2. Dik (Ortogonal) izdüşüm

FOTOGRAMETRİ I
Tanımlar, Geometrik ve Matemetiksel
Temeller
Yrd. Doç. Dr. Saygın ABDİKAN
Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ
JDF329 Fotogrametri I Ders Notu
2015-2016 Öğretim Yılı Güz Dönemi
İçerik




Tanımlar
Geometrik Temeller
 Fotoğraf Geometrisi
Matematik Temeller
 Fotoğraf ile Nesne Uzayı Arasındaki İlişki
 Uçağın Hareketinden Kaynaklanan Dönüklükler
İzdüşüm Denklemleri
2
Fotoğraf

Hangi veriler fotoğraflardan elde edilebilir?



Geometri verileri (açı, uzunluk): fotoğraf ve obje
noktaları arasındaki konumsal ilişkileri sağlar.
Radyometrik veri (gri düzeyi): objelerden yayılan
veya yansıyan elektromanyetik enerjinin algılayıcı
tarafından algılanan değeri. Objeleri tanımlamak ve
niteliklerini belirlemek için kullanılır.
Spektral veri (renk): objelerden yayılan veya
yansıtılan elektromanyetik enerjinin dalga boyu.
Objelerin niteliklerini belirlemek için kullanılır.
3
Fotoğraf


Fotoğraf, objelerden yayılan ve/veya yansıtılan
elektromanyetik enerjinin kaydedilmesidir
Kayıt;
 Işığa duyarlı kimyasal maddeler içeren filmler ile
 Işığa duyarlı algılayıcı birimler (Örneğin CCDCharge Coupled Device) ile yapılır
4
Çerçeve İşaretleri
Kameradan işaretler filme geçer
Ölçüm
#1
5

Çerçeve İşaretleri: Fotoğrafın kenarlarında ve
köşelerinde bulunan, iç yöneltmede kullanılan
noktalardır. Orta nokta bulucuları da denir.
Fotoğraf orta noktası (Orta Nokta):
Fotoğraf çerçeve işaretlerinin geometrik olarak ortası ve
fotoğraf koordinat sisteminin (x,y) merkezidir.
 Örnek olarak çerçeve işaretlerinin orta noktaya göre
konumu:

İzdüşüm merkezi(O): Kamera optik sisteminin
merkezidir.
 İzdüşüm ışını: POP‘doğru parçasını oluşturan ışın.
 Asal uzaklık: Fotoğraf düzlemi ile izdüşüm merkezi
arasında ki uzaklık (c).





Asal Eksen: Kamera optik sisteminin
eksenine kamera ekseni yada asal
eksen denir.
Düşey Fotoğraf: Kamera ekseni
düşey konumdayken çekilen
fotoğraftır.
Yatay Fotoğraf: Kamera ekseni
yatay konumdayken çekilen
fotoğraftır (Yersel Fotogrametri).
Eğik Fotoğraf: Kamera ekseni
herhangi bir konumdayken çekilen
fotoğraftır.
Fotoğraf Çekimi

Düşey yani araziye paralel çekilsin istenir Kamera
ekseni < 3°-5° düşey doğrultu=Normal alım
10
Fotoğraf çekimi
11

Asal Nokta: İzdüşüm merkezinin fotoğraf
düzlemine dik iz düşümüdür. Orta noktaya çok
yakındır.

Asal Nokta: Bu nokta aynı zaman da kamera
ekseninin fotoğraf düzlemini ve nesne yüzeyini
deldiği H ve H’ noktasıdır.

Ayak ucu (Nadir) Noktası (NN’): İzdüşüm
merkezinden geçen çekül doğrusu fotoğraf ve araziyi
ayak ucu noktasında keser.
Yaşayan,2011
Geometrik Temeller / Fotoğraf Geometrisi

Üç boyutlu uzaydaki noktalar iki boyutlu bir
uzaya, yani bir düzleme geometrik bir
yöntemle aktarılabilir.
 Üç boyutlu uzaydaki noktaların bir düzleme
geometrik bir yöntemle aktarılmasında üç tür iz
düşüm ele alınır:



Paralel izdüşüm
Merkezsel izdüşüm
Dik izdüşüm

1. Paralel
izdüşüm: Bir d
doğrusuna
paralel izdüşüm
doğruları çizerek
izdüşüm
düzlemini deldiği
noktalar bulunur


2. Dik (Ortogonal)
izdüşüm: Noktalardan
izdüşüm düzlemine dikler
inilir. Bu noktalar nesnenin
izdüşüm noktasıdır. Harita,
dik bir izdüşümdür.
İzdüşüm düzlemi olarak
yeryüzünün belirli bir
noktasına teğet olan bir
düzlem alınır. Genellikle bu
düzey deniz yüzeyine
paralel bir düzlemdir ve dik
izdüşüm küçültülerek
kâğıda aktarılır.


3. Merkezsel izdüşüm:
Uzay noktaları izdüşüm düzlemi dışındaki bir O
noktası ile birleştirilir. Bu doğruların düzlemi deldiği
noktalar ilgili noktaların merkezsel izdüşümüdür. O
noktası izdüşüm merkezidir.
Merkezsel izdüşüm
Pozitif konum
Merkezsel izdüşüm
negatif konum



3. Merkezsel izdüşüm: O izdüşüm merkezi şekildeki gibi, nesne
noktaları ile izdüşüm düzlemi arasında da olabilir.
Fotoğraf, merkezsel bir izdüşümdür. O izdüşüm merkezi, kamera
optik sisteminin merkezidir.
Tüm izdüşüm ışınları bu noktadan geçer. Geometrik olarak bir harita
ile düşey bir hava fotoğrafı arasında en önemli fark, farklı izdüşüm
sonucu oluşmalarıdır.
Merkezsel izdüşüm
Pozitif konum
Merkezsel izdüşüm
negatif konum
Merkezsel izdüşümün Özellikleri
Üç boyutlu uzayda bir A noktasına karşılık izdüşüm
düzleminde tek bir A‘ noktası vardır.
 İzdüşüm düzlemindeki A‘ noktasına karşılık ise A‘O
izdüşüm ışını üzerinde bulunan sonsuz sayıda nokta
karşılık gelir.
 Ölçme noktalarının buşunduğu uzay, yani arazi üç
boyutludur. Bu noktaların konumları A (X,Y,Z)
koordinatları bir tek fotoğraftan elde edilemez. (ancak
en az iki fotoğraftan elde edilebilir).
 Çifte oran özelliği: bir doğru üzerinde bulunan dört
nokta için yazılacak bir çifte oran, merkezsel
izdüşümde sabittir.
 Merkezsel İzdüşümün Özelliklerini Araştırın !

MATEMATİK TEMELLER –
Fotogrametride Kullanılan Koordinat Sistemleri




Fotoğraf Koordinat sistemi
Fotoğraf koordinat sistemi eksenleri cisim koordinat sistemiyle aynı
yönde olan ve sağ el koordinat sistemine uyan xyz koordinat
sistemidir.
Başlangıç noktası O izdüşüm merkezidir. xy düzlemi fotoğraf
düzlemine paralel, z ekseni de kamera ekseni ile çakışıktır. x ekseni
komşu fotoğrafın izdüşüm merkezi doğrultusundadır.
Bu yön hava fotogrametrisinde, yaklaşık olarak uçuş çizgisi
doğrultusudur. Noktaların z koordinatı sabit ve asal uzaklığa eşittir.



Uzay Koordinat Sistemi
Fotogrametride nesne uzayındaki noktalar uzay koordinatları ile
tanımlanır. Uzay koordinat sistemi, X ekseni pozitif yönü uçuş
yönü doğrultusunda (hava fotogrametrisi için), Z ekseni XY
düzlemine dik ve sağ el koordinat sistemine uyan dik bir XYZ
koordinat sistemidir.
Başlangıç noktasının seçimi serbesttir. Ancak Z (H) ekseni her
durumda düşey doğrultuda, XY düzlemi de her zaman yatay bir
düzlemdir
Matematik temeller
Koordinat Dönüşümü

İki boyutlu koordinat dönüşümü (Benzerlik dönüşümü)


İki boyutlu koordinat dönüşümü (Benzerlik dönüşümü)
Başlangıçları farklı, aralarında α kadar dönüklük ve ölçek
• Benzerlik dönüşümünde 1 ölçek, 1 dönüklük ve 2 öteleme parametresi
• İki koordinat sistemi arasındaki dönüşüm parametrelerinin bulunması
için, her iki sistemde de koordinatları bilinen, ortak noktaya ihtiyaç
duyulur.
İki Boyutlu Affin Dönüşümü






Jeodezide genellikle benzerlik dönüşümü kullanılmasına
rağmen fotogrametri ve kartoğrafyada durum farklıdır.
Film, kâğıt vb. maddeler deformasyona uğradıkları
zaman her iki eksen boyunca bozulmalar aynı olmaz.
Bu durumda Affin dönüşümü tercih edilir.
Bu dönüşümde koordinat eksenleri yönündeki ölçekler
aynı değildir.
Uzunluklar yöne bağlı olarak değişir.
Belirli bir yönde ölçek değişmez kalır.
Açılar dönüşümden sonra değişir.
İki Boyutlu Affin Dönüşümü





Açıların değişimi açı kollarının doğrultusuna bağlıdır.
Açı koruyan bir dönüşüm değildir.
Herhangi bir doğru dönüşümden sonra yine bir
doğrudur.
Paralel doğrular dönüşümden sonra da paraleldir
Fotogrametride bazı problemlerin çözümünde dört
parametreli benzerlik dönüşümü yerine altı parametreli
bir dönüşüm uygulanır. Affin dönüşümü adı verilen bu
dönüşümde altı parametre, x ve y eksenleri yönünde 2
ölçek faktörü, 2 dönüklük ve 2 ölçektir.
İki Boyutlu Affin Dönüşümü

Bu altı parametrenin çözümü için her iki
sistemde koordinatları bilinen en az üç
noktaya ihtiyaç vardır.
 Ortak nokta sayısının üçten fazla olması
durumunda dönüşüm parametreleri en küçük
kareler yöntemine göre dengeleme ile
hesaplanır.
 Affin dönüşümünün benzerlik dönüşümünden
temel farkı her iki eksen yönündeki ölçek
faktörlerinin farklı olmasıdır.
İki Boyutlu Affin Dönüşümü

İki boyutlu Affin dönüşümü
Kaynak: Yaşayan, 2011
Üç boyutlu koordinat dönüşümü
Başlangıçları aynı olan iki üç boyutlu dik
koordinat sistemi (kartezyen koordinat
sistemi) arasındaki dönüşüm
Bu iki koordinat sistemi arasında bir ölçek
katsayısı ve öteleme varsa, genel bir
üç boyutlu benzerlik dönüşümü formülü
Dönüşüm Matrisi (Ortogonal Matris)
Dönüşüm formüllerindeki λA dönüşüm matrisi
uzunlukları, λ katsayısı oranında değiştirilir.
 Ancak bu durumda şeklin benzerliği değişmez, açılar
aynı kalır.
 Bu nedenle bu dönüşüme benzerlik dönüşümü denir.
λ = 1 durumunda dönüşüm özel bir dönüşümdür ki
buna ortogonal dönüşüm denir.
 Fotogrametride sembolik olarak tanımlanan A
dönüşüm matrisi ortogonal bir matristir.
 Ortogonal matrisin özellikleri nelerdir?

Dönüklük Açıları ve Dış Yöneltme Elemanları

Uçağın
hareketinden
dolayı eksenler
etrafında
dönüklükler
meydana
gelmektedir.






O izdüşüm merkezine paralel
XYZ uzay koordinat sistemi ele alınsın
Elde edilen xyz koordinat sistemi ve bu
eksenler etrafında dönüklük açıları
X-ekseni çevresindeki dönüklük v (omega )
Y-ekseni çevresindeki dönüklük ϕ ( fi )
Z-ekseni çevresindeki dönüklük k ( kappa )

Üç öteleme ve üç dönüklükten oluşan altı
elemana bir fotoğrafın dış yöneltme
elemanları denir.
 Bir fotoğrafın altı dış yöneltme elemanı:
izdüşüm merkezinin üç koordinatı
(Xo,Yo,Zo) ve fotoğraf koordinat
sisteminin üç dönüklüğü (v, ϕ, k)’dür.

Fotoğraf koordinat sisteminin arazi
koordinat sistemine göre dönüklüğünü
ifade eden A matrisi, her biri ortogonal
olan ve düzlem dönüklükten elde edilen
üç matrisin arka arkaya çarpılmaları ile
elde edilen bir matristir.
 Av, Aϕ, Ak’ya kısmi dönüklük matrisleri
denir.

A matrisi, her biri ortogonal olan ve düzlem dönüklükten
elde edilen üç matrisin arka arkaya çarpılmaları ile elde
edilen bir matristir. Matris çarpımlarında sıra önemlidir.
İzdüşüm Denklemleri




Tam düşey hava fotoğrafı için elde edilen denklemlere izdüşüm
denklemleri denir.
X ve x eksenlerinin paralel olduğunu kabul edelim.
Eğer orta ve asal nokta çakışıksa ve eksenler arası dönüklük
yoksa:
Birinci ve ikinci eşitlikler, üçüncü eşitliğe bölünürse

Bu özel durum yerine genel durum göz önünde bulundurulursa,
yani bu iki koordinat sistemi arasındaki ölçek farkı, dönüklük ve
öteleme dikkate alınırsa, genel bir üç boyutlu benzerlik dönüşümü
denklemi yazılabilir
İzdüşüm Denklemleri
GEOMETRİK VE MATEMATİKSEL TEMELLER Karşılıklı yöneltme durumu (Çift fotoğraf alımı)
Fotogrametri I Ders Notları
Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ
44
GEOMETRİK VE MATEMATİKSEL TEMELLER Düzlemdeşlik Koşulu
Fotogrametri I Ders Notları
Yrd. Doç. Dr. Aycan M. MARANGOZ
45
Dersin Kaynakları










Ahmet Yaşayan, Murat Uysal, Abdullah Varlık, Uğur Avdan, Fotogrametri,
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ YAYINI NO: 2295, 978-975-06-0969-5, 2011.
Fotogrametri I ve II DersNotları, Prof.Dr.Ahmet Yaşayan,YTÜ
Fotogrametri DersNotları, Prof.Dr. Fatmagül Kılıç,YTÜ
Fotogrametri, O. Altan, S. Külür, G. Toz, H. Demirel, Z. Duran, M. Çelikoyan,
Karl Krauss, 7. Baskıdan çeviri, İTÜ, Nobel Yayın Dağıtım, 2007
Digital Photogrammetry, Yves Egels and Michel Kasser, Taylor and Francis,
CRC Press, 2007
Digital Photogrammetry A practical Course , Wilfried Linder, Springer, Verlag
Berlin Heidelberg 2009
Kraus, K., (1993); Photogrammetry Volume I, Fundamentals and Standard
Process, Ferd. Dümmlers Verlag, Bonn, Germany.
Kraus, K., (1997); Photogrammetry Volume II, Advanced Methods and
Applications, Ferd. Dümmlers Verlag, Bonn, Germany.
İnternet Kaynakları
Ulusal ve Uluslararası Kuruluşlar
46