1 ANALİZ 2 n- DEĞİŞKENLİ FONKSİYON : Tanım kümesi IR in alt

ANALİZ 2
n- DEĞİŞKENLİ FONKSİYON : Tanım kümesi IR n in alt kümesi olan fonksiyona ndeğişkenli fonksiyon denir.
SEVİYE EĞRİSİ : z  f ( x, y ) fonksiyonu verildiğinde, bu fonksiyonun xoy düzleminde
sabit değerler aldığı noktaların oluşturduğu eğriye denir.
YÖNE
GÖRE
TÜREV
:
Zincir
kuralından,
f ( x, y , z )
fonksiyonu;
x  g (t ), y  h(t ), z  k (t ) eğrileri üzerinde t nin türevlenebilen bir fonksiyonu ise;
df f dx f dy f dz
 .  .  .
dt x dt y dt z dt
olur. Bu eğri, P(a, b, c ) noktasından geçen ve u  u1i  u 2 j  u 3 k vektörüne paralel olan
x  a  u1t
y  b  u2t
z  c  u 3t
doğrusu ise;
df f
f
f
 .u1  .u 2  .u 3
dt x
y
z
olur. O halde f ( x, y , z ) fonksiyonunun P(a, b, c ) noktasındaki kısmi türevleri mevcut olmak
üzere u birim vektör olsun.
( Du f ) p  (f ).u
sayısına f ( x, y , z ) nin u yönündeki türevi denir.
GRADİYENT : Bir f fonksiyonunun gradiyenti ;
 f   f   f 
f   i    j   k
 x   y   z 
olur.
Örnek :
f ( x, y , z )  xy 2  yz
fonksiyonunun;
u
2
3
6
i j
7
7
7
yönündeki türevinin
P(1,7,7) noktasındaki değeri nedir.
Çözüm : f x  y 2 , f y  2 xy  z , f z  y olduğundan f ’in P(1,7,7) noktasındaki gradienti;
(f ) p  49i  21 j  7k
olur. Buna göre ;
2
3
6
( Du f ) p  49.  21.  7.  17
7
7
7
bulunur.
VEKTÖR ALANI : F fonksiyonu D bölgesinin her noktasına bir vektör karşılık getiriyorsa,
F fonksiyonu D bölgesinde bir vektör alanı oluşturuyor denir. D bölgesi ve onun her bir
noktasına karşılık gelen vektörlerle birlikte vektör alanı adı verilir. Bir vektör alanı P, Q, R
bileşen fonksiyonları cinsinden; F ( x, y , z )  P( x, y , z )i  Q( x, y, z ) j  R( x, y , z )k olarak
gösterilir. Gradient vektör alanıdır.
1
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
DİVERGENS:
F ( x, y , z )  P( x, y , z )i  Q( x, y, z ) j  R( x, y , z )k
P Q R
,
,
mevcut olsun.
x y z
P Q R


x y z
ifadesine F vektör alanının divergensi denir ve divF ile gösterilir.
vektör
alanı
için;
ROTASYON : F ( x, y , z )  P( x, y , z )i  Q( x, y, z ) j  R( x, y , z )k vektör alanının P, Q, R
bileşen fonksiyonları birinci mertebeden türevlere sahip olsun.
  F  ( R y  Q z )i  ( Pz  R x ) j  (Q x  Py )k
vektör alanına F ’in rotasyonu denir ve rotF ile gösterilir.
i
j
k



rotF 
x y y
P Q R
olur.
Örnek : F ( x, y, z )  ( y  z ) xi  ( x  z ) yj  ( x  y ) zk olduğuna göre rotF alanını bulunuz.
i
j
k



Çözüm : rotF 
 ( z  y )i  ( x  z ) j  ( y  x ) k
x
y
y
( y  z ) x ( x  z) y ( x  y ) z
f ( x, t ) fonksiyonu ( x, t ) : a  x  b, c  t  d 
f
dikdörtgenini kapsayan bir bölgede sürekli
kısmi türevine sahip olsun. Bu taktirde
t
c  t  d için
b
b
d

f ( x, t )dt   f ( x, t )dx

dt a
t
a
dir.
LEİBNİZ
FORMÜLÜ
:
Sürekli
PARÇALANMA : xoy düzleminde verilen bir B bölgesini; B1 , B2 ,...Bn gibi alt bölgelere
ayıralım. P  {B1 , B2 ,..., Bn } kümesine B bölgesinin bir parçalanması denir.
İKİ KATLI İNTEGRAL : Eğer;
n
lim
P 0
 f (x
k
, y k )Ak
k 1
limiti mevcutsa, bu limite f fonksiyonunun B üzerindeki iki katlı integrali denir ve
 f ( x, y)dA   f ( x, y)dxdy
A
B
ile gösterilir.
2
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
BİRİNCİ FUBİNİ TEOREMİ : B  {( x, y ) : a  x  b, c  y  d }
fonksiyonu sürekli olsun. Bu taktirde;
b d
d b







 dy
f
(
x
,
y
)
dxdy

f
(
x
,
y
)
dy
dx

f
(
x
,
y
)
d
x
B
a  c




ca


dir.
Örnek: B  {( x, y ) : 0  x  1,2  y  4} bölgesi üzerinde
 x
2
ve
f : B  IR
ydxdy integralini hesaplayınız.
B
Çözüm : Birinci Fubini teoreminden;
1 4
 x
B
2
ydxdy    x 2 ydxdy  2
0 2
olur.
İKİ KATLI İNTEGRALİN UYGULAMALARI : Bu integrallerin; fizikte, matematikte ve
mühendislikte uygulama alanı vardır.
1) ALAN HESABI :  f ( x, y )dA   f ( x, y )dxdy de f fonksiyonu her ( x, y )  B için
A
B
1 olarak tanımlanırsa;
n
lim
P 0
 A
k
k 1
  dxdy
B
olur. O halde parçalanma nasıl yapılırsa yapılsın Ak alanlarının toplamı B bölgesinin alanı
olacağından;
Alan( B)   dxdy
B
olur.
Örnek : y  x 2 parabolü ile y  x  2 doğrusu arasında kalan bölgenin alanı nedir. x
2 x2
Çözüm : A 

1 x 2
2
9
olur.
2
f fonksiyonu B bölgesinde sürekli ve pozitif tanımlı ise
dydx   ( x  2  x 2 )dx 
1
2) HACİM HESABI :
n
 f (x
k
, y k )Ak
ifadesi, taban alanı Ak
ve yüksekliği
f ( x k , y k ) olan dik
k 1
silindirlerin hacimleri toplamıdır.
V   f ( x, y )dxdy
B
2
2
Örnek : x  y  2 y silindiri ile z  0 ve x  y  z  6 düzlemleri arasında kalan bölgenin
hacmini bulunuz.
Çözüm : V   f ( x, y )dxdy =  (6  x  y )dxdy olur.
B
B
3
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
3) KÜTLE HESABI : xoy düzleminde yoğunluğu  ( x, y ) olan bir levha göz önüne
alalım. Bu levhanın kapladığı bölge B ve yoğunluk fonksiyonu B üzerinde sürekli
olsun. Bu durumda kütle;
M    ( x, y )dxdy
B
olur.
Örnek : 3 cm yarıçaplı daire şeklindeki bir levhanın yoğunluğu, her noktada o noktanın
dairenin merkezine olan uzaklığı ile orantılı olarak değişmektedir. Dairenin sınırı üzerinde
yoğunluk 6 olduğuna göre levhanın kütlesini bulunuz.
Çözüm : ( x, y ) notasındaki yoğunluk  ( x, y )  k x 2  y 2 olur. x 2  y 2  9 için  ( x, y )  6
olacağından 6  k 9  k  2 olur. Bu durumda ;
M    ( x, y )dxdy   2 x 2  y 2 dxdy  36
B
B
olur.
ÜÇ KATLI İNTEGRALLER : Bu integraller integrasyon bölgesi üç boyutlu uzayda bir
bölge olan integrallerdir. Eğer
n
lim
P 0
 f (x
k
, y k , z k ) Vk
k 1
limiti varsa bu limite f nin G üzerindeki üç katlı integrali denir ve
 f ( x, y, z )dV
G
ile gösterilir.
KÜRESEL KOORDİNATLAR : xyz uzayında P( x, y, z ) noktası verilmiş olsun. P( x, y, z )
noktasının orjine olan uzaklığı  , OP doğru parçasının oz-ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı
 olsun. OP doğru parçasının xoy düzlemindeki dik izdüşümü OP ' ve OP ' doğru parçasının
ox- ekseni ile pozitif yönde yaptığı açı  olsun. OP '   sin  olduğundan;
x   sin  cos 
y   sin  sin 
z   cos 
olur. Burada (  , , ) ifadesine P noktasının küresel koordinatları denir.
Örnek : P(3, 3 , 2)  (4,
 
, ) dir.
3 6
SİLİNDİRİK KOORDİNATLAR : xyz düzleminde bir M ( x, y, z) noktası alalım. M
noktasının xoy düzlemindeki dik iz düşümü M 1 ve M 1 noktasının xoy düzlemindeki kutupsal
koordinatları (r ,  ) olsun. Buna göre;
x  r cos 
y  r sin 
zz
olur. Eğer integrasyon bölgesi silindir parçası ise silindirik koordinatlar kullanılır.
4
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
EĞRİSEL İNTEGRALLER : Bu integraller integrasyon bölgesi eğri parçası olan
integrallerdir. f , D  IR 3 bölgesi üzerinde sürekli bir fonksiyon ve
r (t )  x (t )i  y (t ) j  z (t )k , a  t  b
ile verilen düzgün eğri C olsun. Eğer l k eğri parçasının uzunluğu olmak üzere
n
lim
P 0
 f (x
, y k , z k )l k
k
k 1
limiti varsa bu limite f fonksiyonunun C eğrisi üzerindeki eğrisel integrali denir ve
b
 f ( x, y, z )dl   f ( x(t ), y(t ), z (t )). r ' (t ) dt
C
a
biçiminde yazılır.
Örnek : f ( x, y , z )  xyz fonksiyonunun r (t )  cos ti  sin tj  tk ,0  t  2 helis parçası
üzerindeki integralini hesaplayınız.
Çözüm : r ' (t )  2 olur. Buna göre;
2
 xyzdl 
C
 cos t. sin t.t.
2dt  
0
2

2
olur.
GREEN TEOREMİ : B, xoy düzleminde bir basit bölge, C de bu bölgeyi çevreleyen ve saat
yönünün ters yönünde yönlendirilmiş bir eğri olsun. P ve Q fonksiyonları B üzerinde sürekli
türevlere sahip fonksiyonlar ise
 Q P 
C P( x, y)dx  Q( x, y)dy  B  x  y dxdy
olur.
YÜZEY İNTEGRALLERİ : Bu integraller integrasyon bölgesi yüzey parçası olan
integrallerdir.
n
lim
P 0
 g(x
k
, y k , z k )S k
k 1
limiti varsa bu limite g nin S üzerindeki birinci çeşit yüzey integrali denir ve
 g ( x, y, z )dS   g ( x, y, f ( x, y))
S
1  f x2  f y2 dxdy
B
olur.
STOKES TEOREMİ : Bu teorem bir düzlemsel bölge ile onun sınır eğrisi için ifade edilen
green teoreminin üç boyutlu uzaya genellemesidir.
S normali n olan ve sonlu alana sahip bir yönlendirilmiş yüzey olsun. Bu yüzeyin C sınır
eğrisi kapalı, parçalı düzgün eğri olup bunun yönü S den indirgenen yön olsun. F de S
üzerinde sürekli bir vektör alanı ve F nin bileşen fonksiyonları, S nin sınır noktası olmayan
noktalarında sürekli kısmi türevlere sahip olsun. Bu taktirde,
 F .dr   rotF .ndS
C
S
5
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/
GAUSS TEOREMİ : Bu teorem green teoreminin yüksek boyutlu uzaylara genellemesidir.
D basit uzay bölgesi, S bu bölgenin sınır yüzeyi ve n de bu yüzeyin normali olsun. F, bileşen
fonksiyonları D üzerinde sürekli kısmi türevlere sahip bir vektör alanı ise;
 F .ndS   (divF )dxdydz
S
D
dir.
6
Created with Print2PDF. To remove this line, buy a license at: http://www.software602.com/