zaman – bağımlı ısı iletimi probleminde boyutsuz sayılar ve

40
IŞI TAŞINIMI (KONVEKSİYON)
1. Temel Kavramlar ve Tanımlar
Isı taşınımı isminden de anlaşılacağı üzere ısının hareket eden akışkan parçacıkları
yardımıyla geçişidir. Isı taşınımı daima iletimle birlikte görülür. Örneğin dıştan ısıtılan bir
boru içinden soğuk bir akışkan akıyorsa, boruya hemen bitişik olan akışkan parçacıklarına ısı
iletimle geçer ve bu parçacıkların hareketiyle ısı taşınır. Isı taşınımında pratik hesaplar
Newton kanununa göre yani
Q = h(tw-tf)F , [W] formülüne göre yapılır. Bu eşitlikte h sabit değildir, birçok faktöre
bağlıdır. Newton soğuma kanununu aşağıdaki gibi yazarak bunu ısı taşınım katsayısının bir
tanımı olarak düşünmek daha gerçekçi bir açıklamadır.
dQ
q

t w  t f dF t w t f

h

 W / m 2 oC 


Yukarda verdiğimiz örnekte ve en genel halde katı cismin yüzeyine değen akışkan
parçacıkları hareket edemeyeceğinden geçen ısı
t
n
q  h tw  t f
ifadesinden hesaplanabilir.
q  k


k
 t 
h
 
t w  t f  n 

h
olduğundan
olacaktır.  =tw-tf dersek

k  d 


  dy  y  0
olacaktır. Bu son eşitlikte
y doğrultusu katı cismin normali olarak seçilmiş olup sıcaklığın sadece bu doğrultuda
değiştiği düşünülmüştür.
İki tip ısı taşınımı ; doğal ve zorlanmış olarak ayırt edilebilir. Zorlanmış taşınımda
akışkanın hareketi dış bir etkene bağlı iken doğal taşınımda hareket sıcak ve soğuk
parçacıkların yoğunluk farkından kaynaklanır.
Mekaniğin prensiplerinden hatırlanacağı gibi hareket ancak bu yoğunluk alanı değişken olan
akışkan bir kütle kuvvetleri alanına konduğunda meydana gelebilir. Böyle bir kuvvet alanı
gravitasyonel alandır.
41
En genel halde doğal konveksiyon cebri konveksiyonla bir arada bulunur. Doğal
konveksiyonun etkileri akışkan içindeki sıcaklık farkları arttıkça ve zorlanmış akımın hızı
azaldıkça daha büyük önem kazanır. Yüksek hızlı zorlanmış konveksiyonda serbest (doğal)
konveksiyonun etkileri ihmal edilebilir.
Isı taşınımı
akışkan içinde olan fiziksel bir olay olduğundan akışkanların temel
fiziksel özelliklerinin hatırlanması yararlı olacaktır.
Isı iletim katsayısı k, özgül ısı c, ısı yayını katsayısı a ve yoğunluk  daha önce ısı
iletimi anlatılırken kullanılan özellikler idi. Bu kısımda, taşınım olayı hareketle ilgili
olduğundan viskozite üzerinde biraz hatırlatma yararlı olacaktır.
Bütün gerçek akışkanların viskoz akışkanlar olduğunu biliyoruz. Birbirine göre farklı
hızlarda hareket eden bir gerçek akışkanda iç sürtünme kuvvetlerinin bulunduğu akışkanlar
mekaniği dersinde bilinmektedir. Newton kanununa göre birim alana
etkileyen teğetsel kuvvet (kayma gerilmesi) hız gradyeni ile orantılıdır. Bunu matematiksel
olarak ifade edersek
s

w
N / m2
n

yazabiliriz.
 katsayısı dinamik viskozite olarak bilinir. Birimi Ns/m2 dir.
Akışkanlar mekaniği ve ısı geçişinin denklemleri yazıldığında dinamik viskozitenin
yoğunluğuna oranı olan bir büyüklüğün önemli bir rol oynadığı görülür. Bu büyüklük
kinematik viskozite adını alır ve  ile gösterilir.
 = / [m2/s]
 ve  viskoziteleri fiziksel özellikler olup genel olarak sıcaklığa bağlıdırlar.
Gazların  dinamik viskoziteleri artan sıcaklıkla artar. Basınçla değişim genel olarak azdır.
Sıvıların kinematik viskoziteleri ve dinamik viskoziteleri artan sıcaklıkla hemen hemen aynı
şekilde azalır. Çünkü yoğunluk sıcaklığa çok az bağımlıdır. Gazlarda bunun tersine bir durum
vardır. Gazların kinematik viskoziteleri yoğunluk sıcaklıkla çok hızlı olarak azaldığından
sıcaklıkla hızla artarlar.
Viskoz akışkanlarda iç sürtünmelerden dolayı bir kısım kinetik enerji ısıya dönüşür.
Ancak viskozite ve hızlar küçükse bu olay ihmal edilebilir.
Düşük hızlı akışlarda gazlarında sıkıştırılamaz kabul edebileceğimizi termodinamik ve
akışkanlar mekaniği derslerinden biliyoruz. Bu derste sadece sıkıştırılamaz akışkanları
42
1   
 t    
  p  t  sabit

1   


  t  p  sabit
inceleyeceğimizden sıkıştırılabilirlik etkileri üzerinde durulmayacaktır.
İdeal gazlarda =1/T 1/oK
Akış Cinsleri: Isı taşınımında akışın tabiatının çok büyük bir önemi vardır. Hidrodinamikte
iki cins; laminer ve türbülanslı akış olduğunu biliyoruz. Laminer akışta akışkan parçacıkları
katmanlar halinde karışmadan akarken türbülanslı akışta belirli bir düzen yoktur.
Parçacıkların hızı ve yönü her an değişir. Şekilde belirli bir W ortalama hızında olan bir
noktadaki hızın çok kısa anlardaki hız değişimleri gösterilmiştir.
0
 ( m/s )
C
W’
t
t’
t
 ( sn )
 ( sn )
W , ortalama hızı yeterli bir zaman aralığı alınırsa sabit olacaktır. Bu ortalama hız değeri
etrafındaki sapmalar hız oynamaları adını alır.
WI=W- W burda W gerçek hızdır.
Hızdaki bu WI oynamaları mekanik enerjinin transferine de sebep olurlar. Akışta sıcaklık
farklılıkları varsa bu oynamalar (fluktuasyonlar) ısı transferine de sebep olurlar ve
sıcaklıklarda bir t ortalama etrafında tı oynamalarını (fluktuasyonlarını) yaparlar. Böylece
gerçekte türbülanslı akışkanların hepsi zamana bağımlıdır. Fakat zamana göre ortalama
alındığında W ve t değişmezler. Bu tip akış ve ısı geçişi böylece zamandan bağımsız kabul
edilebilir.
Laminer akışta ısı, akışa dik doğrultuda sadece iletimle geçerken türbülanslı akışta her
doğrultuda fluktuasyonlarla ısı taşınır ve türbülanslı akışta ısı geçişi laminer akışa göre çok
daha büyük değerler alır.
43
Sınır Tabaka Kavramı:
Düzlemsel bir levhanın Wo sabit hızıyla akan to sıcaklığındaki bir akışkan içine sabit
olarak konduğunu düşünelim. Levhaya değen parçacıkların hızı yapışma sonucu sıfır olur.
Böylece cidara yakın yerlerde hızın sıfırdan Wo değerine ulaştığı ince bir tabaka oluşur. Bu
tabakaya 1904 de Prandtl tarafından hidrodinamik sınır tabaka ismi verilmiştir.
Levhanın ucunda sıfır olan sınır tabaka kalınlığı akış yönünde giderek artar. Bu durum şekilde
gösterilmiştir.
y
W0
W0

Viskoz alt tabaka
x
Türbülans
Laminer
Sınır tabaka dışında W=Wo ve W/y=0 şartlar geçerlidir. Sınır tabaka kalınlığı ve
sınır tabakanın dış sınırı kavramları tamamen fiktif kavramlardır. Çünkü hız W o değerine
asimptotik olarak yaklaşır. Akış yönünde yani x in artan yönünde  sınır tabaka kalınlığı
artarken belirli bir x değerinden sonra akış türbülanslı hale gelir. Bu durumda bile cidara çok
yakın bölgelerde laminer akışı andıran bir tabaka vardır. Bu tabakaya viskoz alt tabaka denir.
Hidrodinamik sınır tabaka benzer şekilde termal sınır tabakada tanımlanabilir.
y
t0
t0
t,w
t= f( y)
w=f ( y )
t
x
Termal sınır tabaka
tw
y

Termal sınır tabakanın sınırında t/y= 0 ve t = to dır. Genel halde  ve t kalınlıkları
farklıdır bu kalınlıkların oranı akışkanın cinsine ve yüzeyin şekline bağlıdır.
44
Isı taşınım problemlerinin büyük bir çoğunluğunda h ısı taşınım katsayısının hesabı
gerekir. Teorik olarak
h
k   


dır.
 w  y  y  0
Yani ısı taşınım katsayısı h ın bulunabilmesi için akışkan içindeki  sıcaklık dağılımı
bilinmelidir. Teorik olarak  sıcaklık alanının hesabı Navier-Stokes denklemleri, süreklilik
denklemi ve enerji denklemlerinin çözümü ile mümkündür.
Bu denklemler :

2 

DW

  g  P   W
(3)

 W z 
  W x   W y



 0 (1)

x
y
z


  2t  2t  2t

t
t
t
 Wx
Wy
 Wz
 a 2  2  2

x
y
z
y
z
 x




a
k
C p
(1)
olup sıkıştırılabilir akışlarda hal denklemi de bunlara eklenir.
Denklemlerin analitik çözümü hemen hemen imkansızdır. Sayısal yöntemlerle laminer akış
için çözümler kolaydır. Türbülnaslı hal için ise yaklaşık çözümler bulunabiliyor.
Bu denklemleri çözmeden boyutsuz hale getirerek hangi denklemin hangi akışlarda önemli
olduğu görülebilir. Ayrıca benzeşimden yararlanılarak deneyler genelleştirelebilir.
45
x
w
x
y

; y  , w x  x ....... 
gibi alınıp denklemler e girilirse enerji denklemi
l0
l0
w0
w
w0 l0
a



   2   2   2 
 w x

 wy
 wz


x
y
z  x 2 y 2 z 2

N  S denklemini n x bileşeni
2
w0 l0 
w x
w x w x  g wl0
l
P
 w x
 
 wy

 0
  2 wx
 
x
y
z 
w0
w0 x
g wl 2
g wl 2 
0 
0.

w0

w0 l0
yukardaki boyutsuz ifadeler , w x .... den başka
3
hl0 w0 l0 w0 l0 g wl0 P
;
;
;
;
k

a
2
w02
gibi
Büyüklükler İhtiva Edenler
Boyutsuz
hl 0
Nusselt Sayısı
k
w l
2 - Re  0 0 Reynold Sayısı
1 - Nu 

3 - Pe 
4 - Pr 
5 - Gr 
w 0 l0 w0 l0 c p  c p w0 


 Re  Pr
k
a
k

l0

a

c p
k
g w l03
2
6 - Ra  Gr  Pr
7 - St 
Nu
Pe  Pr
Peclet Sayısı
Prandtl Sayısı
Grashof Sayısı
Rayleigh Sayısı
Stanton Sayısı
Isı taşınımının incelenmesi esas olarak deneyseldir. Deneylerde bulunan sonuçlar kriteryal
denklemlerle boyutsuz sayılar cinsinden ifade edilirler. Genel olarak
46
Nu= f ( Fo, Re, Pe, Gr ) veya
Nu= f ( Fo, Re, Gr, Pr ) şeklindedir.
Zamandan bağımsız ısı taşınımı incelendiğinde bu denklemler basitleşir. Fourier sayısı düşer.
Ayrıca zorlanmış taşınım da ve büyük Re sayılarında serbest taşınım etkileri ihmal edilebilir.
Böylece zorlanmış taşınımda kriteryal eşitlik aşağıdaki görünümdedir.
Nu = f ( Re, Pr )
Serbest taşınım halinde ise
Nu = f ( Gr, Pr ) olarak ifade edilir.
ISI TAŞINIMDA KULLANILAN BAZI MÜHENDİSLİK FORMÜLLERİ
a- Boruların içinde akış
Borularda
Re 
ud

Re<
2300
için
akış
Laminer,
Re>
2300
için
ise
türbülanslıdır.
, u : ortalama hız, d: çap, : kinematik viskozitedir. Akış ister laminer ister
türbülanslı olsun boruya giren akışların hız dağılımı belirli bir geliştirme uzunluğundan sonra
boru boyunca değişmeye başlar. Bu durum laminer akış için aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
Bilindiği gibi laminer akışda gelişmiş hız dağılımı paraboliktir.
Gelişen Akış
0
x
Laminer akışta gelişmiş akış x= 0.03 d*Re
Türbülanslı akışta gelişmiş akış x  40 d
Gelişmiş Akış
47
Mesafesinde oluşur. Aşağıda verilen ısı taşınım formulleri gelişmiş akışta kullanılabilir.
Gelişen akışta ise ısı geçişi daha şiddetlidir ve formullerden elde edilen h ısı taşınım
katsayıları tablolardan alınan katsayılarla çarpılmalıdır.
Boru içinde Laminer akış:
 Pr f 

Nu f  0.17  Re 0.33  Pr 0.43  Gr 0.1
f
f
f  Pr 
w


0.25
l
l/d > 40 için l = 1 diğer hallerde ise aşağıdaki tablodan alınır.
l/d
1
2
5
10
15
30
40
l
1.9
1.7
1.44
1.28
1.18
1.13
1.02
Türbülanslı akışta Dittus- Boelte eşitliği kullanılır:
 Pr f 

Nu f  0.021  Re 0.8  Pr 0.43  
 Pr 
f
f
w


0.25
 l
l/d > 30 için l =1 alınabilir. Diğer hallerde aşağıdaki tablo kullanılmalıdır.
l/d
1
2
5
10
20
30
104
1.65
1.50
1.34
1.23
1.13
1.07
2*104
1.51
1.40
1.27
1.18
1.10
1.05
4*104
1.34
1.27
1.18
1.13
1.08
1.04
105
1.28
1.22
1.15
1.10
1.06
1.03
106
1.14
1.11
1.08
1.05
1.03
1.02
Ref
48
Borularda sarım dirsek vb. Dönüşler varsa;
d
R
R = 1+ 1.77 d / R
şeklinde bir faktörle ısı taşınım katsayısı arttırılmalıdır R: Dirsek yarıçzpı, d: borunun çapıdır.
Yukardaki formullerdeki f indisleri akışkan sıcaklığını w indisleri cidar sıcaklığını
göstermektedir. Bu formuller boru dairesel değilse bile bir hidrolik eşdeğer çap tanımlanarak
kullanılabilir. Bu çap
d eş 
4F
dir.
S
F Akış alanı, S ıslak çevre uzunluğudur.
b) Boru dışında, boru eksenine dik akış
U0

Re f 
Re f 
d
0.25
u0  d
 Pr f 

 10  103 için Nu f  0.59  Re 0.47 Pr 0.38 
f
f  Pr 
 w
u0  d
 Pr f 

 103  2  10 3 için Nu f  0.21  Re 0.62 Pr 0.38 
f
f  Pr 
 w
f
f
formülleri kullanılabilir.
0.25
49
Isı eşanjörlerinde genellikle çok sıralı boru demeti bulunur. Eksenler aynı sıralı veya
kaydırılmış sıralı olabilir. Bu iki durum için iki ayrı formul kullanılır.
Aynı sıralı boru demetine dik akışta
 Pr f 

Nu f  0.23  Re 0.65  Pr 0.33  
 Pr 
f
f
w


0.25
Kaydırılmış boru demeti halinde ise
 Pr f 

Nu f  0.41  Re 0.6  Pr 0.33  
 Pr 
f
f
w


0.25
Bu formullerde f indisi ortalama akışkan sıcaklığını w boru yüzey sıcaklığını göstermektedir
Ref hesaplanırken hız en dar kesitteki hız olarak alınacaktır. Karakteristik uzunluk ise boru
çapıdır.
Yukarıda verilen her iki formulde 3. ve daha sonraki sıralarda geçerlidir. 1. sıradaki borular
için bulunan değer 0.6 ile çarpılarak h1 değeri elde edilir. 2. sıradaki borunun, aynı sıralı hal
için, ısı taşınım katsayısı 0.9 ile çarpılarak elde edilir ken kaydırılmış sıralıda bu katsayı 0.7
alınmalıdır. Bu tip bir eşanjör için ortalama ısı taşınım katsayısı
h F  h F  h3 F3  .....  hn Fn
h 1 1 2 2
F1  F2  .....  Fn
ifadesinden bulunur. Burada h1 1.borudan ısı taşınım katsayısı, F1 1. borunun alanı, .... hn
sonuncu borudan ısı taşınım katsayısı, Fn sonuncu borunun alanıdır.
50
Hatırlanması gereken şey endüstride kullanılan ısı eşanjörlerinde yüzeylerde kir toplanması “
fouling “ sonucu ısı taşınım kat sayılarının daha düşük olmasıdır.
Ayrıca hucum açısının 900 den farklı olması durumunda aşağıdaki  düzeltme katsayıları
kullanılmalıdır. Hucüm açısı akışla boru ekseni arasındaki açıdır. Yani



hhesap     h
900
800
700
600
500
400
300
200
100
1.0
1.0
0.98
0.94
0.88
0.78
0.67
0.52
0.42
c- Doğal Taşınım:
Şekilde düşey bir levhada doğal taşınımla ısı geçişi sırasında oluşan akış ve boyunca h ısı
taşınım katsayısının değişimi görülmektedir.
x
Levhanın alt kısımlarında hız düşük
ve akış laminerdir. Belirli bir yükseklikte
Türbülanslı
akışın kararlılığı bozulur ve türbülans
başlar. Akıştaki bu değişimlerin etkisi
h ısı taşınım katsayısına aynen yansır.
Levhanın ucunda en yüksek değerde olan
Laminer
h laminer akış bölgesinde lineer olarak
azalır.
h
Geçiş bölgesinde bir minimum yaparak türbülanslı bölgede sabit hale gelir. Isı taşınım
katsayıları aşağıdaki formülden hesaplanabilir;
Num  C  Gr  Pr n
m
51
( Gr*Pr )m
C
n
- 5*102
1.18
1/8
5*102 - 2*107
0.54
¼
2*107 - 1013
0.135
1/3
Burada m, tm = ½ ( tw + tf ) sıcaklığındaki özellikler kullanılacak anlamındadır.
Yatay boruların dışında doğal ısı taşınım için uygun bir hesap formülü aşağıda verilmiştir.


Nu f  0.51  Gr1 / 4  Pr1 / 4  Pr f / Prw 1 / 4
f
f
karakteristik büyüklük boru çapıdır.