ENM503 çokyüzlü kümeler - Anadolu Üniversitesi Endüstri

Fen Bilimleri Enstitüsü
Endüstri Mühendisliği Anabilim Dalı
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
ÇOK YÜZLÜ
DIŞBÜKEY KÜMELER
Hazırlayan:
Doç. Dr. Nil ARAS
AÇIKLAMA

Bu sununun hazırlanmasında, izleyen kitaptan
faydalanılmıştır:
Bazaraa, M.S., Jarvis, J.J. ve Sherali, H.D.,
“Linear Programming and Network Flows”,
3rd Edition, Wiley-Interscience, 2005.
Rastlayabileceğiniz hataların sorumluluğu tarafıma ait
olup, beni haberdar etmenizden memnun olacağımı
ifade ederim.
Doç. Dr. Nil ARAS
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
2
DIŞBÜKEY KÜME (convex set)


Rn’de tanımlı olan bir S kümesinin farklı her iki
noktasının dışbükey bileşimiyle bulunan nokta
(farklı her iki noktayı birleştiren doğru parçası) S
kümesinin bir öğesi ise, S’ye dışbükey küme denir.
∀ Xi, Xj ∈ S, 0 ≤ λ ≤1 iken,
X0 = λXi + (1- λ)Xj,
X1
•
X2
•
•
∀ i ≠j için X0 ∈ S
X1 •
X1
X2
•
dışbükey
X2
içbükey
•
dışbükey
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
3
UÇ NOKTA (extreme point)


Dışbükey bir S kümesinde yer alan
bir X noktası, kümede tanımlı farklı
iki noktanın kesin dışbükey bileşimi
olarak yazılamıyorsa bu noktaya
“uç nokta” denir.
X bir uç nokta ise, X1, X2 ∈S ve λ∈
(0,1) için,
X=λ X1 +(1-λ) X2
eşitliği ancak X= X1=X2 olması ile
gerçekleşir.
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
E
A
•
•
X1 •
•
F
B
•
X2
•
•
•
D
C
A, B, C, D, E
uç nokta
F iç nokta
4
HİPERDÜZLEM VE YARI UZAY
(Hyperplanes and Halfspaces)



P, Rn’de tanımlı ve sıfır olmayan bir vektör; k skaler
bir sayı olmak üzere;
H={X: PX=k}
olarak gösterilen küme, Rn’de H hiperdüzlemi olarak
adlandırılır.
P’ye genellikle, hiperdüzlemin normali veya gradyantı
denir.
R2’de bir doğru, R3’de bir düzlem hiperdüzlemdir.
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
5
Yarı uzay
Yarı uzay
P yönü
Yarı uzay


H: hiperdüzlem

Bir hiperdüzlem Rn’i iki
kısma ayırır ve bu
kısımların herbirine “yarı
uzaylar” denir.
H={X: PX=k} hiperdüzlemi
 {X: PX≤k} yarı uzayı
 {X: PX≥k} yarı uzayı
İki yarı uzayın birleşimi
Rn’i verir.
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
6

Doğrusal programlamada her kısıt uzayı ikiye böler.

Kısıtlar hiperdüzlemlere karşı gelir.

Kısıtların ayırdığı bölgeler yarı uzaylardır.

Uygun çözüm alanı, hiperdüzlemlerin kesişiminden
oluşan yarı uzaydır.
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
7
ÖRNEK :
5X1 + 3X2 = 15
{5X1+3X2≥15}
! X1 #
!" 5 3 #$ %
& = 15
%" X2 &$
P.X = k
H: 5X1+3X2=15
P (kısıtın normali)
{5X1+3X2≤15}
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
8
IŞIN VE YÖN (rays and directions)

X0 bir vektör ve d≠0 olan bir vektör olmak
üzere
{X0+λd: λ≥0}
kümesini oluşturan noktalara “ışın” denir.

X0 vektörü “ışının ucu (köşesi)” ve d vektörü
“ışının yönü” olarak adlandırılır.
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
9
DIŞBÜKEY BİR KÜMENİN YÖNLERİ



Rn’de tanımlı bir S dışbükey kümesi verilsin. Eğer S
kümesinde yer alan her X0 için, {X0+λd: λ≥0, d≠0}
ışını da aynı kümenin içerisinde kalıyorsa, d vektörü
“kümenin bir yönü” olarak adlandırılır.
Bir başka deyişle,dışbükey kümenin içinde yer alan
herhangi bir X0 noktasından başlayarak, d vektörü
yönünde bir λ (λ≥0 ) adımıyla ilerlediğimizde, yine
aynı kümenin içerisinde kalırız.
Dışbükey küme sınırlı (kapalı) ise, yönden
sözedemeyiz.
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
10

S kümesi, Rn’de tanımlı boş olmayan dışbükey bir
küme olsun.
S={X⎜Ax≤b, X ≥ 0}

Sıfır olmayan bir d vektörü, ancak ve ancak
A(X+ λd) ≤b
ve (X+λd) ≥ 0
kısıtları, ∀ X ∈S ve ∀ λ≥ 0 için sağlanıyorsa, S
kümesinin bir yönüdür.
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
11
Yönler kümesi, dışbükey bir küme oluşturur.
S kümesi
X3
•
S’nin yönleri
X2
•
X0
•
•
X1
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
12
DIŞBÜKEY BİR KÜMENİN UÇ YÖNLERİ
(extreme directions)




Açık (sınırsız) dışbükey bir S kümesinde tanımlı bir
yön, yönler kümesinde tanımlı farklı iki yönün
pozitif bileşimi olarak yazılamıyorsa bu yöne “uç
yön” denir.
Kümenin diğer yönleri, uç yönlerin pozitif
bileşimleri (doğrusal bileşimi) ile elde edilebilir.
Her uç yön mutlaka bir uç noktadan başlar.
Dışbükey bir kümedeki bir ışının yönü “uç yön”
ise, bu ışına “uç ışın” (extreme ray) denir.
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
13
yön
ç
U
Yönler kümesi
Uç yön
S kümesi
X3
•
S’nin yönleri
X2
•
X0
Uç ışın
•
•
X1
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
14
DIŞBÜKEY KONİ



orjin
Dışbükey koniler, dışbükey kümelerin önemli bir
sınıfını oluşturur.
Eğer her bir dışbükey C kümesinin elemanı olan her X
vektörü için, λ≥0 olmak üzere
λX ∈C
oluyorsa, C kümesine “dışbükey koni” denir.
λX, bir ışını tarif eder. Dışbükey bir koni, orjinden
başlayan ışınların oluşturduğu dışbükey bir kümedir.
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
15
Dışbükey koniler, uç yönlerle tanımlanabilir.
R3’te
tanımlı dışbükey koni


orjin
Açık bir dışbükey
kümenin sınırlarındaki
vektörler, uç yönleri verir.
Dışbükey kümeler ucu
açık kümeler olduğundan,
bunların uç yönlerle
tariflenmesi mümkündür.
Uç yönlerin negatif
olmayan bileşimleri
dışbükey koniyi oluşturur.
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
16
ÇOK YÜZLÜ KÜMELERİN GÖSTERİMİ

Çok yüzlü bir küme, uç noktalarının dışbükey bileşimi
ile eğer varsa uç yönlerinin negatif olmayan doğrusal
bileşiminin toplamı olarak ifade edilebilir.
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
17
1. Sınırlı büyüklükte çok yüzlü kümeler
(Polytopes)


Eğer kümedeki her X noktası için, ||X||≤k olacak
şekilde bir k sayısı varsa, küme sınırlıdır.
Örnek: 5 yarı uzayın kesişimi olan sınırlı
kümeler
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
18
5 uç nokta: X1, X2, X3, X4, X5
X4
X3
•X
X2

X5
X1
Kümedeki her nokta, 5 uç noktanın dışbükey bileşimi
olarak gösterilebilir.
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
19
•X
X4
X = λY + (1- λ)X4 ; λ ∈(0,1)
X3
•X
X5
Y = µX1+(1- µ)X2 ; µ ∈(0,1)
X=λ[µX1+(1-µ)X2]+(1- λ)X4
X=λµX1 + λ(1-µ)X2 + (1- λ)X4
X= λ1X1 + λ2X2 + λ3X4
✔
X2
Y
X1
(λ1=λµ , λ2= λ(1-µ), λ3=(1- λ) olsun)
λ1, λ2, λ3 ∈(0,1) ve λ1+ λ2 + λ3= 1
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
20
2. Sınırsız büyüklükte çok yüzlü kümeler
(Unbounded polyhedral sets)
X3
•
X2
•
X
•
•
X1
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
21
X3
•
•X
X = Y + µd2 ; µ >0
X2
•
•
X1
Y = λX1 +(1-λ)X3 ; λ∈(0,1)
X= λX1 +(1-λ)X3 + µd2
λ∈(0,1), µ >0
X3
•
X2
•
•
•
d2
X
Y
•
X1
d1
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
22
Teorem




S kümesi, uygun çözüm alanı boş olmayan çok yüzlü
bir küme olsun.
S={X: AX≤b, X≥0}
X1, X2, …, Xk kümenin uç noktaları;
d1, d2, …, dl kümenin uç yönleri olarak tanımlansın.
Bir X noktasının; X1, X2, …, Xk uç noktalarının
dışbükey bileşimi ile d1, d2, …, dl uç yönlerinin
negatif olmayan doğrusal bileşiminin toplamı olarak
yazılabilmesi ANCAK VE ANCAK X∈S olması ile
mümkündür.
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
23
X1, X2, …, Xk kümenin uç noktaları
d1, d2, …, dl kümenin uç yönleri
k
l
j =1
i =1
X = " ! j X j + " µ i di
k
"!
j =1
jj
=1
! j # 0,
j=1,2, ..., k
µi # 0,
i=1,2, ..., l
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
24
ÖRNEK: X noktasını UÇAʼnın uç nokta ve uç yönlerinin
bileşimi olarak gösterin.
[4,6]
•
[2,4] •
X [4,3]
•
•
[4/3,2]
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
25
X = Y + µd1 ; µ >0
Y = λX1 +(1-λ)X3 ; λ∈(0,1)
X1=[4,6]
•
X= λX1 +(1-λ)X3 + µd1
λ∈(0,1), µ >0
X2=[2,4] •
•
Y
•
X3=[4/3,2]
d2 [2/3, 1/3]
d1[1,0]
X [4,3]
•
!4 $
!4 $
! 4 / 3$
!1 $
# 3 & = ' # 6 & + (1 ( ' ) # 2 & + µ # 0 &
" %
" %
"
%
" %
4
)
4 = 4 ' + (1 ( ' ) + µ +
1
'
=
,µ = 2
3
*
4
+,
3 = 6 ' + 2(1 ( ' )
1
3
X = X1 + X 3 + 2d1
4
4
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
26
k
j =1
AX = b
X!0
k.a.
ENKZ = CX
l
j =1
i =1
X = " ! j X j + " µ i di
Uç noktalar ve Eniyilik
"!
k
j
=1
! j # 0, j=1,2,...,k
µi # 0, i=1,2,..., l
k.a.
k
l
j =1
i =1
ENKZ = " (CX j )! j + " (Cdi )µi
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
27
k
l
j =1
i =1
ENKZ = " (CX j )! j + " (Cdi )µi
ENKÜÇÜKLEME amaçlıda µi≥0 olduğundan,
 her i için cdi≥0 ise,
z sonlu bir değere
sahip olur. (karşı gelen µi=0 olarak
seçilebildiğinden)
 bazı i’ler için cdi<0 ise, z  −∞
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
28
k
l
j =1
i =1
ENBZ = " (CX j )! j + " (Cdi )µi
ENBÜYÜKLEME amaçlıda µi≥0 olduğundan,
 her i için cdi≤0 ise,
z sonlu bir değere
sahip olur. (karşı gelen µi=0 olarak
seçilebildiğinden)
 bazı i’ler için cdi>0 ise, z  +∞
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
29
Özetle,

ENKÜÇÜKLEME’de, Cd <0  sınırsız
küçüklükte çözüm vardır.

ENBÜYÜKLEME’de, Cd >0  sınırsız
büyüklükte çözüm vardır.
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
30
!x1 + x2 " 2
ÖRNEK 3.1. (83. sh)
!x1 + 2x2 " 6
x1 , x2 # 0
3 uç nokta
2 uç yön
X3=[2,4]
X2=[0,2]
X1=[0,0]
d2=[2,1]
d1=[1,0]
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
31
Amaç : Enk z= x1-3x2 olsun.
"0 %
CX1 = [1, !3] $ ' = 0
#0 &
"1 %
Cd1 = [1, !3] $ ' = 1
#0 &
"0 %
CX2 = [1, !3] $ ' = !6
#2 &
"2 %
Cd2 = [1, !3] $ ' = !1
#1 &
"2 %
CX 3 = [1, !3] $ ' = !10
#4 &
!1 + !2 + !3 = 1
!1 , !2 , !3 , µ1 , µ2 " 0
k.a.
ENKZ = 0 !1 + (#6)!2 + (#10)!3 + 1µ1 + (#1)µ2
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
32
ENKZ = 0 !1 + ("6)!2 + ("10)! + 1µ1 + ("1)µ2
Cd2<0 ve µ2∞ olduğundan, amaç
fonksiyonu değeri sınırsız küçüklükte
değer alabilir.
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
33
Amaç : Enk z= 4x1-x2 olsun.
"0 %
CX1 = [4, !1] $ ' = 0
#0 &
"1 %
Cd1 = [4, !1] $ ' = 4
#0 &
"0 %
CX2 = [4, !1] $ ' = !2
#2 &
"2 %
Cd2 = [4, !1] $ ' = 7
#1 &
"2 %
CX 3 = [4, !1] $ ' = 4
#4 &
!1 + !2 + !3 = 1
!1 , !2 , !3 , µ1 , µ2 " 0
k.a.
ENKZ = 0 !1 + (#2)!2 + 4 !3 + 4 µ1 + 7 µ2
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
34
ENKZ = 0 !1 + ("2)!2 + 4 !3 + 4 µ1 + 7 µ2
Amaç fonksiyonu sonlu bir değere sahiptir.
Enküçük değer arandığından, µ1=µ2=0 olur.
λ1=λ3=0 ve λ2=1 olduğunda enküçük değer
(-2) olarak elde edilecektir.
(X2 noktası)
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
35
TEMEL UYGUN ÇÖZÜMLER (TUÇ)
AX = b
X!0
k.a.
Enb(Enk)z = CX

Rank (A,b)=Rank(A)=m<n

(n-m) adet değişkene bağlı olarak, parametrik -sonsuz
sayıda -çözüm vardır. m adet değişkenin değeri (n-m) adet
değişkene bağlı olarak bulunabilir.
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
36
B
N
AX = b
X!0
k.a.
Enb(Enk)z = CX
: [mxm] boyutunda tersi alınabilir bir matris /
Temel matris / Temel
(B matrisinin sütunları doğrusal bağımsız olup,
her bir sütunu bir vektör olarak düşünürsek, m
boyutlu uzayda bir taban (temel) oluştururlar)
: [mx(n-m)] boyutunda bir matris /
Temel dışı matris
A = !" B
N #$
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
37
XB
: Temel değişkenler vektörü /
AX = b
X!0
k.a.
Enb(Enk)z = CX
Temel oluşturan vektörlere ait değişkenler /
Bağımlı değişkenler
( m boyutlu sütun vektörü)
XN
: Temel dışı değişkenler vektörü /
Temel oluşturmayan vektörlere ait değişkenler /
Bağımsız değişkenler
( (n-m) boyutlu sütun vektörü)
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
! XB
X=#
#" X N
$
&
&%
38
!1
XB = B b

XB=B-1b ve XN=0 olarak tanımlanan X çözümüne, AX=b
doğrusal denklem sisteminin bir TEMEL ÇÖZÜMÜ denir.

Eğer XB≥0 → X, sistemin bir TEMEL UYGUN ÇÖZÜMÜ olarak
adlandırılır.

Eğer XB>0 → X, sistemin dejenere olmamış
(bozulmamış) bir temel uygun çözümüdür.

Eğer XB vektörünün en az bir öğesi=0 → X, sistemin
dejenere olmuş bir temel uygun çözümüdür.

Temel Uygun Çözüm  Uç nokta
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
39
AX = b
!" B
A = !" B N #$
! XB
X=%
%" X N
#
&
&$
! XB #
&=b
N #$ %
%" X N &$
BX B + NX N = b
BX B + N.0 = b
BX B = b
'1
'1
B BX B = B b
'1
IX B = B b
'1
XB = B b
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
40
ÖRNEK 3.2. (temel uygun çözüm)
x1 + x2 ! 6
x2 ! 3
x1 , x2 " 0


x1 + x2 + x3 = 6
x2 + x 4 = 3
x1 , x2 , x3 , x4 ! 0
m=2, n=4
m=2 değişken temelde, (n-m)=2 değişken
temel dışında
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
41
x1 + x2 + x3 = 6
x2 + x 4 = 3
x1 , x2 , x3 , x4 ! 0
Temel çözüm sayısı ≤
! 1 1 1 0 $
A=#
& = !" a1 a2
" 0 1 0 1 %
a3
!n $
#" m &%
a4 $
%
Temel uygun
çözüm sayısı (XB≥0)
≤ Temel çözüm sayısı
Örnek için temel çözüm sayısı ≤ 6
Temel uygun çözüm sayısı ≤ 6
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
42
! 1 1 1 0 $
A=#
& = !" a1 a2
" 0 1 0 1 %
1.
B=[a1, a2]
2.
B=[a1, a3] 
a3
a4 $
%
Sütunlar doğrusal bağımlı olduğundan
bir temel çözüm olamaz.
3.
B=[a1, a4]
4.
B=[a2, a3]
5.
B=[a2, a4]
6.
B=[a3, a4]
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
43
1.
! 1 1 #
a2 # = %
&
$
0
1
"
$
B = ! a1
"
! x1 #
&
XB = %
%" x2 &$
! x3 #
&
XN = %
%" x4 &$
X B = B !1b "
# 1 !1 & # 6 & # 3 &
XB = %
(%
(=%
(
$ 0 1 '$ 3 ' $ 3 '
#
%
X1 = %
%
%
$
3
3
0
0
&
(
(
(
(
'
# 0 &
XN = %
(
$ 0 '
X1 ) 0 " X1 bir TUÇ
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
44
2.
B = ! a1 a4
"
! 1 0 #
#=%
&
$
0
1
"
$
! x1 #
&
XB = %
%" x4 &$
! x2 #
&
XN = %
%" x3 &$
X B = B !1b "
# 1 0 &# 6 & # 6 &
XB = %
(%
(=%
(
$ 0 1 '$ 3 ' $ 3 '
#
%
X2 = %
%
%
$
6
0
0
3
&
(
(
(
(
'
# 0 &
XN = %
(
$ 0 '
X2 ) 0 " X2 bir TUÇ
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
45
3.
B = ! a2
"
! 1 1 #
a3 # = %
&
$
1
0
"
$
! x2 #
&
XB = %
%" x3 &$
! x1 #
&
XN = %
%" x4 &$
X B = B !1b "
# 1 1 &# 6 & # 3 &
XB = %
(%
(=%
(
$ 0 !1 ' $ 3 ' $ 3 '
#
%
X3 = %
%
%
$
0
3
3
0
&
(
(
(
(
'
# 0 &
XN = %
(
$ 0 '
X 3 ) 0 " X 3 bir TUÇ
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
46
4.
B = ! a2
"
a4
! 1 0 #
#=%
&
$
1
1
"
$
! x2
XB = %
%" x4
#
&
&$
! x1 #
&
XN = %
%" x3 &$
X B = B !1b "
# 1 0 &# 6 & # 6 &
XB = %
(%
(=%
(
!1
1
3
!3
$
'$
' $
'
#
%
X4 = %
%
%
$
0
6
0
!3
&
(
(
(
(
'
# 0 &
XN = %
(
0
$
'
X 44 < 0
X 4 bir temel çözüm fakat TUÇ degil.
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
47
5.
B = ! a3
"
a4
! 1 0 #
#=%
&
$
0
1
"
$
! x3 #
&
XB = %
%" x4 &$
! x1 #
&
XN = %
%" x2 &$
X B = B !1b "
# 1 0 &# 6 & # 6 &
XB = %
(%
(=%
(
$ 0 1 '$ 3 ' $ 3 '
#
%
X5 = %
%
%
$
0
0
6
3
&
(
(
(
(
'
# 0 &
XN = %
(
$ 0 '
X5 ) 0 " X5 bir TUÇ
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
48
!
#
X1 = #
#
#
"
! 0 $
X3 = #
&
3
"
%
3
3
0
0
$
&
&
&
&
%
!
#
X2 = #
#
#
"
6
0
0
3
! 0 $
$
! 0 $
#
&
&
#
&
0
3
&
& X3 = #
& X5 = #
# 6 &
&
# 3 &
# 3 &
&
# 0 &
"
%
%
"
%
! 3 $
X1 = #
&
 " 3 %
! 0 $
X5 = #
&
0
"
%
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler

!6 $
X2 = # &
"0 %
49
ÖRNEK 3.3. (Dejenere olmuş TUÇ)
x1 + x2 ! 6
x2 ! 3
x1 + 2x2 ! 9
x1 , x2 " 0
x1 + x2 + x3
=6
x2
+ x4
=3
x1 + 2x2
+ x5 = 9
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ! 0

m=3, n=7

m=3 değişken temelde, (n-m)=4 değişken temel dışında
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
50
! x1 $ ! 1 1 1 $ '1 ! 6 $ !
$
3
#
& #
& #
&
X B = # x2 & = # 0 1 0 & # 3 & = # 3 &
#
&
# x & #" 1 2 0 &% #" 9 &% # 0 &
"
%
" 3 %
! 0 $
#
&
3
"
%
! 0 $
#
&
0
"
%
5 kısıt var fakat 5 uç
nokta yok.
3. Kısıt gereksiz
olduğundan, 4 uç
nokta oluşmuş.
Dejenere çözümün
ortaya çıkmasında
gereksiz kısıt bir
etkendir ama her
zaman sebep bu
olmayabilir.
! 3 $
#
&
3
"
%


!6 $
#0 &
" %
ENM503 Doğrusal Programlamada İleri Teknikler
51