıda ve
sistemin nedensel olması şartlarına bağlıdır.
Hem bir hem de iki boyutlu sayısal filtre tasarımında
sınırlı sayıdaki eleman değerinin Fourier dönüşümün
alınmasıyla elde edilen transfer fonksiyonunda istenmeyen
Gibbs salınımları meydana gelmektedir. Meydana gelen bu
salınımlara ait genlik cevabı tek boyutlu filtre için Şekil 2’ de
gösterilmiştir.
10
N=13
N=23
N=33
5
0
-5
BİR BOYUTLU SAYISAL FİLTRELER
-10
Kazanç (dB)
2.
Filtreler, impuls cevaplarına göre FIR ve IIR filtreler
şeklinde iki grupta incelenmektedirler. Hem FIR hem de IIR
filtrelerin birbirlerine göre avantaj ve dezavantajları
bulunmaktadır. FIR olarak tasarlanacak bir filtre tekrarlı veya
tekrarsız yapı kullanarak tasarlanabilmektedir. Ancak tekrarlı
olarak tasarlanacak FIR filtre daima kararlı ve lineer faz
cevabına sahip olacaktır. Bir sayısal filtre genlik cevabı
karakteristiği ve özellikleri Şekil 1’ de gösterildiği gibidir
[25].
-15
-20
-25
-30
-35
-40
-45
0
0.5
1
1.5
2
Normalize Frekans (rad/örnek)
2.5
3
Şekil 2: Farklı dereceler için alçak geçiren filtre genlik
cevabı ve Gibbs salınımları
3.
PENCERE FONKSİYONLARI
FIR filtre tasarımında Fourier serisinin anlık
kesilmesinden dolayı meydana gelen ve arzu edilmeyen bu
salınımları ortadan kaldırabilmek için kullanılan yapılara
pencere fonksiyonu adı verilmektedir Genel olarak bir pencere
fonksiyonu yardımıyla filtre tasarımı işleminde, filtrenin ideal
genlik cevabı ile aynı uzunluğa sahip pencere fonksiyonu
çarpılarak tasarlanmak istenen filtre katsayı değerleri elde
edilmektedir. Bir boyutlu sayısal filtreler için bu durum
denklem 2 ile ifade edilebilir.
Şekil 1: Alçak geçiren filtre için genlik cevabı özellikleri
h [ n ] = hid [ n ] w [ n ]
Şekilde;
wg = geçirme bandı frekansı
wd = durdurma bandı frekansı
wö = örnekleme frekansı
Ag = geçirme bandı dalgalanması
(2)
Gibbs salınımlarını giderebilmek için kullanılan pencere
fonksiyonlarının genel olarak spektral karakteristiği Şekil 3’de
gösterilmiştir.
339
Fırat Üniversitesi-Elazığ
pencere
fonksiyonları
gösterilebilir.
Bu
pencere
fonksiyonlarında en çok tercih edilen Kaiser ve ultraspherical
pencerelerine ait denklemler aşağıda verilmiştir.
2

2n 
 I 0 (α k 1 − 
)


 N −1
w[n] = 
I 0 (α k )


0

n≤
N −1
2
(3)
diğer yerlerde
Burada αk ayarlanabilir parametre, I0(x) sıfır dereceli birinci tür
geliştirilmiş Bessel fonksiyonu olup, güç serisi açılımı
aşağıdaki gibidir.
 1  x k 
I 0 ( x ) =1 + ∑    
k =1  k !  2  


∞
2
(4)
Şekil 3: Pencere genlik spektrumu
Ultraspherical polinomuna dayalı olan ve üç bağımsız
parametreye sahip olan (µ, xµ ve N) ultraspherical pencere
fonksiyonu için en genel tanım denklemi aşağıdaki gibidir
[11-15].
A  µ + p − n −1 n  µ + n −1 p − n m
w[nT] =

 ∑

B n = 0,1,...., N −1
p − n  p − n −1  m=0 n − m  m 
(5)
Burada;
Şekilde,
Analob genişliği = 2WR
R = Maksimum yanlob genliği – analob genliği
S =Maksimum yanlob genliği – minimum yanlob genliği
ile tanımlanmaktadır. Pencere fonksiyonu tasarımı için
önerilen yöntemler, genel olarak yukarıda belirlenen spektral
parametre değerlerinin daha iyi olmasını sağlamak amacıyla
geliştirilmiştir. Geliştirilen bu fonksiyonlar kullanılarak iyi
tasarlanmış bir pencere fonksiyonundan arzu edilen
karakteristik [25],
µ xµp µ ≠ 0 için
A= p
,
 xµ µ = 0 için
analob genişliğinin dar olması
dalgalanma oranının küçük olması
yanlob azalma oranının geniş olması şeklindedir
4.
B = 1 − xµ−2 , p = N − 1
(6)
AKILLI HESAPLAMA YÖNTEMLERİ
Son yıllardaki teknolojinin gelişmesine paralel olarak
bilgisayarlar ve bilgisayar destekli sistemler hayıtımızda
önemli bir yer edinmiş ve vazgeçilmezler arasına girmişlerdir.
Önceleri uygulama alanlarında bilgisayarlar yüksek
hızlarından dolayı yalnızca veriler arasında işlem yapmak ve
sonuç almak için kullanılırken, son zamanlarda geliştirilen
yeni yöntemler eklenerek bilgisayarlar artık elde edilen verileri
özetleyebilen, veriler arasında ilişki kurabilen ve bu ilişkiler
neticesinde ise sonuçları yorumlayabilen makineler haline
gelmişlerdir [26].
Günümüzde, bilgisayarların veriler arasında ilişki kurma
özelliğinden yararlanılarak matematiksel olarak modellenmesi
mümkün olmayan sistemlerin modellenmesinde veya çözümü
çok zor ya da imkânsız olan sistemlerin sonuçlanmalarında
bilgisayarlar vazgeçilmez bir çözüm aracıdır. Genel olarak
bilgisayarlara bu özelliklerinin kazandırılmasını sağlayan
çalışmalara yapay zekâ adı verilmektedir.
Yapay zekâ veya genel olarak akıllı hesaplama yöntemleri,
pek çok uygulama alanlarında sağladıkları kolaylık ve çözümü
klasik hesaplama yöntemleri ile imkânsız problemlerin
çözümünde başarı sağladıkları gibi pencere fonksiyonu ve
sayısal filtre tasarımında da başarılı sonuçlar vermektedirler.
Akıllı hesaplama yöntemleri arasında yer alan GA, Yapay
Sinir Ağları (YSA), Bulanık Mantık (BM) gibi yöntemler
farklı uygulama alanlarında, farkı değerler üreterek arzu edilen
sonuca ulaşmada başarı sağlamaktadırlar.
Bu yöntemlerden bir olan GA, doğal seçilim ilkesinin
benzetim yoluyla bilgisayarlara uygulanması ile elde edilen bir
arama yöntemidir. Bilinen bir GA programında, her bir birey
Geliştirilen pencere fonksiyonları sahip oldukları
parametrelere göre sabit ve ayarlanabilir pencereler şeklinde
iki gruba ayrılmaktadırlar. Sabit pencere fonksiyonları sahip
oldukları tek bir parametre (pencere uzunluğu) ile yalnızca
pencere fonksiyonunun analob genişliğini ayarlayabilmektedir.
Ayarlanabilir pencereler ise sahip oldukları iki veya daha fazla
parametre ile sabit pencerelerde olduğu gibi pencere uzunluğu
ile analob genişliğini ayarlayabilmekte, diğer parametreler
yardımıyla da diğer pencere spektral parametrelerini kontrol
etmektedirler.
3.1. Sabit Pencere Fonksiyonları
Bu türden pencere fonksiyonları yaygın olarak sinyal
işleme uygulamalarında tercih edilmektedir. Yaygın olarak
kullanılan bu tür pencerelere, Dikdörtgen, Hamming, Hann,
Blackman, Bartlett v.s. gösterilebilir. Bu fonksiyonlara ait
denklemler [5,25]’de verilmiştir.
Sabit pencere fonksiyonlarının bir tek parametreye sahip
olmalarından dolayı diğer pencere spektral parametrelerin
ayarlanmasında kullanılamamaktadırlar. Bunların yerine daha
fazla parametreye sahip ayarlanabilir pencere fonksiyonları
geliştirilmiştir.
3.2. Ayarlanabilir Pencere Fonksiyonları
Literatürde kullanılan ve çok fazla tercih edilen
ayarlanabilir pencere fonksiyonları Dolph-Chebyshev, Kaiser,
Saramaki ve ultraspherical ile son zamanlarda geliştirilen
üstel, cosh, modifiye edilmiş cosh, modifiye edilmiş Kaiser
340
Elektrik-Elektronik ve Bilgisayar Sempozyumu 2011
önceden belirlenmiş sınırlı uzunluğa sahip ve kromozom adı
verilen vektörler yardımıyla modellenir. İlk olarak rasgele
veya çözüm hakkında bazı bilgiler biliniyorsa o bilgilere göre
seçilen ve belirli bir sayıda kromozom alınarak başlangıç
popülasyonu (toplum) elde edilir. Bu başlangıç popülasyonu
elde edildikten sonra, kromozomlar yeni nesiller elde etmek
için bazı değişikliklere uğrarlar. Rasgele elde edilen
popülasyon içerisindeki vektörün (birey, kromozom) iyiliği
ölçülür. Yani kromozom önceden belirlenen uygunluk
fonksiyonu içerisinde yazılarak kromozomun uygunluk değeri
hesaplanır. Elde edilen uygunluk değerine göre bir sonraki
neslin oluşumu için bazı kromozomlar yeniden üretilip,
çaprazlanır veya mutasyon işlemlerine uğratılırlar.
GA yardımıyla pencere fonksiyonu tasarımında en son
generasyon içerisindeki bireyler arzu edilen spektral parametre
değerlerini veya bu spektral parametrelerinden oluşan
kullanışlı spektral parametreli pencere fonksiyonu katsayılarını
temsil edecektir.
Basit bir GA evrimleşme döngüsü Şekil 4’te gösterilmiştir.
YSA yardımıyla pencere fonksiyonu tasarımında GA’da
olduğu gibi YSA çıkışı kullanışlı spektral parametreli pencere
fonksiyonu katsayılarını temsil edecektir.
Şekil 5’te genel olarak çok katmanlı YSA modelinin basit bir
yapısı gösterilmiştir.
Şekil 5: YSA’nın katman yapısı ve bağlantıları
Akıllı hesaplama tekniklerinden biri olan ve farklı arama
değerleri ile sonuca ulaşmada başarı sağlayan GA ve klasik
yöntemler ile modellenmesi zor veya imkânsız olan sistemlerin
modellenmesinde başarılı olan YSA kullanılarak, pek çok
uygulama alanında tercih edilen kullanışlı spektral
parametrelere sahip pencere fonksiyonu parametreleri
dolayısıyla da pencere katsayı değeri hesaplanabilir.
5.
SONUÇLAR
Gerek sayısal filtre gerekse de genel olarak sinyal işleme
alanlarının vazgeçilmez bir parçası olan pencere
fonksiyonlarının pencere spektral parametre değerlerinin
hesaplanması arzu edilen bir durumdur. Kullanışlı spektral
parametrelere sahip bir pencere fonksiyonu yardımıyla
işlenmiş bir filtre veya bir sinyal daha kullanışlı genlik
cevabına sahip olacaktır.
Birden fazla pencere fonksiyonun kullanışlı spektral
parametrelerinin bir arada kullanılmasıyla daha güçlü bir
pencere fonksiyonu tasarımı ancak akıllı hesaplama
yöntemleri
olarak
bilinen
algoritmalar
yardımıyla
gerçekleştirilebilir.
Yapılan çalışma ile literatürde kullanılan pencere tasarım
yöntemleri ve uygulama alanları araştırılmış ve bu konu ile
ilgili son yıllarda yapılmış olan çoğu akademik çalışmalar
sunulmuştur. Çalışma sayesinde, bu alanda yapılacak herhangi
bir çalışma için neler yapıldığı gösterilmiş, günümüz ve
gelecek çalışma alanları hakkında araştırmacılara bilgiler
verilmiştir.
Şekil 4: GA çemberi
YSA ise, insan beyninin taklit edilmesiyle elde edilen ve
bilgisayarların standart algoritmik hesaplama yönteminden
farklı olarak geliştirilmesiyle meydana çıkan diğer bir akıllı
hesaplama yöntemidir.
İnsan beynin herhangi bir olay karşısındaki çözüm bulma
yeteneği ve davranışının modellemesi için tasarlanan YSA,
farklı katmanlara sahip olup bu katmanlardaki yapay sinir
hücreleri ise çeşitli şekillerde bir birlerine bağlanırlar. Bu ağ
yapısı ile YSA tıpkı insan beyni gibi eğitim sonunda bilgiyi
toplama, sahip olduğu yapay sinir hücreleri arasındaki bağlantı
yardımıyla bilgiyi saklama ve sonuç olarak olayları
değerlendirme gibi özellikleriyle yapay bir işlemci gibi
davranmaktadır [27].
En basit olarak yapay sinir hücresi modelinden
faydalanılarak oluşturulan YSA’larda, bu sinir hücrelerinin
belirli bir düzene göre bir araya gelmesiyle katmanlar, bu
katmanların bir araya gelmesiyle de YSA meydana
gelmektedir. Ara (gizli) katmanı olmayan ve sadece giriş ve
çıkış katmanlarından meydana gelen bir YSA karmaşık
hesaplamaları yerine getirmede başarısız kalmaktadır.
Dolayısıyla, karmaşık problemlerin çözümünü sağlayabilmesi
için YSA’nın en az üç veya daha fazla katmandan oluşması
gerekmektedir. Bu katmalar, giriş, ara ve çıkış katmanı olup
geliştirilen YSA modelinde daha fazla ara katman
kullanılabilir
6.
KAYNAKLAR
[1] Gibbs J.W.,. “Fourier series”, p. 200-606, 1899.
[2] Fejer, L., “Sur les fonctions bornees et integrables,
Comptes Rendus Hebdomadaries”, Seances de
l'Academie de Sciences, Paris, 131: 984-987, 1900.
[3] Lanczos, C., “Applied Analysis”, Van Nostrand,
Princeton, NJ, 1956.
341
Fırat Üniversitesi-Elazığ
[17] Avci K. and Nacaroğlu A., “Kaiser Yaklaşımı
Kullanılarak Oluşturulan Üstel Pencereyle Yinelemesiz
Sayısal Süzgeç Tasarımı”, Çukurova Üniversitesi
Mühendislik-Mimarlık Fakültesi 30. Yıl Sempozyumu,
Adana, 16-17 Ekim, s. 274-279, 2008.
[18] Avci K. and Nacaroğlu A., “High Quality Low Order
Nonrecursive Digital Filter Design Using Modified
Kaiser Window”, Proc. of 6th Symposium on
Communication Systems, Networks and Digital Signal
processing, July. Graz, Austria, p. 239-242, 2008.
[19] Avci K. and Nacaroğlu A., “Cosine hyperbolic window
family with its application to FIR filter design”, Proc. of
Third International Conference on Information and
Communication Technologies, April. Damascus, Syria, p.
289-290, 2008.
[20] Avci K. and Nacaroğlu A., “Cosh window family and its
application to FIR filter design”, International Journal of
Electronics and Communications-AEU, 63: 906-917,
2009.
[21] Avci K. and Nacaroğlu A., “Modification of Cosh
window family”, Proc. of Third International Conference
on Information and Communication Technologies,
Damascus, Syria, p. 291-292, 2008.
[22] Kaya, T. and İnce, M.C., “The Calculation of Adjustable
Window Parameters With Helping GA”, Applied
Automatic Systems, Ohrid, Republic of Macedonia,
p.135-138, 2009.
[23] Kaya, T. ve İnce, M.C., “Yüksek Performanslı Pencere
Fonksiyonlarının
Genetik
Algoritma
Yardımıyla
Gerçekleştirilmesi”, 3. Haberleşme Teknolojileri ve
Uygulamaları Sempozyumu, (HABTEKUS’09), s. 235238, 9-11 Aralık, 2009.
[24] Kaya, T. and İnce, M.C., “The FIR Filter Design by
Using Window Parameters Calculated with GA, Soft
Computing, Computing with Words and Perceptions in
System Analysis”, Decision and Control- (ICSCCW
2009), p.1-4, September 2-4, 2009.
[25] Avci, K., “Design of High-Quality Low-Order
Nonrecursive Digital Filters Using the Window
Functions”, PhD Thesis, University of Gaziantep, 2008.
[26] Öztemel, E., “Yapay Sinir Ağları”, Papatya Yayıncılık,
İstanbul, 2003.
[27] Elmas, Ç., “Yapay Sinir Ağları (Kuram, Mimari, Eğitim,
Uygulama)”, Seçkin Yayıncılık, Ankara, 2003.
[4] Adams, J.W., “A new optimal window”, IEEE
Transactions on Signal Processing. 39(8): 1753-1769,
1991.
[5] Mitra, S.J., “Digital Signal Processing A ComputerBased Approach”, s-972, McGraw-Hill International
Edition, Singapore, 2006.
[6] Dolph, C.L., “A current distribution for broadside arrays
which optimizes the relationship between beamwidth and
side-lobe level”, Proc. IRE, June, 34: 335-348, 1946.
[7] Harris, F.J., “On the use of windows for harmonic
analysis with the discrete Fourier transform”. Proc. IEEE.
66:51-83, 1978.
[8] Kaiser J.F., “Nonrecursive digital filter design using I0sinh window function”, Proc. IEEE Int. Symp. Circuits
and Systems, San Francisco, Calif., USA, 20-23 April,
1974.
[9] Saramaki, T., “A class of window functions with nearly
minimum sidelobe energy for designing FIR filters”,
Proc. IEEE Int. Symp. Circuits and systems, Portland,
Ore, USA, May, 1,p. 359-362, 1989.
[10] Nuttall, A. H., “Some Windows with Very Good
Sidelobe Behavior”, IEEE Transactions on Acoustics,
Speech, and Signal Processing, 29:1 84-91, 1981.
[11] Deczky A.G., “Unispherical Windows”, IEEE Int. Symp.
on Circuits and Systems. Sydney, Australia, May, 2, p.
85-88, 2001.
[12] Bergen, S.W.A. and Antoniou, A., “Generation of
Ultraspherical window functions”, in XI European Signal
Processing Conference, Toulouse, France, September, 2,
p. 607-610, 2002.
[13] Bergen, S.W.A. and Antoniou, A., “Design of
Ultraspherical Window Functions with Prescribed
Spectral Characteristics”, EURASIP Journal on Applied
Signal Processing, 13: 2053-2065, 2004.
[14] Bergen, S.W.A. and Antoniou, A., “Nonrecursive Digital
Filter Design Using the Ultraspherical Window”, IEEE
Pacific Rim Conference On Communications, Computers,
And Signal Processing, August 28-30, p. 260-263, 2003.
[15] Bergen, S.W.A. and Antoniou, A., “Design of
Nonrecursive Digital Filters Using the Ultraspherical
Window Function”, EURASIP Journal on Applied Signal
Processing, 12: 1910-1922, 2005.
[16] Avci K. and Nacaroğlu A., “A new window based on
exponential window”, IEEE Ph.D. Research in
Microelectronics and Electronics, June. Istanbul, Turkey,
p. 69-72, 2008.
342