1. Topolojik Uzaylar

1. Topolojik Uzaylar
Boş kümeden farklı bir X kümesi üzerindeki topoloji1 τ , topoloji aksiyomları
olarak adlandırılacak aksiyomları sağlayan P(X)’nin bir alt kümesidir. Bu
durumda (X, τ ) ikilisine topolojik uzay denilir.
Topolojik uzay kavramının en temel motivasyonlarından biri metrik uzaylar kavramıdır ki-metrik uzay kavramının motivasyonu da gerçel sayılar kümesi
üzerindeki iki nokta arasındaki farkın mutlak değerini, bu iki nokta arasındaki
uzaklık olarak tarifleyen kavramının genellenmesidir.
Bu bölümde topolojik uzay kavramı tanım sayılabilecek düzeyde verilerek, verilen bir küme üzerinde temel topoloji üretme yöntemi verilecektir.
Sonrasında (X, τ ) topolojik uzayında X’nin elemanları ve τ ’nın elemanları
arasındaki bazı ilişkilerden yola çıkarak temel bazı ”ayrışım” türleri verilecektir.
1.1
Topolojik Uzay
Topolojik uzayın tanımı aşağıdaki gibidir.
Tanım 1.1. (Kuratowski, 19222 ) X boş kümeden farklı bir küme olmak üzere,
∅ ve X’i içeren, sonlu arakesit işlem kapalı ve keyfi birleşim işlem kapalı
τ ⊂ P(X) kümesine, X üzerinde topoloji ve (X, τ ) ikilisine topolojik uzay
denir.
Yaygın olarak topolojik uzay kavramı aşağıdaki yazılım biçiminde verilir: X boş kümeden farklı bir küme olmak üzere, bir τ ⊂ P(X) kümesi
için aşağıda verilen topoloji aksiyomları olarak adlandırılan T 1, T 2 ve T 3
özelliler sağlınıyor ise (X, τ ) ikilisine topolojik uzay denir.
1
Akademik anlamda topoloji çlışmaların başlangıç noktası Leonhard Euler’in Konigsberg’in Yedi Köprüsü üzerine 1736 yılında yazmış olduğu makale olarak bilinir. ”Topology”
kelimesi almanca olarak ilk kez Johann Benedict Listing tarafından Vorstudien zur Topologie
tarafından kullanılmıştır.
2
Bu tanım Hausdorff tarafından 1914 yılında verilen ve günümüzde Hausdorff Uzayı
olarak bilinen tanımdan, Hausdorff aksiyomu olarak adlandırılan aksiyomun çıkartılmasıyla
elde edilmiş olan bir tanımdır.
2
1. Topolojik Uzaylar
(T1) ∅,X ∈ τ .
(T2) U , V ∈ τ ise U ∪ V ∈ τ .
(T3) I 6= ∅ ve her i ∈ I için Ui ∈ τ ise ∪i∈I Ui ∈ τ .
Pratiksel açıdan, söylenmek istenen anlaşılıyor ise (X, τ ) topolojik uzayı yerine, X topolojik uzayı diyebileceğiz.
Boş kümeden farklı bir X kümesi üzerindeki topolojilerin kümesi T op(X)
ile gösterelim. T op(X) 6= ∅ olduğu barizdir. Gerçekten
τ0 = {∅, X}
ve
τ1 = P(X)
olmak üzere τ0 ve τ1 ∈ T op(X) dir. Burada τ0 ’a en kalın topoloji ve τ1 ’ye ise
en ince topoloji denir. T op(X) kapsama sıralamasına göre, en küçük elemanı
en kaba topoloji ve en büyük elemanı en ince topoloji olan sıralı bir kümedir.
τ0 , τ1 ∈ T op(X) olan üzere, τ0 ≤ τ1 ise, yani τ0 ⊂ τ1 ise, τ0 , τ1 ’den daha
kalındır ya da τ1 , τ0 ’dan daha incedir denir.
T op(X)’nin kardinalitesinin ne olduğu sorusu anlamlıdır. Ilk elden,
|P(X)| ≤ |T op(X)| ≤ |P(P(X))|
olduğunu söyleyebiliriz. Gerçekten eşitsizliğin sağ tarafı T op(X) ⊂ P(P(X))
olmasındandır. Sol taraf eşitsizlik ise
P(X) \ {∅, X} → T op(X),
A → {∅, A, X}
olarak tanımlanan fonksiyonun bir sonucudur. Dolayısı ile genelleştirimiş continuum hipotezi altında 3 X sonsuz ise,
|P(X)| = |T op(X)|
ya da
|T op(X)| = |P(P(X))|
dir. Yukarıdaki yaklaşım yerine |T op(X)| daha kesin olarak hesaplanabilir.
Teorem 1.1. (G???) X sonsuz bir küme olmak üzere,
|T op(X)| = |P(P(X))|
dir.
3
bu hipotezin söylediği: X ve Y sonsuz kümeler ve |X| ≤ |Y | ≤ |P(X)| ise |X| = |Y | ya
da |Y | = |P(X)|ç Bu ifadenin sayılabilir X kümesi için geçerli olma durumuna continuum
hipotezi denir.
1.1. Topolojik Uzay
3
Bu teoremin kanıtını vermek için Stone-Cech kompactlama kavramına kadar
bekleyeceğiz.
Alıştırmalar
1.1. X boşkümeden farklı bir küme ve A ⊂ P(X) verilsin.
τ0 = {∩B : B ⊂ A
sonlu}
ve
τ = {∪U : U ⊂ τ0 } ∪ {∅, X}
olarak tanımlıyalım.
(i) τ ∈ T op(X).
(i) T ∈ T op(X) ve A ⊂ T ise τ ⊂ T .
olduklarını gösteriniz. τ topolojisine, A tarafından üretilen topoloji denir.
1.2. X boşkümeden farklı bir küme olmak üzere T op(X)’nin Dedekind complete lattice4
olduğunu gösteriniz.
1.3. X boşkümeden farklı bir küme olamak üzere, verilen A ⊂ P(X) küme tarafından
üretilen topolojiyi τA ile gösterelim.
ϕ : P(P(X)) → T op(X),
ϕ(A) = τA
olarak tanımlanan fonksiyonun örten olduğunu gösteriniz.
1.4. Bir elemanlı bir X kümesi için T op(X)’nin eleman sayı nedir. Aynı soruyu X’nin n
elemanlı olma durumu için yanıtlamaya çalışın.
1.5. τ ∈ T op(X) ve ∅ 6= Y ⊂ X verilsin.
τY = {Y ∩ U : U ∈ τ },
Y üzerinde topoloji, yani, τY ∈ T op(Y ) olduğunu gösteriniz. (Y, τY ) uzayına uygun bir
isim bulunuz.
1.6. τX ∈ T op(X) ve τY ∈ T op(Y ) olamak üzere,
τX×Y = {U × V : U ∈ τX , V ∈ τY }
olarak tanımlansın. τX×Y ∈ T op(X × Y ) olduğunu gösteriniz. (X × Y, τX×Y ) topolojik
uzayına uygun bir isim ne olabilir?
1.7. ∅ 6= Y ⊂ X olarak verilsin. τ ∈ T op(Y ) ise, τ ∪ {∅, X} ∈ T op(X) olduğunu gösteriniz.
4
Bir kısmı sıralı kümenin üstten ve alttan sınırlı ve boşkümeden farklı her alt kümenin
supremumu ve infimumu var ise, kısmı sıralı kümeye Dedekind complete denir.