KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İmpuls Momentum)

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İmpuls Momentum)
Önceki bölümlerde kuvvet, hız ve zaman içeren problemlerin impuls ve momentum
prensibi kullanılarak kolayca çözülebileceğini ifade etmiştik. Bu bölümde bir rijit
cisim için impuls ve momentum denklemini elde edeceğiz. Burada, düzlemsel
hareketin üç hali öteleme, sabit bir eksen etrafında dönme ve genel düzlemsel hareket
ele alınacaktır.
Lineer Momentum: Bir rijit cismin lineer momentumu, cismi oluşturan partiküllerin
lineer momentumlarının vektörel toplamından elde edilir, = ∑
. Bu ifade
=∑
şeklinde yazılarak basitleştirilebilir.
=
Bu denklem, bir cismin lineer momentumun büyüklüğü
olan bir vektör olduğunu
⁄ dir ve yönü
ifade eder. Lineer momentumun
birim sistemindeki birimi
kütle merkezinin hızının yönüyle aynıdır.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Açısal Momentum)
Açısal Momentum: Genel düzlemsel hareket yapan rijit
cismi ele alalım. Şekilde verilen anda keyfi seçilen bir
noktasının hızı
ve cismin açısal hızı
dır. Bağıl hız
ifadesi kullanılarak partikülünün hızı
=
+
⁄
partikülünün
noktası etrafındaki açısal momentumu
partikülün lineer momentumunun P noktasına göre
momentidir.
= ×
Partikülüm Momentum diyagramı
partikülünün bağıl hız ifadesini, kartezyen koordinat sistemindeki birim vektörler
yardımıyla açısal momentum denkleminde yerine yazarsak
=
+
×
=−
→
yazılarak cismin toplam kütlesi
+
+
+
×
+
+
üzerinde integral alınır. ∑
=
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Açısal Momentum)
=− ∫
+ ∫
+ ∫
cismin
noktasından geçen hareket düzlemine dik eksen (z-ekseni) etrafındaki
açısal momentumudur.
=∫
ve
=∫
olduğundan sağdaki ilk iki
terimdeki integraller ağırlık merkezi nin
noktasına göre yerini göstermektedir.
Ayrıca, son integral cismin
noktasından geçen eksene (z-ekseni) göre atalet
momentidir. Bu dönüşümler yerlerine yazılırsa,
=−
noktası cismin kütle merkezi
yukarıdaki ifade
+
+
noktası ile çakışırsa
=
=
olacağından
=
Bu denklem, bir rijit cismin
noktasına göre açısal momentumunun cismin
noktasından geçen eksene göre kütle atalet momenti ile cismin açısal hızının
çarpımına eşit olduğunu ifade eder.
’ nin büyüklüğü
olup yönü hareket
düzlemine daima dik olan ’nın yönüyle tanımlanır.
birim sisteminde açısal
⁄ dir.
momentumun birimi
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Açısal Momentum)
noktası sabit bir nokta veya noktasının hızı
çizgisi
boyunca ise,
+
yazılabilir. Yukarıda verilen eşitlik
G noktasının hız bileşenleri
ve
ile cismin
atalet momenti
cinsinden de yazılabilir. noktasının
koordinatları ,
olduğundan paralel eksenler teoremi
kullanılarak
= +
+
yazılabilir.
=
−
+
+
+
+
Denklemdeki vektörel çarpım işlemleri yapılarak ve li terimler birbirine eşitlenirse
=
−
=
+
şeklinde iki skaler denklem elde edilir. Bu ifadeler denklemde yerine yazıldığında
=
+
+
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Açısal Momentum)
=
+
+
Cismin Momentum diyagramı
Bir cismin noktasına göre açısal momentumu, cismin lineer momentumu
veya
ve
bileşenlerinin P noktasına göre momentleri ile açısal momentum
’nın toplamına eşittir.
serbest bir vektör olduğundan
’nin büyüklüğü ve
doğrultusu sabit kalmak şartıyla, cismin herhangi bir noktasına etki edebileceğine
dikkat ediniz. Ayrıca, açısal momentum lineer momentumun momenti olduğundan
’nin tesir çizgisi cismin kütle merkezi ’den geçmek zorundadır.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Öteleme)
Öteleme: Kütlesi
olan rijit cisim doğrusal veya eğrisel ötelenme hareketi yapıyorsa,
kütle merkezinin hızı
=
ve açısal hızı
=
dır. Böylece cismin
noktası
etrafında hesaplanan lineer momentumu ve açısal momentumu
=
=
Açısal momentum cisim üzerinde veya dışında bir noktası etrafında hesaplanırsa,
lineer momentumun momenti de bu noktaya göre alınmalıdır. Moment kolu
olduğundan
=
olur.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Sabit Eksen Etrafında Dönme)
Sabit Eksen Etrafında Dönme: Kütlesi
olan rijit cisim noktasından geçen sabit bir
eksen etrafında dönüyorsa,
noktası etrafında hesaplanan lineer momentumu ve
açısal momentumu
=
=
Bazı durumlarda, cismin açısal momentumunu cismin
noktası etrafında hesaplamak uygun olur. Bu durumda,
noktasına göre moment alınırken ve
’nin her
ikisinin momentleri hesaba katılmalıdır. veya
daima
=
=
+
⁄
’ya dik olduğundan
⁄
⁄
=
+
Köşeli parantez içinde verilen ifadenin cismin
atalet momenti olduğu görülebilir.
=
⁄
dan geçen eksen etrafındaki kütle
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Genel Düzlemsel Hareket)
Genel Düzlemsel Hareket: Kütlesi olan rijit cisim genel düzlemsel hareket yapıyorsa,
cismin noktası etrafındaki lineer momentumu ve açısal momentumu
=
=
Açısal momentum cismin üzerindeki veya dışındaki, bir
noktası etrafında hesaplanırsa,
noktasına göre
moment alınırken ve
nin her ikisinin bu noktaya
göre momentleri hesaba katılmalıdır.
=
+
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İmpuls ve Momentum Prensibi)
İmpuls ve Momentum Prensibi: Rijit cisim için impuls ve momentum prensibi, hareket
denklemi ile kinematiğin birleşiminden elde edilir. Bu denklem kuvvet, hız ve zaman
içeren problemlerin doğrudan çözümüne imkan verir.
Lineer İmpuls ve Momentum Prensibi: Öteleme hareketi yapan rijit cisim için hareket
denklemi ∑ =
=
şeklinde yazılır. Cismin kütlesi sabit olduğundan
∑
=
Denklemin her iki tarafını
ile çarpar ve =
sınır şartları altında integrali alınırsa
∑∫
=
de
=
ve
=
de
=
−
Bu denklem, lineer impuls ve momentum prensibi olarak bilinir.
ve
arasında
cisme etkiyen dış kuvvetlerin neden olduğu bütün impulsların toplamının bu zaman
aralığında cismin lineer momentumundaki değişime eşit olduğunu ifade eder.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İmpuls ve Momentum Prensibi)
Açısal İmpuls ve Momentum Prensibi: Cisim genel düzlemsel hareket yapıyorsa
∑
=
=
Belirli bir cisim için kütle atalet momenti sabit olduğundan
∑
Denklemin her iki tarafını
ile çarpar ve
şartları altında integral alınırsa,
∑∫
Benzer şekilde,
=
=
=
de
=
ve
=
de
=
sınır
−
noktasından geçen sabit bir eksen etrafında dönen cisim için
∑∫
=
−
Denklemlerine açısal impuls ve momentum prensibi denir. Bu iki denklem
ve
arasında
cisme etkiyen bütün açısal impulsların toplamının bu zaman aralığında rijit cismin açısal
momentumundaki değişime eşit olduğunu ifade eder.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İmpuls ve Momentum Prensibi)
Özet olarak, hareket
−
düzleminde oluşmaktaysa impuls ve momentum prensiplerini
kullanarak cismin düzlemsel hareketini tanımlayan
+∑∫
=
+ ∑∫
=
+∑∫
=
üç skaler denklem yazılabilir. İlk iki denklem − düzlemindeki lineer impuls ve momentum
prensibini tanımlarken üçüncü denklem zekseni etrafındaki açısal impuls ve momentum prensibini
tanımlar.
Şekilde,
lineer momentumlarının cismin kütle merkezine uygulandıklarına, açısal
momentumları ise
serbest vektör olduğundan bir moment gibi cisim üzerinde herhangi bir
noktaya uygulanabilir. İmpuls diyagramı çizilirken zamanla değişen
ve
vektörleri integral
şeklinde gösterilmelidir. Ancak,
ve
vektörleri
ve
arasında sabit ise integral sonucu
−
ve
−
olur. Böylesi bir durum cismin ağırlığı
için söz konusu olabilir.
Skaler denklemler, birbirine bağlı elemanlardan oluşan sistemlere, sistemi oluşturan elemanlar
birbirinden ayrılmadan uygulanabilir. Bu durumda bağlantı noktalarındaki tepki kuvvetleri iç
kuvvet olacağından bu kuvvetlerin impulsları dikkate alınmaz.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İmpuls ve Momentum Prensibi)
İmpuls ve Momentum Prensibinin şematik gösterimi
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İmpuls ve Momentum Prensibi)
Lineer Momentumun Korunumu. Birbirine bağlı rijit cisim sistemine etkiyen lineer
impulsların toplamı sifır ise sistemin lineer momentumu sabittir veya korunur. Bu
durum sembolik olarak
∑(
) = ∑(
)
şeklinde yazılabilir. Bu denkleme lineer momentumun korunumu denir. Lineer
impulsların küçük veya non-impulsif olduğu belli bir doğrultuda kullanılması
hesaplamalarda kayda değer hatalar oluşturmaz. Küçük kuvvetler kısa zaman
aralıklarında uygulandıklarında non-impulsif sayılabilirler. Örneğin, bir tenis
raketinin tenis topuna çok kısa bir zaman aralığı olan çarpışma süresinde, yani ∆
aralığında, uyguladığı impuls büyüktür ve ihmal edilemez. Ancak tenis topunun
ağırlığı çok küçük olduğundan çok kısa bir aralık olan ∆ müddetinde bu kuvvetin
impulsu ihmal edilebilir.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İmpuls ve Momentum Prensibi)
Açısal Momentumun Korunumu. Sisteme etkiyen dış kuvvetlerin meydana getirdiği
açısal impulsların toplamı sıfır veya non-impulsif ise birbirine bağlı rijit cisim
sisteminin, sistemin kütle merkezi etrafındaki veya sabit bir noktası etrafındaki,
açısal momentumu korunur.
∑(
ç
) = ∑(
ç
)
Bu denkleme açısal momentumun korunumu denir. Sistem bir tek cisimden ibaretse
açısal momentumun korunumu
noktasına uygulanırsa
=
olur. Bu
denklemi anlaşılabilir kılmak için, sıçrama tahtasından atlayarak seri bir taklalar
dizisinden sonra suya dalmak isteyen bir yüzücüyü ele alalım. Yüzücü tahtadan
zıpladıktan sonra havada iken kollarını ve ayaklarını karnına yaklaştırarak vücudunun
atalet momentini küçültür,
sabit olmak zorunda olduğundan açısal hızı artar. Suya
çarpmadan hemen önce vücudunu tekrar açarak atalet momentini artırır ve açısal hızı
azalır. Yüzücünün ağırlığı hareket boyunca lineer impuls meydana getirdiğinden bu
örnek aynı zamanda cismin açısal momentumu korunurken lineer momentumunun
korunmadığını gösterir. Buna benzer durumlar, lineer impuls oluşturan dış kuvvetlerin
doğrultusu kütle merkezinden veya sabit bir dönme ekseninden geçmesi durumunda da
ortaya çıkar.
ÖRNEK (İmpuls ve Momentum Prensibi)
Ağırlığı
disk merkezinden pimle sabitlenmiştir. =
sabit moment ve çevresine
sarılı ip vasıtasıyla =
konsantre kuvvete maruz disk başlangıçta hareketsizdir. Dış
kuvvetler etkisiyle harekete geçen diskin 2 saniye sonraki açısal hızını belirleyiniz. ’ daki
pimde oluşan tepki kuvvetinin bileşenleri hesaplayınız.
ÇÖZÜM
Serbest Cisim Diyagramı. Diskin kütle merkezi pimle bağlı olduğundan ötelenme hareketi
oluşmaz. Uygulanan dış kuvvetler sadece diskin saat yönünde dönmesine neden olur. Diskin
sabit dönme eksenine göre kütle atalet momenti
=
=
.
⁄
.
= .
ÖRNEK (İmpuls ve Momentum Prensibi)
İmpuls ve Momentum Prensibi
+ ∑∫
=
;
+
=
+ ∑∫
=
;
+
−
+ ∑∫
Denklem
=
,
;
+
ün çözümünden,
−
+
= ,
=
=
.
,
= .
=
⁄
ÖRNEK (İmpuls ve Momentum Prensibi)
B bloğunun kütlesi 6 kg’dır. Blok, kütle atalet momenti
= .
olan
disk çevresine sarılı ipe bağlıdır. Aşağı doğru
/ hızla hareket eden bloğun
saniyedeki hızını hesaplayınız. İpin kütlesini ihmal ediniz.
.
Cismin
Serbest
Cisim ve
Momentum
Diyagramı
ÇÖZÜM.
Serbest Cisim Diyagramı. Diskin hareketine bloğun ağırlığı neden olmakta olup bu
kuvvet sabittir. Bloğun aşağı doğru
hızıyla hareket etmesi diskin saat yönünde
açısal hızıyla dönmesine sebep olur.
ÖRNEK (İmpuls ve Momentum Prensibi)
İmpuls Momentum Prensibi. Açısal momentum prensibini
noktasına göre yazarak
ve
elimine edilebilir.
+∑∫
Disk için;
.
+
.
+ ∑∫
Blok için;
−
=
⁄
+
−
= .
=
.
=−
Kinematikten.
⁄ )⁄ .
Hız ve açısal hız arasındaki ilişki = / olup
=(
=
/ ve
⁄ .
=
=
dir. Diskin açısal hızı, bloğun hızı cinsinden denklemde
yerine yazılıp iki denklem için ortak çözüm yapılarak
belirlenir.
=
⁄
()
ÖRNEK (II. YÖNTEM)
İmpuls Momentum Diyagramı. Bloğun
hızını, blok, ip ve diskin oluşturduğu bir
sistem olarak göz önüne alarak daha doğrudan bir yaklaşımla da elde edebiliriz. İmpuls
ve momentum diyagramlarını kullanarak noktasına göre Açısal impuls ve momentum
prensibini yazabiliriz.
Açısal İmpuls ve Momentum Prensibi. Kinematikten
=(
⁄ .
ve
=
=
olduğunu hatırlayınız.
⁄ )⁄ .
=
/
ÖRNEK
=
ç
ç
+
(
(
⁄
=
)
+
.
.
+
( )
+ .
+ .
/
=
ç
=
⁄
)
=
(
)
⁄
+
.
.
()
+
.
⁄
ÖRNEK (İmpuls ve Momentum Prensibi)
100 kg makaranın kütle atalet yarıçapı
= .
’dir. Makara göbeğinin
çevresine sarılı ipe, saniye cinsinden olmak üzere, büyüklüğü zamana bağlı değişen
=( + )
yatay kuvveti uygulanmaktadır. Başlangıçta hareketsiz olan
makaranın,
saniyedeki açısal hızını belirleyiniz. Makara zeminde kaymadan
yuvarlanmaktadır.
ÖRNEK (İmpuls ve Momentum Prensibi)
Cismin
Serbest
Cisim ve
Momentum
Diyagramı
ÇÖZÜM
Serbest Cisim Diyagramı. Serbest cisim diyagramından değişken
kuvvetinin
değişken
sürtünme kuvvetine neden olduğu görülür. ve
tarafından meydana
getirilen impulslar integralle belirlenmelidir. kuvveti, makaranın kütle merkezinin
sağa doğru
hızı kazanmasına sebep olur. Bu yüzden makaranın açısal hızı saatin
dönme yönünde olur. Makaranın kütle merkezine göre kütle atalet momenti
=
=
.
=
.
ÖRNEK (İmpuls ve Momentum Prensibi)
+∫
+∫
=
+
−∫
. −∫
=
=
( )
Serbest cisim ve momentum diyagram
+ ∫
+
.
+ ∫
.
+ ∑∫
=
+ ∫
.
=
.
=
.
( )
ÖRNEK (İmpuls ve Momentum Prensibi)
Kinematik. Makara kaymadan yuvarlandığı için ani dönme merkezi A
noktasındadır. Bu durumda, makaranın kütle merkezinin hızı, açısal hız cinsinden
= .
şeklinde ifade edilir.
denklemlerde yerine yazılarak
Denklem ( ) ve ( ) den bilinmeyen ∫
impulsu elimine edilirse,
=
.
/