Diferansiyel Denklemler I Arasınav Hazırlık
advertisement
İ.Ü. Fen Fakültesi Matematik Bölümü Diferansiyel Denklemler I (örgün‐i.ö) Ekim.2014 Ödevler 1-3 Çalışma Soruları 1-2 Arasınav Hazırlık Soruları Hazırlayan: Yrd.Doç.Dr. Serkan İLTER http://aves.istanbul.edu.tr/ilters/dokumanlar Diferansiyel Denklemler I Ödev Soruları –1 03.10.2014 A. Aşağıda özellikleri verilen eğri ailelerinin diferansiyel denklemlerini oluşturunuz! x 1. Herhangi bir A( x, y ) noktasındaki teğet doğruları: Ox eksenini ( , 0) noktasında 2 kesiyor. 2. Herhangi bir noktasındaki teğetinin koordinat eksenlerinden ayırdığı parçaların uzunlukları çarpımı: değme noktasının apsisinin karesine eşit. 3. Merkezleri y = 2 x doğrusu üzerinde bulunan ve yarıçapları 2 ye eşit olan çemberler ailesi. 4. Herhangi bir noktasında çizilen teğetlerin uzunlukları: sabit bir a sayısına eşit 5. Herhangi bir noktasındaki teğet-altı uzunluğu: bu noktanın koordinatlarının aritmetik ortalamasına eşit. 6. Odakları orjin ve köşe noktaları Ox üzerinde olan paraboller ailesi. 7. y 2 = 2 x parabolüne teğet olan doğrular ailesi. 8. cy = sin cx 9. y = x tan( x + c ) 10. ( x - a)2 + by 2 = 1 B. Aşağıdaki dif. denk.ler için izoklin eğrilerini belirleyip ek olarak istenilenleri elde ediniz! 1. y ¢ = x 2 + 4 y 2 , k = 1, 4 değerlerine karşılık gelen izoklin eğrilerini çizip, üzerinde yönleri belirtiniz. 2. y ¢ = y , izoklin yöntemini kullanarak ( k = -2, -1, 0,1, 2 alıp yönleri belirleyerek); denklemin çözümlerini belirlemeye çalışınız! C. Aşağıda verilen fonksiyonların, yanlarında yazılı aralıklarda (her bir fonks. ve aralık için) diferansiyel denklemlerin çözümü olup olmadıklarını araştırınız! 1. y = x + . x2 , (-¥, ¥) , y ¢ = 1 + .y - x . 4. 2. x 2 + y 2 = 0 , (-1,1) , yy ¢ = -x . . 3. x 2 - y 2 = 0 , (-1,1) , yy ¢ = x . . S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters 1/39 4. n 2 y p p - tan x = 0 , (0, ) , ( , p ) , y = y ¢ cos 2 x.ny . 2 2 2 5. x 2 y ¢ = 1 denkleminin (-1,1) de çözümü var mı? . S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters 2/39 Diferansiyel Denklemler I Ödev Soruları –2 3/39 15.10.2014 A. Aşağıda verilen denklemlerin; “hangi tip denklem olduklarını (nedenleri ile belirterek) belirleyiniz! “yanlarında koşul var ise, istenen koşulu sağlayan çözümünü”, “koşul yok ise, tüm çözümlerini (genel çözüm ve varsa tekil çözümlerini) çözümün geçerli olduğu değişkenlerin tanım aralıklarını da vererek” bulunuz. 10. 3 y 2 y ¢ +16 x = 2 xy3 1. (1 + e- x )dy - ( y 2 -1) dx = 0 “ x +¥ iken y ( x) sınırlı” 2. y ¢ = 3( y +1) + 2 x 11. 3. x 2 y ¢ + 2 = x 2 y 2 4. x 2 y ¢ - cos 2 y = 1 , y (+¥) = 9p 4 12. y 2 -1 dx + xy dy = 0 . . x - xy ¢ = 1 , y (p / 2) = 0 sin( x - y ) 5. y ¢ - xy + xy3 = 0 , y (0) = 1/ 2 13. ( y + .xy .).dx = xdy é ù y 6. ê x cos 2 ( ) - y ú dx + xdy = 0 êë úû x 14. y - xy ¢ = y'n. 7. tan x.dy - yny.dx = 0 15. y ¢ = 8. 3 y 2 y ¢ +16 x = 2 xy3 16. y - 2 x +1 9. y ¢ = 2 y - x -1 x y x+ y x- y 2 xyy ¢ - y 2 = .x 6 - y 4 3 B. Aşağıda verilen p ( x, y ) dx + q ( x, y ) dy = 0 denklemleri için, ilk aşama olarak p = u , q = v dönüşümü yaparak, son halde denklemi “değişkenlerine ayrılabilir” şekle getiriniz! 1. p = x + a , q = y + bx 2. p = y - 2 x + 1 , q = x - 2 y +1 3. p = x+ y, 4. p = x + ay -1 , q = x- y q = y + bx + 1 C. Aşağıda istenilenleri elde ediniz! (denklem çözümü öncesinde; oluşturduğunuz denklemde eğer var ise, mutlak değerleri göz ardı edebilirsiniz!) 1. A(0,1) noktasından geçen ve herhangi bir noktasındaki teğet-altı uzunluğu: bu noktanın koordinatlarının aritmetik ortalamasına eşit olan eğriyi bulunuz. 2. A(1,1) noktasından geçen ve herhangi bir noktasındaki teğetinin Oy ekseninden ayırdığı parçanın uzunluğu: değme noktasının apsisinin karesine eşit olan eğriyi bulunuz. S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters 3. A(e,1) noktasından geçen ve herhangi bir noktasındaki teğetinin Ox ekseninden ayırdığı parçanın uzunluğu: değme noktasının ordinatının iki katına eşit olan eğriyi bulunuz 4. Orjinden geçen bir eğrinin, herhangi bir A( x, y ) noktasından koordinat eksenlerine paralel doğrular çizilerek iki parçadan oluşan bir dikdörtgensel bölge meydana getirilmektedir. Öyle bir eğri ailesi bulunuz ki, her bir eğri için dikdörtgensel bölgenin bir parçasının alanı, diğer parçasının alanının üç katı olsun. Bölüm sonu beklenen kazanımlar: Farklı denklem türlerini (sorularda tür ve çözüm hakkında herhangi bir yönlendirme yapılmaksızın); kısa sürede tespit etme (denklemleri sınıflandırabilme)! Geometrik özellikleri kullanabilme! Çözüm kavramlarını (Genel çözüm-Tekil çözüm) algılayabilme, çözümün geçerli olacağı aralıkları tespit edebilme! “Başlangıç koşulları” veyahut “farklı şekillerde verilen koşullar” yardımıyla denklemin istenilen özel çözümlerinin tespit edilebilmesi! Denklem çözümleri için; aranan fonksiyon ve bağımsız değişkene göre (herhangi bir yöntemi ezberlemeden) dönüşümler yapabilme, uygun dönüşümleri araştırabilme! S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters 4/39 Diferansiyel Denklemler I Ödev Soruları –3 5/39 29.10.2014 A. Aşağıda verilen denklemlerin; “hangi tip denklem olduklarını (nedenleri ile belirterek) belirleyiniz!” “yanlarında m = m( x, y ) integrasyon çarpanı var ise önce tam dif. hale getirilerek” “yanlarında koşul var ise, istenen koşulu sağlayan çözümünü”, “koşul yok ise, tüm çözümlerini (genel çözüm ve varsa tekil çözümlerini) çözümün geçerli olduğu değişkenlerin tanım aralıklarını da vererek” bulunuz. 1. x 2 dy + ( xy - tan xy) dx = 0 10. y ¢ + 2(cot x) y = cos x 2. ( x - 3 y ).dx - x.dy = 0 11. xy ¢ - 3 y = x 3 + x 2 3. y ¢ + (cos x) y = 3sin x cos x 12. ( x 2 + y 2 + x) dx + xy dy = 0 4. sin x cos y.dx + cos x sin y.dy = 0 , y x 13. (2 y + ).dx + (2 x + ).dy = 0 , m = m ( xy ) x y . y (p ) = p / 4 . 1 1 5. ( ye xy - ).dx + ( xe xy - ).dx = 0 y x 14. y ¢ + 6. ( x - 2 y ).dx + y.dy = 0 , m = m ( x - y ) 15. 7. y ¢ 8. . sin 2 y = - sin 2 y 2x ( x2 + y 2 + x sin x) dx + y sin x dy = 0 .. 16. (cos x cos y - cot y ).dy - (sin x sin y ).dx = 0 2 1 y= sin 2 x sin x 17. ( x - sin y ).dy + y.dx = 0 2 (2 x + tan y).dx + ( x - x tan y).dy = 0 1 9. ( xy 2 - nx).dx + ( x 2 y + ).dy = 0 y 18. 2 yy ¢ = nx + y2 y + - y¢ x. x B. Aşağıdaki denklemleri, belirlediğiniz uygun hipotezler altında, bir diferansiyel denklem problemine dönüştürerek çözümlerini bulunuz. ..x 1 y (t ) .dt 1. y = x 4 + 2 . 2 t ò 3. 1 .. y 2. x = y - ò e x (t ) . .dt tn.t S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters ..x ..x 0 0 ò .( x - t ) y(t ).dt = 2 x + ò . y(t ).dt ..x 4. 2 ò y = x + 2 .x.dt 0 C. 1. Bir y ¢ + p( x) y = q( x) lineer diferansiyel denklemin y.1 ve y.2 ( y.1 ¹ y.2 ) gibi iki özel çözümü bilindiği taktirde (hiç integral işlemi yapmadan) genel çözümün 6/39 bulunabileceğini gösteriniz. 2 2. C1 den yararlanarak y.1 = 1 y.2 = 1 + e- x özel çözümleri verilen lineer diferansiyel denklemi ve bu denklemin genel çözümünü bulunuz. 1 1 x dx + ( - . k ).dy = 0 denkleminin tam diferansiyel denklem olabilmesi için y y .xy uygun k sayısını belirleyiniz. Bu k sayısı için tam diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. D. 1. 2. a ve b nın hangi değerleri için y ¢ = axa + by b denklemi y = z m dönüşümü yardımıyla bir homojen diferansiyel denklem haline getirilebilir? 3. a ve b nın hangi değerleri için m = xa y b ; (2 x 4 y 2 + 3x) dy + ( x3 y 3 - y) dx = 0 denkleminin (tam diferansiyel hale getiren) bir integrasyon çarpanı olur? . S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters . 7/39 Diferansiyel Denklemler I Çalışma Soruları –1 18.10.2014 A. Aşağıda istenilenleri elde ediniz! 1. A (1, -1) noktasından geçen ve herhangi bir noktasında teğetinin ordinat ekseninde ayırdığı parçanın uzunluğu, değme noktasının apsisine eşit olan eğriyi bulunuz. (Not: oluşturduğunuz denklemdeki mutlak değeri göz ardı edebilirsiniz). . 2. ny = ax + by eğri ailesinin diferansiyel denklemini oluşturunuz. B. Aşağıda verilen denklemlerin; “hangi tip denklem olduklarını (nedenleri ile belirterek) belirleyiniz! “yanlarında koşul var ise, istenen koşulu sağlayan çözümünü”, “koşul yok ise, tüm çözümlerini (genel çözüm ve varsa tekil çözümlerini) çözümün geçerli olduğu değişkenlerin tanım aralıklarını da vererek” bulunuz. 1. xy ¢ = e. y + 2 y ¢ 2. ( x - 3 y ) dx + (2 y - 3 x) dy = 0 . 3. y ¢ = . y 8. y ¢ = 4. x - y +1 9. x - xy ¢ = 1 , y (1) = 1 cos( x - y ) 10. ( x + y ) dx + (3 x + 3 y -1) dy = 0 x - xy . . . 4. y ¢ + (1- y 2 ) tan x = 0 5. ( x + 2 y + 7) y ¢ + 2 x - y + 4 = 0 . 7. y ¢ = x e .. x 12. y = 1 + ò . 1 6. ( x + y )2 y ¢ = 1 2 y-x 3 11. ( x + y ) y ¢ = x - y t - y (t ) .dt t + y (t ) (önce bir dif.denk. problemine dönüştürünüz!) , i) y (0) = 0 , ii) y (+¥) = 0 S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters 13. x 2 y 2 y ¢ + xy 3 = -1 Not: Çözümler-Yol göstermeler kontrol amaçlıdır, yazım hatası - eksiklikler vs.. olabilir.. kendi çözümlerinizle mutlaka karşılaştırınız.. 8/39 Çözümler… (son güncelleme : 17.10.2014) A1. ……………………… Önbilgi: y = y ( x) eğrisinin M ( x, y ) noktasındaki Teğet Denklemi ( ( X , Y ) teğet üzerindeki keyfi nokta) ü ï ï ï ï ï ï : Y - y = y ¢( X - x) Teğetinin ordinat ekseninde ayırdığı parçanın uzunluğu denklemde X = 0 yazılarak (yani Y = y - y ¢x ), x-ekseninde ayırdığı parçanın uzunluğu Y = 0 yazılarak (yani X = x y¢ bulunabilir. Ek olarak, “Teğet-altı uzunluğu: ” ; ”Teğet uzunluğu: y . . y ), y¢ æ y ¢ ö÷2 y + çç ÷÷ ” şeklinde çè y ø÷ 2 . bulunacaktır (Şekil üzerinde gözlemleyiniz!) ……………………… Y = y - y ¢x , bu da değme noktasının apsisine eşit olacak yani Y = x Y = y - y ¢x . üïï ïï . Y=x y - y ¢x = x , x > 0 . y¢ = . y -1 (homojen denklem) x y = cx - xn x [Genel Çözüm ] bulunacaktır (İnceleyiniz!) . A(1, -1) noktasından geçtiğine göre: . y (1) = -1 yani x = 1 için y = -1 üï ...ï genel çözümden: -1 = c -n 1 ïï O halde istenilen çözüm : S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters . y = -x (1 + n x) . c = -1 A2. Amacımız verilen eğri ailesini genel çözüm kabul eden dif. denk. i belirlemek olduğundan; eğri ailesinde iki keyfi sabit olması sebebiyle, “ikinci mertebe adi dif. denk.” 9/39 elde etmeye çalışacağız! ny = ax + by x -e göre türev x -e göre türev üï ïï ïï ïï ïï ï (i) y¢ = a + by ¢ y (ii) . y ¢¢ y ¢ 2 = by ¢¢ (iii) y y . .. ny = ax + by = ( ( i ) den 1 y¢2 b= y - 2 y y ¢¢ ( iii ) den . .. y¢ y¢ y¢ y ¢3 y ¢3 ¢ a = + by = + = y y y y 2 y ¢¢ y 2 y ¢¢ ( ii ) den . . . .. .. y ¢3 1 y ¢2 + x ) ( )y y y 2 y ¢¢ y 2 y ¢¢ . .. .. y 2 y ¢¢ny = xy ¢3 + y 2 y ¢¢ - yy ¢ 2 2 her iki taraf y y ¢¢ ile çarpılırsa y 2 y ¢¢(1- ny ) = y ¢ 2 ( xy ¢ - y ) B1. (Değişkenlerine Ayrılabilir denklem) xy ¢ = e. y + 2 y ¢ .- y òe . .dy = ò . 1 .dx , x ¹ 2 x-2 -e.- y = (n x - 2 ) + c . . . [Genel Çözüm ] I : x¹2 B2. (Homojen denklem) p dx + q dy = 0 yazımından; p ( x, y ) = x - 3 y , q ( x, y ) = 2 y - 3 x fonksiyonları 1.mertebeden . . homojendirler (gözlemleyiniz!). y 1- 3( ) x -3y x = ( x - 3 y ) dx + (2 y - 3 x) dy = 0 y ¢ = 2 y - 3 x 2( y ) - 3 x . . S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters ü ï ï ï ï ï ï y = u , . y = xu , u = u ( x ) x y¢ = 1- 3u 2u - 3 y ¢ = u + xu ¢ = x -e göre türev 1- 3u 2u - 3 10/39 1- 3u -u 2u - 3 xu ¢ = 2u - 3 1 du = dx ò 2 x u 1 2 ò . . .. . ( x ¹ 0, u 2 ¹ =.I 1 I1 integralini hesaplayalım: 2u 1 I1 = ò .du - 3 ò .du 2 - - 1 2u 1 2u 2 . . =.I =.I 2 3 1 I 2 = - n 1- 2u 2 + k1 2 . 1 I3 için I3 = = 1- 2u 2 1 n 2 2 . . 1/ 2 1/ 2 + gözleminden, 1- 2u 1 + 2u 1 + 2u + k2 olduğu kolayca görülür. 1- 2u . 1 3 1 + 2u I1 = I 2 - 3I 3 = - n 1- 2u 2 n + k1 + k2 2 2 2 1- 2u . 1 2 - n 1- 2u 2 . . 3 2 2 n . ( ) 2u ö÷ 2 ÷ çç1- 2u ÷÷ è ø . æ ç ççç1- 2 è .x 2 u = y2 x 2 = . . . . . = cx ÷÷÷ ø÷ I : x ¹ 0, y ¹ 2 . . 3 1æ 1+ 2 ö- 2 ç 2y ÷ ç y u= idi x . 1 + 2u = n x + n c 1- 2u 1 - æ1 + 1- 2u 2 2 çç . - yö 2 ÷÷÷ ç x ÷÷ ççç y ÷÷ çç1- 2 ÷÷ è xø 1 x 2 1 için çözüm araştırması: 2 S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters 3 2 2 = cx [Genel Çözüm ] 1 ) 2 y2 x 2 = 1 1 y= x 2 2 bulunur, bu eğriler diferansiyel denklemi sağlar (gözlemleyiniz!) dolayısıyla denklemin bir çözümüdür. Genel çözüme dikkat edilirse, y = 1 x çözümünün 2 1 x çözümünün denklemin bir Tekil-Çözümü 2 denklemin bir Özel-Çözümü iken, y = olduğu görülür (gözlemleyiniz!). B3. (Homojen denklem) p dx + q dy = 0 yazımından; p( x, y ) = - y , q( x, y ) = x - xy fonksiyonları 1.mertebeden . . . homojendirler (gözlemleyiniz!). y ¢ = y = x - xy . ü ï ï ï ï ï ï y = u , . y = xu , u = u ( x ) x u y¢ = 1- u . y/x 1- y / x . y ¢ = u + xu ¢ = x -e göre türev u 1- u . xu ¢ = u -u 1- u . 1- u 1 du = ò dx x u u ò . . . .. . =.I 1 I1 integralini hesaplayalım: 1 I1 = ò . u u .du - ò . = ò u-3/ 2 du - ò . . . . 1 .du u 1 .du u 2 - n u + k1 u. =- . . . . - 2 - n u = n x + n c u. . . . . . . . . - . . - y u= idi x 2 = n cy y / x. I : x ¹ 0, y ¹ 0 S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters . . . . . . 2 = n cxu u. . . [Genel Çözüm ] . ( x ¹ 0, u ¹ 0 ) 11/39 u= y = 0 y = 0 için çözüm araştırması: x 12/39 y = 0 diferansiyel denklemi sağlar ( x ¹ 0 ) (gözlemleyiniz!) dolayısıyla denklemin bir çözümüdür. Genel çözüme dikkat edilirse, bu çözümün denklemin bir Tekil-Çözümü olduğu görülür (gözlemleyiniz!). B4. (Değişkenlerine Ayrılabilir denklem) y ¢ + (1- y 2 ) tan x = 0 ò 1 dy = -ò tan x dx ( y 2 ¹ 1 , x ¹ (2n - 1)p / 2 , n = 0, 1,... ) 1- y =.I 2 . . .. . =.I 2 1 1 1+ y I1 = n + k1 , I 2 = n cos x + k2 bulunur 2 1- y I1 ve I 2 integrali hesaplanırsa: . . . . . . (inceleyip, ara işlemleri yapınız!). 1 1+ y 1 = n cos x + n c n 2 1- y 2 1+ y = c cos 2 x 1- y . . . . . y= . . . -1 + c cos 2 x .1 + c cos 2 x . [Genel Çözüm ] I : y 2 ¹ 1 , x ¹ (2n -1)p / 2 , n = 0, 1,... y 2 = 1 y = 1 için çözüm araştırması yapınız! B5. (Homojen hale getirilebilen denklem) I.yol : y ¢ = -2 x + y - 4 , .x + 2 y + 7 -2 x + y - 4 = 0 x + 2y +7 = 0 ü ï ï ï ï -2 ¹ 2 doğruları kesişirler. Dikkat edilirse, Kesişim Noktası: (-3, -2) dir. Orjin: (-3, -2) ye taşınırsa (ötelenirse), yani “denklem için x = x + 3 , dönüşümü yapılırsa”, denklem: Homojen hale gelecektir. S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters y = y+2 ü ï ï ï ï x = x +3 , y = y + 2 y = y(x ) dx = dx , dy = dy y = u , . y = xu , u = u (t ) x y¢ = -2 + u 1 + 2u dy -2 x + y -2 + ( y / x ) = = dx x + 2y 1 + 2( y / x ) ü ï ï ï ï ï ï y ¢ = u + xu ¢ = x -ye göre türev xu ¢ = (Homojendir,gözleyiniz!) -2 + u 1 + 2u -2 + u -u 1 + 2u 1 1 + 2u 1 = du dx ò ò 2 2 x 1 u + . . .. . (x ¹0) =.I 1 1 1 I1 integrali hesaplanırsa: I1 = arctan u + n (1 + u 2 ) + k1 bulunur (inceleyip, ara işlemleri 2 2 . yapınız!). 1 1 1 arctan u + n (1 + u 2 ) = -n x + c 2 2 2 . . . . arctan u + n (1 + u 2 ) = -2n x + c . . . . æ y + 2 ö÷ æ y + 2 ö÷2 ç + n (1 + çç arctan ç ) = -2n x + 3 + c çè x + 3 ÷÷ø çè x + 3 ÷÷ø . y y +2 u= = idi x x +3 . I : x ¹ -3 II.yol : (2 x - y + 4) dx + ( x + 2 y + 7) dy = 0 , . =u =v S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters . . [Genel Çözüm ] 13/39 üïï ïï du = 2dx - dy dv = dx + 2dy 5dx = 2du + dv , 5dy = -du + 2dv (denklemde yerine yazalım) 14/39 u (2du + dv) + v (-du + 2dv) = 0 . (2u - v)du + (u + 2v)dv = 0 . (Homojendir,gözleyiniz!) Şimdi u = tv dönüşümü yapalım. du = vdt + tdv (denklemde yerine yazalım) (2vt - v)(vdt + tdv) + (vt + 2v) dv = 0 v 2 (2t -1)dt + 2v(t 2 + 1)dv = 0 . 2t -1 2 2 v dt + dv = 0 (Değiş.Ayrılabilir) ( v ¹ 0 ) elde edilir 2 v t +1 (geri kalan integral hesabı I.yol ile aynı, tamamlamak okuyucuya bırakılmıştır!) B6. ( y ¢ = f (ax + by + c) formatında Değişkenlerine-Ayrılabilir hale getirilebilen denklem) Denklem, x + y = u dönüşümü ile Değişkenlerine Ayrılabilir hale getirilebilir: üïï ïï x + y = u , u = u ( x) 1 y¢ = . u2 u2 du = dx 1+ y¢ = u¢ 2 u + 1 1 . x -e göre türev = .u 2 .. ò u2 du = ò dx 2 u 1 + . . .. =.I 1 I1 integrali hesaplanırsa: I1 = u - arctan u + k1 bulunur (inceleyip, ara işlemleri yapınız!). u - arctan u = x + c x + y - arctan( x + y ) = x + c u= x+ y idi I : -¥ < x < ¥ B7. (Değişkenlerine Ayrılabilir denklem) y ¢ = x 2e y e-x 3 .- y òe . .dy = ò x 2e- x .dx 3 . S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters [Genel Çözüm ] -e.- y = - 1 -x 3 e +c 3 [Genel Çözüm ] 15/39 I : -¥ < x < ¥ Şimdi denklemin verilen koşulundan sağlayan çözümünü bulalım. ü y (0) = 0 ï 1 2 ...ï genel çözümden: -1 = - + c c = ï yani x = 0 için y = 0 ï 3 3 Benzer şekilde, y (+¥) = 0 dan -e0 = - 1 -¥ 3 e + c c = -1 ¥ 3 æ1ö =ççç ÷÷÷ =0 èeø O halde i) için, istenilen çözüm : O halde ii) için, istenilen çözüm : 3e.- y = 2 + e- x 3 3e.- y = 3 + e- x 3 B8. ( y ¢ = f (ax + by + c) formatında Değişkenlerine-Ayrılabilir hale getirilebilen denklem) Dikkat: x - y + 1 = u dönüşümü yapmaktansa, kareköklü ifadeden ötürü kolaylık olsun diye bu sefer x - y +1 = u 2 dönüşümü yapalım: ( bu dönüşümü yaparken denklemin yalnızca x - y + 1 ³ 0 durumunda tanımlı olduğuna da dikkat ediyoruz) . . x - y +1 = u 2 , u = u ( x ) y ¢ = 4u üïï ïï x -e göre türev 1- y ¢ = 2uu ¢ 1- 4u = 2uu ¢ = 4 u .. 2u du = dx ò 1 4u ò . . .. (u ¹ 1 ) 4 =.I 1 I1 için: 2u 1 1/ 2 =- + 1- 4u 2 1- 4u u 1 gözleminden, I1 = - - n 1- 4u + k1 olduğu kolayca 2 8 . görülür. u 1 - - n 1- 4u = x + c 2 8 S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters . . …(B8-1) . bulunur x - y +1 = u 2 idi u = x - y +1 değerinin (B8-1) de yerine yazılmasıyla Genel Çözüm elde edilir (I : x - y + 1 ³ 0 , y ¹ x + . u = x - y +1 = x - y +1 = 1 4 . 15 ). 16 16/39 1 için çözüm araştırması: 4 y = x+ den 15 16 bulunur, bu eğri diferansiyel denklemi sağlar (gözlemleyiniz!) dolayısıyla denklemin bir çözümüdür. Genel çözüme dikkat edilirse, bu çözümün denklemin bir tekil- çözümü olduğu görülür (gözlemleyiniz!). B9. ( Özel-formda Değişkenlerine-Ayrılabilir hale getirilebilen denklem) x - xy ¢ = cos( x - y ) x(1- y ¢) = cos( x - y ) olduğundan dikkat edilirse, x - y = u , u = u ( x ) dönüşümü yapıldığında x - y = u ifadesinin x-e göre türevi 1- y ¢ = u ¢ olacağından denklem xu ¢ = cos u değişkenlerine ayrılabilir hale gelir : x(1- y ¢ ) = cos( x - y ) =.u.. =.u ¢.. xu ¢ = cos u 1 du = ò òcos u . . .. 1 dx x . ( cos u ¹ 0 ) =.I 1 I1 = n n . . 1 + tan u + k1 bulunur (inceleyip, ara işlemleri yapınız!). cos u . 1 + tan u = n. x + n.c cos u . . . 1 + tan u = cx cos u 1 + sin u = cx cos u bulunur. 1 + sin( x - y ) = cx cos( x - y ) [Genel Çözüm ] u= x- y idi I : x ¹ 0 , y ¹ x - (2n -1)p / 2 , n = 1, 3, 5... S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters u = x - y = (2n -1)p / 2 ( n = 0, 1,... ) y = x - (2n -1)p için çözüm araştırması: 2 Bu eğri diferansiyel denklemi sağlar (gözlemleyiniz!) dolayısıyla denklemin bir çözümüdür. Genel çözüme dikkat edilirse, n = 0, 2, 4... için y = x çözümleridir; n = 1, 3, 5... için y = x- (2n -1)p : denklemin özel2 (2n -1)p : denklemin tekil- çözümleridir 2 (gözlemleyiniz!). B10. ( y ¢ = f (ax + by + c) formatında Değişkenlerine-Ayrılabilir hale getirilebilen denklem) y¢ = - x+ y . Denklem, x + y = u dönüşümü ile Değişkenlerine Ayrılabilir hale 3( x + y ) -1 . getirilebilir: ü ï ï ï ï x + y = u , u = u ( x) u y¢ = 3u -1 . x -e göre türev 1 + . y¢ =- 3u -1 du = dx 2u -1 = u¢ . u .3u-1 3u -1 du = dx ò 2u -1 ò . . .. ( u ¹ 1/ 2 ) =.I 1 I1 integrali hesaplanırsa: 3 1 I1 = u + n 2u -1 + k1 2 4 . . . bulunur (inceleyip, ara işlemleri yapınız!). 3 1 u + n 2u -1 = x + c 2 4 u = x+ y idi . 3 1 ( x + y ) + n 2 x + 2 y -1 = x + c 2 4 I : y ¹ -x + u = x+ y = . . . 1 2 1 1 y = -x + için çözüm araştırması: 2 2 S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters [Genel Çözüm ] 17/39 Bu eğri diferansiyel denklemi sağlar (gözlemleyiniz!) dolayısıyla denklemin bir çözümüdür. Genel çözüme dikkat edilirse, bu çözümün denklemin bir tekil- çözümü olduğu görülür 18/39 (gözlemleyiniz!). B11. (Homojen denklem) p dx + q dy = 0 yazımından; p ( x, y ) = y - x , q ( x, y ) = x + y fonksiyonları 1.dereceden . . homojendirler (gözlemleyiniz!). y ¢ = ü ï ï ï ï ï ï y = u , . y = xu , u = u ( x ) x y¢ = 1- u 1+ u x - y 1- y / x = x + y 1+ y / x y ¢ = u + xu ¢ = x -e göre türev xu ¢ = 1- u 1+ u 1- u 1+ u 1 - u -ò 2 du = ò dx 1+ u x u + 2u -1 . . .. . ( x ¹ 0 , u 2 + 2u ¹ 1 ) 1 2 1 2 - n u 2 + 2u -1 = n x - n c . . . u 2 + 2u -1 = y u= idi x . . . .. . . c x2 y 2y c ( ) 2 + -1 = 2 x x x [Genel Çözüm ] I : x ¹ 0 , y 2 + 2 xy ¹ x 2 B12. (Belirli integral içeren denklemi: bir dif. denk. problemine dönüştürme) Uygun koşullar altında, aşağıdaki özellik geçerlidir. Bu koşulları belirlemek ise okuyucuya bırakılmıştır (“İntegral Hesabın Temel Teoreminin 1.kısmından” yararlanabilirsiniz!), (dolayısıyla belirlemeden aşağıdaki özelliği kullanma hakkına sahip değilsiniz!) .. x “ y ¢ = f ( x, y ) , y ( a ) = b ” “ y = b + ò . f (t , y (t )).dt ” a S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters .. x y = 1+ ò . 1 t - y (t ) x- y , y (1) = 1 ” .dt “ y ¢ = x+ y t + y (t ) 19/39 B11 deki denklem için, bir Başlangıç-Değer problemidir. y 2y c Genel Çözüm: ( )2 + -1 = 2 idi. x x x y (1) = 1 yani x = 1 için y = 1 ü ï 12 2 c ...ï genel çözümden: ( ) + -1 = 2 ïï 1 1 1 c=2 y 2 + 2 xy - x 2 = 2 O halde istenilen çözüm : Not: Çözümün, çözüme başlarken bahsedilen uygun koşulları sağladığı gözlemlenmeli, aksi halde çözüm olamayacaktır! B13. (Genelleştirilmiş Homojen denklem) F ( x, y , dx, dy ) := x 2 y 2 dy + ( xy 3 + 1) dx = 0 dy t k-1dy , y tk y , x tx , dx dx F (tx, t k y , dx, t k -1dy ) = t 0 F ( x, y , dx, dy ) yazımları yapıldığında, eşitliği sağlanır k =- y -1 / 3 x , . y = x-1/ 3u , u = u ( x) y¢ = = -1- xy 3 x2 y 2 æ -1 - u x-4 / 3 ççç 2 ç è u 3ö ÷÷ ÷ ø÷ ü ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï ï x -e göre türev 3u 2 1 y ¢ = - x-4 / 3u + x-1/ 3u ¢ 3 æ -1- u 3 1 ö÷ x-4 / 3 ççç + u ÷÷ = x-1/ 3u ¢ 2 çè u 3 ÷ø 1 du = - dx (Değiş.Ayrılabilir) ( x ¹ 0 , 2u 3 ¹ -3 ) elde edilir x 3 + 2u 3 S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters için Denklem: Genelleştirilmiş Homojendir. u= 1 3 ò 3u 2 . 3 + 2u 3 . du = -ò .. 1 dx x . 20/39 1 1 n 3 + 2u 3 = -n x + n c 2 2 . . . y. u= -1/3 idi .x . . y3 = . .. c 2x 3 . 3. 2x I : x ¹ 0 , 2 y 3 ¹ -3 S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters . 3 + 2u 3 = c x2 [Genel Çözüm ] 21/39 Diferansiyel Denklemler I Çalışma Soruları –2 29.10.2014 A. Aşağıda istenilenleri elde ediniz! 1. ( xe y + x).dy + (e y + ky ).dx = 0 denkleminin tam diferansiyel denklem olabilmesi için uygun k sayısını belirleyiniz. Bu k sayısı için tam diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz. a 2. a nın hangi değeri için m = ( x 2 + y 2 ) : xdy - ( x 2 + y 2 + y ) dx = 0 denkleminin (tam . diferansiyel hale getiren) bir integrasyon çarpanı olur? belirleyiniz, bu çarpanı kullanarak denklemin çözümünü bulunuz. B. Aşağıda verilen denklemlerin; “hangi tip denklem olduklarını (nedenleri ile belirterek) belirleyiniz! “tüm çözümlerini (genel çözüm ve varsa tekil çözümlerini) çözümün geçerli olduğu değişkenlerin tanım aralıklarını da vererek” bulunuz. 1 1. ( xy + ) dx + ( x 2 y - ny ) dy = 0 x 2 . . 2. y ¢ + y cot x = sin 2 x 7. 1 - tan y = 1 cos y x 4. ( x cos y - sin 2 y ) dy - sin y.dx = 0 . y y¢ . S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters y x + cos y 1 9. ( y - x + ) dx + ( x + y ) dy = 0 x . 10. ( 6. ( y - 5 x) dx + ( x - 5 y ) dy = 0 . 2 8. y ¢ = - 3. dy + ( y - sin x) cos x.dx = 0 5. x + yny = y¢ . . xn( xy ) yn( xy ) - xy ).dy + ( - xy ).dx = 0 x+ y x+ y Not: Çözümler-Yol göstermeler kontrol amaçlıdır, yazım hatası - eksiklikler vs.. olabilir.. kendi çözümlerinizle mutlaka karşılaştırınız.. 22/39 Çözümler… (son güncelleme : 29.10.2014) ……………………… Önbilgi .1 (Bazı Diferansiyeller) Tablo du = ¶u ¶u dx + dy , u = u ( x, y ) ¶x ¶y . . 1 d ( xy ) = y dx + x dy 2 d ( x 2 y 2 ) = 2 ( x dx y dy ) 3 y x dy - y dx d( ) = x x2 4 y x dy - y dx d (arctan ) = 2 x x + y2 . . . . . . . ……………………… S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters . ……………………… Önbilgi .2 (İntegrasyon Çarpan Araştırması) 23/39 Tablo M dx + N dy = 0 Denk. için m İntegrasyon Çarpanı Araştırması . . Koşullar 1 ¶M ¶N ¶y ¶x = j ( x) N 2 ¶M ¶N ¶y ¶x = j( y ) -M 3 ¶M ¶N ¶y ¶x = j ( w) ¶w ¶w N -M ¶x ¶y integrasyon çarpanı Açıklamalar j ( x) m = m( x) = e ò j ( x ).dx m = m( y ) = e ò j ( y ).dy (yalnızca x-e bağlı) bir fonksiyon j( y) m = m( w) = e ò j ( w).dw (yalnızca y-ye bağlı) bir fonksiyon w = w( x, y ) (hem x-e hem y-ye bağlı), j ( w) (yalnızca w-ya bağlı) bir fonksiyon Not. 1.durum: yalnızca x-e bağlı; 2.durum: yalnızca y-ye bağlı; 3.durum: hem x-e hem y-ye bağlı ü ï ï : ï ï ï integrasyon çarpanı araştırmalarında kullanılacaktır! ……………………… S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters A1. ( xe y + x ) dy + (e y + ky ) dx = 0 için M dx + N dy = 0 yazımından: . . . M = e y + ky y N = xe + x üïï ïï . 24/39 ¶M ¶N = ey + k , = e y +1 ¶y ¶x ¶M ¶N = şartı sağlanmalıdır: ¶y ¶x Denklemin Tam Dif.Denk. olabilmesi için e y + k = e y + 1 k = 1 bulunur. Şimdi ( xe y + x ) dy + (e y + y ) dx = 0 . . Tam Dif. Denk. in çözümünü bulalım: du = ¶u ¶u dx + dy ¶x ¶y .. . .. . = xe y + xy + f ( y ) . = ò ( xe y + x) dy + g ( x) = ò (e y + y ) dx + f ( y ) .. . u = ò N dy + g ( x) u = ò M dx + f ( y ) .. . …(A1-i) . = xe y + xy + g ( x) …(A1-ii) (A1-i) ve (A2-ii) den: g ( x) = 0 , f ( y ) = 0 bulunur. u = xe y + xy olur. Genel Çözüm u = c idi. xe y + xy = c I : -¥ < x < ¥ S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters [Genel Çözüm ] A2. a yı belirlemek için iki yol izleyebiliriz: a I.yol: m = ( x 2 + y 2 ) yani m = m ( x 2 + y 2 ) formunda bir integrasyon çarpanı araştırması ile. II.yol: Denklemin her iki tarafını m = ( x 2 + y 2 a ) ile çarpıp ¶M ¶N = eşitliğinden. ¶y ¶x I.yoldan yapalım! (İntegrasyon Çarpanı ile Tam Diferansiyel hale getirilebilen denklem) xdy - ( x 2 + y 2 + y ) dx = 0 için M dx + N dy = 0 yazımından: . . . ü ï ï ï ï M = -x 2 - y 2 - y N=x ¶M ¶N = - 2 y -1 ¹ 1 = ¶y ¶x Denklem: Tam Dif. DEĞİL! w = x2 + y2 ì ï ï ï í ï ï ï î ¶w = 2x ¶x ¶w = 2y ¶y Hem x-e hem y-ye bağlı integrasyon çarpanı, genel formda w = w( x, y ) için aşağıdaki şekilde araştırılıyor idi: ¶M ¶N -2 y -1-1 -2 y - 2 ¶y ¶x = .=. 2 2 2 ¶w ¶w x(2 x) + ( x + y + y )(2 y ) 2( x + y 2 ) + 2 y ( x 2 + y 2 ) N -M ¶x ¶y =. -2 y - 2 2 2 ( x + y )(2 y + 2) =- 1 2 2 (x + y ) =- 1 w ( y ¹ -1 ) yukarıdaki eşitlik sonucu, yalnızca w-ya bağlı bir fonksiyon elde edildi. O halde Önbilgi2-Tablo: 3 den S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters 25/39 ò m( w) = e ¶M ¶N ¶y ¶x .dw ¶w ¶w 1 N -M -ò .dw 1 1 ¶x ¶y w =e = e-nw = = 2 w x + y2 1 intergrasyon çarpanı: m = 26/39 . x2 + y 2 ……………..,,……. II.yol: Denklemin a a x ( x 2 + y 2 ) dy - ( x 2 + y 2 + y ) ( x 2 + y 2 ) dx = 0 . ( )( M = -x 2 - y 2 - y x 2 + y 2 ìï ïï ïï ïï í ïï ïï ïï ïî a ) ( , N = x x 2 + y 2 ¶M = (-2 y -1) x 2 + y 2 ¶y ) ¶N = x2 + y 2 ¶x ( ( ( a ) a ( ¶M ¶N = den her iki tarafı x 2 + y 2 ¶y ¶x ( ) ( )( + 2a y -x 2 - y 2 - y x 2 + y 2 + 2a x 2 x 2 + y 2 ( a ) a-1 ) a-1 ) a-1 ) e bölelim ) (-2 y -1) x 2 + y 2 + 2a y -x 2 - y 2 - y = x 2 + y 2 + 2a x 2 -2 ( y + a y + a + 1) x 2 - 2 ( y + a y + a + 1) y 2 = 0 y + a y + a + 1 = 0 a = -1 ……………..,,……. Şimdi denklemin her iki tarafını m = 1 x2 + y 2 ( y ¹ x ) ile çarpalım ve denklemin Tam Dif. Denk. haline geldiğini kontrol edip, çözelim. x y dy - (1 + 2 ) dx = 0 2 x +y x + y2 2 . Bu son denklem için M dx + N dy = 0 yazımından: . . S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters M = -1- üï ïï ïï ïï y 2 x +y 2 x N= 2 x + y2 du = ¶M -x 2 + y 2 ... ¶N = 2 = ¶y ( x + y 2 )2 ¶x Denklem: Tam Dif. ¶u ¶u dx + dy ¶x ¶y . u = ò N dy + g ( x) u = ò M dx + f ( y ) .. . .. . x dy + g ( x) =ò 2 x + y2 y = -x -ò 2 dx + f ( y ) x + y2 .. .. x + f ( y) y I1 için I1 = - y ò 1 .. x2 + y 2 = - arctan …(A2-i) dx = .. 1 p y + k2 bulunur, “ arctan k + arctan = ” özelliğinden x k 2 x p x I 2 = -(arctan ) + + k2 = -(arctan ) + k3 yazılabilir. 2 y y =k diyelim 3 (A2-i) ve (A2-ii) den: g ( x ) = - x , f ( y ) = 0 bulunur. x olur. Genel Çözüm u = -c idi. y x + g ( x) …(A2-ii) y y 1 x dx = - arctan + k1 , ò x y y ( )2 +1 y I 2 için benzer şekilde I 2 = arctan u = -x - arctan . =.I 2 =.I1 = -x - arctan . x + arctan x =c y I : y ¹ 0 , y ¹ x y = 0 , y ¹ x için çözüm araştırması: S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters [Genel Çözüm ] 27/39 y = 0 denklemi sağlamaz dolayısıyla çözüm değildir. y ¹ x denklemin çözümleridir. Genel çözüme dikkat edilirse, bu çözümler denklemin birer Tekil-Çözümü olduğu görülür (gözlemleyiniz!). B1. (Tam Diferansiyel denklem) 1 ( xy 2 + ) dx + ( x 2 y - ny ) dy = 0 için M dx + N dy = 0 yazımından: x . . . M = xy 2 + ü ï ï ï ï 1 x N = x 2 y - ny du = . ¶M ¶N = 2xy = ¶y ¶x Denklem: Tam Dif. ¶u ¶u dx + dy ¶x ¶y . . u = ò N dy + g ( x) u = ò M dx + f ( y ) .. .. . = ò ( x 2 y - ny ) dy + g ( x) 1 = ò ( xy 2 + ) dx + f ( y ) x .. = .. . 2 2 x y + n x + f ( y ) 2 . . . …(B1-i) . . x2 y 2 = + ò ny dy + g ( x) 2 .. . =.I1 = x2 y 2 - yny + y + g ( x) …(B1-ii) 2 ( I1 için kısmi integrasyon ile: I1 = yny - y + k1 bulunur (inceleyiniz!).) (A1-i) ve (A1-ii) den: g ( x) = n x , f ( y ) = y - yny bulunur. . u= . . x2 y 2 + n x + y - yny olur. Genel Çözüm u = c idi. 2 . . . x2 y 2 + n x + y - yny = c 2 . . . I : x¹0, y>0 S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters [Genel Çözüm ] 28/39 B2. (Lineer Diferansiyel denklem) y ¢ + y cot x = sin 2 x , y ¢ + p( x) y = q( x) p ( x) = cot x , q ( x) = sin 2 x 29/39 I.yol: y = uv dönüşümü yaparak: y = uv , u = u ( x ) , v = v ( x ) y ¢ + y cot x = sin 2 x y ¢ = u ¢v + uv ¢ üïï ïï ¢ + (cot x).u ) + uv ¢ = sin 2 x u ¢v + uv ¢ + cot x.uv = v(u =0 u ¢ + cot x.u = 0 u=e ò p ( x ).dx 1 - cot x.dx =e ò = e-n (sin x ) = sin x (dikkat, integral sabiti 0 seçiliyor) uv ¢ = sin 2 x v = ò sin x sin 2 x dx v ¢ = sin x sin 2 x . . =.I 1 I1 integralini hesaplayalım: I1 = ò 2sin 2 x cos x dx . . . æ ö 1 sin x = t dönüşümü uygulanırsa çç dx = dt ÷÷÷ : çè cos x ø . I1 = ò 2t 2 dt = . 2 v = sin 3 x + c 3 . 2t 3 2 + c = s in 3 x + c 3. 3 ( v nin tespitinde: c integral sabitini eklemeyi UNUTMAYINIZ! ) genel çözüm: y = uv den y = y=uv idi ö 1 æç 2 3 ççè sin x + c ÷÷÷ø sin x 3 . . 2 c y = sin 2 x + 3 sin x I : x ¹ np , n = 0, 1,... p ( x ).dx II.yol: v = e ò şeklinde integrasyon çarpanı bularak: S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters [Genel Çözüm ] v = eò p ( x ).dx = eò cot x.dx = en (sin x ) = sin x bulunur. Şimdi denklemin her iki tarafını v = sin x ile çarpalım: sin x. y ¢ + cos x. y = sin x sin 2 x =(vy )¢ =(sin x. y )¢ oldugu görülür! (sin x. y )¢ = sin x sin 2 x Şimdi son denklemin her iki tarafının integralini alalım: sin x. y = ò sin x sin 2 x dx , I1 den . . 2 sin x. y = sin 3 x + c 3 y= y=uv idi ö 1 æç 2 3 çè sin x + c ÷÷÷ø ç sin x 3 . . 2 c y = sin 2 x + 3 sin x [Genel Çözüm ] I : x ¹ np , n = 0, 1,... B3. (İntegrasyon Çarpanı ile Tam Diferansiyel hale getirilebilen denklem) dy + ( y - sin x ) cos x.dx = 0 için M dx + N dy = 0 yazımından: . M = y cos x - sin x cos x N =1 . üïï ïï ¶M ¶N = cos x ¹ 0 = ¶y ¶x Denklem: Tam Dif. DEĞİL! S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters 30/39 Ancak denklem, “integrasyon çarpanı “ ile Tam Dif. denklem haline getirilebilir mi? inceleyelim! 31/39 ¶M ¶N cos x - 0 ¶y ¶x = = cos x N 1 yalnızca x-e bağlı bir fonksiyon elde edildi. O halde Önbilgi2-Tablo:1 den m( x) = e ò ¶M ¶N ¶y ¶x .dx N = eò cos x.dx = esin x intergrasyon çarpanı: m( x) = esin x . Şimdi denklemin her iki tarafını m( x) = esin x ile çarpalım ve denklemin Tam Dif. Denk. haline geldiğini kontrol edip, çözelim. esin x dy + ( y - sin x ) cos x.esin x dx = 0 . Bu son denklem için M dx + N dy = 0 yazımından: . . M = ( y - sin x) cos x.esin x N = esin x üïï ïï ¶M ¶N = cos x.esin x = ¶y ¶x Denklem: Tam Dif. du = S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters ¶u ¶u dx + dy ¶x ¶y . . u = ò N dy + g ( x) u = ò M dx + f ( y ) .. .. . = ò esin x dy + g ( x) = ò ( y - sin x) cos x.esin x dx + f ( y ) .. . .. . =.I1 32/39 . = yesin x + g ( x) …(B3-ii) = yesin x + (-1 + sin x) esin x + f ( y ) …(B3-i) . ( I1 için sin x = t dönüşünü yapılarak; I1 = ò ( y - t ) et dt = y ò et dt + .. . . .. t te dt ò . .. . kısmi int egrasyon 1 şeklinde bulunur (inceleyiniz!).) (B3-i) ve (B3-ii) den: g ( x) = (-1 + sin x) esin x , f ( y ) = 0 bulunur. . u = yesin x + (-1 + sin x) esin x = ( y -1 + sin x) esin x olur. Genel Çözüm u = c idi. . . ( y -1 + sin x) esin x = c [Genel Çözüm ] . I : -¥ < x < ¥ B4. (İntegrasyon Çarpanı ile Tam Diferansiyel hale getirilebilen denklem) ( x cos y - sin 2 y ) dy - sin y.dx = 0 için M dx + N dy = 0 yazımından: . . M = - sin y 2 N = x cos y - sin y ü ï ï ï ï . ¶M ¶N = - cos y ¹ cos y = ¶y ¶x Denklem: Tam Dif. DEĞİL! Ancak denklem, “integrasyon çarpanı “ ile Tam Dif. denklem haline getirilebilir mi? inceleyelim! S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters ¶M ¶N 2 cos y ¶y ¶x - cos y - cos y = == -2 cot y -M sin y sin y yalnızca y-ye bağlı bir fonksiyon elde edildi. O halde Önbilgi2-Tablo:2 den m( y ) = e ò ¶M ¶N ¶y ¶x .dy -M - 2cot y.dy =e ò = e-2n(sin y ) = intergrasyon çarpanı: m( y ) = 1 sin 2 y 1 sin 2 y . Şimdi denklemin her iki tarafını m ( y ) ile çarpalım ve denklemin Tam Dif. Denk. haline geldiğini kontrol edip, çözelim: ( x cos y 1 .dx = 0 -1) dy 2 sin y sin y . ( sin y ¹ 0 ) Bu son denklem için M dx + N dy = 0 yazımından: . M =- N= . 1 sin y x cos y sin 2 y -1 üï ï ïï du = S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters ¶M cos y ¶N = 2 = ¶y sin y ¶x Denklem: Tam Dif. ¶u ¶u dx + dy ¶x ¶y . . 33/39 u = ò N dy + g ( x) u = ò M dx + f ( y ) .. = -ò =- .. . .. 1 dx + f ( y ) sin y =ò ( .. . x + f ( y) sin y . x cos y 2 sin y -1) dy + g ( x) . cos y = -y + x ò dy + g ( x) sin 2 y …(B4-i) .. . =.I1 = -y - ( I1 için sin y = t dönüşünü yapılarak; sonuçta I1 = - x + g ( x) …(B4-ii) sin y 1 + k1 bulunur (inceleyiniz!).) sin y (B4-i) ve (B4-ii) den: g ( x) = 0 , f ( y ) = - y bulunur. u = -y - x olur. Genel Çözüm u = -c idi. sin y y+ x =c sin y [Genel Çözüm ] I : y ¹ np , n = 0, 1,... y = np için çözüm araştırması: Denklemi sağlar (gözlemleyiniz!) dolayısıyla denklemin bir çözümüdür. Genel çözüme dikkat edilirse, Tekil-Çözümü olduğu görülür (gözlemleyiniz!). B5. ( x-e göre Lineer Diferansiyel denklem) x + yny = y y¢ dx 1 - x = ny dy y dx 1 + p ( y ) x = q ( y ) p ( y ) = - , q ( y ) = ny y dy integrasyon çarpanı bulma metodu ile çözelim: S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters 34/39 v = eò p ( y ).dy -ò =e 1 .dy y = e-ny = Şimdi lineer denklemin her iki tarafını v = 1 1 x¢ - 2 x y y 1 bulunur. y 1 dx ile çarpalım: ( x ¢ = ) y dy = ny y ( y ¹ 0) æ 1 ö¢ =(vx)¢ =çç x÷÷÷ oldugu görülür! çè y ÷ø æ 1 ö¢ ny çç x÷÷÷ = çè y ø÷ y Şimdi son denklemin her iki tarafının integralini alalım: 1 1 x = ò ny dy y y . . =.I1 1 1 I1 hesaplanırsa: I1 = n 2 y + c bulunur (inceleyip, ara işlemleri yapınız!). 2 2 1 1 x = n 2 y + c y 2 æ1 ö x = y çç n 2 y + c ÷÷÷ çè 2 ø . .. [Genel Çözüm ] I : y>0 B6. I. yol : Homojen denklemden çözüm bulunabilir! II.yol : B1 deki yapılanlara benzer şekilde Tam Dif. denklemden çözüm bulunabilir! III.yol : Gruplandırma: Önbilgi1-Tablo: 1 ve 2 den yararlanarak S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters 35/39 ( y - 5 x) dx + ( x - 5 y ) dy = 0 . . ydx + xdy - 5( xdx+ ydy )=0 =d ( xy ) 5 d ( xy ) - d ( x 2 + y 2 ) = 0 2 = 1 d ( x2 + y 2 ) 2 36/39 5 d ( xy - ( x 2 + y 2 )) = 0 2 5 xy - ( x 2 + y 2 ) = c 2 [Genel Çözüm ] I : -¥ < x < ¥ B7. (Özel formda Lineer Denklem haline getirilebilen) Bu denklem, aşağıdaki dönüşüm ile lineer hale daha getirilebilir: tan y = z , z = z ( x ) 1 1 y ¢ - tan y = 1 x cos y 1 + tan 2 y ) y ¢ = z ¢ ( 2 = 1 cos 2 y y ¢ + p ( x ) y = q ( x) 1 z ¢ - z = 1 (lineer denklem) elde edilir. x 1 p ( x) = - , q ( x) = 1 x Şimdi lineer denklemi, z = uv dönüşümü ile çözelim : z = uv , u = u ( x ) , v = v( x) 1 z¢ - z = 1 x z ¢ = u ¢v + uv ¢ üï ïï ïï ïï 1 x 1 x u ¢v + uv ¢ - .uv = v(u ¢ - .u ) + uv ¢ = 1 =0 1 u ¢ - .u = 0 x u=e ò p ( x ).dx =e ò 1 .dx x = e nx = x (dikkat, integral sabiti 0 seçiliyor) S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters uv ¢ = 1 v ¢ = 1 x v=ò . 1 dx x . 37/39 v = n x + c . . ( v nin tespitinde: c integral sabitini eklemeyi UNUTMAYINIZ! ) genel çözüm: z = uv den z = x (n x + c) . . tan y = x (n x + c) . z= tan y idi . [Genel Çözüm ] . I : x ¹ 0 , y ¹ (2n -1)p / 2 , n = 0, 1,... y = (2n -1)p / 2 için çözüm araştırması: diferansiyel denklemi sağlamadığı için çözüm değildir. B8. Gruplandırma: Önbilgi1-Tablo: 1 den yararlanarak y¢ = - y ydx + xdy + 5 cos y dy = 0 x + cos y . =d ( xy ) ò . d ( xy ) = -ò cos y dy .. . xy = - sin y + c [Genel Çözüm ] I : y ¹ arccos(- x ) B9. I. yol : B1 deki yapılanlara benzer şekilde Tam Dif. denklemden çözüm bulunabilir! II.yol : Gruplandırma: Önbilgi1-Tablo: 1 ve 2 den yararlanarak 1 1 ( y - x + ) dx + ( x + y ) dy = 0 ydx + xdy + ( -xdx + ydy ) + dx x x 1 =d ( xy ) . . . =- d ( x2- y 2 ) 2 S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters =d (n.. x. ) =0 1 d ( xy ) - d ( x 2 - y 2 ) + d (nx) = 0 2 æ ö 1 d çç xy - ( x 2 - y 2 ) + n x ÷÷÷ = 0 çè ø 2 . 1 xy - ( x 2 - y 2 ) + n x = c 2 . . . . . 38/39 [Genel Çözüm ] I : x¹0 B10. Gruplandırma: ( xn( xy ) yn( xy ) - xy ).dy + ( - xy ).dx = 0 x+ y x+ y n( xy ) [ xdy + ydx ] = xydx + xydy x+ y n( xy ) [ xdy + ydx ] = xy [ dx + dy ] x + y =d ( xy ) =d ( x+ y ) n( xy ) d ( xy ) = ( x + y )d ( x + y ) xy şimdi her iki tarafın integrali alınırsa, yapınız!) ve ò .wdw . = ò . nu n 2 u + k1 (inceleyip, ara işlemleri .du = u 2 w2 n 2 ( xy ) ( x + y ) 2 c bulunur. + k2 bilgilerinden; = + 2 2 2 2 n2 ( xy ) = ( x + y )2 + c I : y ¹ - x , xy > 0 S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters [Genel Çözüm ] İ.Ü.Fen Fakültesi Matematik Bölümü Diferansiyel Denklemler I /Arasınavı Hazırlık Soruları Yrd.Doç.Dr.Serkan İLTER / İ.Ü. Matematik Süre: .. BAŞARILAR.. … SORU 1. (00p) Aşağıdaki 1 ve 1 sorularından yalnızca bir tanesini seçerek çözünüz! 1. …. 1 . …. SORU 2. (00p) Aşağıdaki 2 ve 2 sorularından yalnızca bir tanesini seçerek çözünüz! 2. …. 2. …. SORU 3. (00p) …. SORU 4. (00p) Aşağıdaki şıklardan yalnızca iki tanesini seçerek yapınız! k ( A ) …. (B ) …. (C ) …. S.İlter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters 39/39
