BÖLÜM BELİRSİZ İNTEGRAL 1.0 İntegralin Tarihçesi Dilimize

I. BÖLÜM
BELİRSİZ İNTEGRAL
1.0 İntegralin Tarihçesi
Dilimize İngilizceden ve Fransızcadan geçmiş olan integral sözcüğü “bütüne ait olan”
anlamına gelir.
İntegral ya da Tümlev, en genel anlamıyla bir fonksiyon eğrisinin altında kalan alanı
anlatır ya da başka deyişle fonksiyon türevinin tersi olan bir fonksiyon elde edilmesini sağlar.
İntegral, toplam kelimesinin (sum) baş harfi S’nin biraz evrim geçirmiş hali olan

işareti ile gösterilir. Bu gösterim Leibnitz tarafından tanımlanmıştır.
F  x    f  x  dx  c
c bir sabit gösterir ve integralin bir sabit farkı ile bulunabileceğine işaret eder.
Bir eksen takımında gösterilen
f  x  fonksiyonunun altında kalan a  x  b
aralığındaki alan, integral yardımıyla hesaplanır. Bu amaçla alan küçük dikdörtgenlere
bölünerek bunların alanı hesap edilip toplanır. Dikdörtgen sayısı arttıkça toplam eğri altındaki
alan, alanın değerine yaklaşır ve integralin tam değeri bulunmuş olur. Bu toplama Riemann
toplamı denir. İntegralin Riemann anlamındaki tanımı Riemann toplamındaki bölüntü sayısı
olan n’nin bir limit içerisinde sonsuza götürülmesiyle elde edilir.
n
b
i 1
a
S  lim  f  x i  x i   f  x  dx  F  b   F  a 
x 0
Bu şekilde integral belirli sınırlar arasında hesaplandığı için belirli integral olarak
adlandırılır. Sınırlar göz önüne alınmadan hesaplanan integrale ise belirsiz integral denir. Bazı
durumlarda f  x  fonksiyonunun integrali F  x  bulunamaz. Bu durumda belirli integral
sayısal olarak hesaplanır.
Uzunluk, alan ve hacimlerin hesaplanmasında integral hesabın önemli yeri vardır.
Birden fazla değişkene bağlı fonksiyonlarda integral kavramı genişletilebilir ve bu durumda
katlı integraller ortaya çıkar.
Riemann’dan sonra soyut kümelerin de integrallenebilmesi amacıyla Lebesque
integrali geliştirilmiştir.
1
Tanım: f ( x) ve F ( x) fonksiyonları bir   R açık aralığında tanımlanmış olsun. Eğer F ( x)
fonksiyonunun  aralığında türevi mevcut ve bu türev her x   için
F ( x)  f ( x) ise
F ( x) fonksiyonuna f ( x) fonksiyonunun bu aralıkta bir antitürevi veya belirsiz integrali
denir. Bu integral
 f ( x).dx  F ( x)
şeklinde gösterilir.
Burada f ( x) ifadesi integrant, x ise integralin değişkeni adını alır.
 aralığında tanımlanmış bir f(x) fonksiyonu için F(x) antitürev ise bu aralıkta c keyfi bir
sabit olmak üzere F(x)+c ’ nin de antitürev olduğu görülür. O halde;
 f ( x).dx  F ( x) + c
yazılır. Böylece f ( x) en genel antitürevi F(x)+c’ dir.
x4
Örnek: f(x)= x fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun antitürevi  x .dx   c ’ dır.
4
3
3
x4
Yani F ( x) 
olur.
4
1.1 Temel İntegral Formülleri
1.
2.
3.
 dx  x  c
 a f  x  d x  a  f  x  dx
  f  x  g  x   dx   f  x  dx  g  x  dx
x n 1
c
n 1
 n  1
4.
n
 x dx 
5.

6.
e
7.
x
 a dx 
8.
 cos x dx  sin x  c
9.
 sin x dx   cos x  c
dx
 ln x  c
x
x
.dx  e x  c
ax
 c, a  0, a  1
ln a
10.  sec 2 x dx  
1
dx  tan x  c
cos 2 x
2
11.  cosec 2 x dx  
1
dx   cot x  c
sin 2 x
12.  sec x  tan x dx  sec x  c
13.  cosec x  cot x dx  cosec x  c
dx
14.
 cosh
15.
 sinh
16.
x
2
17.

x
 arcsin  c
a
a x
18.
 tan x dx   lncos x  c
2
x
2
x
dx
 tanh x  c
  cot h x  c
dx
1
x
 arctan  c
2
a
a
a
dx
2
2
19.  cot x dx  lnsin x  c
20.  sec x dx  ln  sec x  tan x   c
21.  cosec x dx   ln  cosec x  cot x   c
22.
x
2
23.
a
2
24.

25.

dx
1
xa

ln
c
2
a
2a
xa
dx
1
xa

ln
c
2
x
2a x  a
dx
x a
2
2
dx
x a
2
2




 ln x  x 2  a 2  c
 ln x  x 2  a 2  c
26.  cosh x.dx  sinh x  c
27.  sinh x.dx  cosh x  c
28.

f ( x).dx
 ln f ( x)  c
f ( x)
29.

f ( x). f ( x).dx 
 f ( x) 
2
2
c
3
 f ( x) 
f ( x) . f ( x).dx 
n 1
30.

n
n 1
31.  au ( x ) .u( x).dx 
32.
 c, n  1
au ( x )
 c, a  0, a  1
ln a
1
 f ( x).dx  F ( x) + c   f (ax  b).dx  a F (ax  b)  c
1.2 İntegral Alma Yöntemleri
1.2.1 Değişken Değiştirme Yöntemi
İntegrali alınan fonksiyon f  x  dx gibi daha basit bir ifadeye dönüştürülerek integral alınır.
Bu durumu örneklerle inceleyelim.
Örnek:  3 x  5.dx integralini hesaplayınız.
2
Çözüm: 3x  5  u 2 dersek 2u.du  3dx  dx  udu olur.
3

3 x  5.dx =  u 2 .
=
2u
.du
3
2 2
u .du
3
2 u3
= . c
3 3
2
= .u 3  c
9
u 2  3x  5  u  3x  5 olduğundan
3
2
= .  3 x  5  2  c bulunur.
9
Örnek:
 x.
x  1dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: x  1  u 2  x  u 2  1 dersek dx  2u.du bulunur.
 x.
x  1dx =   u 2  1 . u 2 .2u.du
=
 u
2
 1 .2u 2 .du
=   2u 4  2u 2 du
= 2 u 4 du  2 u 2 du
u5
u3
=2. - 2. +c
5
3
u 5  ( x  1) 2 ve u 3  ( x  1) 2 olduğundan
5
4
3
2
5
2
3
= ( x  1) 2  ( x  1) 2  c bulunur.
5
3
 arctan7 x 
8

Örnek:
dx integralini hesaplayınız.
1  49 x 2
Çözüm: u  arctan7 x dersek du 
 arctan7 x 
8

1  49 x
2
7
dx olur.
1  49 x 2
1
1
dx =  u 8 . .du =  u 8 .du
7
7
u9
1 u9
= . c= c
63
7 9
 arctan 7 x 
=
9
63
Örnek: 
u yerine yazılırsa
c
elde edilir.
dx
integralini hesaplayınız.
x  2 x3  9 
Çözüm: u=
1
du
dersek dx   2 olur.
x
u
du
dx
u2
=
 x  2 x3  9   1  1 
 2.  9 
u  u3


du
u2
= 
1  2  9u 3 


u  u3 
= 
u2
du
2  9u 3
=
1
27u 2
.
du burada t  2  9u 3 diyelim. dt 27u 2 du ‘dır.
3
27 2  9u
=
1 dt
27  t
=
1
ln t  c
27
=
1
ln(2  9u 3 )  c
27
t’yi yerine yazalım.
u’yu yerine yazalım.
5
3
1
1
=  .ln(2  9   )  c
27
x
1  2 x3  9 
=  ln 
  c elde edilir.
27  x3 
x4
Örnek:  5
dx integralini hesaplayınız.
x 1
Çözüm: u  x 5  1 dersek du  5 x 4 dx bulunur.
x4
1 5x4
=
dx
 x5  1 5  x5  1 dx
=
1 du
5 u
1
= ln u  c
5
1
= ln  x 5  1  c elde edilir.
5
1.2.2 Özel Durumlarda İntegral Alma Yöntemleri
a.
a 2  b2 x 2 ifadesini içeren fonksiyonların integrallerini bulmak için; x 
değiştirilmesi yapılır.
Örnek:
25  4x 2
dx integralini hesaplayınız.
x2

5
5
Çözüm: x  sin t dersek dx  cos t.dt olur.
2
2

25  4x
dx = 
x2
2
25 2
sin t
5
4
. cos tdt
25 2
2
sin t
4
25  4.
=
25 1  sin 2 t  5
. cos tdt
25 2
2
sin t
4
= 2
cos 2 t
dt
sin 2 t
= 2
1  sin 2 t
dt
sin 2 t
6
a
sint değişken
b
= 2
1
dt  2  dt
sin 2 t
= 2cot t  2t  c
5
2x
25  4 x 2
x  sin t dönüşümü dik üçgende düşünürsek cot t 
olur. Ayrıca t  arcsin
2
5
2x

olduğundan
25  4x 2
25  4 x 2
2x
=
dx

2.
 2.arcsin  c elde edilir.
2
x
2x
5
b. a 2  b2 x 2 ifadesini içeren fonksiyonların integralini bulmak için; x 
a
tan t değişken
b
dönüşümü yapılır.
Örnek:
x
dx
2
25  x 2
integralini hesaplayınız.
Çözüm: x  5 tan t dersek dx  5
x
dx
2
25  x 2
1
dt olur.
cos 2 t
=
1
5
dt
2
25 tan 2 t 25  25 tan 2 t cos t
=
5
dt ,
2
25 tan t 25.(1  tan t ) cos t
.
1
2
=
1 cos t
dt
25  sin 2 t
=
1
u 2 .du
25 
=
1 1
. c
25 u
=
1 1
.
c
25 sin t
2
x
u’yu yerine yazarsak
1 x 2  25
= .
 c elde edilir.
25
x
25  x 2
dx
2
1
olduğundan
cos 2 t
u  sin t dersek du  cos t.dt
x  5.tan t dönüşümünü dik üçgende düşünürsek sin t 
O halde
1  tan 2 t 
.
7
x
x  25
2
bulunur.
c. b2 x2  a 2 ifadesinden başka köklü ifade kapsamayan fonksiyonların integralini bulmak
için; x 
a
değişken değiştirmesi yapılır.
b cos t
Örnek:
x
Çözüm: x 
x
dx
x2  9
integralini hesaplayınız
3
3sin t
dt ’dır.
dersek dx 
cos t
cos 2 t
dx
x 9
2
=
1
3
cos t
=
=
9
9
cos 2 t
.
3sin t
dt
cos 2 t
9
3sin t
olduğundan
9 
2
cos t
cos t
1
3sin t
.
dt
3 3sin t cos 2 t
cos t cos t
1
dt
3
1
= .t  c
3
x
x
d.
ni
3
3
 t  arccos olmak üzere çözümde t ’yi yerine yazarsak
cos t
x
dx
1
3
= .arccos  c elde edilir.
x
x2  9 3
ax  b biçimindeki köklü ifadeleri kapsayan fonksiyonları hesaplamak için ni ’lerin en
küçük ortak katı k olmak üzere ax  b  t k değişken değiştirmesi yapılır.
Örnek:

3
x 1  8
dx integralini hesaplayınız
5
x 1
Çözüm: x  1  t15 dersek dx  15t14 dt ’dır.

3
3 15
x 1  8
t  8 14
dx = 
15t dt
5
5 15
x 1
t
=
t 5  8 14
15t dt
t3
= 15  t16  8t11 dt
8
1 
 1
 15  t17  8. t12   c
12 
 17
15
 t17  10t12  c
17
x 1  t olmak üzere çözümde t ’yi yerine yazarsak

3
x 1  8
15
17
12
dx

x

1

10
x

1
 c elde edilir.




5
17
x 1
e. R  sin x,cos x  , sin x ve cos x fonksiyonlarının rasyonel fonksiyonu olmak üzere ;
x
 R  sin x, cos x dx integralinin hesabına tan 2  t değişken değiştirmesi yapılırsa integral
rasyonel bir fonksiyonunun integraline dönüşür.
x
x
x
sin x  2sin cos olduğundan dik üçgende tan  t dönüşümünü düşünürsek
2
2
2

sin x  2
t
1 t2
.
1
1 t2
 sin x 
2t
1 t2
1.1
olur.

cos 2 x  2 cos 2 x  1  1  2sin 2 x olduğundan cos x  2 cos 2
üçgende tan
cos x  2
x
 1 ’dır. Yine dik
2
x
 t dönüşümünü düşünürsek
2
1
1 t2

1

1 t2
1 t2
1.2
olur.

tan
x
x
1
1
 t   arctan t  dx 
dt
2
2
2
1 t2
 dx 
2
dt
1 t2
bulunur.
Örnek:
1
 sin xdx integralini hesaplayınız
Çözüm: tan
x
 t dönüşümünü yapalım. 1.1 ve 1.3 ifadelerini kullanırsak
2
9
1.3
1
1
2
.
dt
2t 1  t 2
1 t2
1
  dt  ln t  c
t
x
 ln tan  c
2
 sin xdx  
elde edilir.
Örnek:
1
 cos x dx integralini hesaplayınız
Çözüm: tan
x
 t dönüşümünü yapalım. 1.2  ve 1.3 ifadelerini kullanırsak
2
1
1
 cos xdx   1  t
2
.
2
1
dt  2
dt
2
1 t
1 t2
1 t2
 1 t 1 
t 1
 2  ln
 c  ln
c

t 1
 2 t 1 
x
tan  1
2
 ln
c
x
tan  1
2
elde edilir.
Örnek:
1
 cos x  sin xdx integralini hesaplayınız
Çözüm: tan
x
 t dönüşümünü yapalım. 1.1 , 1.2  ve 1.3 ifadelerini kullanırsak
2
1
1
 cos x  sin xdx   1  t
2
1 t
2
 2

1
 t  1
2


2t
1 t2
 2
2
.
2
1
dt  2 2
dt
2
1 t
t  2t  1
 1
t 1  2 
 2 
ln
c
 2 2 t  1  2 


1 t  1  2
ln
c
2 t 1  2
x
tan  1  2
1
2

ln
c
2 tan x  1  2
2
elde edilir
10
.
1.2.3 Konu İle İlgili Çözümlü Sorular
1.
1
 x ln xdx integralini hesaplayınız.
Çözüm: u  ln x dönüşümünü yapalım. Bu dönüşümden du 
1
 x ln xdx  
dx
olur.
x
du
 ln u  c  ln  ln x   c elde edilir.
u

3x 2  1 x 
2.   2sin x  3
 4 dx integralini hesaplayınız.
x x


Çözüm: u  x 3  x dönüşümünü yapalım. O halde du   3x 2  1 dx olur.

3x 2  1 x 
3x 2  1
2sin
x


4
dx

2
sin
xdx

dx   4 x dx

3
 


x3  x
x

x

 2   cos x   
du 4 x

c
u ln 4
 2cos x  ln u 
4x
c
ln 4
 2cos x  ln  x3  x  
3.

4x
+c bulunur.
ln 4
x
dx integralini hesaplayınız.
x 1
Çözüm: u  x  1 dönüşümünü yapalım. u 2  x  1  x  u 2  1 olduğundan dx  2udu
olur.

u 2  1 2udu

x
dx  
   2u 2  2  du
2
x 1
u
2
 u 3  2u  c
3

4.
2
3


3
x  1  2 x  1  c elde edilir.
cos x
dx integralini hesaplayınız.
4
x
 sin
Çözüm: t  sin x dönüşümünü yapalım. O halde dt  cos xdx olur.
11
cos x
t 3
1
4
dx

t
dt

c 
 c ’dır.
3
 sin 4 x 
3
3  sin x 
5.

arctan x
dx integralini hesaplayınız.
1  x2
Çözüm: t  arctan x dönüşümünü yapalım. O halde dt 

6.
1
dx olur. Buradan
1  x2
arctan x
1
1
2
dx   tdt  t 2  c   arctan x   c bulunur.
2
1 x
2
2
sin 2 x
 cos4 xdx integralini hesaplayınız.
Çözüm: t  tan x dönüşümünü yapalım. O halde dt 
1
dx olur. Böylece
cos 2 x
sin 2 x
sin 2 x dx
dx
2
dx

 cos4 x  cos2 x cos2 x   tan x cos2 x
  t 2 dt 
7.
x
2
t3
1
3
 c   tan x   c elde edilir.
3
3
x2
dx integralini hesaplayınız.
 4x  3
Çözüm: u  x 2  4 x  3 dönüşümünü yapalım. du   2 x  4  dx 
x
2
du
  x  2  dx olur.
2
x2
1 du 1
1
dx  
 ln u  c  ln x 2  4 x  3  c bulunur.
 4x  3
u 2 2
2

2cos x 
8.   e4 x 
dx integralini hesaplayınız.
2
1

sin
x



2cos x 
2cos x
1
4x
Çözüm:   e4 x 
dx  e4 x  2 dx 
dx   e dx  
2
cos x
4
1  sin x 

1
 e4 x  2 x  c çözümü elde edilir.
4
9.  sin 5 xdx integralini hesaplayınız.
Çözüm: sin 2 x  1  cos 2 x olduğundan
 sin
5
xdx   1  cos 2 x  sin x dx şeklinde yazılabilir.
2
t  cos x dönüşümünü yaparsak
12
 1  cos x 
2
2
sin x dx   1  u 2   du     1  2u 2  u 4  du
2
2
1 

   u  u3  u5   c
3
5 

2
1


   cos x  cos3 x  cos5 x   c bulunur.
3
5


1.2.4. Kısmi İntegrasyon Yöntemi
u ve v fonksiyonları x değişkeninin bir diferansiyellenebilir fonksiyonu olsunlar. Böylece;
d  u.v   du.v  u.dv
 u.dv  d  u.v   vdu
  u.dv   d  u.v    vdu
  u.dv  u.v   vdu
elde edilir.
Örnek:
 x cos xdx integralini kısmi integrasyon yöntemi ile çözelim.
x  u , cos xdx  dv dersek du  dx, v  sin x olur. Bunları  u.dv  u.v   vdu ifadesinde
yerine yazarsak
 x cos xdx  x sin x   sin xdx
 x sin x  cos x  c bulunur.
Örnek:  arctan x dx integralini çözelim.
arctan x  u , dx  dv dersek du 
1
 arctan x dx  arctan x.x   x. 1  x
2
1
dx, v  x olur.
1  x2
dx burada değişken değiştime yöntemi kullanarak
t  1  x 2 dersek dt  2 xdx olur. Bunları yerine yazarsak
 arctan x dx  arctan x.x   x.
dt
1
2
dx

arctan
x
.
x

t
1  x2
1
 x.arctan x  ln t  c
2
t  1  x 2 olduğundan
1
 x.arctan x  ln 1  x 2  c olur.
2
1
n 1
sin n  2 xdx... 1.4 
Örnek: n  2, n  N olmak üzere  sin n xdx   sin n 1 x.cos x 

n
n
olduğunu gösteriniz.
13
Çözüm:  sin n xdx   sin n 1 xsin xdx şeklinde yazalım. Kısmi integrasyon yöntemini
kullanırsak u  sin n1 x, sin xdx  dv dersek du   n 1 sin n2 x.cos xdx, v   cos x elde
edilir.
 sin
n
xdx   sin n 1 xsin xdx   sin n 1 x.cos x   n  1  cos 2 x sin n  2 xdx
  sin n 1 x.cos x   n  1  1  sin 2 x  sin n  2 xdx
  sin n 1 x.cos x   n  1   sin n  2 x  sin n x  dx
  sin n 1 x.cos x   n  1  sin n  2 xdx   n  1  sin n xdx son
bulunan satırdaki 3. terim ile integralini aldığımız ifade aynıdır. Aynı terimleri bir tarafa
toplarsak şu elde edilir:
n  sin n xdx   sin n 1 x.cos x   n  1  sin n  2 xdx
1
n 1
  sin n xdx   sin n 1 x.cos x 
sin n  2 xdx bulunur. Bu da istenendir.

n
n
Ödev: n  2, n  N olmak üzere  cos n xdx 
1
n 1
cos n 1 x.sin x 
cos n  2 xdx... 1.5 
n
n 
olduğunu gösteriniz.
Yukarıda görülen 1.4  ve 1.5  formüllerine indirgeme formülleri denir.
Örnek:  sin 2 xdx ve  cos 2 xdx integrallerini indirgeme formülleri yardımı ile hesaplayınız.
Çözüm: 1.4  formülünde n  2 alırsak
 sin
n
1
n 1
xdx   sin n 1 x.cos x 
sin n  2 xdx

n
n
1
1
  sin 2 xdx   sin x.cos x   dx
2
2
1
1
1
1
olur. Bunu çözersek  sin 2 xdx   sin x.cos x   dx   sin x.cos x  x  c bulunmuş
2
2
2
2
olur.
Benzer şekilde 1.5  formülünde n  2 alırsak
 cos
n
xdx 
1
n 1
cos n 1 x.sin x 
cos n  2 xdx

n
n
  cos 2 xdx 
1
1
cos x.sin x   dx
2
2
14
  cos 2 xdx 
1
1
cos x.sin x  x  c elde edilir.
2
2
Hatırlatma:

cos 2 x 
1  cos 2 x
2

sin 2 x 
1  cos 2 x
2
Örnek:  sin 4 xdx integralini hesaplayınız.
Çözüm: 1.4  formülünü kullanırsak
 sin
4
1
3
xdx   sin 3 x.cos x   sin 2 xdx olur. Bir
4
4
1
1
önceki örnekte  sin 2 xdx   sin x.cos x  x  c bulunmuştu. Bunu yukarıda yerine
2
2
1
3
yazarsak  sin 4 xdx   sin 3 x.cos x   sin 2 xdx
4
4
1
3 1
1 
  sin 4 xdx   sin 3 x.cos x    sin x.cos x  x   c
4
4 2
2 
1
3
3
  sin 3 x.cos x  sin x.cos x  x  c
4
8
8
bulunur.
1.2.5. Rasyonel Fonksiyonların İntegrali
p  x  , q  x  iki polinomu olmak üzere

p  x
q  x
 q  x   0 ifadesinin
Payının derecesi paydasının derecesinden büyük veya eşit ise polinomlarda bölme
işlemi yapılarak basit kesirlere ayrılır.

Paydanın derecesi payının derecesinden büyük ise payda çarpanlarına ayrılabiliyorsa
basit kesirlere ayrılabilir.
Örnek: 
x2  3
dx integralini basit kesirlere ayırarak çözelim. Payının derecesi paydasının
x 1
derecesinden büyük olduğundan x 2  3 ifadesini x  1’e bölersek x2  3   x  1 x 1  4
olur. O halde
x2  3
4
 x 1
elde edilir.
x 1
x 1
x2  3
4 

 4 
 x  1 dx    x 1  x  1  dx    x 1 dx    x  1  dx
15

Örnek: 
x2  2 x
 4 ln x  1  c bulunur.
2
x3  x 2  2 x  1
dx integralini basit kesirlere ayırarak çözelim. Payının derecesi
x 2  3x  2
paydasının derecesine eşittir. Polinomlarda bölme yapılarak
x3  x 2  2 x  1
12 x  9
şeklinde yazılabilir.
 x4 2
2
x  3x  2
x  3x  2
x3  x 2  2 x  1
12 x  9
 x2  3x  2 dx    x  4 dx   x2  3x  2dx olur. İlk önce
x
12 x  9
dx integralini
 3x  2
2
12 x  9
12 x  9
A
B


ifadesini basit kesirlerine ayıralım. 2
olmak
x  3x  2
x  3x  2 x  1 x  2
irdeleyelim.
2
üzere A  3, B  15 ;
12 x  9
3
15


bulunur.
x  3x  2 x  1 x  2
2
x2  x2  2 x  1
12 x  9
3
15
 x2  3x  2 dx    x  4 dx   x2  3x  2dx    x  4 dx   x  1 dx   x  2dx

Örnek: 
5
dx integralini hesaplayınız.
x 1
2
Çözüm: 1.yol:
2.yol:
Buradan
x2
 4 x  3ln x  1  15ln x  2  c çözümü bulunur.
2
x
x
5
1
5 x 1
dx  5 2
dx  ln
 c ( Bkz: Temel integral formülleri, 22 )
1
x 1
2 x 1
2
5
5
A
B
5
5


ifadesini 2
şeklinde yazıp A  , B 
buluruz.
x 1
x 1 x 1 x 1
2
2
2
5
5 1
5 1
dx  
dx  
dx
1
2 x 1
2 x 1
2

5
5
ln x  1  ln x  1  c
2
2
5  x 1 
  ln
 c elde edilir.
2  x  1 
1.2.6. Konu İle İlgili Çözümlü Sorular
1.
x3
 x  x  1
Çözüm:
2
dx integralini hesaplayınız.
x3
x  x  1
2



A
B
C
2


şeklinde olup x  3  A  x  1  B x 2  x  Cx
2
x  x  1  x  1
olduğundan gerekli işlemler yapılarak A  3, B  3, C  2 elde edilir. Buradan
16
x3
 x  x  1
2
dx  3
dx
dx
dx
 3
 2
2
x
x 1
 x  1
 3ln x  3ln x  1 
 3ln
2.
x
x
3
2
Çözüm:
 1
2
2
c
x 1
x
2

 c bulunur.
x 1 x 1
dx integralini hesaplayınız.
3
x  x 2  1
2

A Bx  C
Dx  E
 2

şeklinde olup
x  x  1  x 2  12
3  A  x 2  1   Bx  C   x3  x   Dx 2  Ex bulunur. Buradan
2
A  3, B  3, C  0, D  3, E  0 elde edilir. Şimdi bu değerleri yerine yazarsak integral şu
hali alır:
x
x
3
2
 1
2
dx  3
dx
x
x
 3 2
dx  3
dx
2
x
x 1
 x2  1
3
3 1
 3ln x  ln x 2  1 
 c olur.
2
2 x2  1
3.  e x dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: x  t 2 dersek dx  2tdt olur. Bu dönüşümü integralde yerine yazarsak
e
x
dx   et 2tdt 2 et tdt olur. Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. t  u, et dt  dv
olsun. O halde du  dt , et  v olur. Bunları integrale uygularsak
e
x
dx  2 et tdt  2 tet   et dt   2 tet  et   c bulunur. x  t 2 olduğundan t  x olur ve
bu dönüşümü yerine yazarsak  e x dx  2  xe

x
 e x   c elde edilir.

4.  ln x  2 dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: . Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. ln  x  2  u, dx  dv olsun. O halde
du 
dx
, x  v olur. Bunları integrale uygularsak
x2
x
 ln  x  2 dx  ln  x  2 x    x  2 dx
17
2 

 ln  x  2  x   1 
 dx
 x2
 ln  x  2  x   2 ln  x  2   x   c olur.
5.
x
8
ln xdx integralini hesaplayınız.
Çözüm: . Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. ln x  u, x8 dx  dv olsun. O halde
1
x9
dx  du,
 v bulunur.
x
9
8
 x ln xdx  ln x
 ln x
6.
 sin
2
x9
x9 dx
x9
x8

 ln x   dx
9
9 x
9
9
x9 1 8
x9 1
  x dx  ln x  x9  c olur.
9 9
9 81
cos y
dy integralini hesaplayınız.
y  sin y  6
Çözüm: sin y  t dersek cos ydy  dt olur. Bu dönüşümü integralde yerine yazarsak
 sin
2
1
cos y
1
ifadesini basit kesirlerine ayırırsak
dy   2
dt olur. 2
t t 6
y  sin y  6
t t 6
1
A
B
1
1


olup A  , B   bulunur.
t t 6 t 2 t 3
5
5
2
 sin
2
cos y
1
1 1
1 1
dy   2
dt  
dt  
dt
y  sin y  6
t t 6
5 t 2
5 t 3
1
1
 ln t  2  ln t  3  c
5
5
1 t 2
 ln
 c olur.
5 t 3
sin y  t olduğundan
7.
 sin
2
cos y
1 t 2
1 sin y  2
dy  ln
 c  ln
 c bulunur.
y  sin y  6
5 t 3
5 sin y  3
x cos x
dx integralini hesaplayınız.
2
x
 sin
Çözüm: Kısmi integrasyon yöntemiyle çözelim. x  u ,
ve sin x  t dönüşümünü yaparsak dv 
bulunur.
cos x
dx  dv olsun. O halde dx  du
sin 2 x
cos x
cos x
1
1
1
dx  v   2 dx   2 dt 

2
sin x
sin x
t
t
sin x
x
x cos x
 1   1 
dx  x 
 
 dx olur. İntegralde tan  w dönüşümünü
2
2
x
 sin x   sin x 
 sin
18
yapalım. dx 
2dw
2w
olur. Dik üçgenden yararlanarak sin x 
bulunur.
2
1 w
1  w2
2dw
 1 
1  w2  dw  ln w  c  ln tan x  c çözümü elde edilir. Şimdi bu integrali
dx

  sin x   2w  w
2
2
1 w
yerine yazarsak
8.
xe x
  x  1
2
x cos x
x
 1   1 
 1 
dx  x 
  
 dx  x 
  ln tan  c bulunur.
2
x
2
 sin x   sin x 
 sin x 
 sin
dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. u  xe x , dv 
du   x  1 e x dx, v  
1
bulunur.
x 1
xe x
  x  1
2
dx
 x  1
2
olsun. O halde
1
 1 
dx  xe x  
1  x  e x dx

x 1
 x 1 
1 

x
 xe x  
   e dx
 x 1 


9.
x e
2 x
xe x
 ex  c
x 1
ex
 c olur.
x 1
dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. x 2  u, e x dx  dv olsun. O halde
du  2 xdx,  e x  v bulunur.
x e
2 x
dx   x 2e  x   e  x 2 xdx
  x 2 e  x  2  e  x xdx olur.  e  x xdx integraline kısmi
integrasyon uygulayalım. x  u, e x dx  dv olsun. Buradan dx  du,  e x  v olur.
e
x
xdx   xe  x   e  x dx   xe  x  e  x bulunur. Şimdi bunu integralde yerine yazarsak
x e
2 x
dx   x 2e x  2 e  x xdx   x 2e  x  2   xe  x  e  x   c elde edilir.
10.  arctan xdx integralini hesaplayınız.
Çözüm: Kısmi integrayon yöntemini uygulayalım. arctan x  u, dv  dx olsun. O halde
du 
1
1
dx, v  x bulunur.  arctan xdx  x arctan x   x
dx
2
1 x
1  x2
19
1 2x
dx
2  1  x2
1
 x arctan x  ln 1  x 2  c elde edilir.
2
 x arctan x 
11.
x
5
ln xdx integralini hesaplayınız.
Çözüm: Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. ln x  u, x5dx  dv olsun. O halde
1
x6
dx  du,
 v bulunur.
x
6
12.
x6
x6 1
 x ln xdx  ln x 6   6 xdx
x6 x6
1
x6 
 ln x   c   x6 ln x    c olur.
6 36
6
6
5
ex  2
 e2 x  4 dx integralini hesaplayınız.
Çözüm:
1
ex  2
ex  2
1
ex  2
dx halini alır.
ifadesi
olur. İntegral  x

 x
2x
2x
x
x
e 2
e 4
e  4  e  2  e  2  e  2
Burada e x  2  u dersek e x dx  du  dx 
yazarsak
e
x
du
bulunur. Bulduklarımızı integralde yerine
u2
1
du
olur. İntegraldeki ifadeyi basit kesirlerine ayırırsak
dx  
2
u u  2
1
1
1
olur. Şimdi integrali çözelim:


u  u  2  2u 2  u  2 
e
x
1
du
1 1
1
1
dx  
  du  
du
2
u u  2 2 u
2 u2

1
1
ln u  ln u  2  c ,
2
2

1
1
ln e x  2  ln e x  c
2
2
e x  2  u olduğundan
1 ex  2
bulunmuş olur.
 ln
2
ex
13.
3x 2  8
 x3  4 x2  4 x dx integralini hesaplayınız.
Çözüm:
2
3x 2  8
2
1
10
3x 2  8
 

ifadesi
olur. İntegral
3
2
3
2
x  4 x  4 x x x  2  x  2 2
x  4x  4x
1
10
 x dx   x  2 dx    x  2  dx halini alır.
2
20
2
1
10
3x 2  8
 x3  4 x2  4 x dx =  x dx   x  2 dx    x  2 2 dx
= 2 ln x  ln  x  2  
14.
10
 c elde edilir.
x2
1
 cos x dx integralini hesaplayınız.
Çözüm:
1
cos x

şeklinde yazılabilir. cos 2 x  1  sin 2 x olduğundan integral
2
cos x cos x
1
cos x
cos x
dx  
dx halini alır. sin x  t dönüşümünü yaparsak
2
x
1  sin 2 x
 cos x dx   cos
cos xdx  dt olur ve
ayrılmış hali
cos x
 1  sin
2
x
dx  
1
dt elde edilir. İntegralin ifadesinin basit kesirlere
1 t2
1
1 1
1 1
 .
 .
olur.
2
1 t
2 1 t 2 1 t
cos x
 1  sin
2
x
dx  
1
1 1
1 1
dt   .
dt   .
dt
2
1 t
2 1 t
2 1 t
1
1
  ln 1  t  ln 1  t  c
2
2
1
1
  ln 1  sin x  ln 1  sin x  c bulunur.
2
2
15.  cos(ln x)dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: Kısmi integrayon yöntemini uygulayalım. cos  ln x   u, dv  dx olsun. O halde
1
 sin  ln x  dx  du, x  v olur. İntegralde bulduklarımızı uygularsak
x
 1 
 sin  ln x  dx  x cos  ln x    sin  ln x  dx... * olur.
x 
 cos  ln x  dx  x cos  ln x    x 
Burada  sin  ln x  dx integraline tekrar kısmi integrasyon yöntemini uygularsak
sin  ln x   u, dv  dx ve
1
cos  ln x  dx  du, x  v olur. O halde
x
1
 sin  ln x  dx  sin  ln x  x   x x cos  ln x  dx  sin  ln x  x   cos  ln x  dx... **
olur.
Görüldüğü gibi ** ifadesinde görülen integral çözümünü bulmak istediğimiz integraldir.
21
** ifadesini *
da yerine yazarsak
 cos  ln x  dx  x cos  ln x    sin  ln x  dx  x cos  ln x   sin  ln x  x   cos  ln x  dx
Şimdi  cos  ln x  dx ifadesini eşitliğin sol tarafına atarsak
2 cos  ln x  dx  x cos  ln x   sin  ln x  x  c   cos  ln x  dx 
1
1
c sabit bir sayı olduğundan c1  c dersek
2
2
bulunur.
1
1
 cos  ln x  dx  2 x cos  ln x   2 sin  ln x  x  c
1
16.
x
 cos
1
1
1
x cos  ln x   sin  ln x  x  c
2
2
2
2
x
elde edilir.
dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. x  u , dv 
dx  du,v  tan x olur.
1
dx olsun. O halde
cos 2 x
sin x
 cos  ln x  dx  x tan x   tan xdx  x tan x   cos x dx
 x tan x  ln  cos x   c bulunur.
17.  e ax cos bxdx integralini hesaplayınız.
Çözüm: Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. eax  u, dv  cos bxdx olsun. O halde
1
1
1
ae ax dx  du, sin bx  v olur.  eax cos bxdx  eax sin bx   aeax sin bxdx
b
b
b
1
a
 eax sin bx    e ax sin bxdx 

b
b
Tekrar kısmi integrasyon uygulayalım. eax  u, dv  sin bxdx ise ae ax dx  du ,
1
cos bx  v
b
olduğundan
e
ax
1
a
1
a  1
a

cos bxdx = eax sin bx    e ax sin bxdx   e ax sin bx   e ax cos bx   e ax cos bxdx 


b
b
b
b b
b

1
a
a2
 eax sin bx  2 eax cos bx  2  eax cos bxdx
b
b
b
a 2 ax
e cos bxdx integralini aradığımız için eşitliğin soluna atarak çözümü
b2 
1
a
a2
bulabiliriz.  eax cos bxdx  eax sin bx  2 e ax cos bx  2  e ax cos bxdx
b
b
b
Buradaki
22
 a2 
1
a
 1  2   eax cos bxdx  eax sin bx  2 eax cos bx
b
b
 b 
b
a
  eax cos bxdx  2
eax sin bx  2
eax cos bx  c elde edilir.
2
2
b a
b a
2
x  x 1
18.  2
dx integralini hesaplayınız.
 x  1 x
Çözüm:
19.
x2  x  1
x2  x  1 1
1
ifadesi
olur.
  2
2
2
 x  1 x
 x  1 x x x  1
 x ln  x
x2  x  1
1
1
  x2  1 x dx   x dx   x2  1 dx  ln x  arctan x  c bulunur.
 1 dx integralini hesaplayınız.
2
Çözüm: Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. ln  x 2  1  u , xdx  dv olsun. O halde
2x
x2
dx

du
,
 v bulunur.
x2  1
2
x2
x2 2x
ln  x 2  1  
dx
2
2 x2  1
x2
x 

 ln  x 2  1    x  2 dx
2
x 1 

2
x
1 2x
 ln  x 2  1   xdx   2 dx
2
2 x 1
2
2
x
x 1
 ln  x 2  1   ln  x 2  1  c elde
2
2 2
2
 x ln  x  1 dx 
edilir.
cos x
20.  x dx integralini hesaplayınız.
e
Çözüm: Kısmi integrasyonla çözelim. e x  u, cos xdx  dv olsun. O halde
e x dx  du,  sin x  v bulunur.

cos x
dx  e  x sin x   e  x sin xdx olur. Tekrar kısmi
x
e
integrasyon uygulayalım. e x  u, dv  sin xdx ise e x dx  du, cos x  v
olduğundan  e  x cos xdx = e x sin x    e x sin xdx   e x sin x  e x cos x   e  x cos xdx 




 e  x sin x  e  x cos x   e  x cos xdx
Buradaki
e
x
e
x
cos xdx integralini aradığımız için eşitliğin soluna atarak çözümü bulabiliriz.
cos xdx  e  x sin x  e  x cos x   e  x cos xdx
 2  e  x cos xdx  e  x sin x e  x cos x
  e x cos xdx 
1  x
1
e sin x  e  x cos x  c elde edilir.
2
2
Bu soru kısmi integrasyon yardımıyla da çözülebilir.
23
21.  cos x cos  sin x  dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: u  sin x dersek cos xdx  du olur. Bu dönüşümü integralde yerine yazarsak
 cos x cos sin x  dx   cos udu  sin u  c olur. u  sin x olduğundan
 cos x cos  sin x  dx  sin  sin x   c
22.

11  x 
bulunur.
3
x
dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: u  11  x dersek
yerine yazarsak

11  x 
x
3
1
2 x
dx  du 
1
dx  2du olur. Bu dönüşümü integralde
x

11  x
u4
dx  2 u 3du  2  c 
4
2

4
 c elde edilir.
1.2.7 Trigonometrik Fonksiyonların İntegralleri
A)  sin m x cos n xdx biçimindeki integraller
m veya n ’nin tek veya çift olma durumuna göre integralleri inceleyelim.

m tek, n çift olması halinde cos x  t dönüşümü yapılır.

m çift, n tek olması halinde sin x  t dönüşümü yapılır.

m tek, n tek olması halinde cos x  t veya sin x  t dönüşümü yapılır.

m çift, n çift olması halinde sin 2 x 
1
1
1  cos 2 x  ve cos 2 x  1  cos 2 x 
2
2
özdeşliklerini kullanarak çözülür.
Örnek:  sin 5 x cos 2 xdx integralini çözelim. m  5, n  2 olduğundan cos x  t dönüşümü
yapılır. O halde  sin xdx  dt olur.
 sin
5
x cos2 xdx   sin 4 x cos2 x sin xdx   1  cos2 x  cos 2 x sin xdx
2
   1  t 2  t 2 dt    1  2t 2  t 4  t 2 dt
2
 t 3 2t 5 t 7 
    t  2t  t dt    
 c
7
3 5
2
4
6
 cos3 x 2cos5 x cos7 x 
 


  c çözümü elde edilir.
5
7 
 3
24
Örnek:  sin 2 x cos3 xdx integralini çözelim. m  2, n  3 olduğundan sin x  t dönüşümü
yapılır. O halde cos xdx  dt olur.
 sin
2
x cos3 xdx   sin 2 x cos 2 x cos xdx   sin 2 x 1  sin 2 x  cos xdx
  t 2 1  t 2 dt    t 2  t 4  dt
t3 t5
sin 3 x sin 5 x
 c 

 c bulunur.
3 5
3
5

Örnek:  sin 2 x cos 2 xdx integralini çözelim. m  2, n  2 olduğundan
sin 2 x 
1
1
1  cos 2 x  ve cos 2 x  1  cos 2 x  özdeşliklerini kullanacağız.
2
2
 sin
2
x cos 2 xdx  
1
1
1
1  cos 2 x  1  cos 2 x  dx   1  cos 2 2 x  dx
2
2
4

1  1
1  1 1


1  1  cos 4 x  dx   1   cos 4 x  dx

4  2
4  2 2



1 1 1
11
11


sin 4 x   c
  cos 4 x  dx   x 

4 2 2
42
24



1
1
x  sin 4 x  c
8
32
Örnek:  cos 4 xdx integralini çözelim. n  2 olduğundan cos 2 x 
1
1  cos 2 x 
2
özdeşliğini kullanacağız.
 cos
4
xdx  
1
1
2
1  cos 2 x  dx   1  2 cos 2 x  cos 2 2 x  dx
2
2

1 
1
1

2
cos
2
x

1  cos 4 x  dx


2 
2


1 
1

1  2 cos 2 x  1  cos 4 x  dx


2 
2

1
3

    cos 2 x  cos 4 x dx
4
4


3
1
1
x  cos 2 x  cos 4 x  c olur.
4
2
16
25
B)  tan m x sec n xdx biçimindeki integraller
m veya n ’nin tek veya çift olma durumuna göre integralleri inceleyelim.

m tek ise sec x  t dönüşümü yapılır.

n çift ise tan x  t dönüşümü yapılır.

m çift, n tek ise kısmi integrasyon yöntemi uygulanır.
Örnek:  tan 6 x sec4 xdx integralini çözelim. n  4 olduğundan tan x  t dönüşümü yapılır.
 tan
O halde sec 2 xdx  dt olur.
6
x sec4 xdx   tan 6 x sec 2 x sec 2 xdx
  tan 6 x 1  tan 2 x  sec 2 xdx
1  tan 2 x  sec 2 x olduğundan
  t 6 1  t 2 dt
   t 6  t 8 dt
Örnek:  sec xdx integralini çözelim.  sec xdx  

t7 t9
 c
7 9

tan 7 x tan 9 x

 c olur.
7
9
sec x  sec x  tan x 
 sec x  tan x 
dx şeklinde yazabiliriz.
Burada u   sec x  tan x  dönüşümü yaparsak du   tan x.sec x  sec 2 x  dx olur. O halde
 sec xdx  
sec x  sec x  tan x 
 sec x  tan x 
dx  
du
 ln u  c  ln sec x  tan x  c bulunur.
u
Örnek:  sec3 xdx integralini çözelim. n  3 oluğundan kısmi integrasyonla çözeceğiz.
 sec
3
xdx   sec 2 x sec xdx olmak üzere u  sec x, dv  sec2 x dersek du  sec x tan xdx olur.
 sec
2
x sec xdx  sec x tan x   tan x sec x tan x dx
 sec x tan x   tan 2 x sec x dx
 sec x tan x   1  sec 2 x  sec x dx
 sec x tan x   sec3 xdx   sec xdx
 sec
3
xdx çözümünü aradığımız integral olduğundan eşitliğin soluna atarsak
1
1
2 sec3 xdx  sec x tan x   sec xdx   sec3 xdx  sec x tan x   sec xdx
2
2
26
1
1
 sec x tan x  ln sec x  tan x  c bulunur.
2
2
C)  sin mx cos nxdx,
 sin mx sin nxdx,  cos mx cos nxdx
biçimindeki integraller
Bu tip integralleri çözerken
1
 sin  m  n  x  sin  m  n  x  ... *
2
1
sin mx.sin nx   cos  m  n  x  cos  m  n  x  ... **
2
1
cos mx.cos nx   cos  m  n  x  cos  m  n  x  ... ***
2
sin mx.cos nx 
özdeşliklerini kullanacağız.
Örnek:  sin 2 x cos 5 x dx integralini çözelim. * özdeşliğini kullanırsak
1 1
1

1
 sin 2 x cos 5x dx  2   sin 7 x  sin 3x dx  2   7 cos 7 x  3 cos 3x   c bulunur.
Örnek:  cos 4 x cos 2 x dx 
1
1 1
1
 cos 6 x  cos 2 x  dx   sin 6 x  sin 2 x   c bulunur.

2
26
2

D)  cot m x cos ec n xdx biçimindeki integraller
Bu integrallere
 tan
m
x sec n xdx biçimindeki integrallerle benzer işlemler yapılır.
1.2.8 Konu İle İlgili Çözümlü Sorular
1.   x  1 sin  x 2  2 x  3 dx integralini hesaplayınız
Çözüm: x 2  2 x  3  u dersek  2 x  2  dx  du   x  1 dx 
du
olur. Şimdi bu dönüşümü
2
integrale uygulayalım.
  x  1 sin  x
2. 
dx
x x2  4
2
 2 x  3 dx 


1
1
1
sin u du    cos u   c   cos  x 2  2 x  3  c bulunur.

2
2
2
integralini hesaplayınız
Çözüm: x  2sec dersek dx  2sec tan  d olur. Şimdi bu dönüşümü uygulayalım.
x
dx
x2  4

2sec  tan 
2sec  4sec 2   4
tan 2 x 1sec2 x
d

2sec  tan 
1
 2sec 2 tan  d   2 d    c
x  2sec    arc sec x olduğundan

27
1
arc sec x  c bulunur.
2
3. 
3  4 x  x2
dx integralini hesaplayınız
x  x 2  4 x  3
Çözüm: integralin ifadesini basit kesirlere ayıralım.
halde integrali çözebiliriz.
3  4x  x2
1
1
3
olur. O
 

2
x  x  4 x  3 x x  1 x  3
3  4 x  x2
1
1
3
 x  x2  4 x  3dx   x dx   x  1 dx   x  3 dx
 ln x  ln x 1  3ln x  3  c bulunur.
4.  cos3 x tan 5 xdx integralini hesaplayınız
Çözüm:  cos3 x tan 5 xdx   cos3 x
sin 5 x
sin 5 x
sin 4 x
dx

dx

 cos2 x  cos2 x sin xdx
cos5 x
sin x 
2

2
2
sin xdx  
cos 2 x
1  cos x 
cos 2 x
2
sin xdx
Burada cos x  t dönüşümü yaparsak  sin xdx  dt olur.
1  cos x 
2

cos 2 x
2
1  t  dt  
2 2
sin xdx   
t2
1  2t 2  t 4
 t 2 dt
1
1
t3
   2 dt  2 dt   t 2 dt   2t   c bulunur.
t
t
3
5
x8
9  x2
dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: x  3sin  dersek dx  3cos d olur. Şimdi bu dönüşümü uygulayalım.

x 8
9  x2
dx  

x
9  x2
dx  
8
9  x2
dx  
x
9  x2
dx  8arcsin
3sin 
x
x
d  8arcsin   tan  d  8arcsin
3cos 
3
3
  ln cos   8arcsin
x
 c olur.
3
28
x
3
1.2.9 İrrasyonel İntegraller


 a  0, k  N 
A)  R x, k ax  b dx,
Bu tip integrallerde
k
şeklindeki integrallerin hesabı
ax  b  t dönüşümü yapılarak çözüme ulaşılır.
x 1 1
dx integralini çözelim. Burada
x  1 1
Örnek: 
x  1  t dönüşümünü
yapalım. x  1  t  x  1  t 2  dx  2t dt olur. Şimdi dönüşümü integrale uygularsak
x 1 1
t 1
t2  t
2 

dx  
2tdt  2
dt  2  t  2 
 dt
t 1
t 1
t 1 
x  1 1


 t 2  4t  4ln t  1  c  x  1  4 x  1  4ln
x  1 1  c
bulunur.

ax  b 
B  R  x, k
 dx şeklindeki integrallerin hesabı
ax  b 

Bu tip integraller
Örnek: 
1
2  x
2
k
ax  b
 t dönüşümü yapılarak çözülür.
ax  b
3
2 x
dx integralini çözelim. Burada
2 x
3
2 x
 t dönüşümünü
2 x
12t 2
2 x
2 x 3
2  2t 3
yapalım.
olur. Buradan dx 
dt bulunur. O
t 
t  x
2
2 x
2 x
1 t3
1  t 3 
3
halde
1
 2  x
2
3
2

2 
1 t3 

2 x
1

12
t
t3


dx  
.t.
dt  12
dt
2
2
2 x
16t 6 1  t 3 2
 4t 3   1  t 3  



3 
1

t


3 1
31
3  2 x
dt  2  c  3 
  c bulunur.
3

4 t
8t
8  2 x 
2



C)  R x, ax 2  bx  c dx şeklindeki integrallerin hesabı
b
b  
b2 

 t dönüşümü
ax 2  bx  c  a  x     c   şeklinde yazılabilir. Burada x 
2a
2a  
4a 

2
yapılır.
ax2  bx  c  m2t 2  n2 şeklinde alınıp integrale tekrardan
29
u
n
n
n
n
tan t , u 
 sec t , u  sin t dönüşümlerinden biri uygulanarak çözüm
m
m cos t m
m
bulunur.
Örnek: 
1
5  2x  x 
2 3
dx integralini çözelim. Burada
5  2 x  x2  4   x  1 olarak
2
yazılabileceğinden ilk önce x  1  t , dx  dt dönüşümünü, sonra t  2 tan u, dt 
2
du
cos 2 u
dönüşümü yapılır. Böylece
1

5  2x  x 
2 3
dx  

2du
cos 2 u
4   2 tan u 
2

3
1
 x  5x  6
2
3 
 3
2
 4 1  tan u  


du
cos 2 u
du
2
2
  cos u
3
1
8
 1  
43 
cos3 u
 
2
 cos u  

2
8




1
1
cos udu  sin u  c

4
4
1
t
1
c 
4 t2  4
4
Örnek: 
 2
du
cos 2 u
x 1
x2  2x  5
 c bulunur.
dx integralini çözelim. Burada
2
5
25 25 
5
25 1 
5


 x  5x  6    x  5x   6    x2  2 x     6    x    6 
 x 
2
4
4 
2
4 4 
2


2
2
5

olarak yazılabileceğinden ilk önce  x    t , dx  dt dönüşümünü, sonra
2

1
1
t  sin u, dt  cos udu dönüşümü yapılır. Böylece
2
2

1
 x2  5x  6
dx  
1
cos udu
dt
 2
1 2
1 1 2
t
 sin u
4
4 4
30
2
1
cos udu
cos udu
 2

uc
1
cos
u
2
1  sin u
2
1
t  sin u  u  arcsin 2t olduğundan
2
Örnek: 
1
 x  1
2
x2  2x  2
5

 arcsin 2t  c  arcsin 2  x    c bulunur.
2

dx integralini çözelim. Burada ilk önce
 x  1  t, dx  dt dönüşümünü, sonra t  tan u, dt 
  x  1
1
2
x2  2 x  2
dx  
1
du dönüşümü yapılır. Böylece
cos 2 u
1
 x  1  x  1
2
2
1
dx  
1
t2 t2 1
dt
1
1
1
du
du
du
2
2
2
cos
u
cos
u
cos
u



1
sin 2 u 1
tan 2 u 1  tan 2 u
tan 2 u
cos u
cos 2 u cos u

z  sin u, dz  cos udu dersek
cos udu
sin 2 u

dz
1
1
  c 
c
2
z
z
sin u
t  tan u dönüşümünden dik üçgen yardımıyla sin u 
t
1 t2
dz
1
1
 1 t 2
 x2  2 x  2



c


c


c

 c çözümü bulunur.
 z2 z
sin u
t
x 1
Örnek: 
1
dx integralini çözelim. Burada e x  u dönüşümünü yapalım.
x
1 e
e x  u  x  ln u  dx 
1
 1 e
x
dx  
1
du olur.
u
du
1 
1
  
du  ln u  ln u  1  c
1  u  u  u 1  u 
 ln
u
ex
 c  ln x
 c bulunur.
u 1
e 1
Örnek:  sin 2 2 x sin 4 xdx integralini çözelim. Burada sin 2x  u dönüşümünü yapalım.
2cos 2x  du olur.  sin 2 2 x sin 4 xdx   sin 2 2 x 2sin 2 x cos 2 xdx
31
  u 2udu   u 3du 
u4
sin 4 x
c 
 c olur.
4
4
Örnek:  x3 1  x 2 dx integralini çözelim. Burada x  sin t dönüşümünü yapalım.
dx  cos tdt olur.
x
3
1  x 2 dx   sin 3 t 1  sin 2 t cos tdt   sin 3 t cos 2 tdt
  1  cos 2 t  sin t cos 2 tdt
cos t  u,  sin tdt  du dersek    1  u 2 u 2 du     u 2  u 4 du
 u3 u5 
cos3 t cos5 t
     c  

c
3
5
 3 5

Örnek: 

1  x2
3
5

5
 c olur.

3  x2
3  3sin 2 t
cos 2 t
dx  
3 cos tdt  3 
dt
x
sin t
3 sin t
 3
dt 
1  x2
3  x2
dx integralini çözelim. Burada x  3 sin t dönüşümünü yapalım.
x
dx  3 cos tdt olur.
3
 
3
1  sin 2 t
1
dt  3 
dt  3  sin tdt
sin t
sin t
1
t
dt integralini çözelim. tan  z dönüşümünü yapalım. Dik üçgen yardımıyla
sin t
2
2
2z
dz ve sin t 
olacağından
2
1 z
1 z2
2
dz
2
1
dz
x
1

z
3
dt  3 
 3   3 ln z  c  3 ln tan  c elde edilir. Yine dik
2z
sin t
z
2
2
1 z
üçgen yardımıyla 3 
1
dt  3 ln
sin t
bunu yukarıda yerine yazarsak
 3 ln
x
3  3 x
2
 c ve 3 cos t  3  x2 olur. Şimdi
1
1  sin 2 t
1
3
dt  3 
dt  3 
dt  3  sin tdt
sin t
sin t
sin t
x
3  3  x2
 3 cos t  c
bulunur.
32
1.2.10 Binom İntegralleri
a, b  R ve m, n, p  Q olmak üzere;
 x  a  bx 
m
n
p
dx... * biçimindeki integrallere binom
integrali denir. Bu integrallerden m, n, p rasyonel sayılarının durumuna göre değişken
değiştirmesi yapılır.
p bir tamsayı olsun. p  0 ise integrali alınacak fonksiyon üslü ifade olarak düzenlenip
i.
integrali alınır. p  0 ise k, m ve n’nin paydalarını en küçük ortak katı olmak üzere
x  t k dönüşümü yapılır.
ii.
m 1
bir tamsayı ise  , p’nin paydası olmak üzere a  bx n  t  dönüşümü yapılır.
n
iii.
m 1
 p bir tamsayı ise  , p’nin paydası olmak üzere a  bx n  t  x n dönüşümü
n
yapılır

Örnek:  3 x 1  x

2
dx integralini çözelim. Burada * ifadesi gereğince
 
1
1
m  , n  , p  2 olur.
3
2
3
x 1 x

2
dx   x

Örnek:  x
2
3
2  x 
2
1
3
1
3
1  x 
1
2
2


dx   x 3  2 x 6  x 3 dx
1
5
4
3 4 3 12 116 3 7 3
x  x  x c
4
11
7
dx integralini çözelim. Burada * ifadesi gereğince
2
2
m   , n  , p  1 olur. O halde x  t 3 dönüşümü yapılır. dx  3t 2 dt olur. Böylece
3
3
x
2
3
2  x 
2
3
1
dx    t 3 
 3

1 3 x
Örnek: 

olur.
3
x2
1 3 x
3
x
2
3

2  t 3 
1
dt 3
2  t2
2
3

1
3t 2dt  3 t 2  2  t 2  t 2dt
1
1
 2
2
t
dt
2
3
3
t
3
x
arctan
c 
arctan
 c olur.
2
2
2
2
dx integralini çözelim. Burada * ifadesi gereğince m 
dx   x
2
3
1  x 
1
3
1
2
dx ‘dır. (ii) kuralı gereğince
1  x 3  t 2 dönüşümü yapılır. O halde
1
2
m 1
 1  Z olduğundan
n
1 2 3
2
x dx  2tdt  x 3 dx  6tdt olur.
3
33
2
1
1
,n , p
3
3
2
1 3 x

3
x2
dx   x
2
3

1 x
1
3

1
2
1
dx    t 2  2 6tdt
1
 6 t 2 dt  6. t 3  c  2t 3  c
3
2
Örnek: 
dx
x 1  x
2
2
m  2, n  2, p 

3
2

1 x
1
  c elde edilir.
3
3
integralini çözelim. Burada * ifadesi gereğince
3
olur.
2
x
dx
2
  x 2 1  x 2  dx ‘dır. (iii) kuralı gereğince
3
1  x 
2
3
2
2
m 1
 p  2  Z olduğundan 1  x 2  t 2 x 2 dönüşümü yapılır. O halde
n
1
1  t 2 x2  x2  x 
t 2 1
 dx 
t
 t 2  1
3
dt olur.
2
t
x
dx
2
1  x 
2
3
2

t 2  1
3
dt
2
1  t2 


t 2 1  t 2 1 
3
2
 
t 2 1
dt
t2
1
1

   1  2 dt  t   c
t
 t 
 1  x2
x
 

 x
1  x2


  c elde edilir.


Örnek:  x3 1  x 2  dx integralini çözelim. Burada * ifadesi gereğince m  3, n  2, p 
3
2
olur. (ii) kuralı gereğince
2 xdx  2tdt  dx  
m 1
 2  Z olduğundan 1  x 2  t 2 dönüşümü yapılır. O halde
n
tdt
olur.
x
3
2
2
3
 x 1  x  dx   1  t  x t
3
2
34
tdt
   1  t 2  t 4 dt
x
3
2
 t5 t7 
    t 4  t 6  dt       c
5 7
 1  x 2  2 1  x 2  2
 


5
7

5
7

  c elde edilir.


1.2.11 Bölümle ilgili Çözümlü Sorular
1. 
dx
 x  1
Çözüm:
2
x2  2 x  2
  x  1
integralini hesaplayınız.
dx
2
x  2x  2
2

dx
 x  1  x  1
2
2
1
şeklinde yazılabilir.  x  1 
1
t
1
1
dönüşümünü yapalım. x   1  dx   2 dt olur.
t
t
  x  1
dx
x2  2x  2
2

 x  1
 
 
u 2  1  t 2 , udu  tdt dersek
1
dt
2
dx
t

2
 x  1  1 12 12  1
t t

2
t
1 t2
dt
udu
   du  u  c   1  t 2  c
u
  1
1
 x  1
2
 c elde edilir.
2.  x 2 cos xdx integralini hesaplayınız.
Çözüm: Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. u  x2 , dv  cos xdx dersek
du  2 xdx, v  sin x olur.
x
2
cos xdx  x 2 sin x   sin x.2 xdx  x 2 sin x  2  sin x.xdx
olur. Tekrar kısmi integrasyon uygulayalım. u1  x, dv1  sin xdx ve du1  dx, v1   cos x olur.
x
2
cos xdx  x 2 sin x   sin x.2 xdx  x 2 sin x  2  sin x.xdx
 x 2 sin x  2   x cos x   cos xdx 
 x 2 sin x  2 x cos x  2  cos xdx
35
 x 2 sin x  2 x cos x  2sin x  c bulunur.
3. 
cos x
dx integralini hesaplayınız.
2  cos x
x
1 t2
2
Çözüm: t  tan dönüşümünü yapalım. cos x 
, dx 
dt olduğunu daha önceki
2
2
1 t
1 t2
1 t2
2
cos x
2
1 t2
konulardan biliyoruz. O halde 
dx   1  t 2
dt

 1  3t 2 1  t 2  dt
1 t 1 t2
2  cos x
2
1 t2
 2
4. 
1
x2  2 x  3
2dt
dt
4
dt
dt
 2
 
 2
2
2
1  3t
1 t
3 1  t2
1 t2
3

4
3 arctan 3t  2 arctan t  c
3

4
x
x


3 arctan 3  tan   2 arctan  tan   c
3
2
2


dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: x 2  2 x  3   x  1  2 şeklinde yazılır.  x 1  t dönüşümünü yapalım. dx  dt
2
olur. O halde

1
x  2x  3
2
dx  
1
 x  1
2
2
dx  
1
t 2
2
 ln t  t 2  2  c  ln x  1 
5. 
 x  1
2
 2  c bulunur.
dx
integralini hesaplayınız.
cos x sin 2 x
2
Çözüm:
1
cos 2 x  sin 2 x
1
1
şeklinde yazılabilir. Buradan



2
2
2
2
2
cos x sin x
cos x sin x
sin x cos 2 x
integralini alırsak
6.
dt
dx
 2e
x
 cos
2
dx
1
1
  2 dx  
dx   cot x  tan x  c elde edilir.
2
x sin x
sin x
cos 2 x
integralini hesaplayınız.
36
Çözüm: İntegralin ifadesini e x ile çarpıp bölersek çözüm kolaylaşır.
dx
e x dx

 2  ex   2  ex  ex
olur. 2  e x  u dönüşümü yapalım. e x dx  du olur. O halde
dx
e x dx
du
 2  e x    2  e x  e x   u u  2 olur. ifadeyi çarpanlarına ayırırsak

7.

18 tan 2 x sec 2 x
 2  tan x 
3
2
1
1
1 1
1
1
du   du   ln u  2  ln u  c

2 u2
2 u
2
2

1
1
ln e x  ln 2  e x  c
2
2

1
1
x  ln 2  e x  c bulunur
2
2
dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: : u  tan x dönüşümünü yapalım. sec2 xdx  du olur.

18 tan 2 x sec2 x
 2  tan x 
3
2
dx  
3u 2 du  dt  u 2 du 
18u 2
2  u 
3 2
du olmak üzere tekrar 2  u 3  t dönüşümünü yapalım.
dt
olur. dönüşümü integrale uygularsak
3

18 tan 2 x sec2 x
 2  tan3 x 
2
dx  
18u 2
2  u 
3 2
dt
dt
du  18 32  6 2
t
t
1
1
 6  c  6
c
t
2  u3

8.

ln  ln x 
x ln x
6
2   tan x 
3
 c bulunur.
dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: ln x  u dönüşümünü yapalım.
1
dx  du olmak üzere
x
olur. Tekrardan lnu  t dönüşümünü yapalım.

ln  ln x 
x ln x
dx  

ln  ln x 
x ln x
1
du  dt olmak üzere
u
ln  u 
37
u
du   t.dt
dx  
ln  u 
u
du
 ln u   c
t2
 c 
2
2
2
ln  ln x  

 c elde edilir.
2
2
9.  cot  3  7x  dx integralini hesaplayınız.
du
olur.
7
Çözüm: u  3  7 x dönüşümünü yaparsak dx 
 cot  3  7 x  dx    cot u
10. 
6 x2  4 x  5
2 2 x3  2 x 2  5 x
du
1
1
  ln sin u  c   ln sin  3  7 x   c elde edilir.
7
7
7
dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: u 2  2 x3  2 x 2  5 x dönüşümünü yapalım.  6 x 2  4 x  5  dx  2udu olur.
2
6 x2  4 x  5
2 x3  2 x 2  5 x
dx  
2udu
  du  u  c  2 x3  2 x 2  5 x  c elde edilir.
2u
11.  52 x 3 dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: u  2 x  3 dönüşümünü yapalım. 2dx  du olur.
5
2 x 3
12.
 tan x sec
Çözüm:
2n
du 1 u
1 5u
1 52 x  3
dx   5

5 du 
c 
 c olur.
2 2
2 ln 5
2 ln 5
u
xdx integralini hesaplayınız.
2n
2 n2
2
2
 tan x sec xdx   tan x sec x sec xdx   tan x sec x 
n 1
sec2 xdx
  tan x 1  tan 2 x 
n 1
sec2 xdx olmak
üzere u  tan x dönüşümü yapılır. du  sec2 xdx olur. O halde
2
 tan x 1  tan x 
yaparsak udu 
n 1
sec2 xdx   u 1  u 2 
n 1
du olur. tekrardan 1  u 2  t dönüşümünü
dt
olur.
2
2
 tan x 1  tan x 
n 1
sec 2 xdx   u 1  u 2 
n 1
du   t n 1
1 tn
1 1  u

c 
2n
2
n
38

dt
2
2 n
c
2
1 1  tan x 

 c elde edilir.
2
n
n
2.yol:
 tan x sec
2n
xdx  
sin x
1
sin x
.
dx  
dx şeklinde yazılabilir. Burada
2n
cos x cos x
cos 2 n 1 x
u  cos x, du   sin xdx dönüşümünden yararlanırsak
2
sin x
du
1
1
1
1 1  tan x 
 c bulunur.
 cos2n1 x dx   u 2n1  2n.u 2n  c  2n . cos2n x  c  2
n
n
13. 
dx
x2 x2  3
integralini hesaplayınız.
Çözüm: x  3 tan t dönüşümünü yapalım. dx  3 sec2 tdt olur.
x
dx
2
x2  3

3 sec 2 tdt
3 tan 2 t 3  3 tan 2 t

3 sec 2 tdt
3 tan 2 t 3 1  tan 2 t
1
1 sec 2 tdt
1 sec tdt 1 cos t
 


dt
3 tan 2 t sec t 3  tan 2 t 3  sin 2 t
cos 2 t

1 cos t
dt
3  sin 2 t
olur. Şimdi u  sin t dönüşümünü yapalım. du  cos tdt olur.
1 cos t
1
1  1 
1
dt   2 du     c 
 c dik üçgenden ve x  3 tan t dönüşümünden
2

3 sin t
u
3 u 
3sin t
1 cos t
1
1  1 
1
1 x 2  3
c 
 c bulunur.
yararlanarak  2 dt   2 du     c 
3 sin t
u
3 u 
3sin t
3
x
14.  sin  ln x  dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. u  sin  ln x  , dv  dx olsun.
1
du  cos  ln x  dx, v  x olur.
x
1
 sin  ln x  dx  x sin  ln x    x cos  ln x  x dx  x sin  ln x    cos  ln x  dx
Tekrar kısmi integrasyon uygulayalım. u  cos  ln x  , dv  dx olsun.
1
du   sin  ln x  dx, v  x olur.
x
A   sin  ln x  dx  x sin  ln x    cos  ln x  dx
39
1 

 x sin  ln x    x cos  ln x    x sin  ln x  dx 
x 

 x sin  ln x   x cos  ln x    sin  ln x  dx
 2 A  2 sin  ln x  dx  x sin  ln x   x cos  ln x 
1
1
x sin  ln x   x cos  ln x  elde edilir.
2
2
  sin  ln x  dx 
15.  tan 2xdx integralini hesaplayınız.
Çözüm: u  cos 2x dönüşümünü yapalım. du  2sin 2xdx olur.
 tan 2 xdx  
sin 2 x
dx  
cos 2 x
du
2   1 du   1 ln u  c   1 ln cos 2 x  c
u
2 u
2
2
elde edilir.
dx
16. 
x
2
3
2  x 
2
integralini hesaplayınız.
3
Çözüm: Bu integral bir binom integralidir. m 
2
2
, n  , p  1 olduğundan binom
3
3
integrali kurallarından (i) gereğince x  t 3 dönüşümü yapılır. dx  3t 2 dt olur. O halde
dx
 x 2  x 
2
3
2
3


17.
x
2
3t 2 dt
dt
 3
3
2
2
t 2  t 
2  t2  
dt
 2 
2
 t2

3
3
t
3
x
arctan
c 
arctan
 c bulunur.
2
2
2
2
tan 1 xdx integralini hesaplayınız.
Çözüm: Kısmi integrasyon yöntemini uygulayalım. u  tan 1 x  arctan x, dv  x 2 dx olsun.
du 
1
x3
olur.
dx
,
v

1  x2
3
2
 x arctan xdx 

1  x  z, 2 xdx  dz dersek
2
x3
1
x3
arctan x  
dx
3
3 1  x2
x3
1 
x 
arctan x    x 
dx
3
3  1  x2 
x3
1
1 dz
 arctan x   xdx  
3
3
3 z
x3
1
1
 arctan x  x 2  ln z  c
3
6
6
40

18.  5
2 x 3
x3
1
1
arctan x  x 2  ln x 2  1  c bulunur.
3
6
6
dx integralini hesaplayınız.
Çözüm: 2 x  3  t 2 dönüşümünü yapalım. dx  tdt olur. Buradan
5
2 x 3
Şimdi kısmi integrasyon uygulayalım. u  t , 5t dt  dv dersek du  dt ,
5
2 x 3
dx   5t tdt  t
dx   5t tdt olur.
5t
 v olur.
ln 5
5t
5t
5t
1 5t

dt t

c
ln 5
ln 5
ln 5 ln 5 ln 5
5t
1 5t
5 2 x 3 5 2 x 3
t

 c  2x  3

 c elde
ln 5 ln 5 ln 5
ln 5  ln 5 2
edilir.
19. 
r
 r  5
2
dr integralini hesaplayınız.
Çözüm: r  5  u dönüşümünü uygulayalım. dr  du olur. O halde
r
  r  5 dr  
2
u 5
1
1
du   du  5 2 du
2
u
u
u
 ln u  10u 1  c
 ln r  5 
20. 
dx
25  16 x 2
10
 c elde edilir.
r 5
integralini hesaplayınız.
5
5
Çözüm: x  sin t dönüşümünü yapalım. dx  cos tdt olduğunu daha önceki
4
4

dx
25  16 x 2

5
cos tdt
5
cos tdt
5 cos tdt
4
 
 
4 5 1  sin 2 t 4 5cos t
25
25  16 sin 2 t
16
1
1
4x
 t  c  arcsin
 c bulunur.
4
4
5
41
1.2.12. Bölüm Sonu Sorular ve Cevapları
Aşağıdaki integralleri hesaplayınız.
1.

2.
x
3.

 1

1
5
2
 C : ln x   x  x   c 
2
4
 2

dx
4 x2  4 x  5
1 
 1 x  
( x  )  C :  arcsin 
  c
t 
 2x  
x2  2x 1
dx
x2
x  4x  5
2
dx
C :
x 2  3x
4. 
dx
 x  2  x2  2x  2
 x  2
2
1  c

 C : ln x  2  arctan  x  1  c 
5.
 5x  x
6.
 1

  x  2  sinh x dx  C : ln x  2  cosh x  c 
7.
 sin 2 xdx
1
1


 C : 2 cos x  c 
2


8.
 cos 2 xdx
 1

 C : sin 2 x  c 
2


9.
 cot 2 xdx
1


 C :  ln sin 2 x  c 
2


10.

dx
1


 C : arcsin x  c 
2


11.

12.
 9  x dx
13.
 x
14.

15.

2

5
1
4 3


 2 x dx  C : x 2  x 3  x 2  c 
2
3
3


4  x2
1
25  x 2
dx
1
2
2
1


 C : arccos x  c 
5


1
 1

 C : arctan x  c 
3
 3

1
 1 x2

dx  C : ln
 c
 4
 4 x2

dx
x 1
2
dx
9 x  25
2
C : ln x 
x2  1  c

 1

2
 C : ln 3x  9 x  25  c 
 3

42
C : e
16.  esin x cos xdx
sin x
 c


2e
 c
17.  2 e dx  C :
 ln 2



x
ex
x
 1
1
 
18.  sin 2 xdx  C :  x  sin 2 x   c 
2
 
 2
x
19.  2 cos 2 dx
2
 C : sin x  x  c 
  3x 2  5 x  110

20.   3x  5 x  1  6 x  5 dx  C :
c


10


9
2

1 x

3

 1
dx  C : 1  x
2


4

 c

21.

22.
3x
1


x
 2  3x dx  C : ln 3 ln 2  3  c 
x
 1

23.  cos  3 x  1 dx  C : sin  3 x  1  c 
 3

24.
 x
25.

2
7
5
 1

2
 1 xdx  C :  x 2  1  c 
 7

arctan x
2
 1

dx  C :  arctan x   c 
2
1 x
2


 4  ln x 
5
26.

27.
r
x
2
6
 1

dx  C :  4  ln x   c 
 6

r
 1

dr  C : ln r 2  5  c 
5
2



C : 

28.  3 2   2 d
29.

30.
x

2  2
  c 
3
3
1  ln x
 2

dx  C : 1  ln x  2  c 
x
 3

1
2
3
2
3


sin x 2  1 dx  C : cos x 2  1  c 
3




31.  e cos ec  e  1 d


C : ln cos ec e 1  cot e 1  c 

43

8
 1

x
x
2 x
32.  tan sec dx  C :  tan   c 


2
2
4
2


7
33.

1
9

 C :  27 ln 2  x3  c 


dx
3
 9
 x  2x
1


34.  cos 2 x sin xdx  C :  cos x3  c 
3


35.


a cot x
a cot x
dx
C
:

 c
 sin 2 x 
ln a

36.
2

2
 x 1  xdx  C : 7
37.
 1  e  C :  ln 1  e

1 x
dx
8
7

39.
 x 1  ln x 
40.
 tan xdx  C :  ln cos x  c 
1  49 x
1
5
2 w
1

 2 w dw  C : ln 2 2
e
C : 2e
x

1 x

5

2
3

1 x

3

c


6
 1

dx  C : 1  ln x   c 
 6

1

41.  3 y 7  3 y 2 dy  C : 
3

42.
4
5
1
9


dx  C :  arctan 7 x   c 
 63

38.
2

 ln e x  c
x
x
 arctan 7 x 

w

7  3y2
  c 
3

 c


43.

44.

45.

46.
 sin x 1  tan x  dx
47.
ln 2 x
 x  ln 2  ln 2x  dx C : ln 2  ln 2x  ln 2ln ln 2  ln 2x  c 
x
dx
dx
3  2 x  x2
x
c

 1 x  
 C : arcsin  2   c 

 

1 x
dx(ip ucu : binom )
x
1
2


1 x 1 1 x

 c 
 C :  arctan
x
x
x


(ip ucu : cot x  u )  C :  cot x  ln cot x  1  c 
44
C :
x2 1
dx
x
48.

49.
 3  5sin xdx
1
50.  arccos xdx
51.
1
  x  3  x
2
x 2  1  arcsec x  c

 1
x
1
x

 C : 4 ln 3tan 2  1  4 ln tan 2  1  c 


C : x.arccos
x  x  arctan x  c

1
3
1


dx  C : ln x  3  arctan x  ln x 2  1  c 
10
20
 1
 10

45
II. BÖLÜM
BELİRLİ İNTEGRAL
Tanım 2.1: Belirli integrali kabaca bir eğri altındaki alan olarak tanımlayabiliriz.
y  f  x  fonksiyonu  a, b aralığında sürekli ve bu aralıkta f  x   0 olsun. Burada
y  f  x  eğrisi, x  a, x  b doğruları ile x ekseni arasında kalan A alanını bulmak
a, b
istiyoruz.
aralığını x0 , x1 ,..., xn noktaları yardımıyla; a  x0  x1  x2  ...  xn  b
olacak şekilde n alt aralığa bölelim. Bu alt aralıklar
 x0 , x1  ,  x1, x2 ,...,  xn1, xn  ’dır.
x0 , x1,..., xn  kümesine a, b aralığının bir parçalanışı denir ve
 xi1 , xi 
i  yinci
alt
aralığın
uzunluğunu
xi
P ile gösterilir.
ile
gösterelim.
Bu
halde
xi  xi  xi 1 , 1  i  n olur. En uzun alt aralığın uzunluğuna P parçalanışının normu adı
verilirse P ile gösterilir. O halde P  max x1 , x2 ,..., xn  ’dır.
 xi1, xi 
Her bir
alt aralığında bir xi , 1  i  n noktası seçerek xi tabanlı ve f  xi 
yükseklikli Ai dörtgenleri oluşturalım. Bu dörtgenlerin alanlarını yine Ai ile gösterelim. Her
bir xi noktası  xi 1 , xi  aralığının herhangi bir noktası seçilebilir. Dörtgenlerin alanlarının
n
toplamı
n
 A   f  x  x
i 1
i
i 1
i
i
 f  x1  x1  f  x2  x2  ...  f  xn  xn
yaklaşık olarak A alanına eşittir. P  0 iken
ve
bu
alanların
toplamı
A
sıfıra
n
A  lim  f  xi  xi olur.
P 0
A
i 1
i
alanı
n
i 1
alanların
n
‘dır.
i 1
46
i
alanının limiti alınırsa üçgene benzeyen
gider.
Dolayısıyla
aradığımız
alan
2.1 Riemann Toplamları ve Belirli İntegral
f fonksiyonu,  a, b aralığında tanımlı bir fonksiyon ve  a, b aralığının bir parçalanışı
P  x0 , x1 ,..., xn  olsun. Burada
a  x0  x1  x2  ...  xn  b ’dır.
 xi1, xi 
aralığında bir
xi , 1  i  n noktası seçelim. xi  xi  xi 1 , 1  i  n ve P  max x1 , x2 ,..., xn  olmak
üzere;
n
 f  x  x
i
i 1
i
toplamına Riemann toplamı, bu toplamın P  0 için limitine de f
fonksiyonunun a’ dan b’ ye kadar belirli integrali veya Riemann integrali denir. Bu belirli
a
integral

n
f  x  dx  lim  f  xi  xi biçiminde gösterilir. Burada a sayısına integralin alt
P 0
b
i 1
sınırı, b sayısına integralin üst sınırı denir.
a

f  x  dx olmak üzere a  b iken
biçimindedir.


b
f  x  dx    f  x  dx , a  b iken
b
b
a
a
Üstelik
belirli
a
a
b
b
a
integralin
değeri
a
 f  x  dx  0
b
x
değerine
bağlı
değildir.
Yani
f  x  dx   f  u  du   f  w  dw ’ dır.
b
1
Örnek2.1:
 8xdx
integralini integral tanımı yardımıyla hesaplayalım.
f  x   8x ve
2
a, b   2,1 ’
dır. xi  x1  x2  ...  xn 
b  a 1   2  3
olur. eşit uzunluklu n


n
n
n
bölgeye ayıralım.
x0  a  2
x1  x0  x  2 
3
n
x2  x0  2.x  2  2.
3
n
3
xi  x0  i.x  2  i.  
n
3
xn  x0  n.x  2  n.  
n
olur. Ayrıca xi noktasını
 xi1, xi  ,
1  i  n alt aralığının sağ uç noktasında seçersek;
3
xi  a  i.x  2  i.   olur.
n
47
n
n

3 3
8
xdx

lim
f
x

x

lim
 i  i P 0  8  2  i.   .

2
P 0
 n  n
i 1
i 1 
1
n
24 n
24  n


2
n

3
i

lim

2
n

3i  









2
2
P 0 n
P 0 n
i 1
i 1
 i 1

 lim
24 
24  4n2  3n2  3n 
 n 1  

2
n
.
n

3
n

lim




2 
P 0 n 2
2
 2   P 0 n 


 lim
12
12n2  36n
2

n

3
n

lim

 n n2
n  n 2
 lim
36n 

n 2  12  2 
36
n 
 lim 
 12 
 12  0  12
2
n 
n

bulunur.
2.2 Belirli İntegralin Özellikleri
b
b
a
a
1) Herhangi bir k sabiti için;  k .dx  k  dx  k  b  a  ’dır.
2)
f ve g ,
a, b
aralığında integrallenebilir iki fonksiyon olsun. Bu halde k ve l
herhangi iki sabit olmak üzere kf  lg fonksiyonu da bu aralıkta integrallenebilir ve
b
b
b
a
a
a
 k f  x   l g  x  dx  k  f  x  dx  l  g  x  dx ’dır.
3) a  x  b ve f  x   0 ise bu halde
b
 f  x  dx  0 olur.
a
4) a  c  b olacak şekilde herhangi bir c sabiti için
b
c
b
a
a
c
 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx ’
dır.
5)
f ve g ,  a, b aralığında integrallenebilir iki fonksiyonlar ve bu aralıkta f  x   g  x 
b
ise bu halde

a
b
f  x  dx   g  x  dx olur.
a
b
6) a  x  b için m  f  x   M ise m  b  a    f  x  dx  M  b  a  ’dır.
a
48
f  x  fonksiyonu  a, b aralığında sürekli ve
Teorem ( İntegral hesabının temel teoremi):
bu aralıkta
f  x   F   x  eşitliğini sağlayan herhangi bir fonksiyon olsun. O halde
b
 f  x  dx  F  x 
b
a
 F  b   F  a  olur.
a
5
  10  dx integralini hesaplayınız.
Örnek 1:
3
5
Çözüm:
  10  dx  10 x
3
5
3
 10  5   3   80 bulunur.
 1

Örnek 2:  
 x  dx integralini hesaplayınız.
x

4
9
9
9
9
 x 2 x2 

x2 
1
 1

Çözüm:  
 x  dx   x 2  x dx  
   2 x  
1
2 4 
2 4
x

 2
4
4

9

1
1  
1

 69
  2.3  92    2.2  .16  
bulunur.
2  
2  2

2
 x dx integralini hesaplayınız.
Örnek 3:
2
x0
 x,
Çözüm: x  
olduğundan integral
  x, x  0
2

2
 x2
x dx    xdx   xdx 
2
2
0
0
2
0
2

2
0
2
2
0
x dx    xdx   xdx şeklinde yazılabilir.
2
x2

 4 elde edilir.
2
2
0
2.3. Belirli İntegralin Uygulamaları
2.3.1. Alan Hesabı
f
fonksiyonu
a, b
aralığında sürekli fonksiyon olmak üzere y  f  x  eğrisi ile
x  a, x  b doğruları ve 0x -ekseni tarafından sınırlanan düzlemsel bölgenin A alanını
hesaplamak istiyoruz.
49

Grafiğimiz aşağıdaki şekilde ise
b
A   f  x  dx formülü kullanılır.
a

Grafiğimiz aşağıdaki şekilde ise
d
d
c
c
A   g  x  dx    g  x  dx formülü kullanılır.

Grafiğimiz aşağıdaki şekilde ise
b
A    f  x   g  x   dx formülü kullanılır.
a
50

Grafiğimiz aşağıdaki şekilde ise
c
b
a
c
A    f  x   g  x   dx    g  x   f  x   dx formülü kullanılır.

Grafiğimiz aşağıdaki şekilde ise
d
A   xdy formülü kullanılır.
c
Örnek 1: y  x eğrisi x  1 ve x  4 doğruları ile x ekseni tarafından sınırlanan bölgenin
alanını bulalım.
Çözüm:
51
b
Yukarıdaki
şekilden
yola
çıkarak
A   ydx
formülünü
kullanırsak
a
4
4
4
2 3
2
14
A   ydx   x dx  x 2  8  1  br 2 bulunur.
3 1 3
3
1
1
1
2
Örnek 2: y  cos x eğrisi x 

6
ve x 

2
doğruları ile x ekseni tarafından sınırlanan bölgenin
alanını bulalım.
Çözüm:
b
Yukarıdaki
şekilden
yola
çıkarak
A   ydx
formülünü
kullanırsak
a

2

2

A   ydx   cos xdx  sin x  2  1 

6

6
6
Örnek 3: y  cos x
1 1 2
 br dir.
2 2
y  sin x eğrisi x  0 ve x 
sınırlanan bölgelerin alanını bulalım.
Çözüm:
52

2
doğruları ile x ekseni tarafından
c
b
a
c
Yukarıdaki şekilden yola çıkarak A    f  x   g  x   dx    g  x   f  x   dx formülünü


4
2


kullanırsak A    cos x  sin x  dx    sin x  cos x  dx   sin x  cos x  0 4    cos x  sin x   2

0
4
4
 2

2  
2
2 
2
 


  1   1   
   2 2  2br bulunur.
2   
2  
 2
 2
Örnek 4: r yarıçaplı dairenin alanını bulalım.
Çözüm:
b
r
r
a
0
0
Şekilden yola çıkarak A   ydx formülünü kullanırsak A  4  ydx   r 2  x 2 dx şeklinde
yazılır.
x  r sin  , dx  r cos  d
Burada
r
dönüşümünü
yaparsak
r
A  4 r  x dx  4 r 2  r 2 sin 2  .r cos  d
2
0
2
0
r
 4 r 2 1  sin 2  .r cos  d
0
cos2 
r
 4  r cos  .r cos  d  4r
0
r
 4r
2
1
1
r
2
 cos
0
2
 d
cos 2 x 
1  cos 2 x
olduğundan
2

  2  2 cos 2  d
0
r
1
1

 4r    sin 2 
4
2
0
2
  2r 2  r 2 2sin  cos   dönüşümden yararlanırsak   arcsin
r
0
53
x
o.ü
r

x
x r 2  x2
  2r 2 arcsin  r 2

r
r
r

r



0
  2r 2 arcsin1  r.0    2r 2 arcsin 0  0.r 
 2r 2

2
 0  0   r 2 elde edilir.
2.3.2 Alan Hesabı ile İlgili Çözümlü Problemler
1. y  x 2  3x parabolü ile x ekseni tarafından sınırlanan bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm:
3
 x3 3x 2 

27   9 2
A     x  3x dx    
    9    0   br bulunur.
2 0
2   2

 3
0
3
2
2. y  x3 eğrisi x  1, x  2 doğruları ve x ekseni tarafından sınırlanan bölgenin alanını
bulunuz.
Çözüm:
0
2
 x4 
 x4 
  1
 17
A    x dx   x dx               4  0    br 2 bulunur.
 4
 4  1  4  0   4 
1
0
0
2
3
3
3. y  cos x eğrisi x  

2
, x
3
doğruları ve x ekseni tarafından sınırlanan bölgenin
2
alanını bulunuz.
54
Çözüm:

A
3
2

cos xdx 
 2
2


2
2
cos xdx   sin x     sin x    1   1    1  1  4br 2 bulunur.
2
2

3
2
1
4. y  ln x eğrisi ve x  , x  e doğruları tarafından sınırlanan bölgenin alanını bulunuz.
e
Çözüm:
1
e
1
1
A    ln xdx   ln xdx   x  ln x  1 1  x  ln x  1 1
e
1
e
e


2
  1 ln1  1   e1  ln e 1  1   e  ln e  1  1 ln1  1    2  br 2


e
bulunur.
5. 4y 2  x ve x  12 y  5  0 ile meydana gelen bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm:
55
1
1
4 
25 125  16 2

 5 3 1   25
A     5  12 y  4 y dy   5 y  6 y 2  y 3          6. 
  br
3
2
2
6
2
4
6





 3
5
5
2
2
2
2
2
bulunur.
6. x  2 y 2 ve x  1  3 y 2 ile meydana gelen bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm:
1
1 

 1 4
A   1  3 y    2 y dy  2 1  3 y    2 y dy  2  y  y 3   2 1    br 2
3 0

 3 3
1
0
1
1
2
2
2
2
bulunur.
7. y  x 2 eğrisi, y  1 ve x  1, x  2 doğruları tarafından sınırlanan bölgenin alanını
bulunuz.
Çözüm:
2
 x3

8
 1 
A    x   1 dx    x    2     1  6br 2 bulunur.
 3 
 3
 1 3
1
2
2
8. y  x 2  4 eğrisi, y  x  2 ve x  3, x  0 doğruları tarafından sınırlanan bölgenin
alanını bulunuz.
Çözüm:
56
0
 x3 x 2

9
 1
 63
A    x  4    x  2  dx    x  x  6 dx     6 x   0    .27   18   br 2
2
 3
 2
 3 2
 3
3
3
bulunur.
0
0
2
2
9. y  x 2  1 eğrisi ve y  2 x  9 doğrusu tarafından sınırlanan bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm:
4
 x3

A    2 x  9    x  1 dx     x  2 x  8 dx     x 2  8 x 
 3
 2
2
2
4
4
2
2
 64
 8

    16  32     4  16   36br 2 bulunur.
 3
 3

10. y  x 2  2 eğrisi ve y  x tarafından sınırlanan bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm:
57
Şekilden
de
görüldüğü
2
2
2
0
gibi
simetri
söz
konusu
A    x   x 2  2  dx  2   x   x 2  2  dx
olduğundan
şeklinde
integral
yazılabilir.
2
 x 2 x3

8

 20


A  2  x   x  2   dx  2  x  x  2 dx  2    2 x   2  2   4   br 2
3

 3
 2 3
0
0
0
2
2
2
2
bulunur.
2.3.3 Hacim Hesabı
Bir düzlem parçasının kendi düzlemindeki bir eksen etrafında döndürülmesiyle elde edilen
cisme dönel cisim denir. Biz y  f  x  eğrisi x  a, x  b doğruları ve x ekseni etrafında
döndürülmesiyle elde edilen cismin V hacmini hesaplamak istiyoruz. Bunun için f  x   0
olmak
a, b
üzere
aralığının
aralık
x 
uzunlukları
ba
n
ve
a  x0  x1  x2  ...  xn1  xn  b olacak şekilde düzgün bir P parçalanmasını göz önüne
alalım. Düzlemsel bölgede tabanı  x j 1 , x j  aralığında yüksekliği rj  f  x j  , 1  j  n olan
dikdörtgenler oluşturalım.
aralığında yüksekliği rj  f  x j  olan
Tabanı  x j 1 , x j 
dikdörtgenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen silindirin hacmi;
V j   rj 2 .x olur.
Dönel cismin hacmi bu şekilde oluşturulan silindirlerin hacimleri toplamına yaklaşık olarak


eşittir. V  V j   f  x j  x ‘dır. n   iken
n
n
j 1
j 1
2
P  0 olduğundan bu toplamın


b


limitini alırsak istenilen hacim V  lim  V j  lim   f  x j  x    f  x j  dx olur.
n
n 
b
Vx    y 2 dx
n
n 
j 1
b
biçiminde elde edilir.
j 1
Vy    x 2 dy
a
a
58
2
2
a
formülü ile de x  f  y  eğrisi
y  c,
y  d doğruları ve y ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmi
hesaplanır.
Örnek 1: R yarıçaplı bir kürenin hacmini hesaplayalım.
Çözüm: Küreyi üst üste dizilmiş yarıçapları belli aralıklarla artan dairelerden oluşmuş bir
geometrik şekil olarak düşünürsek çember denkleminden yola çıkarak hacmini bulabiliriz.
x 2  y 2  R 2 olmak üzere y  R 2  x 2 olur.
R

x3 
4
V    y dx  2   R  x dx  2  R 2 x     R 3 br 3 bulunur.
3 0 3

R
0
R
R
2
2
2
Örnek 2: y  x, x  0, x  3 doğruları ve x ekseni tarafından sınırlanan düzlem parçasının
x ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen koninin hacmini hesaplayalım.
Çözüm:
59
3
3
b
x3
 9 br 3 bulunur.
Vx    y dx formülünü kullanalım. Vx    x dx  
3 0
0
a
2
2
Örnek 3: y  x 2 ,
y  x eğrileri tarafından sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında
döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayalım.
Çözüm:
b
Vx    y 2 dx formülünü kullanalım.
a
1
Vx   
0

 x  
2
x
Örnek 4:
2 2
y  x3 ,
1
 x 2 x5 
3
dx     x  x dx        br 3 bulunur.
 2 5  0 10
0
1
4
y  1, x  0
tarafından sınırlanan bölgenin y ekseni etrafında
döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayalım.
Çözüm:
b
Vy    x dy
2
a
1
formülünü kullanalım. Vy   
0
 y  dy     y 
2
1
2
3
0
3
1
3
3 5 
dy    y 3    br 3
5
0 5
bulunur.
Örnek 5:
y  x 2 , x  2,
y  0 tarafından sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında
döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayalım.
Çözüm:
60
b
2
Vx    y dx
formülünü kullanalım.
2
a
Vx     x

2 2
0
2
32
1 
dx     x dx    x5    br 3
5 0 5
0
2
4
bulunur.
Örnek 6: x  y  2, x  0,
y  0 tarafından sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında
döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayalım.
Çözüm:
b
Vx    y 2 dx formülünü kullanalım.
a
2
 x3

8
Vx     2  x  dx     x  4 x  4 dx     2 x 2  4 x    br 3 bulunur.
 3
0 3
0
0
2
2
2
2
2.3.4 Hacim Hesabı ile İlgili Çözümlü Sorular
1. y   x 2 ,
y   x tarafından sınırlanan bölgenin y ekseni etrafında döndürülmesiyle elde
edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.
Çözüm:
61
0
0

Vy    x dy     y   y
2
1
1
2. y  x 2  2,
4
0
 y 2 y5 
3
dy         br 3 olur.
5  1 10
 2

y  4  x 2 tarafından sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle
elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.
Çözüm:
1
1
1
2
2
Vx    y 2 dx     4  x 2    x 2  2  dx    12 x 2  12 dx


1
1
1
   4 x3  12 x 
3. y  x 2 ,
1
1
   4  12    4  12    16 br 3 olur.
y  x3 tarafından sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle elde
edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.
Çözüm:
1
2
2
1 
2
1
Vx    y dx     x 2    x3  dx    x5  x 7    br 3 olur.


7  0 35
5
0
0
1
1
2
4.
y  x 2  3, x  1, x  2,
y  0 tarafından sınırlanan bölgenin y ekseni etrafında
döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.
Çözüm:
62
4
4
V1    x dy     22  12 dy    3 y  0  12 br 3
4
2
0
0
7

y2 
9
V2    x dy     2  y  3dy     7  y dy    7 y     br 3
2 4 2

4
4
4
9
33
V1  V2  12     br 3 olur.
2
2
7
7
7
2
2
5. y  ln x,
y  1 , x ekseni ve y ekseni tarafından sınırlanan bölgenin y ekseni etrafında
döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.
Çözüm:
1
1
e2 y
Vy    x dy    e dy  
2
0
0
2
6. y 
1
2y
0
e2  1

 br 3 olur.
2
1
, x  1, x  e tarafından sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle
x
elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.
Çözüm:
63
2
1
 1 
e
3
Vx    y dx    
 dx    xdx   ln x 1    ln e  ln1   br olur.
x
1
1
1
e
e
e
2
7.
y  x2 ,
y  2 x, x  1
tarafından
sınırlanan
bölgenin
x
ekseni
etrafında
döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.
Çözüm:
1
1

Vx    y dx    2 x
2
0
0
8. y  x 2  2,
 x  
2
2 2
1

x5 
9
dx     4 x  x dx    2 x 2     br 3 olur.
5 0 5

0
1
4
y  10  x 2 tarafından sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle
elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.
Çözüm:
2
2
2
2
2
Vx    y dx    10  x 2    x 2  2  dx     24 x 2  96 dx


2
2
2
2
   8 x3  96 x 
9.
y  x,
y  0,
2
2
y  x2
   64  192    64  192   256 br 3 olur.
tarafından
sınırlanan
bölgenin
döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.
Çözüm:
64
y
ekseni
etrafında
2
2
Vy    x dy   
2
0
10. y 
0
 y  2   y  
2
2 2
2
 y3
y5 
184
dy     2 y 2  4 y   
 br 3 olur.
5  0 15
 3
x
36  x 2 tarafından sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle elde
12
edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.
Çözüm:
6
x2
 6
  3 x5 
72
2
2
4
3
Vx  2  y dx  2 
36

x
dx

36
x

x
dx





12 x     br olur.

144
72 0
72 
5 0 5
0
0
6
6
2
65
2.3.5 Yay Uzunluğu Hesabı
kısımda
Bu
düzlemsel
y  f  x
bir
 a, f  a  , b, f b noktaları arasındaki
a, b
eğrisinin
aralığına
karşılık
gelen
uzunluğunu hesaplayalım.
y  f  x  ,  a, b aralığında türevi sürekli bir fonksiyon ve  a, b aralığının düzgün bir
parçalanışı
P  x0 , x1 ,..., xn 
x  xk  xk 1 
ba
, 1  k  n ’dır.
n
olsun.
a  x0  x1  x2  ...  xn  b
Burada
Yay üzerindeki Pk 1 ve Pk noktalarını bir l k doğru parçasıyla birleştirelim.
aralığındaki yayın uzunluğu yaklaşık olarak
noktasını
Pk 1Pk 
Pk
noktasına
birleştiren
 xk  xk 1    f  xk   f  xk 1 
2
f  xk   f  xk 1 
xk  xk 1
 f  xk *  olacak
Pk 1Pk 
 xk  xk 1 

 xk  xk 1 
 x
2

 f  xk * 
doğru
2
k
 xk 1 
bir
b
1 f  x  
1 f  x   bulunur. O halde
a
bulalım.
xk*  xk 1 , xk 
sayısı

2
vardır.
* 2
2
k
* 2
k
1   f   x  dx elde
2
uzunluğunu
2
eşitte P  0 için her iki tarafın limiti alınırsa

parçasının
’dır. Ayrıca ortalama değer formülünden
şekilde
 x
 xk 1 , xk 
l k doğru parçasının uzunluğuna eşittir. Pk 1
lk
2
ve
n

k 1
Pk 1 Pk   x 1  f  xk * 
n
k 1
‘dır. Bu
 lim  Pk 1 Pk  lim  x 1  f  xk * 
n
P 0
k 1
edilir. O halde f ’ nin türevi
66


n
P 0
a, b
k 1
2

aralığında sürekli ise
a xb
y  f  x
için
x b
eğrisinin

uzunluğu

xa
2
veya
1   f   y  dy ‘dır.
y d

1   f   x  dx

2
y c
Örnek: f  x   x 2 eğrisinin  0,0 ve 1,1 noktaları arasındaki uzunluğu bulalım.
3
Çözüm:
1   f   x  dx
1
3 12
x olmak
2
f  x 

üzere
2
0
1
1
  3 1 2 
 9 
  1   x 2  dx   1  x dx
 2  
4 
0 
0 

yaparak
u2  1
burada
0
9
8
x, dx  udu
4
9
dönüşümünü
çözelim.
1

kullanalım.
integrali
1
8 2
8 u3
8 
9 
 9 

 1  x 
1  x dx   u du 
90
9 3 0 27 
4 
 4 
1
formülünü
31
0
3

8   9 

1    1 br bulunur.


27   4 


Örnek: x 3  y 3  1 astroid eğrisinin çevresini bulalım.
2
2
Çözüm:
1   f   x  
1

2
0
1
2 1 2 1
y3
dx formülünü kullanalım. x 3  y 3 . y  0  y   1 olmak üzere
3
3
x3
2
2
1
  y 13  2 
x3y3
1    1  dx  4 
dx
2
  x3 
x3
0


1
 4
0
1
1
1
1
3 23
x
2 dx  4 
1 dx  4.
3
3
2
x
0 x
 4
0
x 3  y 3  1 olmak üzere
2
1
0
1
 6 x 3  6 br bulunur.
2
0
Örnek: Yarıçapı r olan çemberin çevresini bulalım.
Çözüm:
67
2
1   f   x  dx formülünü kullanalım. x  y
r

2
0
2
2 x  2 y. y  0  y  
r
 4
0
2
 r 2 olmak üzere
x
x

olur.
y
r 2  x2
2
r
r
 
 
x
r2
1
1   

dx

4
dx

4
r
dx

2
2


2
2
2
2
 

r

x
r

x
r

x
 
0
0

x
r
0


 4r arcsin
 4r  arcsin  arcsin   4r  2 r br bulunur.
r0
r
r
2

r
5

Örnek: y  cosh x eğrisinin  0,1 ve  ln 2,  noktaları arasındaki uzunluğu bulalım.
4

Çözüm:
ln 2


0
1   f   x  dx formülünü kullanalım.  cosh x   sinh x olmak üzere
2
ln 2


ln 2
1  sinh xdx 
2
0
 cosh xdx  sinh x
0
ln 2
0
e x  e x

2
ln 2
0
1
 eln 2  e  ln 2   e0  e0  2  2 3

 br bulunur.


2
2
4

  2 
2.3.6 Yay Uzunluğu Hesabı ile İlgili Çözümlü Problemler
1. y 
x3 1
eğrisinin x  1 ve x  3 noktaları arasındaki eğri uzunluğunu hesaplayınız.

3 4x
Çözüm: y  x 2 
1
olmak üzere
4x2

1   y dx  
1
1
3
3
2
2
2
3
3
  2
1  
1 
1 
 2
 2
1   x  2  dx    x  2  dx    x  2 dx
4x  
4x 
4x 
1 
1
 
3
x3 1
53
 

br olur.
3 4x 1 6
1
2. x  t 2  t ,
2
4 3
y  t 2 eğrisinin t1  0 ve t2  2 noktaları arasındaki eğri uzunluğunu
3
hesaplayınız.
68
  x 
t2

Çözüm:
2

  y  dt
2
olmak
x  t  1,
üzere
y  2t
1
2
ise
t1
t 1   2t  dt  
2

2
0
1
2
2
2
2
t2
 t  1 dt    t  1dt   t  4 br elde edilir.
2
0
0
2
2
0
3. y  ln  x 2  1 eğrisinin x  2 ve x  5 noktaları arasındaki eğri uzunluğunu hesaplayınız.
Çözüm: y  
2x
olmak üzere
x 1
2

1   y dx  
2
2
5
5
5
  2 x 2 
 x2  1 
 x2  1 
1   2  dx    2  dx    2 dx
x 1 
x 1 
2 
2
  x 1  
2
5
2
5
2 
1
1 


  1  2 dx   1 

dx   x  ln x  1  ln x  1  2  3  2ln 2 br olur.
x 1 
x 1 x  1 
2
2
5
5
4. y  ln  sin x  eğrisinin x 
Çözüm: y 
2


2

1   y  dx 

2
2
1 1  cos x
 ln
2 1  cos x

2
3
Çözüm: y 
8



3

3
3
3


3
5. y  9  x
ve x 
3
2
noktaları arasındaki eğri uzunluğunu hesaplayınız.
3
cos x
olmak üzere
sin x

3

3
2
 cos x 
1 
 dx 
 sin x 
3


3
1
dx 
sin 2 x
2
3
 1 
  sin x dx

3

1 

1 
1 
1 

1
1
2    ln
2   1 ln 3  1 ln 1  ln 3 bulunur.
  ln
2  1 1  2  1 1  2
2 3




2 
2 


eğrisinin x  1 ve x  8 noktaları arasındaki eğri uzunluğunu hesaplayınız.
2

3
2
9 x 3
2


1
2
2
2
 2 13 
3
  x    y   9 x  1 olmak üzere
 3

8
1   y  dx   1  9 x
2
2
1
1
2
8
3
 1dx   3x 3 dx 
1
1
9 23 8 9
27
x   4  1 
br bulunur.
2 1 2
2
6. y  ln x eğrisinin x  3 ve x  8 noktaları arasındaki eğri uzunluğunu hesaplayınız.
Çözüm: y  
8


3

1
olmak üzere
x

1   y  dx 
2
8

3
  1 2 
1    dx 
  x 
8

3
x2  1
dx 
x
69
8

3
x 1  x 2  1 dx olur. burada
1
2
8
t
x 2  1  t 2 , dx 
t 2 1

dt dönüşümünü yaparsak

3
t2
dt
t 2 1
2
x 1  x 2  1 dx  
1
2
3
uzunluğunu bulacağımız eğrinin sınırları da değişir.
x 2  1  t 2  t  x 2  1 x  8 için t  3
x  3 için t  2
8


t2
1 
 1 1
1 

dt   1  2 dt   1  

dt
2
t 1
t 1 
2  t  1 t  1  
2
2
2
3
3
x 1  x 2  1 dx  
1
şeklinde olur.
2
3
3
3
3
1
 1 t 1 
1
1
 1

  t  ln t  1  ln t  1    t  ln
 1  ln 2  ln 3 br olur.

2
2
2
 2
 2  2 t 1  2
7. y 
x3 1
 eğrisinin x  1 ve x  2 noktaları arasındaki eğri uzunluğunu hesaplayınız.
12 x
Çözüm: y 
x2 1
olmak üzere

4 x2

1   y dx  
1
1
2
2
2
2
2
2
  x 2 1 2 
 x2 1 
 x2 1 
1    2  dx     2  dx     2 dx
  4 x  
4 x 
 4 x 
1
1


2
 x3 1 
 8 1  1
 13
           1  br olur.
 12 x  1  12 2   12  12
1
8. y  x 2  ln x eğrisinin x  1 ve x  e noktaları arasındaki eğri uzunluğunu hesaplayınız.
8
Çözüm: y  2 x 
1
olmak üzere
8x

1   y dx  
1
1
e
e
2
2
2
e
e
 
1  
1 
1 


1   2 x   dx    2 x   dx    2 x  dx
8x  
8x 
8x 
1 
1
 
e
1
7


  x 2  ln x   e2  br olur.
8
8

1
3
x2
1
9. y 
 x 2 eğrisinin x  1 ve x  9 noktaları arasındaki eğri uzunluğunu hesaplayınız.
3
Çözüm: y 
9

1
1 12 1 12
x  x olmak üzere
2
2
9
9
  1 1 1 1 2 
1
2
1   y  dx   1   x 2  x 2  dx  
 2
2
21
 
1 


70

x 2 x
1
1
2

2
9
dx 


1
1
1
x 2  x 2 dx

21
9
9
12 3
1 
1 
1 3
 1  32
  x 2  2 x 2    x 2  x 2    9  3     1 
br olur.
23
1  3
1
3  3
1
10. y  ln x  x 2 eğrisinin x  2 ve x  4 noktaları arasındaki eğri uzunluğunu hesaplayınız.
8


2
1 1
1 1 x2
2
1 1 
Çözüm: y   x  1   y   2    1    x  olmak üzere
x 4
x 2 16
x 4 
4

2


2
2
1 1 
1 1 
1   y  dx     x  dx     x dx
x 4 
x 4 
2
2
4
4
4

x2 
1
3

  ln x     ln 4  2    ln 2    ln 2  br olur.
8 2
2
2


2.3.7 Dönel Yüzeyin Alanı
Bir dönel cismin yüzey alanı aşağıdaki formüllerle hesaplanır:
b
b
S x  2  y 1   y  dx ;
S y  2  x 1   x  dy
2
2
a
a
b
b
S x  2  y  x    y   dt ; S y  2  x
2
2
a
 x    y  
2
2
dt
a
Örnek: y 2  12 x parabolünün x  0 ' dan x  3' e kadar olan yanının x ekseni etrafında
döndürülmesiyle oluşan cismin yüzey alanını bulalım. 2 y. y  12  0  y 
2
3
6
S x  2  y 1   y  dx  2  y 1    dx  2  y
 y
0
0
0
3
3
2
3
 2  y
0
6
olmak üzere
y
y 2  36
dx
y
3
3
y 2  36
2
dx  2  y  36dx  2  12 x  36dx
y
0
0
12 x  36  u , dx 
du
12
dönüşümünü uygularsak;
3
72
0
36
2  12 x  36dx  2  u
du  2 3 2
 . u
 24 2 2  1 br 2 bulunur.
12 6 3
36
72


Örnek: x  r cos t , y  r sin t , 0  t   ile verilen bir eğrinin x ekseni etrafında
döndürülmesiyle oluşan cismin yüzey alanını bulalım. x  r sin t , y  r cos t olmak üzere

S x  2  y
 x    y  
2
0

2
dt  2  y
 r sin t    r cos t 
2
0

 2 r 2   cos t  0  4 r 2 br 2 bulunur.
71
2


0
0
dt  2  y.rdt  2  r sin t.rdt
Örnek: y  x3 , 0  x  1 x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin yüzey alanını
bulalım.
1
1
y  3x olmak üzere S x  2  y 1   y  dx  2  x 1   3x
2
2
3
0
bulunur. 1  9 x 4  u, x 3dx 
1
10
2  x 1  9 x dx  2 
3
4
0
1
1
 dx  2  x
2 2
0
3
1  9 x 4 dx
0
du
dönüşümünü uygularsak;
36
du  2 3 2

3
u
 . u

10 2  1 br 2 bulunur.
36 18 3 1 27
10


Örnek:  a, b   1,1 olsun. Denklemi f  x   1  x2 , a  x  b olan eğri parçasının x
ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan cismin yüzey alanının S  2  b  a  olduğunu
gösteriniz.
Çözüm: y  1  x 2 olmak üzere y 
b
b
S x  2  y 1   y  dx  2  1  x
2
a
2.3.8
x
‘dır. 1   y  
2
1 x
2
1
olur.
1  x2
b
1
b
dx  2  dx  2 x a  2  b  a  br 2 bulunur.
2
1 x
a
2
a
Bir Yayın Ağırlık Merkezi
Bir yayın ağırlık merkezi bulunurken aşağıdaki formüller kullanılır:

x
1
b
x
1   x  dy
2
a

y
1
b
1   y   dx
y
2
a
Burada
yay uzunluğudur.
Örnek: x 2  y 2  25 çemberinin birinci bölgedeki yayının ağırlık merkezini bulalım. Önce
birinci bölgedeki yayın uzunluğunu bulalım. y  25  x 2  y 

0
1
25  x 2
olmak üzere
5
5
5
   x 2 

x2 
5
x
5
1  

dx

1

dx

dx

5arcsin
  ‘dır.



2


  25  x 2  
50 2
25  x 2
 25  x 
0
0


5

x
5
2
y   y 1   y  dx 
5
0
2
5

0
25  x
2

25
2
dx 
2
5
25  x 2
72

5

0
25  x 2
5
25  x 2
dx

2
x0 
5

10

bulunur.
2.3.9 Yayın Atalet Momenti
Bir yayın atalet momenti bulunurken;
b
b
I x   y 2 1   y  dx ; I y   x 2 1   x  dy formülleri kullanılır.
2
2
a
a
Örnek: Bir çember yayının sabit bir çapına göre atalet momentini bulalım.
x 2  y 2  r 2  2 x  2 y. y  0  y 
r
I x  4 y
2
r
1   y  dx  4 y
2
2
0
0
x
olmak üzere
y
2
2
r
r
r
 x 
r
2
1    dx  4 y
dx  4r  ydx  4r  r 2  x 2 dx
2
y
y
 
0
0
0
Bu integrali çözmek için x  r sin t dönüşümü yaparsak
r
r
4r 
0
 r2 

1 2
x
1
2
2
r  x dx  4r  x r  x  r arcsin   4r  .  0   r 3 bulunur. Bu
2
r0
2
2 2

2
2
r2
sonucu yay uzunluğu cinsinden ifade edersek, I x  r  
2
3
olur.
2.3.10 Bir Dönel Yüzeyin Ağırlık Merkezi
Bir dönel yüzeyin ağırlık merkezini bulurken aşağıdaki formüller kullanılır:
b
b
1
1
2
2
x  2  xy 1   x  dy ; y 
2  xy 1   y  dx
Sx
Sy
a
a
2.3.11 Dönel Yüzeyin Atalet Momenti
b
Bir dönel yüzeyin atalet momenti bulunurken; I x  2  y 2 . y 1   y  dx
2
a
b
I y   x 2 x 1   x  dy formülleri kullanılır.
2
a
Örnek: y  2 x doğrusunun x  0 ' dan x  2 ' ye kadar x ekseni etrafında dönmesiyle
meydana gelen cismin atalet momentini x’ e göre bulalım. y  2 olmak üzere
2
2
2
2
I x  2  y . y 1   y  dx  2  4 x 2 x 1   2  dx  2  4 x 2 x 5dx  16 5  x 3dx
2
0
2
2
2
0
2
0
73
0
2
x4
 16 5
 4 5  24  0   64 5 olur. Dönel cismin yüzey alanı
4 0
2
2
2
x2
S x  2  y 1   y  dx  2  2 x 5dx  4 5
 8 5 olduğundan sonucu alan
2 0
0
0
2
cinsinden I x  64 5  8.Sx şeklinde ifade edebiliriz.
2.4 Bölümle İlgili Çözümlü Sorular

2
1.  cos 2 x.sin x.dx integralini hesaplayınız.
3
0
Çözüm: Burada u  cos x dönüşümü yapalım. du   sin x.dx olmak üzere

2u
0 cos x.sin x.dx  1 u du  5
0
2
3
3
2
5
0
2
2
1
  2  2
 0       bulunur. Bu çözümde dönüşüm
  5  5
yapıldıktan sonra sınırların değiştiğine dikkat edilmelidir.
u  cos x
x  0  u 1
x

2
 u 0
x
2.  2 f   t  . f  t .dt   x 2  1 ve f  0  0 olmak üzere f  x  fonksiyonunu hesaplayınız.
2
0
Çözüm: Burada u  f  t  dönüşümü yapalım. du  f   t  dt olur. Sınırları ise t  0  u  0 ,
x
t  x  u  f  x  şeklinde değişir.  2 f   t  . f  t .dt 
0
 f  x    x
2
2
f  x
f  x

2u.du  u
0
  f  x   olur.
2
2
0
 1  f  x   x 2  1 bulunur.
2
3. y  x3 eğrisi x  2 doğrusu ve x ekseni tarafından sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında
döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.
Çözüm:
74
0
0
Vx    y dx     x
2
2

3 2
2
0
 y7 
128
dx     
 br 3 olur.
7
 7  2
4. y 2  x4  4  x  eğrisi tarafından sınırlanan kapalı bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm:
0
0
4
4
y 2  x 4  4  x   y  x 2 4  x olmak üzere A  2  ydx  2  x 2 4  x .dx olur. Burada
4  x  t , dx  dt dönüşümünü yaparsak
0
A  2 x
4
4
2
4  x .dx  2  t  4 
4
2

t .dt  2 t 2  8t 2  16t
0
5
3
0
1
2
4
 2t 2 16t 2 32t 2 
4096 2
dt  2 


br
 
5
3 
105
 7
0

7
5
3
bulunur.
x2
1
5. y   ln x 2 eğrisinin x  4 ve x  9 noktaları arasındaki eğri uzunluğunu hesaplayınız.
4
Çözüm: y 
x 1

olmak üzere
2 2x

1   y dx  
4
4
9
9
2
9
9
 x2
1
1
x 1 
x 1 
1



dx


dx





  dx
2


4 4x 2 
2 2x 
2 2x 

4 
4
2
9
x2 1
1
3
 81 1
 
 65
  ln x    ln 9    4  ln 4  
 ln br olur.
4 2
2
2
 4 2
 
 4
4
6. x  1  y 2 eğrisi ve x  0 doğrusu tarafından sınırlanan bölgenin y ekseni etrafında
döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.
Çözüm:
75
1
1
Vy    x dy    1  y
2
1

2 2
1
1

2
y5 
16
dy    y  y 3     br 3 olur.
3
5  1 15

7. y  a 2  x 2 eğrisi ve y  0 doğrusu tarafından sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında
döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.
Çözüm:
Vx  
a

y 2 dx  
a

a
a

a
a 2  x 2 dx  2   a 2  x 2 dx
2
0
a
a
1 
1 
4


 2  a 2 x  x3   2  a3  a3    a3 br 3 olur.
3 0
3 0 3


8. 9ay 2  x  x  3a  kapalı eğrisinin uzunluğunu hesaplayınız.
2
Çözüm:
9ay 2  x  x  3a   y 
2
1   y  
2



x
1
1
1
ax 2  x 2 olmak üzere
 x  3a   y 
3 a
2 a

2
1
1
1
ax 2  x 2 ’dır.
4a
76
 2
1   y dx  2 
0
0
3a
3a
2



3a

2
1
1
1
1
1
1
ax 2  x 2 dx  2 
ax 2  x 2 dx
4a
0 2 a
3a
1 
2 32 
1
2

 2ax  x   4 3a br olur.
3 0
a
9. y  sin x eğrisi x  0 ve x  2 doğruları ve x ekseni tarafından sınırlanan bölgenin alanını
bulunuz.
Çözüm:
2
A

2
 ydx   sin xdx   sin xdx   cos x
0

0
2
 cos x   4 br 2 olur.
0
10. Parametrik denklemi x  3t 2 ,
t2
Çözüm:

  x 
2
y  t  t 3 olan eğri ilmeğinin uzunluğunu hesaplayınız.

  y  dt olmak üzere x  2 3t ,
2
y  1  3t 2 ise
t1
1
 2
0
 2 3t   1  3t  dt  2 1  3t  dt  2 1  3t dt  2 t  t 
2
2 2
1
2 2
0
1
2
0
3
1
0
 4 br elde
edilir.
11. y  x3  x eğrisi ile bu eğriye x  1 apsisli noktada teğet olan doğru arasında kalan
bölgenin alanını bulunuz.
Çözüm:
77
x  1 apsisli noktada teğet olan doğruyu bulalım. y  3x 2  1 olmak üzere
m  y  1  3  1  1  2 ’dır.
2
y  y0  m  x  x0   y  x3  x  2  x  1  x  1 x  2 bulunur.
2
3 2
x4 
27 2
A   ydx    2 x  2  x  x dx   x  2 x   
br olur.
4  1 4
2
1
1
2
2
3
12. y 
ln x
eğrisi x  e doğrusu ve x ekseni tarafından sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında
x2
döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.
Çözüm:
 ln x 
ln x
Vx    y dx    x 2 dx  
x
2
1
1
e
e
2 e
  br 3 olur.
2
13. y 2 
1
3
x ve x 2  y 2  1eğrileri tarafından sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında
2
döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.
Çözüm:
y2 
3
3
1
x ve x 2  y 2  1olmak üzere x 2  y 2  1  x 2  x  1  0  x 
2
2
2
1
1
x  2 bulunur.
1
2
3
3
1 
19

Vx    y dx    xdx    1  x 2 dx   x 2    x  x3    br 3 olur.
2
4 0
3  12 48

1
0
0
2
1
2
1
2
14. y 
10
ve y  2  x 2 eğrileri tarafından sınırlanan bölgenin alanını bulunuz.
1  x2
78
Çözüm:
y
10
 2  x 2  x 4  x 2  12  0  x  2 bulunur.
2
1 x
2
10 
1
8



A  2 ydx  2  2  x 2 
dx  2  2 x  x3  10arctan x    20arctan 2 br 2 olur.
2 
1 x 
3

0 3
0
0
2
2
15. y  x3 , 0  x  1 x ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini
hesaplayınız.
Çözüm:
1
1
x7
Vx    y dx    x dx  
7
0
0
2
1
6
0
1
  br 3 olur.
7
79
2.5 Bölüm Sonu Sorular ve Cevapları
1. Aşağıdaki belirli integralleri hesaplayınız.

a.
 cos
4
0
2
b.
 3 
x.dx  C :  
 8 
t
t
2
 C : 0  , t sabit
cos tx.dx
0

c.
 x cos x.dx  C : 2 
0
 
1  x 2 dx  C : 
4

1
d.

0
1 x
40


dx  C :  4 ln 3 
3
x


4
e.
 1
0

2

1
g.
sin 2 x

f.

2
x arcsin x
0
h.
1  sin 4 x

1  x2
x2  4 x  5
 sin
0
j.
5
 C :1
dx
20 

x cos x .dx  C :

 131 
1  sin x
xe x
 1  x 
0

l.
C :  
 1  cos x  sin x dx
ln 2
k.
dx
x2

i.
dx
2
 1  ln 2 
dx  C :

 1  ln 2 
3
 2sec
2
x.dx
C : 2 3 
0
2. y 2  6 x, x 2  6 y eğrileri tarafından sınırlanan bölgenin alanını bulunuz.  C :12 br 2 
3. y  x3 eğrisi x  1 ve x  2 doğruları ve x ekseni tarafından sınırlanan bölgenin alanını
 17

bulunuz.  C : br 2 
4


80
 32

4. 4y 2  x ve x  12 y  5  0 ile meydana gelen bölgenin alanını bulunuz.  C : br 2 
6


5. y  x3 eğrisi x  2 ve x  3 doğruları ve x ekseni tarafından sınırlanan bölgenin alanını
 97

bulunuz.  C : br 2 
4


6. y  arccos x eğrisi x  0 ve x  1doğruları ve x ekseni tarafından sınırlanan bölgenin
alanını bulunuz.  C :1 br 2 
7. y  x ,
 20

y  x2  2 eğrileri tarafından sınırlanan bölgenin alanını bulunuz.  C : br 2 
3


8. y  x 2 ,
y
8
eğrileri x  4 doğrusu ve x ekseni tarafından sınırlanan bölgenin alanını
x
 8

bulunuz.  C :  8ln 2 br 2 
 3

9. y 
1
,
1  x2
y
x2
eğrileri tarafından sınırlanan bölgenin alanını bulunuz.
2
  1 2
 C :  br 
2 3


10. y  x,
y 2  ax eğrileri tarafından sınırlanan bölgenin alanını

bulunuz. C : a  3
11. x  a cos t ,
1 2
br ise a değerini
2

y  b sin t eğrileri tarafından sınırlanan bölgenin alanını bulunuz.
 C : a.b. br 
2
12. y  x 4  2 x 2 ,
y  2 x 2 eğrileri tarafından sınırlanan bölgenin alanını bulunuz.
 128 2 
br 
C :
15


13. y  x 2 ve y 2  8 x eğrileri tarafından sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında
48


döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.  C :  br 3 
3


14.
x2 y 2

 1 tarafından sınırlanan bölgenin y ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen
a 2 b2
4


dönel cismin hacmini hesaplayınız.  C : a 2b br 3 
3


81
15. y  x3 eğrisi, y  1 doğrusu ve y ekseni tarafından sınırlanan bölgenin y ekseni etrafında
 3

döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.  C :  br 3 
 5

16. y  2 x eğrisi ve y  0, x  1 doğruları tarafından sınırlanan bölgenin x  1 doğrusu
2


etrafında döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.  C :  br 3 
3


17. y  x 2  1 ve y  x  3 tarafından sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle
 132

 br 3 
elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.  C :
5


18. 0  a  b olsun. Merkezi  0,b  yarıçapı a olan bir çember tarafından sınırlanan bölgenin x
ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.
 C : 2
2
a 2b br 3 
19. y  4  x 2 ve y  2  x tarafından sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında
 108

 br 3 
döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.  C :
5


20. xy  4 ve y  0, x  1, x  4 tarafından sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında
döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin hacmini hesaplayınız.  C :12 br 3 
21. Parametrik denklemi x  a  t  sin t  ,
y  a 1  cos t  , 0  t  2 olan eğri ve x ekseni
tarafından sınırlanan bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen dönel cismin
hacmini hesaplayınız.  C : 5 2 a 3 br 3 
22. 5y3  x 2 eğrisinin x  0 ve x  5 noktaları arasındaki eğri uzunluğunu hesaplayınız.
67 

br 
C :
27 

23. Parametrik denklemi x   t 2  2  sin t  2t cos t ,
y   2  t 2  cos t  2t sin t , 0  t   olan
 3 
eğri parçasının uzunluğunu hesaplayınız.  C :
br 
3


24. y  ln  x 2  1 eğrisinin x  2 ve x  5 noktaları arasındaki eğri uzunluğunu hesaplayınız.
C : 3  ln 2 br 
82
25. x 
1 2 1
y  ln y eğrisinin y  1 ve y  e noktaları arasındaki eğri uzunluğunu
4
2
 e2  1 
hesaplayınız.  C :
br 
4


26. Parametrik denklemi x  2 1  cos t  ,
y  2sin t, 0  t  2 olan eğri parçasının
uzunluğunu hesaplayınız.  C : 4 br 
27. y 
2 54 2 34
x  x eğrisinin x  1 ve x  16 noktaları arasındaki eğri uzunluğunu
5
3
67 

br 
hesaplayınız.  C :
27 

28. y 
3
2 2
2
x  1 eğrisinin x  0 ve x  3 noktaları arasındaki eğri uzunluğunu hesaplayınız.

3
 C : 21 br 
29. y  ln
 ea  1 
 eb  1 
ex  1
eğrisinin
A
a
,
ve
B


 b, b  noktaları arasındaki eğri uzunluğunu
a
ex 1
 e 1 
 e 1 
hesaplayınız.  a  e

2
30. y  ln cos x eğrisinin A  0, 0  ve B  , ln
 noktaları arasındaki eğri uzunluğunu
2 
4

hesaplayınız. C : ln 2  1 br

31. a yarıçaplı kürenin yüzey alanını bulunuz
 C : 4a  br 
2
2
32.  a, b   1,1 olsun. y  1  x 2 , a  x  b eğri parçasının x ekseni etrafında
döndürülmesiyle elde edilen yüzeyin alanını bulunuz.  C : 2  b  a  br 2 
33. x 2  y 2  1 çemberinin birinci bölgede x  y  1 doğrusu etrafında döndürülmesiyle elde
1


  4    br 2 
edilen yüzeyin alanını bulunuz.  C :
2


34. y  sin x eğri parçasının x ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen yüzeyin alanını

bulunuz. C : 2 2 br 2

83
35. x  2 y  1, 1  y  4 eğri parçasının y ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen


28 2
 br 2 
yüzeyin alanını bulunuz.  C :
3


36. x  t 3 ,
y  2t  3,  1  t  1 eğri parçasının y ekseni etrafında döndürülmesiyle elde


2


 br 2 
edilen yüzeyin alanını bulunuz.  C : 13 3  8
27


84
KAYNAKLAR
[1] Balcı M., Matematik Analiz, Cilt-I, Bilim Kitap Kırtasiye, Ankara.
[2] Çakan H., Genel Matematik I- II Ders Notları.
[3] Çalışkan A., Akbulut F.,(Çevirenler), Matematik Analiz Alıştırma ve Problemler
Derlemesi, İzmir.
[4] Görgülü A., Genel Matematik, Cilt-I, Gülen Ofset, Eskişehir, 2006.
[5] Görgülü A., Genel Matematik, Cilt-II, Birlik Ofset Yayıncılık, Eskişehir, 2004.
[6] Hacısalihoğlu, H.H., Balcı M., Gkdal F., Temel ve Genel Matematik, Ertem Matbaacılık,
Ankara,1994.
[7] Sarıgöl, M.A., Jafarov Sadulla, Çözümlü Analiz 1, Bizim Büro Basımevi Yayın-Dağıtım,
Ankara, 2007.
85