ÇMZ-238 Hidrolik Dersi 2. Sunum

ÇEV-220 Hidrolik
Çukurova Üniversitesi
Çevre Mühendisliği Bölümü
Yrd. Doç. Dr. Demet KALAT
Borularda Türbülanslı Akış
•
•
•
Mühendislik
uygulamalarında
akışların çoğu türbülanslıdır ve bu
yüzden türbülansın çeper kayma
gerilmesini
nasıl
etkilediğini
anlamak önemlidir.
Türbülanslı akış, girdap adı verilen
dönen akışkan bölgelerinin akış
boyunca
rasgele
ve
hızlı
çalkantıları ile karakterize edilir.
Sonuç olarak türbülanslı akış, daha
yüksek sürtünme, ısı ve kütle geçişi
katsayıları anlamına gelir.
•
•
•
Ortalama akış daimi olsa da
türbülanslı akıştaki girdap
hareketi, hız, sıcaklık, basınç
değerinde önemli değişimlere
yol açar.
Şekilde belirli bir konumdaki anlık
hız bileşeni u’nun zamana bağlı
değişimi gösterilmiştir.
Görüldüğü gibi hızın anlık değeri
ortalama bir değer etrafında
değişmektedir.
•
•
•
•
Bu ise hızın ortalama bir değer
ile çalkantı bileşeni 𝑢′ nun
toplamı halinde ifade edilir.
𝑢 = 𝑢 + 𝑢′
Bu durum y-yönündeki hız
bileşeni 𝑣 için de geçerlidir.
𝑣 = 𝑣 + 𝑣 ′ , 𝑃 = 𝑃 + 𝑃′ , 𝑇 = 𝑇 + 𝑇 ′
•
•
•
Türbülanslı akışta kayma gerilmesi laminer akıştaki gibi
(𝜏 = −𝜇𝑑𝑢 𝑑𝑟′den) hesaplanmaz.
Türbülanslı akışta kayma gerilmesi iki kısımdan oluşur.
Akış yönündeki akışkan tabakaları arasındaki
sürtünmeyi hesaba katan laminer bileşen;
𝑑𝑢
𝑑𝑟
ve
•
𝜏𝑙𝑎𝑚 = −𝜇
•
Çalkantı yapan akışkan parçacıkları ile akışkan
arasındaki sürtünmeyi hesaba katan türbülans
bileşenidir (𝜏𝑡ü𝑟𝑏 ).
𝜏𝑡𝑜𝑝 = 𝜏𝑙𝑎𝑚 + 𝜏𝑡ü𝑟𝑏
•
•
Türbülanslı akıştaki hız profili
boru çeperinde keskin bir
düşüş göstererek yassı veya
daha dolgundur. Dolgunluk
Reynolds sayısı ile artar.
Türbülans Kayma Gerilmesi
•
•
Yatay bir borudaki türbülanslı akışı
ve akışkan parçacıklarının yukarı
doğru girdap hareketini göz önüne
alalım.
Burada düşük hızlı tabakadaki
akışkan parçacıkları, şekildeki gibi
𝑣 ′ çalkantı bileşeninden ötürü dA
diferansiyel alanı üzerinden daha
yüksek hızlı akışkan tabakasına
hareket etmektedir.
•
•
•
•
Parçacığın kütlesel debisi;
𝑚 = 𝜌𝑣 ′ 𝑑𝐴′ 𝑑𝚤𝑟. dA’nın üstündeki akışkan
elemanına etki eden yatay kuvvet;
𝛿𝐹 = 𝜌𝑣 ′ 𝑑𝐴 −𝑢′ = −𝜌𝑢′ 𝑣 ′ 𝑑𝐴 olur.
Akışkan parçacıklarının girdap hareketinden
ötürü birim alan başına kayma kuvveti;
𝛿𝐹
•
𝑑𝐴
•
•
•
= −𝜌𝑢′ 𝑣 ′ , anlık türbülans kayma gerilmesi
olarak düşünülebilir.
Türbülans kayma gerilmesi ise;
𝜏𝑡ü𝑟𝑏 = −𝜌𝑢′ 𝑣 ′
−𝜌𝑢′ 𝑣 ′ veya −𝜌𝑢′2 gibi terimlere Reynolds
gerilmeleri veya türbülans gerilmeleri denir.
𝜕𝑢
𝜕𝑦
•
𝜏𝑡ü𝑟𝑏 = −𝜌𝑢′ 𝑣 ′ = 𝜇𝑡
•
𝜇𝑡 ; girdap viskozite veya türbülans viskozite denir.
•
𝜏𝑡𝑜𝑝𝑙𝑎𝑚 = (𝜇 + 𝜇𝑡 )
•
𝜐𝑡 =
𝜇𝑡
;
𝜌
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 𝜌(𝜐
𝜕𝑢
+ 𝜐𝑡 )
𝜕𝑦
kinematik girdap veya türbülans viskozitesi
•
Aynı serbest akım hızı
değerinde türbülanslı sınır
tabaka, laminer sınır
tabakadan daha kalın
olmasına karşın, çeperdeki
hız gradyeni ve dolayısıyla
çeper kayma gerilmesi
türbülanslı akışta laminer
akıştakinden daha büyüktür.
Türbülanslı Hız Profili
•
•
Laminer akışta hız profili
parabolik fakat türbülanslı akışta,
boru çeperine yakın bir yerde
keskin bir düşüş ile daha
dolgundur.
Çeper boyunca türbülanslı akışın,
çeperden olan mesafe boyunca
dört bölgeden meydana geldiği
düşünülebilir.
•
•
Viskoz alt tabakanın kalınlığı çok küçüktür
(genellikle boru çapının %1’den çok küçük) fakat
çepere bitişik olan bu ince tabaka, yüksek hız
gradyenlerinden dolayı akış özellikleri üzerinde
baskın rol oynar.
Çeper her girdap hareketini sönümler ve
dolayısıyla bu tabakadaki akış esas itibari ile
laminerdir.
Viskoz Alt Tabaka
•
Viskoz alt tabakadaki hız gradyeni;
•
𝑑𝑢
𝑑𝑦
𝑢
𝑦
= ’de sabit kalır ve çeper kayma gerilmesi;
𝑢
𝜇
𝑦
•
𝜏𝑤 =
•
𝜏𝑤
’nun
𝜌
•
𝑢∗ =
=
𝑢
𝜌𝜐
𝑦
𝑣𝑒𝑦𝑎
𝜏𝑤
𝜌
=
𝑢
𝜐
𝑦
olarak ifade edilir.
karakök boyutu hızdır.
𝜏𝑤
𝜌
ile gösterilen sürtünme hızı (hayali hızdır).
Viskoz alt tabakadaki hız
•
Viskoz alt tabakadaki hız profili boyutsuz
olarak söyle ifade edilir;
𝒖
𝒚𝒖∗
•
=
𝒖∗
𝝊
• 𝒖+ = 𝒚+ ;
•
(8.42)
Bu denklem çeper yasası olarak bilinir.
0 ≤ 𝑦𝑢∗ 𝜐 ≤ 5 için pürüzsüz yüzeylerde
deneysel verilerle uyum göstermektedir.
•
Diğer bir ifade ile, hız (dolayısıyla Reynolds
sayısı) arttıkça, viskoz alt tabaka bastırılır ve
gittikçe incelir. Bunun sonucunda hız profili
neredeyse yassı hale gelir.
•
Bu yüzden çok yüksek Reynols sayılarında
hız profili daha üniform hale gelir.
•
Viskoz alt tabakanın kalınlığı;
5𝜐
𝑢∗
=
25𝜐
𝑢𝛿
•
𝑦 = 𝛿 𝑎𝑙𝑡 𝑡𝑎𝑏𝑎𝑘𝑎 =
•
𝑢 𝛿; borudaki ortalama hızla yakından ilgili
olan alt tabakanın kenarındaki akış hızıdır.
•
Böylece, viskoz alt tabaka kalınlığının
kinematik viskozite ile doğru orantılı, fakat
ortalama akış hızı ile ters orantılı olduğu
sonucuna varırız.
Örtüşme Tabakası
•
Örtüşme tabakasındaki
hız;
𝑢
•
𝑢∗
•
=
1
𝑦𝑢∗
𝑙𝑛
𝐾
𝜐
+ 𝐵 veya
𝑢+ = 2,5𝑙𝑛𝑦 + + 5,0 (8.47)
𝑦𝑢∗
𝜐
• 𝑦+
𝑢+
𝑢
𝑢∗
=
ve
=
boyutsuz büyüklüklerdir.
𝒖
•𝒖 =
∗
𝒚𝒖∗
𝝊
(8.42) (viskoz alt tabaka)
Dış Türbülans Tabakası
•
•
•
𝑢𝑚𝑎𝑥 −𝑢
𝑢∗
= 2,5𝑙𝑛
𝑅
𝑅−𝑟
Hızın eksen çizgisinde değerinden olan
sapması 𝑢𝑚𝑎𝑥 − 𝑢’ya hız azalması,
Yukardaki denkleme de hız azalma yasası
denir.
•
•
•
Viskoz alt tabakanın kalınlığının az olmasına
karşın (genellikle boru çapının %1’den daha
az), bu tabakadaki akış karakteristikleri çok
önemlidir, çünkü borunun geri kalanındaki
akışı bunlar tayin eder.
Bu yüzeydeki herhangi bir düzensizlik veya
pürüzlülük bu tabakayı alt üst eder ve akışı
etkiler.
Bu nedenle laminer akıştan farklı olarak,
türbülanslı akışta sürtünme faktörü yüzey
pürüzlülüğünün kuvvetli bir fonksiyonudur.
•
•
•
•
•
Pürüzlülüğünün göreceli bir kavram olduğu ve 𝜀
pürüzlülük yüksekliği, Reynolds sayısının fonksiyonu
olan viskoz alt tabaka kalınlığı seviyelerinde
olduğunda önem kazandığı unutulmamalıdır.
Mikroskop altında yeteri kadar büyütüldüklerinde
bütün malzemeler ‘pürüzlü’ olarak görülür.
Akışkanlar mekaniğinde, yüzeydeki pürüz tepeleri
viskoz alt tabakanın dışına çıktığında o yüzey
pürüzlü olarak tarif edilir.
Öte yandan alt tabaka pürüzlülük elemanlarını
örtüyorsa, o yüzeye pürüzsüz yüzey denir.
Cam ve plastik yüzeyler genellikle hidrodinamik
olarak pürüzsüz kabul edilir.
Moody Diyagramı
•
Tam gelişmiş türbülanslı akıştaki sürtünme
faktörü (f) Reynolds sayısına ve boru
pürüzlülüğünün ortalama yüksekliğinin boru
çapına oranı olan bağıl pürüzlülük
𝜀′
ye bağlıdır ve deneylerden elde edilir.
𝐷
•
Elde edilen deneysel verilere eğri uydurma
işlemi uygulanarak, deneysel sonuçlar tablo,
grafik ve fonksiyonel biçimlerde sunulmuştur.
•
•
•
(𝑓) pürüzlülük faktörü;
1. Hidrolik bakımdan cilalı (pürüzsüz)
sürtünme rejimi; (f=f(Re))
1
𝑓
= 2log(𝑅𝑒 𝑓) − 0,8
Prandltl denklemi
•
4000 < 𝑅𝑒 < 3. 106 için geçerli
•
𝑓=
0,316
𝑅𝑒 0,25
Blasius
(𝑅𝑒 ≤ 105 )
•
•
Lewis Moody, Moody diyagramında, boru
akışındaki Darcy sürtünme faktörünü, geniş bir
𝜀′
aralıkta Reynolds sayısı ve nin fonksiyonu
𝐷
olarak vermektedir.
Çap yerine hidrolik yarıçapın kullanılması ile
dairesel olmayan borular için de kullanılabilir.
•
•
•
•
•
•
2. Hidrolik Bakımdan Cilalı- Pürüzlü Geçiş Rejimi
f=f(Re, 𝜺 𝑫)
1
𝑓
= −2𝑙𝑜𝑔
𝜀 𝐷
3,7
+
2,51
𝑅𝑒 𝑓
(Colebrook Denklemi)
3. Hidrolik Bakımdan Pürüzlü Sürtünme Rejimi
f=f(𝜺 𝑫)
1
𝑓
= −2𝑙𝑜𝑔
𝜀 𝐷
3,7
(von Karman Denklemi)
)
Moody Diyagramı Gözlemleri
•
•
Laminer akışlarda Reynolds sayısının artması ile
sürtünme faktörü azalır, ayrıca sürtünme faktörü
yüzey pürüzlülüğünden bağımsızdır.
Pürüzsüz bir boruda sürtünme faktörü minimumdur
(fakat 0 değildir) ve pürüzlülük ile artar. Böyle bir
1
durumda Colebrook denklemi
= 2log(𝑅𝑒 𝑓) − 0,8
𝑓
Prandltl denklemine indirgenir (Şekil 8.27).
Akış Problemi Tipleri
Kaynaklar
 Akışkanlar
Mekaniği
Temelleri ve Uygulamaları
Yunus A. Çengel
John M. Cimbala
Güven Bilimsel