Do*rusal E*itsizlikler

TBF 122 - Genel Matematik II
DERS – 8 : Çift Katlı İntegral
Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş
Başkent Üniversitesi
Ters Türevler. F, G ve f iki değişkenli fonksiyonlar; D bu fonksiyonların her birinin tanım
kümesinde kapsanan bir küme olsun.
Her (x,y)D için Fx(x,y)=f(x,y) ise, F fonksiyonuna f nin D kümesinde x e göre ters türevi
denir.
Benzer şekilde, her (x,y)D için Gy(x,y)=f(x,y) ise, G fonksiyonuna f nin D kümesinde y ye
göre ters türevi denir.
Ters türevlerden söz edilirken herhangi bir kümeye referans verilmemişse, D kümesi olarak
ters türev olma özelliğinin geçerli olduğu en geniş küme alınır.
Örnek 1.
F ( x , y )  4 x 2 y 3  3 x 2 y  5 x  7y  9
,
G(x , y)  2 xy 4  3xy 2  6 x  5y  2
ve
f (x , y)  8 xy 3  6 xy  5 denklemleri ile tanımlanmış fonksiyonlar için F, f nin x e göre
ters türevidir, çünkü
Fx (x , y)  8 xy 3  6 xy  5
G fonksiyonu f nin y ye göre ters türevidir, çünkü
Gy (x , y)  8 xy 3  6 xy  5
dir.
Bir değişkenli fonksiyonlarda ters türevle ilgili tartışmalarımızı anımsayarak şu sonuçlara
ulaşabiliriz:
• F1 ve F2, aynı f fonksiyonunun x e göre ters türevleri ise, öyle bir (bir değişkenli)
B fonksiyonu vardır ki, F2(x,y)= F1(x,y) + B(y) dir.
• G1 ve G2, aynı f fonksiyonunun y ye göre ters türevleri ise, öyle bir (bir değişkenli)
C fonksiyonu vardır ki, G2(x,y)= G1(x,y) + C(x) dir.
Yukarıdaki ifadelerde, B ve C sabit fonksiyonlar olabilir.
f fonksiyonunun x e göre tüm ters türevlerinin ailesi f nin x e göre belirsiz integrali diye
adlandırılır ve
 f (x , y)dx
ile gösterilir. Böylece, f nin x e göre bir ters türevi F ise, B bir değişkenli veya sabit bir
fonksiyon olmak üzere
 f (x , y)dx  F (x , y)  B(y)
dir.
f fonksiyonunun y ye göre tüm ters türevlerinin ailesi f nin y ye göre belirsiz integrali diye
adlandırılır ve
 f (x , y)dy
ile gösterilir. Böylece, f nin y ye göre bir ters türevi G ise, C bir değişkenli veya sabit bir
fonksiyon olmak üzere
 f (x , y)dy  G(x , y)  C (x)
olur.
x e ve y ye göre belirsiz integral tanımları aşağıdaki gibi özetlenebilir:
 f (x , y)dx  F (x , y)  B(y)  F (x , y)  f (x , y)
x
 f (x , y)dy  G(x , y)  C (x)  G (x , y)  f (x , y)
y
Herhangi bir değişkene göre integral hesabı yapılırken diğer değişken(ler) sabit kabul
edilerek bir değişkenli durumda olduğu gibi hesap yapılır.
Örnek. f (x , y)  8 xy 3  6 xy  5 fonksiyonunun x e ve y ye göre belirsiz integrallerini hesaplayalım.


(8 xy 3  6 xy  5) dx  ((8y 3  6y)x  5) dx
x2
 (8y  6y)  5x  B(y)
2
3

 4 x 2 y 3  3x 2 y  5x  B(y)

(8 xy 3  6 xy  5) dy  ((8 x)y 3  (6 x)y  5) dy
y4
y2
 (8 x)  (6 x)  5y  C (x)
4
2
 2 xy 4  3xy 2  5y  C (x)
Örnek. f (x , y)  x 2  y 2  e xy  4 fonksiyonunun x e ve y ye göre belirsiz integrallerini hesaplayalım.


x3
e xy
2
(x  y  e  4) dx 
y x
 4 x  B(y)
3
y
2
2
xy
y 3 e xy
(x  y  e  4) dy  x y  
 4 y  C (x)
3
x
2
2
xy
2
Belirsiz integral kullanılarak her bir değişkene göre belirli integral düşünülebilir. Eğer f nin x e
göre bir ters türevi F ise,

b
a
x b
f (x , y) dx  F (x , y) x a  F (b, y)  F (a , y)
Eğer f nin y ye göre bir ters türevi G ise,

c
olur.
Örnek.
d

3
1
y d
f (x , y) dy  G(x , y) y c  G(x , d )  G(x , c)
(8 xy 3  6 xy  5) dx  4 x 2 y 3  3x 2 y  5x
x 3
x 1
 (36y 3  27y  15)  (4 y 3  3y  5)  32y 3  24 y  10.
2
y 2
0
y 0

(8 xy 3  6 xy  5) dy  2 xy 4  3xy 2  5y
 (32 x  12 x  10)  0  32 x  12 x  10.
Bir belirli integral hesaplanırken integrandın ve ters türevlerinin, integrali belirleyen
değişkenin integral limitleri arasında tanımlı olması gerektiği açıktır. Aksi halde, integral
tanımsız olur.
Örnek.
Örnek.

ln 3
ye dx  e xy
ln2

ln 3
ln2
xy
ye dy 
xy
u=y
, dv=exydy
du=dy
, v=(1/x)exy
x ln 3
x ln2

e (ln3)y  e (ln2)y  3y  2 y
 udv  uv   vdu 
y xy
e xy
e 
dy
x
x

y
1
 e xy  2 e xy
x
x
y 1 
   2  e xy
x x 
y ln 3
y ln2
 ln 3 1  x  ln 2 1  x

 2 3  
 2 2
 x x 
 x x 
Örneklerde görüldüğü üzere, iki değişkenli bir fonksiyonun değişkenlerden birine göre
belirli integrali sadece diğer değişkene bağlı bir ifade verir. Başka bir deyişle, iki değişkenli
bir fonksiyonun değişkenlerden birine göre belirli integrali diğer değişkeni bağımsız
değişken kabul eden bir değişkenli bir fonksiyon verir. Dolayısıyla, iki değişkenli bir
fonksiyonun değişkenlerden birine göre belirli integrali hesaplandıktan sonra elde edilen
fonksiyonun da diğer değişkene göre integrali hesaplanmak suretiyle ardışık integrallerden
söz edilebilir.
Örnek.
 3 (8 xy 3  6 xy  5) dx dy ardışık integralinin hesabı, önce köşeli parantez içindeki

0
1
2
 
x e göre integral hesaplanıp bulunan ifadenin y ye göre integrali hesaplanarak yapılır.
Daha önce hesaplandığı gibi,

3
1
(8 xy 3  6 xy  5) dx  4 x 2 y 3  3x 2 y  5x
x 3
x 1
 32y 3  24 y  10
olduğundan
 3 (8 xy 3  6 xy  5) dx dy  2(32y 3  24 y  10)dy

0
0
1
2
 

2
 8y 4  12y 2  10y  128  48  20  156
0
Aynı integrand ile, integral sınırları da uygun şekilde değiştirilmek suretiyle ters sırada
yazılmış olan ardışık integrali hesaplayalım:
3
 2(8 xy 3  6 xy  5) dy dx 
 0

 
1

3
1
2 xy 4  3xy 2  5y y 2  dx

y 0 


3

3
 (32 x  12 x  10) dx  (44 x  10) dx
1
1
3
 22 x 2  10 x = 198 - 30 - (22 - 10) = 156
1
Son örnekte ardışık integralin değişkenlere göre hesap sırası değiştirildiği zaman integralin
aynı değeri verdiğine dikkat ediniz.
3
Örnek.
 2(2 x  3y) dx dy 
 1

 
2

3
2

 x 2  3yx x 2 dy 

x 1 

3
2
 3(2 x  3y) dy dx 
 2

 
1

2
1
3 2
2 xy  y
2


dx 

y 2 
y 3
15
 (2 x  ) dx 
1
2

2
2
3
3y  y 2 
2 2
3
 (3  3y) dy 
2
 4  6y  (1  3y)dy
3

9
27
21
 (6  6) 
2
2
2
1

27 2
6
x


(
4
x

6
)

 dx
2


2
15
x  x 
2 1
2
4  15  (1 
15 21
) .
2
2
Son iki örnekte hesaplanan ardışık integrallerde değişkenlere göre integral sırası
değiştirilince integrallerin değerinin değişmediğini görüyoruz. Bu sonuç, bir tesadüf değildir
ve sonraki kesimde dikdörtgensel bölgeler üzerinden çift katlı integral tanımı için temel
oluşturacaktır.
Bundan böyle ardışık integralleri yazarken önceki örneklerde kullandığımız köşeli parantez
gösterimini yazmayacağız, çünkü köşeli parantez yazılmasa da işlemlerin hangi sırada ve
nasıl yapılacağı anlaşılmaktadır.
Bundan böyle ardışık integralleri yazarken önceki örneklerde kullandığımız köşeli parantez
gösterimini yazmayacağız, çünkü köşeli parantez yazılmasa da işlemlerin hangi sırada ve
nasıl yapılacağı anlaşılmaktadır. Daha açık bir ifade ile
d
b
d
c
a
c
 b f (x , y) dx dy
 a

  f (x , y) dxdy   
b d
f (x , y) dydx   f (x , y) dy dx

c
a
c
b d

a
 
Dikdörtgensel Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller. a, b, c, d  ℝ ve a < b, c < d olmak
üzere
D  {(x , y) : a  x  b , c  y  d }
olarak tanımlanan (ve yandaki şekilde
gösterilen) D kümesine a, b, c ve d
sayılarının belirlediği dikdörtgensel bölge
denir.
d
y
(a,d)
(b,d)
D
c (a,c)
(0,0)
a
(b,c)
b
x
Bizim ele alacağımız ve pratikte karşılaşılan pek çok iki değişkenli fonksiyon şu özelliğe
sahiptir: a, b, c, d  ℝ ve a < b, c < d olmak üzere
d
b
b d
c
a
a c
  f (x , y) dxdy    f (x , y) dydx
Yukarıdaki ardışık integrallerin ortak değerine f fonksiyonunun a, b, c, d sayılarının
belirlediği D dikdörtgensel bölgesi üzerinde çift katlı integrali denir ve bu integral
 f (x , y) dA
D
ile gösterilir. Bu gösterimde f(x,y) ye integrand, D ye integrasyon bölgesi denir. dA gösterimi, integralin düzlemde iki boyutlu bir bölge üzerinde olduğunu belirtir.
Tekrar etmek gerekirse,
D  {(x , y) : a  x  b , c  y  d }
olmak üzere,

f (x , y) dA 
D
d
b
c
a

f (x , y) dxdy 
b d
  f (x , y) dydx
a c
Dikdörtgensel bölgeler üzerinde çift katlı integral tanımı bir değişkenli durumdakine benzer
Riemann toplamlarıyla daha genel biçimde verilebilir. Bizim ele alacağımız ve pratikte
karşılaşılan pek çok fonksiyon için Riemann toplamları ile verilen tanım ve ardışık integraller
olarak verilen tanım çakışır.
Örnek. D  {(x , y) : 1  x  2 , 2  y  3} olmak üzere,

(3x 2  2y) dA  ?
D
 (3x
2
 2y) dA 
D
3 2
  (3x
2 1

2

 2y) dxdy 
2
3

D
(3x  2y) dA 

1 2
(3x  2y) dydx 
2

2
1

3
x 2

3
)dy  (8  4 y  (1  2y)) dy
x 1
2
2
2
2 3
(x  2yx
3
 (7  2y) dy  7y  y 2
2
3
 21  9  (14  4)  12
(3x y  y
2
2

1
2
y 3
y 2
) dx 
2
 (9x
2
1
2
9  (6 x 2  4))dx
(3x 2  5))dx  x 3  5x  8  10  (1  5)  12
1
Örnek. D  {(x , y) : 0  x  1 ,  1  y  1} olmak üzere,

8 xy e x
2
y2
dA  ?
D
 8 xy e
D
x2 y2
dA 
1
1
  8 xy e
x2 y2
1 0
 2e
1 y 2
 2e
dxdy 
y2
1
1

1
1
(4 y e x
2
x 1
y2
x 0
) dy 

1
1
(4 ye
1 y 2
 2e 2  2e  (2e 2  2e)  0
Örnek. D  {(x , y) : e  x  e 2 , 2  y  3} olmak üzere,
ln x dA  ?
D
e2
3
e2
e
2
e
ln x dA    ln x dydx  
D

e2
 ln x dx  x ln x  x
e
(y ln x
e2
e
y 3
) dx
y 2

e2
 (3ln x  2ln x) dx
e
 2e 2  e 2  (e  e)  e 2
y2
 4 ye ) dy
Düzgün Bölgeler. Dikdörtgensel bölgeler üzerinde yapılmış olan çift katlı integral tanımının
daha genel bölgelere genişletilmesini düşünmek doğaldır. Bu bağlamda ilk akla gelebilecek
bölgeler düzgün (regüler) bölgelerdir.
m, n fonksiyonlar, a, b reel sayılar, a < b ve her x  [a,b] için m(x) ≤ n(x) olmak üzere
Kartezyen düzlemde
y
D  {(x , y) : m(x)  y  n(x) , a  x  b}
y=n(x)
D
biçiminde ifade edilebilen D bölgesine
bir düzgün x-bölgesi denir.
y=m(x)
Bir düzgün x-bölgesinin görünümü
sağda gösterilmiştir:
(0,0)
a
b
x
Kolayca görülebileceği üzere, her dikdörtgensel bölge bir düzgün x-bölgesidir. Dikdört-gensel
olmayan düzgün x-bölgelerine örnekler vereceğiz.
Örnek. D  {(x , y) : x  y  2 x , 1  x  3}
y
y 2 x
(3,2 3)
D
(1,2)
(3,3)
yx
3
x
(1,1)
(0,0)
1
y
y= x
Örnek. y = x doğrusunun altında,
y = (x-2)2 parabolünün yukarısında bulunan noktaların oluşturduğu bölge bir düzgün x-bölgesidir
ve yandaki şekilde taranarak gösterilmiştir.
(x-2)2 = x  x2 -5x + 4 = 0
 (x-1)(x-4) = 0  x = 1 veya x = 4.
D
(1,1)
(0,0)
(4,4)
1
2
y= (x-2)2
4
x
D  {(x , y) : (x  2)2  y  x , 1  x  4}
r, s fonksiyonlar, c, d reel sayılar, c < d ve her y  [c,d] için r(y) ≤ s(y) olmak üzere Kartezyen
düzlemde
D  {(x , y) : r (y)  x  s(y) , c  y  d }
y
bölgesine bir düzgün y-bölgesi denir.
Bir düzgün y-bölgesinin görünümü sağda
gösterilmiştir:
d
x=r(y)
D
x=s(y)
c
(0,0)
x
Kolayca görülebileceği üzere, her dikdörtgensel bölge bir düzgün y-bölgesidir. Dikdörtgensel
olmayan düzgün y-bölgelerine örnekler vereceğiz.
y2
1
Örnek. D  {(x , y) :  x   y  7 , 2  y  4}
4
2
y
x= -y/2+7
(y=-2x+14)
x= y2/4
(y  2 x )
4
(5,4)
(4,4)
D
2
(0,0)
(1,2)
(6,2)
x
Örnek. x = y2 parabolünün sağında ve y = x-2 doğrusunun solunda bulunan noktaların
oluşturduğu bölge bir düzgün y-bölgesidir ve aşağıdaki şekilde taranarak gösterilmiştir.
y = x-2 , x = y2  y = y2 -2  y2 – y -2 = 0
 (y+1)(y-2) = 0
 y = -1 veya y = 2.
y
(4,2)
2
x= y2
D
x
(0,0)
-1
D  {(x , y) : y 2  x  y  2 ,  1  y  2}
x= y+2
(1,-1)
Dikdörtgensel bölgelerin hem düzgün x-bölgesi hem de düzgün y-bölgesi olarak
düşünülebileceğini belirtmiştik. Dikdörtgensel olmayan bazı bölgeler de hem düzgün
x-bölgesi hem de düzgün y-bölgesi olarak düşünülebilir.
Örnek. y  x in grafiğinin altında ve y=x2 parabolünün yukarısında kalan bölge
x 2  x  x=0 veya x=1
y
Düzgün x-bölgesi olarak
D  {(x , y) : x 2  y  x , 0  x  1}
y x
1
(x  y 2 )
y  x2
D
Düzgün y-bölgesi olarak
(x  y )
D  {(x , y) : y 2  x  y , 0  y  1}
(0,0)
1
x
Düzgün Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegraller. Düzgün bölgeler üzerinde çift katlı integral,
dikdörtgensel bölgeler üzerinde tanımlandığı gibi ardışık (tek katlı) integraller olarak
tanımlanır.
İki değişkenli bir f fonksiyonunun
y
D  {(x , y) : m(x)  y  n(x) , a  x  b}
y=n(x)
biçiminde verilmiş düzgün x-bölgesi
üzerinde integrali ardışık integraller
olarak
D
y=m(x)

D
b
f (x , y)dA  
a

f (x , y) dy  dx

m( x )
 
n( x )
(0,0)
a
b
x
eşitliği ile tanımlanır.Bu tanımda, köşeli parantez içindeki integralin sınırları x değiş-kenine
bağlı ifadeler veya sabitler olup integral hesaplanınca sadece x değişkenine bağlı veya
sabit bir ifade elde edilir. Elde edilen bu ifadenin x değişkenine göre [a,b] kapalı aralığı
üzerinde integrali, f fonksiyonunun D bölgesi üzerinde integralidir.
Her dikdörtgensel bölgenin bir düzgün x-bölgesi olduğunu belirtmiştik. Eğer D bölgesi bir
dikdörtgensel bölge ise, daha önce verilen tanım yeni tanım ile çakışır.
Bundan böyle gösterimlerimizde köşeli parantez kullanmadan
b n( x )
 f (x , y)dA   
a m( x )
D
f (x , y) dy dx
yazacağız. Bir düzgün x-bölgesi üzerinde çift katlı integral hesaplanırken önce y
değişkenine göre sonra da x değişkenine göre integral alındığına dikkat ediniz.
(5x  2y)dA
Örnek. D  {(x , y) : x  y  2 x , 1  x  3} olmak üzere
bulalım.
integralini
D
y
3
2 x
1
x
(5x  2y)dA    (5x  2y)dydx
D

3
 5xy  y
1

 10x

 10x
3
1
3
1
2 y 2 x
yx
y 2 x

dx

(3,2 3)

D
(1,2)
x  4 x  5x 2  x 2 ) dx
3/2
yx
(1,1)
(0,0)

(3,3)
1
 4 x  6 x 2 dx
3
2 5/2
2
3
5/2
2
3 3
 10  x  2 x  2 x  4 x  2 x  2 x
1
5
1
 4  35 / 2  18  54  (4  2  2)  36 3  40.
3
x
Örnek. D  {(x , y) : (x  2)2  y  x , 1  x  4}.
olmak üzere
8 xdA  ?
D
y
4
8 x dA   
( x 2)2
1
D

 8 xy
3
1

 8 x

y= x
x
3
(4,4)
8 xdydx
yx
y ( x 2)2
2
1
1
 512 

(0,0)
 8 x(x  2) dx
3
D
(1,1)
2
  8 x
3
dx

 40 x  32 x dx
2
1
2
4
40 3
  2x 4 
x  16 x 2
3
1
40
40
 64  256  (2 
 16)  512  840  238  90.
3
3
y= (x-2)2
4
x
Düzgün y-bölgeleri üzerinde çift katlı integral aşağıdaki gibi tanımlanır.
İki değişkenli bir f fonksiyonunun
D  {(x , y) : r (y)  x  s(y) , c  y  d },
y
biçiminde verilmiş düzgün y-bölgesi
üzerinde integrali ardışık integraller
olarak

D
f (x , y)dA 

f
(
x
,
y
)
dx
 r (y )
 dy.


d
x=r(y)
D
d  s( y )
 
c
x=s(y)
c
(0,0)
x
eşitliği ile tanımlanır.Bu tanımda, köşeli parantez içindeki integralin sınırları y değişkenine
bağlı ifadeler veya sabitler olup integral hesaplanınca sadece y değişkenine bağlı veya
sabit bir ifade elde edilir. Elde edilen bu ifadenin y değişkenine göre [c,d] kapalı aralığı
üzerinde integrali, f fonksiyonunun D bölgesi üzerinde integralidir.
Her dikdörtgensel bölgenin bir düzgün y-bölgesi olduğunu belirtmiştik. Eğer D bölgesi bir
dikdörtgensel bölge ise, daha önce verilen tanım yeni tanım ile çakışır.
Bundan böyle, dikdörtgensel bölgeler için yaptığımız gibi, düzgün x-bölgeleri için de köşeli
parantezi yazmadan
d
s( y )
c
r (y )
 f (x , y)dA   
D
f (x , y) dx dy
yazacağız. Düzgün y-bölgeleri üzerinde çift katlı integral hesaplanırken önce x değişkenine göre, sonra y değişkenine göre integral hesaplanacağını unutmamalıyız.
y2
1
Örnek. D  {(x , y) :  x   y  6 , 2  y  4}
4
2
4
 (12y) dA   
D
2
1
 y 6
2
(12y) dx dy
y2
4


,
 (12y) dA  ?
D
4
2
1

x   y 6 
12yx y 22  dx
x


4
4
1
y2
 12y( y  6  ) dy  (72y  6y 2  3y 3 ) dy
2
2
2
4
4
3 4
2
3
 36y  2y  y  576  128  192  (144  16  12)  140
4 2

4

Örnek. x = y2 parabolünün sağında ve y = x - 2 doğrusunun solunda bulunan noktaların
oluşturduğu D bölgesi için
 (30 x  12y) dA
D
integralini hesaplayalım. Daha önce görüldüğü üzere, D bölgesi bir düzgün y-bölgesidir.
y
D  {(x , y) : y 2  x  y  2 ,  1  y  2}
2
(4,2)
x= y2

2
 (30 x  12y) dA   
1
D

y 2
y
2
D
(30 x  12y) dx  dy

15x 2  12yx x  y 2  dy
x y2 
1 





 15(y  2)
2
1

2
1
2
x
(0,0)
2
-1
(1,-1)

 12y(y  2)  (15y 4  12y 3 ) dy
(60  84 y  27y 2  12y 3  15y 4 )dy
2
x= y+2
 60y  42y 2  9y 3  3y 4  3y 5  216  (27)  243
1
■
Daha önce bazı örneklerde görüldüğü üzere hem düzgün x-bölgesi hem de düzgün
y-bölgesi olan bölgeler vardır. Bu tür bölgeler üzerinde bazı fonksiyonların integrali hesaplanırken bölgenin düzgün x-bölgesi veya düzgün y-bölgesi olarak
düşünülmesi önem kazanır. Çünkü, bazı durumlarda düzgün x-bölgesi gösterimi
kullanıldığında analitik olarak hesaplanamayan integraller, düzgün y-bölgesi gösterimine geçilince kolayca hesaplanabilmektedir. Benzer şekilde, düzgün y-bölgesi
gösterimi kullanıldığında analitik olarak hesaplanamayan integraller, düzgün
x-bölgesi gösterimine geçilince kolayca hesaplanabilmektedir.
Bir gösterimden diğer gösterime geçmek, çift katlı integralde integral sırasını
değiştirmeye karşılık gelmektedir. Şimdi bu hususun ayrıntıları ve örnekleri
verilecektir.
İntegral Sırasının Değiştirilmesi.Hem düzgün x-bölgesi hem de düzgün y-bölgesi olan
dikdörtgensel bölgeler üzerinde önce hangi değişkene göre hesap yapılırsa yapılsın, ardışık
integralin değerinin değişmediğini görmüş ve dikdörtgensel bölgeler üzerinde çift katlı
integral tanımını bu gözleme dayandırmıştık.
Düzlemde dikdörtgensel olmayan bazı bölgelerin de hem düzgün x-bölgesi hem de düzgün
y-bölgesi olduğunu görmüştük. Bu tür bölgeler üzerinde bir çift katlı integral, söz konusu
bölge düzgün x-bölgesi olarak düşünülse de, düzgün y-bölgesi olarak düşünülse de aynı
değere sahiptir.
Kanıtlanabilir ki, uygun koşullarda eğer
D  {(x , y) : m(x)  y  n(x) , a  x  b}  {(x , y) : r (y)  x  s(y) , c  y  d }
ise

dir.
D
f (x , y) dA 
b n( x )

a m( x )
f (x , y) dy dx 
d
s( y )
c
r (y )

f (x , y) dx dy
Örnek. Aşağıdaki şekilde gösterilen D bölgesi hem düzgün x-bölgesi, hem de düzgün
y-bölgesidir.
D  {(x , y) : x 2  y  x , 0  x  1}
y
y x
(x  y 2 )
D  {(x , y) : y 2  x  y , 0  y  1}
1
 6 xy dA
y  x2
D
D
integralini her iki gösterim için ayrı
ayrı hesaplayalım ve integralin değerinin değişmediğini görelim.
(x  y )
(0,0)
x
1
Düzgün x-bölgesi olarak

6 xy dA 
D
1

0 x
x
2
6 xy dydx 
1
2 y x
0
yx

(3xy
2

1
) dx  (3x  3x ) dx 
2
5
0
x6
x 
2
1

3
0
1
2
Düzgün y-bölgesi olarak

D
6 xy dA 
1

0 y2
y
6 xy dxdy 
1
x y
0
x y2

(3x 2 y

1
) dy  (3y 2  3y 5 ) dy 
0
y6
y 
2
1

3
0
1
2
Örnek. D, y-ekseninin sağında, y = x doğrusunun yukarısında ve y = 1 doğrusunun aşağısında
kalan noktaların oluşturduğu bölge olmak üzere
 e
x y
dA
y
D
integralini hesaplayalım.
y 1
1
D bölgesi yandaki şekilde gösterilmiş
olup hem düzgün x-bölgesi hem de
düzgün y-bölgesidir.
D
x 0
Düzgün x-bölgesi olarak
yx
( x  y)
(0,0)
1
x
D  {(x , y) : x  y  1 , 0  x  1}
 e
x y
dA 
D
1 1
e
0 x
x y
e x y nin y ye göre ters türevi olan bir fonksiyon
dydx
bulunamayacağından bu integrali yazıldığı biçimiyle hesaplamak mümkün değildir.
Düzgün y-bölgesi olarak D  {(x , y) : 0  x  y , 0  y  1} olur ve integral
 e
D
x y
dA 
1 y
e
0 0
x y
dxdy 
1
x y y
0
0
 (ye

1
) dy  (ye  y) dy
0
1
e 1
y2
olarak bulunur.

 (e  1) y dy  (e  1)
0
2
2 0

1
Örnek.
1 1

0 y
2
e x dxdy  ?
Bu integralin verildiği biçimiyle hesaplanması mümkün değildir. Çünkü, notlarımızın
2
kapsamı dahilinde e x nin x e göre ters türevi olan bir fonksiyon yoktur. O halde,
integral sırasını değiştirmeyi düşünmeliyiz. Verilen integralin integrasyon bölgesi bir
düzgün y-bölgesidir:
D  {(x , y) : y  x  1 , 0  y  1}
y
yx
( x  y)
D bölgesinin düzgün x-bölgesi
olup olmadığını görmek için bir
şekil çizmek yararlı olacaktır.
Yandaki şekilde görül-düğü gibi
1
x 1
D
D  {(x , y) : 0  y  x , 0  x  1}
(0,0)
1
y 0
D bir düzgün x-bölgesi dir ve
1 1
e
0 y
x2
dxdy 
1 x
e
0 0
x2
dydx 
1
 (ye
0
x2
x
1
1
1 2
) dx  xe dx  e x  (e  1)
0
0
2
2
0

1
x2
x
Düzgün Olmayan Bölgeler Üzerinde Çift Katlı İntegral. Düzgün olmayan bölgelerin çoğu
düzgün bölgelerin birleşimi olarak ifade edilebilir. Eğer bir bölge düzgün bölgelerin birleşimi
ise ve birleşimi oluşturan düzgün parçaların sınır noktaları dışında ortak noktası yoksa, o
bölge üzerinde bir fonksiyonun (çift katlı) integrali ayrı ayrı düzgün parçalar üzerindeki
integrallerin toplamıdır.
Örneğin, şekilde görüldüğü gibi, D1 ve D2
sınır noktaları dışında ortak noktaları bulunmayan iki düzgün bölge ve D = D1  D2
ise,
y
d
D2
c
D1
 f (x , y) dA   f (x , y) dA   f (x , y) dA
D
olarak tanımlanır.
D1
D2
(0,0)
a
b
x
Örnek. D, y = 2x – 4 doğrusunun ve y = – x +2 doğrusunun yukarısında, y = x doğrusunun
aşağısında kalan noktaların oluşturduğu bölge olmak üzere  (2 x  4 y) dA  ?
D
Önce, tarif edilen integrasyon bölgesinin şekli
y
y
yx
4
D2
D1
(0,0)
2
1
D
4
y  2x  4
4
x
Şekilde görüldüğü gibi, D bölgesi düşey bir doğru parçası
ile her ikisi de düzgün x-bölgesi olan iki parçaya ayrılabilir:
(0,0)
2
2
x
D1  {(x , y) :  x  2  y  x , 1  x  2}
y  x  2
D2  {(x , y) : 2 x  4  y  x , 2  x  4}
 (2x  4y) dA   (2x  4y) dA   (2x  4y) dA
D
D1
D2
y
D1  {(x , y) :  x  2  y  x , 1  x  2}
D2  {(x , y) : 2 x  4  y  x , 2  x  4}
D2
D1
 (2x  4y) dA   (2x  4y) dA   (2x  4y) dA
(0,0)
1

2
4
(2 x  4 y) dA 
D1
x
2
x
1
 x 2

  (2 x
2
(2 x  4 y) dydx 
2
1


(2 x  4 y) dA 
D2
4

x
2 x 4
2


D
D1

2
1
(2 xy  2y 2
x
 x 2
D2
) dx
 2 x 2  (2 x( x  2)  2( x  2)2 ) dx 

2
1
(4 x 2  4 x  8) dx
32
4
28
22
 8  16  (  2  8)   2 
3
3
3
3
(2 x  4 y) dydx 
4
 (2xy  2y
2
4
2 x
2 x 4
) dx
(2 x 2  2 x 2  (2 x(2 x  4)  2(2 x  4)2 ) dx 
2
4

4
2
(8 x 2  40 x  32) dx
8
8
8
448
  x 3  20 x 2  32 x    64  320  128  (  8  80  64)  
 176
3
3
3
3
2

D
(2 x  4 y) dA 

D1
(2 x  4 y) dA 

D2
(2 x  4 y) dA 
22 448
426

 176  176 
 34
3
3
3
Çift Katlı İntegral İle Alan ve Hacim Hesabı.
y
D  {(x , y) : m(x)  y  n(x) , a  x  b}
y=n(x)
D

1 dA 
D
b n( x )

a m( x )

b
y  n( x )
1 dydx  (y y m( x ) ) dx
a
y=m(x)

b
 (n(x)  m(x)) dx
a
(0,0)
a
D bölgesinin alanı   1 dA
x
b
y
D
Örnek. y = x doğrusu ile y = 4x - x2
parabolü arasında kalan bölgenin
alanı
x = 4x - x2  x = 0 veya x = 3.
D
y=x
y=4x-x2
D  {(x , y) : x  y  4 x  x 2 , 0  x  3}
A
(0,0)
3 4 x x2
3
0 x
0
1 dA    1 dydx   (y
D
y 4 x  x
yx
2
) dx
x2 x3
 (4 x  x  x) dx  (3x  x ) dx  3 
0
0
2 3

3
2

3
3
2

0
27 27 27
 
2 3
6
3
4
x
Örnek.
y = x + 1 doğrusu ile xy = 2 eğrisinin
alt tarafında ve y = 1 doğrusunun
yukarısında kalan bölgenin alanı.
x=2/y
y
y=x+1
2
x(x+1)=2  x=-2 veya x=1
(x=y-1)
D
y=1
1
D  {(x , y) : y  1  x 
2
, 1  y  2}
y
(0,0)
A
1
2
2
y 1 dxdy
1 y 1
2
1 dA   
D

2
 (x
1
2
y
) dy
x  y 1
2
 (  (y  1)) dy 
1 y

2
2
2
y2
(  y  1) dy  2 ln y   y
1 y
2
1

2
1
1
 2 ln 2  2  2  (0   1)  ln 4 
2
2
x
Düzlemde bir D bölgesi üzerinde tanımlı, negatif değer almayan iki değişkenli bir f
fonksiyonu için f nin grafiği ile D bölgesi arasında kalan hacim
V
 f (x , y) dA
D
z
formülü ile belirlenir.
yüzeyi ile
z  4  x2  y2
Örnek.
z  4  x2  y2
D  {(x , y) : 1  x  1 ,  1  x  1}
dikdörtgensel bölgesi arasın-da
kalan hacim
V

(4  x 2  y 2 ) dA 
D
1
 
1
1 1
(4  x 2  y 2 ) dxdy
(-1,1,0)
1
x3
 (4 x   y 2 x ) dy
1
3
1

1
(1,-1,0)
x
1
1
 (4   y 2  (4   y 2 )) dy
1
3
3

1
2
 (8   2y 2 ) dy 
1
3

1
1
22
22
y3
40
22 2
22 2
2
(  2y ) dy  y  2
   (  ) 
1 3
3
3 1 3 3
3
3 3

1
y
(1,1,0)
Örnek. Köşeleri (0,0), (2,0) ve (0,1) noktaları olan D üçgeni ile z = 15x3y yüzeyi arasında
kalan hacmi bulalım.
1
D  {(x , y) : 0  y   x  1 , 0  x  2}
2
x=-2y+2
y
V
1
2  x 1
2
15x 3 y dydx
0 0
15x y dA   
3
D
(y=-(1/2)x+1)
(0,1)
D
1
y   x 1
2
3 2
15
 ( x y
0 2

2

2
 (
0


) dx
(0,0)
y 0
15 3 1
x ( x  1)2 ) dx
2
2
215
0
(2,0)
8
 x 3 (x  2)2 ) dx
2
15 2 5
15 x 6
x5
15 32 128
4
3

(x  4 x  4 x ) dx  (  4  x 4 )  ( 
 16)  2
8 0
8 6
5
8
3
5
0

x