10sn mat fasikül-5.indb - Hasan KORKMAZ`ın Web Sayfası

kapak sayfası
İÇİNDEKİLER
7. ÜNİTE
POLİNOMLAR
Polinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler................................................................................................... 3 – 4
Polinom Kavramı........................................................................................................................................ 4 – 9
Polinomlarda İşlemler................................................................................................................................ 9 – 11
Konu Testleri 1 - 2 - 3 - 4 - 5 . ..................................................................................................................... 12 – 26
Polinomlarda Çarpanlara Ayırma................................................................................................................... 27
Çarpanlara Ayırma..................................................................................................................................... 27 – 34
Konu Testleri 6 - 7 - 8 - 9 . .......................................................................................................................... 35 – 40
Polinom ve Rasyonel Denklemlerin Çözüm Kümeleri.................................................................................... 41
Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi ve Genişletilmesi............................................................................. 41 – 45
Konu Testleri 10 - 11 - 12 - 13..................................................................................................................... 46 – 55
Yayımlayan: Sebit Eğitim ve Bilgi Teknolojileri AŞ
Basým Yeri: Ceren Matbaacılık AŞ.
Üniversiteler Mah. İhsan Doğramacı Bulv.
Basým Tarihi: Haziran / 2016
No:15 06800 ODTÜ Teknokent
Ankara / TÜRKİYE
Sertifika No: 33674
Tel: 0312 292 62 62
www.sebit.com.tr
ISBN Numarası: 978-605-9739-73-3
[email protected]
Bu kitabın her hakkı saklıdır. Kısmen ve kaynak gösterilerek de olsa kesinlikle hiçbir alıntı yapılamaz. Metin, biçim, sorular, yayımlayan şirketin izni olmaksızın elektronik,
mekanik, fotokopi ya da herhangi bir sistemle çoğaltılamaz, dağıtılamaz ve yayımlanamaz.
POLİNOMLAR
1
Ünite-7
Kazanımlar
10.7.1.
Polinom Kavramı ve Polinomlarla
İşlemler
10.7.1.1. Gerçek katsayılı ve bir değişkenli
polinom kavramını açıklar.
10.7.1.2. Polinomlarla toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini yapar.
10.7.1.3. Bir p(x) polinomunun q(x) polinomuna
bölümünden kalan bulur.
10.7.1.4. Katsayıları tam sayı ve en yüksek
dereceli terimin katsayısı 1 olan polinomların tam sayı sıfırlarının, sabit
teriminin çarpanları arasından olacağını örneklerle gösterir.
10.7.2.
Polinomlarda Çarpanlara Ayırma
10.7.2.1. Gerçek katsayılı bir polinomu çarpanlarına ayırır.
10.7.3.
Polinom ve Rasyonel Denklemlerin
Çözüm Kümeleri
10.7.3.1. Rasyonel ifade kavramını örneklerle
açıklar ve rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi ile ilgili uygulamalar yapar.
10.7.3.2. Polinom ve rasyonel denklemlerle ilgili
uygulamalar yapar.
Raunt
3
POLİNOMLAR
POLİNOMLAR
Polinom Kavramı ve Polinomlarda İşlemler
Polinom Kavramı
n, n – 1, n – 2, ..., 0 ∈ N ve a0, a1, a2, ... , an ∈ R,
an ≠ 0 olmak üzere;
P(x) = anxn + an–1xn – 1 + ... + a2x2 + a1x + a0
biçimindeki ifadelere x e baðlý, n inci dereceden bir deðiþkenli polinom denir.
an, an-1, ..., a1, ao reel sayýlarýna polinomun katsayýlarý denir.
Sýfýrdan farklý an reel sayýsýna polinomun baþ katsayýsý denir.
x in en büyük üssü olan n doðal sayýsýna polinomun derecesi denir ve der (P(x)) = n biçiminde
gösterilir.
an.xn, an–1.xn–1,... , a1.x, ao ifadelerinden herbirine polinomun bir terimi denir.
a0 reel sayýsýna sabit terim denir.
Örnek
1
Çözüm
1
P(x) = –8x5 + 7x4 – 3x3 + 5x2 + 10
a) der(P(x)) = 5
polinomu veriliyor.
b) Baş katsayı: –8
c) Sabit terim: 10
a) Bu polinomun derecesi kaçtýr?
d) Katsayılar toplamı: –8 + 7 – 3 + 5 + 10 = 11
b) Bu polinomun baþ katsayýsý kaçtýr?
c) Bu polinomun sabit terimi kaçtýr?
d) Bu polinomun katsayýlar toplamý kaçtýr?
Alıştırma
1
Aþaðýdaki tabloyu örneðe uygun biçimde doldurunuz.
�������
���������������
�
������ ��
�
���������
�������������
������ �
�
�������
4
Raunt
�����������������
��������
����������������� �����������������
�������������� �������������
�������������������
���
�
��
Matematik-10 Ünite-7
2
Örnek
Çözüm
Aþaðýdaki ifadelerden hangileri polinomdur?
a)P(x) = 3x4 – 5x2 + 11
P(x), R(x), T(x), K(x) birer polinomdur.
1
in, S(x) ifadesinde ise x in derecex
si doğal sayı olmadığından, bu iki ifade de polinom
Q(x) ifadesinde
b)Q(x) = x3 – 8x +
c)R(x) = x3 – 7x2 +
2
.x+4
d)S(x) = x3 –
belirtmez.
f
e)T(x) = 13
1/2
−1
1
1
z N)
= x , − 1 z N p ve ( x = x ,
x
2
f) K(x) = 0
Alıştırma
2
12
m
P(x) = 3 . x m + 2 . x 2 – 5 . xm − 2 + 6 ifadesi
m = 12 için polinom olur mu? Neden?
m = 3 için polinom olur mu? Neden?
m = –4 için polinom olur mu? Neden?
Bu ifadeyi polinom yapan tüm m tamsayý deðerlerini bir A kümesine yazýnýz.
A = {......................................................}
3
Örnek
5
P(x) = x m−1 + 7 . x
Çözüm
3m −17
+3
ifadesi bir polinom olduðuna göre, bu polinomun
derecesi kaçtır?
3
P(x) ifadesi bir polinom ise, içerisindeki tüm terimlerin
dereceleri birer doğal sayı olmalıdır. Buradan,
•
5
$0
m−1
• 3m – 17 ≥ 0
}
•m–1>0⇒m>1
•m$
17
3
O halde m = 6 olmalıdır. ((m–1), 5 i tam bölmelidir.)
P(x) = x + 7x + 3 = 8x + 3 ⇒ der(P(x)) = 1 olur.
Raunt
5
POLİNOMLAR
Sabit Polinom
a ≠ 0 olmak üzere, P(x) = a polinomuna sabit polinom denir. Sabit polinomun derecesi 0 dýr.
Örnek
4
Çözüm
P(x) = (m + 2) . x3 + (n – 3) . x + 8
polinomu sabit polinom olduðuna göre, m.n kaçtýr?
4
m + 2 = 0 ve n – 3 = 0 olmalıdır.
m = –2 ve n = 3 olur.
O halde; m.n = –2.3 = –6
Alıştırma
3
Tablodaki P(x) polinomlarýnýn sabit polinom olabilmesi için a ve b deðerlerini bularak boþ
olan yerlere yazýnýz.
�������
�
�
������������������
�����������������������
�����������������������
Sýfýr Polinomu
P(x) = 0 polinomuna sýfýr polinomu denir.
Sýfýr polinomunun derecesi belirsizdir.
Örnek
5
P(x) = (a + b – 6)x3 + a – b – 2
polinomu, sýfýr polinomu olduðuna göre, a kaçtýr?
Çözüm
a + b – 6 = 0 ve a – b – 2 = 0 olmalıdır.
a+b=6
+a–b=2
2a = 8
a=4
6
Raunt
5
Matematik-10 Ünite-7
Alıştırma
4
Tablodaki P(x) polinomlarýnýn sýfýr polinomu olabilmesi için a, b ve c deðerlerini bularak
aþaðýdaki boþ olan yerlere yazýnýz.
�������
�
�
�
��������������������
�������������������������
����������������������������
Örnek
6
Çözüm
P(3x – 2) = 6x + 5
6
3x – 2 → x
3x → x + 2
olduðuna göre, P(x) polinomu nedir?
x→
x+2
yazılarak
3
Pf 3f
x+2
x+2
p − 2 p = 6. f
p+5
3
3
P(x) = 2x + 9
Alıştırma
5
Aþaðýdaki tabloyu örneðe uygun biçimde doldurunuz.
�������
��������������
�����
�����
�
����������
�������
�
��������
��������
��������� ���������
������
������
�
�
���������������
��������
������������
��������������
�������
Tabloya göre;
•
Sabit terim ile polinomlarýn x = 0 için aldýðý deðerleri karþýlaþtýrýnýz.
•
Katsayýlar toplamý ile polinomlarýn x = 1 için aldýðý deðerleri karþýlaþtýrýnýz.
•
Bir polinomda katsayýlar toplamýný ve sabit terimi bulmak için bir yöntem oluþturabilir
misiniz?
•
Sonuç olarak; verilen polinomda katsayılar toplamı bulunurken x yerine 1 yazılır.
Sabit terimi bulurken x yerine 0 yazılır.
Raunt
7
POLİNOMLAR
7
Örnek
Çözüm
P(x) = 3(x3 + 2x – 1)4 – 5x – 7
polinomunun katsayýlarýnýn toplamý kaçtýr?
= 3(2)4 – 5 – 7
= 48 – 12
= 36
Çözüm
P(x) bir polinomdur.
2
P(1) = 3(13 + 2.1 – 1)4 – 5.1 – 7
8
Örnek
P(x + 1) + P(x – 1) = 2x + 2x – 2
olduðuna göre, P(x) polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayýlar toplamý kaçtýr?
7
8
P (1) + P (− 1)
değeri soruluyor.
2
x = 0 ⇒ P(1) + P(–1) = 2.02 + 2.0 – 2
P(1) + P(–1) = –2
P (1) + P (− 1) − 2
=
=− 1
2
2
9
Örnek
P(x) = (2x – 1)7 + (x + 2)7
polinomu düzenlendiðinde elde edilen tek dereceli
terimlerin katsayýlarýnýn toplamý kaçtýr?
Çözüm
9
P (1) − P (− 1)
değeri soruluyor.
2
P(1) = (2.1 – 1)7 + (1 + 2)7
= 1 + 37
P(–1) = (2.(–1) – 1)7 + (–1 + 2)7
= –37 + 1
7
7
7
P (1) + P (− 1) 1 + 3 − (− 3 + 1)
=
=3
2
2
8
Raunt
Matematik-10 Ünite-7
Örnek
10
Çözüm
P(x) = 2.(3x – 1)5 – 6. (x + 2)2 + 10x – 4
polinomunun sabit terimi kaçtýr?
10
P(0) = 2.(3.0 – 1)5 – 6.(0 + 2)2 + 10.0 – 4
= 2.(–1)5 – 6 . 4 – 4
= –2 – 24 – 4
= –30
Polinomlarýn Eþitliði (Özdeþliði)
P(x) ve Q(x) ayný dereceden iki polinom olsun. P(x) ve Q(x) polinomlarýnda eþit dereceli terimlerin
katsayýlarý karþýlýklý olarak birbirine eþit ise bu iki polinom birbirine eþittir.
P(x) ve Q(x) polinomlarýnýn birbirine eþitliði
P(x) = Q(x) biçiminde gösterilir.
Örnek
11
Çözüm
P(x) = mx2 – 3x + n + 1
Q(x) = –3x + 2n – 5
polinomlarý veriliyor.
Bu iki polinom eþit (özdeþ) olduðuna göre, m + n
11
m = 0 ve
n + 1 = 2n – 5 olmalıdır. (Aynı dereceli terimlerin kat6=n
sayıları eşittir.)
m+n=6
toplamý kaçtýr?
Polinomlarda Ýþlemler
Toplama ve Çýkarma Ýþlemleri
Herhangi iki polinom arasýnda toplama veya çýkarma iþlemi yapýlýrken ayný dereceli terimler
arasýnda iþlem yapýlýr.
Raunt
9
POLİNOMLAR
Alıştırma
6
Aþaðýdaki tabloda boþluklarý doldurunuz.
�����
�����
����
������� ������� �������
��������� ��������� ���������
����������
�����������������
�������������������
�����
�����
�
��
�����
�
�����������
�
�����������
�
Tabloya bakarak;
• –Q(x) polinomunu yazýnýz.
•
P(x) – Q(x) polinomunu yazýnýz.
•
P(x) + Q(x) polinomunu yazýnýz.
Örnek
12
Çözüm
12
P(x) = 3x3 – 4x2 + 7x – 5
P(x) = Q(x) = (3x3 – 4x2 + 7x – 5) + (5x2 + 4x + 3)
Q(x) = 5x2 + 4x + 3
polinomlarý veriliyor.
= 3x3 + x2 + 11x – 2
P(x) – Q(x) = (3x3 – 4x2 + 7x – 5) – (5x2 + 4x + 3)
= 3x3 – 9x2 + 3x – 8
a) P(x) + Q(x) polinomu nedir?
b) P(x) – Q(x) polinomu nedir?
Örnek
13
P(x) = x3 – 2x2 – 5x + m
Q(x) = x4 + px3 + nx – 2
polinomlarý veriliyor.
P(x) + Q(x) = (m – 1)x4 + 4x3 + ax2 + 6x + b
olduðuna göre, a + b + m + n + p toplamý kaçtýr?
Çözüm
13
P(x) + Q(x) = (x3 – 2x2 – 5x + m) + (x4 + px3 + nx – 2)
= x4 + (p + 1)x3 – 2x2 + (n – 5)x + m – 2
= (m – 1)x4 + 4x3 + ax2 + 6x + b
m – 1 = 1, p + 1 = 4, –2 = a, n – 5 = 6, m–2=b
m = 2
2–2=b
p = 3
–2 + 0 + 2 + 11 + 3 = 14
10
Raunt
n = 11
0=b
Matematik-10 Ünite-7
Polinomlarda Çarpma Ýþlemi
Ýki polinomu çarpmak için birinci polinomun her terimi ikinci polinomun her terimiyle ayrý ayrý
çarpýlýr. Çarpýmlardan elde edilen ayný dereceli terimler toplanýr.
Örnek
14
Çözüm
14
P(x) = x2 – 3x
P(x) . Q(x) = (x2 – 3x) (x3 + 4)
Q(x) = x3 + 4
= x2 . x3 + 4x2 – 3x . x3 – 3x . 4
= x5 + 4x2 – 3x4 – 12x
= x5 – 3x4 + 4x2 – 12x
olmak üzere, P(x).Q(x) polinomu nedir?
Bir Polinomun Bir Sabitle Çarpýmý
Bir P(x) polinomunu bir c reel sayýsýyla çarpmak için, P(x) in her teriminin katsayýsý c ile çarpýlýr.
Örnek
P(x) = 4x2 – 3x + 5 polinomu verilsin.
a) 3.P(x) = 3.(4x2 – 3x + 5)
= 12x2 – 9x + 15 tir.
b) –2.P(x) = –2.(4x2 – 3x + 5)
= –8x2 + 6x – 10 dur.
Raunt
11
Sınav
Kodu:
M101079
POLİNOMLAR
1
Konu Testi
1.
P( x ) =
28
3 . x n+ 2
+x
n−16
olduðuna göre, P(x) polinomunun derecesi kaçtýr?
A) 10
B) 9
C) 8
D) 7
E) 6
4.
P(x) = (x + 1) . (x2 – ax – 1) + 3x – 4
Q(x) = x3 – 4x2 + bx + c
polinomlarý veriliyor.
P(x) = Q(x) olduðuna göre, a + b + c toplamý
kaçtýr?
A) 0
2.
P(x) = (2a – 2)x2 + (b + 4)x + c – 2
polinomu sýfýr polinomu olduðuna göre,
a + b + c toplamı kaçtýr?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
5.
E) 2
P(x + 1) = x2 – x + 3
A) 3
12
Raunt
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
D) –3
E) –4
eþitliði veriliyor.
Buna göre, P(2x + 3) polinomunun katsayýlar
toplamý kaçtýr?
6.
olduğuna göre, P(x – 1) polinomunun katsayılar
toplamı kaçtır?
C) –2
(x – 2) . P(x + 1) = 3x2 – 2x + k
A) 8
3.
B) –1
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
P(x + 2) + P(x – 2) = 2x + 8
olduðuna göre, P(x) polinomunun katsayýlar
toplamý kaçtýr?
A) 5
B) 6
C) 8
D) 10
E) 11
Matematik-10 Ünite-7
7. der(P(x)) = 4 ve der(Q(x)) = 5 olduðuna göre,
P3(x2– 4) . Q(P(x2)) polinomunun derecesi kaçtýr?
A) 66
8.
B) 64
C) 48
D) 38
C) –1
D) –2
P(x) . Q(x) = 9x3 + mx2 + nx – 1
olduðuna göre, Q(x) polinomunu nedir?
A) 2x–1 B) 3x+1
11.
olduðuna göre, a . b kaçtýr?
B) 0
P(x) = 3x2 + 2x + 1 polinomu veriliyor.
E) 32
x6 + 3x5 – 5x3 + 3x – 1 = (x2 + ax + b)3
A) 1
10.
E) –3
P(x) = x3 – 2x + 3
Q(x) = 4x4 + 2x2 – 3x + 5
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
E) 3x–1
olduðuna göre, P(x) polinomunun katsayýlar
toplamý kaçtýr?
12.
olduðuna göre, P(x) . Q(x) polinomunda x2 li
terimin katsayýsý kaçtýr?
D) 3x
(x – 1) . P(x) = x4 – x3 + ax2 + x – 3
A) 6
9.
C) 2x
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
P(x) + 2P(–x) = 3x2 + x + 9
olduðuna göre, P(x – 2) polinomunun katsayýlar
toplamý kaçtýr?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Raunt
13
POLİNOMLAR
Polinomlarda Bölme Ýþlemi
P(x), Q(x), R(x), K(x) birer polinom olsun.
der (P(x)) ≥ der (Q(x))
der (K(x)) < der (Q(x))
P(x) = Q(x) . R(x) + K(x)
ise P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölünmesinden elde edilen bölüm polinomu R(x), kalan
polinomu K(x) tir.
Bu bölme iþlemi
P(x)
–
Q(x)
R(x)
K(x)
biçiminde gösterilir.
Bu bölme iþleminde P(x) e bölünen, Q(x) e bölen, R(x) e bölüm, K(x) e kalan denir.
K(x) = 0 ise P(x), Q(x) e tam bölünüyor denir.
P(x) = Q(x) . R(x) + K(x)
eþitliðine bölme özdeþliði denir.
Örnek
15
Çözüm
15
2
Bir P(x) polinomunun x2 + 3 ile bölünmesinden elde
edilen bölüm x – 1 ve kalan 2x + 1 olduðuna göre,
P(x) polinomu nedir?
Örnek
16
= x3 – x2 + 3x – 3 + 2x + 1
= x3 – x2 + 5x – 2
Çözüm
P(x) = x2 – 4x + 8 polinomununun x – 1 e bölümünden
x2 – 4x + 8
16
x–1
2
x–3
– x – x ––––––––––
–3x + 8
elde edilen bölüm ve kalan nedir?
Alıştırma
P(x) = (x + 3).(x – 1) + 2x + 1
– –3x + 3 ––––––––
5
6
Bölme iþlemini yaparak tablodaki boþluklarý doldurunuz.
�������
��������� ���� ���������
�����
���� ����
�
�
�
�
�
����
������� ��
14
��������� ������� ������� �������
����� ����� ����� �������� �������� �������� ��������
Raunt
B(x) = x – 3
K(x) = 5
Matematik-10 Ünite-7
P(x) Polinomunun x – a ile Bölümünden Elde Edilen Kalan
x – a birinci dereceden bir polinom olduðundan, P(x) polinomunun x – a ile bölünmesinden elde
edilen kalan bir k sabit sayýsýdýr.
P(x)
–
x–a
Q(x)
k
bölme iþleminden P(x) = (x – a) . Q(x) + k bölüm özdeþliði yazýlabilir.
Bu eþitlikte, x = a yazýlýrsa P(a) = k bulunur.
Buna göre, bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen kalan P(a) dýr.
17
Örnek
Çözüm
P(x) = x3 + 5x2 – 4
17
P(1) değeri soruluyor.
polinomunun x – 1 ile bölümünden elde edilen kalan
P(1) = 13 + 5.12 – 4
kaçtır?
=2
7
Alıştırma
Aþaðýda verilen polinomlarýn baþka bir polinoma bölünmesi ile elde edilen kalaný, bölme iþlemi
yapmadan kýsa yoldan örneðe uygun þekilde doldurunuz.
�������
�����
�������
���
��������
���
����������
���
�����������������
���������������������������
�����
�
� ��������������������� ��������������
����������������������
18
Çözüm
P(x) = x2 + ax + 7
P(–2) = –1 dir.
Örnek
18
polinomunun x + 2 ile bölümünden elde edilen kalan
P(–2) = (–2)2 + a.(–2) + 7 = –1
–1 olduðuna göre, a kaçtýr?
= 4 – 2a + 7 = –1
12 = 2a
a=6
Raunt
15
POLİNOMLAR
Örnek
19
Çözüm
P(x) = 4x2 + 8x + 3
polinomunun 2x – 1 ile bölümünden kalan kaçtýr?
19
Pf
1
p değeri soruluyor.
2
Pf
1
1
1
p = 4. f p + 8. f p + 3
2
2
2
2
=1+4+3
=8
Örnek
20
Çözüm
4
2
P(x) = 3x + 2x – a
20
P(�2) = 0 olmalıdır.
polinomunun x – 2 ile tam bölünebilmesi için a
kaç olmalýdýr?
P(�2) = 3.(�2)4 + 2.(�2)2 – a = 0
⇒ 12 + 4 – a = 0
a = 16
P(x) Polinomunun x2 – a ile Bölümünden Elde Edilen Kalan
P(x)
x2 – a
–
B(x)
K(x)
bölme iþleminden P(x) = (x2 – a) . B(x) + K(x) yazýlabilir.
Bu eþitlikte, her bir x2 yerine a yazýlýrsa K(x) elde edilir.
16
Raunt
Matematik-10 Ünite-7
21
Örnek
4
Çözüm
3
2
P(x) = x – x + 2x + 4x – 3
21
x2 + 2 = 0 ⇒ x2 = –2 olur.
polinomunun x2 + 2 ile bölümünden elde edilen kalan
P(x) = x2 . x2 – x2 . x + 2.x2 + 4x – 3
nedir?
biçiminde yazarsak;
K(x) = (–2)(–2) – (–2)x + 2(–2) + 4x – 3
= 4 + 2x – 4 + 4x – 3
= 6x – 3
8
Alıştırma
Aþaðýda verilen polinomlarýn baþka bir polinoma bölünmesi ile elde edilen kalaný, bölme iþlemi
yapmadan kýsa yoldan örneðe uygun þekilde doldurunuz.
�������
���������
�����
����
�����������������
���������������������������
�����
��������������������������
�����������������������
������������
������������������
�
����������� � ��
��������
������
���������
������
��������
����������
���������������������������
��������������������������
����������������������������
������� ��� ��������
������� ����
�
��������� ����������
Örnek
22
P(x + 1) = 2x2 – ax + 3
eþitliði veriliyor.
Çözüm
22
P(2) = 8 dır. P(3) = ?
P(x) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 8
P(x + 1) = 2x2 – ax + 3
↓
1
olduðuna göre, P(x) polinomunun x – 3 ile bölümün-
x = 1 ⇒ P(2) = 2.12 – a.1 + 3 = 8
den kalan kaçtýr?
a = –3
P(x + 1) = 2x2 + 3x + 3
↓
2
x = 2 ⇒ P(3) = 2.22 + 3.2 + 3
= 17
Raunt
17
POLİNOMLAR
Örnek
23
Bir P(x) polinomunun (x – 2) ile bölümünden elde
edilen kalan 5, (x + 1) ile bölümünden elde edilen
kalan 2 olduðuna göre, P(x) polinomunun
(x + 1).(x – 2) ile bölümünden kalan nedir?
Örnek
24
Bir P(x) polinomunun Q(x) polinomu ile bölümünden elde
edilen bölüm ( x – 1), kalan (2x + 7) dir.
Q(x) polinomunun x2 + x + 1 polinomu ile bölümünden
kalan 5x – 2 olduðuna göre, P(x) polinomunun
(x – 1) . (x2 + x + 1) ile bölümünden elde edilen kalan
nedir?
Örnek
25
P(x) bir polinomdur.
(x + 1) . P(x) = x3 + ax2 – 1
olduðuna göre, P(x) in x + 1 ile bölümünden kalan
kaçtır?
18
Raunt
Çözüm
23
P(2) = 5, P(–1) = 2 dır.
P(x) = (x + 1)(x – 2).B(x) + ax + b
x = 2 ⇒ P(2) = 2a + b = 5
x = –1 ⇒ P(–1) = –a + b = 2
Buradan; 2a + b = 5
– –a + b = 2
–––––––––––––––
3a = 3 ⇒ a = 1 ⇒ b = 3
⇒ K(x) = x + 3 bulunur.
Çözüm
24
P(x) = Q(x) . (x – 1) + (2x + 7)
Q(x) = (x2 + x + 1).B(x) + 5x – 2
P(x) = [(x2 + x + 1).B(x) + 5x – 2] . (x – 1) + (2x + 7)
= (x – 1)(x2 + x + 1).B(x) + 5x2 – 5x – 2x + 2 + 2x + 7
= (x – 1)(x2 + x + 1).B(x) + 5x2 – 5x + 9
⇒ K(x) = 5x2 – 5x + 9
Çözüm
25
x = –1 ⇒ 0 = (–1)3 + a.(–1)2 – 1
0 = –1 + a – 1
a=2
(x + 1).P(x) = x3 + 2x2 – 1
x3 + 2x2 – 1
x+1
– x3 ± x2 x2 + x – 1 = P(x)
x2 – 1
⇒ P(–1) = –1
2
– x ± x
–x – 1
– –x – 1
0
Sınav
Kodu:
M101080
Matematik-10 Ünite-7
2
Konu Testi
1. P(x) = x2 – 4x – 2m – 3 polinomu veriliyor.
4. P(x – 2) polinonumun çarpanlarýndan biri
x + 1 olduðuna göre, m kaçtýr?
A) 9
B) 8
6
4
C) 7
D) 6
3
2. P(x) = x – 3x + x + mx + n polinomunun x – 2
ile bölümünden kalan 8x – 2 olduðuna göre, m.n
çarpımı kaçtýr?
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
polinomu x2 – 2x + 1 polinomu ile tam bölünebildiðine göre, a + b kaçtır?
A) –3
E) 5
2
P(x) = x3 – x2 + ax + b
C) –1
D) 0
E) 1
5. Bir P(x) polinomunun (x + 3) . (x – 2) ile bölümünden
kalan 4x – 7 dir.
Buna göre, P(x + 1) polinomunun (x – 1) ile
bölümünden kalan kaçtýr?
E) 15
A) 5
6. B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
P(x + 1) = (2x2 – 2x + 2) . Q(x – 1) + 1
eþitliðinde P(x) ve Q(x) birer polinomdur.
olduðuna göre, P(x) polinomunun (x – 4) ile
bölümünden kalan kaçtýr?
P(x) polinomunun (x – 1) ile bölümünden kalan
7 olduðuna göre, Q(x) polinomunun (x + 1) ile
bölümünden kalan kaçtýr?
A) 32
A) 3
3.
B) –2
P(x) = (x + 3) . Q(x) + 2
Q(x) = (x – 4) . T(x) + 5
B) 35
C) 37
D) 40
E) 42
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Raunt
19
POLİNOMLAR
6a
7. a ∈ Z olmak üzere, P(x) = 7x 3 + x a +1 – 8 ifadesi
11. P(x) = x3 + mx2 – x + 7 polinomu x + 2 ile tam
bölünebiliyor.
bir polinom belirttiðine göre, bu polinomun de
recesi en çok kaç olabilir?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
A) 3
E) 16
8. P(x) = x3 + 4ax2 + 2x – 5 polinomu veriliyor.
Buna göre, P(x – 1) in sabit terimi kaçtır?
B) 4
C) 5
D) 6
E)
27
4
12. P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan
5 ve x – 1 ile bölümünden kalan 3 olduðuna
P(x) in sabit terimi ile P(x) in katsayýlar topla-
göre, P(x) in x2 + x – 2 ile bölümünden kalan
mýnýn toplamý 10 olduðuna göre, P(x) in x – 2
nedir?
ile bölümünden kalaný kaçtır?
A) −
A) 76
B) 75
C) 72
D) 70
E) 68
9. P(x) = x3 – 4x2 + mx + m + 2 polinomunun x – 2
ile bölümünden kalan k1, x + 1 ile bölümünden
kalan k2 ve 2k1– k2 = 9 ise m kaçtır?
2
11
x+
3
3
B)
2
x + 11
3
D) x – 11
C) x + 11
E) x
13. P(x) üçüncü dereceden bir polinomdur.
P(1) = P(–1) = P(2) = 0
P(3) = a . P(–2)
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
olduðuna göre, a kaçtır?
2
A) –1
B) − C) 0
3
D) 1
E) 2
14. P(x – 1) + P(x + 2) = 2x2 + 4x + 4
3
2
10. (x – 2) P(x) = x + 4x + ax + 3 eþitliði veriliyor.
A) 10
20
olduðuna göre, P(x) polinomu nedir?
Buna göre, P(2) kaçtır?
Raunt
B) 12
C) 14
D)
29
2
E) 20
B) x2 – 1
C) x2 + x – 1
A) x2
2
2
D) x + 1
E) x + x
Sınav
Kodu:
M101081
Matematik-10 Ünite-7
3
Konu Testi
1. P(x) = 3x4–m + 5xm–4 + 7–m
6. P(x, y) = (a – 1) x2y + (b – 3) xy2 – xy
Q(x, y) = 4x2y – 2xy2 + (c + 2) xy
ifadesi bir polinom olduðuna göre, m kaçtýr?
A)5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
iki deðiþkenli polinomlarý veriliyor.
P(x, y) = Q(x, y) olduðuna göre, a + b + c
kaçtýr?
A)2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
18
2. P(x) = xn–7 + 2 . x n+ 3 + 3
polinomunun derecesi kaçtýr?
A)4
B) 6
C) 8
7.
D) 9
E) 10
P(x) = x3 + mx2 + 3x – 7
polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan –5
olduðuna göre, m kaçtýr?
A) 4
3. P(x) ve Q(x) iki polinomdur.
B) 5
C) 6
D) 8
E) 14
der[Q(x)] = 4
der[P(x) . Q(x)] = 6
8. Bir P(x) polinomunun Q(x + 1) polinomuna bölümün-
olduðuna göre, der[P(x)] kaçtýr?
A)1
B) 2
C) 3
D) 4
den elde edilen bölüm B(x – 1), kalan K(x + 3) tür.
E) 6
Q(4) = 5
B(2) = 3
K(6) = 1
4. P(x) = (a–2)x2 + (b+3)x + 2a – b
olduðuna göre, P(3) kaçtýr?
A) 12
polinomu bir sabit polinom olduðuna göre, P(3)
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
kaçtýr?
A)1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 8
9.
5. P(3x) polinomunun katsayýlar toplamý 5 tir.
olduðuna göre, a kaçtýr?
A)–2
B) –1
C) 0
polinomunun x ile bölümünden kalan 3, (x – 1) ile
bölümünden kalan 12 dir.
P(x) = x2 – 2x + a
P(x) = (a – 1)x2 + 7x + b
D) 2
E) 5
Buna göre, a + b toplamı kaçtýr?
A)7
B) 6
C) 5
D) 4
E) 3
Raunt
21
POLİNOMLAR
10. P(x) ve Q(x) polinomlarýnýn (x + 2) ile bölümünden kalanlar sýrasýyla 2 ve 3 olduðuna göre,
aþaðýdaki polinomlardan hangisi daima (x + 2)
14. P(x) = 4x3 – 2x2 + ax + b
göre, a + b toplamı kaçtýr?
ile kalansýz bölünebilir?
A) x P(x + 2) + Q(x)
B) x P(x) + 2 Q(x)
C) 2 Q(x) – P(x)
D) P(x) – 2 Q(x)
E) 3 P(x) – 2Q(x)
polinomu (x – 2)2 ile kalansýz bölünebildiðine
A)40
C) 20
D) 16
E) 8
P(x) = 2x12 + 3x8 + 1
15.
B) 36
polinomunun (
) ile bölümünden kalan
kaçtýr?
A) 2
11. Bir P(x) polinomunun (2x – 4) . (3x + 1) ile bölümünden elde edilen kalan (6x + 4) tür.
B) 1
D) 4 – 2
C) – 4 2
E) 7 – 4 2
Buna göre, P(x) polinomunun (3x + 1) ile bölümünden elde edilen kalan kaçtýr?
A)–2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
polinomu (x2 – 9) ile tam bölünebildiðine göre,
a + b toplamı kaçtýr?
A) –3
12. P(x) = x7 – 3x5 + x3 + 6x + 3
P(x) = x3 + ax2 + bx + 18
16.
B) –6
C) –8
D) –10
E) –11
polinomunun x3 + 2x ile bölümünden elde edilen kalan aþaðýdakilerden hangisidir?
A)10x – 3
B) 16x + 1
D) 14x – 1
17. Baþ katsayýsý 3 olan ikinci dereceden bir P(x) polinomunda,
C) –16x + 3
E) 14x + 3
olduðuna göre,
A) –12
oraný kaçtýr?
B) –9
C) –7
D) –5
E) –1
13. Bir P(x) polinomunun (x – 2) ile bölümünden elde
edilen kalan 3, (x + 3) ile bölümünden elde edilen
kalan –12 dir.
Buna göre, P(x) polinomunun (x – 2) . (x + 3)
ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir?
22
Raunt
P(x – 1) = x4 – 2x3 – x2 + 3x – 1
olduðuna göre, P(x + 1) polinomunun (x – 2) ile
bölümünden elde edilen kalan kaçtýr?
A)3x – 7
18. P(x) polinomdur.
B) 3x – 4
D) 3x – 1
C) 3x – 3
E) 3x
A) –125
B) –121
D) 12
E) 123
C) –12
Sınav
Kodu:
M101082
Matematik-10 Ünite-7
4
Konu Testi
6. 1. P(x) = − 2 x 6 + 3x2 – 0,2
polinomu veriliyor.
Aþaðýdakilerden hangisi bir polinom deðildir?
A) P(x3 – 1)
D) P(–2 x )
2. 7.
B) 4x2
D) 4x2 – 2x
olduðuna göre, P(4x + 1) polinomunun (2x – 1)
polinomu ile bölümünden elde edilen kalan
kaçtýr?
B) –4
C) –3
C) –4
D) 0
E) 16
D) –2
E) –1
P(x) bir polinomdur.
olduðuna göre, P(–4) kaçtýr?
A) –4
B) –2
C) 4
D) 8
E) 12
P(Q(x)) = x3 – 3x2 + 4x – 5
8.
polinomu veriliyor.
Q(x) polinomu (x – 2) ile tam bölünebildiðine
göre, P(x) polinomunun sabit terimi kaçtýr?
A) –2
4. B) –32
P(x – 3) . (x + 1) = x3 + mx + 6
C) 4x2 – 1
E) 4x2 – x +
P(2x – 1) = x4 – 2x3 + x2 – 5x + 1
A) –5
A) –64
E)
olduðuna göre, P(4x – 3) polinomu aþaðýdakilerden hangisidir?
3. polinomunda tek dereceli terimlerin katsayýlarý
toplamý kaçtýr?
C) P(–x)
P(2x – 1) = x2 + 2x
A) 4x2 – 3
1
B) P( x )
P(x) = (1 – x – x2)8
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
2
P(x) = (1 – 3 x) . ( 3 + x – x )
polinomunun sabit terimi a, baþkatsayýsý b
olduðuna göre a . b kaçtýr?
A) –9
B) – 3 C) 0
D) 3
E) 3
9. P(x) ve Q(x) birer polinomdur.
18
5.
P(x) = xn–6 + x n + 1
P(x) . Q(x + m) = x4 + 3x2 – 4 eþitliði veriliyor.
Q(m) = – 2 olduðuna göre, P(x) polinomunun x
ile bölümünden elde edilen kalan kaçtýr?
polinomunun derecesi en az kaç olabilir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
A) –2
B) –1
C) 0
D) 2
E) 3
E) 5
Raunt
23
POLİNOMLAR
10. 14. Yukarýdaki bölme iþlemine göre, P(x) polinomunun derecesi kaçtýr?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
P(x – 1) + P(2x + 1) = 5x2 – x + 12
olduðuna göre, P(x) polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan kaçtýr?
A) 4
B) 8
C) 10
D) 16
E) 17
E) 5
15. (x – 1) . P(x + 1) + (x – 2) . P(x + 2) = 2x3 + 3x2 – 5x + a
11. Bir P(x) polinomu x + 1 ile bölündüðünde
5 kalanýný ve 2x – 1 ile bölündüðünde 2 kalanýný
veriyor.
eþitliði veriliyor.
P(x) polinomunun sabit terimi 0, katsayýlar
toplamý 1 olduðuna göre, a kaçtýr?
Bu P(x) polinomunun (x + 1) (2x – 1) çarpýmý
ile bölümünden elde edilecek kalan aþaðýdakilerden hangisidir?
A) –2x + 3
B) x + 4
D) –x – 2
12. C) –2x – 5
E) x + 1
A) –12
B) –10
C) –9
D) –8
E) –3
16. P(x) ve Q(x) polinomları için
P(–1) = 2 ve Q(–1) = –3
olduğuna göre, x2.P(x)+x.Q(x) polinomunun
x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) –5
(x – 2) . P(x + 2) = 2x3 + x2 – ax – 5a + 1
B) –3
C) 0
D) 2
E) 5
olduðuna göre, P(x) polinomunun sabit terimi
kaçtýr?
A) –2
C) 7
D) 8
E) 9
3x3 + 7x2 + kx + 2 = (x + 1) . P(x)
13. B) 5
olduðuna göre, P(x) polinomu aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) 3x2 + 5x – 2
2
C) 3x + 4x – 2
2
E) 3x + 4x + 2
24
Raunt
B) 3x2 – 4x – 2
2
D) 3x – 4x + 2
17. P(x) = (x + 1)3 . (2x + 1)2
polinomunda x4 lü terimin katsayýsý kaçtýr?
A) 12
B) 13
C) 16
D) 20
E) 50
18. P(x) polinomu x2 – 6x – 16 ile bölündüğünde bölüm
Q(x), kalan 4x + 3 tür.
P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden elde
edilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x – 6).Q(x)
B) (x – 6).Q(x) + 4
C) (x –6).Q(x) – 5
D) (x – 8).Q(x) + 3
E) (x –8).Q(x) + 4
Sınav
Kodu:
M101083
Matematik-10 Ünite-7
5
Konu Testi
6. 2a +1
1. P( x) = x a + 3 + 2 . x a + 3 + 4
ifadesinin bir polinom belirtmesi için a tam
sayýsý kaç olmalýdýr?
A) –2
B) –1
2. P(x) = xn – 8 + x
4n −1
n+ 3
D) 2
3. B) 2
+5
C) 3
D) 4
E) 5
E) 20
B) 8
C) 6
D) 4
E) 2
8. Bir P(x) polinomunun x3 – 2x2 ile bölümünden elde
edilen bölüm Q(x), kalan x2 – 5x + 9 dur.
Buna göre, P(x) polinomunun (x – 2) ile bölümünden elde edilen bölüm aþaðýdakilerden
P(–1) = 4
hangisidir?
olduðuna göre, b kaçtýr?
C) –1
D) 1
E) 2
4. (2x + a) . (bx – 1) = 6x2 – 11x + 3
D) 16
Bu P(x) polinomunun derecesi çift olan terimlerinin katsayýlarýnýn toplamý 6 olduðuna göre,
P(x) in katsayýlarý toplamý kaçtýr?
A) 10
polinomu veriliyor.
B) –2
C) 4
7. Bir P(x) polinomunun (x + 1) ile bölümünden kalan
4 tür.
P(x) = (a – 1) x3 + (b + 2) x2 – (c + 1)x + 4
A)–3
B) –12
E) 3
P(1) = 6
polinomunun sabit terimi kaçtýr?
A) –16
polinomunun derecesi kaçtýr?
A)1
C) 1
P(x) = (3x – 2)5 + (x + 2)4 + 9x + 20
eþitliði her x reel sayýsý için saðlandýðýna göre,
A) x2 . Q(x) – x
B) x . Q(x) + x + 2
C) x2 . Q(x) + 2x – 1
D) x 2. Q(x) + x – 3
E) x 2. Q(x) + 3
a . b kaçtýr?
A)–9
B) –7
C) –1
D) 7
E) 9
9. Bir P(x) polinomu (x – 2) ile tam bölünebilmektedir.
5. P(x) = (3 – a)x3 + (b + 2)x + c – 4
polinomu, sýfýr polinomu olduðuna göre,
a + b + c toplamı kaçtýr?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Buna göre, P(x + 2) polinomu aþaðýdakilerden
hangisine tam bölünür?
A) x
B) x–1
C) x–2
D) x–3
E) x–4
Raunt
25
POLİNOMLAR
10. Aþaðýdaki polinomlardan hangisinin bir
çarpaný (x + 1) deðildir?
15.P(x) polinomu (x2 – 1) ile bölündüðünde bölüm
(x3 – 2x) ve kalan (2x + 8) dir.
A)P(x) = x5 – 3x3 + 4x + 2
B)P(x) = x10 + x5 + x3 + x2
P(x) polinomunun (x + 2) ile bölümünden kalan
kaçtýr?
A) –8
C)P(x) = 7x2 – 5x – 12
B) –10
C) –12
D) –16
E) –18
D)P(x) = x4 + 1
E)P(x) = x3 + 1
11.
P(x) = 27x3 – 9x2 – 3x – 1
polinomun 3x – 1 ile bölümünden kalan
16. Bir P(x) polinomunun (x – 1) ile bölümünden kalan
7, (x + 3) ile bölümünden kalan –1 dir.
kaçtýr?
A) 2
B) 1
C) 0
D) –1
E) –2
Buna göre, P(x) polinomunun (x2 + 2x – 3) ile
bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir?
12. P(x) = 2x3 + mx2 + nx – 3
polinomunun çarpanlarýndan ikisi (x – 1) ve
(x + 1) olduðuna göre, diðer çarpaný aþaðýdakilerden hangisidir?
A) 2x + 1
B) 2x + 3
D) 2x + 5
E) 2x – 3
17. P(x) = x5 + 2x + 3 polinomunun x2 + 2 ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir?
polinomu veriliyor.
P(x + 3) polinomunun (x + 2) ile bölümünden
kalan 6 olduðuna göre, n kaçtýr?
14. B) –12
C) 2x
E) 2x – 5
C) 2x – 1
13. P(x – 1) = x3 – 4x2 + n.x – 3n + 1
A) –13
A) x + 5
B) x – 5
D) 2x + 5
C) –11
D) –10
A) 5x – 4
B) 6x + 3
D) 7x – 1
C) 4x + 9
E) 10x + 7
E) –9
P(x + 2) = (x2 – 2x + 3) . Q(x+1) + 2x – 3
eþitliði veriliyor.
Q(x + 1) polinomunun (x + 3) ile bölümünden
18. P(x) = x4 – 1 polinomunun x2 – x – 1 ile bölümünden kalan aþaðýdakilerden hangisidir?
kalan –2 olduðuna göre, P(x) polinomunun
A) 3x + 1
(x + 1) ile bölünmesinden kalan kaçtýr?
A) –12
26
Raunt
B) –24
C) –36
D) –45
E) –51
B) 3x – 1
D) 1 – 2x
E) 2x + 1
C) 3x
Matematik-10 Ünite-7
Polinomlarda Çarpanlara Ayırma
Çarpanlara Ayırma
P(x), A(x), B(x) polinomlarýnýn herbiri sabit polinomlardan farklý üç polinom olsun.
P(x) = A(x) . B(x) ise, A(x) ve B(x) polinomlarýna P(x) in birer çarpaný denir.
P(x) polinomu, herbiri en az birinci dereceden olan birden fazla polinomun çarpýmý olarak
yazýlamýyorsa, P(x) polinomuna indirgenemez polinom denir. Baþ katsayýsý 1 olan indirgenemez
polinoma asal polinom denir.
Bir polinomu birden fazla polinomun çarpýmý olarak yazmaya bu polinomu çarpanlara ayýrma
denir. Çarpanlarýn sýrasý önemli olmamak üzere, her polinom asal polinomlarýn çarpýmý olarak
tek türlü yazýlabilir.
Örnek
26
P(x) = 2x2 + 9x – 5
polinomunun çarpanları nelerdir?
Örnek
27
P(x) = 3x + 4
Q(x) = –5x + 4
R(x) = 4x2 + 1
polinomları çarpanlarına ayrılabilir mi?
Örnek
28
P(x) = x2 + 1
Q(x) = x + 7
R(x) = x – 4
Çözüm
26
2x2 + 9x – 5 = (2x – 1) (x + 5)
2x –1
x
+5
Çözüm
27
P(x), Q(x), R(x) polinomları birer indirgenemez polinom
olduklarından çarpanlarına ayrılamazlar.
Çözüm
28
P(x), Q(x), R(x) polinomları birer asal polinom olduklarından çarpanlarına ayrılamazlar.
polinomları çarpanlarına ayrılabilir mi?
Raunt
27
POLİNOMLAR
HATIRLATMA
1. a ≠ 0 olmak üzere P(x) = ax + b biçimindeki polinomlarý indirgenemez polinomlardýr.
2. a ≠ 0 olmak üzere, P(x) = ax2 + bx + c polinomu, b2 – 4ac < 0 olduðunda indirgenemez
bir polinomdur. b2 – 4ac ≥ 0 olduðunda çarpanlarýna ayrýlabilir bir polinomdur.
Çarpanlara Ayırma Metotları
Polinomlarý çarpanlarýna ayýrmada genel bir kural yoktur. Bir polinomu çarpanlarýna ayýrmak için
aþaðýda vereceðimiz metotlarýn biri veya birkaçý kullanýlabilir.
Ortak Çarpan Parantezine Alma Metodu
Bir polinomun her teriminde ortak bir çarpan varsa, bu metot kullanýlýr. Her terimde ortak olan
çarpan parantezin önüne yazýlýr. Parantezin içine de her terimin ortak çarpana bölünmesinden
elde edilen bölümler yazýlýr.
P(x) . Q(x) + P(x) . R(x) polinomunun her teriminde P(x) ortak çarpaný vardýr. Bu polinomu,
P(x) . Q(x) + P(x) . R(x) = P(x) . [ Q(x) + R(x)]
biçiminde ortak çarpan parantezine alabiliriz.
Örnek
Aþaðýdaki çarpanlara ayýrma iþlemlerini inceleyiniz.
a. 2x3 – 6x2 = 2x2 . x – 2x2 . 3
= 2x2 . (x – 3)
b. a3b2 – ab3 = ab2(a2 – b)
c. (2x – y)3 – 3.(2x – y)2 = (2x – y)2 . [(2x – y) – 3]
= (2x – y)2 . (2x – y – 3)
d. (x + 3)2 – 2x – 6 = (x + 3)2 – 2.(x + 3)
= (x + 3) . (x + 3 – 2)
= (x + 3) . (x + 1)
e. 6x2 y3 – 12x3y2 + 8x4y4
= 2x2y2 . (3y – 6x + 4x2y2)
f. x2.(y + 1) – x(y + 1) + 4(y + 1)
= (y+1) . (x2 – x + 4)
Gruplandýrarak Çarpanlarýna Ayýrma
Verilen polinomun bütün terimlerinde ortak olan bir çarpan bulunmayabilir. Bu durumda terimler,
ortak çarpan parantezine alýnabilecek biçimde gruplandýrýlabilir.
28
Raunt
Matematik-10 Ünite-7
Örnek
Aþaðýdaki çarpanlarýna ayýrma iþlemlerinde gruplandýrma metodu kullanýlmýþtýr. Gruplandýrýlan
terimleri deðiþtirerek ayný sonuca ulaþmaya çalýþýnýz.
a. ab – bx + ax – x2 = (ab – bx) + (ax – x2)
= b.(a – x) + x.(a – x)
= (a – x) . (b + x)
b. x3 + x2 + x + 1 = (x3 + x2) + (x + 1)
= x2 . (x + 1) + 1.(x + 1)
= (x + 1) . (x2 + 1)
c. x3 + 3x2 – 2x – 6 = (x3 + 3x2) – (2x + 6)
= x2.(x + 3) – 2 . (x + 3)
= (x + 3) . (x2 – 2)
d. a2 + b2 – x2 + 2ab = (a2 + 2ab + b2) – x2
= (a + b)2 – x2
= (a + b – x) . (a + b + x)
e. ab2+ 4a2b + 16a + 4b = (ab2 + 4a2b) + (16a + 4b)
= ab(b + 4a) + 4(4a + b)
= (4a + b) . (ab + 4)
Tamkare Özdeþliðinden Faydalanarak Çarpanlara Ayýrma
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
(x – y)2 = x2 – 2xy + y2
Özdeþliklerinin sað taraflarýna benzeyen üç terimliler, özdeþliðin sol tarafý gibi, tamkare olarak
yazýlabilirler.
Örnek
Aþaðýdaki çarpanlarýna ayýrma iþlemlerini inceleyiniz.
a. x2 + 10x + 25 = x2 + 2 . (x) . (5) + (5)2
= (x + 5)2
b. a2 – 4ab + 4b2 = a2 – 2 . a . (2b) + (2b)2
= (a – 2b)2
c. 9y4 – 12y2 + 4 = (3y2)2 – 2.(3y2) . 2 + 22
= (3y2 – 2)2
Raunt
29
POLİNOMLAR
d. x2y2 + 8xy + 16 = (xy)2 + 2.(xy) . 4 + 42
= (xy + 4)2
e. x2n + 2xnyn + y2n = (xn)2 + 2.(xn). (yn) + (yn)2
f.
= (xn + yn)2
2
2
a – 2 3a + 3 = a – 2 . a . ( 3 ) + ( 3 )
2
= (a – 3 )
2
g. 16x2 + 24ax + 9a2 = (4x)2 + 2.(4x).(3a) + (3a)2
= (4x + 3a)2
h. x2 – 0,6.x + 0,09 = x2 – 2 . x . (0,3) + (0,3)2
= (x – 0,3)2
Ýki Kare Farký Özdeþliðinden Faydalanarak Çarpanlarýna Ayýrma
a2 – b2 = (a – b) . (a + b)
özdeþliðinin çarpanlarýna ayýrma iþleminde nasýl kullanýldýðýný, aþaðýdaki örneklerde inceleyiniz.
Örnek
a. x2 – 9 = x2 – 32
= (x – 3) . (x + 3)
4
b. a – 16 = (a2)2 – 42
= (a2 – 4) . (a2 + 4)
= (a2 – 22) . (a2 + 4)
= (a – 2) . (a + 2) . (a2+4)
c. (3x + 1)2 – 4.(x + 3)2 = (3x + 1)2 – [2.(x + 3)]2
= [(3x + 1) – 2.(x + 3)] . [(3x+1) + 2.(x + 3)]
= (3x + 1 – 2x – 6) . (3x + 1 + 2x + 6)
= (x – 5) . (5x + 7)
d. y 4 – 3x 2 = (y 2 )2 – ( 3 x)2
2
2
= (y – 3 x) . (y + 3 x)
e.
1
x
4
 1
4
2  1
+
– x = 
– x  . 
2
2
x
 x
1
 1
 
=  – x  .  + x  . 
 
x
 x
2
x 

1
x
2
2
+ x 

f. 5912 – 4092 = (591 – 409) . (591 + 409)
= 182 .1000
= 182 000
30
Raunt
Matematik-10 Ünite-7
Ýki Küp Farký ve Ýki Küp Toplamý Özdeþliklerinden Faydalanarak Çarpanlarýna Ayýrma
a3 – b3, a3 + b3 biçimindeki iki terimlileri, özdeþliklerden faydalanarak çarpanlarýna ayýrabiliriz.
a3 – b3 = (a – b) . (a2 + ab + b2)
a3 + b3 = (a + b) . (a2 – ab + b2)
özdeþliklerinin çarpanlarýna ayýrma iþleminde nasýl kullanýldýðýný, aþaðýdaki örneklerde inceleyiniz.
Örnek
a. x3 + 1 = x3 + 13
= (x + 1) . (x2 – x + 1)
b. a6 – 27 = (a2)3 – 33
= (a2 – 3) . [(a2)2 + a2 . 3 + 32]
= (a2 – 3) . (a4 + 3a2 + 9)
c. x 3 + 5 = x 3 + (3 5 )3
2
= (x + 3 5 ) . (x – 3 5 . x + 3 25 )
d. 64a3 – (2a – 1)3 = (4a)3 – (2a – 1)3
= [4a – (2a – 1)] . [(4a)2 + (4a) . (2a–1) + (2a – 1)2]
= (4a – 2a + 1) . (16a2 + 8a2 – 4a + 4a2 – 4a + 1)
= (2a + 1) . (28a2 – 8a + 1)
e. x6 + y6 = (x2)3 + (y2)3
= (x2 + y2) . (x4 – x2y2 + y4)
x2 + bx + c Biçimindeki Ýkinci Dereceden Üç Terimlinin Çarpanlarýna Ayrýlmasý
x2 + bx + c = (x + m) . (x + n)
biçiminde çarpanlarýna ayrýlmýþ olsun. Eþitliðin sað tarafýný düzenleyip polinomlarýn eþitliðini
kullanýrsak;
x2 + bx + c = x2 + n.x + m.x + m.n
⇒ x2 + bx + c = x2 + (n + m)x + (n . m)
⇒ n+m=b
n.m=c
elde edilir. O hâlde, x2 + bx + c biçiminde baþ katsayýsý 1 olan ikinci dereceden üç terimlileri
çarpanlara ayýrmak için toplamlarý b, çarpýmlarý c olan m ve n gerçek (reel) sayýlarý aranýr. Böyle
m ve n sayýlarý bulunursa;
x2 + bx + c = (x + m) . (x + n)
biçiminde çarpanlarýna ayrýlýr. Eðer, b2 – 4ac < 0 ise bu üç terimli çarpanlara ayrýlamaz.
Raunt
31
POLİNOMLAR
ax2 + bx + c Biçimindeki Ýkinci Dereceden Üç Terimlilerin Çarpanlarýna Ayrýlmasý
ax2 + bx + c biçimindeki polinomlar b2 – 4.a.c < 0 ise, çarpanlarýna ayrýlamaz. b2 – 4ac ≥ 0 ise,
çarpanlarýna ayrýlýr. Bu nedenle, önce b2 – 4ac nin kontrol edilmesi faydalý olur.
ax2 + bx + c ifadesini çarpanlarýna ayýrmak için a ve c nin çarpanlarýndan faydalanýlýr. Çarpýmlarý
a olan iki sayý m ve n, çarpýmlarý c olan iki sayý p ve q olsun.
a
–––
m
c
–––
p
n
q
Eðer m.q + n.p = b oluyorsa;
ax2 + bx + c = (mx + p) . (nx + q)
biçiminde çarpanlarýna ayrýlýr.
m, n, p, q sayýlarý, m.q + n.p = b olacak biçimde a ve c nin çarpanlarý olan sayýlardan aranýr.
Örnek
29
Çözüm
2x + 11x + 5 ifadesini çarpanlarý nedir?
Örnek
29
2x2 + 11x + 5 = (2x + 1) (x + 5)
2
30
2x +1
x
+5
Çözüm
4x2 – 17xy + 15y2 ifadesini çarpanları nedir?
30
4x2 – 17xy + 15y2 = (x – 3y) (4x – 5y)
x
–3y
4x
–5y
Örnek
a. 12x2 – x – 1 = (3x – 1) . (4x + 1) dir.
b. 5a2 – 26a + 5 = (5a – 1) . (a – 5) tir.
c. 6a2 + 17a – 3 = (6a – 1) . (a + 3) tür.
Örnek
Aþaðýdaki çarpanlara ayýrma iþlemlerini inceleyiniz.
a. x2 + 4x + 3 = x2 + (3 + 1) . x + 3.1
= (x + 3) . (x + 1)
b. x2 – 7x + 10 = x2 + (–5 – 2).x + (–5).(–2)
= (x + (–5)) . (x + (–2))
= (x – 5) . (x – 2)
c. a2 – 5a – 6 = a2 + (–6 + 1) . a + (–6) . 1
= (a + (–6)) . (a + 1)
= (a – 6) . (a + 1)
2
d. x – 5x + 9 ifadesinde
b2 – 4ac = (–5)2 – 4.1.9 = 25 – 36 = –11 < 0
olduðundan, bu ifade çarpanlara ayrýlamaz.
32
Raunt
Matematik-10 Ünite-7
Örnek
31
Çözüm
Aþaðýdaki ifadeleri çarpanlarýna ayýrýnýz.
31
a) (x + 3) (x + 2)
a)x2 + 5x + 6
b) (x – 3) (x – 5)
b)x2 – 8x + 15
d) (x – 4) (x + 2)
c) (x – 3) (x + 2)
e) (3x – 1) (2x – 1)
c)x2 – x – 6
f) (3x + 1) (x + 3)
g) (nx – 1) (mx + 1)
d)x2 – 2x – 8
e)6x2 – 5x + 1
f) 3x2 + 10x + 3
g)mnx2 + (n – m)x – 1
Terim Ekleyip Çýkararak Çarpanlara Ayýrma
Bazý üç terimlilere uygun bir ifadeyi ekleyip çýkararak iki kare farkýna dönüþebilen bir polinom
elde edilebilir.
Örnek
32
x4 + x2 + 1 ifadesinin çarpanlarý nedir?
Çözüm
32
x4 + x2 + 1 + x2 – x2 = x4 + 2x2 + 1 – x2
= (x2 + 1)2 – x2
= (x2 + 1 + x) (x2 + 1 – x)
Raunt
33
POLİNOMLAR
Örnek
4
33
4
x + 4y ifadesinin çarpanları nedir?
Çözüm
33
x4 + 4y4 + 4x2 y2 – 4x2 y2
= (x2 + 2y2)2 – 4x2 y2
= (x2 + 2y2)2 – (2xy)2
= (x2 + 2y2 – 2xy) (x2 + 2y2 + 2xy)
Örnek
34
Aþaðýdaki ifadeleri çarpanlarýna ayýrýnýz.
a)x4 + 64
4
Çözüm
34
a) x4 + 16x2 + 64 – 16x2 = (x2 + 8)2 – (4x)2
= (x2 + 8 – 4x) (x2 + 8 + 4x)
2
b)m – 3m + 1
c)a4 – 15a2 + 9
b) m4 – 3m2 + 1 + m2 – m2 = m4 – 2m2 + 1 – m2
= (m2 – 1)2 – m2 = (m2 – 1 – m) (m2 – 1 + m)
c) a4 – 15a2 + 9 + 9a2 – 9a2 = a4 – 6a2 + 9 – 9a2
= (a2 – 3)2 – (3a)2 = (a2 – 3 – 3a) (a2 – 3 + 3a)
34
Raunt
Sınav
Kodu:
M101084
Matematik-10 Ünite-7
6
Konu Testi
1. 3a – 2b = 5
4. a . b = 4
olduðuna göre, 9a2 + 4b2 ifadesinin deðeri kaçtýr?
x2 – y2 = 5
olduðuna göre, x 4 + y 4 ifadesinin deðeri
kaçtýr?
A) 73
2.
B) 72
C) 70
D) 68
E) 66
x+y=5
z – y = 3
olduðuna göre, xz + z2 – xy – zy ifadesinin
deðeri kaçtýr?
x.y=3
A) 36
5. x +
3. B) 24
C) 22
D) 20
C) 40
D) 43
1
= 3 olduðuna göre,
x
E) 45
ifadesinin
deðeri kaçtýr?
A) 3
A) 26
B) 38
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
E) 18
x2 + 4y2 = 4xy
olduðuna göre,
A) 0
B) 1
oraný kaçtýr?
C) 2
D) 3
E) 4
Raunt
35
Sınav
Kodu:
M101085
POLİNOMLAR
7
Konu Testi
1. Ýki sayýnýn toplamý 7, kareleri toplamý 33 olduðuna göre, bu iki sayýnýn çarpýmý kaçtýr?
A)8
B) 9
C) 11
D) 12
6. x2 – xy = 24
y2 – xy = 12
E) 14
2.
a + b = 12
a.b=6
olduðuna göre, y nin pozitif deðeri kaçtýr?
A)
B)
C) 2
olduðuna göre, a–2 + b –2 ifadesinin deðeri
7. a.b=3
kaçtýr?
3a + 6b = 14
11
B)
3
14
A)
3
3. x –
=a
10
C)
3
D) 3
E) 4
olduðuna göre, 9a2 + 36b2 ifadesinin deðeri
kaçtýr?
E) 4
A) 96
olduðuna göre,
D) 3
B) 88
C) 76
8.
x + y – z = 12
x2 – y2 – z2 + 2yz = 72
D) 63
E) 25
D) 7
E) 9
2
4x +
ifadesinin a cinsinden eþiti aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) 2a2 – 2
B) 2a2 + 2
D) 4a2
olduðuna göre, x + y toplamýnýn pozitif deðeri
5. a –
x3 + y3 = 18
x2 – xy + y2 = 6
D) 4
E) 5
10. 1
Raunt
1
2
B) 8 x2
D)
C)
E) 6
B) 1
1 1 1
− =
x y 4
1
a2
36
C) 3
ifadesinin pozitif deðeri kaçtýr?
A)
olduðuna göre, x.y çarpýmý kaçtýr?
A)
1
= 2 3 olduðuna göre,
a
a2 –
C) 6
9. kaçtýr?
B) 2
B) 5
E) 4a2 + 4
y2 + xy = –2
A) 1
olduðuna göre, x kaçtýr?
A) 4
C) 4a2 – 2
4. x2 + xy = 6
−
1
y2
=
C)
3
2
5
2
D) 7
E)
D) 6
E) 8
3
16
olduðuna göre, x + y kaçtýr?
A) 3
B) 4
C) 5
Matematik-10 Ünite-7
11.
x+y=4
15.a ve b doğal sayılardır.
x.y=2
a2 – b2 = 7
olduðuna göre, x4 – y4 ifadesinin pozitif deðeri
kaçtýr?
A) 48
olduğuna göre, a2 + b2 toplamı kaçtır?
A) 9
B) 48 2 C) 96
B) 16
C) 21
5
6
olduğuna göre, 9a2 + 4b2 toplamı kaçtır?
16. 3a – 2b = 4 ve a.b =
b3 + 3ab2 = 18
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
A) 14
B) 16
C) 25
D) 36
E) 34
18. 2
olduğuna göre, m +
4
m
2
C) 16
nin değeri kaçtır?
D) 20
x + 16
B) 28
x2
ifadesinin sonucu kaç-
C) 32
D) 41
E) 49
E) 222
2
=4
m
B) 12
olduğuna göre,
tır?
A) 16
işleminin sonucu kaçtır?
A) 4
D) 28
4
(x + y) 2 – 4xy
14. m –
C) 26
17. x2 – 7x + 4 = 0
(x – y) 2 + 4xy
A) 5
B) 21
E) 7
13.x = 666 ve y = 444 olduğuna göre,
E) 36
D) 96 2 E) 100
12. a3 + 3a2b = 9
D) 25
E) 25
xy – x–y = 4
olduðuna göre x2y + x –2y ifadesinin deðeri
kaçtýr?
A) 14
B) 16
C) 18
D) 20
E) 22
Raunt
37
Sınav
Kodu:
M101086
POLİNOMLAR
8
Konu Testi
1. P(x) = (x – 1)4 – 4(x – 1)3 + 6(x – 1)2 – 4x + 5
polinomunun x =
A)
1
16
B)
1
8
5
için deðeri kaçtýr?
2
C)
1
4
D)
1
2
4.
x3 + 8y3 = 41
x + 2y = 5
E) 1
olduðuna göre, x . y çarpýmý kaçtýr?
14
A) –1
B) 1
C) 2
D)
5
5.
(x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x – 4 B) x
2.
E) 3
C) x + 3 D) x – 1 E) x – 3
P(x, y) = x2 – 2x + y2 – 4y
polinomunun alabileceði en küçük deðer
kaçtýr?
A) –4
B) –5
C) –6
D) –7
E) –8
6. x4 + 4 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) x2 – 2x + 2
B) x2 + 2x
C) x2 + 2
2
2
D) x – 2
E) x – 2x
3.
x+y=2
x.y=2
olduðuna göre, x3 + y3 toplamý kaçtýr?
A) –5
38
7. Raunt
B) –4
C) –3
D) –2
E) –1
x4 – 12x2 + 16
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x2 – 2x – 4
B) x2 + 2x
C) x2 + 2x + 2
2
2
D) x – 4
E) x + 4
Sınav
Kodu:
M101087
Matematik-10 Ünite-7
9
Konu Testi
6. x(2y – 1) – (2y – x2)
1. Aþaðýdakilerden hangisi
(5x2 + 11x + 2) . (2x2 – 3x – 9)
ifadesinin çarpanlarýndan biri deðildir?
A)5x + 1 B) 2x + 3 D) x + 3
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x + 1
C) x – 3 B) 2y – x
D) x – y
C) x + 2
E) 1 – x
E) x + 2
2. Bir sayının karesi ile 3 katı toplanıyor ve sonuç 10
çıkıyor.
Bu sayının karesi aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 2
B) 9
C) 25
D) 36
E) 49
7. x ve y birer reel sayý olmak üzere,
3. (2x – y – 2)2 – (2x + y + 2)2
x2 + y2 – 4x + 6y + 29
ifadesinin alabileceði en küçük deðer kaçtýr?
A) 7
B) 14
C) 16
D) 20
E) 29
ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) 2x – 1
B) y + 2
D) x – y
C) 2x – y
E) y – 2
8.
4. Aþaðýdaki ifadelerden hangisinin bir çarpaný
(x + 3) deðildir?
A) 2x2 + 2x – 12
B) 3x3 + 8x2 – 3x
C) 4x2 + 11x – 3
D) 4x2 – 10x – 6
yx2 – 2mxy – xy2 + 2my2
ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) x – 2m
B) y + m
D) x + y
C) x + 2m
E) y – m
E) x4 + 2x3 – 3x2
5. a(b2 + 1) – b(a2 + 1)
ifadesinin çarpanlara ayrılmış biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
9. 4x2 + (2m + 6n)x + 3mn
A) (a + b) (1 – ab)
B) (a – b) (ab – 1)
ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden
hangisidir?
C) (a – b) (ab + 1)
D) (a – b) (1 – ab)
A) x + 3n
E) (a + b) (1 + ab)
B) mx + n
D) x + m
C) 2x + 3n
E) 3x + 2n
Raunt
39
POLİNOMLAR
9 + 16(a2 – b2) – 24a
10.
15. a ve b iki doðal sayýdýr.
ifadesinin çarpanlarýna ayrýlmýþ biçimi
aþaðýdaki-lerden hangisidir?
A) (4a – 4b – 3) . (4a + 4b – 3)
a2 – b2 = 24
olduðuna göre, a . b çarpýmýnýn en büyük deðeri
kaçtýr?
B) 16(a – b– 3) . (a + b + 3)
A)21
C) 4(a – b – 3) . (a – b + 3)
B) 27
C) 30
D) 35
E) 42
D) 16(a – b – 3) (a – b + 3)
E) (4a – 4b – 3) . (4a – 4b + 3)
11. (2a – b + c)2 – (a + b – c)2
16. a – b = 5
x – y = 3
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) a
B) b
D) a + 2b + 2c
olduðuna göre, ax – ay – bx + by ifadesinin
deðeri kaçtýr?
C) c
E) a + b + c
A)–20
B) –15
C) 10
D) 15
E) 20
12. x2 + y2 – 6x + 4y + 13 = 0
denklemini saðlayan x ve y deðerlerinin çarpýmý
kaçtýr?
A)–6
17. (a – b)2 (b – c) – (b – a) (c – b)2
B) –3
C) 2
D) 3
E) 6
ifadesinin çarpanlarýna ayrýlmýþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir?
13. x2 + x – 6 = 0 olduðuna göre,
1
1
–
x
x +1
A)(a – b) (b – c) (a – c) B) (a – b) (b + c) (a – c)
C)(a + b) (b – c) (a – c) D) (a + b) (b + c) (a – c)
ifadesinin deðeri kaç olabilir?
A)
B)
C) 1
D)
E) (a + b) (b + c) (a + c)
E) 6
14. (x2 – 2x)2 – 14(x2 – 2x) – 15
18. x3 – y3 = 7
x . y = 2
ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x + 1 B) x + 2 C) x – 3 D) x – 5
4
40
Raunt
E) x –
olduðuna göre, x6 + y6 ifadesinin deðeri kaçtýr?
A) 28
B) 32
C) 65
D) 96
E) 129
Matematik-10 Ünite-7
Polinom ve Rasyonel Denklemlerin Çözüm Kümeleri
P(x) ve Q(x) birer polinom ve Q(x) ≠ 0 olmak üzere,
P( x )
ifadesine rasyonel ifade denir.
Q( x )
Rasyonel ifadeler çok deðiþkenli olabilir.
P(x, y)
P(x, y, z)
ifadesi iki deðiþkenli;
ifadesi, üç deðiþkenli birer rasyonel ifadedir. Ayný
Q(x, y)
Q(x, y, z)
biçimde,
P(x)
P(x, y) P(x, y) P(x)
,
,
,
Q(x, y)
Q(x)
Q(y)
Q(y)
ifadeleri de birer rasyonel ifadedir.
Rasyonel ifadelerde toplama, çýkarma, çarpma, bölme, sadeleþtirme, geniþletme iþlemleri, reel
sayýlardaki iþlemler gibi yapýlýr.
Rasyonel Ýfadelerin Sadeleþtirilmesi ve Geniþletilmesi
P(x), Q(x) ve R(x) birer polinom olsun.
P( x )
P(x) . R(x)
ve
rasyonel ifadeleri birbirine denktir. Yani,
Q( x )
Q(x) . R(x)
P( x ) P(x) . R(x)
=
Q( x ) Q(x) . R(x)
tir. Burada,
biçimi,
P( x )
P(x) . R(x)
rasyonel ifadesine
rasyonel ifadesinin sadeleþmiþ (kýsaltýlmýþ)
Q( x )
Q(x) . R(x)
rasyonel ifadesinin geniþletilmiþ biçimi denir.
rasyonel ifadesine de
Ýþlemlerin tanýmlý olmasý için Q(x) ≠ 0 ve R(x) ≠ 0 olmasý gerektiðine dikkat ediniz.
Örnek
35
Çözüm
2
2x − 3x + 1
2
x − 4x + 3
rasyonel ifadesi nedir?
35
2x2 – 3x + 1 = (2x – 1)(x – 1)
2x
–1
x
–1
2
x – 4x + 3 = (x – 3) (x – 1)
x
–3
x
–1
(2x − 1) (x − 1) 2x − 1
=
(x − 3) (x − 1)
x−3
Raunt
41
POLİNOMLAR
Rasyonel Ýfadelerin Toplamý ve Farký
A( x )
P(x)
ve
birer rasyonel ifade olmak üzere;
B( x )
Q(x)
A(x) P(x)
A(x) . Q(x) + P(x) . B(x)
+
=
B(x) Q(x)
B(x) . Q(x)
A(x) P(x)
A(x) . Q(x) − P(x) . B(x)
−
=
B(x) Q(x)
B(x) . Q(x)
tir. Rasyonel ifadeleri toplarken aþaðýdaki sýra izlenebilir.
1.
2.
3.
4.
Rasyonel ifadelerin pay ve paydalarý çarpanlarýna ayrýlýr.
Pay ve payda arasýnda varsa sadeleþtirmeler yapýlýr.
Rasyonel ifadelerin paydalarýndaki polinomlarýn EKOK u bulunur.
Paydalarý eþit olan rasyonel ifadelerin paylarý toplanýp paya, ortak payda da paydaya
yazýlýr.
Rasyonel ifadelerde çýkarma iþleminde de ayný sýra izlenir.
36
Örnek
x
2
x − 1
−
Çözüm
x −1
2
x − 3x − 4
x
x−1
−
(x − 1) (x + 1) (x − 4) (x + 1)
( x − 4)
iþlemini sonucu nedir?
36
2
( x − 1)
2
x − 4x − x + 2x − 1
− 2x − 1
=
(x − 1) (x + 1) (x − 4) (x − 1) (x + 1) (x − 4)
Rasyonel Ýfadelerin Çarpýmý ve Bölümü
A( x )
P(x)
ve
birer rasyonel ifade olmak üzere,
B( x )
Q(x)
A(x) P(x) A(x) . P(x)
.
=
B(x) Q(x) B(x) . Q(x)
A(x) P(x) A(x) Q(x) A(x) . Q(x)
.
:
=
=
B(x) Q(x) B(x) P(x) B(x) .P(x)
tir. Rasyonel ifadeleri çarparken aþaðýdaki sýra izlenebilir.
1. Rasyonel ifadelerin pay ve paydalarý çarpanlarýna ayrýlýr.
2. Pay ve payda arasýnda varsa, sadeleþtirmeler yapýlýr.
3. Paylarýn çarpýmý pay, paydalarýn çarpýmý payda olarak yazýlýr.
4. Yapýlabilen sadeleþtirmeler yapýlýr.
Ýki rasyonel ifadeyi bölerken, birinci rasyonel ifade aynen býrakýlýr, ikinci rasyonel ifade ters
çevrilerek, birinci rasyonel ifade ile çarpýlýr.
42
Raunt
Matematik-10 Ünite-7
Örnek
37
2
(x + 1) (x + 1) (x − 2) (x − 1)
.
(x + 3) (x − 1) (x − 2) (x + 1)
x+1
=
x+3
2
x + 2x + 1 x − 3 x + 2
. 2
2
x + 2x − 3 x − x − 2
ifadesinin sonucu nedir?
Örnek
38
Çözüm
Aþaðýdaki rasyonel ifadeleri sadeleþtiriniz.
2
a.
2
a. x – 3 x + 2 + x – 4 x – 5
2
2
x – 5x + 6 x – 2x – 3
b.
2
2x – 9x – 5
2
6x – x – 2
b.
2
:
37
Çözüm
25 – x
6x – 4
38
(x − 2)(x − 1) (x − 5)(x + 1) x − 1 + x − 5 2x − 6
+
=
=
=2
(x − 2)(x − 3) (x − 3)(x + 1)
x−3
x−3
(2x + 1) (x − 5) (5 − x) (5 + x)
:
(3x − 2) (2x + 1) 2 (3x − 2)
(2x + 1) (x − 5)
2. (3x − 2)
2
.
=
=−
(3x − 2) (2x + 1) (5 − x) (5 + x)
5+x
2
c.
3
499 + 1
2
499 – 498
c.
=
(499 + 1) (499 − 499 + 1)
2
2
=
500. (499 − 498)
499 − 498
2
= 500
499 − 498
Rasyonel Ýfadenin Basit Kesirlerin Toplamı Olarak Yazılması
a, b, c, A, B ∈ R; n ∈ N+ ve ax2 + bx + c indirgenemez polinom olmak üzere,
Ax + B
2
(ax + bx + c) n
A
n
(ax + b)
ve
biçimindeki rasyonel kesirlere basit kesir denir.
ax2 + bx + c polinomunda b2 – 4ac < 0 ise polinom indirgenmez (çarpanlarýna ayrýlamaz) olduðunu
biliyorsunuz. b2 – 4ac ≥ 0 ise, bu ifade birinci dereceden iki çarpanýn çarpýmý olarak yazýlabilir.
Bu tanýma göre,
5
,
1
3 x – 1 (3 x + 2)
2
,
4
2
x +9
,
5x – 3
2
x + 4 x + 10
rasyonel kesirleri birer basit kesirdir.
Payýnýn derecesi paydasýnýn derecesinden küçük olan reel katsayýlý bir deðiþkenli her rasyonel
ifade basit kesirlerin toplamý olarak bir türlü yazýlabilir. Rasyonel ifadeleri basit kesirlerin toplamý
olarak yazmak ilerideki konularda bir çok zorluðu ortadan kaldýracaktýr.
P( x)
rasyonel ifadesini basit kesirlere ayýrmak için þu yolu izleyiniz:
Q( x)
P(x) polinomunun derecesi Q(x) in derecesinden daha büyük veya eþitse önce P(x) i Q(x) e bölüp
bölüm kýsmýný ayýrýnýz.
Raunt
43
POLİNOMLAR
P(x) Q(x)
B(x)
K(x)
Bu bölme iþlemine göre,
P( x )
K( x ) yazýlabilir.
= B( x ) +
Q( x )
Q( x )
Bu eþitlikte K(x) in derecesi Q(x) in derecesinden küçüktür. Q(x) çarpanlarýna ayýrýlýr. Her bir
çarpan bir kesrin paydasý olacak biçimde basit kesirlerin toplamý olarak yazýlýr.
Eðer, der (P(x)) < der (Q(x)) ise bölme iþlemi yapýlmadan iþleme devam edilir.
Aþaðýdaki bazý rasyonel ifadelerin, basit kesirlerin toplamý olarak nasýl yazýldýklarýna dikkat
ediniz.
K( x )
A
B
=
+
(ax + b) . (cx + d)
ax + b cx + d
K( x )
2
(ax + b) . (cx + d)
=
A
B
C
+
+
ax + b (ax + b)2 cx + d
K( x )
2
(ax + b) . (cx + dx + e)
=
A
Bx + C
+
ax + b cx 2 + dx + e
Bunlara benzer özdeþlikler yazýlarak; A, B, C,…. katsayýlarý bulunur.
Örnek
5x – 1
2
x + x – 12
kesrini basit kesirlerin toplamý olarak yazmaya çalışalım.
x2 + x – 12 = (x + 4)(x – 3) tür. Payýn derecesi paydanýn derecesinden küçük olduðundan bölme
iþlemi yapmadan basit kesirlerin toplamý olarak yazabiliriz.
5x – 1
2
x + x – 12
=
5x – 1
A
B
=
+
( x + 4) . ( x – 3) x + 4
x–3
olur.
Eþitliðin sað tarafýnda paydalarý eþitlersek;
5x – 1
A . ( x – 3) + B . ( x + 4)
=
( x + 4) ( x – 3)
( x + 4) ( x – 3)
elde edilir.Bu eþitlikte paydalar eþit olduðundan paylar da eþittir.
5x – 1 = A . (x – 3) + B . (x + 4)
olur. Bu eþitliðin sað tarafýný x in kuvvetlerine göre düzenlersek;
5x – 1 = (A + B) . x + (–3A + 4B)
olur.
44
Raunt
Matematik-10 Ünite-7
Polinomlarýn eþitliðinden ayný dereceli terimlerin katsayýlarýný eþitleyerek A ve B yi bulalým.

A = 3  bulunur.

 ⇒

– 3A + 4B = – 1 
B = 2 
A +B=5
Buna göre,
Örnek
5x – 1
x 2 + x – 12
=
3
2
+
olur.
x+4 x–3
39
Aþaðýdaki rasyonel ifadeleri basit kesirlerin toplamý
biçimi nedir?
a)
b)
x – 17
2
x – 4x – 5
= x+6
=
(x + 1) (x − 1)
Çözüm
39
a)
x − 17
A
B
=
+
(x − 5) (x + 1) x − 5 x + 1
x – 17 = A.(x + 1) + B(x – 5)
x = –1 ⇒ –18 = –6B
x = 5 ⇒ –12 = 6.A
3=B
–2 = A
x − 17
3
−2
=
+
(x − 5) (x + 1) x − 5 x + 1
b)
x+6
A
B
=
+
(x + 1) (x − 1) x + 1 x − 1
x + 6 = A(x – 1) + B(x + 1)
x = 1 ⇒ 7 = 2B
x = –1 ⇒ 5 = –2A
7
=B
2
−
5
=A
2
7
5
−
x+6
2
=
+ 2
(x + 1) (x − 1) x + 1 x − 1
Raunt
45
Sınav
Kodu:
M101088
POLİNOMLAR
10
Konu Testi
2
x −9
1.
x−3
4. 2
:
ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisidir?
A)
x+4
x
D)
B)
x
x +1
2
x – xy
2
x –y
x
x–1
E) x + 1
C)
x+2
x–1
5.
A) x + y
46
2
2
.
x + 2xy + y
C)
D)
E)
2
3
x –1 x –1
+
x +1
x–1
ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisidir?
B) x + 1
D)
Raunt
C) x(x + 1)
E) x(x – 1)
2
2
x +x
ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisidir?
2
2
D) x(x+2)
xy + y
B) x
A) x
3.
2
x + x y + xy
ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisidir?
A)
C) x – 3 D) x – 4 E) x
3
2
1  x 2 + 2x

 x + 1+  . 3
x  x –1

2.
3
2x − 2y
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
B) x + 3
3
x −y
2
x − x − 12 x − 4 x
A) 1
:
2
B)
E)
C)
2x 2 + x − 1 x 2 − 4x + 4
6.
+
x2 − 1
x 2 − 3x + 2
ifadesinin en sade biçimi aþadakilerden hangisidir?
A) 1
x
1
B) x + 1 C) x – 1
2
D) x
E) 3
Matematik-10 Ünite-7
7. 1883 . 1884 – 1882 . 1885
10. x 2 + mx – 10
x2 + x – 6
iþleminin sonucu kaçtýr?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
ifadesi sadeleþebilir bir rasyonel kesir olduðuna
göre, m reel sayýsýnýn alabileceði deðerlerin
çarpýmý kaçtýr?
A) –4
8. x2 + y2 = –2xy
9.
B)
25
12
6x 2 – x – 2
2
3x + 4x – 4
C) 3
:
C) –2
D) –1
E) 0
D) 1
E)
11. a – b = 3 olduðuna göre,
2
2
olduðuna göre, 4x + 3y ifadesinin deðeri
3y2 4x 2
kaçtýr?
A) 2
B) –3
D) 4
a 2 – b2 – 2a + 2b
E) 5
a 2 – b2 + 4b – 4
ifadesinin deðeri kaçtýr?
A) 4
B) 3
C) 1
3
5
2x + 1
x 2 + 2x
ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) x – 1
B) x + 1
C) x
D) x – 2 E) x + 2
12. 3a + 2
a 2 − 5a + 4
=
K
M
+
a −1 a − 4
olduðuna göre, K + M toplamý kaçtýr?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Raunt
47
Sınav
Kodu:
M101089
POLİNOMLAR
11
Konu Testi
x 2 + 64
1. 5.
– 4 x
x+8–4 x
ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) x – 1 B) x + 1 C) x + 8 D) x2
x+4 2
:x
16
1–
2
x
ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?
A) x
E) 1
5
D)
2
x – x + x –1
2.
3
B)
1
x
E)
1
B) x + 1 C) x+1
1
D) x – 1 E) x–1
6.  x –1 – y –1 
1

.
 x – 2 – y – 2  ( x + y )– 2


ifadesinin eþiti aþaðýdakilerden hangisidir?
B) x2y
A) x–y
D) x2y + xy2
C) xy2
E)
( x + 2)2 + 2 . ( x + 2) + 1 – x 2
4x + 6
3.
ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden hangisidir?
A)
B)
D)
C) 1
3
1 2x – 4
–
– 2
x +1 x
x –1
7.
ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden
hangisidir?
E)
A)
2
x2 – 1
4.
x
3
x 2 – xy
+
y
3
y 2 – xy
–
2xy – 2y
x–y
ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden
A) x–y
B) 2x – y
x–y
D)
xy
Raunt
E) x
2
B) x( x + 1)
D)
1
E)
2
x –1
C)
2
x +1
1
x2 – x
2
hangisidir?
48
x+4
x–4
ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden
A)1
C) x + 4
(x + 1)3 . (x – 1) . (x 2 – x + 1)
hangisidir?
1
x–4
x+y
C) 2x – y
8.
3x 2 – 4x + m
( x – 3) . ( x + 4)
ifadesi sadeleþebilen bir kesir olduðuna göre,
m nin alabileceði deðerler toplamý kaçtýr?
A)–47
B) –64
C) –79
D) –80
E) –82
Matematik-10 Ünite-7
9.
>
x –1
3
2
:
x –1
2
x +1 x –x+1
10.
4a –
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2
2
b
=
+
2
x
4
x
–
2
+
x + 2x – 8
B) 13
C) 11
x3 – x
15. olduðuna göre, a + b kaçtýr?
D) 8
x2 + x – 2
a2 – b –
E) 3
4a 2 + 3ab – b2
=5
a+b
D)
B) 4
C) –4
D) –5
1 + 1 + 1 = 2
x
x–1
x2
x3
eþitliðine göre, x3 kaçtýr?
A) –1
13. 1
C) 8 B) 1
1
27
E)
x3 + x2 – x + 2
D)
B)
x2 – x + 1
x+1
2
x +x –1
x+1
x2 – x + 1
E)
x+2
x+3
x+1
C)
E)
x+1
x+2
2x + 3
x+2
2
2
2
a b + bc – 2abc
8
a–c
D)
B)
b
4.( c – a)
4
(a – c) b
E)
C)
2( a – b)
abc
4c
a –b
27a 2 – 12b 2
17.
2
x+3
x+2
2x – 3
x+2
C)
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
1
64
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x
x+2
2
A)
D)
B)
(a + 2b – c) – (a – 2b – c)
27a 2 – 36ab + 12b 2
x + 3x + 2
2a + 1
1
E)
a
a
E) –8
16.
12.
D)
:x + 1
x –1
x+2
olduðuna göre, a . (a – 4) kaçtýr?
A) 5
C) a
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A)
11.
B) 1
E) (x + 1)2
5x + a
A) 17
1
a + 1
2a + 1 a
14. ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
1
x –1
B)
C) x – 1
A)
x+1
x+1
D) x +1
H.(x + 1)
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) a – 2b
D)
B) 3a – b
3a + 2b
3a – 2b
E)
C) 3a – 2b
a + 2b
3a – b
Raunt
49
Sınav
Kodu:
M101090
POLİNOMLAR
12
Konu Testi
1. a ≠ 1 olmak üzere,
5
a+
a
4.
=6
olduğuna göre, a + a kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
1
1
1−
y
xy
:
1
1
2
xy −
y − 2
xy
x
x−
ifadesinin en sade biçimi aþaðýdakilerden hangisidir?
A) –x
2.
B) –xy
C) y
D) x
E) xy
x 2 – 3x + m
x2 – 4
ifadesi sadeleþtirilebilir kesir olduðuna göre,
m nin alabileceði deðerlerin toplamý kaçtýr?
5. A)–8
B) –6
C) 8
D) 10
E) 14
–x – 7
2
x – x– 2
=
A
B
+
x +1 x – 2
olduðuna göre, x2 + Ax + B ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðdakilerden hangisidir?
A) 2x – 3
B) x + 4
D) x + 1
ax +
=
+ ay
6. x+
3
=8
x−2
olduðuna göre, a nýn x ve y cinsinden ifadesi
aþaðýdakilerden hangisidir?
A)
1 1
+
x y
B)
D)
50
E) x – 1
x≠y
3.
C) x – 3
Raunt
1
–1
y
1 1
–
x y
E) −
C)
1
–1
x
1 1 1
( + )
xy x y
olduğuna göre, (x − 2) 2 +
9
(x − 2) 2
işleminin so-
nucu kaçtır?
A) 30
B) 34
C) 38
D) 46
E) 52
Matematik-10 Ünite-7
7.  x 2 + x
x

:
 x 3 − 1 x 2 − 4x + 3

10. –b2 + a2 – 2b – 1
 x2 + x + 1
.
 x 2 − 2x − 3

ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden
hangisidir?
A) 1
A) a
B) x
2
C) x + 1 D)
4
x
x+1
E)
B) 2a
11.
8
olduğuna göre, 316 nın x türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
B) 8x
D) 8x + 1
4007 2 – 4006
ifadesinin eşiti kaçtır?
C) 4x + 1
iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisidir?
A)
x +1
x−2
B)
D)
x +1
x −1
B) 4008
D) 8016
C) 8008
E) 8080
E) 16x
2
 x−2
x 
x −x−2
 .
−
9. 
x2 − 4 
x 2 − 3x − 4
 x+2
E) 2b
4007 3 + 1
A) 2004
A) 4x
C) a + b D) b
1
x
8. (3 + 1) (3 + 1) (3 + 1) = x
ifadesinin rasyonel katsayılı çarpanlarının toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
x –1
x +1
E)
C)
x −1
x+2
x +1
x+2
12. ax – by + bx – ay = 12
a+b=2
olduðuna göre, x2 – 2xy + y2 ifadesinin deðeri
kaçtýr?
A) 48
B) 39
C) 36
D) 28
E) 25
Raunt
51
POLİNOMLAR
x 2 + 7 x + 12
13.
x+4
x+2
=
2
x + ax + b
olduðuna göre, a + b kaçtýr?
A) –1
B) 1
2
16.
C) 11
D) 12
E) 15
x – x +m
x 2 + 2x + n
A) –35

14. 
2
 n−1
x
+
1
+
xn
 xn
.
 x + 1
xn− 2 
B) –27
hangisidir?
B) x + 1
D) x
a+
b+
E) x
C) 2x – 1
2
A)
x+y
x −1
B)
D) x
52
Raunt
x−2
x+4
C)
E) −
y −1
x−2
2
3
= 6
18.
= 18
olduðuna göre,
A)
E) 56
ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden
hangisidir?
15.
D) 35
1
iþleminin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden
C) –21
2
17. x + xy − 2x − 2y . 2y − 2
xy − x + y2 − y − 3x + 6
A) 1
olduðuna
kesrinin sadeleþtirilmiþ biçimi
göre, m + n kaçtýr?
B)
kaçtýr?
C) 1
D) 2
E) 3
x –1
4
2
:
x 4 –1
6
x –x + 1 x + 1
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
x –1
x
1
x
1
B)
C)
D)
E)
A)
x
+1
x
1
x –1
+
x –1
x+1
Sınav
Kodu:
M101091
Matematik-10 Ünite-7
13
Konu Testi
1. 4 25 5
+
−
9 16 3
− 4x − 7
4.
2
2x + 5x + 3
işleminin sonucu kaçtır?
7
A) −
12
B) −
D)
ðýdakilerden hangisidir?
5
12
1
2
ifadesinin basit kesirlere ayrýlmýþ biçimi aþa-
E)
C)
5
12
7
12
A)
2
3
+
2x + 3
x + 1 B)
1
2
−
x + 1 2x + 3
C)
x +1
2
−
2x + 3 x + 1 D)
3
1
−
x + 1 2x + 3 E)
2
3
−
2x + 3 x + 1
2. iþleminin sonucu aþaðýdakilerden hangisidir?
A) a + 1
B) a + 2
D) a – 1
C) a + 3
E) a – 2
5. 2x +
1
=4
x
1
2
olduğuna göre, f 4x + 2 p ifadesinin değeri
x
kaçtır?
A) 8
B) 12
C) 14
D) 16
E) 20
3. x – 5 = 4y olduðuna göre,
(x – 4y)x – 20y
6. 216 – 1 sayısı aşağıdakilerden hangisine tam
ifadesinin deðeri kaçtýr?
A) –25
B) 5
C) 10
D) 15
E) 25
olarak bölünemez?
A) 3
B) 5
C) 32
D) 51
E) 257
Raunt
53
POLİNOMLAR
2
 x+2 x–2 
+

: 2
+
x
–
1
x
1

 x –1
7.
10. ifadesinin sadeleþtirilmiþ biçimi aþaðýdakilerden
hangisidir?
7x + 2
B) x2 + 2
D) x2+1
A
x+4
+
B
x–2
olduðuna göre, A + B toplamý kaçtýr?
A) 3
A) x
=
x 2 + 2x – 8
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
C) x2
E) x+1
4
5
–
x x 2 x 2 – 5x
:
1
2 x2 – 4
1– –
x x2
1–
11.
8. x3 + 3xy2 = 234
y3 + 3x2y = 109
olduğuna göre, x kaçtır?
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A)
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
9. x – 5y – z = 0 olduðuna göre,
x 2 – (y – z)2
54
Raunt
B)
C) 1
D)
E)
2
−
2
a −b
a−b
C)
x
x–2
2
ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3
2
a −b
ifadesinin deðeri kaçtýr?
A)
B) –1
x–2
D) 1
E)
x+2
3
a −b
12.
(x – y)2 – z 2
x+2
x
a+b
a−b
D)
B)
ab
a+b
a−b
ab
E) −
C) −
ab
a+b
1
a+b
Matematik-10 Ünite-7
13.
(x 3 − x )3
P(x) =
x2 − x − 2
Q( x ) =
16. 4x2 + y2 + 4x + 2y + 4xy – 3
x 2 − 3x + 2
x 4 + 2x3 + x 2
( x + 3)( x 3 – 2x 2 + x )
x–1
(x − 1)3
x+3
B)
(x + 1)2
x−2
D) x + 1
14.
2
2
A) 2x + y + 1
B) 2x + y – 3
C) 2x + y – 1
D) 2x – y – 3
E) 1
2 2
17.
2
a b –1+a –b
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) a – 1
B) 1 – a
D) 1 – b
E) 1
C) b – 1
1
1
a b
−
+ +1
a
b . b a
1
1
1
1−
− 3
3
a
b
a
ifadesinin sadeleþmiþ biçimi aþaðýdakilerden
hangisidir?
A)
15. E) x + y + 1
C) x
a +b – a b –1
2
ifadesinin çarpanlarýndan biri aþaðýdakilerden
hangisidir?
P(x)
olduðuna göre,
ifadesi aþaðýdakilerden
Q(x)
hangisine eþittir?
A)
.
ab
a −1 B)
D)
a 2b
1− a
a 2b2
1− a C)
E)
a b
a+b a 2b
a+1
4x2 + y2 – 4x + 8y + 26
ifadesinin en küçük deðeri için x . y çarpımı
kaçtýr?
A) –2
B) –1
C) 1
D) 2
E) 8
Raunt
55
POLİNOMLAR
NOT :
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
56
Raunt